· Agradecimentos ADeus,pelasuapresençaemtodososmomentosdeminhavida,sendosuportee forçaaolongodestacaminhada. Aos meus pais João Leandro Bezerra e Antonia Maria da

Érica Leandro Bezerra

𝐺𝑆2: um Gráfico de Controle por atributosno monitoramento da variabilidade de processos

São Paulo2017



Dissertação apresentada à Escola Politécnicapara obtenção do título de Mestre em Ciên-cias

Universidade de São Paulo – USP

Escola Politécnica

Programa de Pós-Graduação em Engenharia da Produção

Orientador: Profa. Dra. Linda Lee Ho

São Paulo2017

Catalogação-na-publicação

Bezerra, Érica Leandro Gs2: um Gráfico de Controle por atributos no monitoramento davariabilidade de processos / . L. Bezerra -- São Paulo, 2017. 96 p.

Dissertação (Mestrado) - Escola Politécnica da Universidade de SãoPaulo. Departamento de Engenharia de Produção.

1.Controle Estatístico do Processo 2.Gráfico de Controle S2 3.Gráficode Controle por Atributos 4.Algoritmos Genéticos I.Universidade de SãoPaulo. Escola Politécnica. Departamento de Engenharia de Produção II.t.



Dissertação apresentada à Escola Politécnicapara obtenção do título de Mestre em Ciên-cias

Aprovado em:

Banca Examinadora

Prof. Dr.Julgamento:

Instituição:Assinatura:





São Paulo2017

Agradecimentos

A Deus, pela sua presença em todos os momentos de minha vida, sendo suporte eforça ao longo desta caminhada.

Aos meus pais João Leandro Bezerra e Antonia Maria da Conceição Bezerra (inmemorian), exemplos de vida que despertaram em mim o amor pelo aprendizado.

Às minhas irmãs Lílian Leandro Bezerra e Camila Leandro Bezerra pelo apoio ecompreensão nos momentos difíceis.

À Profa. Dra. Linda Lee Ho pela orientação e incentivo na elaboração do trabalho.Agradeço imensamente pela sua disposição e paciência em me orientar, contribuindo parao meu desenvolvimento acadêmico.

Aos professores e funcionários do Departamento de Engenharia de Produção, emespecial à Lidia Nogueira da Silva.

Ao Centro Tecnológico da Marinha em São Paulo pela oportunidade de realizaçãodo mestrado, em especial ao Vice-Almirante (RM1-EN) Carlos Passos Bezerril, Contra-Almirante (EN) André Luis Ferreira Marques, Contra-Almirante (RM1-EN) Luciano Pa-gano Junior pela autorização; Capitão de Mar e Guerra (RM1-EN) Ana Maria Vaz deAraújo, Eng. Percy Normanton Junior e Eng. Waldomiro Luiz Rios de Mello pelo apoioà realização deste trabalho.

Ao Capitão de Mar e Guerra (IM-REF) Servio Gama de Almeida (in memorian),Capitão de Mar e Guerra (REF) Emmanuel Gama de Almeida, Capitão de Mar e Guerra(RM1) Ricardo Otavio Samça Pelegrini e Eng. Dirceu Paulo de Oliveira pelo acolhimentoe incentivo ao meu desenvolvimento profissional nesta Instituição.

A todos os militares e civis do Centro Tecnológico da Marinha em São Paulo quede alguma forma incentivaram para que o trabalho fosse concluído.

Aos amigos e familiares, em especial Fabiana Ghiringhello e Daniel Ghiringhello,que me incentivaram para que concluísse mais essa etapa em minha vida.

“ Toda a sabedoria vem do Senhor Deus, ela sempre esteve com ele. Ela existe antes detodos os séculos.“

(Bíblia Sagrada, Eclesiástico, 1, 1)

Resumo

Quando há interesse em monitorar a variância de uma característica daqualidade de interesse através de gráfico de controle por variáveis, o gráfico 𝑆2 éa alternativa mais usual. Entretanto, há situações onde mensurar a característicada qualidade é caro, consome mais tempo por unidade de inspeção, requer maioresforço dos operadores quanto à obtenção dos dados ou envolve ensaios destrutivos.Nestes casos, a classificação da variável contínua em categorias através de um dis-positivo torna-se uma alternativa interessante. A avaliação pode ser mais rápida, aanálise e o equipamento utilizado podem ser mais simples, de modo que o custo finalda inspeção seja menor. O objetivo do trabalho é propor um gráfico de controle poratributos para monitoramento da variabilidade. Para tanto a estatística 𝐺𝑆2 é cal-culada e gráfico sinaliza se 𝐺𝑆2 > 𝐿𝐶, 𝐿𝐶 limite de controle determinado de modoque minimize o 𝐴𝑅𝐿1, fixado um valor de 𝐴𝑅𝐿0. Como resultado a performancedo gráfico 𝐺𝑆2 é comparada ao gráfico 𝑆2 em termos de 𝐴𝑅𝐿1.

Palavras-chaves: Gráfico de Controle 𝑆2; Gráfico de Controle por Atributos; Al-goritmo Genético.

Abstract

In cases aiming at monitoring the variance of a products quality character-istics using a variable control chart, chart 𝑆2 is the most used alternative. However,in some situations, this solution can be expensive, demand more time per individ-ual inspected unit, demand greater efforts from operators to acquire data or involvedestructive tests. In such cases, the use of a gauge measurement tool to classify thecontinuous variable into categories, becomes an interesting alternative. The assess-ment can be faster, the analysis and the tool used can be simple, resulting in lesscostly final inspections. This work proposes the use of an attribute control chartto monitor variability. Statistics 𝐺𝑆2 is calculated and control chart signalize if𝐺𝑆2 > 𝐶𝐿, whereas 𝐶𝐿 is the determined control limit, minimizing 𝐴𝑅𝐿1 for afixed value of 𝐴𝑅𝐿0. 𝐺𝑆2 control chart performance is compared to 𝑆2 chart basedon 𝐴𝑅𝐿1.

Key-words: 𝑆2 Control Chart; Attribute Control Chart; Genetic Algorithm.

Lista de ilustrações

Figura 1 – Modelo de dispositivo de classificação. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29Figura 2 – Processo de classificação de Stevens. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

Figura 3 – Modelo de dispositivo de classificação com dois limites. . . . . . . . . . 37Figura 4 – Cálculo da estatística 𝐺. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

Figura 5 – Procedimento de um Algoritmo Genético. . . . . . . . . . . . . . . . . 45Figura 6 – Procedimento do Algoritmo Genético NSGA-II. . . . . . . . . . . . . . 46Figura 7 – Valores de 𝐴𝑅𝐿1 para o gráfico 𝐺𝑆2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48Figura 8 – Razão do custo médio por unidade de inspeção para o gráfico 𝐺𝑆2 vs 𝑆2. 63Figura 9 – Gráfico de Controle 𝐺𝑆2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

Lista de tabelas

Tabela 1 – Parâmetros do gráfico 𝐺𝑆2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

Tabela 2 – Procedimento para determinar o vetor de valores ótimos 𝑣 . . . . . . . 44Tabela 3 – Limites dos parâmetros do gráfico 𝐺𝑠2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47Tabela 4 – Valores do gráfico 𝐺𝑠2 para 𝑛 = 5 e 𝛿2 = 1.22 (Grid) . . . . . . . . . . 48Tabela 5 – Valores do gráfico 𝐺𝑠2 para 𝑛 = 5 e 𝛿2 = 1.22 (NSGA-II) . . . . . . . . 49Tabela 6 – Parâmetros do gráfico de controle 𝐺𝑆2 – Caso 1 . . . . . . . . . . . . . 50Tabela 7 – Parâmetros do gráfico de controle 𝐺𝑆2 – Caso 2 . . . . . . . . . . . . . 51Tabela 8 – Parâmetros do gráfico de controle 𝐺𝑆2 – Caso 3 . . . . . . . . . . . . . 52Tabela 9 – Parâmetros do gráfico de controle 𝐺𝑆2 – Caso 4 . . . . . . . . . . . . . 53Tabela 10 –Valores de 𝐴𝑅𝐿1 para os Casos 1 – 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55Tabela 11 –Valores de 𝐴𝑅𝐿 simulados para os parâmetros ótimos do gráfico 𝐺𝑆2

– Caso 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56Tabela 12 –Desempenho dos gráficos de controle 𝐺𝑆2 e 𝑆2 – Caso 1 . . . . . . . . . 57Tabela 13 –Valores de 𝐴𝑅𝐿*

0 para o gráfico de controle 𝐺𝑆2 . . . . . . . . . . . . . 58Tabela 14 –Gráfico de controle 𝐺𝑆2 : valores de 𝑤𝑗𝑝𝑗, limite discriminante 𝐿 e limite

de controle 𝐿𝐶 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60Tabela 15 –Menor tamanho de amostra 𝑛𝐺𝑆2 para o gráfico 𝐺𝑆2 com 𝐴𝑅𝐿1 equi-

valente ao gráfico 𝑆2 com amostra de tamanho 𝑛𝑆2 . . . . . . . . . . . 61Tabela 16 –Qtde de itens classificados por grupo e valor da estatística 𝑔 . . . . . . 64

Tabela 17 –Valores de 𝐴𝑅𝐿 simulados para os parâmetros ótimos do gráfico 𝐺𝑆2

– Caso 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90Tabela 18 –Valores de 𝐴𝑅𝐿 simulados para os parâmetros ótimos do gráfico 𝐺𝑆2

– Caso 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91Tabela 19 –Valores de 𝐴𝑅𝐿 simulados para os parâmetros ótimos do gráfico 𝐺𝑆2

– Caso 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

Tabela 20 –Desempenho dos gráficos de controle 𝐺𝑆2 e 𝑆2 – Caso 2 . . . . . . . . . 94Tabela 21 –Desempenho dos gráficos de controle 𝐺𝑆2 e 𝑆2 – Caso 3 . . . . . . . . . 95Tabela 22 –Desempenho dos gráficos de controle 𝐺𝑆2 e 𝑆2 – Caso 4 . . . . . . . . . 96

Sumário

1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.1 Objetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.2 Revisão Bibliográfica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2 Gráficos de Controle mais comuns empregados no monitoramento da vari-abilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.1 Gráficos de Controle para variáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.1.1 Gráfico de Controle 𝑅 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.1.2 Gráficos de Controle 𝑆 e 𝑆2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.2 Gráficos de controle por atributos para monitoramento da variabilidade . . 272.2.1 Gráfico de Controle por Classificação . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.2.2 Gráfico de Controle k-step gauge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.2.3 Gráfico de Controle 𝑛𝑝𝑆2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3 Gráfico de Controle 𝐺𝑆2 para monitoramento da variância . . . . . . . . . . 373.1 Distribuição da estatística 𝐺 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393.2 Determinação do 𝐴𝑅𝐿1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

4 Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434.1 Desempenho do gráfico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474.2 Exemplo numérico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

5 Conclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

Anexos 73

ANEXO A Rotina R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

ANEXO B Valores simulados de 𝐴𝑅𝐿0 e 𝐴𝑅𝐿1 do gráfico de controle 𝐺𝑆2

para os Casos 2, 3 e 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

ANEXO C Comparação do desempenho dos gráficos de controle 𝐺𝑆2 e 𝑆2

para os Casos 2. 3 e 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

19

1 Introdução

A qualidade dos produtos e serviços é considerada um fator importante na tomadade decisão nas empresas.

Os produtos ou serviços, resultados da transformação das entradas por um processoprodutivo - cuja saída é o produto final -, não possuem exatamente os mesmos valoresdas características da qualidade devido à variabilidade inerente ao processo.

Para oferecer produtos e serviços com qualidade as organizações investem em ativi-dade de monitoramento e controle tendo como objetivo sua melhoria contínua. Ao investirna melhoria da qualidade é possível diminuir desperdícios, reduzir os custos, aumentar aprodutividade, o lucro e a satisfação do cliente e ampliar a participação da empresa nomercado.

A melhoria da qualidade de produtos e serviços está relacionada à redução davariabilidade, pois uma grande variabilidade pode ser percebida como indesejável ou ina-ceitável pelo cliente. Produtos e serviços devem ser produzidos num processo estável demodo que a variabilidade em torno do valor-alvo das dimensões da qualidade seja pequena.

Como a variabilidade pode ser descrita em termos estatísticos, os métodos de con-trole estatístico do processo desempenham um papel central nos esforços para a melhoriada qualidade. (Montgomery (2009)).

O gráfico de controle é um dos métodos de controle estatístico do processo paraidentificar e analisar causas especiais no processo, de modo que possam ser eliminadas oureduzidas.

Quando há interesse em monitorar a variância de uma característica da qualidade,através de gráficos de controle por variáveis, o gráfico 𝑆2 é uma alternativa.

O gráfico 𝑆2, como todo gráfico por variáveis, requer maior esforço dos operadoresquanto à obtenção dos dados - mensuração, calibração, precisão do instrumento,... - edemanda maior tempo de inspeção, mas é mais informativo quanto à indicação de umproblema iminente.

Por outro lado, um gráfico por atributo pode ser mais vantajoso do ponto de vistaeconômico. A avaliação por classificação através do uso de dispositivos pode ser maisrápida, a análise e o equipamento utilizado podem ser mais simples, de modo que o custofinal da inspeção seja menor.

O presente trabalho propõe um novo gráfico de controle por atributos para moni-toramento de mudanças da variância de um processo.

20 Capítulo 1. Introdução

Esta dissertação está estruturada da seguinte maneira: os gráficos de controle maisusuais empregados no monitoramento da variabilidade estão no Capítulo 2. A propostade uma nova abordagem para monitorar a variação de um processo por atributos está noCapítulo 3. O Capítulo 4 apresenta os resultados do trabalho e finaliza com o Capítulo 5com as conclusões.

1.1 Objetivo

O objetivo do trabalho é propor um gráfico de controle por atributos para mo-nitoramento da variabilidade de um processo com distribuição Normal, quando a médiamantém-se inalterada, utilizando um gráfico de controle por atributos, onde os dados deentrada são a quantidade de dados agrupados através da classificação por um dispositivo.

O gráfico de controle por variáveis certamente terá melhor desempenho que umgráfico por atributos caso seja utilizado um mesmo tamanho de amostra. Porém o custopor atributo geralmente é menor, o que possibilita aumentar o tamanho da amostra parao gráfico por atributos de modo a ter o mesmo desempenho que o gráfico por variáveis.

Pretende-se que o gráfico proposto tenha desempenho semelhante ao gráfico decontrole Shewhart 𝑆2, de tal modo que o custo de inspeção/esforço amostral seja menorou equivalente ao requerido pelo gráfico 𝑆2.

Por ser um gráfico por atributos, é interessante por exigir um menor esforço amos-tral, ser mais fácil de operacionalizar e mais barato do ponto de vista econômico. Tambémé uma alternativa interessante para ensaios destrutivos, onde as unidades amostradas pre-cisam ser descartadas após mensuradas.

1.2 Revisão Bibliográfica

A qualidade dos produtos e serviços deixou de ser apenas um diferencial competi-tivo das organizações e tornou-se um requisito indispensável para garantir a sua partici-pação no mercado.

Qualidade possui diversas definições. Para Deming (apud Slack, Chambers e Johns-ton (2002) ) a qualidade é resultado da prevenção de defeitos através da melhoria dosprocessos e está associada à redução da variabilidade. Juran e Gryna (1991) define quali-dade como adequação ao uso, considerando as necessidades do cliente. Feigenbaum (1994)introduziu o conceito de controle da qualidade total levando em conta a estrutura orga-nizacional e os sistemas de melhoria da qualidade. Crosby (1994) desenvolveu o conceitode defeito zero e popularizou a ideia de “fazer certo da primeira vez”.

Para Montgomery (2009) a qualidade é inversamente proporcional à variabilidade.

1.2. Revisão Bibliográfica 21

A melhoria na qualidade é a redução na variabilidade nos processos e produtos.

Garvin (apud Slack, Chambers e Johnston (2002) ) definiu a qualidade a partir decinco abordagens: transcendental - excelência inerente ao produto; fabricação - produtose serviços precisamente de acordo com as especificações; cliente - adequado às especifi-cações de fabricação e do cliente; produto - características mensuráveis que atendem aoconsumidor e; valor - percebida em relação ao custo do produto.

Garvin propôs oito dimensões da qualidade (apud Montgomery (2009)): 1. Desem-penho: capacidade do produto em ser eficaz e eficiente; 2. Confiabilidade: probabilidadede falha do produto; 3. Durabilidade: vida útil de um produto; 4. Assistência técnica:eficiência em resolver problemas; Estética: aparência, sentimento ou sensação provocadapelo produto; 6. Características: o que o produto faz; 7. Qualidade Percebida: reputaçãoda empresa ou de seu produto e; 8.Conformidade com as especificações do projeto.

Segundo Montgomery (2009), a qualidade é resultante da interação entre a qua-lidade do design - resultado de decisões de gestão e de engenharia, e a qualidade daconformidade - redução sistemática da variabilidade e eliminação dos defeitos. Assim, aqualidade como conformidade pode ser entendida como adequação às especificações doproduto ou processo.

No ambiente industrial a melhoria continua dos processos resulta em redução decustos e produção de produtos com melhor qualidade, que atendam às exigências doconsumidor.

O controle estatístico do processo (CEP) é uma metodologia aplicada à melhoriade processos de produção que utiliza técnicas estatísticas no acompanhamento e controledos mesmos, que tem como objetivo minimizar a variabilidade e estabilizá-la ao redor dovalor-alvo desejado da qualidade do produto.

Todo processo produtivo, ainda que seja bem planejado e executado, possui umaquantidade de variação aleatória inerente, resultante do efeito cumulativo de pequenasfontes de variação. A esta fonte de variabilidade denomina-se causa comum ou não assi-nalável. Por outro lado, denomina-se causa especial ou assinalável, toda fonte de variaçãonão aleatória decorrente de eventos passageiros, que pode ser identificada e corrigida.

Um processo de produção diz que está sob controle estatístico quando opera napresença de causas comuns. Um processo que opera na presença de causas assinaláveis édito fora de controle.

De modo geral, é desejável que o processo de produção opere sob controle duranteum longo período de tempo. Entretanto uma causa assinalável pode ocorrer e mudar oestado do processo para fora de controle. O objetivo principal do CEP é detectar rapida-mente mudanças no processo devido às causas assinaláveis, de modo que ações corretivaspossam ser tomadas para evitar a produção de muitos itens não conformes. Dentre as

22 Capítulo 1. Introdução

ferramentas utilizadas no CEP, destaca-se o gráfico de controle.

23

2 Gráficos de Controle mais comuns empre-gados no monitoramento da variabilidade

O gráfico de controle foi introduzido por Shewhart em 1924 e é uma representaçãográfica da mensuração de alguma estatística que está sendo monitorada de uma amostratomada no tempo.

O gráfico de controle é formado por três linhas: a linha central e os limites decontrole inferior e superior. Na linha central do gráfico localiza-se a média da estatísticamonitorada quando o processo está sob controle. Os limites de controle superior e inferiorsão determinados de modo que satisfaçam algum critério de desempenho.

Se o processo está sob controle, praticamente todos os pontos amostrais devemdistribuir-se aleatoriamente entre os limites de controle. Quando um ponto localiza-sefora dos limites de controle no gráfico, há indícios de que o processo está fora de controlee é necessário investigar a ocorrência de causas especiais e realizar ações corretivas.

Há uma relação entre gráfico de controle e teste de hipóteses. O gráfico de controleequivale ao teste de hipótese com a hipótese nula de que o processo está sob controle, ouseja, permanece estável ao longo do tempo. Se um ponto é registrado fora dos limites decontrole decide-se que o processo está fora de controle, a hipótese nula de que o processoestá sob controle é rejeitada e o processo deve ser ajustado. (Montgomery (2009))

O desempenho do gráfico de controle pode ser avaliado pela sua capacidade emdetectar rapidamente mudanças no processo, através do número médio de amostras co-letadas até a indicação de condição fora de controle estatístico (Average Run Length –𝐴𝑅𝐿).

No gráfico de Shewhart, que considera a independência entre as observações, ovalor do 𝐴𝑅𝐿 é inversamente proporcional à probabilidade de uma observação exceder oslimites de controle (Montgomery (2009))

O número de amostras coletadas até que o gráfico de controle sinalize que o pro-cesso está fora de controle (Run Length - RL) é uma variável aleatória com distribuiçãogeométrica com média (𝐴𝑅𝐿) igual a 1

𝛼, onde 𝛼 é a probabilidade de uma observação

exceder os limites de controle.

O plano do gráfico de controle Shewhart determina o tamanho adequado da amos-tra 𝑛 e os limites de controle de modo que certas condições de 𝐴𝑅𝐿 sejam satisfeitas.Quando o processo está sob controle são esperados grandes valores para o 𝐴𝑅𝐿, denomi-nado 𝐴𝑅𝐿0. Por outro lado, quando o processo sofre alterações, são esperados pequenos

24 Capítulo 2. Gráficos de Controle mais comuns empregados no monitoramento da variabilidade

valores de 𝐴𝑅𝐿, denominado 𝐴𝑅𝐿1, indicando rapidamente que o processo mudou.

O plano ótimo será aquele que, entre todos os planos com mesmo 𝐴𝑅𝐿0, possuao menor valor esperado de tempo para sinalizar uma mudança, quando esta realmenteocorre, ou seja, aquele com menor 𝐴𝑅𝐿1. (Hawkins e Olwell (1998)).

Seja 𝑋 uma característica da qualidade de interesse, variável aleatória com funçãode distribuição 𝑓(𝑋, 𝜃) e função de distribuição acumulada 𝐹 (𝑋, 𝜃), onde 𝜃 é o vetor deparâmetros.

Seja 𝑆 a estatística monitorada pelo gráfico de controle com limites de controleinferior (𝐿𝐶𝐿) e superior (𝑈𝐶𝐿). Quando o processo está estável, ele opera com 𝜃 = 𝜃0,ou seja, sob controle, e quando ocorre uma mudança no processo, tem-se 𝜃 = 𝜃1, numestado fora de controle. O teste de hipóteses equivalente é dado por⎧⎨⎩ 𝐻0 : 𝜃 = 𝜃0

𝐻1 : 𝜃 = 𝜃1

A probabilidade de que o gráfico erroneamente sinalize que o processo está forade controle quando na verdade não está é 𝛼 (ou erro tipo I) e a probabilidade de que ográfico não sinalize que o processo está fora de controle quando na verdade ele está é 𝛽

(ou erro tipo II). Ou seja

𝛼 = 1 − 𝑃 (𝐿𝐶𝐿 < 𝑆 < 𝑈𝐶𝐿|𝜃 = 𝜃0)

𝛽 = 𝑃 (𝐿𝐶𝐿 < 𝑆 < 𝑈𝐶𝐿|𝜃 = 𝜃1)

O 𝐴𝑅𝐿 para os processos sob controle e fora de controle são expressos sob ascondições de independência, respectivamente, por

𝐴𝑅𝐿0 = 1𝛼

e 𝐴𝑅𝐿1 = 11 − 𝛽

. (2.1)

Ao assumir que a variável aleatória 𝑋 ∼ 𝑁(𝜇, 𝜎2) tem-se como vetor de parâmetros𝜃 = (𝜇, 𝜎2). A função de distribuição acumulada padronizada de 𝑋 é Φ(𝑍) onde 𝑍 =(

𝑋 − 𝜇

𝜎

).

No processo que opera sob controle estatístico, tem-se 𝜃 = 𝜃0 = (𝜇0, 𝜎20) e, no

processo fora de controle, 𝜃 = 𝜃1 = (𝜇1, 𝜎21).

Quando ocorre uma causa especial, o processo passa a operar num estado fora decontrole. Podem ocorrer diferentes situações.

1. A média e a variabilidade do processo igual a (𝜇0, 𝜎20), sob controle, sofrem

alteração para (𝜇1, 𝜎21) = (𝛾𝜇0, 𝛿2𝜎2

0), (𝛾, 𝛿) positivo e diferente de (1,1).

2. Quando tem-se (𝛾, 1), a média do processo 𝜇0 sofre uma alteração para 𝜇1 =𝛾𝜇0, sem que haja mudança na variância.

2.1. Gráficos de Controle para variáveis 25

3. Se ocorrer (1, 𝛿), a média mantem-se inalterada e há uma mudança na varia-bilidade do processo de 𝜎2

0 para 𝜎21 = 𝛿2𝜎2.

Neste trabalho assume-se que a variabilidade do processo sofre uma mudança demagnitude 𝛿2, e altera-se de 𝜎2

0 para 𝜎21, enquanto a média mantem-se inalterada. Ou seja,

assume-se que ocorre (1, 𝛿) e que (𝜇1, 𝜎21) = (𝜇0, 𝛿2𝜎2

0).

Os gráficos de controle podem ser classificados sob diferentes abordagens:

∙ Quanto à decisão com os dados da inspeção corrente ou não, ou seja, ter memóriaou não. Gráficos CUSUM e EWMA são exemplos do primeiro caso e os de Shewhartsão exemplos do segundo.

∙ Quanto à natureza da estatística a ser monitorada: variáveis ou atributos. 𝑋, 𝑅 e𝑆2 são exemplos de gráficos por variáveis e 𝑝, 𝑛𝑝, 𝑐 e 𝑢 são exemplos de gráficos poratributos.

∙ Quanto ao número de variáveis monitoradas: univariada ou multivariada.

∙ Quanto ao número de amostragens: única ou dupla.

∙ Quanto aos parâmetros fixos e variáveis: tamanho e limite de controle únicos; ta-manhos variados; intervalos variados; limites de controle variados.

2.1 Gráficos de Controle para variáveisGráficos de controle para variáveis são utilizados quando a característica da qua-

lidade a ser monitorada pode ser expressa por uma variável contínua.

Assume-se que esta característica é uma variável aleatória 𝑋 ∼ 𝑁(𝜇, 𝜎2).

Os gráficos de controle Shewhart para monitoramento da variância de variáveiscontínuas são baseados na amplitude amostral 𝑅, no desvio padrão amostral 𝑆 e na própriavariância amostral 𝑆2, que estão nas subseções 2.1.1 (𝑅) e 2.1.2 (𝑆 e 𝑆2), respectivamente.

2.1.1 Gráfico de Controle 𝑅

Shewhart desenvolveu o gráfico de controle para monitorar a dispersão do pro-cesso através da medida da amplitude da amostra, tomando como base as estatísticas dadistribuição desenvolvidas por Tippett (1925).

Sejam 𝑋(1), 𝑋(2), . . . 𝑋(𝑛) as estatísticas de ordem da variável aleatória 𝑋 comdistribuição Normal e função de distribuição 𝑓(𝑥) = 𝜑(𝑥) e acumulada padrão 𝐹 (𝑥) =Φ(𝑥), conforme descrito em Tippett (1925).


Define-se a amplitude amostral 𝑅 e a amplitude relativa amostral 𝑊

𝑅(𝑛) − 𝑋(1)

𝑊 = 𝑅

𝜎.

𝑋 (2.2)

A função de de distribuição de 𝑊 é dada por (Tippett (1925))

𝐹𝑊 (𝑤) = 𝑛

+∞∫−∞

[Φ(𝑥 + 𝑤) − Φ(𝑥)]𝑛−1𝑓(𝑥)𝑑𝑥 (2.3)

Seja 𝑧 = 𝑥

𝜎. O valor esperado e o desvio padrão de 𝑊 são determinados por

𝐸(𝑊 ) =+∞∫

−∞

[1 − (1 − Φ(𝑧))𝑛 − Φ𝑛(𝑧)]𝑑𝑧 = 𝑑2 (2.4)

√𝑉 (𝑊 ) =

√𝐸(𝑊 2) − 𝑑2 = 𝑑3 (2.5)

onde 𝐸(𝑊 2) = 2+∞∫𝑢

𝑣∫−∞

{1 − [1 − Φ(𝑢)]𝑛 − Φ𝑛(𝑣) + [Φ(𝑣) − Φ(𝑢)]𝑛}𝑑𝑢𝑑𝑣.

O valor esperado de 𝑅 = 𝜎𝑊 é dado por 𝐸(𝑅) = 𝜎𝑑2 e o desvio padrão é𝜎𝑅 =

√𝜎2𝑉 (𝑊 ) = 𝜎𝑑3. Os valores de 𝑑2 e 𝑑3 podem ser encontrados em tabelas

da distribuição de R.

Os limites de controle 3𝜎 para 𝑅 são dados por

𝐸(𝑅) ± 3𝜎𝑅 = (𝑑2 ± 3𝑑3)𝜎 (2.6)

𝜎 conhecido. Limites exatos para o gráfico de controle R podem ser obtidos pela integraçãonumérica de 𝐹𝑊 (𝑤).

O gráfico 𝑅 é insensível às pequenas mudanças no desvio padrão do processo.Embora amostras maiores possam ser mais eficientes, à medida que o tamanho da amostraaumenta, a eficiência da amplitude para estimar o desvio padrão diminui drasticamente.(Montgomery (2009))

2.1.2 Gráficos de Controle 𝑆 e 𝑆2

A variância e o desvio padrão de uma amostra de tamanho 𝑛 de 𝑋 são dados por

𝑆2 =∑(𝑥𝑖 − 𝑥)2

𝑛 − 1 (2.7)

𝑆 =√

𝑆2

Tem-se que (𝑛 − 1)𝑆2

𝜎2 ∼ 𝜒2𝑛−1.

2.2. Gráficos de controle por atributos para monitoramento da variabilidade 27

𝑆2 é um estimador não viesado de 𝜎2, ou seja, 𝐸(𝑆2) = 𝜎2 (Ross (2009)). O valoresperado de S é 𝐸(𝑆) = 𝜎𝑐(𝑛) onde

𝑐(𝑛) =√

2Γ(𝑛/2)√𝑛 − 1Γ(𝑛−1

2 )com

Γ(𝑡) =∞∫

0

𝑥𝑡−1𝑒−𝑡𝑑𝑥

O desvio padrão de 𝑆, 𝜎𝑆, é dado por

𝜎𝑆 =√

𝐸(𝑆2) − [𝐸(𝑆)]2 = 𝜎√

1 − 𝑐2(𝑛)

.

Os limites de controle 3𝜎 para o gráfico de controle 𝑆, 𝜎 conhecido, são dados por

𝐸(𝑆) ± 3𝜎𝑆 = 𝜎[𝑐(𝑛) ± 3√

1 − 𝑐2(𝑛)], (2.8)

O uso de limites 3𝜎 é aproximado e pode levar a limites de controle inferior ne-gativos quando o tamanho da amostra for pequeno, na ordem de cinco. (Zhang et al.(2005))

Os limites de controle inferior (LCL) e superior (UCL) para o gráfico de controle𝑆2, para 𝜎2 conhecido, são exatos e dados por

𝐿𝐶𝐿 = 𝜎2

𝑛 − 1𝜒21−(𝛼/2),𝑛−1

𝑈𝐶𝐿 = 𝜎2

𝑛 − 1𝜒2𝛼/2,𝑛−1

(2.9)

2.2 Gráficos de controle por atributos para monitoramento da va-riabilidadeEm determinadas situações a característica da qualidade, embora possa ser ex-

pressa em escala contínua, pode ser monitorada através de uma classificação ou conta-gem. De acordo com Montgomery (2009) o controle por variáveis é geralmente mais caroe consome mais tempo por unidade do que a inspeção por atributos.

Gráficos por atributos são aplicados para monitorar processos quando a carac-terística da qualidade é resultado de uma classificação dos itens em conforme ou nãoconforme.

Mensurar a característica de qualidade de interesse precisamente pode ser caro.Uma alternativa para controlar a estabilidade do parâmetro de interesse pode ser utilizarum dispositivo e, sem mensurar, classificar os valores em grupos.


O agrupamento de dados é um recurso que pode ser utilizado para resumo dainformação e apresentação na forma de gráficos e tabelas, como forma de preservar a fontede informação sigilosa ou como alternativa quando há dificuldade ou impossibilidade emobter medidas com precisão. (Haitovsky (1982))

Haitovsky (1982) definiu o agrupamento de dados como um processo no qual a va-riável 𝑋, com função de distribuição acumulada 𝐹 (𝑋), contínua ou discreta, é condensadanuma função de distribuição discreta

𝑝𝑗 =𝑐𝑗∫

𝑐𝑗−1

𝑑𝐹 (𝑋)

𝑗 = 1, . . . 𝑘 + 1.

𝑋 ∈ [𝑐0, 𝑐𝑘+1] é particionada em intervalos, equidistantes ou não, de limites 𝑐𝑗,onde 𝑐1 < . . . < 𝑐𝑘 , com 𝑐0 = −∞ e 𝑐𝑘+1 = +∞, de modo que são formados (𝑘 + 1)grupos disjuntos. Cada elemento 𝑥𝑖, 𝑖 = 1, . . . , 𝑛 é classificado no grupo 𝑗, 𝑗 = 1, . . . 𝑘 +1,se 𝑐𝑗−1 ≤ 𝑥𝑖 ≤ 𝑐𝑗.

O número de elementos classificados no grupo 𝑗 é 𝑛𝑗, tal que𝑘+1∑𝑗=1

𝑛𝑗 = 𝑛.

Assim, uma observação 𝑥𝑖 ∈ [𝑐0, 𝑐1] é classificada no grupo 1, com probabilidade

𝑝1 =𝑐1∫

−∞

𝑑𝐹 (𝑋) e uma observação 𝑥𝑖 ∈ [𝑐𝑘, 𝑐𝑘+1] é classificada no grupo (𝑘 + 1), com

probabilidade 𝑝𝑘+1 =+∞∫𝑐𝑘

𝑑𝐹 (𝑋).

Na área de amostragem de aceitação, os itens não conformes, segundo os limites deespecificação, são monitorados de acordo com a classificação da característica da qualidadeem aceita ou rejeitada.

Tippett (1944) foi um dos primeiros a desenvolver as técnicas de gráficos de con-trole especificamente para uso com dados agrupados. Stevens (1948) propôs dois gráficosde controle que utilizam um dispositivo com dois limites, que classifica as observações emum de três grupos, para monitorar simultaneamente a média e o desvio padrão de umadistribuição que possa ser aproximada à normal.

Steiner, Geyer e Wesolowsky (1994) propuseram um gráfico de controle step gaugeem 𝑘 etapas, ou k-step gauge, 𝑘 = 1, . . . , 6, para monitorar mudanças unidirecionais namédia de uma distribuição normal. Em seguida, estenderam o trabalho para mudanças nasduas direções e propuseram um gráfico de controle Shewhart k-step gauge para monitorara média e o desvio padrão de um processo cuja produção segue uma distribuição normal.(Steiner, Geyer e Wesolowsky (1996))

O gráfico de controle 𝑛𝑝𝑆2 foi proposto por Ho e Quinino (2013) como uma al-ternativa para o gráfico 𝑆2 para monitorar a variabilidade de um processo por atributo


quando a característica de qualidade segue uma distribuição normal.

Os gráficos de controle para monitoramento da variância propostos por Stevens(1948), Steiner, Geyer e Wesolowsky (1994) e Ho e Quinino (2013) são descritos nassubseções 2.2.1, 2.2.2 e 2.2.3, respectivamente.

2.2.1 Gráfico de Controle por Classificação

Stevens (1948) propôs dois gráficos de controle para monitorar simultaneamente amédia e o desvio padrão de uma distribuição que possa ser aproximdada à normal, quandoo processo está operando sob controle, no qual as observações são classificadas em um dostrês grupos utilizando um dispositivo de duas etapas .

Um dispositivo (Figura 1) consiste de um número de pinos de diferentes diâmetrosutilizados para classificar um item de acordo com o resultado de se passar ou não passarpelo medidor, se é maior ou menor do que o padrão determinado. (Stevens (1948)).

Figura 1: Modelo de dispositivo de classificação.

Uma amostra aleatória 𝑋1, 𝑋2, . . . 𝑋𝑛, com distribuição simétrica aproximada àNormal quando o processo está sob controle, tem suas observações classificadas por umdispositivo com limites 𝑐1 = 𝐿 e 𝑐2 = 𝑈 , 𝐿 < 𝑈 , equidistantes do centro da distribuição(Figura 2). Cada variável 𝑥𝑖 é classificada nos grupos⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

(1), com probabilidade 𝑝1 se 𝑥𝑖 < 𝐿

(2), com probabilidade 𝑝2 se 𝐿 < 𝑥𝑖 < 𝑈

(3), com probabilidade 𝑝3 se 𝑥𝑖 > 𝑈

Quando ocorre um aumento na média do processo, sem mudança no desvio padrão,o valor de 𝑝3 aumenta, 𝑝1 diminui e 𝑝2 permanece inalterado. Por outro lado, quando ocorreaumento na variabilidade, 𝑝1 e 𝑝3 aumentam e 𝑝2 diminui.


Figura 2: Processo de classificação de Stevens.

A quantidade de itens classificados nos dos três grupos são, respectivamente 𝑛1, 𝑛2,e 𝑛3. Stevens (1948) propõe a estatística 𝑛3 − 𝑛1 para monitorar mudanças na média doprocesso e 𝑛1 + 𝑛3 para monitorar mudanças no desvio padrão.

Tem-se que (𝑛1, 𝑛2, 𝑛3) segue uma distribuição trinomial (𝑛, 𝑝1, 𝑝2, 𝑝3), (𝑛1 +𝑛3) ∼𝐵𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑎𝑙(𝑛, 𝑝1 + 𝑝3) e (𝑛3 − 𝑛1) pode ser aproximada para uma distribuição normal demédia 𝑛(𝑝3 −𝑝1) e variância 𝑛[𝑝1(1−𝑝1)+𝑝3(1−𝑝3)+2𝑝1𝑝3], quando 𝑛 é grande.(Johnson,Kotz e Balakrishnan (2004))

Stevens (1948) comparou a sensitividade do método através da razão da variânciadas estimativas para a média e o desvio padrão obtidas das medidas exatas e agrupadas,determinadas pela matriz de informação de Fisher com uma única observação. Os limitesótimos foram determinados de modo que maximizem a eficiência.

2.2.2 Gráfico de Controle k-step gauge

Steiner, Geyer e Wesolowsky (1994) propuseram um gráfico de controle step gaugecom 𝑘 = 𝑐 limites ou k-step gauge, 𝑘 = 1, . . . , 6, para monitorar mudanças unidirecionaisna média de uma distribuição normal, quando o desvio padrão do processo é conhecido,com base na razão de verossimilhança das probabilidades multinomiais das hipóteses nulae alternativa.


Utiliza-se um k-step gauge com limites 𝑐𝑗, para classificar valores da variável alea-tória 𝑋 ∼ 𝑁(𝜇, 𝜎2) em (𝑘 + 1) grupos. Assume-se que 𝜎2 é conhecido e igual a 1 de modoque o vetor de parâmetros é 𝜃 = (𝜇, 1). Quando o processo está fora de controle, a médiasofre mudanças enquanto o desvio padrão permanece inalterado.

𝑋𝑖 observações de uma amostra aleatória de tamanho 𝑛, 𝑖 = 1, . . . 𝑛, tomada acada período ℎ, são classificadas. A probabilidade de uma observação ser classificadacomo pertencente ao grupo 𝑗, 𝑗 = 1, .., 𝑘 + 1 é dada por

𝑝𝑗(𝜃) =𝑐𝑗∫

𝑐𝑗−1

𝑓(𝑥, 𝜃)𝑑𝑥

O modelo que descreve essa distribuição é multinomial, ou seja, (𝑛1, . . . , 𝑛𝑘+1) ∼

𝑀𝑢𝑙𝑡(𝑛, 𝑝1, . . . 𝑝𝑘+1) tal que𝑘+1∑𝑗=1

𝑝𝑗 = 1 e𝑘+1∑𝑗=1

𝑛𝑗 = 𝑛.

O teste uniformemente mais poderoso (UMP) para testar uma mudança em umprocesso significativo é a razão de verossimilhança das probabilidades multinomiais sobas hipóteses nula de que o processo está sob controle, e alternativa de que o processoopera fora de controle. Para Steiner, Geyer e Wesolowsky (1994), esta abordagem é con-siderada ideal pelo Lema de Neyman-Pearson, onde o particionamento ótimo da regiãode aceitação/rejeição é baseado na razão de probabilidade das alternativas específicas.

A estatística do teste, com nível de significância 𝛼 e poder 1 − 𝛽 é a razão deverossimilhança

𝐿𝑅(𝜃|𝑋) = 𝐿(𝜃1|𝑋)𝐿(𝜃0|𝑋) =

𝑘+1∏𝑗=1

(𝑝𝑗(𝜃1)𝑝𝑗(𝜃0)

)𝑛𝑗

A variável aleatória 𝑧𝑖 = 𝑙𝑛


)é atribuída a cada observação 𝑥𝑖 pertencente

ao grupo 𝑗 e a média amostral 𝑧 é utilizada como linha central do gráfico de controle.

O gráfico sinaliza que o processo está fora de controle se a média amostral estiverfora do limite de controle, ou seja, se 𝑧 > 𝑈𝐶𝐿. Deve-se determinar 𝑛 e 𝑈𝐶𝐿 tal que

𝛼 = 𝑃 (𝑛∑

𝑖=1𝑧𝑖 > 𝑛𝑈𝐶𝐿|𝜃 = 𝜃0)

1 − 𝛽 = 𝑃 (𝑛∑

𝑖=1𝑧𝑖 > 𝑛𝑈𝐶𝐿|𝜃 = 𝜃1)

Quando 𝑛 é grande, 𝑧 é aproximado pela distribuição normal com média 𝜇𝑧(𝜃) evariância 𝜎2

𝑧(𝜃), onde

𝜇𝑧(𝜃) =𝑘+1∑𝑗=1

𝑝𝑗(𝜃)𝑧𝑗 (2.10)


𝜎2𝑧(𝜃) =

𝑘+1∑𝑗=1

𝑝𝑗(𝜃)𝑧2𝑗 − 𝜇𝑧(𝜃)2 (2.11)

Na solução aproximada pelo Teorema do Limite Central (TLC) os valores de 𝑛 e𝑈𝐶𝐿 são obtidos das equações:

𝑛 =[

Φ−1(𝛼)𝜎𝑧(𝜃0) − Φ−1(1 − 𝛽)𝜎𝑧(𝜃1)𝜇𝑧(𝜃0) − 𝜇𝑧(𝜃1)

]2

(2.12)

𝑈𝐶𝐿 = Φ−1(𝛼)𝜎𝑧(𝜃0)𝜇𝑧(𝜃1) − Φ−1(1 − 𝛽)𝜎𝑧(𝜃1)𝜇𝑧(𝜃0)Φ−1(𝛼)𝜎𝑧(𝜃0) − Φ−1(1 − 𝛽)𝜎𝑧(𝜃1)

(2.13)

onde Φ−1 é a inversa da função de distribuição acumulada de 𝑁(0, 1) e (𝜇𝑧(𝜃), 𝜎2𝑧(𝜃) são

determinados por (2.10) e (2.11).

A partição ótima para o step gauge é determinada minimizando o tamanho daamostra 𝑛 dado 𝑈𝐶𝐿. Dado um vetor de limites 𝑐𝑗 a partição ótima é obtida pela soluçãoda equação

𝑚𝑖𝑛[𝑛(𝑐) + 𝑚(𝑐)] (2.14)

onde

𝑛(𝑐) = 𝑛 =[

Φ−1(𝛼)𝜎𝑧(𝜃0) − Φ−1(1 − 𝛽)𝜎𝑧(𝜃1)𝜇𝑧(𝜃0) − 𝜇𝑧(𝜃1)

]2

(2.15)

𝑚(𝑐) =

⎧⎨⎩ 𝑀, se 𝑐𝑗−1 > 𝑐𝑗

0, caso contrárioé o critério de parada, 𝑀 grande.

Para grandes amostras uma solução aproximada pode ser obtida utilizando o teo-rema do limite central e para amostras de pequenas dimensões um procedimento iterativoé utilizado para determinar as partições. A solução pelo TLC é apropriada se o desviodas taxas de erro verdadeiros das taxas desejadas é pequeno. Quanto maior o númerode grupos (𝑘 + 1), menor o tamanho de amostra necessário para as taxas tornarem-seestáveis.

Segundo os autores, encontrar os limites de calibre ideais para pequenos tamanhosde amostra é computacionalmente caro. A distribuição de 𝑧 é assimétrica e os limites daspartições e os pesos correspondentes deixam de ser ótimos.

Steiner, Geyer e Wesolowsky (1996) estenderam o trabalho para mudanças nasduas direções e propuseram um gráfico de controle Shewhart k-step gauge, 𝑘 = 1, . . . , 6,para monitorar a média e o desvio padrão de um processo cuja produção segue umadistribuição normal.

O teste de hipóteses para o gráfico detectar mudanças de processo é⎧⎨⎩ 𝐻0 : 𝜃 = 𝜃0

𝐻1 : 𝜃 = 𝜃1 ou 𝜃 = 𝜃−1


onde 𝜃1 e 𝜃−1 são mudanças nas direções ascendente e descendente, respectiva-mente.

Duas abordagens foram propostas:

1. dois conjuntos de pesos (𝑧+𝑗 , 𝑧−

𝑗 ),variáveis aleatórias, com teste da razão deverossimilhança composto equivalente a dois testes de hipóteses unilateraissimples:

𝑧+𝑗 = 𝑙𝑛


), 𝑧−

𝑗 = 𝑙𝑛

(𝑝𝑗(𝜃−1)𝑝𝑗(𝜃0)

)(2.16)

2. um conjunto de pesos (𝑤𝑗), variável aleatória, com um único teste de hipótese.

𝑤𝑗 = 𝑙𝑛

(𝑝𝑗(𝜃1)𝑝𝑗(𝜃−1)

)(2.17)

Para o primeiro caso, define-se Ω = {𝜃1, 𝜃−1}. A estatística do teste é dada por

𝐶𝐿𝑅 = max𝜃∈Ω

𝑙𝑛

(𝐿(𝜃|𝑋)𝐿(𝜃0|𝑋)

)= max

𝜃∈Ω

𝑘+1∑𝑗=1

𝑛𝑗𝑙𝑛

(𝑝(𝜃)𝑝(𝜃0)

).

O teste é equivalente à 𝑚𝑎𝑥(𝑧+, 𝑧−).

Define-se os limites de controle para (𝑧+, 𝑧−) iguais a (𝑈𝐶𝐿, 𝐿𝐶𝐿), respectiva-mente.

Assume-se que 𝑧 ∼ 𝑁(𝜇𝑧(𝜃), 𝜎2𝑧(𝜃)), 𝜃 igual ao verdadeiro valor do parâmetro, com

média e desvio padrão segundo (??). Deve-se determinar o tamanho da amostra 𝑛 tal que

𝑃 [𝑧+ > 𝑈𝐶𝐿(𝑛)|𝜃0] + 𝑃 [𝑧− > 𝐿𝐶𝐿(𝑛)|𝜃0] ≤ 1𝐴𝑅𝐿0

onde𝑈𝐶𝐿(𝑛) = −𝜎𝑧+(𝜃1)Φ−1(1/𝐴𝑅𝐿*

1)√𝑛

+ 𝜇𝑧+(𝜃1)

𝐿𝐶𝐿(𝑛) = −𝜎𝑧−(𝜃−1)Φ−1(1/𝐴𝑅𝐿*1)√

𝑛+ 𝜇𝑧−(𝜃−1)

A segunda abordagem compara a probabilidade de 𝜃1 contra 𝜃−1. A estatística doteste é equivalente a

𝐿𝑅(𝑋) =𝑘+1∏𝑗=1

(𝑝𝑗(𝜃1)𝑝𝑗(𝜃−1)

).

Para grandes amostras 𝑤 pode ser aproximado para a distribuição normal e oslimites de controle podem ser expressos em função do tamanho da amostra. Os valores de𝐴𝑅𝐿0 e 𝐴𝑅𝐿1 são determinados pela desigualdade

𝑃 (𝑤 > −𝜎𝑤(𝜃1)𝑟(𝑛) + 𝜇𝑤(𝜃1)|𝜃0) + 𝑃 (𝑤 < 𝜎𝑤(𝜃−1)𝑟(𝑛) + 𝜇𝑤(𝜃−1)|𝜃0) ≤ 1𝐴𝑅𝐿1


onde 𝑟(𝑛) = Φ−1(1/𝐴𝑅𝐿1)√𝑛

.

A solução baseada no TCL tem bons resultados para grandes tamanhos de amostra.Para tamanhos de amostra pequenos o efeito do problema da descontinuidade pode sersignificativo sendo necessário considerar a distribuição exata dos pesos para determinaros verdadeiros níveis de 𝐴𝑅𝐿 por meio de enumeração.

Os limites ótimos para o gráfico de controle Shewhart k-step gauge, 𝑘 = 1, . . . , 6,são os que maximizam a informação esperada de Fisher

𝐸(𝐼(𝜃)) =𝑘+1∑𝑗=1

1𝑝𝑗(𝜃)

(𝜕𝑝𝑗(𝜃)

𝜕𝜃

)2

numa amostra de tamanho um. Para a distribuição normal com parâmetros 𝜃 = (𝜇, 𝜎) oslimites ótimos são obtidos de max[𝐸(𝐼(𝜃))].

Os limites que maximizam a informação sobre a média e sobre o desvio padrão nãosão os mesmos (Steiner, Geyer e Wesolowsky (1996)) e os limites ótimos para monitorarsimultaneamente a média e o desvio padrão são os que maximizam a soma ponderada daseficiências estimadas dos dois parâmetros 𝐸𝑓𝑓(𝜇, 𝜎, 𝑑) = 𝑑𝐸𝑓𝑓(𝜇) + (1 − 𝑑)𝐸𝑓𝑓(𝜎).

2.2.3 Gráfico de Controle 𝑛𝑝𝑆2

Wu et al. (2009) propuseram o gráfico de controle 𝑛𝑝𝑋 para monitorar a média doprocesso, com distribuição normal, através de inspeção por atributos, onde cada observa-ção é classificada como aprovada ou reprovada com base em limites discriminantes.

O gráfico de controle 𝑛𝑝𝑆2 foi proposto por Ho e Quinino (2013) como uma alter-nativa para o gráfico 𝑆2 para monitorar a variabilidade de um processo de inspeção poratributos quando a característica de qualidade de interesse segue uma distribuição normalcom média 𝜇 e variância 𝜎2.

O procedimento é semelhante ao gráfico 𝑛𝑝𝑋 de Wu et al. (2009) onde um itemé classificado através de um dispositivo "passa / não passa", onde para uma amostra detamanho 𝑛, tomada a cada período ℎ, os itens são classificados em aprovado ou rejeitado.

O teste de hipóteses para o gráfico detectar mudanças unilaterais na variância doprocesso quando a média permanece inalterada é:

⎧⎨⎩ 𝐻0 : 𝜎2 = 𝜎20

𝐻1 : 𝜎2 = 𝜎21 = 𝛿2𝜎2

0, 𝛿 > 1

No processo de classificação, baseado num dispositivo, um item é consideradoaprovado se a medida está dentro do intervalo [𝐿𝐷𝐿, 𝑈𝐷𝐿], limites discriminantes inferiore superior, respectivamente.


O procedimento do gráfico 𝑛𝑝𝑆2 consiste em classificar sequencialmente as unidadesem aprovado ou rejeitado até que 𝑎 itens aprovados ou 𝑏 rejeitados sejam observados pelaprimeira vez. Se 𝑎 itens aprovados são observados antes, o processo é dito sob controle e aprodução continua, mas se 𝑏 itens rejeitados são observados antes, o processo é dito forade controle e a produção é interrompida para o ajuste.

A probabilidade de uma unidade ser rejeitada é

𝑝 = 1 − 𝑃 (𝐿𝐷𝐿 < 𝑋 < 𝑈𝐷𝐿|𝜇0, 𝜎2) = 1 − Φ(

𝑈𝐷𝐿 − 𝜇0

𝜎

)+ Φ

(𝐿𝐷𝐿 − 𝜇0

𝜎

)(2.18)

𝜎2 = 𝜎20 quando o processo está sob controle e 𝜎2 = 𝜎2

1 = 𝛿2𝜎20 quando o processo está

fora de controle.

A estatística de monitoramento 𝐷 assume, para cada amostra, valor 1 se 𝑎 itensaprovados são observados primeiro e valor 0 caso contrário. A probabilidade de que ográfico sinalize erroneamente que o processo está fora de controle quando na verdade eleestá sob controle, o erro tipo I, é

𝛼 = 1 −𝑎+𝑏−1∑

𝑥=𝑎

⎛⎝ 𝑥 − 1𝑎 − 1

⎞⎠ 𝑝𝑎0(1 − 𝑝0)𝑥−𝑎 = 𝑃 (𝐷 = 0|𝑝0)

onde 𝑝0 = 1 − 𝑃 (𝐿𝐷𝐿 < 𝑋 < 𝑈𝐷𝐿|𝜇0, 𝜎20) conforme (2.18).

O erro tipo II, a probabilidade de que o gráfico de controle não sinalize que oprocesso está fora de controle quando na verdade ele está fora de controle, é

𝛽 =𝑎+𝑏−1∑

𝑥=𝑎

⎛⎝ 𝑥 − 1𝑎 − 1

⎞⎠ 𝑝𝑎1(1 − 𝑝1)𝑥−𝑎 = 𝑃 (𝐷 = 1|𝑝1)

. onde 𝑝1 = 1 − 𝑃 (𝐿𝐷𝐿 < 𝑋 < 𝑈𝐷𝐿|𝜇0, 𝜎1 = 𝛿2𝜎20) conforme (2.18).

Há uma possibilidade de que nem todos os 𝑛 = (𝑎 + 𝑏 − 1) itens sejam examinados(Ho e Quinino, 2013). Seja 𝐼 o número de inspeções. O valor esperado de 𝐼 é

𝐸(𝐼) = 𝑃 (𝐷 = 1)𝑎+𝑏−1∑

𝑥=𝑎

⎛⎝ 𝑥 − 1𝑎 − 1

⎞⎠ 𝑝𝑎(1 − 𝑝)𝑥−𝑎 + 𝑃 (𝐷 = 0)𝑎+𝑏−1∑

𝑥=𝑏

⎛⎝ 𝑥 − 1𝑏 − 1

⎞⎠ 𝑝𝑏(1 − 𝑝)𝑥−𝑏,

onde 𝑝 é expresso por (2.18).

Os parâmetros 𝑎, 𝑏, 𝐿𝐷𝐿 e 𝑈𝐷𝐿 são determinados tais que a 𝐴𝑅𝐿1 é minimizada,sujeito a um 𝐴𝑅𝐿0. Uma vez que o valor de 𝛼 é fixado, o vetor de valores de parâmetrospara (𝑎, 𝑏, 𝑝0[𝐿𝐷𝐿, 𝑈𝐷𝐿]) pode ser escolhido, de tal modo que minimize 𝛽, para umamudança 𝛿 específica.

Fixados o tamanho da amostra 𝑛 e a magnitude da mudança 𝛿, o gráfico decontrole 𝑛𝑝𝑆2 quer determinar um tamanho de amostra tal que 𝐴𝑅𝐿1(𝑛𝑝𝑆2) ≤ 𝐴𝑅𝐿1(𝑅)ou 𝐴𝑅𝐿1(𝑛𝑝𝑆2) ≤ 𝐴𝑅𝐿1(𝑆2). O gráfico 𝑛𝑝𝑆2 tem um desempenho semelhante ao do gráfico


de controle 𝑅, com um tamanho de amostra próximo ou menor, mas seu desempenho emdetectar uma mudança no processo é inferior ao do gráfico 𝑆2.

Quando 𝑋 ∼ 𝑁(0, 1), para um 𝐴𝑅𝐿0 = 370, define-se o tamanho de amostra 𝑛*

para os gráficos 𝑆2 e 𝑅 como o tamanho mínimo da amostra necessária para produzirum 𝐴𝑅𝐿1 tão pequeno quanto possível, quando comparado com o 𝐴𝑅𝐿1 do gráfico decontrole 𝑛𝑝𝑆2 e, para o gráfico de controle 𝑛𝑝𝑆2 , como o número médio de classificaçõesnecessárias em cada amostra de tamanho 𝑛, onde 𝑛* ≤ 𝑛.

Ho e Quinino (2013) afirmam que o uso do gráfico de controle 𝑛𝑝𝑆2 é interessantedevido ao fato de que não há nenhuma medição das unidades, que são inspecionadaspor um processo de classificação com contagem de itens fora dos limites discriminantes.Considerando-se o custo médio por unidade de tempo, de acordo com os autores, o gráficode controle 𝑛𝑝𝑆2 apresenta uma vantagem econômica sobre o gráfico 𝑆2, quando o custode classificar itens é, em média, aproximadamente 25% inferior ao custo de mensurá-los.

37

3 Gráfico de Controle 𝐺𝑆2 para monitora-mento da variância

Em algumas situações, obter a medida exata de uma determinada característicada qualidade a ser monitorada é impossível ou economicamente inviável. Nestes casos,uma alternativa é classificar a variável contínua em categorias através de um dispositivocomo, por exemplo, um anel de calibração tipo passa - não passa.

Suponha que se queira monitorar a variabilidade de um processo em que a carac-terística da qualidade de interesse segue uma distribuição normal com média 𝜇 e variância𝜎2. A variável a ser monitorada é classificada em grupos, através de um dispositivo passa– não passa.

Para uma amostra de tamanho 𝑛, cada item 𝑥𝑖, 𝑖 = 1 . . . 𝑛, é classificado pelodispositivo no grupo 𝑗, 𝑗 = 1 . . . 𝑘 + 1, com probabilidade 𝑝𝑗. Ao final da inspeção, tem-se

𝑛𝑗 itens em cada grupo 𝑗, onde𝑘+1∑𝑗=1

𝑛𝑗 = 𝑛.

Considera-se, inicialmente, um dispositivo com dois limites de controle: inferior𝑐1 = 𝐿 e superior 𝑐2 = 𝑈 (Figura 3) que classifica as observações em três grupos distintos.

Figura 3: Modelo de dispositivo de classificação com dois limites.

De acordo com a Figura 3, ajustadas as medidas de limite 𝐿 - parte externa e 𝑈 -parte interna (A), um item pode não-passar por 𝐿 (B); passar por 𝐿 e não passar por 𝑈

(C) ou; passar por ambos (D).

38 Capítulo 3. Gráfico de Controle 𝐺𝑆2 para monitoramento da variância

A probabilidade de um item 𝑥𝑖 pertencer à um dos três grupos é dada por:

𝑝𝑗 =

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

Φ(

𝐿 − 𝜇

𝜎

), se 𝑥𝑖 ≤ 𝐿

Φ(

𝑈 − 𝜇

𝜎

)− Φ

(𝐿 − 𝜇

𝜎

), se 𝐿 < 𝑥𝑖 < 𝑈

1 − Φ(

𝑈 − 𝜇

𝜎

), se 𝑥𝑖 ≥ 𝑈

(3.1)

Para cada grupo 𝑗, dados os parâmetros (𝑎, 𝑡), 𝑎 > 1 constante, associa-se um peso𝑤𝑗, conforme abaixo:

𝑤𝑗 =

⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩(2 − 𝑎)(𝐿 − 𝑡)2, se 𝑥𝑖 ≤ 𝐿

𝑡2, se 𝐿 < 𝑥𝑖 < 𝑈

𝑎(𝑈 − 𝑡)2, se 𝑦𝑖 ≥ 𝑈

(3.2)

Define-se a estatística a ser monitorada

𝐺𝑆2(𝑋 | 𝜇, 𝜎2) =𝑘+1∑𝑗=1

𝑤𝑗𝑝𝑗𝑛𝑗 (3.3)

Por simplicidade adota-se a notação G para 𝐺𝑆2 .

A Figura 4 apresenta o cálculo da estatística 𝐺 conforme a classificação do dis-positivo nos grupos 𝑗 = 1, 2, 3.

Figura 4: Cálculo da estatística 𝐺.

3.1. Distribuição da estatística 𝐺 39

Assume-se que, sob controle, 𝑋 ∼ 𝑁(𝜇0, 𝜎20) e que ao ocorrer um aumento na

variância, sem mudanças na média, tem-se 𝑋 ∼ 𝑁(𝜇0, 𝛿2𝜎20). A hipótese a ser testada é

⎧⎨⎩ 𝐻0 : 𝜎2 = 𝜎20

𝐻1 : 𝜎2 = 𝜎21 = 𝛿2𝜎2

0, 𝛿 > 1

O gráfico sinaliza se 𝐺(𝑋 | 𝜎2) > 𝐿𝐶, 𝐿𝐶 limite de controle determinado parasatisfazer alguma medida de desempenho.

3.1 Distribuição da estatística 𝐺

Seja {𝑁𝑠} o conjunto de todas as 𝑠 possíveis partições das 𝑛 observações em (𝑘+1)grupos, de modo que se tenha 𝑛𝑗 observações em cada grupo, onde

𝑘+1∑𝑗=1

𝑛𝑗 = 𝑛.

O número de partições é dado por (Johnson, Kotz e Balakrishnan (2004))

𝑠 =⎛⎝ 𝑛 + 𝑘

𝑘

⎞⎠ .

A distribuição da estatística 𝐺 é discreta e formada por 𝑔1, 𝑔2, . . . 𝑔𝑠 valores quantosforem o total de partições possíveis do número total de observações da amostra (𝑛).

No caso de se classificar 𝑛 itens em três grupos, o número de partições possíveis é

𝑠 = (𝑛 + 1)(𝑛 + 2)2 . (3.4)

Para cada partição determina-se o valor da estatística 𝐺(𝑋 | 𝜇, 𝜎2), ou seja, paraa 𝑙-ésima partição formada pelo vetor (𝑛𝑙1, 𝑛𝑙2, 𝑛𝑙3), determina-se

𝑔𝑙 = (2−𝑎)(𝐿−𝑡)2Φ(

𝐿 − 𝜇

𝜎

)𝑛𝑙1+𝑡2

[Φ(

𝑈 − 𝜇

𝜎

)− Φ

(𝐿 − 𝜇

𝜎

)]𝑛𝑙2+𝑎(𝑈−𝑡)2Φ

(𝑈 − 𝜇

𝜎

)𝑛𝑙3

(3.5)

onde 𝑛𝑙1 + 𝑛𝑙2 + 𝑛𝑙3 = 𝑛 e 𝑙 = 1, . . . , 𝑠.

A probabilidade de ocorrência do ponto 𝑔𝑙 é determinada por

𝑃 (𝐺 = 𝑔𝑙) = 𝑛!𝑛𝑙1!𝑛𝑙2!𝑛𝑙3!

𝑝𝑛𝑙11 𝑝𝑛𝑙2

2 𝑝𝑛𝑙33 (3.6)

onde 𝑝𝑗 é a probabilidade de um item pertencer ao grupo 𝑗 conforme (3.1), nassituações sob controle com 𝜎2 = 𝜎2

0 ou fora de controle com 𝜎2 = 𝜎21 = 𝜎2

0𝛿2.

Tem-se as probabilidades sob 𝐻0 : 𝑝01, 𝑝02, 𝑝03 e 𝐻1 : 𝑝11, 𝑝12, 𝑝13


3.2 Determinação do 𝐴𝑅𝐿1

Para uma amostra de tamanho 𝑛, o processo de classificação pelo dispositivo comlimites [𝐿, 𝑈 ] produz, para cada vetor da partição, a estatística 𝑔𝑙 com probabilidade𝑃 (𝐺 = 𝑔𝑙|𝜎2

0) sob controle e 𝑃 (𝐺 = 𝑔𝑙|𝜎21 = 𝜎2

0𝛿2) fora de controle.

A função de distribuição acumulada nos 𝑠 pontos da estatística 𝐺, dada por𝐹 (𝑔𝑙) =

𝑚∑𝑙=1

𝑃 (𝐺 = 𝑔𝑙 | 𝜎2), determina os quantis 𝐹0(𝑔𝑙) sob 𝐻0 e 𝐹1(𝑔𝑙) sob 𝐻1,𝑙 = 1, . . . , 𝑠.

Fixado 𝛼 = 1𝐴𝑅𝐿0

e dadas todas as partições possíveis {𝑁𝑠}, o limite de controle

𝐿𝐶 é tal que 𝑃 (𝐺 > 𝐿𝐶 | 𝜎20) = 𝛼.

Obtido o limite de controle 𝐿𝐶, deve-se determinar os limites do dispositivo decalibração 𝐿 = −𝑈 e o valor da constante 𝑎, que minimizem o valor do 𝐴𝑅𝐿1 para oprocesso fora de controle, isto é, de modo que 𝐴𝑅𝐿1 = 1

1 − 𝛽seja mínimo, onde 𝛽 =

𝑃 (𝐺 < 𝐿𝐶 | 𝜎21) .

Os valores ótimos para (𝐿, 𝑈, 𝑎, 𝑡) são obtidos da solução da equação

fixado 𝐴𝑅𝐿 = 𝐴𝑅𝐿0

dados os valores iniciais 𝑣0 = (𝐿0, 𝑈0, 𝑎0, 𝑡0)determinar 𝑣* = (𝐿, 𝑈, 𝑎, 𝑡)

tal que min[

11 − 𝑃 (𝐺 < 𝐿𝐶 | 𝜎2

1)

]sujeito a 𝑣 ∈ Ω

Ω = {𝐿 ∈ [−2, 0], 𝑈 ∈ [0, 2], 𝑎 ∈]1, 2[, 𝑡 ∈ [0, 1]}

(3.7)

Assim, fixado 𝐴𝑅𝐿0 = 1𝛼

, o limite de controle 𝐿𝐶 = 𝑔𝑙0 é determinado dentre osvalores 𝑔1 < 𝑔2 < . . . < 𝑔𝑠, tal que

𝑙0∑𝑙=1

𝑃 (𝐺 = 𝑔𝑙|𝜎20) ≤ 1 − 𝛼 (3.8)

Obtido o limite de controle 𝐿𝐶, o 𝐴𝑅𝐿1 = 11 − 𝛽

é determinado em função de

𝛽 =𝑙1∑

𝑙=1𝑃 (𝐺 = 𝑔𝑙|𝜎2

1) (3.9)

tal que, dentre os valores de 𝑔1 < 𝑔2 < . . . < 𝑔𝑠), tem-se um 𝑔𝑙1 > 𝐿𝐶.

Considerou-se quatro casos de restrição aos parâmetros do gráfico proposto paraavaliação do desempenho em termos de 𝐴𝑅𝐿. As restrições de cada caso estão resumidasna Tabela 1.

3.2. Determinação do 𝐴𝑅𝐿1 41

Tabela 1: Parâmetros do gráfico 𝐺𝑆2

Caso Parâmetros Restrições

1 𝐿, 𝑎 𝑈 = |𝐿|, 𝑡 = 𝑈 + 𝐿

2 = 02 𝐿, 𝑎, 𝑡 𝑈 = |𝐿|, 𝑡 = 03 𝐿, 𝑈, 𝑎 𝑈 = |𝐿|, 𝑡 = 𝑈 + 𝐿

24 𝐿, 𝑈, 𝑎, 𝑡 𝑈 = |𝐿|, 𝑡 = 0

Caso 1

No primeiro caso assumem-se limites discriminantes simétricos, 𝑈 = −𝐿, e o pa-râmetro 𝑡 como função destes limites, 𝑡 = (𝑈 + 𝐿)

2 = 0. Neste caso, a equação resume-sea determinar apenas os valores ótimos para 𝑣 = (𝐿, 𝑎).

O valor da estatística 𝐺(𝑋 | 𝜎2) definida em (3.5) para a 𝑙-ésima partição (𝑛𝑙1, 𝑛𝑙2, 𝑛𝑙3),𝑔

(1)𝑙 , é dado por

𝑔(1)𝑙 = (2 − 𝑎)𝐿2Φ

(𝐿 − 𝜇

𝜎

)𝑛𝑙1 + 𝑎𝐿2Φ

(𝐿 − 𝜇

𝜎

)𝑛𝑙3 (3.10)

Caso 2

Neste caso os limites discriminantes são mantidos simétricos, mas o parâmetro𝑡 = 0. A equação considera os valores ótimos para 𝑣 = (𝐿, 𝑎, 𝑡) e o valor da estatística 𝑔

(2)𝑙

é dado por:

𝑔(2)𝑙 = (2 − 𝑎)(𝐿 − 𝑡)2Φ

(𝐿 − 𝜇

𝜎

)𝑛𝑙1 + 𝑡2

[1 − Φ

(𝐿 − 𝜇

𝜎

)]𝑛𝑙2 + 𝑎(−𝐿 − 𝑡)2Φ

(𝐿 − 𝜇

𝜎

)𝑛𝑙3

(3.11)

Caso 3

No terceiro caso, os limites discriminantes não possuem restrição de simetria e oparâmetro 𝑡 é dado como função destes limites, ou seja, 𝑡 = (𝑈 + 𝐿)

2 . Neste caso são

considerados os valores ótimos para 𝑣 = (𝐿, 𝑈, 𝑎) e o valor da estatística 𝑔(3)𝑙 é dado por:

𝑔(3)𝑙 = (2 − 𝑎)

[𝐿 −

(𝑈 + 𝐿

2

)]2Φ(

𝐿 − 𝜇

𝜎

)𝑛1 +

(𝑈 + 𝐿

2

)2 [Φ(

𝑈 − 𝜇

𝜎

)− Φ

(𝐿 − 𝜇

𝜎

)]𝑛𝑙2+

+𝑎[𝑈 −

(𝑈 + 𝐿

2

)]2 [1 − Φ

(𝑈 − 𝜇

𝜎

)]𝑛𝑙3

(3.12)


Caso 4

No último caso a ser analisado, os limites discriminantes são mantidos sem restriçãode simetria, mas tem-se o parâmetro 𝑡 = 0. Os valores ótimos a serem determinados pelaequação são 𝑣 = (𝐿, 𝑈, 𝑎, 𝑡) e o valor da estatística 𝑔

(4)𝑙 é dado em (3.5).

43

4 Resultados

Para determinar os limites ótimos do gráfico a partir da função de distribuiçãoacumulada, assumimos que a variável aleatória 𝑋 ∼ 𝑁(0, 1) quando o processo está sobcontrole e 𝑋 ∼ 𝑁(0, 𝛿2) quando o processo está fora de controle, mantendo-se a médiainalterada.

Dada uma amostra de tamanho 𝑛, os itens foram classificados por um dispositivocom limites (𝐿, 𝑈) em três grupos distintos, 𝑗 = 1, 2, 3. A cada item do grupo 𝑗 é atribuídoa estatística 𝐺𝑗 dados os valores dos parâmetros 𝑣 = (𝐿, 𝑈, 𝑎, 𝑡) conforme os quatro casosdescritos.

De um modo genérico, para uma amostra de tamanho 𝑛, seja 𝑄𝑠×3 a matriz detodas as partições possíveis da amostra em três grupos distintos, com 𝑠 determinado por(3.4). Cada linha de 𝑄 é formada pelo vetor 𝑞𝑙 = [𝑛𝑙1 𝑛𝑙2 𝑛𝑙3], 𝑙 = 1, . . . , 𝑠.

Para cada vetor 𝑞𝑙, dado o vetor de parâmetros 𝑣, determinam-se os valores daestatística 𝑔𝑙(𝑣) e as probabilidades acumuladas 𝐹0(𝑔𝑙(𝑣)), sob 𝐻0.

O limite de controle 𝐿𝐶 para o gráfico é o limite da função de distribuição acu-mulada sob 𝐻0, ou seja, 𝐿𝐶 = 𝑔𝑙0(𝑣) determinado de acordo com (3.8).

Com uma mudança de magnitude 𝛿2 > 1 na variância do processo sem alteraçãona média, para cada elemento 𝑞𝑙 determinam-se as probabilidades acumuladas 𝐹1(𝑔𝑙(𝑣)),sob 𝐻1.

Obtem-se, então, o valor do 𝐴𝑅𝐿1

𝐴𝑅𝐿1(𝑣) = 11 − 𝛽

(4.1)

onde 𝛽 é dado conforme (3.9).

Os valores de ótimos são o vetor 𝑣* tal que o 𝐴𝑅𝐿1(𝑣*) é mínimo.

Devido à natureza discreta de 𝐺, o verdadeiro valor do 𝐴𝑅𝐿0, denominado 𝐴𝑅𝐿*0,

difere do valor assumido inicialmente para o 𝐴𝑅𝐿0, pois depende do tamanho da amostra.Também, devido à natureza dos dados, é possível haver mais de um vetor de valores 𝑣

ótimos no qual o 𝐴𝑅𝐿1 é mínimo para a amostra de tamanho 𝑛.

A determinação dos valores ótimos de 𝑣 na abordagem descrita acima pode serresumida na Tabela 2.

Como o processo de otimização, conforme descrito, exige um grande esforço com-putacional, optou-se por utilizar a abordagem da otimização multiobjetivo para encontraro conjunto de soluções eficientes na região das restrições dos parâmetros.

44 Capítulo 4. Resultados

Tabela 2: Procedimento para determinar o vetor de valores ótimos 𝑣

Dado uma amostra de tamanho 𝑛, para uma mudança 𝛿, fixando o 𝐴𝑅𝐿0:1. Determine todas as 𝑠 partições da amostra para os três grupos2. Tome um vetor de valores 𝑣3. Calcule 𝑔𝑙(𝑣) para cada partição 𝑞𝑙, 𝑙 = 1, . . . , 𝑠4. Determine a função de distribuição acumulada sob 𝐻0, 𝐹0(𝑔𝑙(𝑣))

5. Determine o limite de controle 𝐿𝐶 = 𝑔𝑙0 tal que𝑙0∑


0) ≤ 1 − 𝛼,𝑔1 < 𝑔2 < . . . < 𝑔𝑠

6. Dado 𝛿 > 1, determine a função de distribuição acumulada sob 𝐻1, 𝐹1(𝑔𝑙(𝑣))

7. Determine 𝛽 =𝑙1∑


1) tal que 𝑔𝑙1(𝑣) > 𝐿𝐶, 𝑔1 < 𝑔2 < . . . < 𝑔𝑠

8. Calcule o valor de 𝐴𝑅𝐿1(𝑣)9. Repita os passos de 1 - 8 para vários valores de 𝑣10. Escolha o vetor ou conjunto de vetores no qual o 𝐴𝑅𝐿1 é mínimo.

O problema multiobjetivo envolve a otimização de várias funções objetivos simul-taneamente, de modo que a solução é um conjunto de pontos eficientes no espaço desoluções.

Define-se o problema multiobjetivo como

min[𝑓1(𝑥), 𝑓2(𝑥), . . . 𝑓𝑛(𝑥)]sujeito a𝑥 ∈ 𝑋

𝑔𝑖(𝑥) ≥ 0, 𝑖 = 1, · · · , 𝐼

ℎ𝑗(𝑥) = 0, 𝑗 = 1, · · · , 𝐽

(4.2)

onde 𝑥 é o vetor de parâmetros e 𝑋 o espaço de restrições.

Diferente da otimização mono-objetivo, a solução ótima de um problema multiob-jetivo é formada por um conjunto de soluções não dominadas (ou ótimo de Pareto).

Seja Ω a região viável para o problema de otimização. A solução 𝑢 ∈ Ω é ótimo dePareto se não há nenhuma outra solução 𝑣 ∈ Ω que melhore alguma função objetivo, semdegradar pelo menos uma das demais.

Assim, no problema de minimização na região Ω, a solução 𝑢 é dita não-dominadapela solução 𝑣, se ∀𝑖 ∈ (1, . . . , 𝑛), 𝑓𝑖(𝑢) ≤ 𝑓𝑖(𝑣)∧∃𝑗 ∈ (1, . . . , 𝑛)|𝑓𝑗(𝑢) < 𝑓𝑖(𝑣). O conjuntode soluções não dominadas constitui, no espaço dos objetivos, uma fronteira de Pareto.

Dentre os métodos para otimização de problemas multiobjetivo, destacam-se osalgoritmos evolucionários de busca, que incluem os Algoritmos Genéticos (AG).

Introduzidos por Holland (1975), os AG são procedimentos de busca baseados emmecanismos de seleção natural envolvendo processos de evolução genética de populações,

45

sobrevivência e adaptação. A partir de uma população inicial de resultados possíveis aoproblema de otimização, evolui-se aos melhores resultados através dos operadores genéti-cos de cruzamento, mutação e seleção, dentro de um processo iterativo. A Figura 5 resumeo procedimento de um AG.

Figura 5: Procedimento de um Algoritmo Genético.

Na literatura há diversas propostas de algoritmos evolucionários multiobjetivo. Oprocedimento Elitist Nondominated Sorting Genetic Algorithm (NSGA II) é um deles.

Desenvolvido por Deb et al. (2002), O NSGA II é uma evolução da forma pro-posta por Goldberg (1989), que aplica critérios de ordenação elitista por dominância eclassificação por comparação de povoamento das soluções.

No método NSGA-II uma população de tamanho 𝑛 é gerada e são aplicados os ope-radores genéticos de cruzamento e mutação, formando 𝑛 descendentes. Os 2𝑛 indivíduossão classificados e ordenados conforme o grau de dominância, constituindo fronteiras, ondeos indivíduos da primeira fronteira tem maior grau de dominância. Uma vez ordenados,calcula-se a distância de povoamento dos indivíduos. A nova população de tamanho 𝑛 éselecionada nas primeiras fronteiras de dominância incluindo-se os indivíduos com maiordistância de povoamento. Este procedimento é repetido até que se atinja a convergência.(Figura 6)

Métodos de busca baseados em AG tem sido largamente utilizados na determinaçãode parâmetros de gráficos de controle. Na literatura podem ser encontradas várias contri-


Figura 6: Procedimento do Algoritmo Genético NSGA-II.

buições. Entre elas podem ser citadas Aparisi e García-Diaz (2004), Aparisi e García-Diaz(2007), Bakir e Altunkaynak (2004), Carlyle, Montgomery e Runger (2000), Chen, Hsiehe Chang (2007), Chou, Wu e Chen (2006), He, Grigoryan e Sigh (2002), Ho e Aparisi(2016), Torng, Lee e Liao (2009).

Ao assumir o problema de otimização dos parâmetros do gráfico de controle 𝐺𝑆2

como multiobjetivo, considera-se a restrição ao 𝐴𝑅𝐿0 como uma função objetivo junta-mente com a equação para determinação do 𝐴𝑅𝐿1.

Então, o problema torna-se minimizar o 𝐴𝑅𝐿1 e a diferença em módulo entre o𝐴𝑅𝐿0 e o 𝐴𝑅𝐿*

0 determinado pelo gráfico proposto.

Assim, os valores ótimos dos parâmetros do gráfico (𝑣) são obtidos da equação

fixado 𝐴𝑅𝐿 = 𝐴𝑅𝐿0

dados os valores iniciais 𝑣0 = (𝐿0, 𝑈0, 𝑎0, 𝑡0)determinar 𝑣* = (𝐿*, 𝑈*, 𝑎*, 𝑡*)

tal que min[

11 − 𝑃 (𝐺 < 𝐿𝐶 | 𝜎2

1) ,

1𝑃 (𝐺 > 𝐿𝐶|𝜎0)

− 𝐴𝑅𝐿0

]

sujeito a 𝑣 ∈ Ω

(4.3)

onde Ω é o espaço de restrições dos parâmetros (Tabela 3).

Do conjunto de soluções ótimas de Pareto, selecionam-se aquelas com o menor

4.1. Desempenho do gráfico 47

valor de 𝐴𝑅𝐿1.

4.1 Desempenho do gráfico

Para avaliar o desempenho do gráfico, considerou-se tamanhos de amostra 𝑛 =(5, 6, . . . , 25) e os seguintes intervalos dos parâmetros para os casos:

Tabela 3: Limites dos parâmetros do gráfico 𝐺𝑠2

Caso L U a t1 [−2, 0] |𝐿| ]1, 2[ 02 [−2, 0] |𝐿| ]1, 2[ [0,1]3 [−2, 0] [0,2] ]1, 2[ [0,1]4 [−2, 0] [0,2] ]1, 2[ [0,1]

Fixado o 𝐴𝑅𝐿0 = 370, determinou-se os valores ótimos ou conjunto de valores óti-mos de 𝑣 para as amostras nos quatro casos descritos na Tabela 3, considerando mudançasna variância de magnitude 𝛿2 para 𝛿 = (1.1, 1.2, 1.5, 2).

O verdadeiro valor do 𝐴𝑅𝐿0 para o gráfico de controle é o 𝐴𝑅𝐿*0. Os valores ótimos

de 𝑣 para cada amostra foram de fato determinados fixando-se o verdadeiro 𝐴𝑅𝐿*0.

Como a distribuição de 𝐺 é discreta, o 𝐴𝑅𝐿*0 é determinado tal que, dado o

𝐴𝑅𝐿0 = 370, tem-se

|𝐴𝑅𝐿*0 − 𝐴𝑅𝐿0| ≤ 2 (4.4)

Na primeira abordagem ao problema, considerou-se a busca do 𝐴𝑅𝐿1 mínimodentro de um grid de resultados possíveis dentro do espaço de restrições dos parâmetros(Ω), para intervalos de tamanho 0.005.

Considere-se, como exemplo de busca dentro do grid, uma amostra de tamanho𝑛 = 5 e uma mudança na variância de magnitude 𝛿2 = 1.22. Há 𝑠 = 21 partições possíveispara a classificação desta amostra em três grupos distintos, conforme (3.4) .

Assume-se que os parâmetros do gráfico 𝐺𝑆2 são os do caso 1. Então, para oconjunto de valores de 𝑣 no espaço de restrições da Tabela 3, tomados em intervalosde tamanho 0.005, determinam-se os valores de 𝑔

(1)𝑙 , com 𝑙 = 1, . . . , 21, as distribuições

acumuladas sob 𝐻0 e 𝐻1, o limite de controle 𝐿𝐶 e o 𝐴𝑅𝐿 conforme descrito na Tabela2.

Assim, dos 74663 valores de 𝐴𝑅𝐿 obtidos, seleciona-se o conjunto de valores 𝑣

cujo 𝐴𝑅𝐿*0 atende (4.4). O gráfico da Figura 7 apresenta a distribuição do 𝐴𝑅𝐿1 pelos

respectivos valores de 𝑣 = (𝐿, 𝑎).


Figura 7: Valores de 𝐴𝑅𝐿1 para o gráfico 𝐺𝑆2 .

Por fim, selecionam-se os vetores 𝑣 com o menor 𝐴𝑅𝐿1 = 81.25. Os valores ótimospara o gráfico são: limite discriminante inferior 𝐿 = −1.545 e constante 𝑎 no intervalo(1.145, 1.33). Assim, combinando o valor de 𝐿 com o valores de 𝑎, obtem-se 38 resultadospossíveis dentro do grid estabelecido. Para 𝑎 = 1.33, por exemplo, tem-se que o gráficosinaliza uma mudança de magnitude 𝛿2 = 1.22 na variância após, aproximadamente 81amostras, com 𝐴𝑅𝐿*

0 = 369. Mantidos os mesmos valores de 𝑛, 𝛿2 e 𝐴𝑅𝐿*0, o gráfico 𝑆2

apresenta melhor desempenho (𝐴𝑅𝐿𝑆21 = 67).

Tabela 4: Valores do gráfico 𝐺𝑠2 para 𝑛 = 5 e 𝛿2 = 1.22 (Grid)

L a g 𝐴𝑅𝐿1 𝐴𝑅𝐿*0

-1.545 1.33 0.4877 81.25 368.633

Este procedimento deveria ser repetido, aumentando-se a precisão e reduzindo-se os limites do intervalo, de modo a encontrar o 𝐴𝑅𝐿1 mínimo dentro das restriçõesestabelecidas.

A busca por grid exige grande esforço computacional, que aumenta à medida queo tamanho da amostra cresce e o do intervalo diminui. A inclusão de mais parâmetros erestrições aumenta este esforço substancialmente.

Como alternativa para a determinação da solução ótima, utilizou-se a metodolo-gia com procedimento de busca baseado em algoritmos genéticos na forma NSGA-II. O


procedimento utilizado é o implementado no pacote mco do R, desenvolvido por Mers-mann (2014). Neste procedimento são controlados o tamanho da população e o númerode gerações.

A rotina de otimização utilizada para a obtenção dos parâmetros através da me-todologia de Algoritmos Genéticos NSGA-II está no Anexo A.

Os valores ótimos dos parâmetros do gráfico 𝐺𝑆2 , para tamanhos de amostra 𝑛

variando de 5 a 25 e mudanças na variância de magnitude 𝛿2 = (1.12, 1.22, 1.52, 22),obtidos para os quatro casos, estão nas Tabelas 6 - 9.

Ao aplicar otimização por NSGA-II para o exemplo considerado na busca porgrid: amostra de tamanho 𝑛 = 5 e mudança na variância 𝛿2 = 1.22, obtém-se os seguintesvalores para os parâmetros:

Tabela 5: Valores do gráfico 𝐺𝑠2 para 𝑛 = 5 e 𝛿2 = 1.22 (NSGA-II)

L a g 𝐴𝑅𝐿1 𝐴𝑅𝐿*0

-1.831 1.00 0.2297 59.709 368.513

O desempenho obtido em termos de 𝐴𝑅𝐿1 utilizando o procedimento NSGA-II émelhor que o obtido na busca por grid, como já esperado, reduzindo o valor de 81.25 para50.709.

Para o procedimento NSGA-II foram considerados uma população de tamanho500 e 150 gerações. Os limites utilizados são os da Tabela 3 para o Caso 1.

O vetor de parâmetros ótimos selecionado é aquele com menor 𝐴𝑅𝐿1 cujo 𝐴𝑅𝐿*0

atende (4.4).

50 Capítulo 4. ResultadosTa

bela

6:Pa

râm

etro

sdo

gráfi

code

cont

role

𝐺𝑆

2–

Cas

o1

N𝛿

La

gN

𝛿L

ag

N𝛿

La

g5

1.1

-1.8

315

1.02

020.

2336

121.

1-1

.937

31.

0522

0.31

6119

1.1

-1.9

306

1.03

780.

4248

51.

2-1

.831

71.

0055

0.22

9712

1.2

-1.9

372

1.02

600.

3112

191.

2-1

.930

51.

0760

0.43

545

1.5

-1.8

315

1.03

340.

2364

121.

5-1

.937

21.

0035

0.30

5519

1.5

-1.9

305

1.02

500.

4230

52

-1.8

316

1.00

530.

2300

122

-1.9

371

1.05

040.

3176

192

-1.9

305

1.04

190.

4269

61.

1-1

.930

81.

0335

0.20

8113

1.1

-1.9

757

1.11

210.

3152

201.

1-1

.954

71.

0029

0.40

546

1.2

-1.9

305

1.16

220.

2328

131.

2-1

.975

51.

0100

0.29

3120

1.2

-1.9

547

1.10

600.

4285

61.

5-1

.930

71.

0064

0.20

3813

1.5

-1.9

755

1.00

230.

2913

201.

5-1

.954

71.

0058

0.40

636

2-1

.930

51.

1129

0.22

4013

2-1

.975

61.

0599

0.30

3820

2-1

.954

61.

0528

0.41

737

1.1

-1.9

895

1.01

010.

2742

141.

1-1

.778

71.

0503

0.51

1321

1.1

-1.9

773

1.03

780.

4013

71.

2-1

.989

71.

0073

0.27

4914

1.2

-1.7

788

1.05

070.

5100

211.

2-1

.977

41.

0090

0.39

347

1.5

-1.9

898

1.10

300.

2485

141.

5-1

.778

71.

0002

0.49

6721

1.5

-1.9

773

1.05

070.

4036

72

-1.9

895

1.12

030.

2439

142

-1.7

787

1.05

720.

5142

212

-1.9

773

1.03

460.

4007

81.

1-1

.724

51.

0775

0.41

1115

1.1

-1.8

143

1.03

950.

4904

221.

1-1

.829

41.

0157

0.60

578

1.2

-1.7

244

1.07

960.

4123

151.

2-1

.814

41.

0161

0.48

2222

1.2

-1.8

293

1.04

990.

6125

81.

5-1

.724

51.

0466

0.40

1715

1.5

-1.8

143

1.09

450.

5048

221.

5-1

.829

31.

0014

0.60

808

2-1

.724

41.

0061

0.38

9915

2-1

.814

41.

0317

0.48

6622

2-1

.829

31.

0032

0.60

749

1.1

-1.7

901

1.06

310.

3795

161.

1-1

.847

11.

0208

0.46

3623

1.1

-1.8

512

1.09

060.

5994

91.

2-1

.789

91.

0176

0.36

8516

1.2

-1.8

469

1.10

310.

4888

231.

2-1

.851

21.

0761

0.59

829

1.5

-1.7

900

1.01

660.

3670

161.

5-1

.846

91.

0427

0.47

3123

1.5

-1.8

512

1.03

230.

5929

92

-1.7

899

1.04

180.

3756

162

-1.8

470

1.01

510.

4651

232

-1.8

512

1.06

580.

5967

101.

1-1

.845

71.

0201

0.34

7217

1.1

-1.8

771

1.08

780.

4664

241.

1-1

.871

81.

0537

0.58

0510

1.2

-1.8

457

1.10

380.

3688

171.

2-1

.877

01.

1069

0.47

2724

1.2

-1.8

719

1.05

130.

5796

101.

5-1

.845

71.

0384

0.35

1817

1.5

-1.8

770

1.04

470.

4567

241.

5-1

.871

81.

0381

0.58

0410

2-1

.845

81.

0049

0.34

1117

2-1

.877

01.

0873

0.46

7724

2-1

.871

81.

0345

0.58

1811

1.1

-1.8

942

1.07

870.

3420

181.

1-1

.904

91.

0878

0.45

0925

1.1

-1.8

914

1.06

450.

5689

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3010

1.2

-1.8

399

1.85

141.

1409

0.37

4917

1.2

-1.8

838

1.87

031.

0090

0.45

1824

1.2

-1.8

599

1.88

411.

0892

0.58

0510

1.5

-1.8

348

1.85

681.

1589

0.37

6417

1.5

-1.8

793

1.87

461.

0618

0.46

3324

1.5

-1.8

643

1.87

941.

0550

0.57

7910

2-1

.847

11.

8442

1.11

010.

3717

172

-1.8

744

1.87

941.

0860

0.46

5924

2-1

.871

41.

8723

1.00

780.

5749

111.

1-1

.874

51.

9147

1.08

130.

3323

181.

1-1

.899

51.

9100

1.00

050.

4352

251.

1-1

.883

91.

8989

1.09

680.

5703

111.

2-1

.913

91.

8754

1.07

660.

3563

181.

2-1

.897

51.

9120

1.12

150.

4564

251.

2-1

.882

81.

9001

1.05

340.

5637

111.

5-1

.889

91.

8986

1.13

480.

3532

181.

5-1

.899

71.

9097

1.09

480.

4510

251.

5-1

.894

31.

8886

1.06

510.

5693

112

-1.8

906

1.89

791.

0430

0.33

0718

2-1

.905

81.

9037

1.10

370.

4569

252

-1.8

898

1.89

301.

0773

0.57

00


Tabe

la9:

Parâ

met

ros

dogr

áfico

deco

ntro

le𝐺

𝑆2

–C

aso

4N

𝛿L

Ua

tg

N𝛿

LU

at

g5

1.1

-1.8

371

1.82

631.

2735

0.11

860.

2915

161.

1-1

.842

81.

8513

1.09

100.

0293

0.48

235

1.2

-1.8

215

1.84

211.

1370

0.07

390.

2503

161.

2-1

.842

21.

8519

1.09

040.

1508

0.73

015

1.5

-1.8

111

1.85

271.

1929

0.01

750.

2587

161.

5-1

.846

31.

8478

1.06

290.

0918

0.56

065

2-1

.811

81.

8523

1.09

250.

0817

0.25

0116

2-1

.844

71.

8492

1.07

200.

0027

0.47

856

1.1

-1.9

101

1.95

241.

1263

0.20

430.

3773

171.

1-1

.861

01.

8936

1.08

600.

0353

0.46

106

1.2

-1.9

493

1.91

281.

2527

0.22

820.

3963

171.

2-1

.886

11.

8682

1.16

660.

2026

0.93

596

1.5

-1.9

534

1.90

881.

0577

0.14

240.

2883

171.

5-1

.866

11.

8880

1.17

190.

0643

0.51

286

2-1

.925

61.

9358

1.01

680.

1201

0.27

8417

2-1

.873

41.

8804

1.01

890.

0081

0.44

847

1.1

-1.9

891

1.98

991.

1526

0.14

800.

3547

181.

1-1

.909

21.

9003

1.11

840.

0518

0.48

037

1.2

-1.9

887

1.99

001.

3598

0.08

820.

2663

181.

2-1

.907

61.

9021

1.02

040.

0355

0.44

667

1.5

-1.9

898

1.98

951.

2610

0.15

020.

3228

181.

5-1

.904

51.

9049

1.00

830.

0463

0.46

897

2-1

.989

01.

9900

1.27

390.

1952

0.38

8218

2-1

.903

61.

9058

1.16

270.

0649

0.50

458

1.1

-1.7

289

1.72

001.

0326

0.04

970.

4050

191.

1-1

.911

41.

9507

1.10

600.

0328

0.43

678

1.2

-1.7

301

1.71

921.

0383

0.11

790.

4774

191.

2-1

.894

31.

9695

1.15

730.

0464

0.45

428

1.5

-1.7

228

1.72

631.

1014

0.05

590.

4089

191.

5-1

.929

41.

9317

1.22

800.

1770

0.85

328

2-1

.713

11.

7360

1.03

740.

0331

0.39

8219

2-1

.930

81.

9302

1.20

240.

2050

0.99

589

1.1

-1.7

932

1.78

701.

0418

0.11

430.

4565

201.

1-1

.926

11.

9852

1.14

830.

0562

0.45

509

1.2

-1.7

752

1.80

551.

1812

0.04

960.

4026

201.

2-1

.945

81.

9636

1.17

190.

0970

0.55

359

1.5

-1.7

806

1.79

951.

0526

0.01

570.

3695

201.

5-1

.949

81.

9595

1.09

740.

1124

0.59

839

2-1

.794

81.

7854

1.10

180.

0689

0.39

3120

2-1

.957

51.

9519

1.10

160.

0195

0.42

9110

1.1

-1.8

756

1.81

771.

0013

0.05

550.

3637

211.

1-1

.987

61.

9673

1.19

310.

1866

0.94

3710

1.2

-1.8

349

1.85

701.

0144

0.08

720.

4153

211.

2-1

.979

31.

9756

1.00

960.

0795

0.50

7810

1.5

-1.8

425

1.84

891.

1810

0.13

500.

4608

211.

5-1

.976

81.

9779

1.16

290.

0939

0.54

3510

2-1

.842

31.

8494

1.11

630.

0293

0.36

6021

2-1

.977

01.

9777

1.00

100.

0718

0.49

1511

1.1

-1.8

778

1.91

131.

0909

0.02

890.

3360

221.

1-1

.818

61.

8406

1.00

620.

0288

0.61

6211

1.2

-1.8

862

1.90

261.

0009

0.02

610.

3361

221.

2-1

.820

71.

8383

1.08

310.

1185

0.82

3911

1.5

-1.8

985

1.89

001.

0207

0.00

830.

3278

221.

5-1

.829

11.

8295

1.00

650.

0491

0.64

9011

2-1

.888

01.

9006

1.08

430.

0028

0.33

9822

2-1

.970

01.

9900

1.15

540.

0806

0.55

0312

1.1

-1.9

245

1.95

041.

0823

0.01

860.

3171

231.

1-1

.842

61.

8600

1.23

460.

1830

1.12

0812

1.2

-1.9

170

1.95

821.

0670

0.04

710.

3264

231.

2-1

.856

21.

8462

1.08

010.

0219

0.60

3812

1.5

-1.9

342

1.94

011.

2033

0.16

140.

5254

231.

5-1

.849

81.

8526

1.11

470.

0812

0.69

6912

2-1

.934

91.

9394

1.22

020.

1119

0.42

8623

2-1

.851

61.

8508

1.14

460.

1308

0.86

0813

1.1

-1.9

697

1.98

191.

1794

0.09

650.

3893

241.

1-1

.890

31.

8539

1.04

110.

0483

0.62

9713

1.2

-1.9

620

1.98

991.

1267

0.15

450.

5221

241.

2-1

.872

61.

8711

1.07

960.

0414

0.60

6913

1.5

-1.9

772

1.97

411.

0014

0.00

330.

2900

241.

5-1

.870

31.

8733

1.14

120.

1403

0.91

5713

2-1

.971

41.

9798

1.09

940.

1122

0.41

1224

2-1

.871

71.

8719

1.00

590.

0469

0.61

9614

1.1

-1.7

845

1.77

321.

0825

0.09

740.

5808

251.

1-1

.885

51.

8948

1.11

070.

0443

0.62

5814

1.2

-1.7

781

1.77

941.

1390

0.19

130.

8423

251.

2-1

.886

01.

8968

1.12

840.

1583

1.02

3514

1.5

-1.7

798

1.77

771.

0368

0.07

500.

5610

251.

5-1

.893

81.

8890

1.21

980.

1583

1.01

4614

2-1

.767

61.

7904

1.17

110.

1665

0.74

2525

2-1

.888

81.

8939

1.14

770.

1589

1.02

3915

1.1

-1.8

060

1.82

301.

2092

0.22

210.

9696

151.

2-1

.807

81.

8214

1.15

070.

1483

0.69

2415

1.5

-1.8

078

1.82

121.

1614

0.09

570.

5748

152

-1.8

167

1.81

211.

1535

0.19

410.

8629


Os valores de 𝐴𝑅𝐿1 obtidos estão na Tabela 10. Observa-se que os quatro casosapresentam desempenhos semelhantes. Como a inclusão de parâmetros exige maior esforçocomputacional, o uso de limites discriminantes simétricos com 𝑡 = 0 (Caso 1) é a melhoropção, na prática.

Para verificar os resultados, realizou-se a simulação de 5000 amostras com os va-lores ótimos e obteve-se os valores do 𝐴𝑅𝐿0 e 𝐴𝑅𝐿1 simulados, 𝐴𝑅𝐿

(𝑠𝑖𝑚)0 e 𝐴𝑅𝐿

(𝑠𝑖𝑚)1

respectivamente. Os valores simulados para o Caso 1 estão na Tabela 11. Observa-se queestes valores são próximos aos obtidos com os parâmetros ótimos. As simulações para osdemais casos estão no Anexo B.

Comparando-se o desempenho do gráfico 𝐺𝑆2 para o Caso 1 com o gráfico de con-trole 𝑆2, o gráfico mais comum para monitorar a variabilidade do processo por variáveis,verifica-se que o desempenho do 𝐺𝑆2 é inferior ao 𝑆2 para o mesmo tamanho de amostra,ou seja, quando 𝑛𝐺𝑆2 = 𝑛𝑆2 tem-se 𝐴𝑅𝐿

𝐺𝑆21 < 𝐴𝑅𝐿𝑆2

1 (Tabela 12). Por exemplo, parauma mudança na variância de magnitude 𝛿2 = 22 o gráfico proposto apresenta desem-penho semelhante ao 𝑆2 com tamanhos de amostras maior que 25. As comparações dodesempenho do gráfico 𝐺𝑆2 com o 𝑆2 nos casos 2, 3 e 4 estão no Anexo C.

Ressalta-se que o desempenho do gráfico de controle 𝑆2 foi calculado segundo osvalores de 𝐴𝑅𝐿 sob controle obtidos do gráfico 𝐺𝑆2 , ou seja, segundo o 𝐴𝑅𝐿*

0. A Tabela13 apresenta os valores de 𝐴𝑅𝐿*

0 obtidos do gráfico 𝐺𝑆2 para os quatro casos.


Tabe

la10

:Val

ores

de𝐴

𝑅𝐿

1pa

raos

Cas

os1

–4

N𝛿

Cas

o1

Cas

o2

Cas

o3

Cas

o4

N𝛿

Cas

o1

Cas

o2

Cas

o3

Cas

o4

N𝛿

Cas

o1

Cas

o2

Cas

o3

Cas

o4

51.

113

1.54

113

1.53

813

1.57

713

1.69

012

1.1

90.0

8489

.978

90.1

1490

.051

191.

170

.640

70.7

7970

.663

70.7

305

1.2

59.7

0959

.675

59.7

0259

.734

121.

231

.726

31.7

2831

.737

31.7

4519

1.2

21.5

6821

.565

21.5

7021

.625

51.

513

.107

13.1

2913

.117

13.1

1512

1.5

5.09

45.

092

5.09

45.

093

191.

53.

136

3.13

53.

136

3.13

65

23.

991

3.99

23.

991

3.99

412

21.

652

1.65

21.

652

1.65

219

21.

227

1.22

71.

227

1.22

76

1.1

120.

796

120.

617

120.

773

120.

871

131.

186

.237

86.2

5786

.255

86.2

8020

1.1

68.4

3168

.489

68.4

4868

.593

61.

251

.477

51.5

4151

.484

51.5

6213

1.2

29.5

5529

.557

29.5

5929

.598

201.

220

.537

20.5

3520

.536

20.5

306

1.5

10.3

6210

.360

10.3

6710

.369

131.

54.

625

4.62

64.

625

4.62

620

1.5

2.95

92.

959

2.95

92.

959

62

3.10

83.

108

3.10

83.

109

132

1.54

01.

540

1.54

01.

540

202

1.19

41.

194

1.19

41.

194

71.

111

4.44

411

4.52

311

4.41

811

4.46

414

1.1

85.3

6085

.431

85.4

4585

.450

211.

166

.427

66.5

9266

.471

66.4

557

1.2

47.1

7947

.131

47.1

9247

.120

141.

229

.212

29.2

0329

.205

29.2

0621

1.2

19.6

0119

.601

19.6

1319

.609

71.

59.

049

9.04

49.

044

9.04

414

1.5

4.59

24.

592

4.59

34.

592

211.

52.

804

2.80

42.

804

2.80

47

22.

720

2.72

02.

720

2.72

014

21.

541

1.54

11.

541

1.54

221

21.

166

1.16

61.

166

1.16

68

1.1

112.

845

112.

810

112.

858

112.

782

151.

181

.705

81.8

7781

.804

81.7

8522

1.1

65.2

4065

.308

65.2

5165

.329

81.

246

.073

46.1

4446

.133

46.1

1815

1.2

27.2

3227

.269

27.2

4727

.264

221.

219

.122

19.1

2919

.136

19.1

448

1.5

8.75

68.

760

8.75

48.

758

151.

54.

190

4.18

94.

190

4.19

222

1.5

2.75

62.

756

2.75

72.

756

82

2.63

52.

635

2.63

52.

635

152

1.44

91.

449

1.44

91.

449

222

1.16

21.

162

1.16

21.

162

91.

110

5.57

510

5.61

210

5.45

610

5.56

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1.1

78.5

6478

.528

78.5

8078

.542

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163

.299

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7363

.277

63.3

319

1.2

41.1

9941

.266

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.270

161.

225

.523

25.5

6125

.538

25.5

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1.2

18.2

4718

.250

18.2

4818

.253

91.

57.

407

7.40

87.

409

7.40

816

1.5

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73.

857

3.85

73.

858

231.

52.

617

2.61

72.

617

2.61

79

22.

254

2.25

42.

255

2.25

516

21.

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1.37

51.

375

1.37

523

21.

138

1.13

81.

138

1.13

810

1.1

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0999

.421

99.4

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175

.714

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.642

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0624

1.1

61.4

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.463

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1961

.492

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237

.380

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.372

37.4

1917

1.2

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4824

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24.0

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217

.457

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5217

.462

17.4

5510

1.5

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26.

421

6.42

36.

421

171.

53.

577

3.57

83.

577

3.57

824

1.5

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42.

494

2.49

42.

494

102

1.99

01.

989

1.98

91.

990

172

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61.

316

1.31

61.

316

242

1.11

81.

118

1.11

81.

118

111.

194

.340

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5294

.369

94.3

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.979

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9173

.014

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159

.806

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.798

59.9

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34.3

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.303

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222

.739

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3522

.733

22.7

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1.2

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.722

16.7

2916

.724

111.

55.

676

5.67

65.

676

5.67

618

1.5

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03.

340

3.34

03.

340

251.

52.

384

2.38

42.

385

2.38

511

21.

797

1.79

71.

797

1.79

718

21.

268

1.26

71.

268

1.26

725

21.

101

1.10

11.

101

1.10

1


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1.5

12.7

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1.5

3.18

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85

23.

995

359.

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122

1.67

837

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519

21.

218

362.

152

61.

112

3.25

537

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513

1.1

86.7

2237

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1.1

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1.2

51.4

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30.0

1937

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1.2

20.9

6536

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1.5

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1.5

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1.62

16

23.

100

359.

075

132

1.54

837

9.84

820

21.

183

365.

700

71.

111

5.97

336

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721

1.2

19.3

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37

1.5

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921

1.5

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7.22

57

22.

792

360.

808

142

1.54

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721

21.

174

361.

612

81.

111

2.34

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1.1

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1.1

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1936

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28

1.2

45.0

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615

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2435

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322

1.2

19.5

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6.88

68

1.5

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136

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1.5

4.09

237

8.14

822

1.5

2.75

937

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48

22.

652

371.

103

152

1.45

736

7.21

622

21.

151

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985

91.

110

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116

1.2

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1.5

7.38

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116

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523

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22.

238

365.

463

162

1.36

237

1.27

223

21.

132

371.

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110

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524

1.1

61.7

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210

1.2

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1.2

23.8

6036

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6636

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510

1.5

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917

1.5

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1.5

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610

22.

001

374.

196

172

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924

21.

127

361.

943

111.

193

.124

372.

748

181.

173

.660

362.

311

251.

158

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004

111.

234

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181.

222

.858

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251.

217

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175

111.

55.

622

364.

455

181.

53.

380

372.

544

251.

52.

400

367.

915

112

1.82

336

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518

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263

373.

789

252

1.09

936

4.58

4


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167

191.

53.

136

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23.

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1.26

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21.

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168

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510

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4.62

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917

201.

52.

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1.92

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23.

108

2.11

213

21.

540

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21.

194

1.05

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1.1

114.

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211.

166

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7932

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229

.212

17.9

3021

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19.6

0111

.944

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59.

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211.

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720

1.84

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1.1

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165

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.232

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19.1

2211

.369

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756

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527

221.

52.

756

1.77

38

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21.

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1.03

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1.1

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.514

231.

163

.299

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1.2

41.1

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.661

161.

225

.523

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4523

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18.2

4710

.846

91.

57.

407

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1.5

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372

231.

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617

1.70

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254

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175

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237

.380

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241.

217

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171.

53.

577

2.23

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1.5

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650

102

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01.

412

172

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242

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81.

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111.

194

.340

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251.

159

.806

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1.2

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.388

181.

222

.739

14.0

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1.2

16.7

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916

111.

55.

676

3.46

618

1.5

3.34

02.

121

251.

52.

384

1.59

811

21.

797

1.33

118

21.

268

1.08

025

21.

101

1.02

0


bela

13:V

alor

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𝐴𝑅

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236

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1.1

368.

690

368.

153

368.

796

368.

435

191.

136

8.36

336

9.28

636

8.29

236

8.72

25

1.2

368.

513

368.

217

368.

301

368.

658

121.

236

8.26

036

8.30

436

8.41

836

8.21

619

1.2

368.

097

368.

003

368.

129

368.

111

51.

536

8.08

436

9.37

436

8.34

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8.03

512

1.5

368.

321

368.

033

368.

317

368.

068

191.

536

8.17

836

8.05

036

8.12

436

8.21

15

236

8.35

036

8.45

236

8.04

236

8.49

712

236

8.07

236

8.05

536

8.16

036

8.11

419

236

8.20

036

8.05

036

8.10

536

8.04

96

1.1

368.

935

368.

278

368.

823

369.

028

131.

136

8.49

736

8.60

436

8.56

136

8.70

220

1.1

368.

136

368.

541

368.

065

368.

696

61.

236

8.07

336

8.73

036

8.13

936

8.70

013

1.2

368.

063

368.

094

368.

115

368.

698

201.

236

8.32

936

8.25

236

8.19

736

8.03

56

1.5

368.

614

368.

427

368.

833

368.

474

131.

536

8.06

636

8.22

936

8.06

436

8.30

520

1.5

368.

112

368.

069

368.

104

368.

005

62

368.

086

368.

057

368.

054

368.

590

132

368.

180

368.

146

368.

206

368.

263

202

368.

006

368.

091

368.

074

368.

161

71.

136

8.33

736

8.64

436

8.23

436

8.41

314

1.1

368.

278

368.

663

368.

733

368.

749

211.

136

8.10

036

9.27

036

8.39

436

8.23

57

1.2

368.

726

368.

183

368.

870

368.

058

141.

236

8.50

036

8.32

036

8.36

136

8.36

721

1.2

368.

293

368.

290

368.

653

368.

516

71.

536

9.02

436

8.57

136

8.53

936

8.59

014

1.5

368.

263

368.

176

368.

222

368.

210

211.

536

8.18

636

8.13

536

8.04

236

8.13

47

236

8.21

736

8.17

236

8.43

636

8.46

314

236

8.14

236

8.19

436

8.11

036

8.86

821

236

8.07

736

8.08

736

8.04

536

8.20

48

1.1

368.

380

368.

243

368.

336

368.

120

151.

136

8.08

636

9.06

336

8.64

536

8.50

222

1.1

368.

262

368.

756

368.

283

368.

830

81.

236

8.14

636

8.97

136

8.36

436

8.64

315

1.2

368.

297

369.

061

368.

551

368.

911

221.

236

8.00

636

8.26

036

8.37

536

8.62

48

1.5

368.

332

368.

671

368.

083

368.

559

151.

536

8.14

836

8.08

536

8.32

936

8.61

022

1.5

368.

087

368.

085

368.

234

368.

090

82

368.

189

368.

235

368.

080

368.

045

152

368.

302

368.

028

368.

263

368.

259

222

368.

119

368.

090

368.

136

368.

215

91.

136

8.63

036

8.78

536

8.01

536

8.59

316

1.1

368.

569

368.

356

368.

424

368.

430

231.

136

8.31

236

8.11

636

8.07

836

8.49

89

1.2

368.

095

368.

972

368.

675

368.

849

161.

236

8.10

736

8.98

836

8.43

236

8.38

423

1.2

368.

136

368.

222

368.

087

368.

291

91.

536

8.33

336

8.51

836

8.59

036

8.39

516

1.5

368.

153

368.

103

368.

293

368.

526

231.

536

8.25

036

8.32

136

8.28

736

8.16

69

236

8.01

236

8.03

436

8.60

736

8.72

416

236

8.22

936

8.28

736

8.03

736

8.26

423

236

8.23

936

8.20

936

8.22

236

8.39

010

1.1

368.

053

368.

104

368.

041

368.

643

171.

136

8.84

736

8.01

536

8.14

236

8.63

824

1.1

368.

308

368.

062

368.

498

368.

062

101.

236

8.19

536

8.21

436

8.04

536

8.66

717

1.2

368.

360

368.

051

368.

389

368.

599

241.

236

8.36

736

8.20

236

8.38

336

8.30

110

1.5

368.

099

368.

006

368.

116

368.

026

171.

536

8.22

836

8.40

036

8.15

036

8.22

024

1.5

368.

165

368.

100

368.

221

368.

036

102

368.

469

368.

033

368.

087

368.

535

172

368.

242

368.

213

368.

118

368.

048

242

368.

039

368.

048

368.

289

368.

163

111.

136

8.12

836

8.18

536

8.06

736

8.25

918

1.1

368.

824

368.

108

368.

168

368.

321

251.

136

8.20

336

8.95

536

8.10

036

8.09

111

1.2

368.

117

368.

505

368.

458

368.

445

181.

236

8.34

336

8.24

036

8.13

636

8.54

825

1.2

368.

220

368.

091

368.

239

368.

116

111.

536

8.00

036

8.04

836

8.07

936

8.06

218

1.5

368.

183

368.

130

368.

116

368.

171

251.

536

8.08

936

8.15

836

8.41

636

8.19

611

236

8.12

436

8.13

836

8.15

436

8.31

618

236

8.24

636

8.04

136

8.37

136

8.06

025

236

8.03

436

8.23

936

8.08

736

8.04

6


Então, a partir dos resultados obtidos, o gráfico de controle 𝐺𝑆2 a ser considerado éo do Caso 1: com limites discriminantes simétricos, 𝑈 = −𝐿, e parâmetro 𝑎 > 1 constante.

Como os limites são simétricos, o monitoramento do processo é feito observando-seo comportamento das frequências nas caudas da distribuição de 𝑋.

Consideram-se apenas as quantidades de itens classificados no primeiro (𝑛1) eterceiro (𝑛3) grupos para determinar o valor da estatística 𝑔. A Tabela 14 apresenta osvalores dos pesos relativos aos respectivos grupos de classificação (𝑤1𝑝1, 𝑤3𝑝3) para ocálculo da estatística 𝑔 conforme expresso em (3.3), o limite discriminante inferior (𝐿) eo limite de controle (𝐿𝐶) do gráfico 𝐺𝑆2 para os dados normalizados.


bela

14:G

ráfic

ode

cont

role

𝐺𝑆

2:v

alor

esde

𝑤𝑗𝑝

𝑗,l

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disc

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ante

𝐿e

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deco

ntro

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𝐶

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LLC

𝑤1𝑝

1𝑤

3𝑝3

N𝛿

LLC

𝑤1𝑝

1𝑤

3𝑝3

N𝛿

LLC

𝑤1𝑝

1𝑤

3𝑝3

51.

1-1

.831

50.

2336

0.11

010.

1147

121.

1-1

.937

30.

3161

0.09

370.

1041

191.

1-1

.930

60.

4248

0.09

600.

1035

51.

2-1

.831

70.

2297

0.11

180.

1130

121.

2-1

.937

20.

3112

0.09

640.

1015

191.

2-1

.930

50.

4354

0.09

220.

1074

51.

5-1

.831

50.

2364

0.10

870.

1162

121.

5-1

.937

20.

3055

0.09

860.

0993

191.

5-1

.930

50.

4230

0.09

730.

1023

52

-1.8

316

0.23

000.

1118

0.11

3012

2-1

.937

10.

3176

0.09

390.

1039

192

-1.9

305

0.42

690.

0956

0.10

406

1.1

-1.9

308

0.20

810.

0964

0.10

3113

1.1

-1.9

757

0.31

520.

0835

0.10

4620

1.1

-1.9

547

0.40

540.

0964

0.09

706

1.2

-1.9

305

0.23

280.

0836

0.11

6013

1.2

-1.9

755

0.29

310.

0931

0.09

5020

1.2

-1.9

547

0.42

850.

0864

0.10

706

1.5

-1.9

307

0.20

380.

0991

0.10

0413

1.5

-1.9

755

0.29

130.

0939

0.09

4320

1.5

-1.9

547

0.40

630.

0961

0.09

736

2-1

.930

50.

2240

0.08

850.

1110

132

-1.9

756

0.30

380.

0884

0.09

9720

2-1

.954

60.

4173

0.09

160.

1018

71.

1-1

.989

50.

2742

0.09

140.

0932

141.

1-1

.778

70.

5113

0.11

310.

1251

211.

1-1

.977

30.

4013

0.09

030.

0974

71.

2-1

.989

70.

2749

0.09

160.

0930

141.

2-1

.778

80.

5100

0.11

310.

1251

211.

2-1

.977

40.

3934

0.09

300.

0947

71.

5-1

.989

80.

2485

0.08

280.

1018

141.

5-1

.778

70.

4967

0.11

910.

1191

211.

5-1

.977

30.

4036

0.08

910.

0986

72

-1.9

895

0.24

390.

0812

0.10

3414

2-1

.778

70.

5142

0.11

230.

1259

212

-1.9

773

0.40

070.

0906

0.09

718

1.1

-1.7

245

0.41

110.

1161

0.13

5615

1.1

-1.8

143

0.49

040.

1101

0.11

9122

1.1

-1.8

294

0.60

570.

1109

0.11

458

1.2

-1.7

244

0.41

230.

1158

0.13

5815

1.2

-1.8

144

0.48

220.

1128

0.11

6422

1.2

-1.8

293

0.61

250.

1071

0.11

838

1.5

-1.7

245

0.40

170.

1200

0.13

1715

1.5

-1.8

143

0.50

480.

1038

0.12

5422

1.5

-1.8

293

0.60

800.

1125

0.11

298

2-1

.724

40.

3899

0.12

510.

1266

152

-1.8

144

0.48

660.

1110

0.11

8222

2-1

.829

30.

6074

0.11

230.

1131

91.

1-1

.790

10.

3795

0.11

020.

1251

161.

1-1

.847

10.

4636

0.10

810.

1127

231.

1-1

.851

20.

5994

0.09

990.

1199

91.

2-1

.789

90.

3685

0.11

560.

1198

161.

2-1

.846

90.

4888

0.09

910.

1218

231.

2-1

.851

20.

5982

0.10

150.

1183

91.

5-1

.790

00.

3670

0.11

570.

1196

161.

5-1

.846

90.

4731

0.10

570.

1152

231.

5-1

.851

20.

5929

0.10

640.

1135

92

-1.7

899

0.37

560.

1128

0.12

2616

2-1

.847

00.

4651

0.10

880.

1121

232

-1.8

512

0.59

670.

1027

0.11

7110

1.1

-1.8

457

0.34

720.

1084

0.11

2817

1.1

-1.8

771

0.46

640.

0972

0.11

6024

1.1

-1.8

718

0.58

050.

1015

0.11

3010

1.2

-1.8

457

0.36

880.

0991

0.12

2117

1.2

-1.8

770

0.47

270.

0952

0.11

8024

1.2

-1.8

719

0.57

960.

1018

0.11

2810

1.5

-1.8

457

0.35

180.

1064

0.11

4917

1.5

-1.8

770

0.45

670.

1018

0.11

1424

1.5

-1.8

718

0.58

040.

1032

0.11

1410

2-1

.845

80.

3411

0.11

000.

1111

172

-1.8

770

0.46

770.

0973

0.11

5924

2-1

.871

80.

5818

0.10

360.

1110

111.

1-1

.894

20.

3420

0.09

620.

1126

181.

1-1

.904

90.

4509

0.09

400.

1121

251.

1-1

.891

40.

5689

0.09

800.

1115

111.

2-1

.894

20.

3534

0.09

140.

1174

181.

2-1

.904

80.

4296

0.10

290.

1032

251.

2-1

.891

40.

5675

0.09

940.

1101

111.

5-1

.894

20.

3567

0.09

000.

1188

181.

5-1

.904

70.

4437

0.09

770.

1085

251.

5-1

.891

40.

5688

0.09

930.

1103

112

-1.8

942

0.34

080.

0967

0.11

2118

2-1

.904

70.

4520

0.09

410.

1120

252

-1.8

913

0.56

920.

0995

0.11

00


Monitorar uma característica da qualidade através de gráficos de controle porvariáveis é sempre mais informativo que o monitoramento por atributos. Por outro lado,mensurar itens para controle de um processo requer, muitas vezes, maior treinamento dooperador e demanda um tempo maior de inspeção. Classificar os mesmos itens utilizando,por exemplo, um dispositivo, normalmente requer menos treino e demanda um tempomenor de inspeção o que pode resultar num custo por unidade de inspeção menor.

Embora o gráfico de controle 𝑆2 seja mais informativo para monitorar mudançasna variância do processo do que um gráfico por atributos, o mesmo possui um custo maiorpor unidade de inspeção.

Pretende-se que o gráfico de controle proposto tenha menor custo por unidade deinspeção. Para tanto é preciso determinar o tamanho de amostra necessário para que seudesempenho alcance o desempenho do gráfico 𝑆2, em termos de 𝐴𝑅𝐿1. Observa-se naTabela 12 que, por exemplo, para detectar uma mudança na variância de magnitude 𝛿2 =1.12, o gráfico 𝑆2 possui desempenho 𝐴𝑅𝐿𝑆2

1 = 106.407 com uma amostra de tamanho𝑛𝑠2 = 5. O gráfico 𝐺𝑆2 atinge o mesmo desempenho com amostras de tamanho 𝑛𝐺𝑆2 ≥ 9,com desempenho 𝐴𝑅𝐿

𝐺𝑆21 = 105.576.

A Tabela 15 apresenta o tamanho da amostra do gráfico 𝐺𝑆2 , 𝑛𝐺𝑆2 , necessário paraque o mesmo tenha desempenho similar ao gráfico 𝑆2 com tamanho de amostra 𝑛𝑆2 parao Caso 1.

Tabela 15: Menor tamanho de amostra 𝑛𝐺𝑆2 para o gráfico 𝐺𝑆2 com 𝐴𝑅𝐿1 equivalente ao gráfico 𝑆2 comamostra de tamanho 𝑛𝑆2

𝑁𝑆2 𝛿 = 1.1 𝛿 = 1.2 𝛿 = 1.5 𝛿 = 25 9 9 9 96 11 11 10 107 12 12 12 118 15 14 13 129 16 16 15 15

10 18 17 17 1611 19 19 18 1712 21 20 19 1913 23 22 21 2014 24 24 23 2115 26 25 24 23𝑟0 1.77 1.73 1.66 1.59

min 𝑟0 1.71 1.67 1.58 1.50max 𝑟0 1.88 1.83 1.80 1.80

Seja 𝑛0 o tamanho mínimo da amostra para que o gráfico 𝐺𝑆2 tenha 𝐴𝑅𝐿1 equiva-lente ao do gráfico 𝑆2. A razão entre o tamanho minímo 𝑛0 necessário ao gráfico proposto

e o tamanho da amostra do gráfico 𝑆2 é 𝑟0 = 𝑛0

𝑛𝑆2. O valor do 𝑟0 médio para os diferentes


valores de 𝛿2 encontra-se na Tabela 15 . Observa-se que o valor de 𝑟0 diminui conforme amagnitude da mudança aumenta.

Analisando a Tabela 15, uma regra simples pode ser estabelecida: se utilizar umaamostra com tamanho igual ao dobro do tamanho empregado no gráfico 𝑆2, o gráfico 𝐺𝑆2

terá um desempenho melhor ou similar ao 𝑆2, ou seja, para 𝑛0 ≈ 2𝑛𝑆2 tem-se 𝐴𝑅𝐿𝐺𝑆21 ≤

𝐴𝑅𝐿𝑆21 .

O desempenho do gráfico de controle também pode ser avaliado do ponto de vistaeconômico através do custo por unidade de inspeção para o gráfico de controle. O custo porunidade de inspeção compõe o custo de prevenção que por sua vez é uma das categoriasde custo da qualidade.

Segundo Montgomery (2009) os custos da qualidade podem ser divididos em qua-tro categorias: custo de prevenção que inclui, entre outros, planejamento da qualidade econtrole do processo; custo de avaliação, associado à qualidade em relação ao atendimentodas especificações; custo de falha interna, que ocorre antes da entrega do produto ao cli-ente e; custo de falha externa, quando o produto possui desempenho insatisfatório apósa entrega ao cliente.

O custo por unidade de inspeção pode englobar o custo fixo do instrumento demensuração 𝐶𝑖𝑛𝑠𝑡, o custo horário do operador 𝐶ℎℎ e o custo horário de ociosidade damáquina 𝐶ℎ𝑚𝑎𝑞. Seja 𝑡𝑐 o tempo para coletar uma amostra, mensurar a característica daqualidade de interesse e registrar a informação. O custo por unidade de inspeção (𝐶) podeser definido por:

𝐶 = 𝐶𝑖𝑛𝑠𝑡 + 𝑡𝑐(𝐶ℎℎ + 𝐶ℎ𝑚𝑎𝑞) (4.5)

Sejam 𝐶𝐺𝑆2 e 𝐶𝑆2 os custos por unidade de inspeção dos gráficos de controle 𝐺𝑆2

e 𝑆2 respectivamente. Assume-se que os custos dos instrumentos de mensuração para osgráficos 𝐺𝑆2 e 𝑆2 são os mesmos. Então, tem-se:

𝐶𝐺𝑆2 = 𝑡𝐺𝑆2𝑐 (𝐶ℎℎ + 𝐶ℎ𝑚𝑎𝑞) e 𝐶𝑆2 = 𝑡𝑆2

𝑐 (𝐶ℎℎ + 𝐶ℎ𝑚𝑎𝑞) (4.6)

Portanto, o custo por unidade de inspeção é dado em função de 𝑡.𝑐. O custo médio

por inspeção (AIC) dos gráficos são 𝐴𝐼𝐶𝐺𝑆2 = 𝑛𝐺𝑆2 𝐶𝐺𝑆2 e 𝐴𝐼𝐶𝑆2 = 𝑛𝑆2𝐶𝑆2 .

Sabe-se que, geralmente, o custo de inspeção para o gráfico de controle por atributoé menor que o por variáveis. Tem-se, então, 𝐶𝑆2 = 𝑘𝐶𝐺𝑆2 onde 𝑘 > 1 é a razão entre oscustos por unidade de inspeção por atributo e variável.

A razão entre os custos médios dos gráficos 𝐺𝑆2 e 𝑆2 é 𝑅𝐶 =𝑛𝐺𝑆2

𝑘𝑛𝑆2.

4.2. Exemplo numérico 63

Fazendo 𝑛𝐺𝑆2 = 𝑟𝑛𝑆2 , onde 𝑟 > 1 é a razão entre os tamanhos de amostra dosgráficos por atributo e variável, 𝑅𝐶 pode ser definida como

𝑅𝐶 = 𝑟

𝑘(4.7)

A Figura 8 apresenta a razão do custo médio (𝑅𝐶) em função de 𝑘 e 𝑟.

Quando o tamanho do gráfico 𝐺𝑆2 é 𝑛𝐺𝑆2 ≈ 2𝑛𝑆2 , o custo por unidade de inspeçãodo gráfico por variável deve ser no mínimo o dobro do custo por inspeção do gráfico poratributo. Nesta condição o desempenho do gráfico por atributo 𝐺𝑆2 atende tanto o critérioeconômico quanto o 𝐴𝑅𝐿1.

Figura 8: Razão do custo médio por unidade de inspeção para o gráfico 𝐺𝑆2 vs 𝑆2.

4.2 Exemplo numérico

Para demonstrar o uso do gráfico de controle 𝐺𝑆2 , considera-se o exemplo apre-sentado por Montgomery (2009) que descreve a necessidade de monitorar a espessura daplaca de circuito impresso, que é uma importante característica da qualidade.

Quando o processo está sob controle, as placas são produzidas com média 0.06 𝑝𝑜𝑙.

e desvio padrão 0.004 𝑝𝑜𝑙..


Para monitorar a variabilidade da espessura da placa de circuito impresso, tomam-se 15 amostras de tamanho 𝑛 = 15. Assume-se que as 10 primeiras amostras são coletadascom o processo sob controle e que as seguintes são coletadas após a variância do processosofrer uma alteração de magnitude 𝛿2 = 22.

O limite discriminante e o limite de controle para os dados normalizados são,respectivamente, 𝐿 = −1.8144 e 𝐿𝐶 = 0.4866 (Tabela 14).

Um dispositivo passa-não passa, como o da Figura 3, é calibrado com limitesdiscriminantes (0.0527424, 0.0672576) 𝑝𝑜𝑙..

A amostra é coletada, cada item é classificado pelo dispositivo e a estatística 𝑔 écalculada segundo (3.3) considerando-se os pesos 𝑤𝑗𝑝𝑗 da Tabela 14. O valor da estatística𝑔 e a quantidade de observações alocadas em cada um dos três grupos (𝑛1, 𝑛2, 𝑛3) das 15amostras estão na Tabela 16

Tabela 16: Qtde de itens classificados por grupo e valor da estatística 𝑔

amostra 𝑛1 𝑛2 𝑛3 g1 0 15 0 0.00000002 1 14 0 0.11095743 1 14 0 0.11095744 1 13 1 0.22917975 1 14 0 0.11095746 2 13 0 0.22191477 0 14 1 0.11822248 1 12 2 0.34740219 0 14 1 0.118222410 0 14 1 0.118222411 2 11 2 0.458359412 2 10 3 0.576581813 4 8 3 0.798496514 3 8 4 0.805761515 1 10 4 0.5838468

Os valores de 𝑔 e do limite de controle (𝐿𝐶) são plotados na Figura 9. A mudançana variância é detectada na segunda amostra do processo fora de controle.

4.2. Exemplo numérico 65

Figura 9: Gráfico de Controle 𝐺𝑆2

67

5 Conclusão

Este trabalho propôs um novo gráfico de controle por atributos para monitorar avariabilidade de uma característica da qualidade num processo em que a média mantém-seinalterada: o gráfico de controle 𝐺𝑆2 .

A proposta do gráfico 𝐺𝑆2 para monitorar mudanças na variância de um processoé classificar itens segundo um dispositivo passa-não passa, monitorando a estatística 𝑔𝑆2

calculada conforme o resultado da classificação. O gráfico sinaliza se o valor da estatísticaé maior que o limite de controle.

O gráfico proposto foi comparado com o gráfico de controle por variáveis 𝑆2 sobdois aspectos: o tamanho de amostra necessário para que tenha mesmo desempenho queo gráfico de Shewhart e o custo por unidade de inspeção.

Para a comparação foram considerados tamanhos de amostra variando de 5 a 25unidades e aumento da variância de magnitudes 𝛿2 = (1.12, 1.22, 1.52, 22) sem alteraçãona média.

Mantendo-se o mesmo tamanho de amostra, o desempenho do gráfico de controle𝐺𝑆2 , em termos de 𝐴𝑅𝐿1, é sempre inferior ao gráfico 𝑆2. Quando a magnitude de mu-dança é de 𝛿 = 22, os desempenhos são semelhantes para amostras de tamanho maior que25.

Porém, com um tamanho de amostra próximo ao dobro do requerido pelo gráfico𝑆2, o gráfico proposto apresenta um desempenho melhor. Por exemplo, com uma amostrade tamanho 𝑛𝐺𝑆2 = 9, o gráfico 𝐺𝑆2 apresenta um desempenho melhor que o gráfico 𝑆2

com amostra de tamanho 𝑛𝑆2 = 5 para detectar mudanças na variância do processo nasmagnitudes avaliadas.

O uso gráfico 𝐺𝑆2 também é interessante quando seu custo é, no mínimo, a metadedo custo do gráfico 𝑆2.

Portanto, para um tamanho de amostra aproximadamente igual ao dobro do re-querido pelo gráfico 𝑆2, a utilização do gráfico 𝐺𝑆2 é interessante pois atende tanto aocritério de desempenho em termos do número médio de amostras coletadas até a emissãode um sinal fora de controle, quanto ao critério econômico em termos de custo por unidadede inspeção.

69

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Anexos

75

ANEXO A – Rotina R

Segue abaixo a rotina de otimização para obtenção dos parâmetros do gráfico decontrole 𝐺𝑆2 através de Algoritmos Genéticos NSGA-II para os casos 1, 2, 3 e 4.

################################## Caso 1 - simétrico com t = 0################################### carregar pacoterequire(mco)## Valores# ARL0ARL0<-370## matriz dos valores das partições de XN<-5X <- t(as.matrix(expand.grid(0:N,0:N,0:N))); X <- X[, colSums(X) == N]## limites parâmetroslb<-c(-2,1)ub<-c(-0.1,2)## deltad<-c(1.1,1.2,1.5,2)nd<-length(d)## ResultadosSaida<-matrix(ncol=7)colnames(Saida)<-c(’N’,’delta’,’L’,’a’,’ARL1’,’ARL0v’,’g’)#Result<-matrix(ncol=7,nrow=nd)colnames(Result)<-c(’N’,’delta’,’L’,’a’,’ARL1’,’ARL0v’,’g’)#

76 ANEXO A. Rotina R

i<-1for(i in 1:nd){

delta<-d[i]## Estatística gg<-function(y){

L<-y[1]a<-y[2]((2-a)*((L)^2)*(pnorm(L))*X[1,])+(a*((L)^2)*(1-pnorm(-L))*X[3,])

}# probabilidades sob controleq0<-function(y){

L<-y[1]a<-y[2]apply(X,2,function(x)dmultinom(x,prob=c(pnorm(L),(pnorm(-L)-pnorm(L)),(1-pnorm(-L)))))

}# probabilidades fora de controleq1<-function(y){

L<-y[1]a<-y[2]apply(X,2,function(x)dmultinom(x,prob=c(pnorm(L/delta),(pnorm(-L/delta)-pnorm(L/delta)),(1-pnorm(-L/delta)))))

}# corteC<-function(y){

L<-y[1]a<-y[2]approxfun(cumsum(q0(y)[order(g(y),decreasing=F)]),g(y)[order(g(y),decreasing=F)],yleft=0,yright=0)(1-(1/ARL0))

}## ARL1ARL1<-function(y){

L<-y[1]a<-y[2]1/(1-(approxfun(g(y)[order(g(y),decreasing=F)],cumsum(q1(y)[order(g(y),decreasing=F)]),method=’constant’,yleft=0,yright=0)

77

(approxfun(cumsum(q0(y)[order(g(y),decreasing=F)]),g(y)[order(g(y),decreasing=F)],yleft=0,yright=0)(1-(1/ARL0)))))

}## ARL0* (verdadeiro)ARL0v<-function(y){

L<-y[1]a<-y[2]1/(1-approxfun(g(y)[order(g(y),decreasing=F)],cumsum(q0(y)[order(g(y),decreasing=F)]),method=’constant’,yleft=0,yright=0)(approxfun(cumsum(q0(y)[order(g(y),decreasing=F)]),g(y)[order(g(y),decreasing=F)],yleft=0,yright=0)(1-(1/ARL0))))

}## multiobjetivomARL<-function(x){

y<-numeric(2)y[1]<-ARL1(x)y[2]<-abs(ARL0v(x)-370)return(y)

}## otimizaçãoMAmin<-nsga2(mARL,2,2,generations=150,popsize=500,lower.bounds=lb,upper.bounds=ub)## tabela de resultadostab<-cbind(N,delta,MAmin$par,MAmin$value[,1],NA,NA,MAmin$pareto.optimal)colnames(tab)<-c(’N’,’delta’,’L’,’a’,’ARL1’,’ARL0v’,’g’,’otimo’)tab[,6]<-apply(tab[,3:4],1,ARL0v)tab[,7]<-apply(tab[,3:4],1,C)## seleciona ARL0sub1<-cbind(subset(tab[,1:7],(tab[,6]>368)&(tab[,8]==1)))# seleciona ARL1valor<-min(sub1[,5])sub2<-subset(sub1,sub1[,5]==valor)#Result[i,]<-sub2[1,]


Saida<-rbind(Saida,sub1)i<-i+1

}#Saida#################################### Caso 2 - simétrico com 0<t<1################################### carregar pacoterequire(mco)## Valores# ARL0ARL0<-370## matriz dos valores das partições de XN<-5X <- t(as.matrix(expand.grid(0:N,0:N,0:N))); X <- X[, colSums(X) == N]## limites parâmetroslb<-c(-2,1,0)ub<-c(-0.1,2,1)## deltad<-c(1.1,1.2,1.5,2)nd<-length(d)## ResultadosSaida<-matrix(ncol=8)colnames(Saida)<-c(’N’,’delta’,’L’,’a’,’t’,’ARL1’,’ARL0v’,’g’)#Result<-matrix(ncol=8,nrow=nd)colnames(Result)<-c(’N’,’delta’,’L’,’a’,’t’,’ARL1’,’ARL0v’,’g’)#i<-1for(i in 1:nd){

79


L<-y[1]a<-y[2]t<-y[3]((2-a)*((L-t)^2)*(pnorm(L))*X[1,])+((t^2)*(pnorm(-L)-pnorm(L))*X[2,]) +(a*((-L-t)^2)*(1-pnorm(-L))*X[3,])


L<-y[1]a<-y[2]t<-y[3]apply(X,2,function(x)dmultinom(x,prob=c(pnorm(L),(pnorm(-L)-pnorm(L)),(1-pnorm(-L)))))


L<-y[1]a<-y[2]t<-y[3]apply(X,2,function(x)dmultinom(x,prob=c(pnorm(L/delta),(pnorm(-L/delta)-pnorm(L/delta)),(1-pnorm(-L/delta)))))


L<-y[1]a<-y[2]t<-y[3]approxfun(cumsum(q0(y)[order(g(y),decreasing=F)]),g(y)[order(g(y),decreasing=F)],yleft=0,yright=0)(1-(1/ARL0))


L<-y[1]


a<-y[2]t<-y[3]1/(1-(approxfun(g(y)[order(g(y),decreasing=F)],cumsum(q1(y)[order(g(y),decreasing=F)]),method=’constant’,yleft=0,yright=0)(approxfun(cumsum(q0(y)[order(g(y),decreasing=F)]),g(y)[order(g(y),decreasing=F)],yleft=0,yright=0)(1-(1/ARL0)))))


L<-y[1]a<-y[2]t<-y[3]1/(1-approxfun(g(y)[order(g(y),decreasing=F)],cumsum(q0(y)[order(g(y),decreasing=F)]),method=’constant’,yleft=0,yright=0)(approxfun(cumsum(q0(y)[order(g(y),decreasing=F)]),g(y)[order(g(y),decreasing=F)],yleft=0,yright=0)(1-(1/ARL0))))



}#MAmin<-nsga2(mARL,3,2,generations=150,popsize=500,lower.bounds=lb,upper.bounds=ub)## tabela de resultadostab<-cbind(N,delta,MAmin$par,MAmin$value[,1],NA,NA,MAmin$pareto.optimal)colnames(tab)<-c(’N’,’delta’,’L’,’a’,’t’,’ARL1’,’ARL0v’,’g’,’otimo’)tab[,7]<-apply(tab[,3:5],1,ARL0v)tab[,8]<-apply(tab[,3:5],1,C)## seleciona ARL0sub1<-cbind(subset(tab[,1:8],(tab[,7]>368)&(tab[,9]==1)))# seleciona ARL1

81

valor<-min(sub1[,6])sub2<-subset(sub1,sub1[,6]==valor)#Result[i,]<-sub2[1,]Saida<-rbind(Saida,sub1)i<-i+1

}#Saida########################################### Caso 3 - assimétrico com t = (L+u)/2########################################## carregar pacoterequire(mco)## Valores# ARL0ARL0<-370## matriz dos valores das partições de XN<-5X <- t(as.matrix(expand.grid(0:N,0:N,0:N))); X <- X[, colSums(X) == N]## limites parâmetroslb<-c(-2,0.1,1)ub<-c(-0.1,2,2)## deltad<-c(1.1,1.2,1.5,2)nd<-length(d)## ResultadosSaida<-matrix(ncol=8)colnames(Saida)<-c(’N’,’delta’,’L’,’U’,’a’,’ARL1’,’ARL0v’,’g’)#Result<-matrix(ncol=8,nrow=nd)


colnames(Result)<-c(’N’,’delta’,’L’,’U’,’a’,’ARL1’,’ARL0v’,’g’)#i<-1for(i in 1:nd){


L<-y[1]U<-y[2]a<-y[3]((2-a)*((L-((L+U)/2))^2)*(pnorm(L))*X[1,])+((((L+U)/2)^2)*(pnorm(U)- pnorm(L))*X[2,]) +(a*((U-((L+U)/2))^2)*(1-pnorm(U))*X[3,])


L<-y[1]U<-y[2]a<-y[3]apply(X,2,function(x) dmultinom(x,prob=c(pnorm(L),(pnorm(U)-pnorm(L)),(1-pnorm(U)))))


L<-y[1]U<-y[2]a<-y[3]apply(X,2,function(x)dmultinom(x,prob=c(pnorm(L/delta),(pnorm(U/delta)-pnorm(L/delta)),(1-pnorm(U/delta)))))


L<-y[1]U<-y[2]a<-y[3]approxfun(cumsum(q0(y)[order(g(y),decreasing=F)]),g(y)[order(g(y),decreasing=F)],yleft=0,yright=0)(1-(1/ARL0))

}

83

## ARL1ARL1<-function(y){

L<-y[1]U<-y[2]a<-y[3]1/(1-(approxfun(g(y)[order(g(y),decreasing=F)],cumsum(q1(y)[order(g(y),decreasing=F)]),method=’constant’,yleft=0,yright=0)(approxfun(cumsum(q0(y)[order(g(y),decreasing=F)]),g(y)[order(g(y),decreasing=F)],yleft=0,yright=0)(1-(1/ARL0)))))


L<-y[1]U<-y[2]a<-y[3]1/(1-approxfun(g(y)[order(g(y),decreasing=F)],cumsum(q0(y)[order(g(y),decreasing=F)]),method=’constant’,yleft=0,yright=0)(approxfun(cumsum(q0(y)[order(g(y),decreasing=F)]),g(y)[order(g(y),decreasing=F)],yleft=0,yright=0)(1-(1/ARL0))))



}#MAmin<-nsga2(mARL,3,2,generations=150,popsize=500,lower.bounds=lb,upper.bounds=ub)## tabela de resultadostab<-cbind(N,delta,MAmin$par,MAmin$value[,1],NA,NA,MAmin$pareto.optimal)colnames(tab)<-c(’N’,’delta’,’L’,’U’,’a’,’ARL1’,’ARL0v’,’g’,’otimo’)tab[,7]<-apply(tab[,3:5],1,ARL0v)tab[,8]<-apply(tab[,3:5],1,C)


## seleciona ARL0sub1<-cbind(subset(tab[,1:8],(tab[,7]>368)&(tab[,9]==1)))# seleciona ARL1valor<-min(sub1[,6])sub2<-subset(sub1,sub1[,6]==valor)#Result[i,]<-sub2[1,]Saida<-rbind(Saida,sub1)i<-i+1

}#Saida#################################### Caso 4 - assimétrico com 0<t<1################################### carregar pacoterequire(mco)## Valores# ARL0ARL0<-370## matriz dos valores das partições de XN<-5X <- t(as.matrix(expand.grid(0:N,0:N,0:N))); X <- X[, colSums(X) == N]## limites parâmetroslb<-c(-2,0.1,1,0)ub<-c(-0.1,2,2,1)## deltad<-c(1.1,1.2,1.5,2)nd<-length(d)## Resultados

85

Saida<-matrix(ncol=9)colnames(Saida)<-c(’N’,’delta’,’L’,’U’,’a’,’t’,’ARL1’,’ARL0v’,’g’)#Result<-matrix(ncol=9,nrow=nd)colnames(Result)<-c(’N’,’delta’,’L’,’U’,’a’,’t’,’ARL1’,’ARL0v’,’g’)#i<-1for(i in 1:nd){


L<-y[1]U<-y[2]a<-y[3]t<-y[4]((2-a)*((L-t)^2)*(pnorm(L))*X[1,])+((t^2)*(pnorm(U)- pnorm(L))*X[2,]) +(a*((U-t)^2)*(1-pnorm(U))*X[3,])


L<-y[1]U<-y[2]a<-y[3]t<-y[4]apply(X,2,function(x) dmultinom(x,prob=c(pnorm(L),(pnorm(U)-pnorm(L)),(1-pnorm(U)))))


L<-y[1]U<-y[2]a<-y[3]t<-y[4]apply(X,2,function(x)dmultinom(x,prob=c(pnorm(L/delta),(pnorm(U/delta)-pnorm(L/delta)),(1-pnorm(U/delta)))))

}# corte


C<-function(y){L<-y[1]U<-y[2]a<-y[3]t<-y[4]approxfun(cumsum(q0(y)[order(g(y),decreasing=F)]),g(y)[order(g(y),decreasing=F)],yleft=0,yright=0)(1-(1/ARL0))


L<-y[1]U<-y[2]a<-y[3]t<-y[4]1/(1-(approxfun(g(y)[order(g(y),decreasing=F)],cumsum(q1(y)[order(g(y),decreasing=F)]),method=’constant’,yleft=0,yright=0)(approxfun(cumsum(q0(y)[order(g(y),decreasing=F)]),g(y)[order(g(y),decreasing=F)],yleft=0,yright=0)(1-(1/ARL0)))))


L<-y[1]U<-y[2]a<-y[3]t<-y[4]1/(1-approxfun(g(y)[order(g(y),decreasing=F)],cumsum(q0(y)[order(g(y),decreasing=F)]),method=’constant’,yleft=0,yright=0)(approxfun(cumsum(q0(y)[order(g(y),decreasing=F)]),g(y)[order(g(y),decreasing=F)],yleft=0,yright=0)(1-(1/ARL0))))



87

}#MAmin<-nsga2(mARL,4,2,generations=150,popsize=500,lower.bounds=lb,upper.bounds=ub)## tabela de resultadostab<-cbind(N,delta,MAmin$par,MAmin$value[,1],NA,NA,MAmin$pareto.optimal)colnames(tab)<-c(’N’,’delta’,’L’,’U’,’a’,’t’,’ARL1’,’ARL0v’,’g’,’otimo’)tab[,8]<-apply(tab[,3:6],1,ARL0v)tab[,9]<-apply(tab[,3:6],1,C)## seleciona ARL0sub1<-cbind(subset(tab[,1:9],(tab[,8]>368)&(tab[,10]==1)))# seleciona ARL1valor<-min(sub1[,7])sub2<-subset(sub1,sub1[,7]==valor)#Result[i,]<-sub2[1,]Saida<-rbind(Saida,sub1)i<-i+1

}#Saida##########################################

89

ANEXO B – Valores simulados de 𝐴𝑅𝐿0 e𝐴𝑅𝐿1 do gráfico de controle𝐺𝑆2 para os Casos 2, 3 e 4

90 ANEXO B. Valores simulados de 𝐴𝑅𝐿0 e 𝐴𝑅𝐿1 do gráfico de controle 𝐺𝑆2 para os Casos 2, 3 e 4Ta

bela

17:

Valo

res

de𝐴

𝑅𝐿

simul

ados

para

ospa

râm

etro

sót

imos

dogr

áfico

𝐺𝑆

2–

Cas

o2

N𝛿

𝐴𝑅

𝐿(𝑠

𝑖𝑚)

1𝐴

𝑅𝐿

(𝑠𝑖𝑚

)0

N𝛿

𝐴𝑅

𝐿(𝑠

𝑖𝑚)

1𝐴

𝑅𝐿

(𝑠𝑖𝑚

)0

N𝛿

𝐴𝑅

𝐿(𝑠

𝑖𝑚)

1𝐴

𝑅𝐿

(𝑠𝑖𝑚

)0

51.

113

2.33

537

4.75

812

1.1

88.7

5937

1.28

619

1.1

69.0

7537

0.22

85

1.2

60.9

7536

3.23

312

1.2

31.1

0137

5.63

719

1.2

21.8

2437

8.75

55

1.5

13.0

1536

5.15

412

1.5

5.20

735

9.28

819

1.5

3.17

035

9.00

75

23.

956

364.

445

122

1.65

736

8.79

219

21.

227

376.

440

61.

112

3.52

936

5.57

013

1.1

86.1

5635

9.47

620

1.1

68.6

1736

0.19

56

1.2

51.9

3537

2.97

013

1.2

29.3

4435

9.61

920

1.2

20.7

1336

6.87

16

1.5

10.2

3535

7.91

713

1.5

4.61

536

9.72

520

1.5

2.96

535

8.96

56

23.

115

367.

222

132

1.53

736

6.51

820

21.

184

371.

066

71.

111

6.56

536

8.82

314

1.1

84.6

6337

0.07

321

1.1

66.0

2235

9.04

97

1.2

46.8

8336

9.52

914

1.2

29.3

9037

7.48

121

1.2

19.6

7135

6.11

77

1.5

9.01

538

1.65

614

1.5

4.56

737

2.42

121

1.5

2.81

036

4.87

37

22.

713

371.

686

142

1.53

835

5.88

021

21.

174

356.

553

81.

111

1.74

137

1.02

615

1.1

80.9

9837

3.26

922

1.1

65.3

4636

0.84

98

1.2

44.6

8836

7.42

615

1.2

27.7

8937

6.47

322

1.2

18.9

7436

3.96

18

1.5

8.87

137

1.28

215

1.5

4.23

437

6.25

922

1.5

2.75

036

3.46

98

22.

609

363.

202

152

1.42

536

9.64

122

21.

155

366.

817

91.

110

6.04

636

7.99

916

1.1

77.4

7537

0.87

223

1.1

64.3

5136

4.71

19

1.2

41.0

0536

5.02

916

1.2

24.7

7637

4.30

623

1.2

17.7

5436

4.56

99

1.5

7.37

737

2.85

016

1.5

3.85

236

5.03

323

1.5

2.68

836

5.74

99

22.

250

372.

799

162

1.37

736

6.85

223

21.

132

367.

829

101.

199

.481

373.

514

171.

175

.112

361.

248

241.

160

.867

371.

790

101.

236

.562

370.

622

171.

223

.945

371.

447

241.

217

.445

369.

093

101.

56.

458

359.

038

171.

53.

528

365.

079

241.

52.

503

366.

669

102

1.98

037

2.79

617

21.

324

370.

613

242

1.12

136

4.69

711

1.1

95.6

3036

5.96

918

1.1

71.0

2536

5.87

125

1.1

60.7

1637

0.10

411

1.2

33.4

4436

8.02

318

1.2

23.2

3636

7.04

625

1.2

17.0

7636

0.79

711

1.5

5.64

436

8.44

718

1.5

3.34

536

3.16

225

1.5

2.41

837

9.47

011

21.

795

361.

887

182

1.25

437

2.38

325

21.

100

374.

801

91

Tabe

la18

:Va

lore

sde

𝐴𝑅

𝐿sim

ulad

ospa

raos

parâ

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ros

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𝑆2

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3

N𝛿

𝐴𝑅

𝐿(𝑠

𝑖𝑚)

1𝐴

𝑅𝐿

(𝑠𝑖𝑚

)0

N𝛿

𝐴𝑅

𝐿(𝑠

𝑖𝑚)

1𝐴

𝑅𝐿

(𝑠𝑖𝑚

)0

N𝛿

𝐴𝑅

𝐿(𝑠

𝑖𝑚)

1𝐴

𝑅𝐿

(𝑠𝑖𝑚

)0

51.

113

1.83

236

8.91

912

1.1

90.1

9136

2.64

619

1.1

69.4

2136

3.58

45

1.2

60.1

2636

3.09

812

1.2

31.9

8437

8.44

519

1.2

21.6

6036

2.43

05

1.5

13.0

1336

4.77

012

1.5

5.08

436

5.43

619

1.5

3.14

435

7.12

85

23.

919

365.

556

122

1.65

737

1.71

919

21.

231

368.

648

61.

111

8.63

037

4.45

813

1.1

83.9

4937

4.49

820

1.1

67.4

3136

8.79

36

1.2

51.7

4836

5.57

413

1.2

29.2

8537

1.56

320

1.2

20.7

7137

2.85

36

1.5

10.2

0437

2.28

813

1.5

4.65

937

0.98

320

1.5

2.93

737

4.65

56

23.

127

361.

989

132

1.54

636

3.24

420

21.

193

370.

632

71.

111

2.66

337

3.45

714

1.1

85.5

2236

3.56

521

1.1

66.7

1137

3.82

77

1.2

47.2

7636

4.64

314

1.2

29.3

1336

8.54

521

1.2

20.0

1135

6.76

67

1.5

9.05

536

2.35

014

1.5

4.64

735

9.59

821

1.5

2.77

536

7.44

17

22.

725

368.

096

142

1.54

136

9.17

121

21.

169

372.

588

81.

111

4.87

636

2.55

315

1.1

80.5

3837

1.94

122

1.1

65.9

5537

1.14

08

1.2

46.6

0236

8.66

715

1.2

26.7

4336

9.32

322

1.2

18.9

5736

7.11

88

1.5

8.78

537

2.27

115

1.5

4.12

836

2.43

822

1.5

2.67

435

9.89

28

22.

595

369.

826

152

1.45

336

6.04

422

21.

161

356.

351

91.

110

3.26

336

9.94

716

1.1

77.7

1836

5.56

723

1.1

63.3

8936

4.86

19

1.2

41.2

2337

9.47

116

1.2

25.6

2536

2.98

123

1.2

18.5

5336

7.03

29

1.5

7.40

236

6.48

616

1.5

3.82

637

2.58

523

1.5

2.64

637

5.70

99

22.

232

372.

310

162

1.38

536

4.19

123

21.

127

371.

681

101.

110

0.41

337

0.18

217

1.1

76.8

2336

5.64

224

1.1

61.3

8437

7.41

910

1.2

37.8

0137

5.02

717

1.2

23.5

0836

9.78

724

1.2

17.2

6836

8.74

110

1.5

6.30

436

7.08

817

1.5

3.59

736

6.32

524

1.5

2.46

736

9.75

410

21.

964

363.

780

172

1.32

337

0.02

024

21.

119

365.

009

111.

194

.579

366.

547

181.

172

.265

362.

905

251.

159

.955

358.

281

111.

234

.493

369.

762

181.

222

.859

373.

427

251.

216

.413

366.

709

111.

55.

664

368.

544

181.

53.

295

372.

529

251.

52.

410

371.

101

112

1.79

836

4.60

018

21.

278

365.

591

252

1.10

036

4.71

2

92 ANEXO B. Valores simulados de 𝐴𝑅𝐿0 e 𝐴𝑅𝐿1 do gráfico de controle 𝐺𝑆2 para os Casos 2, 3 e 4Ta

bela

19:

Valo

res

de𝐴

𝑅𝐿

simul

ados

para

ospa

râm

etro

sót

imos

dogr

áfico

𝐺𝑆

2–

Cas

o4

N𝛿

𝐴𝑅

𝐿(𝑠

𝑖𝑚)

1𝐴

𝑅𝐿

(𝑠𝑖𝑚

)0

N𝛿

𝐴𝑅

𝐿(𝑠

𝑖𝑚)

1𝐴

𝑅𝐿

(𝑠𝑖𝑚

)0

N𝛿

𝐴𝑅

𝐿(𝑠

𝑖𝑚)

1𝐴

𝑅𝐿

(𝑠𝑖𝑚

)0

51.

113

1.98

237

7.90

012

1.1

91.4

8236

8.51

219

1.1

72.5

3237

1.34

35

1.2

60.4

3936

9.56

212

1.2

31.9

6336

4.30

719

1.2

21.6

6537

2.89

75

1.5

12.6

3837

1.77

912

1.5

5.11

537

1.73

119

1.5

3.04

836

6.33

75

24.

011

377.

271

122

1.64

136

6.74

319

21.

222

365.

869

61.

111

9.57

137

4.09

913

1.1

86.4

8937

4.95

420

1.1

69.5

3136

7.06

96

1.2

52.0

3737

2.86

913

1.2

30.1

6336

6.92

220

1.2

20.1

6537

6.06

76

1.5

10.4

3636

5.92

013

1.5

4.55

836

7.63

320

1.5

2.96

536

7.59

06

23.

093

371.

283

132

1.52

536

9.31

720

21.

188

374.

695

71.

111

5.44

837

4.50

914

1.1

83.9

6936

9.68

621

1.1

66.7

7737

5.64

77

1.2

47.0

0436

4.66

314

1.2

29.3

1737

5.58

221

1.2

19.5

0036

6.71

17

1.5

9.06

436

9.37

314

1.5

4.57

837

3.23

621

1.5

2.77

936

5.91

17

22.

742

372.

961

142

1.54

037

5.82

621

21.

175

361.

437

81.

111

3.31

136

9.82

715

1.1

81.8

6836

7.72

222

1.1

64.8

0737

3.71

08

1.2

45.5

6037

4.47

915

1.2

27.2

5637

1.70

522

1.2

19.1

9836

4.02

28

1.5

8.74

435

8.30

615

1.5

4.15

136

3.61

022

1.5

2.73

036

8.42

38

22.

673

381.

114

152

1.46

137

6.89

922

21.

145

371.

044

91.

110

4.96

836

3.64

316

1.1

77.2

1736

6.30

923

1.1

64.7

7437

3.66

79

1.2

40.7

2737

4.61

016

1.2

25.7

4637

6.62

123

1.2

18.4

7237

2.91

89

1.5

7.32

237

1.87

716

1.5

3.88

636

8.05

023

1.5

2.62

037

3.01

89

22.

265

366.

498

162

1.37

536

2.21

223

21.

139

362.

603

101.

198

.699

368.

392

171.

177

.616

370.

244

241.

160

.572

369.

942

101.

237

.732

374.

626

171.

223

.786

371.

576

241.

217

.303

367.

976

101.

56.

351

368.

387

171.

53.

589

371.

024

241.

52.

468

359.

231

102

1.99

336

5.76

417

21.

301

364.

366

242

1.11

637

2.67

711

1.1

94.7

5836

6.30

618

1.1

74.0

0836

5.31

625

1.1

58.6

0036

0.20

611

1.2

33.1

5536

3.75

618

1.2

22.0

5536

7.71

125

1.2

17.3

1738

1.80

011

1.5

5.59

035

8.16

518

1.5

3.24

536

7.26

125

1.5

2.32

236

2.66

811

21.

791

368.

406

182

1.26

437

6.13

225

21.

100

366.

432

93

ANEXO C – Comparação do desempenhodos gráficos de controle 𝐺𝑆2 e𝑆2 para os Casos 2. 3 e 4

94 ANEXO C. Comparação do desempenho dos gráficos de controle 𝐺𝑆2 e 𝑆2 para os Casos 2. 3 e 4Ta

bela

20:D

esem

penh

odo

sgr

áfico

sde

cont

role

𝐺𝑆

2e

𝑆2

–C

aso

2

N𝛿

𝐴𝑅

𝐿𝐺

𝑆2

1𝐴

𝑅𝐿

𝑆2

1N

𝛿𝐴

𝑅𝐿

𝐺𝑆

21

𝐴𝑅

𝐿𝑆

2

1N

𝛿𝐴

𝑅𝐿

𝐺𝑆

21

𝐴𝑅

𝐿𝑆

2

1

51.

113

1.53

810

6.40

512

1.1

89.9

7867

.715

191.

170

.779

50.2

955

1.2

59.6

7542

.325

121.

231

.728

20.7

0019

1.2

21.5

6513

.245

51.

513

.129

8.01

912

1.5

5.09

23.

166

191.

53.

135

2.01

75

23.

992

2.51

312

21.

652

1.26

719

21.

227

1.06

56

1.1

120.

617

97.8

9013

1.1

86.2

5764

.560

201.

168

.489

48.4

136

1.2

51.5

4136

.972

131.

229

.557

19.2

1620

1.2

20.5

3512

.567

61.

510

.360

6.59

713

1.5

4.62

62.

917

201.

52.

959

1.92

66

23.

108

2.11

213

21.

540

1.21

720

21.

194

1.05

47

1.1

114.

523

90.9

2914

1.1

85.4

3161

.645

211.

166

.592

46.7

917

1.2

47.1

3132

.764

141.

229

.203

17.9

2521

1.2

19.6

0111

.944

71.

59.

044

5.59

814

1.5

4.59

22.

706

211.

52.

804

1.84

67

22.

720

1.84

414

21.

541

1.17

721

21.

166

1.04

48

1.1

112.

810

84.9

0315

1.1

81.8

7759

.023

221.

165

.308

45.1

608

1.2

46.1

4429

.457

151.

227

.269

16.7

9422

1.2

19.1

2911

.373

81.

58.

760

4.85

515

1.5

4.18

92.

527

221.

52.

756

1.77

38

22.

635

1.65

515

21.

449

1.14

522

21.

162

1.03

69

1.1

105.

612

79.8

6316

1.1

78.5

2856

.489

231.

163

.273

43.6

209

1.2

41.2

6626

.700

161.

225

.561

15.7

6623

1.2

18.2

5010

.847

91.

57.

408

4.28

316

1.5

3.85

72.

372

231.

52.

617

1.70

99

22.

254

1.51

616

21.

375

1.11

923

21.

138

1.03

010

1.1

99.4

2175

.255

171.

175

.579

54.1

9524

1.1

61.4

6342

.219

101.

237

.381

24.3

5817

1.2

24.0

3614

.825

241.

217

.452

10.3

6310

1.5

6.42

13.

830

171.

53.

578

2.23

824

1.5

2.49

41.

650

102

1.98

91.

411

172

1.31

61.

097

242

1.11

81.

024

111.

194

.352

71.2

8418

1.1

72.9

7952

.117

251.

159

.900

40.9

7411

1.2

34.3

0322

.402

181.

222

.735

14.0

0025

1.2

16.7

229.

914

111.

55.

676

3.46

618

1.5

3.34

02.

121

251.

52.

384

1.59

811

21.

797

1.33

118

21.

267

1.08

025

21.

101

1.02

0

95

Tabe

la21

:Des

empe

nho

dos

gráfi

cos

deco

ntro

le𝐺

𝑆2

e𝑆

2–

Cas

o3

N𝛿

𝐴𝑅

𝐿𝐺

𝑆2

1𝐴

𝑅𝐿

𝑆2

1N

𝛿𝐴

𝑅𝐿

𝐺𝑆

21

𝐴𝑅

𝐿𝑆

2

1N

𝛿𝐴

𝑅𝐿

𝐺𝑆

21

𝐴𝑅

𝐿𝑆

2

1

51.

113

1.57

710

6.43

412

1.1

90.1

1467

.805

191.

170

.663

50.1

965

1.2

59.7

0242

.331

121.

231

.737

20.7

0319

1.2

21.5

7013

.247

51.

513

.117

8.01

012

1.5

5.09

43.

167

191.

53.

136

2.01

85

23.

991

2.51

212

21.

652

1.26

819

21.

227

1.06

56

1.1

120.

773

98.0

0513

1.1

86.2

5564

.554

201.

168

.448

48.3

676

1.2

51.4

8436

.933

131.

229

.559

19.2

1720

1.2

20.5

3612

.566

61.

510

.367

6.60

013

1.5

4.62

52.

917

201.

52.

959

1.92

66

23.

108

2.11

213

21.

540

1.21

720

21.

194

1.05

47

1.1

114.

418

90.8

4914

1.1

85.4

4561

.653

211.

166

.471

46.7

107

1.2

47.1

9232

.803

141.

229

.205

17.9

2621

1.2

19.6

1311

.950

71.

59.

044

5.59

814

1.5

4.59

32.

706

211.

52.

804

1.84

57

22.

720

1.84

414

21.

541

1.17

721

21.

166

1.04

48

1.1

112.

858

84.9

2015

1.1

81.8

0458

.973

221.

165

.251

45.1

198

1.2

46.1

3329

.426

151.

227

.247

16.7

8122

1.2

19.1

3611

.374

81.

58.

754

4.85

315

1.5

4.19

02.

527

221.

52.

757

1.77

38

22.

635

1.65

515

21.

449

1.14

522

21.

162

1.03

69

1.1

105.

456

79.7

3316

1.1

78.5

8056

.497

231.

163

.277

43.6

179

1.2

41.2

5526

.687

161.

225

.538

15.7

5323

1.2

18.2

4810

.845

91.

57.

409

4.28

416

1.5

3.85

72.

372

231.

52.

617

1.70

99

22.

255

1.51

616

21.

375

1.11

923

21.

138

1.03

010

1.1

99.4

1675

.245

171.

175

.642

54.2

0924

1.1

61.5

1942

.255

101.

237

.372

24.3

5117

1.2

24.0

5114

.832

241.

217

.462

10.3

6510

1.5

6.42

33.

830

171.

53.

577

2.23

824

1.5

2.49

41.

651

102

1.98

91.

411

172

1.31

61.

097

242

1.11

81.

024

111.

194

.369

71.2

6718

1.1

72.9

9152

.123

251.

159

.798

40.9

0711

1.2

34.3

2122

.401

181.

222

.733

13.9

9825

1.2

16.7

299.

916

111.

55.

676

3.46

618

1.5

3.34

02.

121

251.

52.

385

1.59

811

21.

797

1.33

118

21.

268

1.08

025

21.

101

1.02

0

96 ANEXO C. Comparação do desempenho dos gráficos de controle 𝐺𝑆2 e 𝑆2 para os Casos 2. 3 e 4Ta

bela

22:D

esem

penh

odo

sgr

áfico

sde

cont

role

𝐺𝑆

2e

𝑆2

–C

aso

4

N𝛿

𝐴𝑅

𝐿𝐺

𝑆2

1𝐴

𝑅𝐿

𝑆2

1N

𝛿𝐴

𝑅𝐿

𝐺𝑆

21

𝐴𝑅

𝐿𝑆

2

1N

𝛿𝐴

𝑅𝐿

𝐺𝑆

21

𝐴𝑅

𝐿𝑆

2

1

51.

113

1.69

010

6.52

112

1.1

90.0

5167

.755

191.

170

.730

50.2

395

1.2

59.7

3442

.358

121.

231

.745

20.6

9719

1.2

21.6

2513

.247

51.

513

.115

8.00

712

1.5

5.09

33.

166

191.

53.

136

2.01

85

23.

994

2.51

312

21.

652

1.26

719

21.

227

1.06

56

1.1

120.

871

98.0

4913

1.1

86.2

8064

.573

201.

168

.593

48.4

286

1.2

51.5

6236

.970

131.

229

.598

19.2

3520

1.2

20.5

3012

.563

61.

510

.369

6.59

813

1.5

4.62

62.

917

201.

52.

959

1.92

66

23.

109

2.11

213

21.

540

1.21

720

21.

194

1.05

47

1.1

114.

464

90.8

8414

1.1

85.4

5061

.656

211.

166

.455

46.6

967

1.2

47.1

2032

.757

141.

229

.206

17.9

2621

1.2

19.6

0911

.948

71.

59.

044

5.59

814

1.5

4.59

22.

706

211.

52.

804

1.84

67

22.

720

1.84

414

21.

542

1.17

721

21.

166

1.04

48

1.1

112.

782

84.8

8115

1.1

81.7

8558

.956

221.

165

.329

45.1

678

1.2

46.1

1829

.440

151.

227

.264

16.7

9022

1.2

19.1

4411

.378

81.

58.

758

4.85

515

1.5

4.19

22.

527

221.

52.

756

1.77

38

22.

635

1.65

515

21.

449

1.14

522

21.

162

1.03

69

1.1

105.

568

79.8

3116

1.1

78.5

4256

.498

231.

163

.331

43.6

529

1.2

41.2

7026

.694

161.

225

.536

15.7

5223

1.2

18.2

5310

.848

91.

57.

408

4.28

316

1.5

3.85

82.

373

231.

52.

617

1.70

99

22.

255

1.51

616

21.

375

1.11

923

21.

138

1.03

010

1.1

99.6

2975

.340

171.

175

.706

54.2

6324

1.1

61.4

9242

.219

101.

237

.419

24.3

7617

1.2

24.0

6114

.837

241.

217

.455

10.3

6410

1.5

6.42

13.

830

171.

53.

578

2.23

824

1.5

2.49

41.

650

102

1.99

01.

412

172

1.31

61.

097

242

1.11

81.

024

111.

194

.397

71.2

9518

1.1

73.0

1452

.139

251.

159

.901

40.9

0611

1.2

34.3

0322

.400

181.

222

.747

14.0

0625

1.2

16.7

249.

914

111.

55.

676

3.46

618

1.5

3.34

02.

121

251.

52.

385

1.59

811

21.

797

1.33

118

21.

267

1.08

025

21.

101

1.02

0

Documents

· Agradecimentos ADeus,pelasuapresençaemtodososmomentosdeminhavida,sendosuportee forçaaolongodestacaminhada. Aos meus pais João Leandro Bezerra e Antonia Maria da