06 - Vibrao Livre Com amortecimento de Coulomb Com amortecimento histertico Com outros tipos de amortecimentoTeoria: Rao 2.7 a 2.8 Problemas: 2.89; 2.111 a 2.126

Amortecimento de Coulomb (ou constante)Resulta do atrito seco ou mal lubrificado entre duas superfcies slidas Lei de Coulomb: Quando duas superfcies slidas esto em contato, a fora necessria para produzir o deslizamento diretamente proporcional fora normal atuante no plano de contatoF = N

Sentido de F: contrrio ao da velocidade Superfcie de contato horizontal:F = W = mg

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Equao do Movimento (Modelo Matemtico)Caso 1: x positivo e dx/dt positivo ou x negativo e dx/dt positivo

Meio ciclo em que a massa vai da esquerda para a direitam x + kx = NSoluo (verificar por substituio):..

x(t ) = A1 cos n t + A2senn t

Nk

Caso 2:

x positivo e dx/dt negativo ou x negativo e dx/dt negativo

Meio ciclo em que a massa vai da direita para a esquerdam x + kx = NSoluo (verificar por substituio):..

x(t ) = A3 cos nt + A4senn t +

Nk

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Resumindo:

x(t ) = A1 cos n t + A2senn t

Nk

(caso 1)

x(t ) = A3 cos nt + A4senn t +(caso 2)

Nk

A cada meio-ciclo o movimento harmnico, com a posio de equilbrio (origem) mudando de N/k para - N/k:

Portanto, a cada ciclo completo a amplitude cai 4N/k, logo:

X m = X m 1

4 N k

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Parada do movimento:Ocorre quando a fora da mola for menor do que a fora de atrito:kx n N

xn

Nk

Quantidade de meios-ciclos, s, que ocorre antes que o movimento cesse: Amplitude ao final do s-simo meio-ciclo:Nk

x0 s

N

k 2 N k

= xs = x 0 s

2 N k

Amortecimento de Coulomb x Amortecimento ViscosoCaracterstica1. Modelo Matemtico 2. Freqncia 3. Movimento Peridico 4. Retorno ao repouso 5. Reduo da amplitude

CoulombSempre no-linear Natural n Sempre Sempre Linear

ViscosoLinear Amortecida d Nem Sempre Nunca Exponencial

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Resposta Livre com Amortecimento de Coulomb no Caso de Sistemas TorcionaisTodas as equaes obtidas para os sistemas translacionais so vlidas, bastando fazer as necessrias adaptaes: substituir x e suas derivadas por e suas derivadas m por J k por kt F de atrito por M de atrito

n =

k por n = m

kt J

Exemplo (Rao Ex. 2.14) - Polia com atritoUm eixo de ao de comprimento 1 m e dimetro 50 mm est fixado em uma extremidade e tem na outra extremidade uma polia de momento de inrcia 25 kg.m2. Um freio exerce um torque de atrito constante de 400 N.m ao longo da circunferncia da polia. Se a polia sofrer um deslocamento angular de 6o e for solta, determinar: (a) quantidade de ciclos at a polia parar; (b) posio final da polia. Soluo

0 (a)

kt =

GI p l

2T T = 400 N.m kt (8 x1010 )[ (0,05) 4 ] 32 = = 49087,5 N.m/rad 1

s

T kt

onde 0 = 6o = 0,10472 rad e

5

0,10472 s

400 49087,5 = 5,926 ( 2)(400) 49087,5

Assim, o movimento cessa aps cerca de 6 meios-ciclos (b) Posio final:

s = 0 s

2T kt

s = 0,10472 (6)

(2)(400) = 0, 006935 rad = 0,39734o 49087,5

Exemplo (Rao 2.120) Um sistema massa-mola (m = 5 kg, k = 10000 N/m) vibra livremente sobre uma superfcie rugosa. Se a fora de atrito vale 20 N e a amplitude da massa cai 50 mm em 10 ciclos, calcular o tempo decorrido nesses 10 ciclos. Soluo

n =

k 10000 = = 44,72 rad/s m 5

n =

2

n

=

2 = 0,14 s 44,72

Em 10 ciclos : (10)(0,14) = 1,4 s

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EXERCCIO SOBRE AMORTECIMENTO DE COULOMB Rao 2.89 As respostas livres de um motor eltrico pesando 500 N, montado sobre dois tipos diferentes de fundao, esto mostradas na figura. Identifique, em cada caso: (i) o tipo de amortecimento fornecido pela fundao, justificando; (ii) as freqncias da vibrao; (iii) a rigidez e o coeficiente de amortecimento.

Soluo

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Amortecimento Histertico (ou Estrutural)Resulta do atrito entre as molculas de um corpo quando o mesmo submetido a deformaes

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Relao do Amortecimento Histertico com o Amortecimento ViscosoSistema mola-amortecedor viscoso: Fora harmnica F(t):.

F ( t ) = kx + c x

Admitindo movimento harmnico:x(t ) = Xsent

F (t ) = kx + cX cos t = kx cX 1 sen 2t

F ( t ) = kx c X 2 x 2

Energia dissipada em 1 ciclo: dada pela rea da elipse inclinada, a qual dada pela equao

W = cX 2

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Sistema mola-amortecedor histertico:

F(t)

Comprovao experimental: a perda de energia em 1 ciclo devida ao atrito intermolecular no depende da freqncia , sendo aproximadamente proporcional ao quadrado da amplitude X

Tendo em vista a semelhana das figuras:

Adaptao:

W = cX 2h = c

Coeficiente de amortecimento histertico h:Logo:

W = hX 2

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Fator de amortecimento histertico (adimensional, corresponde ao viscoso): Em funo de , a perda de energia por ciclo vale

=

h k

W = kX 2Queda de Amplitude a cada ciclo

Xj X j +1

=

2 + 2

Decremento Logartmico da AmplitudeAqui tambm podemos definir

= ln

Xj X j +1

=

Freqncia da vibraoComo a resposta considerada harmnica, ela se d na freqncia natural do sistema:

n =

k m

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Exemplo (Rao Ex. 2.15) - Estimativas de e . Medies experimentais em uma estrutura produziram o diagrama foradeformao da figura. Estimar , e a queda de amplitude a cada ciclo

Soluo Estimativa de A energia dissipada por ciclo no amortecimento histertico dada pela rea do ciclo de histerese da figura, onde cada quadrado representa 100 x 2 = 200 N.mm, logo, como temos aproximadamente 12,25 quadrados:

W = (12,25)(200) = 2500 N.mm = 2,5 N.m

A rigidez equivalente pode tambm ser obtida a partir da figura, na qual vemos que a mxima deflexo X vale 0,008 m, correspondente a uma fora de 400 N. Portanto,

k=

400 = 50000 N/m 0,008

W = hX 2

h=

W

X

2

=

2,5 ( )(0,008 2 )

= 12433,95 N/m

=

h 12433,95 = = 0,24868 k 50000

Estimativa de

= = 0, 248679 = 0, 78125

Queda de amplitude a cada ciclo

X X

j

= e = e 0,78125 = 2,1842

j +1

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Coeficiente de Amortecimento Viscoso EquivalenteA considerao de amortecimento viscoso muito conveniente pois, como sabemos, o modelo matemtico representado por uma EDO Linear No caso de amortecimentos no-viscosos, tais como o amortecimento estrutural, podemos chegar a equaes diferenciais no-lineares, o que no possibilitaria o aproveitamento das equaes j obtidas para o caso viscoso Alternativa: calcular um coeficiente de amortecimento viscoso equivalente que tenha o mesmo efeito do amortecimento no-viscoso

O coeficiente de amortecimento viscoso equivalente, ceq, pode ser obtido igualando as energias dissipadas por ciclo nos dois casos (viscoso e noviscoso), conforme exemplos a seguirExemplo (Rao 2.117) Achar o coeficiente de amortecimento viscoso equivalente ao atrito de Coulomb, considerando vibrao harmnica. Soluo Deslocamento total por ciclo no amortecimento de Coulomb: 4X Energia dissipada por ciclo no amortecimento de Coulomb: W = (N)(4X) = 4NX Energia dissipada por ciclo no amortecimento viscoso: Igualando as duas energias dissipadas por ciclo:

W = ceq d X 22

c eq X

= 4 NX

c eq =

4N X

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Ex. 6.5 Caso histertico - Obter o coeficiente de amortecimento viscoso equivalente ao amortecimento histertico. Soluo Caso histertico: Caso viscoso:

W = hX 2W = c eq d X 2

Igualando as duas equaes:

ceq X 2 = hX 2

2 eq eq = = = 2 2 2

ceq =

h

OBSERVAO IMPORTANTES podemos usar um coeficiente com amortecimento viscoso equivalente a um amortecimento estrutural quando o sistema com amortecimento estrutural estiver sendo submetido a uma excitao harmnica

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EXERCCIO SOBRE AMORTECIMENTO HISTERTICO Rao 2.123 A figura mostra a curva experimental fora-deflexo para uma estrutura. Determinar: (a) Fator de amortecimento estrutural; (b) Decremento logartmico; (c) Fator de amortecimento viscoso equivalente. Soluo

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