– Computaç˜ao e Análise em Equaç˜oes Diferenciais Parciais

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  • INTRODUCAO AO

    METODO DE ELEMENTOS FINITOS

    Computacao e Analise em

    Equacoes Diferenciais Parciais

    MAURO A. RINCON

    I-SHIH LIU

    Universidade Federal do Rio de Janeiro

    Instituto de Matematica

    2013

  • Prefacio

    A origem do presente livro data de 1997, quando os autores objetivavam a obtencao desolucoes numericas aproximadas de equacoes diferenciais parciais do tipo elptico des-crevendo modelos matematicos da teoria de elasticidade linear. Por meio de seminariosforam estudadas existencia e unicidade de solucoes de alguns problemas e a correspon-dente formulacao variacional. Para obter a solucao numerica aproximada, optamos pelometodo de elementos finitos. Inicialmente, utilizamos programas computacionais emlinguagem Fortran desenvolvidos por outros autores. Tais programas por sua generali-dade, nao eram didaticos e consequentemente dificultavam o entendimento do conteudomatematico e a adaptacao a problemas especficos. Deste modo, desenvolvemos nos-sos proprios programas computacionais utilizando linguagem C, especificamente, paraatender aos nossos objetivos. Eles sao simples e de facil entendimento.

    No captulo 1 sao deduzidos alguns modelos da fsica matematica, tais como, aequacao da conducao do calor e a teoria de elasticidade linear, que serao estudados,no contexto do metodo de elementos finitos, nos proximos captulos deste livro. Paramelhor compreensao da deducao dos modelos sao consideradas as leis de conservacao,as equacoes constitutivas lineares e o conceito de pequenas deformacoes. Tambem saofeitas comparacoes entre alguns metodos numericos com o objetivo de motivar o estudodo metodo de elementos finitos.

    No final deste captulo, apresentamos o metodo de aproximacao por diferencasfinitas, que sera utilizado nas equacoes de evolucao dos captulos 6 e 7.

    O captulo 2 trata de um problema modelo estacionario unidimensional de equacoesdiferenciais parciais com condicoes na fronteira. Alguns exemplos numericos sao exibi-dos, utilizando varios tipos de valores de fronteira, comparando-se os resultados obtidoscom aqueles da solucao exata do problema. Os erros nas normas de L2() e H1() saomostrados em cada um dos exemplos dados.

    O captulo 3 introduzimos as mais usuais funcoes base de ordem superior, ou seja,a funcao base quadratica, a base spline cubica e a funcao base de Hermite. Estimativasde erros em espacos de Sobolev, sao feitas para o problema modelo elptico.

    O captulo 4 apresentamos o problema estacionario bidimensional. Sao estudadasas formulacoes forte e fraca, existencia e as condicoes para a unicidade de solucoes.

    i

  • ii

    Varios tipos de valores fronteira sao considerados e alguns exemplos numericos saodados juntamente com as respectivas solucoes exatas. Para resolver o sistema linear,associado ao metodo de elementos finitos, utilizamos o algoritmo de Crout. Conclumoso captulo, mostrando os graficos das solucoes e os erros associados nas normas L2()e H1().

    No captulo 5 apresentamos o problema modelo de elasticidade linear para o casobidimensional. Os mesmos topicos do captulo 4 sao abordados, considerando-se, noentanto, a solucao vetorial do problema. Deste modo, a dimensao do sistema linearcorrespondente e aproximadamente o dobro, uma vez que temos, neste caso, as com-ponentes verticais e horizontais. Simulacoes numericas, erros e graficos sao mostrados.

    No captulo 6, introduzimos alguns dos metodos numericos mais conhecidos daliteratura e seus algoritmos para resolver o problema parabolico modelo: Equac~ao docalor. Sao dados alguns exemplos numericos e comparacoes entre os diversos metodosnumericos. Sao tambem apresentados graficos e tabelas de erros.

    No captulo 7, sao dados alguns metodos numericos, muito conhecidos da literaturae seus algoritmos para resolver o problema hiperbolico modelo: Equac~ao da onda. Saodados alguns exemplos numericos e comparacoes entre os diversos metodos numericos.Sao tambem apresentados graficos e tabelas de erros.

    Os captulos 8 e 9 sao captulos complementares e mais indicados para alunos quequerem se aprofundar na analise matematica da equacao. Assim nao sao necessariosnum primeiro curso para o entendimento dos metodos numericos desenvolvidos noscaptulos anteriores. Sao apresentados os resultados teoricos das equacoes.

    No apendice A, contem com os programas computacionais utilizados para obtencaodas solucoes numericas dos modelos estacionarios tratados no presente texto. Asvariaveis, funcoes e subrotinas dos programas sao referidos no texto e no ndice re-missivo usando a fonte typewriter, por exemplo: Nel, Phi, Solver, etc.

    Esperamos que este livro, devido a forma simples, porem detalhada com a qual foiescrito, possa constituir um primeiro curso do metodo de elementos finitos, para alunosalunos de iniciacao cientfica e mestrado, interessados em analise numerica de equacoesdiferenciais parciais.

    Queremos expressar nossos agradecimentos a todos os alunos e professores que nosenviaram correcoes e sugestoes, e em particular aos alunos e colegas da area de Algo-ritmos e Metodos Numericos do Programa de Pos-Graduacao em Informatica (PPGI).

    Receberemos com prazer, crticas e sugestoes que venham a contribuir para o aper-feicoamento deste livro.

    I-S. LiuM. A. Rincon

  • Sumario

    1 Introducao 11.1 Conducao do Calor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

    1.1.1 Equacao da Energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1.2 Equacoes Constitutivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.1.3 Tensor de Condutividade Termica . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.1.4 Condicoes de Fronteira . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

    1.2 Elasticidade Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2.1 Pequena Deformacao e Rotacao Infinitesimal . . . . . . . . . . . 61.2.2 Equacao do Movimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.2.3 Lei de Hooke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.2.4 Problemas Elastostaticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

    1.3 Convencao de Somatorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.4 Metodos Numericos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

    1.4.1 Metodo da Colocacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.4.2 Metodo de Galerkin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.4.3 Elementos Finitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

    1.5 Problemas Variacionais Abstratos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.5.1 Formulacao Variacional Abstrata . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.5.2 Espaco das Funcoes Testes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

    1.6 Aproximacao por Diferencas Finitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

    2 Problema Estacionario Unidimensional 292.1 Formulacao do Problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.2 Funcao de Interpolacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.3 Sistema Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382.4 Matriz Local e Forca Local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402.5 Matriz Global e Forca Global . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422.6 Integracao Numerica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482.7 Condicoes de Fronteira . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 522.8 Programa Computacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 602.9 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 642.10 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

    iii

  • iv Sumario

    3 Funcao Base e Estimativa de Erro 75

    3.1 Funcao Base de Ordem Superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

    3.1.1 Base Quadratica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

    3.1.2 Base Cubica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

    3.1.3 Base de Hermite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

    3.2 Analise de Erro do Problema Estacionario . . . . . . . . . . . . . . . . 89

    3.2.1 Erro de Interpolacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

    3.2.2 Erro na Norma H1() . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

    3.2.3 Erro na Norma L2() . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

    3.2.4 Erro na Norma Hm() . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

    3.3 Erro Numerico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

    3.4 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

    4 Problema Estacionario Bidimensional 101

    4.1 Formulacao do Problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

    4.2 Discretizacao do Domnio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

    4.3 Interpolacao dos Dados Iniciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

    4.4 Propriedades da Matriz Rigidez . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

    4.5 Funcao de Interpolacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

    4.6 Quadratura Gaussiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

    4.7 Construcao da Matriz Global e Forca Global . . . . . . . . . . . . . . . 136

    4.8 Resolucao do Sistema Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

    4.9 Sistema Linear Global . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

    4.10 Erro da Solucao Numerica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

    4.11 Entrada e Sada de Dados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

    4.12 Exemplos Numericos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

    4.13 Unicidade: Problema de Neumann . . . . . . . . . . . . . . . . .