01) Abaixo, quatro das infinitas etapas da construção do fractal denominado Curva de Koch. Se a área do triângulo destacado inicialmente vale A e cada novo triângulo tem lado igual a 1/3 do lado do(s) triângulo(s) da etapa anterior, calcule a área obtida se o fractal for construído indefinidamente.

1a A A 9AS

4 51 q 51 99

Um triângulo de área A.

Área = 1 x A = A

4 novos triângulos de área .

Área =

A9

A + 4 A9

16 novos triângulos de área .

Área =

A81

A + 4 A A

169 81

Logo, a área desejada é dada por A + 4A 16A

...9 81

49

49

PG com razão 49

Para figuras semelhantes, se a proporção entre os lados for k, a proporção entre as áreas é k².

02) Qual a probabilidade de no lançamento de quatro moedas obtermos exatamente duas coroas e duas caras?

Número de casosque interessam

Número totalde casos

P = CARA COROA1

P =P =2

PCOROA.PCOROA.PCARA.PCARA

1 1 1 1 12 2 2 2 16

É preciso considerar que podem aparecer duas coroas e duas caras em ordens diferentes, além desta!

4! 246

2! 2! 2 2

Anagramas com 4 “letras”, sendo duas duplas repetidas.

1 3

616 8

P

Tente entender o que acontece em um caso específico.

CAU-TE-LA!

E qual a probabilidade de nesse lançamento obtermos pelo menos uma cara?

NÃO INTERESSA:

PCOROA.PCOROA.PCOROA.PCOROA

1 1 1 1 12 2 2 2 16

Logo, 1 15

116 16

P

100%

Tente resolver o caso contrário

03) Se |z| = e , sendo z um número complexo, calcule a área do triângulo de vértices nos afixos de z4 e z8 e na origem do plano complexo.

4 2 30z

4 2 cos30 30z i sen

cosnnz z n i sen n

88 4 2 cos 8 30 8 30 4 cos240 240z i sen i sen

44 4 2 cos 4 30 4 30 2 cos120 120z i sen i sen

FORMA TRIGONOMÉTRICA DE UM NÚMERO COMPLEXO

cosz z i sen

Elevar omódulo

Multiplicar oargumento

8 4 cos240 240z i sen 4 2 cos120 120z i sen

z4 (2; 120º)

z8 (4; 240º)

4

2

120º

2a b sen

A

4 2 1202

2 28

23

3

senA

A

04) Qual é o valor máximo da a função no intervalo

2f x = senx + cos x ?0, 2

1 senx 1

1 cosx 1

O valor máximo de sen x e cos x é 1.Com isso, o valor máximo da função é

2 21 1 2 4

sen x = 1 x2

Porém, para tal valor de x temos que cos x = 0. Assim, é impossível que sen x e cos x sejam simultaneamente iguais a 1.

(0, 1)

Como , o produto proposto pode ser

desenvolvido para

2f x = senx + cos x

2 2f x = sen x +2 senx cos x + cos x

2sen x 2+cos x = 1

Relação Fundamental da Trigonometria

2 senx cos x = sen2x

Logo, a função pode ser reescrita como

f x = 1+ sen2x

f x = 1+ sen2x

g(x) = sen 2 xPeríodo

2P

2

Imagem [-1, 1]

2

O gráfico de f(x) = 1 + sen 2x é obtido a partir de uma translação de 1 unidade do gráfico de g(x) no sentido vertical, para cima. Tem o mesmo período que g(x) e sua imagem passa de [-1, 1] para [0, 2].

Logo, o valor máximo de f(x) é 2.

1

-1

2

2

05) Para que valores inteiros de k a inequação x² - kx + 5 > 1 para qualquer valor de x?

Duas raízesreais e distintas

Δ > 0Uma raizreal dupla

Δ = 0Duas raízes

complexas conjugadas

Δ < 0

Observe que quando Δ < 0f(x) é sempre positiva ou sempre negativa.

x² - kx + 5 > 1

x² - kx + 4 > 0

Ou seja, x² - kx + 4 é positiva para qualquer

valor de x.

D< 0 b² - 4ac < 0

k² - 16 < 0

+

++

++ +

++

k² - 16 < 0

k² < 16k < 4

XInequação de 2º grau? Resolver graficamente!

k² - 16 < 0

Parábola voltadapara cima

4 e -4 são suas raízes

4-4

+

-

+

-4 < k < 4 k pode valer -3, -2, -1, 0, 1, 2 ou 3

Receosos???? Inseguros????

OMG OMG OMG????

ENTÃO IMAGINA QUEM NÃO FEZ

POBRES CONCORRENTES!

COLE AQUI!

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BOA PROVA!2013 É NA UFRGS

(E NO MUNDO!)