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Estatística II UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ INSTITUTO DE CIÊNCIAS SOCIAIS APLICADAS FACULDADE DE ECONOMIA Prof. Dr. Ricardo Bruno Nascimento dos Santos

01 - Variáveis Aleatórias Discretas

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  • Estatstica II

    UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARINSTITUTO DE CINCIAS SOCIAIS APLICADAS

    FACULDADE DE ECONOMIA

    Prof. Dr. Ricardo Bruno Nascimento dos Santos

  • I Variveis Aleatrias e Distribuies de Probabilidade

    *) Definio: Seja E um experimento e S o espao associado aoexperimento. Uma funo X, que associe a cada elemento s S umnmero real X(s) denominada varivel aleatria.

    s

    S

    X(s)

    RX

    Varivel Aleatria

  • Um empresrio pretende estabelecer uma firma para montagemde um produto composto de uma esfera e um cilindro. As partes soadquiridas em fbricas diferentes (A e B), e a montagem consistirem juntar as duas partes e pint-las. O produto acabado deve ser ocomprimento (definido pelo cilindro) e a espessura (definida pelaesfera) dentro de certos limites e isso s poder ser verificado aps amontagem. Para estudar a viabilidade de seu empreendimento, oempresrio quer ter uma ideia da distribuio do lucro por peamontada.

    Sabe-se que cada componente pode ser classificado como bom,longo ou curto, conforme sua medida esteja dentro da especificao,maior ou menor que a especificada, respectivamente. Alm disso,foram obtidos dos fabricantes o preo de cada componente (R$ 5,00)e as probabilidades de produo de cada componente com ascaractersticas bom, longo e curto. Tais valores podem serverificados na tabela a seguir

    I.1 Variveis Aleatrias Discretas

  • Produto Fbrica ACilindro

    Fbrica BEsfera

    Dentro das especificaes.............. Bom(B) 0,80 0,70

    Maior que as especificaes.......... Longo(L) 0,10 0,20

    Menor que as especificaes......... Curto (C) 0,10 0,10

    Nosso primeiro objetivo e construir as probabilidades associadas a

    combinao do produto a ser criado, primeiramente temos que construir o

    espao amostral (S), como so construdos em fbricas diferentes,

    consideramos que a construo das peas se d de forma independente,

    portanto teramos o seguintes elementos em S:

    Se o produto final apresentar algum componente com defeito com a

    caracterstica curto (C), ele ser irrecupervel, e o conjunto ser vendidocomo sucata a R$ 5,00. Cada componente longo poder ser recuperado a umcusto adicional de R$ 5,00. Se o preo de venda de cada unidade for R$25,00, como seria a distribuio de frequncias da varivel X: Lucro porconjunto montado?

    Tabela I1

    I.1 Variveis Aleatrias Discretas

  • Ento como ficaria a tabelaCom os valores de custo?

    Cilindro Esfera

    B

    B0,70

    0,20

    0,10

    0,70

    0,20

    0,10

    0,70

    0,20

    0,10

    0,80

    0,10

    0,10

    L

    C

    B

    L

    C

    B

    L

    C

    0,56

    0,16

    0,08

    0,07

    0,02

    0,01

    0,07

    0,02

    0,01

    Produto ProbabilidadeLucro por

    Montagem (X)

    BB 0,56 15

    BL 0,16 10

    BC 0,08 -5

    LB 0,07 10

    LL 0,02 5

    LC 0,01 -5

    CB 0,07 -5

    CL 0,02 -5

    CC 0,01 -5

    Tabela I2

    L

    C

    I.1 Variveis Aleatrias Discretas

  • Ento, pode-se notar que existem quatro possibilidades associadas asocorrncias de fabricao do produto e de lucro, as quais seriam:

    15, se ocorrer o evento A1 = {BB};10, se ocorrer o evento A2 = {BL, LB};

    5, se ocorrer o evento A3 = {LL};-5, se ocorrer o evento A4 = {BC, CB, CL, LC, CC};

    Cada um desses eventos possui uma probabilidade associada, onde:P(A1)= 0,56; P(A2)= 0,23; P(A3)= 0,02; P(A4)=0,19

    Isso nos permitir construir a funo [x, p(x)], que um modelo tericopara a distribuio da varivel X, que o empresrio poder usar para julgara viabilidade econmica do projeto que ele pretende realizar. Aqui o x ovalor da V.A. X e p(x) a probabilidade de X tomar o valor x.

    I.1 Variveis Aleatrias Discretas

  • x p(x)15 0,5610 0,235 0,02-5 0,19

    Total 1,00

    Assim, teramos a seguinte tabela

    Tabela I3

    I.1 Variveis Aleatrias Discretas

  • Vamos introduzir o conceito de valor mdio por meio do exemploanterior:

    A principal pergunta a ser feita pelo empresrio diante da suadistribuio de Lucro seria em procurar saber qual seria o seu lucro mdiopor conjunto montado. A partir da tabela I3,, observamos que 56% dasmontagens devem produzir um lucro de R$ 15, 23% um lucro de R$10 eassim por diante. Logo, o lucro esperado por montagem ser dado por

    Lucro mdio = (0,56)(15) + (0,23)(10) + (0,02)(5) + (0,19)(-5) = R$9,85

    ** Definio: dada a v.a. X discreta, assumindo os valoreschamamos valor mdio ou ESPERANA matemtica de X ao valor:

    1,..., nx x

    1 1( ) ( )

    n n

    i i i ii i

    E X x P X x x p= =

    = = =

    I.1 Variveis Aleatrias DiscretasI.1.1) Valor Mdio de uma VA

  • A varincia da V.A. X pode ser obtida pela clssica expresso devarincia, onde corresponde ao valor observado menos a mdia elevado aoquadrado:

    J o desvio padro a raiz da Var(X), vamos verificar em um exemploprtico como calcular a varincia e o desvio padro no Excel:

    I.1 Variveis Aleatrias DiscretasI.1.2) A varincia e desvio de uma varivel aleatria

    2

    1var( ) [ ( )]

    n

    i ii

    X x E X p=

    =

  • Para melhor retratar as propriedades do valor mdio podemospartir da seguinte dvida do empresrio:

    Suponha que todos os preos determinados pelo empresrioestivessem errados. Na realidade, todos os valores deveriam serduplicados, isto , custos e preos de venda. Isso corresponde transformao Z=2X. As probabilidades associadas V.A. Z sero asmesmas da V.A. X, pois cada valor de X ir corresponder a um nicovalor de Z. Assim, o valor mdio da distribuio de Z ser dado por:

    I.1 Variveis Aleatrias DiscretasI.1.3) Propriedades do valor mdio

    1( ) ( )

    n

    i ii

    E Z z p z=

    =

    1 (2 ) 19,70

    n

    i ii

    x p=

    = =

  • Podemos visualizar em uma tabela esse comportamento:

    I.1 Variveis Aleatrias DiscretasI.1.3) Propriedades do valor mdio

    x z=2x p(z)=p(x) z*p(z)15 30 0,56 16,8010 20 0,23 4,605 10 0,02 0,20-5 -10 0,19 -1,90

    Total - 1,00 19,70

    Tabela I4

  • Assim, dada a V.A. discreta X e a respectiva funo deprobabilidade p(x), a esperana matemtica da funo h(X) dadapor

    As seguintes propriedades podem ser facilmente demonstradas:a) Se h(X)=aX + b, onde a e b so constantes, ento

    b)

    I.1 Variveis Aleatrias DiscretasI.1.3) Propriedades do valor mdio

    1[ ( )] ( ) ( )

    n

    i ii

    E h X h x p x=

    =

    2

    [ )] ( )var( ) var( )E aX b aE X b

    aX b a X+ = +

    + =

    22 2 2var( ) ( ) [ ( )] ( ) ( )i i i iX E X E X x p x x p x = =

  • Vamos construir ento a Var(X), para tanto vamos mostrar isso emna tabela I5:

    Assim: var(X)=154,25 (9,85)2 = 57,23Simbolicamente podemos representar mdia e varincia por:

    I.1 Variveis Aleatrias DiscretasI.1.3) Propriedades do valor mdio

    w p(w) w*p(w)152=225 0,56 126,00102=100 0,23 23,00

    (5 ou -5)2= 25 0,21 5,25Total 1,00 154,25

    Tabela I5: nesse caso supondo que w=X2

    2

    ( ) ( )var( ) ( )E X X

    X X

    =

    =

  • Definio: dada a varivel aleatria X, chamaremos de funo dedistribuio acumulada (fda), ou simplesmente funo de distribuio(fd) F(x) funo

    .Observe que o domnio de F todo o conjunto dos nmeros reais,

    ao passo que o contradomnio o intervalo [0,1].Exemplo: Voltando a tabela I.4 podemos definir a fd de X como:

    0, se x < -50,19; se -5 x < 5

    F(x)= 0,21; se 5 x

  • Construindo um grfico podemos demonstrar que:

    I.1 Variveis Aleatrias DiscretasI.1.4) Funo de distribuio acumulada

    Devemos observar que igualao SALTO que a funo F(x) d no ponto; por exemplo, 10 0,23 10 10.De modo geral, ,onde lembramos que:

    ( ) lim ( ).x aF a F x =

  • I.1.5.1) Distribuio uniforme discreta: Este o caso maissimples de v.a. discreta, em que cada valor possvel ocorre com amesma probabilidade.

    Definio: A v.a. discreta X, assumindo os valores , , , , temdistribuio uniforme se, e somente se,

    1 ,

    Para todo i= 1, 2, ..., k.Assim, pelo conceito de esperana, fcil verificar que:

    1

    1

    ,

    I.1 Variveis Aleatrias DiscretasI.1.5) Alguns modelos probabilsticos para V.A.D.

    E que a funo acumulada dada por

    ( )

    1 ( )( )ix x

    n xF xk k

    = =Onde n(x) o nmero de

  • Graficamente teramos

    I.1 Variveis Aleatrias DiscretasI.1.5) Alguns modelos probabilsticos para V.A.D.

    1/k

    F

    1,0

    2/k

    1/k

    (a) Funo de Probabilidade (b) Funo de distribuio

  • I.1.5.2) Distribuio de Bernoulli: Muitos experimentos so taisque os resultados apresentam ou no uma determinada caracterstica.Por exemplo:

    (1) Uma moeda lanada: o resultado ou cara ou no (ocorrendo,ento, coroa);

    (2) Um dado lanado: ou ocorre face 5 ou no (ocorrendo, ento,uma das faces 1, 2, 3, 4 ou 6);

    (3) Uma pea escolhida ao acaso de um lote contendo 500 peas:essa pea defeituosa ou no;

    (4) Uma pessoa escolhida ao acaso dentre 1.000 ou no do sexomasculino;

    (5) Uma pessoa escolhida ao acaso entre os moradores de umacidade e verifica-se se ela favorvel ou no a um projeto municipal.

    I.1 Variveis Aleatrias DiscretasI.1.5) Alguns modelos probabilsticos para V.A.D.

  • Em todos os casos anteriormente citados, estamos interessados naocorrncia de um sucesso ou fracasso. Essa terminologia (sucesso oufracasso) ser usada frequentemente.

    Para cada experimento acima podemos definir uma v.a. X, queassume apenas dois valores: 1, se ocorrer sucesso e 0, se ocorrerfracasso. Indicaremos por p a probabilidade de sucesso, isto ,P(sucesso) = P(S)=p, 0 < p

  • Com isso pode-se demonstrar que ; 1 ,

    0, !" # 0F(x) = 1 , !"0 # 1

    1, !" $ 1.Graficamente podemos representar a f.p. e a f.d.a de X

    I.1 Variveis Aleatrias DiscretasI.1.5) Alguns modelos probabilsticos para V.A.D.

  • Exemplo: vamos supor o caso do experimento (2). Supondo o dadoperfeito, teremos P(X=0)=5/6, P(X=1)=1/6,

    E(X)=1/6, Var(X)=(1/6)(5/6)= 5/36

    I.1 Variveis Aleatrias DiscretasI.1.5) Alguns modelos probabilsticos para V.A.D.

  • Imagine, agora, que repetimos um ensaio de Bernoulli n vezes, ou,de maneira alternativa, obtemos uma amostra de tamanho n de umadistribuio de Bernoulli. Suponha ainda que as repeties sejamindependentes, isto , o resultado de um ensaio no tem influncianenhuma no resultado de qualquer outro ensaio. Uma amostraparticular ser constituda de uma sequncia de sucessos e fracassos,ou, alternativamente, de uns e zeros. Por exemplo, repetindo um ensaiode Bernoulli cinco vezes (n=5), um particular resultado pode serFSSFS ou a quntupla ordenada (0, 1, 1, 0, 1).

    Assim, P(S)=p a probabilidade da amostra ser1 1 1 .

    O nmero de sucessos da amostra 3, enquanto que o nmero defracassos 2.

    I.1 Variveis Aleatrias DiscretasI.1.6) Distribuio Binomial

  • Vamos ento considerar as seguintes situaes, obtidas de (1) a (5) noexemplo de Bernoulli:

    (1) uma moeda lanada trs vezes; qual a probabilidade de se obterduas caras?

    (2) um dado lanado cinco vezes; qual a probabilidade de se obter face5 no mximo trs vezes?

    (3) dez peas so extradas, ao acaso, com reposio, de um lotecontendo 500 peas; qual a probabilidade de que todas sejamdefeituosas, sabendo-se que 10% das peas do lote so defeituosas?

    (4) cinco pessoas so escolhidas ao acaso entre 1.000; qual aprobabilidade de que duas sejam do sexo masculino?

    (5) Sabe-se que 90% das pessoas de uma cidade so favorveis a umprojeto municipal. Escolhendo-se 100 pessoas ao acaso entre osmoradores, qual a probabilidade de que pelo menos 80 sejamfavorveis ao projeto?

    I.1 Variveis Aleatrias DiscretasI.1.6) Distribuio Binomial

  • Nos casos (4) e (5), o fato de estarmos extraindo indivduos de umconjunto muito grande implica que podemos supor que as extraes sejampraticamente independentes.

    Exemplo: Consideremos a situao (1), supondo que a moeda no estejaviciada, isto , P(sucesso)=P(cara)=1/2. Indiquemos o sucesso (cara) por S efracasso (coroa), por F. Ento, estamos interessados na probabilidade doevento:

    A ={ A ={SSF, (1, 1, 0);SFS, (1, 0, 1);FSS} (0, 1, 1)}

    I.1 Variveis Aleatrias DiscretasI.1.6) Distribuio Binomial

    Evidente que temos que observar que:

    %% 12 &12 &

    12

    Onde: P(SSF)=P(SFS)=P(FSS)Portanto;

    ' 38

  • Se a probabilidade de sucesso for p, 0 < p < 1, e P(F) = 1p=q ,ento

    %% & & ) & ) %% %%

    ' 3 & )Uma caracterstica importante dos experimentos considerados que

    estamos interessados apenas no nmero total de sucessos e no naordem em que eles ocorrem. Podemos construir a tabela I6 para n= 3lanamentos da moeda, com P(S) = p, P(F) = 1 p = q, a partir dodiagrama de rvore a seguir:

    I.1 Variveis Aleatrias DiscretasI.1.6) Distribuio Binomial

  • I.1 Variveis Aleatrias DiscretasI.1.6) Distribuio Binomial

    p

    q

    p

    q

    p

    q

    p

    q

    p

    q

    p

    q

    p

    q

    S

    F

    S

    F

    S

    F

    S

    F

    3p

    2p q2p q

    2pq2p q

    2pq2pq

    3q

  • N de sucessos Probabilidades p=1/20 q3 1/81 3pq2 3/82 3p2q 3/83 p3 1/8

    I.1 Variveis Aleatrias DiscretasI.1.6) Distribuio Binomial

    Tabela I6: Probabilidades binomiais para n=3 e P(S) = p

    Vamos designar por X o nmero total de sucessos em n ensaios de Bernoulli,com probabilidade de sucesso p, 0 < p < 1. Os possveis valores de X so 0, 1, 2,..., n e os pares , , onde p(x) = P(X=x), constituem a chamadadistribuio BINOMIAL.Assim o grfico da tabela acima pode ser representado da seguinte forma:

    Agora no R

  • O grfico ento pode ser representado como:

    Obtenhamos, agora, P(X=k), ou seja, numa sequncia de n ensaiosde Bernoulli, a probabilidade de obter k sucessos (e portanto, n-kfracassos), k=0,1,2,...,n, com P(S)=p, P(F)=1-p=q. Uma particularsequncia :

    %%% %,

    I.1 Variveis Aleatrias DiscretasI.1.6) Distribuio Binomial

  • Onde temos k sucessos seguidos por n-k fracassos. A probabilidadede tal sequncia :

    1 *+ )*+ ,Devido a independncia dos ensaios. Mas qualquer sequncia com k

    sucessos e n-k fracassos ter a mesma probabilidade )*+. Portanto,resta saber quantas sequncias com a propriedade especificadapodemos formar. fcil ver que existem

    ,

    ,!! , !

    Tais sequencias, de modo que , )*+ , 0, 1, 2, , ,.

    As probabilidades acima, tambm sero indicadas por b(k; n,p) e,quando a v.a. X tiver distribuio binomial com parmetros n e p,escrevemos

    ~/,,

    I.1 Variveis Aleatrias DiscretasI.1.6) Distribuio Binomial

  • Considerando a situao (3) anterior:dez peas so extradas, ao acaso, com reposio, de um lote

    contendo 500 peas; qual a probabilidade de que todas sejamdefeituosas, sabendo-se que 10% das peas do lote so defeituosas?

    Temos n=10 ensaios de Bernoulli cada um com P(S) = P(peadefeituosa) = p = 0,1. Se X indicar o nmero de peas defeituosas naamostra, queremos calcular P(X=10) = b(10; 10, 1/10). Assimteremos:

    , )*+

    10 1010110

    0 910

    0 1100

    I.1 Variveis Aleatrias DiscretasI.1.6) Distribuio Binomial

  • As mdias e varincias de uma v.a. binomial so dadasrespectivamente por:

    , ,)

    Para o exemplo acima teramos:

    10 110 1 10 110 1

    110

    910

    I.1 Variveis Aleatrias DiscretasI.1.6) Distribuio Binomial

  • AplicaoCada amostra de gua da COSAMPA tem 10% de conter um

    determinado poluente orgnico. Considere que as amostras sejamindependentes com relao presena do poluente. Encontre aprobabilidade de que nas prximas 18 amostras analisadas exatamenteduas contenham o poluente.

    Assim teramos: 2 182 0,1

    0,93182

    18!2! 16!

    1817

    2 153

    2 1530,10,93 0,284

    Qual seria ento a probabilidade de que no mnimo quatro amostrascontenham o poluente?

    I.1 Variveis Aleatrias DiscretasI.1.6) Distribuio Binomial

  • Teramos ento:

    $ 4 18 0,180,99+8

    9

    8:Porm mais fcil utilizar o evento complementar, pois ser no

    mnimo 4 amostras compreende um universo de probabilidade grandeat chegar as 18 amostras, assim teramos:

    $ 4 1 # 4 18 0,180,99+8

    80 180 0,1

    00,99+0 ; 181 0,10,99+

    ; 182 0,10,99+ ; 183 0,1

    0,99+ Vamos para o Excel:

    I.1 Variveis Aleatrias DiscretasI.1.6) Distribuio Binomial

  • Determine a probabilidade de que 3 X < 7.

    Logo:Chama-se experimento binomial ao experimento que:

    (a) Que consiste em n ensaios de Bernoulli(b) Cujos ensaios so independentes;(c) Par ao qual a probabilidade de sucesso em cada ensaio sempre

    igual a p, 0 < p

  • Voc pode empregar a Distribuio de Poisson em situaes nasquais no se est interessado no nmero de sucessos obtidos em ntentativas, como ocorre no caso da distribuio binomial, entretanto,esse nmero de sucessos deve estar dentro de um intervalo contnuo,ou seja, o nmero de sucessos ocorridos durante um intervalocontnuo, que pode ser um intervalo de tempo, espao etc.

    Imagine que voc queira estudar o nmero de suicdios ocorridosem uma cidade durante um ano ou o nmero de acidentesautomobilsticos ocorridos em uma rodovia em um ms ou o nmerode defeitos encontrados em um rolo de arame ovalado de 500m.Essas situaes so exemplos daquelas que se enquadram naDISTRIBUIO DE POISSON.

    I.1 Variveis Aleatrias DiscretasI.1.7) Distribuio de Poisson

  • Note que nos exemplos anteriores no h como voc determinar aprobabilidade de ocorrncia de um sucesso, mas sim a frequnciamdia de sua ocorrncia, como dois suicdios por ano, quedenominaremos .

    Em uma situao com essas caractersticas, a varivel aleatria nmero de sucessos em um intervalo contnuo, ter umaDistribuio Poisson, com (frequncia mdia de sucesso).

    Simbolicamente, podemos utilizar a notao