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CIRCUITOS ELÉTRICOS EM CORRENTE ALTERNADA

NÚMEROS COMPLEXOS Um número complexo Z é um número da forma jyx , onde x e y são reais e

1j . (A raiz quadrada de um número real negativo é chamada um número imaginário puro). No número complexo jyx , o primeiro termo x é chamado parte real e o segundo, jy, a parte imaginária. Exemplo: Representação de 6 números complexos (z1, z2, z3, z4, z5, z6). Z1 = 6 j (eixo dos j) Z2 = 2 – j3 j5 Z3 = j4 z3 j4 Z4 = - 3 + j2 j3 z6 Z5 = - 4 – j4 z4 j2 Z6 = 3 + j3 j1 z1 (eixo dos n° reais) -5 -4 -3 -2 -1 -j1 1 2 3 4 5 6 -j2 -j3 z2 z5 -j4 -j5

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Representação polar de um número complexo Z J (eixo imaginário) jy z r (eixo real) 0 x z pode ser representado na forma: Retangular: jyxz Polar: rz

Meios de representar um número complexo: Forma retangular jyxz Forma polar ou de Steinmetz rz

O emprego de um ou outro depende da operação a ser efetuada.

SOMA E DIFERENÇA DE NÚMEROS COMPLEXOS Só podem ser efetuados, quando ambos estão na forma retangular.

68)28()53(

102)82()35(

8325

12

21

21

jjzz

jjzz

jzejzDados

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MULTIPLICAÇÃO DE NÚMEROS COMPLEXOS Forma polar:

2121221121 ))(( rrrrzz

Forma retangular:

)()(

))((

21212121

212

212121221121

xyyxjyyxx

yyjxjyyjxxxjyxjyxzz

sendo j2 = -1

DIVISÃO DE NÚMEROS COMPLEXOS

Forma polar:

212

1

22

11

2

1

r

r

r

r

z

z

Forma retangular: Faz multiplicando-se numerador e denominador pelo conjugado do denominador.

22

22

12212121

22

22

22

11

2

1 )()(

yx

xyxyjyyxx

jyx

jyx

jyx

jyx

z

z

CONJUGADO DE UM NÚMERO COMPLEXO (Z*) Forma retangular:

jyxzéconjugadoseujyxz * Forma polar:

rzéconjugadoseurz *

4

CONVERSÃO

FORMA RETANGULAR FORMA POLAR

x

ytgarczy

yxzzx

sen

cos 22

Obs.: Fica claro então, que é mais fácil efetuar a soma e a subtração de número complexos na forma retangular e a multiplicação e a divisão na forma polar.

PRINCÍPIO DA CORRENTE ALTERNADA

Forma de onda de tensão CA Tensão Onda alternada Eixo zero + + 0 _ _

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Como é produzida a tensão CA Linhas de força

N Espira condutora em rotação Terminais S Gerador Chamado de alternador

Ciclos de tensão alternada gerada pela rotação de uma espira Posição 1 0 0 V N S Posição 2 0 90° 90° V N S Posição 3 0 90° 180° V N S 180°

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Posição 4 0 90° 180° 270° V 270° N S

Posição 5 0 90° 180° 270° 360° 360° V N S

Parâmetros básicos de um sinal alternado (tensão ou corrente)

Rms = 0,707 do valor de pico Média = 0,637 do valor de pico Amplitude v ou i Valor Valor Valor de Valor de médio rms pico pico-a-pico 0 90° 180° 270° 360°

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Obs.:

MP

MP

II

VV

Onde:

picodeTensãoVP máximaTensãoVM picodeCorrenteI P máximaCorrenteIM

Valor eficaz = Valor rms = Valor médio quadrático rms = “root-mean-square”

Valor rms = 0,707 x Valor de pico

Mrms

Mrms

II

VV

.707,0

.707,0

ou

2

2

Pef

Pef

II

VV

8

Freqüência e Período

1 ciclo f = 1 Hz v ou i Tempo (s) 0 ¼ ½ ¾ 1 1 Período f = 2 Hz v ou i 0 ¼ ½ ¾ 1 Tempo (s) 2 ciclos Obs.: Quanto mais alta a freqüência, menor o período.

Tf

1

Onde:

f = Hertz (Hz) T = segundos (s)

Frequencia da tensão da rede: 60 Hz

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Velocidade angular (w)

Tfw

2..2

Deslocamento angular (θ)

tw. (radiano ou graus)

Sinal senoidal em forma de função dependente: Do tempo ).2(..2)( tfsenVeftV Do deslocamento angular )(..2)( wtsenVefwtV

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Fórmulas Reatâncias. Impedância do elemento: é a relação entre a tensão aplicada em um elemento elétrico e a corrente resultante neste elemento elétrico (módulo e fase). Impedância do circuito: é a relação entre a tensão aplicada a um circuito elétrico e a corrente resultante neste circuito (módulo e fase).

R

XXRjXR

I

VZ 122 tan (1) (formas retangular e polar respectivamente!!)

Onde: R: parte real de Z é a resistência [Ω]; X: parte imaginária de Z é a reatância, podendo ser indutiva (X>0) ou capacitiva (X<0) em [Ω]; Impedância do Indutor:

LjZ L (2) (observe que X>O);

Impedância do Capacitor:

C

jZC 1

(3) (observe que X<O);

Onde: ω: freqüência angular (rad/s); f: freqüência (Hz); L: indutância (H); C: capacitância (F). Assim, para que uma impedância fique completamente determinada é preciso especificar a sua parte real e a sua parte imaginária (resistência e reatância – forma retangular),ou ainda, seu módulo e fase (se forma polar).

Definição de fator de Potência. FP = cos Ф , onde Ф é o defasamento entre tensão e corrente. Definição de potencia aparente, ativa e reativa. Pap = Vrms*Irms (Potência aparente) - unidade VA Pat = Vrms*Irms* cos Ф (potência ativa) - unidade W Preativa = Vrms*Irms* cos Ф - unidade VAR Dicas para resolução de circuitos Transforme os elementos capacitivos e indutivos em suas respectivas impedâncias e resolva o circuito utilizando ou a forma polar ou retangular.

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Lista de Exercícios

1) Determine: a) Corrente do Circuito I b) Fator de potência c) Potência aparente do Circuito d) Potência ativa do Circuito e) A tensão sobre o indutor

2) Determine: a) Corrente do Circuito I b) Fator de potência c) Potência aparente do Circuito d) Potência ativa do Circuito e) A tensão sobre o resistor

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3) Determine: a) Corrente do Circuito I b) Fator de potência c) Potência aparente do Circuito d) Potência ativa do Circuito

4) Determine: a) Corrente do Circuito I b) Fator de potência c) Potência aparente do Circuito d) Potência ativa do Circuito e) A tensão sobre o capacitor

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5) Determine: a) Corrente do Circuito I b) Fator de potência c) Potência aparente do Circuito d) Potência ativa do Circuito e) A tensão sobre o capacitor

6) Determine o valor do capacitor C para que o fator de potência do circuito seja 1.

L

0.1H311*sen(wt)

R

10 Ohm

CV1

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7) Determine o valor do indutor L para que o fator de potência do circuito seja 1.

C311*sen(wt)

R

30 OhmV1 L

300uF