---ESTRUCTURAS ISOSTÁTICAS

UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN SIMON FACULTAD DE CIENCIAS Y TECNOLOGIA

CARRERA DE INGENIERIA CIVIL

APOYO DIDCTICO PARA LA ENSEANZA Y

APRENDIZAJE DE LA ASIGNATURA DE ESTRUCTURAS

ISOSTTICAS

TEXTO ESTUDIANTE

TRABAJO DIRIJIDO, POR ADSCRIPCIN, PARA OPTAR AL

DIPLOMA ACADMICO DE LICENCIATURA EN

INGENIERA CIVIL

PRESENTADO POR:

DENNIS BERNARDO TORRICO ARAUCO RAUL LIENDO UDAETA

TUTOR:

Ing. Oscar Antezana Mendoza

COCHABAMBA BOLIVIA

MARZO DE 2006

Dedicatoria A: Oscar Torrico mi padrequin me dio los consejos ms sabios y duros a

lo largo de mi vida, pero gracias a ellos, soy la persona que sigue luchando por sus metas.

Teresa Arauco mi madreque siempre estuvo detrs de m, ayudndome y apoyndome sin condiciones, pero sobre todo por estar ah cuando ms la necesitaba.

Julia mi abuelita, mi mamita Juliaquin fue la nica persona que tenia el sueo de verme profesional desde que tenia apenas 11 aos, ella me ayudo siempre que pudo, ahora si puedo concederle ese deseo, y con mucha alegra.

Magaly mi amiga, mi compaerael pilar que me sostiene en momentos de debilidad, junto a mi hija son la luz al final de la oscuridad y sobre todo gracias por ayudarme a darle un nuevo rumbo a mi vida.

Adrianita mi hija.la inspiracin para la conclusin de mis estudios y la elaboracin de este documento.

Dennis Torrico Arauco

AGRADECIMIENTOS

AGRADECEMOS A DIOS Y A NUESTRAS FAMILIAS, SIN

CUYO APOYO Y CONFIANZA EL LOGRO HOY

ALCANZADO HUBIERA SIDO MUY DIFICIL.

AGRADECEMOS A NUESTRO TUTOR, TRIBUNALES Y

DEMAS DOCENTES QUE FUERON LOS QUE

ENCAMINARON NUESTRA LABOR POR UN BUEN

CAMINO.

EN LA VIDA SOLO SE TOMAN EN CUENTA DOS COSAS,

LOS PRETEXTOS Y LOS RESULTADOS

Y LOS PRETEXTOS NO VALEN

Dennis & Ral

PREFACIO

Este trabajo tiene por objetivo el brindar al estudiante una INTRODUCCIN AL ANLISIS DE LAS ESTRUCTURAS, el contenido esta adecuado de acuerdo al contenido programtico de la asignatura ESTRUCTURAS ISOSTATICAS.

Su contenido se limita a la teora fundamental de las estructuras simples con el propsito de que el estudiante se interese en este campo y abra las puertas a la mente en cursos posteriores. Las matemticas empleadas son de un nivel medio garantizando la comprensin de la misma.

El presente documento esta organizado en dos textos bsicos, uno para la lectura y aprendizaje del estudiante y el otro una propuesta de enseanza para el docente.

El texto gua estudiante esta organizado en 7 captulos, mismos que se desarrollaran en 1 semestre acadmico normal, o sea un semestre de 20 semanas o 120 periodos acadmicos (cada uno de 45 minutos).

El CAPITULO 1 recuerda al estudiante los conceptos fundamentales de la esttica en torno a un enfoque vectorial.

El CAPITULO 2 muestra los conceptos bsicos de la esttica de estructuras y se dan los pasos para la determinacin de las reacciones de apoyo.

El CAPITULO 3 ensea al estudiante los procedimientos mltiples para el anlisis de las estructuras y los distintos mtodos para la determinacin de esfuerzos internos.

El CAPITULO 4 ensea al estudiante los procedimientos de anlisis para cerchas en el plano y en el espacio.

El CAPITULO 5 brinda los conceptos de lneas de influencia y la importancia de este concepto.

El CAPITULO 6 brinda al estudiante los conceptos de cables flexibles. El CAPITULO 7 ofrece al estudiante tutoriales de programas

computacionales aplicables a una calculadora sencilla la HEWLETT PACKARD. Este documento contiene problemas propuestos y resueltos para que el

estudiante tenga mayor facilidad de comprensin, y una propuesta pedaggica de enseanza para cada capitulo.

Un gran agradecimiento al MSc. Ing. Oscar Antezana M. por la gran colaboracin en la realizacin de estas publicaciones.

Egr.Ing. Dennis Torrico A. & Egr.Ing. Raul Liendo U.

INDICE

TEMAS PG

CAPITULO 0 - OBJETIVOS GENERALES Y PLAN GLOBAL CAPITULO 1 - FUNDAMENTOS DE LA ESTTICA Y ENFOQUE VECTORIAL 1.1 Objetivo General ... 1 1.2 Objetivos Especficos 1 1.3 Fuerza . 1 1.4 Vector Posicin . 4 1.5 Vector Desplazamiento .... 5 1.6 Momento de una fuerza respecto a un punto .. 8 1.7 Momento de una fuerza con respecto a un eje . 10 1.8 Teorema de Varignon ... 12 1.9 Par de fuerzas Momento del par . 13 1.10 Traslacin de una fuerza a una posicin paralela 15 1.11 Resultante de fuerzas y momentos . 17 1.12 Problemas propuestos . 31 1.13 Evaluacin diagnostico del capitulo .. 35 CAPITULO 2 - INTRODUCCIN AL ANLISIS DE ESTRUCTURAS 2.1 Objetivos Generales . 36 2.2 Objetivos Especficos .... 36 2.3 Introduccin .. 36 2.4 Conceptos bsicos y definiciones ... 37 2.5 Tipos de estructuras ...... 38

2.5.1 Estructuras planas .... 38 2.5.2 Estructuras en el espacio ..... 38

2.6 Clasificacin de las estructuras ....... 39 2.7 Por su forma geomtrica ...... 39

2.7.1 Viga horizontal ...... 39 2.7.2 Viga inclinada .... 39 2.7.3 Columnas ....... 39 2.7.4 Marcos o Prticos ....... 40 2.7.5 Armaduras ...... 40 2.7.6 Arcos ....... 41 2.7.7 Cables ...... 41

2.8 Por su sistema de apoyos ...... 41 2.9 Por su sistema de cargas ....... 43

2.9.1 Por el tipo de cargas ...... 43 2.9.1.1 Cargas concentradas ..... 43 2.9.1.2 Cargas axiales .... 43 2.9.1.3 Cargas no axiales ........ 43 2.9.1.4 Cargas distribuidas .... 44

2.9.1.5 Carga no uniforme ..... 44 2.9.2 Por su permanencia .... 44

2.9.2.1 Cargas vivas .... 44 2.9.2.2 Cargas muertas ....... 44 2.9.2.3 Cargas accidentales .... 44

2.9.3 Por la forma en la que actan .... 45 2.9.3.1 Cargas activas ...... 45 2.9.3.2 Cargas reactivas ...... 45 2.9.3.3 Cargas internas .... 45

2.10 Condiciones de equilibrio .... 45 2.11 Grado de isostaticidad ........ 46 2.12 Caracterizacin de cargas ...... 47 2.13 Resultante de cargas distribuidas linealmente ...... 47 2.14 Determinacin de reacciones de apoyos ..... 48 2.15 Ejercicios resueltos ...... 49 2.16 Ejercicios propuestos ...... 67 2.17 Evaluacin diagnostico del capitulo .... 73 CAPITULO 3 - ESFUERZOS INTERNOS EN LAS ESTRUCTURAS 3.1 Objetivo General ...... 75 3.2 Objetivos Especficos ...... 75 3.3 Introduccin ........ 76 3.4 Definicin y anlisis de los elementos mecnicos internos .. 76 3.5 Convencin de signos de esfuerzos internos ...... 79

3.5.1 Fuerza normal ...... 82 3.5.2 Fuerza cortante ........ 82 3.5.3 Momento flexionante ...... 83

3.6 Anlisis de estructuras ....... 83 3.7 Anlisis de vigas ...... 84

3.7.1 Procedimiento de anlisis ...... 84 3.7.1.1 Mtodo de las secciones .... 84 3.7.1.2 Anlisis relacional ...... 86

3.8 Anlisis de prticos ...... 111 3.8.1 Procedimiento de anlisis ...... 112 3.8.2 Diagrama de cuerpo libre ...... 112

3.9 Anlisis de arcos ...... 136 3.9.1 Procedimiento de anlisis ...... 136

3.10 Teora general de arcos parablicos ...... 150 3.11 Anlisis de estructuras mixtas .... 163 3.12 Ejercicios propuestos ....... 173 3.13 Evaluacin diagnostico del capitulo .... 180

CAPITULO 4 - ARMADURAS (CERCHAS) 4.1 Objetivo general ...... 182 4.2 Objetivos especficos ...... 182 4.3 Armaduras ....... 182 4.4 Grado de isostaticidad ....... 183 4.5 Determinacin de esfuerzos ..... 186

4.5.1 Mtodo de los nudos ..... 187

4.5.2 Mtodo de las secciones .... 192 4.5.3 Armaduras en el espacio mtodo general ... 195

4.6 Utilizacin de las armaduras .... 198 4.6.1 Tipos de armaduras o cerchas ...... 198 4.6.2 Armadura para techos .... 199 4.6.3 Armaduras para puentes ....... 201

4.7 Problemas resueltos ........ 203 4.8 Problemas propuestos ........ 228 4.9 Evaluacin diagnostico del capitulo ...... 232 CAPITULO 5 - LINEAS DE INFLUENCIA 5.1 Objetivo general ...... 233 5.2 Objetivos especficos ...... 233 5.3 Planteamiento del problema .... 233 5.4 Lneas de influencia ....... 234 5.5 Procedimiento de anlisis de lneas de influencia .... 237 5.6 Lneas de influencia de esfuerzo cortante ...... 238 5.7 Lneas de influencia de momento flector .... 241 5.8 Lnea de influencia de carga rectangular .... 245 5.9 Problemas propuestos ....... 266 5.10 Evaluacin diagnostico del capitulo .... 271 CAPITULO 6 - CABLES 6.1 Objetivo general ...... 272 6.2 Objetivos especficos ...... 272 6.3 Introduccin ........ 272 6.4 Anlisis de tipos de cables ........ 274

6.4.1 Cables sometidos a cargas uniformemente distribuidas .. 274 6.4.2 Cables sometidos a su peso propio ..... 280 6.4.3 Cables sometidos a cargas concentradas .... 283

6.5 Ejercicios propuestos . 287 6.6 Evaluacin diagnostico del capitulo .... 289

CAPITULO 7 - TUTORIALES DE PROGRAMAS 7.1 Objetivo general ...... 290 7.2 Objetivos especficos ....... 290 7.3 Introduccin al programa VIGA-G 290 7.4 Introduccin al programa CERCHAS 297

INDICE DE TABLAS 2.1 Sistema de apoyos ........ 42 2.2 Grados de libertad en apoyos .......... 42 2.3 Grados de isostaticidad de una estructura.. 47 4.1 Condiciones de isostaticidad. 47

INDICE DE ANEXOS CAPITULO 2 .......... A-1 CAPITULO 3 ........... A-8 CAPITULO 4 ... A-14 CAPITULO 5 ... A-16 CAPITULO 6 ... A-32 CAPITULO 7 ... A-33 DIRECCIONES DE INTERNET ... A-34

Universidad Mayor de San Simn Facultad de Ciencias Y Tecnologa Carrera de Ingeniera Civil

ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS ISOSTATICAS

CAPITULO 0

OBJETIVOS GENERALES Y PLANGLOBAL OBJETIVO GENERAL.

Elaborar un texto gua para un mejor desenvolvimiento acadmico de docentes y estudiantes

basado en nuevos mtodos de enseanza y un corregido temario acerca de la introduccin de los

ELEMENTOS ESTRUCTURALES y primordialmente la presentacin de tutoriales de manejo de

paquetes estructurales que servirn para que los estudiantes sean capaces de comprender de una

mejor manera el anlisis de las ESTRUCTURAS ISOSTATICAS.

OBJETIVOS ESPECIFICOS DEL TEMA

Elaborar un texto acadmico (gua) que ayude al estudiante a una mejor comprensin acerca de la introduccin del anlisis de los elementos estructurales y lo enfoque al anlisis de las

ESTRUCTURAS ISOSTATICAS.

Elaborar dentro del texto acadmico para el estudiante una actualizacin terica amplia de cada uno de los captulos correspondientes al plan global existente y al final de cada capitulo

complementarlos con una serie de ejercicios prcticos (propuestos y resueltos) para una

mejor practica en la materia.

Presentar el tutoral de enseanza del manejo de algunos softwares existentes de uso especialmente universitarios que colaboren en la actualizacin de nuevos modelos de

enseanza como el aprendizaje de los mismos.


ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS ISOSTATICAS

Presentar un apartado de ejercicios resueltos y propuestos en cada capitulo usando los softwares propuestos para hacer la verificacin de los ejercicios propuestos por el mtodo de

resolucin manual.

Buscar una actualizacin del mtodo clsico de enseanza para darle un enfoque ms real al estudiante dentro de la introduccin al ANALISIS DE LAS ESTRUCTURAS

ISOSTATICAS.

A continuacin presentamos una propuesta de contenido global de la asignatura,

acompaado del contenido del mismo, las propuestas de enseanza para cada uno de los

captulos, como tambin la propuesta de evaluacin de la materia, cumpliendo con los 120

periodos acadmicos (20 semanas acadmicas de clase).

UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN SIMON FACULTAD DE CIENCIAS Y TECNOLOGIA GESTION II/2006

PLAN GLOBAL I. IDENTIFICACION

ASIGNATURA: ESTRUCTURA ISOSTATICAS

SIGLA: CIV 201 COD SIS: 2012004 NIVEL(AO/SEMESTRE): 4 (Cuarto)

PRE-REQUISITOS: 1. Anlisis Vectorial y Tensorial REAS DE COORDINACIN CURRICULAR DIA HORARIO AULA

VERTICAL HORIZONTAL Lunes 6:45 8:15 654

Fsica Bsica Calculo Resistencia de Materiales

Martes 18:00 20:15 654

Jueves 6:45 8:15 654

NOMBRE DEL DOCENTE: Oscar Alfredo Antezana Mendoza

DIRECCION: Potos S/N Norte

TELEFONO: 42290079 E-MAIL: [email protected]

PROPUESTA DE LOS UNIVERSITARIOS: DENNIS BERNARDO TORRICO ARAUCO

RAUL LIENDO UDAETA

II. JUSTIVICACION GENERAL

El plan de desarrollo de la UMSS, establece la necesidad de modernizar los mtodos de enseanza y

aprendizaje en la universidad, implementando modelos centrados en el estudiante, que adems desarrollen actitudes y hbitos de comportamiento que permitan un mejor desenvolvimiento en el futuro mbito profesional. Se busca alcanzar un equilibrio entre la educacin orientada a la formacin de valores y actitudes acordes a los requerimientos sociales de la poca y el acumulo de conocimientos y aptitudes que respondan a nuevas exigencias cientfico tecnolgicas del contexto internacional.

El empleo creciente de la informtica educativa ha generado un sin nmero de recursos pedaggicos y didcticos a todo nivel de formacin, particularmente en la educacin superior, donde por tratarse esencialmente de una educacin de adultos, existe un importante componente autodidacta, que esta transformando las funciones docente y de estudio. Muchas ctedras se estn transformando en discos pticos interactivos que contienen el texto de un curso, la bibliografa completa, ejercicios tericos y prcticos, exmenes simulados en varios niveles de complejidad y muchas ms opciones multimedia con alto contenido pedaggico y didctico. Con este recurso las tareas de docentes y estudiantes se transforman, pasando de la transferencia y recepcin mecnica e ineficiente de datos e informacin al estudio y trabajo sobre los problemas reales.

La carrera de licenciatura en ingeniera civil, empeadas en modernizar sus sistemas de enseanza y aprendizaje establecen como prioridad la aplicacin de nuevas metodologas en los que el estudiante sea el elemento central del proceso, de manera que se puedan mejorar sus actitudes respecto a la resolucin de problemas reales especficos. Es decir cambiar el enfoque tradicional de enseanza-aprendizaje a un enfoque interactivo. En tal sentido establece como estrategia el Desarrollo de Instrumentos Acadmicos (textos, programas, informacin de internet, redes de informacin, etc.) que sern preparados por estudiantes egresados de la carrera de Ingeniera Civil dentro del programa de Titulacin por Adscripcin, para ser implementadas en las distintas asignaturas.

III. PROPOSITOS GENERALES

El docente tiene los siguientes propsitos para la materia:

1. Formar profesionales capaces de resolver tcnicamente los problemas de Estructuras Isostticas en los campos tpicos en los que se desenvuelve el ingeniero civil.

2. Formar profesionales con conocimientos actualizados. 3. Brindar al estudiante todos los conocimientos necesarios acerca de ESTRUCTURAS ISOSTATICAS.

IV. OBJETIVOS GENRALES.

Al final de este curso el alumno ser capaz de:

1. Comprender el funcionamiento de las estructuras ante la presencia de cargas externas y las reacciones de sus apoyos.

2. Determinar la variacin de los esfuerzos internos en las estructuras ante la accin de cargas externas en vigas, prticos, arcos.

3. Realizar el calculo de esfuerzos en armaduras, reconocer las mejores alternativas de anlisis. 4. Realizara el calculo de valores crticos en vigas mediante el anlisis por lneas de influencia 5. Determinara tensiones admisibles en cables y la mejor aplicacin estructural para estos.

V. ESTRUCTURACIN EN UNIDADES DIDACTICAS Y SU DESCRIPCIN

1. NOMBRE DE LA UNIDAD (1): FUNDAMENTOS DE ESTATICA Y ENFOQUE VECTORIAL DURACIN DE LA UNIDAD EN PERIODOS ACADMICOS: 10

OBJETIVOS DE LA UNIDAD: al finalizar la unidad el estudiante ser capaz de: 1. Recordar los conocimientos anteriores referidos a momentos, traslacin de fuerzas, resultantes de fuerzas

utilizando el procedimiento vectorial. 2. Describir una fuerza en trminos de su modulo, direccin, y sentido. 3. Calcular el momento con relacin a un punto y un eje, y el efecto que implica. 4. El estudiante adquiere destreza para hallar la resultante de un conjunto de fuerzas en el espacio y de momentos

CONTENIDO: - Momento de una fuerza respecto de un punto respecto de un eje Traslacin de una fuerza a una posicin paralela

Condiciones de equilibrio Fuerza equilibrante Procedimiento vectorial.

METODOLOGIA DE LA

ENSEANZA

TCNICAS PREDOMINANTES PROPUESTAS PARA LA UNIDAD

1. Clase Magistral 2. lectura de libros EVALUACIN DE LA UNIDAD

1. Diagnostica 2. Presentacin de ejercicios propuestos en clase BIBLIOGRAFIA ESPECIFICA DE LA UNIDAD:

1. Esttica vectorial - Schawn 2. Ingeniera Mecnica Esttica, Shames, AID 3. Ingeniera Mecnica Esttica R.C. HIBBELER

4. Esttica Russel Jonson Jr 5. Esttica Ferdinard P. Vier 6. Teora de la estructuras Chu Kia Wang 7. Estructuras Isostticas. O. Antezana, Bolivia, 1998.

NOMBRE DE LA UNIDAD (2): INTRODUCCIN AL ANLISIS DE LAS ESTRUCTURAS

DURACIN DE LA UNIDAD EN PERIODOS ACADMICOS: 16

OBJETIVOS DE LA UNIDAD: al finalizar la unidad el estudiante ser capaz de:

1. Reconocer los diferentes tipos de apoyo. 2. Determinar la estabilidad geomtrica y el grado de isostaticidad de las estructuras. 3. clasificar las estructuras por su forma geomtrica, por su sistema de cargas, por su sistema de apoyos y por sus

condiciones de isostaticidad. 4. Determinar las resultantes de cargas distribuidas y la posicin en la que esta acta. 5. Determinar las reacciones de apoyo de distintos tipos de estructuras (vigas, prticos, arcos, estructuras mixtas). CONTENIDO: - Introduccin Conceptos bsicos y definiciones Tipos de estructuras Clasificaciones de las estructuras Por su forma geomtrica Por su sistema de apoyos Por su sistema de cargas Condiciones de equilibrio Grado de Isostaticidad Caracterizacin de las cargas Resultante de cargas distribuidas linealmente Determinacin de reacciones de apoyo Ejercicios resueltos Ejercicios Propuestos Evaluacin diagnostico del capitulo.

METODOLOGIA DE LA

ENSEANZA


1. Mtodo Deductivo

2. Exposicin dialogada

3. Estudio de casos (problemas resueltos en clase)

EVALUACIN DE LA UNIDAD

1. Diagnostica

2. Formativa

BIBLIOGRAFIA ESPECIFICA DE LA UNIDAD:

1. estructuras isostticas O, Antezana 2. Anlisis Estructural, Juan J. Tuma, Mc. Graw Hill, 1974. 3. Teora de las Estructuras YUAN YIU SEI 4. Paginas de Internet con cursos sobre estructuras isostticas

a. www.solocursos.com b. www.emagister.com

NOMBRE DE LA UNIDAD (3): ESFUERZOS INTERNOS EN LA ESTRUCTURAS


OBJETIVOS DE LA UNIDAD: al finalizar la unidad el estudiante ser capaz de: 1. Determinar el valor y la lineal de accin de la resultante de un sistema de cargas puntuales, uniformemente

distribuidas y distribuidas de intensidad variable. 2. Aprender cuales son los esfuerzos internos de una estructura y sabr en que direccin actan estas (normal,

cortante y momento). 3. Aplicara una convencin de signos apropiada para aplicar al clculo de los elementos ya mencionados. 4. El estudiante aprender los distintos mtodos de anlisis para la determinacin de los esfuerzos internos de los

diferentes tipos de estructuras (vigas, prticos, arcos, estructuras mixtas). 5. Realizara de manera combinada la elaboracin de los diagramas de esfuerzos internos. 6. Demostrara que las estructuras analizadas estn en equilibrio esttico. CONTENIDO: - Introduccin definicin y anlisis de los elementos mecnicos internos Convencin de signos de esfuerzos internos Anlisis de las estructuras Anlisis de vigas Anlisis de prticos Anlisis de arcos Teora General de arcos parablicos Anlisis de estructuras mixtas Ejercicios Propuestos Evaluacin diagnostico del capitulo.

METODOLOGIA DE LA

ENSEANZA


1. Interactivo


3. Estudio de casos(problemas)


1. Presentacin de ejercicios propuestos en clase 2. Diagnostica BIBLIOGRAFIA ESPECIFICA DE LA UNIDAD:

1. Estructuras isostticas O, Antezana 2. Teora elemental de las Estructuras YUAN YU HSIEH 3. Teora de las Estructuras, S. Timoshenko D.H. Young 4. Anlisis de estructuras R.C. HIBBELER 5. Paginas de Internet con cursos sobre estructuras isostticas

c. www.solocursos.com d. www.emagister.com

NOMBRE DE LA UNIDAD (4): ARMADURAS (CERCHAS)



1. Determinar el valor de las reacciones de apoyo en las estructuras isostticas. 2. Identificar armaduras isostticas e hiperestaticas. 3. Tener habilidades para aplicar diversos mtodos para determinar los esfuerzos internos y externos en los

miembros. 4. Recordar un tipo de armadura para cada caso.

CONTENIDO: - Armaduras Grado de isostaticidad determinacin de esfuerzos utilizacin de las armaduras Ejercicios resueltos Ejercicios Propuestos Evaluacin diagnostico del capitulo.

METODOLOGIA



2. Discusin dirigida


1. Diagnostica

DE LA ENSEANZA

BIBLIOGRAFIA ESPECIFICA DE LA UNIDAD:

1. Ingeniera mecnica esttica Arthur Borris 2. Ingeniera mecnica esttica Richard Schnids 3. Ingeniera mecnica esttica Andrei Pitel Jaan, Kiusalas 4. Ingeniera Mecnica Esttica, Shames, AID 5. Estructuras Isostticas - O. Antezana

NOMBRE DE LA UNIDAD (5): LINEAS DE INFLUENCIA



1. Determinar las ecuaciones de esfuerzos u dibujar los diferentes diagramas en las estructuras isostticas. 2. Dibujar las lneas de influencia 3. Conocer como un tren mvil se desplaza a lo largo de una viga y su efecto 4. Podr construir la envolvente de Q y M 5. Podr reconocer las secciones crticas de Q y M.

CONTENIDO: - Planteamiento del problema Lneas de influencia Procedimiento de anlisis de lneas de influencia lneas de influencia de esfuerzo cortante Lneas de influencia de momento flector Lnea de influencia de carga rectangular - Ejercicios Propuestos Evaluacin diagnostico del capitulo.

METODOLOGIA DE LA

ENSEANZA


1. Estudio de casos 2. Exposicin dialogada EVALUACIN DE LA UNIDAD


1. Teora de las Estructuras - S. Timoshenko D.H. Young 2. Mecnica de estructuras R.C.HIBBELER 3. Ingeniera Mecnica Esttica, Shames, AID, Mxico, 1969 4. Estructuras Isostticas. O. Antezana, Bolivia, 1998.

NOMBRE DE LA UNIDAD (6): CABLES


OBJETIVOS DE LA UNIDAD: al finalizar la unidad el estudiante ser capaz de: 1. Determinar la ecuacin de la curva que representa a un cable sometido a carga distribuida, a peso propio y cargas

puntuales. 2. Determinar la tensin mxima y la longitud del cable. 3. Reconocer el uso del los distintos tipos de cables existentes sabr a que tipo de estructuras son aplicables. 4. Recordara brevemente el clculo numrico (integracin, lmites, derivacin). 5. Conocer los elementos bsicos en puentes de luces largas y los tipos de cables que se usan para estos.

CONTENIDO: - Introduccin Anlisis de tipos de cables Cables sometidos a cargas uniformemente distribuidas Cables sometidos a su peso propio Cables sometidos a cargas concentradas Ejercicios propuestos Evaluacin diagnostico del capitulo.

METODOLOGIA DE LA

ENSEANZA


1. Estudio de casos 2. Exposicin dialogada EVALUACIN DE LA UNIDAD


1. Estructuras isostticas O, Antezana 2. Anlisis de estructuras R.C. HIBBELER 3. Paginas de Internet con cursos sobre estructuras isostticas

e. www.solocursos.com/cables f. www.emagister.com/

NOMBRE DE LA UNIDAD (7): TUTORIALES DE PROGRAMAS


OBJETIVOS DE LA UNIDAD: al finalizar la unidad el estudiante ser capaz de: 1. Resolver vigas isostticas mediante el programa de anlisis estructural viga-G para calculadora HP 48G, G+, GX,

49G. 2. Resolver cerchas por el mtodo matricial mediante el programa de anlisis estructural CERCHAS para calculadora

HP 48G, G+, GX, 49G. CONTENIDO: - Introduccin al programa VIGA-G Introduccin al programa CERCHAS.

METODOLOGIA DE LA

ENSEANZA

TCNICAS PREDOMINANTES PROPUESTAS PARA LA UNIDAD:

1. Interactiva 2. Exposicin o conferencia

EVALUACIN DE LA UNIDAD:

1. Presentacin de ejercicios propuestos en clase BIBLIOGRAFIA ESPECIFICA DE LA UNIDAD:

1. Manual del usuario de la calculadora HEWLETT PACKARD 2. Tutoriales presentados en el texto estudiante

VI. EVALUACIN

La evaluacin ser diagnosticada formativa y final. Al final del semestre los estudiantes presentarn pruebas escritas para aprobar la materia, bajo la siguiente modalidad:

Primer Examen (unidades 2 y 3) Segundo Examen (unidad 4)

Tercer Examen (unidades 5 y 6) Examen Final (todas las unidades) 100% nota final

VII. CRONOGRAMA (LLENAR HOJA ADJUNTA)

VIII. DISPOSICIONES GENERALES

- La evaluacin diagnostica por capitulo ser revisada por el docente de la materia pudiendo aadirse muchas otras preguntas.

- La calificacin de las 3 pruebas se realizara de forma sumativa. - El alumno que registre un promedio mayor o igual a 51 en las tres primeras pruebas, habr aprobado la materia. - Los alumnos que no tengan un promedio mayor o igual a 51, procedern a dar el examen final. - Los alumnos que hayan reprobado el examen final y tengan un promedio mayor a 26 en los tres primeros

exmenes, tendrn derecho a tomar el examen de segunda instancia. IX. BIBLIOGRAFA GENERAL

1. Estructuras isostticas O, Antezana 2. Anlisis de estructuras R.C. HIBBELER 3. Anlisis Estructural, Juan J. Tuma, Mc. Graw Hill, 1974. 4. Teora de las Estucturas, S. Timoshenko D.H. Young, Mc. Graw Hill, 1945 5. Teora elemental de las Estructuras YUAN YU HSIEH 6. Paginas de Internet con cursos sobre estructuras isostticas 7. Ingeniera mecnica esttica Arthur Borris 8. Ingeniera mecnica esttica Richard Schnids 9. Ingeniera mecnica esttica Andrei Pitel Jaan, Kiusalas 10. Esttica vectorial - Schawn 11. Ingeniera Mecnica Esttica, Shames, AID 12. Ingeniera Mecnica Esttica R.C. HIBBELER 13. Esttica Russel Jonson Jr 14. Esttica Ferdinard P. Vier 15. Teora de la estructuras Chu Kia Wang 16. Paginas de internet

a. www.emagister.com/ b. www.solocursos.com/cables


ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS ISOSTATICAS Pag - 1 -

CAPITULO 1

FUNDAMENTOS DE LA ESTATICA Y ENFOQUE VECTORIAL 1.1 OBJETIVO GENERAL.

El objetivo fundamental de este capitulo es que el estudiante conozca los fundamentos de la

esttica con un enfoque vectorial, y este desarrolle destrezas para el clculo del equilibrio esttico.

1.2 OBJETIVOS ESPECIFICOS.

Al finalizar este capitulo el estudiante podr:

Describir una fuerza en trminos de su modulo, direccin, y sentido.

Comprender y calcular el concepto de momento con relacin a un punto y un eje, adems el

efecto que este implica.

Adquirir destrezas para hallar la resultante de un conjunto de fuerzas y momentos en el espacio y

de momentos.

1.3 FUERZA.

La fuerza es la accin de un cuerpo sobre otro, que produce en este ltimo una modificacin

en su estado de reposo o de movimiento.

La unidad dimensional en el anlisis de las estructuras es libra, kilogramo, tonelada.



Un vector fuerza es un segmento orientado en el espacio, se puede caracterizar por tener:

Origen a considerar cuando interese conocer el punto de aplicacin del vector.

Direccin o lnea de accin coincidente con la de la recta que la contiene o cualquier otra

recta paralela.

Sentido viene determinado por la punta de flecha localizada en el extremo del vector.

Mdulo es la distancia entre el origen y el extremo del vector.

Introduciendo los vectores unitarios i, j, k orientados en las direcciones de los ejes x, y, z,

respectivamente, (figura 1.1), podemos expresar F en la forma:

kFjFiFF ZYX rrr

++= Expresin vectorial de la fuerza

Figura 1.1

Donde definiremos cada trmino:

Componentes escalares de Fr estn definidas por las relaciones: ZYX FFF ,, a largo de los

tres ejes de coordenadas.

Vectores unitarios en direccin de los cartesianos: kjirrr

;;

Componentes vectoriales de kFjFiFF ZYX rrr

++= .

Relacin entre la magnitud de F y sus componentes escalares

ZYX FFFF222 ++=

r



Vector unitario en la direccin de [ ]ZYXF FFFF

eF ,,1

: rrrr =

Los tres ngulos x, y, z definen la direccin de la fuerza Fr, los csenos de x, y, z se

conocen como los csenos directores de la fuerza Fr:

F

F

F

F

F

F

Z

Y

X

r

r

r

=

=

=

cos

cos

cos

Para la mejor concepcin del anterior concepto, proponemos a continuacin el siguiente

ejercicio.

Ejercicio #1

Dada la fuerza F = [ 2, -3, 5 ] en toneladas, determinar la magnitud y direccin de la fuerza

Solucin.-

- Se tiene los componentes escalares (2t, -3t, 5t)

- Se tiene los componentes vectoriales (2 i, -3 j, 5 k)

La magnitud de Frser:

( ) ( ) ( ) tonF 16.6532 222 =++=r

Entonces:

cos2

6 16,0 32,

cos3

6 16,0 49,

cos5

6 16,0 81,

La direccin del vector es:

[ ]5;3;216.6

1=

Fe rr

[ ]81.0;49.0;32.0 =

Fe rr



1.4 VECTOR DE POSICION.

Si tenemos un punto cualquiera P1 se define el vector de posicin del punto P1 como el

segmento orientado que determina el origen de coordenadas O y el punto P1.

Es el segmento rectilneo orientado dirigido del origen al punto como vemos en la fig1.2.

Figura 1.2

Consideramos el sistema de fuerzas que actan sobre un cuerpo rgido en los puntos X1, Y1,

Z1, definidos por los vectores posicin 1rr .

P1 = (X1, Y1, Z1)

[ ]1111 ;; ZYXr =r es la magnitud, y representa la distancia entre O y P1

Si se desea encontrar la magnitud y direccin de la Fuerza rr puede calcularse de las

componentes rx, ry, rz como se explica a continuacin.

Fcilmente podemos verificar que los vectores de posicin obedecen la ley de suma para

vectores. Consideremos, por ejemplo, los vectores de posicin r y r con respecto a los puntos de

referencia O y O y el vector de posicin de s y O con respecto a O de la figura 1.3 verificamos que

el vector de posicin r = OA puede obtenerse de los vectores de posicin s = OO y r = OA

aplicando la regla del triangulo para la suma de vectores.



O

A

rr'

s

Figura 1.3

Como siempre es posible trazar un segmento rectilneo, entre el origen y un punto arbitrario

dado, entonces, siempre es posible asociar a dicho punto, su respectivo vector de posicin.

1.5 VECTOR DE DEZSPLAZAMIENTO.

Vamos a empezar por la cantidad vectorial ms simple, el desplazamiento, que no es ms

que el cambio de posicin de un punto a otro (Atencin, este punto puede ser un modelo que

representa una partcula o un pequeo cuerpo que se traslada). El desplazamiento es un vector

porque no solamente basta decir a qu distancia se movi sino en qu direccin. No es lo mismo

salir de la puerta de casa y moverse 2 cuadras hacia la derecha que hacia la izquierda. El

desplazamiento no es el mismo.

El desplazamiento a menudo lo representamos por una sola letra mayscula que aqu la

mostraremos en negrita P, pero hay muchas otras maneras.

En la fig 1.4 mostramos que el desplazamiento para ir de A hasta B es una lnea recta que

une estos puntos, empieza en A y termina en B dirigida hacia B. Cuando el cuerpo se mueve de

manera que vaya y vuelva al punto inicial, el desplazamiento es cero. Es importante darse cuenta

que el desplazamiento no est relacionado con la distancia recorrida.

A

B

P

A

B

P

Figura 1.4 (a) Figura 1.4 (b)



Vamos a representar la magnitud de un vector (la longitud en el caso del desplazamiento)

por la misma letra del vector pero no en negrita o bien:

(Magnitud o mdulo de P) = PPrr

=

Por definicin el mdulo de P es un escalar (un nmero) y siempre es positivo.

Suponemos ahora que una partcula tiene un desplazamiento P, seguido por un

desplazamiento Q. El resultado es el mismo que si se hubiera considerado partiendo del mismo

punto inicial un nico desplazamiento R como podemos ver en la figura.

Figura 1.5

Lo que en smbolos podemos expresar R = P + Q, a este vector se lo llama suma o

resultante. Poner atencin que aqu estamos sumando vectores y no es la simple suma algebraica de

sus mdulos sino que debemos tomar en cuenta sus direcciones.

Figura 1.6 Viendo la fig 1.6 se deduce que:

( ) 121212 rrrr rrrrr

=+=



12r Llamado vector de desplazamiento entre 21 PyP

Siempre se puede asociar a un punto su respectivo vector de posicin

[ ] [ ]22221111 ;;;;; ZYXrZYXr == rr [ ] [ ]11122212 ;;;; ZYXZYX =

r

[ ]12121212 ;; ZZYYXX =r

( ) ( ) ( )212212212 ZZYYXX ++r

r Es la frmula de distancia entre dos puntos P1 y P2

Ejercicio #2

Dados los puntos P1 de coordenadas (2,-3,0) metros, P2 de coordenadas (0,1,3) metros, P3 de

coordenadas (-1,0,3) metros.

a) Hallar el vector de posicin entre P2 y P3

b) Hallar el vector de desplazamiento entre P2 y P3

c) Hallar la distancia entre P1 y P2

Solucin.- Z a) r1 [2,-3, 0] 2 i -3 j + 0 k o P1 23 r2 [0, 1, 3] 0 i + 1 j +3 k P3 O O P2 Y r3 [-1, 0, 3] -1 i +0 j + 3 k b) 23 r3 r2 [-1, 0, 3] - [0, 1, 3] X 23 = [-1,-1, 0] c) 12 r2 r1 [0, 1, 3] - [2,-3, 0]

12 [-2, 4, 3]

12

= ( ) 222 342 ++ = 5, 38 (m) de distancia



1.6 MOMENTO DE UNA FUERZA CON RESPECTO A UN PUNTO.

Consideremos una fuerza F que acta sobre un cuerpo rgido como se muestra en la figura

1.7. Como sabemos la fuerza F se representa por un vector que define su magnitud y direccin. Sin

embargo, el efecto de la fuerza sobre el cuerpo rgido depende tambin de su punto de aplicacin P.

La posicin de P se define convenientemente por el vector r que une el punto de referencia fijo O

con el punto P; este vector se conoce como vector de posicin de P. El vector de posicin r y la

fuerza F definen el plano mostrado en la figura 1.7

Figura 1.7

Definiremos el momento de F con respecto a O como el producto vectorial de r y F.

Mo = r * F

r Vector de posicin de P

M P1 = * F1

Vector de desplazamiento entre P1 y P2

El momento Mo debe ser perpendicular al plano que contiene a O y a F. El sentido de Mo se

define por el sentido de rotacin que podra llevar el vector r a ser colineal con el vector F; pero

esta rotacin es la rotacin que F tiende a imprimir al cuerpo. As, el sentido del momento Mo



caracteriza el sentido de la rotacin que F tiende a imprimir al cuerpo rgido; esta rotacin ser

observada como contraria a la de las agujas del reloj por un observador situado en el extremo de Mo.

Otra manera de establecer la relacin entre el sentido de Mo y el sentido de la rotacin del cuerpo

rgido es el suministrado por la regla de la mano derecha: cierre su mano derecha manteniendo el

dedo pulgar extendido, sostngala de tal modo que sus dedos indiquen el sentido de rotacin que la

fuerza F tiende a impartirle al cuerpo rgido; su dedo pulgar indicara el sentido del momento Mo.

Finalmente, llamando al Angulo comprendido entre las lneas de accin del vector de

posicin r y la fuerza F hallamos que el momento de F con respecto a O es:

Mo = r F. sen = F d

Ejercicio #3

Dada la fuerza [1, 2,-2] toneladas, que pasa por el punto P1 (2,1,3) metros. Determinar el

momento de la fuerza respecto el punto P2 (0, 2,-1).

Solucin.- Z 21 r1 [2,1,3] P2 o o P1

r3 [0, 2,-1] Y

21 r1 r2 [2, 1,3]-[0, 2,-1] F

21 [2,-1,4] vector desplazamiento F X

M2 = 21 * F

2 -1 4 M2 = 21 * F = 1 2 -2 = -6 i + 8 j + 5 k = [-6, 8,5 ] i j k

M2 = (-6)2 + (8)2 + (5)2

M2 = 11, 86 ton_m



1.7 MOMENTO DE UNA FUERZA RESPECTO DE UN EJE.

Ahora que se han aumentado nuestros conocimientos de algebra vectorial, introduciremos un

nuevo concepto, el concepto del momento de una fuerza con respecto a un eje. Consideraremos

nuevamente una fuerza F que acta sobre un cuerpo rgido y el momento Mo de esa fuerza con

respecto a la (fig 1.8).

Figura 1.8

a) En el grafico se puede observar que el eje es perpendicular al plano II

b) El punto P pertenece al plano II

c) El punto a es la traza del eje en el plano

d) 1Fr es la componente de F

r contenida en el plano II

e) 2Fr es la componente de F

r paralela al eje

donde: Ma = Momento de fuerza, respecto de a o cualquier punto de ese eje.

Eer = Es el vector unitario en la direccin del eje.

Donde este momento se lo expresa como:

EE eMMrr *a=

Se concluye de la definicin de momento de una fuerza con respecto a un eje, que el

momento de F con respecto a un eje coordenado es igual ala componente Ma con respecto a dicho

eje. Sustituyendo sucesivamente cada uno de los vectores unitarios i, j, k, por eE, comprobamos que

las expresiones asi obtenidas de los momentos de F con respecto a los ejes coordenados son,

respectivamente, iguales a las expresiones de las componentes del momento Ma de F con respecto a

P.



Ejercicio #4 Los Puntos P1 (0,-2,1) metros y P2 (3,-2,1) definen un eje en el espacio, cierta fuerza F [2, 3,1]

Kg. pasa por el punto P0 (-1,-2,0). Determinar el momento de la fuerza respecto del eje.

Solucin.- P2P1 [-3, 0,1] P1 o E e P2P1 = 10 = 3,2 = [-0,94; 0; 0,31] P1P2 P1P2 [3, 0, -1] o P2 P1P2 = 10 = 3,2 e = [0,94; 0; -0,31] P1P2

10 = [-1, 0, -2]

MP1 = 10 * F

= [-1, 0,-2] * [2, 3, 1] i j k = -1 0 -2 = 6i 3j -3k

2 3 1 ME = Mp1 * e p2p1 * E = [6, -3, -3] * [-0.94; 0; -0.31]

= [-5.64 + 0.93]

= 6.54 Kg_m

ME [6, -3, -3] * [0.94; 0; -0.31] = 0.54 Kg_m

Mp2 2 0 * F = [-4, 0, 1] * [2, 3, 1] - 4 0 1 = 2 3 1 = 3 i + 2 j 12 k

i j k

ME [3, 2,-12] * [-0.94; 0; 0.31]

= -2.82 + 0 + (-3.72)



= -6.54 Kg_m.

ME [3, 2, -12] * [0.94; 0; -0.31] = 2.82 + 3.72 = 6.54 Kg_m. 1.8 TEOREMA DE VARIGNON.

La propiedad distributiva de los productos vectoriales puede utilizarse para determinar el

momento de la resultante de varias fuerzas concurrentes. Si varias fuerzas F1, F2,.se aplican al

mismo punto P, y si llamamos r al vector de posicin de P, se concluye inmediatamente que:

r * (F1 + F2 + .) = r * F1 + r * F2 +

Figura 1.9

En palabras, el momento con respecto a un punto dado O de la misma resultante de varias

fuerzas concurrentes es igual a la suma de los momentos de las fuerzas con respecto al mismo punto

O. La relacin de la grafica hace posible la determinacin del momento de una fuerza F por el

calculo de los momentos de dos o mas fuerzas componentes.

La fuerza F se descompone en F = F1 + F2 +F3

ME = M * e = [r * (F1 + F2 + F3)] * e Donde:

ME = (r * F1) .e + (r * F2).e + (r * F3). e

Teorema momento de una fuerza respecto de un punto



1.9 PAR DE FUERZAS MOMENTO DEL PAR.

Se dice que dos fuerzas F y F forman un par si tienen la misma magnitud, direccin pero

sentido contrario, ver figura 1.10

Figura 1.10

Es evidente que la suma de los componentes de las dos fuerzas en cualquier direccin es

cero. Sin embargo, la suma de los momentos de las dos fuerzas con respecto a un punto dado no es

cero. Aunque las fuerzas no desplazan al cuerpo sobre el que actan ellas tienden a imprimirle un

movimiento de rotacin

Figura 1.11

Representando por rA y rB los vectores de posicin de los puntos de aplicacin de F Y F de

la figura 1.11 encontramos que la suma de los momentos de las dos fuerzas con respecto a O es:

rA * F + rB * (-F) = (rA rB) * F



Remplazando rA rB = r, donde r es el vector que une los puntos de aplicacin de las dos

fuerzas, concluimos que la suma de los momentos de F y F con respecto a O se representan por el

vector:

Mo = r * F (1) El vector Mo se le llama momento del par; es un vector perpendicular al plano que contiene

las dos fuerzas y su magnitud es:

Mo = r.F.sen = Fd (2)

Donde d es la distancia perpendicular entre las lneas de accin de F y F, y el sentido de Mo

se encuentra mediante la regla de la mano derecha del grafico.

Como el vector rr en (1) es independiente de la eleccin del origen O de los ejes

coordenados, se obtendra el mismo resultado si los momentos de F Y F se hubieran calculado con

respecto a un punto diferente O. Por tanto, el momento M de un par es un vector libre que puede

aplicarse en cualquier punto como se ve en la grafica.

Figura 1.12

De la definicin del momento de un par, se concluye que dos pares, uno formado por las

fuerzas F1 y -F1, y el otro por las fuerzas F2 y -F2 como se ve en la figura 1.13 (a) y (b), tendrn

momentos iguales si y solo si; los dos pares estn en planos paralelos o en el mismo plano y tienen

el mismo sentido:

F1d1 = F2d2 -F1 F2 d1 d F1 -F2 Figura 1.13 (a) Figura 1.13 (b)

La expresin: MO = * F representa el momento del PAR DE FUERZAS



Ejercicio #5

Dados los pares de la figura 1.14 se pide determinar la suma de los momentos pares.

Donde: C1 y C3 pertenecen al plano YZ, C2 pertenece al plano paralelo XZ.

Figura 1.14

Se tiene: a) Momento de los pares Mc1 = 6 i = [6, 0, 0] t.m Mc2 = - 8 j = [0, -8, 0] t.m Mc3 = 20 i = [20, 0, 0] t.m b) Suma de los pares S = Mc1 + Mc2 + Mc3 = [26, -8, 0] t.m

Es decir: para sumar pares se debe sumar los momentos de los pares

1.10 TRASLACION DE UNA FUERZA A UNA POSICION PARALELA.

Se muestra una fuerza y se desea trasladarla a una posicin paralela que pasa por el punto P.

Como se ve en la figura 1.15

Figura 1.15



El procedimiento para trasladar una fuerza a cierta posicin paralela dada consiste en

los siguientes pasos:

1) Se traslada la fuerza a la nueva posicin manteniendo su direccin, magnitud, y sentido.

2) Se aade la fuerza simtrica en la direccin de traslado

3) Se incluye el momento del par ocasionado por la fuerza y su simtrica.

c = es el par formado por F y -F

figura 1.16 Con estos pasos se origina un nuevo sistema, constituido por F

r en la posicin paralela y el

par c formado por Fr y F

r como se ve en la fig 1.16.

Cuando se traslada una fuerza a una posicin paralela dada, debe adems de la fuerza,

tomarse en cuenta el par.

Dos sistemas de fuerzas son equivalentes si tienen a producir el mismo efecto sobre un

cuerpo. Se ha visto que une fuerza se puede desplazar sobre su lnea de accin y el efecto sobre el

cuerpo no se modifica tanto para traslacin como para rotacin. As mismo se ha dicho que un Par,

por ser un vector libre, se puede trasladar a cualquier posicin sin que se cambie el efecto que

produce sobre el cuerpo.

Ejercicio #6

Dada la fuerza Fr = [2, 1, 0] toneladas que pasa por el punto P1 (3, 2, -1) metros y el punto

P2 (4, 0, 2) metros, se pide trasladar la fuerza a una posicin paralela que pasa por P2:

a) traslacin de Fr a la posicin paralela que pasa por P2

Fr en P F

r =[ 2, 1,0] t



P2P1 = =[-1, 2, -3] t -1 2 -3 MP2 = = F = 2 1 0 = [3, -6, -5] t.m i j k Por lo tanto, el nuevo sistema queda constituido por F = [2, 1, 0] ton trasladada a la posicin paralela que pasa por P2 y el momento del Par MP2 = [3, -6, -5]. 1.11 RESULTANTE DE FUERZAS Y MOMENTOS.

Figura 1.17 (a) Figura 1.17 (b)

En la figura 1.17 (a) se observa un sistema general de fuerzas, constituido por fuerzas y

momentos de pares.

Mediante el procedimiento descrito en el anterior titulo. Siempre es posible trasladar las

fuerzas a una posicin paralela que pasa por el origen, obviamente teniendo en cuenta los momentos

correspondientes y recordando que los momentos de los pares son vectores libres.

En la figura 1.17 (b) se tiene:

FR = F1 + F2 + F3

MR = r1 * F1 + r2 * F2 + r3 * F3 + C1 + C2



Claramente, los sistemas de las figuras 1.17 (a) y (b) son EQUIVALENTES PARA

CIERTA CAPACIDAD.

Sin importar la complejidad de un sistema de fuerzas y momentos, este siempre puede

ser reducido a una sola fuerza FR y a un solo momento MR.

FR = se denomina Resultante de fuerzas

MR = se denomina Resultante de momentos

Entonces: La resultante de un sistema es la EQUIVALENCIA ms simple.

Ejercicio #7

Dado el sistema de la figura 1.18 determinar la resultante de momentos.

Figura 1.18

Donde: F1 = [3, 2,1] t y F2 = [-4, 1,3] m; P2 (4, 5,6) m y el Par C se encuentra en el plano xy; se pide:

a) Resultante de fuerzas en el origen:

FR = F1 + F2 = [-1, 3,4] t

b) Resultante de momentos en el origen:

r1 = [2,-2,1] ; r2 = [4, 5,6]

Por tanto: MR = [2,-2,1] * [3, 2,1] + [4, 5,6] * [-4, 1,3] + [0, 0,6]



MR = [5,-35,40] ton_m c) Resultante del sistema:

Figura 1.19

Obviamente; el sistema de la figura 1.19 es EQUIVALENTE al sistema de la figura 1.18

para cierta capacidad.

Ejercicio #8

2 -3 Verificar la igualdad de los desplazamientos entre los puntos P1 0 (m) y P2 4 (m) 3 1 Solucin.-

a) 12 vector de desplazamiento

12 r1 = [2, 0,3] ; r2 = [-3, 4,1] 12 r2 + (- r1) [-3, 4,1] + (-)[2, 0,3]

12 [-5, 4,-2] b) 21 r1 + (-r2) [5,-4,2] 21 = [5,-4,2]

1 2 2 1



Ejercicio #9 -1 La fuerza F [0, 3, -2 ] t. pasa por el punto P2 2 (m) determinar el momento de F 3 Solucin.-

a) Respecto del origen (0,0,0) m

[ ]3,2,12 rr

kji

FrMO 230

321

*2

== r

( ) ( ) ( ) kjiMO *3*2*49 +++=

kjiMO 3213 =

[ ] mtonM O _3,2,13 = b) Respecto de P1 (-4, 2,0) m

FM P *121

r=

[ ] [ ]3,2,1;0,2,4 21 == rr rr [ ]3,0,312

r

303

2301 =

kji

M p =[-9,6,9] ton_m



Ejercicio #10

Dada la fuerza Fr[-1, 2, 3 ] t que pasa por el punto

3

2

1

P m Determinar el momento de Fr

Solucin.-

a) Respecto del origen (0, 0,0) m.

F O

r2 r2 [-1, 2, 3]

P2

-1 2 3 MO = r * F = 0 3 -2 i j k = -9 + (-4) i + (-2) j + (-3) k = -13 i 2 j -3 k

MO = [-13, -2, -3] ton_m

b) Respecto de P1 (-4, 2, 0) M 0 P1

r1 F 0 Mp1 = 12 * F r2 0 r1 = [-4, 2, 0] ; r2 = [-1, 2, 3] P2 12 [3, 0, 3] i j k Mp1 = 0 3 -2 = [-9, 6, 9] ton_m 3 0 3



Ejercicio #11 2 -3

Cierto eje esta definido por los puntos P1 3 (m) y P2 2 0 1

4 F [4, 0, 1] Kg que pasa por el punto Po -2

-1 Determinar el momento de la fuerza respecto del eje.

Solucin.-

F

0 P2 P1P2 [-5, -1, 1] PO

P1P2 = 5 * 19 0

P1 1

eE = * [-5, -1, 1] [-0.96, -0.19, 0.19] 5 .19 20 [7, -4, -2] 7 -4 -2 Mp2 20 * F 4 0 1

i j k

Mp2 = [-4, -15, 16]

ME = Mp2 * eE ME = [(-4) (-0.96) + (-15) (-0.19) + (16) (0.19)]

ME = 9.73 Kg.m

Ejercicio #12

Se pide determinar la resultante ms simple del sistema a) definido en forma coplanar

F1 [3, -2, 0] ; P1 (2, 4, 0)

F2 [-1, -1.5, 0] ; P2 (-1, 3, 0)



Solucin.-

r1 [2, 4, 0] r2 [-1, 3, 0] MR

i j k r1 * F1 = 2 4 0 = [0, 0, -16] ton_m 3 -2 0

i j k r2 * F2 = -1 3 0 = [0, 0, 4.5] ton_m -1 -1.5 0

Par = [0, 0, 4.5] ton_m MR = r1 * F1 + r2 * F2 + Par

MR = [0, 0, -16] + [0, 0, 4.5] + [0, 0, -5]

MR = [0, 0, -16.5] ton_m Momento de FR Momento del sistema



y rR * FR MR MR x FR Sea P de coordenadas (x, y, o) m un punto de la lnea de accin de FR

P (x, y, o) m rR [x, y, o]

x y o rR * FR MR -2 -3.5 0 = [0, 0, -16.5]

i j k [0, 0, -3.5 x -2 y] *

La expresin * representa la ecuacin de una recta que define la lnea de accin de la

resultante.

3.5 x + 2 y = 16.5

8.25 Si x = 0 y = 8.25 FR Si y = 0 x = 5.7 5.7 SISTEMA MS REDUCIDO

Ejercicio #13

-1 La fuerza F [2, 3, -3 ]t pasa por el punto P2 -2 (m); Determinar el momento

-3 0 de dicha fuerza respecto del punto P1 -2 (m). 2



Solucin.-

O P1 12 = r2 r1

r1 12 F r2 = [X2, Y2, Z2] [-1, -2, 3] r1 = [X1, Y1, Z1] [0, -2, 2] O O O P2 r2

12 = [-1, 0, 1] ; Mp1 = 12 * F -1 0 1 Mp1 = 2 3 -3 = [-3, -1, -3] ton_m i j k MP = r * F r * (FX + FY + FZ) MP = r * FX + r * FY + r * FZ TEOREMA DE VARIGNON

Ejercicio #14 0 -3 Los puntos P1 2 (m) y P2 1 (m) definen un eje en el espacio, una fuerza F

1 0

en Kg. pasa por el punto P (3, 2, -4). Se pide determinar el momento de F

respecto del eje.

Solucin.-

0 -3 3 P1 2 y P2 1 ; F [2, 3, 1] kg ; P 2 (m) 1 0 -4

Suponer una orientacin:



E P1P2 [(-3-0), (1-2), (0-1)] [-3, -1, -1] m P2 F 0 P1P2 32 + 12 + 12 = 3.32 m

o P P1o UE = 1/3.32 = [-3, -1, 1] = [-0.90, -0.30, -0.30]

P1 P [3, 0, -5] 3 0 -5 MP1 P1 P * F 2 3 1 [15, -13, 9]

i j k ME [15, -13, 9] * [-0.90, -0.30, -0.30] [15*(-0.90) + (-13)*(-0.30) + 9*(-0.30)]

= [-13.5 + 3.9 -2.7] ME = -12.3 kg_m

EL TEOREMA DE VARIGNON DEMOSTRADO EN EL EJERCICIO ANTERIOR

ES TAMBIEN VALIDO EN EL CASO DE MOMENTO DE UNA FUERZA RESPECTO DE

UN EJE (SE DEJA AL ESTUDIANTE SU DEMOSTRACION).

Ejercicio #15

Dado el sistema (a) constituido por dos fuerzas y un par; Se pide determinar un sistema

resultante constituido por una sola fuerza en el origen y un solo momento.



Solucin.-

C1 Pertenece al Plano XY

FR = F1 + F2 [1, 4, 1]

r1 [-3, -1, 2] ; r2 [5, 3, 1]

MR r1 * F1 + r2 * F2 + C1 ; C1 = F * d = 2 * 3 = 6 ton_m Z

FR MR -3 -1 -2 r1 * F1 = 4 2 0 = [4, -8, -2] i j k

Y

5 3 1 (b) r2 * F2 = -3 2 1 = [1, -8, 19] i j k

X

C1 = [0, 0, -6] MR = [5, -16, 11] ton_m

Ejercicio #16

Dadas las 3 fuerzas y los 2 pares. Hallar un sistema resultante.



-3 F1 [2, 0, 4] t; P1 -1 (m)

-2 2 F2 [5, -1, 1] t; P2 -1 (m)

2 5 F3 [2, 4, -1] t; P3 3 (m)

1 Solucion.-

C1 Pertenece al plano YZ

C2 Pertenece al plano XY

FR F1 + F2 + F3 [9, 3, 4] t

r1 [-3, -1, -2]; r2 [2, -1, 2]; r3 [5, 3, 1] -3 -1 -2 r1 * F1 = 2 0 4 = [-4, -8, 2] i j k

2 -1 2 r2 * F2 = 5 -1 1 = [1, 8, 3] i j k 5 3 1 r3 * F3 = 2 4 -1 = [-7, 7, 14] i j k

MR = r1 * F1 + r2 * F2 + r3 * F3 + C1 + C2

C1 = 5 * 4 = 20 ; C1 = [20, 0, 0]

C2 = 4 * 2 = 8 ; C2 = [0, 0, -8]

MR = [10, 7, 11] ton_m

Ejercicio #17

Dada la fuerza Fr = [3, -2, 4] en toneladas, se pide determinar:



Solucin.-

a) Componentes escalares 3 t, -2 t, 4 t b) Componentes vectoriales 3 i , - 2 j , 4 k

c) Magnitud de F = ( ) 222 423 ++ = 5.38 t

d) Vector unitario en la direccin de F e F

e F = 1 * [3, -2, 4] = [0.55, -0.37, 0.74] 5.38 e) Csenos directores: 3 -2 4 cos = = 0.55 cos = = - 0.37 cos = = 0.74 5.38 5.38 5.38 Ejercicio #18

Dados los puntos P1 (2, -3, -4) y P2 (0, 5, -1), en metros, se pide:

Solucin.- a) Vectores de posicin de P1 y P2 r1 = [2, -3, -4] m; r2 = [0, 5, -1] b) Vector de desplazamiento entre P1 y P2 = r2 r1 = [0 2.5 (-3), -1 (- 4)] = [-2, 8, 3] m c) Distancia entre P1 y P2

= ( ) 222 382 ++ = 8.77 m Ejercicio #19

Dado el punto (2, 3, -5) m, y la fuerza F1 = [0, -4, 3] t, que pasa por el punto P2 (6, -4, 2) m,

se pide:

Solucin.-



a) Momento de F1 respecto del origen O (0, 0, 0) OP2 = [6, -4, 2] r vector de posicin de P2 6 - 4 2 MO = r * F1 = 0 - 4 3 = [- 4, - 18, - 24] ton_m i j k Magnitud de MO MO = 30.26 ton_m b) Momento de F1 respecto de P1 P1P2 = [4, -7, 7] vector de desplazamiento de P1 a P2 4 - 7 7 MP1 = * F1 = 0 - 4 3 = [7, - 12, - 16] ton_m i j k Donde: MX = 7 i MY = 12 j Componentes vectoriales de Mp1 MZ = - 16 k

Adems: Magnitud de Mp1 = Mp1 = 21.19 ton_m

Ejercicio #20

Dados los puntos P1 (2, 0, 3) m y P2 (-4, 5, 0) m que definen un eje y la fuerza Fr= [5, 6, -2] t

que pasa por P3 (0, -2, 1) m, se pide:

Solucin.-

a) Momento de F respecto del eje ME P1P3 = = [-2, -2, -2] m P2P3 = 1 = [4, -7, 1] m entonces: - 2 - 2 - 2 Mp1 = * F = 5 6 -2 = [16, - 14, - 2] ton_m i j k



4 - 7 1 Mp2 = * F = 5 6 -2 = [8, 13, 59] ton_m i j k

Adems: P1P2 = [-6, 5, -3] P1P2 = 8.37 m, por tanto; e E = [-0.72, 0.6, -0.36]

entonces:

ME = Mp1 * eE o bien ME = Mp2 * eE Es decir:

ME = [16, -14, -2] * [-0.72, 0.6, -0.36] = - 19.2 ton_m o bien

ME = [8, 13, 59] * [-0.72, 0.6, 0.36] = - 19.2 ton_m Ejercicio #21

Con los datos del anterior ejemplo se pide:

Solucin.-

a) Momento de F respecto a tres ejes ortogonales concurrentes en P1 y a los ejes cartesianos

MEJES Mp1 = [16, - 14, -2]

MEJE X = [16, 0, 0] * [i, 0, 0] = 16 ton_m

MEJE Y = [0, -14, 0] * [0, j, 0] = -14 ton_m

MEJE Z = [0, 0, -2] * [0, 0, k] = - 2 ton_m

Se nota adems; que el momento de una fuerza respecto de un punto, es igual a la suma de

los momentos de dicha fuerza, respecto de tres ejes ortogonales que pasan por el punto; es decir:

MP1 = MEJE X + MEJE Y + MEJE Z = [16, - 14, - 2] ton_m 1.12 PROBLEMAS PROPUESTOS. Problema #1

F = [3, 4, -2] t y P (4, 0, -3) m un punto de la lnea de accin de F, adems un punto arbitrario P1 (5, -3, -1) m Se pide:

a) Momento de F respecto del origen.



b) Momento de F respecto de P1

Respuesta: a) MO = [12, -1, 16] ton_m, b) Mp1 = 2 i 8 j 13 k ton_m

Problema #2 Los del ejercicio 1.1 y el punto arbitrario P2 (0, 4, -2) m Se pide:

a) Momento de F respecto del eje P1 P2.

Respuesta: a) ME = - 621 ton_m Problema #3

F = [-3, 5, 0] t y P (0, 2, 4) m un punto de la lnea de accin de F, adems un punto arbitrario

P1 (2, 3, -1) m Se pide:

a) Momento de F respecto a tres ejes

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