03 Diagramas lógicos

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MAPA DA MINA Matria: Assunto: Raciocnio Lgico Diagramas Lgicos

Diagramas lgicos: O uso de diagramas de crculos (ou diagramas lgicos), e tambm sobre questes de lgica que envolvem as palavras todo, algum e nenhum. So ditas proposies categricas as seguintes:

Todo A B Nenhum A B Algum A B Algum A no B

Proposies do tipo Todo A B afirmam que o conjunto A um subconjunto do conjunto B. Ou seja: A est contido em B. Ateno: dizer que Todo A B no significa omesmo que Todo B A.

Enunciados da forma Nenhum A B afirmam que os conjuntos A e B so disjuntos,isto , no tem elementos em comum. Ateno: dizer que Nenhum A B logicamenteequivalente a dizer que Nenhum B A.

Por conveno universal em Lgica, proposies da forma Algum A B estabelecem que o conjunto A tem pelo menos um elemento em comum com o conjunto B.

Contudo, quando dizemos que Algum A B, pressupomos que nem todo A B. Entretanto, no sentido lgico de algum, est perfeitamente correto afirmar que alguns de meus colegas esto me elogiando, mesmo que todos eles estejam.

Dizer que Algum A B logicamente equivalente a dizer que Algum B A. Tambm,as seguintes expresses so equivalentes: Algum A B = Pelo menos um A B = Existe um A que B.

Proposies da forma Algum A no B estabelecem que o conjunto A tem pelo menos um elemento que no pertence ao conjunto B. Temos as seguintes

equivalncias: Algum A no B = Algum A no B = Algum no B A. Mas no equivalente a Algum B no A.

Nas proposies categricas, usam-se tambm as variaes gramaticais dos verbos ser e estar, tais como , so, est, foi, eram, ..., como elo de ligao entre A e B.

Como nesta aula teremos vrias questes envolvendo as palavras todo, algum e nenhum, resolvemos listar algumas regras que j foram vistas na aula dois.

Todo A B Algum A B

= =

Todo A no no B Algum A no na B Nenhum A no no B

Nenhum A B =

Todo A no B Algum A no B

= =

Todo A no B Algum A no B Nenhum A no B

Nenhum A no B =

Nenhum A B = Todo A B =

Todo A no B Nenhum A no B

A negao de Todo A B Algum A no B (e vice-versa) A negao de Algum A B Nenhum A B (e vice-versa)

Verdade ou Falsidade das Proposies Categricas Dada a verdade ou a falsidade de qualquer uma das proposies categricas, isto , de Todo A B, Nenhum A B, Algum A B e Algum A no B. pode-se inferir de imediato a verdade ou a falsidade de algumas ou de todas as outras.

1 Se a proposio Todo A B verdadeira, ento temos as duas representaes possveis:

Nenhum A B falsa. Algum A B verdadeira. Algum A no B falsa. 2. Se a proposio Nenhum A B verdadeira, ento temos somente a representao:

Todo A B falsa. Algum A B falsa. Algum A no B verdadeira.

3. Se a proposio Algum A B verdadeira, temos as quatro representaes possveis:

Nenhum A B falsa. Todo A B indeterminada pode ser verdadeira (em 3 e 4) ou falsa (em 1 e 2). Algum A no B indeterminada pode ser verdadeira (em 1 e 2) ou falsa (em 3 e 4). 4. Se a proposio Algum A no B verdadeira, temos as trs representaes possveis:

Todo A B falsa. Nenhum A B indeterminada pode ser verdadeira (em 3) ou falsa (em 1 e 2). Algum A B indeterminada pode ser verdadeira (em 1 e 2) ou falsa (em 3).

OBS: Preciso decorar tudo isso? Lgico que no pessoal, o melhor buscar entender tudo isso! Estou disponibilizando 2 exemplos de resoluo das questes abaixo, para massificar o conhecimento adquirido, com isso tenho certeza que conseguiremos solucionar os problemas deste assunto praticamente mediante o desenho dos diagramas lgicos! Ou seja, a coisa bem mais fcil do que aparenta. Passemos s resolues! EX 1: Considerando todo livro instrutivo como uma proposio verdadeira, correto inferir que: a) Nenhum livro instrutivo uma proposio necessariamente verdadeira. b) Algum livro instrutivo uma proposio necessariamente verdadeira. c) Algum livro no instrutivo uma proposio verdadeira ou falsa. d) Algum livro instrutivo uma proposio verdadeira ou falsa. e) Algum livro no instrutivo uma proposio necessariamente verdadeira.

RESOLUO:

A opo A descartada de pronto: nenhum livro instrutivo implica a total dissociao entre os diagramas. E estamos com a situao inversa! A opo B perfeitamente escorreita! Percebam como todos os elementos do diagrama vermelho esto inseridos no diagrama azul. Resta necessariamente perfeito quealgum livro instrutivo. Resposta: opo B. EX 2: Em uma comunidade, todo trabalhador responsvel. Todo artista, se no for filsofo, ou trabalhador ou poeta. Ora, no h filsofo e no h poeta que no seja responsvel. Portanto, tem-se que, necessariamente,

a) todo responsvel artista b) todo responsvel filsofo ou poeta c)) todo artista responsvel d) algum filsofo poeta e) algum trabalhador filsofo

RESOLUO:O enunciado traz as seguintes afirmaes: 1. Todo trabalhador responsvel. 2. Todo artista, se no for filsofo, ou trabalhador ou poeta. 3. No h filsofo e no h poeta que no seja responsvel. Iniciaremos pelo desenho da primeira afirmao Todo trabalhador responsvel.

Vamos passar a anlise da terceira afirmao, porque esta faz uma relao entre o conjunto dos responsveis e os conjuntos dos filsofos e o dos poetas, que permitir fazer o desenho destes dois ltimos conjuntos. A terceira afirmao feita foi: No h filsofo e no h poeta que no seja responsvel. Isto o mesmo que dizer: No h filsofo irresponsvel e tambm no h poeta irresponsvel. Permanece o mesmo sentido! Da, os conjuntos dosfilsofos e o dos poetas vo estar dentro do conjunto dos responsveis.

Observe, no desenho acima, que os trs conjuntos (trabalhadores, filsofos e poetas) esto dentro do conjunto dos responsveis. Desenhamos sem interseco entre eles. Como a questo no afirma sobre a relao entre estes trs conjuntos, ento o desenho acima uma das situaes possveis, mas claro que existem outras situaes, como por exemplo, uma interseco entre os trs. Na segunda afirmao, quando se diz que Todo artista, se no for filsofo, ou trabalhador ou poeta, pelo raciocnio lgico, isto o mesmo que afirmar: Todo artista ou filsofo ou trabalhador ou poeta. Permanece o mesmo sentido! Desta forma, o conjunto dos artistas ou est dentro do conjunto dos filsofos ou est dentro do conjunto dos trabalhadores ou dentro do conjunto dos poetas.

O prximo passo analisar cada uma das alternativas a fim de encontrar a resposta correta. Lembrando que a resposta correta aquela que verdadeira para qualquer situao desenhada para os conjuntos. Aps estas consideraes, conclumos facilmente que a alternativa correta s pode ser a C.

II OUTROS PROBLEMAS ENVOLVENDO DIAGRAMAS Acima, vimos que os diagramas podem ser utilizados para avaliar argumentos em que as proposies apresentam quantificadores.

Pois bem, alm dessa utilizao, os diagramas so teis para resolvermos um outro tipo de problema, em que indicamos o nmero de elementos de cada conjunto. At aqui, estvamos apenas interessados em avaliar se uma concluso do tipo algum paulista flamenguista verdadeira ou falsa. Apenas isso. Precisvamos apenas desenhar os diagramas, usando como base as premissas do argumento. Se houvesse pelo menos um elemento que pertencesse, simultaneamente, ao conjunto dos flamenguistas e ao conjunto dos paulistas, ento a proposio seria verdadeira. A partir de agora, nosso intuito ser determinar quantos elementos pertencem aos dois conjuntos. Para ilustrar a aplicao deste tipo de diagrama, considere o seguinte exemplo.

1 Uma escola de ensino fundamental oferece cursos de idiomas. So disponibilizados cursos de ingls e espanhol. Os alunos podem optar por fazer nenhum, um ou os dois cursos.

Atualmente temos a seguinte situao: 30 alunos fazem ingls. 20 alunos fazem ingls e espanhol. 35 alunos fazem espanhol. 25 alunos no fazem nem ingls nem espanhol. Vamos representar graficamente os alunos dessa escola.

Dentro do crculo azul temos os trinta alunos que fazem ingls. Dez deles esto dentro do circulo azul, mas no esto dentro do crculo vermelho.

Dentro do crculo vermelho temos os trinta e cinco que fazem espanhol. Quinze deles esto dentro do crculo vermelho, mas no esto dentro do crculo azul.

Outros vinte esto nos dois crculos simultaneamente. So os que fazem ingls e espanhol. E os 25 que esto de fora dos dois crculos no fazem ingls nem espanhol.

Simples no? Pois , este tipo de diagrama muito cobrado em concursos. Vamos aproveitar este exemplo para estudarmos a frmula que nos fornece o nmero de elementos da unio entre dois conju

2 Uma escola de ensino fundamental oferece cursos de idiomas. So disponibilizados cursos de ingls e espanhol. Os alunos podem optar por fazer nenhum, um ou os dois cursos. Atualmente temos a seguinte situao: 30 alunos fazem ingls. 20 alunos fazem ingls e espanhol. 35 alunos fazem espanhol. 25 alunos no fazem nem ingls nem espanhol. Qual o nmero de alunos que fazem ingls ou espanhol?

Resoluo.Na hora de contar quantos alunos fazem ingls ou espanhol, estamos interessados naqueles que fazem s ingls, que fazem s espanhol, ou que fazem ambos, ingls e espanhol. Seja I o conjunto dos alunos que fazem ingls. Seja E o conjunto dos alunos que fazem espanhol. No fundo, o que o exerccio est perguntando o nmero de alunos da unio dos conjuntos E e I.

Com base no diagrama acima, podemos afirmar que so 45 os alunos que fazem ingls ou espanhol.

Vamos tentar chegar nesse valor sem usar o tal diagrama. Sabemos que 30 alunos fazem ingls e 35 fazem espanhol. Somando, temos:

30 + 35 = 65 No deu 45. Por qu?

Acontece que, no valor acima, estamos contando alguns alunos em duplicidade. Os alunos que fazem ingls e espanhol esto sendo contados duas vezes.

Tratam-se dos alunos pertencentes interseco. So os alunos que esto, ao mesmo te