01 - EDO - ENL - UFAL

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Slides Professor Eduardo Nobre

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  • Prof. Eduardo Nobre LagesContatos:

    Julho de 2014Macei Alagoas Brasil

    enl@lccv.ufal.br (82) 3214-1293

    Equaes Diferenciais Ordinrias

  • Referncia:Referncia:Equaes Diferenciais Elementares e Equaes Diferenciais Elementares e Problemas de Valores de ContornoProblemas de Valores de ContornoWilliam E. William E. BoyceBoyce & Richard C. Di Prima& Richard C. Di Prima88aa EdioEdioRio de Janeiro: LTC Rio de Janeiro: LTC 20062006

    Equaes Diferenciais Equaes Diferenciais OrdinriasOrdinrias

  • Referncia:Referncia:Equaes Diferenciais com Aplicaes Equaes Diferenciais com Aplicaes em Modelagemem ModelagemDennis G. Dennis G. ZillZillSo Paulo: So Paulo: ThomsonThomson 20032003

    Equaes Diferenciais Equaes Diferenciais OrdinriasOrdinrias

  • Referncia:Referncia:Equaes Diferenciais Equaes Diferenciais Uma Introduo Uma Introduo a Mtodos Modernos e suas Aplicaesa Mtodos Modernos e suas AplicaesJames R. James R. BrannanBrannan & William E. & William E. BoyceBoyceRio de Janeiro: LTC Rio de Janeiro: LTC 20082008

    Equaes Diferenciais Equaes Diferenciais OrdinriasOrdinrias

  • Referncia:Referncia:AdvancedAdvanced EngineeringEngineering MathematicsMathematicsErwin Erwin KreyszigKreyszig99thth EditionEditionSingaporeSingapore: : John John WileyWiley & Sons & Sons 20062006

    Equaes Diferenciais Equaes Diferenciais OrdinriasOrdinrias

  • ED

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    Introduo s Equaes Diferenciais Definio: Tratam-se de equaes envolvendo uma funo

    incgnita e suas derivadas, alm de variveis independentes.

    Qual a motivao para se estudar equaes diferenciais?

    Exemplos:

    0x4)x(y)x(y9

    )t,x(uE)t,x(u xx,

    x a varivel independente y(x) a funo incgnita

    x e t so as variveis independentes u(x,t) a funo incgnita

    As equaes diferenciais esto presentes na formulaodiferencial dos modelos representativos dos fenmenosestudados nas cincias fsicas, biolgicas e sociais.

  • EDO

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    n Algumas aplicaes das equaes diferenciais:

    Introduo s Equaes DiferenciaisIntroduo s Equaes Diferenciais

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    n Algumas aplicaes das equaes diferenciais (continuao):

    Introduo s Equaes DiferenciaisIntroduo s Equaes Diferenciais

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    n Algumas aplicaes das equaes diferenciais (continuao):

    Introduo s Equaes DiferenciaisIntroduo s Equaes Diferenciais

    22 yayy --=

  • EDO

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    n Algumas aplicaes das equaes diferenciais (continuao):

    Introduo s Equaes DiferenciaisIntroduo s Equaes Diferenciais

  • EDO

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    Encontrar uma funo incgnita que satisfaa identicamente a equao diferencial. Quando essa funo a mais geral possvel, associada a constantes de integrao, ela dita soluo geral. Quando a soluo apresentada para alguns valores especficos das constantes de integrao essa dita soluo particular. Certas equaes diferenciais possuem ainda soluo que foge ao formato geral, denominada de soluo singular.

    n O que desejamos quando encontramos uma equao diferencial?

    Introduo s Equaes DiferenciaisIntroduo s Equaes Diferenciais

  • EDO

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    n Exemplificando os tipos de soluo:)x(y)x(y =

    xCe)x(y =Soluo geral x

    x

    e3)x(ye)x(y-=

    =

    Solues particulares

    C=-2

    C=0

    C=1

    C=2

    C=-1

    Introduo s Equaes DiferenciaisIntroduo s Equaes Diferenciais

  • EDO

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    n Exemplificando os tipos de soluo (continuao):

    0)x(y)x(yx)x(y 2 =+-

    2CCx)x(y -=Soluo geral 9x3)x(y

    1x)x(y-=

    -=

    Solues particulares4x)x(y

    2

    =

    Soluo singular

    Solues particulares

    Soluo singular

    Introduo s Equaes DiferenciaisIntroduo s Equaes Diferenciais

  • EDO

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    nSer que ns sabemos resolver equaes diferenciais?

    Simmmm!!!! No curso de Clculo Diferencial e Integral, a cada integral resolvida tinha-se uma

    equao diferencial solucionada.

    Introduo s Equaes DiferenciaisIntroduo s Equaes Diferenciais

  • EDO

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    n Classificaes: Ordinria (EDO) versus Parcial (EDP) a depender se a

    equao diferencial apresenta uma ou mais variveis independentes.

    Linear versus No Linear a depender se os termos envolvendo a funo incgnita e suas derivadas se apresentam na forma linear.

    Homognea versus No Homognea a depender se o termo que independe da funo incgnita e suas derivadas identicamente nulo.

    n Exemplos:EDO de 1a ordem, no linear e no homognea0x4)x(y)x(y9 =+

    EDP de 2a ordem, linear e homognea)t,x(uE)t,x(u xx,r=&&

    n Ordem de uma equao diferencial: Ordem da mais alta derivada da funo incgnita presente equao diferencial.

    EDO de 2a ordem, no linear e homognea0)t(sengL)t( =q+q&&

    Introduo s Equaes DiferenciaisIntroduo s Equaes Diferenciais

  • EDO

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    LEDOsEDOs 11aa OrdemOrdem

    n Formas de apresentao da equao diferencial:

    Forma Normal ))x(y,x(f)x(y =

    n Campo de direes:

    Forma Diferencial 0dy)y,x(Ndx)y,x(M =+

    Baseia-se na apresentao da equao diferencial na forma normal.

    Geometricamente a forma normal estabelece, em qualquer ponto (x,y), o valor do coeficiente angular (y=dy/dx) da reta tangente soluo da equao diferencial neste ponto.

    O campo de direes pode ser visualizado pelo desenho de pequenos segmentos de reta num conjunto representativo de pontos no plano xy.

    Ex: y=x+2xy

    Ex: (1+2y)dx-(1/x)dy=0

  • EDO

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    n Campo de direes (continuao):

    y=f(x,y)=x+2xy

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    LEDOsEDOs 11aa OrdemOrdem

    n Campo de direes (continuao):

    y=f(x,y)=x+2xy

  • EDO

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    Qual a relao entre Qual a relao entre os campos de os campos de direes e as direes e as solues das solues das

    equaes equaes diferenciais? diferenciais?

    EDOsEDOs 11aa OrdemOrdemn Campo de direes (continuao):

  • EDO

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    n Campo de direes (continuao):

    y=f(x,y)=x+2xy

    campo de direessolues

  • EDO

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    LEDOsEDOs 11aa OrdemOrdem

    n Problema de Valor Inicial (PVI): Um PVI de uma equao diferencial ordinria de 1 ordem

    consiste em encontrar uma soluo

    para

    e que satisfaz a condio inicial condio inicial

    onde x0 algum valor de interesse da varivel independente e y0 o correspondente valor desejado da varivel de estado do problema.

    y(x))f(x,(x)y =

    y(x)y =

    00 y)y(x =

    A condio inicial condio inicial usualmente fixa um valor especfico para a constante de integraoconstante de integrao presente na soluo soluo geralgeral da equao diferencial.

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    n Problema de Valor Inicial (PVI): Um PVI de uma equao diferencial ordinria de 1 ordem

    est sujeito a trs questionamentos

    Existncia de soluo

    Unicidade da soluo

    Intervalo de validade da soluo

    Teorema: Se a funo f(x,y(x)) do PVI contnua em um retngulo aberto R onde a< x

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    Esse problema no tem soluo uma vez que a derivada de u no definida em um intervalo contendo o tempo inicial t = 1.

    EDOsEDOs 11aa OrdemOrdemn Problema de Valor Inicial (PVI):

    Inexistncia de soluoConsidere o PVI

    2)1( ,3 =-= utuu

    Ento no h uma curva soluo (curva integral) que passa pelo ponto (1;2).

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