C53. M = "261. (a) A distância mínima é V5/2.

(b) A menor distânciaé a partir do ponto (312,O)até o ponto (1,1) no gráfico de y = vs:,o que ocorre no valor de x = 1,onde D(x), o quadrado da distância, tem seu valor mínimo.

y,D(x)

2.5D(x)

0.5 2,5

63. (a) V(x) = V;e7T~7T-xy Ja2 - e7T~7T-xy

4V6 4V3(b) Quandoa = 4: r = ~,h = ~; quandoa = 5: r =

5V6 5V3 . Ir . r;:;- h = -' quando a = 6' r = 2 v 6 h = 2 v ,j3'

3 ' 3 ' . , ,8V6 8V3

quandoa = 8:r = ~' h = ~aV6 aV3 - r . r;:;

(c) Uma vez que r = ~ e h = ~' a relaçao é li= v 2.

Seção 3.6, p. 298-3011. lOx- 13 3. L(x)= 2

5. L(x) = x - 7T

7. fiO) = 1.Portanto,f'(x) = k(1 + x)k-1,entãof'(O) = k. Issosignifica também que a linearização em x = Oé L(x) = 1 + kx.

9. Centro= -1, L(x) = -5

x 1 4x 911. Centro= 1,L(x) = 4 + 4' oucentro= 1,5,L(x)= 25 + 25

13. (a) 1,01

15. (3X2 - -1- )dx2VS:

(b) 1,003

17. (a) (2x Inx + x) dx

1-y

19. \IV dx3 y +x.23. (1 + x)e' dx

25. (a) 0,21

27. (a) -2/11

29. 47Ta2dr

21. (a) dy =(cos x)esenx dx

(b) 0,2

(b) -1/5

(c) 0,01

(c) 1/55

31. 3a2dx

(b) 2%33. (a) 0,087T m2

35. dV"" 565,5 pol3

Respostas 631

137. 3% 39. 0,05%

41. O raio é igual a 37,87, portanto uma mudança na aceleraçãodagravidade da Lua tem aproximadamente 38 vezes o efeito queuma mudança de mesma magnitude na Terra.

47. (a) L(x) = 1 + (1n2)x "" 0,69x+ 1

Seção3.7. p. 307-309. 5 13 51 5.763

1. X2 = -3' 2T 3. X2= -31' 4.945

7. XI e as aproximações seguintes serão iguais a x.

9. y

~-~ ~ x

{-{;.x;,oy= ~.x<o

11. Os pontos de intersecção de y = K e y = 3x + 1 ou Y = K -3x e y = 1 têm os mesmos valores de x conforme as raízes doitem (i) ou as soluções do item (iv).

15. 1,165561185

17. (a) Duas(b) 0,35003501505249 e -1,0261731615301

19. :t 1,3065629648764, :t0,5411961O01462

21. O, 0,53485

23. A raiz é 1,17951.

25. (a) ParaXo= - 2 ou Xo= -0,8, Xi~ -1 quando i aumenta.(b) Para Xo= -0,5 ouXo = 0,25,Xi ~ Oquandoi aumenta.(c) Paraxo = 0,8 ou Xo= 2, Xi~ l~ando i aumenta.(d) Paraxo = -V2l/7 ouxo = \/21/7, o método de Newton

não converge. Os valores de Xi variam entre - V2l/7 eV2l /7 quando i aumenta.

27. As respostas variarão com a velocidade da máquina.

29. 2,45,0,000245

Capitulo3 Exercíciosde Fixação,p. 310-313

1. Valor mínimo global de tem x = 2

3. (a) [-3, -2] e [1,2](b) [-2, O)e (O,1](c) Máximos locais em x = -2 e x =2; mínimos locais em x

= - 3 e x = 1 (dado que f seja contínua em x = O).5. Não

7. Sem mínimo,máximoabsoluto:1(1) = 16, pontoscríticos:x=le.!l

39. Sim 11. Não

13. (b) Uma 0,855599677215. (b)

Capítulo 3 ExercíciosAdicionais, p. 313-3161. Se M e m são os valores máximo e mínimo, respectivamente,

então m s; f(x) s; M para todo x E I. Se m = M, então f é con-stante em I.

3. Os pontos extremos não estarão na extremidade aberta de umintervalo aberto.

5. (a) Um mínimo local em x = -I, pontos de inflexão em x = Oex = 2

(b) Um máximo local em x'= Oe mínimos locais em x = -I

2 d'

fI - 1:tV7ex= ,pontos em exaoemx=~

11. a = I, b = O,c = I 13. Simh

15. Perfure o buraco em y = "2

RH17. r = 2(H - R) para H > 2R, r = R para H $ 2R21. (a) 0,8156 pé

(b) 0,00613 s(c) Perderá em torno de 8,83 min/dia.

25. (b) 610

CAPíTULO4 INTEGRAÇÃO

Seção 4.1, p. 323-326

1. (a) 3r (b) X88

X8

(c) 8 - 3r + 8x

x4 I(c) - + -

4 2x2I

3. (a) 2x1

(b) - 4X2

5. (a) r/3 (b) Xl/3

(b) 2 tg (~)

(c) X-1I3

2

(3X

)(c) -3tg 27. (a) tg x

,x-9. "2 + x + C

13 - -x + ~ + C. e In 4

I 417. "7y + li4 + CY

11. ln Ix I- 5 arc tg x + C

415. 2 are seny - 3l14 + C

19. 2Vt - ~+ C

621. -21 cos3 + C

25. -cos 6 + 6 + C

23. tg 6 + C

d

(X2

)2x X2

31. (a) Errada: dx "2 sen x + C = 2 sen x + "2 cos x =X2

x sen x + "2 cos xd

(b) Errada: dx (- x eos x + C) = - eos x + x sen xd

(c) Certa: dx (-xcosx + senx + C) = -cosx + xsenx +eos x = x sen x

33. (b) 35. y = r - 7x + 10

37. y = 9XI/3+ 4

41. v = 3 are sec t - 7T

39. s = sen t - COSt

43. Y= r - K + 4x + I

45. y = K - 4X2 + 549. s = 16t2 + 20t + 5

I53. y = x - X4/3+ "2

57. 48 m/s

Respostas 633

47. s = 4,9r + 5t + 1051. y = 2K/2 - 50

55. y = - sen x - eosx - 2

8859. t = k' k = 16

61. (a) v = IOt3/2- 6t 1/2(b) s = 4t5/2- 4t3/2

65. (a) i: 33,2 unidades; ii: 33,2 unidades; iii: 33,2 unidades(b) Sim, é verdade

Seção 4.2, p. 333-334

1. -i cos 2r + C

5. -6(1 - r3 )1/2 + C

7. t(K/2 - 1) - i sen (2K/2 - 2) + C

I9. (a) -4 (cotg226) + C

11. -t (3 - 2S)3/2+ C

15. -t (7 - 3/)3/2 + C1

19. 3tg (3x + 2) + C

23. -~COS (K/2 + I) + C

227. -3 (cotg3y)1/2+ C

31. In I2 - eos t I+ C

I1

5X

I35. V2arc sec V2 + C

39. arc tg (eX) + C

641. (a) - 3 + C

2 + tg x6

(c) - 2 + C2 + tg x

43. isen V3(2r - 1)2+ 6 + C

.47. s = 4t - 2 sen (2t + ~) + 9

51. s = sen (2t - I)+ 1O0t + 1

53. y = 2(e-X + x) - 1

27T

57. y = arc sec (x) + 3' x> I

63. (a) arc sen (~) + C

V3 (\13X

)(b) Taretg ~ + C

3. -(7x - 2)-4 + C

I(b) -4 (cosec226) + C

13.-2

3 +C-x

17. 4eY.; + C

21. -e"t + C

I25. 2 cos (2t + 1) + C

I29. "2 In I2x - 1 I+ C

133. "2are sen (2x) + C

I37. 3 arc tg (3x + 1) + C

(b) 6 3 + C2 + tg x

45. s = ~ (3t2 - 1)4 - 5

49. y = 1 - cos (e' - 2)

55. y = arc sen (x)

59.6m

634 Respostas

Seção4.3, p. 342-3451. = 44,8, 6,7 11m

3. (a) 87 pol

5. (a) 3.490 pés

(b) 87 poI

(b) 3.840 pés

(b) 6%

(b) 9%

(b) ElTo = 11%

(b) 20%

7. (a) 807T

9. (a) 9;7T,superestimada11. (a) II8,57Tou = 372,28 m3

13. (a) ]07T,subestimada

15. (a) 74,65 pésls

17 11. ]6

(b) 45,28 pésls (c) 146,59 pés

19. I

21. (a) Superestimado = 758 gal, subestimado = 543 gal(b) Superestimado = 2.363 gal, subestimado = 1.693 gal(c) =3],4h,=32,4h

(b) 2v2 = 2,82823. (a) 2

(c) 8sen(i) =3,061(d) Cada área é menor que a área do círculo, p. Quando n au-

menta, a área do polígono se aproxima de 7T.

Seção 4.4. p. 355-3566(1) 6(2)

1. 1+1 + 2 + 1.= 7

3. cos (l7T) + cos (27T) + COS(37T) + COS(47T) = O

7T 7T \13-25. sen 7T- sen 2" + sen"3 = ~

7. (a) (b)(2.3)

(2.3)

f(x)=,'-I.0~x52

Esquerda

C]

~=}é2.

C3r=1 c 2

.".. ' 4

-lf_'.tU

c]c,=lc,C4=2

-I

(c)(2,3)

9. (a)

f(x) =senx.-1t5x 5 1tEsquerda

c =1tI

1t

(b) y

f(x) =senx.

I-1t 5x5 1t

Direita1

~I)

-N/. =0 c, c, =1t

~--- -11 .

(c)

-1t' .L-

11. f02 X2 dx

15. Ia' V 4 - X2dx

17. Área = 2] unidades quadradas

13. f7 (X2- 3x) dx

~=++~4 ,.

2G'=++3)

-3 -2 -I

19. Área = 2,5 unidades quadradas

y

1,5

(y= Ixl!

0.5

-2 -1,5 -I -<J.5 0.5

. 2, b21. Area = - unidadesquadradas2

2b. -- -- - -- - -- -- - - - -- -- ---

(y=2x)

2a.----

23. m(f) = 1/227. (a) O

(d) 10

29. (a) 5(c) -5

31. (a) 4

25. m(j) = 1T/4

(c) -12(O 16

(b) 5V3(d) -5

(b) -4

(b) -8

(e) -2

33. a = Oe b = 1 maximizam a integral.

37. Limitesuperior= 1; limite inferior = 1/2

39. 37,5 mifh

Seção 4.5. p. 365-3681. 6 3. 1

7. O5. 1T

9. 21T33

13.e-12

1116\12 - 17

. 48

15. (cosYÍx{2~)

19. ví+717. 4t5

21. _~x-lf2senxeX+1

23. 2133x

27. 7!.+ sen 22

25. O

29. Y = J sec t dt + 32

31. Y = 1 - cos (el - 2)

2833. "337. 1T

35. 8

39. (a) $9,00 (b) $10,00

I

ds d I41. (a) u = dI = di f(x) dx =f(t) ==}u(5) = f(5) = 2 mlso

(b) a = ~ é negativa, uma vez que o coeficiente angular de

uma reta tangente em t = 5 sejanegativo.3

(c) s = If(x) dx = ~ (3)(3) = ~ m, uma vez que a integral se-o

ja a área do triângulo formado por y = f(x), pelo eixo x epor x = 3.

(d) Em t = 6, uma vez que depois de t = 6 a I = 9 a região sesitue abaixo do eixo x.

(e) Em t = 4 e 1= 7, uma vezqueexistam tangenteshorizontais.(O Em direção à origem entre t = 6 e t = 9, uma vez que a

velocidade seja negativa nesse intervalo. Fora da origementre I = Oe t = 6,umavezquea velocidadesejapositiva.

(g) À direita ou do lado positivo, porque a integral de f de Oa9 é positiva, sendo maior a área acima do que abaixo doeixox.

8

43. I1T(64 - X2) dx = 3201T4 3

45. 2x - 2 47. -3x + 5

Respostas 635

49. (a) Verdadeira, uma vez que f seja contínua, g é derivávelpela Parte 1 do Teorema Fundamental do Cálculo.

(b) Verdadeira: g é contínua porque é derivável.(c) Verdadeira, uma vez que g'(1) = f(1) = O.(d) Falsa, uma vez que g"(1) = l' (1) > O.(e) Verdadeira, uma vez que g'(1) = Oe g"(l) = 1'(1) > O.(O Falsa: g"(x) = 1'(x) > O,portanto g" nunca muda de sinal.(g) Verdadeira, uma vez que g'(l) = f(l) = Oe g'(x) = f(x)

seja uma função crescente de x (porquel' (x) > O).

51. (a) 1256 (b) h = 254 (d) ~ bh

Seção 4.6, p. 374-37614

1. (a) "3

3. (a) 2

(b) ~3(b) 2

(b) 185. (a) O

7. (a) O

19. "6

13. e-I

(b) O

111. "515. I

17. y(t) = ~ (3 - tg (1Te~(»

21 ~. 15

19. 7!.2

23. 383

(b) 71325. (a) 6

27. (a) O (b) ~3

29. 323

33. 8

831. :335. 4

37. 4 - 1T1T

39. 1

41. 323

Seção 4.7, p. 384-388

1. I: (a) 1,5,O (b) 1,5,O11: (a) 1,5,O (b) 1,5,O

3. I: (a) 2,75,0,08 (b) 2,67,0,0811: (a) 2,67, O (b) 2,67, O

5. I: (a) 6,25,0,5 (b) 6,0,2511: (a) 6, O (b) 6, O

7. I: (a) 0,509,0,03125(b) 0,5,0,009(c) 0,018 = 2%

11: (a) 0,5004, 0,002604(b) 0,5,0,0004(c) 0,08%

9. I: (a) 1,8961,0,161(b) 2,0,1039(c) 0,052 = 5%

(c) 0%(c) 0%(c) 0,0312 = 3%(c) 0%(c) 0,0417 = 4%(c) 0%

636 Respostas

11: (a) 2,00456, 0,0066(b) 2,0,0046(c) 0,23%

11. (a) 0,31929(b) 0,32812

I(c) 3,0,01404,0,00521

13. (a) 1.95643(b) 2,00421(c) 2.0,04357, -0,00421

15. 15,990 pés3

17. 1,032 mi ou 5.443,5 pés

19. = 10,63pés

21. 4, 4

23. (a) SIO= 0,8427

(b) IE 1

~ I - O(O 1)412 = 67 X 10-6, 180' ,

25. (a) f"(x) = 2 cos (.r) - 4.r sen (X2)

(b)

3<::r (x) = -4x' scn(x') + 2 cos(r)

(c) o gráfico mostra que - 3 ~ f"(x) ~ 2 para -I ~ x ~ l.1-(-1) h2

(d) 1 ET 1 ~ 12 (h2)(3) = 2h2 012

(e) 1 ET 1 ~ - ~ -'- < 0,012 2

(O n:2: 20

27. Sso = 3,1379, SIOO= 3,14029

29. 1,37076

31. (a) TIO= 1,983523538;TIOO= 1,999835504, Tl.ooo=1,999998355

(b)n

10

100

1.000

1 ET I= 2 - Tn

0,016476462 = 1,6476462 X 10-2

1,64496 X 10-4

1,645 X 10-6

(c) IET"",1= 10-21 ET" I

7T2(d) b - a = 7í, h2= 2; M = In

(2

)7T37T 7T --

IET" I~ 12 -;? - 12n 2

3

IE I< 7T = 10-2 1

E IT"", - 12(lOn)2 T"

Capítulo 4 Exercícios de Fixação, p. 389-393

1. f + % X2 - 7x + C 3. 2,'12 - ~ + C

5. - I + C 7. - (2 - ()2)312+ C2(r2 + 5)

9. -cos e' + C

13. -[In 1 cos (ln v) I] + C

17. -cotg (1 + In r) + C

21. (a) Aproximadamente 680 pés

(b) h (pés)~

700

600

soo400300200100

s

23. I(2x - 1)-1/2 dx = 21

27. (a) 4(d) -27T

29. 16

(b) 2(e) 8/5

33. I

37. 1/6

41. 9/14

45. -I

49. I

53. 8/3

57. I

61. 7T2 + V232 2 - I

65. Mín.: -4; máx.: O;área: 27/4

69. r = 4(-'/2 + 4p/2 - 8t

75. (a) b

79. V2 + COS3x

83. T = 7T,S = 7T

11. tg (e' - 7) + C

I x15. "2x - sen "2+ C

I x'19. 2 In 3 (3 ) + C

1(5)

o

25. Icos ~ dx = 2

(c) -2

31. 15/16 + ln 2

35. 8

39. 2V2 - 2

43. 7T/Y3

47. 7T/12

51. Y3 7T/4

55. 62

59. 1/6

63.4

I67. y = x - X - I

73. y = J (se~ t) dt - 3(b) b

81.~3 + X4

87. custo = $12.518,10 (Regra do Trapézio); não

85. 2SOF

89. Sim 91 y = Ix sen t dt + 3. t

s

93. (a) O

(c) -7T(e) y = 2x + 2 - 7T

(g) [-27T, O]95. 600, $18,00

(b) -1(d) x = 1(O x = -1, x = 2

97. 300, $6,00

Capítulo 4 ExercíciosAdicionais,p. 393-3951. (a) Sim (b) Não5. (a) 1/4 (b) Vi2

7. f(x) = x 9. y = y + 2x - 4v?+I11. 36/5 13. 1 - 2

2 7iy

y =x2l)

.1'=/

-8 -4x

-4.I'=-4

-I

15. 13/3

-----.1'=2

, x2-2 -I

17. 1/2sen 4y sen y21 - --

. 0 20

19. 2/x

CAPíTULO5 APLICAÇÕESDEINTEGRAIS

Seção 5.1, p. 405-4101. (a) A(x) = 7T(1- r)

(c) A(x) = 2(1 - X2)

3. 16

(b) A(x) = 4(1 - X2)(d) A(x) = V3(1 - r)

5. (a) ~2

7. (a) 2V3

(b) 27T

(b) 8

9. 87T

11. (a) S2!J (b) S2!J

15. 4 - 7T13. 27T13

17. 327T/5 19. 367T

23. 7T(i + 2V2- 131)27. 27T

21. 7T

25. 27T

29. 37T 31. "r - 27T

33. 27T/3 35. I I77T/5

Respostas 637

37. 7T(7T- 2)

41. 87T

45. (a) 87T

(c) 87T/3

47. (a) 167T/1549. V = 2a2b"r

39. 47T/3

43. 77T/6

(b) 327T/5(d) 2247T/15

(b) 567T/15 (c) 647T/BI5

51. (a) V = 7T!J2(3; - !J)

55. V = 3.308 cm357. (a) c = 27T

(c)

1(b) 1207Tm/s

(b) c = O

,,'12

v =" (c'1<+ T -4C)

2/R

59. (a) 2,3,1,6,1,5,2,1,3,2,4,8,7,0,9,3,10,7,10,7,9,3,6,4,3,26

(b) 4~ f (C(y»2 dyo

(c) = 34,7 pol3(d) V = 34,75 pol3 pela Regra de Simpson. A estimativa da

Regra de Simpson deve ser mais precisa que a estimativapela Regra do Trapézio. O erro na estimativa de Simpson éproporcional a !J4= 0,0625, enquanto o erro na estimativado trapézio para !J2= 0,25, um número maior quando !J =0,5 pol.

Seção 5.2, p. 414-4161. 67T5. 147T/3

9. 57T/6

3. 27T7. 87T

11. 7T( 1 - t)15. 1~; (3V2 + 5)19. 47T/3

13. (b) 47T

17. 87T/321. 167T/323. (a) 67T/5 (b) 47T/5

(c) 27T (d) 27T

25. (a) Em tomo do eixo x: V = 27T/15,em tomo do eixoy: V = 7T/6(b) Em tomo do eixo x: V = 27T/15,em tomo do eixo y: V = 7T/6

27. (a) 57T/3 (b) 47T13

(c) 27T (d) 27T/329. (a) 47T/15 (b) 77T13031. (a) 247T/5 (b) 487T/533. (a) 97T/16 (b) 97T/16

Seção 5.3, p. 422-4241. 12 3. 53/65. 123/32 7. 99/89. 2 11. 27Ta

13. e3+ 2 15. V2(e""- I)17. Sim,f(x) = :tx + C,ondeCé qualquernúmeroreal,de(1, I)

a(4,2).