PGMEC · que os modelos propostos aqui são os únicos ﬁsicamente realísticos que prevêm ondas de calor de velocidade ﬁnita. O principal objetivo é mostrar abordagens alternativas

PGMECPÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MECÂNICAESCOLA DE ENGENHARIAUNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE

Dissertação de Mestrado

POSSIBILIDADE DE DESCREVER A

CONDUÇÃO DE CALOR

HIPERBÓLICA USANDO A EQUAÇÃO

CONSTITUTIVA DE FOURIER

RODRIGO ARAUJO CARDOSO DIAS

JULHO DE 2011

RODRIGO ARAUJO CARDOSO DIAS

POSSIBILIDADE DE DESCREVER A CONDUÇÃODE CALOR HIPERBÓLICA USANDO A

EQUAÇÃO CONSTITUTIVA DE FOURIER

Dissertação apresentada ao Programa de Pós-graduação em Engenharia Mecânica da UFFcomo parte dos requisitos para a obtenção dotítulo de Mestre em Ciências em EngenhariaMecânica

Orientador(es): Heraldo Silva da Costa Mattos, Ph.D.

UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE

NITERÓI, JULHO DE 2011

POSSIBILIDADE DE DESCREVER A CONDUÇÃODE CALOR HIPERBÓLICA USANDO A

EQUAÇÃO CONSTITUTIVA DE FOURIER

Esta dissertação foi julgada adequada para a obtenção do título de

MESTRE EM ENGENHARIA MECÂNICA

na área de concentração de Mecânica dos Sólidos, e aprovada em sua formafinal pela Banca Examinadora formada pelos membros abaixo:

Heraldo Silva da Costa Mattos, D.Sc (Orientador)Universidade Federal Fluminense – PGMEC/UFF

Rogério M. Saldanha da Gama, D.ScUniversidade Estadual do Rio de Janeiro – UERJ

Maria Laura Martins Costa, D.ScUniversidade Federal Fluminense – PGMEC/UFF

Roney Leon Thompson, D.ScUniversidade Federal Fluminense – PGMEC/UFF

Agradecimentos

Agradeço em primeiro lugar a Deus pelo cuidado e força que tem me dado em

todas as etapas da minha vida. Agradeço a minha família que também, sem sombra

de dúvidas, tem mérito nessa minha conquista. Agradeço a minha Lorena, por ser a

parte mais alegre da minha vida. Você me dá força pra continuar conquistando meus

objetivos.

Ao meu orientador, professor Heraldo Silva da Costa Mattos, meus sinceros agradec-

imentos. Pelas idéias, pelo tempo gasto comigo, pela motivação nesse projeto. Agradeço

a todos os professores do Laboratório de Mecânica Teórica Aplicada, vocês me aju-

daram e continuam ajudando na minha formação.

A todos os amigos do LMTA que participaram direta ou indiretamente da minha

dissertação.

iv

Resumo

A equação linear de condução de calor clássica é parabólica em termos do campo

de temperatura. Embora essa equação parabólica leve a uma descrição adequada da

condução de calor na maioria das aplicações de engenharia, esta prevê uma velocidade

de onda de calor infinita, o que é fisicamente impossível. Vários modelos alternativos

têm sido propostos a fim de contabilizar uma velocidade finita de onda de calor. Geral-

mente os modelos tentam substituir a lei de Fourier clássica. Alguns deles violam

claramente a segunda lei da termodinâmica, já que preveem o fluxo de calor indo de

regiões de menor temperatura para regiões com maior temperatura durante um período

de tempo finito. Para alguns deles é extremamente difícil assegurar que a segunda lei da

termodinâmica é satisfeita em todos os processos. O objetivo desse estudo é discutir

se uma formulação termodinamicamente adequada pode levar a uma equação hiper-

bólica de condução de calor, mesmo se a lei de Fourier for levada em consideração.

Essa equação hiperbólica só é encontrada se uma abordagem diferente da abordagem

clássica da termodinâmica, ou seja, usando desigualdade de Clausius Duhem, for feita.

Caso contrário, a equação encontrada para o calor será elíptica em relação ao tempo.

v

Abstract

The classical linear equation for heat conduction is a parabolic equation in terms of

the temperature field. Although this parabolic equation leads to an adequate descrip-

tion of heat conduction in most engineering applications, it predicts an infinite wave

speed of heat conduction what is physically unrealistic. Various alternative models

have been proposed to lead to a finite thermal wave speed. Generally they try to re-

place the classical Fourier Law. Some of them clearly violate a notion of the second

law of thermodynamics since the heat may flow from regions of lower temperature to

regions of higher temperature during finite time periods. For some of them it is very

difficult to assure the resulting governing equations are thermodynamically admissi-

ble. The goal of the present study is to discuss if an adequate e formulation of the

thermomechanical couplings may lead to a thermodynamically admissible hyperbolic

heat equation even if the Fourier Law is taken into account. This hyperbolic equation

is only found if a different approach to the classical approach of thermodynamics, ie,

using the Clausius Duhem inequality, is made. Otherwise, the equation found for the

heat will be elliptical.

vi

Sumário

Agradecimentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iv

Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . v

Abstract . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vi

Nomenclatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ix

1. Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

2. Primeira e Segunda Lei da Termodinâmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.1 Primeira Lei da Termodinâmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.2 Segunda Lei da Termodinâmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3. Equação de Calor Hiperbólica usando a Equação de Cattaneo . . . . . . . 11

3.1 Hipóteses Constitutivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3.2 Desenvolvimento Teórico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3.3 Equação do Calor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3.4 Função de Dissipação e Energia Livre de Helmholtz . . . . . . . . . . . 16

4. Equação de Calor Hiperbólica Geral usando a Equação de Cattaneo Obje-

tiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

4.1 Derivadas Temporais Objetivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19



4.4 Equação do Calor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24


5. Equação de Calor usando a Lei de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28



vii

Sumário viii

5.3 Equação do Calor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31


6. Equação de Calor Geral usando a Lei de Fourier . . . . . . . . . . . . . . 37



6.3 Equação do Calor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40


7. Conclusões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

A. Conceitos Importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

A.1 Objetividade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

A.2 Funções Convexas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

A.2.1 Definição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

A.2.2 Propriedades Básicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

Nomenclatura

τ Tempo de Relaxação Térmico

c Calor específico

ρ Massa específica

θ Temperatura

θ Derivada Primeira da Temperatura

θ Derivada Segunda da Temperatura

ψ Energia Livre de Helmhotz

φ Potencial de Dissipação

p Pressão

U Energia Interna

e Energia Interna Específica

S Entropia

s Entropia Específica

K Energia Cinética

Ph Potência não Mecânica

Pext Potência da Forças Externas

H1 Variação da Entropia devido a dissipação interna

H2 Fluxo de entropia pelo Contorno

H3 Fonte de Entropia

r Geração de Calor

k Condutividade Térmica

r Fonte de calor por unidade de massa

Vetores e tensores

q Vetor Fluxo de Calor

ix

Nomenclatura x

T Tensor Tensão

σ Tensor ExtraTensão

D Parte Simétrica do Gradiente de Velocidade

W Parte Não Simétrica do Gradiente de Velocidade

Capítulo 1

Introdução

O objetivo do presente trabalho é discutir se uma adequada formulação termo-

mecânica pode levar a uma equação do calor hiperbólica mesmo se usarmos a lei de

Fourier. O objetivo do trabalho não é afirmar que os outros modelos estão errados e

que os modelos propostos aqui são os únicos fisicamente realísticos que prevêm ondas

de calor de velocidade finita. O principal objetivo é mostrar abordagens alternativas

que não podem ser desprezadas em futuros estudos experimentais.



condução de calor na maioria das aplicações de engenharia, esta prevê uma veloci-

dade de onda de calor infinita, o que é fisicamente inadequado. Situações envolvendo

intervalos de tempo muito pequenos, gradientes térmicos extremos ou temperaturas

próximas ao zero absoluto podem levar a uma velocidade de onda de calor finita. Con-

sequentemente, qualquer pertubação externa ao corpo é instantâneamente sentida pelo

corpo todo. Velocidades de ondas térmicas finitas precisam ser consideradas no estudo

de dispositivos microeletrônicos tais como chips IC [1], no uso de fontes de calor tais

como lasers e microondas e na pesquisa científica (por exemplo, na medição das pro-

priedades físicas de filmes finos, exibindo a dinâmica de transporte microscópico de

calor). Lasers e microondas são usados em inúmeras aplicações relacionadas ao pro-

cessamento de materiais como por exemplo, no recozimento superficial, na soldagem

1

1. Introdução 2

e furação de metais e na sinterização de cerâmicas [2]. Em aplicações que envolvam

altas taxas de aquecimento induzidas por um pulso de laser, o tempo de resposta típico

é da ordem de picosegundos [3–6]. Lasers são também rotineiramente utilizados na

medicina.

Vários modelos alternativos têm sido propostos para obter uma velocidade finita

de onda térmica. Geralmente eles tentam substituir a equação clássica de Fourier da

condução de calor. Alguns deles violam claramente a noção da segunda lei da ter-

modinâmica, pois o calor pode fluir de regiões de baixas temperaturas para regiões de

temperaturas altas durante períodos de tempo finito. Para alguns deles, é muito difí-

cil assegurar que as equações resultantes são termodinamicamente aceitáveis. Alguns

modelos também não levam em consideração o princípio da objetividade.

Vernotte [7] e Cattaneo [8], baseados no conceitos de transmissão de calor por

ondas, introduziram independentemente uma equação alternativa com o objetivo de

descrever os problemas que envolvam altas taxas de mudança de temperatura, fluxo

de calor em um período de tempo muito curto ou de temperaturas muito baixas, ou

seja, temperaturas perto do zero absoluto. Após os trabalhos pioneiros de Vernotte

e Cattaneo, uma série de contribuições de pesquisa têm sido dedicadas ao estudo de

problemas envolvendo condução de calor hiperbólica [6, 9–19].

A equação mais aceita para a transferência de calor hiperbólica, escrita em termos

de temperatura absoluta θ é dada por:

ρc(θ+τθ) =∇· (k∇θ) (1.1)

Onde ρ é a massa específica, c é o calor específico por unidade de massa e τ um

parâmetro material não negativo. Classicamente, esta equação é obtida considerando-

se a seguinte equação constitutiva:

q+τq=−k∇θ (1.2)

Onde q é o vetor fluxo de calor, e k é a condutividade térmica. Sendo q a derivada

1. Introdução 3

material de q.

Embora a equação (1.1) pareça fisicamente adequada, a equação (1.2) é fisicamente

inadequada, uma vez que não respeita o princípio da objetividade material. O uso da

equação (1.2) é restrito, já que a derivada material temporal de uma grandeza vetorial

(como o vetor fluxo de calor) não é necessariamente objetiva. Por isso, é necessário

substituir a derivada material temporal em (1.2) por algum tipo especial de derivada no

tempo, a fim de garantir a objetividade. Um grande número de definições de derivadas

temporais objetivas podem ser encontradas na literatura (Jaumann, Truesdell, Cotter-

Rivling, etc). Para uma discussão mais aprofundada ver, por exemplo, [20] e [21]. A

escolha de uma derivada particular é muito importante e pode ser interpretada como

uma hipótese constitutiva [22].

Não é o objetivo principal do presente trabalho discutir as correções possíveis a

serem feitas em (1.2) a fim de satisfazer o princípio da objetividade material (uma

discussão interessante pode ser encontrada, por exemplo em [14]). O presente estudo

demonstra que uma adequada formulação termomecânica pode levar a uma equação

de calor semelhante a (1.1) mesmo que a lei de Fourier seja considerada. O objetivo

do trabalho não é dizer que os outros modelos estão errados e que os modelos aqui

propostos são os únicos fisicamente realistas que prevêm ondas de calor com veloci-

dade finita. O objetivo principal é mostrar uma abordagem alternativa que não pode

ser negligenciada em futuros estudos experimentais.

Capítulo 2

Primeira e Segunda Lei da Termodinâmica

2.1 Primeira Lei da Termodinâmica

A estrutura básica termodinâmica e as principais definições necessárias para a

análise são resumidas nesta seção. A fim de apresentar os argumentos teóricos for-

mais, considera-se como sistema uma parte arbitrária P de um corpo B , que ocupa

uma região Pt ⊂ R em cada instante t do tempo. Por definição, o contorno da região

Pt será chamada de ∂Pt .

Notando U (Pt ), K (Pt ), Pext (Pt ) e Ph(Pt ), respectivamente, a energia interna, a

energia cinética, o potência das forças externas e a potência não mecânica (calor) do

sistema Pt no instante t , a primeira lei da termodinâmica (PLT), pode ser expressa da

seguinte maneira:

dU (Pt )

dt+ dK (Pt )

dt= Pext (Pt )+Ph(Pt ) (2.1)

Onde:

U (Pt ) =∫

Pt

(ρe) dV (2.2)

4

2. Primeira e Segunda Lei da Termodinâmica 5

K (Pt ) = 1

2

∫Pt

ρ(v ·v) dV (2.3)

Pext (Pt ) =∫∂Pt

(f ·v) dA+∫

Pt

(b ·v) dV (2.4)

Ph(Pt ) =−∫∂Pt

(q ·n) dA+∫

Pt

(ρr ) dV (2.5)

Onde ρ é a massa específica, e a energia interna por unidade de massa, v a velocidade,

f a força de contato aplicada ao contorno ∂Pt , b a força de corpo aplicada em Pt , q o

vetor fluxo de calor, n a normal exterior à superfície ∂Pt e r uma fonte de calor por

unidade de massa e unidade de tempo. Se o princípio da potência virtual é levado em

conta, a seguinte relação vale:

dK(P,t )

dt= Pi nt (Pt )+Pext (Pt ) (2.6)

Onde:

Pi nt (Pt ) =−∫

Pt

(T : ∇v) dV (2.7)

Sendo T o tensor tensão de Cauchy. A partir de (2.1) e (2.6) pode-se chegar à primeira

lei da termodinâmica na forma:

dU (Pt )

dt=−Pi nt (Pt )+Ph(Pt ) (2.8)

Sob a hipótese de regularidade, usando a conservação de massa:

ρ+ρ∇·v= 0 (2.9)

Usando a simetria do tensor tensão de Cauchy, é possível obter a forma local clássica


da equação da primeira lei:

ρe =−∇·q+T : D+ρr (2.10)

Onde e denota a derivada material de e. O tensor D representa a parte simétrica do gra-

diente de velocidade sendo usualmente chamado de tensor taxa de deformação. Outra

alternativa de expressar a primeira lei da termodinâmica é introduzindo o conceito de

balanço de entropia. Nesse caso, a entropia e a temperatura absoluta são introduzidas

como quantidades primitivas. Denotando S(Pt ), H1(Pt ), H2(Pt ) e H3(Pt ), respectiva-

mente como a entropia do sistema, a variação de entropia devido aos mecanismos de

dissipação interna, o fluxo de entropia pelos contornos e a fonte de entropia, é possível

escrever:

dS(Pt )

dt= H1(Pt )+H2(Pt )+H3(Pt ) (2.11)

Onde:

S(Pt ) =∫

Pt

(ρs) dV (2.12)

H1(Pt ) =∫

Pt

d

θdV (2.13)

H2(Pt ) =−∫∂Pt

q ·nθ

dA (2.14)

H3(Pt ) =∫

Pt

ρr

θdV (2.15)

Onde s é a entropia por unidade de massa, θ a temperatura absoluta e d a taxa de

dissipação de energia por unidade de volume. Usando a equação da conservação da

massa e a simetria do tensor das tensões de Cauchy, é possível provar que d deve ter a


seguinte forma:

d = T : D −ρ (e − sθ)− 1

θq ·∇θ (2.16)

2.2 Segunda Lei da Termodinâmica

Se a PLT através de um balanço de energia, indica a possibilidade da transformação

de calor em trabalho e vice-versa, a segunda lei da termodinâmica (SLT) distingue os

processos fisicamente possíveis dos processos fisicamente impossíveis.

Neste trabalho será adotada uma versão da SLT onde os conceitos de temperatura

absoluta θ e entropia s são introduzidos como quantidades primitivas. Ao contrário do

conceito de energia interna, definido na PLT, a entropia não é facilmente associada a

conceitos físicos.

Para um sistema qualquer, a SLT pode ser expressa como:

H1(Pt ) ≥ 0 ∀t =⇒ d ≥ 0 ∀ t (2.17)

A segunda lei da termodinâmica estabelece uma distinção entre os processos possíveis

(d ≥ 0) e os impossíveis (d < 0). A desigualdade clássica de Clausius-Duhen, ou seja,

uma versão local da SLT, é obtida através da introdução da energia livre de Helmholtz

ψ por unidade de massa em (2.16):

ψ= e −θs (2.18)

d = T : D−ρ (ψ+ sθ

)− 1

θq ·∇θ ≥ 0 ∀t (2.19)

Os processos possíveis podem ser reversíveis (a taxa de dissipação de energia d é

sempre igual a zero) ou não. Esta versão local do SLT não exclui a possibilidade

de comportamentos incomuns, tais como uma diminuição da temperatura se o calor

for adicionado ao meio. Para excluir esse tipo de possibilidade, no presente trabalho


considera-se apenas materiais que sempre satisfazem a restrição:

d1 = T : D −ρ (ψ+ sθ

)≥ 0 (2.20)

d2 =−1

θq ·g ≥ 0 (2.21)

Denotando:

g =∇θ (2.22)

Obviamente, se as relações acima forem satisfeitas, então a versão local da SLT apre-

sentada na equação (2.16) também será satisfeita. Também é simples verificar que a

equação (2.21) leva à desigualdade clássica da condução de calor, já que a temperatura

absoluta θ é uma quantidade positiva.

q ·g ≥ 0 (2.23)

Esta relação implica que o calor se propaga no sentido da diminuição da temperatura

quando q é paralelo ao gradiente de temperatura. A quantidade d1, definida em (2.20),

é geralmente chamada de dissipação intrínsica e a quantidade d2, definida em (2.21),

de dissipação térmica.

Pode-se chegar a segunda lei da termodinâmica através das definições de S(Pt ),

H2(Pt ) e H3(Pt ):

S(Pt ) =∫

Pt

ρs dV (2.24)

H(Pt ) = H2(Pt )+H3(Pt ) (2.25)


H(Pt ) =−∫Γt

(q ·n)

θdS +

∫Pt

ρr

θdV (2.26)

dS(Pt )

d t≥ H(Pt ) (2.27)

Usando o Teorema de Transporte de Reynolds, a SLT e o teorema de Green, é possível

escrever a forma local da SLT:

ρ s ≥−∇·(qθ

)+ρ r

θ(2.28)

E sabendo que:

∇·(qθ

)= ∇·q

θ− q ·g

θ2(2.29)

Temos que:

ρθs +∇·q− 1

θq ·g −ρr ≥ 0 (2.30)

Uma expressão alternativa, conhecida como a forma reduzida da SLT, é obtida combinando-

se a forma local da PLT com a forma local da SLT:

T : D−ρ [e −θs]− 1

θq ·g ≥ 0 (2.31)

Como será visto, é interessante introduzir a Energia Livre de Helmholtz, definida da

seguinte maneira:

ψ= e −θs (2.32)

Introduzindo a definição (2.32) na expressão (2.31), obtém-se a desigualdade de Clausius-


Duhem:

d = T : D −ρ [ψ+ sθ

]− 1

θq ·g ≥ 0 (2.33)

É importante notar que restrições a esta versão local da SLT foram feitas por Green e

Naghdi [1970]. Eles mostram que (2.33) não exclui a possibilidade de comportamentos

inadmissíveis como uma temperatura decrescente se calor for cedido ao meio. Para

excluir a possibilidade desse tipo de comportamento, neste trabalho serão considerados

materiais que sempre satisfazem a restrição:

d1 = T : D−ρ [Ψ+ sθ

]≥ 0 (2.34)

d2 =−1

θq ·g ≥ 0 (2.35)

Onde d2 será chamado de dissipação térmica e d1 de dissipação intrínseca. Obvia-

mente, se (2.34) e (2.35) são satisfeitas então (2.33) é também satisfeita. É simples

de verificar que a segunda desigualdade em (2.33) implica na clássica desigualdade da

condução de calor −q ·∇θ ≥ 0 , já que a temperatura absoluta é uma grandeza sempre

positiva.

Capítulo 3

Equação de Calor Hiperbólica usando a Equação de

Cattaneo

Será desenvolvido uma construção teórica termodinâmica com o objetivo de deixar

claro os passos das hipóteses constitutivas do presente trabalho. A hipótese de peque-

nas transformações será usada nesse capítulo. Considera-se pequenas transformações

quando a configuração de referência pode ser confundida com a configuração atual.

Isso é feito para que a derivada material possa ser usada sem violar o princípio da ob-

jetividade. As escolhas constitutivas durante esse capítulo serão feitas de maneira que

a equação encontrada no final do processo deve ser a equação hiperbólica de Cattaneo

conhecida na literatura como sendo:

ρc(θ+τθ) =∇· (k∇θ) (3.1)

Manipulações algébricas serão feitas na forma local da PLT com o objetivo de ter

a dissipação intrínseca na equação da primeira lei:

ρe =−∇·q+T : D+ρr (3.2)

11

3. Equação de Calor Hiperbólica usando a Equação de Cattaneo 12

Reorganizando os termos:

∇·q= (T : D−ρe)+ρr (3.3)

Introduzindo a definição de dissipação intrínseca:

d1 = T : D −ρ (ψ+ sθ

)(3.4)

Ou o que é equivalente:

d1 = T : D −ρ (e − sθ) (3.5)

É possível substituir o termo (T ·D−ρe) na equação da energia (3.3), obtendo-se a

seguinte forma alternativa da primeira lei:

∇·q= d1 −ρθs +ρr (3.6)

3.1 Hipóteses Constitutivas

Uma metodologia será usada com o objetivo de encontrar a equação hiperbólica

do calor usando a equação de Cattaneo. Essa metodologia será feita em todo o tra-

balho e utilizada aqui para que algumas simplifações do uso da equação constitutiva

de Cattaneo sejam verificadas. As três hipóteses constitutivas são:

1. A equação de Cattaneo é válida para relacionar o fluxo de calor com a temper-

atura do corpo. O uso da derivada material na equação constitutiva do calor só

é válida se o problema estudado for simplificado para o caso de pequenas trans-

formações.

q+τq=−k∇θ (3.7)

Embora a equação de Cattaneo viole o princípio da objetividade e por isso os

problemas aplicados a esse caso precise ser simplificado a problemas de peque-


nas transformações é necessário verificar se existe uma outra restrição para o seu

uso. Quando a segunda lei da termodinâmica é aplicada em termos da dissipação

térmica.

d2 =−1

θq ·∇θ ≥ 0 (3.8)

d2 = q ·[q+τq

k

]≥ 0 (3.9)

Isso significa que os vetores q e (q+τq) precisam estar sempre no mesmo semi

espaço, ou seja, o ângulo entre eles precisa ser sempre menor do que noventa

graus.

2. A Energia Livre de Helmholtz é uma função diferenciável apenas da temperatura

absoluta.

ψ= ψ(θ) (3.10)

3. A escolha da função dissipação d1:

d1 = φ= 0 (3.11)

A escolha dessa função para a função dissipação não viola a restrição da termod-

inâmica (d1 ≥ 0), sendo assim uma escolha adequada.

A teoria constitutiva é definida postulando-se dois potenciais termodinâmicos: a

energia livre de Helmholtz ψ e o potencial de dissipação φ.


3.2 Desenvolvimento Teórico

No presente capítulo considerar-se-á fluidos incompressíveis não viscosos:

T =−p I (3.12)

Onde p é a pressão hidrostática que é um multiplicador plástico associado a restrição

de incompressibilidade (∇·v= tr (D) = 0). Sabendo-se que:

T : D=−p · I : D=−p · tr (D) = 0 (3.13)

No presente estudo os efeitos externos de qualquer tipo de fonte de calor não será

levado em consideração, então:

r = 0 (3.14)

Usando a hipótese fluidos incompressíveis não viscosos chega-se na forma da dissi-

pação intrínseca:

d1 = T : D −ρ (ψ+ sθ

)(3.15)

d1 =−ρ (ψ+ sθ

)(3.16)

E como para esse caso temos a função potencial de dissipação igual a zero, ou seja,

usando a hipótese constitutiva 3:

d1 =−ρ(∂ψ

∂θθ+ sθ

)= 0 (3.17)

−ρ(∂ψ

∂θ+ s

)θ = 0; ∀ θ (3.18)


Logo, a seguinte relação constitutiva é obtida para a entropia:

s =−∂ψ∂θ

(3.19)

3.3 Equação do Calor

Aplicando as hipóteses feitas sobre o tipo de material e não considerando fontes de

calor externas na equação alternativa da energia:

∇·q= d1 −ρθs +ρr (3.20)

∇·q=−ρθs (3.21)

Introduzindo a equação (3.19):

∇·q=−ρθ(−∂

2ψ

∂θ2θ

)(3.22)

Reorganizando:

ρ

(−θ∂

2ψ

∂θ2

)θ =−∇·q (3.23)

Definindo com calor específico:

c =−θ∂2ψ

∂θ2(3.24)

Aplicando a hipótese constitutiva número 1:

ρcθ =−∇·q (3.25)

q+τq=−k∇θ (3.26)


Aplicando o divergente na equação (3.26) tem-se que:

∇·q+∇· (τq)=∇· (−k∇θ) (3.27)

−ρcθ+∇· (τq)=∇· (−k∇θ) (3.28)

Multiplicando a equação (3.25) por τ e aplicando a derivada material na mesma tem-se

que:

ρc(θ+τθ)=∇· (k∇θ) (3.29)

3.4 Função de Dissipação e Energia Livre de Helmholtz

Com o objetivo de encontrar o valor do calor específico é necessário escolher a

forma da função da energia livre de Helmholtz. Uma forma particular dessa função

para que o calor específico seja constante:

ψ(θ) = ψ0 −∫ θ

θ0

π1log (ξ)dξ (3.30)

A forma da função dissipação:

φ= 0 (3.31)

Calculando as derivadas da função energia livre é encontrado:

∂ψ

∂θ=−π1

[log (θ)− log (θ0)

](3.32)

∂2ψ

∂θ2=−π1

1

θ(3.33)

c =−θ∂2ψ

∂θ2=−θ

(−π1

1

θ

)(3.34)


O calor específico proposto é constante:

c =π1 (3.35)

Fazendo π1 = c apenas para que a equação encontrada tenha a mesma forma da equação

da condução de calor hiperbólica:

ρc(θ+τθ)=∇· (k∇θ) (3.36)

Capítulo 4

Equação de Calor Hiperbólica Geral usando a Equação

de Cattaneo Objetiva

O presente capítulo tem como objetivo o estudo de condições termodinâmicas su-

ficientemente consistentes para a modelagem da transferência hiperbólica de calor em

fluidos newtonianos generalizados. O objetivo é estender a equação bem conhecida

de Cattaneo a fim de verificar automaticamente o princípio da objetividade material.

A escolha de uma derivada objetiva pode ser interpretada como uma hipótese con-

stitutiva. Tal procedimento permite uma identificação dos termos responsáveis pelo

acoplamento termomecânico na equação do calor. Esse é o primeiro passo para um

melhor entendimento do acoplamento no comportamento do fluido.

A escolha de dois potenciais e de uma derivada temporal objetiva é suficiente para

definir um conjunto de equações constitutivas objetivas e termodinamicamente admis-

síveis. Um procedimento geral é apresentado e desenvolvido dentro de um quadro

termodinâmico de processos irreverssíveis. Esse procedimento apresenta condições

suficientes para satisfazerem a versão local da segunda lei da termodinâmica. O ob-

jetivo é deixar claro todo o procedimento para construir um conjunto de equações

constitutivas que possam ser usadas.

18

4. Equação de Calor Hiperbólica Geral usando a Equação de Cattaneo Objetiva 19

4.1 Derivadas Temporais Objetivas

Os conceitos fundamentais de equações constitutivas não podem ser apresenta-

dos sem considerar se o princípio da objetividade material é satisfeito. Sabe-se que

a derivada material temporal de uma quantidade tensorial objetiva não é necessari-

amente objetiva. Então é interessante usar alguns tipos de derivadas especiais nas

equações constitutivas a fim de garantir o princípio da objetividade. Um largo número

de definições de derivadas objetivas podem ser encontradas na literatura (para uma

discussão mais detalhada ver, por exemplo, [20] e [21]). A escolha de uma derivada

particular é importante e pode ser interpretada como uma hipótese constitutiva. Por

motivo de simplicidade o estudo será restrito a uma família particular de derivadas:

1. Para um tensor de segunda ordem:

ε= ε+ε(W−W R )− (W−W R )ε (4.1)

2. Para um tensor de primeira ordem:

q= q− (W−W R )q (4.2)

Sendo A uma derivada temporal objetiva de um tensor simétrico e a uma derivada

temporal objetiva de um vetor objetivo arbitrário. É importante ressaltar que, para pe-

quenas transformações, a derivada objetiva coincide com a derivada material, ou seja,

para pequenas rotações (q = q). O tensor W R pode ser associado ao movimento mi-

croscópico da estrutura do material. E o tensor W é a parte anti-simétrica do gradiente

de velocidade.

W= 1

2

[∇v −∇v T ](4.3)

As expressões (4.1) e (4.2) englobam um grande número de derivadas encontradas

na literatura. A derivada objetiva ε é igual à derivada material ε se um observador


estiver sobre um sistema de coordenanas fixo em uma partícula e rotacionando com

uma velocidade angular igual a ao valor instantâneo da rotação (W−W R ).

A rotação W R pode ser associada ao movimento microscópico da estrutura do ma-

terial ou da subestrutura. Essa pode coincidir com diferentes rotações propostas na

literatura, tais como o conceito de rotação relativa proposta por [23](que é a general-

ização da rotação plástica utilizada por Dafalias [24, 25]) no contexto de mecânica dos

sólidos ou da taxa de rotação relativa usada por Drouot [26] e Drout e Lucius [27].

A rotação relativa W R deve ser uma função objetiva do tensor taxa de deformação

D, do tensor de Cauchy T e também de outros tensores auxiliares das variáveis internas

tal que W R = 0 se D = 0. Várias expressões gerais podem ser adotadas para o tensor

W R [22]. Normalmente, para uma adequada descrição fenomenológicado do compor-

tamento do fluido e a fim de eliminar oscilações indesejáveis induzidas pelas derivadas

temporais tipo da de Jauman, é suficiente considerar a expressão seguinte para o tensor

W R :

W R = η(εD−Dε) (4.4)

Onde η é uma constante.


Será enumerado nesta seção o conjunto de hipóteses constitutivas usadas para en-

contrar a equação do calor considerando fluidos newtonianos generalizados e uma

equação objetiva de Cattaneo:

1. A primeira hipótese constitutiva é:

d2 = 1

θ

(q · (q+ τq)

k

)(4.5)

Com τ = τ ≥ 0 se q · (q+ τq) ≥ 0 e τ = 0 caso contrário. Onde k ≥ 0 é a con-

dutibilidade térmica. Nesse caso, é possível verificar que, diferente do capítulo


anterior, d2 ≥ 0 em todos os processos.

Combinando a hipótese anterior com a equação (2.21) obtém-se a seguinte equação

constitutiva:

q+ τq=−kg (4.6)

Com τ= τ≥ 0 se q · (q+ τq)≥ 0 e τ= 0 caso contrário.

2. A escolha da derivada objetiva temporal é uma hipótese constitutiva

ε= ε+ε(W−W R )− (W−W R )ε (4.7)

q= q+ (W−W R )q (4.8)

3. Nessa seção a energia livre de helmholtz ψ é uma função diferenciável apenas

da temperatura absoluta:

ψ= ψ(θ) (4.9)

4. Restringindo ao estudo de fluidos incompressíveis, o potencial φ é tal que a

dissipação d1 tem a seguinte forma:

d1 = ∂φ

∂D: D (4.10)

A escolha de uma teoria constitutiva geral é necessária para considerar os aspec-

tos da segunda lei da termodinâmica, já que o comportamento dissipativo deve

ser levado em consideração. A relação com os mecanismos dissipativos é in-

troduzida pelo potencial de dissipação φ. No presente trabalho o potencial de


dissipação é uma função convexa de D tal que φ(D) ≥ 0 ∀ D e φ(D= 0) = 0.

φ= φ(D) (4.11)

Então, um resultado clássico da análise convexa é:

∂φ

∂DD≥ 0 ∀ D (4.12)

É importante deixar claro que através dessa escolha de função dissipação, a re-

strição da segunda lei da termodinâmica (d1 ≥ 0) sempre será atendida para todos

os processos.


Nesse capítulo será considerado materiais incompressíveis com viscosidade, mas

da forma:

T =−p I +σ (4.13)

Como os materiais estudados aqui são incompressíveis, tem-se que tr (D) = 0 e p a

pressão hidrostática, que nada mais é do que um multiplicador de Lagrange. Onde σ é

a parte do tensor de tensão de Cauchy a ser definida pelas relações constitutivas.

Não está sendo levado em consideração os efeitos de fontes externas de energia,

o objetivo do presente trabalho é o estudo teórico da equação hiperbólica de calor

encontrada na literatura, então:

r = 0 (4.14)

Substituindo a tensão na equação de dissipação chega-se na forma da dissipação in-


trínseca:

d1 =(−p I +σ)

: D−ρ (Ψ+ sθ

)(4.15)

d1 =σ : D−ρ (Ψ+ sθ

)(4.16)

d1 =σ : D−ρ(∂ψ

∂θθ+ sθ

)(4.17)

Como temos a hipótese constitutiva 5:

∂φ

∂D: D=σ : D−ρ

(∂ψ

∂θθ+ sθ

)(4.18)

Separando os termos:

[σ− ∂φ

∂D

]: D−ρ

[∂ψ

∂θ+ s

]θ = 0 (4.19)

Chega-se então:

σ= ∂φ

∂D(4.20)

s =−∂ψ∂θ

(4.21)

A equação para s é a mesma encontrada no capítulo anterior e a equação encontrada

para o tensor extratensão representa a irreversibilidade relacionada com o fenômeno

viscoso.



No caso de fluidos newtonianos generalizados o acoplamento termomecênico pode

ser muito importante. Recentes trabalhos mostram como a escolha dos potenciais ter-

modinâmicos φ e ψ são importantes e como eles podem afetar a equação do calor em

equações constitutivas do tipo taxa [28–31]. Porém, diferente desse trabalho, eles estão

preocupados com sólidos inelásticos (não fluidos) no caso de pequenas transformações

e a influência da derivada temporal objetiva não é considerada. Aplicando as hipóteses

feitas sobre o tipo de material e não considerando efeitos externos de fontes de energia:

−∇·q=−d1 +ρθs (4.22)

Usando a equação (4.10):

∇·q= ∂φ

∂D: D−ρθs (4.23)

E Usando a equação (4.9):

∇·q= ∂φ

∂D: D−ρθ

(−∂

2ψ

∂θ2θ

)(4.24)

Reorganizando:

∇·q= ∂φ

∂D: D−ρ

(−θ∂

2ψ

∂θ2

)θ (4.25)

Aplicando o divergente na equação de Cattaneo

q+ τq=−k∇θ (4.26)

∇·q+∇· (τq) =−∇· (k∇θ) (4.27)


Usando a derivada objetiva escolhida no presente trabalho (Jauman) e fazendo W R = 0:

∇·q+∇· [τq+ τWq]=−∇· (k∇θ) (4.28)

∇·q+ τ[(∇·W) ·q+W : ∇q+∇· q]=−∇· (k∇θ) (4.29)

Ou de uma forma mais simplificada:

∇·q+ τ∇· (Wq)+ τ∇· q=−∇· (k∇θ) (4.30)

Usando a equação (4.25) e a equação (4.20) na equação (4.30):

∇·q=σ : D−ρ(−θ∂

2ψ

∂θ2

)θ (4.31)

O termo devido ao concerto da derivada no tempo devido a objetividade ∇· (Wq) não

será modificado. Então:

(σ : D−ρ

(−∂

2ψ

∂θ2θ

)θ

)+ τ∇· (Wq)+

τ

(σ : D+σ : D−ρθ

(−∂

2ψ

∂θ2θ

)−ρθ

(−∂

3ψ

∂θ3θθ

)−ρθ

(−∂

2ψ

∂θ2θ

))=−∇· (k∇θ) (4.32)

Reorganizando:

−ρ(−∂

2ψ

∂θ2θ

)θ−ρτ

(−∂

2ψ

∂θ2

)θ2 −ρτ

(−θ∂

3ψ

∂θ3

)θ2 −ρτ

(−θ∂

2ψ

∂θ2

)θ

+σ : D+ τ(σ : D+σ : D

)+ τ∇· (Wq) =−∇· (k∇θ) (4.33)

Então:

−ρ(−∂

2ψ

∂θ2θ

)θ−ρτ

(−∂

2ψ

∂θ2−θ∂

3ψ

∂θ3

)θ2 −ρτ

(−θ∂

2ψ

∂θ2

)θ

+σ : D+ τ(σ : D+σ : D

)+ τ∇· (Wq) =−∇· (k∇θ) (4.34)



Com o objetivo de comparar com a equação clássica de Cattaneo, será considerado

c como uma constante. Uma forma particular da equação da energia livre de Helmhotz:

ψ(θ) = ψ0 −∫ θ

θ0

π1l og (ξ)dξ (4.35)

E a função dissipação intrínsica:

φ(D) = νD2n (4.36)

Calculando as derivadas da função energia livre:

∂ψ

∂θ=−π1

[log (θ)− log (θ0)

](4.37)

∂2ψ

∂θ2=−π1

1

θ(4.38)

∂3ψ

∂θ3=π1

1

θ2(4.39)

Calculando as derivadas da função potencial de dissipação:

∂φ

∂D= 2nνD2n−1 (4.40)

∂2φ

∂D2 = 2n(2n −1)νD2n−2 (4.41)

Então a forma do tensor extratensão e de sua derivada:

σ= 2nνD2n−1 (4.42)


σ= [2n(2n −1)νD2n−2]D (4.43)

Substituindo as derivadas das funções potenciais escolhidas na equação (4.34):

−ρπ1θ−ρτ(π1

θ− π1

θ

)θ2 −ρτπ1θ+σ : D+ τ(

σ : D+σ : D)+ τ∇· (Wq) =−∇· (k∇θ)

(4.44)

−ρπ1(θ+ τθ)+σ : D+ τ(

σ : D+σ : D)+ τ∇· (Wq) =−∇· (k∇θ) (4.45)

Encontra-se dessa forma uma equação em função tanto da temperatura como do fluxo

de calor, ou seja, para resolver essa equação precisa-se acoplá-la com a equação con-

stitutiva de Cattaneo generalizada. Substituindo π1 = c por conveniência, chega-se:

−ρc(θ+ τθ)+σ : D+ τ(

σ : D+σ : D)+ τ∇· (Wq) =−∇· (k∇θ) (4.46)

q+ τ(q+Wq

)=−k∇θ (4.47)

Capítulo 5

Equação de Calor usando a Lei de Fourier

O objetivo desse capítulo é discutir a possibilidade de se obter a equação hiper-

bólica do calor sem usar a equação de Cattaneo conhecida na literatura como também

não usar a equação objetiva de Cattaneo proposta no capítulo anterior. O presente capí-

tulo demonstra que uma versão alternativa da SLT pode levar a uma equação de calor

hiperbólica usando a lei de Fourier como equação constitutiva.


A seguir as três hipóteses constitutivas:

1. A equação clássica de condução de calor (Fourier) é válida

q=−k∇θ (5.1)

Onde k é uma função positiva de θ, geralmente chamada de condutividade tér-

mica. Usando a equação (5.1) é simples verificar:

d2 =−1

θq ·∇θ = k

θ∇θ ·∇θ ≥ 0 (5.2)

Já que a temperatura θ é uma quantidade positiva e k uma constante posi-

tiva. Portanto para que as equações sejam termodinamicamente admissíveis, é

28

5. Equação de Calor usando a Lei de Fourier 29

necessário propor condições suficientes para que d1 seja maior que zero e então

qualquer processo será satisfeito termodinamicamente. Informações adicionais

sobre o comportamento do material é obtido a partir de dois potenciais termod-

inâmicos: a energia livre de Helmholtz ψ e o potencial de dissipação φ.


absoluta

ψ= ψ(θ) (5.3)

3. A dissipação d1 tem a seguinte forma:

φ= φ(θ,θ) (5.4)

d1 = ∂φ(θ,θ)

∂θθ (5.5)

A teoria constitutiva é definida postulando-se dois potenciais termodinâmicos: a

energia livre de Helmholtz ψ e o potencial de dissipação φ. Um resultado clássico da

análise convexa é que d1 descrito dessa forma (d1 = ∂φ(θ,θ)∂θ

θ ≥ 0) será sempre posi-

tivo, independente das geometrias envolvidas, das condições iniciais, das condições de

contorno e das ações externas, se o potencial φ for uma função positiva e estritamente

convexa de θ(θ = 0,θ) = 0 ∀θ. As equações descritas nessa seção formam um com-

pleto conjunto de equações constitutivas possíveis termodinamicamente, isto é, para

qualquer cunjunto de equações constitutivas particulares obtidas dentro do contexto

proposto por esse trabalho, as desigualdades d1 ≥ 0 e d2 ≥ 0 serão automaticamente

satisfeitas e então a desigualdade de Clausius-Duhen também será satisfeita.



Nesse capítulo também será considerado fluidos incompressíveis sem viscosidade,

mais especificamente dessa forma:

T =−p I (5.6)

Onde p é a pressão hidrostática que é um multiplicador de Lagrange, ou seja, um mul-

tiplicador plástico associado a restrição de incompressibilidade (∇·v = tr (D) = 0). É

importante deixar claro que tal hipótese é levada em consideração apenas para reduzir

os cálculos. Uma adequada formulação para o acoplamento termomecânico pode levar

a uma equação hiperbólica do calor, mesmo usando a lei de Fourier. Ou seja, a equação

hiperbólica do calor não depende da simplificação de materiais incompressíveis sem

viscosidade para ser encontrada. Sabendo-se que:

T : D=−p · I : D=−p · tr (D) = 0 (5.7)

Não está sendo levado em consideração os efeitos de fontes externas de calor, o obje-

tivo do presente trabalho é o estudo teórico da equação hiperbólica de calor, então:

r = 0 (5.8)

Usando a hipótese de fluidos incompressíveis chega-se na forma da dissipação in-

trínseca:

d1 =−p I : D−ρ (ψ+ sθ

)(5.9)

d1 =−ρ (ψ+ sθ

)(5.10)


E como temos a hipótese constitutiva 3:

d1 =−ρ(∂ψ

∂θθ+ sθ

)= ∂φ(θ,θ)

∂θθ; ∀ θ (5.11)

Então:

−ρ(∂ψ

∂θ+ s

)θ = ∂φ

∂θθ (5.12)

−ρ(∂ψ

∂θ+ 1

ρ

∂φ

∂θ+ s

)θ = 0 (5.13)

Logo, a seguinte relação constitutiva para a entropia é obtida:

s =−(∂ψ

∂θ+ 1

ρ

∂φ

∂θ

)(5.14)


Aplicando as hipóteses feitas sobre o tipo de material e não considerando efeitos

de fonte de calor:

∇·q= d1 −ρθs (5.15)

Introduzindo a equação constitutiva da entropia na equação alternativa da energia,

chega-se:

∇·q= ∂φ

∂θθ−ρθ

(−∂ψ∂θ

− 1

ρ

∂ ˙φ

∂θ

)(5.16)

∇·q= ∂φ

∂θθ−ρθ

(−∂

2ψ

∂θ2θ− 1

ρ

∂2φ

∂θ2θ− 1

ρ

∂2φ

∂θ∂θθ

)(5.17)


Reorganizando:

ρ

(− 1

ρ

∂φ

∂θ− ∂2ψ

∂θ2θ− 1

ρ

∂2φ

∂θ∂θθ

)θ−

(∂2φ

∂θ2θ

)θ =−∇·q (5.18)

Onde;

c =− 1

ρ

∂φ

∂θ− ∂2ψ

∂θ2θ− 1

ρ

∂2φ

∂θ∂θθ (5.19)

τ= θ∂2φ

∂θ2(5.20)

Então a equação encontrada será:

ρcθ− τθ =−∇·q (5.21)

Onde c é um parâmetro análogo ao calor específico. E aplicando a hipótese constitutiva

número 1:

q=−k∇θ (5.22)

Chega-se na equação hiperbólica:

ρcθ− τθ =∇· (k∇θ) (5.23)


Como uma escolha de função de dissipação φ(θ, θ):

φ(θ, θ) = τ

θf (θ = 0) = 0 (5.24)

Usando a equação (5.24) na expressão para o termo análogo ao calor específico:

c =− 1

ρ

∂φ

∂θ− ∂2ψ

∂θ2θ− 1

ρ

∂2φ

∂θ∂θθ (5.25)


∂φ

∂θ= 1

θf′(θ) (5.26)

∂2φ

∂θ∂θθ =− 1

θ2f′(θ) (5.27)

Substituindo as derivadas encontradas, percebe-se que com a escolha da função de

dissipação adequada consegue-se encontrar para o parâmetro c a mesma função usada

geralmente na literatura para o calor específico.

c =−∂2ψ

∂θ2θ = c (5.28)

Encontrando, por enquanto, para a equação hiperbólica do calor:

ρcθ− τθ =∇· (K∇θ) (5.29)

Serão feitas as ecolhas para as funções de potencial de dissipação φ, agora de maneira

mais restrita, e também para a energia livre de Helmholtz:

φ= τ

θ

θ2

2(5.30)

ψ(θ) = ψ0 −∫ θ

θ0

π1l og (ξ)dξ (5.31)

Então para obter o calor específico:

∂ψ

∂θ=−π1

(log (θ)− log (θ0)

)(5.32)

∂2ψ

∂θ2=−π1

θ(5.33)


Como o calor específico tem a expressão:

c =−∂2ψ

∂θ2(5.34)

Então:

c =π1 (5.35)

Agora para obter a forma do termo τ:

τ= θ∂2φ

∂θ2= τ (5.36)

É encontrada a equação da condução de calor proposta por Green e Naghdi [32], onde

eles usaram uma dedução bem diferente da do presente trabalho. Com o objetivo

de deixar a equação exatamente igual ao do trabalho de Naghdi tem-se que π2 = 0,

α= τ/ρ, tendo π1 = c e assumindo constante a condutividade térmica K constante:

ρ(cθ−αθ)= k∇2θ (5.37)

Se a restrição d1 ≥ 0 for considerada, o termo α tem que ser necessariamente positivo

e a equação (5.37) é elíptica, não permitindo que o calor se propague como uma onda.

Contudo, se a versão local a SLT proposta por Green e Naghdi no seu clássico trabalho

[32] for adotada, é possível adotar um valor negativo para α.

Não é objetivo deste trabalho a discussão sobre as diferentes versões da SLT. A

versão da SLT proposta por Green e Naghdi pode ser apresentada da seguinte forma

resumida:

As parcelas d1 e d2 da taxa de energia dissipada por unidade de volume d são

definidas da seguinte forma.

d2 =−1

θq ·g ≥ 0 (5.38)


d1 = d −d2 (5.39)

Além disso, d1 pode ser uma função das variáveis de estado e de suas taxas. No caso

deste trabalho

d1 = d1(θ, θ) (5.40)

Definindo a variável auxiliar d ′1

d ′1 = d ′

1(θ, θ = 0) (5.41)

É possível finalmente expressar a seguinte versão alternativa da SLT

H ′1(Pt ) =

∫Pt

d ′1

θdV (5.42)

H ′′1 (Pt ) =

∫Pt

d2

θdV (5.43)

A principal diferença no caso da versão local da SLT proposta por Green e Naghdi é

que a restrição termodinâmica é feita sobre d ′1 e não sobre d1.

No presente estudo, a entropia por unidade de volume pode ser decomposta de

forma aditiva numa parte reversível sr e numa parcela irreversível si r da seguinte

maneira (ver a equação (5.14)):

s = sr + si r (5.44)

sr =−∂ψ(θ)

∂θ(5.45)

si r =− 1

ρ

∂φ(θ, θ)

∂θ(5.46)


Usando a definição de φ feita na equação (5.30), é fácil concluir que si r = 0 quando

θ = 0 e que, portanto, d ′1 = 0 em todos os processos, já que

d ′1 = T : D −ρ (

ψ+ sr θ)=−p · tr (D)−ρ

(∂ψ(θ)

∂θ− ∂ψ(θ)

∂θ

)= 0 (5.47)

Portanto, a versão local da SLT proposta por Green e Naghdi é satisfeita e permite que o

parâmetro τ seja negativo (τ=−τ′;comτ′ < 0), já que não apresenta nenhuma restrição

sobre o mesmo. Portanto, ela admite uma equação hiperbólica para a condução de

calor.

ρ(cθ+αθ)= k∇2θ (5.48)

Onde

α= τ′

ρ(5.49)

Capítulo 6

Equação de Calor Geral usando a Lei de Fourier

O objetivo do presente capítulo é estender a teoria encontrada no capítulo anterior

para fluidos newtonianos generalizados. Os fluidos newtonianos generalizados são tais

que sua viscosidade depende da taxa de deformação. Essa informação será encontrada

a partir dos potenciais termodinâmicos. A energia livre de Helmholtz continua sendo

uma função apenas da temperatura e o potencial de dissipação intrínseca agora depende

da temperatura, da taxa da temperatura e da taxa de deformação.


1. A equação clássica de condução de calor (Fourier) é válida

q =−k∇θ (6.1)

Onde k é uma função positiva de θ, geralmente chamada de condutividade tér-

mica. Usando a equação (6.1) é simples verificar:

d2 =−1

θq ·5θ = k

θ5θ ·5θ ≥ 0 (6.2)

Já que a temperatura θ é uma quantidade positiva e k uma função positiva de

θ. Portanto para que as equações sejam termodinamicamente admissíveis, é

37

6. Equação de Calor Geral usando a Lei de Fourier 38

necessário propor condições suficientes para que d1 ≥ 0 e então qualquer pro-

cesso será satisfeito termodinamicamente. Informações adicionais sobre o com-

portamento do material é obtido a partir de dois potenciais termodinâmicos: a

energia livre de Helmholtz ψ e o potencial de dissipação φ.


absoluta

ψ= ψ(θ) (6.3)

3. A dissipação d1 tem a seguinte forma:

d1 = ∂φ1(θ,θ)

∂θθ+ ∂φ2(D)

∂D: D (6.4)

Como já foi mencionado uma teoria constitutiva é definida postulando-se dois po-

tenciais termodinâmicos: a energia livre de Helmholtz ψ e o potencial de dissipação

φ. A função dissipação nesse caso será uma função da temperatura, da taxa da temper-

atura e da taxa de deformação (φ= φ(θ, θ,D). A forma da função potencial para esse

caso é:

φ(θ, θ,D) = φ1(θ, θ)+ φ2(D) (6.5)

Um resultado clássico da análise convexa é que d1 descrito dessa forma é que:

∂φ1(θ,θ)

∂θθ ≥ 0 (6.6)

∂φ2(D)

∂D: D≥ 0 (6.7)

Ou seja, d1 será sempre positivo, independente das geometrias envolvidas, das condições

iniciais, das condições de contorno e das ações externas, se o potencial φ for uma


função positiva e estritamente convexa de θ1(θ = 0,θ) = 0 ∀θ e θ2(D = 0) = 0 ∀D.

As equações descritas nessa seção formam um completo conjunto de equações con-

stitutivas possíveis termodinamicamente, isto é, para qualquer conjunto de equações

constitutivas particulares obtidas dentro do contexto proposto por esse trabalho, as de-

sigualdades d1 ≥ 0 e d2 ≥ 0 serão automaticamente satisfeitas e então a desigualdade

de Clausius-Duhen também será satisfeita.


Nesse capítulo estamos trabalhando com fluidos newtonianos generalizados incom-

pressíveis:

T =−p I +σ (6.8)

Como os materiais estudados aqui são incompressíveis, tem-se que tr (D) = 0 e p a

pressão hidrostática, que nada mais é do que um multiplicador de Lagrange. Onde σ é

a parte do tensor de tensão de Cauchy a ser definida as relações constitutivas.

T : D= (−p I +σ): D (6.9)

(−p I +σ): D=−p · tr (D)+σ : D=σ : D (6.10)

Não está sendo levado em consideração os efeitos de radiação, então:

r = 0 (6.11)

Substituindo a tensão na equação de dissipação chega-se na forma da dissipação in-

trínseca:

d1 =(−p I +σ)

: D−ρ (Ψ+ sθ

)(6.12)


d1 =σ : D−ρ (Ψ+ sθ

)(6.13)

d1 =σ : D−ρ(∂ψ

∂θθ+ sθ

)(6.14)

Como temos a hipótese constitutiva 3:

∂φ2

∂D: D+ ∂φ1

∂θθ =σ : D−ρ

(∂ψ

∂θθ+ sθ

)(6.15)

Separando os termos:

[σ− ∂φ2

∂D

]: D−ρ

[∂ψ

∂θ+ 1

ρ

∂φ1

∂θ+ s

]θ = 0 (6.16)

Chega-se então:

σ= ∂φ2

∂D(6.17)

s =−(∂ψ

∂θ+ 1

ρ

∂φ1

∂θ

)(6.18)

A equação para s é a mesma encontrada no capítulo anterior e a equação encontrada

para o tensor extratensão representa a irreversibilidade relacionada com o fenômeno

viscoso.


Aplicando as hipóteses feitas sobre o tipo de material e não considerando radiação

na equação alternativa da energia:

∇·q= d1 −ρθs (6.19)


Introduzindo a equação constitutiva da entropia na equação da primeira lei alternativa:

∇·q=[∂φ1

∂θθ+ ∂φ2

∂D: D

]−ρθ

(−∂

2ψ

∂θ2θ− 1

ρ

∂2φ1

∂θ2θ− 1

ρ

∂2φ1

∂θ∂θθ

)(6.20)

Reorganizando:

ρ

(− 1

ρ

∂φ1

∂θ− ∂2ψ

∂θ2θ− 1

ρ

∂2φ1

∂θ∂θθ

)θ−

(∂2φ1

∂θ2θ

)θ− ∂φ2

∂D: D=−∇·q (6.21)

Onde;

c =− 1

ρ

∂φ1

∂θ− ∂2ψ

∂θ2θ− 1

ρ

∂2φ1

∂θ∂θθ (6.22)

τ= θ∂2φ1

∂θ2(6.23)

Como a função dissipação é da forma:

φ(θ, θ,D) = φ1(θ, θ)+ φ2(D) (6.24)

E lembrando que:

σ= ∂φ2

∂D(6.25)

Então a equação encontrada será:

ρcθ− τθ−σ : D=−∇·q (6.26)

Onde c é um parâmetro análogo ao calor específico. E aplicando a hipótese constitutiva

número 1:

q=−k∇θ (6.27)


Chega-se na equação hiperbólica:

ρcθ− τθ−σ : D=∇· (k∇θ) (6.28)


Como uma escolha de função de dissipação φ(θ, θ,D):

φ(θ, θ,D) = φ1(θ, θ)+ φ2(D) (6.29)

φ1(θ, θ) = τ

θf (θ) (6.30)

φ2(D) = νD2n (6.31)

Usando a equação do potencial de dissipação intrínseca na expressão para o termo

análogo ao calor específico:

c =− 1

ρ

∂φ1

∂θ− ∂2ψ

∂θ2θ− 1

ρ

∂2φ1

∂θ∂θθ (6.32)

∂φ1

∂θ= 1

θf′(θ) (6.33)

∂2φ1

∂θ∂θθ =− 1

θ2f′(θ) (6.34)

Percebe-se que com a escolha da função de dissipação adequada consegue-se encon-

trar para o parâmetro c a mesma função usada geralmente na literatura para o calor


específico.

c =−∂2ψ

∂θ2θ (6.35)

Serão feitas as escolhas para as funções de potencial de dissipação φ, agora de maneira

mais restrita, e também para a energia livre de Helmholtz:

φ1(θ, θ) = τ

θ

θ2

2(6.36)

ψ(θ) = ψ0 −∫ θ

θ0

π1l og (ξ)dξ (6.37)

Então para obter o calor específico:

∂ψ

∂θ=−π1

(log (θ)− log (θ0)

)(6.38)

∂2ψ

∂θ2=−π1

θ(6.39)

Como o calor específico tem a fórmula:

c =−∂2ψ

∂θ2(6.40)

Então:

c =π1 (6.41)

Agora para obter a forma do termo τ:

τ= θ∂2φ1

∂θ2= τ (6.42)


Para o termo de dissipação viscosa:

∂φ

∂D= 2nνD2n−1 (6.43)

σ= 2nνD2n−1 (6.44)

Percebe-se que é possível chegar a uma equação mais geral que as equações propostas

por Green e Naghdi, tal como no capítulo anterior. Fazendo π2 = 0, α = τ/ρ, tendo

π1 = c e assumindo constante a condutividade térmica K constante:

ρ(cθ−αθ)−σ : D= k∇2θ (6.45)

Da mesma forma que no capítulo anterior, se a versão da SLT proposta por Green

e Naghdi for considerada, é possível ter um valor de alfa negativo e a equação será

hiperbólica.

Capítulo 7

Conclusões



condução de calor na maioria das aplicações de engenharia, esta prevê uma velocidade

de onda de calor infinita, o que é fisicamente impossível. Agora é aceito que em situ-

ações envolvendo intervalos de tempo muito pequenos, gradientes térmicos extremos

ou temperaturas próximas ao zero absoluto podem levar a uma velocidade de onda de

calor finita. Consequentemente, qualquer pertubação externa ao corpo é instantânea-

mente sentida pelo corpo todo.

O presente estudo começou apresentando algumas das equações de conservação

da mecânica do contínuo nas formas global e local. A primeira lei da termodinâmica

é apresentada de uma forma diferente da PLT encontrada na literatura. A forma da

equação da energia alternativa auxilia no procedimento termodinâmico mostrado no

presente estudo. Com a motivação de estudar ondas térmicas com velocidades finitas,

no capítulo 3, a teoria de Cattaneo e Vernotte é colocada dentro da estrutura termod-

inâmica apresentada. O uso da equação de Cattaneo é mostrada no presente trabalho

como uma metodologia simplificada e o seu uso é restrito a pequenas transformações

(devido ao princípio da objetividade) e a um caso particular onde o fluxo de calor e sua

derivada estejam no mesmo semi-espaço, ou seja q · [q+τq]≥ 0.

No capítulo 4, uma generalização da equação constitutiva de Cattaneo é proposta.

45

7. Conclusões 46

Tal generalização é feita para que o princípio da objetividade seja satisfeito. A não

generalidade da equação de Cattaneo está associados a segunda lei da termodinâmica.

A SLT precisa ser então satisfeita e para que isso aconteça, no caso do capítulo 4, é

necessário impor nas hipóteses constitutivas que q · g ≥ 0. Portanto, em alguns pro-

cessos poderia haver calor se propagando como uma onda (equação hiperbólica) e em

outros isso seria impossível (equação parabólica), dependendo do sinal do produto

q · (q+τq)

No capítulo 5, a estratégia para o estudo de velocidade de onda de calor finita

muda. O uso da lei de Fourier é mais geral do que a dos casos dos capítulos 3 e 4.

Não existe o problema de objetividade, já que a derivada material não está mais na

equação constitutiva do calor. Então para que a derivada segunda da temperatura seja

levada em consideração na equação da condução de calor é preciso que o potencial de

dissipação intrínsica seja da forma d1 = ∂φ(θ,θ)∂θ

θ. Essa é a principal idéia do presente

estudo, o potencial dissipativo é uma função que depende da temperatura e da taxa da

temperatura. A equação de calor resultante será elíptica, se a desiguladade de Clausius

Duhen for adotada, mas pode ser hiperbólica se a versão da SLT proposta por Green e

Naghdi for considerada.

No capítulo 6, o tipo de material é mudado. Nesse capítulo a condução de calor

hiperbólica pode ser encontrada em fluidos newtonianos generalizados. A equação

encontrada é nova na literatura. Fica claro que casos mais gerais (materiais mais com-

plexos) podem ser estudados com a estrutura termodinâmica apresentada no presente

trabalho. E a condução de calor hiperbólica pode ser obtida para diferentes tipos de

materiais, desde que se adote a versão da SLT proposta por Green e Naghdi. Todos

os casos apresentados no presente trabalho foram colocados em uma estrutura termod-

inâmica que facilita o entendimento das hipóteses constitutivas. Esse procedimento

apresentado mostra as restrições e generalidades de cada caso para que a segunda lei

da termodinâmica e o princípio da objetividade sejam satisfeitos.

Este estudo teórico prova que uma formulação adequada termomecânico pode levar

a uma equação hiperbólica de calor mesmo que a lei de Fourier seja levada em conta. A

7. Conclusões 47

idéia principal é que a dissipação intrínseca também é uma função da taxa de temper-

atura e usar uma versão menos restritiva da SLT. Vários modelos alternativos têm sido

propostos na literatura tentando obter uma velocidade finita de onda térmica. Geral-

mente, a lei clássica de condução de calor (Fourier) (q =−k∇θ) é substituída por leis

alternativas, como a equação Cattaneo-Vernotte (q+τq=−k∇θ). No entanto, a maio-

ria dessas equações alternativas de condução de calor violam claramente o princípio

da objetividade. Além disso, é muito difícil garantir que as equações governantes re-

sultantes são termodinamicamente admissíveis, pois o calor pode fluir de regiões frias

para regiões quentes durante períodos de tempo finitos.

O objetivo principal é mostrar uma abordagem alternativa que não pode ser negli-

genciada em futuros estudos experimentais. A generalização dessa demonstração para

comportamentos de materiais mais complexos pode ser realizada considerando uma

teoria mais sofisticada constitutiva no âmbito do quadro da termodinâmica dos proces-

sos irreversíveis. Todas as equações constitutivas obtidas em [31] no caso de sólidos

inelásticos danificados com a hipótese de pequenas transformações, e no artigo [22] no

caso de fluidos não newtonianos, podem ser estendidas para levar em conta a transfer-

ência de calor hiperbólica, mesmo que a clássica hipótese de Fourier para a condução

de calor seja adotada. A chave em todos os casos é considerar que a dissipação in-

trínseca não é apenas uma função das variáveis de estado, mas também da taxa de

temperatura e, além disso, adotar uma versão menos restritiva para a SLT.

Foram apresentadas e discutidas duas alternativas para obter equações termodi-

namicamente admissíveis capazes de modela a propagação de calor como uma onda,

sem violar o princípio da objetividade:

1. A primeira seria uma generalização da equação q+ τq = −kg incluindo uma

derivada temporal objetiva e uma restrição adicional para impedir a possibilidade

de fluxo de calor de uma região com temperatura menor para com uma temper-

atura maior. O calor se propagaria como uma onda somente quando q+ τq≥ 0.

q+ τq=−kg (7.1)

7. Conclusões 48

Com τ= τ≥ 0 se q · (q+ τq)≥ 0 e τ= 0 caso contrário.

2. A segunda seria usar a clássica equação de Fourier, considerar que a parcela d1

da dissipação pode ser uma função das variáveis de estado e de suas taxas. No

caso deste trabalho d1 = d1(θ, θ). A desigualdade de Clausius Duhen neste caso

só permite uma equação elíptica envolvendo a derivada segunda no tempo da

temperature absoluta. Uma equação hiperbólica seria possível, caso a versão da

SLT proposta por Green e Naghdi d ′1 = 0 seja considerada válida.

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49

7. Conclusões 50

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7. Conclusões 51

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Apêndice A

Conceitos Importantes

A.1 Objetividade

A objetividade é o estudo do comportamento ou da depêndencia de determinada

entidade física em relação a diferentes observadores.

O vetor posição pode ser enxergado por diferentes observadores de tal forma que

obedeça:

x∗(t ) =Q(t )x(t )+c(t ) (A.1)

Onde Q(t ) é um tensor ortogonal e é o responsável pela contabilização da rotação

do observador e o vetor c(t ) é o responsável pela translação. Isso implica que:

α∗ =α (A.2)

v∗ =Qv (A.3)

T ∗ =QT QT (A.4)

Isso ocorre se α, v e T são escalar, vetor e tensor de segunda ordem respectiva-

mente são entidades objetivas.

O gradiente de velocidade não é objetivo:

52

Apêndice A. Conceitos Importantes 53

v∗ = Q(t )x(t )+Q(t )v (t )+ c(t ) (A.5)

L∗ = ∂v∗

∂x∗ = Q(t )QT (t )+Q(t )LQT (t ) (A.6)

Aparece o termo Q(t )QT (t ) "atrapalhando"a objetividade.

O tensor taxa de deformação é objetivo:

D∗ = 1

2(L∗+L∗T ) = Q(t )QT (t )+Q(t )DQT (t ) (A.7)

Mas o tensor taxa de deformação não:

W ∗ = 1

2(L∗−L∗T ) = Q(t )QT (t )+Q(t )W QT (t ) (A.8)

A derivada material é um operador não objetido, ou seja, se aplicarmos este oper-

ador em uma entidade objetiva o resultado é uma entidade não objetiva.

Existem derivadas que são objetivas e estas são como por exemplo:

• A derivada convectada covariante

A∆ = A + AL +LT A (A.9)

• A derivada convectada contravariante

A∆ = A −L A − ALT (A.10)

• A derivada convectada corotacional ou derivada de Jaumman

A = A − AW −W A (A.11)

Apêndice A. Conceitos Importantes 54

A.2 Funções Convexas

A.2.1 Definição

Uma função f : Rn → R é convexa se o domínio de f é um conjunto convexo e para

todo x, y ∈ dom f e θ com 0 ≤ θ ≤ 1 tivermos:

f(θx + (1−θ)y

)≤ θ f (x)+ (1−θ) f (y) (A.12)

Geometricamente, a desigualdade significa que o segmento de linha de (x, f (x)) a

(y, f (y)), que é a corda de x para y, está acima do gráfico de f .

A.2.2 Propriedades Básicas

1. A função é estritamente convexa se a desigualdade (A.12) é verificada na sua

forma estrita sempre que x 6= y e 0 ≤ θ ≤ 1.

2. Dizemos que f é concava se − f é convexa.

3. Para a função afim a desigualdade (A.12) sempre é satisfeita com a igualdade,

portanto todas as funções afim (e lineares também) são funções convexas e côn-

cavas.

4. Uma função é convexa se e somente se é convexa quando restrita a qualquer

linha que intercepta seu domínio.

5. A função f só é convexa se e somente se para todo x ∈ dom f e todo v , a função

f (x + t v) é convexa no domínio t : x + t v ∈ dom f

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PGMEC · que os modelos propostos aqui são os únicos ﬁsicamente realísticos que prevêm ondas de calor de velocidade ﬁnita. O principal objetivo é mostrar abordagens alternativas