03 Series Fourier

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  • ENGC24 SINAIS E SISTEMAS ISries de Fourier

    Prof. Bernardo Ordoez

    Curso de Engenharia Eltrica / Curso de Engenharia de ComputaoDEE Departamento de Engenharia Eltrica

    Escola Politcnica - UFBA1

  • Sinais e Sistemas I

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    Mdulo 2:

    Representao de sinais peridicos em Sries deFourier.

    Determinao dos coeficientes de Fourier. Aspectos de Convergncia. Propriedades de Srie de Fourier. Aplicao e exerccios.

    Material de consulta:

    Captulo 3 - OPPENHEIN, A.V., WILLSKY, A. S. e NAWAB, S.H.(2010) Sinais e Sistemas. 2 edio. Editora Pearson.

    Captulo 6 - LATHI, B.P. (2006) Sinais e Sistemas Lineares. 2edio. Editora Artmed.

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    Um sinal peridico x(t) com perodo T0 possui aseguinte propriedade:

    para todo t.

    O menor valor de T0 que satisfaz a condio deperiodicidade o perodo fundamental de x(t).

    A rea sob um sinal peridico x(t) para qualquerintervalo de durao T0 a mesma, ou seja, paraquaisquer nmeros reais a e b, tem-se:

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    Resultado que era esperado, j que o sinal peridicoassume os mesmos valores em intervalos de T0.

    Logo, os valores para qualquer segmento de duraoT0 so repetidos em qualquer outro intervalo demesma durao.

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    Resultado que era esperado, j que o sinal peridicoassume os mesmos valores em intervalos de T0.

    Logo, os valores para qualquer segmento de duraoT0 so repetidos em qualquer outro intervalo demesma durao.

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    Por convenincia, a rea sob x(t) no intervalo T0pode ser representada por

    A frequncia da senoide ou f0 e o perodo T0 = 1/f0.

    Tambm podemos utilizar a expresoem que .

    A senoide de frequncia nf0 dita n-simaharmnica da senoide de frequncia f0.

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    Seja o sinal x(t) constitudo por senos e cossenos defrequncia e todas as suas harmnicas comamplitudes arbitrrias:

    A frequncia chamada de frequncia funda-mental. O perodo fundamental :

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    Seja o sinal x(t) constitudo por senos e cossenos defrequncia e todas as suas harmnicas comamplitudes arbitrrias:

    O termo constante a0 corresponde ao termo emcosseno para n=0 . Entretan-to, , logo, o termo em seno paran=0 inexistente.

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    x(t) um sinal peridico com o mesmo perodofundamental, independentemente dos valores dasamplitudes an e bn.

    sabendo que , tem-se:

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    x(t) um sinal peridico com o mesmo perodofundamental, independentemente dos valores dasamplitudes an e bn.

    sabendo que , tem-se:

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    x(t) um sinal peridico com o mesmo perodofundamental, independentemente dos valores dasamplitudes an e bn.

    sabendo que , tem-se:

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    x(t) um sinal peridico com o mesmo perodofundamental, independentemente dos valores dasamplitudes an e bn.

    sabendo que , tem-se:

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    Finalmente:

    O resultado poderia ter sido inferido intuitivamente. Em umperodo fundamental T0, a harmnica de ordem n executa nciclos completos. Logo, toda a senoide direita da eq(1)executa um nmero completo de ciclos em um perodofundamental T0. Portanto, para t=T0 , toda a senoide comeacomo se ela estivesse na origem e repete a mesma sequnciadurante os prximos T0 segundos e assim por diante. Com isso,a soma de todas as harmnicas resulta em um sinal peridico

    de perodo T0.

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    O resultado poderia ter sido inferido intuitivamente. Em um perodo fundamental T0, aharmnica de ordem n executa n ciclos completos. Logo, toda a senoide direita da eq(1)executa um nmero completo de ciclos em um perodo fundamental T0. Portanto, parat=T0 , toda a senoide comea como se ela estivesse na origem e repete a mesma sequnciadurante os prximos T0 segundos e assim por diante.

    Com isso, a soma de todas as harmnicas resulta em um sinal peridico de perodo T0.

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    A srie direita da eq(1) chamada deSrie Trigonomtrica de Fourier de um sinalperidico.

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    Determinao dos coeficientes da Srie de Fourier

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    Para determinar a0 na eq (1) integramos os dois ladosda equao para um perodo T0, resultando em:

    como T0 o perodo da senoide de frequncia , asfunes e executam n cicloscompletos em qualquer intervalo T0 segundos, tal quea rea sob essas funes em um intervalo T0 nula.

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    Ento:

    portanto, resolvendo para a0, temos:

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    Desenvolvimento complementar

    Para a prxima etapa precisaremos de umdesenvolvimento complementar.

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    Como executa um ciclo completo em qual-quer intervalo de durao T0, executa(n+m) ciclos completos em qualquer intervalo dedurao T0.

    Assim, a integral de .

    Da mesma forma, a integral

    zero, exceto quando n=m. Logo, I zero para todo, e quando n=m, tem-se:

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    Portanto,

    De forma similar, pode-se mostrar que:

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    e para,

    utilizando a identidade trigonomtrica

    tem-se:

    Para n=m, executa sempre cicloscompletos no intervalo T0. E para n=m, .

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    Desenvolvimento complementar

    Fim do desenvolvimento complementar. Aseguir continuaremos com as definies de ane bn.

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    A seguir multiplicamos os dois lados da eq (1) pore integramos a equao resultante para

    um intervalo T0.

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    A integral zero porque ela a rea

    sob m ciclos de uma senoide.

    A integral tambm zero.

    A integral tambm (!!!)

    zero para todo . Mas note que n assume todosos valores de , inclusive m.

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    Quando n=m, esta integral T0/2. Assim, a partir deum nmero infinito de termos, apenas um delessobrevive resultando em .

    Portanto,

    resolvendo para an, temos:

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    De forma similar, multiplicando os dois lados daequao por e integrando a equao re-sultante no intervalo T0, obtemos:

    O principal resultado que um sinal x(t) peridico comperodo T0 pode ser expresso como uma soma de umasenoide de perodo T0 e suas harmnicas.

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    Forma compacta de Srie de Fourier e Espectro em frequncia

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    Os resultados at o momento so genricos, e seaplicam se x(t) for uma funo real ou complexa de t.

    Entretanto, quando x(t) real, os coeficientes an e bnso reais para todo n e a srie trigonomtrica deFourier pode ser expressa em um forma compacta

    na qual, Cn e 0n so relacionados com an e bn por

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    A srie trigonomtrica de Fourier indica que um sinalperidico x(t) pode ser descrito como a soma desenoides de frequncias , cujas am-plitudes so C0,C1,C2,...,Cn, e as fases sorespectivamente.

    Podemos traar a amplitude Cn em funo de n eem funo de n.

    Espectro de Fourier

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    A srie trigonomtrica de Fourier indica que um sinalperidico x(t) pode ser descrito como a soma desenoides de frequncias , cujas am-plitudes so C0,C1,C2,...,Cn, e as fases sorespectivamente.

    Podemos traar a amplitude Cn em funo de n eem funo de n.

    Espectro de Fourier

    Espectro de Amplitude

    Espectro de Fase

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    Como n proporcional a frequncia , os grficosso verses em escala de Cn em funo de eem funo de .

    Os dois grficos juntos formam o espectro defrequncia de x(t). Esse espectro mostra rapidamenteos contedos de frequncia do sinal x(t) com suasamplitudes e fases. Conhecendo esse espectro,podemos reconstruir o sinal x(t) de acordo com

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    Um sinal possui uma identidade dual: a identidade nodomnio do tempo x(t) e a identidade no domnio dafrequncia (Espectro de Fourier).

    As duas identidades so complementares umada outra e, quando juntas, possibilitam ummelhor entendimento do sinal

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    Na determinao de , que a fase da n-simaharmnica, o quadrante o qual est deve ser deter-minado dos sinais de an e bn.

    Exemplo:

    Com isso, , e

    Observe que:

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    Alguns exerccios em sala de aula

    1. Determine a srie trigonomtrica compacta deFourier do sinal peridico abaixo. Trace o espectro deamplitude e fase de x(t).

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    Alguns exerccios

    2. Determine a srie trigonomtrica compacta deFourier para o sinal triangular peridico abaixo. Traceo espectro de amplitude e fase de x(t).

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    3. Determine a srie trigonomtrica compacta deFourier para o sinal de pulso quadrado peridicoabaixo. Trace o espectro de amplitude e fase de x(t).

    Alguns exerccios

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    4. Determine a srie trigonomtrica compacta deFourier para o sinal de pulso quadrado peridicoabaixo. Trace o espectro de amplitude e fase de x(t).

    Alguns exerccios em sala de aula

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    Srie de Fourier constituda determos em seno e cosseno.

    Srie de Fourier constituda determos em seno.

    Srie de Fourier constituda determos em cosseno.

    Efeito da