ˇˇˆ ˙ ˝-˝˝˚ · questões. Desta forma, o objetivo deste trabalho é aplicar o Método Simplex para resolução de problemas reais de tomadas de decisões modelados com o Problema

v. 5 - dez. 2015—Iniciação Científica

ISSN 2316-9664

Sumário

Aplicação da programação linear em uma indústria moveleira: corte de estoque e

dimensionamento de lotes Glaucia Maria Bressan; Giovanna Peral Salvadeo 2

Análise de estabilidade para um modelo de respiração humana Márcia Richtielle da Silva, Marta Cilene Gadotti 16

Análise qualitativa de modelos através de retratos de fase Otávio Henrique Perez, Tiago de Carvalho 26

O Teorema de Borsuk e a teoria do Grau de Brouwer Carolinne Stefane de Souza, Suzete Maria Silva Afonso 62

O teorema do ponto fixo de Schauder e aplicação às EDFR Cristiano dos Santos, Márcia Richtielle 74

Modelagem matemática e resolução de problemas de gerenciamento da produção utilizando

programação linear Glaucia Maria Bressan; Nayara Bibiano Zebediff 85

____________________________ * Trabalho realizado com apoio financeiro do CNPq.

† Email: [email protected]; [email protected]. Departamento de

Matemática. Universidade Tecnológica Federal do Paraná – câmpus Cornélio Procópio.

Aplicação da programação linear em uma

indústria moveleira: corte de estoque e

dimensionamento de lotes *

Resumo

Com a intensificação da tecnologia no século XXI no cenário mundial, bem

como os avanços computacionais e o crescimento do parque industrial brasileiro, as

indústrias têm sido estimuladas a tornar seus processos produtivos mais eficientes e

competitivos. Com isso, o estudo de modelos de otimização para o controle e

planejamento da produção se torna uma ferramenta fundamental para o avanço

industrial. Este trabalho aborda métodos de Programação Linear com o objetivo de

resolver problemas de tomadas de decisões para a programação da produção de uma

indústria moveleira de pequeno porte. O problema é modelado por meio do Problema

Combinado, o qual acopla dois problemas de otimização linear: o dimensionamento de

lotes e o corte de estoque. A partir do Método Simplex é possível obter a solução do

Problema de Programação Linear proposto, auxiliando na tomada de decisão referente à

minimização de custos, dimensionamento de lotes e corte de estoque.

Palavras Chave: Programação Linear, Método Simplex, Problema Combinado

Introdução

Devido aos avanços tecnológicos e industriais do século XXI, as

indústrias de manufatura têm sido estimuladas a tornar seus processos mais eficientes e

competitivos, minimizando os custos globais de produção. Isto incentiva o estudo de

BRESSAN, G. M.; SALVADEO, G. P. Aplicação da programação linear em uma indústria moveleira: corte de estoque e dimensionamento

DOI: 10.21167/cqdvol5ic201523169664gmbgps0215 - Disponível em: http://www2.fc.unesp.br/revistacqd/index.jsp

________________________________________________________________________

2

C.Q.D. - Revista Eletrônica Paulista de Matemática, Bauru, v. 5, p. 2-15, dez. 2015. Edição Iniciação Científica. de lotes.

Glaucia Maria Bressan†

Giovanna Peral Salvadeo†

modelos de otimização para o controle e planejamento de sistemas produtivos,

motivando pesquisas acadêmicas.

O gerenciamento da produção dentro de uma indústria é responsável pelo

planejamento e controle da transformação de matérias-primas em produtos finais. O

sistema responsável por este gerenciamento denomina-se Planejamento e Controle da

Produção (RUSSOMANO, 2000; TUBINO, 2007), que coordena as atividades, desde a

aquisição de matérias-primas até a entrega dos produtos finais. Desta forma, a Pesquisa

Operacional e seus métodos de otimização possuem grande utilidade na solução de

problemas, em especial os que envolvem processos produtivos, na tomada de decisões e

no gerenciamento de sistemas, selecionando as melhores decisões, dentre todas as

possíveis (GOLDBARG & LUNA,2005).

Várias indústrias que produzem peças de tamanhos e materiais variados possuem

problemas com o desperdício de matéria-prima, o que implica em uma redução de lucro,

além de aumentar a produção de resíduos. Surge então a necessidade de se resolver um

problema de otimização, que consiste em cortar os objetos, respeitando-se estas

questões. Desta forma, o objetivo deste trabalho é aplicar o Método Simplex para

resolução de problemas reais de tomadas de decisões modelados com o Problema

Combinado (GRAMANI, 2001), que, por sua vez, acopla dois problemas de otimização

linear: o dimensionamento de lotes e o corte de estoque. O problema de

dimensionamento de lotes consiste em planejar a quantidade dos itens a ser produzida

em vários estágios, em cada período ao longo de um horizonte de tempo finito, de modo

a atender a demanda e minimizar os custos de produção e de estocagem (ARENALES et

al, 2007). O Problema de Corte de Estoque bidimensional consiste na otimização do

processo de corte de placas em peças menores nas quantidades e dimensões demandadas

(ARENALES et al, 2007). Por sua vez, o Problema Combinado consiste em decidir a

quantidade de produtos finais a serem produzidos em cada período do horizonte de

planejamento tal que minimize os custos da produção, preparação e estocagem e a

quantidade de placas a serem cortadas para compor produtos finais. A partir do Método

Simplex, é possível solucionar tal Problema de Programação Linear, obtendo uma

solução ótima que auxilie na tomada de decisão.

O Método Simplex é um algoritmo desenvolvido por George Dantzig em 1947

para resolver problemas numéricos de Programação Linear. O método parte de uma



________________________________________________________________________

3


solução básica viável, pertencente a um vértice, do sistema de equações que constituem

as restrições do problema. A partir dessa solução inicial, o algoritmo identifica novas

soluções viáveis de valor igual ou melhor que a corrente. Assim, o processo encontra

novos vértices da envoltória convexa do problema e determina se este vértice é ótimo ou

não, ou seja, se a troca de variáveis na base pode ainda melhorar a função objetivo.

Mais detalhes são encontrados em Lachtermacher (2002), Maculan e Pereira (1980),

Moreira (2007), Lins e Calôba (2006).

Este trabalho está organizado como segue. A Seção 1, seguinte a esta introdução,

descreve o Problema Combinado, bem como suas definições e considerações, e traz a

formulação geral deste como um Problema de Programação Linear. Na Seção 2 são

descritos dois cenários de programação da produção com dados provenientes de uma

indústria moveleira de pequeno porte. Os resultados numéricos e as soluções destes

estudos de caso são exibidos na Seção 3. Por fim, a Seção 4 comenta as conclusões e as

considerações finais deste trabalho.

1 O Problema combinado

No processo de corte de uma placa em peças menores, para a produção

de itens, a perda de material tende a ser cada vez menor se os cortes das peças forem

rearranjados de uma forma conveniente na placa. Devido a este fato, há uma pressão

econômica para fabricar alguns produtos antecipadamente com o objetivo de minimizar

as perdas. Porém, esse estoque pode gerar custos que podem retardar a produção

(BRESSAN, 2003). Diante desse problema de decisão de antecipação ou não na

produção de certos produtos finais, surge o Problema Combinado, o qual acopla dois

problemas de otimização: o dimensionamento de lotes e o corte de estoque. O problema

de dimensionamento de lotes consiste em planejar a quantidade dos itens a ser

produzida em vários estágios, em cada período ao longo de um horizonte de tempo

finito, de modo a atender a demanda e otimizar uma função objetivo, como minimizar

os custos de produção e de estocagem. Pode ser classificado como monoestágio, onde

os itens são produzidos independentemente, e multiestágio, em que as produções dos

itens são dependentes. O problema de corte de estoque bidimensional consiste na



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4


otimização do processo de corte de placas em peças menores nas quantidades e

dimensões demandadas. Define-se padrão de corte como o arranjo das peças dentro de

cada placa, isto é, a forma como um objeto (peça) é cortado para a produção de itens

demandados. Algumas regras são necessárias para defini-lo, como cortes do tipo

guilhotinado (onde cada corte feito sobre uma placa retangular produz dois novos

retângulos), limitação de peças (cortes restritos ou irrestritos), número de estágios (é

dito ser 2-estágios quando apenas uma mudança no sentido dos cortes guilhotinados é

permitida: horizontal/vertical ou vertical/horizontal). Além disso, o problema será

bidimensional quando duas dimensões são relevantes para cortagem.

Desta forma, o problema combinado consiste em decidir a quantidade de

produtos finais a serem produzidos em cada período do horizonte de planejamento tal

que minimize os custos da produção, preparação e estocagem (dimensionamento de

lotes) e a quantidade de placas a serem cortadas, bem como os padrões de corte, para

compor produtos finais (corte de estoque). Em situações reais, a maioria das indústrias

aborda esses dois problemas de forma separada. Inicialmente, são determinadas para

cada período do horizonte de planejamento, as quantidades de cada produto final

(tamanho do lote) a serem produzidas. A partir desta informação, determina-se, para

cada período, a quantidade de peças de cada tipo a serem cortadas e os melhores

padrões de corte são gerados. Entretanto, tratá-los de forma separada pode elevar os

custos globais, principalmente se uma parcela significativa do custo do produto final é

formada pelo material a ser cortado (BRESSAN&OLIVEIRA, 2004).

Uma abordagem para o problema combinado desconsidera a ocorrência de

custos de preparação e relaxa a integralidade das variáveis que representam a

quantidade de placas cortadas num certo padrão, o que pressupõe grandes quantidades

de demanda. Esta abordagem pode ser aplicada na indústria de móveis, onde placas de

madeira devem ser cortadas na produção de itens. Por simplicidade, consideramos que

haja apenas um tipo de placa em estoque, suficiente para atender a demanda. O

Problema Combinado é formulado, então, considerando-se (BRESSAN, 2003):

Índices:

t = 1, ..., T número de períodos.

p = 1, ..., P número de diferentes tipos de peças a serem cortadas.



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5


j = 1, ..., N número de diferentes padrões de corte.

i = 1, ... ,M número de diferentes produtos finais demandados.

Parâmetros:

cit; custo de produção do produto final i no período t.

hppt: custo de estocagem da peça tipo p no período t.

hit: custo de estocagem do produto final i no período t.

dit: demanda do produto final i no período t.

rpi: número de peças tipo p necessárias para formar um produto i.

vj: tempo gasto para cortar uma placa no padrão de corte j.

apj: número de peças tipo p no padrão j.

ut: tempo máximo de operação da serra.

cp: custo da placa a ser cortada.

Variáveis de decisão:

xit: quantidade do produto final i produzido no período t.

eppt: quantidade da peça tipo p em estoque no fim do período t.

eit: quantidade do produto final i em estoque no fim do período t.

yjt: quantidade de placas cortadas usando o padrão j no período t.

min

M

i 1

T

t 1

(cit .xit + hit. eit) +

N

j 1

T

t 1

cp.yjt +

P

p 1

T

t 1

hppt .eppt (1)

s.a:

xit + ei,t-1 – eit = dit t = 1,…,T, i = 1,…,M (2)

N

j 1

apj .yjt + epp,t-1 – eppt =

M

i 1

rpi .xit t = 1…T (3)

N

j 1

vj .yjt ut t = 1,…,T, j = 1, ..., N (4)

xit , fit , yjt, ept 0 t = 1,…,T (5)



________________________________________________________________________

6


As restrições (2) se referem às equações de balanço de estoque com relação aos

produtos finais, o que garante que a demanda de itens de cada período será atendida. As

restrições (3) se referem às equações de balanço de estoque com relação às peças, o que

asseguram que a demanda de peças será satisfeita. Estas restrições são as que acoplam

os problemas de dimensionamento de lotes e de corte de estoque, pois ambas incluem as

variáveis xit, que definem o tamanho dos lotes e yjt, que definem a quantidade de placas

cortadas num certo padrão de corte. As restrições (4) se referem à capacidade da serra, o

que garante que o tempo gasto no processo de corte das placas nos diversos padrões de

corte não ultrapassa a capacidade disponível da serra, ou seja, seu tempo máximo de

operação e, por fim, (5) representa as condições de não negatividade.

2 Estudos de caso

A fim de executar o Problema Combinado, foram atribuídos valores aos seus

parâmetros provenientes de dados fornecidos por uma indústria moveleira de pequeno

porte do município de Cornélio Procópio, para que fosse possível a decisão de dois

programas de produção, descritos a seguir. Ambos consideram a produção de dois tipos

de produtos finais: mesas e cadeiras. Além disso, em ambos os casos, considera-se que

não há estoque no período anterior t-1. Desta forma seria possível uma comparação das

soluções ótimas obtidas em cada caso.

2.1. Primeiro Programa de Planejamento da Produção

No primeiro problema de planejamento da produção, inicialmente, são

considerados os seguintes dados:

t = 5 períodos de tempo

p = 3 tipos de peça

j = 5 tipos de padrões de corte da placa

i = 2 produtos finais (mesa e cadeira)



________________________________________________________________________

7


Os tipos de peça para composição dos produtos finais são:

Peça do tipo 1: tampo da mesa

Peça do tipo 2: pés da mesa/cadeira

Peça do tipo 3: assento/encosto da cadeira

A variável x1t representa o produto ―mesa‖, cujo custo de produção fornecido é

c1t = R$255 e a demanda é d1t =2 para t=1,2. A variável x2t representa ―cadeira‖, cujo

custo de produção é c2t = R$80 e a demanda é d2t = 3 para t=1,2.

Os demais parâmetros fornecidos pela fábrica são:

cp = R$120,

ut = 300 horas por período,

apj pode ser visto na Tabela 1,

r11=1, r21=5, r32=2, r22=6,

h1t =3, h2t =1,

hp1t =0,2, hp2t =0,3, hp3t =0,5.

As peças a serem cortadas são tampo (p =1), pés (p =2), assento/encosto (p =3).

Os padrões de corte exibidos na Tabela 1 são pré-estabelecidos pela fábrica, de acordo

com a capacidade dos equipamentos e a mão-de-obra disponíveis.

Tabela 1: Padrões de Corte

Padrão de

Corte

Peça tipo 1

(p=1)

Peça tipo 2

(p=2)

Peça tipo 3

(p=3)

Tempo de

corte

j=1 2 0 0 v1 = 1

j=2 1 88 0 v2 =1,2

j=3 0 0 35 v3 =1,5

j=4 0 0 45 v4 =1,4

j=5 1 8 15 v5 =1,5

Substituindo-se estes valores nas Equações (1) a (5) do Problema Combinado, o

seguinte modelo é obtido. A função objetivo (1) se torna

Min 255x11+3e11+80x21+1e21+120y11+120y21+120y31+120y41+120y51+

+0.2ep11+0.3ep21+0.5ep31+255x12+3e12+80x22+e22+120y12+120y22+

+120y32+120y42+120y52+0.2ep12+0.3ep22+0.5ep32+255x13+3e13+

+80x23+1e23+120y13+120y23+120y33+120y43+120y53+0.2ep13+

+0.3ep23+0.5ep33+255x14+3e14+80x24+1e24+120y14+120y24+120y34+



________________________________________________________________________

8


+120y44+120y54+0.2ep14+0.3ep24+0.5ep34+255x15+3e15+80x25+1e25+

+120y15+120y25+120y35+120y45+120y55+0.2ep15+0.3ep25+0.5ep35

Conjunto de restrições referente à equação (2):

1x11-1e11+1x12-1e12+1x13-1e13+1x14-1e14+1x15-1e15=10

1x21-1e21+1x22-1e22+1x23-1e23+1x24-1e24+1x25-1e25=15


2y11+89y21+35y31+45y41+24y51-1ep11-1ep21-1ep31+2y12+89y22+35y32+45y42+24y52+

-ep12-ep22-1ep32+2y13+89y23+35y33+45y43+24y53-ep13-ep23-ep33+2y14+89y24+ 35y34+

+45y44+24y54-1ep14-ep24-ep34+2y15+89y25+35y35+45y45+24y55-ep15 - ep25 - ep35 =

=6x11+8x21+6x12+8x22+6x13+8x23+6x14+8x24+6x15+8x25


y11+1,2y21+1,5y31+1,4y41+1,5y51+y12+1,2y22+1,5y32+1,4y42+1,5y52+y13+1,2y23+1,5y33

+1,4y43+1,5y53+y14+1,2y24+1,5y34+1,4y44+1,5y54+y15+1,2y25+1,5y35+1,4y45+1,5y55<=

1500

A solução ótima deste problema, após a aplicação do Método Simplex, deve

indicar em qual período do horizonte de planejamento e em que quantidade os produtos

finais devem ser produzidos, de forma que se obtenha o custo mínimo de corte e de

estoque, respeitando-se as restrições de balanço de estoque com relação aos produtos

finais e às peças, a restrição de capacidade da serra e as condições de não negatividade.

2.2.Segundo Programa de Planejamento da Produção

No segundo problema de planejamento da produção, é considerado um número

maior de diferentes tipos de peças para confecção dos produtos finais. Os seguintes

dados são fornecidos pela indústria:

t = 5 períodos de tempo

p = 7 tipos de peça

j = 6 tipos de padrões de corte da placa

i = 2 produtos finais (mesa e cadeira)

Os tipos de peça para composição dos produtos finais são:



________________________________________________________________________

9


Peça do tipo 1: tampo da mesa Peça do tipo 5: pé da cadeira

Peça do tipo 2: encosto da cadeira Peça do tipo 6: apoio da mesa

Peça do tipo 3: assento da cadeira Peça do tipo 7: pé da mesa

Peça do tipo 4: apoio da cadeira

Neste caso, os novos padrões de corte para a produção de peças são descritos na

Tabela 2. Estes, são pré-estabelecidos pela fábrica, de acordo com a capacidade dos

equipamentos e a mão-de-obra disponíveis.

Tabela 2: Padrões de Corte

Padrão

de Corte

Peça tipo 1

(p=1)

Peça tipo 2

(p=2)

Peça tipo 3

(p=3)

Peça tipo 4

(p=4)

Peça tipo5

(p=5)

Peça tipo 6

(p=6)

Peça tipo 7

(p=7)

Tempo

de corte

j=1 0 34 34 0 0 0 0 v1 = 3

j=2 15 8 7 0 0 0 0 v2 =2

j=3 12 12 13 0 0 0 0 v3 =4

j=4 0 0 0 8 1 2 0 v4 =4

j=5 0 0 0 2 3 4 0 v5 =3 j=6 0 0 0 0 0 0 4 v6 =2

Substituindo-se os valores dos parâmetros fornecidos pela fábrica, obtemos o

Problema Combinado a seguir. A variável x11 representa o produto ―mesa‖, cujo custo

de produção fornecido é R$60 reais e a demanda é 10, e a variável x21 representa

―cadeira‖, cujo custo de produção é R$40 reais e a demanda é 20. Os parâmetros (custo

de produção, estoque e tempo de corte) foram alterados, já que foram utilizados dados

de outros tipos de madeira e outros padrões de corte. Considera-se também que não há

estoque no período anterior t – 1. Portanto, o PPL para o segundo caso é descrito a

seguir.

Parâmetros fornecidos pela fábrica:

cp = R$135,07,

ut = 240 horas por período,

apj pode ser visto na Tabela 2,

r11=1, r21=0, r31=0, r41=0, r51=0, r61=2, r71=4, r12=0, r32=1, r22=1, r42=2, r52=4,

r62=0, r72=0,

h11 =4, h21 =2, hp11 =0,4,



________________________________________________________________________

10


hp21 =0,35, hp31 =0,25, hp41 =0,13, hp51 =0,15, hp61 =0,18, hp71 =0,23.

Substituindo-se estes valores nas Equações (1) a (5) do Problema Combinado, o

seguinte modelo de programação linear é obtido. A função objetivo referente à equação

(1) se torna:

min 60x11+4e11+40x21+2e21+135,07y11+5,77y21+11,89y31+135,07y41 +

+135,07y51+0,4ep11+0,35ep21+0,25ep31+0,13ep41+0,15ep51+0,18ep61+

+0,23ep71+60x12+4e12+40x22+2e22+135,07y12+135,07y22+135,07y32+135,07y42+

+135,07y52+135,07y62+0,4ep12+0,35ep22+0,25ep32+0,13ep42+015ep52+0,18ep62+

+0,23ep72+60x13+4e13+40x23+2e23+135,07y13+135,07y23+135,07y33+135,07y43+

+135,07y53+135,07y63+0,4ep13+0,35ep23+0,25ep33+0,13ep43+015ep53+0,18ep63+

+0,23ep73+60x14+4e14+40x24+2e24+135,07y14+135,07y24+135,07y34+135,07y44+

+135,07y54+135,07y64+0,4ep14+0,35ep24+0,25ep34+0,13ep44+015ep54+0,18ep64+

+0,23ep74+60x15+4e15+40x25+2e25+135,07y15+135,07y25+135,07y35+135,07y45+

+135,07y55+135,07y65+0,4ep15+0,35ep25+0,25ep35+0,13ep45+015ep55+0,18ep65+

+0,23ep75


x11-e11+x12-e12+x13-e13+x14-e14+x15-e15=50

x21-e21+x22-e22+x23-e23+x24-e24+x25-e25=100


68y11+30y21+37y31+11y41+9y51+4y61-ep11-ep21-ep31-ep41-ep51-ep61-ep71-7x11 -

8x21+68y12+30y22+37y32+11y42+9y52+4y62-ep12-ep22-ep32-ep42-ep52-ep62-ep72-7x12 -




8x25=0



________________________________________________________________________

11



3y11+2y21+4y31+4y41+3y51+2y61+3y12+2y22+4y32+4y42+3y52+2y62+3y13+2y23+4y33+

+4y43+3y53+2y63+3y14+2y24+4y34+4y44+3y54+2y64+3y15+2y25+4y35+4y45+3y55+2y65<

=1200

Como no problema anterior, após a aplicação do Método Simplex, a solução

ótima indicará em qual período do horizonte de planejamento e em que quantidade os

produtos finais devem ser produzidos, de forma que se obtenha o custo mínimo,

respeitando-se as restrições (1) a (5) do Problema Combinado.

3 Resultados numéricos

Soluções ótimas foram obtidas a partir da execução dos modelos descritos

anteriormente com apoio computacional do software LINDO (“Linear Interactive and

Discrete Optimizer”), a partir da execução do Método Simplex. A configuração

utilizada para as execuções dos PPL´s se refere a um processador Intel Core I5 de

3.3GHZ, memória de 6GB e 1.333MHz.

Para o primeiro programa de produção, a solução ótima obtida para t = 2

períodos de planejamento indica que o custo mínimo de produção para o período é

R$1508,09 e as variáveis de decisão obtidas são: x11=4, x21=6, y21=0,067 e as demais

são nulas. Com isso, a solução ótima para o problema linear (relaxado) sugere o

adiantamento da produção dos produtos finais no primeiro período. Comparando-se a

solução ótima com o custo de uma produção que atende a demanda por período –

produzindo-se 2 mesas e 3 cadeiras por período – a solução ótima proporciona uma

economia de R$23,51. Na prática, de acordo com Miyazawa (2015), pode ser aplicada

uma estratégia para arredondar as variáveis fracionárias para que assumam valores

inteiros, de tal maneira a obter uma solução viável. Como o número de placas em uma

solução deve ser inteiro, uma solução ótima deve usar pelo menos 1 placa. Assim, se a

solução obtida pelo arredondamento não for ótima, usa-se no máximo uma placa a mais

que a solução ótima.

Ainda, supondo que a demanda e preços de estoque são constantes e t = 5

períodos de planejamento, obteve-se um custo mínimo total de produção de R$ 3758,09,



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12


o que sugere adiantar a produção de cadeiras, x21 = 15, gerando estoque, e postergar a

produção de mesas, x14 = 10. Neste caso, comparando-se o custo desta produção com o

custo de uma produção que atende a demanda por período, a solução ótima proporciona

uma economia de R$70,91 (supondo que a demanda e os preços sejam constantes).

Para o segundo programa de planejamento da produção, o custo mínimo para o

planejamento de 1 período é de R$1856,85 e as variáveis de decisão obtidas são:

x11=10, x21=20, y11=3,3824, atendendo à demanda, Para t = 2 períodos de planejamento,

a solução ótima indica que o custo mínimo de produção para o período é R$3713,71,09

e as variáveis de decisão são: x12=20, x22=40, y11=6,77 , sugerindo que a produção seja

feita no segundo período. Já para t = 5 períodos, a solução ótima indica custo mínimo de

R$9284,27 e as variáveis de decisão obtidas são: x13=50, x24=100, y12=16,91. Portanto, a

solução ótima sugere o adiantamento da produção de mesas para o terceiro período e de

cadeiras para o quarto período, gerando estoque para os períodos seguintes. Conforme

descrito no primeiro programa de produção, na prática, pode ser aplicada uma estratégia

de arredondamento das variáveis fracionárias para que assumam valores inteiros

(MIYAZAWA, 2015). Desta forma, uma solução viável é: y11=7 placas a serem

cortadas no padrão 1 no período 1 e y12=17 placas no padrão 1 no período 2.

Uma produção que atende a demanda por período, produzindo-se 10 mesas e 20

cadeiras em cada período, tem custo total de produção de R$1931,21 por período.

Supondo demanda e preços constantes, o modelo combinado proporciona economia de

R$74,36 por período. Ao considerar t = 5 períodos, a solução ótima então proporciona

lucro de R$ 371,80 ao compara-la à uma produção que não considera a antecipação de

produtos finais e os custos de estoque.

Após a execução dos dois estudos de caso, foi feita a Análise de Sensibilidade

dos parâmetros e das constantes dos modelos. Essa análise busca verificar os efeitos

causados ao Problema de Programação Linear, devido às possíveis variações dos

valores dos coeficientes das variáveis, tanto na função objetivo como nas constantes das

restrições. No primeiro estudo de caso, o coeficiente da variável x21 é 80 (custo de

produção do item ―cadeira‖ no primeiro período). Se tal custo aumentar em 1 unidade,

multiplicando-se pela solução ótima, tem-se que a o valor da função objetivo aumentará

em R$1215,00., ou seja, a função objetivo final será R$4973,09. No segundo estudo de

caso, o valor da função objetivo é R$9284,272; o coeficiente da variável x13 é 60 e, de



________________________________________________________________________

13


acordo com a sensibilidade, este valor pode ser aumentar até 77,9 para que as variáveis

básicas permaneçam na base. Como o valor ótimo desta variável é 50, logo a função

objetivo final será 9284.272 + 3895 = 13179.272. É importante lembrar que a Análise

de sensibilidade é extensiva para qualquer variável de decisão.

A partir destes resultados, pode-se concluir que a aplicação do Problema

Combinado em conjunto com o Método Simplex no estudo da fábrica de móveis é

eficiente, uma vez que fornece o custo mínimo, sugerindo a antecipação da produção de

alguns itens, proporcionando economia em relação a uma produção que atende a

demanda por período.

4 Considerações finais

Este trabalho apresentou estudos de caso do Problema Combinado, que envolve

conjuntamente dois importantes problemas de otimização linear: corte de estoque e

dimensionamento de lotes. Tratá-los de forma separada pode elevar os custos globais

de produção, principalmente se uma parcela significativa do custo do produto final é

formada pelo material a ser cortado. Apesar da sua combinação ser ainda pouco

explorada na literatura, a constatação de sua relevância em diversas situações o elege

como um importante problema a ser pesquisado.

Os estudos de caso apresentados, os quais levam em consideração o estudo do

Problema Combinado, mostrou-se eficiente, destacando a importância desse tipo de

modelo na área de produção.

Como perspectivas de continuidade deste trabalho, pretende-se variar a demanda

e os preços, para ter perspectivas de estoque, além de fazer comparações com outros

estudos de casos reais e suas respectivas análises de sensibilidade; e, ainda, comparar

soluções ótimas obtidas a partir de outros tipos de softwares.



________________________________________________________________________

14


Referências

Arenales, M. et al. Pesquisa Operacional: para cursos de engenharia. Elsevier, Rio de

Janeiro, 2007.

Bressan, G.M.; Oliveira, A.R.L. (2004), Reordenamento eficiente das colunas básicas

na programação de lotes e cortes. Pesquisa Operacional, 24(2), 323-337.

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Lotes e Cortes. Dissertação de Mestrado, ICMC – USP, 2003.

Goldbarg, M. C.; Luna, H. P. Otimização Combinatória e Programação Linear.

Elsevier, Rio de Janeiro, 2005.

Gramanni, M.C.M. Otimização do Processo de Cortagem Acoplado ao Planejamento

da Produção. Tese de Doutorado, Densis- Unicamp, 2001.

Lachtermacher, G. Pesquisa Operacional na tomada de decisões. Pearson Prentice

Hall, São Paulo, 2002.

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jogos e avaliação de desempenho. Interciência, Rio de Janeiro, 2006.

Miyazawa, F. K. Programação Inteira. Instituto de Computação — Universidade

Estadual de Campinas, 2015. Disponível em <www.ic.unicamp.br/~fkm/lectures/

progint.pdf>. Acesso em: 27 nov 2015.

Maculan Filho, N.; Pereira, M. V. F. Programação Linear. Atlas, São Paulo,1980.

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Russomano, V. H. Planejamento e Controle da Produção. Pioneira, São Paulo, 2000.

Tubino, D. F. Planejamento e Controle da Produção: Teoria e Prática. Atlas, São

Paulo, 2007.



________________________________________________________________________

15


Analise de estabilidade para um modelo de

respiracao humana∗

Resumo

Descreveremos um modelo simples para o mecanismo de respiracao humanaatraves de um sistema de equacoes diferenciais com retardamento e buscaremospor condicoes que garantam a estabilidade do ponto de equilıbrio do sistema, possi-bilitando realizar significativa prevencao de irregularidades na respiracao humana.

Palavras Chave: sistema respiratorio, retardamento, estabilidade.

Introducao

Apresentaremos neste trabalho um sistema de equacoes com retardamento oqual descreve um modelo sobre o mecanismo de controle respiratorio em humanose pretendemos estudar as condicoes de estabilidade e instabilidade do ponto deequilıbrio do sistema.

Entendemos que o mecanismo de producao de padroes instaveis de respiracaotem potencial significativo na prevencao e tratamento de varias irregularidades narespiracao humana, como por exemplo apneia do sono, SIDS, etc.

O objetivo deste trabalho e fornecer uma analise de estabilidade para um modelosimplificado do sistema respiratorio. Este artigo foi baseado principalmente noestudo que realizamos sobre a referencia [2].

1 Modelo respiratorio

Segundo a referencia [2], o controlador responde as entradas dos quimiorrecepto-res centrais e perifericos. “Um quimiorreceptor e um receptor que responde a umaalteracao na composicao quımica do sangue, ou outro fluido em torno de si”, veja[5]. Os quimiorreceptores respondem as mudancas na concentracao arterial de CO2

e O2 (PCO2 , PO2). O controlador tambem e influenciado por mudancas no estado,como sono, insonia, etc. A ventilacao (W ) juntamente com a concentracao de CO2

e O2 inspirada (PICO2 ,PIO2), influencia o comportamento do pulmao.

∗Trabalho realizado sob a orientacao da Profa. Dra. Marta Cilene Gadotti.†Email: [email protected], Curso de Bacharelado em Matematica, Bolsista BAAE I, Uni-

versidade Estadual Paulista “Julio de Mesquita Filho-Unesp, Campus de Rio Claro.‡Email: [email protected], Departamento de Matematica do IGCE-Unesp, Rio Claro.

SILVA, M. R.; GADOTTI, M. C. Análise de estabilidade para um modelo de respiração humana.

DOI: 10.21167/cqdvol5ic201523169664mrsmcg1625 - Disponível em: http://www2.fc.unesp.br/revistacqd/index.jsp

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16

C.Q.D. - Revista Eletrônica PaulistaBauru, v. 5, p. 16-25, dez. 2015. Edição Iniciação Científica. de Matemática,

Marcia Richtielle da Silva†

Marta Cilene Gadotti ‡

Figura 1: Diagrama de controle do sistema respiratorio

No diagrama apresentado, TD1 representa o retardo no transporte entre o pulmaoe o quimiorreceptor periferico e TD2 representa o retardo no transporte entre opulmao e os quimiorreceptores centrais. Para maiores detalhes sobre o sistemarespiratorio consulte a referencia [1].

Evidencias experimentais indicam que o aumento do retardo no transporte daventilacao pode produzir padroes oscilatorios, que causam padroes anormais derespiracao.

Para simplificar o sistema, vamos assumir que o retardo no transporte da ven-tilacao seja constante.

A analise realizada no Capıtulo 8 da referencia [5] explica estes processos biologicosde uma forma mais clara.

Neste artigo, vamos nos concentrar apenas nos quimiorreceptores perifericos paraestudarmos o controle da respiracao, ou seja, iremos omitir a area pontilhada nafigura acima.

Considere o seguinte sistema nao linear de equacoes diferenciais com retarda-mento:

d∼x

dt= p− αW

(∼x (t− τ),

∼y (t− τ)

)(∼x (t)− xI)

d∼y

dt= −σ + βW

(∼x (t− τ),

∼y (t− τ)

)(yI−

∼y (t)),

(1.0.1)

onde∼x e

∼y denotam a concentracao arterial(pressao arterial) de CO2 e O2, res-

pectivamente; W (., .) e a funcao ventilacao (que monitora o volume de gas movidopelo sistema respiratorio, mudancas de frequencias da respiracao); τ > 0 representao retardo no transporte ; xI e yI sao as concentracoes de CO2 e O2 inspiradas,respectivamente; p e a taxa de producao de CO2; σ e a taxa de consumo de O2 eα, β sao constantes positivas referentes a difusao de CO2 e O2 respectivamente.

Vamos reescrever o sistema (1.0.1) usando novas variaveis. Para isso, faremos aseguinte substituicao:

x(t) = a(∼x (t)− xI

)e y(t) = b

(yI−

∼y (t)

),

onde a e b sao constantes a serem determinadas. Assim,



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17


dx

dt= a

d∼x

dt⇒ d

∼x

dt=

1

a

dx

dt,

dy

dt= −bd

∼y

dt⇒ d

∼y

dt= −1

b

dy

dt.

E ainda,

x(t) = a(∼x (t)− xI

)⇒∼x (t) = xI +

1

ax(t) e

y(t) = b(yI−

∼y (t)

)⇒∼y (t) = yI −

1

by(t).

Substituindo em (1.0.1), obtemos:

dx

dt= a

d∼x

dt= ap− aαW

(xI +

1

ax(t− τ), yI −

1

by(t− τ)

)(1

ax(t)

),

dy

dt= −bd

∼y

dt= bσ − bβW

(xI +

1

ax(t− τ), yI −

1

by(t− τ)

)(1

by(t)

).

Agora, chamando as constantes a e b por a =1

pe b =

1

σe definindo a seguinte

funcaoV (x, y) = W (xI + px, yI − σy),

obtemos as seguintes equacoes:dx

dt= 1− αV (x(t− τ), y(t− τ))x(t),

dy

dt= 1− βV (x(t− τ), y(t− τ))y(t).

(1.0.2)

2 Analise de estabilidade

Vamos considerar o sistema de equacoes diferenciais (1.0.2) e investigar questoessobre existencia, unicidade e estabilidade do ponto de equilıbrio. Parece ser biolo-gicamente realıstico assumir W (u, v) como uma funcao crescente em u e como umafuncao decrescente em v, para u > xI e v < yI , ver referencia [6]. Portanto, vamosassumir as seguintes condicoes sobre a funcao V :

(H1) V (x, y) e uma funcao diferenciavel, com V (0, 0) = W (xI , yI) = 0 e

(H2)∂V (x, y)

∂x> 0,

∂V (x, y)

∂y> 0, x > 0, y > 0.

Note que x > 0 e y > 0 correspondem a∼x> xI e

∼y< yI nas variaveis originais.

Para estudarmos a estabilidade do equilıbrio e preciso estabelecer alguns resultadospreliminares.

Teorema 1 Suponha as hipoteses (H1) e (H2) . Entao existe um unico ponto deequilıbrio positivo do sistema (1.0.2).



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18


Prova: Um ponto de equilıbrio (x, y) de (1.0.2) se existir, deve satisfazer:

dx

dt= 0 e

dy

dt= 0, com x 6= 0 e y 6= 0.

Ou seja,

1− αV (x, y)x = 0⇒ αV (x, y)x = 1⇒ V (x, y) =1

αx,

1− βV (x, y)y = 0⇒ V (x, y) =1

βy.

Segue que1

αx=

1

βy⇔ βy = αx⇔ x =

βy

α.

Note que

βV

(βy

α, y

)=

1

y. (2.0.3)

Como V (0, 0) = 0 e V

(βy

α, y

)e crescente em y, existe uma unica solucao

positiva y de (2.0.3), devido ao Teorema do Valor Intermediario. Observe tambem

que αV (x, y) = αV

(βy

α, y

)=

α

βy=

1

x, ou seja, encontrado y, existe unico x dado

por x =βy

α.

Portanto, (x, y) e o unico ponto de equilıbrio de (1.0.2), com x > 0 e y > 0.

Vamos investigar agora a estabilidade assintotica do ponto de equilıbrio do sis-tema (1.0.2), considerando as hipoteses (H1) e (H2).

Chamando ξ(t) = x(t)− x, η(t) = y(t)− y em (1.0.2) e

W (x, y) =

[1− αV (x(t− τ), y(t− τ))x(t)1− βV (x(t− τ), y(t− τ))y(t)

],

e usando a Formula de Taylor para aproximar W em torno do ponto de equilıbrio(x, y), obtemos o sistema linearizado de (1.0.2):

dξ

dt= −αV ξ(t)− αxVxξ(t− τ)− αxVyη(t− τ),

dη

dt= −βV η(t)− βyVxξ(t− τ)− βyVyη(t− τ),

(2.0.4)

em que V = V (x, y), Vx = Vx(x, y) e Vy = Vy(x, y) sao constantes.

Podemos reescrever (2.0.4) da seguinte forma:

d

dt

(ξ(t)η(t)

)+A

(ξ(t)η(t)

)+B

(ξ(t− τ)η(t− τ)

)=

(00

),

com A =

(αV 0

0 βV

)e B =

(αxVx αxVyβyVx βyVy

).

Para construirmos a equacao caracterıstica usaremos os resultados de [3]. Assim,



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19


∆(λ, τ) = det(λI +A+Be−τλ

)= 0.

Logo,

det

(λ+ αV + αxVxe

−τλ αxVye−τλ

βyVxe−τλ λ+ βV + βyVye

−τλ

)= 0⇒(

λ+ αV + αxVxe−τλ)(

λ+ βV + βyVye−τλ)− αβxyVxVye−τλ = 0⇒

λ2 + λ(α+ β)V + αβV2

+((βyVy + αxVx)λ+ αβV (yVy + xVx)

)e−τλ = 0.

Agora, denotemos por:

P (λ) = λ2 + λ(α+ β)V + αβV2

eQ(λ) = (αxVx + βyVy)λ+ αβV (xVx + yVy).

Logo,

∆(λ, τ) = det(λI +A+Be−τλ

)= P (λ) +Q(λ)e−τλ = 0. (2.0.5)

Notemos que quando τ = 0 em (1.0.2), temos uma equacao diferencial ordinariae neste caso podemos utilizar os resultados referentes a teoria de estabilidade paraeste tipo de equacao.

Fazendo τ = 0 na equacao acima, obtemos:

∆(λ, 0) = λ2 + λ(αV + βV + αxVx + βyVy) + αβ(V2yV Vy + xV Vx) = 0.

Por causa das hipoteses (H1) e (H2), os coeficientes desta equacao sao positivose, portanto, as raızes tem parte real negativa.

Para τ = 0, segue da teoria de estabilidade para equacoes diferenciais ordinariasque o ponto de equilıbrio (x, y) e assintoticamente estavel.

Para a analise de estabilidade em que τ > 0, vamos precisar do resultado abaixo.

Lema 2 Se V ≥ xVx+yVy, entao ∆(iω, τ) 6= 0, ∀ω ∈ R, ∀τ ≥ 0. Se V < xVx+yVy,entao existe um unico par ω0, τ0, com ω0 ≥ 0, τ0 ≥ 0, ω0τ0 < 2π de modo que∆(iω0, τ0) = 0.

Prova: Primeiramente, note que ∆(0, τ) = αβ(V2

+ yV Vy + xV V x) 6= 0, poisα, β 6= 0, V 6= 0, (x, y) 6= (0, 0) e Vx, Vy > 0. Portanto, λ = 0 nao e solucao daequacao caracterıstica.

Alem disso,

|P (iω)|2 =(−ω2 + αβV

2)2

+(αV ω + βV ω

)2= ω4 +

(α2V

2+ β2V

2)ω2 +α2β2V

4

e|Q(iω)|2 =

(βyVy + αxVx

)2ω2 + α2β2V

2 (yVy + xVx

)2.

Assim,|P (iω)|2 − |Q(iω)|2 = ω4 + k1ω

2 + k2,

onde k1 = V2 (α2 + β2

)−(βyVy + αxVx

)2e k2 = α2β2V

2(V

2 −(yVy + xVx

)2).



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20


Agora, se V ≥ xVx + yVy entao V2 ≥

(xVx + yVy

)2 ⇒ V2 −

(xVx + yVy

)2 ≥ 0

e como α2β2V2 ≥ 0, segue que k2 ≥ 0.

Note tambem que:

V2 ≥

(xVx + yVy

)2 ⇒ (α2 + β2)V2 ≥ (α2 + β2)

(xVx + yVy

)2=

= α2x2Vx2

+ 2α2x yVx Vy + α2y2Vy2

+ β2x2Vx2

+ 2β2x yVx Vy + β2y2Vy2+

+ 2αβx yVx Vy − 2αβx yVx Vy = 2α2x yVx Vy + 2β2x yVx Vy +(αxVx + βyVy

)2+

+(αyVy − βxVx

)2>(αxVx + βyVy

)2.

Portanto, (α2 + β2)V2>(αxVx + βyVy

)2, o que implica k1 > 0. Assim,

|P (iω)|2 − |Q(iω)|2 > 0, ∀ω ∈ R∗. (2.0.6)

Suponhamos por contradicao que ω seja raiz de ∆(iω, τ) = 0. Ou seja,

P (iω) +Q(iω)e−iωτ = 0⇒ P (iω) = −Q(iω)e−iωτ

⇒ |P (iω)|2 = |Q(iω)|2|e−iωτ |2 ⇒|P (iω)|2 = |Q(iω)|2 ⇒ |P (iω)|2 − |Q(iω)|2 = 0,

contradizendo (2.0.6). Portanto, ∆(iω, τ) 6= 0,∀ω ∈ R∗, τ ≥ 0, o que conclui aprimeira parte do lema.

Agora suponha que V < xVx + yVy. Entao,

V2 −

(xVx + yVy

)2< 0 e α2β2V

2> 0⇒ k2 = α2β2V

2(V

2 −(xVx + yVy

)2)< 0.

Seja v = ω2, tem-se entao |P (iω)|2 − |Q(iω)|2 = v2 + k1v + k2. Defina G(v) =v2 + k1v + k2. Como k2 < 0, G(v) = 0 tem uma unica raiz nao negativa dada por

v0 =1

2

[−k1 +

√k21 − 4k2

]> 0.

Consequentemente, v0 = ω20 ⇒ ω0 = +

√v0 > 0. Portanto, existe uma unica

raiz w0 tal que |P (iω0)|2 − |Q(iω0)|2 = 0 e para este w0, podemos determinar τ0 demodo que τ0w0 = 2π. O que completa a prova do lema.

Observacao 3 Se V < xVx + yVy, entao pelo Lema 2, temos ∆(iω, τ) = 0, ω ∈R, τ ≥ 0 se, e somente se,

ω = ±ω0, τ = τndef= τ0 +

2nπ

ω0, n = 0, 1, 2, · · · , (2.0.7)

em que ω0 > 0 e τ0 ≥ 0 sao obtidos na prova do Lema 2.

Para concluir a analise, vamos utilizar o resultado a seguir, cuja prova pode serencontrada em [4].

Teorema 4 Considere a equacao (2.0.5), onde P e Q sao funcoes analıticas nosemiplano Re(z) > −δ, com δ > 0. As seguintes condicoes sao satisfeitas:

(i) P (z) e Q(z) nao tem parte imaginaria nula;



________________________________________________________________________

21


(ii) P (−iy) = P (iy), Q(−iy) = Q(iy), para y ∈ R;

(iii) P (0) +Q(0) 6= 0;

(iv) Existe no maximo um numero finito de raızes de (2.0.5) no semiplano Re(z) >−δ, quando τ = 0;

(v) F (y) ≡ |P (iy)|2 − |Q(iy)|2, para y ∈ R, tendo no maximo um numero finitode raızes reais.

Sob essas condicoes, as seguintes afirmacoes sao verdadeiras:(a) Suponha que a equacao F (y) = 0 nao tenha raızes positivas. Entao se (2.0.5)

e estavel em τ = 0, ela permanece estavel para todo τ ≥ 0. Enquanto que, se forinstavel em τ = 0, permanece instavel para todo τ ≥ 0.

(b) Suponha que a equacao F (y) = 0 tenha pelo menos uma raiz positiva e quecada raiz positiva seja simples. Entao, conforme τ cresce, trocas de estabilidadepodem ocorrer e existe um numero positivo τ∗ tal que a equacao (2.0.5) e instavelpara todo τ > τ∗ e, conforme τ varia de 0 a τ∗, no maximo um numero finito detrocas de estabilidade pode ocorrer.

Mostremos agora que, sob certas condicoes, o ponto de equilıbrio (x, y) do sis-tema e assintoticamente estavel.

Teorema 5 Se V ≥ xVx+yVy, entao o ponto de equilıbrio (x, y) e assintoticamenteestavel para todo retardo τ ≥ 0.

Prova: Note que

∆(λ, 0) = λ2 + λ(αV + βV + αxVx + βyVy) + αβ(V2

+ xV Vx + yV Vy).

Se chamarmos A = αV +βV +αxVx+βyVy > 0 e B = αβ(V2+xV Vx+yV Vy) > 0,

podemos escrever

λ2 +Aλ+B = 0.

Para λ = u+ iv e igualando partes real e imaginaria, temosu2 − v2 +Au+B = 0

2uv + vA = 0

Da ultima equacao segue que v = 0 ou u = −A2< 0. Se v = 0⇒ u2 + Au+B = 0

o que implica u = −A±√A2−4B2 < 0.

Logo, todas as raızes da equacao tem partes reais negativas, entao para τ = 0o equilıbrio e estavel. Agora, vamos aplicar o Teorema 4, item (v)(a). Primeiro,vejamos se todas as condicoes exigidas estao satisfeitas. De fato,

(i) Segue do Lema 2 que P e Q nao tem raızes imaginarias comuns;

(ii) P (−iω) = −ω2 − (α+ β)V iω + αβV2

= P (iω), e facil ver queQ(−iω) = Q(iω);

(iii) P (0) +Q(0) = αβV (V + (xVx + yV Vy)) 6= 0;

(iv) Quando τ = 0, P (λ) + Q(λ) = 0 so admite um numero finito de raızes nosemiplano considerado;

(v) F (ω) = |P (iω)|2 − |Q(iω)|2, e um polinomio em ω e, portanto, possui umnumero finito de zeros reais.



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22


Segue do Teorema 4 que o equilıbrio e estavel para todo τ > 0.

Lema 6 Considere τn e ω0 descritos na Observacao 3, tem-se:

Re

(iω0

∂∆(iω0, τn)

∂λQ(iω0)e

−iω0τn

)> 0, n = 0, 1, 2, ....

Prova: Sejam a1 = (α+β)V , a2 = αβV2, b1 = αxVx+βyVy, b2 = αβV

(xVx + yVy

),

entao ∆(λ, τ) = λ2 + a1λ+ a2 + (b1λ+ b2)e−τλ.

Derivando ∆(λ, τ) com relacao a λ, temos

∂∆(λ, τ)

∂λ= 2λ+ a1 + b1e

−τλ + (b1λ+ b2)e−τλ(−τ).

Fazendo agora λ = iω0 e τ = τn, obtemos

∂∆(iω0, τn)

∂λ= 2iω0 + a1 + b1e

−iω0τn − τnQ(iω0)e−iω0τn .

Entao,

iω0∂∆(iω0, τn)

∂λQ(iω0)e

−iω0τn =

iω0

(−2iω0 + a1 + b1e

iω0τn − τnQ(iω0)eiω0τn

)Q(iω0)e

−iω0τn =

iω0(−2iω0 +a1)Q(iω0)e−iω0τn + iω0b1Q(iω0)e

iω0τne−iω0τn− iτnω0QQe−iω0τneiω0τn =

iω0(−2iω0 + a1)Q(iω0)e−iω0τn + iω0b1Q(iω0)− iτnω0|Q(iω0)|2 =

− iω0(−2iω0 + a1)P (iω0) + iω0b1Q(iω0)− iτnω0|Q(iω0)|2 =

− iω0(−2iω0 + a1)(−ω20 + ia1ω0 + a2) + iω0b1(ib1ω0 + b2)− iτnω0|Q(iω0)|2 =

2ω40−2a2ω

20 +a21ω

20−b21ω2

0 + i(2a1ω

30 + a1ω

30 + a1a2ω0 + b1b2ω0 − τn|Q(iω0)|2ω0

).

Assim,

Re

(iω0

∂∆(iω0, τn)

∂λQ(iω0)e

−iω0τn

)= 2ω4

0 − 2a2ω20 + a21ω

20 − b21ω2

0 =

= 2ω20

(ω20 +

1

2(a21 − b21 − 2a2)

).

Do Lema 2 segue que

a21 − b21 − 2a2 = (α+ β)2V2 − (αxVx + βyVy)

2 − 2αβV2

=

= (α2 + β2)V2 − (αxVx + βyVy)

2 = k1,

Logo,

Re

(iω0

∂∆(iω0, τn)

∂λQ(iω0)e

−iω0τn

)= 2ω2

0

(ω20 +

1

2k1

).

Sabemos, do Lema 2, que w0 =√v0. Entao, 2v0

(v0 +

1

2k1

)> 0, pois v0 > 0 e

k1 > 0.



________________________________________________________________________

23


Portanto,

Re

(iω0

∂∆(iω0, τn)

∂λQ(iω0)e

−iω0τn

)> 0, ∀n = 0, 1, 2, ....

Corolario 7 Se V < xVx+yVy. Sejam ω0, τn, n = 0, 1, ... definidos como no Lema2 e valem as equacoes (2.0.7). Entao, para cada τn, existe uma vizinhanca In ⊂ Rde τn e uma funcao continuamente diferenciavel λn : In → C tais que

i) λn(τn) = iω0,

ii) ∆(λn(τ), τ) = 0, com τ ∈ In;

iii) Re

(dλn(τ)

dτ

∣∣∣∣∣τ=τn

)> 0.

Prova: Do Lema 6, sabemos que∂∆(iω0, τn)

∂λ6= 0, n = 0, 1, 2, ... e ∆(iω0, τn) = 0.

Pelo Teorema da Funcao Implıcita, existem uma vizinhanca In ⊂ R de τn e umafuncao λn : In → C continuamente diferenciavel, satisfazendo:

i) λn(τn) = iω0;

ii) ∆(λn(τ), τ) = ∆(iω0, τ) = 0, ∀τ ∈ In.

Para mostrarmos iii), basta derivar a equacao em ii) e aplicar em τ = τn:

∂∆(iλ, τ)

∂λ

dλ(τ)

dτ+∂∆(iω0, τ)

dτ

∣∣∣∣∣τ=τn

=∂∆(iω0, τn)

∂λ

dλn(τ)

dτ−iω0Q(iω0)e

−iω0τn = 0⇒

(dλn(τ)

dτ

) ∣∣∣∣∣τ=τn

=iω0Q(iω0)e

−iω0τn(∂∆(iω0, τn)

∂λ

)(∂∆(iω0, τn)

∂λ

)(∂∆(iω0, τn)

∂λ

) =

iω0

(∂∆(iω0, τn)

∂λ

)Q(iω0)e

−iω0τn∣∣∣∣∂∆(iω0, τn)

∂λ

∣∣∣∣2.

Logo,

Re

iω0

(∂∆(iω0, τn)

∂λ

)Q(iω0)e

−iω0τn∣∣∣∣∂∆(iω0, τn)

∂λ

∣∣∣∣2 =

1∣∣∣∣∂∆(iω0, τn)

∂λ

∣∣∣∣2Re

(ω0

(∂∆(iω0, τn)

∂λ

)Q(iω0)e

−iω0τn

)> 0,



________________________________________________________________________

24


pelo Lema 6. O que conclui a prova.

Teorema 8 Suponha V < xVx + yVy e τ0 definido no Lema 2. Entao o ponto deequilıbrio (x, y) e assintoticamente estavel se 0 ≤ τ < τ0 e instavel se τ > τ0.

Prova: No caso τ = 0 ja vimos que a equacao caracterıstica ∆(λ, 0) tem todasas raızes com parte real negativa. O que implica que o ponto de equilıbrio (x, y) eassintoticamente estavel.

Pelo Lema 2, existe um unico par de raızes positivas τ0, ω0 da equacao carac-terıstica ∆(iω0, τ0). E pelo Teorema 4, (v)(b), da referencia [4], se existir τ0 ≥ 0 talque P (iω0) +Q(iω0)e

−iω0τn = 0, entao a solucao e instavel para τ > τ0.Desse modo, quando τ varia de 0 ate τ0 podem ocorrer um numero finito de

trocas de estabilidade. Pelo fato de τ0 ser o primeiro instante onde ocorre umaraiz imaginaria, pela continuidade da funcao λ = λ(τ), todas as raızes da equacaocaracterıstica tem parte real negativa. O que implica na estabilidade assintoticapara 0 ≤ τ < τ0.

3 Conclusao

Estes resultados indicam que se o transporte do retardo do sistema for maiorque τ0, entao pode-se esperar manifestacao de irregularidades do sistema respiratorio(respiracao periodica, apneia do sono, SIDS, etc) ja que teremos instabilidade. O quepodemos concluir entao e que a partir do estudo da funcao ventilacao e trabalhandocom as equacoes diferenciais com retardamento, que modelam este tipo de problema,foi possıvel caracterizar a regularidade ou nao da respiracao humana.

Referencias

[1] Carley, D.W.: Minimal modeling of human respiratory stability. In: Modelingand Parameter Estimation in Respiratory Control, Khoo, M.C.K.(ed.). PlenumPress: New York, 171-180 (1989).

[2] Cooke, L. Kenneth, Turi, Janos: Stability, instability in delay equations mo-deling human respiration,Journal of Mathematical Biology, 1994

[3] Bellman, R., Cooke, K. L.: Differential-Difference Equations. New York: Aca-demic Press 1963

[4] Cooke, K.L., Driessche, P. van den: On zeroes of some transcendental equati-ons. Funkcialaj Ekvacioj 29, 77-90(1986)

[5] WEST, John Burnard. Fisiologia respiratoria: princıpios basicos. 9. ed. PortoAlegre: Artmed, 2013.

[6] Khoo, M.C.K.,Kronauer, R. E., Strohl, K.P., Slutsky, A.S.: Factors inducingperiodic breathing in humans: a general model. J.Appl. Physi. 53, 664-659,(1982).



________________________________________________________________________

25


Analise qualitativa de modelos atraves de

e∗

Otavio Henrique Perez †

Resumo

Neste artigo iremos utilizar a Teoria de Sistemas Dinamicos para modelar, usando

Equacoes Diferenciais, problemas fısicos, quımicos e biologicos. Vamos analisar tais pro-

blemas atraves dos retratos de fase, que nos trazem informacoes importantes a respeito

do sistema modelado. Assim, podemos fazer uma analise qualitativa e estudar o compor-

tamento futuro e passado de fenomenos das mais diversas areas da ciencia. Um ponto

interessante a ser destacado e que, mesmo se nao for possıvel resolver a Equacao Diferen-

cial obtida a partir da modelagem do problema, podemos analisar o fenomeno utilizando

retratos de fase.

Palavras Chave: Sistemas de equacoes diferenciais ordinarias, campos de vetores, re-

tratos de fase, modelagem.

∗Trabalho realizado durante estagio de iniciacao cientıfica financiado pela FAPESP (processo numero

2013/09624-7)

†Emails: [email protected] e [email protected]

retratos de fas

PEREZ, O. P.; CARVALHO, T. Análise qualitativa de modelos através de retratos de fase.

DOI: 10.21167/cqdvol5ic201523169664ohptc2661 - Disponível em: http://www2.fc.unesp.br/revistacqd/index.jsp

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26

C.Q.D. - Revista Eletrônica Paulista deBauru, v. 5, p. 26-61, dez. 2015. Edição Iniciação Científica. Matemática,

Tiago de Carvalho †

Introducao

E bem difundida a ideia que Equacoes Diferenciais modelam os mais variados proble-

mas em diversas areas do conhecimento, como: Fısica, Quımica, Engenharias, Biologia,

Medicina, Meteorologia, entre outros. Aqui abordaremos algumas dessas aplicacoes e bus-

caremos obter informacoes topologicas a respeito das trajetorias dos campos de vetores

usados para modelar determinados sistemas. Conforme descrito a seguir, utilizaremos a

Teoria Qualitativa das Equacoes Diferenciais Ordinarias para analisar modelos reais em

um sistema Massa-Mola, um circuito LRC, um modelo Presa-Predador, entre outros.

1 Sistema Massa-Mola: Movimento Livre Nao

Amortecido

Vamos supor que uma massa m seja conectada a uma mola flexıvel que esta suspensa

verticalmente. Segundo [3], a distensao da mola dependera da massa, ou seja, quanto

maior o peso, maior sera a elongacao da mola. Pela Lei de Hooke, a mola exerce uma

forca restauradora F oposta a direcao da distencao e ao mesmo tempo proporcional ao

comprimento s da distencao, ou seja, F = ks, onde k e a constante de proporcionalidade

(tambem chamada de constante da mola).

Apos a massa m ser conectada e ter distendido a mola, ela atinge sua posicao de

equilıbrio, onde a forca peso P = mg e igual a forca restauradora f , ou seja, mg = ks.

Alem disso, se a mola for distendida por um comprimento x de sua posicao de equilıbrio,

a forca restauradora sera dada por F = k(s + x), conforme mostra Figura 1. Supondo

que nenhuma forca esteja agindo sobre o sistema, podemos afirmar que a forca resultante



________________________________________________________________________

27


Figura 1: Sistema Massa-Mola

sera a soma entre a forca restauradora e a forca peso, ou seja:

Fr = F + P ⇒ ma = −k(s+ x) +mg ⇒ md2x

dt2= −ks− kx+mg ⇒ m

d2x

dt2= −kx.

Vale destacar que o sinal negativo que acompanha k se deve pelo fato de que a forca

restauradora esta agindo no sentido oposto ao movimento da mola. Dividindo a ultima

equacao por m e tomandok

m= ω2, temos:

d2x

dt2+ ω2x = 0. (1)

A equacao (1) e chamada de Equacao Diferencial do Movimento Livre Nao

Amortecido. Alem disso, as condicoes iniciais x(t) = x0 e x′(t) = x1 deste sistema

representam, respectivamente, posicao e velocidades iniciais. E importante frisar que, se

x0 > 0, a posicao inicial da mola esta abaixo da posicao de equilıbrio, e se x0 < 0, a

posicao inicial da mola esta acima da posicao de equilıbrio. Analogamente, x1 > 0 indica

que a velocidade inicial esta direcionada para baixo, enquanto x1 < 0 indica que a massa



________________________________________________________________________

28


esta com a velocidade direcionada para cima. Se x1 = 0, dizemos que a massa partiu do

repouso.

Para analisarmos o comportamento da mola utilizando retratos de fase, precisamos

encontrar um sistema matricial que seja equivalente a equacao (1). Para tal, tomaremos:

u = x,

v = x′.

Assim, segue que nosso sistema sera

u′ = v,

v′ = −ω2u.

(2)

O sistema (2) pode ser escrito na forma matricial como:

X(u, v) =

u′

v′

=

0 1

−ω2 0

u

v

.

Calculando o polinomio caracterıstico, temos:∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

−m 1

−ω2 −m

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= m2 + ω2. (3)

O polinomio caracterıstico (3) e chamado de Equacao Auxiliar e suas raızes sao

m1 = ωi e m2 = −ωi. Como obtemos duas raızes complexas com parte real nula, segue

que as trajetorias no retrato de fase serao elipses.

A solucao da Equacao Diferencial (de agora em diante abreviada por ED) (1) e dada

por x(t) = c1 cosωt+ c2senωt e, sendo assim, o grafico de x(t) e periodico. Alem disso, o

perıodo T da funcao pode ser calculado por T =2π

ωe a frequencia f pode ser calculada

por f =1

T=

ω

2π. A amplitude A das vibracoes pode ser calculada por A =

√

c21 + c22, ou

seja, o pontos de pico e de mınimo de x(t) sao, respectivamente, A e −A. E importante

destacar que A representa a distancia maxima que a mola vai atingir abaixo da posicao de

equilıbrio, e −A a distancia maxima que a mola ira atingir acima da posicao de equilıbrio.

Para que isso possa ficar mais claro, vamos analisar o seguinte exemplo:



________________________________________________________________________

29


Exemplo 1.1 Uma massa de 116 slugs distende uma mola em 1

2 pe. Em t = 0, a massa

e solta de um ponto 23 pe abaixo da posicao de equilıbrio a uma velocidade de −4

3 pes/s

para cima. Considerando g = 32 pes/s2, temos que a constante k da mola sera:

mg = ks ⇒ 1

1632 = k

1

2⇒ k = 4.

Como ω2 =k

m= 64, a Equacao do Movimento para este problema sera

d2x

dt2+ 64x = 0.

Assim, a solucao desta ED sera dada por

x(t) = c1 cosωt+ c2senωt = c1 cos 8t+ c2sen 8t.

Para calcular c1 e c2, basta utilizarmos as condicoes iniciais dadas, ou seja, utilizarmos

o fato de que x(0) = 23 e x′(0) = −4

3 . Assim, temos

x(0) = c1 cos 0 + c2sen 0 = c1 =2

3,

x′(0) = −8c1sen 0 + 8c2 cos 0 = 8c2 = −4

3.

Como c1 = 23 e c2 = −1

6 , segue que x(t) = 23 cos 8t− 1

6sen 8t. Calculando a amplitude

das vibracoes, temos:

A =√

c21 + c22 =

√

(2

3

)2+(1

6

)2=

√17

6.

Assim, concluımos que a mola se distende no maximo√176 abaixo da posicao de

equilıbrio e −√176 acima da posicao de equilıbrio. O grafico de x(t) pode ser visto na

Figura 2.

Alem disso, e possıvel esbocar o retrato de fase deste problema. Como vimos ante-

riormente, a Equacao Auxiliar e dada por m2 + 64 = 0, logo as raızes sao m1 = 8i e

m2 = −8i e a trajetoria sera uma elipse. Veja a Figura 3.



________________________________________________________________________

30


Figura 2: Grafico de x(t)

Atraves do retrato de fase e possıvel compreender melhor o que esta acontecendo com

o comportamento da mola. Observa-se que quando a mola esta na posicao de equilıbrio

e justamente quando ela atinge maior velocidade (em modulo). Alem disso, podemos ver

que a velocidade se anula quando a mola atinge a distancia maxima acima ou abaixo do

ponto de equilıbrio.

A ideia do Movimento Livre Nao Amortecido e um tanto quanto ilusoria, ja que

estamos considerando um mundo ideal, onde nenhuma forca externa age sobre o sistema.



________________________________________________________________________

31


√176

−√176

Figura 3: Retrato de Fase

Sendo assim, vamos analisar, como esta proposto em [3], o comportamento da mola quando

existe uma forca que faca com que a intensidade do movimento da mola diminua com o

passar do tempo.

2 Sistema Massa-Mola: Movimento Livre Amor-

tecido

No estudo de mecanica, as forcas de amortecimento sao porporcionais a uma potencia

da velocidade instantanea. Aqui, vamos supor que a forca de amortecimento seja um

multiplo da velocidade. Assim, quando nao houver outras forcas atuando sobre a mola,

segue que

md2x

dt2= −kx− β

dx

dt,

onde β > 0 e chamado de constante de amortecimento. O sinal negativo se deve pelo

fato da forca estar agindo no sentido oposto do movimento. Dividindo a equacao acima

por m e tomando 2λ =β

me ω2 =

k

m, a Equacao Diferencial do Movimento Livre



________________________________________________________________________

32


Amortecido sera dada por

d2x

dt2+ 2λ

dx

dt+ ω2x = 0. (4)

Analogamente ao Movimento Livre Nao Amortecido, as condicoes iniciais x(t) = x0

e x′(t) = x1 deste sistema representam, respectivamente, posicao e velocidades iniciais.

Se x0 > 0, a posicao inicial da mola esta abaixo da posicao de equilıbrio, e se x0 < 0,

a posicao inicial da mola esta acima da posicao de equilıbrio. No que diz respeito a

velocidade, x1 > 0 indica que a velocidade inicial esta direcionada para baixo, enquanto

x1 < 0 indica que a massa esta com a velocidade direcionada para cima. Se x1 = 0,

dizemos que a massa partiu do repouso.

Para analisarmos o comportamento da mola utilizando retratos de fase, precisamos

encontrar um sistema matricial que seja equivalente a equacao (4). Para tal, tomaremos:

u = x,

v = x′.

Assim, segue que nosso sistema sera

u′ = v,

v′ = −2λv − ω2u.

(5)

O sistema (5) pode ser escrito na forma matricial como:

X(u, v) =

u′

v′

=

0 1

−ω2 −2λ

u

v

.

Calculando o polinomio caracterıstico, temos:∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

−m 1

−ω2 −2λ−m

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= m2 + 2λm+ ω2. (6)

Determinando as raızes do polinomio (6), obtemos m = −λ ±√λ2 − ω2. Portanto,

para determinarmos qual sera a trajetoria que representa o sistema, devemos estudar tres

casos:



________________________________________________________________________

33


1. Se λ2 − ω2 > 0, dizemos que o sistema e super-amortecido. Aqui, como vamos

obter duas solucoes negativas, o retrato de fase do sistema sera um No Atrator.

Isso indica que o coeficiente de amortecimento β e grande comparado a constante

k e, consequentemente, a velocidade da mola decresce rapidamente. Neste caso, a

solucao da ED e x(t) = e−λt(c1e√λ2−ω2t + c2e

−√λ2−ω2t).

2. Se λ2 − ω2 = 0, dizemos que o sistema e criticamente amortecido. Neste caso,

a Equacao Auxiliar ira possuir apenas uma raiz e, dessa forma, o retrato de fase

do sistema sera um No Proprio ou No Improprio (dependendo da quantidade de

autovetores associados a raiz). A solucao da ED sera x(t) = e−λt(c1 + c2t).

3. Se λ2 − ω2 < 0, dizemos que o sistema e sub-amortecido. Aqui, obtemos duas

raızes complexas com parte real negativa, logo o retrato de fase do sistema sera uma

espiral convergindo para a origem. Isso indica que o coeficiente de amortecimento β

e pequeno comparado a constante k e, consequentemente, a mola tem um movimento

oscilatorio. Como as raızes da Equacao Auxiliar sao

m1 = −λ+√

λ2 − ω2 = −λ+√

(−1)(ω2 − λ2) = −λ+√

ω2 − λ2i,

e

m2 = −λ−√

λ2 − ω2 = −λ−√

(−1)(ω2 − λ2) = −λ−√

ω2 − λ2i,

a solucao da ED e dada por x(t) = e−λt(c1 cos√ω2 − λ2t+ c2sen

√ω2 − λ2t).

Note que, nos tres casos, quando t → ∞, segue que x(t) → 0, portanto o movimento

da mola tende a enfraquecer.

Exemplo 2.1 Seja o problema de valor inicial:

d2x

dt2+ 5

dx

dt+ 4x = 0, x(0) = 1, x′(0) = 1.

Temos que a Equacao Auxiliar e m2 + 5m + 4 = 0 e que suas raızes sao m1 = −1 e

m2 = −4. Como temos duas raızes negativas, segue que o movimento e super-amortecido.



________________________________________________________________________

34


Assim, a solucao da ED sera

x(t) = c1e−λ+

√λ2−ω2t + c2e

−λ−√λ2−ω2t = c1e

−t + c2e−4t.

Usando as condicoes iniciais x(0) = 1 e x′(0) = 1 para determinar c1 e c2, temos

c1 + c2 = 1,

−c1 − 4c2 = 1.

Portanto, x(t) = 53e

−t − 23e

−4t. Observe que, conforme dito anteriormente, quando

t → ∞ temos x(t) → 0.

Para analisarmos o retrato de fase, devemos levar em consideracao a Equacao Auxiliar

m2 + 5m+ 4 = 0 e suas raızes m1 = −1 e m2 = −4. Calculando o autovetor associado a

m1 = −1, temos:

0 1

−4 −5

+

1 0

0 1

u1

u2

=

0

0

⇒

⇒

1 1

−4 −4

u1

u2

=

0

0

.

Como u1 = −u2, o autovetor associado ao autovalor m1 = −1 e v1 = (−1, 1). Para

m2 = −4, segue:

0 1

−4 −5

+

4 0

0 4

w1

w2

=

0

0

⇒

⇒

4 1

−4 −1

w1

w2

=

0

0

.

Portanto, o autovetor associado ao autovalor m2 = −4 e v2 = (1,−4). Alem disso,

como |m1| < |m2|, a trajetoria ira tangenciar a reta passando pela origem cujo vetor

diretor e v1. Segue que a trajetoria da solucao sera um No Atrator, como mostra a Figura

4.



________________________________________________________________________

35


Figura 4: Retrato de fase

3 Sistema Massa-Mola: Movimento Forcado

Alem da forca de atrito, vamos considerar agora que uma forca externa f(t) esteja agindo

sobre o sistema. A Equacao Diferencial do Movimento Forcado, segundo [3], sera da forma

md2x

dt2= −kx− β

dx

dt+ f(t).

Dividindo a equacao por m, obtemos

d2x

dt2+ 2λ

dx

dt+ ω2x = F (t), (7)

onde F (t) =f(t)

m, 2λ =

β

me ω2 =

k

m. Nao existe um metodo especıfico para resolver a

equacao (7), ja que F (t) pode ser uma funcao de qualquer tipo: polinomial, exponencial,

etc. Sendo assim, vamos analisar o caso particular do exemplo a seguir.

Exemplo 3.1 Seja o problema de valor inicial

1

5

d2x

dt2+

6

5

dx

dt+ 2x = 5cos 4t, x(0) =

1

2, x′(0) = 0.

A equacao acima nos diz que o sistema em questao consiste em uma massa de peso

m = 15 kg presa a uma mola, onde k = 2 N/m. A massa e solta do repouso a 1

2 m abaixo

da posicao de equilıbrio, com um coeficiente de atrito β = 65 .



________________________________________________________________________

36


Se F e uma funcao periodica, como por exemplo F (t) = F0sen γt ou F (t) = F0 cos γt,

a solucao da ED (7) e a soma de uma funcao nao periodica xc(t) (chamada de termo tran-

siente) com uma funcao periodica xp(t) (chamada de termo estacionario), onde xp(t) =

A cos γt+Bsen γt.

Para resolver o PVI em discurso, primeiramente multiplicamos a equacao por 5 e

resolvemos:

d2x

dt2+ 6

dx

dt+ 10x = 0.

A partir da ED acima, obtemos a Equacao Auxiliar m2 + 6m + 10 = 0, cujas raızes

sao m1 = −3 + i e m2 = −3− i. Como as raızes sao complexas, temos que

xc(t) = e−λt(c1 cos√

ω2 − λ2t+ c2sen√

ω2 − λ2t) = e−3t(c1 cos t+ c2sen t).

Agora, usando o metodo dos coeficientes a determinar, temos que encontrar xp(t) =

A cos 4t+Bsen 4t. Note que

x′p(t) = −4Asen 4t+ 4B cos 4t,

x′′p(t) = −16A cos 4t− 16Bsen 4t.

Assim, segue que :

x′′+6x′+10x = (−16A cos 4t−16Bsen 4t)+6(−4Asen 4t+4B cos 4t)+10(A cos 4t+Bsen 4t) =

= (−16A cos 4t− 16Bsen 4t) + (−24Asen 4t+ 24B cos 4t) + (10A cos 4t+ 10Bsen 4t) =

= −6A cos 4t− 6Bsen 4t+ 24B cos 4t− 24Asen 4t =

= (−6A+ 24B) cos 4t+ (−24A− 6B)sen 4t = 25 cos 4t.

Portanto, obtemos o seguinte sistema de equacoes:

−6A+ 24B = 25,

−24A− 6B = 0.



________________________________________________________________________

37


Resolvendo o sistema acima, obtemos A = − 25102 e B = 50

51 . Portanto, temos que a

solucao da ED e

x(t) = e−3t(c1 cos t+ c2sen t) +(

− 25

102cos 4t+

50

51sen 4t

)

.

Aplicando as condicoes iniciais x(0) = 12 e x′(0) = 0, obtemos

x(0) = c1 −25

102=

1

2,

x′(0) = −3c1 + c2 +200

51= 0.

Por fim, segue que c1 =3851 e c2 = −86

51 e assim a solucao da ED e dada por:

x(t) = e−3t(38

51cos t− 86

51sen t

)

+(

− 25

102cos 4t+

50

51sen 4t

)

,

onde xc(t) = e−3t(3851 cos t− 8651sen t) e xp(t) = − 25

102 cos 4t+5051sen 4t. E importante observar

que quando t → ∞, temos xc(t) → 0, ou seja, para grandes quantidades de tempo, o termo

xc(t) se torna desprezıvel, logo o movimento da mola pode ser aproximado por xp(t). Por

conta disso, podemos notar pelo grafico de x(t) (como mostra a Figura 5) e pelo retrato

de fase (Figura 6) que no inıcio o movimento da mola e oscilatorio, e conforme o tempo

passa ele se torna periodico.

Vamos analisar agora, assim como proposto em [3], uma situacao onde existe uma

forca externa agindo sobre o sistema, porem nao ha forca de amortecimento.

Exemplo 3.2 Considere o sistema:

d2x

dt2+ ω2x = F0sen γt, (8)

onde γ 6= ω, x(0) = 0 e x′(0) = 0. Como visto anteriormente, a solucao de (8) e dada por

x(t) = xc(t) + xp(t). Para encontrar xc(t), precisamos resolver x′′ + ω2x = 0. Utilizando

a equacao auxiliar m2 + ω2 = 0, encontramos as raızes m1 = ωi e m2 = −ωi e assim



________________________________________________________________________

38


Figura 5: Grafico de x(t)

Figura 6: Retrato de fase do problema

obtemos xc(t) = c1 cosωt+c2senωt. Para encontrar xp(t) = A cos γt+Bsen γt, utilizamos

o metodo dos coeficientes a determinar:

xp(t) = A cos γt+Bsen γt,

x′p(t) = −γAsen γt+ γB cos γt,

x′′p(t) = −γ2A cos γt− γ2Bsen γt.

Substituindo em (8), encontramos

x′′ + ω2x = (−γ2A cos γt− γ2Bsen γt) + ω2(A cos γt+Bsen γt) =



________________________________________________________________________

39


= A(ω2 − γ2) cos γt+B(ω2 − γ2)sen γt = F0sen γt.

Assim, resolvemos e seguinte sistema

A(ω2 − γ2) = 0,

B(ω2 − γ2) = F0.

Portanto, A = 0 e B =F0

ω2 − γ2. Por fim, temos que a solucao x(t) sera da forma

x(t) = xc(t) + xp(t) = (c1 cosωt+ c2senωt) +( F0

ω2 − γ2sen γt

)

.

Aplicando as condicoes iniciais x(0) = 0 e x′(0) = 0 para calcular c1 e c2, obtemos

x(t) =F0

ω(ω2 − γ2)

(

− γsenωt+ ωsen γt)

.

Obviamente, x(t) nao esta difinida para γ = ω. Porem, podemos usar l’Hopital para

determinar um valor-limite para a funcao quando γ → ω. Assim, quando ω = γ a solucao

e dada por:

x(t) = limγ→ω

F0−γsenωt+ ωsen γt

ω(ω2 − γ2)= F0 lim

γ→ω

d

dγ(−γsenωt+ ωsen γt)

d

dγ(ω(ω2 − γ2))

=

= F0 limγ→ω

−senωt+ ωt cos γt

−2ωγ= F0

−senωt+ ωt cosωt

−2ω2=

F0

2ω2senωt− F0

2ωt cosωt.

O comportamento de um sistema massa-mola nao pode ser descrito como na funcao

acima, pois, quando t → ∞, a mola e forcada alem do limite de sua elasticidade, e assim

o sistema falharia. O grafico de x(t) para γ = ω pode ser visto na Figura 7 e o retrato de

fase que mostra o comportamento da mola na Figura 8.

4 Circuito em Serie LRC

Considere o circuito em serie contendo um indutor, um resistor e um capacitor. A corrente

no circuito no instante t e denotada por i(t) e a carga em um capacitor no instante



________________________________________________________________________

40


Figura 7: Grafico de x(t).

Figura 8: Retrato de fase.

t e denotada por q(t). As constantes L, R e C representem indutancia, resistencia e

capacitancia, respectivamente. De acordo com a Segunda Lei de Kirchhoff , a voltagem

aplicada E(t) em uma malha fechada e igual a soma das quedas de voltagem da malha.

Alem disso, por [3], as quedas de voltagem do indutor, do resistor e do capacitor sao

dadas respectivamente por Ldi

dt, iR e

1

Cq. Uma vez que i =

dq

dt, obtemos a seguinte

equacao:

Ld2q

dt2+R

dq

dt+

1

Cq = E(t). (9)

Quando E(t) = 0, as vibracoes eletricas sao consideradas livres. Neste caso, tomando



________________________________________________________________________

41


u = q e v = q′, e possıvel calcular a equacao auxiliar de maneira semelhante ao do sistema

massa-mola:

u′ = v,

v′ = −R

Lv − 1

CLu.

A forma matricial do sistema acima e

X(u, v) =

u′

v′

=

0 1

− 1

CL−R

L

u

v

.

Logo, a equacao auxiliar de (9) e

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

0−m 1

− 1

CL−R

L−m

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= m2 +R

Lm+

1

CL= Lm2 +Rm+

1

C, (10)

onde raızes do polinomio acima sao dadas por

m =−R±

√

R2 − 4L

C

2L.

A solucao de (9) dependera das raızes da equacao auxiliar, de acordo com o discrimi-

nante R2 − 4L

C. A nomenclatura usada na analise de circuitos e semelhante a usada na

analise de sistemas massa-mola. Sendo assim, temos tres casos possıveis:

1. Se R2 − 4L

C> 0, chamamos o circuito de super-amortecido.

2. Se R2 − 4L

C= 0, chamamos o circuito de criticamente amortecido.

3. Se R2 − 4L

C< 0, chamamos o circuito de sub-amortecido.

Nos tres casos, a solucao de (9) contem o termo e−Rt

2L , logo q(t) → 0 quando t → ∞.

Exemplo 4.1 Seja um circuito em serie LRC, onde L = 0, 25 henry (h), R = 10 ohms

(Ω), C = 0, 001 Farad (f), E(t) = 0, q(0) = q0 coulombs (C) e i(0) = 0. A equacao

diferencial que representa este problema e dada por

1

4q′′ + 10q′ + 1000q = 0,



________________________________________________________________________

42


ou ainda

q′′ + 40q′ + 4000q = 0.

Segue que a equacao auxiliar do problema e m2 + 40m + 4000 = 0, logo m = −20 ±

60i. Como temos duas raızes complexas, o circuito em questao e classificado como sub-

amortecido. Neste caso, a carga sobre o capacitor oscilara a medida que decair, ou seja,

o capacitor e carregado e descarregado quando t → ∞.

Analogamente ao caso sub-amortecido do sistema massa-mola, a solucao da ED deste

problema e

q(t) = e−20t(c1 cos 60t+ c2sen 60t).

Utilizando as condicoes iniciais q(0) = q0 e q′(0) = 0, temos que c1 = q0 e c2 =q0

3,

portanto

q(t) = q0e−20t(cos 60t+

1

3sen 60t).

Como as raızes da equacao auxiliar sao complexas com parte real negativa, a trajetoria

da solucao no retrato de fase sera uma espiral convergindo para a origem. Alem disso,

considerando que θ = 60t e positivo (pois t > 0 sempre), segue que a espiral gira no

sentido anti-horario, como mostra a Figura 9.




________________________________________________________________________

43


No caso de E(t) = 0 e R = 0, o sistema e dito nao amortecido e as vibracoes eletricas

nao tendem a zero quando t → ∞. No caso de E(t) ser uma funcao e R 6= 0, as vibracoes

eletricas sao chamadas de forcadas.

5 Love Affairs

Vamos analisar agora um modelo chamado Love Affairs, proposto em 1988 pelo ma-

tematico norte-americano Steven Henry Strogatz.

Strogatz chamou de R(t) o amor de Romeu por Julieta (ou odio, caso R(t) < 0) e J(t)

o amor de Julieta por Romeu (ou odio, caso J(t) < 0). A forma geral do modelo e dada

por

dR

dt= aR+ bJ,

dJ

dt= cR + dJ,

(11)

onde as constantes a e b representam caracterısticas amorosas de Romeu e c e d represen-

tam as caracterısticas amorosas de Julieta.

Exemplo 5.1 Vamos considerar novamente o casal Romeu e Julieta. Nesta situacao,

quanto maior o amor de Romeu, mais a Julieta ”foge”desse relacionamento. Entao,

Romeu se sente rejeitado e comeca a se afastar de Julieta. Esta, por sua vez, comeca a

acha-lo interessante e atraente, porem Romeu tenta evita-la.

O modelo para este tipo de relacionamento e dado por

dR

dt= aJ,

dJ

dt= −bR,

com a e b positivos.

Analisando a matriz do sistema, temos trA = 0 e detA > 0. Dessa forma, o ponto

crıtico deste modelo e um centro, como mostra a Figura 10.



________________________________________________________________________

44


J

R


O retrato de fase nos mostra que a relacao entre Romeu e Julieta sera um ciclo sem

fim de amor e odio. Conforme o amor de Romeu aumenta, o amor de Julieta diminui e

chega a se tornar odio. Por outro lado, o amor de Romeu diminui e o de Julieta aumenta

e assim por diante. Observe que o casal se ama apenas em um quarto do tempo (primeiro

quadrante) e que ambos se odeiam tambem em um quarto do tempo (terceiro quadrante).

Exemplo 5.2 Seja o sistema

dR

dt= aR+ bJ,

dJ

dt= bR+ aJ,

com a < 0 e b > 0. Aqui, a constante a representa cautela (ambos evitam se ”entregar”ao

outro) e a constante b representa a reacao da pessoa (ambos se sentem atraıdos com os

avancos do proximo.) A matriz do sistema e

A =

a b

b a

,

e portanto trA = 2a < 0 e detA = a2−b2. Calculando as raızes do polinomio caracterıstico

da matriz, temos:

λ =2a±

√

(trA)2 − 4detA

2=

2a±√4b2

2= a± b.



________________________________________________________________________

45


O autovetor associado ao autovalor λ1 = a + b e (1, 1) e o autovetor associado ao

autovalor λ2 = a− b e (1,−1).

Se |a| > |b|, teremos dois autovalores negativos e o ponto crıtico sera um no atrator.

Observe que |λ2| > |λ1|, logo as trajetorias vao tangenciar a reta gerada pelo autovetor

(1, 1). Isso nos mostra que cautela em excesso leva a uma indiferenca de ambas as partes,

tornando a relacao apatica, como nos mostra a Figura 11.

J

R

Figura 11: Relacao apatica.

Por outro lado, se |a| < |b|, teremos dois autovalores de sinais distintos e assim o

ponto crıtico sera uma sela. Isso indica que, dependendo dos sentimentos do casal no

inıcio, a relacao podera ser puro amor ou puro odio. Em ambos os casos, o sentimento

entre os dois sera recıproco. Veja a Figura 12.

6 Reacoes Quımicas

Vamos supor que a gramas de uma substancia A sejam combinados com b gramas de uma

substancia B, formando uma terceira substancia C. Considerando X(t) a quantidade de

gramas da substancia C e que ela seja formada por M partes de A e N partes de B, o

numero de gramas restantes das substancias A e B sao, respectivamente, a− M

M +NX e

b− N

M +NX.



________________________________________________________________________

46


J

R

Figura 12: Sentimento recıproco.

Segundo a Lei de Acao das Massas descrita em [3], quando nao ha mudancas na

temperatura, a quantidade da substancia C e proporcional ao produto da quantidade de

A e B remanescentes, ou seja:

dX

dt= k1

(

a− M

M +NX)(

b− N

M +NX)

. (12)

Colocando em evidencia os fatores MM+N

e NM+N

, temos:

(

a− M

M +N

)(

b− N

M +N

)

=( M

M +N

)( N

M +N

)(a(M +N)

M−X

)(b(M +N)

N−X

)

.

(13)

Substituindo (13) em (12) e tomando α = a(M+N)M

e β = b(M+N)N

, obtemos:

dX

dt= k(α−X)(β −X), (14)

onde k = k1

( M

M +N

)( N

M +N

)

.

O exemplo a seguir nos mostra um caso onde o retrato de fase nao sera uma trajetoria

no plano, mas sim uma reta. Isso se deve ao fato de que, para este problema, nao e

possıvel obter um sistema 2 × 2 de equacoes diferencias. Dessa forma, o retrato de fase

estara em uma reta e nao no plano.

Exemplo 6.1 Seja C um composto quımico formado por A e B. Nesta reacao quımica,

para cada grama de A, quatro gramas de B sao usadas. Alem disso, observa-se que 30



________________________________________________________________________

47


gramas do composto C sao formadas em 10 minutos. Consideramento que inicialmente

temos 50 gramas de A e 32 gramas de B, calculemos a quantidade do composto C quando

t → ∞.

Vamos chamar de X(t) o numero de gramas do composto C no instante t. Sabe-se

que X(0) = 0 e X(10) = 30.

Para formarmos 1 grama do composto C, precisamos de a gramas de A e b gramas de

B de tal forma que a+ b = 1. Temos, tambem, que b = 4a. Assim, resolvendo o seguinte

sistema linear

a+ b = 1,

4a− b = 0.

concluımos que para obtermos X gramas de C, precisamos deX

5gramas de A e

4X

5

gramas de B. As quantidades remanescentes de A e B sao, respectivamente, 50 − X

5e

32− 4X

5.

Pela Lei de Acao das Massas, temos:

dX

dt= k1

(

50−X

5

)(

32−4X

5

)

⇒ dX

dt= k1

1

5(250−X)

4

5(40−X) ⇒ dX

dt= k(250−X)(40−X).

Resolvendo a ultima equacao diferencial, temos:

dX

(250−X)(40 −X)= kdt.

Aplicando o metodo das fracoes parciais, segue:

1

(250 −X)(40 −X)=

A

250−X+

B

40−X=

A(40 −X) +B(250−X)

(250 −X)(40 −X)=

=40A−AX + 250B −BX

(250 −X)(40 −X)=

(−A−B)X + (40A+ 250B)

(250 −X)(40 −X).

Agora, resolvemos o sistema linear:

−A−B = 0,

40A+ 250B = 1.



________________________________________________________________________

48


donde obtemos A = − 1210 e B = 1

210 , portanto:

dX

(250 −X)(40 −X)= kdt ⇒ − 1

210

dX

(250 −X)+

1

210

dX

40−X= kdt ⇒

⇒ − 1

210

∫

dX

(250 −X)+

1

210

∫

dX

40−X=

∫

kdt ⇒

⇒ 1

210ln |250 −X| − 1

210ln |40−X| = kt+ c1 ⇒ ln |250 −X

40−X| = 210kt+ c2 ⇒

⇒ e210kt+c2 =250 −X

40−X⇒ ce210kt =

250 −X

40−X.

Isolando X(t), obtemos

ce210kt =250−X

40−X⇒ X − 250 = ce210ktX − 40ce210kt ⇒ X(t) =

−40ce210kt + 250

1− ce210kt.

Usando as condicoes iniciais X(0) = 0 e X(10) = 30, segue que c = 254 e k = 0, 1258

e, por fim, temos que a solucao do problema e

X(t) =−1000e0,1258t + 1000

4− 25e0,1258t=

1000 − 1000e−0,1258t

25− 4e−0,1258t.

Pelo grafico da solucao, notamos que X → 40 quando t → ∞, como mostra a Figura

13.

Figura 13: Grafico de X(t).



________________________________________________________________________

49


Tal comportamento tambem e explicitado pelo retrato de fase. Como X ′ = k(250 −

X)(40 −X), temos que os pontos crıticos sao X = 250 e X = 40. Para X < 40 temos

X ′ > 0, logo a trajetoria neste intervalo e orientada da esquerda para a direita. Para

40 < X < 250 temos X ′ < 0, logo a trajetoria neste intervalo e orientada da direita para

a esquerda. Para X > 250, temos novamente X ′ > 0 e neste intervalo a trajetoria e

orientada da esquerda para a direita. Em tais condicoes, concluımos que X = 40 e um

ponto atrator e X = 250 e um ponto repulsor, conforme mostra a Figura 14.

40 250


Observe que e muito mais pratico estudarmos o retrato de fase para analisar este

problema do que resolver a ED.

7 Modelo Presa-Predador e Modelos com Com-

peticao

Em outro modelo proposto por [3], vamos supor que duas especies diferentes vivem no

mesmo ecossistema e, alem disso, a primeira especie alimente-se apenas de vegetais e que

a segunda especie alimente-se da primeira especie, ou seja, a primeira especie e a presa e

a segunda especie o predador.

Vamos chamar de x(t) e y(t), respectivamente, a populacao de predador e presa no

instante t. Caso nao existisse presa, e natural imaginar que a populacao de predadores

diminuiria por falta de alimento, ou seja

dx

dt= −ax,



________________________________________________________________________

50


onde a > 0. Porem, quando as presas estao no ecossistema, obviamente o numero de

interacoes entre as duas especies e proporcional as populacoes x e y, ou seja, sao pro-

porcionais a xy. Logo, quando houver presas no ecossistema, a populacao de predadores

ira crescer a uma taxa de bxy, onde b > 0. Sendo assim, a variacao da populacao de

predadores e dada por:

dx

dt= −ax+ bxy.

Com um raciocınio analogo, podemos inferir que se nao houvesse predadores e que a

fonte de alimentos fosse ilimitada, a populacao de presas cresceria, ou seja

dy

dt= dy.

Porem, com a presenca dos predadores, a populacao de presas tende a decair a medida

que elas interagem com os predadores. Logo, a variacao da populacao de presas e dada

por

dy

dt= dy − cxy,

onde c > 0 e d > 0. Portanto, teremos um sistema de equacoes diferenciais nao-lineares:

dx

dt= −ax+ bxy,

dy

dt= dy − cxy.

(15)

O sistema de equacoes diferenciais acima e conhecido comoModelo Presa-Predador

de Lotka-Volterra. Tal sistema nao pode ser resolvido em termos de funcoes elemen-

tares, porem e possıvel analisa-lo qualitativamente a partir dos retratos de fase. Como

se trata de um sistema de equacoes diferenciais nao-lineares, teremos mais de um ponto

crıtico. No caso do modelo Lotka Volterra, resolvendo

x(−a+ by) = 0,

y(d− cx) = 0,



________________________________________________________________________

51


podemos ver que o sistema tera dois pontos crıticos: (0, 0) e(d

c,a

b

)

. Mesmo o sistema

sendo nao-linear, pelo Teorema de Grobman-Hartman enunciado e demonstrado em

[2], numa vizinhanca proxima aos pontos crıticos os retratos de fase terao um comporta-

mento linear, como poderemos ver no exemplo que segue.


dx

dt= −0, 16x + 0, 08xy,

dy

dt= 4, 5y − 0, 9xy.

Facilmente, verificamos que os pontos crıticos do sistema sao (0, 0) e (5, 2). Pelos

metodos estudados ate aqui, nao podemos determinar como serao as trajetorias, pois se

trata de um sistema nao-linear. Porem, podemos utilizar o Teorema de Grobman-Hartman

para analisarmos o comportamento das trajetorias em uma vizinhanca proxima desses

pontos. Para que possamos fazer tal analise, devemos estudar a Matriz Jacobiana do

sistema. Neste exemplo, devemos analisar a seguinte matriz:

J(x,y) =

−0, 16 + 0, 08y 0, 08x

−0, 9y 4, 5− 0, 9x

.

Analisando a matriz acima nos pontos crıticos obtidos, temos

J(0,0) =

−0, 16 0

0 4, 5

, (16)

J(5,2) =

0 0, 4

−1, 8 0

. (17)

Observe que a matriz (16) possui determinante negativo e traco positivo. Sendo assim,

numa vizinhanca proxima de (0, 0), as trajetorias se comportam como uma sela. No

caso da matriz (17), temos que seu determinante e positivo e seu traco e igual a zero.

A princıpio, as trajetorias em torno desse ponto seriam centros, contudo nao podemos



________________________________________________________________________

52


afirmar isso pois, como esta singularidade nao e hiperbolica (ou seja, o autovalor associado

a esta singularidade possui parte real nula), temos que analisar tambem a parte nao-linear.

Veja a Figura 15.

5

2

Sela

Possível Centro

Figura 15: Pontos crıticos do sistema.

Vamos supor agora duas especies no mesmo ecossistemas disputando por recursos

(comida, agua), ao inves de uma ser predadora e a outra ser presa, modelo tambem

proposto em [3]. A populacao da primeira especie e dada pela funcao x(t) e a populacao

da segunda especie e dada por y(t). Sendo assim, na ausencia de uma das especies, a taxa

na qual cada populacao cresce sera

x′ = a1x,

y′ = a2y.

Analogamente ao Sistema Lotka-Volterra, a populacao de cada especie diminui a uma

taxa proporcional ao numero de interacoes com a outra especie:

x′ = a1x− b1xy,

y′ = a2y − b2xy.

Para ser mais realista, vamos considerar que a populacao de cada especie, quando em

isolamento, cresce de forma logıstica, ou seja, quando a populacao de uma especie esta



________________________________________________________________________

53


crescendo sem a presenca de outra especie, a populacao e limitada por um longo perıodo

de tempo. Assim, temos o seguinte sistema

x′ = a1x− b1xy − c1x2,

y′ = a2y − b2xy − c2y2,

(18)

onde a1, a2, b1, b2, c1 e c2 sao constantes positivas.

O sistema acima e chamado deModelo com Competicao. Analogamente ao Modelo

Lotka-Volterra, o sistema acima nao pode ser resolvido em termos de funcoes elementares,

mas podemos estudar o comportamento das solucoes a partir do retrato de fase. Para

isso, basta analisarmos como a solucao se comporta numa vizinhanca proxima as singu-

laridades. Novamente, como se trata de um sistema de equacoes diferenciais nao lineares,

o retrato de fase tera mais de um ponto crıtico.


x′ = x(2− 0, 4x − 0, 3y),

y′ = y(1− 0, 1y − 0, 3x).

Para calcularmos os pontos crıticos, basta resolvermos o sistema

x(2− 0, 4x − 0, 3y) = 0,

y(1− 0, 1y − 0, 3x) = 0,

e assim encontramos que as singularidades sao (0, 0), (5, 0), (0, 10) e (2, 4). Calculando

a matriz jacobiana do sistema, temos

J(x,y) =

2− 0, 8x − 0, 3y −0, 3x

−0, 3y 1− 0, 2y − 0, 3x

.

Vamos estudar o traco e o determinante da matriz jacobiana do sistema e analisar

cada uma das singularidades.

1. Para o ponto (0, 0), a matriz e dada por

J(0,0) =

2 0

0 1

.



________________________________________________________________________

54


Como (trJ)2 > 4detJ com detJ > 0 e trJ > 0, logo a origem do sistema se com-

portara como uma fonte (no repulsor).

2. Para o ponto (5, 0), a matriz e dada por

J(5,0) =

−2 −1, 5

0 −0, 5

.

Como (trJ)2 = 6, 25 > 4 = 4detJ e trJ = −2, 5 < 0, logo o ponto (5, 0) e um no

atrator.

3. Calculando a matriz jacobiana no ponto (0, 10), segue

J(0,10) =

−1 0

−3 −1

.

Como (trJ)2 = 4 = 4detJ , e trJ < 0, o ponto (0, 10) sera um no.

4. Calculando a matriz jacobiana no ponto (2, 4), temos

J(2,4) =

−0, 8 −0, 6

−1, 2 −0, 4

.

Temos que detJ = −0, 08 < 0 e, consequentemente, (2, 4) e um ponto de sela.

Veja a Figura 16.

8 Pendulo Oscilatorio

Considere uma massa m presa a uma barra rıgida sem peso e de comprimento L. Na outra

extremidade da barra encontramos a origem O. A posicao do pendulo e determinada pelo

angulo θ entre a barra e a direcao vertical a partir da origem, onde o sentido anti-horario

e considerado positivo, como mostra a Figura 17.

Observe que o arco s esta relacionado ao arco de uma circunferencia de raio L cujo

angulo central e θ. Por uma simples regra de tres, temos que:



________________________________________________________________________

55


5

4

10

NóRepulsor

2

Sela

Nó Atrator

Nó (Próprio ou Impróprio)

Figura 16: Pontos crıticos do sistema.

2π −→ 2πL,

θ −→ s,

logo s = Lθ. Dessa forma, a aceleracao angular e a =d2s

dt2= L

d2θ

dt2. Temos tambem que

a forca peso W = mg age para baixo, donde obtemos uma forca mgsen θ que atua no

sentido oposto ao movimento, alem da forca de amortecimento cdθ

dt(c > 0) que tambem

atua no sentido contrario ao movimento.

A equacao do movimento pode ser obtida a partir do Princıpio do Momento Angu-

lar conforme descrito em [1], que nos diz que a taxa de variacao no tempo do movimento

angular e igual ao momento da forca resultante naquele ponto. Assim, considerando

F = ma = mLd2θ

dt2, a equacao do movimento e

mLd2θ

dt2= −c

dθ

dt−mgsen θ,



________________________________________________________________________

56


O

L

c

∣

∣

∣

dθ

dt

∣

∣

∣

Lsen θ

m

mg

Figura 17: Pendulo oscilatorio.

ou ainda

d2θ

dt2+ γ

dθ

dt+ ω2sen θ = 0, (19)

onde γ =c

mLe ω2 =

g

L.

Para encontrar os pontos crıticos, tomemos x = θ e y =dθ

dt. Assim, segue que

dx

dt= y,

dy

dt= −ω2senx− γy,

(20)

e portanto

0 = y,

0 = −ω2senx− γy,

donde obtemos y = 0 e x = θ = ±nπ, n ∈ ZZ. Podemos deduzir que para um n par teremos

uma posicao de equilıbrio estavel, e para um n ımpar teremos uma posicao de equilıbrio

que e instavel. Em outras palavras, se n for par, a massa estara diretamente abaixo do

suporte, enquanto que se n for ımpar a massa estara diretamente acima do suporte.



________________________________________________________________________

57


Se a massa for ligeiramente deslocada da posicao de equilıbrio abaixo do suporte, ela

ira oscilar para a direita e para esquerda ate que a forca de amortecimento faca com que o

pendulo se mova cada vez menos, atingindo novamente a posicao de equilıbrio. Por outro

lado, se a massa for ligeiramente deslocada da posicao de equilıbrio acima do suporte,

ela ira cair rapidamente por influencia da gravidade e oscilara ate atingir a posicao de

equilıbrio abaixo do suporte.

Vale destacar que, se c = 0 (γ = 0), terıamos um sistema cujo coeficiente de amor-

tecimento e nulo. Assim, quando a massa fosse deslocada ligeiramente da posicao de

equilıbrio abaixo do suporte, ela oscilaria com amplitude constante e nunca tenderia ao

ponto de equilıbrio. Esse movimento e impossıvel de acontecer, ja que, por menor que

seja a resistencia o ar ou o atrito do ponto no suporte, isso faria com que a massa tendesse

assintoticamente para a posicao de repouso.

A matriz jacobiana do sistema (20) e dada por

J =

0 1

−ω2 cos x −γ

.

Devemos calcular a matriz acima nos pontos (nπ, 0), n ∈ ZZ, para n par e n ımpar.

Para tal, vamos usar os pontos (0, 0) e (π, 0), ja que para todos os outros pontos iremos

obter matrizes iguais. Sejam

J(0,0) =

0 1

−ω2 −γ

, (21)

J(π,0) =

0 1

ω2 −γ

. (22)

Observe que o determinante da Matriz (22) e negativo. Dessa forma, os pontos

(±nπ, 0) com n inteiro ımpar serao pontos de sela.



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58


No caso da matriz (21), os autovalores sao dados por

λ1, λ2 =−γ ±

√

γ2 − 4ω2

2,

e alem disso as trajetorias do sistema dependem do discriminante.

1. Se γ2 − 4ω2 > 0, chamamos o sistema de super-amortecido. Aqui, teremos duas

raızes reais e negativas, logo a trajetoria em torno do ponto crıtico sera um no

atrator.

2. Se γ2 − 4ω2 = 0, chamamos o sistema de criticamente amortecido. Neste caso,

vamos obter apenas umas raiz negativa e, dessa forma, o ponto crıtico sera um No

Proprio ou No Improprio (dependendo da quantidade de autovetores gerados pela

raiz).

3. Se γ2 − 4ω2 < 0, chamamos o sistema de sub-amortecido. Aqui, obtemos duas

raızes complexas com parte real negativa, e consequentemente a trajetoria numa

vizinhanca proxima do ponto crıtico sera uma espiral convergindo para o ponto.

Como suspeitavamos, os pontos (±nπ, 0) com n par sao pontos estaveis, ou seja, as

trajetorias irao convergir para esses pontos. Ja os pontos (±nπ, 0) com n ımpar sao pontos

instaveis, ou seja, as trajetorias tendem a se afastar desses pontos.

Exemplo 8.1 Seja um pendulo cuja suas equacoes de movimento sao

x′ = y,

y′ = −9sen x− 1

5y,

onde x = θ e y = θ′. Alem disso, temos que ω2 = 9 e γ =1

5. Para estudarmos os pontos

crıticos, devemos estudar as seguintes matrizes:

J(0,0) =

0 1

−9 −1

5

,



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59


J(π,0) =

0 1

9 −1

5

.

Considerando a primeira matriz, como1

25= (trA)2 < 4detA = 36 com detA > 0 e

trA < 0, teremos que as trajetorias numa vizinhanca proxima dos pontos crıticos (nπ, 0),

n ∈ ZZ, onde n e par, sao espirais convergindo para seus respectivos pontos crıticos. E

importante observar que neste exemplo a gravidade e mais forte que a resistencia do ar,

pois γ2 − 4ω2 < 0.

Considerando a segunda matriz, como detA = −9 < 0, as trajetorias numa vizinhanca

proxima dos pontos crıticos (nπ, 0), n ∈ ZZ, onde n e ımpar, sao pontos de sela. Veja a

Figura 18.

Figura 18: Retrato de fase do movimento do pendulo.

Referencias

[1] Boyce, W. E. e Diprima, R. C., Equacoes Diferenciais Elementares e Problemas

de Valores de Contorno, Editora LTC S. A, Rio de Janeiro, 2005



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60


[2] Perko, L., Differential equations and dynamical systems, Texts in Applied Mathe-

matics, 7, Springer-Verlag, New York, 1991.

[3] Zill, D.G., Equacoes Diferenciais com Aplicacoes em Modelagem, 2 ed., Cengage

Learning, Sao Paulo, 2011.



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61


O Teorema de Borsuk e a Teoria do Grau de

Carolinne Stefane de Souza †

Suzete Maria Silva Afonso ‡

Resumo

Neste trabalho apresentaremos a teoria do grau de Brouwer e o Teorema de Bor-suk. Tambem provaremos algumas consequencias do Teorema de Borsuk, incluindoo Teorema de Borsuk-Ulam.

Palavras Chave: Teoria do grau de Brouwer, Teorema de Borsuk, Teorema deBorsuk-Ulam.

Introducao

A teoria do grau tem sido desenvolvida para estudar o conjunto de solucoes daequacao

ϕ(x) = b

em um espaco de Banach adequado, aspirando obter informacoes relevantes quantoa existencia, unicidade ou multiplicidade de tais solucoes.

Neste trabalho abordaremos a teoria do grau de Brouwer, a qual vale somenteem espacos de dimensao finita, e o Teorema de Borsuk. Alem disso, apresentaremosalguns resultados decorrentes do Teorema de Borsuk, dentre eles o Teorema deBorsuk-Ulam.

A primeira secao sera voltada a definicoes e resultados basicos da teoria do graude Brouwer e a segunda secao sera dedicada ao Teorema de Borsuk e aos corolariosdeste.

Informamos que uma das motivacoes para a confeccao deste trabalho e que, emnossas pesquisas, nao encontramos um texto em portugues que aborde a demons-tracao do Teorema de Borsuk-Ulam como trata-la-emos aqui.

1 Teoria do Grau de Brouwer

Esta secao se destina a uma breve apresentacao da teoria do grau topologico deBrouwer, ferramenta que utilizaremos para provar o Teorema de Borsuk e algumasde suas consequencias.

∗Este trabalho e resultante do projeto de iniciacao cientıfica financiado pela FAPESP, Processo n

2014/21268-4, sob orientacao da Profa. Dra. Suzete Maria Silva Afonso.†Email: [email protected]. Curso de Bacharelado em Matematica, IGCE - UNESP, Campus de

Rio Claro.‡Email: [email protected].

de Brouwer∗

SOUZA, C. S.; AFONSO, S. M. S. O Teorema de Borsuk e a Teoria do Grau de Brouwer.

DOI: 10.21167/cqdvol5ic201523169664csssmsa6273 - Disponível em: http://www2.fc.unesp.br/revistacqd/index.jsp

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Sejam Ω ⊂ Rn aberto limitado e Ck(Ω,Rn), k ∈ N, o espaco das funcoesϕ : Ω −→ Rn que sao k vezes diferenciaveis em Ω e tais que elas e suas deri-vadas ate ordem k podem ser extendidas continuamente a Ω. Consideramos emCk(Ω,Rn) a norma dada por

‖ϕ‖Ck(Ω,Rn) = max0≤j≤k

supt∈Ω‖ϕ(j)(t)‖.

C(Ω,Rn) denota o espaco das aplicacoes contınuas de Ω em Rn munido da norma

‖ϕ‖∞ = sup|ϕ(x)|; x ∈ Ω.

Sejam ϕ ∈ C1(Ω,Rn) e S = t ∈ Ω; Jϕ[t] = 0, sendo Jϕ[t] o determinantejacobiano de ϕ em t. Os elementos de S sao chamados de pontos crıticos de ϕ eos pontos b ∈ Rn que nao sao imagem de pontos crıticos de ϕ sao denominadosvalores regulares de ϕ. Alem disso, no que se segue, utilizaremos a notacao ∂Ω paradenotar a fronteira do conjunto Ω.

Sejam ϕ ∈ C1(Ω,Rn) e b 6∈ ϕ(∂Ω) um valor regular de ϕ. O grau topologico deϕ em relacao a Ω no ponto b e um numero inteiro, o qual definiremos na sequencia.Nos antecipamos em contar que usaremos a notacao d(ϕ,Ω, b) para representar talvalor.

O resultado a seguir sera fundamental para definirmos o grau topologico d(ϕ,Ω, b)no caso em que Ω ⊂ Rn e um aberto limitado, ϕ ∈ C1(Ω,Rn) e b 6∈ ϕ(∂Ω) e umvalor regular de ϕ.

Proposicao 1 Se ϕ ∈ C1(Ω,Rn) e b 6∈ ϕ(S)∪ϕ(∂(Ω)), entao ϕ−1(b) sera finito.

Demonstracao: Sejam ϕ ∈ C1(Ω,Rn) e b 6∈ ϕ(S) ∪ ϕ(∂(Ω)). Se ϕ−1(b) = ∅, oresultado e trivial. Suponha que ϕ−1(b) 6= ∅. Como b 6∈ ϕ(S), entao Jϕ[t] 6= 0para cada t ∈ ϕ−1(b). Portanto, pelo Teorema da Funcao Inversa, para cadat ∈ ϕ−1(b), existe uma bola aberta B(t) ⊂ Ω, de centro em t, tal que a restricaode ϕ a B(t) e um difeomorfismo. Assim, podemos escrever

ϕ−1(b) ⊂⋃

t∈ϕ−1(b)

B(t) (1.0.1)

e considerar que as bolas B(t), t ∈ ϕ−1(b), sejam duas a duas disjuntas.Como ϕ e contınua, entao ϕ−1(b) e um conjunto fechado. Alem disso, ϕ−1(b)

esta contido em Ω, que e limitado. Por conseguinte, ϕ−1(b) e um conjunto com-pacto. Entao, pelo Teorema de Borel-Lebesgue, podemos extrair de B(t)t∈ϕ−1(b)uma subcobertura finita

ϕ−1(b) ⊂ B(t1), . . . , B(tj).

Daı, como ϕ e injetiva em cada bola B(ti) e ϕ(ti) = b, obtemos

ϕ−1(b) = t1, . . . , tj,

o que completa a prova.

Agora, podemos definir o grau topologico de Brouwer para ternas ϕ, Ω, b quecumprem as condicoes enunciadas na Proposicao 1.



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63


Definicao 2 O grau topologico de Brouwer de ϕ ∈ C1(Ω,Rn) em relacao a Ω numponto b 6∈ ϕ(S) ∪ ϕ(∂(Ω)) e o numero inteiro

d(ϕ,Ω, b) =

∑

x∈ϕ−1(b)

sgn (Jϕ(x)), se ϕ−1(b) 6= ∅

0, se ϕ−1(b) = ∅,

sendo sgn (η) = 1 se η > 0 e sgn (η) = −1 se η < 0.

Exemplo 3 Vamos calcular d(ϕ,Ω, b), em que Ω = (0, 5π/2), ϕ : Ω −→ R, ϕ(t) =cos t e b = π/4.

A princıpio, para garantir que d(ϕ,Ω, b) esta bem definido, devemos verificarque b 6∈ ϕ(∂Ω) ∪ ϕ(S). Com efeito, observemos que: ∂Ω = 0, 5π/2, S = t ∈(0, 5π/2);−sen t = 0 = π, 2π, ϕ(∂Ω) = 1, 0, ϕ(S) = −1, 1 e, portanto,π/4 6∈ ϕ(∂Ω) ∪ ϕ(S).

Seja t1, t2, t3 = ϕ−1(π/4). Entao, por definicao,

d(cos, (0, 5π/2), π/4) = sgn (−sen t1) + sgn (−sen t2) + sgn (−sen t3)

= −1 + 1− 1 = −1.

A seguir, enunciamos uma importante propriedade do grau que pode ser cons-tatada facilmente atraves da Definicao 2.

Lema 4 Sejam Ω aberto limitado de Rn e Id : Ω −→ Rn a aplicacao dada porId(x) = x, para x ∈ Ω . Entao

d(Id,Ω, b) =

1, se b ∈ Ω0, se b 6∈ Ω.

(1.0.2)

Na Definicao 2 vimos o conceito de grau topologico para a terna ϕ, Ω, b, emque ϕ e uma funcao em C1(Ω,Rn), Ω ⊂ Rn e um aberto limitado e b e um va-lor regular de ϕ. Nosso objetivo, a partir de agora, e apresentar a definicao dograu topologico para um caso mais geral. Mais precisamente, definiremos o grautopologico d(ϕ,Ω, b) de funcoes ϕ ∈ C(Ω,Rn) em qualquer ponto b 6∈ ϕ(∂Ω). Naslinhas seguintes, exibiremos uma serie de lemas que nos conduzirao a tal definicao.Cabe informar ao leitor interessado que as demonstracoes dos resultados que foremsomente enunciados na sequencia podem ser verificadas em [1], [2] e [3].

Lema 5 Sejam ϕ ∈ C1(Ω,Rn) e b 6∈ ϕ(∂Ω) ∪ ϕ(S). Entao, existe uma vizinhancaU ⊂ C1(Ω,Rn) de ϕ tal que, para cada ψ ∈ U , vale:

(i) b 6∈ ψ(∂Ω);

(ii) Se ψ(t) = b, entao Jψ[t] 6= 0;

(iii) d(ψ,Ω, b) = d(ϕ,Ω, b).

O lema acima infere que o grau topologico de Brouwer e localmente constantena topologia de C1(Ω,Rn).

O proximo resultado afirma que o grau de Brouwer e constante com relacao a bem cada componente conexa de Rn \ (ϕ(∂Ω) ∪ ϕ(S)).

Lema 6 Sejam ϕ ∈ C1(Ω,Rn) e b, c dois pontos pertencentes a mesma componenteconexa de Rn \ (ϕ(∂Ω) ∪ ϕ(S)), entao

d(ϕ,Ω, b) = d(ϕ,Ω, c).



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64


Com o lema enunciado abaixo concluımos que se ϕ ∈ C2(Ω,R,), entao o grau deBrouwer sera constante com relacao a b em cada componente conexa de Rn \ϕ(∂Ω).

Lema 7 Sejam ϕ ∈ C2(Ω,Rn). Se b, c 6∈ ϕ(∂Ω) ∪ ϕ(S) e estao na mesma compo-nente conexa de Rn \ ϕ(∂Ω), entao

d(ϕ,Ω, b) = d(ϕ,Ω, c).

Seja Cb a componente conexa de Rn \ ϕ(∂Ω) que contem b. Como Rn \ ϕ(∂Ω)e aberto, entao Cb tambem e. Por outro lado, pelo Teorema de Sard, ϕ(S) temmedida nula em Rn. Dessa forma, podemos concluir que ϕ(S) nao contem Cb, istoe, Cb \ ϕ(S) 6= ∅. Este fato, juntamente com o Lema 7, nos permite definir o grautopologico d(ϕ,Ω, b) quando ϕ pertence a C2(Ω,Rn) e b e imagem de um pontocrıtico de ϕ.

Definicao 8 Sejam ϕ ∈ C2(Ω,Rn) e b ∈ ϕ(S) tal que b 6∈ ϕ(∂Ω). Considere Cb acomponente conexa de Rn \ ϕ(∂Ω) que contem b. Definimos

d(ϕ,Ω, b) = d(ϕ,Ω, c), c ∈ Cb \ ϕ(S),

sendo o membro direito da igualdade acima dado pela Definicao 2.

O proximo resultado implica que o grau estabelecido na Definicao 8 e localmenteconstante na topologia de C1(Ω,R).

Lema 9 Se ϕ ∈ C2(Ω,Rn) e b 6∈ ϕ(∂Ω), entao existe uma vizinhanca U de ϕ, natopologia de C1(Ω,Rn) tal que, para cada ψ ∈ U , vale

(i) b 6∈ ψ(∂Ω);

(ii) d(ψ,Ω, b) = d(ϕ,Ω, b).

O lema abaixo e conhecido como a propriedade da invariancia por homotopiado grau topologico.

Lema 10 Se H ∈ C2(Ω× [0, 1],Rn) e b 6∈ H(∂(Ω)× [0, 1]), entao

d(H(·, t1),Ω, b) = d(H(·, t2),Ω, b),

para quaisquer t1, t2 ∈ [0, 1].

Demonstracao: Na demonstracao deste lema, usaremos o seguinte resultado deAnalise no Rn:

Resultado auxiliar: Sejam K ⊂ Rn um conjunto compacto, X ⊂ Rm e f :K×X → Rp uma funcao contınua. Entao, fixado x0 ∈ X e dado ε > 0, existe δ > 0tal que:

∀x ∈ X; ‖x− x0‖ < δ ⇒ ‖f(y, x)− f(y, x0)‖ < ε, ∀y ∈ K.

Vamos fixar τ ∈ [0, 1] e aplicar o resultado acima para as funcoes H e ∂1H, onde∂1H denota a derivada de H em relacao a primeira variavel.

Entao, dado ε > 0, existe δ > 0 de maneira que

∀t ∈ [0, 1]; |t− τ | < δ ⇒‖H(y, t)−H(y, τ)‖ < ε‖∂1(y, t)− ∂1(y, τ)‖ < ε,

para todo y ∈ Ω, de onde segue que

∀t ∈ [0, 1]; |t− τ | < δ ⇒ ‖H(·, t)−H(·, τ)‖C1(Ω) < ε.



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Escolhendo ε > 0 suficientemente pequeno, podemos afirmar que existe δ > 0tal que

d(H(·, t),Ω, b) = d(H(·, τ),Ω, b), ∀t ∈ [0, 1] e |t− τ | < δ.

Como [0, 1] e compacto e conexo e a funcao t ∈ [0, 1] 7→ d(H(·, t),Ω, b) ∈ Z e local-mente constante, concluımos que d(H(·, t),Ω, b) e constante em [0, 1].

Atraves do lema a seguir sera possıvel definir o grau de funcoes contınuas em Ω.

Lema 11 Se ϕ ∈ C(Ω,Rn) e b 6∈ ϕ(∂Ω), entao existira uma vizinhanca U de ϕ, natopologia de C2(Ω,Rn), tal que

d(ψ1,Ω, b) = d(ψ2,Ω, b),

para quaisquer ψ1, ψ2 ∈ U .

Demonstracao: Sejam ϕ ∈ C(Ω,Rn) e b 6∈ ϕ(∂Ω). Como b 6∈ ϕ(∂Ω), a distanciade b a ϕ(∂Ω) e positiva. Considere, pois, r = dist (b, ϕ(∂Ω)). Como, pelo Teoremade Aproximacao de Weirstrass, C2(Ω,Rn) e denso em C(Ω,Rn), segue que

U =ψ ∈ C2(Ω,Rn); ‖ϕ− ψ‖∞ <

r

2

6= ∅.

Sejam ψ1, ψ2 ∈ U e defina H : Ω× [0, 1] −→ Rn por H(x, t) = tψ1(x) + (1− t)ψ2(x),para (x, t) ∈ Ω × [0, 1]. Afirmamos que b 6∈ H(∂Ω × [0, 1]). Com efeito, suponhaque exista (x0, t0) ∈ ∂Ω× [0, 1] tal que H(x0, t0) = b. Neste caso, como a distanciaentre b e ϕ(∂Ω) e r, segue que

‖H(x0, t0)− ϕ(x0)‖ = ‖b− ϕ(x0)‖ ≥ r. (1.0.3)

Por outro lado, utilizando a expressao que define H, obtemos

‖H(x0, t0)− ϕ(x0)‖ = ‖t0ψ1(x0) + (1− t0)ψ2(x0)− t0ϕ(x0)− (1− t0)ϕ(x0)‖

≤ t0‖ψ1(x0)− ϕ(x0)‖+ (1− t0)‖ψ2(x0)− ϕ(x0)‖.

Por conseguinte,

‖H(x0, t0)− ϕ(x0)‖ ≤ t0‖ψ1 − ϕ‖∞ + (1− t0)‖ψ2 − ϕ‖∞.

Entao, como ψ1, ψ2 ∈ U , temos

‖H(x0, t0)− ϕ(x0)‖ < t0r

2+ (1− t0)

r

2=r

2.

Como a desigualdade acima esta em contradicao com (1.0.3), concluımos que b 6∈H(∂Ω× [0, 1]). Alem disso, como H ∈ C2(Ω,Rn), segue, pelo Lema 10, que

d((H(·, 1),Ω, b) = d((H(·, 0),Ω, b),

ou seja,d(ψ1,Ω, b) = d(ψ2,Ω, b),

o que finaliza a prova.



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Definicao 12 Sejam ϕ ∈ C(Ω,Rn) e b 6∈ ϕ(∂Ω). Definimos o grau topologico deBrouwer de ϕ em relacao a Ω no ponto b por

d(ϕ,Ω, b) = d(ψ,Ω, b), ψ ∈ U,

sendo U a vizinhanca de ϕ na topologia de C2(Ω,Rn), cuja existencia e asseguradapelo Lema 11.

Dentre as propriedades do grau de Brouwer para aplicacoes contınuas, destaca-mos as seguintes:

Proposicao 13 Se H ∈ C(Ω × [0, 1],Rn) e uma homotopia e b /∈ H(∂Ω × [0, 1]),entao

d(H(·, t),Ω, b) e constante em [0, 1].

Demonstracao: Para cada τ ∈ [0, 1], dado ε > 0, existe δ > 0 tal que

t ∈ [0, 1]; |τ − t| < δ ⇒ ‖H(·, t)−H(·, τ)‖∞ < ε,

ja que H e contınua em Ω× [0, 1].Sendo ε > 0 suficientemente pequeno, podemos afirmar que:

d(H(·, t),Ω, b) = d(H(·, τ),Ω, b) quando t ≈ τ.

Daı, a aplicacao t 7→ d(H(·, t),Ω, b) e localmente constante.Como o intervalo [0, 1] e um conjunto compacto e conexo, concluımos que d(H(·, t),Ω, b)

e constante em [0, 1] .

Proposicao 14 Seja ϕ : Ω → Rn uma aplicacao contınua com b 6∈ ϕ(Ω). Entaod(ϕ,Ω, b) = 0.

Demonstracao: Seja ψ ∈ C2(Ω,Rn) tal que ‖ϕ−ψ‖∞ < r2 , com r = dist (b, ϕ(∂Ω)).

Temos, entao, que:d(ϕ,Ω, b) = d(ψ,Ω, b).

Nao e difıcil verificar que b 6∈ ψ(Ω). Daı, d(ψ,Ω, b) = 0 (veja Definicao 2) e, porconseguinte, d(ϕ,Ω, b) = 0.

Proposicao 15 Sejam ϕ : Ω → Rn uma aplicacao contınua e b 6∈ ϕ(∂Ω). Sed(ϕ,Ω, b) 6= 0, entao existe x ∈ Ω tal que ϕ(x) = b.

Demonstracao: Se supusessemos que b nao pertencesse a ϕ(Ω), entao nao existiria

x0 ∈ Ω tal que ϕ(x0) = b e, pela Proposicao 14, terıamos d(ϕ,Ω, b) = 0.

Proposicao 16 Sejam ϕ,ψ : Ω→ Rn aplicacoes contınuas, tais que ϕ|∂Ω = ψ|∂Ω eb 6∈ ϕ(∂Ω) = ψ(∂Ω). Entao, d(ϕ,Ω, b) = d(ψ,Ω, b).

Demonstracao: Basta definir H : Ω×[0, 1]→ Rn por H(x, t) = tϕ(x)+(1−t)ψ(x),

para (x, t) ∈ Ω× [0, 1], observar que b 6∈ H(∂Ω× [0, 1]), uma vez que H(·, t) = ϕ = ψem ∂Ω para todo t ∈ [0, 1], e levar em conta a Proposicao 13.

As provas das propriedades listadas abaixo exigem um pouco mais de trabalho e,por isso, nao serao exibidas aqui. Cabe enfatizar que o leitor pode adotar o trabalho[2] para estuda-las.



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Proposicao 17 Sejam ϕ ∈ C(Ω,Rn) e b 6∈ ϕ(∂Ω). Existe uma vizinhanca V de ϕem C(Ω,Rn) tal que, para toda ψ ∈ V , tem-se

b 6∈ ψ(∂Ω) e d(ψ,Ω, b) = d(ϕ,Ω, b).

Proposicao 18 Sejam ϕ ∈ C(Ω,Rn),Ω = Ω1 ∪ Ω2, com Ω1 ∩ Ω2 = ∅, eb 6∈ ϕ(∂Ω1) ∪ ϕ(∂Ω2). Entao,

d(ϕ,Ω, b) = d(ϕ,Ω1, b) + d(ϕ,Ω2, b).

Proposicao 19 Se ϕ ∈ C(Ω,Rn) e d(ϕ,Ω, b) 6= 0, entao ϕ(Ω) e uma vizinhancaaberta de b, isto e, existe uma bola aberta de centro em b, B(b), tal que B(b) ⊂ ϕ(Ω).

A proxima propriedade e consequencia imediata da anterior.

Proposicao 20 Se ϕ ∈ C(Ω,Rn) e ϕ(Ω) esta contido em um subespaco proprio deRn, entao d(ϕ,Ω, b) = 0.

Proposicao 21 Se ϕ ∈ C(Ω,Rn), K e um conjunto fechado contido em Ω eb 6∈ ϕ(K), entao d(ϕ,Ω, b) = d(ϕ,Ω−K, b).

Para um estudo mais aprofundado da teoria do grau topologico de Brouwer,indicamos as referencias [1], [2], [3] e [4].

2 Teorema de Borsuk

Esta secao sera devotada ao Teorema de Borsuk e a algumas de suas con-sequencias.

A demonstracao do Teorema de Borsuk requer alguns resultados preliminares.Tais resultados serao exibidos a seguir.

Lema 22 Sejam K um subconjunto compacto de Rn e ϕ ∈ C(K,Rm), com m > n,tal que 0 /∈ ϕ(K). Entao, para todo cubo fechado Q tal que K ⊂ Q ⊂ Rn, existeuma aplicacao ϕQ ∈ C(Q,Rm) tal que ϕQ|K = ϕ e 0 /∈ ϕQ(Q).

Demonstracao: Seja α = inf‖ϕ(x)‖;x ∈ K. Como, por hipotese, 0 /∈ ϕ(K),podemos afirmar que α > 0.

Seja 0 < ε < α2 . Pelo Teorema de Aproximacao de Weierstrass, existe uma

aplicacao ψ ∈ C1(Q,Rm) tal que

sup‖ϕ(x)− ψ(x)‖;x ∈ K < ε

2.

Se 0 /∈ ψ(Q), consideraremos ψ1 = ψ. Caso contrario, podemos considerar ψ ∈C1(Q× Rm−n,Rm) dada por ψ(x, r) = ψ(x), para todo (x, r) ∈ Q× Rm−n. Entao,Jψ[y] = 0 para todo y ∈ Q×Rm−n e, consequentemente, o conjunto ψ(Q×Rm−n) =ψ(Q) tem medida nula em Rn, pelo Teorema de Sard. Deste modo, podemos inferirque existe a no complementar de ψ(Q) em Rn tal que ‖a‖ < ε

2 , ja que o interior doconjunto ψ(Q) e vazio.



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68


Para x ∈ Q, consideraremos ψ1(x) = ψ(x)− a. Note que, para todo x ∈ Q,

‖ϕ(x)− ψ1(x)‖ = ‖ϕ(x)− ψ(x) + a‖ ≤ ‖ϕ(x)− ψ(x)‖+ ‖a‖ < ε

2+ε

2= ε.

Em ambos os casos teremos:

ψ1 ∈ C1(Q,Rm), 0 /∈ ψ1(Q) e sup‖ϕ(x)− ψ1(x)‖;x ∈ K < ε.

Definamos η : R+ −→ R+ por

η(t) =

1, se t ≥ α

22 tα se t < α

2

e Φ : Q→ Rm por Φ(x) =ψ1(x)

η(‖ψ1(x)‖), para x ∈ Q.

Perceba que 0 /∈ Φ(Q), pois ψ1(x) 6= 0 para x ∈ Q. Alem disso, dado x ∈ K,

‖ψ1(x)‖ = ‖ϕ(x)− ϕ(x) + ψ1(x)‖ ≥ ‖ϕ(x)‖ − ‖ϕ(x)− ψ1(x)‖ > α− ε > α

2

e, portanto, η(‖ψ1(x)‖) = 1 e Φ(x) = ψ1(x), para x ∈ K.Entao,

sup‖Φ(x)− ϕ(x)‖;x ∈ K = sup‖ψ1(x)− ϕ(x)‖;x ∈ K < ε.

Consideremos, agora, θ : K → Rm dada por θ(x) = Φ(x) − ϕ(x), para x ∈ K.Pelo Teorema de Extensao de Tietze, existe uma extensao contınua θ : Q→ Rm deθ em Q que preserva a norma. Sendo assim,

θ ∈ C(Q,Rm), ‖θ‖ < ε em Q e θ|K = θ.

Tomando ϕQ = Φ− θ, temos

ϕQ ∈ C(Q,Rm) e ϕQ|K = Φ− θ|K = ϕ.

Para concluirmos o desejado, precisamos provar que 0 /∈ ϕQ(Q). Observemosque, para x ∈ Q,

? se ‖ψ1(x)‖ ≥ α2 entao η(‖ψ1(x)‖) = 1 e ‖Φ(x)‖ ≥ α

2 ;

? se ‖ψ1(x)‖ < α2 entao ‖Φ(x)‖ = α

2 .

Portanto, para x ∈ Q, temos

‖ϕQ(x)‖ = ‖Φ(x)− θ‖ ≥ ‖Φ(x)‖ − ‖θ‖ > α

2− ε > 0,

de onde segue que 0 /∈ ϕQ(Q).

Lema 23 Sejam Ω um subconjunto aberto, limitado e simetrico de Rn tal que 0 /∈ Ωe ϕ ∈ C(∂Ω,Rm), com m > n. Suponhamos que ϕ seja uma aplicacao ımpar e0 /∈ ϕ(∂Ω). Entao, existe uma aplicacao ımpar Φ ∈ C(Ω,Rm) tal que 0 /∈ Φ(Ω) e Φestende ϕ, isto e, Φ|∂Ω = ϕ.



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69


Demonstracao: A prova sera feita por inducao sobre n.Caso n = 1: Sejam ε, δ > 0 tais que ε < δ e Ω ⊂ [−δ,−ε] ∪ [ε, δ].Considerando K = ∂Ω ∩ [ε, δ] e Q = [ε, δ] no enunciado do Lema 22 vemos que

ϕ|K possui uma extensao Φ1 definida em [ε, δ] tal que 0 /∈ Φ1([ε, δ]).

Definamos Φ1(x) = −Φ1(−x), para x ∈ [−δ,−ε] e Φ(x) = Φ1|Ω(x), para x ∈ Ω.

Entao, Φ ∈ C(Ω,Rm), 0 /∈ Φ(Ω),Φ|∂Ω= ϕ e Φ e uma aplicacao ımpar.

Suponhamos agora que tenhamos a validade do resultado para o caso n − 1 eidentifiquemos o hiperplano x1 = 0 de Rn a Rn−1.

Se ϕ esta definida no conjunto ∂(Ω ∩ Rn−1) ⊂ ∂Ω ∩ Rn−1, entao ϕ possui umaextensao ϕ ∈ C(∂Ω ∩ Rn−1,Rm), pela hipotese de inducao.

Do fato de ϕ estar definida em ∂(Ω ∩ Rn−1) podemos considerar que:

ϕ ∈ C(∂Ω ∪ (Ω ∩ Rn−1),Rm), ϕ e ımpar, 0 /∈ ϕ(∂Ω ∪ (Ω ∩ Rn−1), ϕ|(∂Ω)= ϕ.

Sejam Ω+ = Ω ∩ x1 > 0 e Ω− = Ω ∩ x1 < 0. Consideremos Q um cubocontendo Ω+ e contido em R+ × Rn−1.

Aa

Ab

A

5

\!

O Lema 22 garante a existencia de uma extensao contınua de ϕ|(∂Ω∩Ω+)∪(Ω∩Rn−1)a

Q e, a fortiori, a Ω+. Digamos que Φ ∈ C(Ω+,Rm) seja tal extensao de ϕ|(∂Ω∩Ω+)∪(Ω∩Rn−1)

ao conjunto Ω+. Para concluir a prova, defina Φ(x) = −Φ(−x) para x ∈ Ω−. Cla-ramente, Φ ∈ C(Ω,Rm), Φ e ımpar, 0 /∈ Φ(Ω) e Φ|∂Ω = ϕ.

Nao e difıcil verificar a veracidade do proximo resultado a partir do resultadoprecedente. Por esta razao nao incluiremos sua demonstracao aqui. Porem, suge-rimos ao leitor interessado nos detalhes de tal demonstracao a leitura do trabalho[2].

Lema 24 Seja Ω um subconjunto aberto e limitado de Rn, simetrico em relacao aorigem, tal que 0 /∈ Ω. Seja ϕ ∈ C(∂Ω,Rn) uma aplicacao ımpar, tal que 0 /∈ ϕ(∂Ω).Entao, existe uma aplicacao Φ ∈ C(Ω,Rn) ımpar, tal que 0 /∈ Φ(Ω ∩ Rn−1) eΦ|∂Ω

= ϕ.

Lema 25 Seja Ω ⊂ Rn um subconjunto aberto, limitado, simetrico em relacao aorigem, com 0 /∈ Ω. Seja ϕ ∈ C(Ω,Rn) uma aplicacao ımpar sobre ∂Ω, tal que0 /∈ ϕ(∂Ω). Entao o grau d(ϕ,Ω, 0) e um numero inteiro par.



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70


Demonstracao: Como ϕ|∂Ω cumpre as hipoteses do Lema 24, existe uma

aplicacao Φ ∈ C(Ω,Rn) ımpar, tal que 0 /∈ Φ(Ω ∩ Rn−1) e Φ|∂Ω= ϕ|∂Ω

. A Pro-posicao 16 garante que

d(ϕ,Ω, 0) = d(Φ,Ω, 0). (2.0.1)

Vimos, no Lema 17, que existe ε > 0 tal que, para qualquer aplicacao ψ ∈C(Ω,Rn) com ‖ψ − ϕ‖∞ < ε, tem-se

d(Φ,Ω, 0) = d(ψ,Ω, 0). (2.0.2)

Escolha ψ ∈ C2(Ω,Rn) tal que ‖ψ − Φ‖∞ < ε.

Considere a aplicacao ımpar dada por Φ(x) =ψ(x)− ψ(−x)

2, para x ∈ Ω. Note

que, para qualquer x ∈ Ω, tem-se

‖Φ(x)− Φ(x)‖ =

∥∥∥∥ψ(x)− ψ(−x)

2− Φ(x)

∥∥∥∥≤ 1

2‖ψ(x)− ψ(−x)− 2Φ(x)‖

≤ 1

2‖ψ(x)− Φ(x)‖+

1

2‖ψ(−x) + Φ(x)‖

=1

2‖ψ(x)− Φ(x)‖+

1

2‖ψ(−x)− Φ(−x)‖

< 2ε.

Dessa forma,d(Φ,Ω, 0) = d(Φ,Ω, 0). (2.0.3)

Pela Proposicao 21, obtemos

d(Φ,Ω, 0) = d(Φ,Ω− Rn−1, 0). (2.0.4)

Como Ω− Rn−1 = Ω+ ∪ Ω− segue, pela Proposicao 18, que

d(Φ,Ω, 0) = d(Φ,Ω+, 0) + d(Φ,Ω−, 0). (2.0.5)

Para completar a demonstracao, considere b na vizinhanca de zero tal queJ

Φ[x] 6= 0 para qualquer x ∈ Φ−1(b) (tal ponto existe pelo Teorema de Sard).

Assim,

d(Φ,Ω+, 0) = d(Φ,Ω+, b) =∑

x∈Φ−1(b)∩Ω+

sgn(JΦ

[x])

ed(Φ,Ω−, 0) = d(Φ,Ω−,−b) =

∑y∈Φ−1(−b)∩Ω−

sgn (JΦ

[y]).

Como Φ′(x) = Φ′(−x), constatamos que

d(Φ,Ω+, 0) = d(Φ,Ω−, 0). (2.0.6)

Dessa forma concluımos o desejado, pois:

d(ϕ,Ω, 0)2.0.1= d(Φ,Ω, 0)

2.0.3= d(Φ,Ω, 0)

2.0.5= d(Φ,Ω+, 0)+d(Φ,Ω−, 0)

2.0.6= 2d(Φ,Ω+, 0).

Atraves dos resultados vistos acima podemos demonstrar o Teorema de Borsuk.



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71


Teorema 26 (Teorema de Borsuk) Sejam Ω ⊂ Rn um subconjunto aberto, li-mitado, simetrico em relacao a origem, com 0 ∈ Ω, e ϕ : Ω −→ Rn uma aplicacaocontınua. Se ϕ e ımpar em ∂Ω e 0 /∈ ϕ(∂Ω), entao o grau d(ϕ,Ω, 0) e um numerointeiro ımpar.

Demonstracao: Utilizando o Teorema de Extensao de Tietze, podemos cons-truir uma aplicacao ψ ∈ C(Ω,Rn) tal que

ψ = ϕ em ∂Ωψ(x) = x em uma bolaBr(0) ⊂ Ω.

Pela Proposicao 16, temos que:

d(ϕ,Ω, 0) = d(ψ,Ω, 0). (2.0.7)

Por outro lado, segue da Proposicao 18 que:

d(ψ,Ω, 0) = d(ψ,Br(0), 0) + d(ψ,Ω−Br(0), 0). (2.0.8)

Note qued(ψ,Br(0), 0) = d(I,Br(0), 0) = 1. (2.0.9)

Entao,

d(ϕ,Ω, 0)2.0.7= d(ψ,Ω, 0)

2.0.8= d(ψ,Br(0), 0)+d(ψ,Ω−Br(0), 0)

2.0.9= 1 + d(ψ,Ω−Br(0), 0).

Como, pelo Lema 25, d(ψ,Ω − Br(0), 0) e par, concluımos que d(ϕ,Ω, 0) e umnumero ımpar.

No que segue, Ω ⊂ Rn denotara um subconjunto aberto, limitado, simetrico emrelacao a origem, tal que 0 ∈ Ω, como no Teorema de Borsuk.

Corolario 27 Se ϕ : Ω −→ Rn e uma aplicacao contınua em Ω e ımpar em ∂Ω,entao existem x, y ∈ Ω tais que ϕ(x) = 0 e ϕ(y) = y.

Demonstracao: Primeiramente, note que 0 ∈ ϕ(Ω), uma vez que ϕ(0) = −ϕ(0)e, portanto, ϕ(0) = 0. Pois bem, ou 0 ∈ ϕ(∂Ω) e entao existe x ∈ ∂Ω tal queϕ(x) = 0, ou o grau d(ϕ,Ω, 0) esta bem definido e e diferente de zero, pelo Teoremade Borsuk. Sendo d(ϕ,Ω, 0) 6= 0, existe x ∈ Ω tal que ϕ(x) = 0, pela Proposicao 15.

E facil ver que a aplicacao ψ(x) = x − ϕ(x), para x ∈ Ω, tem as mesmaspropriedades do que ϕ. Logo, existe y ∈ Ω tal que ψ(y) = 0, ou seja, existe y ∈ Ωtal que ϕ(y) = y.

Corolario 28 Seja ϕ ∈ C(Ω,Rn) tal que 0 /∈ ϕ(∂Ω) e suponha que, para qualquer

x ∈ ∂Ω, ϕ(x) e ϕ(−x) nao possuam o mesmo sentido(

ou seja, ϕ(x)‖ϕ(x)‖ 6=

ϕ(−x)‖ϕ(−x)‖

).

Entao d(ϕ,Ω, 0) e um numero inteiro ımpar. Em particular, ϕ(Ω) contem umavizinhanca de zero.

Demonstracao: Defina H : Ω × [0, 1] −→ Rn por H(x, t) = ϕ(x) − tϕ(−x),

para (x, t) ∈ Ω× [0, 1].Claramente, H ∈ C(Ω × [0, 1],Rn). Alem disso, 0 /∈ H(∂Ω × [0, 1]). De fato,

suponha que exista (x0, t0) ∈ ∂Ω× [0, 1] tal que H(x0, t0) = 0. Entao,

H(x0, t0) = 0⇒ ϕ(x0)− t0ϕ(−x0) = 0⇒ ϕ(x0) = t0ϕ(−x0),



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72


de onde segue queϕ(x0)

‖ϕ(x0)‖=

ϕ(−x0)

‖ϕ(−x0)‖, ja que t0 > 0, contradizendo a hipotese.

Note que H(·, 0) = ϕ e H(·, 1) = ψ, em que ψ(x) = ϕ(x)− ϕ(−x), para x ∈ Ω.Como ψ e uma aplicacao ımpar e 0 6∈ ψ(∂Ω) segue, pelo Teorema de Borsuk, qued(H(·, 1),Ω, 0) e um numero ımpar. A Proposicao 13 nos conduz a deduzir qued(ϕ,Ω, 0) e tambem um numero inteiro ımpar.

Corolario 29 Seja ϕ ∈ C(∂Ω,Rn) uma aplicacao ımpar. Se ϕ(∂Ω) esta contidoem um subespaco proprio de Rn, entao existe x0 ∈ ∂Ω tal que ϕ(x0) = 0.

Demonstracao: Seja A ⊂ Rn subconjunto proprio de Rn contendo ϕ(∂Ω).Obviamente, ϕ(∂Ω) ⊂ Rn.

Suponha que 0 /∈ ϕ(∂Ω) e considere Φ ∈ C(Ω,Rn) a extensao de ϕ dada peloTeorema de Extensao de Tietze.

Como Φ e ımpar em ∂Ω, para qualquer x ∈ ∂Ω, os vetores Φ(x) e Φ(−x) possuemsentidos opostos. Entao, pelo Corolario 28, Φ(Ω) contem uma vizinhanca de zeroe, por conseguinte, A = Rn. Eis, pois, uma contradicao. Logo, 0 ∈ ϕ(∂Ω), ou seja,existe x0 ∈ ∂Ω tal que ϕ(x0) = 0.

Teorema 30 (Teorema de Borsuk-Ulam) Seja ϕ ∈ C(∂Ω,Rn), tal que ϕ(∂Ω)esta contido em um subespaco proprio de Rn. Entao, existe ξ ∈ ∂Ω tal que ϕ(ξ) =ϕ(−ξ).

Demonstracao: Defina ψ(x) = φ(x)−φ(−x), para x ∈ ∂Ω. Note que ψ cumpreas condicoes do corolario acima. Logo, existe ξ ∈ ∂Ω tal que

ψ(ξ) = 0, ou seja, φ(ξ) = φ(−ξ).

Finalizamos este trabalho com o seguinte resultado:

Corolario 31 Nao existe uma aplicacao ımpar ϕ ∈ C(Sn, Sm), para n > m.

Demonstracao: Suponha que tal ϕ exista. Entao, ϕ cumpre as condicoes doCorolario 29 e, portanto, existe x0 ∈ Sn tal que ϕ(x0) = 0, o que e um absurdo.

Referencias

[1] O. B. de Almeida, Teoria do Grau e Aplicacoes, Dissertacao de Mestrado doPrograma de Pos-Graduacao em Matematica - CCT - UFCG, (2006).

[2] H. Berestycki, Methodes Topologiques et Problemes Aux Limites non Lineaires,These de Doctorat, l’Universite de Paris VI, 1975.

[3] I. Fonseca; W. Gangbo, Degree Theory in Analysis and Applications, OxfordsScience Publications, Clarendon Press, Oxford, 1995.

[4] R. E. Gaines; J. Mawhin, Coincidence Degree and Nonlinear Differential Equa-tions, Lecture Notes in Math. 568, Springer, 1977.



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73


O Teorema do Ponto Fixo de Schauder eAplicacao as EDFR∗

Cristiano dos Santos †

Resumo

Vamos apresentar um importante resultado sobre existencia de ponto fixo paraaplicacoes compactas e descreveremos como este resultado e utilizado para garantira existencia de solucoes de Equacoes Diferenciais Funcionais com Retardamento(EDFR).

Palavras Chave: Operadores Compactos, Ponto Fixo, Equacoes Diferenciais Fun-cionais com Retardamento.

Introducao

Apresentaremos neste trabalho a construcao do Teorema do Ponto Fixo deSchauder e para isto utilizaremos alguns resultados referentes as aplicacoes com-pactas. Este importante teorema e utilizado para a obtencao de outros resultadosdentro da Matematica e da Matematica Aplicada. Para exemplificar, veremos umaaplicacao dentro da Teoria Basica das Equacoes Diferenciais Funcionais com Re-tardamento sobre existencia de solucao, alem disso, ele tambem pode ser utilizadopara garantir a existencia de solucoes periodicas para alguma classe de EDFR.

1 Resultados Preliminares

Inicialmente vamos apresentar a definicao de Operador Compacto, um exemploe alguns resultados importantes para o bom desenvolvimento deste trabalho.

Antes de definirmos os Operadores Compactos relembremos do seguinte resul-tado:

Teorema 1 As seguintes afirmacoes a respeito de um espaco metrico M sao equi-valentes:

1 - M e compacto.

2 - Todo subconjunto infinito de M possui um ponto de acumulacao.

∗Trabalho realizado como parte do projeto de Iniciacao Cientıfica Fapesp, Processo: 2012/15162-3 sob

a orientacao da Profa. Dra. Marta Cilene Gadotti.†Email: [email protected], bolsista FAPESP. Estudante do Curso de Bacharelado em Ma-

tematica, Unesp - Rio Claro.‡Email: [email protected], bolsista BAAE do IGCE. Estudante do Curso de Bacharelado

em Matematica, Unesp - Rio Claro.

Marcia Richtielle ‡

SANTOS, C; RICHTIELLE, M. SOUZA, C. S O teorema do ponto fixo de Schauder e aplicação às EDFR.

DOI: 10.21167/cqdvol5ic201523169664csmr7484 - Disponível em: http://www2.fc.unesp.br/revistacqd/index.jsp

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74

C.Q.D. - Revista EletrônicaBauru, v. 5, p. 74-84, dez. 2015. Edição Iniciação Científica. Paulista de Matemática,

3 - Toda sequencia em M possui uma subsequencia convergente.

4 - M e completo e totalmente limitado.

Como aplicacao direta deste Teorema temos o seguinte Corolario:

Corolario 2 Dado um subconjunto X de um espaco metrico completo M , sao equi-valentes as seguintes propriedades:

1 - X e relativamente compacto em M , isto e, X e compacto.

2 - Toda sequencia de pontos de X possui uma subsequencia convergente em M .

3 - X e totalmente limitado.

As provas dos resultados descritos acima podem ser encontradas em [3].

Definicao 3 Sejam E e F espacos normados, dizemos que a aplicacao k : E −→ Fcontınua e compacta ou completamente contınua se para todo X ⊂ E limitado, k(X)e relativamente compacto.

Apresentamos agora um teorema (veja referencia [4]) que mostra alternativasequivalentes de verificar que uma aplicacao linear e compacta.

Teorema 4 Sejam E e F espacos normados e k : E → F uma aplicacao linear;sao equivalentes as seguintes propriedades:

1 - k e compacta.

2 - Toda sequencia limitada de pontos (xn) de E contem uma subsequencia (xnr)tal que a sequencia (k(xnr)) e convergente em F .

3 - k leva a bola unitaria B de E num conjunto relativamente compacto de F .

Demonstracao:(1) =⇒ (2) Sendo xn;n ∈ N um subconjunto limitado de E e k compacta,

entao k(xn);n ∈ N e um subconjunto relativamente compacto de F . Assim, doCorolario 2 segue que a sequencia (k(xn)) possui uma subsequencia convergente emF .

(2) =⇒ (3) Da hipotese segue que toda sequencia (xn) ⊂ B contem uma sub-sequencia (xnr) tal que (k(xrn)) e convergente em F . Isto equivale a dizer que oconjunto k(B) e relativamente compacto, pelo Corolario 2.

(3) =⇒ (1) Seja L ⊂ E um conjunto limitado, entao existe a > 0 tal queL ⊂ a.B = B(a), onde B(a) e a bola de raio a, e assim,

k(L) ⊂ ak(B).

Segue que k(L) e relativamente compacto pois k(B) o e, assim ak(B) e relativa-mente compacto.

Exemplo 5 Sejam E e F espacos normados e k : E −→ F contınua. Se E ecompacto entao k e compacto.

De fato, pois dado uma sequencia limitada arbitraria (xn) ⊂ E temos, pela com-pacidade de E, que (xn) possui subsequencia (xnr) convergente, e pela continuidadede k segue que (k(xnr)) e convergente e, portanto, k e compacto.



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75


Vamos agora construir um operador compacto, para isto considere E = C([a, b],C)e F = C([c, d],C) e seja K : [c, d] × [a, b] −→ C uma funcao contınua. Para todox ∈ E definimos y = k(x) ∈ F por

y(t) = k(x)(t) =

∫ b

aK(t, s)x(s)ds, t ∈ [c, d].

Para determinar que k e compacto vamos demonstrar que k(B) e um subconjuntorelativamente compacto de F , onde B e a bola unitaria em E. Pelo Teorema deArzela-Ascoli, ver referencia [5], e suficiente demonstrar que:

i) k(B) e equicontınuo.ii) Para todo t0 ∈ [c, d] o conjunto k(B)(t0) = k(x)(t0);x ∈ B e limitado em

C.

Demonstracao de i): Da continuidade uniforme de K segue que dado ε > 0existe δ > 0 tal que para todo s ∈ [a, b] e t1, t2 ∈ [c, d] com |t1 − t2| < δ temos:

|K(t1, s)−K(t2, s)| < ε.

De

|y(t1)− y(t2)| =∣∣∣∣∫ b

aK(t1, s)x(s)ds−

∫ b

aK(t2, s)x(s)ds

∣∣∣∣ =

=

∣∣∣∣∫ b

a[K(t1, s)−K(t2, s)]x(s)ds

∣∣∣∣ ≤ ∫ b

a|K(t1, s)−K(t2, s)||x(s)|ds,

segue-se entao que para |t− t0| < δ e x ∈ B

|k(x)(t)− k(x)(t0)| ≤∫ b

a|K(t, s)−K(t0, s)||x(s)|ds ≤ ε

∫ b

a|x(s)|ds ≤

≤ ε sups∈[a,b]

|x(s)|(b− a) < ε(b− a),

pois ‖x‖ = supa≤t≤b

|x(t)| < 1, o que prova a equicontinuidade de k(B).

Demonstracao de ii): Para todo x ∈ B e t0 ∈ [c, d] temos:

|k(x)(t0)| ≤∫ b

a|K(t0, s)||x(s)|ds ≤M,

onde M e uma constante que pode depender de t0, concluindo a prova.

2 Teorema do Ponto Fixo de Schauder

Vamos agora desenvolver o Teorema do Ponto Fixo de Schauder, para istotraremos primeiro algumas definicoes e resultados preliminares, cujas demonstracoespodem ser encontradas em [1].

Definicao 6 Um espaco topologico Y tem a propriedade do ponto fixo (fpp) setoda aplicacao contınua f : Y −→ Y tem um ponto fixo, isto e, existe y ∈ Y tal quef(y) = y.



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76


Teorema 7 - Ponto Fixo de Brouwer. A bola unitaria fechada Bn em Rn temfpp.

Teorema 8 - Ponto Fixo de Brouwer Generalizado. Um subconjunto Q deRn convexo e compacto tem fpp.

Teorema 9 Um espaco vetorial real de dimensao finita n e linearmente homeo-morfo ao Rn.

Definicao 10 Sejam X um espaco normado real e F = x1, . . . , xn um subcon-junto finito de X. Entao con(F ), a envoltoria convexa de F , e definida por:

con(F ) =

n∑j=1

tjxj ; tj ≥ 0,n∑j=1

tj = 1.

A envoltoria convexa con(F ) esta contida no espaco vetorial [F ] o qual e chamado

gerado de F e e definido pelos pontos x ∈ X que podem ser escritos na formax =

∑nj=1 ajxj para aj ∈ R e xj ∈ F . Evidentemente, [F ] e um espaco vetorial de

dimensao menor ou igual a n. Observe que con(F ) e fechado e limitado; de fato,

note que dado x ∈ con(F ) temos: ‖x‖ =∥∥∥∑n

j=1 tjxj

∥∥∥ ≤ maxj ‖xj‖ e note tambem

que con(F ) e imagem inversa do conjunto 1 pela funcao contınua: f : [F ] −→ Ronde f(x) =

∑nj=1 tj .

Resultado 11 Se F = x1, . . . , xn esta contido em um conjunto convexo C de umespaco normado X, entao con(F ) esta contida em C. Assim, con(F ) e a intersecaode todos os subconjuntos convexos de X contendo F .

Demonstracao: Usando inducao no numero de pontos em F , segue que o Re-sultado e trivial para F com apenas um ponto. Vamos assumir que o Resultado evalido para conjuntos F com n− 1 pontos. Agora, seja C um subconjunto convexode X contendo F e seja x =

∑nj=1 tjxj ∈ con(F ). Assim, devemos mostrar que

x ∈ C. Se tn = 1 entao x = xn pois∑tj = 1 e esta provado. Caso contrario, x

pode ser escrito na forma

x = (1− tn)

[t1

1− tnx1 + · · ·+ tn−1

1− tnxn−1

]+ tnxn = (1− tn)x∗ + tnxn

Seja F ′ = x1, . . . , xn−1, entao x∗ ∈ con(F ′) pois:

t1 + · · ·+ tn = 1⇒ t1 + · · ·+ tn−1 = 1− tn ⇒t1

1− tn+ · · ·+ tn−1

1− tn= 1.

Assim, pela hipotese de inducao x∗ ∈ C e como C e convexo e tn ∈ [0, 1[ segueque x ∈ C.

Definicao 12 Para todo ε > 0, um ε−net, que denotaremos por S, em um espacometrico X e um subconjunto de X com a propriedade que todo ponto de X esta aoalcance ε de algum ponto de S, isto e, ∀x ∈ X,∃s ∈ S tal que d(x, s) < ε. Paradizer a mesma coisa, mais precisamente, dizemos que um subconjunto S de X e umε− net se X e a uniao de todas B(s, ε), com s ∈ S.

Definicao 13 Dizemos que um espaco metrico X e totalmente limitado se existeum ε− net finito para X.



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77


Teorema 14 - Projecao de Schauder. Seja K um subconjunto compacto de umespaco normado X, com a metrica d induzida pela norma. Dado ε > 0, existe umsubconjunto finito F de X e uma aplicacao P : K −→ con(F ) chamada Projecaode Schauder, tal que d(P (x), x) < ε para todo x ∈ K.

Demonstracao: Como K e compacto segue do Teorema 1 que K e totalmentelimitado, assim existe um ε − net finito, seja tal conjunto F = x1, . . . , xn. Parai = 1, . . . , n defina as funcoes φi : K −→ R por φi(x) = ε− d(x, xi) se x ∈ B(xi, ε)e φi(x) = 0 caso contrario. Definindo, φ como φ(x) =

∑ni=1 φi(x) temos que

φ(x) > 0, ∀x ∈ K, pois F e um ε− net para K.Definimos entao a Projecao de Schauder por:

P (x) =

n∑i=1

φi(x)

φ(x)xi,

que e contınua pois os φi sao. Observe que P (x) ∈ con(F ) pois,

n∑i=1

φi(x)

φ(x)=

1

φ(x)

n∑i=1

φi(x) =φ(x)

φ(x)= 1.

E assim,

d(P (x), x) =

∥∥∥∥∥n∑i=1

φi(x)

φ(x)xi − x

∥∥∥∥∥ =

∥∥∥∥∥n∑i=1

φi(x)

φ(x)xi −

n∑i=1

φi(x)

φ(x)x

∥∥∥∥∥ =

∥∥∥∥∥n∑i=1

φi(x)

φ(x)(xi − x)

∥∥∥∥∥≤

n∑i=1

φi(x)

φ(x)‖xi − x‖ <

n∑i=1

φi(x)

φ(x)ε = ε,

pois φi(x) = 0 se ‖xi − x‖ ≥ ε.

De acordo com o Teorema 8 um subconjunto fechado, limitado (e assim com-pacto) e convexo de um espaco euclidiano de dimensao finita tem a propriedade doponto fixo. De modo geral, em espacos normados subconjuntos fechados e limitadosnao necessariamente sao compactos. Vamos ilustrar exibindo um exemplo(ver [4])de um subconjunto fechado, limitado e convexo de um espaco normado que naopossui a propriedade do ponto fixo.

Exemplo de Kakutani: Considere o espaco de Hilbert X = `2 que consiste detodas as sequencias reais x = (x1, x2, . . .) tais que a serie

∑∞j=1 x

2j seja convergente.

E a norma definida neste caso e:

‖x‖ =

√√√√ ∞∑j=1

x2j .

A bola unitaria C em X, isto e, o conjunto de pontos x ∈ X tais que ‖x‖ ≤ 1,e certamente fechada, limitada e convexa. Se definirmos

f(x) = f((x1, x2, . . .)) =(√

1− ‖x‖2, x1, x2, . . .)

e calcularmos

‖f(x)‖ =

√(√1− ‖x‖2

)2+ x21 + x22 + · · · =

√(1− ‖x‖2) + ‖x‖2 = 1



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78


vemos que f aplica o conjunto C em si mesmo, na verdade, na esfera unitaria S ⊂ C.Esta funcao f : C −→ S ⊂ C e contınua, pois podemos escreve-la como composicaode funcoes que obviamente sao contınuas. Mas, f nao tem ponto fixo. Pois casocontrario, existiria x′ = (x′1, x

′2, . . .) com f(x′) = x′ e entao ‖x′‖ = ‖f(x′)‖ = 1.

Mas, pela definicao de f terıamos

f(x′) = f(x′1, x′2, . . .) = (0, x1, x2) = x′ = (x1, x2, . . .)

e isto implica que 0 = x′1, x′1 = x′2 e assim em diante, e portanto terıamos que x′

seria a sequencia nula, o que e uma contradicao.

Teorema 15 - Ponto Fixo de Schauder. Seja C um subconjunto fechado, limi-tado e convexo de um espaco normado e seja f : C −→ C uma aplicacao compacta,entao f tem um ponto fixo.

Demonstracao: Da hipotese temos que f(C) e compacto, denote f(C) por K.Para cada numero natural n, seja Fn um 1

n − net finito para o compacto K e sejaPn : K −→ con(Fn) a Projecao de Schauder. Agora, Fn esta contido em K que porsua vez esta contido em C ja que f(C) ⊂ C e C e fechado. Assim, do Resultado 11a convexidade de C implica que con(Fn) ⊂ C.

Defina fn : con(Fn) −→ con(Fn) pela restricao de f a con(Fn) e compondo comPn, fn = Pn f . Como [Fn] tem dimensao finita e con(Fn) e fechado e limitado em[Fn] temos que con(Fn) e compacto.

Assim, do Teorema 8 temos que fn possui ponto fixo, seja yn ∈ con(Fn) umdeles. Como K e compacto a sequencia (f(yn)) possui subsequencia convergente, aqual sera denotada tambem por (f(yn)). Chamemos o limite desta subsequencia dey e note que y ∈ C pois C e fechado.

Mostraremos que y e um ponto fixo de f . O argumento depende da propriedadede aproximacao da Projecao de Schauder, que neste caso satisfaz:

d(Pn(x), x) <1

n.

Quando tomamos x = f(yn) temos:

d(Pn(f(yn)), f(yn)) = d(fn(yn), f(yn)) <1

n.

Entao a sequencia (fn(yn)) = (yn) deve convergir para o mesmo ponto que f(yn)converge, o qual chamamos de y.

Finalmente, observe que, da continuidade de f e do fato de yn → y, f(yn) →f(y), portanto, da unicidade do limite temos que f(y) = y.

Corolario 16 - Ponto Fixo de Brouwer Muito Generalizado Um subcon-junto convexo e compacto de um espaco normado tem fpp.

Demonstracao: Segue diretamente do Teorema 15 e do Exemplo 5.

3 Aplicacao as EDFR

Antes de exibirmos a aplicacao do Teorema de Schauder, e preciso introduzir-mos as notacoes e definicoes que serao necessarias ao bom entendimento de umaEDFR. Primeiramente, apresentamos a definicao de equacao diferencial funcionalcom retardamento e para isto vamos considerar r > 0 e



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C = C([−r, 0],Rn) = φ = (φ1, · · · , φn) : [−r, 0]→ Rn contınua

o espaco de Banach das funcoes contınuas definidas em [−r, 0] tomando valores emRn com a topologia da convergencia uniforme. Designamos a norma de um elementoφ ∈ C como |φ| = sup

−r≤θ≤0|φ(θ)|.

Definicao 17 Se σ ∈ R, A ≥ 0 e x ∈ C([σ − r, σ + A],Rn), entao para todot ∈ [σ, σ + A], definimos xt ∈ C por xt(θ) = x(t + θ), −r ≤ θ ≤ 0. Veja a figura aseguir que ilustra a funcao xt.

σ − r t− r σ t σ +A

xt x(t)

Definicao 18 Se D e um subconjunto de R×C e f : D → Rn e uma funcao dada,entao dizemos que a relacao

x(t) = f(t, xt) (3.0.1)

e uma equacao diferencial funcional com retardamento. Desejamos enfati-zar esta equacao definida por f escrevendo EDFR(f).

Definicao 19 Uma funcao x e uma solucao da equacao (3.0.1), se existirem σ ∈ R,A > 0 tais que x ∈ C([σ − r, σ + A),Rn), (t, xt) ∈ D e x(t) satisfaz (3.0.1) parat ∈ [σ, σ +A).

Para σ ∈ R, φ ∈ C denotaremos x(σ, φ, f) como sendo a solucao da equacao(3.0.1) para t ∈ [σ − r, σ +A) com funcao inicial φ em σ, ou seja, xσ(σ, φ, f) = φ.

Enunciaremos alguns lemas necessarios para a construcao do teorema sobreexistencia de solucao. As provas podem ser encontradas em [2].

Lema 20 Se σ ∈ R, φ ∈ C sao dados e f e contınua, entao encontrar uma solucaopara a equacao (3.0.1) em (σ, φ) e equivalente a resolver a equacao integral:

xσ = φ e x(t) = φ(0) +

∫ t

σf(s, xs)ds, t ≥ σ.

Para provar a existencia de solucao e conveniente introduzirmos uma funcao∼φ

e uma equacao integral associada a ela.

Para qualquer (σ, φ) ∈ R×C, considere a funcao∼φ ∈ C([σ− r,∞),Rn) definida

por:∼φσ= φ

∼φ (t+ σ) = φ(0), t ≥ 0.

Suponha que x e uma solucao da equacao (3.0.1) passando por (σ, φ) e que

x(t+ σ) =∼φ (t+ σ) + y(t), (3.0.2)



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para t ≥ −r. Assim, do Lema 20 temos que y satisfaz

y(t) =

∫ t

0f(σ + s,

∼φσ+s +ys)ds, t ≥ 0. (3.0.3)

Reciprocamente, se y e uma solucao de (3.0.3), entao e possıvel obter uma solucaox da equacao (3.0.1) por (3.0.2). Portanto, encontrar uma solucao para a equacao(3.0.1) e equivalente a encontrar α > 0 e uma funcao y ∈ C([−r, α],Rn) tal que aequacao (3.0.3) esteja satisfeita para 0 ≤ t ≤ α.

Se V e um subconjunto de R × C, denotaremos C(V,Rn) como sendo a classede todas as funcoes f : V → Rn que sao contınuas e C0(V,Rn) ⊆ C(V,Rn) osubconjunto de funcoes limitadas contınuas de V para Rn. O espaco C0(V,Rn) eBanach com a norma

|f |V = sup(t,φ)∈V

|f(t, φ)|.

Definicao 21 Para quaisquer α, β ∈ R, definimos:

Iα = [0, α], Bβ = ψ ∈ C; ‖ψ‖ ≤ β e

A(α, β) = y ∈ C([−r, α],Rn); y0 = 0, yt ∈ Bβ, t ∈ Iα.

Lema 22 Suponha Ω ⊆ R × C aberto, W ⊆ Ω compacto e f0 ∈ C(Ω,Rn). Entaoexiste uma vizinhanca V ⊆ Ω de W tal que f0 ∈ C0(V,Rn), existem U ⊆ C0(V,Rn)uma vizinhanca de f0 e constantes positivas M,α e β tais que |f(σ, φ)| < M para(σ, φ) ∈ V e f ∈ U .

Tambem, para todo (σ0, φ0) ∈ W , temos (σ0 + t,∼φσ0+t +yt) ∈ V , para t ∈ Iα e

y ∈ A(α, β).

Lema 23 Suponha que Ω ⊆ R × C e um conjunto aberto, W ⊆ Ω e compacto ef0 ∈ C(Ω,Rn) e dada. Considere tambem as vizinhancas U e V e as constantesM,α, β que foram obtidas no Lema 22.

Se T : W × U ×A(α, β)→ C([−r, α],Rn) definida por

T (σ, φ, f, y)(t) =

0, t ∈ [−r, 0]∫ t

0f(σ + s,

∼φσ+s +ys)ds, t ∈ Iα.

Entao T e contınua e existe um conjunto compacto K ⊂ C([−r, α],Rn) tal queT : W × U ×A(α, β)→ K.

Tambem, se Mα ≤ β, entao T : W × U ×A(α, β)→ A(α, β).

O Teorema de Existencia de Solucao que demonstraremos adiante e uma aplicacaodo Teorema do Ponto Fixo de Schauder.

Teorema 24 (Existencia de Solucao) Suponha Ω ⊆ R × C um conjunto aberto ef0 ∈ C(Ω,Rn). Se (σ, φ) ∈ Ω, entao existe uma solucao da EDFR(f0) passandopor (σ, φ). Mais ainda, se W ⊆ Ω e compacto e f0 ∈ C(Ω,Rn), entao existeuma vizinhanca V ⊆ Ω de W tal que f0 ∈ C0(V,Rn), existe uma vizinhanca U ⊆C0(V,Rn) de f0 e existe α > 0 tais que para qualquer (σ, φ) ∈ W , f ∈ U , existeuma solucao x(σ, φ, f) da EDFR(f) passando por (σ, φ) em [σ − r, σ + α].



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Demonstracao: Para mostrar que existe solucao da EDFR passando por (σ, φ),consideremos W = (σ, φ). Logo, W e compacto. Assim, pelo Lema 23, podemosdefinir a aplicacao T : W × U ×A(α, β)→ C([−r, α],Rn) contınua.

Consideremos a aplicacao T ((σ, φ), f0, ·) : A(α, β)→ C([−r, α],Rn) definida por:

T (σ, φ, f, y)(t) =

0, t ∈ [−r, 0]∫ t

0f(σ + s,


Mostremos que temos satisfeitas todas as condicoes do Teorema 15. Ou seja, mostre-mos que A(α, β) e fechado, limitado e convexo em C([−r, α],Rn) e que a aplicacaoT : A(α, β) → A(α, β) e completamente contınua, lembrando pelo Lema 23 quepodemos escolher as constantes M , α e β de forma que Mα ≤ β.

Afirmacao 1: A(α, β) = y ∈ C([−r, α],Rn); y0 = 0, yt ∈ Bβ, t ∈ Iα e umconjunto limitado.

De fato, seja y ∈ A(α, β) arbitrario. Entao tem-se

yt ∈ Bβ,∀t ∈ Iα ⇒ ‖yt‖ ≤ β, ∀t ∈ Iα

e assim ∀θ ∈ [−r, 0] ⇒ |y(t+ θ)| ≤ β ⇒ ‖y‖ ≤ β. Portanto, A(α, β) e limitado.Afirmacao 2: A(α, β) e fechado em C([−r, α],Rn). Considere (yi) uma sequencia

convergente em A(α, β), isto e, yi → y em C([−r, α],Rn). Mostremos que y ∈A(α, β). Com efeito, como yi → y, entao dado ε > 0, ∃n0 ∈ N tal que n ≥ n0 ⇒‖yi − y‖ < ε⇒ |yi(t)− y(t)| < ε,∀t ∈ Iα.

Em particular para n = n0, temos:

‖yn0 − y‖ < ε⇒ |yn0(t)− y(t)| < ε,∀t ∈ Iα ⇒ |yn0t (0)− yt(0)| < ε,∀t ∈ Iα.

Assim, ‖y0‖ = ‖y0 − yn00 + yn0

0 ‖ ≤ ‖y0 − yn00 ‖ + ‖yn0

0 ‖ = ‖y0 − yn00 ‖ < ε. Note que

yn00 = 0, pois yn0 ∈ A(α, β).

Portanto, ‖y0‖ < ε. Como ε e arbitrario segue que y0 = 0.Agora, ‖yt‖ = ‖yt − yn0

t + yn0t ‖ ≤ ‖yt − y

n0t ‖ + ‖yn0

t ‖ < ε + β, t ∈ Iα,∀ε > 0.Como ε e arbitrario segue que ‖yt‖ ≤ β, ∀t ∈ Iα. Logo, yt ∈ Bβ, o que implicay ∈ A(α, β).

Portanto, A(α, β) e fechado em C([−r, α],Rn).Afirmacao 3: A(α, β) e convexo.Devemos mostrar que se y1, y2 ∈ A(α, β), entao o segmento (1−a)y1 +ay2, esta

contido em A(α, β), ∀a ∈ [0, 1].De fato, fixando a ∈ [0, 1] qualquer, temos

((1− a)y1 + ay2)0(θ) = ((1− a)y1)(θ) + (ay2)(θ) = (1− a)y1(θ) + y2(θ) = 0 + 0 = 0,

pois y1, y2 ∈ A(α, β) para −r ≤ θ ≤ 0, t = 0.Portanto, ((1− a)y1 + ay2)0 = 0. E,∥∥((1− a)y1 + ay2)t

∥∥ = ‖(1− a)y1t + ay2t ‖ ≤ ‖(1− a)y1t ‖+ ‖ay2t ‖ =

= (1− a)‖y1t ‖+ a‖y2t ‖ ≤ (1− a)β + aβ = (1− a+ a)β = β.

Portanto, ((1− a)y1 + ay2)t ∈ Bβ, ∀t ∈ Iα.Assim, ((1− a)y1 + ay2) ∈ A(α, β), ∀a ∈ [0, 1]. Portanto, A(α, β) e convexo.Afirmacao 4: A aplicacao G = T (σ, φ, f0, ·) : A(α, β) → A(α, β) e completa-

mente contınua.Com efeito, T ja e contınua pelo Lema 23 e portanto, T (σ, φ, f0, ·) e contınua.Seja A ⊂ A(α, β) limitado. Mostremos que G(A) = T (σ, φ, f0, A) tem fecho

compacto, ou seja, basta mostrar que G(A) e relativamente compacto. Para isto,provemos que:



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82


(i) G(A) e uniformemente limitado: Sabemos que G(y) : [−r, α] → Rn e dadapor:

G(y)(t) =

0, t ∈ [−r, 0]∫ t

0f0(σ + s,


Seja y ∈ A. Como A ⊂ A(α, β) e limitado, entao existe M > 0 tal que‖y‖ < M e |yt| < β, t ∈ Iα e y0 = 0.

Note que pelo Lema 22, (σ + s,∼φσ+s +ys) ∈ V e y ∈ A(α, β) para s ∈ [0, α].

Logo, o conjunto U = (σ + s,∼φσ+s +ys); y ∈ A(α, β), s ∈ [0, α] ⊂ V e f0 e

limitada em V . Portanto, f0 e limitada no conjunto U . Assim, existe k′ > 0

tal que |f0(σ + s,∼φσ+s +ys)| < k′.

Portanto,

|G(y)(t)| =∣∣∣∣∫ t

0f0(σ + s,

∼φσ+s +ys)ds

∣∣∣∣ ≤ ∫ t

0|f0(σ + s,

∼φσ+s +ys)|ds ≤

≤∫ α

0|f0(σ + s,

∼φσ+s +ys)|ds ≤

∫ α

0k′ = αk′.

Note que αk′ nao depende de y. Portanto, G(y) e uniformemente limitado.

Observe tambem que G(A)(t), t ∈ Iα = G(y)(t),∀t ∈ Iα,∀y ∈ A ⊂ Rn elimitado, o que implica que G(A) e fechado e limitado em Rn. Logo, G(A)e compacto.

(ii) G(A) e equicontınuo. De fato, dado ε > 0 e y ∈ A, existe δ < εk′ tal que, se

|t− a| < δ, entao

|G(y)(t)−G(y)(a)| ≤∫ |t−a|0

|f0(σ + s,∼φσ+s +ys)|ds

(i)

≤∫ |t−a|0

k′ds = |t− a|k′ < ε

k′k′ = ε, ∀y ∈ A.

Portanto, G(A) e equicontınuo.

Assim, por (i) e (ii) e usando o Teorema de Ascoli-Arzela, segue que G(A) ecompacto. Portanto, G e completamente contınua.

Assim, pelo Teorema do Ponto Fixo de Schauder, existe y ∈ A(α, β) tal queT (σ, φ, f0, y)(t) = y(t),∀t ∈ [−r, α]. Isto e,

y(t) =

∫ t

0f0(σ + s,

∼φσ+s +ys)ds, t ∈ Iα

y0 = 0

Como, encontrar y e equivalente a resolverx(t) = f0(t, xt)xσ = φ,

segue que existe solucao para a EDFR(f0).De modo mais geral, dado W ⊂ Ω compacto e f0 ∈ C(Ω,Rn), temos pelo

Lema 22 que existe uma vizinhanca V ⊂ Ω tal que f0 ∈ C0(V,Rn) e existe umavizinhanca U de f0, U ⊂ C0 e constantes α, β tais que, se (σ, φ) ∈ W entao

(σ + t,∼φσ+t +yt) ∈ V para t ∈ Iα e y ∈ A(α, β). Portanto, para cada f ∈ U ,

podemos definir T (σ, φ, f0, ·) : A(α, β) → A(α, β) com ponto fixo, ou seja, comsolucao. Como querıamos demonstrar.



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4 Conclusao

A Teoria dos Operadores Compactos tem sua importancia na construcao deresultados da Analise Funcional e tambem de resultados em outras subareas daMatematica, como por exemplo, o Teorema do Ponto Fixo de Schauder que porsua vez tem sua aplicacao na Teoria das Equacoes Diferenciais Funcionais comRetardamento.

Referencias

[1] ROBERT, F.B. - A Topological Introduction to Nonlinear Analysis, BirkhauserBoston, 1993.

[2] HALE, J.K. - Introduction to Functional Differential Equations, Springer-Verlag New York, 1993.

[3] HONIG, C.S. - Analise Funcional e Aplicacoes vol.1 e vol.2, IME-USP, 1970.

[4] KREYSZIG, E. - Introductory Functional Analysis with Applications, WileyClassics Library, 1989.

[5] LIMA, L.E. - Espacos Metricos, IMPA, 1977.



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Modelagem Matematica e Resolucao de Problemasde Gerenciamento da Producao Utilizando

Programacao Linear ∗

Glaucia Maria Bressan †

Resumo

Este estudo consiste de um levantamento bibliografico dos modelos matematicosde gerenciamento da producao que utilizam a programacao linear para sua for-mulacao, cujo objetivo e comparar, por meio dos resultados computacionais, assolucoes otimas obtidas e assim, estuda-las e analisa-las. O estudo caracteriza-semetodologicamente como uma pesquisa bibliografica, baseado a partir de registrosdisponıveis decorrentes de pesquisas anteriores. O trabalho apresenta uma contex-tualizacao sobre a programacao linear, o gerenciamento de producao, a modelagemmatematica e uma revisao bibliografica sobre o tema. O Metodo Simplex e abor-dado durante o estudo e aplicado como metodo de resolucao para a obtencao dassolucoes otimas. Os resultados sao obtidos por meio da execucao dos modelos comapoio computacional do software LINDO. A partir das solucoes otimas obtidas, efeita a analise de sensibilidade dos parametros dos modelos e a comparacao destassolucoes do ponto de vista computacional.

Palavras Chave: Programacao Linear, Metodo Simplex, Gerenciamento de Producao

Introducao

O Brasil vem apresentando, nos ultimos anos, um visıvel crescimento de seu parqueindustrial, o que tem resultado em relevantes contribuicoes para o paıs e, tambem,para sua projecao no mercado internacional. Devido aos aspectos economicos eavancos computacionais, as industrias brasileiras tem sido estimuladas a tornar seusprocessos produtivos mais eficientes e competitivos no mercado internacional, incen-tivando, assim, o crescimento do estudo de modelos de otimizacao para o controlee planejamento de sistemas produtivos. Neste sentido, metodos de otimizacao temauxiliado na modelagem e na resolucao de problemas envolvendo processos tec-nologicos e produtivos.

Neste contexto, a Pesquisa Operacional (PO) e uma ciencia que visa o desen-volvimento e a aplicacao de metodos cientıficos para a resolucao de problemas e

∗Departamento de Matematica campus Cornelio Procopio.†Emails: [email protected]; [email protected]. Curso de Licenciatura em Ma-

tematica, Universidade Tecnologica Federal do Parana

Nayara Bibiano Zebediff †

BRESSAN, G. M.; ZEBEDIFF, N. B. Modelagem matemática e resolução de problemas de gerenciamento da produção utilizando programação

DOI: 10.21167/cqdvol5ic201523169664gmbnbz85109 - Disponível em: http://www2.fc.unesp.br/revistacqd/index.jsp

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Bauru, v. 5, p. 85-109, dez. 2015. Edição Iniciação Científica. C.Q.D. - Revista Eletrônica Paulista de Matemática,linear.

tomadas de decisao [1, 2]. A utilizacao das ferramentas e dos metodos desenvol-vidos pela Pesquisa Operacional, em todos os nıveis da gestao, e uma realidadeviabilizada pelo avanco da tecnologia e da literatura.

Diante deste cenario, a PO possui grande utilidade na solucao de problemas deotimizacao, na tomada de decisoes e no gerenciamento de sistemas, selecionando asmelhores decisoes, dentre todas as possıveis [1, 2]. Por exemplo, maximizar o lucroou minimizar o custo (ou as perdas) e o principal objetivo na tomada de decisao deprocessos produtivos da pesquisa operacional.

Os algoritmos e as tecnicas da PO buscam estruturar e solucionar modelos quan-titativos que podem ser expressos matematicamente. Os modelos sao estruturadoslogicamente com o objetivo de determinar as melhores condicoes de funcionamentopara os sistemas representados. Os principais modelos de Pesquisa Operacional saochamados de Programacao Matematica, onde as tecnicas de solucao se reunem emalgumas subareas como a Programacao Linear, que pode ser consultada em [2] e[9], a Programacao Nao Linear, cujo tema e abordado por [14], e a ProgramacaoInteira, que pode ser encontrada em [16].

A Programacao Linear auxilia no processo de gerenciamento da producao, poisutiliza um modelo matematico para descrever o problema e planeja as atividadescom o objetivo de obter um resultado que atenda, da melhor maneira possıvel, umadeterminada finalidade. Nem sempre e possıvel obter a solucao otima. Neste caso,procura-se pela melhor solucao possıvel.

Desta forma, buscando unir os modelos e as tecnicas da Programacao Ma-tematica com a necessidade do planejamento da producao, este trabalho propoeum estudo sobre os problemas de planejamento e controle da producao presentes naliteratura, modelando-os como problemas de programacao linear e buscando suassolucoes otimas pela aplicacao do Metodo Simplex, cuja descricao pode ser encon-trada em [2]. As solucoes obtidas sao analisadas e comparadas do ponto de vistacomputacional.

1 Revisao Bibliografica

A solucao de modelos matematicos aplicados a situacoes reais e um grande desa-fio para pesquisadores. Alem das dificuldades encontradas na propria modelagemdo problema, surge a dificuldade de provar a competencia do modelo matematicoencontrado para a otimizacao dos processos. [3]

Segundo [4], as empresas sao estudadas como um sistema que converte, pormeio de um processamento, entradas (insumos) em saıdas (produtos) aproveitaveispelos clientes. Este sistema e chamado de sistema produtivo. Para que um sistemaprodutivo transforme as entradas em saıdas, e necessario um gerenciamento rigoroso,deve-se pensar nos prazos, nos estoques, nas demandas, nos gastos e nos lucros quea empresa ira obter.

Para organizar e coordenar os trabalhos de fabricacao e necessario que o setor dePlanejamento e Controle da Producao (PCP) faca um planejamento de todas as suasacoes, elaborando um plano-mestre da producao, com base nele e nos registros decontrole de estoques. A programacao da producao tem o objetivo de definir quantoe quando comprar, fabricar ou montar de cada item importante para a composicaodos produtos acabados propostos pelo plano. As atividades desta programacao,para efeito de estudos sao divididas em tres grupos, a administracao de estoques, osequenciamento, a emissao e liberacao de ordens. Mas, vale lembrar que essas acoessao realizadas simultaneamente [4].

Segundo [6], os planejamentos da producao de um grande mix de diferentes



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produtos, podem ser unidos em famılias para facilitar a previsao da demanda, de-nominada demanda agregada, no qual existem varios planos que podem atende-la.A escolha deve ser feita em funcao dos custos de cada plano, sempre mantendo oatendimento ao cliente, o que pode levar a cenarios complexos de custos. Estes,podem ser resolvidos com a ajuda das tecnicas de Programacao Linear.

Os Problemas de Programacao Linear sao descritos por expressoes matematicas,contendo as variaveis de decisao e um conjunto de restricoes, expressas por equacoesou inequacoes matematicas, as quais devem ser satisfeitas ao mesmo tempo em quese quer minimizar ou maximizar a funcao objetivo. De acordo com [2], deve-se seguirtres passos para a resolucao de um problema de programacao linear. O primeiro e adefinicao das variaveis de decisao, o segundo passo e a definicao da funcao objetivoe o terceiro e a definicao das restricoes do problema em questao.

No ambito do Gerenciamento da Producao, dois problemas sao possıveis de sermodelados como um problema de programacao linear: os chamados Problemas deMix de Producao e o Problema do Dimensionamento de Lotes [1]. A partir desuas modelagens, e possıvel obter solucoes otimas por meio da aplicacao de um dosmetodos de resolucao, dentre eles, o Metodo Simplex [2, 7].

Os autores de [17] propoem modelos de otimizacao para auxiliar em decisoes doPlanejamento e Controle da Producao (PCP) na industria de graos eletrofundidosde uma empresa no estado de Sao Paulo. Foi realizado um estudo de caso com oobjetivo de contribuir para aumentar a produtividade e melhorar o nıvel de servicoaos clientes no atendimento dos prazos de entrega. Apos os testes dos modelosresultantes da aplicacao da Programacao Linear na otimizacao do gerenciamento deproducao, os resultados obtidos sao mais eficazes do que as estrategias utilizadaspelas empresas.

O trabalho [18] apresenta, de uma maneira didatica, metodos quantitativos pararesolucao de problemas de gerenciamento de producao, utilizando modelos ma-tematicos da Programacao Linear, de forma a contribuir para os profissionais daarea contabil. Por meio de seus estudos e artigos cientıficos, concluiu-se sobre a di-ficuldade dos profissionais da contabilidade em operar com os modelos matematicose incentiva-os a encarar a Matematica e a Estatıstica como instrumentos naturaiscapazes de lhes auxiliar no processo gerencial de decisoes.

Outro exemplo de gerenciamento de producao utilizando Programacao Lineare o trabalho [19], que propoe a aplicacao da Programacao Linear no planejamentoe controle da producao de uma industria de bebidas com o objetivo de definir oseu mix ideal de producao. Comparando os resultados obtidos atraves dos modelosmatematicos com a producao atual da empresa, notou-se que com a programacaolinear obteve-se melhores resultados, portanto concluiu-se que esse modelo pode serutilizado pela empresa na definicao de seu mix ideal de producao, obtendo maioreslucros.

Os problemas de gerenciamento da producao modelados por Programacao Li-near e um tema bastante explorado na literatura por trazer resultados promissores,portanto, destaca-se que a literatura e vasta, porem aqui foram apresentados apenasalguns dos trabalhos mais atuais.

2 Programacao Linear

A Programacao Linear (PL) tem como objetivo encontrar a melhor solucao, cha-mada solucao otima, para problemas que possuem seus modelos representados porexpressoes lineares. Consiste na maximizacao ou na minimizacao de uma funcao li-near, a Funcao Objetivo, respeitando um conjunto de restricoes expressas em forma



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de igualdades ou desigualdades, as quais constituem um sistema linear [8].Para a resolucao de um Problema de Programacao Linear (PPL), e necessario

primeiramente a modelagem do problema e, em seguida, utilizar um metodo paraa solucao do modelo. O metodo adotado neste trabalho e o Metodo Simplex, queconsiste em um procedimento numerico e iterativo, executando uma sequencia depassos repetidamente, ate se alcancar a melhor solucao do problema.

A seguir, e apresentado o algoritmo para implementacao do Metodo Simplex ,baseado em [15].

Metodo Simplexfase IEncontre uma particao basica primal-factıvel: A = (B,N).Faca PARE=FALSO, IT=0(Sera FALSO ate que a condicao de otimalidade seja verificada. IT indica o

numero da iteracao.)fase IIEnquanto NAO PARE faca:

• Determine a solucao basica primal factıvel: xB = B−1b.

• Teste de otimalidade:Determine a solucao basica dual: yT = cTBB

−1;Encontre xk com custo relativo: ck − yTak < 0.Se ck−yTak ≥ 0, ∀ k = 1, . . . , n−m, entao a solucao na iteracao IT e otima.PARE=VERDADE.Senao:

• Determine a direcao simplex: dB = −B−1ak, de mudanca nos valores dasvariaveis basicas.

• Determine o passo: ε0 = min

−x0

BedBe|dBe < 0, i = 1, . . . ,m

.

Se dB ≥ 0, o problema nao tem solucao otima finita. PARE=VERDADE.Senao:

• Atualize a particao basica: aBl↔ ak, IT ← IT + 1.

Fim enquanto.

Detalhes sobre a Fase I e determinacao da variavel que entra na base podem servistos em [11, 12, 13].

Apos a obtencao da solucao otima, obtida pelo Metodo Simplex, uma analise desensibilidade pode ser feita para prever o comportamento da funcao objetivo aposmodificacoes de algum dos parametros do PPL. Esta analise e aplicada, por exemplo,ao planejamento a longo prazo e aos novos requisitos, visando uma melhoria naformulacao do PPL [9].

A formulacao geral de um PPL deve entao conter 3 partes fundamentais: afuncao objetivo, as restricoes e as condicoes de nao-negatividade. Para a funcaoobjetivo e para cada uma das restricoes consideradas, escreve-se uma equacao linear,relacionando as variaveis de decisao com os coeficientes conhecidos. Desta forma,um PPL e formulado de acordo com as equacoes (2.1) a (2.3).

Maximizar (Minimizar) Z = c1x1 + c2x2 + . . .+ cnxn (2.1)

a11x1 + a12x2 + . . .+ a1nxn (sinal) b1

a21x1 + a22x2 + . . .+ a2nxn (sinal) b2

. . . (2.2)



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am1x1 + am2x2 + . . .+ amnxn (sinal) bm,

x1, x2, . . . , xn ≥ 0 (2.3)

onde,aij , (i = 1, 2, . . . ,m ; j = 1, 2, . . . , n)→ coeficientes tecnicos ou tecnologicos (reais);b1, b2,. . . , bm → termos independentes (constantes de restricao ou segundos mem-bros);c1 , c2,. . . , cn →coeficientes da funcao objetivo (coeficientes de custo);x1, x2,. . . , xn → variaveis de decisao (principais ou controlaveis);′sinal′→ esta palavra significa que as restricoes poderao receber os sinais≤,=, ou,≥;A equacao (2.1) representa a funcao objetivo;O conjunto de restricoes (2.2) representa as restricoes (restricoes funcionais), emque apenas se verifica uma das relacoes;A equacao (2.3) representa as condicoes de nao negatividade.

Assim, portanto, por este conjunto de equacoes podem representados problemasreais.

3 Problemas De Gerenciamento Da Producao

Uma eficaz programacao da producao pode trazer para a empresa um aumento nolucro de produtividade na medida em que permita um gerenciamento otimizado deseus recursos. Um benefıcio para as empresas pode existir a partir da definicao deuma metodologia de programacao para a producao, a fim de obter um mix produtivo(producao de diversos produtos) com maiores rendimentos. Uma das metodologiasdisponıveis e a Programacao Linear que e considerada uma eficiente ferramenta paraa programacao de producao.

Nas secoes seguintes sao descritos os conceitos do Planejamento e Controle daProducao das empresas e, na sequencia, os dois tipos de problemas que podem sermodelados como problemas de programacao linear: o problema de mix de producaoe o problema de dimensionamento de lotes, juntamente com suas formulacoes ma-tematicas de acordo com [1].

3.1 Planejamento e Controle da Producao (PCP)

Para obter bons resultados, e preciso relacionar bom planejamento, programacaoe controle em todo o processo de producao. Desse modo, torna-se necessaria a in-troducao do Planejamento e Controle da Producao (PCP) nas empresas, em formade departamento bem organizado e estruturado referente aos produtos a serem fa-bricados, para que possua um Sistema de Producao muito bem planejado.

Definindo de uma maneira mais tecnica o que e Sistema de Producao dentrode uma empresa, e necessario citar [10], que a define como um processo planejadono qual os insumos, que sao as entradas (mao de obra, materiais, capitais), saotransformados em produtos uteis, que variam desde materiais montados ate todotipo de servicos.

O PCP e a tecnica ou o processo utilizado no gerenciamento da producao edos processos de fabricacao. De acordo com [4] pode-se confirmar estas afirmacoes,pois o mesmo afirma que ”como departamento de apoio, o PCP e responsavel pelacoordenacao e aplicacao dos recursos produtivos de forma a atender da melhormaneira possıvel aos planos estabelecidos [...]”.



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Para um bom funcionamento do PCP e necessario dois pre-requisitos: o roteiroda producao, que informa como o produto sera montado e como as pecas seraofabricadas, e o planejamento da capacidade, o qual consiste no acerto de um modelode producao que une as perspectivas de vendas com a capacidade da fabrica [5].

Ainda, segundo o mesmo autor, o PCP possui varias funcoes, como por exem-plo, a gestao de estoques, que verifica a disponibilidade dos produtos necessariosa producao; a emissao de ordens, que auxilia na tomada de providencias para seter a tempo os ıtens necessarios, como materias-primas, pecas compradas e fabri-cadas e produtos acabados; a programacao de ordens de fabricacao, que verificaa viabilidade do atendimento as ordens de fabricacao; a movimentacao das ordensde fabricacao, a qual registra, informa, transfere e entrega as pecas produzidas; eo acompanhamento da producao, que compara o planejamento com a execucao econtrola sua correcao.

Portanto, o objetivo geral do PCP nao envolve apenas o planejamento, mastambem a programacao e o controle do que foi determinado, decidindo ainda sobrealgumas mudancas que possam ocorrer, caso defeitos ou falhas do planejado passema atuar no sistema; ou seja, este departamento existe para dar apoio a gerencia natomada de decisao, auxiliando no gerenciamento dos metodos planejados.

3.2 Problemas de Mix de Producao

Problemas de mix de producao ocorrem em inumeras situacoes reais em que se faznecessaria a decisao do quanto e quais produtos devem ser fabricados em determi-nado perıodo de tempo, visando a capacidade limitada de fabricacao (maquinas,recursos humanos, capital, armazenagem) e os diferentes produtos que a empresapode fabricar e vender. O objetivo e entao determinar quais e quanto fabricar decada produto, de modo a maximizar o lucro da empresa.

Seja xj a quantidade do produto j, j = 1, 2, ..., n, a ser fabricado em determinadointervalo de tempo do planejamento (por exemplo, um mes). Seja Ci a capacidadedo recurso i, i = 1, 2, ...,m, disponıvel no perıodo. Suponha que, para a producaode uma unidade do produto j, sao consumidas aij unidades do recurso i. Umaproducao mınima do produto j, diz-se dj , precisa ser realizada no perıodo, devidoaos pedidos em carteira e a uma polıtica de estoque mınimo para preservacao doproduto no mercado. O setor de vendas da empresa acredita que as vendas desseproduto nao ultrapassem vi unidades no perıodo de tempo analisado. Cada unidadedo produto j resulta em uma contribuicao ao lucro lj para a empresa. Com isso,o problema de mix de producao pode ser formulado conforme as equacoes (3.1) a(3.3)

Maximizar f(x1, ..., xn) =

n∑j=1

ljxj (3.1)

n∑j=1

aijxj ≤ Ci i = 1, 2, ...,m (3.2)

dj ≤ xj ≤ vj j = 1, 2, ..., n. (3.3)

A funcao (3.1) representa a contribuicao ao lucro da empresa a ser maximizada.As restricoes (3.2) limitam a fabricacao devido a disponibilidade dos diversos re-cursos e as restricoes (3.3) impoem que a quantidade fabricada de cada produtonao pode ser inferior a mınima preestabelecida, nem ultrapassar o que o mercadosuporta.



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3.3 Dimensionamento de lotes - monoestagio

Empresas de manufatura geralmente fabricam diferentes tipos de produtos solicita-dos pelos clientes, muitas vezes em grandes quantidades, que devem estar prontosna data da entrega agendada. Como as fabricas tem capacidades de producao li-mitadas devido a mao de obra, as maquinas, o tempo de trabalho dos operadorese necessario um planejamento da producao, ou seja, decidir o que e quanto produ-zir, isto e, dimensionar os lotes de producao em um perıodo pre-determinado. Anecessidade de estocar produtos de um perıodo para outro gera custos e algumasdificuldades operacionais. No planejamento da producao, deseja-se determinar otamanho dos lotes de producao para atender a demanda na data solicitada de modoque a soma dos custos de producao e estocagem sejam mınima.

Considere uma empresa que fabrica n produtos e deseja programar sua producaonos proximos T perıodos de tempo. Este conjunto de perıodos de tempo para quala empresa planeja sua producao e denominado horizonte de planejamento. Suponhaque a demanda de cada produto em cada perıodo do horizonte de planejamento econhecida. Em cada perıodo, os recursos necessarios para a producao sao limitadose renovaveis, ou seja, em cada perıodo, uma quantidade de recursos esta disponıvele nao depende de como foram utilizados nos perıodos anteriores. Exemplos dessesrecursos renovaveis sao mao de obra, energia eletrica e horas de maquinas, e exem-plos de recursos nao renovaveis sao materias primas que sobram em um perıodo epodem ser utilizadas por perıodos seguintes. Existe a possibilidade de estocagemde produtos de um perıodo para outro. Considere os seguintes dados do problema:

dit demanda do item i no perıodo t, i = 1, ..., n; t = 1, ..., T,Rt disponibilidade de recursos (renovaveis) no perıodo t,ri quantidade de recursos necessarios para a producao de uma unidade do item

i,cit custo de produzir uma unidade do item i no perıodo t,hit custo de estocar uma unidade do item i no perıodo t.As variaveis de decisao sao:xit o numero de itens do tipo i produzidos no perıodo t,Iit o numero de itens do tipo i em estoque no final do perıodo t.Os primeiros estoques do horizonte de planejamento Ii0 sao dados. Abaixo, segue

as restricoes detalhadas do problema apresentado.X Equacoes de conservacao de estoquePara cada item i, o nıvel de estoque no final do perıodo t e igual ao que se tinha

em estoque no final do perıodo anterior (t − 1), adicionado ao montante que foiproduzido no perıodo t, menos o que foi demandado no perıodo t, ou seja,

Iit = Ii,t−1 + xit − dit i = 1, ..., n; t = 1, ..., T.

Tais restricoes sao tıpicas em modelos dinamicos.X Restricoes de capacidade de producaoA capacidade requerida para a producao dos itens em cada perıodo t nao pode

superar a capacidade disponıvel da fabrica, ou seja,

r1x1t + r2x2t + . . .+ rnxnt ≤ Rt t = 1, ..., T.

X Garantia de atendimento as demandasA demanda de cada produto i em cada perıodo t precisa ser atendida, isso

significa que a quantidade total disponıvel no perıodo deve ser maior ou igual ademanda, ou seja, a quantidade produzida no perıodo (xit) mais a quantidade emestoque no final do perıodo anterior (Ii,t−1) deve ser maior ou igual a dit, isto e,



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xit + Ii,t−1 ≥ dit, ou, ainda xit + Ii,t−1 − dit ≥ 0. Essa quantidade foi definidaanteriormente como Iit de modo que pode-se garantir o atendimento as demandasimpondo:

Iit ≥ 0 i = 1, ..., n; t = 1, ..., T.

Alem disso, por definicao das variaveis de producao xij , tem-se:

xit ≥ 0 i = 1, ..., n; t = 1, ..., T.

Os custos incorridos sao os de producao e de estocagem dos produtos. Dessamaneira, a funcao custo a ser minimizada e

f(x11, I11, x12, I12, ...) =n∑

i=1

T∑t=1

citxit +n∑

i=1

T∑t=1

hitIit.

O modelo completo de otimizacao linear e dado por:

Minimizar f(x11, I11, x12, I12, ...) =n∑

i=1

T∑t=1

citxit +n∑

i=1

T∑t=1

hitIit

xit + Ii,t−1 − Iit ≥ dit i = 1, ..., n; t = 1, ..., T

r1x1t + r2x2t + . . .+ rnxnt ≤ Rt t = 1, ..., T

xit, Iit ≥ 0 i = 1, ..., n; t = 1, ..., T

Modelos desse tipo tambem sao utilizados para apoiar decisoes no planejamentoagregado da producao em que os produtos sao agregados em famılias de produtos,as demandas dos produtos sao agregadas por regiao e as maquinas sao agregadasem centros de trabalho.

4 Resultados e simulacoes

Nesta secao, sao apresentadas simulacoes e resultados de problemas de gerencia-mento da producao modelados como problemas de programacao linear. As solucoesotimas desses modelos foram obtidas com apoio computacional do software LINDO1.Por fim, sao feitas a analise de sensibilidade dos parametros do modelo e a com-paracao das solucoes obtidas.

4.1 Exemplo mix de producao

Os dados deste ambiente de producao foram obtidos de [1].Um fabricante de geladeiras precisa decidir quais modelos deve produzir em

uma nova fabrica recentemente instalada. O departamento de marketing e vendasrealizou uma pesquisa de mercado que indicou que, no maximo, 1.500 unidades domodelo de luxo e 6.000 unidades do modelo basico podem ser vendidas no proximomes. A empresa ja contratou um certo numero de empregados e, com isso, dispoe deuma forca de trabalho de 25.000 homens-hora por mes. Cada modelo de luxo requerdez homens-hora e cada modelo basico requer oito homens-hora para ser montado.Alem disso, uma mesma linha de montagem e compartilhada pelos dois modelos e

1www.lindo.com



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considere que a capacidade de producao desta linha seja de 4.500 geladeiras por mes.O lucro unitario do modelo de luxo e de $100,00, e do modelo basico e de $50,00.Deseja-se determinar quanto produzir de cada modelo de modo a maximizar o lucroda empresa.

Define-se a variavel xj como a quantidade de geladeiras do tipo j, j = luxo,basico, a ser produzida no mes, de modo que o lucro da empresa e representado porf(xluxo, xbasico) = 100xluxo+50xbasico. As restricoes de producao devido a limitacaode capacidade ficam: 10xluxo + 8xbasico ≤ 25.000, devido a limitacao da forca detrabalho por mes e, xluxo+xbasico ≤ 4.500, devido a limitacao da linha de montagem.As restricoes devido ao mercado e a nao-negatividade sao: 0 ≤ xluxo ≤ 1.500 e0 ≤ xbasico ≤ 6.000. O modelo completo para este problema e dado pela seguintefuncao objetivo e pelas restricoes (4.1) a (4.6).

Maximizar f(xluxo, xbasico) = 100xluxo + 50xbasico

10xluxo + 8xbasico ≤ 25.000 (4.1)

xluxo + xbasico ≤ 4.500 (4.2)

xluxo ≥ 0 (4.3)

xluxo ≤ 1.500 (4.4)

xbasico ≥ 0 (4.5)

xbasico ≤ 6.000 (4.6)

Solucao OtimaAo executar este modelo, a solucao otima obtida aponta que o lucro maximo da

empresa e de $212.500, com suas variaveis basicas xluxo = 1.500 e xbasico = 1.250.Nas Tabelas 1 e 2, pode-se observar a analise de sensibilidade dos parametros

do modelo. Os intervalos de variacao dos valores dos coeficientes da funcao objetivosao apresentados na Tabela 1 e das constantes das restricoes sao apresentados naTabela 2.

Tabela 1: Analise de Sensibilidade (Funcao Objetivo)Variaveis Valor Mınimo Valor maximoxluxo 62.5 ∞xbasico 0 80

De acordo com a Tabela 1, o lucro obtido por cada geladeira do modelo de luxopode variar em um intervalo de $62,50 ate ∞. E, para as geladeiras do modelobasico, pode variar de 0 ate $80,00, que as variaveis basicas irao se manter na base.

De acordo com a Tabela 2, pode-se observar o intervalo de variacao das cons-tantes das restricoes, indicado por seus valores maximos e mınimos.

Por exemplo, se o lucro unitario de geladeiras do modelo basico aumentar para$80,00, que e o valor maximo, a funcao objetivo tera como solucao otima 30∗1250 =37.500 unidades monetarias a mais em seus lucros, ou seja, $212.500 + $37.500 =$250.000 sera a nova solucao otima para o problema. O mesmo raciocınio podeser aplicado para deduzir o valor da funcao objetivo para a alteracao dos demaiscoeficientes da funcao objetivo.

Conclusao: Para a empresa maximizar o seu lucro e necessario que produza1.500 unidades de geladeiras do modelo de luxo e 1.250 quantidades de geladeirasdo modelo basico, obtendo um lucro de $212.500, podendo variar o lucro unitario decada tipo, de acordo com a Tabela 1 e variar as restricoes de acordo com a Tabela2.



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Tabela 2: Analise de Sensibilidade (Limite das Restricoes)Restricoes Valor Mınimo Valor maximo10 15.000 39.00011 2.750 ∞12 -∞ 1.50013 0 2.50014 -∞ 1.25015 1.250 ∞

4.2 Exemplo Dimensionamento de Lotes

Os dados deste problema foram obtidos a partir de [1].Considere uma fabrica de pre-moldados que produz dois tipos de vigas, cujas

demandas para as proximas tres semanas sao conhecidas conforme Tabela 3.Os produtos utilizam os mesmos tipos de recursos, porem em quantidades di-

ferentes. Suponha, por simplicidade, que apenas um centro de trabalho esteja dis-ponıvel para a producao dos dois itens, cuja disponibilidade e de 60 horas porperıodo e que a producao de uma unidade do item 1 consuma 15 minutos e umaunidade do item 2 consuma 20 minutos. Os custos de producao por perıodo saoconhecidos e dados na Tabela 4.

Admite-se que a producao possa ser antecipada e estocada para ser utilizada nosperıodos seguintes. Os custos de estocagem sao dados na Tabela 5 (por exemplo,uma unidade do item 1 pode ser produzida no perıodo 2 e guardada em estoquepara atender a demanda no perıodo 3, por R$3,00/unidade).

Deseja-se definir um plano da producao de modo que os pedidos sejam atendidosao menor custo de producao e estocagem. Os estoques iniciais dos dois produtos saonulos e deseja-se que seus estoques ao final do horizonte de planejamento tambemsejam nulos. Seja a variavel de decisao xit a quantidade da viga tipo i produzidano perıodo t, e Iit a quantidade da viga tipo i estocada no final do perıodo t. Entaopode-se escrever as restricoes seguindo o modelo generico apresentado na Secao 2,obtendo:

Tabela 3: Demanda de VigasDemanda de Vigas Perıodo 1 Perıodo 2 Perıodo 3Item 1 100 90 120Item 2 40 50 80

Tabela 4: Custos de ProducaoCustos de Producao Perıodo 1 Perıodo 2 Perıodo 3Item 1 20 20 30Item 2 20 20 30

• Restricoes de conservacao de estoqueDe Iit = Ii,t−1 + xit − dit, i = 1, 2 e t = 1, 2, 3, tem-se

I11 = x11 − 100



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Tabela 5: Custos de EstocagemCustos de Estocagem Perıodo 1 Perıodo 2Item 1 2 3Item 2 2,5 3,5

I12 = I11 + x12 − 90

I13 = I12 + x13 − 120 = 0 (estoque final da viga tipo 1 foi fixado em zero)

I21 = x21 − 60

I22 = I21 + x22 − 70

I23 = I22 + x23 − 80 = 0 (estoque final da viga tipo 2 foi fixado em zero).

• Restricoes de capacidade de producaoDe r1x1t + r2x2t + . . .+ rnxnt ≤ Rt, t = 1, 2, 3, tem-se:

1/4x11 + 1/3x21 ≤ 60

1/4x12 + 1/3x22 ≤ 60

1/4x13 + 1/3x23 ≤ 60

• Garantia de atendimento as demandasDe Iit ≥ 0, i = 1, 2 e t = 1, 2 (note que para t = 3 o estoque e dado), tem-se:

I11, I12, I21, I22 ≥ 0.

Alem disso, por definicao das variaveis xit, deve-se ter

xit ≥ 0, i = 1, 2, t = 1, 2, 3 , ou seja,

x11, x12, x13, x21, x22, x23 ≥ 0

• CustoDe f(x11, I11, x12, I12, ...) =

∑ni=1

∑Tt=1 citxit +

∑ni=1

∑T−1t=1 hitIit (estoque final

e fixado), tem-se:

f(x11, x12, ..., I22) = 20x11+20x12+30x13+20x21+20x22+30x23+2I11+3I12+2, 5I21+3, 5I22.

O modelo completo de otimizacao linear e dado pela seguinte funcao objetivo e pelasrestricoes (4.7) a (4.16).

Minimizar f(x11, x12, ..., I22) = 20x11 + 20x12 + 30x13+

+20x21 + 20x22 + 30x23 + 2I11 + +3I12 + 2, 5I21 + 3, 5I22

x11 − I11 = 100 (4.7)

x12 − I11 − I12 = 90 (4.8)

x13 + I12 = 120 (4.9)

x21 − I21 = 40 (4.10)

x22 + I21 − I22 = 70 (4.11)

x23 + I22 = 80 (4.12)



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1/4x11 + 1/3x21 ≤ 60 (4.13)

1/4x12 + 1/3x22 ≤ 60 (4.14)

1/4x13 + 1/3x23 ≤ 60 (4.15)

x11, x12, x13, x21, x22, x23, I11, I12, I21, I22 ≥ 0 (4.16)

Solucao OtimaAo executar este modelo utilizando o LINDO, a solucao otima obtida e que o

custo mınimo de producao e estocagem e de R$11.203,03, com as variaveis basicasx11 = 100; x12 = 210; x13 = 0; x21 = 106, 06; x22 = 22, 72; x23 = 61, 21; I11 = 0;I12 = 120; I21 = 66, 06 e I22 = 18, 78.

A Tabela 6 mostra o intervalo de variacao dos coeficientes da funcao objetivo,de maneira que as varaveis basicas continuarao na base.

Tabela 6: Analise de Sensibilidade (Funcao Objetivo)Variaveis Valor Mınimo Valor Maximox11 19,893938 ∞x12 -∞ 20,106062x13 27,924242 ∞x21 -∞ 20,140002x22 14,859998 26,5x23 26 32,74I11 1,893938 ∞I12 -∞ 5,075758I21 -∞ 2,640002I22 0,76 7,5

Da mesma forma, a Tabela 7 exibe os intervalos de variacao das constantes dasrestricoes.

Tabela 7: Analise de Sensibilidade (Limite das Restricoes)Restricoes Valor Mınimo Valor Maximo16 19,199997 124,79999917 9,199997 114,79999918 39,199997 144,79999919 -21,21212 58,78787820 8,78788 88,78787821 18,78788 200,60605622 53,8 80,20000123 53,8 80,20000124 20,200001 -∞

Por exemplo, se a restricao 16 aumentasse de 100 para 124, a solucao otima paraa funcao objetivo passara a ser $11.755,76.

Observando a Tabela 6, note que, na funcao objetivo, o valor do coeficiente davariavel x23 pode diminuir ate 26, entao, caso isto ocorra, a funcao objetivo teracomo solucao otima 4 ∗ 61, 21212 = 244, 84848, unidades a menos do item 2, no



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perıodo 3, portanto, 11.203, 03− 244, 84848 = 10.908, 18 sera a nova solucao otima.O mesmo raciocınio pode ser aplicado para verificar o impacto da variacao no valorda funcao objetivo.

Conclusao: Nota-se que o plano da producao ideal para que os pedidos sejamatendidos ao menor custo de producao e estocagem, indica quanto devera ser pro-duzido e estocado de cada item em cada perıodo, observando as possibilidades devariacoes das Tabelas 6 e 7.

4.3 Estudo de Caso: Planejamento Agregado da Producao

Este estudo de caso foi abordado por [9].A South Sails Ltda. fabrica velas para barcos tendo uma demanda altamente

sazonal, sendo as estimativas de demanda em cada perıodo segundo a Tabela 9. Umplanejamento esta sendo feito com o principal objetivo de fazer com que as demandasde cada perıodo do ano sejam convenientemente atendidas. A companhia consideraa possibilidade de utilizar a mao de obra extra e ate mesmo, contratar e demitirfuncionarios durante o ano para fazer face a grande variacao da demanda. Como osprodutos sao muito similares do ponto de vista de producao, decidiu-se, para efeitode planejamento, agregar todos os produtos em um so que esta posteriormentedesagregado no planejamento mais detalhado a ser feito para um prazo mais curto.

Alguns dados mais relevantes sao apresentados abaixo:

Tabela 8: Demanda ao Longo do Ano - Demanda Agregada (em 1000 m2)Mes Abr Mai Jun Jul Ago Set Out Nov Dez Jan Fev Mar Total

Demanda 1, 0 2, 0 1, 0 0, 5 0, 8 1, 2 2, 0 3, 0 3, 5 2, 5 2, 0 1, 0 20, 5

A companhia tera, ao inıcio de abril, 19 operarios. O estoque nesse mesmo mesdevera estar muito baixo e pode ser desprezado. Existem ainda restricoes que devemser respeitadas no plano.

Restricoes• A capacidade maxima de armazenagem de produto acabado e de 2.000m2.• O total de horas extras utilizadas em um mes nao deve exceder 20% das horas

regulares de trabalho.• Nao se pode subcontratar producao.• O estoque ao final do horizonte de planejamento deve ser estudado, pois ha

opinioes de que nao se deveria ter estoque nulo em abril;• A polıtica de companhia nao permite demitir mais de 2 operarios em um

mesmo mes;• Nao se pode ficar com menos de 8 operarios;• Nao e possıvel produzir mais de 2.500m2 por mes (gargalo na maquina de

corte);•Para efeito de ferias, e necessario se ter uma ociosidade de mao de obra de 8%

sobre o total de empregados-mes.

Dados de CustosMao de Obra Regular: $500, 00 por empregado, incluindo todos os encargos traba-lhistas para uma jornada (turno unico) equivalente a 160 horas por mes (conside-rando todos os meses com 20 dias uteis).

Mao de Obra Extra: Acrescimo de 50% sobre o preco da hora regular, incluindo



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encargos trabalhistas, ou seja, $4, 69 por hora.

Contratacao: $500, 00 por empregado contratado.

Demissao: $1.000, 00 por empregado.

Manutencao de Estoques: 4, 0% mes sobre o valor da mercadoria ($30/m2), in-cluindo custo de oportunidade do capital, seguro e manipulacao.

Vendas Pendentes: $4, 0 por m2 mes (estimado como sendo o desconto que fariao cliente nao se importar com o atraso).

Produtividade:A mao de obra variavel necessaria para se produzir 1.000m2 e de 800 horas.

Numa reuniao da gerencia foram propostas tres estrategias, a saber:

1. Producao com mao de obra constante: Contratar apenas uma vez no ano enao demitir ninguem. Absorver as flutuacoes de demanda com estoque deantecipacao e mao de obra extra, sem incorrer em nenhuma venda pendente.

2. Ajuste de mao de obra. Absorver toda a variacao de demanda contratando edemitindo mao de obra, sem utilizar horas extras ou permitir vendas penden-tes.

3. Custo mınimo. Utilizar, se necessario, todas as formas possıveis de ajustar aproducao a demanda de forma a obter o menos custo total possıvel.

Os gerentes responsaveis pelo plano ainda nao chegaram a uma conclusao. Apolıtica 1 e defendida por alguns, argumentando que contratar e demitir e muito caroe prejudica o relacionamento da empresa com os empregados e a utilizacao de horasextras agregada aos empregados. Outros acham que a polıtica 2 e melhor porqueexiste claramente um perıodo de demanda baixa e a forma mais economica de setratar o problema parece ser ajustar a mao de obra as necessidades da producao.

Como apenas um gerente conhece programacao matematica, a proposta 3 foirecebida com desconfianca porque os demais gerentes acham que ninguem seriacapaz de obter uma solucao que tenha o menor custo total possıvel porque nao sepode minimizar simultaneamente todos os componentes do custo total e, encontrarum equilıbrio que de custo total mınimo, e muito difıcil em vista da existencia demuitas variaveis.

O proponente da polıtica 3 lhe pediu para analisar o problema e comparar, doponto de vista economico, as tres propostas para que ele possa argumentar por umaproposta nao extrema como as duas primeiras.

Como poderao ser modelados os tres planos gerenciais atraves de PPL’s? Inicia-se modelando o PPL da polıtica 3.

Variaveis de Decisao• x1i: Numero de empregados trabalhando no mes i;• x2i: Numero de empregados demitidos no mes i;• x3i: Numero de empregados contratados no mes i;• x4i: Numero total de horas extras realizadas no mes i;• x5i: Numero de empregados ociosos no mes i;• x6i: Estoque no mes i;• x7i: Vendas pendentes no mes i;



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Dados Conhecidos: Estoques iniciais, mao de obra inicial;. Di: Demanda no mes i;. Produtividade dos operarios.Restricoes: Sera utilizada a categorizacao das restricoes:

Balanco de Empregados:Mes 1: 19− x21 + x31 = x11 + x51

Mes 2: x11 + x51 − x22 + x32 = x12 + x52

. . .Mes i: x1(i−1) + x5(i−1) − x2i + x3i = x1i + x5i.

O raciocınio utilizado e: o numero de empregados do mes anterior (trabalhandomais ociosos) menos o numero de empregados demitidos mais o numero de empre-gados contratados sera igual ao numero de empregados trabalhando mais os ociososno mes atual.

Balanco de Materiais:Mes 1: 200x11 + 1, 25x41 −D1 = x61 − x71

Mes 2: x61 − x71 + 200x12 + 1, 25x42 −D2 = x62 − x72

. . .Mes i: x6(i−1) − x7(i−1) + 200x1i + 1, 25x4i −Di = x6i − x7i.

A mao de obra media necessaria para se produzir 1.000m2 e de 800 horas. Cadaempregado trabalha 160 horas por mes. Logo, em um mes, cada empregado produz200m2. desta forma, cada hora extra trabalhada corresponde a 1, 25m2.

O estoque no mes anterior mais a quantidade produzida no mes i (por producaonormal ou hora extra) menos a demanda do mes i e igual ao estoque do mes i (oua falta do produto).

Outras restricoes:

x6i ≤ 2.000 (a capacidade de armazenagem e de 2.000m2)x4i ≤ X1i.32 (total das horas extras nao podem exceder 20% das horas regulares)x2i ≤ 2 (a empresa nao pode demitir mais de 2 funcionarios por mesx1i + x5i ≥ 8 (nao se pode ficar com menos de 8 funcionarios na fabrica)200x1i + 1, 25x4i ≤ 2.500 (a capacidade maxima da fabrica e de 2.500m2)x5i ≥ 0, 08.(x1i+x5i) (e necessario que 8% da mao de obra esteja ociosa pelas ferias)xji ≥ 0, ∀i, j

Funcao Objetivo:Como visto, o objetivo da empresa na polıtica 3 e a minimizacao dos custos globais.Isto pode ser obtida na seguinte funcao:

Mın 12∑i=1

(500(x1i + x5i) + 500x3i + 4, 69x4i + 1000x2i + 1, 2x6i + 4x7i)

O primeiro termo refere-se a custos por empregado; o segundo, a custos de con-tratacao; o terceiro termo onera os custos de horas extras. O quarto termo repre-senta as demissoes, o penultimo, a taxa de manutencao de estoque (4% de $ 30/m2,ou seja, 1,2) e , por ultimo, o custo de vendas pendentes por m2/mes.

Enfoques Alternativos:Na primeira estrategia nao eram permitidas demissoes e vendas pendentes, per-



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mitindo apenas uma contratacao ao ano. Isto pode ser obtido adicionando-se asseguintes restricoes:

x2i = 0 (demissoes nulas), ∀ix7i = 0 (vendas pendentes zeradas), ∀ix3i = 0 para i > 1 (contratacoes apenas no 1o mes).

No caso da estrategia 2, nao sao permitidas vendas pendentes nem horas extras.Assim:

x4i = 0 (horas extras nulas), ∀ix7i = 0 (vendas pendentes zeradas), ∀i

Sempre que se adicionam restricoes a um problema, a area de solucao vai ficandomais reduzida. Isto pode gerar uma reducao no valor otimo da funcao objetivo,sendo que nunca sera capaz de melhora-la (isto nao se aplica a casos em que restricoessao adicionadas e outras sao modificadas).

Note entao que o modelo completo de otimizacao linear e dado pelas equacoesa seguir.

Mın 12∑i=1

(500(x1i + x5i) + 500x3i + 4, 69x4i + 1000x2i + 1, 2x6i + 4x7i)

Mes 1:19− x21 + x31 = x11 + x51 (4.17)

Mes 2:x11 + x51 − x22 + x32 = x12 + x52

. . .

Mes i:x1(i−1) + x5(i−1) − x2i + x3i = x1i + x5i

Mes 1:200x11 + 1, 25x41 −D1 = x61 − x71 (4.18)

Mes 2:x61 − x71 + 200x12 + 1, 25x42 −D2 = x62 − x72

. . .

Mes i:x6(i−1) − x7(i−1) + 200x1i + 1, 25x4i −Di = x6i − x7i

x6i ≤ 2.000 (4.19)

x4i ≤ X1i.32 (4.20)

x2i ≤ 2 (4.21)

x1i + x5i ≥ 8 (4.22)

200x1i + 1, 25x4i ≤ 2.500 (4.23)

x5i ≥ 0, 08.(x1i + x5i) (4.24)

xji ≥ 0, ∀i, j (4.25)

Solucao OtimaPara a solucao deste estudo de caso, foi considerado inicialmente o mes 1.A solucao encontrada para o mes 1 e de $9.500,00 (custo mınimo), com a variavel

basica x51 = 19, que se refere ao numero de empregados ociosos no mes 1, e as



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demais poderao ser nulas neste perıodo. Isto representa que todos os funcionariosestao ociosos, pois inicialmente ainda nao lhes foram atribuıdas tarefas.

Pode-se observar na Tabela 9 os intervalos de variacoes dos coeficientes da funcaoobjetivo para que as variaveis basicas permanecam na base.

Tabela 9: Analise de Sensibilidade (Funcao Objetivo)Variaveis Valor Mınimo Valor Maximox11 500 ∞x51 -500 0x31 -500 ∞x41 0 ∞x21 500 ∞x61 0 ∞x71 0 ∞D1 0 1,2

Analogamente, a Tabela 10 exibe os intervalos de variacao para as constantesdas restricoes.

Tabela 10: Analise de Sensibilidade (Limite das Restricoes)Restricoes Valor Mınimo Valor Maximo26 8 ∞27 -∞ 028 0 ∞29 0 ∞30 0 ∞31 -∞ 1932 0 ∞33 -∞ 17,48

Desta forma, atraves da analise de sensibilidade do problema descrito, pode-seobter informacoes do quanto pode-se aumentar ou diminuir o coeficiente conhecidomantendo assim, as variaveis basicas na base.

Observe agora, as solucoes encontradas, alem do mes 1 visto anteriormente, paraos meses 2, 3, 4 e 5, exibidas na Tabela 11.

Por meio da execucao dos modelos, e notavel que cada mes ha um aumento daquantidade de variaveis, isto ocorre devido a demanda altamente sazonal duranteos perıodos, como descrito no problema. Ocorre mudancas com o numero de tra-balhadores ociosos no decorrer dos meses, variavel x5i, assim como o numero deempregados trabalhando, x1i, o numero de empregados demitidos, x2i e a demanda,Di. E devido esse aumento das variaveis durante os meses, ha tambem um aumentodo numero de iteracoes para resolver o problema.

Conclusao: A empresa fabricante de velas para barcos, conseguiu elaborar umplanejamento cujo objetivo foi fazer com que as demandas de cada perıodo do anofossem atendidas, sempre levando em consideracao todas as suas restricoes.



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Tabela 11: SolucoesMes 1 Mes 2 Mes 3 Mes 4 Mes 5

F.O.=9.500 F.O. = 19.000 F.O.= 27.500 F.O.=35.000 F.O. =41.500x51 = 19 x51 = 17 x51 = 17 x51 = 17 x51 = 17No de iteracoes = 1 x21 = 2 x21 = 2 x21 = 2 x21 = 2

x12 = 12.5 x12 = 12.5 x12 = 12.5 x14 = 10.12x52 = 4.5 x52 = 2.5 x52 = 2.5 x52 = 15D2 = 2.500 D2 = 2.500 D2 = 2.500 x55 = 11

Iteracoes = 8 x22 = 2 x22 = 2 x22 = 2x53 = 15 x53 = 15 x53 = 13

Iteracoes = 8 x54 = 15 x54 = 0.88Iteracoes = 9 x23 = 2

x24 = 2D4 = 2.024

Iteracoes = 10

4.4 Estudo de Caso: Treinamento On the Job

No trabalho de [20] foi proposto um modelo geral para o problema de treinamentode funcionarios On the Job, que consiste no seguinte problema:

Em uma empresa, o tipo de treinamento chamado ”on the job” e aquele em queo funcionario recem contratado e colocado em treinamento para a funcao a qual iraexercer, ou ja no departamento em que sera destinado. Desta forma, o treinamentodo funcionario e realizado durante o proprio trabalho e e baseado na observacao dodesenvolvimento das atividades de outro(s) profissional(ais) atuante(s).

Suponha que uma empresa tenha uma encomenda de producao, podendo con-tratar e demitir empregados, e que esta empresa realize o treinamento on the job,ou seja, funcionarios atuantes treinando funcionarios novatos reduzem sua producaoou ate mesmo deixam de produzir. A modelagem matematica desta situacao podeser formulada como um problema de programacao linear (PPL).

Modelagem Matematica do Problema - Caso GeralSuponha que uma empresa produza um determinado produto P e receba uma en-comenda para os proximos n meses, com n ≥ 2. Inicialmente, esta empresa dispoede W funcionarios e de E0 unidades do produto P em estoque. Os seguintes dadossao conhecidos:

• Cada funcionario produzindo, produz N unidades de P por mes.

• O salario mensal de cada funcionario e S.

• O custo de demissao de cada funcionario e D.

• O custo de estocagem e C por produto/mes.

• A multa por atraso na entrega e M por produto/mes.

• Toda a encomenda deve ser entregue ate o final do n-esimo mes.

• Cada novo funcionario deve ficar 1 mes em treinamento on the job.

A encomenda recebida foi de E1 unidades de P para o 1o mes, E2 unidades deP para o 2o mes, E3 unidades de P para o 3o mes, ... e En unidades de P para on-esimo mes. O problema consiste em formular e resolver um plano de contratacaode pessoal e de producao do produto P. O objetivo e minimizar todos os custos.



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Portanto, devem ser definidas as variaveis de decisao, as restricoes do problema e afuncao objetivo.

Definicao das variaveis de decisao: os funcionarios e a quantidade de produtospodem ser categorizados da seguinte forma:

x1j : funcionarios admitidos no mes jx2j : funcionarios demitidos no mes jx3j : funcionarios produzindo no mes jy1j : Quantidade de produto que sobrou ao final do mes j (estoque)y2j : Quantidade de produto que faltou ao final do mes j

Todas as variaveis sao maiores ou iguais a zero: xij ∀i, j ≥ 0 e yij ∀i, j ≥ 0.Alem disso, como todos os funcionarios admitidos estarao sendo treinados por umfuncionario mais experiente da empresa, a variavel x1j representa o numero defuncionarios admitidos, dando treinamento e sendo treinados no mes j, apresentandoo mesmo valor para as 3 categorias.

Restricoes do problema: o problema apresenta restricoes referentes aos fun-cionarios e a producao.

As restricoes do balanco de funcionarios podem ser descritas da seguinte forma:a quantidade de funcionarios no inıcio do mes, menos os demitidos e mais os admi-tidos e maior ou igual ao numero de funcionarios que estao produzindo neste mes,mais os que estao em treinamento e os que estao dando treinamento (isto e, 2 vezeso numero de funcionarios admitidos). Matematicamente, para cada um dos n mesesde encomenda, tem-se

Mes 1: W + x11 − x21 ≥ x31 + 2x11

x11 + x21 + x31 ≤W

Mes 2: [W + x11 − x21] + x12 − x22 ≥ x32 + 2x12

x12 + x22 + x32 ≤W + x11 − x21

Mes 3: [W + x11 − x21 + x12 − x22] + x13 − x23 ≥ x33 + 2x13

x13 + x23 + x33 ≤W + x11 + x12 − x21 − x22

Mes 4: [W + x11 − x21 + x12 − x22 + x13 − x23] + x14 − x24 ≥ x34 + 2x14

x14 + x24 + x34 ≤W + x11 + x12 + x13 − x21 − x22 − x23

Mes k:∑3

i=1 xik ≤W +∑k−1

j=1(x1j − x2j) para 2 ≤ k ≤ n.

As restricoes relativas a producao podem ser descritas da seguinte forma: oestoque inicial, mais a producao do mes, menos a encomenda do mes e igual aquantidade de produto que sobrou menos a quantidade que faltou ao final de cadames. Matematicamente, para cada um dos n meses, tem-se

Mes 1: E0 +Nx31 − E1 = y11 − y21

Mes 2: [y11 − y21] +Nx32 − E2 = y12 − y22

Mes 3: [y12 − y22] +Nx33 − E3 = y13 − y23

Mes 4: [y13 − y23] +Nx34 − E4 = y14 − y24

Mes k: [y1(k−1) − y2(k−1)] +Nx3k − Ek = y1k − y2k para 2 ≤ k ≤ n.Observe ainda que y2n devera ser igual a zero, pois toda a encomenda deve ser

entregue ate o final do n-esimo mes, nao podendo haver falta.



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Salario total dos funcionarios e composto pela soma dos salarios de todos osfuncionarios em cada um dos n meses.

Mes 1: S(2x11) + S(W − x11) = S(W + x11)

Mes 2: S(2x12) + S[(W + x11 − x21)− x12] = S(W + x11 + x12 − x21)

Mes 3: S(2x13) + S[(W + x11 + x12 − x21 − x22)− x13] =S(W + x11 + x12 + x13 − x21 − x22)

Mes 4: S(2x14) + S[(W + x11 + x12 + x13 − x21 − x22 − x23)− x14] =S(W + x11 + x12 + x13 + x14 − x21 − x22 − x23)

Mes k: S.W + S.x1k + S∑k−1

j=1(x1j − x2j) =

S[W + x1k +∑k−1

j=1(x1j − x2j)] para 2 ≤ k ≤ n.

Soma dos salarios dos n meses : S.n.W +S.n.x11 +S∑n−1

j=1 (n− j)(x1(j+1)− x2j) =

S[n.W + n.x11 +∑n−1

j=1 (n− j)(x1(j+1) − x2j)].

Funcao Objetivo: consiste na minimizacao de todos os custos que, por sua vez,sao compostos de - salarios dos funcionarios, mais custos de demissao, mais custosde estoques de um perıodo para outro, mais multa por atraso na entrega. Matema-ticamente, obtem-se a funcao

S[n.W+n.x11+∑n−1

j=1 (n−j)(x1(j+1)−x2j)]+D∑n

j=1 x2j+C∑n

j=1 y1j+M∑n−1

j=1 y2j

Observe que a parcela S.n.W e constante, podendo ser retirada da funcao obje-tivo para o calculo da solucao otima e, posteriormente, sendo adicionada ao resultadofinal. O Problema do Treinamento On The Job pode apresentar outras variantes,como por exemplo, ser modelado com mais de um produto, ou com equipes especi-alizadas em processos especıficos, ou seja, processos distintos, com salarios distintos.

Exemplo Numerico

Um exemplo numerico para o Problema do Treinamento On The Job, propostopor [20], e resolvido a seguir com o intuito de comparar com as solucoes propostaspor [9].

Suponha que uma empresa produza um produto P e receba uma encomendapara os proximos 3 meses. Inicialmente, esta empresa dispoe de 60 funcionarios ede 10 unidades do produto P em estoque. Os seguintes dados sao conhecidos:

N = 8 unidades de P por mes.S = R$100, 00D = R$300, 00C = R$10, 00 por produto/mesM = R$30, 00 por produto/mesToda a encomenda deve ser entregue ate o final do 3o mes.E1 = 600, E2 = 300 e E3 = 1000

Estes dados de entrada do problema possui os mesmos valores do modelo pro-posto por [9], para fins de comparacao entre solucoes, numero de variaveis e iteracoes.

Restricoes do problema: Matematicamente, para cada um dos 3 meses de enco-



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menda, tem-se as restricoes de balanco de funcionarios:

Mes 1: x11 + x21 + x31 ≤ 60Mes 2: [−x11 + x21] + x12 + x22 + x32 ≤ 60Mes 3: [−x11 + x21 − x12 + x22] + x13 + x23 + x33 ≤ 60

Observe que a quantidade de funcionarios no inıcio de cada mes, representadaentre colchetes, e igual a quantidade de empregados que terminou o mes anterior.

E para cada um dos 3 meses de encomenda, tem-se as restricoes relativas aproducao:

Mes 1: 10 + 8x31 − 600 = y11 − y21

Mes 2: [y11 − y21] + 8x32 − 300 = y12 − y22

Mes 3: [y12 − y22] + 8x33 − 1000 = y13

Observe que a quantidade de estoque inicial de cada mes, representada entrecolchetes, e igual a quantidade de produtos que terminou o mes imediatamenteanterior.

Funcao Objetivo: as funcoes relativas aos salarios de cada mes sao:Mes 1: 6000 + 100x11

Mes 2: 6000 + 100x11 − 100x21 + 200x12

Mes 3: 6000 + 100x11 − 100x21 + 100x12 − 100x22 + 200x13

Portanto, a funcao objetivo eMin 300x11 + 200x12 + 100x13 + 100x21 + 200x22 + 300x23 + 10y11 + 10y12 + 10y13 +30y21 + 30y22

Logo, o modelo completo para o exemplo numerico do problema On The Job edescrito pela funcao objetivo a seguir e pelo conjunto de restricoes (4.26) a (4.31).

min 300x11+200x12+100x13+100x21+200x22+300x23+10y11+10y12+10y13+30y21+30y22

s.ax11 + x21 + x31 ≤ 60 (4.26)

−x11 + x21 + x12 + x22 + x32 ≤ 60 (4.27)

−x11 + x21 − x12 + x22 + x13 + x23 + x33 ≤ 60 (4.28)

8x31 − y11 + y21 = 590 (4.29)

y11 − y21 + 8x32 − y12 + y22 = 300 (4.30)

y12 − y22 + 8x33 − y13 = 1000 (4.31)

Solucao Otima:O problema original de [9] tem 24 variaveis, com a necessidade de 9 iteracoes

para resolve-lo. Ja na versao do modelo proposto por [20] possui apenas 14 variaveise 5 iteracoes para resolve-lo e chegar na mesma solucao otima.

Para chegar na solucao, utilizou-se como apoio computacional o software LINDO.Tem-se que a solucao otima foi obtida na quinta iteracao do metodo simplex,

com um custo mınimo de R$34.375,00 para a otimizacao do plano de contratacaode pessoal e de producao do produto P.

As variaveis basicas sao as variaveis primais x11 = 56, 25, x32 = 116, 25, x33 =116, 25, y21 = 560, y12 = 70, x31 = 3, 75 e o restante, que sao as variaveis naobasicas, apresentam valor nulo.



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A solucao otima do dual, chamada tambem de preco sombra, que e entendidocomo o impacto marginal da variacao do elemento respectivo das constantes sobrea funcao objetivo; isto e, representa o quanto a funcao objetivo (custo) ira diminuirpara cada unidade adicionada da variavel correspondente, por exemplo, se o numerode funcionarios no inıcio do 1 mes (60), representado pelo valor da constante daprimeira restricao for aumentado em 1 unidade o custo total sofrera uma reducaode R$700,00 ficando em R$33.675 = 34.375 - 700.

Observe na Tabela 12, a analise de sensibilidade para os coeficientes da funcaoobjetivo do problema.

Tabela 12: Analise de Sensibilidade (Funcao Objetivo)Variaveis Valor Mınimo Valor Maximox11 -160 ∞x12 80 ∞x13 -540 ∞x21 -1700 ∞x22 -1000 ∞x23 -540 ∞y11 -30 ∞y12 -30 37.5y13 -67.5 ∞y21 -10 ∞y22 -10 ∞x31 -∞ 350x32 -540 220x33 -220 ∞

Da mesma forma, a Tabela 13 exibe os intervalos de variacao das constantes dasrestricoes.

Tabela 13: Analise de Sensibilidade (Limite das Restricoes)Restricoes Valor Mınimo Valor Maximo35 58.125 9536 56.25 116.2537 56.25 116.2538 310 56039 -150 33040 550 1030

Na Tabela 12, a variavel primal y12, que representa a quantidade de produtoque sobrou ao final do mes 2 (estoque). O valor atual do coeficiente na funcaoobjetivo e 10, podendo aumentar ate 37,5. Se isso ocorrer, o custo total se elevaraem 27, 5 ∗ 70 = 1.925 reais, ou seja, 34.375 + 1.925 = R$36.300.

Agora, observe que na Tabela 13 a constante da primeira restricao, que re-presenta o numero de funcionarios no inıcio do 1 mes (60), pode aumentar ate95. Se isso ocorrer, o custo total se reduzira em 35 ∗ 700 = 24.500 reais, ou seja,34.375− 24.500 = 9.875 reais.



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A modelagem matematica para o Problema do Treinamento On The Job origi-nalmente proposta por [9], com 60 funcionarios iniciais, apresenta a seguinte for-mulacao:

min100x31+100x41+100x51+100x61+100x32+100x42+100x52+100x62+100x33+100x43+

+100x53+100x63+300x21+300x22+300x23+10y11+10y12+10y13+30y21+30y22+30y23

s.a

x11 − x21 − x31 − x41 − x51 − x61 = −60

x31 + x41 + x51 + x61 + x12 − x22 − x32 − x42 − x52 − x62 = 0

x32 + x42 + x52 + x62 + x13 − x23 − x33 − x43 − x53 − x63 = 0

8x31 − y11 + y21 = 590

y11 − y21 + 8x32 − y12 + y22 = 300

y12 − y22 + 8x33 − y13 + y23 = 1000

x11 − x51 = 0

x11 − x61 = 0

x12 − x52 = 0

x12 − x62 = 0

x13 − x53 = 0

x13 − x63 = 0

y23 = 0

Esta modelagem, com as mesmas necessidades, apresenta a mesma solucao otimaobtida com o modelo proposto, com as variaveis basicas primais x11 = 56, 25, x32 =116, 25, x33 = 116, 25, y21 = 560, y12 = 70, x31 = 3, 75 e o restante x12 = x13 =x21 = x22 = x23 = y11 = 0. As vantagens do modelo proposto sao o numero deiteracoes e o numero de variaveis envolvidas no modelo, conforme ilustra a Tabela14.

Tabela 14: Comparacao entre os dois modelos matematicosModelo Original Modelo Proposto

Numero de Variaveis 24 14Numero de Iteracoes 9 5

Portanto, a modelagem proposta por [20] fornece a mesma solucao otima com umnumero de variaveis menor e com menos iteracoes. Note que a funcao objetivo domodelo original apresenta como solucao otima o custo mınimo de R$52.375,00, en-quanto que o modelo proposto apresenta R$34.375,00 que, adicionados aos R$18.000,00,correspondentes aos salarios S = R$100,00 pagos aos 60 funcionarios (R$6.000,00)no inıcio de cada um dos tres meses, tem-se o mesmo valor: R$52.375,00.



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5 Consideracoes Finais

Este trabalho teve como objetivo apresentar a programacao linear como tecnica desolucao de problemas da pesquisa operacional, empregada para minimizar os custosou maximizar os lucros de producao. Apos esta abordagem, este trabalho apresentaalguns problemas de gerenciamento da producao, formulados por Programacao Li-near, resolve-os, analisa-os e compara os resultados obtidos.

No decorrer dos estudos, observou-se a importancia da modelagem matematicacomo forma de estruturar e solucionar problemas que possam ser resolvidos ma-tematicamente, para assim diminuir custos de producao, possıveis desperdıcios e,consequentemente, aumentando os lucros, por meio do planejamento e da capaci-dade de producao.

As empresas que visam sucesso no mercado precisam ter um planejamento rigo-roso em sua producao, funcao esta que e atribuıda ao PCP, garantindo assim, umaempresa com potencial mais competitivo.

Este trabalho proporcionou a interacao entre a representacao matematica e osproblemas de gerenciamento da producao resolvidos pela programacao linear, pormeio do calculo de minimizacao dos custos ou maximizacao dos lucros de producao,obtendo as melhores solucoes (solucoes otimas) por meio do metodo simplex, exe-cutado com apoio computacional.

E notavel que o gerenciamento da producao se mostra muito importante para asempresas obterem melhores resultados. A utilizacao de modelos matematicos paraesse gerenciamento auxilia para a agilidade deste processo, notando a relevancia dapresenca da programacao linear dentro do PCP das empresas, pois utilizar metodospara diminuicao de custos e maximizacao de lucros e uma boa alternativa para queuma empresa tenha maiores lucros e se destaque no mercado.

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