CLCULO III

1a Edio - 2.007

SOMESBS OCIEDADE M ANTENEDORA DE E DUCAO S UPERIOR DA B AHIA S/C LTDA .G ERVSIO M ENESESDE O LIVEIRA P RESIDENTE

W ILLIAM O LIVEIRAV ICE -P RESIDENTE

S AMUEL S OARESS UPERINTENDENTE A DMINISTRATIVO E F INANCEIRO

G ERMANO TABACOF S UPERINTENDENTE DE E NSINO, P ESQUISA E E XTENSO P EDRO DALTRO G USMO DA S ILVA S UPERINTENDENTE DE D ESENVOLVIMENTO E P LANEJAMENTO ACADMICO

FACULDADE DE T ECNOLOGIA E C INCIAS E NSINO A D ISTNCIAR EINALDO DE O LIVEIRA B ORBAD IRETOR G ERAL

FTC-E A D

R OBERTO F REDERICO M ERHYD IRETOR ACADMICO

J EAN C ARLO N ERONED IRETORDE

T ECNOLOGIAE

A NDR P ORTNOID IRETOR A DMINISTRATIVO F INANCEIRO

R ONALDO C OSTAG ERENTE ACADMICO

J ANE F REIRE G ERENTE DE E NSINOL US C ARLOS N OGUEIRA A BBEHUSENG ERENTE DE S UPORTE T ECNOLGICO

R OMULO AUGUSTO M ERHY C OORD. DE S OFTWARES E S ISTEMAS O SMANE C HAVES C OORD. DE T ELECOMUNICAES E H ARDWARE J OO J ACOMEL C OORD. DE P RODUO DE M ATERIAL D IDTICO

M ATERIAL D IDTICOP RODUO ACADMICAJ ANE F REIRE G ERENTE DE E NSINO A NA PAULA A MORIMS UPERVISO

P RODUO T CNICAJ OO J ACOMEL C OORDENAO C ARLOS M AGNO B RITO A LMEIDA S ANTOSR EVISODE

T EXTO

G ECIARA

DA S ILVA C ARVALHO C OORDENADOR DE C URSO

M AURCIO P ORTO S ILVA J ONES G ARCIA DA M ATAR EVISO DE C ONTEDO

FBIO S ANTOS R ODRIGUES PAULO H ENRIQUE R IBEIRO DO N ASCIMENTOAUTOR ( A )

A DRIANO P EDREIRA C ATTAI PAULO H ENRIQUE R IBEIRO DO N ASCIMENTOE DIOEM

LATEX 2

E QUIPE A LEXANDRE R IBEIRO, A NGLICA J ORGE , C EFAS G OMES , C LAUDER F ILHO, D ELMARA B RITO, D IEGO D ORIA A RAGO, FBIO G ONALVES , F RANCISCO F RANA J NIOR , H ERMNIO F ILHO, I SRAEL DANTAS , L UCAS DO VALE , M ARCIO S ERAFIM , M ARIUCHA P ONTE , RUBERVAL F ONSECA E TATIANA C OUTINHO.Copyright c 2.007 FTC-E A D Todos os direitos reservados e protegidos pela lei 9.610 de 19/02/98. proibida a reproduo total ou parcial, por quaisquer meios, sem autorizao prvia, por escrito, da FTC-E A D - Faculdade de Tecnologia e Cincias - Ensino a distncia. www.ead.ftc.br

SumrioBloco 1: Seqncias e Sries NumricasTema 1: Seqncias Numricas1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 Seqncias Numricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Convergncia de Seqncias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Seqncias Limitadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

666 7 8

Seqncias Montonas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 Subseqncias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 Alguns Resultados Importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 Outras Seqncias Numricas, Notveis e Importantes para o Ensino Mdio . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.7.1 1.7.2 1.7.3 1.7.4 1.7.5 1.7.6 1.7.7 1.7.8 1.7.9 A Progresso Aritmtica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 Propriedades de uma PA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 Frmula do Termo Geral de Uma Progresso Aritmtica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 Soma dos Finitos Termos de uma Progresso Aritmtica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Progresso Geomtrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Frmula do Termo Geral de uma Progresso Geomtrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Interpolao Geomtrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Soma dos Finitos Termos de uma PG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Soma dos Innitos Termos de uma PG Decrescente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

Interpolao Aritmtica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

Tema 2: Sries Numricas e de Funes2.1 2.2

24

Sries Numricas e a Seqncia das Somas Parciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 Convergncia das Sries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.2.1 2.2.2 2.2.3 2.2.4 2.2.5 2.2.6 2.2.7 2.2.8 2.2.9 A Srie Geomtrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 O Teste da Divergncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 O Teste da Comparao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 O Teste da Comparao por Limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 O Teste da Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 As p -Sries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 A Convergncia de uma p -Srie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 Sries Absolutamente Convergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 O Teste da Raiz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.2.10 O Teste da Razo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.2.11 O Teste de Leibnitz e a Convergncia das Sries Alternadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.3 2.4 2.5 Srie de Funes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.3.1 2.4.1 2.5.1 O Critrio de Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 A convergncia de uma Srie de Potncias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 Uma Pequena Biograa de Brook Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43CLCULO III

Sries de Potncias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 Sries de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3

Bloco 2: EDO e AplicaesTema 3: Equaes Diferenciais Ordinrias de Primeira Ordem3.1 3.2 3.3 3.4 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Equaes Diferenciais Ordinrias a Variveis Separveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Equaes Diferenciais Ordinrias Homogneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.1 Resoluo de uma EDO Homognea de Primeira Ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

474747 51 52 53 53 55 56 56 58 59 59 61

Equaes Diferenciais Exatas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.1 Mtodo de Resoluo para uma EDO Exata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5 Fator Integrante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.1 Determinao do Fator Integrante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6 Trajetrias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.7 Equaes Diferenciais Ordinrias Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.7.1 Mtodo do Fator Integrante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.8 Um Pouco da Histria e da Filosoa Desenvolvida Paralelamente s EDO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Tema 4: EDO de Segunda Ordem e algumas aplicaes s diversas reas4.1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.1 Funo de Duas Variveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.2 Dependncia Linear de Funes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 EDO Homognea com Coecientes Variveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 EDO Homognea com Coecientes Constantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4 EDO No-Homognea com Coecientes Variveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Referncias Bibliogrcas Atividade Orientada 5.1 Etapa 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Etapa 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3 Etapa 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6363 63 63 63 64 67 79 1 1 2 4

4

FTC EaD | LICENCIATURA EM MATEMTICA

A PRESENTAO

DA

D ISCIPLINA

Caro aluno,Dois grandes aspectos sero tratados aqui. O estudo das sries e o das equaes diferenciais ordinrias. Depois de termos j estudado uma boa parte das disciplinas vistas no seu curso de licenciatura, em especial a de Clculo I e a de Clculo II, temos condies, mais do que sucientes, de enveredarmos nesses tpicos. A cincia e o mundo moderno nada seriam sem os avanos tericos no estudo das sries e das equaes diferenciais os quais esta se fundamentou. Como exemplo, cito: as engenharias, a biologia, a qumica e a fsica. Tais aplicaes sero aqui abordas. No tema 1, estudaremos as seqncias numricas e a convergncia, em especial as progresses aritmticas e geomtricas, to importantes no ensino mdio. No tema 2, estudaremos as sries de potncias e a de funes, chamando a ateno para o aspecto de maior relevncia: a convergncia destas. No tema 3, antes de apresentaremos as principais equaes diferenciais ordinrias de primeira ordem e os mtodos de resoluo destas, veremos um dos principais resultados os quais se baseiam aqueles que utilizam a matemtica aplicada: o teorema da existncia e unicidade de solues. Finalizando, as equaes diferenciais ordinrias de segunda ordem, os processos de obteno das suas solues e algumas aplicaes em reas especicas da cincia. O estudo a distncia feito com base no estudante. Aqui o material apresenta a teoria de modo didtico. Faa uma leitura de efeito, ou seja, com ateno e muita pacincia, de modo que, todo conceito aqui escrito possa ser compreendido e assimilado. Agradecemos a ajuda de todos os professores que, exerceram, de algum modo, inuncia na construo desse material e, tambm, aos alunos leitores que nos ajudaro, continuamente, a aprimor-lo. Desejamos uma boa leitura, e que Deus nos abenoe nesta caminhada.

Prof. Fbio Santos Rodrigues. Prof. Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento.

BLOCO 01

Seqncias e Sries Numricas Seqncias Numricas

TEMA 01

ApresentaoDeniremos seqncias de nmeros reais, e uma analogia entre o limite de uma funo e a convergncia de uma seqncia ser feita. Alm disso, alguns dos resultados obtidos para limites sero, tambm, tratados no estudo das seqncias. Por exemplo, a regra de LHospital.

IntroduoPensemos no seguinte problema: De posse de uma frmula que calcula a rea An , n 3 de um polgono regular de n lados, inscrito numa circunferncia de raio r , o que acontece com sua rea, medida que o nmero de lados crescem indenidamente? O que voc pode observar na gura a seguir?

A3

A4

A5

A6

A12

Observa-se que, medida que aumentamos o valor de n, ca evidente que a rea An do polgono inscrito car cada vez mais prxima da rea do crculo, ou seja, como n representa o nmero de lados do polgono, A3 , A4 , A5 , A6 , . . . , representam uma sucesso de valores que tendem ao valor da rea do crculo A0 . Duas idias, aqui, foram apresentadas: a de sucesso de innitos valores e a de aproximao destes valores de um outro. Vamos entender algebricamente, como o processo de aproximao funciona. Porm, antes, formalizemos o nosso objeto de estudo.

1.1

Seqncias Numricas

Uma seqncia numrica , informalmente, uma sucesso innita de nmeros chamados termos. Entendese que os termos tm uma ordem denida. Portanto, o primeiro termo pode ser representado por a1 ; o segundo por a2 , e assim por diante. As reticncias (. . . ) sero usadas para indicar que a seqncia possui quantidade indenida de termos. Veja, a seguir, esta denio escrita de maneira formal. 1.1 Denio. Uma seqncia numrica real uma funo que associa um nmero natural n 1 a um nmero real an . Em smbolos:

a:N n6FTC EaD | LICENCIATURA EM MATEMTICA

R an

Utilizaremos, para representar uma seqncia numrica a, a notao (an ) , ou, simplesmente, (an ), em n=1 que o nmero n chamado de ndice da seqncia, e an o n-simo termo ou termo geral. Exemplo 1.1. A seqncia dos nmeros 1. pares: (an ) = (2n 2) = (0, 2, 4, . . . , 2n, . . .); 2. mpares: (an ) = (2n 1) = (1, 3, 5, . . . , 2n 1, . . .); 3. primos: (an ) = (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, . . .); 4. naturais: (an ) = (n), n N; 5. inversos dos naturais: (an ) = 6. (an ) = 7. (an ) = (1)n+1 n 1 n 1 1 = 1, , , . . . ; 2 3

1 1 1 1 = 1, , , , , . . . 2 3 4 5 1 2 3 4 , , , ,... 2 3 4 5

n n+1

=

8. (an ) = (1 + (1)n ) = (0, 2, 0, 2, 0, 2, . . .) 9. (an ) = 2n n! 4 2 4 = 2, 2, , , , . . . 3 3 15

Nota 1. Com os exemplos vistos anteriormente, podemos observar que: 1. Dada uma seqncia, nem sempre podemos determin-la por uma lei de formao (veja o exemplo da seqncia dos nmeros primos), ou seja, nem sempre podemos determinar o termo geral; 2. Existem seqncias que, a partir de um certo elemento, os demais se aproximam de um determi1 nado nmero real, medida que os valores de n crescem. o caso da seqncia (an ) = , n onde, medida que os valores de n crescem, os valores de an se aproximam do valor 0.

1.2

Convergncia de Seqncias

Lembra-se da idia de que os valores das reas dos polgonos inscritos numa circunferncia se aproximam 1 da rea do crculo, medida que os valores de n crescem? E da seqncia (an ) = , cujos valores de an se n aproximam do valor 0? Vemos, nestes exemplos, que as seqncias possuem termos que se aproximam de um determinado valor. Como vericar se uma outra seqncia (an ) qualquer possuem termos que se aproximam de um valor a0 ? Os casos exemplicados motivam a formalizar a idia de seqncia convergente. 1.2 Denio. Seja (an ) uma seqncia numrica. Dizemos que (an ) converge para um nmero real L quando, dado > 0, existe n0 N tal que n n0 = |an L| < . Notao: an L ou lim an = L.n

Nota 2. A proximidade entre dois nmeros reais, no conceito de convergncia aqui inserido, dado pelo mdulo da diferena entre eles, isto : a, b R; d (a, b ) = |b a|.CLCULO III

7

A idia, portanto, de uma seqncia convergente que, partindo-se de um certo ndice n0 , os termos an esto bem prximos de uma determinada constante a. Nota 3. importante observar que, dado > 0, o ndice n0 ser determinado a partir dele, ou seja, o ndice ser interpretado como uma funo de . ER 1.1. Prove que

n 1. n+1

Soluo: Dado > 0, teremos que |an 1| < Assim, dado > 0, existe n0 > 1 n 1 1 < 1 = < n > 1. n + 1 n+1 n+1

1 1 tal que n n0 |an 1| < . Para, realmente, vermos que n0 depende de , vamos tomar valores para este ltimo e observar como 1 1 car o ndice. Por exemplo, tome = e teremos que n0 = 9, enquanto que para = teremos que 10 100 n0 = 99.

1.3

Seqncias Limitadas

Um dos principais resultados da teoria de seqncias ser abordado nesta seo. Porm, necessitaremos, antes, da denio de seqncia limitada. 1.3 Denio. Uma seqncia (an ) limitada quando existe um nmero real M > 0 tal que |an | M , para todo n inteiro positivo. Em outras palavras, o conjunto dos termos da seqncia um conjunto limitado se existe um valor M tal que todos os seus elementos esto no intervalo [M , M ]. Podemos, ainda, dizer que uma seqncia limitada quando existem nmeros reais A e B , tais que A an B , para n inteiro positivo. O nmero A chamado de limite inferior, caso ele seja o maior nmero tal que A < an , para todo n; e B chamado de limite superior, caso ele seja o menor nmero tal que an < B , n. 1 1 1 1 1 = 1, , , , , . . . limitada. De fato, se zermos M = 1, n 2 3 4 5 observa-se, claramente, que os seus termos estaro sempre no intervalo [1, 1]. Exemplo 1.2. A seqncia (an ) =

|

|

1

0

11 1 54 3

1 2

1

Podemos observar, neste exemplo, atravs da gura, que os seus limites inferior e superior so, respectivamente, os nmeros 0 e 1. O resultado a seguir um dos grandes para o estudo da convergncia de seqncias. Ele bastante utilizado nas demonstraes de outros teoremas consagrados. 1.4 Proposio. Toda seqncia convergente limitada. Prova: Seja (an ) uma seqncia tal que an L. Assim, pela prpria denio, dado > 0, n0 N tal que n n0 |an L| < L < an < L + . 8FTC EaD | LICENCIATURA EM MATEMTICA

Tome A = {a1 , . . . , an0 , L , L + } e considere 1 = min A, 2 = max A. Logo, 1 an 2 . Portanto, a seqncia limitada. 2 Uma das aplicaes da proposio 1.4 o fato de que seqncias ilimitadas no podem ser convergentes. Por exemplo, a seqncia (an ) = (n), n N. Nota 4. A recproca do lema 1.4 no verdadeira. Para vericar este fato, basta considerarmos a seqncia alternada (0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, . . .), a qual divergente e limitada. Porm, temos um resultado que garante a convergncia de um determinado tipo de seqncia limitada. Para isto, deniremos que uma seqncia montona.

PropriedadesSejam (an ) e (bn ) seqncias numricas, tais que an L1 e bn L2 . Ento: 1. an + bn L1 + L2 ; 2. can cL1 , c R; 3. an bn L1 L2 ; 4. Se L2 = 0 teremos que 5. |an | |L1 |; 6. Se f uma funo contnua real, ento f (an ) f (L1 ). Prova: (1) Como an L1 e bn L2 , temos que > 0, n1 , n2 N, tais que: n n1 , n n2 |an L1 | < Tome n0 = max{n1 , n2 } e, claramente, obtemos: n n0 |(an + bn ) (L1 + L2 )| = < < Portanto, an + bn L1 + L2 . (2) Deixamos a cargo do leitor. (3) Como (bn ) uma seqncia convergente, temos que ela limitada, e, desta maneira, existe um nmero real M > 0 tal que |bn | M , n N. Como an L1 e bn L2 , temos que > 0, n1 , n2 N, tais que e |bn L2 | < . (M + |L1 |) (M + |L1 |) |(an + L1 ) + (bn L2 )| |an L1 | + |bn L2 | + = . 2 2 e |bn L2 | < . 2 2

L1 an ; bn L2

n n1 , n n2 |an L1 | 0. Como f contnua, segue, por denio, que para cada a R, existe > 0 tal que |x a| < |f (x ) f (a)| < . Por outro lado, como an L1 , temos que existe n0 tal que n n0 |an L1 | < . Dos fatos supracitados, conclumos que n0 tal que n n0 |an L1 | < |f (an ) f (L1 )| < . 2

1.4

Seqncias Montonas

Faamos uma pequena observao antes de falarmos sobre a monotonicidade das seqncias numricas. Nota 5. Dada uma seqncia numrica (an ) temos que: o termo sucessor ao termo geral an o termo an+1 ; o termo antecessor ao termo geral an o termo an1 . Observe, aqui, as relaes existentes entre sub-ndices dos termos! Agora, observe o comportamento das seqncias: (a) 1 1 n 1 2 3 4 = 0, , , , , . . . 2 3 4 5 (b) 1 n2 1 1 1 = 1, , , , . . . 4 9 16 (c) (1, 1, 1, 1, 1, . . .)

Na primeira destas, dizemos que a seqncia crescente ou estritamente crescente, pois podemos observar que os seus termos esto cada vez maiores: 2 1 3 2 4 3 1 > 0, > , > , > . . . . 2 3 2 4 3 5 4 Conra, isto, utilizando uma mquina, caso necessrio! Em outras palavras, uma seqncia crescente quando qualquer termo selecionado menor que o seu sucessor. Simbolicamente, temos an < an+1 . Na segunda, dizemos que a seqncia decrescente ou estritamente decrescente, pois observamos que os seus termos esto cada vez menores, medida que os termos avanam. De fato, os denominadores das respectivas fraes aumentam. Sendo assim, 1 1 1 1 1 < 1, < , < ,.... 4 9 4 16 9 Se necessrio, utilize uma mquina para vericar essas desigualdades! Em outras palavras, uma seqncia decrescente quando qualquer termo selecionado maior que o seu sucessor. Simbolicamente, temos an > an+1 . J na terceira, os termos da seqncia so sempre os mesmos e a chamamos de seqncia constante. Simbolicamente, podemos escrever an = an+1 . Outros comportamentos so constatados para os termos de uma seqncia. Dizemos que uma seqncia : no-decrescente: se seus termos crescem ou permanecem constantes; no-crescente: se seus termos decrescem ou permanecem constantes. 10FTC EaD | LICENCIATURA EM MATEMTICA

Nota 6. O conjunto das seqncias: crescentes est contido no conjunto das no-decrescentes; decrescentes est contido no conjunto das no-crescentes; constantes est contido tanto no conjunto das no-decrescentes quanto das no-crescentes. J temos, agora, condies de entender o conceito de seqncia montona. 1.5 Denio. Dizemos que uma seqncia montona quando ela no-crescente ou no-decrescente. Simbolicamente, (an ) montona quando an an+1 ou an an+1 . Exemplo 1.3. As seqncias (an ) = (n), n N e (an ) = 1 n 1 1 = 1, , , . . . so exemplos de montonas. 2 3

Nota 7. As seqncias no montonas so chamadas oscilantes. Em outras palavras, so aquelas que no apresentam comportamento somente no-crescente, no-decrescente ou constante. Exemplo 1.4. A seqncia (an ) = ((1)n n), n N, um exemplo de oscilante. Nota 8. Numa seqncia crescente, o primeiro termo o seu limite inferior, enquanto que, numa seqncia decrescente, ele ser o limite superior. Outro importante resultado visto a seguir, onde, a condio da seqncia ser montona e limitada suciente, mas no necessria, para ser convergente. 1.6 Proposio. Toda seqncia montona e limitada convergente. Prova: Seja (an ) uma seqncia crescente e limitada. Assim, a seqncia (an ) possui um supremo S e, conseqentemente, teremos que: (i) an S , para todo n. (ii) > 0, n0 ; S an0 . Como a seqncia crescente temos que n n0 S an S < S + |an S | < . Portanto, an S . Nota 9. Uma seqncia convergente pode no ser montona. Um exemplo interessante a seqncia (1)n+1 . (an ) = n Nota 10. Uma seqncia montona pode ser divergente, por exemplo (an ) = (n!). Nota 11. Uma seqncia limitada pode ser divergente. Por exemplo, (an ) = (1)n , pois, claramente, os pontos dela esto alternando, o que impede que a seqncia tenha um limite.

1.5

Subseqncias

Depois de denirmos o que uma subseqncia, faremos analogias a dois teoremas vistos para o limite de funes e fecharemos com mais alguns critrios de convergncia.CLCULO III

11

1.7 Denio. Seja S = {n0 , n1 , . . . , nk , . . .}, k N e (an ) uma seqncia. Uma subseqncia de (an ) uma seqncia dada por (ank ). Notao: (ank ). Uma subseqncia , portanto, uma nova seqncia que provem de outra pela eliminao, de maneira ordenada, de alguns termos desta. Exemplo 1.5. As seqncias (an ) = (2n 2) = (0, 2, 4, . . . , 2n, . . .) e (an ) = (2n 1) = (1, 3, 5, . . . , 2n 1, . . .) so exemplos de subseqncias da seqncia (an ) = (n). 1.8 Proposio. Se an L, ento ank L. Prova: Como an L temos que > 0, existe n0 tal que n n0 |an L| < . Observemos que nk k e, portanto, k n0 |ank L| < . Nota 12. Uma importante conseqncia deste lema que o limite de uma seqncia nico. Alm disso, quando uma seqncia admite duas subseqncias convergindo para pontos distintos teremos que essa seqncia divergente.

n+1 , n {2, 4, 6, . . .} n . Observe que as Exemplo 1.6. Considere a seqncia (an ) tal que an = n1 , n {1, 3, 5, . . .} n n1 n+1 subseqncias e convergem para 1 e, alm disso, (an ) converge, tambm, para 1. n n

1.6

Alguns Resultados Importantes

1.9 Proposio. Sejam (an ) e (bn ) seqncias tais que an 0 e (bn ) limitada. Ento, an bn 0. Exemplo 1.7. A seqncia 1 1 cos(n2 + 1) converge para 0, pois | cos(n2 + 1)| 1 e 0. n n

Como uma seqncia um tipo especial de funo, natural questionar a sua diferenciabilidade. Dessa forma, vamos considerar que existe uma funo f tal que f (n) = an e segue, imediatamente, quex

lim f (x ) = L an L.

1.10 Proposio. Sejam (an ) e (bn ) seqncias tais que an = f (n) e bn = g (n), com f e g funes derivveis, an (an ) L. Ento, L. tais que an ou 0, bn ou 0, e (bn ) bn Nota 13. O lema anterior uma verso da regra de LHospital para seqncias. Exemplo 1.8. Considere a seqncia 1 n 1 e = n , temos que . Como n = 1, [ln(n)] = 1 ln(n) n n

n ln(n)

.

Uma verso para seqncias do Teorema do Confronto feita pelo teorema a seguir: 1.11 Teorema. Sejam (an ), (bn ) e (cn ) seqncias tais que an cn bn . Se an , bn L, ento cn L. 12FTC EaD | LICENCIATURA EM MATEMTICA

Um Fato Bastante Interessante!Um das maneiras de denir o nmero de Euler (e ) atravs de seqncias. Por isso, vemos que a 1 n convergente pelo lema 1.2 e denimos que esse limite , justamente, o seqncia an = 1 + n nmero e . De fato, 1 ln 1 + n = lim 1 n n 1 nn

n

lim ln 1 +

1 n

n

= lim n ln 1 +n

1 n

1 2 1 n 1+ n = lim 1 n 2 n

1

=1

Logo,n

lim

1+

=e

O prximo resultado pode ser interpretado como sendo a mdia aritmtica de uma seqncia que converge para o mesmo limite da seqncia analisada. 1.12 Teorema. Se a seqncia (an ) converge para L, ento

a1 + a2 + . . . + an n

L.

Prova: Como lim an = L temos, pela denio, que para qualquer > 0, existe n0 tal que n n0 n |an L| < . Logo, 2 + ...+ an +1 + . . . + an 2 = n n0 < . 0 < 2 n n n 2 2 Por outro lado, a1 , . . . , an0 uma quantidade nita de nmeros reais e, segue, imediatamente, que a1 + . . . + an a1 + . . . + an 0 0 = 0. Assim, existe n1 tal que n n1 lim < . n n n 2 a1 + . . . + an a + . . . + an an0 +1 + . . . + an 0 = 1 < Tomemos n2 = max{n0 , n1 }. Segue que + n n n a1 + . . . + an an +1 + . . . + an a1 + a2 + . . . + an 0 < + = . Portanto, bn = L. + 0 n n 2 2 n ER 1.2. Prove que n n 1. Soluo: Observemos que lim an = lim n n = 1 que se trata de uma indeterminao. Ento, vamos n n 1 procurar uma funo contnua e aplicar a propriedade 6, com o objetivo de abaixar o expoente . Sendo n assim, o leitor perceber que a funo que se encaixa melhor a logartmica natural. Seja f (x ) = ln(x ) e segue que lim ln(an ) = lnn n1

lim an . Logo,

n

lim ln n

1 n

1 ln(n) = lim n = 0. = lim n 1 n nn n

Contudo, a funo logartmica natural bijetora, ou seja, lim ln(an ) = 0 = ln ER 1.3. Estude o comportamento das seqncias abaixo: 1 1 1 (a) (an ) = 1, , 3, , 5, , . . . (b) (an ) = 2 4 6

lim an lim an = 1.n

3n 3 + 1 2n 3 + 2

Soluo: (a) A seqncia admite uma subseqncia convergindo para zero, porm, existe uma outra subseqncia divergente. Portanto, (an ) divergente. 1 lim 3 + n3 3 + 3 3n 3 + 1 n n = lim (b) lim = 1 n 3 n 2n3 + 1 n 2+ 3 lim 2 + n n 1 n3 1 n3

=

3 . 2

CLCULO III

13

ER 1.4. Mostre que

6+

6+

6 + = 3.

Soluo: A idia, aqui, a de construir uma seqncia para depois vericar a sua convergncia. Tomemos a0 = 6 e an = 6 + an1 . Vamos supor que an L e, logo, an1 L por se tratar de uma subseqncia. Assim,

L = lim an = limn

n

6 + an1 =

n

lim (6 + an1 ) =

6 + L.

Segue que, L2 = 6 + L L = 3 ou L = 2. Como an uma seqncia de termos positivos teremos que L = 3.

Exerccios PropostosEP 1.5. Estude a convergncia das seqncias abaixo:

n+1 (b) (an ) = 3n 1 3 + 5n 2 (c) (an ) = n + n2 n (d) (an ) = 1+ n

(a) (an ) = n(n 1)

2n 3n+1 n (f) (an ) = 1+ n (e) (an ) = (g) (an ) = 2 + cos (n) (h) (2, 7, 12, 17, . . .)

EP 1.6. Determine se as seqncias dadas so crescentes ou decrescentes. (a) (an ) = 1 ; 5n (b) (an ) = 1 ; 2n + 3 (c) (an ) = 2n 3 . 3n + 4

EP 1.7. Considere a seqncia (an ) tal que an L. Mostre que:

cn =EP 1.8. Calcule o limite da seqncia: 3,

n a 1 a 2 . . . a n L.

3 3,

3

3 3, . . . .

1.7

Outras Seqncias Numricas, Notveis e Importantes para o Ensino Mdio

1.7.1

A Progresso Aritmtica

Consideremos a seqncia (2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, . . .). Observamos que, a partir do segundo termo, a diferena entre qualquer termo e seu antecessor sempre a mesma: 4 2 = 6 4 = 10 8 = 14 12 = 16 14 = 2. Seqncias como esta so denominadas progresses aritmticas (PA). A diferena constante chamada de razo da progresso e costuma ser representada por r . Na P.A. dada, temos r = 2. Podemos, ento, dizer que: 14FTC EaD | LICENCIATURA EM MATEMTICA

1.13 Denio. Uma progresso aritmtica uma seqncia numrica (an ) em que cada termo, a partir do segundo, igual soma do termo anterior com uma constante r , ou seja, an = an1 + r . O nmero r chamado de razo da progresso aritmtica. Vejamos alguns exemplos de progresses aritmticas: Exemplo 1.9. (5, 9, 13, 17, 21, 25, . . .) uma PA em que a1 = 5, r = 4 e an = a1 + (n 1) r ;

Progresso Aritmtica Crescente Uma progresso aritmtica crescente toda progresso aritmtica em que cada termo, a partir do segundo, maior que o termo que o antecede, sendo que, para isso, a razo r tem que ser sempre positiva e diferente de zero. Exemplo 1.10. So progresses aritmticas crescentes: (2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, . . .) - razo r = 2; (3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, . . .) - razo r = 3;

Progresso Aritmtica Decrescente Uma progresso aritmtica decrescente toda progresso aritmtica em que cada termo, a partir do segundo, menor que o termo que o antecede, sendo que para isso a razo r tem que ser sempre negativa e diferente de zero. Exemplo 1.11. So progresses aritmticas decrescentes: (8, 6, 4, 2, 0, 2, 4, 6, 8, . . .) - razo r = 2; (9, 6, 3, 0, 3, 6, 9, 12, . . .) - razo r = 3;

Progresso Aritmtica Constante Uma progresso aritmtica constante toda progresso aritmtica em que todos os termos so iguais, sendo que, para isso, a razo r tem que ser sempre igual a zero. Exemplo 1.12. So progresses aritmticas constantes: (1, 1, 1, 1, 1, 1, . . .) - razo r = 0; (0, 0, 0, 0, 0, 0, . . .) - razo r = 0; Resumindo, podemos constatar que uma progresso aritmtica CLCULO III

15

crescente, se r > 0; decrescente, se r < 0; constante, se r = 0.

1.7.2

Propriedades de uma PA

1.14 Proposio. Numa PA, qualquer termo, a partir do segundo, a mdia aritmtica do seu antecessor e do seu sucessor. Exemplo 1.13. Consideremos a PA (4, 8, 12, 16, 20, 24, 28) e escolhamos trs termos consecutivos quaisquer. Por exemplo: 8, 12 e 16 ou 20, 24 e 28. Observe que o termo mdio sempre a mdia aritmtica dos outros dois termos. De fato, 8 + 16 20 + 28 = 12 e = 24. 2 2 1.15 Proposio. Ao selecionarmos uma quantidade mpar e sucessiva de termos de uma PA, o termo do meio (mdio) a mdia aritmtica do primeiro termo e do ltimo termo. Exemplo 1.14. Consideremos os termos (3, 6, 9, 12, 15, 18, 21) de uma PA, observamos que o termo mdio 3 + 21 . 12 e que 12 = 2 1.16 Proposio. Ao selecionarmos uma determinada quantidade sucessiva de termos de uma PA, a soma de dois termos eqidistantes dos extremos desta seleo igual soma dos extremos. Exemplo 1.15. Consideremos os termos (3, 7, 11, 15, 19, 23, 27, 31) de uma PA e observe que: 7 11 15 e, ainda, que 7 + 27 11 + 23 15 + 19 = 34 = 34 = 34 e e e 3 23 19 so os termos eqidistantes dos extremos 3 e 31

1.7.3

Frmula do Termo Geral de Uma Progresso Aritmtica

1.17 Proposio. A frmula do termo geral de uma progresso aritmtica expressa por:

an = a1 + (n 1) r .Prova: Sabemos que o valor de qualquer termo igual ao anterior mais a constante, ou seja,

an = an1 + r , n 2.16FTC EaD | LICENCIATURA EM MATEMTICA

Sendo assim,

a2 a3 a4

= a1 + r = a2 + r = (a1 + r ) + r = a1 + 2 r = a3 + r = (a1 + 2 r ) + r = a1 + 3 r . . . = a1 + (n 1) r

an

ER 1.9. Determine o trigsimo quarto termo da PA (3, 9, 15, . . .) Soluo: Temos que a1 = 3 e a2 = 9. Logo, r = a2 a1 = 9 3 = 6. Portanto,

a34 = a1 + 33 r = 3 + 33 6 = 201.ER 1.10. Determine o dcimo oitavo termo da PA, na qual a3 = 8 e r = 2. Soluo: Temos que an = ak + (n k ) r . Portanto,

a18 = a3 + (18 3) (2) = 8 + 15 (2) = 22.

Interpolao Aritmtica a ao de inserir ou interpolar uma quantidade de meios aritmticos entre extremos de uma progresso aritmtica. A frmula utilizada :

an = ak + (n k ) r .ER 1.11. Interpole 3 meios aritmticos entre 2 e 18. Soluo: Devemos formar (2, , , , 18), em que: a1 = 2, a5 = 18. Para interpolarmos os trs

termos, devemos determinar primeiramente a razo da PA. Como an = ak + (n k ) r , podemos escrever:

r=Assim, temos que r =

an ak nk

18 2 = 4. Logo, temos (2, 6, 10, 14, 18) 51

1.7.4

Soma dos Finitos Termos de uma Progresso Aritmtica

1.18 Proposio. A soma dos n primeiros termos de uma progresso aritmtica calculada pela seguinte frmula:

Sn =e a soma dos termos entre ap e aq :

n (a1 + an ) 2

S(p,q) =

(q p + 1) (ap + aq ) 2CLCULO III

17

Prova: Temos que

Sn Sn

= =

a1 + (a1 + r ) + (a1 + 2r ) + . . . + (a1 + (n 2)r ) + (a1 + (n 1)r )(an (n 1)r ) + (an (n 2)r ) + . . . + (an 2r ) + (an r ) + an

Adicionando-se estas equaes, camos com: 2Sn = n(a1 + an ) Dividindo-se ambos os membros por 2

Sn =Como an = ak + (n k ) r , temos:

n (a1 + an ). 2

ap = a1 + (p 1) r aq = an + (q n) r

Segue que ap + aq = a1 + an + (p + q n 1) r . Para p + q = n + 1, temos que ap + aq = a1 + an . Portanto,

n p+q1 (a1 + an ) = (ap + aq ) = S(p,q) . 2 2Observe, aqui, que utilizada uma propriedade das progresses aritmticas: a soma dos termos dos extremos igual soma dos termos eqidistantes deles. ER 1.12. Calcule a soma dos 50 primeiros termos da PA (2, 6, 10, . . .). Soluo: Em primeiro lugar, devemos sempre identicar qual o primeiro termo da PA, que no exemplo em questo a1 = 2 a razo obtida pela diferena r = a2 a1 = 6 2 = 4. Para encontrar a soma devemos determinar o a50 ). Assim,

a50 = a1 + 49 r = 2 + 49 4 = 2 + 196 = 198.Aplicando a frmula da soma dos elementos de uma PA, temos:

S50 = (a1 + a50 )

50 50 = (2 + 198) = 200 25 = 5.000 2 2

Logo, a soma dos 50 primeiros nmeros 5.000. ER 1.13. Um ciclista percorre 20km na primeira hora; 17km na segunda hora, e, assim por diante, em progresso aritmtica. Quantos quilmetros percorrer em 5 horas? Soluo: Neste exemplo, a progresso aritmtica (20, 17, 14, . . .) e, desta forma, o primeiro elemento a1 = 20. Subtraindo elementos consecutivos, encontramos a razo da PA, que, neste caso, :

r = a2 a1 = 17 20 = 3Para podemos achar quantos quilmetros ele percorrer em 5 horas, devemos somar os 5 primeiros termos da PA e, para isto, precisamos do elemento a5 . Dessa forma:

a5 = a1 + 4r = 20 + 4 (3) = 20 12 = 8 n 5 = (20 + 8) = 14 5 = 70, conclumos que o valor procurado 70km. 2 2 Logo, ele percorreu em 5 horas 70km.Aplicando a frmula Sn = (a1 + an ) 18FTC EaD | LICENCIATURA EM MATEMTICA

1.7.5

Progresso Geomtrica

Veja a sucesso de nmeros abaixo: (5, 10, 20, 40, 80, 160, 320, . . .) Observe que cada nmero o dobro do nmero que vem antes. Veja: 10 20 40 80 160 o dobro de o dobro de o dobro de o dobro de o dobro de . . . 5 10 20 40 80

Se pegarmos qualquer um dos nmeros desta sucesso e dividi-lo pelo nmero que o antecede, obteremos sempre o mesmo quociente. O que podemos dizer a respeito da armao? (a) Nada se pode dizer a respeito. (b) Trata-se de uma Progresso Aritmtica. (c) falsa. (d) verdadeira. Claro que a resposta a opo (d ). Uma progresso geomtrica (PG) uma seqncia numrica (an ) em que cada termo, a partir do segundo, igual ao produto do termo anterior por uma constante q . O nmero q chamado de razo da progresso geomtrica. Portanto, a razo de uma PG obtida pelo quociente entre um de seus termos por seu antecessor, ou seja,

a3 a4 an a2 = = = ... = = . . . = q. a1 a2 a3 an1Quanto ao aspecto de monotonia, uma PG pode ser: oscilante, crescente, decrescente, constante e quase nula.

Progresso Geomtrica Crescente Uma progresso geomtrica crescente toda progresso geomtrica em que cada termo, a partir do segundo, maior que o termo que o antecede, sendo que, para isso, a razo q tem que ser sempre positiva e diferente de zero. Exemplo 1.16. So progresses geomtricas crescentes: (1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, 2048, 4096, . . .) - razo q = 2; (2, 6, 18, 54, 162, 486, 1458, 4374, 13122, . . .) - razo q = 3; (5, 25, 125, 625, . . .) - razo q = 5.CLCULO III

19

Progresso Geomtrica Decrescente Uma progresso geomtrica decrescente toda progresso geomtrica em que cada termo, a partir do segundo, menor que o termo que o antecede, sendo que, para isso, a razo q tem que ser sempre positiva e diferente de zero. Exemplo 1.17. So progresses geomtricas decrescentes:

(1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, 2048, 4096, . . .) - razo q = 2; (8, 4, 2, 1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32, 1/64, 1/128, . . .) - razo q = (2, 4, 8, 16, . . .) - razo q = 2. 1 ; 2

Progresso Geomtrica Constante Uma progresso geomtrica constante toda progresso geomtrica em que todos os termos so iguais, sendo que para isso a razo q tem que, caso a1 diferente de 0 (zero), ser sempre 1 ou 0. Exemplo 1.18. So progresses geomtricas constantes: (1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, . . .) - razo q = 1; (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, . . .) - razo q nula ou indeterminada (3, 3, 3, 3, . . .) - razo q = 1.

Progresso Geomtrica Oscilante Uma progresso geomtrica oscilante (ou alternante) toda progresso geomtrica em que todos os termos so diferentes de zero e dois termos consecutivos tm sempre sinais opostos, sendo que, para isso, a razo q tem que ser sempre negativa e diferente de zero. Exemplo 1.19. So progresses geomtricas oscilantes: (3, 6, 12, 24, 48, 96, 192, 384, 768, . . .) - razo q = 2; (1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, . . .) - razo q = 1. Resumindo, podemos constatar que uma progresso aritmtica crescente, se para todo n > 1: q > 1 e an < an+1 . decrescente, se para todo n > 1: 0 < q < 1 e an > an+1 . constante, se para todo n > 1: q = 1 e an = an+1 . alternada, se para todo n > 1: q < 0. 20FTC EaD | LICENCIATURA EM MATEMTICA

1.7.6

Frmula do Termo Geral de uma Progresso Geomtrica

E se quisssemos obter o oitavo termo da PG (5, 10, 20, 40, 80, 160, 320, . . .)? Certamente, faramos 320 2 = 640. Mas como faramos se tivssemos que calcular o termo a21 ? Teramos que multiplicar por 2 o termo 640 e o resultado deste produto, multiplicaramos, novamente, por dois, num processo recursivo que s cessaria quando chegssemos a a2 0 2? Certamente no, isso muito trabalhoso e deve existir algo mais simples. Vejamos:

a2 = a1 q a3 = a2 q = a1 q q = a1 q 2 a4 = a3 q = a1 q 2 q = a1 q 3 an = an1 q = a1 q n2 q = a1 q n1

. . .

Sendo assim, a frmula do termo geral de uma progresso geomtrica (an ) expressa por:

an = a1 q n1 ,onde a1 o primeiro termo; q a razo, e n o nmero de termos. De modo geral, o n-simo termo pode ser calculado a partir do m-simo termo, simplesmente, por:

an = am q n m .Voltando ao problema de calcular o termo a21 da PG (5, 10, 20, 40, 80, 160, 320, . . .). Veja que ele reduziu-se utilizao de uma simples frmula. De fato,

a21 = a1 q 20 = 5 220 .Nota 14. A semelhana entre as progresses aritmticas e as geomtricas , aparentemente, grande. Porm, encontramos a primeira diferena substancial no momento de sua denio. Enquanto as progresses aritmticas formam-se adicionando-se uma mesma quantidade de forma repetida; nas progresses geomtricas, os termos so gerados pela multiplicao, tambm repetida, por um mesmo nmero. As diferenas no param a. A velocidade com que as progresses crescem ou diminuem conseqncia direta do valor absoluto das suas razes.

1.7.7

Interpolao Geomtrica

Interpolar n 2 meios geomtricos entre dois nmeros dados a1 e an , signica obter uma PG com n termos de uma PG, cujos extremos so a1 e an , sendo que a1 o primeiro termo da PG e an o n-simo termo da PG. Para realizar a interpolao geomtrica, basta determinar a razo da PG. ER 1.14. Interpolar cinco meios geomtricos entre 3 e 192. Soluo: Basta fazermos a1 = 3, an = 48. Como so 5 meios geomtricos, temos que n = 7 e, para obter a razo da PG, temos que a7 = a1 q 6 . Logo, 192 = 3q 4 . Segue que q 6 = 64. Assim, q = 2. Temos, ento, que os 7 termos da PG so: (3, 6, 12, 24, 48, 96, 192).

CLCULO III

21

1.7.8

Soma dos Finitos Termos de uma PG

1.19 Proposio. A soma dos n primeiros termos de uma PG (an ) dada por:

Sn =

a1 (q n 1) . q1

Prova: Seja Sn = a1 + a2 + a3 + . . . + an . Assim,

Sn = a1 + a2 + a3 + . . . + an = a1 + a1 q + a1 q 2 + . . . + a1 q n1Multiplicando-se esta ltima equao por q , temos:

q Sn = a1 q + a1 q 2 + a1 q 3 + . . . + a1 q nSegue que,

q Sn Sn(q 1) Sn

= = =

Sn

a1 (q n 1) (q n 1) a1 q1

(a1 q + a1 q 2 + a1 q 3 + . . . + a1 q n ) (a1 + a1 q + a1 q 2 + . . . + a1 q n1 )

ER 1.15. Calcule a soma dos 12 primeiros termos da PG (1, 2, 4, 8, . . .). 2 = 2. Portanto, 1

Soluo: Observe que neste caso que a1 = 1 e a razo q =

S12 = a1

(q 12 1) (212 1) =1 = 4.096 1 = 4.095 (q 1) 21

1.7.9

Soma dos Innitos Termos de uma PG Decrescente

1.20 Proposio. Se uma PG possui razo 1 < q < 1, a soma de seus innitos termos dada por:

S =ER 1.16. Resolva a equao: x +

a1 . 1q

x x x x + + + + . . . = 100. 2 4 8 161 . Logo, 2

Soluo: Observe que o primeiro membro da equao uma PG, onde a1 = x e q =

x1 Dessa equao, encontramos x = 50. 1 2

= 100

Exerccios PropostosEP 1.17. A soma dos innitos termos da PG 22FTC EaD | LICENCIATURA EM MATEMTICA

x x2 x3 , , ,... 2 4 8

igual a

1 . Qual o valor de x ? 10

EP 1.18. Determine o valor de n de modo a tornar a seqncia (2+3n; 5n; 14n) uma progresso aritmtica. EP 1.19. As medidas dos lados de um tringulo retngulo esto em PA de razo 3. Calcule essas medidas. EP 1.20. Determine a condio para que trs nmeros a, b e c estejam, simultaneamente, em progresso aritmtica e em progresso geomtrica. EP 1.21. Determine a soma dos elementos da seqncia numrica innita (3; 0, 9; 0, 09; 0, 009; . . .). EP 1.22. Uma progresso aritmtica e uma progresso geomtrica tm, ambas, o primeiro termo igual a 4, sendo que os seus terceiros termos so estritamente positivos e coincidem. Sabe-se ainda que o segundo termo da progresso aritmtica excede o segundo termo da progresso geomtrica em 2. Ento, determine o terceiro termo das progresses. EP 1.23. A soma dos vinte primeiros termos de uma progresso aritmtica 15. Determine a soma do sexto termo dessa PA, com o dcimo quinto termo. EP 1.24. Um operador de mquina chegou 30 minutos atrasado no seu posto de trabalho, mas como a mquina que ele monitora automtica, comeou a trabalhar na hora programada. (a) Sabendo-se que a mquina produz 10n peas por minuto, em que n o nmeros de minutos, quantas peas a mquina produziu at a chegada do operador? (b) Sabendo-se que depois de uma hora, a mquina produz a mesma quantidade de peas, quantas peas ter feito a mquina ao nal do expediente de quatro horas? EP 1.25. Determine o sexto termo de uma PG, na qual dois meios geomtricos esto inseridos entre 3 e 24, tomados nessa ordem. EP 1.26. Os termos da seqncia (10, 8, 11, 9, 12, 10, 13, . . .) obedecem a uma lei de formao. Se an , em que

n pertence a N, o termo de ordem n dessa seqncia. Determine a30 + a55 .EP 1.27. Sendo Sn a soma dos termos de uma PA de razo 4, em que a1 = 6, determine n tal que Sn igual a 1.456. EP 1.28. Seja S a soma dos nmeros inteiros positivos menores que 100 e que no so divisveis por 9. 1 Determine o valor de S. 396

Gabarito1 ; (c) 5; (d) 1; (e) 0; (f) Diverge; (g) Diverge; (h) Diverge. 1.6 (a) Decrescente; (b) Decrescente; (c) Crescente. 1.7 1.8 3 1 10 1031 4(10 1061) 2 . 1.18 . 1.19 9, 12 e 15. 1.20 a = b = c . 1.21 4. 1.22 16. 1.23 1, 5. 1.24 (a) , (b) . 1.25 3. 1.17 11 3 9 9 96. 1.26 59. 1.27 26. 1.28 11. 1.5 (a) Diverge; (b)

CLCULO III

23

TEMA 02

Sries Numricas e de Funes

Sries NumricasApresentaoConstruiremos, somando-se os termos de uma seqncia numrica, uma outra seqncia, e a sua soma innita daremos o nome de srie numrica. Abordaremos, neste captulo, mais alguns critrios de convergncia, mas agora ser para sries. Assim sendo, o estudante dever tomar cuidado e no usar esses critrios para seqncias.

Breve HistricoO problema de se somar innitos nmeros surgiu h sculos. Arquimedes (250 a.C.), a m de obter a rea de um segmento parablico, necessitou calcular a soma dos inversos dos quadrados dos naturais, a progresso: 1+ 1 1 1 1 4 + + + + ... = . 4 16 64 256 3

Embora seu clculo no tenha sido feito por processos innitos, que eram mal vistos em seu tempo, este foi um dos primeiros clculos de somas innitas. Por volta de 1.350, utilizando processos innitos, R. Suiseth (mais conhecido como Calculator) resolveu um problema sobre latitude de formas utilizando uma longa prova verbal (desconhecia representao grca) equivalente, matematicamente, ao clculo da soma

n 1 2 3 + + + . . . + n + . . . = 2. 2 4 8 2Nesta mesma poca, N. Oresme deu a primeira prova que a j conhecida srie harmnica, soma dos inversos dos innitos nmeros naturais no-nulos, era divergente, ou seja, 1 1 1 1 + + + . . . + = +. 2 3 4 n Agrupando os seus termos do seguinte modo = 1 + 2 1 1 + 3 4 + 1 1 1 1 + + + 5 6 7 8 + 1 1 1 + + ...+ 9 10 16 + ...

1 e observando que cada parcela entre parnteses maior ou igual do que , a soma de todas as parcelas 2 1 poderia ser majorada por uma innidade de parcelas iguais a , ou seja, 2 1 + 2 1 1 + 3 4 + 1 1 1 1 + + + 5 6 7 8 + 1 1 1 + + ...+ 9 10 16 + ... 1 1 1 1 + + + + . . . = +. 2 2 2 2

Outros avanos relacionados sries foram obtidos, em 1.668, por J. Gregory e N. Mercator. Eles trabalharam nas chamadas sries de potncias de x . Estas, foram usadas para exprimir funes conhecidas, tais como sen(x ), cos(x ) e tg(x ), dentre outras. 24FTC EaD | LICENCIATURA EM MATEMTICA

1 Gregory utilizou que a rea sob a curva y = obtida atravs da funo arctg(x ). Desse fato, concluiu 1 + x2 que x5 x7 x3 + + ... arctg(x ) = x 3 5 7 Este resultado foi batizado como srie de Gregory. Mercator utilizou que o valor da medida da rea sob a hiprbole y = seguinte expresso ln(1 + x ) = x chamada hoje de srie de Mercator. Em 1.748, L. Euler publicou o texto Introductio in analysin innitorum, em dois volumes. O primeiro deles versava sobre processos innitos, entre os quais sries innitas. Euler era pouco cuidadoso no uso de tais z5 z3 + . . . e de artifcios sries, e as manipulava arriscadamente. Usando a srie da funo sen(z ) = z 3! 5! engenhosos, Euler conseguiu resolver uma difcil questo que J. Bernoulli no tivera sucesso: obteve a soma dos recprocos dos quadrados perfeitos. Aps alguns clculos, Euler obteve que 1 1 1 1 1 + + + + ... = , 2 (2)2 (3)2 (4)2 6 e da concluiu que 1 1 1 2 1 + 2+ 2+ 2 = . 2 1 2 3 4 6 Outros nomes ilustres, no Sculo X I X , compem o cenrio que trata da convergncia das sries numricas e das sries de funes, como Lagrange, Laplace, Dirichlet, Fourier, Cauchy, Bolzano e Weierstrass. 1 , entre 0 e x , ln(1 + x ) e chegou 1+x

x3 x4 x2 + + ... 2 3 4

IntroduoNos deparamos, diversas vezes, em que um determinado nmero obtido da adio de innitas parcelas. Por exemplo, quando encontramos a frao geratriz de uma dizima peridica ou, ainda, a soma dos innitos termos de uma progresso geomtrica. A questo : quando saberemos que, partindo-se da adio de innitos termos, obteremos uma soma? Veremos, neste tema, quando isso ocorre!

2.1

Sries Numricas e a Seqncia das Somas Parciais

2.1 Denio. [Srie Numrica] A adio dos innitos termos de uma seqncia numrica (an ) chamaremos de srie numrica ou, simplesmente, srie. Em smbolos, temos:

a1 + a2 + . . . + an + . . . =n=1

an =n1

an =

an ,

em que an o n-simo termo ou parcela da srie. Portanto, uma srie uma adio de innitos termos de uma seqncia previamente estipulada. Nota 15. Em certos casos podemos tratar de sries em que a primeira parcela parte do a0 . Assim, 1 . denotaremos essa srie por an = an . Por exemplo, a srie numrica n+1 n=0 n0 n0CLCULO III

25

Exemplo 2.1. (a) (an ) = (n) = 1, 2, 3, 4, . . . 1 2 3 n ) = , , ,... n+1 2 3 4 4 2 4 2n ... (c) (an ) = ( ) = 2, 2, , , n! 3 3 15 (b) (an ) = ( (d) (an ) = ( (1)n+1 1 1 1 ) = 1, , , . . . n 2 3 4 1 1 1 (e) (an ) = ( ) = 1, , , . . . n 2 3

(f) (an ) = (1 + (1)n ) = 0, 2, 0, 2, . . .

2.2 Denio. [Seqncia das Somas Parciais] Dado uma srie numrican1

an , formaremos uma seqncia

(sn ), da seguinte forma:

s1 s2 s3

= = = . . . =

a1 a1 + a2 a1 + a2 + a3= =

s 1 + a2 s 2 + a3n

sn

a1 + a2 . . . + an

=

Sn1 + an =j =1

aj

(sn ) , portanto, a seqncia das somas parciais das parcelas da srien1

an .

n

Observe que o n-simo termoj =1

aj da seqncia das somas parciais (sn ), representa a soma parcial nos n

primeiros termos da seqncia numrica (an ).

Para Entendermos Melhor!Exemplo 2.2. Considere a srien1

1 . Assim, n(n + 1) 1 2 1 1 + 2 6 1 1 1 + + 2 6 12 1 1 1 1 + + + 2 6 12 20

s1 s2 s3 s3

= = = = . . . =

= = = . . .

2 3 3 4 4 5

Sn

1 1 1 1 + + + ... + 2 6 12 n(n + 1) 1 . n(n + 1)

A seqncia

1 2 3 , , , . . . a das somas parciais da srie 2 3 4

n1

ER 2.1. Encontre a soma da srie numrican1

1 . (2n 1) (2n + 1)

26

FTC EaD | LICENCIATURA EM MATEMTICA

Soluo: A sua seqncia de somas parciais ser dada por:

s1 s2 s3

= = = . . .

1 3 1 1 + 3 35 2 1 + 5 57 = = . . . 2 5 3 7

Sn

=

1 2 3 n + + + ... + 3 5 7 2n + 1 1 2 3 , , , . . . ser representada por 3 5 7

Dessa forma, a seqncia de somas parciais de

n1

n . 2n + 1

ER 2.2. Dada a srie numrican1

(1 + (1)n ), encontre sua srie de somas parciais.

Soluo: A sua seqncia de somas parciais ser dada por:

s1 s2 s3

= = = . . .

0 0+2 0+2+0 = 2 = 2 . . .

Sn

=

n 1, se n mpar n,se n par

Dessa forma, a seqncia de somas parciais de (0, 2, 2, 4 . . .) ser representada por:

Sn =

n 1, se n mpar n,se n par.

Um Fato Bastante Interessante!2.3 Proposio. A soma parcial dos n primeiros termos da srien1

1 n . n(n + 1) n + 1

Prova: Faremos, por induo nita. Como a seqncia das somas parciais 1 2 3 4 , , , ... , 2 3 4 5 vamos supor que seu n-simo termo

n . Assim, o prximo termo desta : n+1 n 1 n+1 + = . n + 1 (n + 1)(n + 2) n+2

CLCULO III

27

ER 2.3. Atravs da seqncia das somas parciais analise a convergncia da srie: 1 . (n + 1)(n + 2)

n1

Soluo: Observe quen0

1 = (n + 1)(n + 2)

n1

n 1 = n(n + 1) n+11 . (n + 1)(n + 2)

e, para n = 0, temos:n0

1 1 = + (n + 1)(n + 2) 2

n1

Segue que: 1 1 n + = , 2 n1 (n + 1)(n + 2) n+1 ou seja,n1

n 1 1 = . (n + 1)(n + 2) n+1 2 n1 1 = . (n + 1)(n + 2) 2(n + 1)

Assim,n1

Portanto, a srie converge para

n1 . 2(n + 1)

2.2

Convergncia das Sries

Vamos, inicialmente, apresentar uma motivao para o que queremos denir. Considere o seguinte problema: Qual a frao geratriz da dzima 0, 4444444 . . .? Esse problema de fcil soluo: igualamos 0, 4444444 . . . a uma letra x e ao subtrairmos os nmeros 10x e x , nesta ordem, obteremos o que desejamos. De fato, 10x x = 4, 444444 . . . 0, 44444 . . . 9x = 4 x = 4 . 9

Mas, veja s: 0, 444444 . . . pode ser visto como a soma de innitos termos; a saber: 0, 4444444 . . . = 0, 4 + 0, 04 + 0, 004 + . . . e a adio destes innitos termos nos d o valor 4 ! Este fato no o impressiona? 9

2.4 Denio. Considere a seqncia (sn ) das somas parciais de (an ). Diremos que a srien1

an converge

para a sua soma S R, se lim sn = S . Neste caso, escreveremosn

an = S .n1

Uma srien1

an , portanto, convergente, quando os termos da seqncia das somas parciais se aproxi-

mam de um determinado valor S R, medida que os valores de n crescem indenidamente. Assim, a seqncia (0, 4; 0, 4 + 0, 04; 0, 4 + 0, 04 + 0, 004; . . .) convergente e 0, 4 + 0, 04 + 0, 004 + . . . = Exemplo 2.3. A srie do exemplo 2.1 convergente. De fato,n

4 . 9

lim

n = 1. n+1

28

FTC EaD | LICENCIATURA EM MATEMTICA

Nota 16.

1. Diremos que uma srie divergente, caso ela no seja convergente.

2. Utilizaremos, tambm, o smbolo para denotar a convergncia de uma srie.

Propriedades da Convergncia das Sries1. Seja k R e a srie 2. Sejam

an . Ento,

k an converge

an converge.

Para vericar isso, bastar notar que ka1 + . . . + kan = k (a1 + . . . + an ).

an en1

bn sries convergentes. Ento,n1

(an + bn ) converge.

Neste caso, basta lembrar quen1

an + bn =n1

an +n1

bn .

Observemos que, para as sries divergentes, nada podemos armar. Em outras palavras, podemos somar duas sries divergentes e obter como resultado uma srie convergente. Veja o seguinte exemplo: Exemplo 2.4. Por exemplo, as sries converge. Soluo: A srien1 n1

nen1

n so ambas divergentes; contudo a soma das duas ser

n realmente divergente, pois: lim n = . Lembrando que isto uma condion

necessria mas no suciente, ou seja, caso o limite do termo geral da srie fosse igual a zero no poderamos armar nada sobre a convergncia da srie. Observe, agora, que: lim n = lim n = n

n

signicando, portanto, que a srien1

n diverge. Somando as duas sries temos:

n+n1 n1

n =

n1

(n n) =

0n1

dessa forma, conclumos quen1

(n n) =

0 convergente, porque uma srie constante. Assim a soman1

de sries divergentes poder proporcionar como resultado, uma srie convergente.

Exerccios PropostosEP 2.4. Encontre a soma parcial das seguintes sries: 1 ; (b) (a) n(n + 1)

1 . (2n 1)(2n + 1)

2.2.1

A Srie Geomtricaq n1 . A soma parcial dada por Sn =n1

Seja q um nmero real, diferente de 1, e considere a srie

1 q n+1 1 + q + q2 + q3 + . . . + qn = , pois, a srie se trata da soma dos innitos termos de uma progresso 1q geomtrica de razo q . Supondo que |q | < 1, temos quen

lim sn =

1 , 1q

CLCULO III

29

e, assim,n1

q n1 =

1 . 1q

Notemos que para |q | 1 a srie diverge. ER 2.5. Encontre, se possvel, a soma das sries: (a)n1

3 5

n

(b)n1

5 3

n

(c)n1

(2)n2 3n

Soluo: 3 (a) 5n1

n

=n1

3 5

3 5

n1

=

3 5

n1

3 5 =

n1

. Portanto, 3 5 1 3 1 5

3 5

< 1. Assim,n1

3 5

n

converge e:

n1 n n1

3 5 5 3

n

=

3 3 5 = . 5 2 2 5 3

(b)n1

5 3

=n1

5 3

5 3

=

(2)n2 = 3n n1 converge e: (c)

n1

(2)1 (2) 3 3n1

n1 n1

5 3

n1

. Portanto, 2 3

1. Logo,

=

(2)1 3

n1

. Portanto,

n1

n1 2 3

5 3

n

diverge. (2)n2 3n

< 1. Assim,n1

n1

(2)n2 (2)1 = 3n 3

(2)1 3 1 1 = = . (2) 3 5 10 1 3

Exerccios PropostosEP 2.6. Encontre, se possvel, a soma das sries abaixo: (a)n1

(2)n+1 ; 5n1

(b)n1

5

(10)n1 ; 4n1

(c)n1

(3)n1 ; 4n

(d)n1

(1)n+1 (3)n+3 . 4n+2

Nem sempre ser possvel analisar a convergncia de uma srie com os resultados at agora citados. Por isso, veremos outros critrios.

2.2.2

O Teste da Divergnciaan converge, ento an 0.

2.5 Teorema. Se a srien1

Prova: Observe que an = Sn Sn1 . Logo,n

lim an = lim (Sn Sn1 ) = 0.n

Nota 17. Uma outra forma equivalente de enunciarmos o teorema anterior : Se lim an = 0, ento a srien n1

an diverge. Assim, a partir desse resultado, analisaremos, primeiramente,

a convergncia da srie e, no caso em que o limite do termo geral no nulo, concluiremos que a srie diverge. Este teste dito: o teste da divergncia. 30FTC EaD | LICENCIATURA EM MATEMTICA

Nota 18. O fato do limite ser nulo, no garante a convergncia da srie. Isto signica que tal condio necessria, mas no suciente. Vejamos os exemplos que seguem. ER 2.7. Verique se as sries a seguir so convergentes: n n+1 . (b) ; (a) ln(n + 1) 3n + 4 n1n1

1 n+1 = . Logo, pelo teste da divergncia, temos que a srie diverge. 3n + 4 3 n 1 = +. Novamente, pelo teste da divergncia, podemos concluir que a (b) lim = lim 1 n ln(n + 1) n n+1 srie acima diverge. Soluo: (a) limn

Exerccios PropostosEP 2.8. Usando o teste da divergncia, mostre que as sries abaixo divergem: n 1 3n 2 + 5 (d) (c) cos( ) (b) (a) n 2+1 3 n 5n n1 n1 n1

n1

( n + 1 n)

2.2.3

O Teste da Comparaoan en1 n1

2.6 Teorema. [teste da comparao] Considere as sries

bn de termos positivos, tais que an

bn , n .(i) Sen1

bn converge, enton1

an tambm converge. bn tambm diverge.

(ii) Sen1

an diverge, enton1

Prova: (i) Vamos supor quen1

bn converge. Considerando que Sn e Tn so as somas parciais das

sriesn1

an en1

bn , respectivamente, temos que existe um nmero real T tal que lim Tn = T . Como

an bn , segue, imediatamente, que Sn Tn < T , pois, T um limite superior para a seqncia (Tn ). Almdisso, observa-se que S1 = a1 a1 + a2 = S2 , . . . , Sn Sn + 1, ou seja, Sn limitada e crescente. Portanto,

an converge.n1

(ii) Basta supor quen1

bn convergente e aplicar o item anterior.3 5n + 1

ER 2.9. Analise o comportamento da srien1

Soluo: Veja que, 3 3 < n. 5n + 1 5 3 3 uma srie geomtrica convergente. Logo, converge. 5n 5n + 1 5n + 1 > 5n n1

Ora, mas,n1

CLCULO III

31

ER 2.10. Analise o comportamento da srien1

1 . 3n 2

Soluo: Veja que, 3n 2 < 3n Ora, mas, 1 3 1 uma srie divergente. Logo, n 1 1 > . 3n 2 3n 1 diverge. 3n 2

n1

n1

2.2.4

O Teste da Comparao por Limite

Alm do teste da comparao, teremos, tambm, um outro teste chamado de teste da comparao por limite. Sendo este mais adequado para algumas sries as quais no podemos, facilmente, comparar. 2.7 Teorema. [Teste da Comparao por Limite] Sejam as sriesn1

an en1

bn ambas de termos positivos.

(i) Se lim

an = k > 0, ento ambas as sries tem o mesmo comportamento. bn an bn converge, ento a srie an converge. =0e (ii) Se lim bn an (iii) Se lim =e bn diverge, ento a srie an diverge. bnProva: (i) Como lim

3k k bn < an < bn . 2 2 Agora, vamos analisar todos os possveis casos: (a) Sen1

an k 3k k an = k > 0 e dado = temos que existe n0 tal que n n0 < < bn 2 2 bn 2

bn converge e an 1,

np+1 1 1 = . n p + 1 p1lim

Segue, imediatamente, que a srie converge. A prova para o caso p = 0 e para o caso p = 1 deixada para o leitor. 1 , converge quando p > 1 e diverge quando 0 < p 1. np

Nota 19. Em resumo, temos que a p -srien1

A p -srie uma ferramenta bastante utilizada no estudo de sries.

Exerccios PropostosEP 2.13. Use o teste da comparao ou comparao por limites para analisar o comportamento das sries abaixo: (a)n0

1 . 2 + 5n

(b)n2

1 . n1

(c)n1

1 sen( ). n

(d)n2

1 . ln(n)

(e)n0

n5

n . + 3n 2 + 1

EP 2.14. Utilize o teste da integral para estudar o comportamento das seguintes sries: (a)n1

1 . 3n + 1

(b)n1

ln(n) . n

(c)n0

xe x .

2

2.2.8

Sries Absolutamente Convergentes

Os testes estudados at esse momento so especcos, isto , eles servem para analisar alguns tipos de sries. Por essa razo, necessitaremos de testes mais prticos incluindo as sries de termos negativos e alternados. Porm, antes de enunci-los, daremos a denio de convergncia absoluta. 2.11 Denio. Uma srien1

an dita absolutamente convergente quando a srien1

|an | convergir.

Exemplo 2.5. A srien1

cos(n) converge absolutamente, pois, n2

n1

| cos(n)| n2

n1

1 devido ao fato que n2

| cos(n)| 1. O prximo resultado no ser demonstrado pelo fato de ser preciso o conceito de seqncia de Cauchy, no qual no foi dado neste curso. Contudo, no livro de Elon h uma elegante prova. 2.12 Teorema. Toda srie absolutamente convergente convergente. 34FTC EaD | LICENCIATURA EM MATEMTICA

Nota 20. Uma conseqncia imediata que sries convergentes no so, necessariamente, absoluta(1)n+1 que veremos que converge utilizando o teste de mente convergente. Por exemplo, a srie n n1 Leibnitz.

2.2.9

O Teste da Raizan e A = limn1n

2.13 Teorema. Considere a srie

n

|an |. Ento:

(i) Se 0 A < 1, ento a srie converge absolutamente; (ii) Se A > 1, ento a srie diverge; (iii) Para o caso A = 1, nada podemos armar. 1 e n 1 . Para ambas teremos n2

Prova: Primeiro provaremos o item (iii). Para tal, tomemos as sriesn1

n1

que A = 1, mas uma diverge enquanto que a outra converge. Suponhamos que 0 A < 1 e, assim, existe

r R tal que 0 A < 1.Como A = limn

|an | temos que existe n0 N tal que n n0 n1

n

0 < r < 1. Portanto, temos que a srie que an1

r n converge e pelo teste da comparao. Segue, imediatamente,

|an | A < r < 1 |an | < r n . Mas,

an converge absolutamente.

Para o caso A > 1, deixamos a cargo do leitor. ER 2.15. Estude a convergncia das sries abaixo, utilizando-se do teste da raiz. 1 1 n ( n n + 1)n . (c) (a) ; (b) 1+ ; nn n n1 n1n1

Soluo: (a)n1

1 . Logo, nn limn

1 nn

= lim

n

1 1 = lim = 0. nn n

Portanto, a srie converge e absolutamente convergente. 1 n (2) 1+ . Assim, nn1

lim

n

1 1+ n

n

= lim

n

1+

1 n

n

= lim 1 +

1 = 1. n

Para este caso, nada poderemos armar. J pelo teste da divergncia, garantimos que a srie diverge. ( n n + 1)n . Logo, (3)n1 ( n n

lim Assim, a srie divergente.

n

+ 1)n = lim

n

( n n + 1)n = lim n n + 1 = 2.

CLCULO III

35

2.2.10

O Teste da Razo

A demonstrao do resultado a seguir obedece o mesmo princpio do teste da raiz, onde se busca uma srie majorante. Dessa forma omitiremos alguns detalhes de forma a simplicar o entendimento. 2.14 Teorema. Considere a srien1

an e L = lim

n

|an+1 | . Ento, |an |

(i) Se 0 L < 1, ento a srie converge absolutamente; (ii) Se L > 1, ento a srie diverge; (iii) Para o caso L = 1, nada podemos armar. Prova: Para provar o item (iii), basta tomar, novamente, as sries harmnica e uma p -srie convergente. Suponhamos que 0 L < 1 e, assim, temos garantido a existncia de um r R tal que 0 L < r < 1. |an+1 | Logo, existe n0 N tal que n n0 L < r < 1 |an+p | < r p |an0 |. Como 0 < r < 1, temos |an | r p |an0 | e, pelo teste da convergncia, segue, imediatamente, que a srie inicial converge que a srien n0

absolutamente. Para o caso L > 1, deixamos a cargo do leitor. ER 2.16. Estudar o comportamento das sries, utilizando o teste da razo: 2n en 1 (c) (a) (b) 2 ln(n) n! n n2 n1 n1 Soluo: (a) Calculemos, inicialmente, o limite imposto pelo teste da razo: 2n+1 (n + 1)! 2n n!

(d)n1

ln(n)

lim

|an+1 | = lim |an |

2n+1 2 (n + 1)! = 0 < 1. = lim = lim 2n n+1 n!

Conclumos, portanto, que a srie converge e absolutamente convergente. (b) O limite imposto pelo teste da razo : e n+1 (n + 1)2 en 2

lim

|an+1 | = lim |an |

n

e n+1 (n + 1)2 = lim = lim e en n2

n n+1

2

=e>1

e, pelo teste da razo, temos que a srie diverge. (c) O limite imposto pelo teste da razo : 1 1 ln(n) |an+1 | ln(n + 1) ln(n + 1) = lim lim = lim = lim =1 1 1 |an | ln(n + 1) ln(n) ln(n)

e, pelo teste da razo, nada podemos concluir. Porm, usando o teste da comparao por limite, vericamos que essa srie diverge. (d)n1

ln(n) | ln(n + 1)| ln(n + 1) |an+1 | = lim = lim = 1. |an | | ln(n)| ln(n)

Temos que: lim 36

FTC EaD | LICENCIATURA EM MATEMTICA

Pelo teste da razo, nada podemos concluir; todavia, pelo teste da divergncia, temos a garantia de que essa srie diverge.

Exerccios PropostosEP 2.17. Estudar o comportamento das sries, utilizando o teste da raiz ou razo: (a)n1

1 ; n

(b)n1

1 ; n!

(c)n0

2 + cos(n) n2

n

;

(d)n1

n! . (n + 1)5

2.2.11

O Teste de Leibnitz e a Convergncia das Sries Alternadas

2.15 Teorema. Seja (an ) uma seqncia decrescente de termos positivos convergindo para zero. Ento, a srien1

(1)n+1 an converge.

Prova: Consideremos as somas parciais sn desta srie. Nosso objetivo ser dividir sn em duas partes: ndices pares e mpares. Primeiro, observemos que, pelo fato da seqncia an ser decrescente, teremos que s2n crescente, tal que 0 < s2n < a1 . Segue que s2n S . Por outro lado, S2n+1 = S2n + a2n+1 S2n+1 S . Portanto, a srie convergente. Em outras palavras, o teste de Leibnitz diz que dada a srie alternadan1

2

(1)

n+1

an oun1

(1) an se

n

an > 0, an > an+1 , para todo n, e lim an = 0, ento esta srie convergente.n+

ER 2.18. Pelo teste de Leibnitz verica-se que a srie alternadan1

(1)n+1

1 converge. n

Soluo: Observe que an =

1 1 1 . Assim, an = > 0, lim = 0 e n n n 1 1 > an > an+1 n n+1

Desta forma, a srie decrescente. Logon1

(1)n+1

1 converge. n

Exerccios PropostosEP 2.19. Use o teste de Leibnitz nas sries alternadas abaixo: (a)n0

(1)n (n + 3) . n(n + 1)

(b)n1

(1)n+1

n . enCLCULO III

37

Sries de Funes: Uma Pequena IntroduoSeqncias de FunesVimos, anteriormente, o conceito de seqncias numricas. Vamos considerar, agora, sequncias (fn ) cujos elementos so funes reais que possuem um domnio em comum. Para cada x pertencente a esse domnio, podemos construir uma outra seqncia numrica (fn (x )) cujos termos correspondem aos valores de fn associados a x . Considere uma seqncia de funes (fn ). A seqncia numrica gerada por um determinado valor x0 Domfn , ou seja, (fn (x0 )), daremos o nome de seqncia pontual de (fn ) em x = x0 . Vamos entender melhor o que signica uma seqncia pontual de funes. Considere a seqncia fn (x ) = x n , n N, denida em [0, 1] e observe a seguinte tabela:

x0 0, 1 0, 9 1

x20 0, 01 0, 81 1

x30 0, 001 0, 729 1

x40 0, 0001 0, 6561 1

x 100 1010 1

0.34867844

Observe que, para cada x [0, 1], temos uma seqncia numrica diferente.

2.3

Srie de Funes

2.16 Denio. Seja (fn ) uma seqncia de funes denidas em D R. A adio dos innitos termos desta dita uma srie de funes, ou seja, f1 + f2 + . . . + fn + . . . =n1

fn .

Evidentemente que, para cada x D xado, a srie de funes torna-se uma srie numrica e, por isso, to importante um estudo anterior e aprofundado de sries numricas. Alm disso, a funo limite f da srie tem o mesmo domnio da seqncia (fn ). Exemplo 2.6. Seja a srie 1 2n n0

x n . Observemos que, para x = 0, 5 teremos uma srie geomtrica convergente

, enquanto que, para x = 3, teremos uma srie numrica divergente (verique isto utilizando mtodos

n0

j estudados).

natural questionarmos para que elementos de D se garante a convergncia da srien1

fn . Para resolver

esta questo, vamos denir uma regio do domnio a qual a srie de funes converge para uma funo real f , e esta regio conhecida como domnio de convergncia. 38FTC EaD | LICENCIATURA EM MATEMTICA

2.3.1

O Critrio de Weierstrassfn uma srie de funes e considere a srie numrican1 n1

2.17 Teorema. Seja

Mn tal que |fn (x )| Mn ,

para todo x D e n 0. Se a srie

Mn converge, ento a srien1 n1

fn converge.

Prova: A convergncia da srie numrican1 n

Mn garante que, dado > 0, existe n0 tal que n > n0

|f (x )

j =1

fj (x )| = |

j =n+1

fj (x )|

j =n+1

Mj < e isto independe de x D . fn convergente.n1

Pelo teste da comparao, a srie

Nota 21. Sen1

fn uma srie de funes contnuas (ou derivveis ou integrveis) convergente, sua

soma contnua (ou derivvel ou integrvel).

2.4

Sries de Potnciasan (x a)n chamada srie de potncias de centro a, em que (an )

2.18 Denio. A srie de funesn1

uma seqncia numrica.

2.4.1

A convergncia de uma Srie de Potnciasan (x a)n converge para x = b , ento a srie converge, para todo x em D tal que

2.19 Lema. Sen1

|x a| < |b a| = r . Prova: Comon1

an (x a)n converge, temos que lim an (x a)n = 0. Assim, xando = 1, temos quen

existe n0 , tal que n n0 |an (x a)n | < 1. Por outro lado, para todo x em D tal que |x a| < r , temos:

( 2.2)

|an (b a)n | = |an (x a)n | Tomemos q =

(b a) (x a)

n

( 2.3)

(b a) . Por ( 2.2 e ( 2.3) conclumos que |an (x a)n | < q n < 1. (x a) an (x a)n converge para todo x (a r , a + r ). Pelo critrio de Weirsstres, temos que a srien1

2.20 Corolrio. Sen1

an (x a)n diverge, para x = b , ento a srie diverge, para todo x em D tal que

|x a| > |b a| = r . Os prximos teoremas caracterizaro o nosso domnio de convergncia. 2.21 Teorema. Considere a srie de potnciasn1

an (x a)n . Ento, existem somente trs possibilidades:CLCULO III

39

(i) A srie converge apenas em x = a; (ii) A srie converge para todo em R; (iii) Existe r > 0, tal que a srie converge, absolutamente, para todo x (a r , a + r ). O nmero r chamado de raio de convergncia da srie. A demonstrao deste ltimo resultado feita aplicando-se o lema anterior. Nota 22. Para a primeira possibilidade, temos, na realidade, que o raio de convergncia nulo; enquanto que para a segunda, o raio innito. No terceiro caso, temos que I = (a r , a + r ) uma regio de convergncia da srie de potncias. Partindo-se de I , podemos determinar o domnio de convergncia da srie (conjunto de todos pontos os quais a srie convergente), vericando se a srie de potncias converge, pontualmente, para os extremos do intervalo I . 2.22 Teorema. Seja a srie de potncian1

an (x a)n . Ento o raio de convergncia r da srie dado por r = lim|an | . n |an+1 |

Prova: Apliquemos o teste da razo para sries quaisquer. Assim, an+1 (x lim n an (x

a)n+1 |an+1 | = |x a| lim . n |an | a)n

Tomemos L = lim

n

|an+1 | . Temos, somente, trs possibilidades: |an |

1. (1) L = 0 e a srie converge para todo x em R, isto , r = . 2. (2) L 1 e a srie diverge para todo x = a, isto , r = 0. 3. (3) 0 < L < 1 e a srie converge para todo x (a 1/L, a + 1/L), isto , r = lim ER 2.20. Determine o raio de convergncia das sries: 2n x n (1)n (x 1)n ; a b ; (2n)! (n + 1)2n n0n0 n

|an | . |an+1 |

cn0

(n + 1)!(x 5)n . 10n

2n |an | (2n + 2)(2n + 1) 2n (2n + 2)! (2n)! r = lim = lim = lim = . Portanto, o domnio = lim n+1 n |an+1 | n n n 2n+1 (2n)! 2 2 (2[n + 1])! de convergncia R. 1 (n + 2)2n+1 |an | n+2 (n + 1)2n = lim (b) r = lim = 2 lim = lim = 2. 1 |an+1 | (n + 1)2n n+1 (n + 2)2n+1 Portanto, (1, 3) um intervalo de convergncia. Porm, at este momento, no estudamos o comportamento da srie nos extremos do intervalo de convergncia, mas esta anlise to importante para o resultado nal. 1. Para x = 1, temos a srie 1 , que divergente. n+1

Soluo: (a)

n0

40

FTC EaD | LICENCIATURA EM MATEMTICA

2. Para x = 3, temos a srien0

(1)n , que convergente. n+1

Portanto, o domnio de convergncia (1, 3]. (n + 1)! |an | (n + 1)!10n+1 10 n (c) r = lim = lim = lim = lim 10 = 0. (n + 2)! |an+1 | (n + 2)!10n (n + 2) 10n+1 Portanto, o domnio de convergncia {5} e, neste caso, diremos que a srie divergente.

Exerccio PropostoEP 2.21. Determine o raio e intervalo de convergncia das sries abaixo: (a)n1

x n;

(b)n1

(5x )n ;

(c)n1

3n (x + 1)n . n 4n

2.5

Sries de Taylor

Dada uma funo f (x ), n vezes continuamente derivvel num ponto a e numa vizinhana de a, com raio r>0, desejamos encontrar uma srie de potncias de (x-a) para representar esta funo. Ou seja:

f (x ) = a0 + a1 (x a) + a2 (x a)2 + a3 (x a)3 + . . . + an (x a)n + . . .Est claro que a srie de potncias estar determinada to logo saibamos os seus coecientes an , n = an (x a)n contnua e derivvel em x = a. Assim, 0, 1, 2, 3, . . .. Da, seja f (x ) =n0

f (x ) f (x ) f (x ) f (x )

= = = =

a0 + a1 (x a) + a2 (x a)2 + a1 + 2a2 (x a) + . . . 2a2 + 6a3 (x a) + . . . 6a3 + 24a4 (x a) . . .f (n) (a) . n!

f (a) = a0 f (a) = a1 f (a) = 2a2 f (a) = 6a3

Por recorrncia, obtemos que f (n) (a) = n!an . Logo,

an =

Dessa forma, dada uma funo f de classe C , desejamos encontrar uma srie de potncia para representla na vizinhana de um ponto de R. 2.23 Denio. Seja funo f de classe C , a srien0

f (n) (a) (x a)n dita srie de Taylor da funo f (x ) n!

no ponto a. 2.24 Denio. Se a = 0, a srien0

f (n) (0) n x chamada de srie de Maclaurin da funo f (x ). n!

ER 2.22. Encontre a srie de Taylor, em torno da origem, para cada uma das funes a seguir: (a) f (x ) = e x ; (b) f (x ) = 1 . 1x

Soluo: (a) Em torno da origem a = 0 (srie de Maclaurin).

f (x ) = e x , f (x ) = e x , f (x ) = e x , . . . , f (n) (x ) = e x f (n) (0) = 1.CLCULO III

41

Logo, e x em srie de Taylor, para a = 0, :

f (x ) = e x =n0

f (n) (0) n 1 n x = x . n! n! n0

(b)

f (x ) = (1 x )2 , f (x ) = 2(1 x )3 , f (x ) = 6(1 x )4 , . . . , f (n) (x ) =Logo, 1 em srie de Taylor, para a = 0, : 1x

n! f (n) (0) = n! (1 x )n+1

f (x ) =

1 = 1x

n0

f (n) (0) n x = n!

n0

n! n x = n!

x n.n0

ER 2.23. Utilize os resultados dos exerccios anteriores para encontrar a srie de Taylor das funes abaixo, no ponto a indicado: 1 , a = 0. (1 + x )2

(a) f (x ) =

(b) f (x ) = e 2x , a = 1.

Soluo: (a) Observe que vimos anteriormente que teremos: 1 = (1 + x )2 Logo, 1 = (1 + x )2 (b) Note que e x =n0

1 = 1+x

(1)n x n . Derivando ambos os lados,n0

(1)n nx n1n0

(1)n+1 nx n1 .n0

1 n x , para a = 0. Para a = 1, camos com a srie na forma, n!

e (x +1) =n0

1 (x + 1)n . n!

Substituindo-se a varivel x por 2x 3 e usando algebra elementar, teremos:

e (2x 3)+1) e 2x 2 e2x

=n0

=n0

e

2

=n0

1 [(2x 3) + 1)]n n! 1 (2x 2)n n! 1 [2(x + 1)]n n! (2)n e 2 (x + 1)n n!

e 2x

=n0

Observe que podemos calcular limites atravs da utilizao de sries de funes.

ER 2.24. Sabendo que cos(x ) =x 0

(1)n

x 2n 1 cos(x ) 1 = utilizando sries de Taylor. mostre que lim x 0 (2n)! x2 2

42

FTC EaD | LICENCIATURA EM MATEMTICA

Soluo: 1 cos(x ) 1 cos(x ) 1 cos(x ) x2 Dessa forma temos que: lim = 1 (1)nx 0

x 2n (2n)! x 2n (2n)!

= 11+ =x 1

(1)n+1x 1

(1)n+1

1 x2 x4 x 2n2 = + ... (2n)! 2! 4 6 = 1 2

x 0

1 cos(x ) 1 = = lim 2 x 2 x 0

1 x2 x4 + ... 2! 4 6

ER 2.25. Calcule as derivadas f 40 (0) e f 51 (0) da funo f (x ) = x 2 sen(x ) Utilizando sries de Taylor. Dica: x 2n+1 sen(x ) = . (1)n (2n + 1)! x 0

Soluo: Observe que sen(x ) =x 0

(1)n

x 2n+1 possui apenas potncias mpares, dessa forma, toda (2n + 1)!

derivada cuja potncia seja par, ser nula. Assim f 40 (0) = 0. Os coecientes das potncias mpares no ponto zero so dados por:

f 2n+3 (0) (1)n = (2n + 3)! (2n + 1)!Como estamos interessados em calcular a derivada de ordem 51 signica dizer que 2n + 3 = 51 e dessa forma

n = 24. Substituindo este valor na equao anterior camos com:(1)24 f 51 (0) = f 51 (0) = 50 51 51! 49!

2.5.1

Uma Pequena Biograa de Brook Taylor

Brook Taylor, nascido em Edmonton, Middlesex, Inglaterra, a 18 de Agosto de 1.685 e falecido em Londres, Inglaterra, a 29 de dezembro de 1.731. Era lho de John Taylor, da Casa de Bifrons e de Olivia, lha de Nicholas Tempest. Sua famlia era, moderadamente, rica e estava ligada baixa nobreza. Seu av, Nathaniel, tinha apoiado Oliver Cromwell. John Taylor era um pai severo e rigoroso, o expulsou de casa em 1.721, quando Taylor decidiu se casar com uma mulher que, embora pertencesse a uma boa famlia, no era muito rica. Em 1.723, Brook voltou sua casa aps a morte de sua esposa durante o parto. Ele se casou novamente em 1.725, desta vez com a aprovao e beno de seu pai, mas, infelizmente, sua segunda mulher tambm morreu durante o parto em 1.730. Sua lha, entretanto, conseguiu sobreviver. A vida pessoal de Taylor parece ter inuenciado seu trabalho em diversas formas. Duas das suas maiores contribuies cientcas lidam com vibraes e desenho em perspectiva. Seu pai era muito interessado em msica e artes, sua casa estava sempre cheia de artistas. Os arquivos da famlia contm pinturas de Taylor e tambm um manuscrito no publicado chamado On Musick, que foi encontrado entre seus papis no Saint Johns College em Cambridge. Taylor teve aulas particulares, em casa, antes de entrar para o Saint Johns College em 1.701, onde os catedrticos em matemtica eram John Machin e John Keill. Taylor recebeu seu diploma de Bacharelado em 1.709, foi eleito para a Royal Society de Londres em 1.712 e recebeu o diploma de Doutorado em 1.714. Ele foi eleito secretrio da Royal Society em janeiro de 1.714, mas se demitiu em outubro de 1.718 em virtude de sua sade e, talvez, tambm, pela perda de interesse nesta tarefa cansativa e extenuante. As cabeas pensantes, na Europa desta poca, inspiram-se no esprito de Descartes: o sculo X V I I I cartesiano e prossegue a grande revoluo intelectual originada por ele. O sculo X V I I I conserva a dvida metdica, a recusa a acreditar, a necessidade de evidncia, a preocupao em s admitir verdades claras eCLCULO III

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distintas, alcanadas aps o exame de grande nmero de fatos. O sculo X V I I I conservou a matemtica como principal utenslio e como melhor exerccio intelectual. a matemtica que fornece o tipo das idias claras, no h linha reta nem crculo na natureza. Mas, a matemtica representa corpos e pode aplicar-se sua medida, ela pode servir para inventariar o mundo. Os matemticos do sculo X V I I I executaram trabalhos essencialmente prticos: processos para resolver os problemas apresentados pela mecnica e pela astronomia, para explicar os fatos revelados pela observao do cu ou dos corpos terrestres. Forma de vela retangular inada pelo vento, linha de queda mais rpida entre duas verticais sucessivas, traado de um raio luminoso atravs de meios com diferentes densidades, causas dos ventos, movimentos dos uidos, cordas vibratrias: so esses alguns dos problemas que eram estudados. Aperfeioaram, tambm, de maneira espantosa, a aparelhagem matemtica. Euler, em 1.735, resolveu em trs dias atravs de seus mtodos um problema de astronomia que levara alguns meses para ser resolvido pelos mtodos mais antigos. (Gauss, no sculo X I X , o solucionou em uma hora). No ltimo tero do sculo X V I I , os grandes matemticos haviam sido os ingleses, como Newton, ou alemes, como Leibnitz. No sculo X V I I I , passam a ser suos (famlia Bernoulli e Euler) ou franceses (Clairaut, DAlembert, Lagrange, Laplace). A relativa decadncia dos ingleses justica-se, talvez, pelo fato de Newton ter deixado o seu mtodo de clculo ainda mais imperfeito do que o de Leibnitz e, por outro lado, pela controvrsia entre ingleses, suos e alemes sobre uma questo to grande quanto intil: quem era realmente o criador do clculo innitesimal, Leibnitz ou Newton? Enquanto que, em 1.717, Brook Taylor aplicara o clculo das diferenas nitas aos movimentos das cordas vibratrias; MacLaurin, em 1.731, utilizou as demonstraes geomtricas para dar maior rigor sua teoria, segundo a qual uma massa liquida, girando em torno de um eixo, sob a inuncia da gravitao, toma a forma de um elipside de revoluo. Taylor e MacLaurin chamavam, ento, a ateno dos seus compatriotas para a geometria, levando-os a desprezarem a anlise. Sendo membro da Royal Society, Taylor participou, em 1.712, do comit formado para o julgamento da questo da prioridade na inveno do Clculo entre Newton e Leibnitz. Ele visitou a Frana, diversas vezes, por razes de sade e sociais. Durante estas visitas, ele manteve uma constante correspondncia com Pierre Rmond de Montmort sobre as sries innitas e sobre o trabalho de Montmort em probabilidade. Taylor serviu como um tipo de intermedirio entre Montmort e Abraham De Moivre. Taylor publicou o seu primeiro artigo importante na Philosophical Transactions da Royal Society em, 1.714, que, na verdade, j havia sido escrito em 1.708, de acordo com sua correspondncia com Keill. O artigo tratava da determinao do centro de oscilao de um corpo. Como era costume de Taylor e de outros matemticos da poca, ele utilizou a notao de pontos ao resolver um problema em mecnica, dando incio a uma disputa com Johann I Bernoulli. O perodo entre 1.714 e 1.719 foi, para Taylor, o mais produtivo matematicamente. A primeira edio de seus dois livros matemticos Methodus incrementorum directa et inversa e Linear Perspective saiu em 1.715. Suas segundas edies foram publicadas em 1.717 e 1.719, respectivamente. Taylor tambm publicou treze artigos, alguns como cartas na Philosophical Transactions durante os anos de 1.712 a 1.724. Nestes artigos esto includos experimentos com a capilaridade, o magnetismo e o termmetro. Durante os ltimos anos de sua vida Taylor se voltou para escritos religiosos e loscos. Seu terceiro livro Comtemplatio philosophica foi impresso postumamente pelo seu neto em 1.793. Taylor conhecido pelo teorema ou processo de se expandir funes em sries innitas. Existe uma grande discusso sobre o crdito que deve ser dado a Taylor pela formulao deste teorema. Seu primeiro relatrio do teorema foi escrito em uma carta para John Machin, no dia 26 de julho de 1.712, e reescrito por H. Bateman. Nele, Taylor conta que a sua descoberta surgiu aps uma dica de Machin durante uma palestra no Childs Coffeehouse sobre a utilizao da srie de Sir Isaac Newton para a resoluo do problema de Kepler e sobre o mtodo do Dr. Halley para se achar as razes de equaes polinomiais 44FTC EaD | LICENCIATURA EM MATEMTICA

que fora publicado na Philosophical Transactions em 1.694. Isto demonstra sua honestidade e cuidado em relao publicao de artigos matemticos. Ele usou sua frmula para expandir funes em sries e para resolver equaes diferenciais, mas, no conseguiu prever o seu papel, sua funo mais importante, que s foi descoberto, mais tarde, por Lagrange. Taylor no se preocupou com a falta de rigor em sua derivao. Colin Maclaurin notou um caso especial da srie de Taylor agora conhecido como srie ou teorema dE Maclaurin, que j havia sido citado por Taylor na pgina 27 na edio de 1.717 do Methodus. O termo srie de Taylor foi, provavelmente, utilizado pela primeira vez por LHuillier em 1.786, entretanto Condorcet usou os nomes de Taylor e dAlembert em 1.784. Mesmo que as sries innitas j fossem algo conhecido, Taylor desenvolveu a sua frmula sozinho e foi o primeiro a enunci-la e explicit-la de uma forma geral. Pringsheim demonstrou que possvel se chegar ao teorema de Taylor atravs da frmula de Bernoulli por meio de algumas mudanas de variveis. No entanto, no existem indcios que Taylor fez isso e nem de que Bernoulli se sentira plagiado. A preposio X I do teorema I V , por outro lado, diretamente equivalente frmula de integrao de Bernoulli. Mas, a derivao de Taylor mais complexa, tanto que lhe dado o crdito da prioridade do processo de integrao por partes. Taylor foi um dos poucos matemticos ingleses que conseguiu se manter na disputa com seus rivais do Continente, embora nem sempre conseguisse se sair vitorioso. Bernoulli citou que um problema de integrao publicado por Taylor como um desao aos matemticos no ingleses j havia sido proposto e resolvido anteriormente por Leibnitz em Acta eruditurium. Suas disputas em jornais quase sempre continham frases mais rudes e, at mesmo, uma vez, foi feita uma aposta entre eles no valor de cinqenta guinus. Quando Bernoulli sugeriu, numa carta pessoal, que suas discusses tomassem um rumo mais cavalheiresco, Taylor respondeu que ele tinha tido a inteno de ser grosseiro e mostrar indignao. O livro Methodus continha vrios pontos adicionais, cuja importncia no podia ser notada ou percebida em um primeiro estudo. Inclui-se o reconhecimento e a determinao de uma soluo singular de uma equao diferencial, uma frmula que envolve uma mudana de variveis e relaciona as derivadas de uma funo com as derivadas de sua inversa, a determinao de centros de oscilao e percusso, curvatura e o problema de vibraes em molas. Os ltimos trs problemas j tinham sido publicados anteriormente em Philosophical Transactions, dando continuao ao clculo de logaritmos. Newton abordava o problema da curvatura pelo meio da determinao do seu centro como o ponto de interseco entre duas normais. Mesmo que este mtodo no tivesse sido publicado at 1.736, Taylor tinha conhecimento deste trabalho de Newton e, aps aplicar a sua prpria frmula para a resoluo do mesmo problema, disse que seus resultados coincidiam com os obtidos por Newton. Taylor, entretanto, imaginava o raio de curvatura como sendo o raio do crculo limitante entre trs pontos de uma curva e associava a curvatura com o problema do ngulo de contato, citado por Euclides. Ele ento usou a curvatura e o ngulo de curvatura para dar a primeira soluo para vibraes normais e o caso de molas. Nas preposies X X I I e X X I I I , ele demonstrou que, sob suas condies, cada ponto vibra como um pndulo cicloidal e determinou o seu perodo em termos do comprimento e peso da mola e do peso suportado pela mola. Seus trabalhos inuenciaram outros matemticos, Bernoulli, por exemplo, citou Taylor em cartas escritas para seu lho Daniel, escrevendo sobre este tpico. Methodus qualica Taylor como um dos fundadores do clculo de diferenas nitas e como um dos primeiros a utiliz-lo em interpolao e somatria de sries. Taylor contribuiu para a histria do barmetro ao explicar a variao da presso atmosfrica como uma funo da altitude e tambm contribuiu para o estudo da refrao da luz. Como todas as suas publicaes, seu livro sobre perspectiva linear era to conciso que Bernoulli caracterizou-o como incompreensv