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Cálculos Financeiros

Profª Karine R. de Souza

AULA 4

Duas taxas são proporcionais quando seus valores formam uma proporção com os tempos a elas referidos, reduzidos à mesma unidade.

Exemplos:

1) Calcular a taxa anual proporcional a:

(a) 6% ao mês = 6% *12 = 72% ao ano

(b) 10% ao bimestre = 10% * 6 = 60% ao ano

2) Calcular a taxa de juros semestral proporcional a:

(a) 60% a.a

(b) 9% a.t

Taxas Proporcionais

a) i = 60% * 6 = 30% a.s 12

b) i = 9% * 6= 18% a.s 3

Resolução

Taxas Equivalentes:

Duas taxas são equivalentes quando, aplicadas a um mesmo capital, durante o mesmo período , produzem o mesmo juro. No regime de juros simples, taxas proporcionais e taxas equivalentes são consideradas a mesma coisa, sendo indiferente a classificação de duas taxas de juros como proporcionais ou equivalentes.

No exemplo da aula anterior vimos que 4% a.m e 12% a. t são

taxas equivalentes. Podemos observar que 2,5 % a.m é equivalente a 15% a.s.

Exercícios: 1) Calcule o juro correspondente a um capital de R$ 185.000,00

aplicado durante 2 anos, 4 meses e 10 dias, à taxa de 36% ao ano.

Resolução:

Como o tempo foi dado sob a forma de numeral complexo, a primeira coisa a ser feita é a obtenção do número de dias correspondentes, lembrando que:

1 ano = 360 dias (Juros comercial) e 1 mês (30 dias)

Assim:2 anos 4 meses 10 dias ( 2*360 +4*30 +10) dias = 850 dias

Temos, então:

C= 185.000,00

t = 850 dias

i= 36% a.a = 36/360 % a.d = 0,1 % a.d = 0,001 a.d

Daí :

J = 185.000,00*0,001*850 = 157.250,00

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2) Que capital que, à taxa de 2,5 ao mês , rende juros de R$ 126.000,00 em 3 anos?

3) Um capital de R$ 80.000,00 é aplicado à taxa de 2,5 ao mês durante um trimestre. Pede-se determinar o valor de juros neste período?

4) Um negociante tomou empréstimo pagando uma taxa de juros simples de 6% ao mês durante 9 meses. Ao final deste período , calculou em R$ 270.000,00 o total de juros incorridos na operação. Determinar o valor do empréstimo.

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Soluções:

2) C= ?

J = 126. 000,00

i = 2,5 a.m = 30% a.a = 0,3 a. a

n = 3 anos

Assim,

C = 126.000,00 = 140.000,00 0,3* 3

3) solução:

C = 80.000,00

i = 2,5 % a.m ( 0,025)

t = 3 meses

J = ?

J= 80.000,00 *0,025* 3

J= 6.000,00

4)

C = ?

I = 6% a. m ( 0,06)

t = 9 meses

J = 270.000,00

C = J = 270.000,00 = 500.000,00

i *n 0,06*9

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Montante e Capital

Um determinado capital, quando aplicado a uma taxa periódica de juro por determinado tempo, produz um valor acumulado denominado de montante, e identificado em juros simples por M. Em outras palavras, o montante é constituido do capital mais o valor acumulado dos juros, isto é:

M = C+ J

No entanto, sabe-se que:

J =C*i*tSubstituindo esta expressão básica na fórmula do montante supra, e colocando –se C em evidência:

M = C+C * i* t Logo,

M= C(1+i*n)

Evidentemente, o valor de C desta fórmula pode ser obtido através de simples transformação algébrica.

C = M (1+i*t)

Exemplo: Uma pessoa aplica R$ 18.000,00 à taxa de 1,5 a.m durante 8 meses. Determine o valor acumulado ao final deste período.

Solução:

C = 18.000,00i = 1,5% a. m ( 0,015)n = 8 mesesM = ?M= C (1+i *t)M= 18.000,00 ( 1+0,015*8)M= 18.000,00 *1,12 = 20.160,00

Exercícios:

1) Calcular o montante de um capital de R$ 600.000,00 aplicado à taxa de 2,3 a.m pelo prazo de um ano e 5 meses.

2) Uma dívida de R$ 30.000,00 a vencer dentro de um ano é saldada 3 meses antes. Para a sua quitação antecipada, o credor concede um desconto de 15% a.a. Apurar o valor da dívida a ser pago antecipadamente.

3) Se uma pessoa necessitar de R$ 100.000,00 daqui a 10 meses, quanto deverá ela depositar hoje num fundo de poupança que remunera à taxa linear de 12% a.a?

4) Qual o capital que produz o montante de R$ 285.000,00, a 28% a.a, durante 6 meses?

5) Que montante receberá um aplicador que tenha investido R$ 280.000,00 durante 15 meses, à taxa de 3% a mês?

Exercícios:

6) Determinar o valor do capital que deve ser aplicado com uma taxa de juros de 1,5% ao mês, para produzir um montante de R$ 10.000,00 no prazo de dois semestres, no regime de juros simples.

7)Determinar o valor do montante acumulado em 12 meses, a partir de um capital de R$ 10.000,00, aplicado com uma taxa de 12% ao ano, no regime de juros simples?

8) Determinar o número de meses necessários para um capital dobrar de valor, com uma taxa de juros de 2% ao mês, no regime de juros simples?

9) Determinar o valor da rentabilidade mensal, a juros simples, que faz um capital de R$ 1.000,00 se transformar num montante de R$ 1.250,00, num prazo de 20 meses?

10) Determine o montante de uma aplicação de R$ 50.000,00, à taxa de 2% ao mês, durante 2 anos?

Soluções:

1) M= ? C = R$ 600.000,00 t = 1 ano e 5 meses (17 meses) i = 2,3% a.m ( 0,023) M= C(1+i *t) M = 600.000,00 (1 + 0,023*17) M = 834.600,00

2) M= R$ 30.000,00 n = 3 meses i = 15% a. a ( 15%/12 = 1,25% a.m = 0,0125 a.m) C=? C = 30.000,00 = 28.915,66 1+0,0125*3

3)

M = R$ 100.000,00

t= 10 meses

i= 12% a. a = 1%a. m = 0,01 a.m

C= ?

C = 100.000,00 = 100.000,00 = $ 90.909,09

1+0,01*10 1,10

4)

M = R$ 285.000,00

t= 6 meses =2 trimestres

i= 28% a. a = 7%a. t = 0,07 a.t

C= ?

C = 285.000,00 = 285.000,00 = $ 250.000,00

1+0,07*2 1,14

5)

M = ?

t= 15 meses

i= 3% a. m = 0,03 a.m

C= 280.000,00

M = 280.000 ( 1+0,03*15) = 280.000 *1,45 = 406.000,00

M = R$ 406.000,00

6)

M = R$ 10.000,00

t= 2 semestres = 12 meses

i= 1,5 % a.m= 0,015 a.m

C= ?

C = 10.000,00 = 10.000,00 = $ 8.474,58

1+0,015*12 1,18

7)

M = ?

t= 12 meses

i= 12 % a.a = 1% a.m= 0,01 a.m

C= 10.0000,00

M= C (1+i.t)

M= 10.000,00( 1+0,01*12) = R$ 11.200,00

8)

Supondo o valor do capital de R$ 100,00, então teríamos um montante de R$ 200,00.

M = R$ 200.00

t= ?

i= 2% a.m= 0,02 a.m

C= R$ 100,00

M= C (1+i.t)

200= 100,00( 1+0,02t)

200/100 = 1+0,02t

2-1 =0,02 t

1 = 0,02t

t= 50 meses

9)

M = R$1. 250.00

t= 20 meses

i= ? a.m

C= R$ 1.000,00

M= C (1+i.t)

1.250,00= 1000,00( 1+20i)

1.250/1000 = 1+20i

1,25 -1 =20i

0,25 = 20i

i= 0,0125 = 1,25% a.m

10)

M = ?

t= 2 anos = 24 meses

i= 2% a. m = 0,02 a.m

C= 50.000,00

M = 50.000,00 ( 1+0,02*24) = 50.000,00 *1,48 = 74.000,00

M = R$ 74.000,00