1

Análise dimensional,

ordem de grandeza e algarismos

significativos

Este assunto é considerado, em todos os progra-mas de Física das universidades e escolas militares, como primeiro requisito. Trata-se do conhecimento das noções básicas das grandezas físicas e suas relações intrínsecas. Os fenômenos físicos, isto é, tudo que ocorre na natureza, pode ser apresentado por meio de uma lei física, de um gráfico ou de uma fórmula matemática. Especialmente quando se usa uma fórmula matemática em Física, precisamos ter certeza que as correlações entre as grandezas en-volvidas estão em harmonia.

Grandeza físicaO conceito de grandeza física é semelhante ao

conceito de substantivo em português; são gran-dezas físicas: o comprimento, a massa, o tempo, a velocidade, a força etc. Podemos classificar essas grandezas segundo vários critérios; um deles classi-fica as grandezas como escalares ou vetoriais.

As grandezas escalares são aquelas cuja soma é um processo escalar como, por exemplo, o compri-mento, a massa, a intensidade de corrente elétrica.

As grandezas vetoriais são aquelas cuja soma é um processo vetorial, isto é, a soma é feita usando-se a regra do paralelogramo, que será vista mais adiante no estudo dos vetores; como exemplo podemos citar: a força, a velocidade, a aceleração etc.

Uma outra maneira de classificar as grandezas é considerá-las fundamentais ou derivadas.

As grandezas fundamentais são aquelas es-colhidas arbitrariamente como base de um sistema de unidades.

As grandezas derivadas serão, obrigatoria-mente, definidas em função das fundamentais escolhidas, para isso usamos o chamado Teorema de Bridgman: “Qualquer grandeza pode ser sempre definida como

G = k . g1 . g2 ... . gn

onde G representa a grandeza derivada, k é uma constante matemática, g1, g2, gn

representam as grandezas escolhidas arbitrariamente como fun-damentais”.

2

Em vários sistemas de unidades, algumas gran-dezas fundamentais escolhidas são, por exemplo:

o comprimento, com dimensional • L;

a massa, com dimensional • M;

o tempo, com dimensional • T.

Por exemplo, o Sistema Internacional de Unida-des (SI) usa como unidade de L o metro (m), de M o quilograma (kg) e de T o segundo (s).

Vamos determinar, para esse sistema, a a) equação dimensional de área, isto é, vamos mostrar a relação da grandeza derivada área com as grandezas fundamentais comprimen-to, massa e tempo.

A área de qualquer figura plana é sempre dada por

A = k . (comprimento) . (comprimento)

como pode ser facilmente comprovado:

área de triângulo A = 12 . (base) . (altura)

área de retângulo A = 1 . (base) . (altura)

área de círculo A = . (raio) . (raio)

Como podemos observar em qualquer área, temos sempre o produto de um número (pode ser 1 e não aparecer) e de duas dimensões de comprimento. Podemos, então, baseados no teorema de Bridgman, escrever:

[ A ] = [ k ] . L2

Os colchetes significam dimensional.

Como qualquer constante matemática indepen-de de comprimento, massa ou tempo, então temos sempre:

[k] = L0 M0 T0

isto é, k é adimensional ( [ k ] = 1 ) e, portanto,[A] = L2 M0 T0

o que significa que a grandeza derivada da área depende de duas dimensões de comprimento, independe da massa e do tempo.

Não se pode confundir uma constante matemá-tica com uma constante física; algumas constantes físicas têm dimensão, o que quer dizer que têm unidades, como será visto várias vezes durante o curso de Física.

Velocidade: definimos a velocidade escalar b) média como a razão entre a variação de posição ocorrida em determinado intervalo de tempo:

v = St

portanto:

[v]=[ St ] e, finalmente,

[v] = LM0T -1

o que significa que a grandeza velocidade depende de uma dimensão de comprimento, não depende da massa e varia inversamente com o tempo (expoente negativo).

Aceleração: é a razão entre a variação da c) velocidade no intervalo de tempo:

a = vt portanto:

[a]=[ vt ]

e, finalmente,

[a] = LM0T -2

Força: é definida, dinamicamente, como o d) produto da massa pela aceleração do corpo:

F = m.a e, portanto,

[F] = LMT -2

Velocidade angular: representa a razão en-e) tre o ângulo central descrito por um móvel, em movimento circular, em um intervalo de tempo:

t , portanto:

[ [ [ [t[ [ e, finalmente,

[ ] = L0M0T -2

Trabalho mecânico: admitida uma força cons-f) tante, o trabalho pode ser considerado como o produto da força pelo seu deslocamento, pelo cosseno do ângulo entre a direção da força e a do deslocamento:

W = F . d . cos , portanto:

[W] = [F] . [d] . [cos ] e como [cos ] = 1 (constan-te matemática)

[W] = L2 M T -2

Potência média: representa a razão entre o g) trabalho executado e o intervalo de tempo gasto nesse trabalho.

P = Wt portanto:

[P] = [W][ t]

e, finalmente,

[P] = L2 M T -3

3

Massa específica: representa a razão entre a h) massa de um corpo e o seu volume.

= mV

portanto:

[ ]=[m][V]

e, finalmente,

[ ] = L -3MT0

Princípio da homogeneidade das equações físicas

Qualquer equação física é homogênea, isto é, a dimensional do lado direito do sinal de igualdade de-verá ser sempre igual à dimensional do outro lado.

Observe que, por isso, as operações de produto ou divisão podem ser feitas com grandezas de di-mensionais diferentes, como foi visto nos exemplos anteriores, mas só podemos somar ou subtrair gran-dezas que possuam a mesma dimensão.

Unidades de medidaComo as grandezas físicas se assemelham aos

substantivos em português, as unidades também se parecem com os adjetivos: elas qualificam as gran-dezas. As unidades são agrupadas em Sistemas de Unidades, definidos em função daquelas grandezas escolhidas como fundamentais.

Muitas vezes usamos prefixos para aumentar ou diminuir uma unidade. São eles:

Aumentativos

Nome Símbolo Valordeca da 101

hecto h 102

quilo k 103

mega M 106

giga G 109

tera T 1012

peta P 1015

exa E 1018

Diminutivos

Nome Símbolo Valordeci d 10-1

centi c 10-2

mili m 10-3

micro µ 10-6

nano n 10-9

pico p 10-12

femto f 10-15

atto a 10-18

O angström ( Å ) é uma unidade de comprimento e vale 10 – 10 m.

São sete as grandezas fundamentais do Sistema Internacional de Medidas (1960), divididas em :

comprimento, unidade: a) metro (m)

massa, unidade: b) quilograma (kg)

tempo, unidade: c) segundo (s)

quantidade de matéria, unidade: d) mol

temperatura termodinâmica, unidade: e) kelvin (K)

intensidade de corrente elétrica, unidade: f) ampere (A)

intensidade luminosa, unidade: g) candela (cd)

Vamos definir essas unidades:

O metro é o comprimento do caminho percor-1) rido pela luz, no vácuo, no intervalo de tempo igual a 1

299.792.458 s.

O quilograma corresponde à massa do protó-2) tipo internacional do quilograma-padrão, que está depositado no Bureau Internacional de Pesos e Medidas, em Sèvres, França.

O segundo é a duração de 9.192.631.770 3) períodos da radiação correspondente à tran-sição entre dois níveis hiperfinos do estado fundamental do átomo do césio 133.

O mol é a quantidade de matéria de um siste-4) ma que contém tantas entidades elementares quantos são os átomos contidos em 0,012 kg de carbono 12.

O kelvin corresponde a 5) 1273,16

da temperatura

termodinâmica do ponto tríplice da água.

O ampère é a corrente elétrica invariável 6) que, mantida em dois condutores retilíneos, paralelos, de comprimento infinito e de área de secção transversal desprezível e situados

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no vácuo a um metro de distância um do outro, produz entre esses condutores uma força igual a 2 x 10 – 7 newton, por metro de comprimento desses condutores.

A candela é a intensidade luminosa em uma 7) dada direção, de uma fonte que emite radia-ção monocromática de frequência 540 x 10 12

Hz e que tem intensidade de energia nessa direção igual a 1

683 W/sr, onde sr é uma uni-

dade de ângulo sólido, definido a seguir.

Existem, ainda, para o SI, duas unidades su-plementares, ambas de grandezas derivadas adi-mensionais:

Radiano (rad), para ângulo plano; definido 1) como o ângulo plano formado por dois raios de um círculo, tal que o comprimento do arco de curva compreendido por eles seja numeri-camente igual ao comprimento do raio.

Esterradiano (sr), para ângulo sólido; definido 2) como o ângulo sólido que, tendo vértice no centro de uma esfera, subtende na superfície da mesma uma área igual ao quadrado do raio da esfera.

O Sistema Internacional antigamente era conhe-cido como sistema MKS, iniciais das três primeiras uni-dades; outro sistema muito utilizado é o CGS, em que as letras representam centímetro, grama, segundo.

Em engenharia o sistema MkgfS ainda é usado, especialmente nos livros técnicos de origem ameri-cana e inglesa; suas grandezas fundamentais são o comprimento, a força e o tempo. A unidade de massa do MkgfS é a utm (unidade técnica de massa ), tal que 1 utm 9,81 kg.

As principais unidades mecânicas são:

velocidade1) CGS cm/s ou cm.s -1

MKS m/s ou m.s-1

MkgfS m/s ou m.s-1

Muito usada e fora dos sistemas é o km/h, tal que 36km/h = 10m/s aceleração 2) CGS cm/s 2 ou cm.s -2

MKS m/s2 ou m.s-2

MkgfS m/s2 ou m.s-2

força 3) CGS dyn (dina)MKS N (newton)MkgfS kgf (quilograma-força)

energia 4) CGS ergMKS J (joule)MkgfS kgm (quilogrâmetro)

Muito usadas como energia calorífica: cal e btu, tal que 1cal = 4,184J e 1 btu 252cal

potência 5) CGS erg/s

MKS W (watt)

MkgfS kgm/s

Muito usadas e fora de sistemas : HP e CV, tal que 1CV 735,5 W e 1HP 1,014CVmassa específica 6)

CGS g/cm3

MKS kg/m3

MkgfS utm/m3

Observe que a unidade CGS é muito mais usada que a unidade MKS (SI)pressão 7) CGS b (bária)

MKS Pa (pascal)

MkgfS kgf/m2

Muito usadas e fora de sistemas: mm de Hg e atm, tal que:

1atm = 101.325 Pa = 1,01325 . 105 Pa e1 atm = 760 mm de Hg

Transformações de unidades

Como foi dito no módulo anterior, uma das ma-neiras mais corretas de se fazer transformações de unidades é por intermédio das equações dimensio-nais. Observe o exemplo:

Qual é a relação entre o J e o erg?

Solução: `

Como são unidades de trabalho, vamos pegar a equação dimensional de trabalho

[ W ] = L 2 M T – 2

e substituir, para cada sistema, as unidades fundamentais:

MKS (SI) J = m 2.kg.s – 2

CGS erg = cm 2.g.s – 2

Dividindo-se, membro a membro, as duas equações teremos:

Jerg = m2

cm2 . kgg

. s-2

s-2

e substituindo os prefixos, já nossos conhecidos, vem

Jerg = m2

(10-2m)2. 103g

g e, portanto, Jerg = m2

10-4m2.103 ou

Jerg = 103

10-4 , então J = 10 7 erg

Fazendo de maneira análoga a relação entre o N e a dyn, encontraremos N = 10 5 dyn

5

Notação científicaA notação científica visa facilitar a escrita de

valores por meio de uma potência de dez. Um número qualquer n, em notação científica, deverá ser escrito com a forma:

n = N . 10 m

onde N < 10 e m um inteiro qualquer.

Exemplo: `

o número 34 527 pode ser escrito de várias maneiras:

34 527 = 345,27 . 10 2

34 527 = 34,527 . 10 3

34 527 = 3,4527 . 10 4

Nessas três maneiras, a última apresenta um número maior que 1 e menor que 10; essa é a notação científica do número 34.527.

Ordem de grandeza (OG)A ordem de grandeza (OG) é a comparação de

qualquer número com uma potência inteira de 10; ela representa uma estimativa e, dentro das finalidades a que se propõe, é extremamente aceitável.

Como o número n, escrito em notação científica, já nos oferece uma potência de 10, cabe-nos aproxi-mar o número N da potência de 10 mais próxima dele, já que estará compreendido entre 1 e 10.

Precisamos, então, estabelecer uma divisa para separar os números maiores ou menores que essa divisa. Das várias médias que a Matemática nos oferece, usamos aqui a média geométrica.

Vamos apresentar um exemplo:

Imaginemos uma régua, começando em 1 e terminando em 10.

100 101

1 a b c 10

Admitindo-se que b seja o ponto médio entre 1 e 10, o ponto a estará mais perto de 1 e o ponto c, mais perto de 10; o ponto b representa a média geométrica entre 1 e 10, ou seja:

b = 1 x 10 = 10 10 3,162

Como 10 é um número irracional, não existe nenhum número real que esteja a igual distância de 1 e de 10 e, portanto, qualquer número N esta-rá, obrigatoriamente, mais perto de 1 ou de 10; se tivéssemos feito o ponto b como média aritmética poderíamos ter um número real que seria equidis-tante de 1 e de 10.

Podemos observar que 1 é uma potência de 10 (100) e então nossa régua começa em 100 e termina em 101; o termo médio seria 10 0,5 que pode ser escrito 101/2 ou 10.

Os exercícios cobrando ordem de grandeza são treinos de observação do cotidiano onde prevalece sempre o bom senso.

Exemplo `

Determine a ordem de grandeza do número de passa-geiros em um ônibus lotado.

Solução: `

Cada pessoa tem uma ideia da lotação de um ônibus: 50, 62, 79, 85 etc., passageiros.

Se fizermos as ordens de grandeza desses valores usando a notação científica, obteremos:

50 5,0 x 10: como 5,0 é maior que 10

( 10 3,1622...) a OG de 50 é 10 2 .

79 7,9 x 10: como 7,9 é maior que 10 a OG de 79 é 10 2 .

85 8,5 x 10: como 8,5 é maior que 10 a OG de 85 é 10 2 .

Como pode ser visto, para qualquer estimativa lógica do número de passageiros, a resposta será sempre 10 2 ; em questões desse tipo, não se pode confundir as palavras: observe que um ônibus não é uma kombi, não é um micro-ônibus, nem é o metrô.

Operações com estimativasQuando estivermos, em física, operando esti-

mativas deveremos ter o cuidado de, antes de fazer uma operação, passar essas estimativas para uma ordem de grandeza.

Exemplo: `

Determinar a ordem de grandeza do número de bati-mentos cardíacos de um adulto normal, no período de um ano.

Solução: `

Consideremos duas estimativas, ambas lógicas, 60 e 70 batimentos por minuto. Se fizermos a estimativa vezes 60 minutos, vezes 24 horas, vezes 365 dias para calcular em um ano:

n60 = 60 x 60 x 24 x 365 = 31 536 000

n70 = 70 x 60 x 24 x 365 = 36 792 000

então 31 536 000 = 3,1536 x 10 7 e como

3,1536 é menor que 10 a OG (n60) = 10 7

6

36 792 000 = 3,6792 x 10 7 e como 3,6792 é maior que 10 a OG (n70) = 10 8

O erro está na multiplicação da estimativa por valores de medida (1 h = 60 min , 1 dia = 24 h , 1 ano = 365 dias). O correto é passar, primeiro, a estimativa para OG e só então fazer o produto:

OG(60) = 6,0 x 10 = 10 2

OG(70) = 7,0 x 10 = 10 2 e, então,

n60 = 10 2 x 60 x 24 x 365 = 525 600 x 10 2

n70 = 10 2 x 60 x 24 x 365 = 525 600 x 10 2

e, portanto, em ambos os casos, OG (n 60) = 10 8 e OG (n70) = 10 8

Algarismos significativosQuando fazemos uma medida física, o valor da

grandeza, obtido a partir de uma medição ou de um cálculo, pode ser expresso sob forma decimal, com muitos algarismos.

Medir uma grandeza física é compará-la com outra grandeza de mesma espécie; se a comparação é entre grandezas de espécies diferentes temos uma avaliação.

Entende-se algarismo significativo numa medida física, como cada algarismo que apresenta individualmente algum significado.

Observe, então, que matematicamente 1 = 1,0000, porém, fisicamente esses valores são diferentes.

Imaginemos medir o comprimento (c) do corpo abaixo, usando duas réguas graduais com diferentes precisões:

0 1 2cm

cm0 1 22 4 6 82 4 6 8

c

c

Na primeira medida, como a menor divisão da régua é um centímetro, temos certeza da leitura 1cm e "mais alguma coisa"; essa "alguma coisa" pode ser estimada como 3, pois está aquém do ponto médio entre 1 e 2 ; essa leitura será, então, 1,3cm, isto é, 1,25 < c < 1,35cm

Na segunda medida, como a menor divisão da régua é dois milímetros, temos certeza das leituras

1cm e da medida 2mm e "mais alguma coisa"; essa "alguma coisa" pode ser estimada como 5, pois está no ponto médio entre 2 e 4; essa leitura será 1,25cm, isto é, 1,245 < c < 1,255cm.

Dizemos, então, que a medida 1,3cm está ex-pressa com dois algarismos significativos (2 AS) e a segunda medida com três algarismos significativos (3 AS ). Portanto, o número de significativos é dado pelos algarismos que representam a certeza na medida e mais o primeiro algarismo duvidoso; esse duvidoso é obrigatório.

Como pode ser notado, um maior número de al-garismos significativos indica uma medida com maior precisão e, portanto, a única maneira de aumentar o número de algarismos significativos de uma medida é melhorar o processo de medida.

Se tivermos uma massa 0,03450g, ela apresenta quatro algarismos significativos (3450); os zeros à es-querda não são significativos, apenas os da direita.

Se escrevermos esse número usando a potência de dez ele ficará 3,450 x 10 – 2 e continuará apresen-tando quatro algarismos significativos, isto é, a po-tência de dez não altera o número de significativos.

Operações com significativosSoma e subtração • : o resultado deve apresen-tar apenas um algarismo duvidoso.

Exemplo `

Somar os seguintes comprimentos

8,85m, 377mm, 0,353cm e 5,441m colocando na forma matemática e sublinhando os duvidosos

8, 85 m

0, 377 m

0, 00353 m

5, 441 m

14, 67153 m

O resultado está apresentando 3 duvidosos. Como só podemos ter no resultado 1 duvidoso, faremos as apro-ximações: jogando fora o último 3, pela regra de aproxi-mação, mantemos o 5; jogando fora o 5, passamos o 1 para 2; jogando fora esse 2, mantemos o 7; o resultado, fisicamente correto, dessa soma é 14,67m; na prática, como pode ser visto, o resultado tem o menor número de casas decimais das medidas e não tem nenhuma relação com o número de significativos das medidas.

Produto e divisão • : o resultado não pode con-ter número de significativos maior que o me-nor número de significativos das medidas.

7

Exemplo `

Calcular a área de um retângulo de lados 5,8746m e 7,43m.

Colocando na forma matemática, temos:

5,6746x 7,43

170238226984

39722242,162278

Como a primeira medida tem 5 AS e a segunda medida tem 3 AS, a resposta só pode conter 3 AS ; fazendo as aproximações, como no caso anterior, encontramos 42,2 m2 , que é o valor fisicamente correto para essa área.

Verificação da pertinência de equações físicas: pelo 1. princípio da homogeneidade, podemos dizer se uma equação física pode ou não existir; como exemplo, pe-gamos uma questão do IME do ano de 1989.

A potência P de uma hélice de avião depende do raio R da hélice, de sua velocidade angular e da massa específica do ar .

Um aluno fica em dúvida se a equação correta que liga essas grandezas é P = K 3 R5 ou P = K 5 R3 , em que K é uma constante adimensional.

Identifique a equação correta e justifique sua afirmação.

Solução: `

Aplicando o Teorema de Bridgman e dimensionando

[P] = [K] [ ] [R] [ ]

L2 M T - 3 = 1 . (T - 1) L (M L- 3)

M L 2 T - 3 = M L - 3 T -

Quanto a M 1 =

Quanto a T – 3 = – = 3

Quanto a L 2 = – 3 = 5

Portanto, a fórmula correta é P = K 3 R 5 e a outra fórmula não pode existir fisicamente.

Na identificação de grandezas em equações físicas, 2. como aconteceu na seguinte questão da UERJ.

Uma das fórmulas mais famosas deste século é:

E = m c2

Se E tem dimensão de energia e m de massa, c representa a seguinte grandeza:

força.a)

torque.b)

aceleração.c)

velocidade.d)

Solução: `

Dimensionando,

[ E ] = [ m ] . [ c ] 2

M L 2 T – 2 = M [ c ] 2 ou L 2 T – 2 = [ c ] 2

e extraindo a raiz L T – 1 = [ c ] que possui a mesma dimensão de velocidade (D).

Na identificação das unidades das grandezas. 3.

(PUC) Na análise de determinados movimentos, é bastante razoável supor que a força de atrito seja proporcional ao quadrado da velocidade da partícula que se move. Analiticamente

f = K v 2

A unidade da constante de proporcionalidade K, no SI, é:

a) kg m2

s2

b) kg sm2

c) kg ms

d) kgm

e) kgs

Solução: `

Dimensionando,

[ f ] = [ K ] . [ v ] 2

M L T – 2 = [ K ] . ( L T – 1 ) 2 ou

M L T – 2 = [ K ] . L 2 T – 2 e, portanto,

[ K ] = M L – 1 , isto é, [ K ] = M / L

Como no SI, M é expressa por kg e L por m,vem U(K)SI = kg / m (D).

(Unificado) Um aluno procurou seu professor de geo-4. metria para sanar uma dúvida sobre um problema no qual havia um triângulo de lados a, b e c e dois pontos P e Q, cuja distância era pedida. O aluno não lembrava a posição do ponto P, embora soubesse com certeza que a resposta era:

a (b + c) + bc (1 + 3)a + b

a)

b) a 2 – 2bc2

8

ab 34(a + b + c)c)

ad) 2 + 2b + c

a (b2 + 2c2) + b 3a2 + b2

e)

Solução: `

Observando-se as dimensionais:L x L + L x L

L + La) = L ( comprimento )

L 2 – L . L = L2 1

b) L2 (área)

L . LL + L + Lc) = L (comprimento)

Ld) 2 + L + L impossível

L(L 2+ L2)+LL 2 + L 2

e) impossível

(Unicamp) Quando um recipiente aberto contendo um 5. líquido é sujeito a vibrações, observa-se um movimento ondulatório na superfície do líquido. Para pequenos com-primentos de onda , a velocidade de propagação v de uma onda na superfície livre do líquido está relacionada à tensão superficial conforme a equação:

v = 2 onde é a densidade do líquido (massa

específica). Essa equação pode ser utilizada para determinar a tensão superficial, induzindo-se na superfície do líquido um movimento ondulatório com uma frequência conhecida e medindo-se o comprimento de onda .

Quais são as unidades de tensão superficial ( ) no Sistema Internacional de Unidades?

Solução: `

Dimensionando [v]2 = [2][ ][ ][ ][ ]

L 2 T – 2 = [ ]ML-3L ou [ ] = M T – 2, portanto,

U( ) SI = kg . s – 2 ou kg/s 2 ; se multiplicarmos essas unidades por m

m elas não se alteram e ficaríamos com

U( ) SI = kg mm s – 2 ou kg m/m s 2 ; como

kg m s – 2 = N, então U( ) SI = N/m

(FUVEST-SP) No Sistema Internacional de Unidades 6. (SI), as sete unidades de base são o metro (m), o qui-lograma (kg), o segundo (s), o kelvin (K), o ampère (A), a candela (cd) e o mol (mol).

A lei de Coulomb da eletrostática pode ser representada pela expressão:

F = 14 0

Q1Q2

r2 onde 0 é uma constante fundamental

de física e sua unidade, em função das unidades de base do SI, é:

m a) – 2 s 2 A 2

m b) – 3 kg – 1 A 2

m c) – 3 kg – 1 s 4 A 2

m kg s d) – 2

Solução: `

Em eletricidade definimos a intensidade de corrente elétrica como a razão entre a carga elétrica e o intervalo

de tempo, isto é, i = Qt ou Q = i Δ t ; dimensionan-

do a Lei de Coulomb, vem [F] =[1]

[4 ][ 0][Q1Q2]

[r]2 ou

[ 0] =1

LMT -2I2T2

L2 e, portanto, [ 0] = L -3 M– 1 T 4 I 2 ;

substituindo-se pelas unidades SI teremos:

[ 0] = m -3 kg – 1 s 4 A 2 Letra C

(UFRGS) Ao resolver um problema de física, um estu-7. dante encontra sua resposta expressa nas seguintes unidades: kgm2/s3 . Essas unidades representam:

força.a)

energia.b)

potência.c)

pressão.d)

quantidade de movimento.e)

Solução: `

U(G)SI = kgm2/s3 [G] = L 2 M T – 3 ; como

[Po] = L 2 M T – 3 concluímos que essa grandeza é a potência.

(ESFAO) Um meteorologista decide fazer a leitura, por 8. meio de um barômetro, da pressão atmosférica no alto de uma montanha; ele sabe que 1atm corresponde a, aproximadamente, 105 Pa, mas o barômetro que possui está graduado em bárias. Determine, então, para ajudar o meteorologista, a relação entre pascal e bária.

Solução: `

Como são unidades de pressão, vamos pegar a equação dimensional de pressão.

A pressão é definida como a razão entre a força normal exercida sobre uma área e o valor dessa área, isto é,

Pr = FA

ou [Pr] = [F][A]

, e substituindo vem [Pr] = LMT-2

L2 ,

ficando [ Pr ] = L – 1 M T – 2

Vamos agora substituir, para cada sistema, as unidades fundamentais:

9

MKS (SI) Pa = m – 1 . kg . s – 2

CGS b = cm – 1 . g . s – 2

Dividindo-se, membro a membro, as duas equações, teremos:

Pab = m-1

cm-1 . kg

g e substituindo os prefixos,vem

Pab = m-1

(10-2m)-1. 103g

g , portanto, Pab = m-1

10-2m-1.103 ou

Pab = 10-2

103 dando então Pa = 105 b

(Olimpíada de Física - RJ) Qual a ordem de grandeza do 9. número de vezes que o coração humano bate durante a vida de um indivíduo ?

10a) 10

10b) 9

10c) 8

10d) 7

10e) 6

Solução: `

Estimando o tempo de vida de um indivíduo em 70 anos

OG(70) = 7,0 x 10 = 10 2

Estimando o número médio de batimentos cardíacos como 60 batimentos por minuto OG(60) = 6,0 x 10 = 10 2

Então, durante a vida do indivíduo, teremos:

V = OG(70) x OG(60) x 60 x 24 x 365 ou

V = OG(70) x OG(60) x 525 600 e, portanto,

V = OG(70) x OG(60) x 5,25600 x 10 5 e como

5,256 > 10 V = OG(70) x OG(60) x 10 x 10 5

OG(V) = 10 2 x 10 2 x 10 6, e OG(V) = 10 10

Letra A

(Unirio) Foram feitas as seguintes medidas aleatórias: 10.

3,28 x 10I. 3m 2

2,89 x 10II. 2g

8,21 x 10III. 4cm

0,00006mIV. 3

0,0091mV. 2

As ordens de grandezas são, respectivamente :

10a) 3;10 2;10 4;10 – 5;10 – 4

10b) 2;10 2;10 2;10 – 5;10 – 4

10c) 1;10 1;10 1;10 – 5;10 – 4

10d) 3;10 2;10 5;10 – 5;10 – 4

10e) 4;10 2;10 5;10 – 4;10 – 2

Solução: `

Como 3,28 > I. 10 OG(I) = 104m 2

Como 2,89 < II. 10 OG(II) = 102g

Como 8,21 > III. 10 OG(III) = 105cm

Como 0,00006 = 6 x 10 IV. – 5 e sendo 6 > 10 OG(IV) = 10 – 4m 3

Como 0,0091 = 9,1 x 10 V. – 3 e sendo 9,1 > 10 OG(V) = 10 – 2m 2

Letra E

(OBF) Uma caravana de imigrantes do Movimento dos 11. Sem Terra resolve sair em caminhada a partir de São Paulo para fazer um protesto em Brasília. Obtenha uma estimativa da ordem de grandeza do número de passos necessários para completar essa caminhada, sabendo que a distância de São Paulo a Brasília, ao longo do caminho escolhido é de, aproximadamente, 1 000km.

10a) 12

10b) 9

10c) 6

10d) 3

10e) 0

Solução: `

O número de passos será obtido dividindo-se a distância total da viagem pela distância percorrida em cada passo, ou seja,

n = S total

S passo

; estimando-se Δ S passo como sendo 60 cm,

teremos OG(passo) = 60 x 10 – 2 m = 6 x 10 x 10 – 2 m e como 6 > 10, OG(passo) = 10 x 10 x 10 – 2 m ou

OG(passo) = 10 0 m ; estimando-se Δ S total como sendo 1 000km, teremos OG(total) = 103 x 103m = 10 6 m; então OG(n) = 106

100então OG(n) = 10 6

Letra C

(PUC) Um certo recipiente contém 5,0 moles de H 12. 2 . Após um certo tempo, verifica-se que, devido a uma pequena rachadura, 8,0 x 10 10 moléculas de H 2 esca-param desse recipiente. Sabendo-se que o número de Avogadro é 6,0 x 10 23 moléculas, a ordem de grandeza do número de moléculas no interior do recipiente no instante em que se notou a rachadura é de:

10 a) 11

10 b) 12

10 c) 13

10 d) 23

10 e) 24

10

Solução: `

1 mol 6,0 x 10 23

5 mols x x = 30,0 x 10 23

n = 30,0 x 10 23 – 8,0 x 10 10 ou

n = 10 10 (30,0 x 10 13 – 8,0) e, portanto,

n = 10 10 x 30,0 x 10 13 = 30,0 x 10 23

Como 30 = 3 x 10 e 3 < 10

OG(n) = 10 24

Letra E

(Cesgranrio) Para conhecer a altura de um prédio de 13. quatro andares, um estudante mede uma só vez, com um cronômetro cuja sensibilidade é o décimo de segundo, o tempo de queda até o solo, de uma bilha de aço largada do topo do prédio com velocidade inicial nula. Qual é o número máximo de algarismos significativos com que a altura obtida poderá ser fornecida ?

1a)

2b)

3c)

4d)

5 e)

Solução: `

A altura do prédio será estimada: como um andar tem, em média, 3 metros, a altura da queda será de 12m; a altura de um corpo que cai (velocidade inicial nula) sob ação exclusiva da aceleração da gravidade é dada por h = gt 2

2 ; considerando-se g = 10ms – 2 e calculando o tempo

de queda, teremos t 2 = 2 x 1210

ou t 2 = 2,4 ; extraindo-se

essa raiz, teremos t = 1,55s ; desde que a sensibilidade do cronômetro é a do décimo de segundo só consegui-remos ler, nesse cronômetro, 1,5s ; então, o tempo será apresentado com dois algarismos significativos e como estamos fazendo operações de produtos e divisões, a regra nos diz que a resposta não pode conter número de significativos maior que a menor significação das medidas; portanto, a altura não poderá ser apresentada com mais de dois algarismos significativos.

(Unirio) Numa experiência com um móvel, foram anota-14. dos 4,163 x 10m para a distância e 3,38s para o tempo. No cálculo da velocidade média, uma calculadora de oito dígitos apresentou 12,316568 (m/s) como resultado. De acordo com a precisão das medidas e utilizando o SI (Sistema Internacional) a velocidade média deve ser anotada como de:

1,231657 x 10m/sa)

1,232 x 10m/s b)

1,23 x 10m/sc)

1,232 x 10d) 2m/s

1,23 x 10cm/s e)

Solução: `

O cálculo da velocidade média será feito pela divisão da distância percorrida pelo tempo gasto, isto é:

vm= distânciatempo ; substituindo pelos valores apresentados

teremos: vm= 4,163 x 103,38 ; como ambas as medidas con-

têm três algarismos significativos, a resposta não pode conter mais de três algarismos significativos, pois a regra a ser usada é a dos produtos e divisões . A opção correta é a letra C , porque as opções A, B e D têm mais de três AS e a opção E deveria ser 1,23 x 102cm/s.

Letra C

(ITA) Uma bola de 1,0 x 10 15. – 1kg tem velocidade V , de módulo 11m/s no instante em que é golpeada por um bastão e obrigada a voltar com uma velocidade, em módulo, igual à anterior. Supondo que o bastão esteve em contato com a bola durante 3 x 10– 2s, calcular o valor médio da força exercida pelo bastão sobre a bola.

73,3Na)

3,7 x 10Nb)

36,6Nc)

3,67 x 10Nd)

7 x 10Ne)

Solução: `

Um aluno, conhecedor de dinâmica sabe que o impulso de uma força é igual à variação da quantidade de movi-mento, ou seja, I = Q; o impulso é a grandeza definida como o produto da força pelo intervalo de tempo em que ela atua I = F x t e a quantidade de movimento é definida pelo produto da massa pela velocidade Q= m x v, portanto, F x t = m v; como v significa a diferença vetorial entre a velocidade final e a inicial, ele teria

v = v final - v inicial vinicial , ou seja, v = 22m/s ; fazendo

F = m x I v It e substituindo pelos valores ele teria então

3 x 10 -2 1,0 x 10-1x 22F = = 73,33333...

Como o tempo foi apresentado com apenas um algarismo significativo, nota-se que não era preciso fazer conta algu-ma; sabendo que esse cálculo envolvia produtos e divisões, a única resposta fisicamente correta seria a letra E.

(UERJ) No rótulo de um vidro de mostarda, à venda 16. nos supermercados, obtêm-se as seguintes informa-ções: massa de 536g e volume de 500ml. Calculando a

11

massa específica do produto em unidades do Sistema Internacional, com o número correto de algarismos significativos, encontra-se:

1,07 x 10a) 3 kgm – 3

1,1 x 10b) 3 kgm – 3

1,07 x 10c) 6 kgm – 3

1,1 x 10d) 6 kgm – 3

Solução: `

Vamos passar inicialmente os dados do exercício para as unidades SI .

m = 536g = 536 x 10 – 3kg

V = 500ml = 500 x 10 – 3l e como 1l = 10 – 3m 3

V = 500 x 10 – 3 x 10 – 3m 3 = 500 x 10 – 6m 3

Sendo a massa específica a razão entre a massa e o volume, podemos escrever = m

V e substituindo pelos

valores dados já passados para as unidades SI, teremos:

= 536x10-3

500x10-6 ou = 1,07 x 10 3 kg/m – 3.

Como as medidas foram apresentadas com três alga-rismos significativos e realizamos operação de divisão, a resposta deve ser apresentada com três algarismos significativos.

Letra A

(VEST-RJU) As grandezas físicas podem ser classifica-1. das em escalares e vetoriais. A alternativa que contém apenas grandezas vetoriais é :

empuxo / aceleração / pressão.a)

empuxo / impulso / aceleração.b)

trabalho mecânico / impulso / pressão.c)

potencial elétrico / trabalho mecânico / pressão.d)

potencial elétrico / trabalho mecânico / aceleração.e)

(EMC-RJ) Dadas as fórmulas dimensionais :

L a) 0 M 0 T 0

L M b) 0 T – 1

L M c) 0 T – 2

L d) 2 M T – 3

L e) 0 M 0 T – 1

Indique pela letra correspondente, a que se relaciona com o resultado de cada uma das seguintes expressões

Quociente do espaço percorrido por um móvel pelo 2. tempo.

Quociente do peso de um corpo pela respectiva massa.3.

Quociente do ângulo de rotação de um raio luminoso 4. pela respectiva fração de tempo.

(UFF) Uma certa grandeza tem para expressão G = a 5. m.t2

v . cos , onde a = aceleração, m = massa, t = tempo e v = velocidade. A equação dimensional de G é :

L a) 0 M T

L T b) 0 M

Lc) –1 T2 M0

L d) 2 T –1M 2

L e) 0 M T –1

(PUC) A frequência de oscilações de um pêndulo sim-6. ples depende do seu comprimento L e da aceleração g da gravidade. Uma expressão dimencionalmente correta para o seu período é :

a) Lg

b) gL

c) Lg

d) Lg

e) gL

(Cesgranrio) A velocidade de propagação de uma onda 7. numa corda homogênea depende de sua massa (M) , de seu comprimento (L) e da tensão (F) a que está submetida. Em função destas grandezas, essa velocida-de pode ser expressa por :

a) MLF

b) FLM

c) FLM

d) MLF

e) MFL

12

(Cesgranrio) São propostas a seguir três expressões 8. literais para a velocidade v de uma partícula em deter-minadas situações experimentais :

v = k I. 1 R1

R2

+ 1

v = k II. 2 ( R 1 + R 2 + 1)

v = k III. 3 ( R 1 x R 2)

Os símbolos R1 e R2 representam comprimentos. Independentemente das dimensões físicas dos coeficientes k1 , k2 e k3, qual (quais) das expressões acima está (estão), com toda a certeza, errada (erradas)?

somente I.a)

somente II.b)

somente III.c)

I e II somente.d)

I , II , III.e)

(Cesgranrio) Na expressão seguinte, 9. x representa uma distância, v uma velocidade, a uma aceleração, e k representa uma constante adimensional.

x = k vn

aQual deve ser o valor do expoente n para que a expressão seja fisicamente correta?

13

a)

12

b)

1c)

2d)

3e)

(FCM-UEG) Dada a equação W = 10. 12

K 2 em que

W é trabalho e ω a velocidade angular, a fórmula di-mensional de K é :

M L a) 2 T 0

M b) 2 L 2 T 2

M L c) 2 T 2

M d) 2 L T

M e) 2 L 2 T

(FCM-UEG) A expressão 11. em que P é a pressão

exercida por um líquido, g é a aceleração da gravidade e d a respectiva massa específica, tem significado:

indeterminável.a)

de uma energia.b)

de uma força.c)

de um ângulo.d)

de uma altura.e)

(UFF) A força que atua sobre um móvel de massa 12. m, quando o mesmo descreve, com velocidade constante

v, uma trajetória circular de raio R é dada por

onde g representa a aceleração da gravidade. Para que haja homogeneidade, a unidade de a no Sistema Internacional de Unidades é :

m sa) – 1

m sb) – 2

m sc)

m sd) 2

me) 2 s

(13. FAC MED. – UFRJ) Sabe-se que a dimensão de um núcleo atômico é da ordem de 10–5 Å. Desejando-se expressar esse valor em submúltiplos do metro estabe-lecidos pelo SI, deve-se escrever :

1fm a)

1nmb)

10 c) –5 nm

10 d) –5 fm

nenhuma das citadas anteriores está certa.e)

(14. FAC MED. – UFRJ) Considere a massa de uma bac-téria isolada como sendo 5 x 10 –13 g. Admitindo-se que a densidade dessa bactéria seja igual a 1, podemos calcular que, para perfazer um volume total de 1cm 3, serão necessárias :

1 000 bactérias.a)

2 x 10 b) 12 bactérias.

2 x 10 c) 6 bactérias.

5 x 10 d) 13 bactérias.

10 e) 13 bactérias.

(Unirio) Para o movimento de um corpo sólido em conta-15. to com o ar foi verificado experimentalmente que a força de atrito, Fat é determinada pela expressão Fat= k .v 2, na qual v é a velocidade do corpo em relação ao ar e k, uma constante. Considerando a força medida em newtons, N , e a velocidade em m/s, a unidade da constante k será :

a) Ns2

m2

N sb) 2

N s c)

d) Nm2

N me)

13

(PUC) Quantos litros comporta, aproximadamente, uma 16. caixa d’água cilíndrica com 2m de diâmetro e 70cm de altura?

1 250a)

2 200b)

2 450c)

3 140d)

3 700e)

(Cesgranrio) A fórmula abaixo relaciona a dilatação linear 17. de uma barra (de ferro, por exemplo) em função de seu comprimento e da variação de temperatura T por ela sofrida = T

O coeficiente de dilatação linear ω é expresso em :

m a) 3 K

m K b) – 1

m c) – 2 K

m d) – 2

K e) – 1

(EFOMM) Os símbolos das unidades fundamentais do 18. Sistema Internacional de Unidades são:

A , K , cd , s , kg , ma)

A , C , cd , s , kg , mb)

A , K , cd , S , kg , mc)

C , K , cd , s, kg , md)

A , K , N , s , kg , me)

(Cesgranrio) No 19. SI, a constante universal dos gases perfeitos (R) , é expressa em :

a) atmlmol k

b) calgoC

c) J

kg K

d) J

mol k

e) J

kg

(Cesgranrio) O fumo é comprovadamente um vício 20. prejudicial à saúde. Segundo dados da Organização Mundial da Saúde, um fumante médio, ou seja, aquele que consome cerca de 10 cigarros por dia, ao chegar à meia-idade terá problemas cardiovasculares. A ordem de grandeza do número de cigarros consumidos por esse fumante durante 30 anos é de :

10a) 2

10b) 3

10c) 4

10d) 5

10e) 6

(PUC ) A ordem de grandeza de 15% do número de 21. mulheres brasileiras é :

10a) 4

10b) 5

10c) 6

10d) 7

10e) 8

(Associado) Uma partida de vôlei masculino, no último 22. Campeonato, teve duração de 2 horas e 35 minutos. A ordem de grandeza da partida, em segundos, foi de :

10a) 1

10b) 2

10c) 3

10d) 4

10e) 5

(Unirio) Os resultados finais do segundo turno da eleição 23. à Prefeitura do Rio de Janeiro mostraram que 104 119 votos separam o vencedor da perdedora. Qual a ordem de grandeza desse número de votos ?

1,04119 × 10a) 5

1,041 × 10b) 5

1,0 × 10c) 5

10d) 5

10e) 6

(Cesgranrio) Para se percorrer certo trecho de uma 24. estrada pavimentada, gastam-se, em média, duas horas e meia. O comprimento do trecho é da ordem de :

10a) 2m

10b) 3m

10c) 4m

10d) 5m

10e) 6m

(Cesgranrio) A distância da Terra ao Sol é cerca de 25. cento e cinquenta milhões de quilômetros. A ordem de grandeza dessa distância, expressa em km, é :

10a) 4

10b) 5

10c) 6

14

10d) 7

10e) 8

(Cesgranrio) Qual a ordem de grandeza do número de 26. segundos contidos em um mês ?

10a) 3

10b) 4

10c) 5

10d) 6

10e) 7

(Cesgranrio) Qual é a ordem de grandeza, em volts, da 27. tensão disponível nas tomadas da rede elétrica de uma residência ?

10a) 0

10b) 1

10c) 2

10d) 3

10e) 4

(PUC) Um elevador tem capacidade máxima para 20 28. pessoas. Qual a ordem de grandeza, em kg, da massa total que ele pode transportar?

(Cesgranrio) No decorrer de uma experiência, você 29. precisa calcular a soma e a diferença dos comprimentos de dois pedaços de fio de cobre. Os valores desses comprimentos são, respectivamente, 12,50cm e 12,3cm, medidos com instrumentos de diferentes precisões. Qual das opções oferecidas abaixo expressa a soma e a dife-rença calculadas, com o número correto de algarismos significativos?

soma (cm) diferença (cm)

24,60 0,20 a)

24,8 0,2 b)

24,8 0,200 c)

25 0,2 d)

24,8 0,20e)

(EMC) Quantos algarismos significativos tem o número 30. 0,0031400 × 10 2 ?

8 a)

10 b)

3 c)

5d)

7e)

(Cesgranrio) O modo mais correto de escrever o número 31. 1 650 000 em notação científica é :

165 × 10a) 3

16,5 × 10b) 6

1,7 × 10c) 6

1,6 × 10d) 6

1,65 × 10e) 6

(CESCRANRIO) Deseja-se medir a massa de um cubo 32. de platina de 1,0 x 102 cm de aresta e tendo massa es-pecífica de 2,145 x 104 kg/m3. Qual o valor fisicamente correto para essa massa, em kg ?

2,145 x 10a) 2

2,1 b)

2,15 x 10 c)

2,145 x 10d) 3

2,2 x 10e) 4

(Cesgranrio) Um cubo de alumínio de 3,0cm de aresta 33. tem massa de 73g. A massa específica do alumínio, em g/cm3, expressa-se como:

2,703703a)

2,704 b)

2,70 c)

2,7 d)

3e)

(EMC) Ao transformarmos 0,50 minutos em horas 34. obtemos

8,3 × 10a) – 3 h

0,083 hb)

0,8 × 10c) – 3 h

83 × 10d) – 3 h

0,008 h.e)

(Cesgranrio) A massa de uma caneta esferográfica, 35. com a carga completa, é 7,00g. Depois da carga ter acabado a massa da caneta (medida com balança de maior sensibilidade) é 6,54213g. Considerando-se as medidas efetuadas, a massa da tinta contida na caneta quando nova era:

0,45787ga)

0,4578g b)

0,458g c)

0,46g d)

0,5g e)

15

(PUC) Um estudante realizou no laboratório de sua 36. escola uma experiência para a determinação do calor específico de um metal. Tendo anotado todos os dados, ele fez as contas com uma calculadora eletrônica de oito dígitos, encontrando o resultado : 0,0320154 , que seria o calor específico procurado em cal/g °C. No entanto, da análise de sua experiência, o estudante sabe que deve expressar o seu resultado com três algarismos significativos. Assim fazendo, ele deve escrever :

0,03 cal/g °C a)

0,032 cal/g °C b)

0,0320 cal/g °C c)

0,03201 cal/g °C d)

0,03202 cal/g °Ce)

(ITA) A velocidade de uma onda transversal em uma 1. corda de pende da tensão F a que está sujeita a corda, da massa m e do comprimento d da corda. Fazendo uma análise dimensional, concluímos que a velocidade poderia ser dada por :

a)

b)

c)

d)

e)

(IME) Suponha que a velocidade de propagação 2. v de uma onda sonora dependa somente da pressão P e da massa especí fica µ, de acordo com a expressão:

v = Px μy.Use a equação dimensional para determinar a expressão da velocidade do som, supondo que não exista cons tante adimensional entre essas grandezas.

(IME) Seja a equação T = 2M3. aKbLc, onde T é o tempo,

M é a massa, K é e L é comprimento.

Para que a equação seja dimensionalmente homogênea, determine os valores de a, b e c.

(IME) As transformações politrópicas dos gases per-4. feitos são regidas pela equação PVn = K, onde P é a pressão do gás, V o seu volume e n e K são constantes.

Determine o valor de n para que a constante K tenha a dimensional de trabalho.

(ITA) Os valores de 5. x, y e z para que a equação (força)x (massa)y = (volume) (energia)z seja dimensionalmente correta são, respectivamente :

(– 3, 0, 3)a)

(– 3, 0, – 3)b)

(3, – 1, – 3)c)

(1, 2,–1)d)

(1, 0, 1)e)

(Fuvest) Um estudante está prestando um concurso 6. e não se lembra da fórmula correta que relaciona o módulo V da velocidade de propagação do som com a pressão P e a massa específica ρ (kg/m3), num gás. No entanto, se recorda de que a fórmula é do tipo V = C , onde C é uma constante adimensional.

Analisando as dimensões (unidades) das grandezas físicas, ele conclui que os valores corretos dos expoentes

e são:

a) α = 1, β = 2

b) α = 1, β = 1

c) α = 2, β = 1

d) α = 2, β = 2

e) α = 3, β = 2

(UFF) A potência 7. P segundo a qual um catavento transforma a energia cinética do vento em outra forma utilizável de energia depende, segundo os especialistas, do raio r de suas pás, da densidade absoluta do ar e da velocidade v do vento. Sendo k uma constante adimensional, a expressão que mostra corretamente a dependência de P com r, e v é:

P = k r a) ρ 2 v 3

P = k r b) ρ 3 v 2

P = k r c) 2 ρ v 3

P = k r d) 2 ρ 3 v

P = k r e) 3 ρ v 2

(MACK) Considerando as grandezas físicas 8. A e B de dimensões respectivamente iguais a MLT–2 e L2, onde M é dimensão de massa, L é dimensão de comprimento e T é dimensão de tempo, a grandeza definida por A x B–1 tem dimensão de :

potência.a)

energia.b)

força.c)

quantidade de movimento.d)

pressão. e)

16

(MACK) Na equação dimensionalmente homogênea 9. x = a t2 – b t3, em que x tem dimensão de comprimento (L) e t tem dimensão de tempo (T), as dimensões de a e b são, respectivamente :

LT e LTa) –1

Lb) 2 T 3 e L–2 T–3

LTc) –2 e LT–3

Ld) –2 T e T –3

Le) 2 T3 e LT–3

(Fac. Med. - UFRJ) Deseja-se determinar a lei que rege 10. a medida da potência efetiva de um motor térmico por meio de um freio de Prony. A lei é da forma P = k a x Q y C z , onde P é a potência efetiva do motor e Q é a força aplicada à alavanca do freio, de comprimento C, e x, y e z são diferentes de zero. Aplicando-se a análise dimensional verifica-se que :

sendo a) k adimensional, a é dimensionalmente uma força.

sendo b) k adimensional, a é dimensionalmente uma velocidade.

a expressão para a lei procurada é c) .

kd) é um número inteiro e positivo, cujo valor, para ser conhecido, prescinde de dados experimentais.

sendo a dimensão de e) k igual a L0 M0 T0, a é dimen-sionalmente igual à frequência.

(UFRJ) O vertedouro de uma represa tem uma forma 11. triangular, conforme a figura abaixo. Um técnico quer determinar empiricamente o volume de água por uni-dade de tempo que sai pelo vertedouro, isto é, a vazão. Como a represa é muito grande, a vazão não depende do tempo. Os parâmetros relevantes são: h, a altura do nível de água medida a partir do vértice do triângulo, e g a aceleração da gravidade local. A partir dessas informações, o técnico escreve a seguinte fórmula para a vazão Q :

Q = Chx gy

onde C é uma grandeza adimensional.

Calcule os valores dos expoentes x e y para que Q tenha dimensão de vazão .

(ITA) Em determinadas circunstâncias verifica-se que 12. a veloci dade V das ondas na superfície de um líquido dependem da massa específica e da tensão superficial ω do lí quido, bem como do comprimento de onda , das

ondas. Nesse caso, admitindo-se que C é uma constante adimen sional, pode-se afirmar que :

a)

V = C b) τ ρ λ

C c) ρλ ω

d)

A velocidade é dada por uma expressão diferente e) das mencionadas.

Obs.: tensão superficial possui dimensão de força dividida por perímetro

(UFF) Considere a expressão: 13.

onde : z - energia

m - massa

r - distância

Para que a homogeneidade da expressão seja garantida, as grandezas x e y devem ser medidas no SI, respectivamente, em:

a) kgm4

s2 , kgm2

s2

b) kgNs

, kg2

Nm2

c) N2ms

, Nm2

kg

d) Nms2

, Nmkg2

e) kgm2

s , m3

kgs2

(Cesgranrio) A lei de Newton para gravitação estabelece 14. que duas partículas de massas m 1 e m 2 , separadas por uma distância r se atraem com uma força f , dada por :

17

onde G é uma constante denominada constante universal de gravitação. A unidade SI de G é :

a)

b)

c)

d)

e)

(PUC) O pêndulo de um relógio cuco faz uma oscilação 15. completa em cada segundo. A cada oscilação o peso desce 0,02mm. Em 24 horas, o peso se desloca, aproxima-damente :

1,20ma)

1,44mb)

1,60mc)

1,73md)

1,85me)

(Unirio) Na resolução de problemas de Física, é sempre 16. necessário verificar a coerência entre as unidades de medida antes mesmo de partir para a solução.

Sabendo-se que, na expressão P = Zv2

2, P é a pressão

e v a velocidade e que ambas estão medidas de acordo com o Sistema Internacional de Medidas (SI), marque a opção que representa corretamente a unidade de Z.

a) kgm

b) kgm2

c) kgm3

d) kg2

m

e) kg2

m3

(Cesgranrio) Uma barra metálica cilíndrica, de compri-17. mento L e área de secção reta A, tem sua superfície lateral isolada termicamente; suas bases estão em contato térmico com dois grandes reservatórios de água mantidos, respectivamente, às temperaturas constantes T 1 e T 2 , com T 2 > T 1.

temperatura T1

A quantidade Q de calor, transferida pela barra do reservatório quente (T 2) para o reservatório frio (T 1), no intervalo de tempo t , é dada pela expressão:

Q = k (T2 - T1) ∆ t,

onde k é a chamada condutividade térmica do metal de que é feito a barra. A unidade de k , no SI, é :

a) calms

b) calm3s

c) WmK

d) JmK

e) Wm3K

(UFF) Na equação 18. as letras repre-

sentam grandezas físicas como segue :

F – força

– massa específica

v – velocidade

g – aceleração

h – comprimento

Assim, a grandeza é medida, no SI, em :

Na)

m b) – 1

m c) 2

d) m2

s2

e) kgm3

(Fuvest) Um conhecido autor de contos fantásticos 19. associou o tempo restante de vida de certa personagem à duração de escoamento da areia de uma enorme am-pulheta. A areia escoa uniforme, lenta e inexoravelmente, à razão de 200 gramas por dia. Sabendo-se que a ampu-lheta comporta 30kg de areia e que 2/3 do seu conteúdo inicial já se escoaram, quantos dias de vida ainda restam à personagem?

18

100 a)

50 b)

600 c)

2 000 d)

1 000e)

(Unificado) Centrifugador é um aparelho utilizado para 20. separar os componentes de uma mistura, a ela imprimin-do um movimento de rotação. A sua eficiência (G) é uma grandeza adimensional, que depende da frequência do movimento de rotação (f) e do seu raio (r). Sendo esta eficiência definida por G = K r f 2, então, a constante K, no Sistema Internacional, será:

adimensionala)

expressa em m b) – 1

expressa em m c) – 1 s 2

expressa em m s d) – 2

expressa em s e) 2

(Fund. Carlos Chagas) Efetuando-se a separação de 1mg 21. de polônio, por espectroscopia de massa, detectou-se até a total desintegração da amostra 3 x 10 18, partículas alfa emitidas pelos átomos de polônio. Supondo que cada átomo emita uma partícula somente, a massa de um átomo de polônio é , mais aproximadamente, dada pelo valor seguinte expresso em miligramas:

3 x 10a) – 20

3 x 10b) – 19

3 x 10c) – 27

3 x 10d) – 18

3 x 10e) – 16

(UFF) A quantidade de calor 22. Q transmitida para o ar durante o tempo t através da superfície aquecida de um ferro de passar roupa de área A é dada por :

Q = h t A (θ – θ0)

onde é a temperatura da superfície aquecida do ferro, 0 é a temperatura do ar, h é a constante de proporcionalidade denominada coeficiente de transferência de calor.

A unidade da constante h no SI pode ser expressa por:

W m a) – 1 K – 1

J m b) – 2 K – 1

W m c) – 2 K – 1

W m d) – 1 s – 1

J m e) – 2 s – 1

(UFF) A memória de um computador armazena dois 23. milhões de unidades de informação. Uma calculadora tem capacidade de armazenar 0,1% desse valor.

A ordem de grandeza do número de unidades de informação da memória dessa calculadora é de :

10a) 3

10b) 4

10c) 5

10d) 6

10e) 7

(Unirio) Cada exemplar de um jornal é lido, em média, 24. por três pessoas. Num grupo de 7 500 leitores, a ordem de grandeza da quantidade de exemplares necessários corresponderá a :

10a) 0

10 b)

10c) 2

10d) 3

10e) 4

(Cesgranrio) Se fosse possível contar molécula por 25. molécula de uma amostra de um determinado gás e se essa contagem fosse efetuada à frequência de 1MHz , a ordem de grandeza para o tempo gasto na contagem das moléculas contidas em um mol desse gás seria de:

10a) 36 anos.

10b) 10 anos.

1 ano.c)

1 mês.d)

10 dias.e)

(UERJ) Para se obter 1mol de qualquer substância, é 26. necessário reunir, aproximadamente, 6 x 10 23 moléculas. Deixa-se 1mol de água (18g) numa vasilha exposta ao Sol. Algum tempo depois, verifica-se que se evapora-ram 3g de água. A ordem de grandeza do número de moléculas de água restantes na vasilha é:

10a) 24

10b) 22

19

10c) 20

10d) 18

10e) 16

(PUC) Qual a ordem de grandeza, em kg, da massa 27. d’água contida uma banheira na qual um adulto se banha totalmente coberto pela água?

(PUC) A distância da Terra à Lua é de 384 mil quilô-28. metros. Qual é a ordem de grandeza, em segundos, do tempo que a luz leva para percorrer essa distância ? (c = 3,00 x 10 8 m/s)

10a) – 6 s

10b) – 3 s

10c) 0 s

10d) 1 s

10e) 3 s

(Cesgranrio) Qual é a ordem de grandeza, em kWh, do 29. consumo mensal de energia elétrica de uma família de três pessoas (consumo residencial)?

10a) 0

10b) 2

10c) 4

10d) 6

10e) 8

(Unificado) Alguns experimentos realizados por virolo-30. gistas demonstram que um bacteriófago (vírus que pa-rasita e se multiplica no interior de uma bactéria) é capaz de formar 100 novos vírus em apenas 30 minutos.

Se introduzirmos 1 000 bacteriófagos em uma colônia suficientemente grande de bactérias, qual a ordem de grandeza do número de vírus existentes após 2 horas?

10a) 7

10b) 8

10c) 9

10d) 10

10e) 11

(UFF) O rio Amazonas injeta, a cada hora, 680 bilhões 31. de litros de água no oceano atlântico. Esse volume corresponde a cerca de 17% de toda a água doce que chega aos oceanos do planeta, no mesmo intervalo de tempo.

A ordem de grandeza do volume total de água doce, em litros, que chega aos oceanos a cada hora é, então :

10a) 7

10b) 9

10c) 11

10d) 13

10e) 15

(EMC) O valor da velocidade da luz no vácuo, expressa 32. no sistema CGS, com 3 algarismos significativos, será:

2 997 x 10a) 9

290 x 10b) 10

300 x 10c) 8

3,00 x 10d) 8

diferente das 4 anteriores citadas. e)

(Fac Med – UFRJ) A massa de um corpo, determinada, 33. apresentou o seguinte resultado: 2,305x103mg. Tal valor contém:

3 algarismos significativos.a)

7 algarismos significativos.b)

6 algarismos significativos.c)

4 algarismos significativos.d)

um número desconhecido de algarismos significa-e) tivos.

(Cesgranrio) Um estudante, tendo medido o corredor de 34. sua casa, encontrou os seguintes valores:

comprimento: 5,7m / largura: 1,25m Desejando determinar a área desse corredor com a maior precisão possível, o estudante multiplica os dois valores acima e registra o resultado com o número correto de algarismos, isto é, somente com os algarismos que sejam significativos. Assim fazendo, ele deve escrever:

7,125ma) 2

7,12mb) 2

7,13mc) 2

7,1md) 2

7me) 2

(Cesgranrio) Deseja-se realizar a soma dos seguintes 35. comprimentos:

2,7m ; 4,02dm ; 137,4cm ; 3756,3mm.

A opção que melhor exprime essa soma, em mm, é :

8232,3a)

8,2 × 10b) 3

8,3 × 10c) 3

8 × 10d) 3

8 232e)

(Cesgranrio) Com uma pequena régua de seu estojo 36. escolar, um estudante repetiu por cinco vezes a medição

20

do comprimento ( ) de sua sala de aula. Os resultados encontrados foram por ele anotados na seguinte tabela:

l (m)14,16414,45314,21214,34614,391

Para registrar, então, o valor desta medida com um número correto de algarismos, isto é, só com os algarismos significativos, o estudante deverá escrever:

a) = 14,3132m

b) = 14,313m

c) = 14,31m

d) = 14,3m

e) = 14m

(Unirio) Numa viagem interestadual, um motorista de 37. ônibus registrou os seguintes tempos:

Da parada A à parada B 1,53h

Da parada B à parada C 2,7h

Da parada C à parada D 0,856h

Da parada D à parada E 2,00h

Quanto tempo levou para dirigir da parada A à parada E?

7ha)

7,1h b)

7,07h c)

7,08h d)

7,075he)

(UFF) Fez-se a medida de um objeto AB, como mostra 38. a figura, e obteve-se valor mais provável 13,72cm.

Podemos afirmar que a régua utilizada é graduada em:

milímetros.a)

décimos de milímetro.b)

centímetros.c)

decímetros.d)

metros.e)

(EN) As massas da esfera e dos líquidos 1 e 2 represen-39. tados na figura são, respectivamente, iguais a 35,988g, 3,5kg e 2,356kg .

1

2

Nestas condições, pode-se afirmar que a massa total de conjunto constituído pela esfera e líquidos representados tem um valor (em kg) igual a :

5,8a)

5,89 b)

5,891988 c)

5,892d)

5,9 e)

(Cesgranrio) Uma piscina olímpica deve medir cin-40. quenta metros de comprimento e o tempo gasto pelos nadadores nas várias provas é medido com precisão do centésimo de segundo. Os recordes da prova de cem metros nado livre estão por volta de cinquenta segundos. Qual é, então, a quantidade mínima de significativos com que deve se expressar o comprimento de uma piscina olímpica para que os tempos registrados em piscinas diferentes possam ser comparados de modo significativo?

1 a)

2 b)

3 c)

4 d)

5e)

(PUC) Um caderno de 110 folhas idênticas, sem contar 41. as capas, tem espessura de 1,35cm. O número que melhor expressa a espessura de uma das folhas é :

1,223 × 10a) – 2cm

12,2mm b)

1,23 × 10c) – 2 cm

1,22 × 10d) – 2 cm

1,22mme)

21

B1.

B2.

C3.

E4.

A5.

A6.

C7.

B8.

D9.

A10.

E11.

B12.

A13.

B14.

A15.

B16.

E 17.

A18.

D19.

D20.

D21.

D22.

D23.

D24.

E25.

D 26.

C27.

OG(m28. total) = 103kg

B29.

D30.

E31.

E32.

D33.

22

A34.

D35.

C36.

D1.

v = P2. 12

12 ou v = P

a = 3. 12

, b = – 12

e c = 0

n = 14.

B5.

C 6.

C7.

E8.

C9.

E10.

x = 11. 52

e y = 12

A12.

E13.

E 14.

D15.

C16.

C17.

C18.

B19.

C20.

B21.

C 22.

A23.

D24.

B25.

A 26.

OG ( m27. água ) = 10 2kg

C 28.

B29.

E30.

D31.

C32.

D33.

D34.

B35.

D36.

B37.

A38.

E39.

D40.

C41.

23

24