[1, · PDF filede A x B ao conjunto dos pontos do plano cartesiano associados a esses pares orde-nados. QUESTÕES Questão 01

Matemática Prof.: Joaqui m Rodrigues

1

PRODUTO CARTESIANO Dados dois conjuntos não vazios, A e B, chama-se produto cartesiano de A por B, e indica-se A x B, ao conjunto cujos elemen-tos são todos os pares ordenados que têm por abscissa um elemento de A e por orde-nada um elemento de B, ou seja:

}ByeAx/)y,x{(BA ∈∈=× NOTA: � Se A ou B for vazio, diremos que o produ-

to cartesiano A x B = ∅. � Se A ≠ B, então A x B ≠ B x A. � Podemos representar A x B por 2A . � Se A possui m elementos e B possui n

elementos, então A x B terá nm ⋅ ele-mentos.

Veja que é possível fazer a represen-tação gráfica do produto cartesiano. Como o produto cartesiano de A x B é um conjunto de pares ordenados chamaremos de gráfico de A x B ao conjunto dos pontos do plano cartesiano associados a esses pares orde-nados.

QUESTÕES Questão 01 Seja A = {−1, 0, 2} e B = {2, 3}, calcular: a) BA × b) AB × c) 2A d) 2B Questão 02 Dados A = {1, 2, 3} e B = {−5, 5}, determine: a) A x B b) B x A Questão 03 Dados A = {−1, 1, 2} e B = { 0, 1}, determine A x B. Questão 04 Um conjunto A possui 5 elementos e um conjunto b tem 6 elementos. Calcule o nú-mero de elementos de cada um dos seguin-tes conjuntos: a) BA × b) 2A c) 2B

Questão 05 Para os conjuntos A e B temos que o núme-ro de elementos de A é 3 e que o número de elementos de B é 2. Sabendo que A ∩ B = {2}, que (3, 4) ∈ A x B e ainda que A ∪ B = {1, 2, 3, 4}, ache A e B. Questão 06 Sabendo que a e B são dois conjuntos tais que: 1. (1, 7) e (5, 3) são elementos de A x B; 2. A ∩ B = {1, 3} Podemos afirmar com toda segurança que: a) A x B tem 8 elementos b) A x B tem mais de 8 elementos c) A x B tem pelo menos 8 elementos d) A x B não pode ter 9 elementos e) Nada se pode afirmar sobre o número de

elementos de A x B Questão 07 Marque a única opção falsa: a) se p)A(n = , então 22 p)A(n = b) se )AB(n)BA(n ×=× , então

ABBA ×=× c) se A = B, então A x B = B x A d) se x)A(n = e y)B(n = , então

yx)BA(n ⋅=× Questão 08 Se A = {1, 2, 6, 9} e B = {1, 6}, quantos ele-mentos tem o conjunto BC)BA( A×∩ ?

Questão 09 Se o conjunto A possui 2 elementos e o con-junto B possui 3 elementos, então o conjunto P(A x B) possui: a) 64 elementos b) 32 elementos c) 256 elementos d) 16 elementos e) 6 elementos Questão 10 Sendo [ ]3,1A = e B = {4}, representar no plano cartesiano, o gráfico de: a) A x B b) B x A


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Questão 11 Dados os conjuntos [ ]2,3A −= e B ={4}, represente no plano cartesiano: a) A x B b) B x A c) 2A Questão 12 Dados os conjuntos [ ]3,1A −= e [ )5,2B = represente no plano cartesiano: a) 2A b) A x B c) B x A Questão 13 Dados ] ]8,4A = e ] ]5,3B = , represente no plano cartesiano: a) A x B b) B x A c) 2B Questão 14 Dados [ [6,3A = e B = {1, 2, 3}, represente no plano cartesiano: a) A x B b) B x A Questão 15 Represente no plano cartesiano o gráfico de IR x {1}. Questão 16 O gráfico do produto cartesiano R x Z é for-mado por: a) uma faixa b) uma reta c) infinitas retas paralelas ao eixo x d) infinitas retas paralelas ao eixo y e) duas retas concorrentes Questão 17 O gráfico do produto 2IRIRIR =× é: a) uma reta b) todo o plano cartesiano c) três retas d) o conjunto formado pelos eixos x e y e) duas retas perpendiculares

Questão 18 Se [ ]1,1A −= e [ ]3,1B = , então o gráfico de A x B é: a) uma faixa vertical b) um conjunto de quatro pontos c) uma região quadrada d) uma região retangular não quadrada e) a reunião de duas retas horizontais Questão 19 Sendo [ )∞+= ,2A e [ )∞+= ,3B , então o gráfico de A x B é: a) uma faixa de pontos paralela ao eixo y b) uma região retangular c) uma faixa de pontos paralela ao eixo x d) uma região angular de abertura 90º e) a reunião de três segmentos de retas pa-

ralelas ao eixo y Questão 20 Sendo A, B e C três conjuntos quaisquer não vazios de um mesmo conjunto universo (U), então das sentenças abaixo, a que nunca é correta é: a) se A ≠ B, então A x B ≠ B x A b) A x (B ∩ C) = (A x B) ∩ (A x C) c) A x (B ∪ C) = (A x B) ∪ (A x C) d) A x (B x C) = (A x B) x C e) A x ∅ = ∅ x A = ∅ Questão 21 Se }3x1/IRx{A ≤≤∈= e B = {3}, o produto cartesiano A x B graficamente será:

y y

y y

x x

x x

3

3

3

3

3

3 3

3

1 1

1 1 2 2

0 0

0 0

a) b)

c) d)


3

Questão 32 Sendo [ ]4,1A = e [ ]3,1B = intervalos re-ais, a melhor representação do produto car-tesiano A x B é:

Questão 33 (PAES – UNIMONTES / 2000) Dados os conjuntos }4x3/IRx{A ≤≤−∈= e }3y2/IRy{B ≤<−∈= , a alternativa que representa A x B será:

Questão 34 (UFMT) O gráfico do produto cartesiano A x B é for-mado por 15 pontos distintos. Pode-se afir-mar que: a) A não é um conjunto unitário b) A possui 3 elementos e B possui 5 c) A é um conjunto de números inteiros d) A ≠ B e) A possui 15 elementos

Questão 35 (UFES) Se A = {0, 1, 2} e B = {0, 2, 4, 5}, então o número de elementos distintos do conjunto (A x B) ∪ (B x A) é: a) 4 b) 8 c) 12 d) 20 e) 24

a) y

c) y

b) y

d) y

0 1 4 0 1 4

0 1 4 0 1 4

3

1

3

1

3

1

3

1

x x

x x

a) b)

c) d)

y 4

−2

−3

3 x

y

3

−2 4 x −3

y y

x x

3

−3

−2 −2 −3

3

4


4

RELAÇÃO Em linguagem comum, sentenças como: � x é irmão de y � x é primo de y � x é maior que y � x é paralelo a y são denominadas relações entre x e y Em linguagem matemática, as sentenças dadas são chamadas sentenças abertas de duas variáveis, ou seja, são afirmações que não sabemos se são verdadeiras ou falsas; elas se tornam verdadeiras ou falsas quando atribuímos valores a x e a y.

Para conceituarmos, matematicamen-

te, uma relação, consideremos os conjuntos A = {2, 3, 5}, B = {1, 4, 6} e R o conjunto ver-dade da sentença x > y, com x ∈ A e y ∈ B. Temos R = {(2, 1); (3, 1); (5, 1); (5, 4)}, que é um subconjunto de A x B. Observe que o conjunto R pode ser descrito como {(x, y) ∈ A x B / x > y}. Dizemos então, que R é relação de A em B definida por x > y com x em A e y em B. Assim, podemos definir que: Relação de um conjunto A num conjunto B é todo subconjunto não vazio de A x B. Em linguagem matemática, podemos dizer que: R é relação de A em B, se e so-mente se: R ⊂ (A x B), R ≠ ∅.

DOMÍNIO, CONJUNTO IMAGEM E

REPRESENTAÇÃO GRÁFICA Seja R uma relação de A em B: � Domínio de R é um conjunto dos primei-

ros elementos dos pares pertencentes a R, que podemos representar por D(R).

� Conjunto imagem de R é o conjunto dos segundos elementos dos pares perten-centes a R, que vamos representar por Im(R).

Sendo R um subconjunto de A x B,

podemos representá-lo graficamente por di-agrama de flechas e por meio do diagrama cartesiano.

Questão resolvida Considerando os conjuntos: A = {0, 1, 2, 3} e B = {−2, −1, 0, 1, 2}, determine a relação: R = {(x, y) ∈ A x B / y = x − 2} Resolução A lei que define a relação R é y = x − 2 Formando todos os pares ordenados (x, y), tal que (x, x − 2), vamos encontrar a relação: R = {(0, −2); (1, −1); (2, 0); (3, 1)} Sua representação gráfica é: 1. através de diagramas

2. através do plano cartesiano

Domínio: D (R) A = {0, 1, 2, 3} Contra-domínio: CD (R) B = {−2, −1, 0, 1, 2} Imagem: Im (R) {−2, −1, 0, 1} Dessa forma, dizemos que −2 é imagem do elemento 0, que −1 é imagem de 1, que 0 é imagem de 2, e que 1 é imagem de 3. Como o elemento 2 do conjunto B não está rela-cionado com nenhum elemento de A, dize-mos que 2 ∉ Im (R).

0

1

2

3

−2

−1

2

3

2

A B

y

x 1 2 3

1

2

−1

−2

0


5

QUESTÕES Questão 01 Sejam A = {−4, −1, 4, 6}, B = {−3, −2, 0, 2, 3} e a relação R = {(a, b) ∈ A x B / a = 2b}. a) Determine R, D(R) e Im (R) b) Fazer os diagramas de flechas e cartesi-

ano Questão 02 Sejam A = {−2, 0, 1, 3}, B = {−4, −1, 2} e a relação R = {(x, y) ∈ A x B / x < y}. a) Determine R, D(R) e Im (R) b) Fazer os diagramas de flechas e cartesi-

ano Questão 03 Obter o gráfico cartesiano da relação defini-da por R = {(x, y) ∈ A x A / x = y}, sabendo que A = {1, 2, 3, 4, 5}. Questão 04 Obter o gráfico cartesiano da relação defini-da por R = {(x, y) ∈ A x A / x = y}, sabendo que [ ]5,1A = . Questão 05 Obter o gráfico cartesiano da relação defini-da por R = {(x, y) ∈ IR x IR / x = y}. Questão 06 Sejam os conjuntos A = {−2, −1, 0, 1, 2, 3} e B = {−1, 0, 2, 5}, determine: a) }2xy/BA)y,x{(R +=×∈= b) D(R) e Im (R) Questão 07 Sendo dados os conjuntos A = {−2, −1, 0, 1} e B = {−1, 0, 1, 2, 3, 4}, determine: a) }xy/BA)y,x{(R 2

1 =×∈= b) }5xy/BA)y,x{(R2 −=×∈= Questão 08 Sendo A = {0, 1, 2, 3, 4}, determine: a) }xy/A)y,x{(R 22

1 =∈=

b) }xy/A)y,x{(R 22 =∈=

c) }2xy/A)y,x{(R 23 −=∈=

Questão 09 Considere os conjuntos A = {x ∈ IN* / x ≤ 2} e B = {y ∈ IN / 2 ≤ y ≤ 4}.

a) Determine }5xy/BA)y,x{(R −=×∈= b) Determine o domínio e a imagem de R c) Represente R no plano cartesiano e por

meio de diagrama de flechas Questão 10 Considere os conjuntos A = {0, 1, 4, 5, 9, 10} e B = { −2, 0, 2, 3, 4, 5, 8}. Se F é uma rela-ção de A em B, que se define por 2xy += então o número de elementos de F é: a) 1 b) 4 c) 6 d) 16 e) 42 Questão 11 Observe o diagrama abaixo, que ilustra uma relação S do conjunto A = {1, 2, 3, 4} no con-junto B = {−1, 2, 0, 7, 9}. Marque a única afirmativa CORRETA: a) D(S) = {2, 4} e Im(S) = {−1, 0} b) D(S) = {2, 4} e Im(S) = {2, 7, 9} c) D(S) = {1, 3} e Im(S) = {2, 7, 9} d) D(S) = {1, 3} e Im(S) = {−1, 0} e) D(S) = A e Im(S) = B Questão 12 Observe o gráfico de uma relação F de IR em IR. O domínio e o conjunto imagem de F são, respectivamente, os intervalos: a) [ ) ( ]1,1e2,1 −− b) ] [ [ )2,1e2,0 − c) [ ) ] [2,1e0,1 −− d) [ ] [ )2,0e1,1− e) IReIR

4

3

2

1

A B

2

9

7

0

−1

y

x

2

−1

−1

1

0


6

FUNÇÃO Consideremos um conjunto A de cri-anças, que vamos supor filhos únicos, e B de homens, pais dessas crianças. Vamos estabelecer uma correspondência entre es-ses conjuntos associando a cada criança o respectivo pai. Como cada criança possui apenas um pai e cada homem é pai de apenas uma cri-ança, essa correspondência pode ser visua-lizada pelo diagrama: Observe que a todo elemento do con-junto A está associado um único elemento do conjunto B. Correspondências como essa se chamam FUNÇÕES ou APLICAÇÕES . Assim, para definir uma função, precisamos de: 1. Um conjunto A não vazio, denominado

domínio da função; 2. Um conjunto B não vazio, denominado

contra-domínio da função; 3. Uma regra (lei) que associa a todo ele-

mento do domínio, um único elemento do contra-domínio.

De modo geral, as funções são designadas por f e para indicar uma função como a do exemplo dado, escreve-se: f: A → B, definida pela regra: filho → pai Portanto, podemos dizer que uma função f é a relação que associa a cada elemento de um conjunto A um único elemento do con-junto B.

Note que

B em valores com

Aem definida está função a

e escrevemos f: A → B

Onde: 1. O conjunto de todos os elementos de B,

associados aos elementos de A, pela função f, é chamado imagem de f.

2. Se x é um elemento do domínio, a ima-gem de x, pela função f, ou o valor de f no elemento x é indicado por f(x).

3. Quando a imagem Im(f) é constituída somente de números, a função é chama-da numérica .

4. Convencionamos chamar o elemento ge-nérico do domínio de x e sua imagem de y. Assim, podemos escrever: 4x3y −= ou 4x3)x(f −=

QUESTÕES Questão 01 Considerando os conjuntos A = {−1, 0, 1, 2} e B = {−3, 0, 3, 6, 9, 10}, quais dos conjuntos a seguir são funções de A em B? a) F = {(−1, −3); (0, 0); (1, 3); (2, 6)} b) E = {(−1, 10); (0, 10); (1, 10); (2, 10)} c) H = {(−1, 0); (0, 0); (−1, 9); (2, 10); (1, 6)} d) K = {(−1, −3); (1, 3); (2, 9)} e) N = {(−1, 4); (2, 0); (0, 3); (3, 6); (1, 9)} Questão 02 Considere A = {a, b, c, d} e B = {1, 2, 3, 4, 5}. Assinale a única alternativa que define uma função de A em B. a) {(a, 1); (b, 3); (c, 2)} b) {(a, 3); (b, 1); (c, 5); (a, 1)} c) {(a, 1); (b, 1); (c, 1); (d, 1)} d) {(1, a); (2, b); (3, c); (4, d); (5, a)} Questão 03 Verificar se a adição é uma função no con-junto dos números naturais. Questão 04 A subtração é função em IN? Em qual parte do conjunto IN ela é operação fechada?

A (cria nças)

B (homens)


7

Questão 05 Quais dos gráficos abaixo, constituem fun-ção no intervalo [ ]5,1 ?

Questão 06 Através de um estudo sobre o consumo de energia elétrica de uma fábrica, chegou-se à equação t400C ⋅= , em que C é o consumo em kwh e t é o tempo em dias. a) Qual o consumo de energia elétrica des-

sa fábrica em 8 dias? b) Quantos dias são necessários para que o

consumo atinja 4.800 kwh? Questão 07 Um fazendeiro estabelece o preço da saca de café em função da quantidade de sacas adquiridas pelo comprador através da equa-

ção x

20050p += , em que p é o preço em

dólares e x é o número de sacas vendidas. a) Quanto deve pagar, por saca, um com-

prador que adquirir cem sacas? b) Quanto deve pagar, por saca, um com-

prador que adquirir duzentas sacas? c) Sabendo que um comprador pagou 50

dólares por saca, quantos sacas ele comprou?

Questão 08 Considere os conjuntos A = {0, −1, 1, −3, 3} e B = {0, 3, 27, −3, −9, 1}. Quais das rela-ções seguintes são funções de A em B? a) }x3y/BA)y,x({F 2=×∈= b) }xy/BA)y,x({G =×∈= c) }3yx/BA)y,x({H +>×∈= d) }3y/BA)y,x({R =×∈= Questão 09 Considere os conjuntos A = {−2, −1, 0, 1, 2} e B = {0, 1, 2, 3, 4, 5}. Determine o domínio, o contradomínio e o conjunto imagem da função }xy/BA)y,x({f 2=×∈= . Questão 10 Uma pessoa quer desenhar um retângulo com uma área de 50 cm2. Indica por x e y as medidas dos lados do retângulo, em cm. Pa-ra x, a pessoa pode escolher qualquer valor positivo. Escolhido o valor de x, calcula-se o valor de y para que a área seja de 50 cm2. Então a variável y depende de x. Escreva a lei de associação dessa função.

y

1 5 x

a)

y

1 5 x

b)

x 5

y

1

c)

y

1 5 x

d)


8

CÁLCULO DE IMAGEM Uma forma muito cômoda de definir uma função, dado o domínio A e o contra-domínio B, é dar a lei de associação através de uma equação com duas variáveis (nor-malmente x e y) em que a primeira variável (x), percorre o domínio e a segunda (y) per-corre o contradomínio. A variável x, que percorre o domínio chama-se variável independente, e a variá-vel y que percorre o contradomínio, chama-se variável dependente. Nessas condições, a imagem de um dado número x pela função f, constitui o valor da variável y para o dado valor da variável x. Podemos, portanto, cal-cular a imagem a partir de uma equação da-da.

QUESTÕES Questão 01 Se 3x5x3)x(f 2 +−= , calcule: a) f(2) b) f(−1) c) f(0) Questão 02 Considere as funções f e g, definidas por

5x3)x(f 2 −= e 1x4)x(g += , determine o valor de f(2) − g(−1). Questão 03

Se 1x1x2

)x(f+−= , então f(1):

a) não existe b) é 2

c) é 21

d) vale zero Questão 04 Seja a função f dada por 1x2)x(f 3 −= . Nes-sas condições f(0) +f(−1) + f(1) é igual a: a) −3 b) −1 c) 0 d) 1 e) 3

Questão 05 Se 3x2x)x(f 2 −+−= , calcule: a) f( −2) b) f(x − 2) c) f(2x + 1) Questão 06 Se 2x3)x(f += e ax2)x(g += , calcule “a” de modo que )2x3(g)4x2(f +=− . Questão 07 Dadas ax3)x(f += e 2bx)x(g += , calcule a e b de modo que f(2) = 10 e g(−3) = 8. Questão 08 Sendo as funções x2)x(f = e mx3)x(g += , determine m tal que 4)3(g)4(f =−+ . Questão 09 Dada a função 12x4x)x(f 2 −−= , determine os valores reais de x para que se tenha: a) f(x) = −15 b) f(x) = 0 Questão 10 Se bx3ax)x(f 2 +−= , calcule a e b sabendo que f(3) = 32 e f(−2) = 22. Questão 11 Se 1nxmx)x(f 2 −+= , calcule m e n saben-do que f(1) = 0 e f(2) = 7. Questão 12 Se 1x5x3)x(f 2 +−= e 16x3x2)x(g 2 +−= , calcule x tal que f(x) = g(x). Questão 13 Se 7x3)4x(f +=+ , calcule f(x). Questão 14 Determine f(2), sendo 1x)3x(f −=− . Questão 15 Dada a função 11x2)3x(f −=− , calcule f(3). Questão 16 Se 20x18x4)3x2(f 2 +−=− , calcule f(x).


9

Questão 17

Se 1

1

xxxx

)x(f −

−

−+= , calcule )2(f 5,0

Questão 18

Se 2

2

xxxx

)x(f −

−

+−= , calcule )2(f 4

Questão 20 Dados [ ]8,10A −= e [ ]100,0B = e a fun-ção }40x3)x(f/BA))x(f,x({f +=×∈= , cal-cule: a) )10(f − b) )2(f c) )0(f

d)

31

f

FUNÇÃO DEFINIDA POR PARTES Uma função f pode ser definida por uma lei formada por mais de uma sentença. Num subconjunto D1 do domínio ela é dada por uma certa lei, em outro subconjunto D2 ela é dada por outra lei, e assim por diante.

QUESTÕES Questão 01

Seja a função

>≤<−+

−≤−=

2xse,4

2x2se,5x2

2xse,x3x

)x(f

2

,

calcule f(1) − f(5) + f(−3). Questão 02

Seja a função

≥−−<≤−+

−<+−

=1xse,3x2x

1x3se,1x

3xse,1x3

)x(f3

2 ,

calcule f(2) + f(−4) − f(−3) + f(−1).

DOMÍNIO DE UMA FUNÇÃO Nem sempre uma dada equação, de-fine uma função. Há que se examinar sem-pre o domínio e o contradomínio. Numa fun-ção real f, o domínio D é o maior subconjun-to de IR, tal que a fórmula f(x) defina uma função. Questão Determinar o domínio de cada função: a) x)x(f = b) 6x3)x(f −=

c) 4x2x3

)x(f2 −

−=

d) 8x2)x(f +=

e) 6x3

1x2)x(f

−+=

f) x2

6x3)x(f

−=

TIPOS DE FUNÇÃO 1. Função injetora ou injetiva: uma função

é injetora ou injetiva se, e somente se, elementos diferentes do domínio têm imagens diferentes.

Observe que cada elemento do domí-nio tem imagem única, exclusiva. Note que “a” é imagem única do elemento “1” e de mais nenhum outro, assim também, o ele-mento “c” é imagem única de “2” e de mais ninguém e o elemento “d” é imagem única do elemento “3”.

A B

1

2

3

a

b

c

d


10

2. Função sobrejetora ou sobrejetiva: uma função é sobrejetora ou sobrejetiva se, e somente se, todo elemento do con-tradomínio é imagem de algum elemento do domínio.

Observe que nesse caso, todo elemento do con-tradomínio é i-magem de algum elemento do do-mínio, ou seja, não está sobran-do nenhum ele-

mento no contradomínio. 3. Função bijetora ou bijetiva: uma função

é bijetora ou bijetiva se, e somente se, é injetora e sobrejetora ao mesmo tempo.

Dessa vez, podemos perce-ber que a função é injetora, pois todo elemento do contradomínio é imagem de algum elemento do do-mínio e a função

também é sobrejetora, pois não sobram e-lementos no conjunto contradomínio. Logo, essa função será chamada de bijetora. 4. Função qualquer: quando não for nem

injetora, nem sobrejetora. Repare que nesse caso, a função não é in-jetora, pois o e-lemento “b” é imagem de “2” e também do

“3”. Também não é sobrejetora, pois está sobrando o elemento “d” no conjunto contra-domínio.

FUNÇÃO COMPOSTA Sejam as funções f e g, de IR em IR, definidas por 1x)x(f += e 2x)x(g = , vamos calcular f(2) e g[f(2)]. f(2) = 3 e g[f(2)] = g[3] = 9 Podemos observar que 3 é imagem de 2 pe-la função f e 9 é imagem de 3 pela função g. Assim, vamos considerar as funções f: A → B e g: B → C, temos que a função composta de g em f é a função gof: A → C, sendo gof(x) = g[f(x)]

QUESTÕES Questão 01 Dadas as funções 2x3)x(f −= , 1x)x(g 2 += e 3x2)x(h += , calcule: a) )x(fog b) )x(fohog c) )1(fohog − d) )2(hogof e) )1(gohof Questão 02 Se 9x6)x(fog += e 5x2)x(f −= , calcule

)x(g . Questão 03 Se 1x12)x(fog += e 1x4)x(g += , calcule f(x). Questão 04

Em relação à funções reais 2x1x

)x(f−+= com

x ≠ 0 e 3x2)x(g += , obtenha o domínio da função gof(x).

A B

1

2

3

a

b

c 4

A B

1

2

3

a

b

c

A B

1

2

3

a

b

c

4 d


11

PRODUÇÃO DA FUNÇÃO IDENTIDADE ATRAVÉS DA OPERAÇÃO COMPOSIÇÃO Função inversa: seja f: A → B uma função. Se existir a função g: B → A, de forma que gof = idA e fog = idB, dizemos que g: B → A é a função inversa f: A → B. Obs.: Dadas duas funções bijetoras f e g, temos 111 ofg)fog( −−− = . Regra prática para obtenção da função inversa: Dada a função bijetora f definida por y = f(x), para obtermos a função inversa

1f − , fazemos o seguinte: 1. trocamos x por y e y por x; 2. isolamos y

QUESTÕES Questão 01 Calcule as funções inversas de: a) 3x5)x(f −= b) x42y −=

c) 2x3y +=

d) 3 1x2y +=

e) 1x)x(f 3 +=

f) 5x2x3

)x(f+−=

g) 1x32x4

)x(f+−=

h) 1x3

x2y

−=

Questão 02 Determinar a inversa de 2x4x)x(f 2 +−= , sabendo que [ ) [ )∞+−→∞+ ,2,2:f .

PARIDADE DE FUNÇÃO Função par: uma função f(x) é par se, e somente se, f(−x) = f(x). Função ímpar: uma função f(x) é ímpar se, e somente se, f(−x) = −f(x).

CRESCIMENTO E DECRESCIMENTO Função crescente: dizemos que uma fun-ção y = f(x) , de A em B, é crescente em um intervalo [ ] Ab,a ⊂ se, e somente se, para qualquer x1 e x2 pertencentes ao intervalo [ ]b,a , temos )x(f)x(fxx 2121 >⇒> .

Perceba que de x1 para x2, houve um cres-cimento e também houve um crescimento de f(x1) para f(x2). Logo, quando a função cres-ce de um lado, a imagem também cresce do outro e se a função decresce, a imagem também decresce. Função decrescente: dizemos que uma função y = f(x) , de A em B, é crescente em um intervalo [ ] Ab,a ⊂ se, e somente se, para qualquer x1 e x2 pertencentes ao in-tervalo [ ]b,a , temos

)x(f)x(fxx 2121 >⇒> .

Perceba que de x1 para x2, houve um cres-cimento e também houve um crescimento de f(x1) para f(x2). Logo, quando a função cres-ce de um lado, a imagem também cresce do outro e se a função decresce, a imagem também decresce.

y

f(x1)

f(x2)

x1 x2 x

y

f(x2)

f(x1)

x1 x2 x


12

TESTES – FUNÇÃO Questão 01 Considere os conjuntos A = {−1, 0, 1, 2} e B = {−3, 0, 3, 6, 9, 10} e as relações: 1. {(−1, 3); (0, 0); (1, 3); (2, 6)} 2. {(−1, 10); (0, 10); (1, 10); (2, 10)} 3. {(−1, 0); (0, 0); (−1, 9); (2, 10); (1, 6)} 4. {(−1, −3); (1, 3); (2, 9)} 5. {(−1, 4); (2, 0); (0, 3); (3, 6); (1, 9)} São funções: a) apenas 1 e 2 b) apenas 2 e 3 c) apenas 3 e 4 d) apenas 2 e 5 Questão 02 Qual das relações abaixo, com S ⊂ A x B, lhe sugere uma função de A em B, sendo que A = {1, 2, 3, −3} e B = {0, 5, 6, 3, 8, −3}? a) S1 = {(1, 1); (2, 0); (3, 3); (−3, −3); (1, 0)} b) S2 = {(1, 0); (2, 0); (3, 0); (−3, 0)} c) S3 = {(1, 3); (2, 8); (3, 6); (1, 5)} d) S4 = {(1, 0); (2, 5); (−3, 3)} Questão 03 Seja a relação P = {(x, y) ∈ IN x IN / y = x − 5} O domínio desta relação é igual a: a) IN b) IN* c) IR d) {x ∈ IN / x ≥ 6} e) {x ∈ IN / x ≥ 5} Questão 04

Seja

−=∈=

2x42

y/IRxIR)y,x(f uma

relação. O domínio desta relação é igual a: a) IR+ b) IR* c) IR d) {x ∈ IR / x ≠ 2} e) {x ∈ IR / x ≠ 2 e x ≠ −2}

Questão 05

Se 1x1x2

)x(f+−= , então f(1) é igual a:

a) 2

b) 21

c) 0 d) −1

e) 21−

Questão 06 Seja a função dada por 1x2)x(f 3 −= . Então

f(0) + f(−1) +

21

f é igual a:

a) 43−

b) 4

15−

c) 4

19−

d) 4

17−

Questão 07

Se x23)x(f += , então [ ]2)2(f)2(f −+

será igual a: a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10 Questão 08

Sendo

x1

1

x1

1)x(f

−

+= , o valor de f(2) + 1 vale:

a) 32

b) 23

c) 2 d) 4


13

Questão 09 Considere a função 2x)x(f = . Nestas condi-ções, o valor de )nm(f)nm(f −−+ é igual a:

a) 22 n2m2 + b) 2n2 c) mn4 d) 2m2 e) 0 Questão 10

Se 7x21x2

)3x2(f+−=− , então f(0) vale:

a) 71−

b) 0

c) 71

d) 51

e) 51−

Questão 11 Sendo 1x6x4)3x2(f 2 ++=+ , ∀ x ∈ IR, en-tão )x1(f − vale:

a) 2x2 − b) 2x2 + c) 1xx2 −+ d) 4x2x3 2 +− Questão 12

Seja a função

≥<<−+

−≤−

=3xse,5

3x2se,1x2

2xse,3x

)x(f 2 .

Pode-se afirmar que )2(f)5(f2)(f −++π é igual a: a) 10 b) 13 c) 22 d) 25

Questão 13 Seja f uma função real de variável real tal que f(1) = 3 e f(x + y) = f(x) + f(y) para quais-quer x e y reais. Então o valor de f(2) é igual a: a) 1 b) 2 c) 3 d) 6 e) 8 Questão 14 Seja f: IN → Z uma função que verifica as seguintes condições: f(0) = 2, f(1) = 3 e )1n(f)n(f2)1n(f −−=+ . Então, pode-se afirmar que f(3) é igual a: a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7 Questão 15 Numa seqüência tem-se 1)n(f2)1n(f −=+ e f(1) = 4. O valor de f(3) é igual a: a) 13 b) 10 c) 8 d) 7 Questão 16 A função f: IR → IR é tal que ∀ x ∈ IR, temos

)x(f3)x3(f = . Se f(9) = 45, então f(1) vale: a) 5 b) 6 c) 7 d) 9 Questão 17 O domínio real da função 2x3)x(f += é: a) IR b) IR+

c)

−>∈

32

x/IRx

d)

−≥∈

32

x/IRx

e)

−<∈

32

x/IRx


14

Questão 18

Se 1x

xy

2 −−= , então o conjunto de todos os

números reais x para os quais y é real é: a) { }1xe0x/IRx −≠≤∈ b) { }1xe1x/IRx −≠≠∈ c) { }1xe0x/IRx −≠<∈ d) { }1x1/IRx <<−∈ Questão 19 Uma função que verifica a propriedade: “qualquer que seja x, f(−x) = −f(x) é: a) f(x) = 2 b) f(x) = 2x c) 2x)x(f =

d) x2)x(f = Questão 20 Qual das funções a seguir é par?

a) 2x

1)x(f =

b) x)x(f =

c) x1

)x(f =

d) 5x)x(f = Questão 21 A função que é ímpar é: a) 6x3)x(f =

b) 3xx)x(f 24 −+= c) 8x5)x(f −=

d) x2x)x(f 3 −= Questão 22 Dadas as funções f: IR → IR e g: IR → IR definidas por 5x)x(f 2 += e x4)x(g −= , veri-fique qual é a afirmação correta: a) f e g são funções pares b) f e g são funções ímpares c) f é função par e g é função ímpar d) f é função ímpar e g é função par e) f e g não são funções nem pares nem

ímpares

Questão 23 Sendo 2x3)x(f −= , 3x2)x(g += e b = f(a), então g(b) vale: a) 1a6 − b) 1a5 + c) 2a3 − d) 6a6 − e) 2a5 − Questão 24 Se 1x3)x(f += e 2x)x(g = , então fog(x) é igual a: a) x6x9 2 + b) xx3 2 + c) 2x d) 1x3 2 + e) 2x3 Questão 25 Se 3)x(f = e 2x)x(g = , então fog(x) é igual a: a) 9 b) 3 c) 2x d) 2x3 Questão 26

Se 2x1x2

)x(f−+= , então fof(x) é igual a:

a) 1 b) x

c) 1x2

2x+

−

d) 2

2x1x2

−+

e) 2x1x2

−+

Questão 27 Se 1x)x(f 3 += e 2x)x(g −= , então gof(0) é igual a: a) −1 b) 0 c) 1 d) 2 e) 3


15

Questão 28 As funções f e g são dadas por 3x2)x(f −=

e 1x)x(g 2 += . O valor de g[f(5)] é: a) 49 b) 50 c) 15 d) 9 e) 5 Questão 29 Dada a função f definida por 1x2)x(f += , se g é função de IR em IR e 1x3)x(fog −= , en-tão g é definida por: a) 2x6)x(g +=

b) 1x23

)x(g −=

c) 32

x32

)x(g +=

d) 1xx6)x(g 2 −+= Questão 30

A função inversa da função 2x1x3

)x(f−−= é:

a) 3x3x

)x(f 1

−+=−

b) x21x3

)x(f 1

−+=−

c) 3x1x3

)x(f 1

−−=−

d) 3x1x2

)x(f 1

−−=−

e) 1x2

3x)x(f 1

−+=−

Questão 31

A lei que define a inversa de 1x32

)x(f −= é:

a) 23

x23

)x(f 1 +=−

b) 1x23

)x(f 1 +=−

c) 1x23

)x(f 1 −=−

d) 23

x23

)x(f 1 −=−

Questão 32

A função inversa de 1x

1)x(f

+= é:

a) x + 1 b) x − 1

c) 1x1x

−+

d) x

x1−

Questão 33 O gráfico representa a quantidade de soro que uma pessoa deve tomar em função de seu peso, caso seja mordida por um animal raivoso.

a) Quanto deve tomar de soro uma pessoa

que pesa 50 kgf? b) Se uma pessoa tomou 50 ml de soro,

qual é o seu peso? c) Sabe-se que a quantidade de soro a ser

tomada deve ser distribuída em 14 inje-ções. Quantos ml de soro deve tomar em cada injeção uma pessoa de 100 kgf de peso?

GABARITO: A →→→→ 1, 15, 16, 18, 20, 23, 27, 31 B →→→→ 2, 5, 19, 25, 26, 28, 29 C →→→→ 6, 9, 11, 12, 14, 22 D →→→→ 7, 8, 10, 13, 17, 21, 24, 30, 32 E →→→→ 3, 4 Questão 33 a) 25 ml b) 100 kgf c) Aproximadamente 3, 57 ml

Soro em ml

Peso em Kgf

50

25

10

20 50 100

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[1, · PDF filede A x B ao conjunto dos pontos do plano cartesiano associados a esses pares orde-nados. QUESTÕES Questão 01