01 - raciocínio lógico-quantitativo

1. Estruturas Lógicas. 2. Lógica de Argumentação. 3. Diagramas Lógicos. 4. Trigonometria. 5. Matrizes e Determinantes. 6. Solução de Sistemas Lineares. 7. Álgebra. 8. Combinações, Arranjos e Permutação. 9. Probabilidade.

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RACIOCÍNCIO LÓGICO-QUANTITATIVO

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RACIOCÍNIO LÓGICO-QUANTITATIVO

NOÇÕES DE LÓGICA

Proposição

Denomina-se proposição a toda sentença, expressa em palavras ou símbolos, que exprima umjuízo ao qual se possa atribuir, dentro de certo contexto, somente um de dois valores lógicos possíveis:verdadeiro ou falso.

Somente às sentenças declarativas pode-se atribuir valores de verdadeiro ou falso, o queocorre quando a sentença é, respectivamente, confirmada ou negada. De fato, não se pode atribuir umvalor de verdadeiro ou falso às demais formas de sentenças como as interrogativas, as exclamativas eoutras, embora elas também expressem juízos.

São exemplos de proposições as seguintes sentenças declarativas:

O número 6 é par.

O número 15 não é primo.

Todos os homens são mortais.

Nenhum porco espinho sabe ler.

Alguns canários não sabem cantar.

Se você estudar bastante, então aprenderá tudo.

Eu falo inglês e espanhol.

Míriam quer um sapatinho novo ou uma boneca.

Não são proposições:

Qual é o seu nome?

Preste atenção ao sinal.

Caramba!

Proposição Simples

Uma proposição é dita proposição simples ou proposição atômica quando não contémqualquer outra proposição como sua componente. Isso significa que não é possível encontrar comoparte de uma proposição simples alguma outra proposição diferente dela. Não se pode subdividi-la empartes menores tais que alguma delas seja uma nova proposição.

Exemplo:

A sentença “Cíntia é irmã de Maurício” é uma proposição simples, pois não é possívelidentificar como parte dela qualquer outra proposição diferente. Se tentarmos separá-la em duas oumais partes menores nenhuma delas será uma proposição nova.

Proposição Composta

Uma proposição que contenha qualquer outra como sua parte componente é dita proposiçãocomposta ou proposição molecular. Isso quer dizer que uma proposição é composta quando sepode extrair como parte dela, uma nova proposição.

Conectivos Lógicos

Existem alguns termos e expressões que estão freqüentemente presentes nas proposiçõescompostas, tais como não, e, ou, se ... então e se e somente se aos quais denominamos conectivoslógicos. Os conectivos lógicos agem sobre as proposições a que estão ligados de modo a criar novasproposições.

Exemplo:

A sentença “Se x não é maior que y, então x é igual a y ou x é menor que y” é uma proposiçãocomposta na qual se pode observar alguns conectivos lógicos (“não”, “se ... então” e “ou”) que estãoagindo sobre as proposições simples “x é maior que y”, “x é igual a y” e “x é menor que y”.

Uma propriedade fundamental das proposições compostas que usam conectivos lógicos é queo seu valor lógico (verdadeiro ou falso) fica completamente determinado pelo valor lógico de cada

NOÇÕES DE LÓGICA

Proposição

Proposição Simples

Proposição Composta

Conectivos Lógicos

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proposição componente e pela forma como estas sejam ligadas pelos conectivos lógicos utilizados,conforme estudaremos mais adiante.

As proposições compostas podem receber denominações especiais, conforme o conectivológico usado para ligar as proposições componentes.

A e B

Denominamos conjunção a proposição composta formada por duas proposições quaisquer queestejam ligadas pelo conectivo “e”.

A conjunção A e B pode ser representada simbolicamente como:

A ∧ BExemplo:

Dadas as proposições simples:

A: Alberto fala espanhol.

B: Alberto é universitário.

Se as proposições A e B forem representadas como conjuntos através de um diagrama, aconjunção ”A ∧ ∧ ∧ ∧ B” corresponderá à interseção do conjunto A com o conjunto B. A ∩ ∩ ∩ ∩ B.

Uma conjunção é verdadeira somente quando as duas proposições que a compõem foremverdadeiras, Ou seja, a conjunção ”A ∧ ∧ ∧ ∧ B” é verdadeira somente quando A é verdadeira e B éverdadeira também. Por isso dizemos que a conjunção exige a simultaneidade de condições.

Na tabela-verdade, apresentada a seguir, podemos observar os resultados da conjunção “A eB” para cada um dos valores que A e B podem assumir.

A B A ∧ ∧ ∧ ∧ BVVFF

VFVF

VFFF

Disjunção: A ou B

Denominamos disjunção a proposição composta formada por duas proposições quaisquer queestejam ligadas pelo conectivo “ou”.

A disjunção A ou B pode ser representada simbolicamente como:

A ∨ B

Exemplo:

A B

A ∩ ∩ ∩ ∩ B

Conjunção: A e B

Disjunção: A ou B

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A: Alberto fala espanhol.

B: Alberto é universitário.

A disjunção “A ou B” pode ser escrita como:

A ∨∨∨∨ B: Alberto fala espanhol ou é universitário.

Se as proposições A e B forem representadas como conjuntos através de um diagrama, adisjunção “A ∨∨∨∨ B” corresponderá à união do conjunto A com o conjunto B.

Uma disjunção é falsa somente quando as duas proposições que a compõem forem falsas. Ouseja, a disjunção “A ou B” é falsa somente quando A é falsa e B é falsa também. Mas se A forverdadeira ou se B for verdadeira ou mesmo se ambas, A e B, forem verdadeiras, então a disjunçãoserá verdadeira. Por isso dizemos que, ao contrário da conjunção, a disjunção não necessita dasimultaneidade de condições para ser verdadeira, bastando que pelo menos uma de suasproposiçoes componentes seja verdadeira.

Na tabela-verdade, apresentada a seguir, podemos observar os resultados da disjunção “A ouB” para cada um dos valores que A e B podem assumir.

A B A ∨ ∨ ∨ ∨ BVVFF

VFVF

VVVF

Condicional: Se A então B

Denominamos condicional a proposição composta formada por duas proposições quaisquerque estejam ligadas pelo conectivo “Se ... então” ou por uma de suas formas equivalentes.

A proposição condicional “Se A, então B” pode ser representada simbolicamente como:

A ! B

Exemplo:


A: José é alagoano.

B: José é brasileiro.

A condicional “Se A, então B” pode ser escrita como:

A ! B: Se José é alagoano, então José é brasileiro.

A ∪ B

Condicional: Se A então B

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Na proposição condicional “Se A, então B” a proposição A, que é anunciada pelo uso daconjunção “se”, é denominada condição ou antecedente enquanto a proposição B, apontada peloadvérbio “então” é denominada conclusão ou conseqüente.

As seguintes expressões podem ser empregadas como equivalentes de “Se A, então B”:

Se A, B.

B, se A.

Todo A é B.

A implica B.

A somente se B.

A é suficiente para B.

B é necessário para A.

Se as proposições A e B forem representadas como conjuntos através de um diagrama, adisjunção “A ∨ ∨ ∨ ∨ B” corresponderá à união do conjunto A com o conjunto B.

Uma condicional “Se A então B” é falsa somente quando a condição A é verdadeira e aconclusão B é falsa, sendo verdadeira em todos os outros casos. Isto significa que numa proposiçãocondicional, a única situação que não pode ocorrer é uma condição verdadeira implicar uma conclusãofalsa.

Na tabela-verdade apresentada a seguir podemos observar os resultados da proposiçãocondicional “Se A então B” para cada um dos valores que A e B podem assumir.

A B A ! BVVFF

VFVF

VFVV

Bicondicional: A se e somente se B

Denominamos bicondicional a proposição composta formada por duas proposições quaisquerque estejam ligadas pelo conectivo “se e somente se”.

A proposição bicondicional “A se e somente se B” pode ser representada simbolicamentecomo:

A "! B

Exemplo:


A: Adalberto é meu tio.

B

A

A ⊂ B

Bicondicional: A se e somente se B

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B: Adalberto é irmão de um de meus pais.

A proposição bicondicional “A se e somente se B” pode ser escrita como:

A "! B: Adalberto é meu tio se e somente se Adalberto é irmão de um de meus pais.

Como o próprio nome e símbolo sugerem, uma proposição bicondicional “A se e somente seB” equivale à proposição composta “se A então B”.

Podem-se empregar também como equivalentes de “A se e somente se B” as seguintesexpressões:

A se e só se B.

Todo A é B e todo B é A.

Todo A é B e reciprocamente.

Se A então B e reciprocamente.

A somente se B e B somente se A.

A é necessário e suficiente para B.

A é suficiente para B e B é suficiente para A.

B é necessário para A e A é necessário para B.

Se as proposições A e B forem representadas como conjuntos através de um diagrama, aproposição bicondicional “A se e somente se B” corresponderá à igualdade dos conjuntos A e B.

A proposição bicondicional “A se e somente se B” é verdadeira somente quando A e B têm omesmo valor lógico (ambas são verdadeiras ou ambas são falsas), sendo falsa quando A e B têmvalores lógicos contrários.

Na tabela-verdade, apresentada a seguir, podemos observar os resultados da proposiçãobicondicional “A se e somente se B” para cada um dos valores que A e B podem assumir.

A B A "! BVVFF

VFVF

VFFV

Negação: Não A

Dada uma proposição qualquer A denominamos negação de A à proposição composta que seobtém a partir da proposição A acrescida do conectivo lógico “não” ou de outro equivalente.

A negação “não A” pode ser representada simbolicamente como:

~A

A = B

Negação: Não A

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Podem-se empregar, também, como equivalentes de “não A” as seguintes expressões:

Não é verdade que A.

É falso que A.

Se a proposição A for representada como conjunto através de um diagrama, a negação “nãoA” corresponderá ao conjunto complementar de A.

Uma proposição A e sua negação “não A” terão sempre valores lógicos opostos.

Na tabela-verdade, apresentada a seguir, podemos observar os resultados da negação “não A”para cada um dos valores que A pode assumir.

A ~AVF

FV

Tautologia

Uma proposição composta formada pelas proposições A, B, C, ... é uma tautologia se ela forsempre verdadeira, independentemente dos valores lógicos das proposições A, B, C, ... que acompõem.

Exemplo:

A proposição “Se (A e B) então (A ou B)” é uma tautologia, pois é sempre verdadeira,independentemente dos valores lógicos de A e de B, como se pode observar na tabela-verdadeabaixo:

A B A e B A ou B (A e B) !!!! (A ou B)VVFF

VFVF

VFFF

VVVF

VVVV

Contradição

Uma proposição composta formada pelas proposições A, B, C, ... é uma contradição se elafor sempre falsa, independentemente dos valores lógicos das proposições A, B, C, ... que a compõem.

Exemplo:

A proposição “A se e somente se não A” é uma contradição, pois é sempre falsa, independentementedos valores lógicos de A e de não A, como se pode observar na tabela-verdade abaixo:

A

A

Contradição

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A ~A A "! ~AVF

FV

FF

O exemplo acima mostra que uma proposição qualquer e sua negação nunca poderão sersimultaneamente verdadeiros ou simultaneamente falsos.

Como uma tautologia é sempre verdadeira e uma contradição sempre falsa, tem-se que:

a negação de uma tautologia é sempre uma contradição

enquanto

a negação de uma contradição é sempre uma tautologia

Proposições Logicamente Equivalentes

Dizemos que duas proposições são logicamente equivalentes ou simplesmente equivalentesquando são compostas pelas mesmas proposições simples e suas tabelas-verdade sãoidênticas. Uma conseqüência prática da equivalência lógica é que ao trocar uma dada proposição porqualquer outra que lhe seja equivalente, estamos apenas mudando a maneira de dizê-la.

A equivalência lógica entre duas proposições, A e B, pode ser representada simbolicamentecomo:

⇔ ⇔ ⇔ ⇔ A

Da definição de equivalência lógica pode-se demonstrar as seguintes equivalências:

Leis associativas:

1. (A ∧ B) ∧ C ⇔ A ∧ (B ∧ C)2. (A ∨ B) ∨ C ⇔ A ∨ (B ∨ C)

Leis distributivas:

3. A ∧ (B ∨ C) ⇔ (A ∧ B) ∨ (A ∧ C)4. A ∨ (B ∧ C) ⇔ (A ∨ B) ∧ (A ∨ C)

Lei da dupla negação:

5. ~(~A) ⇔ A

Equivalências da Condicional

6. A ! B ⇔ ∼A ∨ B

7. A ! B ⇔ ∼B ! ~A

Negação de Proposições Compostas

Um problema de grande importância para a lógica é o da identificação de proposiçõesequivalentes à negação de uma proposição dada. Negar uma proposição simples é uma tarefa que nãooferece grandes obstáculos. Entretanto, podem surgir algumas dificuldades quando procuramosidentificar a negação de uma proposição composta.

Como vimos anteriormente, a negação de uma proposição deve Ter sempre valor lógico opostoao da proposição dada. Deste modo, sempre que uma proposição A for verdadeira, a sua negaçãonão A deve ser falsa e sempre que A for falsa, não A deve ser verdadeira.

Proposições Logicamente Equivalentes

Negação de Proposições Compostas

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Em outras palavras, a negação de uma proposição deve ser contraditória com a proposiçãodada.

A tabela abaixo mostra as equivalências mais comuns para as negações de algumasproposições compostas:

Proposição Negação direta Equivalente da Negação

A e B Não (A e B) Não A ou não B

A ou B Não (A ou B) Não A e não B

Se A então B Não (se A então B) A e não B

A se e Não (A se e [(A e não B) ou

somente se B somente se B) (B e não A)]

Todo A é B Não (todo A é B) Algum A não é B

Algum A é B Não (algum A é B) Nenhum A é B

Argumento

Denomina-se argumento a relação que associa um conjunto de proposições P1, P2, ... Pn,chamadas premissas do argumento, a uma proposição C a qual chamamos de conclusão doargumento.

No lugar dos termos premissa e conclusão podem ser usados os correspondentes hipótesee tese, respectivamente.

Os argumentos que têm somente duas premissas são denominados silogismos.

Assim, são exemplos de silogismos os seguintes argumentos:

I. P1: Todos os artistas são apaixonados.

P2: Todos os apaixonados gosta de flores.

C: Todos os artistas gostam de flores.

II. P1: Todos os apaixonados gosta de flores.

P2: Míriam gosta de flores.

C: Míriam é uma apaixonada.

Dizemos que um argumento é válido ou ainda que ele é legítimo ou bem construído quandoa sua conclusão é uma conseqüência obrigatória do seu conjunto de premissas. Posto de outraforma: quando um argumento é válido, a verdade das premissas deve garantir a verdade da conclusãodo argumento. Isto significa que jamais poderemos chegar a uma conclusão falsa quando as premissasforem verdadeiras e o argumento for válido.

É importante observar que ao discutir a validade de um argumento é irrelevante o valor deverdade de cada uma das premissas. Em Lógica, o estudo dos argumentos não leva em conta averdade ou falsidade das proposições que compõem os argumentos, mas tão-somente a validadedestes.

Exemplo:

O silogismo:

“Todos os pardais adoram jogar xadrez.Nenhum enxadrista gosta de óperas.Portanto, nenhum pardal gosta de óperas.”

Argumento

Argumento Válido

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está perfeitamente bem construído (veja o diagrama abaixo), sendo, portanto, um argumento válido,muito embora a verdade das premissas seja questionável.

Op = Conjunto dos que gostam de óperas

X = Conjunto dos que adoram jogar xadrez

P = Conjunto dos pardais

Pelo diagrama pode-se perceber que nenhum elemento do conjunto P (pardais) pode pertencerao conjunto Op (os que gostam de óperas).

Argumento Inválido

Dizemos que um argumento é inválido, também denominado ilegítimo, mal construído oufalacioso, quando a verdade das premisssas não é suficiente para garantir a verdade da conclusão.

Exemplo:

O silogismo:

“Todos ps alunos do curso passaram.Maria não é aluna do curso.Portanto, Maria não passou.”

é um argumento inválido, falacioso, mal construído, pois as premissas não garantem (não obrigam) averdade da conclusão (veja o diagrama abaixo). Maria pode Ter passado mesmo sem ser aluna docurso, pois a primeira premissa não afirmou que somente os alunos do curso haviam passado.

P = Conjunto das pessoas que passaram.

C = Conjunto dos alunos do curso.

Na tabela abaixo, podemos ver um resumo das situações possíveis para um argumento:

Op X

P

P

C

mAqui, Maria não é do curso, mas passou.

m

Aqui, Maria não passou.

Argumento Inválido

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Quando um argumento é ... E as premissas... Então a conclusão será:

são todas verdadeiras Necessariamente VerdadeiraVálido

(bem construído) não são todas verdadeiras ou Verdadeira ou Falsa

são todas verdadeiras ou Verdadeira ou FalsaInválido

(mal construído) não são todas verdadeiras ou Verdadeira ou Falsa

EXERCÍCIOS

1. Represente com diagramas de conjuntos:a) algum A é B;b) algum A não é B;c) todo A é B;d) se A, então B;e) nenhum A é B.

2. Considere as sentenças abaixo:I. 3 + 1 = 4 e 2 + 3 = 5II. 6 > 2 e 7 < 3III. 2 = 3 e 5 < 0

a) todas são falsas;b) I e II são falsas;c) somente III é falsa;d) somente I é verdadeira;e) I e II são verdadeiras.

3. Considere as sentenças abaixo:I. 5 + 1 = 6 ou 4 – 4 = 0II. 2 + 2 = 5 ou 7 > 2III. 3 = 5 ou 8 < 6

a) somente I é verdadeira;b) somente III é falsa;c) todas são verdadeiras;d) todas são falsas;e) I e III são falsas.

4. Considere as proposições abaixo:I. 3 + 4 = 7 ou 2 + 2 = 4II. 8 < 4 e 6 > 3III. 6 < 0 ou 3 = 4

Assinale a única alternativa correta:a) todas as proposições são falsas;b) somente III é falsa;c) somente II é falsa;d) I e II são falsas;e) I é falsa ou II é falsa.

5. Assinale a única sentença falsa.a) Se 2 é par, então 3 é ímpar.b) Se 5 é inteiro, então 3 é menor que 5.c) Se 8 é ímpar, então 7 é maior que 3.d) Se 13 é par, então 2 é ímpar.e) Se 10 é par, então 6 é maior que 20.

6. A negação de "todos os homens são bons motoristas” é:a) todas as mulheres são boas motoristas;b) algumas mulheres são boas motoristas;c) nenhum homem é bom motorista;

EXERCÍCIOS

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d) todos os homens são maus motoristas;e) ao menos um homem é mau motorista.

7. Assinale a assertiva incorreta.a) A negação de "2 é par e 3 é ímpar" é "2 não é par ou 3 não é ímpar".b) A negação de "5 é primo ou 7 é par" é "5 não é primo e 7 não é par".c) A negação de 2 ≥ 5 é 2 ≤ 5.d) A negação de "existe um número primo par" é "qualquer número primo não é par".e) A negação de "nenhum número é inteiro" é "algum número é inteiro".

8. Dê uma negação para cada uma das proposições abaixo.a) O tempo será frio e chuvoso.b) Ela estudou muito ou teve sorte na prova.c) Maria não é morena ou Regina é baixa.d) Se o tempo está chuvoso então está frio.e) Todos os corvos são negros.f) Nenhum triângulo é retângulo.g) Alguns sapos são bonitos.h) Algumas vidas não são importantes.

9. Assinale a alternativa que contém um argumento válido.a) Alguns atletas jogam xadrez.

Todos os intelectuais jogam xadrez.Conclusão: Alguns atletas são intelectuais.

b) Todos os estudantes gostam de Lógica.Nenhum artista é um estudante.Conclusão: Ninguém que goste de Lógica é um artista.

c) Se estudasse tudo, eu passaria.Eu não passei.Conclusão: Eu não estudei tudo.

d) Se estudasse tudo, eu passaria.Eu não estudei tudo.Conclusão: Eu não passei.

10. Considere as premissas:P1. Os bebês são ilógicos.P2. Pessoas ilógicas são desprezadas.P3. Quem sabe amestrar um crocodilo não é desprezado.

Assinale a única alternativa que é uma conseqüência lógica das três premissas apresentadas.a) Bebês não sabem amestrar crocodilos.b) Pessoas desprezadas são ilógicas.c) Pessoas desprezadas não sabem amestrar crocodilos.d) Pessoas ilógicas não sabem amestrar crocodilos.e) Bebês são desprezados.

Considere as informações do texto abaixo para responder às questões 11 e 12:

Os sobrenomes de Ana, Beatriz e Carla são, respectivamente, Arantes, Braga e Castro, mas nãonecessariamente nesta ordem. A de sobrenome Braga, que não é Ana, é mais velha que Carla e a desobrenome Castro é a mais velha das três.

11. Os sobrenomes de Ana, Beatriz e Carla são, respectivamente:a) Arantes, Braga e Castro;b) Arantes, Castro e Braga;c) Castro, Arantes e Braga;d) Castro, Braga e Arantes;e) Braga, Arantes e Castro.

12. Nomeando-as em ordem crescente de idade, teremos:

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a) Ana, Beatriz e Carla;b) Carla, Ana e Beatriz;c) Beatriz, Carla e Ana;d) Ana, Carla e Beatriz;e) Carla, Beatriz e Ana.

13. Três rivais, Ana, Bia e Cláudia, trocam acusações:A Bia mente - diz Ana.A Cláudia mente - Bia diz.Ana e Bia mentem - diz Cláudia.

Com base nestas três afirmações, pode-se concluir que:a) apenas Ana mente;b) apenas Cláudia mente;c) apenas Bia mente;d) Ana e Cláudia mentem;e) Ana e Bia mentem.

Considere a situação descrita abaixo para resolver as questões de números 14, 15 e 16.

Ao ver o estrago na sala, mamãe pergunta zangada:Quem quebrou o vaso da vovó?Não fui eu - disse André.Foi o Carlinhos - disse Bruna.Não fui eu não, foi a Duda - falou Carlinhos.A Bruna está mentindo! - falou Duda.

14. Sabendo que somente uma das crianças mentiu, pode-se concluir que:a) André mentiu e foi ele quem quebrou o vaso;b) Bruna mentiu e Duda quebrou o vaso;c) Carlinhos mentiu e foi ele quem quebrou o vaso;d) Duda mentiu e Carlinhos quebrou o vaso;e) Bruna mentiu e foi ela quem quebrou o vaso.

15. Sabendo que somente uma das crianças disse a verdade, pode-se concluir que:a) André falou a verdade e Carlinhos quebrou o vaso;b) Bruna falou a verdade e Carlinhos quebrou o vaso;c) Duda falou a verdade e André quebrou o vaso;d) Carlinhos falou a verdade e Duda quebrou o vaso;e) Duda falou a verdade e foi ela quem quebrou o vaso.

16. Sabendo que somente duas crianças mentiram, podese concluir que:a) Carlinhos mentiu e André não quebrou o vaso;b) André mentiu e foi ele quem quebrou o vaso;c) Bruna mentiu e foi ela quem quebrou o vaso;d) quem quebrou o vaso foi Bruna ou André;e) Duda mentiu e Carlinhos quebrou o vaso.

17. Vovó Marina procura saber quem comeu o bolo que havia guardado para o lanche da tarde.Julinho diz: 1) Não fui eu. 2) Eu nem sabia que havia um bolo. 3) Foi o Maurício.Maurício diz: 4) Não fui eu. 5) O Julinho mente quando diz que fui eu. 6) Foi o tio Rogério.Rogério diz: 7) Não fui eu. 8) Eu estava lá em baixo consertando a minha bicicleta. 9) Foi o Zezinho.Zezinho diz: 10) Não fui eu. 11) Eu nem estava com fome. 12) Não foi o Luiz Antônio.Luiz Antônio diz: 13) Não fui eu. 14) Eu estava com o Rogério na praia. 15) Foi o Maurício.

Vovó Marina, que não é boba, percebe que cada um deles mentiu sobre uma única das afirmações quefez e encontrou o comilão. Quem comeu o bolo?a) Julinho.b) Maurício.c) Rogério.d) Zezinho.e) Luiz Antônio.

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18. Resolvi presentear a cada um dos meus colegas com uma pasta para papéis. Então entreguei a decor branca ao Jonofon, a cinza ao Márcio Lima, e a preta ao Roberto Vasconcelos e disse:"Nenhum de vocês recebeu a sua própria pasta. Para auxiliá-los dou-lhes ainda três informações, massó uma delas é correta:A do Jonofon não é a preta;A do Márcio não é a branca;A do Roberto é a cinza.”

Depois de alguns segundos de silêncio, quase que simultaneamente, todos disseram as cores corretasde suas próprias pastas. Riram-se e trocaram suas pastas.

As cores das pastas de Jonofon, Márcio e Roberto são, respectivamente:a) cinza, branca e preta;b) preta, branca e cinza;c) branca, preta e cinza;d) cinza, preta e branca;e) preta, cinza e branca.

19. Num país há apenas dois tipos de habitantes: os verds, que sempre dizem a verdade e os falcs,que sempre mentem. Um professor de Lógica, recém chegado a este país, é informado por um nativoque glup e plug, na língua local, significam sim e não mas o professor não sabe se o nativo que oinformou é verd ou falc. Então ele se aproxima de três outros nativos que estavam conversando juntose faz a cada um deles duas perguntas:

1ª Os outros dois são verds?2ª Os outros dois são falcs?

A primeira pergunta é respondida com glup pelos três mas à segunda pergunta os dois primeirosresponderam glup e o terceiro respondeu plug.

Assim, o professor pode concluir que:a) todos são verds;b) todos são falcs;c) somente um dos três últimos é falc e glup significa não;d) somente um dos três últimos é verd e glup significa sim;e) há dois verds e glup significa sim.

20. Mamãe Nírian quer saber de Nathalie, Sophia e Bruna quem terminou de almoçar primeiro. Umadelas diz: Eu terminei primeiro. A Bruna terminou depois de mim. Uma outra fala em seguida: Eu é queterminei primeiro. A Nathalie foi a segunda. Cada uma das meninas mentiu sobre uma única dasdeclarações que fez e nenhuma delas falou de si mesma duas vezes. Então é certo que:a) a primeira a falar foi Nathalie, que terminou primeiro o seu almoço.b) quem terminou primeiro foi Sophia, que foi a segunda a falar.c) Bruna foi a primeira a falar e a última a terminar o almoço.d) Sophia não falou e foi a primeira a terminar o almoço.e) Bruna não falou e foi a última a terminar o almoço.

21. Quatro carros estão parados ao longo do meio fio, um atrás do outro:Um fusca atrás de outro fusca.Um carro branco na frente de um carro prata.Um uno na frente de um fusca.Um carro prata atrás de um carro preto.Um carro prata na frente de um carro preto.Um uno atrás de um fusca.

Do primeiro (na frente) ao quarto carro (atrás) temos então:a) uno branco, fusca preto, fusca prata e uno prata;b) uno preto, fusca prata, fusca preto e uno branco;c) uno branco, fusca prata, fusca preto e uno prata;d) uno prata, fusca preto, fusca branco e uno preto;e) uno branco, fusca prata, uno preto e fusca prata.

22. Nathalie pede a suas três irmãs que sentem-se no sofá da sala para tirar uma foto. Do ponto devista da fotógrafa, tem-se que: a de vestido vermelho senta-se à esquerda da de blusa branca, mas

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não necessariamente a seu lado; Bruna senta-se à direita de Míriam; Sophia senta-se à esquerda daque veste um conjuntinho azul e esta, à esquerda da que está de blusa branca.

Na foto, que ficou linda, podemos ver:a) Míriam vestindo uma blusa branca;b) Sophia de conjuntinho azul;c) Bruna de vestido vermelho;d) Míriam sentada entre Sophia e Bruna;e) Sophia à direita das outras duas.

23. Ramirez aprontou uma baita confusão: trocou as caixas de giz e as papeletas de aulas dosprofessores Júlio, Márcio e Roberto. Cada um deles ficou com a caixa de giz de um segundo e com apapeleta de aulas de um terceiro. O que ficou com a caixa de giz do professor Márcio está com apapeleta de aulas do professor Júlio. Portanto:a) quem está com a papeleta de aulas do Roberto é o Márcio;b) quem está com a caixa de giz do Márcio é o Júlio;c) quem está com a papeleta de aulas do Márcio é o Roberto;d) quem está com a caixa de giz do Júlio é o Roberto;e) o que ficou com a caixa de giz do Júlio está com a papeleta de aulas do Márcio.

GABARITO

1. Item a:

Item b:

Para os itens c e d:

A B

A B

B

A

GABARITO

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Para o item e:

2. d 3. b 4. e 5. e 6. e 7. c8. a) O tempo não será frio ou não será chuvoso.

b) Ela não estudou muito e não teve sorte na prova.c) Maria é morena e Regina não é baixa.d) O tempo está chuvoso e não está frio.e) Algum corvo não é negro.f) Algum corvo não é negro.g) Nenhum sapo é bonito.h) Todas as vidas são importantes.

9. c 10. a 11. d 12. e 13. d14. b 15. c 16. a 17. d 18. b19. c 20. d 21. c 22.d 23. a

A B

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LÓGICA DE ARGUMENTAÇÃO

1. Introdução

Desde suas origens na Grécia Antiga, especialmente de Aristóteles (384-322 a.C.) em diante, alógica tornou-se um dos campos mais férteis do pensamento humano, particularmente da filosofia. Emsua longa história e nas múltiplas modalidades em que se desenvolveu, sempre foi bem claro seuobjetivo: fornecer subsídios para a produção de um bom raciocínio.

Por raciocínio, entende-se tanto uma atividade mental quanto o produto dessa atividade. Esse,por sua vez, pode ser analisado sob muitos ângulos: o psicólogo poderá estudar o papel das emoçõessobre um determinado raciocínio; o sociólogo considerará as influências do meio; o criminólogo levaráem conta as circunstâncias que o favoreceram na prática de um ato criminoso etc. Apesar de todasestas possibilidades, o raciocínio é estudado de modo muito especial no âmbito da lógica. Para ela,pouco importam os contextos psicológico, econômico, político, religioso, ideológico, jurídico ou dequalquer outra esfera que constituam o “ambiente do raciocínio”.

Ao lógico, não interessa se o raciocínio teve esta ou aquela motivação, se respeita ou não amoral social, se teve influências das emoções ou não, se está de acordo com uma doutrina religiosa ounão, se foi produzido por uma pessoa embriagada ou sóbria. Ele considera a sua forma. Ao considerara forma, ele investiga a coerência do raciocínio, as relações entre as premissas e a conclusão, emsuma, sua obediência a algumas regras apropriadas ao modo como foi formulado etc.

Apenas a título de ilustração, seguem-se algumas definições e outras referências à lógica:

“A arte que dirige o próprio ato da razão, ou seja, nos permite chegar com ordem, facilmente e semerro, ao próprio ato da razão – o raciocínio” (Jacques Maritain).

“A lógica é o estudo dos métodos e princípios usados para distinguir o raciocínio correto do incorreto”(Irving Copi).

“A lógica investiga o pensamento não como ele é, mas como deve ser” (Edmundo D. Nascimento).

“A princípio, a lógica não tem compromissos. No entanto, sua história demonstra o poder que a mesmapossui quando bem dominada e dirigida a um propósito determinado, como o fizeram os sofistas, aescolástica, o pensamento científico ocidental e, mais recentemente, a informática” (Bastos; Keller).

1.1. Lógica formal e Lógica material

Desde Aristóteles, seu primeiro grande organizador, os estudos da lógica orientaram-se emduas direções principais: a da lógica formal, também chamada de “lógica menor” e a da lógica material,também conhecida como “lógica maior”.

A lógica formal preocupa-se com a correção formal do pensamento. Para esse campo deestudos da lógica, o conteúdo ou a matéria do raciocínio tem uma importância relativa. A preocupaçãosempre será com a sua forma. A forma é respeitada quando se preenchem as exigências de coerênciainterna, mesmo que as conclusões possam ser absurdas do ponto de vista material (conteúdo). Nemsempre um raciocínio formalmente correto corresponde àquilo que chamamos de realidade dos fatos.No entanto, o erro não está no seu aspecto formal e, sim, na sua matéria. Por exemplo, partindo daspremissas que

(1) todos os brasileiros são europeus

e que

(2) Pedro é brasileiro,

formalmente, chegar-se-á à conclusão lógica que

(3) Pedro é europeu.

Materialmente, este é um raciocínio falso porque a experiência nos diz que a premissa é falsa.No entanto, formalmente, é um raciocínio válido, porque a conclusão é adequada às premissas. Énesse sentido que se costuma dizer que o computador é falho, já que, na maioria dos casos, processaformalmente informações nele previamente inseridas, mas não tem a capacidade de verificar o valorempírico de tais informações.

Já, a lógica material preocupa-se com a aplicação das operações do pensamento à realidade,de acordo com a natureza ou matéria do objeto em questão. Nesse caso, interessa que o raciocínionão só seja formalmente correto, mas que também respeite a matéria, ou seja, que o seu conteúdocorresponda à natureza do objeto a que se refere. Neste caso, trata-se da correspondência entrepensamento e realidade.

1. Introdução

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Assim sendo, do ponto de vista lógico, costuma-se falar de dois tipos de verdade: a verdadeformal e a verdade material. A verdade formal diz respeito, somente e tão-somente, à forma dodiscurso; já a verdade material tem a ver com a forma do discurso e as suas relações com a matéria ouo conteúdo do próprio discurso. Se houver coerência, no primeiro caso, e coerência e correspondência,no segundo, tem-se a verdade.

Em seu conjunto, a lógica investiga as regras adequadas à produção de um raciocínio válido,por meio do qual visa-se à consecução da verdade, seja ela formal ou material. Relacionando a lógicacom a prática, pode-se dizer que é importante que se obtenha não somente uma verdade formal, mas,também, uma verdade que corresponda à experiência. Que seja, portanto, materialmente válida. Aconexão entre os princípios formais da lógica e o conteúdo de seus raciocínios pode ser denominadade “lógica informal”. Trata-se de uma lógica aplicada ao plano existencial, à vida quotidiana.

1.2. Raciocínio e Argumentação

Três são as principais operações do intelecto humano: a simples apreensão, os juízos e oraciocínio.

A simples apreensão consiste na captação direta (através dos sentidos, da intuição racional,da imaginação etc) de uma realidade sobre a qual forma-se uma idéia ou conceito (p. ex., de um objetomaterial, ideal, sobrenatural etc) que, por sua vez, recebe uma denominação (as palavras ou termos, p.ex.: “mesa”, “três” e “arcanjo”).

O juízo é ato pelo qual os conceitos ou idéias são ligadas ou separadas dando origem àemissão de um “julgamento” (falso ou verdadeiro) sobre a realidade, mediante proposições orais ouescritas. Por exemplo: “Há três arcanjos sobre a mesa da sala”

O raciocínio, por fim, consiste no “arranjo” intelectual dos juízos ou proposições, ordenandoadequadamente os conteúdos da consciência. No raciocínio, parte-se de premissas para se chegar aconclusões que devem ser adequadas. Procedendo dessa forma, adquirem-se conhecimentos novos edefende-se ou aprofunda-se o que já se conhece. Para tanto, a cada passo, é preciso preencher osrequisitos da coerência e do rigor. Por exemplo: “Se os três arcanjos estão sobre a mesa da sala, nãoestão sobre a mesa da varanda”

Quando os raciocínios são organizados com técnica e arte e expostos de forma tal a convencera platéia, o leitor ou qualquer interlocutor tem-se a argumentação. Assim, a atividade argumentativaenvolve o interesse da persuasão. Argumentar é o núcleo principal da retórica, considerada a arte deconvencer mediante o discurso.

Partindo do pressuposto de que as pessoas pensam aquilo que querem, de acordo com ascircunstâncias da vida e as decisões pessoais (subjetividade), um argumento conseguirá atingir maisfacilmente a meta da persuasão caso as idéias propostas se assentem em boas razões, capazes demexer com as convicções daquele a quem se tenta convencer. Muitas vezes, julga-se que estão sendousadas como bom argumento opiniões que, na verdade, não passam de preconceitos pessoais, demodismos, de egoísmo ou de outras formas de desconhecimento. Mesmo assim, a habilidade noargumentar, associada à desatenção ou à ignorância de quem ouve, acaba, muitas vezes, por lograr apersuasão.

Pode-se, então, falar de dois tipos de argumentação: boa ou má, consistente/sólida ouinconsistente/frágil, lógica ou ilógica, coerente ou incoerente, válida ou não-válida, fraca ou forte etc.De qualquer modo, argumentar não implica, necessariamente, manter-se num plano distante daexistência humana, desprezando sentimentos e motivações pessoais. Pode-se argumentar bem sem,necessariamente, descartar as emoções, como no caso de convencer o aluno a se esforçar nosestudos diante da perspectiva de férias mais tranqüilas. Enfim, argumentar corretamente (sem armarciladas para o interlocutor) é apresentar boas razões para o debate, sustentar adequadamente umdiálogo, promovendo a dinamização do pensamento. Tudo isso pressupõe um clima democrático.

1.3. Inferência Lógica

Cabe à lógica a tarefa de indicar os caminhos para um raciocínio válido, visando à verdade.Contudo, só faz sentido falar de verdade ou falsidade quando entram em jogo asserções nas quais sedeclara algo, emitindo-se um juízo de realidade. Existem, então, dois tipos de frases: as assertivas e asnão assertivas, que também podem ser chamadas de proposições ou juízos.

Nas frases assertivas afirma-se algo, como nos exemplos: “a raiz quadrada de 9 é 3” ou “o solbrilha à noite”. Já, nas frases não assertivas, não entram em jogo o falso e o verdadeiro, e, por isso,elas não têm “valor de verdade”. É o caso das interrogações ou das frases que expressam estados

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emocionais difusos, valores vivenciados subjetivamente ou ordens. A frase “toque a bola”, por exemplo,não é falsa nem verdadeira, por não se tratar de uma asserção (juízo).

As frases declaratórias ou assertivas podem ser combinadas de modo a levarem a conclusõesconseqüentes, constituindo raciocínios válidos. Veja-se o exemplo:

(1) Não há crime sem uma lei que o defina;

(2) não há uma lei que defina matar ET’s como crime;

(3) logo, não é crime matar ET’s.

Ao serem ligadas estas assertivas, na mente do interlocutor, vão sendo criadas as condiçõeslógicas adequadas à conclusão do raciocínio. Esse processo, que muitas vezes permite que aconclusão seja antecipada sem que ainda sejam emitidas todas as proposições do raciocínio, chama-se inferência. O ponto de partida de um raciocínio (as premissas) deve levar a conclusões óbvias.

1.4. Termo e Conceito

Para que a validade de um raciocínio seja preservada, é fundamental que se respeite umaexigência básica: as palavras empregadas na sua construção não podem sofrer modificações designificado. Observe-se o exemplo:

Os jaguares são quadrúpedes;

Meu carro é um Jaguar

logo, meu carro é um quadrúpede.

O termo “jaguar” sofreu uma alteração de significado ao longo do raciocínio, por isso, não temvalidade.

Quando pensamos e comunicamos os nossos pensamentos aos outros, empregamos palavrastais como “animal”, “lei”, “mulher rica”, “crime”, “cadeira”, “furto” etc. Do ponto de vista da lógica, taispalavras são classificadas como termos, que são palavras acompanhadas de conceitos. Assim sendo,o termo é o signo lingüístico, falado ou escrito, referido a um conceito, que é o ato mentalcorrespondente ao signo.

Desse modo, quando se emprega, por exemplo, o termo “mulher rica”, tende-se a pensar noconjunto das mulheres às quais se aplica esse conceito, procurando apreender uma nota característicacomum a todos os elementos do conjunto, de acordo com a ‘intencionalidade’ presente no ato mental.Como resultado, a expressão “mulher rica” pode ser tratada como dois termos: pode ser uma pessoado sexo feminino cujos bens materiais ou financeiros estão acima da média ou aquela cuja trajetóriaexistencial destaca-se pela bondade, virtude, afetividade e equilíbrio.

Para que não se obstrua a coerência do raciocínio, é preciso que fique bem claro, em funçãodo contexto ou de uma manifestação de quem emite o juízo, o significado dos termos empregados nodiscurso.

1.5. Princípios lógicos

Existem alguns princípios tidos como conditio sine qua non para que a coerência do raciocínio,em absoluto, possa ocorrer. Podem ser entendidos como princípios que se referem tanto à realidadedas coisas (plano ontológico), quanto ao pensamento (plano lógico), ou seja, se as coisas em geraldevem respeitar tais princípios, assim também o pensamento deve respeitá-los. São eles:

a) Princípio da identidade, pelo qual se delimita a realidade de um ser. Trata-se de conceituarlogicamente qual é a identidade de algo a que se está fazendo referência. Uma vez conceituada umacerta coisa, seu conceito deve manter-se ao longo do raciocínio. Por exemplo, se estou falando de umhomem chamado Pedro, não posso estar me referindo a Antônio.

b) Princípio da não-contradição. Se algo é aquilo que é, não pode ser outra coisa, sob o mesmoaspecto e ao mesmo tempo. Por exemplo, se o brasileiro João está doente agora, não está são, aindaque, daqui a pouco possa vir a curar-se, embora, enquanto João, ele seja brasileiro, doente ou são;

c) Princípio da exclusão do terceiro termo. Entre o falso e o verdadeiro não há meio termo, ou éfalso ou é verdadeiro. Ou está chovendo ou não está, não é possível um terceiro termo: está meiochovendo ou coisa parecida.

A lógica clássica e a lógica matemática aceitam os três princípios como suas pedras angulares,no entanto, mais recentemente, Lukasiewicz e outros pensadores desenvolveram sistemas lógicos semo princípio do terceiro excluído, admitindo valor lógico não somente ao falso e ao verdadeiro, comotambém ao indeterminado

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Conforme vimos, a argumentação é o modo como é exposto um raciocínio, na tentativa deconvencer alguém de alguma coisa. Quem argumenta, por sua vez, pode fazer uso de diversos tiposde raciocínio. Às vezes, são empregados raciocínios aceitáveis do ponto de vista lógico, já, em outrasocasiões, pode-se apelar para raciocínios fracos ou inválidos sob o mesmo ponto de vista. É bastantecomum que raciocínios desse tipo sejam usados para convencer e logrem o efeito desejado,explorando a incapacidade momentânea ou persistente de quem está sendo persuadido de avaliar ovalor lógico do raciocínio empregado na argumentação.

Um bom raciocínio, capaz de resistir a críticas, precisa ser dotado de duas característicasfundamentais: ter premissas aceitáveis e ser desenvolvido conforme as normas apropriadas.

Dos raciocínios mais empregados na argumentação, merecem ser citados a analogia, aindução e a dedução. Dos três, o primeiro é o menos preciso, ainda que um meio bastante poderoso deconvencimento, sendo bastante usado pela filosofia, pelo senso comum e, particularmente, nosdiscursos jurídico e religioso; o segundo é amplamente empregado pela ciência e, também, pelo sensocomum e, por fim, a dedução é tida por alguns como o único raciocínio autenticamente lógico, por isso,o verdadeiro objeto da lógica formal.

A maior ou menor valorização de um ou de outro tipo de raciocínio dependerá do objeto a quese aplica, do modo como é desenvolvido ou, ainda, da perspectiva adotada na abordagem da naturezae do alcance do conhecimento.

Às vezes, um determinado tipo de raciocínio não é adequadamente empregado. Vejam-se osseguintes exemplos: o médico alemão Ludwig Büchner (1824-1899) apresentou como argumentocontra a existência da alma o fato de esta nunca ter sido encontrada nas diversas dissecações docorpo humano; o astronauta russo Gagarin (1934-1968) afirmou que Deus não existe pois “esteve láem cima” e não o encontrou. Nesses exemplos fica bem claro que o raciocínio indutivo, baseado naobservação empírica, não é o mais adequado para os objetos em questão, já que a alma e Deus sãode ordem metafísica, não física.

2.1. Raciocínio analógico

Se raciocinar é passar do desconhecido ao conhecido, é partir do que se sabe em direçãoàquilo que não se sabe, a analogia (aná = segundo, de acordo + lógon = razão) é um dos caminhosmais comuns para que isso aconteça. No raciocínio analógico, compara-se uma situação já conhecidacom uma situação desconhecida ou parcialmente conhecida, aplicando a elas as informaçõespreviamente obtidas quando da vivência direta ou indireta da situação-referência.

Normalmente, aquilo que é familiar é usado como ponto de apoio na formação doconhecimento, por isso, a analogia é um dos meios mais comuns de inferência. Se, por um lado, éfonte de conhecimentos do dia-a-dia, por outro, também tem servido de inspiração para muitos gêniosdas ciências e das artes, como nos casos de Arquimedes na banheira (lei do empuxo), de Galileu nacatedral de Pisa (lei do pêndulo) ou de Newton sob a macieira (lei da gravitação universal). No entanto,também é uma forma de raciocínio em que se cometem muitos erros. Tal acontece porque é difícilestabelecer-lhe regras rígidas. A distância entre a genialidade e a falha grosseira é muito pequena. Nocaso dos raciocínios analógicos, não se trata propriamente de considerá-los válidos ou não-válidos,mas de verificar se são fracos ou fortes. Segundo Copi, deles somente se exige “que tenham algumaprobabilidade” (Introdução à lógica, p. 314).

A força de uma analogia depende, basicamente, de três aspectos:

a) os elementos comparados devem ser verdadeiros e importantes;

b) o número de elementos semelhantes entre uma situação e outra deve ser significativo;

c) não devem existir divergências marcantes na comparação.

2. Argumentação e Tipos de Raciocínio

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No raciocínio analógico, comparam-se duas situações, casos, objetos etc. semelhantes e tiram-se as conclusões adequadas. Na ilustração, tal como a carroça, o carro a motor é um meio detransporte que necessita de um condutor. Este, tanto num caso quanto no outro, precisa ser dotado debom senso e de boa técnica para desempenhar adequadamente seu papel.

Aplicação das regras acima a exemplos:

a) Os elementos comparados devem ser verdadeiros e relevantes, não imaginários ou insignificantes.tc"a) Os elementos comparados devem ser verdadeiros e relevantes, não imaginários ou insignificantes."

Analogia forte - Ana Maria sempre teve bom gosto ao comprar suas roupas, logo, terá bomgosto ao comprar as roupas de sua filha.

Analogia fraca - João usa terno, sapato de cromo e perfume francês e é um bom advogado;Antônio usa terno, sapato de cromo e perfume francês; logo, deve ser um bom advogado.

b) O número de aspectos semelhantes entre uma situação e outra deve ser significativo.tc "b) Onúmero de aspectos semelhantes entre uma situação e outra deve ser significativo."

Analogia forte - A Terra é um planeta com atmosfera, com clima ameno e tem água; emMarte, tal como na Terra, houve atmosfera, clima ameno e água; na Terra existe vida, logo, tal como naTerra, em Marte deve ter havido algum tipo de vida.

Analogia fraca - T. Edison dormia entre 3 e 4 horas por noite e foi um gênio inventor; eudormirei durante 3 1/2 horas por noite e, por isso, também serei um gênio inventor.

c) Não devem existir divergências marcantes na comparação.tc "c) Não devem existir divergênciasmarcantes na comparação.."

Analogia forte - A pescaria em rios não é proveitosa por ocasião de tormentas e tempestades;a pescaria marinha não está tendo sucesso porque troveja muito.

Analogia fraca - Os operários suíços que recebem o salário mínimo vivem bem; a maioria dosoperários brasileiros, tal como os operários suíços, também recebe um salário mínimo; logo, a maioriados operários brasileiros também vive bem, como os suíços.

Pode-se notar que, no caso da analogia, não basta considerar a forma de raciocínio, é muitoimportante que se avalie o seu conteúdo. Por isso, esse tipo de raciocínio não é admitido pela lógicaformal. Se as premissas forem verdadeiras, a conclusão não o será necessariamente, maspossivelmente, isto caso cumpram-se as exigências acima.

Tal ocorre porque, apesar de existir uma estrutura geral do raciocínio analógico, não existemregras claras e precisas que, uma vez observadas, levariam a uma conclusão necessariamente válida.

O esquema básico do raciocínio analógico é:

A é N, L, Y, X;

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B, tal como A, é N, L, Y, X;

A é, também, Z

logo, B, tal como A, é também Z.

Se, do ponto de vista da lógica formal, o raciocínio analógico é precário, ele é muito importantena formulação de hipóteses científicas e de teses jurídicas ou filosóficas. Contudo, as hipótesescientíficas oriundas de um raciocínio analógico necessitam de uma avaliação posterior, medianteprocedimentos indutivos ou dedutivos.

Observe-se o seguinte exemplo: John Holland, físico e professor de ciência da computação daUniversidade de Michigan, lançou a hipótese (1995) de se verificar, no campo da computação, umasituação semelhante à que ocorre no da genética. Assim como na natureza espécies diferentes podemser cruzadas para obter o chamado melhoramento genético - um indivíduo mais adaptado ao ambiente-, na informática, também o cruzamento de programas pode contribuir para montar um programa maisadequado para resolver um determinado problema. “Se quisermos obter uma rosa mais bonita eperfumada, teremos que cruzar duas espécies: uma com forte perfume e outra que seja bela” dizHolland. “Para resolver um problema, fazemos o mesmo. Pegamos um programa que dê conta de umaparte do problema e cruzamos com outro programa que solucione outra parte. Entre as várias soluçõespossíveis, selecionam-se aquelas que parecem mais adequadas. Esse processo se repete por váriasgerações - sempre selecionando o melhor programa - até obter o descendente que mais se adapta àquestão. É, portanto, semelhante ao processo de seleção natural, em que só sobrevivem os maisaptos”. (Entrevista ao JB, 19/10/95, 1º cad., p. 12).

Nesse exemplo, fica bem clara a necessidade da averiguação indutiva das conclusõesextraídas desse tipo de raciocínio para, só depois, serem confirmadas ou não.

2.2. Raciocínio Indutivo - do particular ao geral

Ainda que alguns autores considerem a analogia como uma variação do raciocínio indutivo,esse último tem uma base mais ampla de sustentação. A indução consiste em partir de uma série decasos particulares e chegar a uma conclusão de cunho geral. Nele, está pressuposta a possibilidade dacoleta de dados ou da observação de muitos fatos e, na maioria dos casos, também da verificaçãoexperimental. Como dificilmente são investigados todos os casos possíveis, acaba-se aplicando oprincípio das probabilidades.

Assim sendo, as verdades do raciocínio indutivo dependem das probabilidades sugeridas pelonúmero de casos observados e pelas evidências fornecidas por estes. A enumeração de casos deveser realizada com rigor e a conexão entre estes deve ser feita com critérios rigorosos para que sejamindicadores da validade das generalizações contidas nas conclusões.

O esquema principal do raciocínio indutivo é o seguinte:

B é A e é X;

C é A e também é X;

D é A e também é X;

E é A e também é X;

logo, todos os A são X

No raciocínio indutivo, da observação de muitos casos particulares, chega-se a uma conclusão de cunho geral.

Aplicando o modelo:

A jararaca é uma cobra e não voa;

A caninana é uma cobra e também não voa;

A urutu é uma cobra e também não voa;

A cascavel é uma cobra e também não voa;

logo, as cobras não voam.

Contudo,

Ao sair de casa, João viu um gato preto e, logo a seguir, caiu e quebrou o braço. Maria viu o mesmogato e, alguns minutos depois, foi assaltada. Antonio também viu o mesmo gato e, ao sair doestacionamento, bateu com o carro. Logo, ver um gato preto traz azar.

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Os exemplos acima sugerem, sob o ponto de vista do valor lógico, dois tipos de indução: aindução fraca e a indução forte. É forte quando não há boas probabilidades de que um caso particulardiscorde da generalização obtida das premissas: a conclusão “nenhuma cobra voa” tem grandeprobalidade de ser válida. Já, no caso do “gato preto”, não parece haver sustentabilidade da conclusão,por se tratar de mera coincidência, tratando-se de uma indução fraca. Além disso, há casos em queuma simples análise das premissas é suficiente para detectar a sua fraqueza.

Vejam-se os exemplos das conclusões que pretendem ser aplicadas ao comportamento datotalidade dos membros de um grupo ou de uma classe tendo como modelo o comportamento dealguns de seus componentes:

1. Adriana é mulher e dirige mal;

Ana Maria é mulher e dirige mal;

Mônica é mulher e dirige mal;

Carla é mulher e dirige mal;

logo, todas as mulheres dirigem mal.

2. Antônio Carlos é político e é corrupto;

Fernando é político e é corrupto;

Paulo é político e é corrupto;

Estevão é político e é corrupto;

logo, todos os políticos são corruptos.

A avaliação da suficiência ou não dos elementos não é tarefa simples, havendo muitosexemplos na história do conhecimento indicadores dos riscos das conclusões por indução. Basta queum caso contrarie os exemplos até então colhidos para que caia por terra uma “verdade” por elasustentada. Um exemplo famoso é o da cor dos cisnes. Antes da descoberta da Austrália, onde foramencontrados cisnes pretos, acreditava-se que todos os cisnes fossem brancos porque todos os atéentão observados eram brancos. Ao ser visto o primeiro cisne preto, uma certeza de séculos caiu porterra.

2.2.1. Procedimentos indutivos

Apesar das muitas críticas de que é passível o raciocínio indutivo, este é um dos recursos maisempregados pelas ciências para tirar as suas conclusões. Há dois procedimentos principais dedesenvolvimento e aplicação desse tipo de raciocínio: o da indução por enumeração incompletasuficiente e o da indução por enumeração completa.

a. Indução por enumeração incompleta suficiente

Nesse procedimento, os elementos enumerados são tidos como suficientes para serem tiradasdeterminadas conclusões. É o caso do exemplo das cobras, no qual, apesar de não poderem serconferidos todos os elementos (cobras) em particular, os que foram enumerados são representativosdo todo e suficientes para a generalização (“todas as cobras...”)

b. Indução por enumeração completa

Costuma-se também classificar como indutivo o raciocínio baseado na enumeração completa.Ainda que alguns a classifiquem como tautologia, ela ocorre quando:

b.a. todos os casos são verificados e contabilizados;

b.b. todas as partes de um conjunto são enumeradas.

Exemplos correspondentes às duas formas de indução por enumeração completa:

b.a. todas as ocorrências de dengue foram investigadas e em cada uma delas foi constatada umacaracterística própria desse estado de morbidez: fortes dores de cabeça; obteve-se, por conseguinte, aconclusão segura de que a dor de cabeça é um dos sintomas da dengue.

b.b. contam-se ou conferem-se todos as peças do jogo de xadrez: ao final da contagem, constata-seque são 32 peças.

Nesses raciocínios, tem-se uma conclusão segura, podendo-se classificá-los como formas deindução forte, mesmo que se revelem pouco criativos em termos de pesquisa científica.

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O raciocínio indutivo nem sempre aparece estruturado nos moldes acima citados. Às vezes,percebe-se o seu uso pela maneira como o conteúdo (a matéria) fica exposta ou ordenada. Observem-se os exemplos:

- Não parece haver grandes esperanças em se erradicar a corrupção do cenário político brasileiro.Depois da série de protestos realizados pela população, depois das provas apresentadas nas CPI’s,depois do vexame sofrido por alguns políticos denunciados pela imprensa, depois do escárnio popularem festividades como o carnaval e depois de tanta insistência de muitos sobre necessidade demoralizar o nosso país, a corrupção parece recrudescer, apresenta novos tentáculos, se disfarça demodos sempre novos, encontrando-se maneiras inusitadas de ludibriar a nação.

- Sentia-me totalmente tranqüilo quanto ao meu amigo, pois, até então, os seus atos sempre forampautados pelo respeito às leis e à dignidade de seus pares. Assim, enquanto alguns insinuavam a suaculpa, eu continuava seguro de sua inocência.

Tanto no primeiro quanto no segundo exemplos está sendo empregando o método indutivoporque o argumento principal está sustentado pela observação de muitos casos ou fatos particularesque, por sua vez, fundamentam a conclusão. No primeiro caso, a constatação de que diversastentativas de erradicar a corrupção mostraram-se infrutíferas conduzem à conclusão da impossibilidadede sua superação, enquanto que, no segundo exemplo, da observação do comportamento do amigoinfere-se sua inocência.

Analogia, indução e probabilidade

Nos raciocínios analógico e indutivo, apesar de boas chances do contrário, há sempre apossibilidade do erro. Isso ocorre porque se está lidando com probabilidades e estas não sãosinônimas de certezas.

Há três tipos principais de probabilidades: a matemática, a moral e a natural.

a) A probabilidade matemática é aquela na qual, partindo-se dos casos numerados, é possívelcalcular, sob forma de fração, a possibilidade de algo ocorrer – na fração, o denominador representa oscasos possíveis e o numerador o número de casos favoráveis. Por exemplo, no caso de um sorteiousando uma moeda, a probabilidade de dar cara é de 50% e a de dar coroa também é de 50%.

b) A probabilidade moral é a relativa a fatos humanos destituídos de caráter matemático. É o caso dapossibilidade de um comportamento criminoso ou virtuoso, de uma reação alegre ou triste etc.Exemplos: considerando seu comportamento pregresso, é provável que Pedro não tenha cometido ocrime, contudo... Conhecendo-se a meiguice de Maria, é provável que ela o receba bem, mas...

c) A probabilidade natural é a relativa a fenômenos naturais dos quais nem todas as possibilidadessão conhecidas. A previsão meteorológica é um exemplo particular de probalidade natural. A teoria docaos assenta-se na tese da imprevisibilidade relativa e da descrição apenas parcial de alguns eventosnaturais.

Por lidarem com probabilidades, a indução e a analogia são passíveis de conclusões inexatas.Assim sendo, deve-se ter um relativo cuidado com as suas conclusões. Elas expressam muito bem anecessidade humana de explicar e prever os acontecimentos e as coisas, contudo, também revelam aslimitações humanas no que diz respeito à construção do conhecimento.

2.3. Raciocínio dedutivo - do geral ao particular

O raciocínio dedutivo, conforme a convicção de muitos estudiosos da lógica, é aquele no qualsão superadas as deficiências da analogia e da indução.

No raciocínio dedutivo, inversamente ao indutivo, parte-se do geral e vai-se ao particular. Asinferências ocorrem a partir do progressivo avanço de uma premissa de cunho geral, para se chegar auma conclusão tão ou menos ampla que a premissa. O silogismo é o melhor exemplo desse tipo deraciocínio:

Premissa maior: Todos os homens são mamíferos. universal

Premissa menor: Pedro é homem.

Conclusão: Logo, Pedro é mamífero. Particular

No raciocínio dedutivo, de uma premissa de cunho geral podem-se tirar conclusões de cunho particular.

Aristóteles refere-se à dedução como “a inferência na qual, colocadas certas coisas, outradiferente se lhe segue necessariamente, somente pelo fato de terem sido postas”. Uma vez posto quetodos os homens são mamíferos e que Pedro é homem, há de se inferir, necessariamente, que Pedro é

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um mamífero. De certo modo, a conclusão já está presente nas premissas, basta observar algumasregras e inferir a conclusão.

2.3.1. Construção do Silogismo

A estrutura básica do silogismo (sýn/com + lógos/razão) consiste na determinação de umapremissa maior (ponto de partida), de uma premissa menor (termo médio) e de uma conclusão, inferidaa partir da premissa menor. Em outras palavras, o silogismo sai de uma premissa maior, progrideatravés da premissa menor e infere, necessariamente, uma conclusão adequada.

Eis um exemplo de silogismo:

Todos os atos que ferem a lei são puníveis Premissa Maior

A concussão é um ato que fere a lei Premissa Menor

Logo, a concussão é punível Conclusão

O silogismo estrutura-se por premissas. No âmbito da lógica, as premissas são chamadas deproposições que, por sua vez, são a expressão oral ou gráfica de frases assertivas ou juízos. O termo éuma palavra ou um conjunto de palavras que exprime um conceito. Os termos de um silogismo sãonecessariamente três: maior, médio e menor. O termo maior é aquele cuja extensão é maior(normalmente, é o predicado da conclusão); o termo médio é o que serve de intermediário ou deconexão entre os outros dois termos (não figura na conclusão) e o termo menor é o de menor extensão(normalmente, é o sujeito da conclusão). No exemplo acima, punível é o termo maior, ato que fere a leié o termo médio e concussão é o menor.

2.3.1.1. As Regras do Silogismo

Oito são as regras que fazem do silogismo um raciocínio perfeitamente lógico. As quatroprimeiras dizem respeito às relações entre os termos e as demais dizem respeito às relações entre aspremissas. São elas:

2.3.1.1.1. Regras dos Termos

1) Qualquer silogismo possui somente três termos: maior, médio e menor.

Exemplo de formulação correta:

Termo Maior: Todos os gatos são mamíferos.

Termo Médio: Mimi é um gato.

Termo Menor: Mimi é um mamífero.

Exemplo de formulação incorreta:

Termo Maior: Toda gata(1) é quadrúpede.

Termo Médio: Maria é uma gata(2).

Termo Menor: Maria é quadrúpede.

O termo “gata” tem dois significados, portanto, há quatro termos ao invés de três.

2) Os termos da conclusão nunca podem ser mais extensos que os termos das premissas.


Termo Maior: Todas as onças são ferozes.

Termo Médio: Nikita é uma onça.

Termo Menor: Nikita é feroz.


Termo Maior: Antônio e José são poetas.

Termo Médio: Antônio e José são surfistas.

Termo Menor: Todos os surfistas são poetas.

Página 25 de 101.

“Antonio e José” é um termo menos extenso que “todos os surfistas”.

3) O predicado do termo médio não pode entrar na conclusão.


Termo Maior: Todos os homens podem infringir a lei.

Termo Médio: Pedro é homem.

Termo Menor: Pedro pode infringir a lei.


Termo Maior: Todos os homens podem infringir a lei.


Termo Menor: Pedro ou é homem (?) ou pode infringir a lei.

A ocorrência do termo médio “homem” na conclusão é inoportuna.

4) O termo médio deve ser tomado ao menos uma vez em sua extensão universal.


Termo Maior: Todos os homens são dotados de habilidades.


Termo Menor: Pedro é dotado de habilidades.


Termo Maior: Alguns homens são sábios.

Termo Médio: Ora os ignorantes são homens

Termo Menor: Logo, os ignorantes são sábios

O predicado “homens” do termo médio não é universal, mas particular.

2.3.1.1.2. Regras das Premissas

5) De duas premissas negativas, nada se conclui.


Premissa Maior: Nenhum gato é mamífero

Premissa Menor: Lulu não é um gato.

Conclusão: (?).

6) De duas premissas afirmativas, não se tira uma conclusão negativa.


Premissa Maior: Todos os bens morais devem ser desejados.

Premissa Menor: Ajudar ao próximo é um bem moral.

Conclusão: Ajudar ao próximo não (?) deve ser desejado.

7) A conclusão segue sempre a premissa mais fraca. A premissa mais fraca é sempre a de caráternegativo.


Premissa Maior: As aves são animais que voam.

Premissa Menor: Alguns animais não são aves.

Conclusão: Alguns animais não voam.


Premissa Maior: As aves são animais que voam.

Página 26 de 101.

Premissa Menor: Alguns animais não são aves.

Conclusão: Alguns animais voam.

8) De duas premissas particulares nada se conclui.


Premissa Maior: Mimi é um gato.

Premissa Menor: Um gato foi covarde.

Conclusão: (?)

Página 27 de 101.

DIAGRAMAS LÓGICOS

Nesta seção serão abordadas algumas relações entra a estrutura lógica e a teoria dos conjuntos.

O Cálculo Proposicional e a Álgebra dos Conjuntos possuem estruturas semelhantes. Toda fórmula do Cálculo Proposicional determina uma operação correspondente entre conjuntos :

! A negação (") corresponde à complementação ( ` ou -);

! A conjunção (#) corresponde à intersecção ($);

! A disjunção (%) corresponde à união (&).

As variáveis proposicionais podem servir como variáveis simbolizando conjuntos na nova expressão.

Podemos expressar, as operações entre conjuntos através dos Diagramas de Euler - Venn que são úteis na verificação de propriedades de operações entre conjuntos. Por exemplo:

.1 Complementação

Neste quadro temos que a região 2 é o complemento da região 1, e vice-versa.

Similarmente, a propriedade p` ou " p da região 2, é obtida através da negação da propriedade p , da região 1.

Todas elas, imersas dentro do Conjunto Universo (U).

.2 União

Neste quadro temos que a união (&) das regiões 1, 2 e 3 correspondem a disjunção (%) das propriedades p e q .

Página 28 de 101.

.2 Interseção

Neste quadro temos que a interseção ($) das regiões 1, 2 e 3 correspondem a conjunção (#) das propriedades p e q .

1.1 Exemplos

01. (FGV) – Um eminente antropólogo, afirmou que TODOS OS AFANEUS SÃO ZARAGÓS, e que TODOS OS ZARAGÓS SÃO CHUMPITAZES. Com base nestas afirmações, podemos concluir que: a. É possível existir um Afaneu que não seja Zaragó. b. É possível existir um Afaneu que não seja Chumpitaz. c. É possível existir um Zaragó que não seja Afaneu. d. Nada se pode concluir sem saber o que significa Afaneu, Zaragó e Chumpitaz.

Solução:

a) Sejam A ' Afaneus ; Z ' Zaragós e C ' Chumpitazel.

b) Se A ( Z ( C, então a única alternativa certa é a (C).

CHUMPITAZES AFANEUS ZARAGÓS

02. (MPU-2004) Um colégio oferece a seus alunos a prática de um ou mais dos seguintes esportes: futebol, basquete e vôlei. Sabe-se que, no atual semestre, ! 20 alunos praticam vôlei e basquete; ! 60 alunos praticam futebol e 65 praticam basquete; ! 21 alunos não praticam nem futebol nem vôlei; ! O número de alunos que praticam só futebol é idêntico ao número dos alunos que praticam só vôlei; ! 17 alunos praticam futebol e vôlei; ! 45 alunos praticam futebol e basquete; 30, entre os 45, não praticam vôlei.

Página 29 de 101.

O número total de alunos do colégio, no atual semestre, é igual a:

Solução:

Dica: Comece pela interseção e pela complementação !!!

a) Sejam B ' Basquete ; V ' Vôlei e F ' Futebol.

b) Então: B $ V = 20 ; F $ V = 17 e F $ B = 45.

c) Se (F $ B) – V = 30 , então os que praticam as 3 modalidades são 15, matematicamente: F $ B $ V = 15.

d) Portanto, os que praticam só futebol e vôlei são 2, isto é, (F $ V) – B = 2 .

e) Do mesmo modo, os que praticam só vôlei e basquete são somente 5, ou seja, (B $ V) – F = 5 .

f) Pelas outras condições verificam-se:

Só Vôlei = 13 .

Só Futebol = 13 .

Só Basquete = 15 .

g) Sabendo que 21 não praticam nem futebol nem vôlei, ou seja, U – (F & V) = 21 ; tem-se que 6 (21 – 15) são os que não fazem nenhum esporte.

h) Portanto o número total de estudantes é :

15 + 30 + 5 + 2 + 13 + 13 + 15 + 6 = 99 .

A construção do diagrama para a resolução do problema é essencial:

U

V B

5 15 13 6 15 2 30 13 F

Página 30 de 101.

1.2 Exercícios

01. (FGV) – Sendo R o conjunto dos países ricos, I o conjunto dos países industrializados, E o conjunto dos países exportadores de petróleo e admitindo como verdadeiras as relações I ( ! R ; E ( !R ; I ! $ E ) ! * !, o qual das afirmações abaixo é verdadeira? a. Todos os países não-exportadores de petróleo são pobres. b. Todos os países não-industrializados dão são ricos. c. Os países que não são ricos não podem ser exportadores de petróleo. d. Os países não industrializados não podem ser exportadores de petróleo. e. Todas as afirmações acima são falsas. 02. Considere as seguintes premissas (onde X, Y, Z e P são conjuntos não vazios): Premissa 1: "X está contido em Y e em Z, ou X está contido em P" Premissa 2: "X não está contido em P" Pode-se, então, concluir que, necessariamente: a) Y está contido em Z b) X está contido em Z c) Y está contido em Z ou em P d) X não está contido nem em P nem em Y e) X não está contido nem em Y e nem em Z 03. Sendo X – Y é tudo que está em X mas não está em Y, diga o que representa a parte hachurada?

A B C

a) B – (A $ C) b) C – (A & B) c) A – (B $ C) d) A – (B & C) e) (A – B ) & C 04. A região hachurada, no gráfico abaixo, representa:

A B C

Página 31 de 101.

a) (A $ B) & (A $ C) b) (A & B) $ (B & C) c) (A $ B) $ (A $ C) d) (A $ B) & (B $ C) e) (A & B) & (A $ C)

1.3 Exercícios Genéricos Embora o conteúdo mais formal deste capítulo 4 seja a noção de conjuntos, uma

grande gama de exercícios pode ser caracterizada como de raciocínio matemático. Abaixo alguns deles. 01. (TRF – 2007) A figura abaixo representa certo corpo sólido vazado. O número de faces desse sólido é (A) 24 (B) 26 (C) 28 (D) 30 (E) 32 02. (TRE 2007) Observe que os números no interior da malha quadriculada abaixo foram colocados segundo determinado critério.

12 42 36

54 ? 6

24 18 48

Segundo tal critério, o número que substitui corretamente o ponto de interrogação está: compreendido entre

Página 32 de 101.

(A) 5 e 10 (B) 10 e 15 (C) 15 e 25 (D) 25 e 35 (E) 35 e 45 03. (TRF – 2006) Qual dos cinco desenhos representa a comparação adequada? está para assim como está para (A) (B) (C) (D) (E) 04. (IBGE-2006) Sejam a, b e c números reais distintos, sobre os quais afirma-se: I - Se b > a e c > b, então c é o maior dos três números. II - Se b > a e c > a, então c é o maior dos três números. III - Se b > a e c > a, então a é o menor dos três números. É(São) correta(s) a(s) afirmativa(s): (A) I, somente. (B) II, somente. (C) III, somente. (D) I e III, somente. (E) I, II e III. 05. João e Tomás partiram um bolo retangular. João comeu a metade da terça parte e Tomás comeu a terça parte da metade. Quem comeu mais? a) João, porque a metade é maior que a terça parte. b) Tomás. c) Não se pode decidir porque não se conhece o tamanho do bolo. d) Os dois comeram a mesma quantidade de bolo. e) Não se pode decidir porque o bolo não é redondo

Página 33 de 101.

06. (IBGE-2006) Na Consoantelândia, fala-se o consoantês. Nessa língua, existem 10 letras: 6 do tipo I e 4 do tipo II. As letras do tipo I são: b, d, h, k, l, t. As letras do tipo II são: g, p, q, y. Nessa língua, só há uma regra de acentuação: uma palavra só será acentuada se tiver uma letra do tipo II precedendo uma letra do tipo I. Pode-se afirmar que: (A) dhtby é acentuada. (B) pyg é acentuada. (C) kpth não é acentuada. (D) kydd é acentuada. (E) btdh é acentuada. 07. Em um concurso para fiscal de rendas, dentre os 50 candidatos de uma sala de provas, 42 são casados. Levando em consideração que as únicas respostas à pergunta ''estado civil'' são ''casado'' ou ''solteiro'', qual o número mínimo de candidatos dessa sala a que deveríamos fazer essa pergunta para obtermos, com certeza, dois representantes do grupo de solteiros ou do grupo de casados? a) 03 b) 09 c) 21 d) 26 08. (MPERJ-2001) As duas balanças apresentadas abaixo estão em equilíbrio.

A partir destas informações, podemos concluir que o número de pesos do tipo “Círculo” necessários para equilibrar um peso do tipo “Triângulo” é igual a:

a) 8 b) 6 c) 4 d) 3 e) 2

Página 34 de 101.

A trigonometria é uma parte importante da Matemática. Começaremos lembrando as relações

trigonométricas num triângulo retângulo.

Num triângulo ABC, retângulo em A, indicaremos por B e por C as medidas dos ângulos

internos, respectivamente nos vértices B e C.

TEOREMA DE PITÁGORAS: Em todo triângulo retângulo, a soma dos quadrados das medidas

dos catetos é igual ao quadrado da medida da hipotenusa.

222 cba !"

Definições:

1. Em todo triângulo retângulo, o seno de um ângulo agudo é a razão entre a medida do

cateto oposto a esse ângulo e a medida da hipotenusa.

a

b

hipotenusa

BânguloaoopostocatetoBsen ""

a

c

hipotenusa

CânguloaoopostocatetoCsen ""

2. Em todo triângulo retângulo, o cosseno de um ângulo agudo é a razão entre a medida do

cateto adjacente a esse ângulo e a medida da hipotenusa.

a

c

hipotenusa

BânguloaoadjacentecatetoBcos ""

a

b

hipotenusa

CânguloaoadjacentecatetoCcos ""

TRIGONOMETRIA

TEOREMA DE PITÁGORAS:

Página 35 de 101.

3. Em todo triângulo retângulo, a tangente de um ângulo agudo é a razão entre a medida dos

catetos oposto e adjacente a esse ângulo.

c

b

Bânguloaoadjacentecateto

BânguloaoopostocatetoBtg ""

b

c

Cânguloaoadjacentecateto

CânguloaoopostocatetoCtg ""

Observação:

Note que Bcos

Bsen

ac

ab

c

bBtg """ .

Em geral, utilizaremos xcos

xsenxtg " , para o ângulo x.

VALORES NOTÁVEIS

1) Considere o triângulo eqüilátero de medida de lado a.

2

1

a2

a)30(sen ""!

2

3

a2

3a)30cos( ""!

3

3

3

1

23a2

a)30(tg """!

2

3

a2

3a)60(sen ""!

2

1

a2

a)60cos( ""! 3

2a

23a

)60(tg ""!

VALORES NOTÁVEIS

Página 36 de 101.

2) Considere o quadrado de medida de lado a.

2

2

2

1

2a

a)45(sen """!

2

2

2

1

2a

a)45cos( """! 1

a

a)45(tg ""!

Resumindo:

30o 45o 60o

Seno2

12

22

3

Cosseno2

32

22

1

Tangente3

3 1 3

Dados dois pontos distintos A e B sobre uma circunferência, esta fica dividida em duas partes,

denominadas arcos, que indicaremos por ou .

As unidades usuais para arcos de circunferência são: grau e radiano.

ARCOS DE CIRCUNFERÊNCIA

Página 37 de 101.

Considere uma circunferência orientada, de centro O e raio unitário. Definimos:

GRAU: é o arco unitário correspondente a 360

1 da circunferência que contém o arco a ser

medido.

RADIANO: é um arco unitário cujo comprimento é igual ao raio da circunferência que contém o

arco a ser medido. ( oradiano 571 # )

As medidas de arcos de circunferências em graus e em radianos são diretamente proporcionais,

possibilitando a obtenção da equação de conversão de unidades, através de uma regra de três

simples, em que $ é a medida em graus e % em radianos.

medida em graus medida em radianos

$ !

180 &

&%

"$

'180

CICLO TRIGONOMÉTRICO

Considere uma circunferência orientada, de centro O e raio unitário. Imagine um ponto A se

deslocando sobre a circunferência.

Existe uma diferença muito importante para se graduar uma reta e uma circunferência: enquanto

que na reta cada ponto corresponde a um único número real, na circunferência cada ponto

corresponde a uma infinidade de números reais e todos diferem de múltiplos inteiros de 2& .

MEDIDA DE ARCOS

CICLO TRIGONOMÉTRICO

Página 38 de 101.

A figura a seguir ilustra a graduação, em radianos, de uma circunferência de raio 1.

Ao marcarmos o ponto P na circunferência de raio 1, temos um triângulo retângulo

correspondente, de onde calculamos:

pp

x1

xcos ""$ ; p

p yy

sen ""$1

; 122 "! pp yx obtendo-se 122 "$!$ sencos

A figura acima mostra que no eixo x temos o valor do cosseno e no eixo y, temos o seno,

definindo o chamado ciclo trigonométrico.

Página 39 de 101.

Para os pontos A, B, C e D podemos obter os seguintes valores:

sen0 = yA = 0 cos0 =xA = 1

sen 2& = yB = 1 cos 2

& =xB = 0

sen& = yC = 0 cos& =xC = -1

sen 23& = yD = 1 cos 23& =xD = 0

sen2& = yA = 0 cos2& =xA = 1

FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS

Estudaremos as funções seno, cosseno, tangente, cotangente, secante e cossecante, nos ciclos

trigonométricos.

Veremos a periodicidade e os gráficos das funções seno cosseno e tangente.

O que é periodicidade?

Para que fique bem claro o que este termo quer dizer, vamos exemplificar com os dias da

semana, de 7 em 7 dias eles se repetem, chamamos este fato de periódico, e o período é 7.

Estas três funções que serão apresentadas são ditas funções periódicas.

Definição: Uma função f é periódica se existir um número real p > 0 tal que f(x+p) = f(x),

fDomx() . Neste caso, o menor valor de p que satisfaz tal condição é chamado período de f.

FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS

Página 40 de 101.

Observação: o gráfico de uma função periódica é caracterizado por ter seu “desenho” se

repetindo. Assim, para desenharmos a curva toda, basta desenharmos a parte correspondente a

um período e copiar à direita e à esquerda infinitas cópias da parte desenhada.

Vamos analisar a periodicidade destas três funções trigonométricas:

1) Seno

sen(x) = sen(x + 2& ) = sen(x + 4& ) =..... = sen(x + k2& ), k ( Z.

Seno é função periódica de período 2&

cos(x) = cos(x + 2& ) = cos(x + 4& ) =..... = cos(x + k2& ), k ( Z.

Cosseno é função periódica de período 2&

3) Tangente

tg(x) = tg(x + & ) = tg(x+ 2& ) =..... = tg(x + k& ), k ( Z.

Tangente é função periódica de período &

Generalizando: y = a sen(kx) e y = a cos(kx) p = k

2&

Generalizando: y = a tg(kx) p = k

&

Exemplos:

1) Determine o período de cada função:

a). y = 3 sen(x) p = 2&

b) y = 3 sen(2x) p = &"&

2

2

c). y = 2 sen(x/2) p = &"&

42/1

2

d) y = 3 cos(2x) p = &"&

2

2

e) y = cos(3x/5) p = 3

10

5/3

2 &"

&

2) Determine o período de cada função:

a). y = tg(2x) p = 2

&

b). y = 2 tg(x) p = &

a). y = tg(x/2) p = &"&

22/1

1) Seno

2) Cosseno

3) Tangente

Página 41 de 101.

GRÁFICO DA FUNÇÃO SENO

y = sen x

Propriedades

a) Dom = *

b) Img = [-1, 1]

c) Período = 2&

d) sen (-x) = - sen (x)

y = cos x

Propriedades

a) Dom = *

b) Img = [-1, 1]

c) Período = 2&

d) cos (-x) = cos (x)

GRÁFICO DA FUNÇÃO TANGENTEy = tg x

Propriedades

a) Dom = }kx/x{ &!&+*( 2

b) Img = *

c) Período = &

d) tg (-x) = -tg (x)

RELAÇÕES FUNDAMENTAIS

tg x = xcos

senx, para &!

&+ k

2x com Zk(

sen2x + cos2x = 1, para Rx(

cotg x = senx

xcos, para &+ kx com Zk( sec2x = 1 + tg2x, para &!

&+ k

2x com Zk(

sec x = xcos

1, para &!

&+ k

2x com Zk(

cossec2x = 1 + cotg2x, para &+ kx com Zk(

cossec x = senx

1, para &+ kx com Zk(

GRÁFICO DA FUNÇÃO SENO

GRÁFICO DA FUNÇÃO COSSENO

Página 42 de 101.

FÓRMULAS DE ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO

Sendo “a” e “b” dois números reais.

sen(a + b) = sena.cosb + cosa.senb sen(a – b) = sena.cosb – cosa.senb

cos(a + b) = cosa.cosb - sena.senb cos(a – b) = cosa.cosb + sena.senb

tg(a + b) = tgb.tga

tgbtga

,!

1tg(a - b) =

tgb.tga

tgbtga

!,

1

Exemplos

1) Calcule

a) )15cos( !

Solução:

4

26

2

1

2

2

2

3

2

2

)30(sen)45(sen)30cos()45cos()3045cos()15cos(

!"-!-"

"-!-"," !!!!!!!

b) )15(sen !

Solução:

4

26

2

1

2

2

2

3

2

2

)30cos()45(sen)30cos()45(sen)3045(sen)15(sen

,"-,-"

"-,-"," !!!!!!!

b) )15(tg !

Solução:

. /. /

. /32

6

326

6

3612

39

3369

33

33323

33

33

33

33

33

33

3

333

33

3

311

3

31

)30(tg)45(tg1

)30(tg)45(tg)3045(tg)15(tg

22

22,"

,"

,"

,!,

",

!-,"

,

,-

!

,"

"!

,"

!

,

"

-!

,"

-!

,","

!!

!!!!!

FÓRMULAS DE ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO

Página 43 de 101.

FÓRMULAS DE MULTIPLICAÇÃO: ARCO DUPLO (2a)

A partir das fórmulas de adição e subtração, podemos obter as seguintes fórmulas de

multiplicação:

cos(2a) = cos(a+a) = cos a cos a – sen a sen a = cos2a – sen2a =

=cos2a –(1- cos2a ) = 2 cos2a -1

sen(2a) = sen(a+a) = sen a cos a + sen a cos b = 2 sen a cos a

tg(2a) = tg (a+a) = atg1

tga2

tga.tga1

tgatga2,

",

!

Ou seja,

cos 2a = asenacos 22 , sen 2a = 2 sen a . cos a

cos 2a = 2 cos2a – 1tg 2a =

.atg1

tga22,

cos 2a= 1 – 2 sen2a

Exemplos

1) Sabendo que 3

1)x(tg " , calcule tg(2x).

Solução

tg(2x) = 4

3

8

9

3

2

9

83

2

9

11

3

12

.xtg1

xtg22

"-"",

-"

,

2) Resolva a equação 1)x(sen3)x2cos( ," .

Solução

02)x(sen3)x(sen2

1)x(sen3)x(sen)x(sen1

1)x(sen3)x(sen)x(cos

1)x(sen3)x2cos(

2

22

22

",!

,",,

,",

,"

Resolvendo a equação de 2º grau em sen(x), temos:

25169)2(2432 "!",--,"0

Página 44 de 101.

xexistenão24

53ou

k26

5xouk2

6x

2

1

4

53

4

53)x(sen

1,",,

&!&

"&!&

"1"!,

"2,

"

Conjunto solução: 345

678

(&!&

"&!&

"(" Zk,k26

5xouk2

6xRxS

As fórmulas de bissecção podem ser obtidas do seguinte modo:

2

)b2cos(1bsen)b2cos(1bsen2bsen21)b2cos( 222 ,"1,"1," e, se considerarmos b=

2

a,

obtemos 2

1

22 acosa

sen,

" .

Seguindo essa idéia, temos

2

1

22 acosa

sen,

"

2

1

22 acosa

cos!

"

acos

acosatg

!,

"1

1

22

Fazendo 678

",

"!

qba

pba, ou seja,

996

997

8

,"

!"

2

qpb

2

qpa

e substituindo nas fórmulas de adição e subtração,

obtemos as relações de prostaférese dadas por

sen p + sen q = 2

qpcos

2

qpsen2

,-

!-

sen p - sen q = 2

qpcos

2

qpsen2

!-

,-

FÓRMULAS DE BISSECÇÃO

RELAÇÕES DE PROSTAFÉRESE

Página 45 de 101.

cos p + cos q = 2

qpcos

2

qpcos2

,-

!-

cos p - cos q = 2

qpsen

2

qpsen2

,-

!-,

tg p + tg q = )qcos().pcos(

)qp(sen !

tg p - tg q = )qcos().pcos(

)qp(sen ,

Nosso problema agora é procurar, se existirem, valores de y para os quais sen y = x,

lembrando que 1x1 ::, .

Dado x, o valor de y correspondente tal que sen y = x determina uma função. Mas, para que o

valor de x determinado seja único, teremos que usar a restrição 2

y2

&::

&,.

Para solucionarmos esta questão, temos que estudar as funções trigonométricas inversas.

A cada x ( [–1,1] associa-se um único y ;<

=>?

@ &&,(

2,

2 tais que sen y = x.

Assim, definimos a função

arcsen : [–1,1] ;<

=>?

@ &&,A

2,

2

x )x(arcseny ""

FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS

1) Função arco-seno (arcsen)

Página 46 de 101.

Exemplos

1) Calcule

a) y = arcsen(1/2)

Solução

y = arcsen(1/2) B sen y = 1/2 . Lembrando que y ;<

=>?

@ &&,(

2,

2, temos y = & /6, ou seja,

62

1arcsen

&"C

D

EFG

H.

b) y = arcsen(0)

Solução

y = arcsen(0) B sen y = 0 . Lembrando que y ;<

=>?

@ &&,(

2,

2, temos y = 0, ou seja, . / 00arcsen " .

c) y = arcsen(-1/2)

Solução

y = arcsen(-1/2) B sen y = -1/2 . Lembrando que y ;<

=>?

@ &&,(

2,

2, temos y = &, /6, ou seja,

62

1arcsen

&,"C

D

EFG

H, .

d) y = arcsen(1)

Solução

y = arcsen(1) B sen y = 1 . Lembrando que y ;<

=>?

@ &&,(

2,

2, temos y = & /2, ou seja, . /

21arcsen

&" .

Página 47 de 101.

A cada x ( [–1,1] associa-se um único y I J&( ,0 tais que cos y = x.


arccos : [–1,1] I J&A ,0

x )xarccos(y ""

Exemplos

1) Calcule

a) y = arccos(1/2)

Solução

y = arccos(1/2) B cos y = 1/2 . Lembrando que y I J&( ,0 , temos y = & /3, ou seja, 32

1arccos

&"C

D

EFG

H.

b) y = arccos(0)

Solução

y = arccos(0) B cos y = 0 . Lembrando que y I J&( ,0 , temos y = & /2, ou seja, . /2

0arccos&

" .

c) y = arccos(-1/2)

Solução

y = arccos(-1/2) B cos y = -1/2. Lembrando que y I J&( ,0 temos y = &2 /3, ou seja,

3

2

2

1arccos

&"C

D

EFG

H, .

d) y = arccos(1)

Solução

y = arccos(1) B cos y = 1 . Lembrando que y I J&( ,0 temos y = & , ou seja, . / &"1arccos .

2) Função arco-cosseno (arccos)

Página 48 de 101.

A cada x ( [–1,1] associa-se um único y CD

EFG

H &&,(

2,

2 tais que tg y = x.


arcsen : [–1,1] CD

EFG

H &&,A

2,

2

x )x(arctgy ""

Exemplos

1) Calcule

a) y = arctg(1)

Solução

y = arctg(1) B tg y = 1 . Lembrando que y CD

EFG

H &&,(

2,

2, temos y = & /4, ou seja, . /

41arctg

&" .

b) y = arcsen( 3 )

Solução

y = arctg( 3 ) B tg y = 3 . Lembrando que y CD

EFG

H &&,(

2,

2, temos y = & /3, ou seja,

. /3

3arctg&

" .

c) y = arctg(-1)

Solução

y = arctg(-1) B tg y = -1 . Lembrando que y CD

EFG

H &&,(

2,

2, temos y = &, /4, ou seja, . /

41arctg

&,", .

3) Função arco-tangente (arctg)

Página 49 de 101.

1) Em cada um dos casos, calcule o seno, o cosseno, a tangente do ângulo agudo assinalado:

2) Um barco deveria sair do porto da cidade A e ir até o porto da cidade B em uma linha reta, (no

sentido norte-sul). Entretanto, uma correnteza fez com que o barco sofresse um desvio de na

direção leste. Ultrapassando o trecho de correnteza o capitão necessitou efetuar uma correção no

rumo no barco de 45º para a esquerda, de tal forma que ao reencontrar a rota original é possível

traçar um triângulo retângulo.

(norte) A

5 milhas

(leste)

(sul) B

3) A lua é satélite natural da Terra e faz uma revolução em torno do sol em aproximadamente 28

dias.

a) De quantos radianos é o movimento da lua em um dia?

b) Qual a distância percorrida pela lua em uma revolução completa? (adote a distância da terra à

lua de 385.000km).

4) Reduza os arcos à primeira volta, represente-os graficamente e calcule o valor de seu seno,

cosseno e tangente.

a)1470º b) –1020º c) 4

25& d)

2

5&,

5) Determine o valor de

(a) sen 1620º (b) sen (-990º)

6) Sendo sen a = 1/2 e cos b = -1/2, sabendo que a e b são arcos do 2º quadrante, calcule:

a) sen (a+b) b) cos(a-b) c) tg (a+b)

Se o barco percorreu 5 milhas na direção

leste, quanto ele teve que andar para

retornar á rota original?

EXERCÍCIOS SOBRE TRIGONOMETRIA

Página 50 de 101.

7) Resolva a expressão matemática

a) x = sen (&/6)- cos (2&/3)-3*sen(&)

b) y = tg(&/4)+2*sen(5&/6) – [sen (&/3)-cos(&/6)]

8) (MACK) O valor se sen 55º.cos35º+sen35º.cos55º é:

a) –1 b) -0,5 c) zero d)0,5 e) 1,0

9) Simplifique as expressões:

a) )x5(sen)x9(sen ,&!,& b) sen (x-900º) + cos (x-540º)

10) Construa o gráfico (dois períodos completos) das seguintes funções, explicitando o domínio, a

imagem e o período:

a) y = 4 sen x b) y=1 - sen x c) y = 2 sen x/4

11) Calcule :

a) sen (9&/4) e cos (9&/4)

b) sen (-2&/3) e sen (-2&/3)

c) sen 8& e cos8&

12. Encontre os valores do ângulo no intervalo [0, 2&) que satisfaça as equações:

a) sen %=1; cos%=-1; tg%=1; sec%=1;

b) sen %=0; cos%=0; tg%=0; sec%=0;

c) sen %= -1/2; cos%= 1/2; tg%= -1; sec%=2.

13. Determine o período das funções:

a) y = sen (8%) b) z= 4 sen (8%)

c) x = cos (4K/7) d) p=3 cos(%/4+&/2)

14. Simplifique a expressão %!CD

EFG

H%,

&,%!&!%, cos

2sen)sen()sen( .

15. Sabendo-se que sen % = -1/3, calcule:

a) sen ( & - %) b) sen ( & + %) c) cos (&/2 - %)

16. Usando as fórmulas de adição, calcule:

a) sen (&+&/2) b) cos75º c) cos (5&/6), (sugestão 5&/6 = &/2+&/3)

17. Mostre que KK"K cossen22sen .

18. Mostre que 2

2cos

2

1cos2 $

!"$ .

Página 51 de 101.

1) a) 2

1tg ,

5

52cos ,

5

5sen "L"L"L b)

4

3tg ,

5

4cos ,

5

3sen "L"K"K

2) 5 2

3) a) &/14 rad b) 770.000 & km

4) a) 1470º equivale a 30º portando sen 30º = ½; cos 30º = 3 /2 e tg 30º = 3 /3

b) – 920 º equivale a 60º portando sen 60º = 3 /2 , cos 60º =1/2 e tg 60º = 3

c) 25&/4 equivale a &/4 portando sen &/4 = 2 /2 , cos &/4 = 2 /2 e tg &/4 = 1

d) -5&/2 equivale a 3&/2 portando sen 3&/2 = -1 , cos 3&/2 = 0 e tg 3&/2 = indefinida

5) a) zero b) 1

6) a) 1 b) 3 /2 c)indefinido

7) a) -1 b) 2

8) e

9) a) 2 sen x b) -sen x - cos x

10) a) Dom = * , Im = [-4, 4], p=2& b) ) Dom = * , Im = [0, 1], p=2&

c) Dom = * , Im = [-2, 2], p=8&

11) a) 2 /2 e 2 /2 b) - 3 /2 e -1/2 c) 0 e 1

12) a) &/2, &, &/4 e 5/4, 0

b) 0 e &, &/2 e 3&/2, 0 e &, &/2 e 3&/2

c) 7&/6 e 11&/6, &/3 e 5&/3, 3&/4 e 7&/4, &/3 e 5&/3

13) a) &/4 b) &/4 c) 7&/2 d) 8&

14) –2sen%

15) a) – 1/3 b) 1/3 c) -1/2

16) a) - 3 /2 b) . / 4/26 , c) - 3 /2

RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS DO CÁLCULO ZERO - TRIGONOMETRIA

Página 52 de 101.

Definição

Chama-se matriz do tipo m x n (m ∈ IN* e n ∈ IN*) a toda tabela M formada por números reais

distribuídos em m linhas e n colunas.

Em uma matriz M de m linhas e n colunas podemos representar seus elementos da seguinte

maneira:

M =

mn5m4m3m2m1m

n22524232221

n11514131211

a...aaaaa

.....................

a...aaaaa

a...aaaaa

Exemplos:

M =

−

5/20

13M =

−

−π−

86016

e2423

0590sen1o

é uma matriz 2 x 2 é uma matriz 3 x 5

Podemos representar os elementos de uma matriz entre parênteses ou entre colchetes.

Adição de matrizes

Chama-se soma de duas matrizes Am x n e Bm x n a matriz Cm x n , cujos elementos são iguais à

soma dos elementos correspondentes de A e B.

Exemplo:

+ =

=

−+

−

−

078

384

218

015

260

391

Dada a matriz A e o número real k, obtemos o produto de k por A, multiplicando-se todos os

elementos de A por k.

Exemplo: Se A =

−

5/20

13 e k = 5, então k.A = 5 .

−

5/20

13 =

−

20

515

A notação usada a14 indica

que este elemento está na

1ª linha e na 4ª coluna.

MATRIZES

de matrizes

Produto de número real por uma matriz

Página 53 de 101.

Dadas duas matrizes Am x n e Bn x p, chama-se produto, que se indica por A.B, a matriz Cm x p tal

que cada elemento da matriz C é calculado da seguinte maneira

cij = ai1 . b1j + ai2 . b2j + ai3 . b3j + ai4 . b4j + ... + ain . bnj

Observação 1: Na multiplicação de matrizes, o número de colunas da primeira matriz deve ser

igual ao número de linhas da segunda matriz.

Observação 2: A matriz resultante da multiplicação de A por B terá o número de linhas da

matriz A e o número de colunas de B.

Veja:

A2 x 3 . B3 x 5 = C2 x 5

=

Exemplo:

Dadas as matrizes A =

− 521

101 e B =

2

0

1

obtenha A.B e B.A, se existirem.

A2 x 3 e B3 x 1 , é possível multiplicarmos A por B, pois o número de colunas de A é igual ao

número de linhas de B. A matriz A.B terá 2 linhas e 1 coluna.

Visualização da multiplicação:

A =

− 521

101

++−

++

2.50.21).1(

2.10.01.1 = A.B Logo A.B =

9

3

B =

2

0

1

B3 x 1 e A2 x 3 não é possível multiplicarmos B por A, pois o número de colunas de A é diferente

do número de linhas de B.

Definição de determinante (n = 3):

Consideremos o conjunto das matrizes quadradas de elementos reais. Seja M uma matriz de

ordem n desse conjunto. Chamamos determinante da matriz M (e indicamos por det M) o

número que podemos obter operando com os elementos de M da seguinte forma:

1º. Se M é de ordem n = 1, então det M é único elemento de M.

[ ] 1111 aMdetaM =⇒=

Exemplo

[ ] 6Mdet6M =⇒= .

Multiplicação de matrizes

DETERMINANTES

Página 54 de 101.

2º. Se M é de ordem n = 2, então det M é o produto dos elementos da diagonal principal

menos o produto dos elementos da diagonal secundária.

211222112221

1211

2221

1211 aaaaaaaa

M detaaaa

M −==⇒

=

Exemplos

( ) 1041232413M det

2413M =⋅−−⋅=

−=⇒

−=

( )yxcosysenxsenycosxcosycosysen

xsenxcosM det

ycosysen

xsenxcosM +=⋅−⋅=

=⇒

=

3º. Se M é de ordem n = 3, isto é,

=

333231

232221

131211

aaaaaaaaa

M então

332112322311312213322113312312332211

333231

232221

131211

aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa

M det −−−++==

Exemplo:

=⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅= 942861753843762951

987

654

321

0

Definição: Seja M uma matriz quadrada de ordem n. O cofator do elemento aij da matriz M é

dado por ijji

ij D)1(A ⋅−=+ , onde Dij é o determinante da matriz M quando excluímos sua linha i

e sua coluna j.

Exemplo:

Três dos cofatores da matriz

−−

−=

613251

702M são:

[ ] 28)230()1)(2(65)1(6125)1(A 211

11 =−+=−−−⋅⋅−=−

−⋅−=

+

[ ] 0)66()3)(2(61)1(6321)1(A 321

12 =−−=−−−⋅⋅−=−

−⋅−=

+

[ ] 14)151()3(5)1(1)1(13

51)1(A 43113 −=+−+=−−−⋅⋅−=

−−⋅−=

+

Página 55 de 101.

: O determinante de uma matriz quadrada de ordem n (qualquer n natural)

pode ser calculado do seguinte modo:

1) escolha uma linha (ou coluna) da matriz e calcule os cofatores dos elementos dessa linha

(ou coluna).

2) calcule o produto dos elementos dessa linha (ou coluna) pelo seu respectivo cofator.

3) o determinante é dado pela soma dos produtos obtidos.

Observação: Para uma matriz de ordem 3,

=

333231

232221

131211

aaaaaaaaa

M , se escolhermos a primeira

linha, teremos que o determinante será dado por

3231

222113

3331

232112

3332

232211

3231

22211113

3331

23212112

3332

23221111

131312121111

aaaa

aaaaa

aaaaa

a

aaaa

)1(aaaaa

)1(aaaaa

)1(a

AaAaAaMdet

⋅+⋅−⋅=

=⋅−⋅+⋅−⋅+⋅−⋅=

=⋅+⋅+⋅=

+++

Exemplo:

344522)1(4)5(11302273

52471501

713502241

=++−=⋅+−⋅−−⋅=⋅+⋅−⋅=

Bibliografia:

1) Iezzi G, Dolce O, Gegenszain D, Périgo R. Matemática. Volume único. Atual editora. São

Paulo, 2002.

2) Iezzi G. Fundamentos da Matemática Elementar- vol. 4. Atual editora. São Paulo, 2000.

Teorema de Laplace: O determinante de uma matriz quadrada de ordem n (qualquer n natural)

Página 56 de 101.

1) Calcule 2A + 3B para:

a) A =

45

31 e B =

−

32

01 b) A =

−12

73

41

e B =

−

−

34

23

11

c) A =

− 31

53

21

e B =

−

−

301

7110

2) Dada a matriz A =

−

75

41

63

, escreva A na forma A = λ B, com B =

wt

zy

x1

e na forma

A = α C, com

=

f1

dc

ba

C .

3) Calcule os seguintes produtos:

a) [ ]5120.3

1−

−

b) ( )

− 0

3

2

1

1

0

.192

4) Sendo A =

−

oo

oo

15cos15sen

15sen15cos , calcule 2(A.A).

Lembrete: sen(2a) = 2sen(a).cos(a) cos(2a) = cos2(a) - sen2(a)

1) Calcule os determinantes abaixo:

a) 71

52b)

51

ba

−

c)

132

479

321

d)

144

037

021

−

2) Para quais valores de a e b o determinante ba2

a3

1a2

pode ser zero?

3) Para que valores de a, o determinante

13a

2x1

1x2x2

pode se anular? (Considere que x é raiz

real do polinômio de segundo grau correspondente).

Exercícios sobre matrizes

Exercícios sobre determinantes

Página 57 de 101.

4) Utilize o teorema de Laplace para calcular os determinantes abaixo.

Observação: 3231

222113

3331

232112

3332

232211

333231

232221

131211

aa

aaa

aa

aaa

aa

aaa

aaa

aaa

aaa

⋅+⋅−⋅=

a)

574

213

752

− b)

741

123

301

−

c)

413

312

cba

d)

301

112

kji

−

RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS DO CÁLCULO ZERO – MATRIZES E DETERMINANTES

MATRIZES

1) a)

−

1716

61b)

−1116

2015

55

c) Não é possível realizar a operação 2A + 3B, pois

as matrizes A3 x 2 e B2 x 3 não são de mesmo tipo.

2) A = 3

−

3/73/5

3/43/1

21

A = 5

−

5/71

5/45/1

5/65/3

3) a)

−−

−

15360

5120b) ( )318

4)

−

31

13

DETERMINANTES 1) a) 9 b)-5a-b c) 32 d) -11. 2) a = 0 ou b = 2/3

3) 613,3469218a ≈+> ou 387,169218a ≈−< . 4) a) 102

b) 52

c) cba1312c43

32b4131a

413312cba

−+=+−=

d) kjikji

kji

+−=−⋅+

−⋅−⋅=

−

7301

12

31

12

30

11

301

112

RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS DO CÁLCULO ZERO – MATRIZES E DETERMINANTES–

Página 58 de 101.

Sistemas Lineares Equação linear

Equação linear é toda equação da forma:

a1x1 + a2x2+ a3x3 + ... + anxn = b

em que a1, a2, a3, ... , an são números reais, que recebem o nome de coeficientes das incógnitas

x1, x2,x3, ... , xn, e b é um número real chamado termo independente ( quando b=0, a equação recebe o nome de linear homogênea).

Veja alguns exemplos de equações lineares:

! 3x - 2y + 4z = 7 ! -2x + 4z = 3t - y + 4

! (homogênea)

As equações a seguir não são lineares:

! xy - 3z + t = 8 ! x2- 4y = 3t - 4 !

Sistema linear

Um conjunto de equações lineares da forma:

é um sistema linear de m equações e n incógnitas.

A solução de um sistema linear é a n-upla de números reais ordenados (r1, r2, r3,..., rn) que é, simultaneamente, solução de todas as equações do sistema.

Matrizes associadas a um sistema linear

A um sistema linear podemos associar as seguintes matrizes:

! matriz incompleta: a matriz A formada pelos coeficientes das incógnitas do sistema.

Página 59 de 101.

Em relação ao sistema:

a matriz incompleta é:

! matriz completa: matriz B que se obtém acrescentando à matriz incompleta uma última coluna formada pelos termos independentes das equações do sitema.

Assim, para o mesmo sistema acima, a matriz completa é:

Sistemas homogêneos

Um sistema é homogêneo quando todos os termos independentes da equações são nulos:

Veja um exemplo:

A n-upla (0, 0, 0,...,0) é sempre solução de um sistema homogêneo com n incógnitas e recebe o nome de solução trivial. Quando existem, as demais soluções são chamadas não-triviais.

Página 60 de 101.

Classificação de um sistema quanto ao número de soluções

Resolvendo o sistema , encontramos uma única solução: o par ordenado (3,5). Assim, dizemos que o sistema é possível (tem solução) e determinado (solução única).

No caso do sistema , verificamos que os pares ordenados (0,8), (1,7),(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),...são algumas de suas infinitas soluções. Por isso, dizemos que o sistema é possível (tem solução) e indeterminado (infinitas soluções).

Para , verificamos que nenhum par ordenado satisfaz simultaneamente as equações. Portanto, o sistema é impossível (não tem solução).

Resumindo, um sistema linear pode ser:

a) possível e determinado (solução única); b) possível e indeterminado (infinitas soluções); c) impossível (não tem solução).

Sistema normal

Um sistema é normal quando tem o mesmo número de equações (m) e de incógnitas (n) e o determinante da matriz incompleta associada ao sistema é diferente de zero.

Se m=n e det A 0, então o sistema é normal.

Regra de Cramer

Todo sistema normal tem uma única solução dada por:

em que i { 1,2,3,...,n}, D= det A é o determinante da matriz incompleta associada ao sistema, e Dxi é o determinante obtido pela substituição, na matriz incompleta, da coluna i pela coluna formada pelos termos independentes.

Discussão de um sistema linear

Se um sistema linear tem n equações e n incógnitas, ele pode ser:

a) possível e determinado, se D=det A 0; caso em que a solução é única.

Página 61 de 101.

Exemplo:

m=n=3

Então, o sistema é possível e determinado, tendo solução única.

b) possível e indeterminado, se D= Dx1 = Dx2 = Dx3 = ... = Dxn= 0, para n=2. Se n 3, essa condição só será válida se não houver equações com coeficientes das incógnitas respectivamente proporcionais e termos independentes não-proporcionais.

Um sistema possível e indeterminado apresenta infinitas soluções.

Exemplo:

D=0, Dx =0, Dy=0 e Dz=0

Assim, o sistema é possível e indeterminado, tendo infinitas soluções.

c) impossível, se D=0 e Dxi 0, 1 i n; caso em que o sistema não tem solução.

Exemplo:

Como D=0 e Dx 0, o sistema é impossível e não apresenta solução.

Página 62 de 101.

Sistemas Equivalentes

Dois sistemas são equivalentes quando possuem o mesmo conjunto solução.

Por exemplo, dados os sistemas:

e

verificamos que o par ordenado (x, y) = (1, 2) satisfaz ambos e é único. Logo, S1 e S2 são equivalentes: S1 ~ S2.

Propriedades

a) Trocando de posição as equações de um sistema, obtemos outro sistema equivalente.

Por exemplo:

e

S1 ~S2

b) Multiplicando uma ou mais equações de um sistema por um número K (K IR*), obtemos um sistema equivalente ao anterior. Por exemplo:

S1 ~S2

c) Adicionando a uma das equações de um sistema o produto de outra equação desse mesmo sistema por um número k ( K IR*), obtemos um sistema equivalente ao anterior.

Por exemplo:

Dado , substituindo a equação (II) pela soma do produto de (I) por -1 com (II), obtemos:

S1~S2, pois (x,y)=(2,1) é solução de ambos os sistemas.

Página 63 de 101.

Sistemas escalonados

Utilizamos a regra de Cramer para discutir e resolver sistemas lineares em que o número de equações (m) é igual ao número de incógnitas (n). Quando m e n são maiores que três, torna-se muito trabalhoso utilizar essa regra. Por isso, usamos a técnica do escalonamento, que facilita a discussão e resolução de quaisquer sistemas lineares. Dizemos que um sistema, em que existe pelo menos um coeficiente não-nulo em cada equação, está escalonado se o número de coeficientes nulos antes do primeiro coeficiente não nulo aumenta de equação para equação.

Para escalonar um sistema adotamos o seguinte procedimento:

a) Fixamos como 1º equação uma das que possuem o coeficiente da 1º incógnita diferente de zero.

b) Utilizando as propriedades de sistemas equivalentes, anulamos todos os coeficientes da 1ª incógnita das demais equações.

c) Repetimos o processo com as demais incógnitas, até que o sistema se torne escalonado.

Vamos então aplicar a técnica do escalonamento, considerando dois tipos de sistema:

I. O número de equações é igual ao número de incógnitas (m=n)

Exemplo 1:

1º passo: Anulamos todos os coeficientes da 1º incógnita a partir da 2º equação, aplicando as propriedades dos sistemas equivalentes:

! Trocamos de posição a 1º equação com a 2º equação, de modo que o 1º coeficiente de x seja igual a 1:

! Trocamos a 2º equação pela soma da 1º equação, multiplicada por -2, com a 2º equação:

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2º passo: Anulamos os coeficientes da 2º incógnita a partir da 3º equação:


Agora o sistema está escalonado e podemos resolvê-lo.

-2z=-6 z=3

Substituindo z=3 em (II):

-7y - 3(3)= -2 -7y - 9 = -2 y=-1

Substituindo z=3 e y=-1 em (I):

x + 2(-1) + 3= 3 x=2

Então, x=2, y=-1 e z=3

Exemplo 2:

1º passo: Anulamos todos os coeficientes da 1º incógnita a partir da 2º equação:

! Trocamos a 2º equação pela soma do produto da 1º equação por -2 com a 2º equação:

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2º passo: Anulamos os coeficientes da 2ª incógnita, a partir da 3º equação:

! Trocamos a 3ª equação pela soma do produto da 2ª equação por -1 com a 3º equação:

Dessa forma, o sistema está escalonando. Como não existe valor real de z tal que 0z=-2, o sistema é impossível.

II) O número de equações é menor que o número de incógnitas (m < n)

Exemplo:

1º passo: Anulamos todos os coeficientes da 1º incógnita a partir da 2º equação:



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2º passo: Anulamos os coeficientes da 2º incógnita, a partir da 3º equação:

! Trocamos a 3º equação pela soma do produto da 2º equação por -3 com a 3º equação

O sistema está escalonado. Como m<n, o sistema é possível e indeterminado, admitindo infinitas soluções. A diferença entre o número de incógnitas (n) e o de equações (m) de um sistema nessas condições é chamada grau de indeterminação (GI):

GI= n - m

Para resolver um sistema indeterminado, procedemos do seguinte modo:

! Consideramos o sistema em sua forma escalonada:

! Calculamos o grau de indeterminação do sistema nessas condições:

GI = n-m = 4-3 = 1

Como o grau de indeterminação é 1, atribuímos a uma das incógnitas um valor , supostamente conhecido, e resolvemos o sistema em função desse valor. Sendo t= , substituindo esse valor na 3º equação, obtemos:

12z - 6 = 30 12z= 30 + 6 =

Conhecidos z e t, substituímos esses valores na 2º equação:

Conhecidos z,t e y, substituímos esses valores na 1º equação:

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Assim, a solução do sistema é dada por S= , com IR.

Para cada valor que seja atribuído a , encontraremos uma quádrupla que é solução para o sistema.

!

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Um sistema de equações com duas variáveis, x e y, é um conjunto de equações do tipo

ax + by = c(a, b, c ∈∈∈∈ R)

ou de equações redutíveis a esta forma.

Exemplo:

2x – 3y = 13x + 3y = 9

Resolver um sistema significa encontra todos os pares ordenados (x ; y) onde os valores de x ede y satisfazem a todas as equações do sistema ao mesmo tempo.

Exemplo:

No sistema indicado no exemplo anterior, o único par ordenado capaz de satisfazer às duasequações simultaneamente é:

(x ; y) = (2 ; 1)

Ou seja, x = 2 e y = 1

Resolução algébrica

Dentre os vários métodos de resolução algébrica aplicáveis aos sistemas do 1º grau,destacamos dois:

a) método da adição

b) método da substituição

Para exemplificá-los, resolveremos o sistema seguinte pelos dois métodos:

2x + y = 7 (I)3x + 2y = 12 (II)

a) Método da Adição

1º passo: multiplicamos as equações por números escolhidos de forma a obtermos coeficientesopostos em uma das variáveis.

No caso, poderemos multiplicar a equação (I) por –2:

2x + y = 7 -4x – 2y = -14

-4x – 2y = -14 3x + 2y = 12

Observe agora que a variável y tem, agora, coeficientes opostos.

2º passo: somamos membro a membro as equações encontradas:

-4x – 2y = -14 3x + 2y = 12

-1x + 0 = -2

A variável y foi cancelada restando apenas a variável x na última equação.

3º passo: resolvemos a equação resultante que tem somente uma variável:

{

{

X (-2)

!

ÁLGEBRA LINEAR

SISTEMAS DE EQUAÇÕES DO 1º GRAU COM DUAS VARIÁVEIS

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-1x = -2

4º passo: o valor da variável encontrada é substituído numa das equações iniciais que contenhatambém a outra variável e, então, resolvemos a equação resultante:

2x + y = 72(2) + y = 7

4 + y = 7y = 7 - 4

b) Método da Substituição

1º passo: isolamos uma das variáveis em uma das equações dadas:

2x + y = 7 → y = 7 – 2x3x + 2y = 12

2º passo: a variável isolada é substituída na outra equação e, então, resolvemos a equação resultanteque tem somente uma variável:

3x + 2y = 123x + 2(7 - 2x) = 123x + 14 – 4x = 123x – 4x = 12 – 14

-1x = -2

3º passo: levamos o valor encontrado para a equação que tem a variável isolada e calculamos o valordesta:

y = 7 – 2xy = 7 – 2(2)

y = 7 – 4

4º passo: escrevemos o conjunto solução:

S = {(2; 3)}

Se, ao tentarmos encontrar o valor de uma das variáveis, chegarmos a uma expressão do tipo

0 = 0ou

3 = 3

ou qualquer outra que expresse uma sentença, sempre verdadeira, o sistema terá infinitas soluções ediremos que ele é possível mas indeterminado.

Sistema impossível

Se, ao tentarmos encontrar o valor de uma das variáveis, chegarmos a uma expressão do tipo

x = 2

y = 3

{

x = 2

y = 3

Sistema indeterminado

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0 = 3ou

2 = 5

ou qualquer outra que expresse uma sentença sempre falsa, o sistema não terá qualquer solução ediremos que ele é impossível.

O conjunto-solução de um sistema impossível é vazio.

Vamos considerar um sistema de 1º grau com duas variáveis e duas equações:

ax + by = c(r)mx + ny = p(s)

* Cada equação do sistema representa uma reta

A pergunta-chave é: “Quantos pontos coincidem entre as retas?” Pois cada ponto comumàs retas do sistema corresponde a uma solução.

Graficamente, existirão três situações possíveis:

1º) Retas Concorrentes

Se as retas forem concorrentes o sistema terá uma única solução. Será um sistema possível edeterminado.

2º) Retas Paralelas Coincidentes

Se as retas forem coincidentes o sistema terá infinitas soluções. Será um sistema possível, masindeterminado.

* Infinitos pontos coincidentes

3º) Retas Paralelas Distintas

{

x

yr

s

x

y

r = s

Resolução Gráfica

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Se as retas forem paralelas e distintas o sistema não terá qualquer solução. Será um sistemaimpossível.

* Nenhum ponto coincidente

1) Resolva os seguintes sistemas:

a) x + y = 5x - y = 1

b) x + 2y = 7x - 2y = 3

c) x + 2y = 11x - y = 5

d) 2x + y = 112x - 3y = -1

e) x + 2y = 13x - y = 7

f) x + 3y = -42x - y = 6

g) 3x - 7y = 134x + 5y = 3

h) 2x + 5y = 173x - 2y = 16

2) Dividir o número 85 em duas partes iguais tais que a maior exceda a menor em 21 unidades.

3) Dois números são tais que multiplicando-se o maior por 5 e o menor por 6 os produtos serão iguais.O menor, aumentado de 1 unidade, fica igual ao maior, diminuído de 2 unidades. Quais são estesnúmeros?

4) Numa gincana cultural, cada resposta correta vale 5 pontos mas perdem-se 3 pontos para cadaresposta errada. Em 20 perguntas, minha equipe só conseguiu 44 pontos. Quantas perguntas elaacertou?

x

y rs

{

{

{

{

{

{

{

{

EXERCÍCIOS

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5) Somando-se 8 ao numerador, uma fração fica equivalendo a 1. Se, em vez disso, somássemos 7 ao

denominador, a fração ficaria equivalente a . Qual é a fração original?

6) Num quintal encontram-segalinhas e coelhos, num total de 30 animais. Contando-se os pés seriam,ao todo, 94. Quantos coelhos e quantas galinhas estão no quintal?

7) A soma dos valores absolutos dos dois algarismos de um número é 9. Somado com 27, totalizaoutro número, representado pelos mesmos algarismos dele, mas na ordem inversa. Qual é estenúmero?

8) O mago Paulo Coelho tem em seu “laboratório” algumas cobras, sapos e morcegos. Ao todo são 14cabeças, 26 patas e 6 asas. Quantos animais de cada tipo estão no laboratório?

9) Calcular três números tais que a soma do 1º com o 2º é 40, a soma do 2º com o 3º é 70 e a soma do1º o 3º é 60.

10) José Antônio tem o dobro da idade que Antônio José tinha quando José Antônio tinha a idade queAntônio José tem. Quando Antônio José tiver a idade que José Antônio tem, a soma das idades delesserá 63 anos. Quantos anos tem cada um deles?

11) Uma ração para canários é composta por dois tipos de sementes, A e B. Cada uma delas contémtrês nutrientes importantes, x, y e z, em quantidades diferentes, conforme mostrado na tabela abaixo.

x y z

A 5 3 1

B 4 6 2

Se a ração for preparada com 2 partes da semente A e 3 partes da semente B, qual a quantidade queencontraremos para cada um dos três nutrientes?

Enunciado para as questões 12 e 13:

Ao se compararem 3 projetos diferentes para residências, constatou-se que as quantidades utilizadaspara 4 materiais de acabamento variavam de um projeto para outro de acordo com a tabela abaixo quemostra as quantidades utilizadas para cada um deles.

tintas cerâmicas louças vidros

Projeto A 6 9 4 6

Projeto B 8 4 3 5

Projeto C 5 10 2 4

Sabe-se que os custos unitários de cada material são: tinta = $ 12; cerâmica = $ 15; louça = $ 8 e vidro= $ 9. Pergunta-se:

12) Qual dos três projetos terá o menor custo de acabamento e de quanto será este custo?

2

1

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13) Se uma cooperativa construir uma vila com 3, 5 e 2 casas de projetos A, B e C respectivamente,qual será o custo total do material de acabamento?

14) Uma fábrica produz três tipos de fertilizantes para o solo, A, B e C, cada um deles contendodeterminada quantidade de nitrogênio (N), de fósforo (P) e de potássio (K). A tabela abaixo mostra, emg/kg, as concentrações de N, P e K em cada tipo de fertilizante.

N P K

A 1 3 4

B 2 3 5

C 3 0 3

15) Uma fábrica especializada em equipamentos de computação fabrica três tipos de computadores: A,B e C, empregando, em cada um, componentes X, Y, Z e W, nas quantidades indicadas na tabelaabaixo.

X Y Z W

A 5 20 16 7

B 7 18 12 9

C 6 25 8 5

Sabe-se que os preços, por unidade, dos componentes X, Y, Z e W são, respectivamente, $ 15.000, $8.000, $ 5.000 e $ 1.000. Os preços unitários de cada tipo de micro, A, B e C, serão, respectivamente:

a) $ 335.000, $ 318.000 e $ 322.000

b) $ 335.000, $ 322.000 e $ 318.000

c) $ 322.000, $ 318.000 e $ 335.000

d) $ 318.000, $ 322.000 e $ 335.000

e) $ 322.000, $ 335.000 e $ 318.000

16) Para uma construção foram pesquisados três tipos de concreto, de três diferentes fábricas, A, B eC. Para cada quilo de concreto, determinou-se que:

I – O concreto da fábrica A tem 1 unidade de brita, 3 de areia e 4 de cimento.

II – O concreto da fábrica B tem 2, 3 e 5 unidades, respectivamente, de brita, areia e cimento.

III – o concreto da fábrica C tem 3 unidades de brita, 2 de areia e 3 de cimento.

O concreto ideal deverá conter 23 unidades de brita, 25 de areia e 38 de cimento. Usando-se concretodas três fábricas, as quantidades, em kg, de cada uma delas, necessárias para se obter o concretoideal serão, respectivamente, para A, B e C:

a) 5, 3 e 2

b) 4, 4 e 2

c) 3, 4 e 5

d) 2, 3 e 5

e) 1, 5 e 3

17) As idades de quatro pessoas são tais que:

a soma das três primeiras é 73 anos;

a soma das três últimas é 60;

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a primeira somada com as duas últimas é 63;

a última somada com as duas primeiras é 68.

A idade da mais velha é:

a) 32 b) 28 c) 25 d) 20 e) 15

18) Quando o professor Oliveira entrou na sala dos professores, o número de professores (homens)presentes ficou igual ao triplo do número de professoras. Se, juntamente com Oliveira, entrassetambém uma professora, o número destas seria a metade do número de professores (homens).Professores e Professoras, quantos estavam na sala após a chegada do mestre Oliveira?

a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9

19) Um colégio tem 525 alunos, entre moças e rapazes. A soma dos quocientes do número de rapazespor 25 com o do número de moças por 30 é igual a 20. Seja r o número de rapazes e m o de moças,pode-se afirmar que:

a) r é 40% de (r + m)

b) (r + m) é 250% de m

c) r é 150% maior que m

d) (r - m) é 150% maior que m

e) m é 60% de r

20) No sistema abaixo, cada letra representa um número inteiro de 1 a 6.

A + B + C = 12C + D + E = 14E + F + A = 10

Então:

a) A = 6 b) B = 5 c) C = 4 d) D = 3 e) E = 2

1) a) (3; 2) c) (7; 2) e) (3; -1) g) (2; -1)

b) (5; 1) d) (4; 3) f) (2; -2) h) (6; 1)

2) 53 e 32

3) 15 e 18

4) 13 perguntas

5) 15/23

6) 13 galinhas e 17 coelhos

7) 36

8) 6 cobras, 5 sapos, 3 morcegos (e 1 Coelho – o Paulo Coelho)

9) O primeiro é 15, o segundo é 25 e o terceiro é 45.

10) José Antônio tem 28 anos e Antônio José tem 21 anos.

11) x = 22, y = 24 e z = 8.

12) O projeto B: $ 225,00

13) $ 2.816,00

14) A: 1 kg; B: 2 kg e C: 2 kg.

{

GABARITO:

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15) c

16) d

17) b

18) d

19) c

20 d

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Chama-se experimento aleatório àquele cujo resultado é imprevisível, porém pertencenecessariamente a um conjunto de resultados possíveis denominado espaço amostral.Qualquer subconjunto desse espaço amostral é denominado evento.

Se este subconjunto possuir apenas um elemento, o denominamos evento elementar.

Por exemplo, no lançamento de um dado, o nosso espaço amostral seria U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Exemplos de eventos no espaço amostral U:

A: sair número maior do que 4: A = {5, 6}

B: sair um número primo e par: B = {2}

C: sair um número ímpar: C = {1, 3, 5}

Nota: O espaço amostral é também denominado espaço de prova.

Trataremos aqui dos espaços amostrais equiprováveis, ou seja, aqueles onde os eventoselementares possuem a mesma chance de ocorrerem.

Por exemplo, no lançamento do dado acima, supõe-se que sendo o dado perfeito, as chancesde sair qualquer número de 1 a 6 são iguais. Temos então um espaço equiprovável.

Em oposição aos fenômenos aleatórios, existem os fenômenos determinísticos, que sãoaqueles cujos resultados são previsíveis, ou seja, temos certeza dos resultados a serem obtidos.

Normalmente existem diversas possibilidades possíveis de ocorrência de um fenômenoaleatório, sendo a medida numérica da ocorrência de cada uma dessas possibilidades, denominadaProbabilidade.

Consideremos uma urna que contenha 49 bolas azuis e 1 bola branca. Para uma retirada,teremos duas possibilidades: bola azul ou bola branca. Percebemos entretanto que será muito maisfreqüente obtermos numa retirada, uma bola azul, resultando daí, podermos afirmar que o evento "sairbola azul" tem maior probabilidade de ocorrer, do que o evento "sair bola branca".

Seja U um espaço amostral finito e equiprovável e A um determinado evento ou seja, umsubconjunto de U. A probabilidade p(A) de ocorrência do evento A será calculada pela fórmula

p(A) = n(A) / n(U)

onde:

n(A) = número de elementos de A e n(U) = número de elementos do espaço de prova U.

Vamos utilizar a fórmula simples acima, para resolver os seguintes exercícios introdutórios:

1.1 - Considere o lançamento de um dado. Calcule a probabilidade de:

a) sair o número 3:

Temos U = {1, 2, 3, 4, 5, 6} [n(U) = 6] e A = {3} [n(A) = 1]. Portanto, a probabilidade procurada seráigual a p(A) = 1/6.

b) sair um número par: agora o evento é A = {2, 4, 6} com 3 elementos; logo a probabilidade procuradaserá p(A) = 3/6 = 1/2.

c) sair um múltiplo de 3: agora o evento A = {3, 6} com 2 elementos; logo a probabilidade procuradaserá p(A) = 2/6 = 1/3.

d) sair um número menor do que 3: agora, o evento A = {1, 2} com dois elementos. Portanto, p(A) = 2/6= 1/3.

PROBABILIDADES

1 – Introdução

2 – Conceito elementar de Probabilidade

Página 77 de 101.

e) sair um quadrado perfeito: agora o evento A = {1,4} com dois elementos. Portanto, p(A) = 2/6 = 1/3.

1.2 - Considere o lançamento de dois dados. Calcule a probabilidade de:

a) sair a soma 8

Observe que neste caso, o espaço amostral U é constituído pelos pares ordenados (i,j), onde i =número no dado 1 e j = número no dado 2.

É evidente que teremos 36 pares ordenados possíveis do tipo (i, j) onde i = 1, 2, 3, 4, 5, ou 6, o mesmoocorrendo com j.

As somas iguais a 8, ocorrerão nos casos:(2,6),(3,5),(4,4),(5,3) e (6,2). Portanto, o evento "soma iguala 8" possui 5 elementos. Logo, a probabilidade procurada será igual a p(A) = 5/36.

b) sair a soma 12

Neste caso, a única possibilidade é o par (6,6). Portanto, a probabilidade procurada será igual a p(A) =1/36.

1.3 – Uma urna possui 6 bolas azuis, 10 bolas vermelhas e 4 bolas amarelas. Tirando-se uma bola comreposição, calcule as probabilidades seguintes:

a) sair bola azul

p(A) = 6/20 = 3/10 = 0,30 = 30%

b) sair bola vermelha

p(A) = 10/20 =1/2 = 0,50 = 50%

c) sair bola amarela

p(A) = 4/20 = 1/5 = 0,20 = 20%

Vemos no exemplo acima, que as probabilidades podem ser expressas como porcentagem.Esta forma é conveniente, pois permite a estimativa do número de ocorrências para um númeroelevado de experimentos. Por exemplo, se o experimento acima for repetido diversas vezes, podemosafirmar que em aproximadamente 30% dos casos, sairá bola azul, 50% dos casos sairá bola vermelhae 20% dos casos sairá bola amarela. Quanto maior a quantidade de experimentos, tanto mais adistribuição do número de ocorrências se aproximará dos percentuais indicados.

P1: A probabilidade do evento impossível é nula.

Com efeito, sendo o evento impossível o conjunto vazio (Ø), teremos:

p(Ø) = n(Ø)/n(U) = 0/n(U) = 0

Por exemplo, se numa urna só existem bolas brancas, a probabilidade de se retirar uma bola verde(evento impossível, neste caso) é nula.

P2: A probabilidade do evento certo é igual a unidade.

Com efeito, p(A) = n(U)/n(U) = 1

Por exemplo, se numa urna só existem bolas vermelhas, a probabilidade de se retirar uma bolavermelha (evento certo, neste caso) é igual a 1.

P3: A probabilidade de um evento qualquer é um número real situado no intervalo real [0, 1].

Esta propriedade, decorre das propriedades 1 e 2 acima.

3 – Propriedades

Página 78 de 101.

P4: A soma das probabilidades de um evento e do seu evento complementar é igual a unidade.

Seja o evento A e o seu complementar A'. Sabemos que A U A' = U.

n(A U A') = n(U) e, portanto, n(A) + n(A') = n(U).

Dividindo ambos os membros por n(U), vem:

n(A)/n(U) + n(A')/n(U) = n(U)/n(U), de onde conclui-se:

p(A) + p(A') = 1

Nota: esta propriedade simples, é muito importante pois facilita a solução de muitos problemasaparentemente complicados. Em muitos casos, é mais fácil calcular a probabilidade do eventocomplementar e, pela propriedade acima, fica fácil determinar a probabilidade do evento.

P5: Sendo A e B dois eventos, podemos escrever:

p(A U B) = p(A) + p(B) – p(A ∩∩∩∩ B)

Observe que se A ∩ B= Ø (ou seja, a interseção entre os conjuntos A e B é o conjunto vazio), entãop(A U B) = p(A) + p(B).

Com efeito, já sabemos da Teoria dos Conjuntos que

n(A U B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B)

Dividindo ambos os membros por n(U) e aplicando a definição de probabilidade, concluímosrapidamente a veracidade da fórmula acima.

Exemplo:

Em uma certa comunidade existem dois jornais J e P. Sabe-se que 5000 pessoas são assinantes dojornal J, 4000 são assinantes de P, 1200 são assinantes de ambos e 800 não lêem jornal. Qual aprobabilidade de que uma pessoa escolhida ao acaso seja assinante de ambos os jornais?

SOLUÇÃO:

Precisamos calcular o número de pessoas do conjunto universo, ou seja, nosso espaço amostral.

Teremos:n(U) = N(J U P) + N.º de pessoas que não lêem jornais.

n(U) = n(J) + N(P) – N(J ∩ P) + 800

n(U) = 5000 + 4000 – 1200 + 800

n(U) = 8600

Portanto, a probabilidade procurada será igual a:

p = 1200/8600 = 12/86 = 6/43.

Logo, p = 6/43 = 0,1395 = 13,95%.

A interpretação do resultado é a seguinte: escolhendo-se ao acaso uma pessoa da comunidade, aprobabilidade de que ela seja assinante de ambos os jornais é de aproximadamente 14%.(contra 86%de probabilidade de não ser).

Considere que desejamos calcular a probabilidade da ocorrência de um evento A, sabendo-sede antemão que ocorreu um certo evento B. Pela definição de probabilidade vista anteriormente,sabemos que a probabilidade de A deverá ser calculada, dividindo-se o número de elementos deelementos de A que também pertencem a B, pelo número de elementos de B. A probabilidade deocorrer A, sabendo-se que já ocorreu B, é denominada Probabilidade condicional e é indicada porp(A/B) – probabilidade de ocorrer A sabendo-se que já ocorreu B – daí, o nome de probabilidadecondicional.

Teremos então:

4 – Probabilidade condicional

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p(A/B) = n(A ∩ ∩ ∩ ∩ B)/ n(B)

onde A ∩ B = interseção dos conjuntos A e B.

Esta fórmula é importante, mas pode ser melhorada. Vejamos:

Ora, a expressão acima, pode ser escrita sem nenhum prejuízo da elegância, nem do rigor, como:

p(A/B) = [n(A ∩ B)/n(U)] . [n(U)/n(B)]

p(A/B) = p(A ∩ B) . 1/p(B)

Vem, então: P(A/B) = p(A ∩ B)/p(B), de onde concluímos finalmente:

p(A ∩ B) = p(A/B).p(B)

Esta fórmula é denominada Lei das Probabilidades Compostas.

Esta importante fórmula, permite calcular a probabilidade da ocorrência simultânea dos eventos A e B,sabendo-se que já ocorreu o evento B.

Se a ocorrência do evento B, não mudar a probabilidade da ocorrência do evento A, então p(A/B) =p(A) e, neste caso, os eventos são ditos independentes, e a fórmula acima fica:

p(A ∩ ∩ ∩ ∩ B) = p(A) . p(B)

Podemos então afirmar, que a probabilidade de ocorrência simultânea de eventos independentes, éigual ao produto das probabilidades dos eventos considerados.

Exemplo:

Uma urna possui cinco bolas vermelhas e duas bolas brancas.

Calcule as probabilidades de:

a) em duas retiradas, sem reposição da primeira bola retirada, sair uma bola vermelha (V) e depoisuma bola branca (B).

Solução:p(V ∩ B) = p(V) . p(B/V)

p(V) = 5/7 (5 bolas vermelhas de um total de 7).

Supondo que saiu bola vermelha na primeira retirada, ficaram 6 bolas na urna. Logo:

p(B/V) = 2/6 = 1/3

Da lei das probabilidades compostas, vem finalmente que:

P(V ∩ B) = 5/7 . 1/3 = 5/21 = 0,2380 = 23,8%

b) em duas retiradas, com reposição da primeira bola retirada, sair uma bola vermelha e depois umabola branca.

Solução:

Com a reposição da primeira bola retirada, os eventos ficam independentes. Neste caso, aprobabilidade buscada poderá ser calculada como:

P(V ∩ B) = p(V) . p(B) = 5/7 . 2/7 = 10/49 = 0,2041 = 20,41%

Observe atentamente a diferença entre as soluções dos itens (a) e (b) acima, para um entendimentoperfeito daquilo que procuramos transmitir.

Vimos que num espaço amostral U, finito e equiprovável, a probabilidade de ocorrência de um eventoA é dada por:

onde n(A) = n.º de elementos de A e n(U) = n.º de elementos de U.

)(

)()(

Un

AnAp =

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Sabe-se que p(A) é um número real que pode assumir valores de 0 a 1, sendo p(A) = 0, aprobabilidade de um evento impossível (conjunto vazio) e p(A) = 1, a probabilidade de um evento certo(conjunto universo).

Já sabemos também que definido um evento A, podemos considerar o seu eventocomplementar

A’ = {x ∈U; x ∉ A}.

Além disto, vimos que p(A’) = 1 – p(A).

Vejamos um exemplo de aplicação imediata das fórmulas acima:

Ao sortear ao acaso um dos números naturais menores que 100, qual a probabilidade do númerosorteado ser menor do que 30?

Ora, neste caso, o nosso espaço amostral é: U = {0,1,2,3, ... , 99}.

O evento A é igual a: A ={0,1,2,3, ... , 29}.

O evento complementar de A é igual a: A’= {30,31,32, ... , 99}.

Temos que: n(U) = 100, n(A) = 30 e n(A’) = 70.

Portanto:

p(A) = 30/100 = 0,30 = 30%

p(A’) = 70/100 = 0,70 = 70%

Vemos que p(A) + p(A’) = 0,30 + 0,70 = 1, o que confirma que a probabilidade de um evento somada àprobabilidade do seu evento complementar, é igual à unidade.

Vimos também que, sendo A e B dois eventos do espaço amostral U, podemos escrever:

p(A ∪ B) = p(A) + p(B) – p(A ∩ B)

Vejamos um exemplo de aplicação da fórmula supra:

No lançamento de um dado, determine a probabilidade de se obter um número ímpar ou mais de 4pontos na face de cima.

Ora, neste caso, teremos:

Espaço amostral: U = {1,2,3,4,5,6} \ n(U) = 6

Evento A: A = {1,3,5} \ n(A) = 3

Evento B: B = {5,6} \ n(B) = 2

Evento interseção: A ∩ B = {5} \ n(A ∩ B) = 1

Então, vem: p(A ∪ B) = 3/6 + 2/6 – 1/6 = 4/6 = 2/3 = 0,6667 = 66,67%.

NOTA: Se A ∩ B = f , então dizemos que A e B são eventos mutuamente exclusivos, e, neste caso,p(A ∪ B) = p(A) + p(B), já que p(∅) = 0 [evento impossível].

Vejamos um exemplo ilustrativo do caso acima:

Suponha que no lançamento de um dado, deseja-se saber qual a probabilidade de se obter um númeropar ou um número menor do que 2.

Temos os seguintes eventos:

A = {2,4,6} ∴ n(A) = 3

B = {1} ∴ n(B) = 1

A ∩ B = ∅ ∴ n(A ∩ B) = 0

Portanto, p(A ∪ B) = 3/6 + 1/6 = 4/6 = 2/3 = 0,6667 = 66,67%

Vimos também que a probabilidade de ocorrência simultânea de dois eventos A e B é dada por:

p(A ∩∩∩∩ B) = p(A) . p(B/A) ou p(A ∩∩∩∩ B) = p(B) . p(A/B)

onde:

p(A/B) = probabilidade de ocorrer A, sabendo-se que ocorreu o evento B.

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p(B/A) = probabilidade de ocorrer B, sabendo-se que ocorreu o evento A.

Se a ocorrência do evento B não modifica a chance de ocorrer o evento A, diremos que os eventos A eB são INDEPENDENTES e, neste caso, teremos que p(B/A) = p(B), e a fórmula resume-se a:p(A ∩ B) = p(A).p(B)

O exemplo ilustrativo a seguir, ajudará a entender a afirmação supra:

Qual a probabilidade de em dois lançamentos de um dado, se obter número par no primeiro e númeroímpar no segundo?

Ora, os eventos são obviamente independentes, pois a ocorrência de um não afeta o outro.Logo, teremos:p(A ∩ B) = p(A).p(B) = 3/6 . 3/6 = 1/2.1/2 = 1/4 = 0,25 = 25%.

Vejamos agora, um exemplo de eventos dependentes:

Suponha que uma caixa possui duas bolas pretas e quatro verdes, e, outra caixa possui uma bola pretae três bolas verdes. Passa-se uma bola da primeira caixa para a segunda, e retira-se uma bola dasegunda caixa. Qual a probabilidade de que a bola retirada da segunda caixa seja verde?

Este problema envolve dois eventos mutuamente exclusivos, quais sejam:

Ou a bola transferida é verde ou a bola transferida é preta.

Ora, teremos: (observe atentamente a simbologia utilizada, comparando com o que foi ditoanteriormente).

1ª possibilidade: a bola transferida é verde:

Probabilidade de que a bola transferida seja verde = p(V) = 4/6 = 2/3

(4 bolas verdes em 6).

Portanto, a probabilidade que saia BOLA VERDE na 2ª caixa, supondo-se que a bola transferida é decor VERDE, será igual a:

P(V/V’) = 4/5 (a segunda caixa possui agora, 3 bolas verdes + 1 bola verde transferida + 1 bola preta,portanto, 4 bolas verdes em 5).

Pela regra da probabilidade condicional, vem:

P(V ∩ V’) = p(V) . p(V/V’) = 2/3 . 4/5 = 8/15

2ª possibilidade: a bola transferida é preta:

Probabilidade de que a bola transferida seja preta = p(P) = 2/6 = 1/3

(2 bolas pretas e 4 verdes, num total de 6).

Portanto, a probabilidade que saia BOLA VERDE, supondo-se que a bola transferida é de cor PRETA,será igual a:

P(V/P) = 3/5 (observe que a segunda caixa possui agora, 1 bola preta + 3 bolas verdes + 1 bola pretatransferida = 5 bolas).

Daí, vem:

p(V ∩ P) = p(P) . p(V/P) = 1/3 . 3/5 = 1/5.

Finalmente vem:

P[(V ∩ V’) ∪ (V ∩ P)] = p(V ∩ V’) + p(V ∩ P) = 8/15 + 1/5 = 8/15 + 3/15 = 11/15, que é a resposta doproblema.

Mas 11/15 = 0,7333 = 73,33%

Portanto, a probabilidade de que saia uma bola verde é de 73,33%.

Uma interpretação válida para o problema acima é que se o experimento descrito for repetido 100vezes, em aproximadamente 73 vezes será obtido bola verde. Se o experimento for repetido 1000vezes, em aproximadamente 733 vezes será obtido bola verde; e se o experimento for repetido ummilhão de vezes?

Resposta: obteremos bola verde em aproximadamente 7333 vezes. Perceberam?

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Agora, resolva este:

Uma caixa contém três bolas vermelhas e cinco bolas brancas e outra possui duas bolas vermelhas etrês bolas brancas. Considerando-se que uma bola é transferida da primeira caixa para a segunda, eque uma bola é retirada da segunda caixa, podemos afirmar que a probabilidade de que a bola retiradaseja da cor vermelha é:

a) 18/75

b) 19/45

c) 19/48

d) 18/45

e) 19/75

Resposta: C

Obs: 19/48 = 39,58%, ou seja, em 10.000 experimentos, seriam obtidos aproximadamente 3958 bolasbrancas. Em 100 experimentos? Claro que teríamos aproximadamente 39 bolas brancas.

1 – Uma urna possui três bolas pretas e cinco bolas brancas. Quantas bolas azuis devem sercolocadas nessa urna, de modo que retirando-se uma bola ao acaso, a probabilidade dela ser azul sejaigual a 2/3?

SOLUÇÃO:

Seja x o número de bolas azuis a serem colocadas na urna. O espaço amostral possuirá, neste caso, 3+ 5 + x = x + 8 bolas.

Pela definição de probabilidade vista nas aulas anteriores, a probabilidade de que uma bola retirada aoacaso seja da cor azul será dada por: x/(x+8). Mas, o problema diz que a probabilidade deve ser igual a2/3.

Logo, vem: x/(x+8) = 2/3; daí, vem, resolvendo a equação do 1º grau:

3x = 2(x+8) , donde 3x = 2x + 16 e, finalmente vem que x = 16.

Resp: 16 bolas azuis.

2 – Considere uma urna que contém uma bola preta, quatro bolas brancas e x bolas azuis. Uma bola éretirada ao acaso dessa urna, a sua cor é observada e a bola é devolvida à urna. Em seguida, retira-senovamente, ao acaso, uma bola dessa urna. Para que valores de x a probabilidade de que as bolassejam da mesma cor vale 1/2?

SOLUÇÃO:

O espaço amostral do experimento possui n(U) = 1 + 4 + x = x + 5 bolas.

Vamos considerar as três situações distintas possíveis:

A. as bolas retiradas são ambas da cor preta.

Como existe reposição da bola retirada, os eventos são independentes. Logo, a probabilidade que saiauma bola preta (P) e em seguida outra bola preta (P’) será dada por:p(P ∩ P’) = p(P).p(P’) =[1/(x+5)].[1/(x+5)] = 1/(x+5)2

B. as bolas retiradas são ambas da cor branca.

Usando o mesmo raciocínio anterior e considerando-se que os eventos são independentes (pois ocorrea reposição da bola retirada), teremos:

P(B ∩ B’) = p(B) . p(B’) = [4/(x+5)].[4/(x+5)] = 16/(x+5)2

C. as bolas retiradas são ambas da cor azul.Analogamente, vem:p(A ∩ A’) = p(A) . p(A’) = [x/(x+5)].[x/(x+5)] = x2/(x+5)2

Estes três eventos são INDEPENDENTES – pois com a reposição da bola retirada – a ocorrência deum deles, não modifica as chances de ocorrência do outro. Logo, a probabilidade da união desses trêseventos, será igual a soma das probabilidades individuais. Daí, pelos dados do problema, vem que:

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE PROBABILIDADES

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[1/(x+5)2] + [16/(x+5)2] + [x2/(x+5)2 ]= ½

Vamos resolver esta equação do 2º grau:

(1+16+x2)/(x+5)2 = 1 /2

2(17+x2) = 1. (x+5)2

34 + 2x2 = x2 + 10x + 25

x2 – 10x + 9 = 0, de onde concluímos x=1 ou x=9.

Resp: x=1 ou x=9.

Nota: as questões 1 e 2 acima, compareceram no vestibular da FUVEST – 1995 – segunda fase,subdivididas em dois ítens (a) e (b) da questão de número 08.

3 – Uma máquina produziu 60 parafusos dos quais 5 eram defeituosos. Escolhendo-se ao acaso doisparafusos dessa amostra, qual a probabilidade de que os dois sejam perfeitos?

SOLUÇÃO:

Existem problemas de Probabilidades nos quais a contagem do número de elementos do espaçoamostral U não pode ser feita diretamente. Teremos que recorrer à Análise Combinatória, para facilitara solução.

Para determinar o número de elementos do nosso espaço amostral U, teremos que calcular quantosgrupamentos de 2 parafusos poderemos obter com os 60 parafusos da amostra. Trata-se de um típicoproblema de Combinações simples, já visto em Análise Combinatória. Teremos então:

n(U) = C60,2 = 60!/(58!.2!) = 60.59.58!/58!.1.2 = 30.59

Considerando-se o evento E: os dois parafusos retirados são perfeitos, vem que:

60 parafusos – 5 defeituosos = 55 parafusos perfeitos.

Teremos então que o número de possibilidades desse evento será dado por:

n(E) = C55,2 = 55!/53!.2! = 55.54.53!/53!.1.2 = 55.27

Logo, a probabilidade de ocorrencia do evento E será igual a:

p(E) = n(E)/n(U) = 55.27/30.59 = 1485/1770 = 0,838983 = 83,8983%

Resp: aproximadamente 84%.

A interpretação deste resultado é que se o experimento for repetido 100 vezes, obteremosaproximadamente em 84 vezes, dois parafusos perfeitos.

Agora resolva as seguintes questões:

Q1) Uma máquina produziu 50 parafusos dos quais 5 eram defeituosos. Retirando-se ao acaso, 3parafusos dessa amostra, determine a probabilidade de que os 3 parafusos sejam defeituosos.

Resp: aproximadamente 0,05%

Q2) Em relação à questão anterior, determine a probabilidade de numa retirada de 3 parafusos aoacaso, saiam pelo menos dois parafusos defeituosos.


Observação: pelo menos 2 defeituosos = 2 defeituosos ou 3 defeituosos.

Q3) FEI-SP – Uma urna contém 10 bolas pretas e 8 bolas vermelhas. Retiramos 3 bolas semreposição. Qual é a probabilidade de as duas primeira serem pretas e a terceira vermelha?

Resp: 5/34 ou aproximadamente 14,7%

Q4) FMU-SP – Uma urna contém 5 bolas vermelhas e 4 pretas; dela são retiradas duas bolas, umaapós a outra, sem reposição; a primeira bola retirada é de cor preta; Qual a probabilidade de que asegunda bola retirada seja vermelha?

Resp: 5/8 ou 62,5%

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Foi a necessidade de calcular o número de possibilidades existentes nos chamados jogos deazar que levou ao desenvolvimento da Análise Combinatória, parte da Matemática que estuda osmétodos de contagem. Esses estudos foram iniciados já no século XVI, pelo matemático italianoNiccollo Fontana (1500-1557), conhecido como Tartaglia. Depois vieram os franceses Pierre de Fermat(1601-1665) e Blaise Pascal (1623-1662).

A Análise Combinatória visa desenvolver métodos que permitam contar - de uma forma indireta- o número de elementos de um conjunto, estando esses elementos agrupados sob certas condições.

Seja n um número inteiro não negativo. Definimos o fatorial de n (indicado pelo símbolo n!)como sendo:

n! = n .(n-1) . (n-2) . ... .4.3.2.1 para n > 2.

Para n = 0 , teremos : 0! = 1.

Para n = 1 , teremos : 1! = 1

Exemplos:

a) 6! = 6.5.4.3.2.1 = 720

b) 4! = 4.3.2.1 = 24

c) observe que 6! = 6.5.4!

d) 10! = 10.9.8.7.6.5.4.3.2.1

e) 10! = 10.9.8.7.6.5!

f ) 10! = 10.9.8!

Se determinado acontecimento ocorre em n etapas diferentes, e se a primeira etapa podeocorrer de k1 maneiras diferentes, a segunda de k2 maneiras diferentes, e assim sucessivamente,então o número total T de maneiras de ocorrer o acontecimento é dado por:T = k1. k2 . k3 . ... . kn

Exemplo:

O DETRAN decidiu que as placas dos veículos do Brasil serão codificadas usando-se 3 letras doalfabeto e 4 algarismos. Qual o número máximo de veículos que poderá ser licenciado?

Solução:

Usando o raciocínio anterior, imaginemos uma placa genérica do tipo PWR-USTZ.Como o alfabeto possui 26 letras e nosso sistema numérico possui 10 algarismos (de 0 a 9), podemosconcluir que: para a 1ª posição, temos 26 alternativas, e como pode haver repetição, para a 2ª, e 3ªtambém teremos 26 alternativas. Com relação aos algarismos, concluímos facilmente que temos 10alternativas para cada um dos 4 lugares. Podemos então afirmar que o número total de veículos quepodem ser licenciados será igual a: 26.26.26.10.10.10.10 que resulta em 175.760.000. Observe que seno país existissem 175.760.001 veículos, o sistema de códigos de emplacamento teria que sermodificado, já que não existiriam números suficientes para codificar todos os veículos. Perceberam?

4.1 - Permutações simples de n elementos distintos são os agrupamentos formados com todos os nelementos e que diferem uns dos outros pela ordem de seus elementos.

ARRANJOS, PERMUTAÇÕES E COMBINAÇÕES

ANÁLISE COMBINATÓRIA

1 – Introdução

2 - Fatorial

3 - Princípio fundamental da contagem - PFC

4 - Permutações simples

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Exemplo: com os elementos A,B,C são possíveis as seguintes permutações: ABC, ACB, BAC, BCA,CAB e CBA.

4.2 - O número total de permutações simples de n elementos distintos é dado por n!, isto é

Pn = n! onde n! = n(n-1)(n-2)... .1 .

Exemplos:

a) P6 = 6! = 6.5.4.3.2.1 = 720

b) Calcule o número de formas distintas de 5 pessoas ocuparem os lugares de um banco retangular decinco lugares.

P5 = 5! = 5.4.3.2.1 = 120

4.3 - Denomina-se ANAGRAMA o agrupamento formado pelas letras de uma palavra, que podem terou não significado na linguagem comum.

Exemplo:

Os possíveis anagramas da palavra REI são:

REI, RIE, ERI, EIR, IRE e IER.

Se entre os n elementos de um conjunto, existem a elementos repetidos, b elementos repetidos, celementos repetidos e assim sucessivamente , o número total de permutações que podemos formar édado por:

Exemplo:

Determine o número de anagramas da palavra MATEMÁTICA.(não considere o acento)

Solução:

Temos 10 elementos, com repetição. Observe que a letra M está repetida duas vezes, a letra A três , aletra T, duas vezes. Na fórmula anterior, teremos: n=10, a=2, b=3 e c=2. Sendo k o número procurado,podemos escrever:

k= 10! / (2!.3!.2!) = 151200

Resposta: 151200 anagramas.

6.1 - Dado um conjunto com n elementos , chama-se arranjo simples de taxa k , a todo agrupamentode k elementos distintos dispostos numa certa ordem. Dois arranjos diferem entre si, pela ordem decolocação dos elementos. Assim, no conjunto E = {a,b,c}, teremos:

a) arranjos de taxa 2: ab, ac, bc, ba, ca, cb.

b) arranjos de taxa 3: abc, acb, bac, bca, cab, cba.

6.2 - Representando o número total de arranjos de n elementos tomados k a k (taxa k) por An,k ,teremos a seguinte fórmula:

!...!!

!,...),,(

cba

np cba

n =

5 - Permutações com elementos repetidos

6 - Arranjos simples

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Obs : é fácil perceber que An,n = n! = Pn . (Verifique)

Exemplo:

Um cofre possui um disco marcado com os dígitos 0,1,2,...,9. O segredo do cofre é marcado por umaseqüência de 3 dígitos distintos. Se uma pessoa tentar abrir o cofre, quantas tentativas deverá fazer(nomáximo) para conseguir abri-lo?

Solução:

As seqüências serão do tipo xyz. Para a primeira posição teremos 10 alternativas, para a segunda, 9 epara a terceira, 8. Podemos aplicar a fórmula de arranjos, mas pelo princípio fundamental decontagem, chegaremos ao mesmo resultado:

10.9.8 = 720.

Observe que 720 = A10,3

7.1 - Denominamos combinações simples de n elementos distintos tomados k a k (taxa k) aossubconjuntos formados por k elementos distintos escolhidos entre os n elementos dados. Observe queduas combinações são diferentes quando possuem elementos distintos, não importando a ordem emque os elementos são colocados.

Exemplo:

No conjunto E= {a,b.c,d} podemos considerar:

a) combinações de taxa 2: ab, ac, ad,bc,bd, cd.

b) combinações de taxa 3: abc, abd,acd,bcd.

c) combinações de taxa 4: abcd.

7.2 - Representando por Cn,k o número total de combinações de n elementos tomados k a k (taxa k) ,temos a seguinte fórmula:

Nota: o número acima é também conhecido como Número binomial e indicado por:

Exemplo:

Uma prova consta de 15 questões das quais o aluno deve resolver 10. De quantas formas ele poderáescolher as 10 questões?

Solução:

Observe que a ordem das questões não muda o teste. Logo, podemos concluir que trata-se de umproblema de combinação de 15 elementos com taxa 10.

Aplicando simplesmente a fórmula chegaremos a:

C15,10 = 15! / [(15-10)! . 10!] = 15! / (5! . 10!) = 15.14.13.12.11.10! / 5.4.3.2.1.10! = 3003

)!(

!,

kn

np kn

−=

)!(!

!

knk

nC k

n−

=

)!(!

!)(

knk

nn

k−

=

7 - Combinações simples

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Agora que você viu o resumo da teoria, tente resolver os 3 problemas seguintes:

01 - Um coquetel é preparado com duas ou mais bebidas distintas. Se existem 7 bebidas distintas,quantos coquetéis diferentes podem ser preparados?

Resp: 120

02 - Sobre uma circunferência são marcados 9 pontos distintos. Quantos triângulos podem serconstruídos com vértices nos 9 pontos marcados?

Resp: 84

03 - Uma família com 5 pessoas possui um automóvel de 5 lugares. Sabendo que somente 2 pessoassabem dirigir, de quantos modos poderão se acomodar para uma viagem?

Resp: 48

Exercício resolvido:

Um salão tem 6 portas. De quantos modos distintos esse salão pode estar aberto?

Solução:

Para a primeira porta temos duas opções: aberta ou fechada

Para a segunda porta temos também, duas opções, e assim sucessivamente.

Para as seis portas, teremos então, pelo Princípio Fundamental da Contagem - PFC:

N = 2.2.2.2.2.2 = 64

Lembrando que uma dessas opções corresponde a todas as duas portas fechadas, teremos então queo número procurado é igual a 64 - 1 = 63.

Resposta: o salão pode estar aberto de 63 modos possíveis.

1 - De quantos modos diferentes podem ser dispostas em fila (p+q) pessoas sendo p homens dealturas todas diferentes e q mulheres também de alturas diferentes, de modo que, tanto no grupo doshomens como no das mulheres, as pessoas se sucedam em alturas crescentes?

Solução:

Supondo os p homens e as q mulheres ordenados segundo suas alturas crescentes, teremos ao todo(p+q) pessoas. Ordenando-se os p homens em p dos (p+q) lugares, as q mulheres ocuparão os qlugares restantes.

Ora, basta calcular então, o número de maneiras de preencher p lugares entre os (p+q) lugaresexistentes, isto é, determinar quantos subconjuntos de p elementos podem ser formados num conjuntode (p+q) elementos, com a condição de ordenamento crescente das alturas.

O número procurado será igual ao número de combinações possíveis de (p+q) elementos tomados p ap.

Logo:

Portanto, p homens e q mulheres podem ser dispostos em fila em ordem crescente de altura, de

(p+q)! / p!.q! maneiras distintas.

Exemplo de verificação:

!!.

)!(

]!)!.[(

)!(,

qp

qp

pqpp

qpC pqp

+=

−+

+=+

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ANÁLISE COMBINATÓRIA

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Considere três homens e duas mulheres, com as seguintes alturas em metros:

Pedro, com 1,76m = P

Rafael, com 1,77m = R

Eduardo, com 1,78m = E

Maria, com 1,75 m = M

Samantha, com 1,74m = S

Em termos de alturas temos:

P > R > E > M > S

Pela fórmula acima, o número de maneiras de dispor estas cinco pessoas em ordem crescente dealtura, será igual a:

n = (3+2)! / 3!.2! = 5! /3!.2! = 120/12 = 10.

São as seguintes, as 10 disposições possíveis, considerando-se a ordem decrescente de alturas:

01 – PREMS

02 – PRMES

03 – PRMSE

04 – MPRES

05 – MPRSE

06 – MPSRE

07 – PMRES

08 – PMRSE

09 – PMSRE

10 – MSPRE

2 - A Diretoria de uma Empresa tem seis membros. Quantas comissões de quatro membros podem serformadas, com a condição de que em cada comissão figurem sempre o Presidente e o Vice-Presidente?

SOLUÇÃO:

Os agrupamentos são do tipo combinações, já que a ordem dos elementos não muda o agrupamento.

O número procurado é igual a:

C6-2,4-2 = C 4,2 = (4.3)/(2.1) = 6.

Observe que raciocinamos com a formação das comissões de 2 membros escolhidos entre 4, já queduas posições na comissão são fixas: a do Presidente e do Vice.

3 – A Diretoria de uma Empresa tem seis membros. Quantas comissões de dois membros podem serformadas, com a condição de que em nenhuma delas figure o Presidente e o Vice?

SOLUÇÃO:

Ora, retirados o Presidente e o Vice, restam 6 – 2 = 4 elementos. Logo, O número procurado será iguala:

C6-2,2 = C4,2 = (4.3)/(2.1) = 6.

4 - Numa assembléia de quarenta cientistas, oito são físicos. Quantas comissões de cinco membrospodem ser formadas incluindo no mínimo um físico?

SOLUÇÃO:

A expressão “no mínimo um físico” significa a presença de 1, 2, 3, 4 ou 5 físicos nas comissões.

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Podemos raciocinar da seguinte forma: em quantas comissões não possuem físicos e subtrair estenúmero do total de agrupamentos possíveis.

Ora, existem C40,5 comissões possíveis de 5 membros escolhidos entre 40 e, existem C40-8,5 = C32,5

comissões nas quais não aparecem físicos.

Assim, teremos:

C40,5 - C32,5 = 456 632 comissões.

Observe que Cn,k = n!/(n-k)!.k!

5 - Ordenando de modo crescente as permutações dos algarismos 2, 5, 6, 7 e 8, qual o lugar queocupará a permutação 68275?

SOLUÇÃO:

O número 68275 será precedido pelos números das formas:

a) 2xxxx, 5xxxx que dão um total de 4! + 4! = 48 permutações

b) 62xxx, 65xxx, 67xxx que dão um total de 3.3! = 18 permutações

c) 6825x que dá um total de 1! = 1 permutação.

Logo o número 68275 será precedido por 48+18+1 = 67 números. Logo, sua posição será a de número68.

6 - Sabe-se que o número de maneiras de n pessoas sentarem-se ao redor de uma mesa circular édado pela fórmula

P’n = (n - 1)! . Nestas condições, de quantas maneiras distintas 7 pessoas podem sentar-se em tornode uma mesa circular, de tal modo que duas determinadas pessoas fiquem sempre acomodadasjuntas?

SOLUÇÃO:

Supondo que as pessoas A e B fiquem sentadas juntas, podemos considerar que os agrupamentospossíveis serão das seguintes formas:

a) (AB)XYZWK.......P’n = (6-1)! = 120

b) (BA)XYZWK.......P’n = (6-1)! = 120

Logo o número total será: 120+120 = 240.

7 - De quantas maneiras seis pessoas podem sentar-se ao redor de uma mesa circular?

SOLUÇÃO:

P’n = (6-1)! = 5! = 5.4.3.2.1 = 120.

8 - Numa reunião de sete pessoas há nove cadeiras. De quantos modos se podem sentar as pessoas?

SOLUÇÃO:

Trata-se de um problema de arranjos simples, cuja solução é encontrada calculando-se:

A9,7 = 9.8.7.6.5.4.3 = 181.440

Nota: observe que An,k contém k fatores decrescentes a partir de n. Exemplo: A10,2 = 10.9 = 90, A9,3 =9.8.7 = 504, etc.

Poderíamos também resolver aplicando a regra do produto, com o seguinte raciocínio:

a primeira pessoa tinha 9 opções para sentar-se, a segunda, 8 , a terceira,7 , a quarta,6 , a quinta,5 , asexta, 4 e finalmente a sétima, 3. Logo, o número total de possibilidades será igual a 9.8.7.6.5.4.3 =181.440

9 - Quantos são os anagramas da palavra UNIVERSAL que começam por consoante e terminam porvogal?

SOLUÇÃO:

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A palavra dada possui 5 consoantes e 4 vogais. Colocando uma das consoantes, por exemplo, N, noinício da palavra, podemos dispor em correspondência, cada uma das 4 vogais no final. Eis o esquemacorrespondente:

(N...U) (N...I) (N...E) (N....A)

Podemos fazer o mesmo raciocínio para as demais consoantes. Resultam 5.4=20 esquemas do tipoacima. Permutando-se as 7 letras restantes situadas entre a consoante e a vogal, de todos os modospossíveis, obteremos em cada esquema 7! anagramas. O número pedido será, pois, igual a

20.7! = 20.7.6.5.4.3.2.1 = 100.800.

10 - Numa reunião estão doze pessoas. Quantas comissões de três membros podem ser formadas,com a condição de que uma determinada pessoa A esteja sempre presente e uma determinada pessoaB nunca participe junto com a pessoa A?

SOLUÇÃO:

Como um dos 3 integrantes é sempre A, resta determinar os dois outros, com a condição de que nãoseja B. Logo, dos 12, excluindo A(que tem presença garantida) e B (que não pode participar junto comA) restam 10 pessoas que deverão ser agrupadas duas a duas. Portanto, o número procurado é igual aC10,2 = (10.9)/(2.1) = 45.

11 - Numa assembléia há cinqüenta e sete deputados sendo trinta e um governistas e os demais,oposicionistas. Quantas comissões de sete deputados podem ser formadas com quatro membros dogoverno e três da oposição?

SOLUÇÃO:

Escolhidos três deputados oposicionistas, com eles podemos formar tantas comissões quantas são ascombinações dos 31 deputados do governo tomados 4 a 4 (taxa 4), isto é: C31,4 . Podemos escolher 3oposicionistas, entre os 26 existentes, de C26,3 maneiras distintas; portanto o número total decomissões é igual a C26,3 . C31,4 = 81.809.000, ou seja, quase oitenta e dois milhões de comissõesdistintas!.

12 - Quantas anagramas podem ser formados com as letras da palavra ARARA?

SOLUÇÃO:

Observe que a palavra ARARA possui 5 letras porém com repetição. Se as 5 letras fossem distintasteríamos

5! = 120 anagramas.Como existem letras repetidas, precisamos “descontar” todas as trocas deposições entre letras iguais. O total de anagramas será, portanto, igual a

P = 5!/(3!.2!) = 10.

É óbvio que podemos também calcular diretamente usando a fórmula de permutações com repetição.

13 – De quantos modos podemos dispor 5 livros de Matemática, 3 de Física e 2 de Química em umaprateleira, de modo que os livros do mesmo assunto fiquem sempre juntos?

SOLUÇÃO:

Dentre os 5 livros de Matemática, podemos realizar 5! permutações distintas entre eles. Analogamente,3! para os livros de Física e 2! para os livros de Química.

Observe que estes 3 conjuntos de livros podem ainda serem permutados de 3! maneiras distintas entresi. Logo, pela regra do produto, o número total de possibilidades será:

N = [(5!).(3!).(2!)].(3!) = 120.6.2.6 = 8640 modos distintos.

Agora resolva estes:

1 – Com seis homens e quatro mulheres, quantas comissões de quatro pessoas podemos formar?

2 – Com seis homens e quatro mulheres, quantas comissões de cinco pessoas podemos formar,constituídas por dois homens e três mulheres?

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3 - De quantos modos podemos dispor cinco livros de Matemática, três de Física e dois de Química emuma prateleira, de modo que os livros do mesmo assunto e na ordem dada no enunciado, fiquemsempre juntos?

Gabarito: 1) 210 2) 60 3) 1440.

14 - Uma pastelaria vende pastéis de carne, queijo e palmito. De quantas formas uma pessoa podeescolher cinco pastéis?

A) 18

B) 21

C) 15

D) 35

E) 25

Solução:

Pelo enunciado, temos três tipos de pastéis, para serem agrupados em grupos de cinco unidades.Sendo C = pastel de carne, Q = pastel de queijo e P = pastel de palmito, poderíamos por exemplo, teros seguintes agrupamentos:

CCCCC – no caso da pessoa escolher 5 pastéis de carne.

PPQQC – no caso da pessoa escolher 2 pastéis de palmito, 2 de queijo e 1 de carne, etc.

Podemos observar que, sendo x o número de pastéis de queijo, y o número de pastéis de queijo e z onúmero de pastéis de palmito, é válido escrever:

x + y + z = 5

Como x, y e z são números inteiros não negativos, o problema proposto é equivalente à determinaçãodo número total de soluções inteiras e não negativas, da equação acima.

Ora, o número de soluções inteiras e não negativas desta equação, será dado por

onde n = 3 e b = 5.

Portanto, substituindo os valores, encontraremos a solução procurada:

Logo, existem 21 maneiras de escolher cinco pastéis entre os 3 tipos disponíveis, o que nos leva àalternativa B.

Poderíamos também, resolver o problema de outra maneira, a saber:

Temos 5 unidades para serem divididas em 3 partes ordenadas.

Exemplos:

(2,3,0) é uma solução, ou seja: 2 pastéis de carne e 3 de queijo.

(1,3,1) é uma solução, ou seja: 1 pastel de carne, 3 de queijo e 1 de palmito.

(0,0,5) é uma solução, ou seja: 5 pastéis de palmito, etc

.........................................................................................................................

A representação a seguir, mostra uma disposição de uma das soluções possíveis:

)!1(!

)!1(

)!1(!

)!1()( 1

−

−+=

−−+

−+== −+

nb

bn

bbnb

bnY bn

b

211.2.1.2.3.4.5

1.2.3.4.5.6.7

!2!.5

!7

)!13(!5

)!153(===

−

−+=y

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(1,2,2), ou seja: 1 pastel de carne, 2 de queijo e 2 de palmito.

Observe que temos 7 = (5 + 2) símbolos, sendo 5 “pontinhos” e 2 “traços”.

Tudo funciona como se tivéssemos que permutar 7 elementos com repetição de 5 deles e de 2 deles.Assim, usando a fórmula de permutações com repetição, teremos finalmente:

Ou seja, existem 21 maneiras de se escolher 5 pastéis entre 3 tipos diferentes.

Estas 21 maneiras distintas de escolha, estão indicadas abaixo, onde

C = pastel de carne

Q = pastel de queijo

P = pastel de palmito:

(5,0,0) – CCCCC(4,1,0) – CCCCQ(4,0,1) – CCCCP(3,2,0) – CCCQQ(3,0,2) – CCCPP(3,1,1) – CCCQP(2,3,0) – CCQQQ(2,0,3) – CCPPP(2,1,2) – CCQPP(2,2,1) – CCQQP(1,4,0) – CQQQQ(1,0,4) – CPPPP(1,1,3) – CQPPP(1,3,1) – CQQQP(1,2,2) – CQQPP(0,5,0) – QQQQQ(0,0,5) – PPPPP(0,1,4) – QPPPP(0,4,1) – QQQQP(0,2,3) – QQPPP(0,3,2) – QQQPP

Observe que a solução do problema, coincide com a determinação do número de soluções inteiras enão negativas da equação linear x + y + z = 5.

Agora tente resolver este:

Uma pastelaria vende pastéis de carne, queijo e palmito. De quantas formas uma pessoa podeescolher quatro pastéis?

Resposta: 15 formas distintas, a saber, onde C = carne, Q = queijo e P = palmito:

(4,0,0) – CCCC(3,1,0) – CCCQ(3,0,1) – CCCP(2,0,2) – CCPP(2,1,1) – CCQP(2,2,0) – CCQQ(1,0,3) – CPPP(1,1,2) – CQPP(1,2,1) – CQQP(1,3,0) – CQQQ(0,4,0) – QQQQ(0,3,1) – QQQP(0,2,2) – QQPP(0,1,3) – QPPP(0,0,4) - PPPP

212

42

1.2!.5

!5.6.7

1.2.1.2.3.4.5

1.2.3.4.5.6.7

!2!.5

!72,51 =====p

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Chama-se experimento aleatório àquele cujo resultado é imprevisível, porém pertencenecessariamente a um conjunto de resultados possíveis denominado espaço amostral.Qualquer subconjunto desse espaço amostral é denominado evento.

Se este subconjunto possuir apenas um elemento, o denominamos evento elementar.

Por exemplo, no lançamento de um dado, o nosso espaço amostral seria U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Exemplos de eventos no espaço amostral U:

A: sair número maior do que 4: A = {5, 6}

B: sair um número primo e par: B = {2}

C: sair um número ímpar: C = {1, 3, 5}

Nota: O espaço amostral é também denominado espaço de prova.

Trataremos aqui dos espaços amostrais equiprováveis, ou seja, aqueles onde os eventoselementares possuem a mesma chance de ocorrerem.

Por exemplo, no lançamento do dado acima, supõe-se que sendo o dado perfeito, as chancesde sair qualquer número de 1 a 6 são iguais. Temos então um espaço equiprovável.

Em oposição aos fenômenos aleatórios, existem os fenômenos determinísticos, que sãoaqueles cujos resultados são previsíveis, ou seja, temos certeza dos resultados a serem obtidos.

Normalmente existem diversas possibilidades possíveis de ocorrência de um fenômenoaleatório, sendo a medida numérica da ocorrência de cada uma dessas possibilidades, denominadaProbabilidade.

Consideremos uma urna que contenha 49 bolas azuis e 1 bola branca. Para uma retirada,teremos duas possibilidades: bola azul ou bola branca. Percebemos entretanto que será muito maisfreqüente obtermos numa retirada, uma bola azul, resultando daí, podermos afirmar que o evento "sairbola azul" tem maior probabilidade de ocorrer, do que o evento "sair bola branca".

Seja U um espaço amostral finito e equiprovável e A um determinado evento ou seja, umsubconjunto de U. A probabilidade p(A) de ocorrência do evento A será calculada pela fórmula

p(A) = n(A) / n(U)

onde:

n(A) = número de elementos de A e n(U) = número de elementos do espaço de prova U.

Vamos utilizar a fórmula simples acima, para resolver os seguintes exercícios introdutórios:

1.1 - Considere o lançamento de um dado. Calcule a probabilidade de:

a) sair o número 3:

Temos U = {1, 2, 3, 4, 5, 6} [n(U) = 6] e A = {3} [n(A) = 1]. Portanto, a probabilidade procurada seráigual a p(A) = 1/6.

b) sair um número par: agora o evento é A = {2, 4, 6} com 3 elementos; logo a probabilidade procuradaserá p(A) = 3/6 = 1/2.

c) sair um múltiplo de 3: agora o evento A = {3, 6} com 2 elementos; logo a probabilidade procuradaserá p(A) = 2/6 = 1/3.

d) sair um número menor do que 3: agora, o evento A = {1, 2} com dois elementos. Portanto, p(A) = 2/6= 1/3.

PROBABILIDADES

1 – Introdução

2 – Conceito elementar de Probabilidade

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e) sair um quadrado perfeito: agora o evento A = {1,4} com dois elementos. Portanto, p(A) = 2/6 = 1/3.

1.2 - Considere o lançamento de dois dados. Calcule a probabilidade de:

a) sair a soma 8

Observe que neste caso, o espaço amostral U é constituído pelos pares ordenados (i,j), onde i =número no dado 1 e j = número no dado 2.

É evidente que teremos 36 pares ordenados possíveis do tipo (i, j) onde i = 1, 2, 3, 4, 5, ou 6, o mesmoocorrendo com j.

As somas iguais a 8, ocorrerão nos casos:(2,6),(3,5),(4,4),(5,3) e (6,2). Portanto, o evento "soma iguala 8" possui 5 elementos. Logo, a probabilidade procurada será igual a p(A) = 5/36.

b) sair a soma 12

Neste caso, a única possibilidade é o par (6,6). Portanto, a probabilidade procurada será igual a p(A) =1/36.

1.3 – Uma urna possui 6 bolas azuis, 10 bolas vermelhas e 4 bolas amarelas. Tirando-se uma bola comreposição, calcule as probabilidades seguintes:

a) sair bola azul

p(A) = 6/20 = 3/10 = 0,30 = 30%

b) sair bola vermelha

p(A) = 10/20 =1/2 = 0,50 = 50%

c) sair bola amarela

p(A) = 4/20 = 1/5 = 0,20 = 20%

Vemos no exemplo acima, que as probabilidades podem ser expressas como porcentagem.Esta forma é conveniente, pois permite a estimativa do número de ocorrências para um númeroelevado de experimentos. Por exemplo, se o experimento acima for repetido diversas vezes, podemosafirmar que em aproximadamente 30% dos casos, sairá bola azul, 50% dos casos sairá bola vermelhae 20% dos casos sairá bola amarela. Quanto maior a quantidade de experimentos, tanto mais adistribuição do número de ocorrências se aproximará dos percentuais indicados.

P1: A probabilidade do evento impossível é nula.

Com efeito, sendo o evento impossível o conjunto vazio (Ø), teremos:

p(Ø) = n(Ø)/n(U) = 0/n(U) = 0

Por exemplo, se numa urna só existem bolas brancas, a probabilidade de se retirar uma bola verde(evento impossível, neste caso) é nula.

P2: A probabilidade do evento certo é igual a unidade.

Com efeito, p(A) = n(U)/n(U) = 1

Por exemplo, se numa urna só existem bolas vermelhas, a probabilidade de se retirar uma bolavermelha (evento certo, neste caso) é igual a 1.

P3: A probabilidade de um evento qualquer é um número real situado no intervalo real [0, 1].

Esta propriedade, decorre das propriedades 1 e 2 acima.

3 – Propriedades

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P4: A soma das probabilidades de um evento e do seu evento complementar é igual a unidade.

Seja o evento A e o seu complementar A'. Sabemos que A U A' = U.

n(A U A') = n(U) e, portanto, n(A) + n(A') = n(U).

Dividindo ambos os membros por n(U), vem:

n(A)/n(U) + n(A')/n(U) = n(U)/n(U), de onde conclui-se:

p(A) + p(A') = 1

Nota: esta propriedade simples, é muito importante pois facilita a solução de muitos problemasaparentemente complicados. Em muitos casos, é mais fácil calcular a probabilidade do eventocomplementar e, pela propriedade acima, fica fácil determinar a probabilidade do evento.

P5: Sendo A e B dois eventos, podemos escrever:

p(A U B) = p(A) + p(B) – p(A ∩∩∩∩ B)

Observe que se A ∩ B= Ø (ou seja, a interseção entre os conjuntos A e B é o conjunto vazio), entãop(A U B) = p(A) + p(B).

Com efeito, já sabemos da Teoria dos Conjuntos que

n(A U B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B)

Dividindo ambos os membros por n(U) e aplicando a definição de probabilidade, concluímosrapidamente a veracidade da fórmula acima.

Exemplo:

Em uma certa comunidade existem dois jornais J e P. Sabe-se que 5000 pessoas são assinantes dojornal J, 4000 são assinantes de P, 1200 são assinantes de ambos e 800 não lêem jornal. Qual aprobabilidade de que uma pessoa escolhida ao acaso seja assinante de ambos os jornais?

SOLUÇÃO:

Precisamos calcular o número de pessoas do conjunto universo, ou seja, nosso espaço amostral.

Teremos:n(U) = N(J U P) + N.º de pessoas que não lêem jornais.

n(U) = n(J) + N(P) – N(J ∩ P) + 800

n(U) = 5000 + 4000 – 1200 + 800

n(U) = 8600

Portanto, a probabilidade procurada será igual a:

p = 1200/8600 = 12/86 = 6/43.

Logo, p = 6/43 = 0,1395 = 13,95%.

A interpretação do resultado é a seguinte: escolhendo-se ao acaso uma pessoa da comunidade, aprobabilidade de que ela seja assinante de ambos os jornais é de aproximadamente 14%.(contra 86%de probabilidade de não ser).

Considere que desejamos calcular a probabilidade da ocorrência de um evento A, sabendo-sede antemão que ocorreu um certo evento B. Pela definição de probabilidade vista anteriormente,sabemos que a probabilidade de A deverá ser calculada, dividindo-se o número de elementos deelementos de A que também pertencem a B, pelo número de elementos de B. A probabilidade deocorrer A, sabendo-se que já ocorreu B, é denominada Probabilidade condicional e é indicada porp(A/B) – probabilidade de ocorrer A sabendo-se que já ocorreu B – daí, o nome de probabilidadecondicional.

Teremos então:

4 – Probabilidade condicional

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p(A/B) = n(A ∩ ∩ ∩ ∩ B)/ n(B)

onde A ∩ B = interseção dos conjuntos A e B.

Esta fórmula é importante, mas pode ser melhorada. Vejamos:

Ora, a expressão acima, pode ser escrita sem nenhum prejuízo da elegância, nem do rigor, como:

p(A/B) = [n(A ∩ B)/n(U)] . [n(U)/n(B)]

p(A/B) = p(A ∩ B) . 1/p(B)

Vem, então: P(A/B) = p(A ∩ B)/p(B), de onde concluímos finalmente:

p(A ∩ B) = p(A/B).p(B)

Esta fórmula é denominada Lei das Probabilidades Compostas.

Esta importante fórmula, permite calcular a probabilidade da ocorrência simultânea dos eventos A e B,sabendo-se que já ocorreu o evento B.

Se a ocorrência do evento B, não mudar a probabilidade da ocorrência do evento A, então p(A/B) =p(A) e, neste caso, os eventos são ditos independentes, e a fórmula acima fica:

p(A ∩ ∩ ∩ ∩ B) = p(A) . p(B)

Podemos então afirmar, que a probabilidade de ocorrência simultânea de eventos independentes, éigual ao produto das probabilidades dos eventos considerados.

Exemplo:

Uma urna possui cinco bolas vermelhas e duas bolas brancas.

Calcule as probabilidades de:

a) em duas retiradas, sem reposição da primeira bola retirada, sair uma bola vermelha (V) e depoisuma bola branca (B).

Solução:p(V ∩ B) = p(V) . p(B/V)

p(V) = 5/7 (5 bolas vermelhas de um total de 7).

Supondo que saiu bola vermelha na primeira retirada, ficaram 6 bolas na urna. Logo:

p(B/V) = 2/6 = 1/3

Da lei das probabilidades compostas, vem finalmente que:

P(V ∩ B) = 5/7 . 1/3 = 5/21 = 0,2380 = 23,8%

b) em duas retiradas, com reposição da primeira bola retirada, sair uma bola vermelha e depois umabola branca.

Solução:

Com a reposição da primeira bola retirada, os eventos ficam independentes. Neste caso, aprobabilidade buscada poderá ser calculada como:

P(V ∩ B) = p(V) . p(B) = 5/7 . 2/7 = 10/49 = 0,2041 = 20,41%

Observe atentamente a diferença entre as soluções dos itens (a) e (b) acima, para um entendimentoperfeito daquilo que procuramos transmitir.

Vimos que num espaço amostral U, finito e equiprovável, a probabilidade de ocorrência de um eventoA é dada por:

onde n(A) = n.º de elementos de A e n(U) = n.º de elementos de U.

)(

)()(

Un

AnAp =

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Sabe-se que p(A) é um número real que pode assumir valores de 0 a 1, sendo p(A) = 0, aprobabilidade de um evento impossível (conjunto vazio) e p(A) = 1, a probabilidade de um evento certo(conjunto universo).

Já sabemos também que definido um evento A, podemos considerar o seu eventocomplementar

A’ = {x ∈U; x ∉ A}.

Além disto, vimos que p(A’) = 1 – p(A).

Vejamos um exemplo de aplicação imediata das fórmulas acima:

Ao sortear ao acaso um dos números naturais menores que 100, qual a probabilidade do númerosorteado ser menor do que 30?

Ora, neste caso, o nosso espaço amostral é: U = {0,1,2,3, ... , 99}.

O evento A é igual a: A ={0,1,2,3, ... , 29}.

O evento complementar de A é igual a: A’= {30,31,32, ... , 99}.

Temos que: n(U) = 100, n(A) = 30 e n(A’) = 70.

Portanto:

p(A) = 30/100 = 0,30 = 30%

p(A’) = 70/100 = 0,70 = 70%

Vemos que p(A) + p(A’) = 0,30 + 0,70 = 1, o que confirma que a probabilidade de um evento somada àprobabilidade do seu evento complementar, é igual à unidade.

Vimos também que, sendo A e B dois eventos do espaço amostral U, podemos escrever:

p(A ∪ B) = p(A) + p(B) – p(A ∩ B)

Vejamos um exemplo de aplicação da fórmula supra:

No lançamento de um dado, determine a probabilidade de se obter um número ímpar ou mais de 4pontos na face de cima.

Ora, neste caso, teremos:

Espaço amostral: U = {1,2,3,4,5,6} \ n(U) = 6

Evento A: A = {1,3,5} \ n(A) = 3

Evento B: B = {5,6} \ n(B) = 2

Evento interseção: A ∩ B = {5} \ n(A ∩ B) = 1

Então, vem: p(A ∪ B) = 3/6 + 2/6 – 1/6 = 4/6 = 2/3 = 0,6667 = 66,67%.

NOTA: Se A ∩ B = f , então dizemos que A e B são eventos mutuamente exclusivos, e, neste caso,p(A ∪ B) = p(A) + p(B), já que p(∅) = 0 [evento impossível].

Vejamos um exemplo ilustrativo do caso acima:

Suponha que no lançamento de um dado, deseja-se saber qual a probabilidade de se obter um númeropar ou um número menor do que 2.

Temos os seguintes eventos:

A = {2,4,6} ∴ n(A) = 3

B = {1} ∴ n(B) = 1

A ∩ B = ∅ ∴ n(A ∩ B) = 0

Portanto, p(A ∪ B) = 3/6 + 1/6 = 4/6 = 2/3 = 0,6667 = 66,67%

Vimos também que a probabilidade de ocorrência simultânea de dois eventos A e B é dada por:

p(A ∩∩∩∩ B) = p(A) . p(B/A) ou p(A ∩∩∩∩ B) = p(B) . p(A/B)

onde:

p(A/B) = probabilidade de ocorrer A, sabendo-se que ocorreu o evento B.

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p(B/A) = probabilidade de ocorrer B, sabendo-se que ocorreu o evento A.

Se a ocorrência do evento B não modifica a chance de ocorrer o evento A, diremos que os eventos A eB são INDEPENDENTES e, neste caso, teremos que p(B/A) = p(B), e a fórmula resume-se a:p(A ∩ B) = p(A).p(B)

O exemplo ilustrativo a seguir, ajudará a entender a afirmação supra:

Qual a probabilidade de em dois lançamentos de um dado, se obter número par no primeiro e númeroímpar no segundo?

Ora, os eventos são obviamente independentes, pois a ocorrência de um não afeta o outro.Logo, teremos:p(A ∩ B) = p(A).p(B) = 3/6 . 3/6 = 1/2.1/2 = 1/4 = 0,25 = 25%.

Vejamos agora, um exemplo de eventos dependentes:

Suponha que uma caixa possui duas bolas pretas e quatro verdes, e, outra caixa possui uma bola pretae três bolas verdes. Passa-se uma bola da primeira caixa para a segunda, e retira-se uma bola dasegunda caixa. Qual a probabilidade de que a bola retirada da segunda caixa seja verde?

Este problema envolve dois eventos mutuamente exclusivos, quais sejam:

Ou a bola transferida é verde ou a bola transferida é preta.

Ora, teremos: (observe atentamente a simbologia utilizada, comparando com o que foi ditoanteriormente).

1ª possibilidade: a bola transferida é verde:

Probabilidade de que a bola transferida seja verde = p(V) = 4/6 = 2/3

(4 bolas verdes em 6).

Portanto, a probabilidade que saia BOLA VERDE na 2ª caixa, supondo-se que a bola transferida é decor VERDE, será igual a:

P(V/V’) = 4/5 (a segunda caixa possui agora, 3 bolas verdes + 1 bola verde transferida + 1 bola preta,portanto, 4 bolas verdes em 5).

Pela regra da probabilidade condicional, vem:

P(V ∩ V’) = p(V) . p(V/V’) = 2/3 . 4/5 = 8/15

2ª possibilidade: a bola transferida é preta:

Probabilidade de que a bola transferida seja preta = p(P) = 2/6 = 1/3

(2 bolas pretas e 4 verdes, num total de 6).

Portanto, a probabilidade que saia BOLA VERDE, supondo-se que a bola transferida é de cor PRETA,será igual a:

P(V/P) = 3/5 (observe que a segunda caixa possui agora, 1 bola preta + 3 bolas verdes + 1 bola pretatransferida = 5 bolas).

Daí, vem:

p(V ∩ P) = p(P) . p(V/P) = 1/3 . 3/5 = 1/5.

Finalmente vem:

P[(V ∩ V’) ∪ (V ∩ P)] = p(V ∩ V’) + p(V ∩ P) = 8/15 + 1/5 = 8/15 + 3/15 = 11/15, que é a resposta doproblema.

Mas 11/15 = 0,7333 = 73,33%

Portanto, a probabilidade de que saia uma bola verde é de 73,33%.

Uma interpretação válida para o problema acima é que se o experimento descrito for repetido 100vezes, em aproximadamente 73 vezes será obtido bola verde. Se o experimento for repetido 1000vezes, em aproximadamente 733 vezes será obtido bola verde; e se o experimento for repetido ummilhão de vezes?

Resposta: obteremos bola verde em aproximadamente 7333 vezes. Perceberam?

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Agora, resolva este:

Uma caixa contém três bolas vermelhas e cinco bolas brancas e outra possui duas bolas vermelhas etrês bolas brancas. Considerando-se que uma bola é transferida da primeira caixa para a segunda, eque uma bola é retirada da segunda caixa, podemos afirmar que a probabilidade de que a bola retiradaseja da cor vermelha é:

a) 18/75

b) 19/45

c) 19/48

d) 18/45

e) 19/75

Resposta: C

Obs: 19/48 = 39,58%, ou seja, em 10.000 experimentos, seriam obtidos aproximadamente 3958 bolasbrancas. Em 100 experimentos? Claro que teríamos aproximadamente 39 bolas brancas.

1 – Uma urna possui três bolas pretas e cinco bolas brancas. Quantas bolas azuis devem sercolocadas nessa urna, de modo que retirando-se uma bola ao acaso, a probabilidade dela ser azul sejaigual a 2/3?

SOLUÇÃO:

Seja x o número de bolas azuis a serem colocadas na urna. O espaço amostral possuirá, neste caso, 3+ 5 + x = x + 8 bolas.

Pela definição de probabilidade vista nas aulas anteriores, a probabilidade de que uma bola retirada aoacaso seja da cor azul será dada por: x/(x+8). Mas, o problema diz que a probabilidade deve ser igual a2/3.

Logo, vem: x/(x+8) = 2/3; daí, vem, resolvendo a equação do 1º grau:

3x = 2(x+8) , donde 3x = 2x + 16 e, finalmente vem que x = 16.

Resp: 16 bolas azuis.

2 – Considere uma urna que contém uma bola preta, quatro bolas brancas e x bolas azuis. Uma bola éretirada ao acaso dessa urna, a sua cor é observada e a bola é devolvida à urna. Em seguida, retira-senovamente, ao acaso, uma bola dessa urna. Para que valores de x a probabilidade de que as bolassejam da mesma cor vale 1/2?

SOLUÇÃO:

O espaço amostral do experimento possui n(U) = 1 + 4 + x = x + 5 bolas.

Vamos considerar as três situações distintas possíveis:

A. as bolas retiradas são ambas da cor preta.

Como existe reposição da bola retirada, os eventos são independentes. Logo, a probabilidade que saiauma bola preta (P) e em seguida outra bola preta (P’) será dada por:p(P ∩ P’) = p(P).p(P’) =[1/(x+5)].[1/(x+5)] = 1/(x+5)2

B. as bolas retiradas são ambas da cor branca.

Usando o mesmo raciocínio anterior e considerando-se que os eventos são independentes (pois ocorrea reposição da bola retirada), teremos:

P(B ∩ B’) = p(B) . p(B’) = [4/(x+5)].[4/(x+5)] = 16/(x+5)2

C. as bolas retiradas são ambas da cor azul.Analogamente, vem:p(A ∩ A’) = p(A) . p(A’) = [x/(x+5)].[x/(x+5)] = x2/(x+5)2

Estes três eventos são INDEPENDENTES – pois com a reposição da bola retirada – a ocorrência deum deles, não modifica as chances de ocorrência do outro. Logo, a probabilidade da união desses trêseventos, será igual a soma das probabilidades individuais. Daí, pelos dados do problema, vem que:

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE PROBABILIDADES

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[1/(x+5)2] + [16/(x+5)2] + [x2/(x+5)2 ]= ½

Vamos resolver esta equação do 2º grau:

(1+16+x2)/(x+5)2 = 1 /2

2(17+x2) = 1. (x+5)2

34 + 2x2 = x2 + 10x + 25

x2 – 10x + 9 = 0, de onde concluímos x=1 ou x=9.

Resp: x=1 ou x=9.

Nota: as questões 1 e 2 acima, compareceram no vestibular da FUVEST – 1995 – segunda fase,subdivididas em dois ítens (a) e (b) da questão de número 08.

3 – Uma máquina produziu 60 parafusos dos quais 5 eram defeituosos. Escolhendo-se ao acaso doisparafusos dessa amostra, qual a probabilidade de que os dois sejam perfeitos?

SOLUÇÃO:

Existem problemas de Probabilidades nos quais a contagem do número de elementos do espaçoamostral U não pode ser feita diretamente. Teremos que recorrer à Análise Combinatória, para facilitara solução.

Para determinar o número de elementos do nosso espaço amostral U, teremos que calcular quantosgrupamentos de 2 parafusos poderemos obter com os 60 parafusos da amostra. Trata-se de um típicoproblema de Combinações simples, já visto em Análise Combinatória. Teremos então:

n(U) = C60,2 = 60!/(58!.2!) = 60.59.58!/58!.1.2 = 30.59

Considerando-se o evento E: os dois parafusos retirados são perfeitos, vem que:

60 parafusos – 5 defeituosos = 55 parafusos perfeitos.

Teremos então que o número de possibilidades desse evento será dado por:

n(E) = C55,2 = 55!/53!.2! = 55.54.53!/53!.1.2 = 55.27

Logo, a probabilidade de ocorrencia do evento E será igual a:

p(E) = n(E)/n(U) = 55.27/30.59 = 1485/1770 = 0,838983 = 83,8983%

Resp: aproximadamente 84%.

A interpretação deste resultado é que se o experimento for repetido 100 vezes, obteremosaproximadamente em 84 vezes, dois parafusos perfeitos.

Agora resolva as seguintes questões:

Q1) Uma máquina produziu 50 parafusos dos quais 5 eram defeituosos. Retirando-se ao acaso, 3parafusos dessa amostra, determine a probabilidade de que os 3 parafusos sejam defeituosos.


Q2) Em relação à questão anterior, determine a probabilidade de numa retirada de 3 parafusos aoacaso, saiam pelo menos dois parafusos defeituosos.


Observação: pelo menos 2 defeituosos = 2 defeituosos ou 3 defeituosos.

Q3) FEI-SP – Uma urna contém 10 bolas pretas e 8 bolas vermelhas. Retiramos 3 bolas semreposição. Qual é a probabilidade de as duas primeira serem pretas e a terceira vermelha?

Resp: 5/34 ou aproximadamente 14,7%

Q4) FMU-SP – Uma urna contém 5 bolas vermelhas e 4 pretas; dela são retiradas duas bolas, umaapós a outra, sem reposição; a primeira bola retirada é de cor preta; Qual a probabilidade de que asegunda bola retirada seja vermelha?

Resp: 5/8 ou 62,5%

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01 - raciocínio lógico-quantitativo