Document04

Aulas nº 23 e 24

13 de Outubro de 2011

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Combinações, Arranjos e Permutações

Análise Combinatória é um conjunto de procedimentos que possibilita a construção de grupos diferentes formados por um número finito de elementos de um conjunto sob certas circunstâncias. Na maior parte das vezes, consideram-se conjuntos Z com m elementos e os grupos formados com elementos de Z terão p elementos, isto é, p será a taxa do agrupamento, com p<m. Arranjos, Permutações ou Combinações, são os três tipos principais de agrupamentos, sendo que eles podem ser simples, com repetição ou circulares. Apresentam-se alguns detalhes de tais agrupamentos.

Análise Combinatória

3

12321

10

7201234566

2412344

...nnn!n

!

!

!

DEFINIÇÃO DE n! n fatorial

4

Permutação

Denomina-se permutação de n elementos dados a toda sequência de n termos formada com os n elementos dados. Todo problema onde apenas a ordem em que os elementos aparecem distingue os agrupamentos é utilizado o conceito de permutação. Define-se por permutação a expressão abaixo :

!nPn

Anagramas da palavra GESTO

120!5

5

5

P

n

Elementos Repetidos

3024023

923

9

!!

!P ,

Anagramas palavra CANDIDATA

2

3

2

1

n

n

!!..!

!

21 k

nnnn

nP

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Quantos números de 5 algarismos distintos podem ser formados, usando-se os algarismos 1, 3, 5, 7 e 9?

Exemplo 1:

!P 55

Cinco amigos, 2 raparigas e 3 rapazes vão ao cinema e sentam-se numa fila. De quantas formas se podem sentar se os rapazes ficam juntos e as raparigas também?

!! 322

Exemplo 2:



Cinco amigos, 2 raparigas e 3 rapazes vão ao cinema e sentam-se numa fila. De quantas formas se podem sentar se os rapazes ficam juntos?

!! 323

Exemplo 3:

Cinco amigos, 2 raparigas e 3 rapazes vão ao cinema e sentam-se numa fila. De quantas formas se podem sentar sabendo que as raparigas ocupam os dois extremos?

!! 32

Exemplo 4:

7

Arranjo Simples

Denomina-se arranjos simples de n elementos distintos tomados k a k às sequências

formadas de k termos distintos escolhidos entre os n elementos dados.

Nos problemas onde a ordem dos elementos é importante é utilizado o conceito de arranjo. Define-se por arranjo a expressão abaixo :

)!kn(

!nAk

n

Quantos arranjos podemos fazer com as letras A, B, C, D e E letras do alfabeto agrupando-as 3 a 3?

5n

3k

6012

12345

35

53

5

)!(

!A



Exemplo 5:

Quantos números de 3 algarismos podemos formar com os algarismos 1,2,3,4,5 e 7, sem repeti-los? Os números formados devem ter 3 algarismos, por exemplo 123. Invertendo-se a ordem destes algarismos, obtém-se novos números, portanto, o problema é de arranjo simples. Logo

1203

6 A



Com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6 são formados números de quatro algarismos distintos. Dentre eles, quantos são divisíveis por 5? Como os números devem ser divisíveis por 5, os mesmos devem obrigatoriamente terminar em 5, logo, dos 6 algarismos que tínhamos para trabalhar nos restam 5, dos quais vamos tomar 3 a 3. Se tomarmos uma das possíveis respostas, por exemplo 2345 e invertermos a ordem dos seus elementos teremos o número 4325

Exemplo 6:

603

5 A



Quantos números de 4 algarismos distintos podemos formar com os algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9?

Exemplo 7:

45369 3

9 A

Quantos são os números compreendidos entre 2000 e 3000, formados por algarismos distintos escolhidos entre 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9?

Exemplo 8:

3363

8 A



Quantos números pares de 4 algarismos distintos podemos formar com os algarismos 1, 2, 4, 5, 7, 8 e 9?

Exemplo 9:

3603 3

6 A

12 12

Arranjo com Repetição

Denomina-se arranjos com repetição de n elementos distintos tomados k a k às sequências formadas de k termos escolhidos entre os n elementos dados. O arranjo com repetição é usado quando a ordem dos elementos interessa e cada elemento pode ser contado mais de uma vez. Define-se por arranjo com repetição pela expressão abaixo :

k'

k

n nA

Quantos arranjos com repetição podemos fazer com as 26 letras do alfabeto agrupando-as 3 a 3?

26n3k

17576263

3

26 'A



Exemplo 10:

Quantos números de 3 algarismos podemos formar com os algarismos 1,2,3,4,5 e 7?

216633

6 'A

14

Denomina-se combinações de n elementos distintos tomados k a k aos conjuntos formados de k elementos distintos escolhidos entre os n elementos dados. Nos problemas onde a ordem dos elementos não interessa é utilizado o conceito de combinação. Define-se por combinação a expressão abaixo :

)!kn(!k

!nCk

n

Combinação

Quantas comissões de 3 elementos podemos formar com um grupo de 8 pessoas ?

5653

5678

383

83

8

!!

!

)!(!

!C

15

Exemplo 11: Num lote com 20 peças existem 5 defeituosas. Escolhe-se quatro peças do lote ao acaso, ou seja, uma amostra de 4 elementos, de modo que a ordem dos elementos seja irrelevante.

1) Quantas amostras de 4 elementos podemos escolher?

4845164

1617181920

4204

204

20

!!

!

)!(!

!C

2) Supõe que se quer calcular a probabilidade de se escolher duas peças defeituosas. Um princípio fundamental de contagem nos diz que, se uma tarefa pode ser executadas em duas etapas, a primeira podendo ser realizada de p maneiras e a segunda de q maneiras, então as duas podem ser realizadas

simultaneamente de p.q maneiras. Princípio multiplicativo.

Espaço Amostral

16

Maneiras de ter4 peças com 2 defeituosas e 2 boas é então

10502

5

2

15 CC

Formas de ter 2 peças defeituosas 1032

52

5 !!

!C

Formas de ter 2 peças boas 105132

152

15 !!

!C

Portanto, a probabilidade de se escolher duas peças defeituosas P(A) será

21704845

1050

4

20

2

5

2

15

,C

CC)A(P

Possibilidades de Ter duas defeituosas e duas boas



Quantas comissões constituídas de 3 pessoas podem ser formadas com 5 pessoas ?

103

5 C

Sobre uma reta, marcam-se 8 pontos e sobre uma outra reta, paralela à primeira, marcam-se 5 pontos. Quantos triângulos obteremos unindo 3 quaisquer desses pontos?

2203

5

3

8

3

13 CCC

Exemplo 12:

Exemplo 13:



Numa sala há 5 lugares e 7 pessoas. De quantos modos diferentes essas pessoas podem ser colocadas, ficando 5 sentadas e 2 em pé?

Exemplo 14:

252055

7 !C

Exemplo 15:

Considera todos os números de quatro algarismos que se podem formar com os algarismos de 1 a 9. 1) Determina a probabilidade de o número escolhido ter exatamente dois algarismos iguais a 1.

Número de casos possíveis: 656194

4

9 'A

Número de casos favoráveis: 38486 2

2

8

2

4 'AC

Probabilidade Pedida = %, 60606561

384

Exemplo 16:

Considera todos os números de quatro algarismos que se podem formar com os algarismos de 1 a 9. 2) Determina a probabilidade de o número escolhido ter os algarismos todos diferentes e ser maior que 9800.

Número de casos possíveis: 656194

4

9 'A

Número de casos favoráveis: 422

7 A

Probabilidade Pedida = 00606561

42,



Em resumo:



A partir da Página 56 do Manual adotado

Do exercício 74 ao 107

Ficha de Trabalho nº4

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FIM

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