04EngContII Transformada Z

ENGENHARIA DE CONTROLE IIENGENHARIA DE CONTROLE II

II. SISTEMAS DISCRETOS E AMOSTRADOSII.3. TRANSFORMADA Z E TRANSFORMADA

Z INVERSA

Engenharia de Controle e AutomaoProf. Andr Ferreira

TRANSFORMADA ZA t f d Z f t i t t A transformada Z uma ferramenta importante para anlise e projeto de sistemas discretos.

Com a transformada Z, possvel converter equaes de diferena lineares e invariantes no q tempo para equaes algbricas, alm de transformar operaes de convoluo em multiplicaomultiplicao.

Pode-se dizer que a transformada Z tem a mesma Pode se dizer que a transformada Z tem a mesma importncia para sistemas discretos que a transformada de Laplace tem para sistemas

t 2contnuos. 2

TRANSFORMADA Z: DEFINIO 1 Dada uma sequncia causal (nula para instantes

de tempo negativos) do tipo:

A sua transformada Z definida como: A sua transformada Z definida como:

OBS.: A varivel pode ser entendida como um 3operador de atraso de um intervalo de amostragem. 3

TRANSFORMADA Z: DEFINIO 2 Dada a seguinte representao de um trem de

impulsos de um sinal discreto:

A sua transformada de Laplace pode ser escrita como:

44

TRANSFORMADA Z: DEFINIO 2 Aplicando-se a seguinte igualdade:

Chega-se a expresso mostrada anteriormente:

55

EXEMPLO Para a sequncia abaixo, obtenha sua

transformada Z:

Aplicando a Definio 1:

66

CONCLUSES Embora a mesma transformada Z possa ser obtida

pelas duas maneiras mostradas anteriormente, cada uma tem suas vantagens e desvantagenscada uma tem suas vantagens e desvantagens.

Definio 1: Definio 1: Evita o uso de impulsos e da transformada de Laplace

Definio 2: Permite tratar Z como uma varivel complexap Possibilidade de usar as diversas propriedades da transformada

de Laplace (linearidade, deslocamento no tempo, etc.)77

CONCLUSES

Fica claro que possvel utilizar a transformada de Laplace para estudar sistemas discretos sistemas Laplace para estudar sistemas discretos, sistemas contnuos e sistemas mistos.

Entretanto, a transformada Z oferece uma grande simplificao na notao para sistemas discretos, p psimplificando bastante o esforo para anlise e projeto desses sistemas.

88

IDENTIDADES USADAS PARA DERIVARTRANSFORMADAS Z DE FUNES BSICAS

(I)

(II)

99

TRANSFORMADA Z DO IMPULSO UNITRIO Considerando o impulso discreto:

1010

TRANSFORMADA Z DO IMPULSO UNITRIOA li d D fi i 1 t f d Z d Aplicando a Definio 1, a transformada Z do impulso unitrio dada por:

A partir da Definio 2, pode-se fazer , o que leva seguinte transformada de Laplace:

A substituio por no causa nenhum efeito. Assim, a transformada Z obtida usando a Definio 2 apresenta o mesmo resultado da Definio 1. 1111

TRANSFORMADA Z DO DEGRAU UNITRIODISCRETO Considere a seguinte sequncia:

1212

TRANSFORMADA Z DO DEGRAU UNITRIODISCRETO Usando a Definio 1:

Aplicando a identidade (II), tem-se a seguinte forma fechada para a transformada Z do degrau

it i di tunitrio discreto:

1313

TRANSFORMADA Z DO DEGRAU UNITRIODISCRETO

OBS OBS.:

importante notar que a identidade (II) vlida apenas importante notar que a identidade (II) vlida apenas para |z| < 1. Isto significa que a transformada Z obtidaapresenta uma regio de convergncia fora dessa regio que no vlida.

A regio de convergncia deve ser dada claramente tomando-se a transformada nos dois lados de funes que tomando se a transformada nos dois lados de funes que apresentam valores no-nulos para tempos negativos.

P f t i l Porm, para funes temporais que so nulas para o tempo negativo, pode-se aplicar a transformada Z em apenas um dos lados e estender a regio de convergncia, com a transformada Z obtida sendo vlida em todo o 14com a transformada Z obtida sendo vlida em todo o plano-Z.

14

TRANSFORMADA Z DE UMA EXPONENCIALDISCRETA Seja:

1515

TRANSFORMADA Z DE UMA EXPONENCIALDISCRETA

A li d D fi i 1 Aplicando-se a Definio 1:

Usando-se a identidade (II), pode-se escrever:( ), p

Da mesma forma que para o degrau, pode-se estender a validade da transformada Z para todo o plano-Z, j 16p p , jque a funo nula para valores negativos. 16

PROPRIEDADES DA TRANSFORMADA Z

A transformada Z pode ser obtida a partir da t f d d L l t d transformada de Laplace, como mostrado na Definio 2.

D t f t f d Z tilh d Desta forma, a transformada Z compartilha de uma srie de propriedades que a transformada de Laplace apresentaLaplace apresenta.

1717

PROPRIEDADES DA TRANSFORMADA Z Linearidade:

Exemplo: h t f d Z d i l achar a transformada Z da sequncia causal:

Soluo:

1818

PROPRIEDADES DA TRANSFORMADA Z Atraso no tempo:

Exemplo: h t f d Z d i l achar a transformada Z da sequncia causal:

Soluo:

1919

PROPRIEDADES DA TRANSFORMADA Z Avano no tempo:

Prova: Aplicando a Definio 1 para uma funo discreta no tempo

avanada em um intervalo de amostragem, tem-se: g ,

2020

PROPRIEDADES DA TRANSFORMADA Z

Adicionando-se e subtraindo-se a condio inicial:

Alterando-se o ndice do somatrio para , pode-se reescrever a transformada Z como:

2121

PROPRIEDADES DA TRANSFORMADA Z Exemplo:

usando a propriedade de avano no tempo, ache a transformada Z da sequncia causal:transformada-Z da sequncia causal:

Soluo: a sequncia pode ser escrita na forma:

onde g(k) a funo exponencial g( ) p usando a propriedade de avano no tempo:

2222

PROPRIEDADES DA TRANSFORMADA Z Soluo mais simples:

Reescrever a sequncia na forma:

Aplicar a propriedade de linearidade da Aplicar a propriedade de linearidade da transformada Z:

2323

CONVOLUO (LEMBRETE!) C l d ti d d Convoluo um operador que, a partir de duas

funes, produz uma terceira. O conceito de convoluo est ligado ao de mdia mvel, sendo crucial no estudo de sistemas lineares invariantes no crucial no estudo de sistemas lineares invariantes no tempo.

A l d f f * El A notao para a convoluo de f e g f * g. Ela definida como a integral do produto de uma das funes com uma cpia invertida, com relao a um d t i d l d t A f lt t determinado plano, da outra. A funo resultante depende do valor deste deslocamento.

A definio de convoluo pode ser aplicada tanto para funes de contnuo quanto para funes de domnio discreto.

2424

PROPRIEDADES DA TRANSFORMADA Z Convoluo Discreta:

Prova: Suponha que o resultado da convoluo seja dado por {y(k)},

de tal forma que:q

25 com f(ki)=0, i > k (sequncia causal) 25

PROPRIEDADES DA TRANSFORMADA ZA i d l Y( ) f Assim, pode-se colocar Y(z) na forma:

Alterando o ndice do somatrio de k para j = (k i) tem se: Alterando o ndice do somatrio de k para j = (k i), tem-se:

2626


Ache a transformada Z da convoluo entre dois degraus amostradosdegraus amostrados.

Soluo:So o: Usando o teorema da convoluo, basta multiplicar as

transformadas Z de cada uma das funes:

2727

PROPRIEDADES DA TRANSFORMADA Z Multiplicao por um exponencial:

Prova:

Lado esquerdo

2828


Obtenha a transformada Z da seguinte sequncia exponencial:exponencial:

Soluo: Lembrando que a transformada Z do degrau amostrado

lvale:

Assim, f(k) pode ser reescrita como:

2929

PROPRIEDADES DA TRANSFORMADA ZA li d i d d d l i li Aplicando-se a propriedade da multiplicao por um exponencial:

OBS.: Lembre-se que conforme visto anteriormente:

3030

PROPRIEDADES DA TRANSFORMADA Z Diferenciao Complexa:

Prova:F d i i i l t 1 Fazendo inicialmente m = 1:

3131

PROPRIEDADES DA TRANSFORMADA ZS d d i l l Supondo agora que m pode assumir qualquer valor e definindo a seguinte sequncia:

Pode-se obter a seguinte transformada:

Substituindo Fm(z), tem-se:3232


Achar a transformada Z da rampa amostrada, representada pela sequncia:representada pela sequncia:

Soluo:So o: Lembrando que a transformada Z do degrau amostrado vale:

Pode-se reescrever f(k) como: Aplicando-se a propriedade da diferenciao complexa:

3333

TRANSFORMADA Z INVERSA P i i l it d t f d Z Principal propsito da transformada Z:

simplificar a soluo de problemas de tempo discreto. torna-se necessrio calcular a transformada Z inversa para obter a soluo

no domnio do tempo.

Transformada Z anloga transformada de Laplace: uma integral complexa pode ser utilizada para se obter a uma integral complexa pode ser utilizada para se obter a

transformada inversa; integral geralmente trabalhosa para ser resolvida e raramente

necessria em aplicaes de engenharia.

Duas maneiras mais simples de se obter a transformada Z: 1) Diviso longa (contnua):

d f l d t d i f d j d pode fornecer qualquer nmero de termos da srie que forem desejados.

2) Expanso em fraes parciais: similar transformada de Laplace inversa 34 similar transformada de Laplace inversa. 34

TRANSFORMADA Z INVERSA:DIVISO LONGA

Baseia-se na Definio 1, que relaciona uma srie t l t f d Z di t ttemporal com sua transformada Z diretamente.

U ili di i l b Utiliza-se a diviso longa para se obter tantos termos quanto forem desejados a partir da expanso da transformada Zexpanso da transformada Z.

Depois usando os coeficientes da expanso pode Depois, usando os coeficientes da expanso, pode-se escrever a sequncia no tempo.

3535

TRANSFORMADA Z INVERSA:DIVISO LONGA Procedimento:

1) Usando a diviso longa, expanda F(z) como uma srie para obter:

2) A transformada Z inversa pode ser representada pela sequncia:

3636


E l Exemplo: Obtenha a transformada Z inversa da funo abaixo:

Soluo: 1) Diviso longa: z + 1 / z2 + 0 2z + 0 1 1) Diviso longa: z + 1 /__ z + 0,2z + 0,1

z 0,2 0,1 z1 z1 + 0,8 z2 0,26 z3 + ...--------------------------

0 8 0 1 z10,8 0,1 z 0,8 0,16 z1 0,08 z2

-------------------------------- 0 26 z1 0 08 z20,26 z 0,08 z

0,26 z1 + 0,52 z2 + 0,026 z3--------------------------------------

0 44 z2 + 0 026 z3 370,44 z + 0,026 z...

37


Considerando apenas os 3 primeiros termos da sequncia, tem-se:

2) Aplicando-se a transformada inversa:

3838

TRANSFORMADA Z INVERSA:EXPANSO EM FRAES PARCIAIS Mt d id ti tili d bt d Mtodo quase idntico ao utilizado na obteno da

transformada de Laplace inversa.

Entretanto, como a maioria das funes que representam sistemas discretos possuem o termo z no seu numerador, geralmente mais conveniente

di F( )/ i d F( )expandir F(z)/z, ao invs de somente F(z).

Assim como para as transformadas de Laplace, a Assim como para as transformadas de Laplace, a expanso em fraes parciais permite que se escreva a funo original como uma soma de funes mais simples, cujas transformadas Z sejam funes no p , j j tempo discreto conhecidas.

As funes no tempo mais utilizadas assim como suas 39 As funes no tempo mais utilizadas, assim como suas transformadas Z so mostradas a seguir:

39

TABELA COM TRANSFORMADAS Z E DE LAPLACE

4040

TABELA COM TRANSFORMADAS Z E DE LAPLACETABELA COM TRANSFORMADAS Z E DE LAPLACE(CONTINUAO)

4141

TRANSFORMADA Z INVERSA:EXPANSO EM FRAES PARCIAIS Procedimento para obter a transformada Z inversa:

1) Achar a expanso em fraes parciais de F(z)/z ou F(z).2) Obt t f d i f(k) d t b l d 2) Obter a transformada inversa f(k) usando a tabela de transformadas Z.

Deve-se considerar trs tipos de funes F(z) no domnio Z:o o : a) funes com plos reais simples (no repetidos); b) funes com plos reais simples e plos complexos

conjugados; c) funes com plos repetidos.

4242

EXPANSO EM FRAES PARCIAIS:PLOS REAIS SIMPLES

Utili t d d d Utiliza-se o mtodo dos resduos.

O d d f F( ) l O resduo de uma funo F(z) para um plo simples zi dado por:

onde Ai o i-simo termo da expanso .

OBS.: Como a maioria das transformaes na b ld d f d Z i l i tabelda de transformadas Z inclui um termo z no

numerador, conveniente em muitos casos fazer a expanso de F(z)/z, como ser mostrado a seguir. 43expanso de F(z)/z, como ser mostrado a seguir. 43

EXEMPLO:PLOS REAIS SIMPLES Obter a transformada Z inversa de

Soluo: a) Expanso em fraes parciais de F(z)/z:

Os resduos (A, B e C) so dados por:

4444

EXEMPLO:PLOS REAIS SIMPLES

D f l i li d F( )/ Desta forma, multiplicando-se F(z)/z por z, tem-se:

Usando a tabela de transformadas Z, tem-se:

Mas como f(0) = 0, f(k) se reduz a:

4545


b) E f i i d F( ) b) Expanso em fraes parciais de F(z) :

Os resduos (A e B) podem ser calculados usando as expresses:

4646


D f d F( ) l Desta forma, a expanso de F(z) vale:

Usando a tabela de transformadas Z, tem-se:

Pode-se obter a transformada inversa usando a propriedade de atraso no tempo (slide 19), com f(k) sendo dada por:

4747

EXEMPLO:PLOS REAIS SIMPLES Recapitulando:

Usando F(z)/z:

Usando F(z): Usando F(z):

Variando-se k nas duas expresses, verifica-se que as p , qduas expresses so completamente equivalentes.

OBS.: Embora seja mais simples e direto obter a expanso em fraes parciais sem dividir a funo por z, existem situaes onde esta diviso ir simplificar 48, pbastante os clculos.

48

EXERCCIO Ache a transformada Z inversa de

Soluo:

4949

EXPANSO EM FRAES PARCIAIS:PLOS REAIS SIMPLES E PLOS COMPLEXOSPLOS REAIS SIMPLES E PLOS COMPLEXOSCONJUGADOS

Para os plos complexos conjugados, utilizam-se as seguintes relaes:

5050

EXEMPLO:PLOS REAIS SIMPLES E PLOS COMPLEXOSPLOS REAIS SIMPLES E PLOS COMPLEXOSCONJUGADOS

Obter a transformada Z inversa de

S l Soluo: Fazendo a expanso em fraes parciais de F(z)/z:

O resduo dos plos reais podem ser calculados como d imostrado para o caso anterior:

5151


O fi i A B d d i l d Os coeficientes A e B podem ser encontrados igualando-se os coeficientes da funo F(z)/z original com os da funo na forma expandida.

Desta forma, aps algumas manipulaes algbricas, tem-se:

De onde se obtm os valores de A e B:5252


M l i li d b id Multiplicando-se a expanso obtida por z, tem-se:

Os dois primeiros termos podem ser localizados facilmente na tabela de transformadas na tabela de transformadas.

O terceiro termo deve ser arrumado para que a tabela possa ser utilizada (slide 50).

Pode-se reescrever a frao envolvendo os plos complexos conjugados como:

5353


Os termos do denominador podem ser facilmente obtidos: Os termos do denominador podem ser facilmente obtidos:

Com:

Igualando os coeficientes de z no numerador, obtm-se:g ,

Resultando em:

Utilizando a tabela de transformadas Z, pode-se obter o valor de f(k), para k > 0:

5454

EXPANSO EM FRAES PARCIAIS:PLOS REPETIDOS Para o caso de plos de multiplicidade r:

Os coeficientes para os plos repetidos podem ser obtidos usando-se a expresso:

5555

EXEMPLO:PLOS REPETIDOS Obter a transformada Z inversa de

Soluo: Fazendo a expanso em fraes parciais de F(z)/z:

O resduo do plo em 0,5 vale:

5656

EXEMPLO:PLOS REPETIDOS

J d d l id d b id J o resduo dos plos repetidos podem ser obtidos como mostrado a seguir:

5757


M l i li d F( )/ d Multiplicando-se F(z)/z por z, pode-se escrever que:

Utilizando a tabela de transformadas, obtm-se:

5858


O S OBS.: Calculando f(k) para k = 0, 1 e 2, tem-se:

Assim a transformada inversa tambm pode ser expressa Assim, a transformada inversa tambm pode ser expressa por:

Esta soluo poderia ter sido obtida diretamente, utilizando a propriedade de atraso no tempo se ao invs de expandir a propriedade de atraso no tempo, se ao invs de expandir F(z) em fraes parciais, a funo fosse colocada na forma:

5959

TEOREMA DO VALOR INICIAL O valor inicial de um sinal causal (sinal nulo para

instantes de tempo negativos) dado por:

P Prova: Da definio de sinais causais:

A li d li it Aplicando-se o limite:

6060

TEOREMA DO VALOR FINAL Se uma sequncia possui um limite constante

quando k tende a infinito, ento:

Limitaes (casos onde limite no existe): Sequncia ilimitada (unbounded) Sequncia oscilatria

D tili d i t t i ! 61 Deve ser utilizada apenas para sistemas estveis! 61

EXEMPLO 1 TEOREMA DO VALOR FINAL Verifique a validade do teorema do valor final

para uma sequncia exponencial decrescente:

S l Soluo: Supondo a > 0 e usando a funo no domnio do tempo, tem-

se:

Usando o teorema do valor final: Usando o teorema do valor final:

6262

EXEMPLO 2 TEOREMA DO VALOR FINAL Obter o valor final da sequncia cuja transformada Z Obter o valor final da sequncia cuja transformada Z

dada por:

Soluo: Aplicando-se o teorema do valor final, tem-se:

OBS E di d F( ) f i i t t t OBS.: Expandindo-se F(z) em fraes parciais, tem-se trs termos: Degrau unitrio Exponencial bk

k Exponencial ck A validade do resultado depende da sequncia convergir para uma

sequncia constante quando k tende a infinito:6363

COMANDOS TEIS DO MATLAB Suponha a seguinte funo de transferncia no domnio Z: Suponha a seguinte funo de transferncia no domnio Z:

>> num = 5*[1 3]num =

5 155 15

>> den = [1 0.1 0.4 0]den =den =

1.0000 0.1000 0.4000 0

>> roots(den)( )ans =

0 0.0500 + 0.6305i

64 0.0500 0.6305i 64

COMANDOS TEIS DO MATLAB>> [ k] id ( d )>> [r, p, k] = residue(num, den)

r = 18.7500 2.4783i 18.7500 + 2.4783i37 5000 37.5000

p =p 0.0500 + 0.6305i 0.0500 0.6305i

0 0 k =

[ ] 65[ ] 65

COMANDOS TEIS DO MATLAB

>> g=tf(4,[1 2 4])

Transfer function:4

-------------s^2 + 2 s + 4

>> gd=c2d(g 0 1 'zoh')>> gd=c2d(g,0.1, zoh )

Transfer function:0.01867 z + 0.01746----------------------z^2 - 1.783 z + 0.8187

Sampling time: 0.1 66p g>>

66

COMANDOS TEIS DO MATLAB Outras funes:

T f d d i Z d i Transformao do domnio Z para o domnio s: d2c

Transformada Z e Transformada Z inversa (usando a toolbox de manipulao simblica): ztrans iztrans iztrans syms k n w z

6767

SOLUO DE EQUAES DE DIFERENA Q USANDO TRANSFORMADA Z Resolver a equao de diferena linear abaixo:

com as seguintes condies iniciais .

S l Soluo: Aplica-se a transformada Z em ambos os lados da equao:

Isolando-se a varivel de interesse X(z):

6868

SOLUO DE EQUAES DE DIFERENA Q USANDO TRANSFORMADA Z

A li f i i d X( )/ Aplica-se a expanso em fraes parciais de X(z)/z:

Calcula-se os resduos:

6969

SOLUO DE EQUAES DE DIFERENA Q USANDO TRANSFORMADA Z

O l O que resulta em:

Aplicando a transformada Z inversa, obtm-se a soluo da equao de diferena como:

7070

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