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04 - Equaes de Poisson e de LaplaceEnviado por: DAVID LAMARCA DE OLIVEIRA | comentrios Arquivado no curso de Engenharia Eltrica na USJT

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Equaes de Poisson e de Laplace Eletromagnetismo Equaes de Poisson e de Laplace Lei de Gauss (Forma Pontual) = 1 Equao de Maxwell: VD=G

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Como ED

DESCRIO

ELETROMAGNETISMO CAP IV

ARQUIVOS SEMELHANTES

Sentena Normativa, Da - Luz da Emenda Constitucional 45/04Este livro versa a sentena normtiva em sua atualidade e funo, alic

Logo: Mudana de notao a partir deste ponto: V passa a ser identificado como (no confundir com das coordenadas cilndricas e esfricas).

R$ 35,00

Introduo a Transformada de Laplacetima apostila de introduo a transformada de laplace

Para 0=V:Equao de Laplace 02= Equaes de Poisson e de Laplace Eletromagnetismo Clculo do Laplaciano 1 - Coordenadas Cartesianas:

Resoluo de EDOsResoluo de EDOs

Transformada e Transformada Inversa de Laplace 2 - Coordenadas Cilndricas:Quando o modelo matemtico de um fenmeno constitudo de equaes diferenciais onde o tempo uma...

Introduo a Equaes Diferenciais 3 - Coordenadas Esfricas:Apostila de equaes diferenciais produzida pelo Professor Mestre Luiz Fernando Provenzano do Dep. de...

Formulario Eletromagnetismo - 20 PagFormulario Eletromagnetismo - 20 Pag

senrsen senrrr r Transformada de Laplace Equaes de Poisson e de Laplace Eletromagnetismo Exerccios Resolvidos Exerccio 1: No capacitor esfrico na figura, o condutor interno mantido no potencial V, enquanto que o condutor externo est aterrado (). Usar a equao de Laplace e as equaes de contorno dadas para obter a distribuio de potenciais e os campos eltricos no espao entre os condutores. Obter tambm a capacitncia da montagem. Discutir os resultados. Transformadas de LaplaceReviso direcionada sobre Transformada de Laplace Transformada de Laplace Reviso direcionada sobre

Transformada de LaplaceTransformada de Laplace Reviso direcionada sobre

Resoluo:

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Transformada Laplace DirectaInserir Descrio

Devido simetria esfrica, o potencial eltrico independente de e , ou seja, o Laplaciano se torna:

dr

E:0122= d r drd rAutodidataEditora com br/CAIXA-2012 Ads by Google

A soluo geral desta equao da forma: B r A+= em que A e B so duas constantes arbitrrias que sero determinadas a partir das condies de contorno. Equaes de Poisson e de Laplace Eletromagnetismo Na superfcie do condutor interno, r = a e V=: B a AV+=. Pela segunda condio de contorno (fronteira), tem-se r = b e , logo: 0=

Resolvendo o sistema de equaes:

1e O potencial (distribuio de potenciais) resulta:

= br A distribuio de campos eltricos pode ser obtida a partir de: =G E. Deste modo, tem-se: rar E G =, pois varia apenas com r. Logo:ra VE G 2

Para o clculo da capacitncia, deveremos obter o valor da carga armazenada no capacitor. Para isto, convm aplicar a Lei de Gauss: Equaes de Poisson e de Laplace Eletromagnetismo

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A capacitncia a relao entre a carga e a ddp aplicada, ou seja:

Equaes de Poisson e de Laplace Eletromagnetismo Exerccio 2: Considere um capacitor de placas planas e paralelas composto por duas camadas dieltricas. Obtenha a distribuio de potenciais, campos eltricos e capacitncia empregando equaes de Laplace e condies de contorno (fronteira).

Resoluo:

( ) ( )122111dzzEdzzE ===

dzdz gradgrad===

21= Ou seja: FA..21=e AF21= Equaes de Poisson e de Laplace Eletromagnetismo

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Tem-se ento:

d zVz ++ e () ddzV

() z a d ==e ()zza

ddVC Vreaddp QC S readeunidadepor Equaes de Poisson e de Laplace Eletromagnetismo Exerccio 3: Anlise do caso do capacitor cilndrico.

Neste caso a equao de Laplace se simplifica de modo que:

ou seja, 01=

Integrando: A d d= Rearranjando e integrando mais uma vez, tem-se: Ad d =

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Equaes de Poisson e de Laplace Eletromagnetismo As superfcies equipotenciais so dadas por = constante e so cilindros. Para em 0V=a= e 0= em b=:

Resolvendo: b a

b VAln.0 Ento: b a b V

b V a b ln ln0

Para o campo eltrico: a d

bV d d G

Ou seja: a a Equaes de Poisson e de Laplace Eletromagnetismo Clculo da capacitncia:

ba Dn a ln.

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Assumindo L = 1m: ba Como a capacitncia dada pela relao entre a carga armazenada e a ddp aplicada:

bC Para um comprimento L genrico:

Equaes de Poisson e de Laplace Eletromagnetismo Exerccio 4: Considerando agora uma distribuio tal que seja funo apenas de , em coordenadas cilndricas, como mostra a figura:

Nota-se a presena de dois planos infinitos radiais com um ngulo interno . H um isolante infinitesimal em 0=. O campo potencial pode ser encon- trado aplicando-se a equao de Laplace em coordenadas cilndricas, conforme descrito a seguir:

A soluo do tipo BA+=.. As condies de contorno permitem determinar as constantes A e B:

0VA=e 0=B

Equaes de Poisson e de Laplace Eletromagnetismo Ou seja: 0V=

Comoe =gradEG zaz aagrad Sendo que apenas as componentes em aG interessam:

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Assim:aVE Notar que EG funo de mas no de , apesar de estar orientado segundo . Notar tambm como as equipotenciais de distribuem, em planos in- termedirios que cortam as linhas de campo eltrico sempre perpendicularmente. Esta uma caracterstica bsica do comportamento de EG e :

Equaes de Poisson e de Laplace Eletromagnetismo Exemplo de Soluo da Equao de Poisson A regio entre dois cilindros condutores coaxiais, com raios a e b, conforme mostrado na figura, contm uma densidade volumtrica de carga uniforme V. Se o campo eltrico EG e o potencial so ambos nulos no cilindro inter- no, determinar a expresso matemtica que fornece o potencial na regio entre os condutores assumindo que sua permissividade seja igual do vcuo.

Resoluo:

20

Sabe-se que: =G E

Logo:aE

Equaes de Poisson e de Laplace Eletromagnetismo 1 Condio de contorno: obteno de A: 0=E para a=:

Logo:

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Ento:

Integrando: BaVV++= 2 Condio de contorno: obteno de B: 0= para a=:

a aaB V ln Concluindo: a a V ln . ln

Teorema da Unicidade Qualquer soluo das equaes de Poisson e Laplace que tambm satisfaz as condies de contorno dever ser a nica soluo existente. Exemplo: Plano condutor z = 0 com tenso de 100 V: Equaes de Poisson e de Laplace Eletromagnetismo

Concluso: Uma nica superfcie condutora, com uma tenso especifica e nenhuma referncia dada, no forma uma caracterizao completa das condies de contorno de uma regio definida. Mesmo dois planos condutores finitos paralelos no formam uma fronteira, j que no se pode determinar o espraiamento do campo nas proximidades dos lados (bordas). Supondo que o espraiamento seja desprezado, caracterizam-se por completo as condies de contorno (fronteira) para dois planos condutores finitos e paralelos. Teorema do Valor Mdio e do Valor Mximo A partir da equao de Laplace podem-se obter duas importantes propriedades da funo potencial, para regies sem cargas: 1 - No centro de uma esfera ou crculo, o potencial igual mdia dos valores assumidos sobre o crculo ou esfera; 2 - O potencial no pode ter mximo (ou mnimo) dentro da regio. Logo, qualquer mximo de dever ocorrer na fronteira da regio. Equaes de Poisson e de Laplace Eletromagnetismo Exerccios Resolvidos Exerccio 1: O potencial vale em 1Vn1 do crculo e zero no resto do crculo. Calcule o potencial no centro do crculo. Considere toda a regio desprovida de cargas. (I):(I): Resoluo:

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Seja o potencial no centro. A equao de Laplace permite superposi- o de solues. Supondo n problemas do tipo (I), o resultado ser do tipo indicado (I). Devido simetria rotacional, cada sub-problema de (I) fornecer o mesmo potencial no centro do crculo. O potencial total no centro ser, as-

sim, . A soluo nica para (I) crculo e, em particular, para o central. Ento:

Equaes de Poisson e de Laplace Eletromagnetismo Exerccio 2: Mostrar que possvel extrair o teorema do valor mdio a partir do resultado anterior. Resoluo: (I):

Considerando o caso especial apresentado em (I), onde o potencial assume n valores diferentes em