ESTUDO TEÕRICO DA TRANSFERÊNCIA DE CALOR POR CONVECÇAO

NATURAL E RADIAÇAO TÊRMICA EM CANAIS VERTICAIS E INCLINADOS

Antonio Carlos Moldes da Rocha

TESE SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DA COORDENAÇAO DOS PROGRAMAS DE PÕS-GRADUAÇAO DE ENGENHARIA DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO PARTE DOS REQUISITOS NECESSARIOS PARA A OBTENÇAO DO GRAU DE MESTRE EM CIÊNCIAS (M.Sc.)

Aprovada por:

Leopoldo turico Gonçalves Bastos

~~ Antonio dos Santos Vargas

RIO DE JANEIRO, RJ - BRASIL

MARÇO DE 1982

i i

DA ROCHA, ANTONIO CARLOS MOLDES

Estudo Teõrico da Transferência de Calor por Convecção Natu

rale Radiação Têrmica em Canais Verticais e Inclinados (Rio de

Janeiro) 1982.

VIII, lOOp.29,7 cm (COPPE-UFRJ, M. Se., EngenhariuMecânica,1980).

Tese - Universidade Federal do Rio de Janeiro. Fac. de Eng~

nharia.

1. Energia Solar I. COPPE-UFRJ II. Titulo (Serie)

i i i

Aos meus pais,

Avõs,

Amigos,

E ã minha esposa, Vera

i V

AGRADECIMENTOS

Ao Professor Leopoldo Eurico Gonçalves Bastos,

pela orientação e dedicação constante junto ã minha pesquisa.

Ao Professor Antonio Mac Dowell de

pela colaboração dispensada.

Figueiredo,

Aos Professores Antonio dos Santos Vargas,Antonio

Salvador e Getúlio pelo apoio e incentivo científico ã

pessoa.

minha

Ao Programa de Engenharia Mecânica e a CAPES p~

lo auxílio financeiro.

A Vera Lúcia, pela ajuda e cooperaçao constantes.

E agradeço a todos que direta ou i n di retamente

de alguma forma foram úteis ao desenvolvimento desta pesquisa.

V

RESUMO

A finalidade deste trabalho e o estudo dos efei

tos da transferência de calor por radiação têrmica e convecçao

natural no escoamento de ar em canais verticais e inclinados.

As equaçoes de camada limite do fluido, massa,

quantidade de movimento, e energia, assim como as equaçoes de

balanço têrmi co nas paredes do canal, sao resolvi das pelo mêto

do das diferenças finitas implícitas.

São obtidas as distribuições de temperatura, ve

locidade, pressão do fluido e comprimento do canal, e feitas

anãlises quanto ao desenvolvimento do regime de escoamento.

vi

ABSTRACT

This work deals wi th an analysis of natural con

vecti on and thermal radi ati on transport process of heated ai r

i n verti e a 1 a n d i n e 1 i n e d eh a n n e 1 s .

The boundary layerequations of the fluid, mass,

momentum and energy, as the thermal boundary equations of the

walls are resolved by use of implicit finite difference method.

I t is obtai ned temperature, vel oci ty, press ure

and the channel length and is discussed the resul ts concerning

the physical development of the flui d flow.

Vi i

1NDICE

CAPITULO I I NTRODUÇIIO . . . . . . . . . . . . . . . .

CAPITULO II - MODELAÇIIO

II. l - Revisão Bibliogrãfica

II.2 - Formulação do Problema

II. 3 -

II. 4 -

Modelo Vertical ...... .

Presença da Radiação Térmica

CAPITULO III - MtTODO DE SOLUÇIIO

III.l - Problema Convectivo

III.2 - Problema Radiativo

CAPITULO IV APRESENTAÇIIO DE RESULTADOS

IV. l - Resultados para o Canal Vertical & Inclinado

IV.2 - Discussão dos Resultados

CAPITULO V - CONCLUSOES

V.I - Sugestões

Pãg.

l

2

2

5

1 O

11

1 3

1 3

20

27

27

40

44

46

Vi i i

APtNDICE 1 - Balanço para o Fluido .

APtNDICE 2 - Simplificação de Camada Limite

APl'.NDICE 3 - Dedução das Equações Radiativas nas

Paredes do Canal

APtNDICE 4 - Observações sobre o Mêtodo das

Diferenças Finitas

APÊNDICE 5 - Observação sobre o Mêtodo de Eliminação

de Gauss

APl'.NDICE 6 - Demonstrações Auxiliares

.APl::NDICE 7 -

APtNDICE 8 -

NOMENCLATURA

Bl BLIOGRAFIA

Cãlculo da Eficiência

Fluxograma e Listagem .......... .

48

54

63

69

71

73

80

82

94

97

CAPITULO I

INTRODUÇI\O

Os coletores solares utilizados para o aqueci

mento de ar têm vastas aplicações, desde as diversas operaçoes

de secagem de frutos e cereais, ao emprego no projeto arquiteti

nico atravês de têcnicas construtivas apropriadas ãs caracterÍ!

ticas climâticas e regionais. Estas ~ltimas constituem-se nos

sistemas passivos de aquecimento solar ou resfriamento (parede

de Trombe, torre ou chami nê de arrefecimento, etc), cujo desen

volvimento vem sendo objeto de intensa pesquisa teõrica e expi

rimental no momento, Grainer, Othier & Twidell 1 1 I, Philip 12 1 e

Bahadori 1 3

1 .

Não obstante nao se dispõe, atê o momento, de

dados decorrentes de uma anâlise mais profunda sobre os proce!

sos de escoamento com transferência de calor intervenientes nes

tes tipos de equipamentos e sistemas de aquecimento de ar.

A finalidade deste trabalho ê o estudo de um mo

delo teõrico de coletor solar para o aquecimento de ar por meio

de convecção natural. O coletor ê constituído por um canal de

paredes planas e paralelas por onde flui de forma ascendente o

ar que estâ sendo aquecido. Sabe-se que para uma maior eficiê~

eia de operação estes coletores devem ser montados inclinados

com ângulo dependente da latitude do lugar e voltados para o

norte geogrâfico (hemisfério sul).

2

No modelo considerado, o ar escoa ascendentemen­

te (nas direções vertical ou inclinada) por convecçao natural,

entre duas placas planas sendo uma de vidro e outra metãlica

enegrecida {absorvedor). A radiação solar incidindo sobre o

equipamento atravessa a janela de vidro e e absorvida pela pl!

ca metãlica. O ar ê aquecido pelos fluxos de calor provenie~

tes destas duas paredes.

As equaçoes resultantes de conservaçao ~a massa,

da quantidade de movimento, e da energia para o fluido, assim

como as equaçoes de balanço de energia por convecção e radiação

nas paredes do canal são resolvidas via processo numêrico.

Com esta solução pretende-se estudar os efei

tos da transferência de calor por radiação e convecçao natural

num canal vertical ou inclinado onde e feito o aquecimento de

ar. São analisadas as relações entre o comprimento e adis

tância entre placas do coletor em função da vazão de ar e do

nível de insolação incidente.

3

CAP1TULO II

MODELAÇIIO

II.l - Revisão Bibliogrifica

Na literatura, ainda nao sao muitos os trabalhos

que tratam da transferência de calor por convecção natural em

canais.

Bodoia & Osterle 1 4 1, inicialmente estudaram o

escoamento de ar entre duas placas paralelas verticais para co~

<lições de paredes isotérmicas. Admitindo a formação de camada

limite na região de entrada do canal; Aung, Fletcher & Sernasl 5 I, ampliaram os resultados para condições de temperatura e fluxos

de calor uniformes nas paredes, assumindo, em essência, um mode

lo fisico semelhante ao de Bodoia & Osterle.

Davis & Perona 1 6 1, investigaram a região de

desenvolvimento térmico em um tubo aberto e vertical. Mais re­

c e n tem e n t e , C ar p e n ter , B ri g g s & Se r na s 1 7

1 e s tu d ar a m em c a na i s

verticais a interação da radiação com a transferência de calor

convectiva, considerando as emissividades das paredes e definin

do um numero de radiação.

Akbari & Borges J 8 1 analisaram o sistema denomi

nado "parede de Trombe", usado para o aquecimento ou resfri ame~

to de habitaçõ~s, sendo o modelo utilizado o de canal vertical

4

com temperaturas de parede constantes. Visando uma aplicação

direta no projeto de coletores de aquecimento do ar para seca

gem, Macedo 19

1 considerou geometrias inclinadas utilizando

porém, resultados de Aung, Fletcher & Sernas, para transferéncia

de calor por convecção natural em sistemas verticais, definindo

um numero de Rayleigh modificado que inclui o ângulo de inclina

çao. Considerou a presença da radiação, na forma de duas equ~

çoes radiativas para as paredes.

Zaparolli 11 º1 estudou por sua vez o problema de

transferéncia de calor por convecção natural em canais inclina

dos sem incluir as equações radiativas para as paredes, mas con

siderando as temperaturas de parede desiguais e especificadas.

O efeito da inclinação aparece diretamente nas equações de con

servaçao para o fluido no modelo de camada limite. O presente

trabalho investiga o processo de aquecimento natural do ar em

canais inclinados através de um modelo apropriado de camada li­

mite para o fluido em escoamento laminar no interior do canal,

seguindo bãsicamente a metodologia de Bodoia & Osterle. O estu

do é feito para condição de fluxos de calor uniformes das pare­

des para o fluido, com as temperaturas das paredes variando ao

longo do coletor, quando submetidas ã radiação solar. Conside

ra-se duas equações resultantes de balanços radiativos para am

bas placas, e o problema é resolvido iterativamente com as equi

ções de conservação do fluido de escoamento.

5

II.2 - Formulação do Problema

O modelo teõrico do coletor consiste de duas

placas planas paralelas afastadas de uma largura b e tendo um

comprimento JI,. O sol e considera do como um corpo negro a

5762K.

São feitas as seguintes hipõteses:

J) O regime de escoamento e laminar e permane~

te (são moderadas as diferenças de temperi

turas entre a parede de vidro e o

T - T V o '

entre a placa metãlica e o

te, TP - T0);

b) As paredes tem baixa condutividade

ambiente

ambien

térmica

excluindo-se os efeitos da condução axial;

c) t vãlida a hipÕtese de Boussinesq, que admi

te o escoamento do fluido como incompressT­

vel, considerando no entanto, a densidade do

meio dependente da temperatura nos termos de

vido a força de empuxo, nas equações de qua~

tidade de movimento;

d) Admite-se a formação de camada limite no in

terior do canal. Esta hipõtese pode ser uti

lizada devido ã forma abrupta da região de

6

entrada;

e) As temperaturas das paredes sao desiguais

assim como, os fluxos de calor destas

o fluido em escoamento;

para

f) As paredes sao consideradas como superficies

cinzas (superficies que absorvem uma certa

fração da radiação incidente de qualquer di­

reção e para qualquer comprimento de onda,

emitindo posteriormente esta fração fixa de

radiação para todas direções).

A transmitância do vidro para a placa metâli

ca da radiação solar incidente, se faz em

sua maior parte entre a faixa de comprimen~s

de onda de 0,4µ -2,5µ ,KreithJ 13 J.Por

consequência, o estudo situou-se neste in

tervalo.

g) O fluido de trabalho (ar) e tratado

um gas não - absorvente.

como

Para a geometria do problema indicada na

ra II-1, as equaçoes que regem o problema de escoamento

fluido, utilizando as hipÕteses (a), {b) e (c) sao,

au +

av = o ax ay

Fig~

do

( l )

7

p(u au + v ~) = ( a2 u _a2 u ) +µ--+ ( 2)

êlx ay êl X

p(u av ~) F - .1-2_ µ(~ + a2v ( 3 ) + V = + -) y ax ay a Y êlx 2 ay2

P c ar ~) 32T +~) _·_p (u + V = ( 4)

K ax ay o X 2 3y2

onde (1) representa a equaçao de continuidade de massa, (2),

(3) as equações da conservação da quantidade de movimento, e

(4) a equação da conservação da energia.

Com a hipõtese (d) e adimensionalizando as equaçoes (1) - (4)ri

s u 1 ta.

y

Fig. II.l O coletor Plano - Paralelo

a u + a V o ( 5 )

3 X a Y

u ..2.J!. +

a X

a P

d y

u as

ax

=

Gr*

+ V~

aY

8

+ 8

tg . a

=

Pr

Estas equaçoes estão desenvolvidas e

( 6)

( 7 )

( 8)

adimensio

nalizadas nos Apêndices 1 e 2. Os agrupamentos adimensionais

sao:

X= x/.R-Gr U = u b 2 /tv Gr y = y / b

V = vb/v

Gr* = Gr t / b

o termo p* que aparece no agrupamento adimen

sional da pressão ê definido como:

p* = p ( 9)

ou seja, e uma pressao resultante da diferença entre a pressao

no interior do canal e a pressão ambiente.

9

A entrada e saida do canal a pressao induzida

fica sendo idêntica a p0

, sendo no entanto, sempre menor do

que esta no canal.

rH representa a razao entre os fluxos de calor

nas paredes do canal para o ar em movimento, sendo considerado

que o fluxo de calor para a placa ê maior do que o fluxo no vi

d ro ( q > q ) . p V

Levando em conta agora a hipÕtese (c) as condi

çoes de contorno para a entrada, saida e paredes do canal podem

ser escritas:

ENTRADA

X = O

VIDRO

,

u = o

PLACA

L ~ X ~ O

O ,;: Y ,;: 1

p = o

y = o

V = O

y = ,

e = o V = O

38/élY=-r H

( 1 O)

( 1 1 )

l o

u = o V = O 38/3Y=l ( l 2)

SATDA

X = L

p = o ( l 3)

A condição de contorno (10) nao se refere a uma

condição tTpica de convecção forçada, mas quer indicar que se

estã admitindo o fluido jã em escoamento. Quando a condição de

contorno (13) for satisfeita, ou seja, P = O, o comprimento

L ficarã determinado. Este comprimento estã relacionado ao pe~

fil da velocidade uniforme na entrada, U0

•

II.3 - MODELO VERTICAL

A unica alteração no modelo vertical, em relação

ao modelo inclinado, dar-se-ã nas equações da quantidade de mo

vimento, resultando:

a u a X

+ a V

a v

3U a U U--+V--=

ax av

= o

dP

dX + e

( 5}

( l 4 )

u ae

ax + V

11

ae

av

a2 e ( 8) =

Pr

A equaçao (7) e suprimida, por ser ap;av nulo

para a direção vertical. Resulta então um sistema de tris equ!

çoes (5), (8) e (14) ã quatro incõgnitas U, V, P e e. A dis

tribuição de temperaturas e determinada pela utilização da equ!

çao da energia, as distribuições de velocidade axial e de pres­

sao são calculadas pela equação da quantidade de movimento, e,

pela introdução de uma equaçao recorrente, segundo hipÕtese u

tilizada por Bodoia & Osterle 14

1

( 1 5)

ou adimensionalmente,

9, r UdY = U

0 (16)

!o

a equaçao (16) e a equaçao da continuidade integrada em Y, sen

do utilizada conjuntamente com a equaçao (14) para solução dos

perfis de U e P. Apôs o que, a equaçao ( 5) determina a vel oci

dade V.

II.4 - PRESENÇA DA RADIAÇÃO T[RMlCA

Considerando as hipõteses (f) e (g), e aplicando

l 2

a primeira lei da Termodinâmica para um balanço de energia nas

paredes do canal obtem-se:

PLACA DE VIDRO

(T 1

PLACA METJILICA

y=O - T ) +

o E, d\+ q

AV V

EÀV - EÀp dÀ

] /E ÀV + ] /EÀp - ]

( l 7 )

( l 8 )

A dedução das equaçoes (17) e (18) ê apresent~

da no Apêndice 3. As duas equações introduzem os perfis das

temperaturas de paredes como incõgnitas no problema de escoamen

to com transferência de calor no canal.

1 3

CAPITULO III

MÉTODO DE SOLUÇAO

III.l - PROBLEMA CONVECTIVO

As equaçoes (5) - (8) e (14) sao equaçoes diferen

ciais parciais parabÕlicas, indicando que hã uma direção pred~

minante de difusão têrmica definida pela coordenada de posl

ção X, como ê indicado por Rosenberg l"I. As condições exis-

tentes nas regiões anteriores determinam assim as condições

atuais do escoamento. O mêtodo numêrico das diferenças finitas

ê utilizado na solução do sistema de equações. São empregadas

formas implícitas de discretização, estas formas apesar de pr~

moverem um processo lento para obtenção das incõgnitas a cada

passo, sao universalmente estãveis para velocidades na direção

predominante de fluxo de calor positivo. Podendo-se usar pass~

gens de progressões maiores, que compensem a 1 entidão dos cãl culos.

.

J+K

J J-1

X

1 - - ~,-

I> 1 X

1,i.y 1

1-1,1 . . . . l•K .. l•N

Figura III.l

y

Rede Finita

l 4

Na direção Y, no intervalo entre O r Y f l uti

lizou-se uma discretização constante.

pontos,

y = o e y = l

u = o e V = O

e,

Observando que

X = O e o f y .f

V = O,

nos

o que implica que nestes pontos a solução numérica nao pode ser

adequadamente representada por uma expansão em serie de Taylor

(a representação no entorno de um ponto, e possivel se a função

e todas suas derivadas existam e sejam finitas nesta região).

Para tratar destas singularidades numéricas, na

direção X foi tomado um t:,X mui to pequeno prõximo a

do canal, e realizando-se um numero maior de passos a

entrada

entrada

do canal, pois a propagação dos efeitos das singularidades e

primariamente uma função do numero de passos e não da posição X.

Define-se uma relação, para contornar o problema,

::= M • 8.X. J

( 1 9 )

1 5

oríde M e um multiplicador.

Segundo Akbari & Borges J 8

J poderão ser tomados

os seguintes valores:

uo /':, /':,y M X

0,03 7. l o- 8 2,5.10 -3

1 , 08

0,003 7.10- 8 2,5.10

-3 l , 03

0,0003 2, L 1.0 -8 2,5.10 -3 l , O 02

As equaçoes da continuidade de massa, quantidade de mo

vimento e energia, respectivamente equações (5), (14) e (8), sob

a forma de diferencas finitas implTcitas. de acordo com a Fig~

ra III.l (Ver Apêndice 4). ficam:

u + u J+l,I J,I VJ+l ,I+l - VJ+l ,I +

/':, y

t:, X 2 t:, Y

UJ+l,l+l + 2 UJ+l,1 - UJ+l,I-1

( /':, y) 2

= e J+ 1 , I

= o

( 2 O)

PJ 1- p. + J )

t:,X

( 21 )

1 6

uJ,I (eJ+l, 1 - 8 J,I)

bX +

V J, I ( e J+ 1 , I + 1 - e J+ 1 , I - 1 ) =

2 b Y

=

Pr

[ 8J+l, 1+1 - 28 J+l, I

(ti. y) 2

+. e ] J+l,1-1 (22)

E, para a equaçao integral da continuidade, podi

-se uti.lizar tanto a regra do trapêzio ( Equação (23)) ou a re

gra de Simpson (Equação (24)) para ocãlculo;

ou,

N

l U J+ 1 , I - 1 I= 1

= ( 23)

(_{bY) / (3bX))· ((UJ+l, I-l + 4 UJ+l, I + 2 UJ+l,I+l+ 4UJ+l,l+Z+ ... +

U )-{U .+ J+l ,N J, 1-1 4 UJ+l, 1 + 2 UJ+l, I+l +4UJ+l,I+z+ ... +UJ+l,N))=O

( 2 4)

A solução deste conjunto de equaçoes e obtida a­

dotando um valor fixo do numero de Prandtl, Pr = 0.7 para o ar,

e tambêm para U0

e rH.

A equaçao da energia ê resolvida inicialmente p~

ra os pontos e e . . e .1 K e J+ 1 , I + 1 ' J + 1 , I + 2 , ... , J+ , I + , .... , J+ 1 , I +N ..

Ela ê resolvida por meio de um mêtodo de redução matricial. A

l 7

equaçao da energia e escrita na forma de diferenças finitas como

uma matriz da forma, (Apêndice 51,

B I + l C I + l o o ... o 8 J + l ' l+l l

AI+2 81+2 CI+2 o ". o 8 J + l ' 1+2

Al+J BI+J CI+3 0 ... 0 8 J + k' !+3

=

o o

O··· Al+N-2 81+N-2 CI+N-2 8 J+l ,l+N-21

o ". o e J>l ,I,N-1_

onde identificam-se os coeficientes:

BI = U J+I (LIX)-1 + 2 (Pr ( l\ y )

CI V J; 1 (2 l\Y)-l -1 = Pr

AI = V J' 1 (2 l\ Y)-l + (Pr . (l\Y)

º1 = 8 (UJ,I) (l\X)-1 J ' 1

1- 01+1 +eJ+l,I ' AI+ l

01+2

0r+3

Dl+N-2

/_ 0r+N- l + 8J+ 1, r+N-2· A1+N-1j

( 2 5)

) -1 (2 6)

(27)

) - l ( 28)

( 2 9)

Testa-se a singularidade do sistema. E utiliza-

18

-se o mêtodo de Gauss para obtenção da solução. O processo con

sistem em conversão por meio de uma redução matricial do si st e

ma ( 25), numa matriz triangular superior. Deve-se observar que

os elementos que servem de pivô nas sucessivas eliminações nao

devem ser nulos .

Conhecendo-se a distribuição de temperaturas nu

ma rede de linhas, segue-se para a determinação das distribui-

ções de U e P, para a mesma linha, ou seja, UJ+l,I+l ,UJ+l,!+ 2 , ... ,

UJ+l ,I+K' ., UJ+l, I+N

As equaçoes (21) e (23) sao armazenadas numa ma

triz da forma,

FI+l 61+1 o .. . . . . .. .. ·• o H IJ J+l,I + 1 KI+l

EI+2 FI+2 GI+2 o ... o H u KI+ 2 .. . J+l,!+2

o E!+3 F!+3 GI+3 o o H

= ( 3 O)

o O . El+N-2 Fl+N-2 6I+N-2 H

o o UJ+l,l+N-1

1 . . . . . . • . . . . . . . . . . . . . 1 o (N+l) U0

onde identificam-se os coeficientes

l 9

EI = V J 'I (26.Y)-l + (6.Y )-2 ( 31 )

FI = U J 'I 6. X -1 2 (6.Y)-2 ( 3 2)

GI = VJ,I (26.Y)-l (6.Y}-2 (33}

KI = u J' 1 . U J ' I (6.Y)-1 + PJ

6. x-1 + 8J+l,I (34)

H = 6. X -1

Conhecendo-se por sua vez a distribuição de U,

determina-se V pela equaçao da continuidade, que pode ser

escrita analogamente a (25) e (30), numa matriz da forma

51+1 wr+1 o . o l V J+ l , I + l RI+l

o 5!+2 wr+2 o V J+ l, I +2 RI+2

= ( 3 6) o

o o o

onde os coeficientes sao:

= - (UJ+l,l (37)

= (38)

20

= ( 3 9)

O procedimento ê reiniciado para o ponto J+2, e

assim sucessivamente atê a sa"ída do canal, J+N, quando a .con-

dição de contorno (13) seja satisfeita, ou seja P + O, de ter

minado por conseguinte o comprimento do canal L, e fornecendo

o nümero de Grashof correspondente.

III.2 - Problema Radiativo

O mêtodo de solução descrito atê aqui nao consi

dera a presença das equaçoes (17) e (18), acarretando que a

solução do problema combinado sera feita em duas etapas:

a) Inicialmente ê resolvido o problema de radiação, conside

rando-se as potências emissivas nas paredes de vidro e

absorvedor, respectivamente. (Ver Figura III. 1)

= o T 4 ( L . L,I-1' = J -1 , J , J + 1 , ... , J + K, ... , J +N)

(40)

= 4

o TL,I+N'(L= J-1, J, J+l, ... , J+K, ... , J+N)

( 4 1 )

Logo, as equaçoes (17) e (18) resultam:

a p

21

+ q .p

ªv 1s = Ev O TL,r-1 + ° Fv-p (Tt'. ,l-1 - TL,l+N) + har (TL,I-1 -\) + qv

\/ : L E [J-1, J+NJ

Fazendo como aproximação inicial,

/ 2+T0)/ 2) (42)

Y: LE[J-1,J+NJ

E, procedendo a linearização do problema, defi~

nindo um numero de radiação,

=

que leva a forma

TL,I-1 =

com,

K * =

- 3

4b o TL / K

( a - T a ) I + q - q + har + T v vps pv o

K* + h ar

k

4 b

por conseguinte, para a placa metãlica,

(43)

( 44)

( 4 5)

22

qp - 'v ªp Is + ° F v-p TL,I~l

o F v-p

(46)

As equaçoes (45) e (46) sao resolvidas de forma

iterativa e, também do Capítulo III ê conhecida a razão

os fluxos de calor convectivos rH.

entre

São calculadas a partir de um dado numero de

Grashof médio, Gr, e de uma razao de fluxos rH, a partir do

problema de transferência de calor no interior do canal, pois:

Gr = g S q b 5

(47)

A seguir, admite-se uma variação inicial para as

temperaturas de paredes ao longo do canal, ou seja,

( 1 )

TL, I+l

V : L E r J - 1 ' J + N J L (48)

T ( ') L' I + N

Y: L E [J-'l, J + N ]

O índice superior representa o numero da itera

çao realizada.

23

Estas distribuições de temperaturas inicias esc~

lhidas ficam a critêrio do usuãrio, sabendo-se que um valor mal a.::_

bitrado pode acarretar um tempo de programação maior. Uma boa

regra, a ser observada ê que, quando se estiver considerando um

perfil de velocidade de entrada com um valor superior a

U = 0,12, o escoamento tenderã a apresentar-se plenamente de-o

senvolvido. Assim resulta uma variação linear assintõtica para

o crescimento para as temperaturas de paredes. Logo, trabalhan

do-se nesta faixa de vazões tal hipõtese inicial para o cálculo

das temperaturas do vidro e placa absorvedora não seria uma ma

escolha. Quando se afastando para vazões mêdias e baixas, o

problema de escolha torna-se difícil e aleatõrio, ver por exem

ploAung, Fletcher & Sernas l' 1·

Pode-se agora calcular as TL, V: L c[J-1 ,J+NJ

atravês da equação (42).

E tambêm os numeros de radiação correspondentes

via Equação (43).

Entra-se com os valores das características ra-

diativas do problema (av' ªp' 'v'

cas convectivas ( har' T0

, Pr ).

e das caracteristi

E calcula-se uma nova dis

tri bu i ção de temperaturas de paredes p e 1 as equaçoes (43) e ( 44) ,

ou seja, T (2) T (, ) T·( , ) T (, ) J -1 , I -1 J , l-1 J + l , I - l J +2, l-1

T ( , ) T(,) T(2) T(2) ( 2) , e, , , T

J +N, I -1 J-1 , I+N J, I+N J + l, I+N J+2, I+N

T ( 2 )

J+N, l+N

24

Testa-se, apos a convergência do problema,

[ T ( 2)

L, I -1

[ T ( 2)

L, I +N T(I) J ~ E.

L, I +N 1

L E [ J-1, J+Nl J

( 4 9)

( 5 O)

A convergência do problema estâ assegurada quando

o valor atual encontrado não diferir do anterior mais do que uma

certa to l e rã n c i as , E 1 , prê-fixada, =

b) A segunda etapa, consiste na solução do problema convectivo

que e representado pelas equações de conservaçao, Eqs .. (5),

(14), (8) e (16), com as condições de contorno (10 - 13).

O mêtodo de solução e o mesmo descrito anterior

mente no Parãgrafo Ill. l .

Uma vez obtidas as distribuições de velocidade,

temperatura e pressão, testa-se a convergência do problema

conjunto, uma vez que partiu-se da hipÕtese inicial de um

numero de Grashof mêdio e uma dada razão de fluxo de ca-

lor rH .

25

Usando a condição de contorno, equaçao ( 11) e re

escrevendo-a em forma de diferenças finitas:

(el, l+N-1 e L ' l+N) = rH ( 51 )

t, y

V: L E [J-1,N 1 J

Devendo ser satisfeita a condição:

[ rH (atual) r (inicial) J ( E2 ( 52)

H

com

=

Caso a relação (52) nao seja satisfeita a primej_

ra iteração, as distribuições de pressão, temperatura e veloci­

dade, são recalculadas usando os valores da primeira solução.

E assim se prossegue, atê que a convergência, te~

tada via a relação (52), seja estabelecida.

Para a solução do problema de transferência de

calor para o canal inclinado, inclui-se ainda a Eq. (17), que

pode ser escrita sob a forma de diferenças finitas explTcitas:

PJ+l,I - PJ+l, l-1 =

t, y Gr* tg a e J + 1 , 1

( 53)

26

Bem como, deve ser inclu1da a equaçao (21), da

quantidade do movimento na direção -x, reescrita na forma:

+ u J+l, I+l - UJ+l, I-1

=

=

6. X

U J+ 1 , I + 1 - 2 U J+ 1, I + U J+ 1 , I -1

( /',. y) 2

2 /',. y

p - p J+ 1 , I J, I

6. X

Pela equaçao (53) pode-se determinar

mente a variação da pressao ao longo da direção Y.

+ 8J+ 1, I

(54)

imedi a ta

A metodo-

logia de cãlculo ê idêntica ã aquela seguida no caso do

vertical.

canal

27

CAPITULO IV

APRESENTAÇAO DOS RESULTADOS

IV. l - RESULTADOS PARA O CANAL VERTICAL & INCLINADO

Inicialmente foram obtidas soluções para o mode

lo teórico de canal vertical para condições de fluxo de calor

uniforme nas paredes, estudando-se tambêm a influência da incli

naçao.

Comparações foram realizadas, para a situação de

transferência de calor em canais verticais com convecção natu

ral, com os resultados de Aung 1 5 1- Para a presença da radia

ção térmica comparou-se com os de Carpenter 1 7 1- Estes testes

permitiram uma confiabilidade no metada numérico empregado.

O problema utilizou os seguintes dados de entra

da, conforme a Tabela 2:

28

NATURAL, Aung j 5 1

CONVECÇAO NATURAL+ RADIAÇAO CONVECÇAO TtRMICA, CARPENTER 1

7 1

rH o - 0,1 - 0,5 O - O, 1 - O, 5

u O, 1 5 -o 0,005 0,005 - 0,007

Cl OQ OQ

Nr - 3, 7 5 - 5,0

&x 1 o- 2 - lo- 7 1 a+ 7 - l o+ l 6

&y l o- 3 10- 3

Pr 0,7 0,7

Tabela 2 - Dados das Referências 15

1 e 17

1

Os resultados obtidos atravês da metodologia de

cãlculo desenvolvida, são a seguir apresentados graficamente. Con

vem ser observado que no modelo teõrico com a presença da radi~

çao foram especificados adicionalmente os valores dos seguintes

parãmetros:

I = 700 W/m 2 0,4 Ep = 0,85., Clp = 0,9,

har = 3,92 W/m2 e ( 5 5)

As figuras (IV-1) a (IV-10) apresentam as so

luções para o problema convectivo em canal vertical.

Observa-se que as Figuras (IV-1) a (IV-3) in-

29

dicam um regime de escoamento plenamente desenvolvido para um

numero de Grashof da ordem de

u o

O, l 5.

-1 Gr = 10 , e um valor de

Na faixa de um numero de Grashof da ordem de,

Gr = -6 10 , o regime de escoamento estã em desenvolvimento, a

uma baixa vazão de valor, = 0,005. Esses resultados sao

fornecidos nas Figuras (IV-4) a (IV-8).

Um estudo quanto a influência de rH, para U0

=0,15

e apresentado nas figuras (IV-9) a (IV-11).

Para um valor, U0

= 0,005, nota-se que o aumen

to de rH induz uma evolução mais linear do perfil de tempera­

tura da placa absorvente. No entanto, a diferença entre os va

lores mãximos atingidos e insignificante, como se vê nas

ras ( IV-9) a (IV-11).

Uma boa concordância foi obtida com os

dos de Aung.

Fig~

resulta

As Figuras (IV-12) a (IV-16) consideram a in­

fluência da radiação térmica associada a convecção natural em

canal vertical. Dois números de radiação foram fixados, NR=3,75

e 5,00, dentro de uma mesma faixa de vazão, como indicado na

Tabela 2. As distribuições de temperatura e velocidade são afe

tadas, no sentido de que a radiação térmica ajuda a transferir

calor no interior do canal.

30

O perfil da velocidade ê mais pronunciado nas

proximidades da placa metãlica, Figuras (IV-14) e (IV-15). A

distribuição da temperatura do ar prõxima ã placa de vidro se

reduz ao passo que cresçe prõxima a placa absorvente, como se

vê nas Figuras (IV-12) e (IV-13).

A figura (IV-16) apresenta o comportamento da

temperatura da placa metãlica ao longo do coletor para um aume~

to do numero de radiação. O valor mãximo do pêrfil não se dã ã

sa1da do canal. Este efeito foi observado por Carpenter 1 7

] p~

ra alguns nümero:s de radiação. De um modo geral obteve-se uma

boa concordância com os resultados deste autor. Para o canal

inclinado foi fixado um ângulo de ~ = 609 com a vertical Pi

ra os dados explicitados na prÕpria Figura (IV-17).

O crescimento do perfil da temperatura da placa

metãl ica foi progressivo ao 1 ongo do canal. O escoamento se

apresenta na região de desenvolvimento, para uma vazão, U0=0,005,

como na situação de canal vertical. Os dois casos praticamente

coincidem, muito embora a inclinação sirva para aumentar a tr~

ca de calor entre as placas, como se observa a evolução do gra­

diente de temperatura da Figura (IV-17) em comparaçao com a

distribuição da Figura (IV-16).

º·

" n

ó

P.H=O. 1

U0=0-15

•

-~--.--, 0.20 S.JO

31

X/L=0.99 •

•

• X/Lc0-.80 ·

•

•

X/L=0-56

•

•

X/L=O- 18

• • X/L=0-045

• Aung

-~~---c----.---.----.----~~-~-~---.--.--__J e. ~a o. E,o o. 10

y

Figura IV-1 - Perfil de Temperatura do Ar no Canal

:..,J~.n n •e \ l_,._,=-, . .1• L~

,f_:>-EV=-G. ~,j· 'r.c:~o. ~· "' . '

_-,, o

-=~ o' u u'l

~ ~,J u:~ e... ,.;

' 1

cr. o ,:,

'

.:.,

32

•

• •

• •

'..:>+-~--~-~-~-"---=--~-~--~-------' '

CJ UJ

,:e

o

a --, o

o o

o. [!Q D-40 o. [;Q

>-IL

Figura IV.2 - Perfil de Pressão do Ar no Canal

UO=O.iS l:.!"~EV=O.

X/L=0.0-15,0.99

•

•

•

•

º+--~---~-~--,-~---.----~-~-~--o.e:: :.20 :;.~o o.E-o c;.8: :.e

V

' Figura IV .3 - Perfil de Velocidade do Ar no Canal

.c:r UO=O. 005 EP=EV=O.

0 R~::::O.

Ü)

o

G ill

o

o C\J

o

X/L=O.L!B

0-36

33

o.s2 Q.6S y

Figura IV .4

•

•

O. 8ij 1 • (1

Perfil de Temperatura do Ar por Seção no Canal

o o,

o

G <D

o

o

o C\J

o

o o

'º o.oo

UO=O. 005 , EP=EV=O. RH=O.

X/L=0-99

•

0.20 V

'

0-60

Figura IV.5

•

•

..--e. se j. c1

Perfil de Temperatura do Ar por Secção no Canal

o :::,

" :::,

o "J

o cr

o

o

UO=O.üOS EP=EV=O. R'i=O.

XIL="O. 045

34

,,.---------------• •

D --l---,--~--~-.--------,---r------;,--,--,--,

ºo.c,:c G.20 C.IJQ 0-60 C-80 j.[J

o "'

o CT

o e,

o

"' o

o "J

o

o "J

'

7, G-GS

V 1

Ffgura fY.6

Perfil de Velocidade do Ar pór Seção no Canal

U0=0.(105 EP=EV=O. A'i=O.

X/L=0.!8 • •

•

•

•

~-~·---,-----,-----,----,---,--,--·-·r-c. 20 C-40 u.EO C-3C ;.('

y Figura IV.7 - Perfil de Velocidade do Ar por Secção no Canal

D

"'

o =r

o

o (\J

' Q.QQ

U0=0.005 EP=EV=O. AY=:Q.

X/L=0-48

C-20

•

C,40

35

•

•

o.&o e.se ~ . o y

Figura IV.8 - Perfil de Velocidade do Ar no Canal

UD=O. i 5 E_P,.E V=O.

. 1 R~=o,-~. ~j RH=o.1--

x C, J ~: /· e..; -: L,_ 1

e '=' j' - . 'e, e_: 1 () i

1 ~1 ,; l ' 1

,

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' '

' , ' ' '

, ' ,

~! á -t~---,--,--~-~--~---r- --,-------,--. o. e;: e. 20 '::. 4C e. so J. s::: ~ .GO

)1 / l.

Figura IV.9 - Perfis de Temperaturas do Vidro no Canal

ID J)

·D

X~ a: . ,CD

o

' a: u a:~ _J • Q_Q

o

D

"' O I

• 1

1 1

"' .

UO=O-CJOS RH=O.­RH=D. l

EP=EV=O.

I

, I

,

I

, , , ,

,

, ,

, ,

, , ,

, ,

36

, ,

, , , ,

,

ó.-­o.oo 0-20 C-40 0-60 0-90

X/L

Perfis de Figura IV.10

Temperaturas da Placa Absorvedora

::, ,, n

e; .e.,

,

U0=0-15

lf"-EV=O. RH=O,­RH=D.1--

, , , '

, '

/'

, , ,

, ,

, , , ,

, , ,

• , ,

, •

; ,

,• ,· ,

; . co

no Canal

• • •

, ,

.:::) 1---.-·--- ~--r--------,------ r-----.---: n C'º o ºO 'li;.• 'V v • e.. ' 0-40 0-60 C-SJ 1-C

X/L Figura IV.11 - Perfis de Temperaturas da Placa Absorvedora no Canal

37

Jl

ÓJ NR=3-7S Rl-i=O.

~J D CARPENTER

:J X/L=0.01

' f 1 1

o 1

i E 1 o '- i ON

1

,., o

o

"' -o o o

o o o -.., o. üCJ 0.20 o. 40 G-60 o.so 1 .

y

Figura IV .12 Perfi 1 de Temperatura do Ar por Seção no Canal

D L~

o

D

o

E o '-o e,

"' o

a

D

o

NR=J.7S Rl--i=O.

X/L = O .48

o

o

o

o C:>+----.----,-----.---_;:.=====-~-~-~-~_J Q.60 Q.80 1. o u.uo 0.20 0-40

' y

. Figur.a IY .13

Perfil de Temperatura do Ar por Seção no Canal

o

e, e,

rrn=J. 75 Rc:=Q.

X/L=0.05

o

38

o o

--------,--------,--r-ó ,-----------. i:i.oc 0. 2 o 0-40 0-60

y

-- - -·- -- -· --- '

i !

1

,! o

----,--------, o.eu ~-e

Figura IV.14 - Perfil de Velocidade do Ar por Seção no Canal

"'

~j :j

g-J ;; ~ /

º] ~J a

:1 . 1

f}. () .

'

NR=J.75 RH=O.

X/L=0."8

o

o

---: - ' 1). 2G

v 1

o

º· o

o

C-60 ~. e

Figura IV. 15 - Perfil de Velocidade do Ar por Seção no Canal

:J ºJ

><- ~J cr: • :I:O o

' a: u a: e:,

_J ': a...,:::, o

" "' o D

(O e:,

NR~S.00 RH=Q.

o

39

o

+-----~-~----~-~----~-~-----; o a.. üO 0-20 Q.40 Q.60 o.ao 1. o X/L

Figura IV .J 6 - Perfil de Temperatura da Placa Absorvedora

<D

"' . o U0=0.005

NR= 5. O

C! =60-o o--J) C! = a ·- ~ ,.

~

,. , • ,.

X"'° a:~ • :I:O , o , '

, a: , u a: "' _J ":

,

a... o o

(\J , ,., ,

D

,

(O ,

- , . o o.ao 0.20 0.40 0-60 o.en J. o

X/L Figura IV.17 - Perfil de Temperatura da Placa Absorvedora

40

IV.2 DISCUSSAO DOS RESULTADOS

Considerando os resultados para U0

= 0,15 e

U = 0,005, o comportamento da temperatura é aproximadamente li o

near com a direção axial, quando o escoamento se apresenta pl~

namente desenvolvido, Figura IV. l. Observa-se que estes perfis

variam muito pouco ao longo da direção-X do canal.

A consideração da radiação térmica por meio das

equaçoes de balanço de energia para as paredes do canal, (17) e

(18), introduz alguns parâmetros adimensionais na anâlise, ou

seja, o número de radiação, Nr, a razão adimensional do canal,

rb = b/t, as emissividades e. absortividades das paredes de vi­

dro e metal.

Os resultados com a radiação presente podem ser

vistos graficamente nas Figuras IV(14) - (17), onde o escoamen

to se apresenta em desenvolvimento. Tais conclusões também fo

ram verificadas por Carpenter ] 7] e Macedo ] 9 ].

Observaram-se maiores valores para o comprimento

adimensional, L, do canal, quando a velocidade de entrada, U0

,

aumentou. Ainda, as temperaturas mãximas nas duas paredes ocor

reram ã saida do canal, como se verifica nas Figuras (IV-1), (_IV-4)

e (IV-5). A medida que L aumenta, o escoamento tende a se

apresentar plenamente desenvolvido, Figuras (IV-1 a IV-3) e a

41

diferença entre os valores das temperaturas mãximas das paredes

diminui. Para valores mais baixos de U0

, ou seja, U0

=0,005,

observou-se o efeito da radiação sobre as temperaturas das par!

des. Hâ uma redução da temperatura da placa metálica com o con

sequente aumento da taxa de transferência de calor, quando sao

consideradas progressivamente seções ao longo do canal, Figu-

ras (IV-12) e (IV-13). Este comportamento difere do caso em

que não hã radiação presente, Figuras (IV-4) e (IV-5).

As razoes rb sao moderadas ( :o; l o-l) para a

faixa de números de Rayleigh moderados, e baixas (,;: 10- 3), p~

ra números de Rayleigh pequenos, com a radiação não tendo ne-

nhum efeito no processo de transferência de calor. Nestes ca

sos l', >> b, ou seja, a distância entre placas ê muito pequena

em relação ao comprimento do canal, apresentando-se o escoamen

to desenvolvido, Tabela 3.

Em aplicações tecnolõgicas, para o dimensionamen

to de coletores solares não ê interessante a situação encontra

da na linha superior da Tabela 3. Isto porque haverã a neces

sidade de grandes comprimentos para se manter o regime do es-

coamento plenamente desenvolvido.

A faixa em que os valores de rb sao modera dos

e a mais adequada ao projetista, observando~se que o regime de

escoamento estã em desenvolvimento. Justifica-se assim os estu

dos atuais que estão sendo feitos especificamente para o escoa

42

mento a baixas vazoes, Akba ri 1 8 1, Macedo 1 9 1.

Gr = l / L L Ra = Pr . Gr Regime do b/ .Q, rb = Escoamento

Altas vazões Numeras ba i XO S Numeras baixos Plenamente Valares pequenos

[ 1 o-2 , 1 o+ 1 } Grandes

[10-2, 10+ l] 10- 3 ) (U o ::: O, l 5) Desenvolvidos ( ,;;

Baixas vazões Numeras moderados Numeras Em Valores Moderados Moderados Moderados &

(Uo ::: 0,005) [10- 1, 1 o- 8J Baixos ] Desenvolvimento (;:;: 10- 1 )

[10- 1,1048

Tabela 3 - Conjunto de Soluções

44

CAPITULO V

CONCLUSDES

i) Verificaram-se resultados prêvíos de Mace-

do [ 9 [, no sentido de que o escoamento se

apresenta em desenvolvimento para situações

onde a radiação têrmica esteja presente, for

necendo rb moderados, o que corresponde as

situações mais adequadas ã aplicações práti­

cas de dimensionamento de coletores.

ii) Quando a radiação nao estã presente, o escoa

menta tende assintoticamente a plenamente de

senvolvido, para um aumento continuo do com­

primento adimensional L do canal. Os resul

tados concordam com os de Aung 1 5 1.

iii) A presença de radiação térmica alterou os

perfis de temperatura do fluido em torno de

50% em relação aos resultados com convecçao

natural somente presente. A radiação, en-

quanto reduz a temperatura mãxima para a p~

rede de metal, favorece a transferência de

cal ar no canal, Figuras ( IV-4), (IV-5), (IV-12),

e (IV-13).

iv) A medida que a distância entre as paredes,

45

b, foi sendo reduzida, a radiação foi

seus efeitos atenuados.

tendo

Nestas situações podem-se desprezar a ra­

diação e aplicar os resultados de escoamento

desenvolvi do por convecção natural.

v) No canal inclinado, na faixa de um numero de

Grashof moderado, encontrou-se um comporta-

menta para a transferincia de calor, semelhan

te ao do canal vertical. A inclinação contr!

bui para um crescimento mais uniforme nos va­

lores da temperatura encontrados no interior

do canal, Figura (IV-17).

vi) Para a situação de canal inclinado, pode-se

observar que a temperatura mãxima atingida p~

lo fluido não ocorre ã sa1da do canal. E'. de

se esperar que a medida que o numero de

Rayleigh e/ou razão rb aumentem, as perdas

radiativas ã saída do canal venham a ser maio

res, como Z~.parol li 110

1 e Carpenter 1 7

1

verificaram. Nestes casos ocorre uma rever­

são do fluxo de calor, ou seja, encontram-se

valores negativos para a velocidade do flui­

do, e hã um decrescimo do número de Nusselt.

vii.) Concluiu-se ainda que falta uma maior verifi

V • l Sugestões

i )

46

caçao experimental para as diversas si tu ações

aqui estudadas. Os resultados emplricos para

a transferência de calor por convecçao natu­

ral em canal vertical, foram verificadas por

Aung J 5 J. As demais anãlises, como a influ­

ência da radiação têrmica e inclinação, mere

cem futuras avaliações mais rigorosas.

Pode-se fazer um estudo mais detalhado da

influência do escoamento com as grandezas di­

mensionais do canal, especificamente ã baixas

vazoes;

ii) O modelo parabõlico originãrio das simplifi­

caçoes decorrentes da hipõtese de formação de

camada limite no interior do canal pode

substituldo por uma anâlise flsica mais

rosa a partir das equações completas

Navier-Stokes;

ser

ri g~

de

ii i) Quanto a solução nunrêrica atual empregada,

tornar-se-ia interessante pensar no refina-

mento da malha na progressão da coordena-

da -Y, fazendo-a mais fina prõxima ãs paredes

do cana"!;

47

iv) De uma maneira geral, observa-se a necessid!

de de serem realizadas experiincias para a

obtenção de dados, que venham possibilitar

futuras comparações com os modelos matemâti­

cos formulados.

48

APtNDICE 1

BALANÇO PARA O FLUIDO

a) Fazendo o balanço de conservaçao de massa para o

considerando o escoamento bidimensional:

fluido,

Taxa d e

em um

volume

dos,

escoamento Taxa de escoamento )

elemento de + em um e 1 emento de - = o

na direção x volume na direção y J ( 5 6)

Matematicamente, os termos podem ser representi

-ª- (pu) 6.x 6.y + ax

a

ay (Pv) tix tiy = O

(57)

Tratando-se a densidade como uma constante, de

modo que resulta,

a u

o X

+ o V

a Y

= o (58)

b) As equaçoes de conservaçao da quantidade de movimento sao

derivadas da segunda lei de Newton do movimento. As forças

externas atuando em um elemento de volume consistem das for

ças de corpo e superficie.

49

Tem-se:

( ) ( Aceleração na) massa . direção x - y

= ( Forças de corpo) + ( Forças de Superfi ci e ) na direção x - y na direção x - y

( i ) ( i i ) ( i i i ) ( Í V)

Termo a termo no balanço vem:

(_ ) p D.X t,y

(_ i i l D

Dt = u

(iii) Fx D.X t,y

( i V )_

a ax

+ V a

ay

Fy D.X t,y

a o a T

(-Y- + _!:1_) t, X t,y a y a x

Escreve-se os quatro termos acima segundo as

considerações de escoamento laminar incompressivel bi di

mensional em regime permanente para um fluido de propried~

des constantes, salvo no termo de empuxo.

Em ( i ) o x e o significam tensões normais as y

direções x e y, respectivamente. TYX e TXY signif_!_

camas tensões de cisalhamento, onde o primeiro indice indi

ca o eixo perpendicular ã superficie de atuação e o segu~

do indica a direção da tensão ao longo da superficie.

50

Sob as hipÕteses mencionadas, tem-se expressoes

correlatas para os componentes das tensões,porSchlichtingJ 17 J

e,

T xy

= µ ( .l__lJ____ + a j

= µ ( __i__lJ___ + ay

cr=-p+2µ X

-1..::._) o X

a u

d X

o V

a Y

( 5 9)

(60)

( 6 1 )

( 6 2)

Usando as expressoes acima, as equaçoes da qua~

tidade de movimento são escritas:

p ( u .1__I:!__ + V a u ) = F + _a_ (- p + 2µ ~) X

o X ay ax o X

e,

p ( U .i_".'_ + V .i_".'_ ) = a av Fy + --(-p+ 2µ -) +

ax ay ay ay

ou ainda,

+ -- µ (-- + a [ a u

ay a y

a í a u ·-lµ(-+ a x a y

o V

o X

o V

:ix

51

ax ay cl X ax 2 ay2 ax 2 ax ay

pu~+pv~ = F y

o p (-º2 V 32V ) ( .3 2 V 32

U -~+µ +- +µ --+---

p u

p u

3 X cl y cly ax ay

2

Os termos, µ (~ + a2 v ) , µ (-- + a2 u

---),

ax 2 cly ax ax ay

sao simplificados em vista da equaçao da continuidade pois,

JJ (~ + a2v

ax ay

d e onde resulta,

a u +pv~ F ~+ = -X

d X d y ax

o V d V F a P +pV-- = --+ y

o X a Y ay

= µ -ª- (i_l!__ + ~) = o a x a x ay

µ(~ + a2u -) (63)

ax 2 ay2

a 2v µ(-- + a2v -) (64)

ax 2 ay2

c) Quanto a equaçao da energia, ela pode ser derivada ao pro­

ceder-se um balanço de acôrdo com a primeira lei da termodi

nâmica, para um elemento diferencial de volume no

fluido, ou seja,

campo

Taxa de calor adicionada

52

Taxa de energia transfe­

rida ã um elemento dife

num elElllento diferencial + rencial devido ao traba =

Taxa de energia

armazenada num

elemento dife­

rencia 1 por condução

Assim,

lho realizado pelas for­

ças de corpo e superfície

k ( a2 T

ax 2

a2 T +--) + (u Fx

ay2

!Taxa de trabalho por atr~J +vF + ... =

y) l to num elemento d1ferenc1a1

D

D t

{P [e + _1_( u2 + v2)]}

2

Vê-se por S c h l _i c h ti n g j 1 7

1 q u e,

Taxa de traba 1 ho por atrito num elemento diferencial

+ _a_ ( V cr ) + y

a

a Y

( U T ) + yx

ay

a +--ax

( V T ) J xy .

Então o balanço de energia toma a forma,

K{~+ a2T )+ u Fx + v Fy + -º-(uax)

ax 2 ay 2 a x

+-3-(v-r) xy ax

D e-= P--

Dt +

+ _a_ (v cry ) +

ay

p

2 [-º-(.u2 2 )-j + V

Dt

ou ,

K

p

32 T (- + ax2

53

32 T -) ay,

- ~ + <j) =

D t

o

<j) representa o termo dissipativo devido ao escoamento

do fluido,

( 6 5)

viscoso

(u ) [-º-(u 0 xl a

(v ªy) a

<j) = Fx + y Fy + + -- + --(u Tyxl d X a Y ay

a (v T ) ]- _P_ [-º- ( u2 + .v2 ) J + xy ax 2 Dt

Para o modelo os termos de dissipação viscosa

sao desprezadas devido a que a velocidade de escoamento se dã

- -a razoes moderadas. Para densidade constante podemos

mar,

D e

D t

D T

D t

o que leva a equaçao (64) ser escrita,

(u + V

K ax

3 T

ay

= e + d X 2

aproxi-

( 6 6)

( 6 7 )

54

APÊNDICE 2

SIMPLIFICAÇÕES DE CAMADA LIMITE

As seguintes condições iniciais e de contorno

sao estabelecidas pelo problema de transferência de calor no

canal:

X = Ü

P - p T = T0 - o , V = Ü (68)

y = o

u = o a T - k- = q

V V = Ü ( 6 9)

ay

i >, X >, o , y = b

u = o' V = o , k~= qp ( 7 O)

ay

X = i O,::y:, b

p = ( 71 )

O modelo de convecçao natural baseia-se na hip§_

tese de Boussinesq, considerando a densidade como variãvel no

terll'o de empuxo das equações (63) e (64).

Logo,

p = p* + p o

55

onde p representa a pressao induzida nó interior do canal.

Derivando. em x,

+ o X o X o X

( 7 2)

( 7 3)

e determinando o gradiente da pressao ambiente, para a condição

de contorno prõxima ã borda da camada limite,

p + u + o

= - p g o CDS a (74)

o X

o ângulo e introduzido devido a inclinação do canal.

Levando as equaçoes (74) e (73) nas equaçoes (63)

e ( 64) :

a u a u pu-- + pv--= - -a p* a2 u

F x + p 0

g cos a + (-· - + ( 7 5 )

ax ay ax ax ay

p LI d V + cl X

Como,

=

c os a

e,

l

CDS a

cl V v-- = F y ay

=

=

56

a p* --+ cl

2 V d 2

V p0

g sena+µ(--+--)

ay a x2 ay 2

-P0 g.·cosa

- Po g s en a

(7 6)

( 7 7)

( 78)

Logo, alternativamente pode-se escrever:

8P0

F y

sena

---ax

l

sena

ou F = X

a p0

= Po g, ou,

ay

tg a F y ( 7 9)

apo -1 a P0 --- tg a -- = Pog

d X ay (80)

No sentido de se exprimir os componentes de for

ça em termos da temperatura do fluido, admite-se uma

linear da densidade com a temperatura. Definindo, um

ente de expansão volumétrica,

variação

coefici

p

(~) LI T p

( 81 ) s =

57

ou,

= (82) p

Usando-se as relações ( 7 9) , (80) e ( 8 2) , nas

equaçoes da quantidade de movimento, ( 7 5 ) e ( 7 6) fica:

dU u -- + V au =

clV cly

clV d V u--+v =

dX cly

l ~ + B ( T - T ) + v( a2u +~) g o

p clx clx 2 cly2

lclp* + g B (T - T) tga+v (~+~) o

p cly dX 2 cly 2

( 8 3)

(84)

Ao.dimensionalização das equaçoes da quantidade

de movimento pode ser imediatamente efetuada. Primeiramente,

considerando a equaçao (83), multiplica-se toda a equaçao por

t v Gr

d u

d X

+

p

d u

cly

( b 2 /tv Gr) = v cl 2 u 2 (b 2 /~vGr)

d y 2

- clp* . ( b 2

/ t v Gr) + [(T - T ) b 2

g B o + vcl 2u(b 2/tvGr)J

dX 2 clx t v Gr

E, fazendo as operaçoes seguintes,

U b 2

9,vGr

a u

ax

(b 2 /lcvGr)

(b 2 /lcvGr)

v ~ [ (b2/ivGr) . b

2] _

a Y2 b2

gS(T-T 0 ) b 2

+

9, 'JG r

58

vb +-- _v_ ~ [ (b2

/ tvGr) .b ]= b ay (b) \)

· 1 3 [p* . (b 2 /tv Gr) · fb 2 / lcVGr iJ

p a (x. (b 2 /lcVGr)

q b 3 Vk p

+ \)

+

t fãcil ver que identificando os seguintes agr!!_

pamentos adimensionais;

X = x / Q, Gr y = y / b U=ub 2 /Q,vGr

V= vb/v ( 8 5)

p = p* b4/Q, 2 pv 2 Gr 2

resulta para a equaçao da quantidade de movimento na direção -x

o seguinte,

u~ a X

\)

+ V ( _1_

b

a u

a Y

_,_) =

b

+ (8 _v_) + ( ~v­

b 2 Q.G r

\)

ax 2

.a 2 u a v 2

-(~-~)

ax

59

Onde sao simplificados em todos os termos da

equaçao acima a quantidade (v/b2 ). Por fim, em uma anâlise de

ordem de grandeza, segundo Ozisik 118 J, pode ser dispensado o

termo a2u;ax 2, o que implica na equação final,

· a u U + V ax

au

aY =

· a 2 u 3y2 ax

+ e (86)

Para a equaçao (84) a adimensionalização e feita

de modo anãlogo, ou seja,

U b 2

J!,:v.Gr

J!, \> Gr av (b/v) (v/b)

3 X

a2v ( b/v) (v/b) .b 2

\)--

ay z b2

+[gS(T-T0 )k qp.b b 4

q b k )!, \! 2 p

)!, \!

b'

b + V-

\!

[-\) b

av (b/v) (v/b)J=

ay (b/b)

_1_[ ap* (b 4 /J!, 2v2Gr 2)j"(b/b)

o ay (b 4 /J!, 2 v2Gr )

2 1 \!2 3 2 V J!,2Gr z tg aJ+ - -- (b/v)

b ax 2 J!, zGr2

Onde podem ser identificados os devidos

mentas jâ mencionados resultando,

· v 2 av U--+

b 3 ax

v'- a V v-· -b3 a v

\) 2 +----

=

a2 v . 2 b-t 2 Gr ax 2

.3 2 V )!, 2 .v2G.r2 ..:.:.._e.::.-='- + G r e tg a

av

)!, \)2

--+ b'

60

Simplificando todos os membros da equaçao acima

pelo termo v 2 /b 3, e identificando um numero de Grashof modifi

cao escrito na forma,

na direção -y

ax 'iJY

Gr* = Gr li

Resulta na equaçao da quantidade do

escrita sob a forma,

'iJ p Gr:* 2 + Gr*S tg (l + --­

'iJ y 2

Gr*

Em uma anãlise de ordem de grandeza,

-se os termos ã esquerda da equaçao (88), bem como as

das de segunda ordem em V, restando,

ou ,

a P

a Y

a P =

Gr * 8

l ---8 tg a

a Y Gr *

tg (l

Para a equaçao da continuidade, (58),

ca-se os agrupamentos:

( 8 7)

movimento

(88)

dispensa­

deriva

( 8 9)

(90)

identifi

61

X = x / Q, Gr y = y / b U = ub 2/ Q,v Gr

V= vb/v

onde facilmente tem-se:

· · 3 u

3 X

+ 3 V

3 Y

= o ( 91 )

Por fim, resta a equaçao da energia, (67). Ime-

diatamente multiplica-se todos os membros da equação pelo ter

mo

k J!,vGr

3x 2

3T

ax

[

( K / b ) . ( , 2G .. r 2 ) J _. ~·_,qp~· ·'------,.,~-'--- +

(Q,2 Gr2)

que pode ser escrita,

( u 3 e

a X

\) + V a e

3 Y

_v_) =

.b 2

V b

\)

. 32 T

ay 2

\) 3T(k/qpp) =

b ay (b/b)

[

( K /q b) l (b2/b2) J

K ( 32 e .-,-+ 3

2 e _,_)

P c p

3 Y 2

Novamente, procedida uma anãlise de ordem de

grandeza, o termo 32 8 / 3X 2 pode ser dispensado em relação a

sua importância com relação ao restante da equação. Resulta

62

então,

U~ + V~ = ( 92)

ax a Y Pr

Para adimensionalização das condições de con-

torno de fluxos de calor nas paredes, usam-se os

anteriormente definidos.

agrupamentos

63

APtNDICE 3

DEDUÇAO DAS EQUAÇÕES

RADIATIVAS NAS PAREDES DO CANAL

O balanço considerado a seguir, segue Kreith 1' 3 1

e Macedo 1 9

1 • Aplicando a primeira lei da termodinâmica para

a placa de vidro tem-se:

[

Quantidade de radiação

absorvida pelo vidro

( i )

So1,c] ,

Transferência de calor convec

[

Transferência

do vidro para

de Calor Convectival, +

o meio fluido

( i i )

Transferência de calor Radiativa

tiva do vidro para o meio am- + do vidro para o meio ambiente

biente

( i i i ) ( i V )

+[ Taxa de troca cadiafoa l entre o vidro e a placa L

( V ) •

Onde identificando termo-a-termo:

( i

64

( i i i )

i V )

( V )

onde,

= ·(.T 1 -y=O

e '

=

Quanto ao termo q R V t. p

tem-se que para

radiosidade de uma superfície escreve-se:

onde Av e a areado vidro e

superfícies negras.

F e o fator de vista v-p

( 9 3)

(94)

a

entre

A radiosidade para cada superfície (vidro e pl~

ca), por faixa monocromãtica, por sua vez ê definida se,

Joo B À p d À ("" o = Jo EÀP ( 9 6)

65

e,

f 00 E d À + (".'P I d À

0 EÀV ÀV )

0 ÀV ÀS

(97)

Podem ser consultados quaisquer livros textos bã

sicos de transferência de calor para maiores detalhes, como por

ex em p 1 o S i e g e 1 J " J e H o w e 11 J 1 9

J .

Pelo uso da analogia a circuitos elêtricos, pod~

-se expressar a troca radiativa entre as duas superf1cies fisi­

camente como:

V + p = Diferença Total de Potencial ----------- (98)

[ ___ -t-=E'--1',;,1.'-----]_ 1 ·•,.v A~, ),..V B}..

~ 1/A,Fv-,

1~ ~l

Ai'},f~

Resistência Total

~ Figura 3. l

Circuito do Sistema

66

Atravês da figura acima, pode-se identificar que

a r e si s tê n c ia entre os mo d os E À v e B À v e ( l - E À yl / ( A v E À yl,

entre BÀV e BÀp

( l - EÀ p ) / A p E À p .

e l / (A F ) , e entre V v-p

-e e

A expressao matemãtica correlata para o circuito

em serie, extendendo a relação (98) para todo o circuito ê

f\ÀR dÀ = E ÀV EÀp

dÀ O V + p l -EÀV ] - EÀp -<- + +

AV EÀV A F V V-p Api\P

( 9 9)

Agora, escrevendo a taxa radiativa em função do

fator de vista para corpos cinzas tem-se

("'

d À = J0

/J..v F ( EÀ - EÀ ) d À V-p V p ( l 00)

Igualando (99) com (100) tira-se que,

Av F = ( l 01 ) v-p l - EÀP ] - EÀ p

+ l +

Av EÀv A V F v-p A p E\p

67

onde Fv-p e o fator de vista para radiação difusa entre

superfície cinzas.

Para placas planas paralelas infinitas,

F v-p

=

= 1 . O

o que 1 eva a equaçao (101) a forma

F v-p =

duas

( 1 02)

E, finalmente qlR pode ser escrito por . V -:_ p

faixa monocromãtica como:

foco

qlR V t p

dl dl ( 103)

Substituindo (104) devidamente na equaçao de

balanço para a placa de vidro vem,

I00

a, I, dl= h (TI O

- T ) + f00

s, E, dl + q + f"' __ E_À_v_-_E_Àp~-0 /\ V /\ S ar y= O

O A V A V V O

1 /EÀV + 1 /E:Àp - 1

dÀ

( 1 04)

68

Analogamente, um balanço para a placa - absorvedo

ra compreende:

[

Radiação Solar]

Absorvida pela

Placa = [

Transferência de Cal orl

Convertida da placa p~

ra o meio fluido + [

Taxa Radiativa]

de Troca entre

vidro e placa

( i ) ( i i ) ( i i i )

Matematicamente, termo a termo:

i fÀl T ªÀp IÀS dÀ

)À 2 ÀV

( i i ) q p

( i i i ) qÀR = EÀV - EÀp

d À -+ V + p

too 1/E=.w + l/E"'P-1

Substituindo no balanço resulta:

q + p d À ( l 05)

69

APtNDICE 4

OBSERVAÇÕES SOBRE O MtTODO DE DIFERENÇAS FINITAS

Somente em certos casos especiais podem as equ~

çoes a derivadas parciais serem resolvidas analiticamente. Meto

dos numéricos baseados em técnicas de diferenças finitas sao

utilizados para obtenção das soluções.

A utilização de diferenças finitas para aproxi­

maçao das derivadas das equações parciais pressupoe que nao se

procure uma solução continua, para a equaçao, mas que, ao con

trãrio, seja suficiente conhecer o valor da função em certos

pontos selecionados, ou pontos nodais do campo. Consequente-

mente, o campo continuo e substituido por uma rede, ou

que forma aproximação discreta para o campo continuo.

malha,

A representação por diferenças finitas e baseada

no truncamento dos primeiros termos da serie de Taylor, ou seja,

por exemplo,

(~) 3 y J, I

= - ( 3 2 u

3Y 2

11 y + ... ( l O 6)

I, J

O t~uncamento desta serie se dã apos o primeiro

termo e e dito que a relação (106) e correta de primeira - ordem

em Y, por Pacitti & Atkinson l'ºI, e Rosemberg 114 1.

70

São duas as formas de.representação por diferen

ças finitas. Explicitas e implicitas. A forma explicita re-

quer a solução de uma equação a1gêbrica, e a

J , 1+2 J+l, 1+2

J , 1 + 1 J+l,l+l J,1+1

J+ 1-, 1 + 1

J , I (Explicita) (lmplicita) J + 1 , 1

J - Posição conhecida J + 1 - Posição a determinar

implicita requer a solução de um sistema de equaçoes

cas.

algebr_!_

A forma imolicita aoresenta as vantagens de rap_!_

dez e simplicidade, mas apresenta também condições de estabili

dade severas, que torna seu uso inviãvel em muitos casos. Foram

usadas formas implicitas de representação das equações a deriva

das parciais para obtenção das incõgnitas no canal. As condi

ções de estabilidade dessas formas justificam a escolha.

71

APÊNDICE 5

OBSERVAÇÕES SOBRE O MtTODO DE ELIMINAÇAO DE GAUSS

O algoritmo para computador pode ser formulado

usando-se o que se chama de ''matriz aumentada". Considerando

por exemplo a matriz A abaixo,

( l 07)

que sob a forma aumentada fica,

ª 11 ª l 2 . . ª1n o o o l ª21 ª22 ª2n o l o o

IAJTI]= ( l 08)

o o l

72

Os passos de eliminação sucessivas se utilizam

de pivôs, para execução dos cãlculos, caso se tenha um pivô nu

lo, deve se processar uma troca de linhas.

Exemplos de programas existem em livros textos,

como do Pacitti & .. Atkinson 120

1 ou Carnahan et. al / 21 /.

Dispõe o usuãrio da rotina DGELG (precisão du

pla) que resolve um sistema de equações por eliminação de Gauss

e podem ser imediatamente empregadas.

_ l 4

entre 10

Para a rotina DGELG, uma tolerãncia prê-fixada - 1 6

10 ê usada.

Estas rotinas sao parte de uma biblioteca de

programas denominado SSP/IBM 1 22 J, atualmente em uso no nu­

cleo de Computação Eletrônica (N.C.E.) da UFRJ.

73

APÊNDICE 6

DEMONSTRAÇÕES AUXILIARES

Para a equaçao (22) que é a equaçao da energia,

em formas de diferenças finitas impl1citas, escreve-se

u J , I ( e J+ l , I - e J , I )

11 X

+ V J,I (eJ+l, I+l - 8J+l, I-1)

2 11 Y

=

_l_ [ ( 8J+l, I+l

Pr

- 2 e J+ l , I

(!1Y)2

+ e J+ l , I -1 ) J ( l O 9)

Em função dos termos dependentes da temperatura,

reagrupa-se a equaçao acima na forma,

8J+l, I+l

V ( J,I) -

211 Y 8J+l, I+l

2 8J+l, r (----) = 8J;I

+ e J+ 1 , I - l V J, I

26Y

(-,-) Pr

+ U J, I

8J+l,I( ) + /1X

U I l (-J'-) + 8 J+l, 1-1 (---

11x Pr(11Y) 2

/ 1 l O )

Identificando os coeficientes:

74

V J, I u e J+ l , I + l (

_, ) e J+ 1 , I

J I 2 )= - + (--'- + •

2r,,y P r r,,x Pr(!',Y)2

Cr Br

u eJ,I( ,I)

r,, X

+ V J, I

8J+l, r-1 ( + ---) 2r,, y

( 111 )

Pr (!',Y) 2

ºr -- Ar--

Resulta:

CI VJ,I (2 r,, Y)-l -1

= Pr

BI = U J , I (r,, X f l + 2 (Pr • (!',Y) ) - 1

(112)

ºr = eJ I ( U J I ) (r,,X)-1 , ,

AI = V J I (2r,,Y)-l + (Pr (!',V) 2 )-l

,

A equaçao da energia agora pode ser escrita de

modo simplificado,

e e + e . Br = ºr + eJ+l , r-1 J+l, l+l. I J+l,l ( 113)

Que generalizando para todo I (fixado J) fica:

75

8J+l, I+2 . CI+l + 8J+l, I+l = 0r+1 + 8J+l,I

8J+l, I+3 . CI+2 +

8J+l, !+2 . 81+2 = 0 r+2 + 8J+l, I+l .. A I+2

e J+ 1 , I +k . CI+ K-1 + 8J+l, I+K-1 . 8r+k-1 = 0 r+K-l + 8J+l ,I+K-2 . AI+K-1

8 J+l, I+N . cl+N-1 + e J+l ,I+N-1 · 81+N-l = 01+N-l + 8J+l ,I+N-2 . AI+N-1

Em forma matricial:

BI+l CI + 1 o o . o e cY-1, I+l 0

r+1 +eJ+l,I . AI+ 1

AI+2 81+2 CI+2 o .... o e

J+l, I+2 0r+2

AI+3 8I+3 CI +3 . . . O e 0r+3 J+l, !+3

=

e J+l ,I+N-2 Dl+N-2

o .. o e J+ l, l+N-1

01+N-l+ 8J,l,l+N-2· .Ar+N-1

76

Para a equaçao da quantidade de movimento faz-

-se novamente um procedimento idêntico:

( U J+ 1 , I - U J , I ) +

t:,X

V ,l ' I (U,:J+l, !+l - U 1-1) J + 1 ' +

2 !:, y

- UJ+l, l+l + 2 UJ+l, I - UJ+l, 1-1

( !:, y) 2

PJ l - p. =8 ( + J) J+l, I -

r:,x

( 11 5)

Pondo em evidência os termos contendo a vel oci

dade U:

u u U ( J,I) U ( J,I) + J+l,I --- - J,I

V U ( .. J' I

J+ 1 , I + l r:,x r:,x 2!:, y

V U ( J' I

- J+l, 1-l UJ+l, l+l 2!:, y ( !:, y )2

UJ+l, I. 2

- U J+ 1 , 1- l l

-- + PJ+l (t:,Y 'f (t,Y) z

Identificando os coeficientes:

U I 2 UJ+l ,1 (~ + --) +

t:,X ( !:, y )2

. V J 'I UJ+l, l+l (

2 r:,y

t:,X

+

P. e _J_ J+ l , I +

t:,X

( 11 6)

1

( !:, y) 2

--F1--- ----GJ -----

FI

GI

EI

KI

H

-V + u ( J,l

J+l,l-1 2tiy -1

+--)= uJ,r (tiY)2

77

u ( J • I

ti X

. PJ + --) + 8J+ 1 I - p J+ 1

tiX '

-----KI ----

Resulta:

= uJ,r tiX- l 2 (tiY)-z

= vJ,I (2tiY)-l (tiY)- 2

= V J 'l

(2 tiY)-l + (tiY)-z

= uJ,r ( U J ' I (ti X ) - l ) + PJ . tiX-l + e J+ 1, I

= ti X - l

1

ti X

( 11 7 )

( 11 8 )

A equaçao da quantidade de movimento pode ser

escrita na forma matricial:

78

F I+l GI+l o . . . o H UJ+l ,I+l

El+2 FI+2 GI+2 o . . o H UJ+l ,!+2

o E!+3 FI+3 GI+3 o . . o H

o

=

EI+N-2 FI+N-2 GI+N-2 H UJ+l,I+N-2 KI +N- 2

o . . EI+N-2 FI+N-1 H UJ+l, I +N-1 KI+N-1

1 1 . . . 1 1 o PJ+l (N+l) U0

( 11 9)

Acresceu-se na matriz da equaçao do movimento, a

equaçao integral da continuidade, de forma que o numero de i n-

cõgnitas iguala-se ao numero de equações disponíveis para cãlcu

lode UJ+l,I+l' ....... ,UJ+l,I+K' .... UJ+l,I+N-1 e

PJ+l

A equaçao da continuidade em forma de diferenças

-finitas e escrita:

+ VJ+l ,I+l - VJ+l, I

t, y = o

( 1 20)

79

Identificam-se imediatamente os coeficientes:

(-,-) e_:_!_ l u I - U J, I

V J+ l ' + V J+ l , I J+ l ' (l 21) I+l =

ti y ti y ti X

-wr- -Sr- Rr

Logo em forma matricial resulta:

o VJ+l,I+l

o o VJ+l,!+2

= ( 122)

o VJ+l, l+N-1

com os seguintes componentes:

WI ' = 6 y -1

SI = - (tiY)-l ( l 2 3)

=

80

APtNDICE 7

CALCULO DA EFICitNCIA

Definindo a eficiência do sistema como a razao

entre o calor total transferido ao fluido, e a quantidade de ca

lor recebida têm-se

n = qT / Is ( l 2 4 ) X

onde qT e dado ser, X

q T X

= p CP tb u (T-T0)dy ( l 2 5)

para uma particular posição x no interior do canal. A saída

do mesmo, X = .Q, •

A equaçao ( l 2 5) em forma adimensional e escrita

qTx 1

QTx = b t ued y ( l 2 6) = P c P v2Gr(T-T

0)

Logo, pode-se verificar que ter-se-ão eficiên-

cias maiores conforme se tenha gradientes de temperaturas maio

res ã saída do canal, e tais situações ocorrem quando altas va

zões são impostas ã entrada do canal.

81

APl'.NDICE 8

FLUXOGRAMA E LISTAGEM

82

APtNDICE 8

FLUXOGRAMA E LISTAGEM

Segue-se o algoritmo básico do metodo

de diferenças finitas utilizado.

I

Leitura dos dados de entrada

rh' 0o• Pr

DX , DY

I=2, l, N-1

Equação da Energia

2

numerico

83

COEFICIENTES COMO

AGRUPADOS NO PROGRAMA

A ( J ) = - V ( J, I ) / ( 2* t,Y)

- (PR* 11 Y ** 2) ( ** - l )

B{J) = U{ J,I) / (6 X)

+ ( 2* ( ( PR* 6 Y** 2 )

(** -1))

D{J) = {U(J,I) / (11X)*

TETA (,l,I)

C{J) = V (,J,I) /{2*6Y)

- {PR* (11 Y**2 ) ) ( ** -1 )

/ ROTINA

GAUSS

Equação da

Quantidade de Movimento -X

3

84

COEFICIENTES COMO AGRUPADOS NO PROGRAMA

AAl (J) = -V ( J , I ) / (_2* 6 Y)

- (6V**2) (_**-1)

CCl (J) = V(J,I) /6X + 2* ( 6 Y**2)

C**-1)

BBl (J) = U(J,I) /6X +

2*((6Y**2) (**-1)

F ( J) = (U(J,I)**2)/6X +

P(J,I)/6X + TETA (,1-1,I)

E =6X (**-1)

EQUAÇ~O DA QUANTIDADE

DE MOVIMENTO - y

H (J) = T G (a) * 6 y *

TETA ( ,1 + 1 , I) / G r

85

EQUAÇ/10

INTEGRAL DA

CONTINUIDADE

(6Y/3*6X) * (U(J+l,1)+4*U(J+l,2)+

+ 2 * U(,l+l ,3) + 4* U(j+l ,4) + ... +

+U(cl+l,N)-U(J, l) + 4*U(J,2) + 2* U (J,3)+

+ 4 * U (J , 4) + . . . + U ( J, N)) = O

3

EQUAÇ/10 DA

CONTINUIDADE p ::: o

s U(J,I),V(J,I) 1----,TETA (J,I)

P(J,I) N

2 l--------1 D X = DX +DELTA F

FUNÇ/10 SIMPSON

86

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87

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b

g

K

Pa

p*

qp

qrv -+ p +

qv

rb

rH

u

V

A V 'p

94

NOMENCLATURA

largura do coletor

capacidade especifica de calor do fluido

constante de gravitação

coeficiente mêdio de transferência de calor para o ar

condutividade têrmica do fluido

comprimento do coletor

pressao hidrostãtica ambiente

pressao induzida do fluido

fluxo de calor convectivo da placa para o fluido

fluxo de calor radiativo entre o vidro e placa metãlica

fluxo de calor convectivo do vidro para o fluido

razao entre as dimensões do cal etor, definido como b/Q,

razao entre os fluxos convectivos das placas para o

fluido, definido como qv/qp

componente axial da velocidade do fluido

velocidade uniforme de entrada no canal

componente transversal da velocidade do fluido

areadas paredes

B

Gr

L

Nr

Pr

p

Ra

T

u

V

95

distância adimensional entre as paredes

potências emissivas das paredes, vidro e

metâlica, por faixa monocromâtica

p 1 a ca

numero de Grashof

nível de insolação

altura adimensional do coletor

numero de Radiação

numero de Prandtl

pressao adimensional induzida

fluxo de calor radiativo do vidro para meio ambiente

fluxo de calor convectivo do vidro para o meio ambiente

numero de Rayleigh, definido como Pr. Gr

temperatura do fluido

temperatura ambiente

componente adimensfonal axial da velocidade

componente adimensional transversal da velocidade

ângulo de inclinação

absortividades monocromâticas para as placas

vidro e metal, respectivamente

de

J3

e

µ

V

p

(J

(J , (J X y

TYX , T XY

!::,x , t,y

e

96

coeficiente de expansividade do fluido

emissividades monocromãticas para as placas

vidro e metal, respectivamente

temperatura adimensi onal

viscosidade do fluido

de

difusividade molecular do fluido, definida como µ/Q,

densidade do fluido

constante de Stefan - Boltzmann

tensões normais as direções x ey respectivamente

tensões de cisalhamento

intervalos finitos nas coordenadas x e y, res­

pectivamente

energia interna espec1fica por unidade de massa

temperatura mãxima

fluxo de calor total transferido ao fluido

posição X

na

fluxo de calor total adimensional transferido ao

fluido na posição X

97

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