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ENGC24 SINAIS E SISTEMAS I Séries de Fourier Prof. Bernardo Ordoñez Curso de Engenharia Elétrica / Curso de Engenharia de Computação DEE Departamento de Engenharia Elétrica Escola Politécnica - UFBA 1

03 Series Fourier

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  • ENGC24 SINAIS E SISTEMAS ISries de Fourier

    Prof. Bernardo Ordoez

    Curso de Engenharia Eltrica / Curso de Engenharia de ComputaoDEE Departamento de Engenharia Eltrica

    Escola Politcnica - UFBA1

  • Sinais e Sistemas I

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    Mdulo 2:

    Representao de sinais peridicos em Sries deFourier.

    Determinao dos coeficientes de Fourier. Aspectos de Convergncia. Propriedades de Srie de Fourier. Aplicao e exerccios.

    Material de consulta:

    Captulo 3 - OPPENHEIN, A.V., WILLSKY, A. S. e NAWAB, S.H.(2010) Sinais e Sistemas. 2 edio. Editora Pearson.

    Captulo 6 - LATHI, B.P. (2006) Sinais e Sistemas Lineares. 2edio. Editora Artmed.

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    Um sinal peridico x(t) com perodo T0 possui aseguinte propriedade:

    para todo t.

    O menor valor de T0 que satisfaz a condio deperiodicidade o perodo fundamental de x(t).

    A rea sob um sinal peridico x(t) para qualquerintervalo de durao T0 a mesma, ou seja, paraquaisquer nmeros reais a e b, tem-se:

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    Resultado que era esperado, j que o sinal peridicoassume os mesmos valores em intervalos de T0.

    Logo, os valores para qualquer segmento de duraoT0 so repetidos em qualquer outro intervalo demesma durao.

  • Sinais e Sistemas I

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    Resultado que era esperado, j que o sinal peridicoassume os mesmos valores em intervalos de T0.

    Logo, os valores para qualquer segmento de duraoT0 so repetidos em qualquer outro intervalo demesma durao.

  • Sinais e Sistemas I

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    Por convenincia, a rea sob x(t) no intervalo T0pode ser representada por

    A frequncia da senoide ou f0 e o perodo T0 = 1/f0.

    Tambm podemos utilizar a expresoem que .

    A senoide de frequncia nf0 dita n-simaharmnica da senoide de frequncia f0.

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    Seja o sinal x(t) constitudo por senos e cossenos defrequncia e todas as suas harmnicas comamplitudes arbitrrias:

    A frequncia chamada de frequncia funda-mental. O perodo fundamental :

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    Seja o sinal x(t) constitudo por senos e cossenos defrequncia e todas as suas harmnicas comamplitudes arbitrrias:

    O termo constante a0 corresponde ao termo emcosseno para n=0 . Entretan-to, , logo, o termo em seno paran=0 inexistente.

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    x(t) um sinal peridico com o mesmo perodofundamental, independentemente dos valores dasamplitudes an e bn.

    sabendo que , tem-se:

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    x(t) um sinal peridico com o mesmo perodofundamental, independentemente dos valores dasamplitudes an e bn.

    sabendo que , tem-se:

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    x(t) um sinal peridico com o mesmo perodofundamental, independentemente dos valores dasamplitudes an e bn.

    sabendo que , tem-se:

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    x(t) um sinal peridico com o mesmo perodofundamental, independentemente dos valores dasamplitudes an e bn.

    sabendo que , tem-se:

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    Finalmente:

    O resultado poderia ter sido inferido intuitivamente. Em umperodo fundamental T0, a harmnica de ordem n executa nciclos completos. Logo, toda a senoide direita da eq(1)executa um nmero completo de ciclos em um perodofundamental T0. Portanto, para t=T0 , toda a senoide comeacomo se ela estivesse na origem e repete a mesma sequnciadurante os prximos T0 segundos e assim por diante. Com isso,a soma de todas as harmnicas resulta em um sinal peridico

    de perodo T0.

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    O resultado poderia ter sido inferido intuitivamente. Em um perodo fundamental T0, aharmnica de ordem n executa n ciclos completos. Logo, toda a senoide direita da eq(1)executa um nmero completo de ciclos em um perodo fundamental T0. Portanto, parat=T0 , toda a senoide comea como se ela estivesse na origem e repete a mesma sequnciadurante os prximos T0 segundos e assim por diante.

    Com isso, a soma de todas as harmnicas resulta em um sinal peridico de perodo T0.

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    A srie direita da eq(1) chamada deSrie Trigonomtrica de Fourier de um sinalperidico.

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    Determinao dos coeficientes da Srie de Fourier

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    Para determinar a0 na eq (1) integramos os dois ladosda equao para um perodo T0, resultando em:

    como T0 o perodo da senoide de frequncia , asfunes e executam n cicloscompletos em qualquer intervalo T0 segundos, tal quea rea sob essas funes em um intervalo T0 nula.

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    Ento:

    portanto, resolvendo para a0, temos:

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    Desenvolvimento complementar

    Para a prxima etapa precisaremos de umdesenvolvimento complementar.

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    Como executa um ciclo completo em qual-quer intervalo de durao T0, executa(n+m) ciclos completos em qualquer intervalo dedurao T0.

    Assim, a integral de .

    Da mesma forma, a integral

    zero, exceto quando n=m. Logo, I zero para todo, e quando n=m, tem-se:

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    Portanto,

    De forma similar, pode-se mostrar que:

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    e para,

    utilizando a identidade trigonomtrica

    tem-se:

    Para n=m, executa sempre cicloscompletos no intervalo T0. E para n=m, .

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    Desenvolvimento complementar

    Fim do desenvolvimento complementar. Aseguir continuaremos com as definies de ane bn.

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    A seguir multiplicamos os dois lados da eq (1) pore integramos a equao resultante para

    um intervalo T0.

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    A integral zero porque ela a rea

    sob m ciclos de uma senoide.

    A integral tambm zero.

    A integral tambm (!!!)

    zero para todo . Mas note que n assume todosos valores de , inclusive m.

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    Quando n=m, esta integral T0/2. Assim, a partir deum nmero infinito de termos, apenas um delessobrevive resultando em .

    Portanto,

    resolvendo para an, temos:

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    De forma similar, multiplicando os dois lados daequao por e integrando a equao re-sultante no intervalo T0, obtemos:

    O principal resultado que um sinal x(t) peridico comperodo T0 pode ser expresso como uma soma de umasenoide de perodo T0 e suas harmnicas.

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    Forma compacta de Srie de Fourier e Espectro em frequncia

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    Os resultados at o momento so genricos, e seaplicam se x(t) for uma funo real ou complexa de t.

    Entretanto, quando x(t) real, os coeficientes an e bnso reais para todo n e a srie trigonomtrica deFourier pode ser expressa em um forma compacta

    na qual, Cn e 0n so relacionados com an e bn por

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    A srie trigonomtrica de Fourier indica que um sinalperidico x(t) pode ser descrito como a soma desenoides de frequncias , cujas am-plitudes so C0,C1,C2,...,Cn, e as fases sorespectivamente.

    Podemos traar a amplitude Cn em funo de n eem funo de n.

    Espectro de Fourier

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    A srie trigonomtrica de Fourier indica que um sinalperidico x(t) pode ser descrito como a soma desenoides de frequncias , cujas am-plitudes so C0,C1,C2,...,Cn, e as fases sorespectivamente.

    Podemos traar a amplitude Cn em funo de n eem funo de n.

    Espectro de Fourier

    Espectro de Amplitude

    Espectro de Fase

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    Como n proporcional a frequncia , os grficosso verses em escala de Cn em funo de eem funo de .

    Os dois grficos juntos formam o espectro defrequncia de x(t). Esse espectro mostra rapidamenteos contedos de frequncia do sinal x(t) com suasamplitudes e fases. Conhecendo esse espectro,podemos reconstruir o sinal x(t) de acordo com

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    Um sinal possui uma identidade dual: a identidade nodomnio do tempo x(t) e a identidade no domnio dafrequncia (Espectro de Fourier).

    As duas identidades so complementares umada outra e, quando juntas, possibilitam ummelhor entendimento do sinal

  • Sinais e Sistemas I

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    Na determinao de , que a fase da n-simaharmnica, o quadrante o qual est deve ser deter-minado dos sinais de an e bn.

    Exemplo:

    Com isso, , e

    Observe que:

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    Alguns exerccios em sala de aula

    1. Determine a srie trigonomtrica compacta deFourier do sinal peridico abaixo. Trace o espectro deamplitude e fase de x(t).

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    Alguns exerccios

    2. Determine a srie trigonomtrica compacta deFourier para o sinal triangular peridico abaixo. Traceo espectro de amplitude e fase de x(t).

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    3. Determine a srie trigonomtrica compacta deFourier para o sinal de pulso quadrado peridicoabaixo. Trace o espectro de amplitude e fase de x(t).

    Alguns exerccios

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    4. Determine a srie trigonomtrica compacta deFourier para o sinal de pulso quadrado peridicoabaixo. Trace o espectro de amplitude e fase de x(t).

    Alguns exerccios em sala de aula

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    Srie de Fourier constituda determos em seno e cosseno.

    Srie de Fourier constituda determos em seno.

    Srie de Fourier constituda determos em cosseno.

    Efeito da Simetria

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    Funo peridica par x(t) srie de Fourier decossenos.Funo peridica mpar x(t) srie de Fourier desenos.

    Alm disso, devido simetria (par ou mpar), ainformao de um perodo x(t) est implcita emapenas meio perodo.

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    Conhecendo o sinal em meio perodo e tambm o tipode simetria (par ou mpar), podemos determinar aforma de onda do sinal para todo o perodo.

    Desta forma, os coeficientes de Fourier podem ser calculados integrando-se apenas meio perodo.

    Funo PAR

    Funo MPAR

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    Funo PAR x Funo MPAR = Funo MPARFuno MPAR x Funo MPAR = Funo PAR

    Funo PAR x Funo PAR = Funo PAR

    Funo PAR

    Funo MPAR

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    Funo Par

    Funo mpar

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    Funo PAR

    Funo MPAR

    Se x(t) uma funo par, ento:

    PAR x MPAR !

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    Se x(t) uma funo mpar, ento:

    Funo MPAR

    Funo PAR

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    Aspectos de Convergnciada Srie de Fourier

  • Sinais e Sistemas I

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    Para existncia da srie de Fourier, os coeficientes a0,an e bn devem ser finitos.

    A partir das equaes, a existncia desses coeficientes garantida se x(t) for absolutamente integrvel emum perodo, ou seja

    Notem que a condio de existncia da srie noinforma sobre a natureza ou maneira pela qual a srieconverge.

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    Conjunto alternativo de condies em que garante-seque x(t) equivalente sua representao em srie deFourier, exceto em valores isolados de t para os quaisx(t) descontnuo. Nesses valores a srie convergepara a mdia dos valores de ambos os lados dadescontinuidade.

    Condies de Dirichlet

  • Sinais e Sistemas I

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    Conjunto alternativo de condies em que garante-seque x(t) equivalente sua representao em srie deFourier, exceto em valores isolados de t para os quaisx(t) descontnuo. Nesses valores a srie convergepara a mdia dos valores de ambos os lados dadescontinuidade.

    Condies de Dirichlet

    Exerccio da sala de aula, descontinuidade em .Quais os valores antes e depois?Qual o valor da srie para ?

  • Sinais e Sistemas I

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    Conjunto alternativo de condies em que garante-seque x(t) equivalente sua representao em srie deFourier, exceto em valores isolados de t para os quaisx(t) descontnuo. Nesses valores a srie convergepara a mdia dos valores de ambos os lados dadescontinuidade.

    1) A funo x(t) deve ser absolutamente integrvel.2) Em qualquer intervalo finito de tempo, x(t) tem variaolimitada, ou seja, no existe mais do que um nmero finito demximos e mnimos durante um perodo do sinal.3) Em qualquer intervalo de durao finita, existe apenas umnmero finito de descontinuidades, e estas descontinuidadesso finitas.

    Condies de Dirichlet

  • Sinais e Sistemas I

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    1) A funo x(t) deve ser absolutamente integrvel.

    Condies de Dirichlet

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    2) Em qualquer intervalo finito de tempo, x(t) tem variaolimitada, ou seja, no existe mais do que um nmero finito demximos e mnimos durante um perodo do sinal.

    Condies de Dirichlet

    Satisfaz a condio 1!

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    3) Em qualquer intervalo de durao finita, existe apenas umnmero finito de descontinuidades, e estas descontinuidadesso finitas.

    Condies de Dirichlet

    Nmero infinito de sees, cada qual com metade da altura e metade da largura da seo anterior. rea menor do que oito Nmero infinito de descontinuidades

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    Papel do Espectro de Amplitude na forma da onda

    A srie trigonomtrica de Fourier de um sinal mostraexplicitamente os componentes senoidais de x(t),assim, podemos sintetizar x(t) somando as senoidesdo espectro.

    Seja o sinal:

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    n=0:

    1 harmnica:

    O sinal lembra de alguma forma x(t). Os cantos ngremes de x(t) no soreproduzidos porque esses cantos representam rpidas mudanas, o que requercomponentes que variem rapidamente (altas frequncias).

  • Sinais e Sistemas I

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    Soma de CC, primeiro e terceiro harmnicos:

    Quando aumentamos o nmero de harmnicos, as bordas dos pulsos setornam mais ngremes e o sinal se assemelha mais com x(t).

  • Sinais e Sistemas I

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    Frequncias baixas na Srie de Fourier afetam ocomportamento em grande escala de x(t), enquantofrequncias altas determinam a estrutura fina, talcomo uma rpida variao.

    Quanto mais brusca a variao, maiores frequnciasnecessrias na srie de Fourier.

  • Sinais e Sistemas I

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    Papel do Espectro de Fase na forma da onda

    Ao contrrio do papel do espectro de amplitude, aincidncia do espectro de fase na forma da onda menos bvio.

    Considere um sinal x(t) que muda rapidamente, talcomo um salto de descontinuidade.

    Para sintetizar uma mudana instantnea em um salto dedescontinuidade, as fases das vrias componentes harmnicassenoidais no espectro do sinal devem ser tais que todas (ou quasetodas) as componentes harmnicas tenham um sinal antes dadescontinuidade e o sinal oposto aps a descontinuidade. Issoir resultar em um mudana brusca em x(t) no ponto dedescontinuidade.

  • Sinais e Sistemas I

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    Papel do Espectro de Fase na forma da onda

    No exemplo abaixo, a forma de onde possui umadescontinuidade em t=1. A srie de Fourier para essaforma de onda :

  • Sinais e Sistemas I

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    Papel do Espectro de Fase na forma da onda

    A fase de todas as (infinitas) componentes tal que todas ascomponentes so positivas antes de t=1, tornando-se negativasexatamente aps t=1. O mesmo comportamento observado emt=-1. Essa mudana do sinal em todas as harmnicas resulta emuma forma muito prxima de um salto de descontinuidade.

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    Srie Exponencial de Fourier

  • Sinais e Sistemas I

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    Usando a igualdade de Euler podemos expressar:

    Desta forma, podemos tambm expressar a srietrigonomtrica de Fourier em termos de exponenciais.

    A ideia mostrar que a srie exponencial de Fourierpara um sinal peridico x(t) pode ser descrita por

  • Sinais e Sistemas I

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    Podemos obter os coeficientes Dn multiplicando osdois lados da equao por , com m inteiro, eintegrando em um perodo T0,

    na qual, utilizando a propriedade de ortogonalidadede exponenciais abaixo:

  • Sinais e Sistemas I

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    Ento:

    Usando esse resultado, obtemos:

    a partir do qual temos,

  • Sinais e Sistemas I

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    Para resumir, a srie exponencial de Fourier pode serdescrita por

    na qual, .

    Pode-se notar que a forma da srie uma notaomais compacta, e mais, a expresso matemtica paraobteno dos coeficientes da srie tambm maiscompacta.

  • Sinais e Sistemas I

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    Podemos relacionar Dn com os coeficientes an e bn dasrie trigonomtrica.

    Fazendo n=0 em

    obtemos .

    Alm disso, para

    e

  • Sinais e Sistemas I

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    Quando x(t) real, an e bn so reais e as equaesanteriores mostram que Dn e D-n so conjugados:

    Alm disso, a partir da forma compacta:

    observamos que,

  • Sinais e Sistemas I

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    Logo,

    e

    Portanto,

    e

    Amplitudes

    ngulos

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    Logo, no expectro exponencial de Fourier, podemostraar os coeficientes Dn em funo da frequncia.

    Partes real e imaginria de Dn ou Magnitude e ngulo de Dn.

  • Sinais e Sistemas I

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    OPPENHEIN, A.V., WILLSKY, A. S. e NAWAB, S.H. (2010) Sinais e Sistemas. 2

    edio. Editora Pearson - Captulo 3

    Exerccios: 3.3 3.8 3.21 3.22 3.25 3.41 3.43 (b) e (c) 3.47

    Alguns exerccios

    LATHI, B.P. (2006) Sinais e Sistemas Lineares. 2 edio. Editora Artmed

    Captulo 6

    Exerccios: 6.1-1 6.1-4 6.1-7 6.3-2 6.3-4 6.3-5 6.3-6

  • Fim de Aula.

    Sinais e Sistemas I

  • Sinais e Sistemas I

    Mdulo 3 (Prximo mdulo):

    Representao de sinais no peridicos. Convergncia. Propriedades da transformada de Fourier. Teorema de Parseval e Convoluo. Sinais peridicos e Transformada de Fourier Aplicao e exerccios.

    Material de consulta:

    Captulo 4 - OPPENHEIN, A.V., WILLSKY, A. S. e NAWAB, S.H.(2010) Sinais e Sistemas. 2 edio. Editora Pearson.

    Captulo 7 - LATHI, B.P. (2006) Sinais e Sistemas Lineares. 2edio. Editora Artmed.