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Equações de Poisson e de Laplace Eletromagnetismo Equações de Poisson e de Laplace
Lei de Gauss (Forma Pontual) = 1ª Equação de Maxwell: VDρ=·∇G
Como ED
Logo:ε
Mudança de notação a partir deste ponto: “V” passa a ser identificado como “Φ” (não confundir com φ das coordenadas
cilíndricas e esféricas).
Para 0=Vρ:Equação de Laplace 02=Φ∇Equações de Poisson e de Laplace Eletromagnetismo Cálculo do Laplaciano
1 - Coordenadas Cartesianas:
2 - Coordenadas Cilíndricas:
3 - Coordenadas Esféricas:
senrsen senrrr r
Equações de Poisson e de Laplace Eletromagnetismo Exercícios Resolvidos
Exercício 1: No capacitor esférico na figura, o condutor interno é mantido no potencial V, enquanto que o condutor externo
está aterrado (). Usar a equação de Laplace e as equações de contorno dadas para obter a distribuição de potenciais e os
campos elétricos no espaço entre os condutores. Obter também a capacitância da montagem. Discutir os resultados.
Resolução:
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04 - Equações de Poisson e de Laplace
Enviado por: DAVID LAMARCA DE OLIVEIRA | comentários
Arquivado no curso de Engenharia Elétrica na USJT
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Página 1 de 1404 - Equações de Poisson e de Laplace
08/03/2012http://www.ebah.com.br/content/ABAAAAU5MAJ/04-equacoes-poisson-laplace
Devido à simetria esférica, o potencial elétrico é independente de φ e θ, ou seja, o Laplaciano se torna:
d r
E:0122=⎜⎠⎞⎜⎝d r drd r
A solução geral desta equação é da forma: B r A+=Φ em que A e
B são duas constantes arbitrárias que serão determinadas a partir das condições de contorno.
Equações de Poisson e de Laplace Eletromagnetismo
Na superfície do condutor interno, r = a e V=Φ: B a AV+=.
Pela segunda condição de contorno (fronteira), tem-se r = b e , logo: 0=Φ
Resolvendo o sistema de equações:
1e
O potencial Φ (distribuição de potenciais) resulta:
=Φ br
A distribuição de campos elétricos pode ser obtida a partir de: Φ∇−=G E.
Deste modo, tem-se:
rar E G ∂ Φ∂−=, pois Φ varia apenas com r.
Logo:ra
VE G 2
Para o cálculo da capacitância, deveremos obter o valor da carga armazenada no capacitor. Para isto, convém aplicar a Lei
de Gauss:
Equações de Poisson e de Laplace Eletromagnetismo
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Transformada Laplace Directa
Página 2 de 1404 - Equações de Poisson e de Laplace
08/03/2012http://www.ebah.com.br/content/ABAAAAU5MAJ/04-equacoes-poisson-laplace
201
A capacitância é a relação entre a carga e a ddp aplicada, ou seja:
Equações de Poisson e de Laplace Eletromagnetismo
Exercício 2: Considere um capacitor de placas planas e paralelas composto por duas camadas dielétricas. Obtenha a
distribuição de potenciais, campos elétricos e capacitância empregando equações de Laplace e condições de contorno
(fronteira).
Resolução:
( ) ( )122111dzzEdzzE === εε
dzdz gradgrad==Φ=Φεε
21εε=
Ou seja: FA..21εε=e AF21εε=
Equações de Poisson e de Laplace Eletromagnetismo
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08/03/2012http://www.ebah.com.br/content/ABAAAAU5MAJ/04-equacoes-poisson-laplace
Tem-se então:
d zVz ++
εe ()
ddzV
() z a d
=Φ∇−=e ()zza
ddVC VÁreaddp
QC S áreadeunidadepor
Equações de Poisson e de Laplace Eletromagnetismo Exercício 3: Análise do caso do capacitor cilíndrico.
Neste caso a equação de Laplace se simplifica de modo que:
Φ∂∂∂ρρρρou seja, 01=⎜⎜⎠⎞⎜⎜⎝
Integrando: A d d=Φρρ
Rearranjando e integrando mais uma vez, tem-se:
ρρ Ad d =Φ
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Equações de Poisson e de Laplace Eletromagnetismo
As superfícies equipotenciais são dadas por ρ = constante e são cilindros. Para em 0V=Φa=ρ e 0=Φ em b=ρ:
Resolvendo: b a
b VAln.0
Então: b a b V
b V a b ln ln0 ρ
Para o campo elétrico: ρρa d
bV d d G
Ou seja: ρρa a
Equações de Poisson e de Laplace Eletromagnetismo Cálculo da capacitância:
b a
Dn a ln.
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Assumindo L = 1m:
b a
Como a capacitância é dada pela relação entre a carga armazenada e a ddp aplicada:
b C
Para um comprimento “L” genérico:
Equações de Poisson e de Laplace Eletromagnetismo
Exercício 4: Considerando agora uma distribuição tal que Φ seja função apenas de φ, em coordenadas cilíndricas, como
mostra a figura:
Nota-se a presença de dois planos infinitos radiais com um ângulo interno α. Há um isolante infinitesimal em 0=ρ. O campo
potencial pode ser encon- trado aplicando-se a equação de Laplace em coordenadas cilíndricas, conforme descrito a seguir:
A solução é do tipo BA+=Φφ.. As condições de contorno permitem determinar as constantes A e B:
0VA=e 0=B
Equações de Poisson e de Laplace Eletromagnetismo
Ou seja: φα 0V=Φ
Comoe Φ−=gradEG
zaz aagrad
Sendo que apenas as componentes em φaG interessam:
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Assim:φραaVE
Notar que EG é função de ρ mas não de φ, apesar de estar orientado segundo . Notar também como as equipotenciais de
distribuem, em planos in- termediários que “cortam” as linhas de campo elétrico sempre perpendicularmente. Esta é uma
característica básica do comportamento de
EG e Φ:
Equações de Poisson e de Laplace Eletromagnetismo Exemplo de Solução da Equação de Poisson
A região entre dois cilindros condutores coaxiais, com raios a e b, conforme mostrado na figura, contém uma densidade
volumétrica de carga uniforme
Vρ. Se o campo elétrico EG e o potencial Φ são ambos nulos no cilindro inter- no, determinar a expressão matemática que
fornece o potencial Φ na região entre os condutores assumindo que sua permissividade seja igual à do vácuo.
Resolução:
20ρερρρ
Sabe-se que: Φ∇−=G E
Logo:ρρaE
Equações de Poisson e de Laplace Eletromagnetismo 1ª Condição de contorno: obtenção de “A”: 0=E para a=ρ:
Logo:
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Então:ρερρερ
Integrando: BaVV++−=Φρε ρρερ
2ª Condição de contorno: obtenção de “B”: 0=Φ para a=ρ:
a aaB V ln
Concluindo: a a V ln
. ln
Teorema da Unicidade
Qualquer solução das equações de Poisson e Laplace que também satisfaz as condições de contorno deverá ser a única
solução existente.
Exemplo: Plano condutor z = 0 com tensão de 100 V:
Equações de Poisson e de Laplace Eletromagnetismo
Conclusão: Uma única superfície condutora, com uma tensão especifica e nenhuma referência dada, não forma uma
caracterização completa das condições de contorno de uma região definida. Mesmo dois planos condutores finitos paralelos
não formam uma fronteira, já que não se pode determinar o espraiamento do campo nas proximidades dos lados (bordas).
Supondo que o espraiamento seja desprezado, caracterizam-se por completo as condições de contorno (fronteira) para dois
planos condutores finitos e paralelos.
Teorema do Valor Médio e do Valor Máximo
A partir da equação de Laplace podem-se obter duas importantes propriedades da função potencial, para regiões sem
cargas:
1 - No centro de uma esfera ou círculo, o potencial Φ é igual à média dos valores assumidos sobre o círculo ou esfera;
2 - O potencial não pode ter máximo (ou mínimo) dentro da região. Logo, qualquer máximo de Φ deverá ocorrer na fronteira
da região. Φ
Equações de Poisson e de Laplace Eletromagnetismo Exercícios Resolvidos
Exercício 1: O potencial vale em 1Vn1 do círculo e zero no resto do círculo. Calcule o potencial no centro do círculo.
Considere toda a região desprovida de cargas.
(I):(I):
Resolução:
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Seja o potencial no centro. A equação de Laplace permite superposi- ção de soluções. Supondo n problemas do tipo (I), o
resultado será do tipo indicado (I). Devido à simetria rotacional, cada sub-problema de (I) fornecerá o mesmo potencial no
centro do círculo. O potencial total no centro será, as-
sim, . A solução única para (I) é círculo e, em particular, para o central. Então:
Equações de Poisson e de Laplace Eletromagnetismo
Exercício 2: Mostrar que é possível extrair o teorema do valor médio a partir do resultado anterior.
Resolução: (I):
Considerando o caso especial apresentado em (I), onde o potencial assume n valores diferentes em n segmentos iguais do
círculo: a superposição das soluções encontradas no problema anterior fornece para o potencial no centro:
Que é o teorema do valor médio nesse caso especial.
Com
, ou seja:
() φφφφφπ ∆+∆++∆+∆+∆= −
Que é a expressão geral do teorema do valor médio aplicado a um círculo.
Equações de Poisson e de Laplace Eletromagnetismo
Exercício 3: Provar que o potencial não pode possuir um valor máximo dentro de uma região desprovida de cargas.
Resolução:
Supondo que um máximo possa ser obtido num ponto interior P. Então, uma pequena esfera pode ser centrada em P tal que
o potencial em P seja maior que qualquer ponto na esfera. Portanto será maior que o valor médio do potencial sobre a esfera,
o que contraria o teorema do valor médio.
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PV não pode ser maior que QV
Equações de Poisson e de Laplace Eletromagnetismo
Representação da equação de Laplace / Poisson através de diferenças finitas
Solução numérica das equações de Poisson e Laplace:
- Método da diferença “para a frente”:
- Método da diferença “para trás”:
- Método da diferença “central”:
Equações de Poisson e de Laplace Eletromagnetismo Representando a função potencial Φ através da série de Taylor:
dhdx dhdx
hxhx termos de ordem superior(I)
Desprezando as derivadas de 3ª ordem bem como os termos de ordem superior:
2 x dx dhh xhxdx
Note que a equação (I) corresponde com a diferença “para a frente”, exceto pelo termos de segunda ordem.
dh Φ como um “erro”, este será tanto menor
quanto mais reduzido for h. Analogamente:
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dhdx dhdx d hxhx termos de ordem superior (I)
Desprezando os termos de 3ª ordem em diante:
2 x dx dhh hxxdx
Note que a equação (IV) corresponde com a diferença “para trás”, exceto pelo termo de 2ª ordem. Fazendo agora (I) - (I), tem
-se:
x dx dhdx d hhxhx (V)
Equações de Poisson e de Laplace Eletromagnetismo
dhh hxhxdx
A equação (VI) é semelhante àquela correspondente a “diferença central”, exceto pelo termo 3 dhΦ−.
Para valores de h pequenos, frequentemente utilizados em engenharia (0,1; 0,01; 0,001) o erro na utilização da “diferença
central” é menor que aqueles associados às diferenças “para trás” e “para a frente”.
Para as derivadas de segunda ordem, e usando a “diferença central” e processamento análogo ao aqui efetuado, chega-se a:
h h dxddx d dx d hxhxx
Sabendo-se que o potencial Φ pode ser função de duas variáveis, x e y, tem-se as derivadas:
e
Genericamente:
Equações de Poisson e de Laplace Eletromagnetismo O que nos leva a:
e 2
∴2
Regras para utilização deste resultado:
1 - Dividir o domínio de interesse (onde a distribuição de potenciais deve ser determinada) em um gradeamento “fino”. A
técnica em estudo fornecerá os valores de Φ nos “nós” da grade considerada;
2 - Aplicar a equação do laplaciano em cada nó da grade, obtendo-se n equações associadas a n incógnitas (potenciais nos
nós);
3 - Resolver o sistema de equações, iterativamente ou empregando técnicas diretas.
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Equações de Poisson e de Laplace Eletromagnetismo Exercício Resolvido
Considere a região retangular mostrada na figura. Os potenciais elétricos estão especificados nos contornos. Utilize a
representação em diferenças finitas obtendo os potenciais dentro da região.
Resolução: 1) Definição do gradeamento: supondo h = 5cm, tem-se uma geometria 2 x 4:
Equações de Poisson e de Laplace Eletromagnetismo 2) Utilização da representação “diferenças finitas” para a equação de
Laplace:
3) Aplicação das equações em cada nó:
=Φ−Φ+++ ∴21.4Φ=Φ
=Φ−++Φ+Φ ∴0.4321=Φ+Φ−Φ
=Φ−+Φ) ∴100.432−=Φ−Φ
V79,1=Φ,V14,72=Φ e V79,263=Φ
Tem-se assim 3 equações e 3 incógnitas que, se resolvidas, fornecem:
4) Refazendo o problema com um “gradeamento mais fino”, por exemplo, h = 2,5cm, tem-se assim 21 equações e 21
incógnitas:
Equações de Poisson e de Laplace Eletromagnetismo
5) Representando matricialmente as 21 equações resultantes:
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A solução para o sistema de equações mostrado é (em volts):
Equações de Poisson e de Laplace Eletromagnetismo
Análise comparativa entre as técnicas analíticas e a numérica para o problema apresentado:
Valores dos
Potenciais
Erros Valores dos
Potenciais
Erros Solução Analítica Nó h = 5cm h = 2,5cm (manual)
9Φ 1,786 63% 1,289 17,8% 1,094
1Φ 7,143 30% 6,019 9,7% 5,489 13Φ 26,786 2,7% 26,289 0,75% 26,094
Quanto mais pontos, mais preciso será o resultado dos potenciais nos pontos, ou seja, mais próximo da solução analítica.
Equações de Poisson e de Laplace Eletromagnetismo Exercício Proposto
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