MATEMÁTICA IIIAULA 06: PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM (PRINCÍPIO MULTIPLICATIVO)

EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃOANUAL

VOLUME 2

OSG.: 094045/15

01. I. Número de alunos convidados: 280 alunos

II. Número de possíveis respostas distintas:

Objeto Personagem Cômodo

5 × 6 × 9 = 270 respostas distintasP.F.C

Logo:10 alunos a mais do que possíveis respostas distintas.

Resposta: A

02. Para resolvermos este problema, é claro que temos duas possíveis situações a considerar, a saber: (i) aquela em que o primeiro algarismo é ímpar ou (ii) aquela em que o 1° algarismo é par. Note que, em ambas, a soma do segundo com o terceiro algarismo é, por hipótese, 5. Neste caso, levando em conta que para o 2° e o 3° algarismo só pode ser escolhido um entre os elementos do conjunto C = {0, 1, 2, 3, 4, 5}, segue que:• Número de sequências com 1° algarismo ímpar:

Algarismoímpar

Algarismoímpar

Algarismo de C cuja soma com o anterior

é 5Algarismo

de CQualqueralgarismo

5 5 =16 10 1500

• Número de sequências com 1° algarismo par:

Algarismopar

Algarismopar

escolhido por

primeiro

Algarismo de C cuja soma com o anterior

é 5Algarismo

de CQualqueralgarismo

5 1 =16 10 300

Assim, pelo princípio aditivo, concluímos que o número de combinações diferentes que atendem às condições estabelecidas pelo Dr. Z é igual a 1500 + 300 = 1800.

Resposta: C

03. Temos que:I. número de senhas iniciais:

↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10 = 106

II. número de senhas no novo sistema:

↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓62 × 62 × 62 × 62 × 62 × 62 = 626

Note que: 26 letras maiúsculas, 26 letras minúsculas e 10 algarismos.

III. coefi ciente de melhora =62

10

6

6

Resposta: A

04. Ação: 8 fi lmes (A) Comédia: 5 fi lmes (C) Drama: 3 fi lmes (D)

1º

A1

C1

A2

C2

A3

C3

A4

C4

A5

C5

A6

A7

A8

D2

D3

D1

2º 3º 4º 5º 6º 7º 8º 9º 10º 11º 12º 13º 14º 15º 16º

8 · 5 · 7 · 4 · 6 · 3 · 5 · 2 · 4 · 1 · 3 · 3 · 2 · 2 · 1 · 1

nº Possibilidades

8 7 6 5 4 3 2 1 5 4 3 2 1 3 2 1 8 58 5 3

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅! ! !

! !� ���� ���� � �� �� � ⋅⋅3!

Resposta: B

OSG.: 094045/15

Resolução – Matemática III

05. Para calcularmos o número de diferentes fi las que podemos formar, segundo as imposições do problema, é necessário avaliarmos as duas seguintes situações:

• 1ª Situação: Denise como última da fi la. Neste caso, temos três decisões a tomar, a saber:

Decisão 1

Escolher uma candidata para

ser a 1a da fi la, distinta de

Denise.

Decisão 2

Escolher uma candidata para ser a 2a da fi la, distinta da 1a e da 4a da fi la.

Decisão 3

Escolher uma candidata para ser a 3a da fi la, distinta da 1a da 2a e da 4a

da fi la.

Assim, como o número de maneiras de tomarmos as decisões 1, 2 e 3 são, respectivamente, 6, 5 e 4, concluímos, pelo princípio multiplicativo, que existem 6 · 5 · 4 = 120 fi las distintas com a Denise sendo a última.

• 2ª Situação: Ana, Beatriz ou Carla como última da fi la. Neste caso, temos quatro decisões a tomar, a saber:

Decisão 2

Escolher uma candidata para ser a 1a da fi la,

distinta da 4a da fi la e de Denise.

Decisão 3

Escolher uma candidata para ser a 2a da fi la, distinta da 1a e da 4a da fi la.

Decisão 4

Escolher uma candidata para ser a 3a da fi la, distinta da 1a da 2a e da 4a

da fi la.

Decisão 1

Escolher uma candidata entre Ana, Beatriz e

Carla, para ser a última da fi la.

Assim, como o número de maneiras de tomarmos as decisões 1, 2, 3 e 4 são, respectivamente, 3, 5, 5 e 4, concluímos, pelo princípio multiplicativo, que existem 3 · 5 · 5 · 4 = 300 fi las distintas com Ana, Carla ou Beatriz como última da fi la.

Losgo, tendo em vista o argumento precedente, segue, pelo princípio aditivo, que existem 120 + 300 = 420 maneiras distintas de se formar uma fi la nas condições impostas pelo problema.

Resposta: A

SM – 23/11/15 Rev.: KP09409415_fi x_Aula06 – Principio Fundamental da Contagem-Principio Multiplicativo