Teia do Saber ESTAS INFORMAÇÕES SÃO PROTEGIDAS POR REGISTRO DE PROPRIEDADE AUTORAL E NÃO PODEM SER UTILIZADAS OU REPRODUZIDAS SEM AUTORIZAÇÃO ESCRITA

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Teiado

Saber

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Conceitos Gerenciais

Nome: Moacir de Sousa Prado

Formação: Engenheiro formado em 1969 (35 anos)

Área: Aeronáutica - Aeronaves

Experiência: Mais de 30 anos com alta tecnologia (CTA/EMBRAER)

Mais de 25 anos no ensino

A partir de 1997 dedicação tempo integral na UNIVAP

Aumento da preocupação pedagógica

Hoje estou virando pedagogo

Função: Coordenador do Curso de Engenharia de Computação

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Maior problema que estou sentindo no meu trabalho:

Mudar o foco do “ensinar” para o “aprender”

• Ensinar é importante (aula estruturada, agradável, ...);

• Aprender é mais importante.

Como estou agindo:

• Mudando os objetivos dos planos de ensino;

• Chamando atenção para a interdisciplinaridade;

• Aquilo que está escrito deve ser aplicado.

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Ensino

Meu ponto de vista, como cidadão brasileiro, para o ensino fundamental:

• 80% dos recursos devem estar centrados no aprendizado da linguagem e da matemática

• 20% dos recursos devem estar centrados em outras áreas:

estudos sociais

história e geografia

etc.

No ensino médio, estes percentuais devem variar um pouco

• entre 60% e 70% para matemática e linguagens

• entre 30% e 40% para outras áreas

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No final da palestra, ou de nossa conversa, espera-se que os ouvintes:

1 Sejam capazes de aproveitar a experiência pedagógica de um colega;

2 Entendam como ele vê o ensino de matemática e, especificamente, sistemas de equações lineares para modelamento de sistemas;

3 Rastreiem a evolução da disciplina matemática, desde o surgimento do conceito de número, até o conceito de equações;

4 Entendam a importância do conceito “número abstrato”, da descoberta do “zero” e dos sistemas de numeração;

5 Visualizem as extensões do conceito de número;

6 Visualizem, numa metáfora, o conceito de equação e sistema de equações;

7 Entendam que a partir do mundo físico se criou um “mundo” do simbólico;

8 Entendam a importância de uma notação precisa e eficiente;

9 Valorizem a notação matricial para sistemas de equações lineares;

10 Tenham conhecimento de algumas aplicações de sistemas de equações lineares.

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Nossa Conversa

O assunto desta “palestra” é matemática:

Modelamento de problemas utilizando sistemas de equações lineares.

Constata-se que 75% ou mais de todos os modelos matemáticos caem em sistemas de equações lineares;

Modelo é a descrição simplificada de alguma coisa, sendo composto de símbolos organizados de acordo com alguma convenção e cuja finalidade é permitir o raciocínio sobre a entidade modelada.

O modelo permite:

• visualizar o sistema, como ele é ou como ele será;

• especificar sua estrutura e/ou seu comportamento;

• guiar a “construção” do sistema;

• documentar decisões tomadas.

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Nossa conversa

Os benefícios da utilização de um modelo aumentam com o aumento da complexidade da entidade modelada;

Os modelos delimitam o que se está estudando e permite focalizar pontos específicos;

Os modelos ampliam a inteligência humana;

Princípios básicos:

• A escolha de um modelo tem forte influência na forma de atacar um problema e na definição de sua solução;

• Os modelos podem utilizar diversos níveis de precisão;

• Os melhores modelos estão relacionados com a realidade;

A simplificação de um modelo não deve esconder detalhes importantes;

O modelo é diferente do mundo real (é abstração).

• Um modelo único pode não ser suficiente.

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Origem da Matemática

Primórdios

Desde o aparecimento do homem na Terra, ele tem recorrido à matemática, contando, medindo e calculando, mesmo no período em que seu espírito não tinha conhecimento de si mesmo e quando sobre tais assuntos não existiam conceitos, convenções e notações.

Estava surgindo o raciocínio consciente.

Surgiu a necessidade de manusear “grandes” quantidades de objetos semelhantes.

A conseqüência foi o surgimento dos primeiros números visíveis. Este período constituiu a “Primeira Ordem” para Alvin Toffler.

• O homem passou de coletor para criador (gado, ovelhas, ..), para plantador, fixando-se em um lugar, perdendo a característica nômade.

• Este número “visível” não é ainda o “número conceitual”.

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Devido à quantidade crescente de objetos manuseados, surgiu a necessidade de contar. Um conjunto auxiliar foi utilizado: dedos, pedrinhas, nós em cordas, etc.

O número conceitual, um dos maiores feitos de humanidade, estava surgindo.

Os dedos foram instrumentos maravilhosos para contar pois tinham grande capacidade, permitia ordenação, estava disponível dia e noite e em toda parte. Foi o primeiro medidor. Ele relacionou dois conjuntos que nada tinham em comum.

Os números constituem o elo espiritual entre dois conjuntos.

O “número concreto” perde seu significado físico, sendo “desligado” dos objetos (ovelhas, ovos ou garrafas). Ele inicia seu domínio absoluto de entidade abstrata.

Iniciam-se as operações de contagem, soma (união de conjuntos), etc.

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Ocorre uma estruturação dos números. O princípio ordenador/estruturador que predominou foi o sistema de “base” 10.

A linguagem falada ou natural não tem a precisão da linguagem matemática escrita.

A linguagem matemática escrita cria ordem, tem clareza, pode ser revisada posteriormente e é durável.

Vários sistemas de numeração e várias representações foram utilizados. Exemplo:

um : I

dois : II

...

cinco : IIII A simbologia da numeração romana (I, V, VII, IX, ...) resolveu parte do problema de modo um pouco mais brilhante. No entanto, era um sistema tosco, pesado, sem forma e sem elegância.

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Uma das maiores descobertas da humanidade foi o ZERO que representa o NADA, a AUSÊNCIA. É uma entidade abstrata.

Hoje ainda se utiliza os seguintes sistemas de numeração:

• decimal

• duodecimal

• binário

• octal

O sistema binário tem simplicidade máxima. Utiliza apenas dois símbolos: 0 e 1.

A evolução levou ao entendimento conceitual do número puro (sem peso material) e da numeração falada e escrita.

Neste ponto iniciou-se a tarefa do matemático.

Cabe realçar que a linguagem matemática é mais simples, mais clara e mais compreensível do que qualquer outra linguagem de comunicação.

É muito mais eficaz e eficiente do que a linguagem natural.

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Extensão do conceito de número

Números naturais: 1, 2, 3, ...

Números inteiros: 0, 1, 2, 3, ...

Números negativos: ...-5, -4, -3, -2, -1, ...

Números racionais: representados por uma relação de números : a/b

Números irracionais: , , ...

Números complexos: a + bi

Operadores relacionais: >, <, , ,

Vol=1paraseobterVol=21

2

1

1

2

2

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Sistema de Equações

Uma equação modela uma balança antiga de feira

• Considere que vamos “pesar” cebolas (determinar a massa)

5C + 1B = 500gr + 1B

Observe que estamos comparando 2 coisas diferentes:

C = Cebolas e pesos de 500 gramas (massa conhecida)

Tirando-se as bacias de cada lado da equação, o equilíbrio não é modificado

5C = 500

Considerando-se as cebolas com tamanhos iguais, chega-se à conclusão de que cada uma tem massa de 100gr.

250 250

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Sistema de Equações

Duas equações

• Na mesma balança agora colocam-se cebolas e pimentões

4C + 3P = 500

3C + 2P = 400

Portanto

(representação algébrica) (Representação Matricial) (Representação Matricial Condensada)

4C + 3P = 550 4 3 C 550 4 3 550

3C + 2P = 400 3 2 * P = 400 3 2 400

50 200 250

250 100 50

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Resolvendo

4 3 550 L1 / 4 1 ¾ 550/4 1 ¾ 550/4

3 2 400 3 2 400 L2-3 * L1 0 -1/4 -50/4 L2/(-1/4)

1 ¾ 554/4 L1 – ¾ * L2 1 0 100

0 1 50 0 1 50

Voltando à forma matricial normal (ou não condensada):

1 0 C 100

0 1 P 50

Retornando à forma algébrica

C = 100

P = 50

x =

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Desconectando-se do mundo físico e ficando no mundo simbólico

No mundo simbólico, geralmente adotam-se as convenções:

• Primeiras letras do alfabeto, representam dados do problema;

• Últimas letras do alfabeto, representam grandezas desconhecidas

Uma equação geral

ax + b = c

Duas equações já com dados do problema

x + y = 62

x – y = 2

O processo de solução desta equação é simples, despretensioso embora elegante, sendo freqüentemente utilizado. Encontra-se o valor de x numa equação e substitui-se na outra:

x = 2 + y

Logo

(2 + y) = 62 2 + 2y = 62 2y = 62 -2 y = 30 x = 32

Este processo de solução se adapta a um problema em particular.

Existem muitos métodos de solução, por exemplo, regra de Cramer.

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Por que tanto formalismo na matemática?

Uma notação precisa e eficiente facilita os procedimentos matemáticos;

Utilização de símbolos

Estudar fórmulas é como escovar os dentes: executado todas as manhãs e todas as noites. No dentista o paciente descobre de maneira mais ou menos agradável a finalidade dessa obrigação cansativa e monótona.

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Modelamento - Matrizes

Muitos sistemas físicos são freqüentemente modelados por sistemas de equações algébricas lineares. A tarefa mais comum é achar soluções para estas equações;

A notação matricial

• Matriz m x m

• Matriz linha (vetor)

• Matriz coluna (vetor)

O determinante de uma matriz;

A regra de Cramer (sistemas pequenos n<4);

Matriz transposta e matriz unitária;

Operações com matrizes (soma, subtração e multiplicação);

Não se faz divisão (multiplica-se pela inversa)

Características e casos específicos:

• Matriz singular

• Matriz diagonal

• Matriz hilbertianas

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Num sistema de equações, quando o termo independente vale zero, tem-se um sistema homogêneo. Uma das soluções é chamada de trivial (tudo zero). Só existe outra solução se det A = 0.

A solução de sistema homogêneos leva ao trabalho em matrizes do tipo [ A - λI ]. Isto provoca o estudo de valores e vetores próprios.

Exemplos de sistemas:

x1 + 2x2 = 5

2x1 + 3x2 = 8 Sistema 2x2. Uma solução é o par ordenado (1,2)

x1 – x2 + x3 = 2 Sistema 2x3. Tem muitas soluções. Uma

2x1 + x2 – x3 = 4 solução é a tripla (2,0,0).

x1 + x2 = 2 Sistema 3x2. Não tem solução.

x1 – x2 = 1 Existe incompatibilidade.

x1 = 4

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Modelamento

Engenharia elétrica

Voltagem nos nós de um circuito elétrico (resistivo)

O engenheiro eletrônico faz um “abracadabra” e obtém o modelo matemático (sistema de Equações lineares)

-6 2 1 1 V1 0

3 -4 1 0 V2 0

3 2 -13 6 V3 -254

1 0 2 -3 V4 0

V1 = 25,80 Volts

V2 = 31,75 Volts Da análise dos resultados, sabe-se que os

V3 = 49,61 Volts resultados devem estar entre 0 Volts e 127 Volts.

V4 = 41,67 Volts

x =

B 3Ω 3

3Ω 1Ω 2Ω 3Ω 4

1Ω 2Ω

0 Volts 1Ω 1

127 Volts

A

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Modelamento

Engenharia química

Equilibrar uma equação química

KMnO + H2SO4 + NaNO2 K2SO4 + MnSO4 + NaNO3 + H2O

x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7

O químico faz “abracadabra” e

1 0 0 -2 0 0 x1 0

1 0 0 0 -1 0 x2 0

4 4 2 -4 -4 -3 x3 1

0 2 0 0 0 0 x4 2

0 1 0 -1 -1 0 x5 0

0 0 1 0 0 -1 x6 0

Os resultados seriam:

xi = [ 0,6667 1,000 1,6667 -0,3333 0,6667 1,6667 1] T

Como os resultados devem ser inteiros, multiplica-se por 3

xi = [ 2 3 5 1 2 9 3 ] T

x =

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Modelamento

Pesquisa Operacional

Em uma certa seção do centro de determinada cidade, dois conjuntos de ruas de mão única se cruzam. Veja figura. Os dados nas setas representam o número médio de carros que passam por hora. Ache a quantidade de veículos nos cruzamentos A, B, C e D. (localizar estes pontos na figura)

Representação algébrica:

x1 + 450 = x2 + 610

x2 + 520 = x3 + 480

x3 + 390 = x4 + 600

x4 + 640 = x1 + 310

Representação matricial:

1 -1 0 0 x1 160

0 1 -1 0 x2 -40

0 0 1 -1 x3 210

-1 0 0 1 x4 -330

x =390480

600

640

520

610

450 310

x1

x4

x3

x2

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Modelamento

Tem-se ainda uma representação condensada:

1 -1 0 0 160

0 1 -1 0 -40

0 0 1 -1 210

-1 0 0 1 -330

Neste sistema de equações, uma equação não é independente.

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Reorganizando as equações tem-se:

1 0 0 -1 330 1 0 0 -1 330 1 0 0 -1 330

0 0 1 -1 210 0 1 -1 0 -40 0 1 -1 0 -40

0 1 -1 0 -40 0 0 1 -1 210 0 0 1 -1 210

1 -1 0 0 160 1 -1 0 0 160 L4-L1 0 -1 0 1 -170

1 0 0 -1 330 1 0 0 -1 330

0 1 -1 0 -40 0 1 -1 0 -40

0 0 1 -1 210 0 0 1 -1 210

L4+L2 0 0 -1 1 -210 L4+L3 0 0 0 0 0

As equações 3 e 4 não são independentes.

O sistema tem muitas soluções.

O diagrama de fluxo de carros não contém informações suficientes para se achar uma solução. Se souber que x4 = 200, tem-se:

x1 = 530

x2 = 370

x3 = 410

Sumiram todas as variáveis

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Modelamento

Lei de Hooke

O alongamento de uma mola é proporcional à força aplicada à mesma. Mediu-se:

alongamento (cm) força (N)

10 13

18 22

28 36

(y) (x)

Para se determinar a curva que se ajusta a estes pontos, passa-se por um sistema de equações lineares com a forma (no caso acima vamos considerar reta):

N Σx a Σx

Σx Σx2 b Σxy

Onde N: número de pontos

Σx : soma dos valores

Σx2 : soma dos quadrados dos valores

Σxy : soma do produto x vezes y

a,b : coeficientes da equação da reta y = a+bx

x =

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Modelamento

Ajuste de curvas polinomiais de qualquer grau:

y = a0 + a1x + a2x2 + ... + anxn

Sempre se chega a um sistema de equações:

N Σx Σx2 ... Σxn Σy

Σx Σx2 Σx3 ... Σx n+1 Σxy

Σx2 Σx3 Σx4 ... Σx n+2 Σx2y

.... ... ... ... ... ...

Σxn Σx n+1 Σx n+2 ... Σx 2n Σxny

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Primeira competência para ensinar:

I – ORGANIZAR E DIRIGIR SITUAÇÕES DE APRENDIZAGEM

Conhecer o conteúdo e traduzi-lo em objetivos de aprendizagem;

Partir das representações dos alunos;

Considerar erros e obstáculos para o aprendizado;

Construir e planejar dispositivos e seqüências didáticas;

Envolver os alunos em atividades de pesquisa e em projetos.

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Segunda competência para ensinar:

II – ADMINISTRAR A PROGRESSÃO DAS APRENDIZAGENS

Conceber e administrar situações-problemas ajustadas ao nível e às possibilidades dos alunos;

Adquirir uma visão longitudinal dos objetivos do ensino;

Estabelecer laços com teorias subjacentes às atividades de aprendizagem, utilizando uma abordagem formativa;

Fazer balanços periódicos de competências e tomar decisões de progressão.

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Terceira competência para ensinar:

III – CONCEBER E FAZER EVOLUIR OS DISPOSITIVOS DE DIFERENCIAÇÃO

Administrar a heterogeneidade no âmbito de uma turma

• A situação padrão não satisfaz a todos, pois os alunos não têm:

O mesmo nível de desenvolvimento

A mesma base anterior

Os mesmos interesses

Os mesmos recursos

• Ensino considerando o grupo como uma única entidade é ineficaz;

• Ensino individual é impraticável;

• Reprovação é fator de homogeneização (mas...);

• Enfrentar a heterogeneidade com grupos de trabalho;

• Utilizar tarefas auto-corretivas.

Abrir e ampliar a gestão da classe

• As restrições de tempo não permitem milagres;

• Riscos: desorganização e desvios.

Apoio integrado e cooperação entre alunos.

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Quarta competência para ensinar:

IV – ENVOLVER OS ALUNOS EM SUAS APRENDIZAGENS E EM SEU TRABALHO

Suscitar o desejo de aprender e a capacidade de auto-avaliação

• criar e intensificar o desejo de aprender;

• favorecer ou reforçar esta decisão.

Atividades opcionais de formação;

Definição de um projeto pessoal.

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Quinta competência para ensinar:

V – TRABALHA EM EQUIPE

Elaborar um projeto em equipe.

Cuidado com pseudo-equipe!

Só trabalhar em equipe quando for mais eficaz;

Administrar crises ou conflitos interpessoais.

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