74

ˇ ˘ ˘ ˆ - paginas.fe.up.ptpaginas.fe.up.pt/~em00021/ee/stability.pdf · ˇˆ ˘ ˙ ˙ ˘ ˘ ˙ ˘ ˘ ˝˛˚˚˜ ˚! "# $! Colunas Elásticas Formulação Diferencial Soluções

  • Upload
    lengoc

  • View
    241

  • Download
    0

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: ˇ ˘ ˘ ˆ - paginas.fe.up.ptpaginas.fe.up.pt/~em00021/ee/stability.pdf · ˇˆ ˘ ˙ ˙ ˘ ˘ ˙ ˘ ˘ ˝˛˚˚˜ ˚! "# $! Colunas Elásticas Formulação Diferencial Soluções

���������������� �����������������

����������������

��

�����������������������������������������������������������������������

���������� ��������������

������������������������������������ ���

�����

����������������� �������������� �� ����������� ������������ �������������

��

���� ���

�����

Page 2: ˇ ˘ ˘ ˆ - paginas.fe.up.ptpaginas.fe.up.pt/~em00021/ee/stability.pdf · ˇˆ ˘ ˙ ˙ ˘ ˘ ˙ ˘ ˘ ˝˛˚˚˜ ˚! "# $! Colunas Elásticas Formulação Diferencial Soluções

� � ����� ���������� ������������ ������������ ������������� �

����� ������������� ������� �!� � "#�$�%��

������������� �� ���������������������������������������������������������������������������

�����������������������������������������������������������������������������������

&���� ����' �(���)� $$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$ !

�� ��*���+ ,��)� $$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$ !

����� ��%�-�.� ��������������-� ����$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$ !

����� ����-�.� ���)����� �����)���������������)��� $$$$$ /

�� ��*���������)� $$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$%%

0��� ������� ������������' �(������&�����1�'&2$$$$$$$$$$$$$$$$$$%%

0��� �����+ �����)$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$%%

����� ��%���.� ��)��������������� ����������� ����� �����

����)������������������3������ �� $$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$%%

����� ������.� ��)��������������� ����������� ����� �����

����)������������������%4������ ��$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$%5

����� ��5���.� ��)��������������� ������ ���������)�����

���)����������������6������������3������ ��$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$%4

&���� ��������)� $$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$%3

����� ��%���.� ����-�)�����)��������������� �����������

�����������3������ �������� $$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$%3

&���� ����7��)�� $$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$��

����������08 ���9-0��:$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$��

&���� ��������)� $$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$��

����� ��%�-�.� ��)�������)���������������������� �� $$��

����� �� �;� .� �� ��� ����� �)����� �� )��� ��� �����

���� ��������$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$�4

&���� ����+ �����)$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$�3

����� ��%;�.� ��)�������������� ���������������� �� $$$$$$$�3

����� ���;�.� ���)�������������������-� ����$$$$$$$$$5�

�������������������� ���������������������������������������������������������� ��

�����������<�� ��0���:���$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$5�

Page 3: ˇ ˘ ˘ ˆ - paginas.fe.up.ptpaginas.fe.up.pt/~em00021/ee/stability.pdf · ˇˆ ˘ ˙ ˙ ˘ ˘ ˙ ˘ ˘ ˝˛˚˚˜ ˚! "# $! Colunas Elásticas Formulação Diferencial Soluções

� � ����� ���������� ������������ ������������ ������������� �

����� ������������� ������� �!� � "#�$����

�����������<�� ������� $$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$5�

� ������������� �������������������������������������������������������������������� ��

�� ��*���+ ,��)� $$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$53

7�����.� ���)������� �����)������)�������� �$$$$$$$$53

�� ��*���������)� $$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$��

0��� ������� ������������' �(������&�����1�'&2$$$$$$$$$$$$$$$$$$��

0��� �����+ �����)$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$��

����� �;�7���)� ���������������� ���� $$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$��

0��� ���������)� $$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$�/

����� �;� 7��� )� �� �)����� ��� �������� �� )��� �� ������

���� ������ �������������,��� $$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$�/

&���� ����7��)�� $$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$!5

����������08 ���9-0��:�1&���� ��������)� 2 $$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$!5

����� ��%;�7���)� ��)�������)���������������������� ��

$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$!5

����������08 ���9-0��:�1&���� ����+ �����)2 $$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$!3

����� ��%;�7���)� ��)�������)���������������������� ��

$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$!3

�������������������� �! ��� ���" � �������������������������������������� #$

=��������(����*������>0����1�?������2 $$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$4@

��������� ������������������������������������������������������������������������� %&

'�������(�� ����������������������������������������������������������������������� %�

Page 4: ˇ ˘ ˘ ˆ - paginas.fe.up.ptpaginas.fe.up.pt/~em00021/ee/stability.pdf · ˇˆ ˘ ˙ ˙ ˘ ˘ ˙ ˘ ˘ ˝˛˚˚˜ ˚! "# $! Colunas Elásticas Formulação Diferencial Soluções

� � ����� ���������� ������������ ������������ ������������� �

����� ������������� ������� �!� � "#�$�5��

Introdução

����� ��� 9�� (��� �� �:��� �� A������ � ���)�� �� ��� ����� ������������� ������������ �)�����)�9�)��������B����������������� �������������� ���$�

������)�������C�)���������������� ����������� ������������� �������������� �� )��� )�,��)� 1�� )��� ��� )� ��2� �� ���� �������� �� ����(����� 1�� )��� ��� ����-)� �2$� +� �������� ������� � ����� )�,��)��� �������� ��������� B���� ������ ���������� ��C����� � )���� ����� ������D���������$� ������ ����� ���*��� ����� �� ������ ������ ���� ���)����� �������� ���� ������� �� ��������� ���� ����� ����$� '����� ��)�����(�������������#���� ��������������� ����������������������� ���6�)�� ��� ������ �������� ����� ���� � ���� ���)�� ��� ����������������6������������������������� ��������B������� ���������������$�

���������� ��

������������������ ������������ ������������ ��������������������� 9�����;�

� ����������������)�� &���� ����' �(���)� ;�

• + ���)����E�• ������)����� �� ������� ��� ' �(������

&����;�o + �����)����E�o ����)� �������7 �����"�<�����$�

� &���� ����7��)�� �������������08 ���9-0��:;�

Page 5: ˇ ˘ ˘ ˆ - paginas.fe.up.ptpaginas.fe.up.pt/~em00021/ee/stability.pdf · ˇˆ ˘ ˙ ˙ ˘ ˘ ˙ ˘ ˘ ˝˛˚˚˜ ˚! "# $! Colunas Elásticas Formulação Diferencial Soluções

� � ����� ���������� ������������ ������������ ������������� �

����� ������������� ������� �!� � "#�$����

o + �����)����E�o ����)� ������

� ��������������������)�� �����������<�� ��0���:����� �����������<�� ��������

�� � ����������������������)�

� &���� ����' �(���)� ;�• + ���)����E�• ������)����� �� ������� ��� ' �(������

&����;�o + �����)����E�o ����)� �������7 �����"�<�����$�

� &���� ����7��)�� �������������08 ���9-0��:;�o + �����)����E�o ����)� ������

�� ������������������������������� �! ��� �����! ���! *�������

���! �����(�����)�� .�������(����*������>���$�

�+�� ���� ��� ��� 9�� ���-��� ������� B��� ����,�� � )������ ���

���� �����)����� ��*��� ,��)������������� ��������������������������������������������������������$��

Page 6: ˇ ˘ ˘ ˆ - paginas.fe.up.ptpaginas.fe.up.pt/~em00021/ee/stability.pdf · ˇˆ ˘ ˙ ˙ ˘ ˘ ˙ ˘ ˘ ˝˛˚˚˜ ˚! "# $! Colunas Elásticas Formulação Diferencial Soluções

� � ����� ���������� ������������ ������������ ������������� �

����� ������������� ������� �!� � "#�$�!��

Colunas Elásticas

Formulação Diferencial �

Soluções Analíticas �

����� ��%�-�.� ��������������-� �����

��

+��B�������(���)� ����B����������������(�����������)� ���;�

��

��

=+��

��

��

���

���B����

��

! =� �

.���� ���� �B����� ��(���)� � �� 9������� � �� ����� ����� ����� ���������(���;�

( ) ( ) �"� �# �$� +++= )���� �

��������������������������������� ��������;�

( ) ( )( ) ( ) �# �$ �

" �# �$ �

)����

��)���� −−=′′

+−=′�

�"�� ) )� �� �� )������� +6� F6� .� �� ' � ����-��� ���� �� )����*���

(������������������ ��B�����������������;�

��

��

=′′�==′�=

=�==�=

��

��

���

���

���

��

�+���������������������������;�

Page 7: ˇ ˘ ˘ ˆ - paginas.fe.up.ptpaginas.fe.up.pt/~em00021/ee/stability.pdf · ˇˆ ˘ ˙ ˙ ˘ ˘ ˙ ˘ ˘ ˝˛˚˚˜ ˚! "# $! Colunas Elásticas Formulação Diferencial Soluções

� � ����� ���������� ������������ ������������ ������������� �

����� ������������� ������� �!� � "#�$�4��

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )�

��

=×−×−

=+×+×=+×+×+×

=+×+×+×

��)�����

���)��

�)����

���)�����

�� � # � $

"� # � $

��"� #� $

�" # $

�+�����:�G&H�����)��(�)���������#�����;�

[ ] ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) �

���

×−×−−

=

���)�����

�%��)��

%)����

%�%�

�� � �

� �

� � �% �

�+� )������� ��� ����� ����� �)����� B���� ������ � )������� ���G&HI�6�

B���)����������J�������������� ��*��������������������������$������G&H��<������� ����������:����#��������;��

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ������

)���������)��)���)����

=++×+−××+×−

� � �

� � � � � � � ��

�+������������������(��������#������������(������������;�

�+�����������:�������B������;�

54@$�= � ��

Page 8: ˇ ˘ ˘ ˆ - paginas.fe.up.ptpaginas.fe.up.pt/~em00021/ee/stability.pdf · ˇˆ ˘ ˙ ˙ ˘ ˘ ˙ ˘ ˘ ˝˛˚˚˜ ˚! "# $! Colunas Elásticas Formulação Diferencial Soluções

� � ����� ���������� ������������ ������������ ������������� �

����� ������������� ������� �!� � "#�$�/��

+�)���)����)����#����������� ������������������;�

( )��

�%5�!@$%

4%�$!

��

��!

π== �

��

��

����� ����-�.� ���)����� �����)���������������)����

�.��������������B��*��������(���)����������(����������6�

���������)����%��������������)�����;�

( )%�

%�

% �!��

���� −= δ ��

( )��

��

� �!��

���� −= δ �

����(�)-��� B��� � �� ����� ����)� �� ������ ���� �B��*��� �;� 8�IK6� ����(����;�

%

�%

��

! = �����

��

��

! = �

���� ��*�������B��*�����(���)�����������������(����

( ) ( ) δ= + +% % % % %)�� ��� $ � # � �

Page 9: ˇ ˘ ˘ ˆ - paginas.fe.up.ptpaginas.fe.up.pt/~em00021/ee/stability.pdf · ˇˆ ˘ ˙ ˙ ˘ ˘ ˙ ˘ ˘ ˝˛˚˚˜ ˚! "# $! Colunas Elásticas Formulação Diferencial Soluções

� � ����� ���������� ������������ ������������ ������������� �

����� ������������� ������� �!� � "#�$�3��

( ) ( ) δ= + +� � � � �)�� ��� $ � # � ��

+��)����*���(�������������(�����������������������;�

= � =��� ′= � =��

� �

� �

� �

� ��

+�� ���#����� +�� �� F�� ���� ������� ����� � ������ ��� �������� ������� ����B��*��;�

�( ) ( )

( ) ( )δ= × + × +��

�= × − ×��

� � � �

� � � � � �

� )�� � �� �

� �� � )�� �

$ #

$ # � �

0��� �������������������������+����F�;�� =� �$ � �

� δ= −�# � �

�+��B���������(�����������L���������#�����;�

� ( )( )δ= −� �% )��� � � �

����������������������)����*���(����������;�

( ) ( )( )����%�

%

)��% � �����

���

−==�==�=

δδ

�.��������)����*���(���������������) )� ����)�������+%���F%��

�����������������������;�

( ) ( )( ) ( ) ( )( )�

��

−=++=++

���%%�%%

%%%%

)��%��)��

��)��

� � #� $

� #� $

δδδδ

( )( )

( ) ( ) ( )��

��

+=

−=

�%�%%

��%

%%%

��)���

)��

� � �

� #

� � #$

δ �

.���� �� ����� �I �� ��� ����� ������ ���� � ����� ������ ����������� ����������������������(��*�����) )� ��������)���)�,��);�

( ) ( )( )( )�

��

−=++=

� �

� #� $�

��

%%%%%

)��%

��)��

δδ�

( ) ( )( )�

��

=′+−=′

� �

� #� $�

���

%%%%%%%

��

)����

δ�

���

Page 10: ˇ ˘ ˘ ˆ - paginas.fe.up.ptpaginas.fe.up.pt/~em00021/ee/stability.pdf · ˇˆ ˘ ˙ ˙ ˘ ˘ ˙ ˘ ˘ ˝˛˚˚˜ ˚! "# $! Colunas Elásticas Formulação Diferencial Soluções

� � ����� ���������� ������������ ������������ ������������� �

����� ������������� ������� �!� � "#�$�@��

���������I ��������������;��

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )�%

�%�%%

��%�%%

�%�%%

��%���

�%%%�%%%���

)����)���

)����

��)���

)�����

)������

� � � �

� �

� � �

� � �

� #� $�

++

=

⇔+−=δ

��������������������� �*��;�

( ) ( )( ) ( )( )( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )�

��

���

−=++=+

++

=+=

+=

�%%%�%%%�%%%

%%�%�%%%�%%%

�%%

�%%�%%%

�%

����)��)��)��

)����)������

)��

����

� � � � � �

� � � � � �

��

�� �� �

���

����M�-���������������������;�

( ) ( )

%�

%

%

%

%��%%

��

��

��

��

!�

��

!

� �

=��

����

���

����

==

��������������������-������������� ������)����)�,��)�$�+����� �����

�����)����(��������"����������,�� $�+������������� ������������;�

��

���!�� = �

���� �����������������) )� ��������(��������� �*������N% N���� % �;�

( )�

%

%

%

� ���

��

�� =��

����

�× �

�.�������-��� � �������� ��� � ��� �� ��A������ �� ��� � ����� ���

��(��M)����� % ����N% N�;�

����1/����2 I1/I2

0,1 0,25 0,5 0,75 1 1,5 2 5 10

0,01 0,74016 0,35191 0,18732 0,12758 0,09672 0,06518 0,04915 0,01983 0,00993 0,05 1,23201 0,68104 0,38730 0,27012 0,20722 0,14123 0,10702 0,04328 0,02140

0,1 1,45499 0,87223 0,51722 0,36631 0,28310 0,19412 0,14731 0,05892 0,02831 0,2 1,66340 1,08484 0,67559 0,48708 0,37930 0,26102 0,19757 0,07586 0,03378

0,25 1,72539 1,15574 0,73188 0,53072 0,41409 0,28482 0,21497 0,08043 0,03438 0,5 1,89824 1,37507 0,91653 0,67449 0,52669 0,35698 0,26334 0,08494 0,03037

0,75 1,98458 1,49742 1,02461 0,75586 0,58580 0,38685 0,27705 0,07762 0,02475 0,9 2,01981 1,54979 1,07095 0,78858 0,60697 0,39352 0,27663 0,07214 0,02198

1 2,03917 1,57914 1,09662 0,80568 0,61685 0,39478 0,27416 0,06854 0,18353

Page 11: ˇ ˘ ˘ ˆ - paginas.fe.up.ptpaginas.fe.up.pt/~em00021/ee/stability.pdf · ˇˆ ˘ ˙ ˙ ˘ ˘ ˙ ˘ ˘ ˝˛˚˚˜ ˚! "# $! Colunas Elásticas Formulação Diferencial Soluções

� � ����� ���������� ������������ ������������ ������������� �

����� ������������� ������� �!� � "#�$�%���

���� �����������)�(������� �����������)������ ����� ,��)����

��������)��������)����������� �-G5H$�

���������#(�)����������������������(�)��������� ������������������

)��(�)������$���� ��#(�)�� �������� ����������-��� � �,�� �� ��� )���������� ���������

(����� ���)����� ����� ��� ��(�O ��� ��� ������������ ��� (��*�������#��)�6� ��� ������ )��� )���� � �B����� ���� �#���� �,:��� ��� (�������,�� ����������������������������������B����;�

Page 12: ˇ ˘ ˘ ˆ - paginas.fe.up.ptpaginas.fe.up.pt/~em00021/ee/stability.pdf · ˇˆ ˘ ˙ ˙ ˘ ˘ ˙ ˘ ˘ ˝˛˚˚˜ ˚! "# $! Colunas Elásticas Formulação Diferencial Soluções

� � ����� ���������� ������������ ������������ ������������� �

����� ������������� ������� �!� � "#�$�%%��

Soluções Numéricas

Resolução pelo Método das Diferenças Finitas (MDF) �

Resolução Algébrica

����� ��%� �� .� ��)����������� ���� ����������� �� ��� ���������)������������������3������ ����

��B�����������,��;�

��

��

=+��

��

��

���

.����*���(������;�

�PP�

�PP�

��

�5

��

��

=�==�==�==�==�==�==�=

���

��

���

���

���

���

��

��B����������(������(���������������������)��������,��;�

( ) ( ) ���4�%

%%�

%%%��=+−++−+− +−++−− �������� ���

�����

��

��(��������� =λ �

����� �(�)������B�����������,�����;�

( ) ( ) ( ) ���4� �%%� =+−+−+−+ ++−− ����� ����� λλλ �

��B��*���

( ) ( ) ( )( )

( )��

��

===+−======

=+−+−+−+

+−

++−−

������

����������

�����

���

�����

�E���

�E5E�EE��

���4�

%%

�%%� λλλ�

Page 13: ˇ ˘ ˘ ˆ - paginas.fe.up.ptpaginas.fe.up.pt/~em00021/ee/stability.pdf · ˇˆ ˘ ˙ ˙ ˘ ˘ ˙ ˘ ˘ ˝˛˚˚˜ ˚! "# $! Colunas Elásticas Formulação Diferencial Soluções

� � ����� ���������� ������������ ������������ ������������� �

����� ������������� ������� �!� � "#�$�%���

�)����������)� �������������3������������;�

��+� �)���� � �B����� ���,��� ��� ������ �6�6463� �� �� �B��*��� ���

(����������������%656!6/6@��������������������������������B��*��;�

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

�������

�������

=+−=+−

=====

=+−+−+−+=+−+−+−+=+−+−+−+=+−+−+−+

��

��

���4�

���4�

���4�

���4�

%�@3

�%�

@

/

!

5

%

%�@3/4

3/4!�

4!�5�

�5�%�

���

���

�����

�����

�����

�����

λλλλλλλλλλλλ

�'������ ��� ���� �(�)��� ����� ������� ���� �� � �������� ����:� ���

)��(�)�����;��

��������

−−

−−

=

%%����

����%%

��4%���

�%�4%��

��%�4%�

���%�4%

λλ

λλ

% �

����������������������:����������� �;�

[ ] 3%4%�!4/%�%/5%4��� �5� +−+−= λλλλ% �

�+���,:��������������������������;�

/�/$5

5

�@5$�

5

%

====

λλλλ

Page 14: ˇ ˘ ˘ ˆ - paginas.fe.up.ptpaginas.fe.up.pt/~em00021/ee/stability.pdf · ˇˆ ˘ ˙ ˙ ˘ ˘ ˙ ˘ ˘ ˝˛˚˚˜ ˚! "# $! Colunas Elásticas Formulação Diferencial Soluções

� � ����� ���������� ������������ ������������ ������������� �

����� ������������� ������� �!� � "#�$�%5��

+�������)����)�,��)�����;�

���5���%

3�3$%�%�%/�$@3

��!

��!

��!

��! ==== �

�+��� �������<��)����������� �������������� ��%����G5H��;�

��!��

π= �

��������������)��������������������%3$@Q$��

����� ���� �� .� ��)����������� ���� ����������� �� ��� ���������)������������������%4������ ����

����� )� �� �� ��� � � �������� �� ��������� ����� �6� ��� ��-���

�������� ��� ����� R����� ��� ����� ��� 1��� %4� ����� ��2$� +�� �B��*��� ������,��� �� ��� (������� ���� �� ������ B��� (���� ��������� �� �������������� �$�

��+� �)��� � �B����� ��� ���,��� ��� �����;�

�656�646/636%�6%%6%�6%�6%!6%4� �� �� �B��*��� ��� (������� ��� ������%6!6@6%56%/����M�-�������������������;�

Page 15: ˇ ˘ ˘ ˆ - paginas.fe.up.ptpaginas.fe.up.pt/~em00021/ee/stability.pdf · ˇˆ ˘ ˙ ˙ ˘ ˘ ˙ ˘ ˘ ˝˛˚˚˜ ˚! "# $! Colunas Elásticas Formulação Diferencial Soluções

� � ����� ���������� ������������ ������������ ������������� �

����� ������������� ������� �!� � "#�$�%���

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

��������������

��������������

=+−=+−

==

===

=+−+−+−+=+−+−+−+=+−+−+−+=+−+−+−+

=+−+−+−+=+−+−+−+

=+−+−+−+=+−+−+−+=+−+−+−+=+−+−+−+=+−+−+−+=+−+−+−+

��

��

���4�

���4�

���4�

���4�

���4�

���4�

���4�

���4�

���4�

���4�

���4�

���4�

%3%/%4

�%�

%/

%5

@

!

%

%3%/%4%!%�

%/%4%!%�%5

%4%!%�%5%�

%�%5%�%%%�

%5%�%%%�@

%�%%%�@3

%�@3/4

@3/4!

3/4!�

4!�5�

!�5�%

�5�%�

���

���

�����

�����

�����

�����

�����

�����

�����

�����

�����

�����

�����

�����

λλλλλλλλλλλλ

λλλλλλ

λλλλλλλλλλλλλλλλλλ

��

�������������������

Page 16: ˇ ˘ ˘ ˆ - paginas.fe.up.ptpaginas.fe.up.pt/~em00021/ee/stability.pdf · ˇˆ ˘ ˙ ˙ ˘ ˘ ˙ ˘ ˘ ˝˛˚˚˜ ˚! "# $! Colunas Elásticas Formulação Diferencial Soluções

� � ����� ���������� ������������ ������������ ������������� �

����� ������������� ������� �!� � "#�$�%!��

'������ ��� ���� �(�)��� ����� ������� ���� �� � �������� ����:� ���)��(�)�����;�

��

[ ]

��������������������

−−−−−

−−−−−−−

−−−−−−−

−−−−−−−

−−

=

%%������������

������������%%

%�4�%����������

���4�����������

�%��4%���������

���%�4�%�������

������4��������

����%��4%������

������%�4�%����

���������4�����

�������%��4%���

���������%�4�%�

������������4��

����������%��4%

λλλλλ

λλλλ

λλλλλ

λλλλλ

λλλλ

λλλλλ

%

����������������������:����������� �;��

[ ]

%���%��3@3/@��

��3/35�5545!5�!%!3��454!5!��!!%@@@�5�4�@33�3@4

/%��%%!3�35!55%��@/�/45�%�@55�%%/�@4%��!4���

+−−+−+−+

+−+−+−=

λλλλλλ

λλλλλλ%

�+���,:�������������������������������;�

�5$@�445$/��45$!5535$�%���$3/3@�$4��4

�$5!!�%$!/%3%$%%�/$/55/�$!3!3�

%�%%%�@3/

4!�5�%

============

λλλλλλλλλλλλ

�+�)���)�,��)������)�����������;�

%4

��!

λ= �

��������)����)�,��)�����;�

�%��%%�%��@

�3�/�4�!

���5���%

4�$3�4/!@$@%�5!4$!��/!�$4�/�

�4$�45%��$5%555/$43�35�

�!$%�@5%/$//�5%%$/5@�@$5/�!

��!

��!

��!

��!

��!

��!

��!

��!

��!

��!

��!

��!

====

====

====

.����������������)���)�,��)�)������ �������<��)��������������������!$�54�Q$�

Page 17: ˇ ˘ ˘ ˆ - paginas.fe.up.ptpaginas.fe.up.pt/~em00021/ee/stability.pdf · ˇˆ ˘ ˙ ˙ ˘ ˘ ˙ ˘ ˘ ˝˛˚˚˜ ˚! "# $! Colunas Elásticas Formulação Diferencial Soluções

� � ����� ���������� ������������ ������������ ������������� �

����� ������������� ������� �!� � "#�$�%4��

����� ��5���.� ��)��������������� ������ ���������)��������)����������������6������������3������ ����

��B�����������,��;�

��

��

=+��

��

��

���

.����*���(������;�

�PP�

�P�

��

�5

��

��

=�==�==�==�==�==�==�=

���

��

���

���

���

���

��

��B����������(������(���������������������)��������,��;�

( ) ( ) ���4�%

%%�

%%%��=+−++−+− +−++−− �������� ���

�����

��

��(��������� =λ �

����� �(�)������B�����������,�����;�

( ) ( ) ( ) ���4� �%%� =+−+−+−+ ++−− ����� ����� λλλ �

��B��*���

( ) ( ) ( )( )

( )( )�

��

==+−==+−

=======+−+−+−+

+−

+−

++−−

�����

���

����������

�����

���

��

�����

���

��

�E5E�EE��

���4�

%%

%%

�%%� λλλ

�)��������� � )� �� �������� ��� 3� ������

�����;

Page 18: ˇ ˘ ˘ ˆ - paginas.fe.up.ptpaginas.fe.up.pt/~em00021/ee/stability.pdf · ˇˆ ˘ ˙ ˙ ˘ ˘ ˙ ˘ ˘ ˝˛˚˚˜ ˚! "# $! Colunas Elásticas Formulação Diferencial Soluções

� � ����� ���������� ������������ ������������ ������������� �

����� ������������� ������� �!� � "#�$�%/��

+� �)��� � �B����� ���,��� ��� ������ �6�6463� �� �� �B��*��� ���(����������������%656!6/6@��������������������������������B��*��;�

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

�������

�������

=+−=+−

=====

=+−+−+−+=+−+−+−+=+−+−+−+=+−+−+−+

��

���4�

���4�

���4�

���4�

%�@3

��

@

/

!

5

%

%�@3/4

3/4!�

4!�5�

�5�%�

���

��

�����

�����

�����

�����

λλλλλλλλλλλλ

�'������ ��� ���� �(�)��� ����� ������� ���� �� � �������� ����:� ���

)��(�)�����;��

��������

−−

−−

=

%%����

����%%

��4%���

�%�4%��

��%�4%�

���%�4%

λλ

λλ

% �

����������������������:����������� �;�

[ ] %%!�%45��3�35%@��%4��� −+−+−= λλλλ% �

�+���,:��������������������������;�

5$@�5@5$53�/�$4%/5�$�/4% �5�% ==== λλλλ �

�+�������)����)�,��)�����;�

���5���%

%!$4@!!%5$!5�/�%�$�4@53$5��!

��!

��!

��!

��! ==== �

+��� �������<��)����������� �������������� ��%����G5H��;�

���

%�$4��!

@4�$�

��

��!�� == π

+�������������������)���������������������%$3%Q$�

Page 19: ˇ ˘ ˘ ˆ - paginas.fe.up.ptpaginas.fe.up.pt/~em00021/ee/stability.pdf · ˇˆ ˘ ˙ ˙ ˘ ˘ ˙ ˘ ˘ ˝˛˚˚˜ ˚! "# $! Colunas Elásticas Formulação Diferencial Soluções

� � ����� ���������� ������������ ������������ ������������� �

����� ������������� ������� �!� � "#�$�%3��

Formulação Matricial

����� ��%���.� ����-�)�����)��������������� ����������������������3������ ���������

��

��B�����������,��;�

��

��

=+��

��

��

���

�.����*���(������;�

��

��

��

��

=′�==�==�==′�=

=�=

���

���

���

��

��

��B����������(������(���������������������)��������,��;�

( ) ( ) ���4�%

%%�

%%%��=+−++−+− +−++−− �������� ���

�����

��

����� �(�)������B�����������,�����;�

( ) ( ) ( ) ���4� �%%� =+−+−+−+ ++−− ����� ����� λλλ �

����B����

��� =λ �

+���B��*��������(������(����������������� ������;�

( ) ( ) ( )( )

( )��

��

===+−====

=+−+−+−+

+−

++−−

�����

������

�����

��

�����

�E��

�EE��

���4�

%%

�%%� λλλ�

��

Page 20: ˇ ˘ ˘ ˆ - paginas.fe.up.ptpaginas.fe.up.pt/~em00021/ee/stability.pdf · ˇˆ ˘ ˙ ˙ ˘ ˘ ˙ ˘ ˘ ˝˛˚˚˜ ˚! "# $! Colunas Elásticas Formulação Diferencial Soluções

� � ����� ���������� ������������ ������������ ������������� �

����� ������������� ������� �!� � "#�$�%@��

��

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

�������

�������

=+−=+−

===

=+−+−+−+=+−+−+−+=+−+−+−+=+−+−+−+=+−+−+−+=+−+−+−+

���4�

���4�

���4�

���4�

���4�

���4�

%�3

��

@

!

%

%�@3/4

@3/4!

3/4!�

4!�5�

!�5�%

�5�%�

��

��

�����

�����

�����

�����

�����

�����

λλλλλλλλλλλλλλλλλλ

�+�������� ��� ������� ��� (���� � ������ ��� ���������� �B����� )����

��������(���;�[ ] [ ][ ]{ } { }�=+ �#$ λ �

�+������:���G+H���GFH���������������;��

[ ]

���������������

−−

−−−−

−−−−

−−−−

=

%�%��������

��������%�%

�%���������

�����%�����

���������%�

%�4�%������

�%�4�%�����

��%�4�%����

����%�4�%��

�����%�4�%�

������%�4�%

$ �

��

Page 21: ˇ ˘ ˘ ˆ - paginas.fe.up.ptpaginas.fe.up.pt/~em00021/ee/stability.pdf · ˇˆ ˘ ˙ ˙ ˘ ˘ ˙ ˘ ˘ ˝˛˚˚˜ ˚! "# $! Colunas Elásticas Formulação Diferencial Soluções

� � ����� ���������� ������������ ������������ ������������� �

����� ������������� ������� �!� � "#�$�����

[ ]

���������������

−−

−−

−−

=

�����������

�����������

�����������

�����������

�����������

�%�%�������

��%�%������

���%�%�����

�����%�%���

������%�%��

�������%�%�

# �

�. )� ��-��� ��� � �������<������ ������ �������������� ��� ��� ��������

�������)���������)��������<������1�����)�������-������������S 0������ �2$����B���������������� ��������� ������������������;�

5

44�4$�

%%�/$%

5

%

====

λλλλ

+�)���)����)���������;��

%4

��!��

λ= �

+������������������)�������;��

���5���%

�35%$��5�//$%/

��!

��!

��!

��! ==== �

����)������<�����)���������������������)���)����)��;�

�������

�������

�������

�������

−−−

=

%

%

53@$�

%�!$�

%�!$�

53@$�

%

%

%� �

Page 22: ˇ ˘ ˘ ˆ - paginas.fe.up.ptpaginas.fe.up.pt/~em00021/ee/stability.pdf · ˇˆ ˘ ˙ ˙ ˘ ˘ ˙ ˘ ˘ ˝˛˚˚˜ ˚! "# $! Colunas Elásticas Formulação Diferencial Soluções

� � ����� ���������� ������������ ������������ ������������� �

����� ������������� ������� �!� � "#�$��%��

�0�������������B���#��)�����(�������)� �$�

��������������������(��M)����� ����#(�)�������)��6���������������

)�������)�������)� ����-�)�����)���)����������� 6�������)���)����)����)������B�������B���������������6���B����������(�)$

Page 23: ˇ ˘ ˘ ˆ - paginas.fe.up.ptpaginas.fe.up.pt/~em00021/ee/stability.pdf · ˇˆ ˘ ˙ ˙ ˘ ˘ ˙ ˘ ˘ ˝˛˚˚˜ ˚! "# $! Colunas Elásticas Formulação Diferencial Soluções

� � ����� ���������� ������������ ������������ ������������� �

����� ������������� ������� �!� � "#�$�����

Formulação Variacional��

Método de Rayleigh-Ritz ����������������)# )� �����������)�����������������J����������

(��������,�� �����)� ����(����$��� �

Formulação Matricial �

����� ��%�-�.� ��)�������)���������������������� ���

�.������������(���������������������� �<�������3L�����)���

/�)����*���(�������1����A������2;��

&������������

� �&������������

��� �&������������

�4%���5���!4PP

�5�!4/3P�5�!4

�5�!4/

�5�!4/3

++++++=

+++++++=

++++++++=

Page 24: ˇ ˘ ˘ ˆ - paginas.fe.up.ptpaginas.fe.up.pt/~em00021/ee/stability.pdf · ˇˆ ˘ ˙ ˙ ˘ ˘ ˙ ˘ ˘ ˝˛˚˚˜ ˚! "# $! Colunas Elásticas Formulação Diferencial Soluções

� � ����� ���������� ������������ ������������ ������������� �

����� ������������� ������� �!� � "#�$��5��

( )

( )

( )

��������

��������

�������

�������

==

−−=

+=

+−=

+=

+−=

=→==�=→=

=→==→==→=

=→==�=→=

�/

/��

/

%�/��

3!@%%@@�/

!44�%

/

!!!

/

4!4�

%�%@�%/

%

�EP�8P� �

�E9���8P���

�E�8�� �

�E�8�5 �

�E�8�� �

E�

E���

;

!4

5

�5

����

����&

�����

�����

�����

���

���

&����������'��

'��)����*���������������� �;��

!�5��!5�

!55��!4��

�!�55�4/!�

4!4��55��

4�!/5��5!�

�45!3��!54�

�!�55�4/!�

�45!3��!54�

/

%�33��4�

/

%�5�3

/

5�5���

/

%%%��21PP

/

%�333��

/

!%!�

/

4�4/

/

�//!21P

/

/����!

/

%/%3

/

%�%

/

!!!21

/

�%��3

/

%�533�!45��/�

/

%5%���

/

�/�5�21PP

/

�%��3

/

/%@��3%�3��

/

5�3��

/

!��421P

/

%�/��

/

�5@3��/�4

/

4!4�

/

@�%21

/

/����!

/

%/%3

/

%�%

/

!!!

/

%�/��

/

�5@3��/�4

/

4!4�

/

@�%

�����������

������������

������������

�����������&

������������&

������������&

������������

�������������

−−+−+=

−−+−+=

−−+−+=

−++−+−=

−++−+−=

−++−+−=

���

� −−+−++

���

� −++−+−=

��

Page 25: ˇ ˘ ˘ ˆ - paginas.fe.up.ptpaginas.fe.up.pt/~em00021/ee/stability.pdf · ˇˆ ˘ ˙ ˙ ˘ ˘ ˙ ˘ ˘ ˝˛˚˚˜ ˚! "# $! Colunas Elásticas Formulação Diferencial Soluções

� � ����� ���������� ������������ ������������ ������������� �

����� ������������� ������� �!� � "#�$�����

dxxgPg

gg

dxxgxfPg

dxxfPg

dxxgIEl

ll

dxxgxfIEl

dxxfIEl

l

l

l

l

l

l

−=

=

⋅−=

−=

⋅=

=

⋅⋅=

⋅=

4

0

222

1221

4

012

4

0

211

4

0

222

1221

4

0

212

4

0

211

)('

)(')('

)('

)(''

))('')(''(

)(''

��

[ ] [ ]

��

!

��

��(

=

��

�=�

�=

���%

%�%%

���%

%�%%

T

E

�0��� ����������������������B��*��;��[ ] [ ] [ ]

[ ]

[ ]( ) ���

!���

!)

� � �

� ����)

�()

⋅=∨⋅=�=

���

⋅⋅−⋅⋅−⋅

⋅⋅−⋅⋅⋅−⋅⋅⋅=

+=

��

��5�

5����

%%

4��3$������$%�����

��!��!

�@/3//!��

5//5

!@/��/��

/5!/5!

4%!�53�35//

5//5

@3/��4@/4/5!/5!

4%!�53�35//

5//5

@3/��4@/4 T

��%��%

!4%!�!55%5@�

��!��!

5��%�4@�%54��

�.9�����������J�)�) �����B����)���)�,��)����#;��

���

!�� ⋅=�

����$%��

Page 26: ˇ ˘ ˘ ˆ - paginas.fe.up.ptpaginas.fe.up.pt/~em00021/ee/stability.pdf · ˇˆ ˘ ˙ ˙ ˘ ˘ ˙ ˘ ˘ ˝˛˚˚˜ ˚! "# $! Colunas Elásticas Formulação Diferencial Soluções

� � ����� ���������� ������������ ������������ ������������� �

����� ������������� ������� �!� � "#�$��!��

.��� �������($�G5H6�����(�)����B������ ����� ,��)������)������B���������������;��

���

���*��������� ⋅=�

4��!%$%��

��������������������

Q@@$%�4��!%$%�

4��!%$%�����$%�

��

=⋅

⋅−⋅=

���

���

���ε �

Page 27: ˇ ˘ ˘ ˆ - paginas.fe.up.ptpaginas.fe.up.pt/~em00021/ee/stability.pdf · ˇˆ ˘ ˙ ˙ ˘ ˘ ˙ ˘ ˘ ˝˛˚˚˜ ˚! "# $! Colunas Elásticas Formulação Diferencial Soluções

� � ����� ���������� ������������ ������������ ������������� �

����� ������������� ������� �!� � "#�$��4��

����� ���;�.� ����� ������)�������)��������������� ���������

�.������������(���������������������� �<�������4L�����)���!�)����*���(�������1����A������2;��

����������

&�����������

&������������

�4%���5�PP

�5�!4P�5�

�5�!

�5�!4

++++=

+++++=

++++++=

( )( )

���

���

���

���

==

−−=

+=

+−=

=→==�=→=

=→==→=

=�=→=

���

�@�

!%/

�E�8P� �

�E(���8P���

�E�8�� �

E�

E���

;

5�

&

�����

������

�����

���

��

&����������'��

0��� ������������)����*������������B��6��

( ) ( )

5�5�

55���

�5�!5�

�5���

��5!5�

��554��

�5�!5���554��

34����321PP

3��!��21P

�!321

���%45����21PP

��%�344321P

��54%/21

�!3��54%/

�������

��������

��������

�������&

�������&

��������&

�����������������

−−+=

−−+=

−−+=

−++−=

−++−=

−++−=

−−++−++−=

Page 28: ˇ ˘ ˘ ˆ - paginas.fe.up.ptpaginas.fe.up.pt/~em00021/ee/stability.pdf · ˇˆ ˘ ˙ ˙ ˘ ˘ ˙ ˘ ˘ ˝˛˚˚˜ ˚! "# $! Colunas Elásticas Formulação Diferencial Soluções

� � ����� ���������� ������������ ������������ ������������� �

����� ������������� ������� �!� � "#�$��/��

dxxgPg

gg

dxxgxfPg

dxxfPg

dxxgIEl

ll

dxxgxfIEl

dxxfIEl

l

l

l

l

l

l

−=

=

⋅−=

−=

⋅=

=

⋅⋅=

⋅=

2

0

222

1221

2

012

2

0

211

2

0

222

1221

2

0

212

2

0

211

)('

)(')('

)('

)(''

))('')(''(

)(''

��

[ ] [ ]

��

!

��

��(

=

��

�=�

�=

���%

%�%%

���%

%�%%

T

E

�0��� �������������������������6��[ ] [ ] [ ]

[ ]

[ ]( ) ���

!���

!)

� � �

� ����)

�()

⋅=∨⋅=�=

��

⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−⋅

⋅⋅=

+=

��

��5�

5����/

!$�@!$������

3%5$��34$%33/4$�/%�$%�@

3/4$� %�@$/%� T�@$�/344@$�!/

������-������)���)����)���6��

���

!�� ⋅=�

!$���

�"� �)������������������ ����)�������������� �# �������������������(������(����6���������������������������,���(������6���������#�������� ����)���#�� $�

Page 29: ˇ ˘ ˘ ˆ - paginas.fe.up.ptpaginas.fe.up.pt/~em00021/ee/stability.pdf · ˇˆ ˘ ˙ ˙ ˘ ˘ ˙ ˘ ˘ ˝˛˚˚˜ ˚! "# $! Colunas Elásticas Formulação Diferencial Soluções

� � ����� ���������� ������������ ������������ ������������� �

����� ������������� ������� �!� � "#�$��3��

Formulação Algébrica

����� ��%;�.� ��)�������������� ���������������� ���

.������������(���������������������� �<�������/L�����)���/�)����*���(�������1%���A�����2;�

&�����������

&������������

� �&������������

�4%���5���PP

�5�!4/P�5�!

�5�!4

�5�!4/

+++++=

++++++=

+++++++=

��

��������

��������

�������

�������

=

−=

=

=

−=

=

−=

=→==�=→=

=→==→==→=

=→==�=→=

��!

%%!�

�!

/3�!

3!��!

%3�/

%�

�EP�8P� �

�E(���P8P���

�E�8�� �

�E�8�5 �

�E�8�� �

E�

E���

;

4

5

��

&

���

���

���

���

���

���

&����������'��

��������

Page 30: ˇ ˘ ˘ ˆ - paginas.fe.up.ptpaginas.fe.up.pt/~em00021/ee/stability.pdf · ˇˆ ˘ ˙ ˙ ˘ ˘ ˙ ˘ ˘ ˝˛˚˚˜ ˚! "# $! Colunas Elásticas Formulação Diferencial Soluções

� � ����� ���������� ������������ ������������ ������������� �

����� ������������� ������� �!� � "#�$��@��

'��)����*����������������B����

���������������

�����������������

������������������

��55��!

4��55��!4

45��5!�4/

!

�/��

!

%���3

!

/5�3�����PP

�!

%%!�

!

�5!�

!

5�%4

!

%3�/3�/P

�!

%%!�

!

/3�

!

3!�

�!

%3�/%�

+−+−=

−+−+−=

−+−+−=

����������

�����������

��55��!

4��55��!4

!

�/��

!

%���3

!

/5�3�����

PP�!

%%!�

!

�5!�

!

5�%4

!

%3�/3�/

P

+−+−=∂

−+−+−=∂∂

�. )� �������������*����������������(�������1=2�����������

����)� �������J�)�������(���������������6��

!�����

��!

�������

����

%5�

%%�

3@5/!

%@�!%5%!�PP

%5/!

5%���!%�PPPP

−=∂∂∗−=

∂∂

=∂

∂∗=∂∂

��

�.9������J�)�) �����B��6�

���

!���

��

/�%!$%�� =�=

∂∂+

∂∂

�'���(?�G5H�����������B������ ����� ,��)���������)�����6�

���

���*��������� ⋅=�

�π�

���B������)���:������������6��

Q4$3

/�%!$%�

=⋅

⋅−⋅=

���

���

���

π

π

ε �

Page 31: ˇ ˘ ˘ ˆ - paginas.fe.up.ptpaginas.fe.up.pt/~em00021/ee/stability.pdf · ˇˆ ˘ ˙ ˙ ˘ ˘ ˙ ˘ ˘ ˝˛˚˚˜ ˚! "# $! Colunas Elásticas Formulação Diferencial Soluções

� � ����� ���������� ������������ ������������ ������������� �

����� ������������� ������� �!� � "#�$�5���

����� ���;�.� ���)�������������������-� �����

� .������������(���������������������� �<�������!L�����)���!�)����*���(�������1%���A�����2;��

��������

����������

&�����������

�4%���PP

�5�!P�5

�5�

�5�!

+++=

++++=

+++++=

���

���

���

���

==

−=

=

−=

=→==�=→=

=→==→=

=�=→=

5@4$�

344$%

!5�$�

�EP�8P �

�E����8P���

�E�8��$/! �

E�5/!$�

E���

;

5

&

���

���

���

���

&��

&����������'��

'�������� ��B��6�

5��5

5��5�

5��5

5��5�

�55��!

/@�$�%@4$%%��5$5���PP

/@�$�!@3$!%5�$%�!P

/@�$�%@4$%%��5$5���PP

/@�$�!@3$!%5�$%�!P

5@4$�344$%!55�$�

�������

��������

�����������

������������

������������

−+−=∂

−+−=∂∂

−+−=

−+−=

−+−=

�����

Page 32: ˇ ˘ ˘ ˆ - paginas.fe.up.ptpaginas.fe.up.pt/~em00021/ee/stability.pdf · ˇˆ ˘ ˙ ˙ ˘ ˘ ˙ ˘ ˘ ˝˛˚˚˜ ˚! "# $! Colunas Elásticas Formulação Diferencial Soluções

� � ����� ���������� ������������ ������������ ������������� �

����� ������������� ������� �!� � "#�$�5%��

. )� ���������*�����������6�

!�����

��!

�������

����

��

@

/

�%3@$�P

P

5/5!$�PP

PP

−=∂∂∗−=

∂∂

=∂∂∗=

∂∂

��

������� ������������������B�� ,����6������-���B��6��

���

!���

��

/@/$%@� =�=

∂∂+

∂∂

������������)�9��6���������)��6���� �����<��)������������)���)�,��)6���� ���������������#�������������B����)���)�,��)�������)� ���)����- �����)������)������������� ���$�!U $������� ������������;�

���

!�%

�/3$5@=

"� ��B��������������������������(����$� 0�)�����������J�(���� ��������)� �

��)������������(���������������������� �<�������!L���������)����*���(�������1����A������2�

��������

����������

&�����������

�4%���PP

�5�!P�5

�5�

�5�!

+++=

++++=

+++++=

Page 33: ˇ ˘ ˘ ˆ - paginas.fe.up.ptpaginas.fe.up.pt/~em00021/ee/stability.pdf · ˇˆ ˘ ˙ ˙ ˘ ˘ ˙ ˘ ˘ ˝˛˚˚˜ ˚! "# $! Colunas Elásticas Formulação Diferencial Soluções

� � ����� ���������� ������������ ������������ ������������� �

����� ������������� ������� �!� � "#�$�5���

��

��

��

��

==

+=

−−=

=�=→==→=

=→==�=→=

�3%$�5%4$�

%�!$%@3�$�

�E����8P���

�E�8��$/! �

E�5/!$�

E���

;

�5

&

�����

�����

���

&��

&����������'��

������������������B�����������(����6����(�����������A������������6�

( ) ( )

�����

������

������

�����&

������&

������&

�������������

/!�$4%�!45$�21PP

5/!$5�!45$�21P

%�!$%�3%$�21

455$���@�4$!21PP

455$�!@!5$�21P

5%4$�@3�$�21

%�!$%�3%$�5%4$�@3�$�

��

�5�

5���

55�

5���

�5!5�

5����5!5�

−+=

−+=

−+=

++−=

++−=

++−=

−++++−=

dxxgPg

gg

dxxgxfPg

dxxfPg

dxxgIEl

ll

dxxgxfIEl

dxxfIEl

l

l

l

l

l

l

−=

=

⋅−=

−=

⋅=

=

⋅⋅=

⋅=

0

222

1221

012

0

211

0

222

1221

0

212

0

211

)('

)(')('

)('

)(''

))('')(''(

)(''

��

Page 34: ˇ ˘ ˘ ˆ - paginas.fe.up.ptpaginas.fe.up.pt/~em00021/ee/stability.pdf · ˇˆ ˘ ˙ ˙ ˘ ˘ ˙ ˘ ˘ ˝˛˚˚˜ ˚! "# $! Colunas Elásticas Formulação Diferencial Soluções

� � ����� ���������� ������������ ������������ ������������� �

����� ������������� ������� �!� � "#�$�55��

[ ] [ ]

��

!

��

��(

=

��

�=�

�=

���%

%�%%

���%

%�%%

T

E

�0��� ���������������B����6��[ ] [ ] [ ]

[ ]

[ ]( ) ���

!���

!)

� � �

� ����)

�()

��

��5�

5����!

/4�3$%@!!$��!����

%��$�!�/$��!3$��/5$%�

�!3$� %�$�/5 T!!/$�!%�$��

=∨=�=

��

⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−⋅

⋅⋅=

+=

�.�) ��-��6�����6�B����)���)�,��)���������6��

���

!���

/4�3$%@= �

�0� �������B����)���)����)������ �(���� ���� �����)������6��

���

!�� ������ � �

/@/�$%@= �

�"���-���)�����6�B��������������������#����� �����������<��������������6���B���������(���������)��������������� ���$�

Page 35: ˇ ˘ ˘ ˆ - paginas.fe.up.ptpaginas.fe.up.pt/~em00021/ee/stability.pdf · ˇˆ ˘ ˙ ˙ ˘ ˘ ˙ ˘ ˘ ˝˛˚˚˜ ˚! "# $! Colunas Elásticas Formulação Diferencial Soluções

� � ����� ���������� ������������ ������������ ������������� �

����� ������������� ������� �!� � "#�$�5���

Colunas não-elásticas ���� )��� ��� )� ��� ��-� #���)�6� �������� ����� �������� ��� # ����

������ ���� ��;� �� ������� ��� �<�� �� 0���:���� �� �� ������� ��� �<�� �������$�

�����# ������������������������ �)��B������� �����������*�����

���)V)�����)�������M��)��������������(������$��7������� �:�����# ���������)������)��� ����� ��,���+W4�45-

�4�1���������������� �(�������������������������� 6��� ��B���9�������)��������������(� ������������������������������(������ �������X��,��Y26���������� ��B��;�

Método do Módulo Reduzido

Método do Módulo Tangente

1 1

1 1

i it

i i

Eσ σε ε

+ −

+ −

−=− ( )

2t

tt

Elr

πλσ⋅= =

( )2

4 tr

t

E EE

E E

⋅=+

( )2

rr

r

Elr

πλσ⋅= =

Page 36: ˇ ˘ ˘ ˆ - paginas.fe.up.ptpaginas.fe.up.pt/~em00021/ee/stability.pdf · ˇˆ ˘ ˙ ˙ ˘ ˘ ˙ ˘ ˘ ˝˛˚˚˜ ˚! "# $! Colunas Elásticas Formulação Diferencial Soluções

� � ����� ���������� ������������ ������������ ������������� �

����� ������������� ������� �!� � "#�$�5!��

����������������������)���������)������������ ����B������;�

�� ��� � �������� �)����-��� ��� � ����� �������� )��� ��� �����

�������;�

σ σ σ σ [MPa] εεεε Et [MPa] Er [MPa] (l/r)t (l/r)r 0 0 - - - -

7,778755321 3,44731E-05 124954,9757 90797,6563 398,1728047 339,4158635 10,76897593 8,61829E-05 81584,703 74867,83684 273,4431435 261,9451202 13,4037171 0,000103419 96648,18332 81052,04244 266,7682217 244,2976154

15,76661966 0,000137893 149218,3401 97744,05071 305,6269725 247,3578763 18,54773287 0,000137893 53378,82714 60418,13004 168,5345594 179,303223 22,20709436 0,000258548 56498,34751 62258,89878 158,4608118 166,3430733 25,36459636 0,000258548 424604,2166 140115,2093 406,4695777 233,4955106 29,52581466 0,000275785 84920,9672 76311,31091 168,4831191 159,7141466 32,68332224 0,000344731 45560,72694 55450,32413 117,2957016 129,4013536 36,5936074 0,000430914 77035,3963 72823,36481 144,1426231 140,1466211

40,65027286 0,000448151 72250,16535 70569,89732 132,4456085 130,8964544 47,80170836 0,000586043 82646,22103 75332,06148 130,6290186 124,7148273 52,04657185 0,000586043 158114,404 100041,454 173,1567899 137,734839 55,97776466 0,000637753 90986,60878 78824,58617 126,6574779 117,8889084 59,8880571 0,000672226 58404,87994 63348,56463 98,10797879 102,1758243

63,02465218 0,000758409 53378,83035 60418,13197 91,42798966 97,26985997 66,32852792 0,000792882 95839,24328 80740,35183 119,4184366 109,6086963 71,2843561 0,000844592 83303,39837 75617,12236 107,3950134 102,3205416 74,9437154 0,000896301 60354,47408 64436,71063 89,15321266 92,11894255

79,60678541 0,000982484 70189,70967 69564,48136 93,28494336 92,86853721 83,41252501 0,001016957 93412,8574 79792,47967 105,1326393 97,1662002

Curva de tracção

0

50

100

150

200

250

0 0,02 0,04 0,06 0,08εεεε

σσ σσ [M

Pa]

Al 6063-T6

Page 37: ˇ ˘ ˘ ˆ - paginas.fe.up.ptpaginas.fe.up.pt/~em00021/ee/stability.pdf · ˇˆ ˘ ˙ ˙ ˘ ˘ ˙ ˘ ˘ ˝˛˚˚˜ ˚! "# $! Colunas Elásticas Formulação Diferencial Soluções

� � ����� ���������� ������������ ������������ ������������� �

����� ������������� ������� �!� � "#�$�54��

σ σ σ σ [MPa] εεεε Et [MPa] Er [MPa] (l/r)t (l/r)r 87,65737636 0,001068667 61870,97646 65265,65075 83,46398645 85,72312113 91,94406244 0,00115485 71749,61871 70327,66644 87,76024502 86,8862657 96,31438401 0,001189323 82090,13409 75089,45864 91,71698706 87,71902254 100,4337749 0,001258269 49254,12725 57864,68332 69,57148823 75,40788671 104,8041061 0,001361689 47070,43416 56452,7223 66,57862559 72,91269793 108,5470985 0,001430635 151239,9089 98276,70536 117,266501 94,52921633 112,6246764 0,001413398 88560,25459 77835,7264 88,09525616 82,58907194 116,179478 0,001516818 35834,77583 48399,23183 55,17438591 64,12160679

120,6543646 0,001637474 51491,79331 59267,60693 64,90039842 69,62850175 124,1673485 0,001671947 73800,26925 71312,04506 76,59054191 75,28832147 128,2867442 0,001740893 57776,50896 62992,27539 66,67064083 69,61496822 132,1343015 0,001809839 57884,82062 63053,88629 65,75434137 68,62747428 135,2708893 0,001861549 60484,43271 64508,33687 66,43080359 68,60497695 139,4321052 0,001930495 46639,07969 56168,56193 57,4570688 63,05436159 142,5059724 0,002016678 36063,87628 48578,67455 49,97692624 58,00376312 146,2698918 0,002120097 60137,84592 64317,06786 63,70101269 65,87725904 149,7619583 0,002137334 82009,01612 75053,96201 73,51566978 70,32924077 153,3376749 0,00220628 45426,01556 55359,79743 54,07266301 59,69290052 156,8088507 0,002292463 50086,12643 58391,35718 56,14658024 60,62320206 159,3808565 0,002326936 54187,54314 60902,48549 57,92706502 61,41144311 162,4128939 0,002395882 49392,79066 57952,88333 54,78622824 59,34404489 165,3403881 0,002447592 35316,31818 47990,47368 45,91431472 53,52268779 167,891479 0,002551011 35990,24535 48521,08159 45,99683495 53,40731955

170,9235261 0,002602721 58474,07189 63387,62822 58,10728976 60,49941871 172,93095 0,002637194 27902,60894 41692,30751 39,90579023 48,77996398

175,2520299 0,00275785 21735,73669 35658,76056 34,98690504 44,81273661 177,4267393 0,002844033 30328,81152 43853,8304 41,07409782 49,39057741 179,4341486 0,002895743 29635,60516 43247,02581 40,37422728 48,77254816 181,0024558 0,002964689 16862,86366 30197,6457 30,32307941 40,57833112 182,3407279 0,003068108 15447,50585 28465,22703 28,91593333 39,25232234 184,9963838 0,003223237 13951,30134 26548,55457 27,28196283 37,63472038 188,1120688 0,003481786 11676,61269 23442,18692 24,75141206 35,07039078 189,8267369 0,003636915 6765,693293 15691,87396 18,75544335 28,56331354 191,1441183 0,003929937 5632,499061 13627,03739 17,05375295 26,52589994 192,5451133 0,004119539 5481,65481 13341,93528 16,76252599 26,1512852 193,6952091 0,004395324 4397,70848 11212,27445 14,96937443 23,90216791 194,9707582 0,004671109 3529,180351 9388,147738 13,36601852 21,79992955 195,7026306 0,00496413 3198,33276 8660,850488 12,700282 20,89930345 196,7899913 0,005239915 2603,842595 7301,690535 11,42761849 19,13639296 197,5427641 0,00567083 1846,876649 5455,579782 9,60590428 16,50972218 198,9228563 0,006394765 1914,085253 5625,539001 9,745141917 16,70665866 200,5120663 0,00722212 1723,976183 5141,369866 9,211815845 15,90812667 201,7458219 0,008032239 1017,492784 3235,995874 7,055263962 12,58205495 202,6867878 0,009359454 837,6420111 2718,306947 6,386550904 11,5049941 203,5650186 0,010204046 1130,206266 3552,831992 7,402478479 13,12458662 204,9660501 0,011376132 806,0578785 2625,724753 6,230057004 11,24432801 205,6351752 0,012772294 599,2631109 2005,651832 5,363026491 9,811353924

Page 38: ˇ ˘ ˘ ˆ - paginas.fe.up.ptpaginas.fe.up.pt/~em00021/ee/stability.pdf · ˇˆ ˘ ˙ ˙ ˘ ˘ ˙ ˘ ˘ ˝˛˚˚˜ ˚! "# $! Colunas Elásticas Formulação Diferencial Soluções

� � ����� ���������� ������������ ������������ ������������� �

����� ������������� ������� �!� � "#�$�5/��

σ σ σ σ [MPa] εεεε Et [MPa] Er [MPa] (l/r)t (l/r)r 206,6807036 0,014237402 821,0949186 2669,868183 6,261762469 11,29132263 207,956243 0,01559909 870,3091611 2813,518505 6,426887071 11,55550099

208,7508602 0,016616047 788,1206145 2572,909301 6,104246734 11,02930062 209,8173181 0,017960499 565,5953764 1902,204659 5,158009435 9,459274477 210,1936996 0,019167057 458,6314505 1568,278943 4,64057656 8,581272262 211,7620044 0,022200693 582,8826483 1955,41567 5,212144131 9,546526858 212,7657054 0,023579619 490,8970435 1669,890525 4,771932228 8,801223691 213,5812011 0,025906555 578,870373 1943,08358 5,17200602 9,475761064 214,7313188 0,026975221 413,7917603 1425,711854 4,361070387 8,095022446 215,4213468 0,030353588 335,9501879 1174,158567 3,923222584 7,334472423 216,6132725 0,032577104 462,0135298 1578,96733 4,588119152 8,481914943 218,662502 0,03736887 353,9318542 1232,752312 3,996893182 7,459343883

219,7916683 0,041557352 215,8367589 774,2805701 3,113199596 5,896488292 220,4817205 0,045797548 182,7264028 661,087591 2,859988128 5,439927112 221,819995 0,0526577 183,117118 662,4318496 2,854394523 5,4290036

222,6564177 0,057673539 104,0957614 385,8179339 2,148071766 4,135456619 223,51377 0,068929016 3860,633882 10098,08552 13,05650802 21,11627226

�� ��#(�)�� �������� �������� ���� ��� ����� ���� )�)���� �� ��� ������������ ����� �������6� ��� ��:� B��� ��� � ����� �� ��� � ��� ��� ������(� �����;�

0

50

100

150

200

250

0 100 200 300 400 500

l/r

σσ σσ [M

Pa]

Módulo Tangente Módulo Reduzido

Page 39: ˇ ˘ ˘ ˆ - paginas.fe.up.ptpaginas.fe.up.pt/~em00021/ee/stability.pdf · ˇˆ ˘ ˙ ˙ ˘ ˘ ˙ ˘ ˘ ˝˛˚˚˜ ˚! "# $! Colunas Elásticas Formulação Diferencial Soluções

� � ����� ���������� ������������ ������������ ������������� �

����� ������������� ������� �!� � "#�$�53��

7���(�)-��6� ����6� B��� �� ������� ��� �<�� �� ������ �� �� ����)���������6� �,� B��� ����� ��C� �� ���� ��� �:��� ���� )�(����� ��� �����)��(�)��������������$�

Vigas – Coluna

Soluções Analíticas

7�����.� ���)������� �����)������)�������� ��

��

+��B�������(���)� �����B�� ,������;�

��

=+ ���

���

������� )�����B������������������� ���������������� �����������

�(����6���������;�

( )4

5+��!� −−−= δ �

+�������B�������(���)� ��������������(���;�

δ�5

4

��

+��

��

�� +=+ �

+� �� ����� ����� �B����� �� )������,�� �� � ���� ��� ��� �� �����9������� �� ���� ��� �� ����� ����)� �6� � ������� �� ) )� ��� � �� ���������)� ����������B�������(���)� ;�

%%

%%�

%

%�

%5

%

�4

�5

#�$�

"�#�$�

��"�#�$�

+=′′++=′

+++=

δ�5

�%

�%

��%

5�%%%

4�4

��

+� �� "� #� $#�$ +=+++++ �

Page 40: ˇ ˘ ˘ ˆ - paginas.fe.up.ptpaginas.fe.up.pt/~em00021/ee/stability.pdf · ˇˆ ˘ ˙ ˙ ˘ ˘ ˙ ˘ ˘ ˝˛˚˚˜ ˚! "# $! Colunas Elásticas Formulação Diferencial Soluções

� � ����� ���������� ������������ ������������ ������������� �

����� ������������� ������� �!� � "#�$�5@��

���

���

=⇔=

−=⇔=+

=⇔=

=⇔=

δδ %�

%�

�%%%�

%�

%�

%�

%

�4

��

44

� �

!

+"$"

#�#

!

+$

��

+ $

��

+��� ���������)� ������������ �;�

δ+−= �!

+�

!

+� � �

5

4�

������ ���������)� ��������(�)�6�������������8����B�������(���)� ;��

�!

+� � =′′ �

δδ �5��

5

44 �

��

+ �

!

+�

��

!

!

+�

!

+ +=+−+ �

�+��� �������� ����B�������(���)� ��������������(���;�

( ) ( ) δ+−++= �!

+�

!

+ �# �$�

5

4)���� �

�����B���������������;�

( ) ( )

( ) ( ) �!

+ �# �$ �

!

+�

!

+ �# �$ �

+−−=′′

−+−=′

)����

���)��

��

( ) ( ) �

+ �#! �$!

��

�����

��

)���� −+=−= �

��� )# )� �� ��� )������� +� �� F� �� �� � ��� �� ��(������� �� �� ����

) )� ��������������������)����*���(������;�

��

=�==′�=

=�=

��

���

���

�"��+���F�) )� -��������������������������)����*��;�

( ) ( )

( ) ( )���

���

−+−=

+−++=

5

���)���

4)�����

!

+�

!

+ �# �$

�!

+�

!

+ �# �$ δ

Page 41: ˇ ˘ ˘ ˆ - paginas.fe.up.ptpaginas.fe.up.pt/~em00021/ee/stability.pdf · ˇˆ ˘ ˙ ˙ ˘ ˘ ˙ ˘ ˘ ˝˛˚˚˜ ˚! "# $! Colunas Elásticas Formulação Diferencial Soluções

� � ����� ���������� ������������ ������������ ������������� �

����� ������������� ������� �!� � "#�$�����

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( )���

���

−−−+−=

−+−+−=

!

+ �� � �� �! #

!

+� �� �� �! $

5

����5

5

����5

���5)��44%)��

��45%)���!$���

δ

δ

�=�����)������������������ ��������,�� �) )� ����� �������;�

( ) ( )!#

+ #! $!

×=

⇔×−×+×=

��)������� �

( ) ( ) ( ) ( )( )( ) �!

�� � � � �� +

)��4

)��4)����4��55

55�� −++−−=δ �

�.������������)�������)� �����B��������������������)����*��;�

��

��

=

=

���!

!

!+�

���)���������)� ���)������� ������)���)�,��)���������;�

��

��!��

π= �

+����������;�

3�

��!

π= �E�5

3�

��+

π= �E��

�π= �

�+���� ��*������+6�F����������)�������)� �����;�

�4�@/5$� �$ ×= ��%�@/%/4$% ��# ×−−= �

��/@4!$� �×=δ ��

+� ���� �(�)���� ������ �B��*��� ����� ���� �� �:�� ()� ����� ������ ����������)������$�"������ �:��������(�������)���"������������� �������� ( �)������ ����� ��� �:�� ��� ���(� � )��� �� ��������������������;�

��)���;�N"��%�����N�I5�3�)���

����� ;�+�����5/����I�%��>"E��I�$5�.���������;� I%��$��+�������)�������;�

"I3�@$//�T�E�BI3�@$//�T�$�

��TI%$%%�/$�

Page 42: ˇ ˘ ˘ ˆ - paginas.fe.up.ptpaginas.fe.up.pt/~em00021/ee/stability.pdf · ˇˆ ˘ ˙ ˙ ˘ ˘ ˙ ˘ ˘ ˝˛˚˚˜ ˚! "# $! Colunas Elásticas Formulação Diferencial Soluções

� � ����� ���������� ������������ ������������ ������������� �

����� ������������� ������� �!� � "#�$��%��

�+�����������������������B�������������������( �)��������

��(�������������)� �;�( ) ����� ×−×= !333$4%%$%��!5!$! �

( ) �/@/$�3%%$�%%$%��4�@/$�%44/$� 5 +−+= ���� �

�'�����:������(�������)����� �������������������B��*��������

�������( �)��������(����;�5�%�5!� �� π−= �

��%%$��!%�$��%��3$� ! +−= ��� �

���� ������ ��������� ������ ������������ ��(�)����� ��� �������

�����������( �)�����������(����������������)���$��

Page 43: ˇ ˘ ˘ ˆ - paginas.fe.up.ptpaginas.fe.up.pt/~em00021/ee/stability.pdf · ˇˆ ˘ ˙ ˙ ˘ ˘ ˙ ˘ ˘ ˝˛˚˚˜ ˚! "# $! Colunas Elásticas Formulação Diferencial Soluções

� � ����� ���������� ������������ ������������ ������������� �

����� ������������� ������� �!� � "#�$�����

Soluções Numéricas�

Resolução pelo Método das Diferenças Finitas (MDF)

Resolução Algébrica

����� �;�7���)� ���������������� ������

�+��B�������(���)� �����B�� ,��������#�������;�

��

��

��

�� −=+ �

���)������������B�������(���)� ��� ����(������(���������������

B����IT�9�6������;�

( ) �%% � �

��

���� ���� −=+−+ +− λ �

�' ������-�������������)� �����@������ ���������)����)����������

(������������;��

���

.��������� ���� �� (����� ���������� ) )� -��� �� ������ ��������������������)�������������J����(������(����;�

+����)�*������������)� ������������ ����������������;�

���

���

+=

−=⇔

��

��

×+×−�

���

� +×+×⇔=

+=+

� )+�

,

)+�

,

�)�,��+�

�+�

)+�,,

��

5

%

5�5

�5

%

�� �

/

%

/

��

%

�/%

�������������������� ��)� ����(��������������������������)���

�I���������%;�

Page 44: ˇ ˘ ˘ ˆ - paginas.fe.up.ptpaginas.fe.up.pt/~em00021/ee/stability.pdf · ˇˆ ˘ ˙ ˙ ˘ ˘ ˙ ˘ ˘ ˝˛˚˚˜ ˚! "# $! Colunas Elásticas Formulação Diferencial Soluções

� � ����� ���������� ������������ ������������ ������������� �

����� ������������� ������� �!� � "#�$��5��

( ) ( )( )( )( )

��% %

6 �� � � 5

� + � � +�+� + � �� ) +� � � � � �

+ � � +�

� �− ++ −� �� �= − + − ⋅ − ≤ ≤� �� � � � � �− +� � � �

( ) ( )��

�% % % %6 �

� � � 5 � 5

+ � �+�� ) +� � � � � � � � �

−� � � �= − + − − − ⋅ − ≤ ≤� � � �� �

( )� � �

�% % % ! 5� 6 � 5

� � � 5 � 5 � �

+� +� +�� ) +� � � � � � ) � � � � �

� �� � � � � �= − + − − − − + + ⋅ − ≤ ≤� � � � � � � �� � � �

�"�� ���� �(�)���� ������ ����� �� ��-��� ��(���� ��� ��)���� �� ���

����� ������ �:�-��-#����� ����������)��������)����� �)��;���)����;�N"��%�����N�I5�3�)�

������� ;�+�����5/����I�%��>"E��I�$5�.���������;� I%����.����� �)��;�

"I% 5�")��E� % �+ - � ) .-= = �

�"�������)��6�������:�����(����������������)���)�,��)������

����G5H;�

( )-!

��!�� %34�!/

5%455$% �

=�××

= π�

�+����������������������������������������( �)�����;�

����� ���������������( �)�������)����������)��������������

��(������(��������;�

% � 5

� ! 4

/ 3 @

%�

� -�$�%4 -�$!�4�

-�$3555 -%$%/�3 -%$!�@�

-�$� -%$5555 -�$444/

� � �

� � �

� � �

= = == = == = ==

�G�$�H�1)���������/I-�2�

�������

Page 45: ˇ ˘ ˘ ˆ - paginas.fe.up.ptpaginas.fe.up.pt/~em00021/ee/stability.pdf · ˇˆ ˘ ˙ ˙ ˘ ˘ ˙ ˘ ˘ ˝˛˚˚˜ ˚! "# $! Colunas Elásticas Formulação Diferencial Soluções

� � ����� ���������� ������������ ������������ ������������� �

����� ������������� ������� �!� � "#�$�����

+��)����*���(�������)������������������� �����;�

� �

� �

� �

� �

5 �

5 �

� �

� � �

� �

� � �

� � � �

= � == � =

′′= � =′′= � =′′′= � + =

+���B��*��������(������(����������������� ��������;�

( ) ( ) ( )

( )( )

( ) ( )

�� % % �

% %

� % % �

� 4 � �

� �E �

� �E 5

� � �

�� � � � �

� �

� � � �

�� � � � � �

��

� � � �

� � � � �

� � � �

λ λ λ

λ λ

− − + +

− +

− − + +

� + − + − + − + = −��� = = =��− + = = =�

− + − + − + =��

�+� �)��� �� �B��*��� ��� ��(������ (����� �� ������ B��� ��� ��(����

��#�������������������������������B��*��;��

Page 46: ˇ ˘ ˘ ˆ - paginas.fe.up.ptpaginas.fe.up.pt/~em00021/ee/stability.pdf · ˇˆ ˘ ˙ ˙ ˘ ˘ ˙ ˘ ˘ ˝˛˚˚˜ ˚! "# $! Colunas Elásticas Formulação Diferencial Soluções

� � ����� ���������� ������������ ������������ ������������� �

����� ������������� ������� �!� � "#�$��!��

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

��� % � 5 �

�5% � 5 � !

��� 5 � ! 4

�!5 � ! 4 /

�4� ! 4 / 3

�34 / 3 @ %�

/

� 4 � �

� 4 � �

� 4 � �

� 4 � �

� 4 � �

� 4 � �

�� � � � � �

��

�� � � � � �

��

�� � � � � �

��

�� � � � � �

��

�� � � � � �

��

�� � � � � �

��

� �

λ λ λ

λ λ λ

λ λ λ

λ λ λ

λ λ λ

λ λ λ

λ

+ − + − + − + = −

+ − + − + − + = −

+ − + − + − + = −

+ − + − + − + = −

+ − + − + − + = −

+ − + − + − + = −

+ − ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

�@3 @ %� %%

�%�3 @ %� %% %�

%

/

� % �

@ %� %%

3 @ %% %�

4 � �

� 4 � �

� �

� �

� � �

�� � � �

��

�� � � � � �

��

� � �

� � �

� � � �

λ λ

λ λ λ

λ λ

������������������ + − + − + = −��� + − + − + − + = −��

=�� =�

− + =�� − + =��− + − + − + =�������

���

���

=×==

=−×

==

==

�5$�25 %1�/�%$�

�/�%$�35�3@�%�

%34�!/

5555$�5

���

����

!

��

λ

�+�<�� ���� �(�)���� ������ ������� ��� �B��*��� �� ���� �����

�����)����� �������� �� ��������� �� ��*��� ��� ��� ��� �)������ ��������������(������(����;�

Page 47: ˇ ˘ ˘ ˆ - paginas.fe.up.ptpaginas.fe.up.pt/~em00021/ee/stability.pdf · ˇˆ ˘ ˙ ˙ ˘ ˘ ˙ ˘ ˘ ˝˛˚˚˜ ˚! "# $! Colunas Elásticas Formulação Diferencial Soluções

� � ����� ���������� ������������ ������������ ������������� �

����� ������������� ������� �!� � "#�$��4��

���������

���������

−=−=−=

−=−=

=======

−=

4-��%!$%8

4-�%!5!$%8

/-�3��%$38

/-�%��@$48

/-�!5�!$58

�8

/-�!443$/8

4-�5@5�$%8

4-�454$%8

4-��%/!$%8

/-3$%!�4�

�8

/-3$%!�4�

%�

%%

%�

@

3

/

4

!

5

%

���� �������� ��#(�)�� ���#� ���������� � (���� B��� � ���-)� �� ��#�

����6��� �����������������������������-���J�(����"����������������������)��������� ���;�

Page 48: ˇ ˘ ˘ ˆ - paginas.fe.up.ptpaginas.fe.up.pt/~em00021/ee/stability.pdf · ˇˆ ˘ ˙ ˙ ˘ ˘ ˙ ˘ ˘ ˝˛˚˚˜ ˚! "# $! Colunas Elásticas Formulação Diferencial Soluções

� � ����� ���������� ������������ ������������ ������������� �

����� ������������� ������� �!� � "#�$��/��

Resolução Matricial

����� �;� 7��� )� �� �)����� ��� �������� �� )��� �� ���������� ������ �������������,����

��

.������� � ) )� �� �� ������ ��� �������� ( �)������ ������� ��(����� ���������� ���� ���� )� �$� "�� ����� ��(���-��� � ����� ����� ����������������������;�

��)����;�N"��%�����N�I5�3�)���

����� ;�+�����5/����I�%��>"E��I�$5�.���������;� I%����.����� �)��;�

"I% 5�")��E�BI" ��+�)���)�,��)����������G5H;�

����535!�4�$%��

=�= !�

��!�� �

�� � "�� ) )� �� �� ��)�*��� ����-��� ���� �� ������� ������� �)������ ��� �� ������� ��� (����6� �����-��� ���� ���� �� ������� ������� �)������ )��� �� ��)����� ��� �� ��(���Z � �� ���������� �� ��)�*�������������(�����1���GT�H2;�

�������������( �)�����������;�

( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )������

������

≤≤−−−+−−

+−+−−−+−=≤≤−−

+−+−−−+−=≤≤−+−−−+−=

≤≤−−−+−=

≤≤−=

�565

55!�$��5355%@$%//�!$�5!�$��53

��@%$�/55!$%5!�$��53%@4!$%%5�5��$%5%/3%$�5

5!$�6!$�5!�$��53

��@%$�/55!$%5!�$��53%@4!$%%5�5��$%5%/3%$�5

!$��6��@%$�/55!$%5!�$��53%@4!$%%5�5��$%5%/3%$�5

�%6�

%5!�$��53%@4!$%%5�5��$%5%/3%$�5

%�65��$%5%/3%$�5

5

��

��

�����

��

�����

������

��

���

���

Page 49: ˇ ˘ ˘ ˆ - paginas.fe.up.ptpaginas.fe.up.pt/~em00021/ee/stability.pdf · ˇˆ ˘ ˙ ˙ ˘ ˘ ˙ ˘ ˘ ˝˛˚˚˜ ˚! "# $! Colunas Elásticas Formulação Diferencial Soluções

� � ����� ���������� ������������ ������������ ������������� �

����� ������������� ������� �!� � "#�$��3��

'����������������( �)�����;�

�+��B�������(���)� �����B�� ,��������#�������;�

��

��

��

�� −=+ �

���)������������B�������(���)� ��� ����(������(���������������

B����IT�9�6������;�

( ) �%% � �

��

���� ���� −=+−+ +− λ �

�N�#-��� �������� � )� �� ��� %4� ����� ��� ������ �� � �)�� ��������� ���

��(������(����������������;�

�+��)����*���(����������;�

�PP�

�P�

��

�5

��

�%

��

=�==�==�==�==�==�==�=

��

��

��

��

��

��

��

�+���B��*�����������������;�

( ) ( ) ( )( )

( )( )�

��

���

==+−==+−

======

−=+−+−+−+

+−

+−

++−−

���

��

�E5E�E%E��

��4�

%%

%%

��%%�

����

���

������

���

������

���

��

������ λλλ

�+� �)���������B��*��������(������(�������������B��������(����

��#�������������������������������B��*��;��

Page 50: ˇ ˘ ˘ ˆ - paginas.fe.up.ptpaginas.fe.up.pt/~em00021/ee/stability.pdf · ˇˆ ˘ ˙ ˙ ˘ ˘ ˙ ˘ ˘ ˝˛˚˚˜ ˚! "# $! Colunas Elásticas Formulação Diferencial Soluções

� � ����� ���������� ������������ ������������ ������������� �

����� ������������� ������� �!� � "#�$��@��

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

����������������������

����������������������

=+−=+−

==

===

−=+−+−+−+

−=+−+−+−+

−=+−+−+−+

−=+−+−+−+

−=+−+−+−+

−=+−+−+−+

−=+−+−+−+

−=+−+−+−+

−=+−+−+−+

−=+−+−+−+

−=+−+−+−+

−=+−+−+−+

��

��4�

��4�

��4�

��4�

��4�

��4�

��4�

��4�

��4�

��4�

��4�

��4�

%3%/%4

��

%/

%5

@

!

%

�%4%3%/%4%!%�

�%!%/%4%!%�%5

�%�%4%!%�%5%�

�%�%�%5%�%%%�

�%%%5%�%%%�@

�%�%�%%%�@3

�3%�@3/4

�/@3/4!

�43/4!�

��4!�5�

�5!�5�%

���5�%�

���

��

���

������

���

������

���

������

���

������

���

������

���

������

���

������

���

������

���

������

���

������

���

������

���

������

λλλ

λλλ

λλλ

λλλ

λλλ

λλλ

λλλ

λλλ

λλλ

λλλ

λλλ

λλλ

Page 51: ˇ ˘ ˘ ˆ - paginas.fe.up.ptpaginas.fe.up.pt/~em00021/ee/stability.pdf · ˇˆ ˘ ˙ ˙ ˘ ˘ ˙ ˘ ˘ ˝˛˚˚˜ ˚! "# $! Colunas Elásticas Formulação Diferencial Soluções

� � ����� ���������� ������������ ������������ ������������� �

����� ������������� ������� �!� � "#�$�!���

����������� ��� ������ ��� ��(������ (����� ������ ���� ) )� ���� �����������B��*��������������#����������������( �)�����6�������������������� ����;�

//54�$4-���5�$!-/�/��$%

4%�4�-5�4�4��%�/�

-��455$/%�@�!5$!3/%�5$/

-!�/�/-�%3@%%�@�!

%4%!%�

%�%%%�

3/4

�5�

======

======

���

���

���

���

��G�$�H�

������������ ��������)# )� ���������������;�

�����

�����

=×==

=−×

==

==

−=

=

��%�!$��!$�!�$5

!�$535�3@�%�

��535!�

�!$��

35�3

@�%�

���

����

!

��

���

!���

λ

Page 52: ˇ ˘ ˘ ˆ - paginas.fe.up.ptpaginas.fe.up.pt/~em00021/ee/stability.pdf · ˇˆ ˘ ˙ ˙ ˘ ˘ ˙ ˘ ˘ ˝˛˚˚˜ ˚! "# $! Colunas Elásticas Formulação Diferencial Soluções

� � ����� ���������� ������������ ������������ ������������� �

����� ������������� ������� �!� � "#�$�!%��

"�� ���� ���� ����� ������� ����-��� ���� �������������)� � ��� >���-[����)���������������B��������:�G+H��;��

����������������

−−

−−−−

−−−−

−−−−

−−−−

−−−

−−−−

%�%����������������

����������������%�%

�%�����������������

�����%�������������

���������%���������

�������������%�����

�����������������%�

%/3$5!4$!/3$5%��������������

�%/3$5!4$!/3$5%�������������

��%/3$5!4$!/3$5%������������

����%/3$5!4$!/3$5%����������

�����%/3$5!4$!/3$5%���������

������%/3$5!4$!/3$5%��������

��������%/3$5!4$!/3$5%������

���������%/3$5!4$!/3$5%�����

�����������%!4$!/3$5%����

������������%/3$5!4$!/3$5%��

�������������%/3$5!4$!/3$5%�

��������������%/3$5!4$!/3$5%

�������)����F�)�������������������������;�

��������������

��������������

��������������

��������������

=

�6��/�%@@-

�6��54434

�6��4!@43

�6��!!��3-

�6�5%��%

�6��%@�35-

�6��%3/�5

�6��@@5%!-

�6��/@�/�-

�6���@4!3

�6��%@345

�6���@@5%�-

\]#

Page 53: ˇ ˘ ˘ ˆ - paginas.fe.up.ptpaginas.fe.up.pt/~em00021/ee/stability.pdf · ˇˆ ˘ ˙ ˙ ˘ ˘ ˙ ˘ ˘ ˝˛˚˚˜ ˚! "# $! Colunas Elásticas Formulação Diferencial Soluções

� � ����� ���������� ������������ ������������ ������������� �

����� ������������� ������� �!� � "#�$�!���

+�<���� �)������� ��������������������������� ����;��

{ }

��������������

��������������

��������������

��������������

=

�6��@%�4�

�6��@%�4�-

�6�%%��-

�6��344%!-

�6���4@�

�6�5!@%3

�6��535

�6�%@54@-

�6��/4��-

�6�%34��-

�6�%�!45

�6�%���!

�6�����!5

�6�����!5

��� ������ �������� ���#� ���������� ��(�)����� � ��(����� ��

������)� ������������������������������(������(����$�

��

Page 54: ˇ ˘ ˘ ˆ - paginas.fe.up.ptpaginas.fe.up.pt/~em00021/ee/stability.pdf · ˇˆ ˘ ˙ ˙ ˘ ˘ ˙ ˘ ˘ ˝˛˚˚˜ ˚! "# $! Colunas Elásticas Formulação Diferencial Soluções

� � ����� ���������� ������������ ������������ ������������� �

����� ������������� ������� �!� � "#�$�!5��

Formulação Variacional

Método de Rayleigh-Ritz (Formulação Matricial)

����� ��%;�7���)� ��)�������)���������������������� ���

"� �<�������3L�������/�)����*���(�������1����A������2�

&������������

� �&������������

��� �&������������

�4%���5���!4PP

�5�!4/3P�5�!4

�5�!4/

�5�!4/3

++++++=

+++++++=

++++++++=

��

( )

( )

( )

��������

��������

�������

�������

==

−−=

+=

+−=

+=

+−=

=→==�=→=

=→==→==→=

=→==�=→=

�/

/��

/

%�/��

3!@%%@@�/

!44�%

/

!!!

/

4!4�

%�%@�%/

%

�EP�8P� �

�E9���8P���

�E�8�� �

�E�8�5 �

�E�8�� �

E�

E���

;

!4

5

�5

����

����&

�����

�����

�����

���

���

&����������'��

����

Page 55: ˇ ˘ ˘ ˆ - paginas.fe.up.ptpaginas.fe.up.pt/~em00021/ee/stability.pdf · ˇˆ ˘ ˙ ˙ ˘ ˘ ˙ ˘ ˘ ˝˛˚˚˜ ˚! "# $! Colunas Elásticas Formulação Diferencial Soluções

� � ����� ���������� ������������ ������������ ������������� �

����� ������������� ������� �!� � "#�$�!���

'�������� ��B��;��

!�5��!5�

!55��!4��

�!�55�4/!�

4!4��55��

4�!/5��5!�

�45!3��!54�

�!�55�4/!�

�45!3��!54�

/

%�33��4�

/

%�5�3

/

5�5���

/

%%%��21PP

/

%�333��

/

!%!�

/

4�4/

/

�//!21P

/

/����!

/

%/%3

/

%�%

/

!!!21

/

�%��3

/

%�533�!45��/�

/

%5%���

/

�/�5�21PP

/

�%��3

/

/%@��3%�3��

/

5�3��

/

!��421P

/

%�/��

/

�5@3��/�4

/

4!4�

/

@�%21

/

/����!

/

%/%3

/

%�%

/

!!!

/

%�/��

/

�5@3��/�4

/

4!4�

/

@�%

�����������

������������

������������

�����������&

������������&

������������&

������������

�������������

−−+−+=

−−+−+=

−−+−+=

−++−+−=

−++−+−=

−++−+−=

���

� −−+−++

���

� −++−+−=

��

dxxgPb

bb

dxxgxfPb

dxxfPb

dxxgIEa

aa

dxxgxfIEa

dxxfIEa

l

l

l

l

l

l

−=

=

⋅−=

−=

⋅=

=

⋅⋅=

⋅=

4

0

222

1221

4

012

4

0

211

4

0

222

1221

4

0

212

4

0

211

)('

)(')('

)('

)(''

))('')(''(

)(''

��

Page 56: ˇ ˘ ˘ ˆ - paginas.fe.up.ptpaginas.fe.up.pt/~em00021/ee/stability.pdf · ˇˆ ˘ ˙ ˙ ˘ ˘ ˙ ˘ ˘ ˝˛˚˚˜ ˚! "# $! Colunas Elásticas Formulação Diferencial Soluções

� � ����� ���������� ������������ ������������ ������������� �

����� ������������� ������� �!� � "#�$�!!��

[ ] [ ] ��

�=�

�=

���%

%�%%

���%

%�%%E

��

��#

��

��$ �

�.# )� ������)��(�)��������(�������J�)�����(�����������������,�;�

��

�=

−=

−=

%

%

21

21

�"

��� +�

���&+�

�0��� ������������������)� 6�

[ ] [ ]{ } [ ] { }�=+���

���

×+ "�

�#$ �

������������ ���������A������������6��

2/353%�/4�34@%4%�%4!�5%�5�5!@41@4

2!�34/4%/��55�!�1%�5

2/353%�/5�34@%4%�%4!�5%�5�5!@414�

25�%/%/��%5@�51%�5

�����5

������

�!!������

+!����

�!!������

��!�+�

+⋅−⋅−−=

+⋅−+−

=

"���)� ��:��;��

�3

�%�5�3E�%�E%E

!���$55EE%��; ���!����

��!��!�

!+�!-!��&�� −×======

��������B��6

�5�

!4/3

%@�!��3�/$�!/�43@5��3$�4/3@��53�5$�

���5�//@�$�%�4/@4�5%@$�������53�34$�5���%�/@/�/!$�

���

�����

+−+

+−+−=

Page 57: ˇ ˘ ˘ ˆ - paginas.fe.up.ptpaginas.fe.up.pt/~em00021/ee/stability.pdf · ˇˆ ˘ ˙ ˙ ˘ ˘ ˙ ˘ ˘ ˝˛˚˚˜ ˚! "# $! Colunas Elásticas Formulação Diferencial Soluções

� � ����� ���������� ������������ ������������ ������������� �

����� ������������� ������� �!� � "#�$�!4��

+���(����������������������)��;�

S ��6�)�����������������(������������6����� ����������(��������������� )��6� ��� ���� � )��� �� 6� ������ ������ � ��(������� �#�����)���� �� ������ ����$� �� ()��� ��� � ��(����� )��� )��� �� � ���� ���������6�B�����������#���:���B�����������)�����)�������)����� 6�����-����� ()��������������������������������������������������������������� �<������)����� ���������������)����(�����������;�

�5

5

!4

!

/

4

21

53%��@4@�$���3%5!@5/$5%�43��!4�$3

�!�%!!33�$33�533�@!/$53�3!4%4���$��/%4454%@�$�PP

��

������

��

��

��

⋅−=

+−+

+−+−=

Page 58: ˇ ˘ ˘ ˆ - paginas.fe.up.ptpaginas.fe.up.pt/~em00021/ee/stability.pdf · ˇˆ ˘ ˙ ˙ ˘ ˘ ˙ ˘ ˘ ˝˛˚˚˜ ˚! "# $! Colunas Elásticas Formulação Diferencial Soluções

� � ����� ���������� ������������ ������������ ������������� �

����� ������������� ������� �!� � "#�$�!/��

�+���������������������������� ��������������������������(���;�

�'�� ������� ������ ��� ���� ��� � ����� ��� ������� ( �)���� �� ��

�����)��������������������������������#����;�

X [m]

M(x) [N.m]

� [MPa]

0 -3,60E+05 -6585,70 0,39209367 1,16E+05 2119,36 1,12358514 -53.319,3198 -975,35 1,92435651 42.842,2902 783,70 2,83002735 -1,01E+05 -1844,46 3,72993732 2,72E+05 4976,63

/�����������������������������������

Page 59: ˇ ˘ ˘ ˆ - paginas.fe.up.ptpaginas.fe.up.pt/~em00021/ee/stability.pdf · ˇˆ ˘ ˙ ˙ ˘ ˘ ˙ ˘ ˘ ˝˛˚˚˜ ˚! "# $! Colunas Elásticas Formulação Diferencial Soluções

� � ����� ���������� ������������ ������������ ������������� �

����� ������������� ������� �!� � "#�$�!3��

"�������)��������� ������������������)���������������)��6�������� � )��� �� � ������ �� (����� �������$� ������ B��� 9#� ������M)��6�)������ �� ��� ���� B��� ��� �������6� ������ ��� ��� ������ ��� ����:����� 9��6� ��� �� (���� ���� ���)�� � ���� ����������6� )���� ����� ���������;�

������

Método de Rayleigh-Ritz (Formulação Algébrica)

����� ��%;�7���)� ��)�������)���������������������� ���

=�� �:��������������������(���������� �<�������/L�����)���/�)����*���(�������1%���A�����2;�

&�����������

&������������

� �&������������

�4%���5���PP

�5�!4/P�5�!

�5�!4

�5�!4/

+++++=

++++++=

+++++++=

Page 60: ˇ ˘ ˘ ˆ - paginas.fe.up.ptpaginas.fe.up.pt/~em00021/ee/stability.pdf · ˇˆ ˘ ˙ ˙ ˘ ˘ ˙ ˘ ˘ ˝˛˚˚˜ ˚! "# $! Colunas Elásticas Formulação Diferencial Soluções

� � ����� ���������� ������������ ������������ ������������� �

����� ������������� ������� �!� � "#�$�!@��

��������

��������

�������

�������

==

−=

=

−=

=

−=

=→==�=→=

=→==→==→=

=→==�=→=

�/

/��/

%/%3

��!

/

!!!/

%�%

�EP�8P� �

�E����8P���

�E�8�� �

�E�8�5 �

�E�8�� �

E�

E���

;

!

5

��&

���

���

���

���

���

���

&����������'��

'�������� �6��

!��55��!

!��55��!4

�!5��5!�4/

�!5��5!�4/

/

%�33

/

%�5�3��4�

/

%%%��

/

5�5���21PP

/

%�33

/

!%!�3��

/

�//!

/

4�4/21P

/

/��

/

%/%3��!

/

!!!

/

%�%21

/

/��

/

%/%3��!

/

!!!

/

%�%

�����������&

������������&

������������&

�������������

−+−+−=

−+−+−=

−+−+−=

���

� −+−+−⋅=

���&!�

���&���

−=

⋅=

�%%

�%%

21P

21PP

���-��������)���#����) )� ����� ������(1�2����������)������� �1�I�$! 2�

Page 61: ˇ ˘ ˘ ˆ - paginas.fe.up.ptpaginas.fe.up.pt/~em00021/ee/stability.pdf · ˇˆ ˘ ˙ ˙ ˘ ˘ ˙ ˘ ˘ ˝˛˚˚˜ ˚! "# $! Colunas Elásticas Formulação Diferencial Soluções

� � ����� ���������� ������������ ������������ ������������� �

����� ������������� ������� �!� � "#�$�4���

/

�!5��5!�4/

@/5�53$/2!$�1

2!$�1/

/��2!$�1

/

%/%32!$�1��!2!$�1

/

!!!2!$�1

/

%�%2!$�12!$�1

��&

������������&

−=

−+−+−=

��

.# )� �����)��(�)������� �����J��)�������������6��

�� ⋅−⋅⋅−−=�

���&�+�&!���&+��

5

% 212!$�121 �

�0��� �������B������������6������-������ ��������A�������6�

�( )

2%�@�3@4$�%�/@�34!$51

2%��@!35/!$!%�/!3%�5�/@$%%�/��5/!$31�����%�34�$�

�!4�

�@@3

%%%%%

!����

+�!+��

����

×+×−×+×−×

−=

=+×+�

��

"���)� ��:���������;�

�5�!4/

�3

!@4/�4$�5//3/3$%%!�@�!/$%��!%�5�$��3%���$���!4%�$�

E%E!���$5

5E%�5�3E�%�E%��;

�������

���

��!��!�

!+���!���!-!��&��

−+−+−=

====×== −

+���(����6������)�������)� �6��������������(���;�

Page 62: ˇ ˘ ˘ ˆ - paginas.fe.up.ptpaginas.fe.up.pt/~em00021/ee/stability.pdf · ˇˆ ˘ ˙ ˙ ˘ ˘ ˙ ˘ ˘ ˝˛˚˚˜ ˚! "# $! Colunas Elásticas Formulação Diferencial Soluções

� � ����� ���������� ������������ ������������ ������������� �

����� ������������� ������� �!� � "#�$�4%��

"���������������:�����)������)������(���������)����� ;�

��+��B�������������������������)�������������������������;��

!3$�!���%�/!@4$%%�@5@!$�%�3@�3$%@!4$!%/��445$!�%321 !�!5!�! +×−×+×−+−= �������

�����������������)��;��

���

Page 63: ˇ ˘ ˘ ˆ - paginas.fe.up.ptpaginas.fe.up.pt/~em00021/ee/stability.pdf · ˇˆ ˘ ˙ ˙ ˘ ˘ ˙ ˘ ˘ ˝˛˚˚˜ ˚! "# $! Colunas Elásticas Formulação Diferencial Soluções

� � ����� ���������� ������������ ������������ ������������� �

����� ������������� ������� �!� � "#�$�4���

����� ����������������������������� �������������������������*�������������������������������������#�����;��

X [m]

M(x) [N.m]

� [MPa]

0 25400.58 �4�$4�!�

0,49893571 -9701.35 -177.464 1,46891907 7118.76 130.221 2.60704984 -7968.58 -145.767 3.66999331 14450.49 264.338

����B����B������������������)����� ������������������� ����;�

.������������)�����6���������������������M)������� ����������

����������� )���)��� �� � �� ����)��� �� 6� �� �� B��� ���������� ���������)������������ �<�������������������$�

�0�)�����������J�(���� ��������)� 6�

"� �<�������3L�������/�)����*���(�������1����A������2�

&������������

� �&������������

��� �&������������

�4%���5���!4PP

�5�!4/3P�5�!4

�5�!4/

�5�!4/3

++++++=

+++++++=

++++++++=

Page 64: ˇ ˘ ˘ ˆ - paginas.fe.up.ptpaginas.fe.up.pt/~em00021/ee/stability.pdf · ˇˆ ˘ ˙ ˙ ˘ ˘ ˙ ˘ ˘ ˝˛˚˚˜ ˚! "# $! Colunas Elásticas Formulação Diferencial Soluções

� � ����� ���������� ������������ ������������ ������������� �

����� ������������� ������� �!� � "#�$�45��

( )

( )

( )

��������

��������

�������

�������

==

−−=

+=

+−=

+=

+−=

=→==�=→=

=→==→==→=

=→==�=→=

�/

/��

/

%�/��

3!@%%@@�/

!44�%

/

!!!

/

4!4�

%�%@�%/

%

�EP�8P� �

�E9���8P���

�E�8�� �

�E�8�5 �

�E�8�� �

E�

E���

;

!4

5

�5

����

����&

�����

�����

�����

���

���

&����������'��

!�5��!5�

!55��!4��

�!�55�4/!�

4!4��55��

4�!/5��5!�

�45!3��!54�

�!�55�4/!�

�45!3��!54�

/

%�33��4�

/

%�5�3

/

5�5���

/

%%%��21PP

/

%�333��

/

!%!�

/

4�4/

/

�//!21P

/

/����!

/

%/%3

/

%�%

/

!!!21

/

�%��3

/

%�533�!45��/�

/

%5%���

/

�/�5�21PP

/

�%��3

/

/%@��3%�3��

/

5�3��

/

!��421P

/

%�/��

/

�5@3��/�4

/

4!4�

/

@�%21

/

/����!

/

%/%3

/

%�%

/

!!!

/

%�/��

/

�5@3��/�4

/

4!4�

/

@�%

�����������

������������

������������

�����������&

������������&

������������&

������������

�������������

−−+−+=

−−+−+=

−−+−+=

−++−+−=

−++−+−=

−++−+−=

���

� −−+−++

���

� −++−+−=

��

Page 65: ˇ ˘ ˘ ˆ - paginas.fe.up.ptpaginas.fe.up.pt/~em00021/ee/stability.pdf · ˇˆ ˘ ˙ ˙ ˘ ˘ ˙ ˘ ˘ ˝˛˚˚˜ ˚! "# $! Colunas Elásticas Formulação Diferencial Soluções

� � ����� ���������� ������������ ������������ ������������� �

����� ������������� ������� �!� � "#�$�4���

dxxgPb

bb

dxxgxfPb

dxxfPb

dxxgIEa

aa

dxxgxfIEa

dxxfIEa

l

l

l

l

l

l

−=

=

⋅−=

−=

⋅=

=

⋅⋅=

⋅=

4

0

222

1221

4

012

4

0

211

4

0

222

1221

4

0

212

4

0

211

)('

)(')('

)('

)(''

))('')(''(

)(''

��

[ ] [ ] ��

�=�

�=

���%

%�%%

���%

%�%%E

��

��#

��

��$ �

�. )� �����������)��(�)�������� ������J��)�������������6�

���

�=

� ⋅−⋅−�−=

−=

� ⋅−⋅−�−=

−=

%

5212!$�1

�21

//3�%55!$42!$�1

5212!$�1

�21

%

/@/5�53$/2!$�1

�"

���� �+� !

���� +�

��

����&�+�&!

����&+�

��&

���

Page 66: ˇ ˘ ˘ ˆ - paginas.fe.up.ptpaginas.fe.up.pt/~em00021/ee/stability.pdf · ˇˆ ˘ ˙ ˙ ˘ ˘ ˙ ˘ ˘ ˝˛˚˚˜ ˚! "# $! Colunas Elásticas Formulação Diferencial Soluções

� � ����� ���������� ������������ ������������ ������������� �

����� ������������� ������� �!� � "#�$�4!��

������ ���������������������6��

[ ] [ ]{ } [ ] { }�=+���

���

×+ "�

�#$ �

����M�-������� �����������A������������6��

( )

))10028486317.8

10712756911.510884331576.110099372552.210383743907.4

10101204608.210273026378.610213232369.1(10091695150.9(

10314343596.2108381276.710869161416.2

1

16

152153162214

414321551510

2210427296

PlEI

PEIqlEIqlEIlP

qPllPqPl

IElPEIPlla

⋅×+

⋅×−⋅×−⋅×+×+

×+×−×−×⋅

⋅×+×+⋅×−

=

( )

))10106561993.1

10725200646.510590680861.110806779460.210006663647.2

10416225165.110625834967.510625086591.4(10061130100.6(

10314343596.2108381276.710869161416.2

1

2216

415321751618

1721631710

2210427295

lP

PqllPPqlPlEI

PEIqlEIqlEI

IElPEIPllb

×+

×+×−×−⋅×+

⋅×−⋅×−⋅××⋅

⋅×+×+⋅×−

−=

"���)� ��:���������;�

234

5678

482

75815769.2054497771.8215547286.9

31597395.5637022717.12562643336.010160083670.0

10328;210;1;5402.3

3;;120:

xxx

xxxxy

mIGPaEmll

EIPcrPlP

qIPNPerfil

+−++−+−=

×====== −

+���(����������������������)��;�

Page 67: ˇ ˘ ˘ ˆ - paginas.fe.up.ptpaginas.fe.up.pt/~em00021/ee/stability.pdf · ˇˆ ˘ ˙ ˙ ˘ ˘ ˙ ˘ ˘ ˝˛˚˚˜ ˚! "# $! Colunas Elásticas Formulação Diferencial Soluções

� � ����� ���������� ������������ ������������ ������������� �

����� ������������� ������� �!� � "#�$�44��

S ��6����������:6���������)������)����(��������(����������)����� �����������������(������������ 9��;�

�5

5

!4

!

/

4

21

53%��@4@�$���3%5!@5/$5%�43��!4�$3

�!�%!!33�$33�533�@!/$53�3!4%4���$��/%4454%@�$�PP

��

������

��

��

��

⋅−=

+−+

+−+−=

+���������������������������� ��������������������)� ��������

��������(���;�

Page 68: ˇ ˘ ˘ ˆ - paginas.fe.up.ptpaginas.fe.up.pt/~em00021/ee/stability.pdf · ˇˆ ˘ ˙ ˙ ˘ ˘ ˙ ˘ ˘ ˝˛˚˚˜ ˚! "# $! Colunas Elásticas Formulação Diferencial Soluções

� � ����� ���������� ������������ ������������ ������������� �

����� ������������� ������� �!� � "#�$�4/��

'������������������ �������� ���������������( �)�����������)����

����������������������#����;�

X [m]

M(x) [N.m]

� [MPa]

0 -117409,2549 2147,73027�0,3925583391 37794,5844 691,364349 1,125174494 -17382,0189 -317,96376 1,926322726 13857,3901 253,488843 2,830922965 -32571,0119 -595,811193 3,730114939 87949,3941 1608,83038

��

"������6�������6�)��������� ������������������)���������������)��6���������)����� ;�

�����������������

Page 69: ˇ ˘ ˘ ˆ - paginas.fe.up.ptpaginas.fe.up.pt/~em00021/ee/stability.pdf · ˇˆ ˘ ˙ ˙ ˘ ˘ ˙ ˘ ˘ ˝˛˚˚˜ ˚! "# $! Colunas Elásticas Formulação Diferencial Soluções

� � ����� ���������� ������������ ������������ ������������� �

����� ������������� ������� �!� � "#�$�43��

.��������������*�������������*�������L�)��;��

��.����������������(�)�6��������������������������� �<�������

���������� �� ��(����6� ������ �� )����*��� (������� )������6� (�����(�)�������� �����)��� ����������� ����6�B��������(����6�B����������*��$�

����������������

Tensões Máximas na Viga-Coluna

-3000

-2000

-1000

0

1000

2000

0 1 2 3 4

x [m]

σσ σσ [

Mpa

]

7ºGrau_7Condições 8ºGrau_7Condições

Page 70: ˇ ˘ ˘ ˆ - paginas.fe.up.ptpaginas.fe.up.pt/~em00021/ee/stability.pdf · ˇˆ ˘ ˙ ˙ ˘ ˘ ˙ ˘ ˘ ˝˛˚˚˜ ˚! "# $! Colunas Elásticas Formulação Diferencial Soluções

� � ����� ���������� ������������ ������������ ������������� �

����� ������������� ������� �!� � "#�$�4@��

Estabilidade Linear – Formulação MEF �

Usando as deformações de GREEN (2ª Ordem) �

�� (���� ���� ��� ��� ���� ��� ��� ����� ����� �������� � ����� ������� ������ �������(����������-�����������(���������>����B���)�����������(�����������(����*�����������������$�+��������B��*�������B�� ,��������;�

[ ]{ } [ ]{ } { }%.. �� =+ δδ �

����B���G �H��������:����������:�) #���)6�G >H��������:���������)6�]K\�������)���������� �)�������������]&\�������)�������(���������$�

�=�����������������������G�H�����-�����)������������:��� G H���

��������(���;�

[ ]

��������

−−−

=

(

��

(

��

(

��

(

��(

��

(

��

(

��

(

��(

��

(

��

(

��

(

��(

��

(

��

(

��

(

��

. �

�4�4

4%�4%�

�4�4

4%�4%�

��

�5�5

��

�5�5

��������:���������);�

[ ]

��������

−−−

=

5

�4�

�4

�4

4�5

�4

�4

!

��

��

((((

((

((((

((

(

!.� �

Page 71: ˇ ˘ ˘ ˆ - paginas.fe.up.ptpaginas.fe.up.pt/~em00021/ee/stability.pdf · ˇˆ ˘ ˙ ˙ ˘ ˘ ˙ ˘ ˘ ˝˛˚˚˜ ˚! "# $! Colunas Elásticas Formulação Diferencial Soluções

� � ����� ���������� ������������ ������������ ������������� �

����� ������������� ������� �!� � "#�$�/���

��

+�������B���������)� �� �� �������������� �)����� ��(�����������������(�����������������������������(���� ���;�

��

��

��

��

×

����

����

����

����

��������

−−−

����

−−−

−−−

=

���

���

���

���

(

(

((((

((

((((

((

(

!

(

��

(

00(

00

5

%

��

��

5

5

%

5

�4�

�4

�4

4�5

�4

�4

!

�4�4

4%�4%�

�4�4

4%�4%�

δδδδ

�.����������)� �����������(������������;�

��

.������������������� ��������������������������������;�

����

����

����

����

������

������

������

������

�������������

−−

−−−

−−−

−−

−−−

��������

−−

−−−−

−−−−

=

�����

�����

�����

�����

(

(

(

(

!

(

��

(

0

0(

0

0(

0

0

4

!

5

%

%!

%�

%

5�

%

%�

%��

%�

%

!

4

%�

%

!

4��

5�

%

%�

%

%!

��

5�

%

%�

%%�

%

!

4�

!

%�

%�

%

!

4

��5�

%

%�

%

%!

%�

%

��%�

%

!

4

%�

%

!

4

�4�4��

4%�4%���

�43��4

4%����4%�

���4�4

��4%�4%�

5

4

!

5

%

δδ

δδδδ

��

Page 72: ˇ ˘ ˘ ˆ - paginas.fe.up.ptpaginas.fe.up.pt/~em00021/ee/stability.pdf · ˇˆ ˘ ˙ ˙ ˘ ˘ ˙ ˘ ˘ ˝˛˚˚˜ ˚! "# $! Colunas Elásticas Formulação Diferencial Soluções

� � ����� ���������� ������������ ������������ ������������� �

����� ������������� ������� �!� � "#�$�/%��

+� �)�����)����*���(��������������������������������;�

����

����

����

����

����

����

����

����

��������

−−

−−−−

��������

−=

�����

�����

�����

�����

(

(

(

(

!

(

��

(

0

0(

0

0(

0

0

4

!

5

%

%!

%�

%

5�

%

%�

%��

�%����5�

%

%�

%

%!

��

5�

%

%�

%���%��

����%�

�����%

�4�4��

�%����

�43��4

���%��

����%�

�����%

5

4

!

5

%

δδ

δδδδ

����)� �����#����#�� �B����������������������:�G H�(���� �6����������������������;�

[ ] ( )( )( )�

@��

5%�����!������

%3

������

=−+−=(

!(��(!��!(��. �

�+����������� �������������������;�

�3$%4

(

��! = ��

����������� �������)��������������"����T����� $������;�

//$%�

(

��! = �

���B����#�������������@Q6�������������������)��� ����6����)���������������������� �������������������������������#�����������������$�

Page 73: ˇ ˘ ˘ ˆ - paginas.fe.up.ptpaginas.fe.up.pt/~em00021/ee/stability.pdf · ˇˆ ˘ ˙ ˙ ˘ ˘ ˙ ˘ ˘ ˝˛˚˚˜ ˚! "# $! Colunas Elásticas Formulação Diferencial Soluções

� � ����� ���������� ������������ ������������ ������������� �

����� ������������� ������� �!� � "#�$�/���

Conclusão �.���� ��� �V��� ����(�)�� �� ���� ��� ��� 9�6� ������ ������ �������6�

������ ���������� 1��)����� �� �� ��*��� ,��)�26� ���-��� � ����� �������:�#����6�B�������)����)�,��)����)������)� ��6�B��������������������(��������)�����������)� ��$�+���������6��������B������� ������������ �������� � # ���� ��� ����� ����� ��� ���������6� ������������� ��6�(�)�B������������)��$�

Page 74: ˇ ˘ ˘ ˆ - paginas.fe.up.ptpaginas.fe.up.pt/~em00021/ee/stability.pdf · ˇˆ ˘ ˙ ˙ ˘ ˘ ˙ ˘ ˘ ˝˛˚˚˜ ˚! "# $! Colunas Elásticas Formulação Diferencial Soluções

� � ����� ���������� ������������ ������������ ������������� �

����� ������������� ������� �!� � "#�$�/5��

Bibliografia �

G%H ��������������������)�� ���������� ������������� � ��"��($�0�������

�����6�����-���!�

G�H �����9�T�6� �$� "$E� >���6� [���� �$E� X�9���8� �(� � ���)� ���� ��8YE�

�)>�O ���_ � $�

G5H "����T�6�>$��$E�`#T�� ��6�+$�"$E�������6�7$�7$E�X�� ����������M)��

�������� ��YE�������� ��������)R$�

G�H ._+[��6� + �����E� X"��)�� ��� �(� ����)��� � ���� ��8� �9���8YE�

"������)�-_ 6�N)$6��� �O ����. �((�6���O �[����86�=�+$�

G!H ��+�+6� &�T� W$E� X+�� ���� &����� � ����� + 8���� (��� �������YE�

�������.� ����"�� ��9��E�& ����E�=�+$�

G4H a �6� .$� �$E� a �6� .$� `$E� 0���86[$� �$E� b�c+.�� ��W=�N���� &�0�

F=.^WN�>��&���0=.�=0+W����F�0�bE�.0.�"0���E�& ����E�=�+$�