Dados três conjuntos quaisquer F , G e H . O conjunto –G H é igual ao conjunto: A) G F F H

B) G H H F

C) G H F H

D) G H F

E) H G G F

Resolução: Considere os conjuntos A , B e C . Valem as seguintes propriedades:

A B A B , A B C A C B C e A B C A C B C .

Então:

G H F H G H H F H G H H F H G H H H F G H G H

Alternativa C

O polinômio 3 2x ax bx c tem raízes reais , e 1

. Portanto o valor da soma 2

2

bb c ac

c é:

A) −2 B) −1 C) 0 D) 1 E) 2 Resolução: Aplicando as relações de Girard, vem:

1

1 1

1

a

b

c

2

1

a

b

c

Substituindo os valores obtidos na expressão 22

b

b c acc

, vem:

22 2 2

22

12

bb c ac

c

Alternativa A

Q u e s t ã o 0 1

Q u e s t ã o 0 2

2

Sabendo-se que m e n são inteiros positivos tais que 23 14400m n , determine o resto da divisão de m n por 5 . A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4 Resolução:

2

2 2

3 14400

3 120

3 120 120

m

m

m

n

n

n n

Observe que 120n e 120n são potências de 3 , ou seja, 120 3 an e 120 3 bn . Assim: 3 3 3 m a b m a b . A primeira potência de 3 maior que 120 é 243 . Para 120 243 n , deve-se ter 123n . Desse modo, 120 123 120 3 n , que também é uma potência de 3 . Logo, 123n e portanto:

6

3 243 3

3 3

6

m

m

m

Assim, 123 6 129 m n . O resto da divisão de 129 m n por 5 é 4 .

Alternativa E

O valor do somatório abaixo é:

152 1

1

Img cis36

k

k

A) 2 3

4sen36

B) 2 3

4sen36

C) 1

4sen36

D) sen36

E) 1

4

Observação: Img w é a parte imaginária de w .

Resolução: 15 15

2 1 2 1

1 1

Img cis Img cis36 36

k k

k k

2 14Img cis cis cis cis

36 36 18 36 18 36 18

2 140Img 1 1z z z z

Onde 0 cis36

z

e 18

z

Temos:

15

2 140 0

15cis 11 181 cis

1 36 cis 118

zz z z z z

z

Q u e s t ã o 0 3

Q u e s t ã o 0 4

3

5 5cos sen 1

6 6cis36 cos sen 1

18 18

i

i

2

2

5 5 51 2sen 1 2sen cos

12 12 12cis36 1 2sen 1 2sen cos

36 36 36

i

i

5 5 52 sen cos sen

12 12 12cis

36 2 sen cos sen36 36 36

i i

i i

5 5 5sen cos sen

12 12 12

sen36

i

5sen

5 2 312Img sen

12sen 4 sen36 36

w

Alternativa A Seja 2P x x ax b . Sabe-se que P x e P P P x têm uma raiz em comum. Pode-se afirmar que para todo

valor a e b A) 1 1 0P P B) 1 1 0P P C) 1 1 2P P

D) 0 1 0P P E) 0 1 0P P

Resolução: Seja r a raiz comum. Temos:

0 0 0 0P P P r P P P b

Logo, b é raiz. Se 0 0 0 0 1 0b P P P

Se 0b e, sendo r a outra raiz temos: r b b

1r Assim, se 0b : 1 0 0 1 0P P P

Portanto, para quaisquer valores de a e b 0 1 0P P .

Alternativa D

Sabendo-se que os números reais positivos a , b e c formam uma progressão geométrica e 5

logc

a

, 3

log5

b

c

e

log3

a

b

formam uma progressão aritmética, ambas nessa ordem, então pode-se afirmar que a , b e c

A) formam os lados de um triângulo obtusângulo. B) formam os lados de um triângulo acutângulo não equilátero. C) formam os lados de um triângulo equilátero. D) formam os lados de um triângulo retângulo. E) não podem formar os lados de um triângulo.

Q u e s t ã o 0 5

Q u e s t ã o 0 6

4

Resolução: 2, ,

5 3log ,log ,log

5 3

3 52 log log log

5 3

PG a b c b ac

c b aPA

a c b

b c a

c a b

2

2

2

3 5log log

5 3

9 5

25 35

3

b c a

c a b

b c

c bc

b

2

225

925

9

b ac

cac

ca

Como 25 5 24

9 3 9

c c ca c b c , a, b e c não podem formar os lados de um triângulo.

Alternativa E O valor da soma abaixo é:

2016 2017 2018 2019 2020 2016

5 5 5 5 5 6

A) 2020

6

B) 2020

7

C) 2021

5

D) 2021

6

E) 2022

5

Resolução:

Seja 2016 2017 2020

5 5 5x

.

5 6 2015 2016

5 5 5 6a

(soma na coluna 5 do Triângulo de Pascal até 2015

5

)

5 6 2020 2021

5 5 5 6b

(soma na coluna 5 do Triângulo de Pascal até 2020

5

)

Observe que x b a . Então o valor da expressão é: 2016 2021 2016 2016 2021

6 6 6 6 6x

Alternativa D

Q u e s t ã o 0 7

5

Os inteiros n e m são sorteados do conjunto 1,2,3,..., 2016 , podendo haver repetição. Qual a probabilidade do

produto n m ser múltiplo de 12 ?

A) 5

12

B) 5

18

C) 5

24

D) 5

36

E) 5

144

Resolução: Resolvamos inicialmente o problema para o conjunto 1,2,...,12A . Seja ; m n um par ordenado do produto cartesiano A A .

Temos que A A tem 12 12 144 pares ordenados. Selecionemos todos os pares onde m n é múltiplo de12 . Assim: 1 12m n : 1 par. 2 6 12m n n : 2 pares 3 4 8 12m n n n : 3 pares 4 3 6 9 12m n n n n : 4 pares 5 12m n : 1 par 6 2m n K : 6 pares 7 12m n : 1 par 8 3 6 9 12m n n n n : 4 pares 9 4 8 12m n n n : 3 pares 10 6 12m n n : 2 pares 11 12m n : 1 par. 12m n : 12 pares Temos portanto um total de 40 pares onde m n é múltiplo de 12 . A probabilidade de escolher m e n aleatoriamente em A e

gerar um produto múltiplo de 12 é igual a 40 5

144 18 .

Observemos inicialmente que 2016 168 12 , ou seja, é múltiplo de 12 . O padrão observado no produto cartesiano A A se

manterá para todo produto B B onde :12 1 12 1 ,0 167,B x k x k k k , ja que m n ser múltiplo de 12

depende apenas do resto que m e n deixam na divisão por 12 . É como se tivéssemos subdividido o problema em 168 168

produtos cartesianos, todos com igual probabilidade. Assim a probabilidade pedida é: 2

2

168 40 5.

168 144 18 .

Alternativa B

Seja a b

Ab a

. O maior valor de a , com 1a , que satisfaz 24A I é:

A) 1

2

B) 2

2

C) 3

2

D) 23 1

4

E) 23 1

4

Observação: I é a matriz identidade 2 2 .

Q u e s t ã o 0 8

Q u e s t ã o 0 9

6

Resolução:

24 24det det 1 A I A I

Aplicando o Teorema de Binet, vem:

2424det det 1 A A

Substituindo 2 2det A a b na igualdade acima, vem:

2424 2 2 2 2det 1 1 A a b a b .

1a , pois 1a e 2 2 1 a b .

Como 1

0,502 ,

20,70

2 ,

30,86

2 , 2

3 1 0,264

e 23 1 0,96

4 .

Assim, o maior valor de a é 23 1 0,96

4 .

Alternativa E Quantos inteiros k satisfazem à desigualdade 1

1/ 410 10

2 log 1 10log 3 0k k ?

A) 10 B) 89 C) 90 D) 99 E) 100 Resolução: Fazendo log 1 t k , temos 2log 1 k t , em que 0t . Substituindo esses resultados na desigualdade, vem:

2

2

52 1 3 0

25 1

2 02 21

15

t t

t t

t

+

1–

5

– –1 t

Substituindo log 1 t k em 1

15

t , vem:

2

11

5

0 1

0 log 1 1

1 log 2

10 100

t

t

k

k

k

Como k , deve-se ter 10,11,...,99k .

Portanto, há 90 valores distintos possíveis para k . Alternativa C

Seja a equação sen 2 1

tg 2

x

x . As soluções dessa equação para ,

2x

formam um polígono no círculo

trigonométrico de área

A) 3

2 B) 3 C)

5 3

8 D)

1

2 E) 1

Q u e s t ã o 1 0

Q u e s t ã o 1 1

7

Resolução: Observe que o denominador da igualdade abaixo deve ser diferente de zero. Além disso, 0 0 tgx senx .

2 22 1 12 2 cos 4 cos 4 cos 1 cos

2 cos 2

sen x senxsenx x sen x x sen x x x

tgx x

1

2

1

2 3

2

3

2

A área do triângulo retângulo obtido é:

32 1 32

2 2

Alternativa A O lugar geométrico dos pontos em 2 equidistantes às retas de equações

4 3 – 2 0x y e 12 –16 5 0x y é A) 4 28 13 0x y B) 8 – 7 –13 0x y C) 28 – 4 – 3 0x y

D) 2 256 388 –184 – 56 –16 19 0x xy x y y

E) 2 2112 768 – 376 –112 – 32 39 0x xy x y y Resolução: Seja ,P x y um ponto pertencente ao lugar geométrico em questão e sejam as retas : 4 3 2 0 r x y e : 12 16 5 0 s x y . Então:

, ,

2 2 2 2

4 3 2 12 16 5

4 3 12 16

20 4 3 2 5 12 16 5

P r P sd d

x y x y

x y x y

2 2

2 2 2 2

2 2

16 4 3 2 12 16 5

256 144 64 384 256 192 144 256 25 384 120 160

112 768 376 112 32 39 0

x y x y

x y xy x y x y xy x y

x xy x y y

Alternativa E Considere quatro pontos distintos coplanares. Das distâncias entre esses pontos, quatro delas valem a e duas delas

valem b . O valor máximo da relação 2

b

a é

A) 2 B) 1 3 C) 2 3

D) 1 2 2 E) 2 2 3

Q u e s t ã o 1 2

Q u e s t ã o 1 3

8

Resolução: Temos 3 configurações possíveis para os pontos: 1) Quadrilátero convexo com os 4 lados iguais a a e duas diagonais iguais a b . Nesse caso o quadrilátero é um quadrado de

lado a e diagonal 2b a . Assim: 22

22

b a

a a

a

a a

a

b

b

2) Quadrilátero convexo com dois lados iguais a a , dois iguais a b e duas diagonais a .

O triângulo ABC é eqüilátero de lado a . No triângulo isósceles ABC temos 75ºBDA . Assim:

12 sen 75º2sen 75º

a b

b a

2

21

2 36 2

24

b

a

B C

b b

aa

75ºM

A

36º

D

2a

2a

3) Quadrilátero côncavo com 2 lados a , 2 lados b , duas diagonais a:

No ABC

a a

aDB

C

A

b b

60°

150°

a

15°

2

1sen150º 2sen15º 6 2

4

2 3

b

a

b

a

Como 2 3 2 2 3 , o maior valor de 2

b

a

é 2 3 .

Alternativa C

Em um triângulo ABC , o ponto D é o pé da bissetriz relativa ao ângulo A . Sabe-se que

AC AD , AB

rAC

e que C

Portanto o valor de 2sen é

A) 3 1

4

r B)

3 1

4

r

r

C) 3

4

r D)

3 1

4

r

r

E) 3 1

4

r

Q u e s t ã o 1 4

9

Resolução: A

� ���

�r�

2rx

�

� x �

M DCB

x

Aplicando o teorema de bissetriz interna ao triângulo ACB temos:

22

BD AB BDr BD rx

CD AC x

No triângulo AMD : 2 2 2AM x

No triângulo AMB : 22 2 2 22 1AM r r x

Assim: 2 2 2 2 2 24 4 1r r r x x

2 2 2 2

22

1 4 4 1

1 1 1 1

4 1 2

r r r x

r r rx x

r r r

No triângulo AMC :

1 1cos

2

x r

r

Assim:

2 2 1 1 3 1sen 1 cos 1

4 4

r r

r r

Alternativa D Sejam dois quadrados de lado a situados em planos distintos que são paralelos entre si e situados a uma distância d , um do outro. A reta que liga os centros dos quadrados é perpendicular a esses planos. Cada diagonal de um quadrado é paralela a dois lados do outro quadrado. Liga-se cada vértice de cada quadrado aos dois vértices mais próximos do outro quadrado. Obtêm-se, assim, triângulos que, conjuntamente com os quadrados, formam um sólido S . Qual a distância entre estes planos distintos em função de a , de modo que os triângulos descritos acima sejam equiláteros?

A) 2

a

B) 3

2

a

C) 10

8

a

D) 4 8

2

a

E) 4 3 2

2

a

Resolução:

B

A

C

D

G

HA

E

H

G

A�

E

F

O

M

F

M

Sejam 'A a projeção de A sobre o plano de EFHG , o ponto médio de EG , O o centro de EFHG . Assim:

2 12' '

2 2 2

a aMA OA OM a

No triângulo 'AA M :

Q u e s t ã o 1 5

10

2

2 22 2 2

2 2

2 1' '

2

3 2 2

4

aAM AA A M AM d

AM d a I

Se o triângulo AEH é equilátero, AM é sua altura e 3

2

aAM . Substituindo em I :

2 22 2 2 2

4

3 3 2 2 8

4 4 4 4

8

2

a ad a d a

d a

Alternativa D

d

m, + Q

V

K�

+

–

Um corpo de carga positiva, inicialmente em repouso sobre uma rampa plana isolante com atrito, está apoiado em uma mola, comprimindo-a. Após ser liberado, o corpo entra em movimento e atravessa uma região do espaço com diferença de potencial V , sendo acelerado. Para que o corpo chegue ao final da rampa com velocidade nula, a distância d indicada na figura é Dados: • deformação inicial da mola comprimida: x ; • massa do corpo: m ; • carga do corpo: Q ; • aceleração da gravidade: g ; • coeficiente de atrito dinâmico entre o corpo e a rampa: ; • ângulo de inclinação da rampa: ; • constante elástica da mola: K . Considerações: • despreze os efeitos de borda; • a carga do corpo permanece constante ao longo da trajetória.

A)

2 2

2 1 sen

Kx QV

mg

B)

2

2 1 sen

Kx QV

mg

C)

2

22 1 cos

KxQV

mg

D) 2 2

2 sen cos

Kx QV

mg

E) 2 2

2 sen cos

Kx QV

mg

Q u e s t ã o 1 6

11

Resolução: Tomando o ponto mais alto como o de potencial nulo e a base como altura zero: Força atritoEnergia mecânica

2

sen cos2

Kxmgd qV mg d

2

sen cos2

Kxmgd qV

22

2 sen cos

qV Kxd

mg

Alternativa E

x

y

z

m Q, +lâmina devidro

Uma partícula de massa m e carga Q encontra-se confinada no plano XY entre duas lâminas infinitas de vidro,

movimentando-se sem atrito com vetor velocidade ( ), 0, 0v no instante 0t , quando um dispositivo externo passa a

gerar um campo magnético dependente do tempo, cujo vetor é , ,( ( ) ( ) )f t f t B , onde B é uma constante. Pode-se afirmar que a força normal exercida sobre as lâminas é nula quando t é Consideração: • desconsidere o efeito gravitacional.

A) 8

m

QB

B) 4

m

QB

C) 2

m

QB

D) m

QB

E) 2m

QB

Resolução: Podemos escrever em notação vetorial

B f t i f t j Bk

x y zv v i v j v k

A força de Lorentz nos dá:

MF qv B

0M x y y z z x x y

i j k

F qv qv Bqv f t qv i qv f t Bqv j qv f t qv f t k

f t f t B

Para que 0N

e 0zmF , logo:

x yqv f t qv f t ; fazendo 0q f t

Q u e s t ã o 1 7

12

x yv v

Logo, v

deve estar na bissetriz dos quadrantes do plano xy e a partícula teve 4

. Todas as forças exercidas sobre a partícula

são perpendiculares ao movimento e não realizam trabalho, logo v v

todo tempo. Assim:

_________

_________ 2

t

T

8

Tt

O período de uma volta é: 2 m

TqB

Logo: 4

mt

qB

Alternativa B

A

B

C

Dh

40 kN

50 kN

2,0 2,0

2,0

1,5

2,0

A figura acima, cujas cotas estão em metros, exibe uma estrutura em equilíbrio formada por três barras rotuladas AB, BC e CD. Nos pontos B e C existem cargas concentradas verticais. A maior força de tração que ocorre em uma barra, em kN, e a altura h , em metros, da estrutura são Consideração: • as barras são rígidas, homogêneas, inextensíveis e de pesos desprezíveis. A) 50,0 e 2,50 B) 31,6 e 1,67 C) 58,3 e 3,33 D) 50,0 e 1,67 E) 58,3 e 2,50 Resolução: Para o equilíbrio apresentado O

Tomando na barra AB o ponto A como referência, temos:

FBC

�2

90 – �1

B�1

40KN

�

Q u e s t ã o 1 8

13

R o

1 1 2

1 2

1

1 2 2

40 cos cos 90

sen40

cos

40 tg cos sen

4240

2

40 2 4

20

2

AB AB

BC

BC

BCBC BC

BC

BC

BC

BC

L F L

F

F

hhF

L L

Fh

L

FI

L h

�2

50KN

D

c

�

FBC

Tomando na barra CD o ponto D como referência, temos:

R o

3 3 250 cos cos 90

43 4 2 350

5 5 5

30 20 35

150

20 3

CD BC CD

BCBC BC

BC

BC

BC

BC

L F L

hF

L L

Fh

L

FII

L h

Igualando I e II

20 150

2 20 340 6 15 30

1021 70

33,33

h hh h

h h m

h m

Analisando as forças no ponto B

�1

40

FAB

FBC

�2

1 2

1 2

2 2

2 2

sen 40 sen

cos cos

440

4 8 20

2 2

4 8 20

AB BC

AB BC

AB BC

AB BC

F F

F F

h hF F

h h h

F Fh h h

Substituindo 103h

5 140

34 10

3 3

34 10

10

34

AB BC

AB BC

BC AB

F F

F F

F F

14

Logo:

5 10 140

3434 10

5 140

34 34

440

34

AB AB

AB BC

AB

F F

F F

F

10 34

58,3kNAB

AB

F

F

Alternativa C Uma fonte sonora está situada no ponto de coordenadas 0x m e 0y m e outra no ponto de coordenadas 0x m e

4y m . As ondas produzidas pelas duas fontes têm a mesma frequência e estão em fase. Um observador situado no ponto de coordenadas 3x m e 0y m nota que a intensidade do som diminui quando ele se move paralelamente ao

eixo y no sentido positivo ou no sentido negativo. Se a velocidade do som no local é 340 /m s , a menor frequência das fontes, em Hz , que pode explicar essa observação é A) 85 B) 170 C) 340 D) 680 E) 1360 Resolução: y

4 F1

F2 3 x0 O ponto 3,0 é ponto de máximo porque todos os pontos da vizinhança tem menor intensidade.

1 2 2

3 52

d d p

Vp

f

340;

4

Pf para a menor frequência 2p

170f Hz

Alternativa B

A

B

Figura 1

h

f t( )

f t( ) [N]

F

0 3T 4T2TTt [s]

Figura 2

Q u e s t ã o 1 9

Q u e s t ã o 2 0

15

Na Figura 1, o corpo A, constituído de gelo, possui massa m e é solto em uma rampa a uma altura h . Enquanto desliza pela rampa, ele derrete e alcança o plano horizontal com metade da energia mecânica e metade da massa iniciais. Após atingir o plano horizontal, o corpo A se choca, no instante 4T, com o corpo B, de massa m , que foi retirado do repouso através da aplicação da força f t , cujo gráfico é exibido na Figura 2.

Para que os corpos parem no momento do choque, F deve ser dado por Dado: • aceleração da gravidade: g . Observações: • o choque entre os corpos é perfeitamente inelástico; • o corpo não perde massa ao longo de seu movimento no plano horizontal.

A) 2

8

m gh

T

B) 2

6

m gh

T

C) 2

4

m gh

T

D) 2

3

m gh

T

E) 2

2

m gh

T

Resolução: Energia mecânica após o gelo descer a rampa:

0

2 2 c

Em mghEmf E

2

22 2 2 A

A

m m vg h v gh

Analisando a quantidade de movimento antes e depois do choque, temos:

0

0

2 02

2

f

A B

B

B

Q Q

Q Q

mgh m v

ghv

Construindo o gráfico de aceleração do bloco B, temos:

a t m s( ) [ / ]2

0 3T 4T2TTt [s]

F

m

A área do gráfico fornece o módulo da variação da velocidade:

4 2 3

2

2 23

2 6

T TF TFv

m m

gh M ghTFF

m T

Alternativa B

16

PA

Reservatório A

C

Fluido 2

DReservatório B

L1

L2

PB

E

0,3

0m

0,2

0m

Considerando o esquema acima, um pesquisador faz três afirmações que se encontram listadas a seguir: Afirmação I. Se a diferença de pressão entre os dois reservatórios ( A BP P ) for equivalente a 20 mm de coluna de água,

a variação de massa específica entre os dois fluidos ( 1 2ρ ρ ) é igual a 0,2 kg/L. Afirmação II. Se o Fluido 1 for água e se a diferença de pressão ( A BP P ) for de 0,3 kPa, a massa específica do Fluido 2

é igual a 0,7 kg/L. Afirmação III. Caso o Fluido 1 tenha massa específica igual à metade da massa específica da água, o Fluido 3 (que substitui o Fluido 2 da configuração original) deve ser mais denso do que a água para que a diferença de pressão entre os reservatórios seja a mesma da afirmação I. Está(ão) correta(s) a(s) afirmação(ões) Dados: • massa específica da água: 1 kg/L; • aceleração da gravidade: 10 m/s2; • Para as afirmações I e II: 1L = 0,30 m e 2L = 0,40 m;

• Para a afirmação III apenas: 1L = 0,60 m e 2L = 0,80 m.

Consideração: • os fluidos são imiscíveis. A) I apenas. B) II apenas. C) III apenas. D) I e II apenas. E) I, II e III. Resolução:

PA

R. A

C

DR. B

L1

L2

PB

E

0,30 m

0,20 m

h1

h2

PC Aplicando o princípio de Stevin, para a pressão devido à coluna de um líquido em equilíbrio hidrostático, temos:

1 1 2 2

2 1 1 1 2 1 2 2

1 1 2 2 2 1 1 1 1 2 1 2 2 2

2 1 2 1 1 2

2 2 1 2

ρ ρ (ponto mais baixo)

0,30 ρ ρ ( ) ρ (0,2 ) ρ

ρ ρ 0,30 ρ ρ ρ ρ 0,2 ρ ρ

ρ 0,2 ρ ρ 0,3 ρ

( ) ρ 0,1 ρ

A F

B F

A B

A B

A B

P L g h g P

P g h g h h g h g P

P L g h g P g h g h g L g g h g

P P h g g L g g

P P L L g g

Q u e s t ã o 2 1

17

I. 3

1 2

1 2 1 2

20 10 1 0,1 0,1 ( )

0,02 0,1 ( ) 0,2 kg/L

A BP P g g g g

(V)

II. 3 3

2

3 32

0,3 10 0,1 10 10 0,1 10

(1 0,3) 10 kg/m 0,7 kg/L

A BP P

(V)

II. 3

3

3 3 3

20 10 1 0,2 0,5 0,1 ( )

0,02 0,1 0,1 0,2 1 =0,8 kg/L

A BP P g g g g

(F)

Alternativa D

y

y

y

y/4 y/2 y/4

x

Um corpo rígido e homogêneo apresenta seção reta com dimensões representadas na figura acima. Considere que uma força horizontal F, paralela ao eixo x, é aplicada sobre o corpo a uma distância de 1,5 u.c. do solo e que o corpo desliza sem atrito pelo solo plano horizontal. Para que as duas reações do solo sobre a base do corpo sejam iguais, a distância y, em u.c., deverá ser Consideração: • u.c. – unidade de comprimento. A) cos (π/3)

B) sen (π/3)

C) 2cos (π/3)

D) 2sen (π/3)

E) 3cos (π/3) Resolução: A única maneira de uma força externa não produzir rotação no corpo rígido, alterando assim a distribuição das normais, é que ela seja aplicada em uma linha que passa pelo CM do corpo rígido.

F

y2ycmy1

cm

y3

y

0 x

Q u e s t ã o 2 2

18

Considerando a densidade do corpo ρ (constante) e sua espessura e (constante) temos:

1 1 2 2 3 3

1 2 3CM

m y m y m yy

m m m

2 2 2

2 2 2

3 31

4 2 4 2 4 6

3

4 4 4

CM

y y y y ye e e y

yy y y

e e e

1 1 3 6 32 3 3 38 8 4 6

21 1 3 2 3 4

4 4 4

CMy y y y

31,5 u.c. 1,5 3 u.c.

2π

ou 2 sen3

CMy y y

y

Alternativa D

+–V R

Instrumento

Bp RpIp

Bc Rc Ic

A figura acima apresenta o esquema de ligação de um instrumento usado para medir a potência fornecida a uma carga. Sabe-se que a leitura de potência do instrumento em regime permanente é Pinstrumento = C .Ip . Ic e que o erro relativo é

instrumento real

real

P P

P . Diante do exposto, o valor da resistência pR do instrumento deve ser igual a

Dados: • potência medida na resistência R empregando-se o instrumento: Pinstrumento; • potência real dissipada na resistência R: Preal; • constante do instrumento: C; • tensão de alimentação do circuito: V; • corrente da bobina de potencial (Bp): Ip; • corrente da bobina de corrente (Bc): Ic. Considerações: • pR R ; e

• cR R .

A) C

B) 2 C

C) 1

C

D) 1

C

E) 2 1

C

Q u e s t ã o 2 3

19

Resolução: O erro relativo é dado por:

1instumento real instrumento

real real

P P P

P P

Logo:

1 p cinstrumento

real real

C I IP

P P

com p

p

VI

R e c

c

VI

R R

21p c

p c

V VC

R R R C R

V R R RR

Como cR R , temos:

1 1

1

pp

p

C R C

RR R

CR

Alternativa C

BA

Um circuito é composto por capacitores de mesmo valor C e organizado em três malhas infinitas. A capacitância equivalente vista pelos terminais A e B é

A) 12(3 7)

6

C B) 1

2(3 1)3

C C) 1

2(3 1)6

C

D) 12(3 5)

2

C E) 1

2(3 1)2

C

Resolução:

BA

C

D

Q u e s t ã o 2 4

20

Considere a seguinte associação infinita de capacitores a partir dos pontos C e D:

C

D

C1C

C

C

C1

1C : Capacitância equivalente 1.

1 1

1 1

2 21 1

2 2

1

1

1

1 1 1 1

1 2 1

2 2 0

2 4 8

4

2 2 3

4

( 3 1)2

C C C C C

C C C C

C C C C

C C CC

C CC

CC

Logo podemos representar o circuito da seguinte forma:

BA

C

C1

C

C

C1

C1C

O trecho:

C

C1 tem capacitância equivalente igual a:

2 1 ( 3 1)2

CC C C

Os três trechos de C2 em série resultam:

C3

C

C2

C

C2C2

223

( 3 1)( 3 1)

3 3 6

CC CC

O paralelo de C com C3 nos fornece a capacitância pedida CAB

12

3 ( 3 1) ( 3 7)6 6

(3 7)6

AB

AB

C CC C C C

CC

Alternativa A

21

AL

�

Uma corda de comprimento L e densidade linear constante gira em um plano em torno da extremidade fixa no ponto A a uma velocidade angular constante igual a . Um pulso ondulatório é gerado a partir de uma das extremidades. A velocidade v do pulso, no referencial da corda, a uma distância r da extremidade fixa é dada por

A) 2

L r B) ( )

2

L L r

C) 2 2( )2

L rL

D)

2 2

2

L r

E) 2

L L r

L r

Resolução: Considerando a força resultante em um elemento de massa da corda temos:

A

dm

dT

2dT dm r com dm dr (densidade constante) 2dT dr r

A tração é dada por: 2 2

2 2 2 2( )2 2

LL

rr

rT r dr L r

A velocidade do pulso, pela equação de Taylor é dada por:

2 22 2 2 2

2 2

( )( )

( ) ( ) ( )2 2

( )2

T rv r

v r L r L r

L rv r

Alternativa D Dois observadores em movimento acompanham o deslocamento de uma partícula no plano. O observador 1, considerando estar no centro de seu sistema de coordenadas, verifica que a partícula descreve um movimento dado pelas equações 1( ) 3cos( )x t t e 1( ) 4sen( )y t t , sendo t a variável tempo. O observador 2, considerando estar no centro de seu sistema de coordenadas, equaciona o movimento da partícula como 2 ( ) 5cos( )x t t e 2 ( ) 5sen( )y t t . O observador 1 descreveria o movimento do observador 2 por meio da equação: Observações: • os eixos 1x e 2x são paralelos e possuem o mesmo sentido; e • os eixos 1y e 2y são paralelos e possuem o mesmo sentido. A) 2 29 16 25x y

B) 2 2

259 16

x y

C) 2 24 1x y

D) 2

2 14

xy

E) 2 24 4x y

Q u e s t ã o 2 5

Q u e s t ã o 2 6

22

Resolução:

y2

x2

x1

y1

rr2

r1

1

2

ˆ ˆ3cos( ) i 4sen ( ) j

ˆ ˆ5cos( ) i 5sen ( ) j

r t t

r t t

Pelo diagrama:

1 2

1 2

r r r

r r r

Logo:

ˆ ˆ2cos( ) i ( ) jr t sen t

Podemos fazer analogia:

2 22 22cos( )

1 1sen( ) 2 4

x t x xy y

y t

Alternativa D

fioeixo batente Semente de condutor

L

f1f2f3f4f5

ch

LL1/2 L1/2 L1/2 L1/2 L LLLL

8,5 L

Um circuito é alimentado por uma bateria através de uma chave temporizada ch que após o seu fechamento, abrir-se-á depois de transcorrido um período de tempo igual a T. Esse circuito é formado por segmentos de condutores com a mesma seção, mesma resistividade e comprimentos indicados na figura. Também estão inseridos cinco fusíveis f1 a f5, que têm a função de manter a continuidade do fluxo de corrente e de manter os segmentos conectados. Sempre que um dos fusíveis queimar, o segmento imediatamente à esquerda vai girar no sentido horário, fechando o contato, através de um batente, após decorridos T/4. Sabe-se que cada fusível necessita de T/4 para se romper diante de uma corrente maior ou igual à corrente de ruptura. A partir do fechamento da chave temporizada ch até a sua abertura, a energia consumida pelo circuito é igual a Dados: • correntes de ruptura para cada fusível a partir da direita:

o f 1: 0,9 I; o f 2: 1,1 I; o f 3: 1,5 I; o f 4: 1,8 I; e o f 5: 2,1 I.

• resistividade do segmento: ; • seção do fio: S; • diferença de potencial da bateria: U. Observações: • I corresponde a corrente elétrica com todos os fusíveis ligados; • desconsidere a resistência dos fusíveis, da chave, dos fios e dos engates que conectam a fonte ao circuito.

Q u e s t ã o 2 7

23

A) 21 1

24 20

U ST

L

B) 21 1

34 24

U SR

L

C) 21 1

42 34

U ST

L

D) 21 1

62 44

U ST

L

E) 21 1

62 22

U ST

L

Resolução: No instante 0t o circuito está todo fechado com todos os fusíveis operantes. Assim:

0

15,5 /

15,5 / 15,5

totaleqR L S

SU US

I IL S L

Mas 10,9 ( )I I f , o que fará o fusível 1 se queimar após 4

T. Durante este tempo, o circuito dissipou uma potência:

2

0 15,5

U SP U I

L , num tempo

4

T, teremos uma energia

2

0 0 4 62

T U STE P

L .

A barra à esquerda de 1f gira em sentido horário durante 4

T, tempo em que não haverá dissipação de energia.

Em 2

T o circuito é religado com uma nova corrente:

11

1 2

11 11

15,51,41 1,1 ( )

11

U U USI

LR LS

I I T f

O fusível 2 se queimará após 4

T, mas durante este tempo, o circuito dissipará uma potência

2

1 1 11

SUP U I

L , num tempo

4

T,

dissipando uma energia 2

1 1 4 44

T SU TE P

L e a barra à esquerda de 2f girará em sentido horário levando

4

T para fechar o circuito.

Durante este tempo, não haverá dissipação de energia, totalizando um tempo T , em que a chave Ch se abrirá e não haverá nova dissipação de energia. Assim:

2 2

0 1

2

62 44

1 1

62 44

T

T

U ST U STE E E

L L

U STE

L

Alternativa D

A figura acima apresenta um desenho esquemático de um projetor de imagens, onde A é um espelho e B e C são lentes. Com relação aos elementos do aparelho e à imagem formada, pode-se afirmar que A) o espelho convexo A, colocado atrás da lâmpada, tem por finalidade aumentar a intensidade da luz que incide no

objeto (filme). B) o filamento da lâmpada deve situar-se no plano focal do espelho A, para que sua imagem real se forme nesse

mesmo plano. C) a imagem projetada na tela é virtual, invertida e maior. D) a lente delgada C é convergente de borda delgada, possuindo índice de refração menor que o meio. E) as lentes plano-convexas B poderiam ser substituídas por lentes de Fresnel, menos espessas, mais leves,

proporcionando menor perda da energia luminosa.

Q u e s t ã o 2 8

24

Resolução: A) Falso. O espelho deve ser côncavo e não convexo. B) Falso. O filamento deve ficar próximo ao centro de curvatura do espelho côncavo, para maior aproveitamento dos raios

luminosos, e não no plano focal. C) Falso. Para que a imagem seja projetada, ela deve ser real e não virtual. D) Falso. De acordo com a equação do fabricante de lentes (Halley), para que a lente delgada de bordas finas seja convergente,

seu índice de refração deve ser maior que o do meio. E) Verdade. A lente de Fresnel substituiu um conjunto de lentes por uma de menor espessura e mesma vergência, diminuindo as

perdas de energia. Alternativa E

Um raio luminoso atravessa um prisma de vidro de índice de refração n, imerso em água, com índice de refração nágua. Sabendo que tanto o ângulo α como o ângulo de incidência são pequenos, a razão entre o desvio angular ∆ e o α será

A) 1água

n

n

B) 1água

n

n

C) 1

2

água

n

n

D) 1

2

água

n

n

E) 1águan

n

Resolução: Considerando como ângulo entre as normais das faces:

��

�

�� �

Pelas relações de ângulos externos:

1 2

1 1 2 2

Logo,

1 2

Pela Lei de Snell: * 1 1sen sen águan n ** 2 2sen sen águan n

Como os ângulos são muito pequenos: sen * 1 1 águan n ** 2 2 águan n

Q u e s t ã o 2 9

25

Somando * com ** 1 2 1 2 águan n

1 2 águan n

1 2

água

n

n

Por fim

1 2

1

água

n

n

Alternativa A

Um êmbolo está conectado a uma haste, a qual está fixada a uma parede. A haste é aquecida, recebendo uma energia de 400 J . A haste se dilata, movimentando o êmbolo que comprime um gás ideal, confinado no reservatório, representado na figura. O gás é comprimido isotermicamente.

Diante do exposto, o valor da expressão: f i

f

P P

P é

Dados: • pressão final do gás: fP ;

• pressão inicial do gás: iP ;

• capacidade térmica da haste: 4 J/K ;

• coeficiente de dilatação térmica linear da haste: 10,000001 K . A) 0,01 B) 0,001 C) 0,0001 D) 0,00001 E) 0,000001

Resolução: Quantidade de calor envolvida:

Q C

400 4

100K

Dilatação da haste L L

6 2 410 10 10 L L L

Considerando a compressão isotérmica, temos: i i f fP V P V

410 i fP A L P A L L

41 10 i fP P

41 10 i

f

P

P

Q u e s t ã o 3 0

26

41 10 i

f

P

P

410f i

f

P P

P

Alternativa C O processo de deposição de filmes finos de óxido de índio-estanho é extremamente importante na fabricação de semicondutores. Os filmes são produzidos por pulverização catódica com radiofrequência assistida por campo magnético constante. Considere as afirmativas abaixo: I. O índio é um mau condutor de eletricidade. II. O raio atômico do índio é maior que o do estanho. III. A densidade do índio é menor que a do paládio. IV. O ponto de fusão do índio é maior que o do gálio. Analisando as afirmativas acima, conclui-se que A) todas estão corretas. B) apenas a II e a III estão corretas. C) apenas a II, a III e a IV estão corretas. D) apenas a I e a III estão corretas. E) apenas a IV está correta. Resolução: I. Falso. O Índio é um metal com boa capacidade condutora II. Verdadeiro. A efZ do Sn é maior que a efZ do In .

III. Verdadeiro. Pela posição na tabela e pela massa é possível estimar que a densidade do paládio é maior. IV. Verdadeiro. Excetuando 1A e 2A , o ponto de fusão cresce nas família de cima para baixo. Alternativa C Identifique a alternativa em que a configuração eletrônica da espécie química representada, em seu estado fundamental, é dada por:

[Ar] __ __ __

4s 3d 4p

1 18

2 13 14 15 16 17

Li Be B C N O F

Na Mg 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Al Si P S Cl

K Ca Cu Zn Ga Ge As Se Br

Rb Sr Ag Cd In Sn Sb Te I

Cs Ba Au Hg Tl Pb Bi Po At

Fr Ra

A) Cu+ B) Sn2+ C) Cd D) Ge2+ E) Zn+

Q u e s t ã o 3 1

Q u e s t ã o 3 2

27

Resolução: A espécie é do 4º período

2 1032

2 2 10 232

Ge [Ar] 4s 3d

Camada de valência

Ge [Ar] 4s 3d 4P

Alternativa D Assinale a alternativa correta. A) O DNA é formado pela combinação dos aminoácidos adenina, timina, citosina e guanina. B) Os sabões são obtidos a partir de hidrólises alcalinas de glicídios. C) As proteínas se caracterizam por sua estrutura helicoidal, responsável pela enorme gama de funções bioquímicas

desempenhadas por estas macromoléculas. D) O sistema R-S de designações estereoquímicas, largamente empregado na nomenclatura de carboidratos ainda

hoje, toma como referência básica a configuração absoluta de um dos isômeros daglicose. E) Os monossacarídeos podem sofrer reações intramoleculares de ciclização, gerando estruturas com anéis de seis

membros (piranoses) ou de cinco membros (furanoses). Resolução: A) Falso. Adenina, timina, citosina e guanina são bases nitrogenadas e não aminoácidos. B) Falso. Os sabões são obtidos a partir da hidrólise alcalina de lipídios saponificáveis e não carboidratos (glicídios). C) Falso. As proteínas não apresentam necessariamente uma estrutura helicoidal. D) Falso. O sistema R-S ou sistema Cahn-Ingold-Prelog baseia-se num conjunto de regras para definir as configurações de cada

carbono assimétrico. No sistema antigo para designar as configurações R-S relacionava as configurações estereoquímicas conhecidas dos compostos com um padrão escolhido aleatório, esse padrão era o gliceraldeído.

E) Verdadeiro.

Alternativa E

Q u e s t ã o 3 3

28

A escolha de um indicador eficaz deve ser feita de acordo com a natureza do ácido e da base utilizados em uma titulação. As substâncias que atuam como indicadores ácido-base são corantes que mudam de cor em faixas estreitas de pH e, na maioria das vezes, são ácidos fracos. Dado um indicador HA, um ácido monoprótico fraco, verifica-se que sua cor no estado não-ionizado é nitidamente diferente da cor de sua base conjugada A−. Se o indicador estiver em meio suficientemente ácido, o equilíbrio desloca-se de acordo com o princípio de Le Chatelier e a cor predominante é a da forma não-ionizada, HA. Em meio suficientemente básico, ocorre o inverso, ou seja, o equilíbrio desloca-se de modo a prevalecer a cor da base conjugada A−. Considere que, de modo aproximado, possam ser utilizados os seguintes quocientes entre concentrações para prever a cor que o indicador vai apresentar:

[HA]10 (predomina a cor de HA)

[A ]

[HA]0,1 (predomina a cor de A )

[A ]

Com base nestes dados, e sabendo que HA tem constante de ionização igual a 4,0 x 10−10, é coerente afirmar que o indicador HA (Dado: log 4 = 0,6) A) é adequado para uma titulação de HClO4 0,10 M por NaOH 0,10M. B) é adequado para uma titulação de NH3 0,10 M por HCl 0,10M. C) muda de cor quando a solução em que se encontra muda de ácida para básica ou vice-versa. D) quando se atinge pH = 10,4, inicia-se a transição de cor em uma titulação de NaOH por CH3COOH. E) quando o pH é igual a 8,0, prevalece a cor de A− em uma titulação de NaOH por CH3COOH. Resolução: pka (indicador) = 9,4 zona de viragem: 8,4 - 10,4

Durante a tituliação de NaOH, o ph começa a diminuir, ao atingir 10,4 tem-se o início da zona de viragem. Alternativa D Em 33,65 g de um sal de magnésio está presente 1 mol deste elemento. Sendo trivalente o ânion deste sal, é correto afirmar que a massa de 1 mol do ânion é (Massa molar: Mg = 24,31 g/mol) A) 6,23 g B) 14,01 g C) 24,31 g D) 42,03 g E) 48,62 g Resolução: Como na massa de 33,65 g do sal há 1 mol de Mg, teremos:

( ) ( )

( )

( )

33,65 24,31

9,34 g

sal Mg A

A

A

m m m

m

m

Q u e s t ã o 3 4

Q u e s t ã o 3 5

29

________ ________

________ _______

2

_

3 3 2

3 mols 2 mols

3 3

1 mol 2 / 3 mol

Mg A Mg A

MM

Cálculo da massa molar de A : ________

________

9,34g2/3 mol

1 mol

14,01 g/molA

A

A

MM

MM

Alternativa B O composto A sofre hidratação em meio ácido gerando um álcool, que por sua vez é oxidado com ácido crômico produzindo a cetona B. Esta cetona também pode ser produzida a partir do composto C através de ozonólise seguida de hidratação. Entre as alternativas abaixo, a única que pode corresponder aos compostos A, B e C, respectivamente, é A) eteno; acetona e 2,3-dimetil-but-2-eno. B) o-xileno; benzofenona e anilina. C) 1,2-difenil-eteno; benzofenona e 1,1-difenil-eteno. D) estireno; acetofenona e 1,1-difenil-2-metil-propeno. E) but-2-eno; butanona e 3,4-dimetil-hex-3-eno Resolução:

2 2 4

3

2

cetona

1

2

Álcool 2ºH O H CrO

H

O

H O

A B

C B

A) Falso. Hidratação do eteno produz álcool 1º. B)

C)

D)

Q u e s t ã o 3 6

30

E)

Alternativa E A reação abaixo descreve a formação do hipoclorito de sódio:

2 HC O NaOH NaC O H O É teoricamente possível obter os reagentes por meio da A) reação do anidrido hipocloroso com água e da reação do óxido de sódio com água. B) reação do anidrido perclórico com água e da reação do sódio metálico com água. C) reação do dióxido de cloro com água e da reação do anidrido sódico com água. D) eletrólise do clorito de sódio em meio aquoso. E) reação do ácido clorídrico com água e da reação do cloreto de sódio com água. Resolução:

2 2

2 2

Cl O H O 2 HClOReagentes em questão

Na O H O 2 NaOH

Alternativa A Um sistema A transfere, naturalmente, uma determinada quantidade de energia, na forma de calor, para um sistema B, que envolve totalmente A. Assinale a única alternativa correta. A) A entropia do Universo decrescerá. B) A entropia do sistema A crescerá. C) O aumento da entropia do sistema B será maior do que o decréscimo da entropia do sistema A. D) O aumento da entropia do sistema B será menor do que o decréscimo da entropia do sistema A. E) O aumento da entropia do sistema B será necessariamente igual ao decréscimo da entropia do sistema A. Resolução:

(Total) (B) (A)ΔS ΔS ΔS 0

ou

(B) (A)ΔS ΔS

ou

(A) (B)ΔS ΔS

Logo a letra C é a mais correta. Alternativa C

Q u e s t ã o 3 7

Q u e s t ã o 3 8

31

Uma amostra de 59,6 g de biodiesel (CxHyOz) passa por um processo de combustão completa no recipiente 1 conforme a representação a seguir.

Nesse processo foram admitidos 264,0 g de oxigênio, sendo rejeitados, na forma de oxigênio não consumido, 88,0 g. Observou-se ainda, no recipiente 2, um acréscimo de massa de 68,4 g e no recipiente 3, um acréscimo de massa de 167,2 g. A alternativa que apresenta a fórmula molecular do biodiesel compatível com as informações apresentadas anteriormente é (Massas molares: H = 1 g/mol; O = 16 g/mol; C = 12 g/mol) A) 20 36 2C H O B) 19 38 2C H O C) 16 28C H O D) 19 28 4C H O E) 16 22 4C H O

Resolução:

Recepiente 2: Absorve 2 : 68,4 H O m g

21 2

18 g 2 g

264 g

7,6 gH

H

H O H

m

m

Recipiente 3: Absorve 2 : 68,4 CO m g

21 1

44 g 12 g

68,4 g

45,56 gC

C

CO C

m

m

Logo, a massa será = 6,4 g = 59,6 - ( H Cm m )

Cálculo do número de mols de C, H e O.

9,5 19

45,56 / 12 3,8

7,6 / 1 7,6 Dividido tudo por 0,4

6,4 /16 0,4

: 9,5

:19

:1

MC

MH

MO

C

H C H O

O

Multiplicando tudo por 2, teremos: 19 38 2C H O .

Alternativa B Um sistema é composto por dois balões idênticos resistentes, porém não inquebráveis, A e B, os quais estão conectados por meio de um tubo, também resistente, no qual se encontra uma válvula, tipo torneira. Este sistema encontra-se perfeitamente isolado termicamente do universo. Inicialmente as condições do sistema são as seguintes: temperatura constante; a válvula encontra-se fechada; o balão A contém um mol de um gás ideal monoatômico; e o balão B encontra-se perfeitamente evacuado. No tempo t = 0, a torneira é aberta repentinamente, permitindo que o gás ideal se expanda em direção ao balão B por um orifício pequeno. Indique qual das alternativas abaixo é a correta. A) O balão B quebrar-se-á devido ao impacto do gás ideal, liberado bruscamente, contra sua parede. B) O trabalho gerado pela expansão do gás aquecerá o sistema. C) O gás em expansão absorverá calor da vizinhança fazendo o sistema se resfriar. D) O valor da variação da energia interna U da expansão será igual a zero. E) Na expansão, a variação da energia interna U do sistema será menor que zero.

Resolução:

Expansão livre 0 ( ) 0 (vácuo)

0f i

f i

W W P V P

T T U

P P

Alternativa D

Q u e s t ã o 3 9

Q u e s t ã o 4 0

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Matemática Fausto Miola

Física

Anderson Cícero Vinícius

Química

Luís Cícero Welson

Colaboradores

Aline Alkmin José Diogo

Digitação e Diagramação

Daniel Alves Cristiane Santos Érika Rezende Márcia Santana Marcos Ferreira

Desenhistas Luciano Barros Rodrigo Ramos

Projeto Gráfico Vinicius Ribeiro

Assistente Editorial

Valdivina Pinheiro

Supervisão Editorial José Diogo

Rodrigo Bernadelli Marcelo Moraes

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