Revisão Geometria Plana – Áreas e Apótemas

ÁREAS DAS PRINCIPAIS FIGURAS PLANAS1) Retângulo

2) Quadrado

3) Paralelogramo

4) Trapézio

5) Losango

6) Triângulos

a) Triângulo qualquer

b) Triângulo retângulo

c) Fórmula trigonométrica da área

d) Fórmula de Heron

onde p é o semiperímetro e a, b e c são os lados.

e) Triângulo eqüilátero

f) Em função dos lados e do raio da circunferênciacircunscrita

7) Hexágono regular

8) Polígono regular

Ondep é o semiperímetro e a é o apótema do polígono.

9) Círculo

ComprimentoC = 2..rÁreaA = .r2

10) Coroa circular

A = .(R2 – r2)

11) Setor circular

A =

QUADRO RESUMO DOS PRINCIPAIS POLÍGONOS REGULARES

EXERCÍCIOS

1) Para que valores de k a ponto A(k,3) dista 8 da reta 5x + 12y – 4 = 0?

Solução. Aplicando a fórmula da distância, temos:

.

Há dois valores possíveis: k = 14,4 ou k = -27,2.

2) Determine a distância do ponto P(3,1) à reta 3x + 4y – 8 = 0

Solução. Aplicando a fórmula da distância, temos:

3) Qual o ponto de interseção entre a reta que passa por A(4, 4) e (2, 5) e a reta que passa por (2, 7) e (4, 3)?Solução. Calculando a equação de cada reta pelo coeficiente angular, temos:

i) .

ii) .

iii) Interseção: .

4) Se as retas são paralelas, então qual o valor do coeficiente m?

Solução. Considerando respectivamente as retas mostradas como “r” e “s”, temos:

5) Qual o valor de m para que as retas x + my – 3 = 0 e 2x – y + 5 = 0 sejam perpendiculares?

Solução. O produto dos coeficientes angulares em retas perpendiculares vale -1.

.

6) As retas x + ay – 3 = 0 e 2x – y + 5 = 0 são paralelas, então qual o valor de a?Solução. Retas paralelas apresentam o mesmo coeficiente angular. Considerando respectivamente as retas mostradas como “r” e “s”, temos:

.

7) Dê a equação da reta de inclinação 150o e que passa por P(-7,8). Solução. O coeficiente angular da reta é a tangente do ângulo que esta reta faz com o eixo das abscissas.

.

8) Considere o quadrilátero ABCD tal que A(-1, 2), B(1, 3), C(2,-2) e D(0,-3). Determine as coordenadas do ponto de encontro das suas diagonais.Solução. O ponto de encontro das diagonais é a interseção entre as retas que passam por AC e BD. Encontrando as equações dessas retas pelo determinante para recordar esse método, temos:

.

9) As retas r, s e t são definidas respectivamente, por 4x – 7y + 18 = 0, 2x – y – 6 = 0 e 4x + 3y – 2 = 0. Calcule a área da região limitada por essas retas.Solução. As retas são concorrentes duas a duas. Logo suas interseções formarão um triângulo. Sejam os pontos P, Q e R as interseções respectivamente r ∩ s, r ∩ t e s ∩ t.

.

10) (UFC) Determine a equação da reta que é perpendicular à reta 4x + y – 1 = 0 e que passa pelo ponto de interseção das retas 2x – 5y + 3 = 0 e x – 3y – 7 = 0 é:Solução. Efetuando os cálculos necessários para encontrar interseção e coeficiente angular, temos:

.

11) ( UFSC ) Uma pirâmide regular, de base quadrada,tem aresta da base 8cm e apótema da pirâmide 5cm. Determine, em cm3, o volume dessa pirâmide.

6412) ( UFSC ) A aresta da base de uma pirâmide quadrangular regular mede 4cm e sua altura mede 2 cm.

Determine a área total, em cm2, dessa pirâmide. 48

13) ( UFSC ) Em uma pirâmide quadrangular regular a aresta lateral mede 5cm e a altura mede 4cm. O volume, em cm3, é: 24

14) ( Cescem-SP ) Em uma pirâmide com 12cm de altura, tendo como base um quadrado de lado igual a 10 cm, a área lateral é:

a) 240cm2 b) 260cm2 c) 340cm2 d) 400cm2 e) n.d.a.

15) ( UDESC ) Uma caixa d’água de forma cilindrica tem 1,5 m de diâmetro e capacidade de 7065 litros. A altura da caixa é:

a) 3,2 m b) 3,6 m c) 4,0 m d) 4,8 m

16) A área lateral de uma pirâmide hexagonal regular é 72 cm2. Calcule a aresta da base, sabendo que a aresta lateral mede 5 cm.Solução.

A área lateral da pirâmide é a soma das áreas dos triângulos. Como é hexagonal, há 6 triângulos e cada um possui área igual a 72 ÷ 6 = 12cm2. Temos:1) a2 = g2 + (/2)2. Logo 25 = g2 + 2/4. (*)2) A área de cada face é (. g)/2 = 12. Logo (. g) = 24.3) Expressando (em função de g, temos: = 24/g. (**)4) Substituindo em (*), temos:

. Eliminando o denominador, temos:

. (equação biquadrada). Escolhendo g2 = y, temos y2 - 25g + 144 = 0, cujas raízes são y = 16 e y = 9. Logo g = 4 ou g = 3. Substituindo em (**), vem: = 6cm ou = 8cm

17) Uma pirâmide quadrangular regular tem 3 m de altura e 8 m de aresta da base. Calcule a área total e o volume desta pirâmide.

g = ?

/2

a = 5

/2

O apótema da base da pirâmide é metade do lado do quadrado. Logo m = 4. Calculando g, temos: As áreas da base e lateral são:

Sb = 82 = 64cm2 Sl = 4.(8.5)/2 = 80cm2

Logo a área total será 64cm2 + 80cm2 = 144cm2. O volume é calculado como (Sb. h)/3 = (64cm2. 3cm)/3 = 64cm3.

18) Nove cubos de gelo, cada um com aresta igual a 3 cm, derretem dentro de um copo cilíndrico, inicialmente vazio, com raio da base também igual a 3 cm. Após o gelo derreter completamente, determine a altura do nível da água no copo. Considere = 3.

Solução. Como cada cubo possui aresta 3cm, o volume total após o derretimento será 9.V(cubo). Esse volume de água derretida irá se distribuir pelo copo. Igualando os volumes, temos:

.

19. (UNESP) Uma moeda circular é composta por duas partes: a parte central, de material prateado, de raio 9mm, e a parte externa, de material dourado, em forma de um anel de 4mm de largura, conforme figura. A espessura de cada parte da moeda é igual a 1,5mm.Qual a razão entre os volumes das partes prateada e dourada?

Solução. O raio maior mede (9 + 4) = 13mm. O volume da parte dourada será a diferença entre o volume da moeda e o volume da parte prateada (central).

.

20) ( ACAFE-SC ) O volume de um cone circular reto é de 27 dm3 e a altura é de 9 dm. O raio da base é:

a) 4dm b) 9dm c) 2dm d) 5dm

g = ?

h = 3

= 8

m = ?

e) 3dmSolução.

O volume do cone é dado pela fórmula:

De acordo com os dados do problema, temos:

Resposta. O raio da base mede 3dm.

21) ( UFPA ) Num cone reto, a altura é 3m e o diâmetro da base é 8m. Então, a área total (em m2) vale:

a) 52 b) 36 c) 20 d) 16 e) 12

Solução. A área total do cone é dada pela fórmula: De acordo com os dados do problema, temos:

Resposta. A área total vale 113m3.

22) O lado de um triângulo equilátero inscrito numa circunferência mede 2 cm. Determine a medida da altura do triângulo, do raio da circunferência, da área do triângulo e da área da circunferência.

Solução. Utilizando as fórmulas relacionadas ao triângulo equilátero, temos:

i) . ii) .

iii) .

iv) .

23) Um círculo de 5 cm de raio está inscrito em um hexágono regular. Determine o perímetro e a área do hexágono.

Solução. O raio do círculo inscrito também é o apótema e é a altura do triângulo equilátero mostrado. Logo h = 5. Utilizando as fórmulas para o hexágono, temos:

i) .

ii)

.

24) O apótema do quadrado inscrito numa circunferência é igual a 2 cm. Determine a área do hexágono regular inscrito nessa mesma circunferência.

Solução. O apótema do quadrado inscrito é a metade do lado. Logo o lado do quadrado mede 4cm. O raio mede a metade da diagonal do quadrado. O lado do hexágono inscrito possui a mesma medida do raio. Temos:

i) .

ii) .

25) Num quadrado de lado 10 cm está circunscrita uma circunferência. Determine o raio, o comprimento e a área da circunferência.Solução. O raio é a metade da diagonal do quadrado.

i) .

ii) .