04 Equacoes Poisson

Equações de Poisson e de Laplace Eletromagnetismo Equações de Poisson e de Laplace

Lei de Gauss (Forma Pontual) = 1ª Equação de Maxwell: VDρ=·∇G

Como ED

Logo:ε

Mudança de notação a partir deste ponto: “V” passa a ser identificado como “Φ” (não confundir com φ das coordenadas

cilíndricas e esféricas).

Para 0=Vρ:Equação de Laplace 02=Φ∇Equações de Poisson e de Laplace Eletromagnetismo Cálculo do Laplaciano

1 - Coordenadas Cartesianas:

2 - Coordenadas Cilíndricas:

3 - Coordenadas Esféricas:

senrsen senrrr r

Equações de Poisson e de Laplace Eletromagnetismo Exercícios Resolvidos

Exercício 1: No capacitor esférico na figura, o condutor interno é mantido no potencial V, enquanto que o condutor externo

está aterrado (). Usar a equação de Laplace e as equações de contorno dadas para obter a distribuição de potenciais e os

campos elétricos no espaço entre os condutores. Obter também a capacitância da montagem. Discutir os resultados.

Resolução:

eletromagnetismo engenharia...

R$ 35,00

soft foxtab com Ads by Google

ESTATÍSTICAS

3628 visitas

333 downloads

comentários

TAGS

DESCRIÇÃO

ELETROMAGNETISMO CAP IV

ARQUIVOS SEMELHANTES

Este livro versa a sentença normtiva em sua atualidade e função, alic

Ótima apostila de introdução a transformada de laplace

Resolução de EDOs

Quando o modelo matemático de um fenômeno é constituído de equações diferenciais onde o tempo é uma...

Apostila de equações diferenciais produzida pelo Professor Mestre Luiz Fernando Provenzano do Dep. de...

Formulario Eletromagnetismo - 20 Pag

Transformada de Laplace Revisão direcionada sobre

Revisão direcionada sobre Transformada de Laplace

Transformada de Laplace Revisão direcionada sobre

Sentença Normativa, Da - À Luz da Emenda Constitucional 45/04

Introdução a Transformada de Laplace

Resolução de EDOs

Transformada e Transformada Inversa de Laplace

Introdução a Equações Diferenciais

Formulario Eletromagnetismo - 20 Pag

Transformada de Laplace

Transformadas de Laplace

Transformada de Laplace

Download

04 - Equações de Poisson e de Laplace

Enviado por: DAVID LAMARCA DE OLIVEIRA | comentários

Arquivado no curso de Engenharia Elétrica na USJT

Material de Estudo

Comunidade Acadêmica Buscar arquivos, pessoas, cursos… Login Cadastro

Página 1 de 1404 - Equações de Poisson e de Laplace

08/03/2012http://www.ebah.com.br/content/ABAAAAU5MAJ/04-equacoes-poisson-laplace

Devido à simetria esférica, o potencial elétrico é independente de φ e θ, ou seja, o Laplaciano se torna:

d r

E:0122=⎜⎠⎞⎜⎝d r drd r

A solução geral desta equação é da forma: B r A+=Φ em que A e

B são duas constantes arbitrárias que serão determinadas a partir das condições de contorno.

Equações de Poisson e de Laplace Eletromagnetismo

Na superfície do condutor interno, r = a e V=Φ: B a AV+=.

Pela segunda condição de contorno (fronteira), tem-se r = b e , logo: 0=Φ

Resolvendo o sistema de equações:

1e

O potencial Φ (distribuição de potenciais) resulta:

=Φ br

A distribuição de campos elétricos pode ser obtida a partir de: Φ∇−=G E.

Deste modo, tem-se:

rar E G ∂ Φ∂−=, pois Φ varia apenas com r.

Logo:ra

VE G 2

Para o cálculo da capacitância, deveremos obter o valor da carga armazenada no capacitor. Para isto, convém aplicar a Lei

de Gauss:


Inserir Descrição

AutodidataEditora com br/CAIXA-2012 Ads by Google

Transformada Laplace Directa



201

A capacitância é a relação entre a carga e a ddp aplicada, ou seja:


Exercício 2: Considere um capacitor de placas planas e paralelas composto por duas camadas dielétricas. Obtenha a

distribuição de potenciais, campos elétricos e capacitância empregando equações de Laplace e condições de contorno

(fronteira).

Resolução:

( ) ( )122111dzzEdzzE === εε

dzdz gradgrad==Φ=Φεε

21εε=

Ou seja: FA..21εε=e AF21εε=




Tem-se então:

d zVz ++

εe ()

ddzV

() z a d

=Φ∇−=e ()zza

ddVC VÁreaddp

QC S áreadeunidadepor

Equações de Poisson e de Laplace Eletromagnetismo Exercício 3: Análise do caso do capacitor cilíndrico.

Neste caso a equação de Laplace se simplifica de modo que:

Φ∂∂∂ρρρρou seja, 01=⎜⎜⎠⎞⎜⎜⎝

Integrando: A d d=Φρρ

Rearranjando e integrando mais uma vez, tem-se:

ρρ Ad d =Φ




As superfícies equipotenciais são dadas por ρ = constante e são cilindros. Para em 0V=Φa=ρ e 0=Φ em b=ρ:

Resolvendo: b a

b VAln.0

Então: b a b V

b V a b ln ln0 ρ

Para o campo elétrico: ρρa d

bV d d G

Ou seja: ρρa a

Equações de Poisson e de Laplace Eletromagnetismo Cálculo da capacitância:

b a

Dn a ln.



Assumindo L = 1m:

b a

Como a capacitância é dada pela relação entre a carga armazenada e a ddp aplicada:

b C

Para um comprimento “L” genérico:


Exercício 4: Considerando agora uma distribuição tal que Φ seja função apenas de φ, em coordenadas cilíndricas, como

mostra a figura:

Nota-se a presença de dois planos infinitos radiais com um ângulo interno α. Há um isolante infinitesimal em 0=ρ. O campo

potencial pode ser encon- trado aplicando-se a equação de Laplace em coordenadas cilíndricas, conforme descrito a seguir:

A solução é do tipo BA+=Φφ.. As condições de contorno permitem determinar as constantes A e B:

0VA=e 0=B


Ou seja: φα 0V=Φ

Comoe Φ−=gradEG

zaz aagrad

Sendo que apenas as componentes em φaG interessam:



Assim:φραaVE

Notar que EG é função de ρ mas não de φ, apesar de estar orientado segundo . Notar também como as equipotenciais de

distribuem, em planos in- termediários que “cortam” as linhas de campo elétrico sempre perpendicularmente. Esta é uma

característica básica do comportamento de

EG e Φ:

Equações de Poisson e de Laplace Eletromagnetismo Exemplo de Solução da Equação de Poisson

A região entre dois cilindros condutores coaxiais, com raios a e b, conforme mostrado na figura, contém uma densidade

volumétrica de carga uniforme

Vρ. Se o campo elétrico EG e o potencial Φ são ambos nulos no cilindro interno, determinar a expressão matemática que

fornece o potencial Φ na região entre os condutores assumindo que sua permissividade seja igual à do vácuo.

Resolução:

20ρερρρ

Sabe-se que: Φ∇−=G E

Logo:ρρaE

Equações de Poisson e de Laplace Eletromagnetismo 1ª Condição de contorno: obtenção de “A”: 0=E para a=ρ:

Logo:



Então:ρερρερ

Integrando: BaVV++−=Φρε ρρερ

2ª Condição de contorno: obtenção de “B”: 0=Φ para a=ρ:

a aaB V ln

Concluindo: a a V ln

. ln

Teorema da Unicidade

Qualquer solução das equações de Poisson e Laplace que também satisfaz as condições de contorno deverá ser a única

solução existente.

Exemplo: Plano condutor z = 0 com tensão de 100 V:


Conclusão: Uma única superfície condutora, com uma tensão especifica e nenhuma referência dada, não forma uma

caracterização completa das condições de contorno de uma região definida. Mesmo dois planos condutores finitos paralelos

não formam uma fronteira, já que não se pode determinar o espraiamento do campo nas proximidades dos lados (bordas).

Supondo que o espraiamento seja desprezado, caracterizam-se por completo as condições de contorno (fronteira) para dois

planos condutores finitos e paralelos.

Teorema do Valor Médio e do Valor Máximo

A partir da equação de Laplace podem-se obter duas importantes propriedades da função potencial, para regiões sem

cargas:

1 - No centro de uma esfera ou círculo, o potencial Φ é igual à média dos valores assumidos sobre o círculo ou esfera;

2 - O potencial não pode ter máximo (ou mínimo) dentro da região. Logo, qualquer máximo de Φ deverá ocorrer na fronteira

da região. Φ

Equações de Poisson e de Laplace Eletromagnetismo Exercícios Resolvidos

Exercício 1: O potencial vale em 1Vn1 do círculo e zero no resto do círculo. Calcule o potencial no centro do círculo.

Considere toda a região desprovida de cargas.

(I):(I):

Resolução:



Seja o potencial no centro. A equação de Laplace permite superposi- ção de soluções. Supondo n problemas do tipo (I), o

resultado será do tipo indicado (I). Devido à simetria rotacional, cada sub-problema de (I) fornecerá o mesmo potencial no

centro do círculo. O potencial total no centro será, as-

sim, . A solução única para (I) é círculo e, em particular, para o central. Então:


Exercício 2: Mostrar que é possível extrair o teorema do valor médio a partir do resultado anterior.

Resolução: (I):

Considerando o caso especial apresentado em (I), onde o potencial assume n valores diferentes em n segmentos iguais do

círculo: a superposição das soluções encontradas no problema anterior fornece para o potencial no centro:

Que é o teorema do valor médio nesse caso especial.

Com

, ou seja:

() φφφφφπ ∆+∆++∆+∆+∆= −

Que é a expressão geral do teorema do valor médio aplicado a um círculo.


Exercício 3: Provar que o potencial não pode possuir um valor máximo dentro de uma região desprovida de cargas.

Resolução:

Supondo que um máximo possa ser obtido num ponto interior P. Então, uma pequena esfera pode ser centrada em P tal que

o potencial em P seja maior que qualquer ponto na esfera. Portanto será maior que o valor médio do potencial sobre a esfera,

o que contraria o teorema do valor médio.



PV não pode ser maior que QV


Representação da equação de Laplace / Poisson através de diferenças finitas

Solução numérica das equações de Poisson e Laplace:

- Método da diferença “para a frente”:

- Método da diferença “para trás”:

- Método da diferença “central”:

Equações de Poisson e de Laplace Eletromagnetismo Representando a função potencial Φ através da série de Taylor:

dhdx dhdx

hxhx termos de ordem superior(I)

Desprezando as derivadas de 3ª ordem bem como os termos de ordem superior:

2 x dx dhh xhxdx

Note que a equação (I) corresponde com a diferença “para a frente”, exceto pelo termos de segunda ordem.

dh Φ como um “erro”, este será tanto menor

quanto mais reduzido for h. Analogamente:



dhdx dhdx d hxhx termos de ordem superior (I)

Desprezando os termos de 3ª ordem em diante:

2 x dx dhh hxxdx

Note que a equação (IV) corresponde com a diferença “para trás”, exceto pelo termo de 2ª ordem. Fazendo agora (I) - (I), tem

-se:

x dx dhdx d hhxhx (V)


dhh hxhxdx

A equação (VI) é semelhante àquela correspondente a “diferença central”, exceto pelo termo 3 dhΦ−.

Para valores de h pequenos, frequentemente utilizados em engenharia (0,1; 0,01; 0,001) o erro na utilização da “diferença

central” é menor que aqueles associados às diferenças “para trás” e “para a frente”.

Para as derivadas de segunda ordem, e usando a “diferença central” e processamento análogo ao aqui efetuado, chega-se a:

h h dxddx d dx d hxhxx

Sabendo-se que o potencial Φ pode ser função de duas variáveis, x e y, tem-se as derivadas:

e

Genericamente:

Equações de Poisson e de Laplace Eletromagnetismo O que nos leva a:

e 2

∴2

Regras para utilização deste resultado:

1 - Dividir o domínio de interesse (onde a distribuição de potenciais deve ser determinada) em um gradeamento “fino”. A

técnica em estudo fornecerá os valores de Φ nos “nós” da grade considerada;

2 - Aplicar a equação do laplaciano em cada nó da grade, obtendo-se n equações associadas a n incógnitas (potenciais nos

nós);

3 - Resolver o sistema de equações, iterativamente ou empregando técnicas diretas.



Equações de Poisson e de Laplace Eletromagnetismo Exercício Resolvido

Considere a região retangular mostrada na figura. Os potenciais elétricos estão especificados nos contornos. Utilize a

representação em diferenças finitas obtendo os potenciais dentro da região.

Resolução: 1) Definição do gradeamento: supondo h = 5cm, tem-se uma geometria 2 x 4:

Equações de Poisson e de Laplace Eletromagnetismo 2) Utilização da representação “diferenças finitas” para a equação de

Laplace:

3) Aplicação das equações em cada nó:

=Φ−Φ+++ ∴21.4Φ=Φ

=Φ−++Φ+Φ ∴0.4321=Φ+Φ−Φ

=Φ−+Φ) ∴100.432−=Φ−Φ

V79,1=Φ,V14,72=Φ e V79,263=Φ

Tem-se assim 3 equações e 3 incógnitas que, se resolvidas, fornecem:

4) Refazendo o problema com um “gradeamento mais fino”, por exemplo, h = 2,5cm, tem-se assim 21 equações e 21

incógnitas:


5) Representando matricialmente as 21 equações resultantes:



A solução para o sistema de equações mostrado é (em volts):


Análise comparativa entre as técnicas analíticas e a numérica para o problema apresentado:

Valores dos

Potenciais

Erros Valores dos

Potenciais

Erros Solução Analítica Nó h = 5cm h = 2,5cm (manual)

9Φ 1,786 63% 1,289 17,8% 1,094

1Φ 7,143 30% 6,019 9,7% 5,489 13Φ 26,786 2,7% 26,289 0,75% 26,094

Quanto mais pontos, mais preciso será o resultado dos potenciais nos pontos, ou seja, mais próximo da solução analítica.

Equações de Poisson e de Laplace Eletromagnetismo Exercício Proposto



Comentários

Pesquisar…

O Ebah é uma rede social dedicada exclusivamente ao

campo acadêmico e tem como principal objetivo o

compartilhamento de informação e materiais entre alunos

e professores.

Saiba mais »

Sobre o Ebah:

O que é o Ebah?

Perguntas frequentes

Ajude-nos a melhorar

Imprensa

Termos e Privacidade

Cursos:

Agrárias

Artes

Biológicas

Engenharias

Exatas

Humanas e Sociais

Fique ligado:

Alguns direitos reservados.

© 2006-2012

-->



Documents

04 Equacoes Poisson