ROTEIRO.DE 1 CALCULO NUM ERICO - Portal UFT · ROTEIRO.DE 1 CALCULO NUM ERICO Prof. Dr. Catalunha Atualizado em 19 de Junho de 2013 as 11:13 1Este roteiro cont em textos de minha

ROTEIRO.DE 1

CALCULO NUMERICO

Prof. Dr. Catalunha

Atualizado em 19 de Junho de 2013 as 11:13

1Este roteiro contem textos de minha autoria e outros retirados das bibliografias indicadas, ou textoscorrelatos no assunto, sempre que possıvel citadas as fontes. Tais notas nao excluem a consulta aoconteudo na integra da bibliografia original e sao apenas uma forma de guia de conteudo dentro de salade aula.

Conteudo

I Ementa e Conteudo Programatico 4

II Conteudo da 1a Avaliacao 7

1 Erros 81.1 Exercıcios Resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.2 Exercıcios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2 Sistemas Lineares 102.1 Metodos Diretos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.1.1 Substituicao Retroativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.1.2 Metodo de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.1.3 Metodo de Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.1.4 Metodo da Pivotacao Completa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.2 Metodos iterativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.2.1 Metodo de Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.2.2 Metodo de Gauss-Seidel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.2.3 Criterios de convergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.3 Exercıcios Resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.4 Exercıcios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3 Ajuste de Modelo 143.1 Exercıcios Resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143.2 Exercıcios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

4 Interpolacao 274.1 Interpolacao por ajuste de modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274.2 Interpolacao por lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274.3 Interpolacao por diferenca dividida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274.4 Exercıcios Resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274.5 Exercıcios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

III Conteudo da 2a Avaliacao 39

5 Zero de Funcao 405.1 Metodo da Bissecao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2

Prof. Dr. Catalunha - Roteiro Calculo Numerico

5.2 Metodo de Pegaso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405.3 Metodo de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405.4 Comparacao dos metodos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405.5 Exercıcios Resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405.6 Exercıcios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

6 Integracao 426.1 Metodo de Newton-Cottes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

6.1.1 Trapezio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 426.1.2 Simpson I e II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 426.1.3 Extrapolacao Richardson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 426.1.4 Integral dupla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

6.2 Quadratura Gaussiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 426.3 Exercıcios Resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 426.4 Exercıcios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

7 Equacoes Diferenciais Ordinarias 467.1 Metodos de Runge-Kutta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 467.2 Exercıcios Resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 467.3 Exercıcios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

IV Administracao da disciplina 48

8 Procedimentos de avaliacao 498.1 Divisao do conteudo e quantidade de avaliacoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 498.2 Preparacao da sala para a avaliacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 498.3 Estrutura da prova: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 508.4 Estrutura do trabalho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 518.5 Outras orientacoes: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

9 Elaboracao das Tarefas 549.1 Tarefa exemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

9.1.1 Exercıcios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 549.2 Formulario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

Atualizado em 19 de Junho de 2013 3

Parte I

Ementa e Conteudo Programatico

4


Ementa de disciplina do curso de Engenharia Ambiental conforme Plano Polıtico Pegagogicoaprovado em 2007.

DISCIPLINA:Calculo NumericoCH Total CH Teorica CH Pratica Creditos60 60 0 4

PERIODO: PRE-REQUISITOS:3 Calculo IIOBJETIVO:Capacitar os alunos para a aplicacao de tecnicas de calculo numerico para resolucao de proble-mas de engenharia e utilizacao de ferramentas computacionais auxiliares.

CONTEUDO BASICO:O Metodo numerico. Utilizacao de softwares e hardwares matematicos. Precisao e erro. Sis-temas de equacoes lineares, Ajuste de curvas. Interpolacao. Raızes de equacoes. Integracaonumerica. Solucao numerica de equacoes diferenciais ordinarias.METODOLOGIA DE ENSINO:O ensino sera ministrado de forma expositiva em sala de aula, utilizando os recursos audiovisuaisdisponıveis, com consulta ao material bibliografico e debates sobre o tema. A disciplina seraadministrada utilizando todos os recursos disponıveis no sistema Moodle.

PROCEDIMENTOS DE AVALIACAO:Trabalhos e provas.

BIBLIOGRAFIA BASICA:* Barroso, Leonidas Conceicao et al.. Calculo Numerico (com aplicacoes) / Leonidas ConceicaoBarroso, Magali Maria de Araujo Barroso, Frederico Ferreira Campos, filho, Marcio Luiz Buntede Carvalho, Mirian Lourenco Maia. 2 ed. Sao Paulo. editora HARBRA ltda, 1987.* Ruggiero, Marcia A. Gomes. Calculo numerico: aspectos teoricos e computacionais / MarciaA. Gomes Ruggiero, Vera Lucia da Rocha Lopes. 2 ed.Sao Paulo: MAKRON Books. 1996.* Claudio, Dalcidio Moraes. Calculo numerico computacional, teoria e pratica: Sao Paulo.Atlas, 1989. 464p.BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTAR:* Boulos, Paulo; Abud, Zara Issa, Calculo diferencial e Integral, Volume 2, Sao Paulo, PearsonEducation do Brasil, 2002.* Bassanezi, Rodney Carlos. Ensino-aprendizagem com modelagem matematica: uma novaestrategia / Rodney Carlos Bassanezi. 2 ed. Sao Paulo, Contexto, 2004* Sperandio, Decio; Mendes, Joao Teixeira; Silva, Luiz Henry Monken e Silva. Calculo Numericoe Aplicacoes. Sao Paulo. Prentice Hall (Pearson). 2007. 368p.



Na Tabela 1 temos as datas conforme calendario do periodo vigente. Na Tabela 2 o encontroque sera realizado na referida data.

Data Encontro24-05-2013 107-06-2013 214-06-2013 321-06-2013 428-06-2013 505-07-2013 612-07-2013 702-08-2013 809-08-2013 1016-08-2013 1123-08-2013 P 930-08-2013 1206-09-2013 1313-09-2013 1420-09-2013 1527-09-2013 1604-10-2013 P 1811-10-2013 E 20-2013 R 17-2013 R 19

Tabela 1: Datas

Encontro Conteudo Planejado1 Apresentacao da disciplina. Erros2 Sistema Linear - Gauss, Pivotacao, Jordan.3 Sistema Linear - Jacobi, Newton.4 Ajuste de Modelo - Multiplo, Polinominal5 Ajuste de Modelo - Transformacao6 Interpolacao - Ajuste, Lagrange7 Interpolacao - Diferenca Dividida8 Revisao9 Prova 0110 Zero de Funcao - Bissecao, Newton11 Zero de Funcao - Pegaso12 Integracao - Trapezio, Simpson13 Integracao - Dupla, Quadratura14 EDO - Euler, Runge-Kutta15 EDO - Euler, Runge-Kutta16 Trabalho17 Revisao18 Prova 0219 Reposicao de Provas20 Exame Final

Tabela 2: Conteudo

Legenda: R: indica data de reposicao de aula. E: indica data de exame final. P: indica datade prova.Observacao: Horario de atendimento aos alunos sera na quinta de 08h as 11h30, Bloco II, Sala10, Ramal 8229 ou Telefone 32328229.

6 Atualizado em 19 de Junho de 2013

Parte II

Conteudo da 1a Avaliacao

7

Capıtulo 1

Erros

Desenvolver o conteudo selecionado da seguinte bibliografia: [?, Capıtulo 1.1, Pag. 1 a 3.]

Desenvolver o conteudo selecionado da seguinte bibliografia: [?, Capıtulo 2.1, Pag. 17.].



1.1 Exercıcios Resolvidos

1. A diferenca entre um valor exata x e sua aproximacao x foi de x = 100, x = 100.1. Bemcomo y = 0.0006 e y = 0.0004.Fonte: [?, Pag. 18, Exemplo do item 2.2.3, adaptado]

Pede-se:

(a) Calcule o erro absoluto e relativo no calculo das aproximacoes.

Solucao:Aplicando as equacoes temos

ex =| 100− 100.1 | (1.1)

ex = 0.1 (1.2)

ex =| 0.0006− 0.0004 | (1.3)

ey = 0.0002 (1.4)

Ex =0.1

100.1(1.5)

Ex = 0.000999 (1.6)

Ey =0.0002

0.0004(1.7)

Ey = 0.5 (1.8)

Resposta: Concluimos que a aproximacao de x e melhor, pois o erro relativo naaproximacao foi menor.

8


1.2 Exercıcios Propostos

Em construcao...


Capıtulo 2

Sistemas Lineares

Desenvolver o conteudo selecionado da seguinte bibliografia: [?], Capıtulo 2.1, Pag. 17 a 18.

2.1 Metodos Diretos

Desenvolver o conteudo selecionado da seguinte bibliografia: [?], Capıtulo 2.2, Pag. 20 a 49.Abrangendo os itens:

2.1.1 Substituicao Retroativa

2.1.2 Metodo de Gauss

2.1.3 Metodo de Jordan

2.1.4 Metodo da Pivotacao Completa

2.2 Metodos iterativos

Desenvolver o conteudo selecionado da seguinte bibliografia: [?], Capıtulo 2.3, Pag. 49 a 72. [?],Pag 20 a 23. Abrangendo os itens:

2.2.1 Metodo de Jacobi

2.2.2 Metodo de Gauss-Seidel

2.2.3 Criterios de convergencia


Em construcao...

10



A seguir inclui as paginas da lista de tarefas antiga por falta de tempo em atualizar os exercıcios.Gentileza resolver normalmente.


LISTA DE TAREFAS ANTIGA. ESTOU ATUALIZANDO. RESOLVER NORMALMENTE.

4 Tarefa: SistemaLinear

Exercício 1 - Sistemas Lineares

Resolva cada um dos sistemas de equações lineares dados a seguir por um dos métodos estudados:

a) Método Direto: Substituição retroativa, Gauss, Pivotação Completa ou Jordan.

b) Método Indireto: Jacobi ou Gauss-Seidel, considerando o vetor inicial ( x 0 =[0000 ]T

com k3 ou 10−2 ), verifique antes a convergência.

Cada número representa um exercício separado.

Exercício 1:

3x1 4x2 −5x3 x4 −10x2 x3 −2x4 −1

4x3 −5x4 32x4 2

Exercício 2:

2x1 −x2 3x3 5x4 −76x1 −3x2 12x3 11x4 44x1 −x2 10x3 8x4 4

−2x2 −8x3 10x4 −60

Exercício 3: x1 4x2 52x3 57

27x1 110x2 −3x3 13422x1 2x2 14x3 38

Exercício 4:

3.2x1 x2 2x3 8.2−x1 1.5x3 −2.4x4 2.844.1x1 2.5x2 2x4 13.6x1 2.8x4 4.72

Exercício 5: 5x y z 53x 4y z 63x 3y 6z 0

Exercício 6: −4x1 10x2 195x1 3x2 15

Exercício 7: 3x1 x3 3x1 −x2 1

3x1 x2 2x3 9



Exercício 8: x1 1

2x1 5x2 23x1 6x2 4x3 3

Exercício 9:

x1 1x1 x2 −1x1 x2 x3 3x1 x2 x3 x4 3

Exercício 10:

x1 x2 x3 x4 4x2 x3 x4 3

x3 x4 2x4 1

Exercício 11: x1 −3x2 x3 6

4x2 −x3 5x4 4

Exercício 12: x1 x2 2x3 4

2x1 −x2 −x3 0x1 −x2 −x3 −1

Exercício 13: 10x1 2x2 6x3 28

x1 10x2 9x3 72x1 −7x2 −10x3 −17

Exercício 14: −4x1 10x2 195x1 3x2 15


Capıtulo 3

Ajuste de Modelo

Uma regressao ou curva de tendencia pode ser o primeiro passo para uma modelagem. Umarelacao funcional, obtida atraves de uma ajuste dos dados, propicia condicoes para a elaboracaode hipoteses que levam a formulacao dos modelos.

Os modelos sao relacoes funcionais que incorporam as particularidades do fenomeno analisado.

Um reta ou curva ajustada nao pode ser considerado um modelo matematico para uma deter-minada situacao. Neste caso, a reta ou curva simplesmente descreve uma tendencia dos fatos nointervalo pesquisado.

Mesmo que uma curva possa fazer alguma previsao de futuros valores para o fenomeno estu-dado, ainda assim, tal formulacao nao poderia ser considerado um modelo matematico do fenomenoenquanto seus parametros nao tiverem algum significado biologico, quımico, fısico ou probabilısticocom o fenomeno em estudo !

Contudo o processo de ajuste de curvas e um dos mais importantes passos para o treinamentoem modelagem e entendimento do comportamento de um fenomeno que nao seja aleatorio.

Desenvolver conteudo da seguinte bibliografia: [?, Paginas 323 ate 356], e [?, Paginas 54 ate85].


1. Considere os pontos da Tabela 3.1.

Tabela 3.1: Dados de Campox 0.1 1.5 3.3 4.5 5.0y 5.9 8.8 12 19.8 21.5

Fonte: [?, Pag. 340, Exercıcio 7.7].

Pede-se:

(a) Ajustar os pontos ao modelo y = aebx.

Solucao:E sempre bom plotar o grafico dos pontos para ter uma nocao nas manipulacoes ma-tematicas, veja Figura 3.1.

14


Figura 3.1: Modelo y = abx

Efetuando as transformacoes teremos:

y = aebx (3.1)

ln y = ln a+ ln ebx (3.2)

ln y = ln a+ bx ln e (3.3)

yt = at + bx (3.4)

Ficando os pontos na forma, veja Tabela3.2. Como os pontos originais foram alterados,

Tabela 3.2: Pontos Transformadosx 0.1 1.5 3.3 4.5 5.0y 5.9 8.8 12 19.8 21.5yt 1.7750 2.1748 2.4849 2.9857 3.0681

e importante ver os pontos transformados, veja Figura 3.2.

A somas para montagem da matriz normal serao:

1 octave:1> x=[0.1 ,1.5 , 3.3, 4.5, 5.0]

2 x =

3 0.10000 1.50000 3.30000 4.50000 5.00000

4 octave:2> y=[5.9 , 8.8, 12, 19.8, 21.5]

5 y =

6 5.9000 8.8000 12.0000 19.8000 21.5000

7 octave:3> yt=log(y)

8 yt =

9 1.7750 2.1748 2.4849 2.9857 3.0681



Figura 3.2: Modelo yt = at+ bx

10 octave:4> mx=[ length(x),sum(x);sum(x),sum(x.^2)]

11 mx =

12 5.0000 14.4000

13 14.4000 58.4000

14 octave:5> my=[sum(yt);sum(x.*yt)]

15 my =

16 12.488

17 40.416

Podemos ver estas somas na forma de planilha, como a seguir, Tabela 3.3,

Tabela 3.3: Pontos Transformadosi x y yt x2 xyt (y − y)2 y2

1 0.10000 5.9000 1.7750 0.010000 0.17750 0.0021868 348102 1.50000 8.8000 2.1748 2.250000 3.26213 0.1178681 774403 3.30000 12.0000 2.4849 10.890000 8.20019 2.4729728 1440004 4.50000 19.8000 2.9857 20.250000 13.43557 1.4272960 3920405 5.00000 21.5000 3.0681 25.000000 15.34026 0.0793819 462250∑

14.4000∑

68∑

12.488∑

58.4000∑

40.416∑

4, 0997∑

1110.5

Ficando a matriz normal na forma:[5.0000 14.400014.4000 58.4000

]∗[atb

]=

[12.48840.416

](3.5)

Este sistema linear deve ser resolvido conforme capıtulo 2, Sistemas Lineares, por qual-quer metodo pedido.



Antes de continuar e importante saber que a matriz normal, anterior, pode ser obtidatambem por manipulacao matricial.

X =

1 x11 x12 · · · x1p1 x21 x22 · · · x2p...

......

. . ....

1 xn1 xn2 · · · xnp

β =

β0β1...βp

Y =

y1y2...yn

(3.6)

Matriz de soma x = X ′X (3.7)

Matriz de soma y = X ′Y (3.8)

Como a seguir.

1 octave :13> mx =[[1;1;1;1;1] ,x’]

2 mx =

3 1.00000 0.10000

4 1.00000 1.50000

5 1.00000 3.30000

6 1.00000 4.50000

7 1.00000 5.00000

8 octave :15> my=yt’

9 my =

10 1.7750

11 2.1748

12 2.4849

13 2.9857

14 3.0681

15 octave :16> (mx ’*mx)

16 ans =

17 5.0000 14.4000

18 14.4000 58.4000

19 octave :17> mx ’*my

20 ans =

21 12.488

22 40.416

A solucao do sistema linear foi resolvido de forma matricial, para fins de simplificacao.Ficando:

1 octave:6> mc=mx**-1*my

2 mc =

3 1.74071

4 0.26283

Potanto mc e a matriz de coeficiente do modelo transformado, e como as relacoes para



a sao:

at = ln a (3.9)

eat = eln a (3.10)

eat = a (3.11)

(3.12)

Precisamos aplica exp() para obter os valores originais, ficando o b inalterado.

1 octave:8> a=exp(mc(1))

2 a = 5.7014

3 octave:9> b=mc(2)

4 b = 0.26283

Entao o valor dos coeficientes originais sao a = 5.7014 e b = 0.26283 ficando o modeloy = 5.7014e0.26283x conforme Figura 3.3

Figura 3.3: Modelo y = aebx

Resposta: Resposta: y = 5.7014e0.26283x

(b) Calcule o grau de ajustamento r2 do modelo aos dados.

Solucao:O grau de ajustamento mede o grau de explicacao do modelo aos pontos originais. Or2 tem o seguinte modelo em uma de suas formas:

R2 = 1−∑

(yi − yi)2∑(y2i )− (

∑yi)2

n

(3.13)

Uma das informacoes importantes para calculo do r2 e o valor de yi, veja Tabela 3.4



1 octave :20> ye =5.7014*e.^(0.26283.*x)

2 ye =

34 5.8532 8.4567 13.5726 18.6053 21.2183

Tabela 3.4: Pontos Estimados pelo modelox 0.1 1.5 3.3 4.5 5.0y 5.9 8.8 12 19.8 21.5yi 5.8532 8.4567 13.5726 18.6053 21.2183

Os valores intermediarios pode ser vistos na Tabela 3.3. Aplicando no modelo r2 temos:

1 octave :21> 1-(sum((y-ye).^2))/(sum(y.^2) -(sum(y)^2)/( length

(x)))

2 ans = 0.97793

Pontanto o modelo explica 97% dos dados originais.

Resposta: Resposta: 97.8% ou 0.97793.

(c) Utilizando o gnuplot ajuste o modelo aos dados.

Solucao:Para ajustar os dados a um modelo utilizando o gnuplot basta criar o arquivo de pontos,conforme a seguir:

Arquivo 3.1: exercicios/BarrPag340Exc7.7/grafico.pts

1 #x;y;

2 0.1 5.9

3 1.5 8.8

4 3.3 12

5 4.5 19.8

6 5 21.5

O script do gnuplot para ajustamento pode ser como a seguir:

Arquivo 3.2: exercicios/BarrPag340Exc7.7/graficoC1.txt

1 # Comentario2 reset3 set term pngca i ro4 set output ’ g ra f i coC1 . png ’5 set grid6 set key out s id e c en te r bottom t i t l e ’ Legenda : ’7 set t i t l e ”Modelo Gnuplot”8 set xlabel ”x”9 set ylabel ”y”

10 f ( x )=a∗exp(b∗x )11 f i t f ( x ) ” g r a f i c o . pts ” using ( $1 ) : ( $2 ) v ia a , b



12 plot ” g r a f i c o . pts ” using ( $1 ) : ( $2 ) t i t l e ”Pontos O r i g i n a i s ” ,\

13 f ( x ) t i t l e ”Modelo Gnuplot”

Apresentando o grafico conforme Figura 3.4.

Figura 3.4: Ajustando modelo a dados com Gnuplot

O gnuplot tambem fornece uma arquivo, chamado ”fit.log”de resultados do ajustamentocom alguma analise estatıstica. Os parametros do modelo sao f(x) = 5.41218e0.277491x

conforme segue no arquivo.

Arquivo 3.3: exercicios/BarrPag340Exc7.7/fit.log

123 *******************************************************************************

4 Mon Feb 4 09:13:02 2013

567 FIT: data read from "grafico.pts" using ($1):($2)

8 format = x:z

9 #datapoints = 5

10 residuals are weighted equally (unit weight)

1112 function used for fitting: f(x)

13 fitted parameters initialized with current variable values

1415



1617 Iteration 0

18 WSSR : 21307.4 delta(WSSR)/WSSR : 0

19 delta(WSSR) : 0 limit for stopping : 1e-05

20 lambda : 275.175

2122 initial set of free parameter values

2324 a = 1

25 b = 1

2627 After 8 iterations the fit converged.

28 final sum of squares of residuals : 3.68649

29 rel. change during last iteration : -5.55842e-07

3031 degrees of freedom (FIT_NDF) : 3

32 rms of residuals (FIT_STDFIT) = sqrt(WSSR/ndf) :

1.10853

33 variance of residuals (reduced chisquare) = WSSR/ndf :

1.22883

3435 Final set of parameters Asymptotic Standard

Error

36 =======================

==========================

3738 a = 5.41218 +/- 0.6779

(12.53%)

39 b = 0.277491 +/- 0.02867

(10.33%)

404142 correlation matrix of the fit parameters:

4344 a b

45 a 1.000

46 b -0.964 1.000

Resposta: Resposta: .





5 Tarefa: AjusteModeloAtenção: Cada exercício a seguir e sua respectiva tabela consta de uma única lista de pontos

x e y. A lista de pontos, foi divida em três ou quatro colunas para ocupar menos espaço.

Em todos os exercícios a seguir PEDE-SE:

(a) O gráfico dos pontos originais.

(b) O modelo transformado e seus coeficientes .

(c) O gráfico dos pontos transformados.

(d) A representação da modelo transformado no gráfico.

(e) O coeficiente de ajustamento r 2 dos dados transformados.

(f) O modelo original e seus coeficientes.

(g) A representação da modelo original no gráfico.

(h) O coeficiente de ajustamento r 2 dos dados originais.

Exercício 1: Ajuste os dados da Tabela Tabela 5.1 ao modelo y=abx .

Tabela 5.1: Tabela: Características fisiológicas de três cultivares de mandioca

x y x y x y

478,8 116,1 375 63,1 492,5 168,1

695,4 231,9 565,1 192,9 676,7 312,2

1095,1 462,2 816,7 338,8 908,1 479,6

1301,2 615,7 965 504,5 1141,8 600,6

1463,1 764,8 1120,4 589,8 1304,3 786,5

Fonte de dados: FAHL et al, 1982, estudando as características fisiológicas de três cultivares de mandioca em que x=massa seca de raízes de mandioca, gm−2 ; y=massa seca total da planta, gm−2 .


Tabela 5.2: Relações radiométricas em três cultivares de mandioca



x y x y x y

237 77 461 161 292 105

286 98 489 161 223 77

335 126 482 175 161 63

384 147 432 154

419 154 391 133

Fonte de dados: PEREIRA et al, 1982, estudando as relações radiométricas em três cultivares de mandioca, em que x = radiação refletida do infravermelho próximo, Wm−2 ; y=radiação incidente do infravermelho próximo, Wm−2 .

Exercício 3: Ajuste os dados da Tabela Tabela 5.3 ao modelo y=axb .

Tabela 5.3: Métodos de determinação da necessidade de calagem

x y x y x y x y

6,43 2,8 5,96 6,2 6,79 1,4 6,37 2,8

6,66 2 5,58 5,5 6,42 2,9 5,59 5,9

5,7 8 4,93 13,6 6,7 1,9 4,91 11,6

6,66 2,3 5,24 8,4 6,05 3,8 4,86 17,5

5,63 7,2 4,76 11,8 5,61 6,3 4,62 21,5

5,85 5 4,22 28,9 6,05 4,5

4,89 11,4 6,43 2,4 5,79 5,3

Fonte de dados: QUAGGIO et al, 1985, estudando métodos de determinação da necessidade de calagem, em que x = (H+Al), meq/100 cm3 ; y=potencial hidrogeniônico, pH SMP .


Tabela 5.4: Resistência do corte do colmo de cana-de-açucar

x y x y

5,5 3 55 40

20 8 60 43

29 13 67 63

39 17 80 86

44 27

Fonte de dados: CHANG et al, 1982, estudando a resistência do corte do colmo de cana-de-açucar, em que x = energia armazenada,kgf.cm; y=ângulo do pêndulo, graus.



Exercício 5: Ajuste os dados da Tabela Tabela 5.5 ao modelo y=ax

bx

Tabela 5.5: Construção de um tensiômetro simples de leitura direta

x y x y

9 217 102 681

12 291 147 716

30 439 210 746

42 515 290 755

57 603

Fonte de dados: PAES DE CAMARGO et al, 1982, estudando a construção de um tensiômetro simples de leitura direta, em que x = tensão,mb; y=altura da câmara, mm.

Exercício 6: Ajuste os dados da Tabela Tabela 5.6 ao modelo y=abx

Tabela 5.6: Calagem para a sucessão batata-triticale-milho

x y x y x y

0,1 65,9 0,2 68,4 0,3 64,9

1 92,7 0,7 89,1 1,1 87

1,6 93 0,8 93,2 1,2 89,6

2,8 94,8 1,4 95,5 1,6 93,2

3,3 95,5 1,9 94,8 1,8 91,7

Fonte de dados: QUAGGIO et al, 1985, estudando calagem para a sucessão batata-triticale-milho, em que y = porcentagem de tubérculos gráudos,mb; x=cálcio no solo, meq/100 cm3 .

Exercício 7: Ajuste os dados da Tabela Tabela 5.7 ao modelo y=eabx

Tabela 5.7: Métodos de determinação da necessidade de calagem



x y x y x y x y

6,43 2,8 5,96 6,2 6,79 1,4 6,37 2,8

6,66 2 5,58 5,5 6,42 2,9 5,59 5,9

5,7 8 4,93 13,6 6,7 1,9 4,91 11,6

6,66 2,3 5,24 8,4 6,05 3,8 4,86 17,5

5,63 7,2 4,76 11,8 5,61 6,3 4,62 21,5

5,85 5 4,22 28,9 6,05 4,5

4,89 11,4 6,43 2,4 5,79 5,3

Fonte de dados: QUAGGIO et al, 1985, estudando métodos de determinação da necessidade de calagem, em que x = (H+Al), meq/100 cm3 ; y=potencial hidrogeniônico, pH SMP .

Exercício 8: Ajuste os dados da Tabela Tabela 5.8 ao modelo y=abxcx2

Tabela 5.8: Características fisiológicas de três cultivares de mandioca

x y x y

60 0,51 214 1,83

82 1,41 249 0,48

116 2,97

143 3,54

172 3,35

Fonte de dados: FAHL et al, 1982, estudando as características fisiológicas de três cultivares de mandioca, em que y = índice de área foliar; x=dias após o plantio.

Exercício 9: Ajuste os dados da Tabela Tabela 5.9 ao modelo y=ab xcx

Tabela 5.9: Características fisiológicas de quadro variedades de milho

x y x y

24,6 0,45 1041,2 2,1

128,4 1,46 1191,4 1,5

292,5 2,5

624,3 2,99

857,5 2,73

Fonte de dados: MACHADO et al, 1982, estudando as características fisiológicas de quadro variedades de milho, em que y = índice de área foliar; x=massa seca da planta, gm−2 .

Exercício 10: Ajuste os dados da Tabela Tabela 5.10 ao modelo y=eabxcx2




x y x y

36 245,9 106 1775,8

50 526,2 120 1775

64 1102,9

78 1346,7

92 1619,8

Fonte de dados: MACHADO et al, 1982, estudando as características fisiológicas de quadro variedades de milho, em que x = dias após o plantio; y=massa seca da planta, gm−2 .

Exercício 11: Ajuste os dados da Tabela Tabela 5.11 ao modelo

y= x e− x


x y x y

22 15 92 843,6

36 114,1 106 782,5

50 292,8 120 722

64 665,2

78 826,2


Capıtulo 4

Interpolacao

Desenvolver o conteudo selecionado da seguinte bibliografia: [?], Pag. 151 a 153.

4.1 Interpolacao por ajuste de modelo

Desenvolver o conteudo selecionado da seguinte bibliografia: [?], Capıtulo 4.3, Pag. 153-155, 159.Desenvolver o conteudo selecionado da seguinte bibliografia: [?], Capıtulo 4.4, Pag. 159 a 161.

4.2 Interpolacao por lagrange

Desenvolver o conteudo selecionado da seguinte bibliografia: [?], Capıtulo 4.5, Pag. 164-165,167-170 e [?], Capıtulo 7.3.1, Pag. 139 a 140].

4.3 Interpolacao por diferenca dividida

Desenvolver o conteudo selecionado da seguinte bibliografia: [?], Capıtulo 4.6, Pag. 175-189.


1. Considere os pontos da Tabela 9.1.

Tabela 4.1: Dados de Campoi 0 1 2 3x 0.0 0.2 0.4 0.5y 0.000 2.008 4.064 5.125

Fonte: [?, Pag. 167, Exemplo 4.9].

Pede-se:

(a) Utilizando o polinomio interpolador de Lagrange calcule o valor de P3(0.3)

Solucao:

27


O modelo generico do interpolador de Lagrange e:

Pn(x) =n∑

i=0

yi ∗n∏

j=0j 6=i

x− xjxi − xj

(4.1)

Para nosso problema temos n = 3 e x = 0.3, ou seja estimar um polinomio interpoladorde grau 3 para x = 0.3. Montando o somatorio e produtorio temos:

Pn(x) = y0∗x− x1x0 − x1

∗ x− x2x0 − x2

∗ x− x3x0 − x3

+ y1∗x− x0x1 − x0

∗ x− x2x1 − x2

∗ x− x3x1 − x3

+ y2∗x− x0x2 − x0

∗ x− x1x2 − x1

∗ x− x3x2 − x3

+ y3∗x− x0x3 − x0

∗ x− x1x3 − x1

∗ x− x2x3 − x2

(4.2)

Aplicando os numeros nas variaveis teremos as seguintes fracoes:

P3(0.3) = 0.000∗ 0.3− 0.2

0.0− 0.2∗ 0.3− 0.4

0.0− 0.4∗ 0.3− 0.5

0.0− 0.5

+ 2.008∗ 0.3− 0.0

0.2− 0.0∗ 0.3− 0.4

0.2− 0.4∗ 0.3− 0.5

0.2− 0.5

+ 4.064∗ 0.3− 0.0

0.4− 0.0∗ 0.3− 0.2

0.4− 0.2∗ 0.3− 0.5

0.4− 0.5

+ 5.125∗ 0.3− 0.0

0.5− 0.0∗ 0.3− 0.2

0.5− 0.2∗ 0.3− 0.4

0.5− 0.4

(4.3)

Resolvendo as fracoes teremos as seguintes numeros:

P3(0.3) = 0.000∗ −0.5∗ 0.25∗ 0.4

+ 2.008∗ 1.5∗ 0.5∗ 0.6666

+ 4.064∗ 0.75∗ 0.5∗ 2

+ 5.125∗ 0.6∗ 0.3333∗ −1

(4.4)

Efetuando os calculos temos:P3(0.3) = 3.027 (4.5)

Resposta: Resposta: 3.027



(b) Utilizando ajuste de modelo determine o valor de x = 0.3 por um polinomio de 3 grau.

Solucao:O interpolador de lagrange fornece o mesmo resultado que um polinomio de mesmograu para o valor desejado. Provando iremos estimar este polinomio usando o octave,para montar as matrizes normais e calcular a resolucao do sistema, mas voce deveresolver o sistema por um processo tipo Gauss,etc .

1 octave:1> x=[0 ,0.2 ,0.4 ,0.5]

2 x =

3 0.00000 0.20000 0.40000 0.50000

4 octave:2> y=[0 ,2.008 ,4.064 ,5.125]

5 y =

6 0.00000 2.00800 4.06400 5.12500

7 octave:7> mx=[ length(x),sum(x),sum(x.^2),sum(x.^3);sum(x),

sum(x.^2),

8 sum(x.^3),sum(x.^4);sum(x.^2),sum(x.^3),sum(x.^4),sum(x.^5)

;sum(x.^3)

9 ,sum(x.^4),sum(x.^5),sum(x.^6)]

10 mx =

11 4.000000 1.100000 0.450000 0.197000

12 1.100000 0.450000 0.197000 0.089700

13 0.450000 0.197000 0.089700 0.041810

14 0.197000 0.089700 0.041810 0.019785

15 octave:8> my=[sum(y);sum(x.*y);sum(x.^2.*y);sum(x.^3.*y)]

16 my =

17 11.19700

18 4.58970

19 2.01181

20 0.91679

21 octave :11> c=mx**-1*my

22 c =

23 2.1285e-15

24 1.0000e+01

25 -4.5830e-13

26 1.0000e+00

Ficando o modelo y = 2.1285e− 15 + 1.0000e+ 01x− 4.5830e− 13x21.0000e+ 00x3 eaplicando o valor de x = 0.3 temos:

1 octave :10> xd =[1;0.3;0.3^2;0.3^3]

2 xd =

34 1.000000

5 0.300000

6 0.090000

7 0.027000

8 octave :12> sum(c.*xd)



9 ans = 3.0270

Teremos o mesmo resultado, P3(0.3) = 3.027, que o interpolador de lagrange.


(c) Utilizando o polinomio interpolador Newton calcule o valor de P3(0.3)

Solucao:O modelo generico do interpolador de Newton e:

Pn(x) = y0 +n∑

i=1

Niy0 ∗i−1∏j=0

(x− xj) (4.6)

Para nosso problema temos n = 3 e x = 0.3, ou seja estimar um polinomio interpoladorde newtom de grau 3 para x = 0.3. Veja que temos que fazer a diferenca dividida aten = 3. Calculando primeiro a diferenca dividida, temos:

i xi yi Nyi N2yi N3yi

0 0.0 0.000y1 − y0x1 − x0

Ny1 − Ny0x2 − x0

N2y1 − N2y0x3 − x0

1 0.2 2.008y2 − y1x2 − x1

Ny2 − Ny1x3 − x1

2 0.4 4.064y3 − y2x3 − x2

3 0.5 5.125

(4.7)

Substituindo as equacoes pelos numeros teremos:

i xi yi Nyi N2yi N3yi

0 0.0 0.0002.008− 0.000

0.2− 0.0

Ny1 − Ny00.4− 0.0

N2y1 − N2y00.5− 0.0

1 0.2 2.0084.064− 2.008

0.4− 0.2

Ny2 − Ny10.5− 0.2

2 0.4 4.0645.125− 4.064

0.5− 0.4

3 0.5 5.125

(4.8)



Calculando os valores das fracoes temos:

i xi yi Nyi N2yi N3yi0 0.0 0.000 10.04 0.6 11 0.2 2.008 10.28 1.12 0.4 4.064 10.613 0.5 5.125

(4.9)

De posse das diferencas divididas podemos aplicar no modelo original de interpolacaode Newton.

Pn(x) = y0+ Ny0∗ (x− x0)

+ N2y0∗ (x− x0)∗ (x− x1)

+ N3y0∗ (x− x0)∗ (x− x1) (x− x2)

(4.10)

Substituindo as equacoes pelos numeros teremos:

P3(0.3) = 0.000+ 10.040∗ (0.3− 0.0)

+ 0.6∗ (0.3− 0.0)∗ (0.3− 0.2)

+ 1∗ (0.3− 0.0)∗ (0.3− 0.2)∗ (0.3− 0.4)

(4.11)

Calculando as somas e produtos encontramos P3(0.3) = 3.027.

Para este procedimento podemos usar tambem uma tabela para facilitar diferencas,somantorios e produtorios da ultima parte da equacao.

x 0.3 0.3 0.3xi 0 0.2 0.4

x− xi 0.3 0.1 −0.1∏i−1j=0(x− xj) 0.3 (0.3 ∗ 0.1) = 0.03 (0.3 ∗ 0.1 ∗ −0.1) = −0.003

(4.12)

Desta forma fica simples utilizar os resultados das Tabelas 4.9 e 4.12 para aplicar nomodelo principal Eq. 4.6.

P3(0.3) = 0.000+ 10.040∗ 0.3

+ 0.6∗ 0.03

+ 1∗ −0.003

(4.13)

Calculando as somas e produtos encontramos P3(0.3) = 3.027 como anteriormente.




(d) Utilizando metodo de ajuste nao linear de mınimos quadrados do gnuplot para deter-minar o valor de P3(0.3) no modelo f(x) = a+ b ∗ x+ c ∗ x2 + d ∗ x3

Solucao:O ajuste nao-linear de um modelo por mınimos quadrado pode ser feito utilizando ognuplot de forma muito simples.

Inicialmente devemos definir o arquivo de dados para o ajuste. Conforme arquivo aseguir:

Arquivo 4.1: exercicios/BarrPag167Exp4.9/grafico.pts

1 #x y2 0 .0 0 .0003 0 .2 2 .0084 0 .4 4 .0645 0 .5 5 .125

O script do gnuplot para ajustamento pode ser como a seguir:

Arquivo 4.2: exercicios/BarrPag167Exp4.9/graficoD1.txt

1 # Comentario2 reset3 set term pngca i ro4 set output ’ g ra f i coD1 . png ’5 set grid6 set key out s id e c en te r bottom t i t l e ’ Legenda : ’7 set t i t l e ” Ajustando os dados modelo P 3”8 set xrange [ − 0 . 1 : 0 . 6 ]9 set yrange [ −1 :6 ]

10 set xlabel ”x”11 set ylabel ”y”12 f ( x )=a+b∗x+c∗x∗∗2+d∗x∗∗313 f i t f ( x ) ” g r a f i c o . pts ” using ( $1 ) : ( $2 ) v ia a , b , c , d14 plot ” g r a f i c o . pts ” using ( $1 ) : ( $2 ) t i t l e ”Pontos O r i g i n a i s ” ,

\15 f ( x ) t i t l e ” Ajuste Gnuplot” , f ( 0 . 3 ) t i t l e ” Valor f ( 0 . 3 ) ”

Apresentando o grafico conforme Figura 4.1.

O gnuplot tambem fornece uma arquivo, chamado ”fit.log”de resultados do ajustamentocom alguma analise estatıstica. Os parametros do modelo sao f(x) = (7.53885E−31)+10 ∗ x+ (3.38236E − 12) ∗ x2 + 1 ∗ x3 segundo aquele arquivo.

Arquivo 4.3: exercicios/BarrPag167Exp4.9/fit.log

123 *******************************************************************************

4 Thu Jan 31 10:58:45 2013

5



Figura 4.1: Ajustando modelo a dados com Gnuplot

67 FIT: data read from "grafico.pts" using ($1):($2)

8 format = x:z

9 y range restricted to [ -0.100000 : 0.600000]

10 #datapoints = 4

11 residuals are weighted equally (unit weight)

1213 function used for fitting: f(x)

14 fitted parameters initialized with current variable values

15161718 Iteration 0

19 WSSR : 18.0937 delta(WSSR)/WSSR : 0

20 delta(WSSR) : 0 limit for stopping : 1e-05

21 lambda : 0.533824

2223 initial set of free parameter values

2425 a = 1

26 b = 1

27 c = 1

28 d = 1

2930 After 15 iterations the fit converged.

31 final sum of squares of residuals : 7.77028e-28



32 rel. change during last iteration : 0

333435 Exactly as many data points as there are parameters.

36 In this degenerate case , all errors are zero by definition.

3738 Final set of parameters

39 =======================

4041 a = 7.53885e-31

42 b = 10

43 c = 3.38236e-12

44 d = 1

Resposta: Resposta: Grafico.





6 Tarefa: InterpolacaoA resolução deve seguir as “OrientacoesSobreTarefas” disponibilizadas no moodle.

Exercício 1:

Data a função f x =10x42x1 com os valores de f 0.1 e f 0.2 determinar P1

(0,15). Compare os valores função original com a função e valores interpolados.

Exercício 2:

Calcular o número aproximado de habitantes de Belo Horizonte em 1975, com base num polinomial de 1 grau, sabendo que em 1950 haviam 352724hab, em 1960 haviam 683908 hab, em 1970 haviam 1235030 hab e em 1980 haviam 1814990hab.

Exercício 3:

Data a função f x =10x42x1 com os valores de f 0.1 , f 0.2 e f 0.3 determinar P20,15 . Compare os valores função original com a função e valores interpolados. Compare também com os resultados anteriores.

Exercício 4:

'Calcular o número aproximado de habitantes de Belo Horizonte em 1975, com base num polinomial de 2 grau, sabendo que em 1950 haviam 352724hab, em 1960 haviam 683908 hab, em 1970 haviam 1235030 hab e em 1980 haviam 1814990hab.

Exercício 5:

A função y= f x passa pelos pontos registrados na Tabela 6.1. Pede-se: (a) determinar o valor aproximado para f(0,32) usando um polinômio interpolador de 2 grau. (b) calcular P30,32 . (c) Comparar e explicar os dois valores com base no gráfico dos pontos.

Tabela 6.1: Dados aleatórios

x y

0 1

0,1 0,76

0,3 0,07

0,4 -0,38

Exercício 6:

Dados os pontos (0;1,011), (0,5;1,636), (1;11,011) e (1,5;51,636) determine pelo métodos de



lagrange o polinômio interpolador. Calcule o valor de (0,75;?) e (1,25;?).

Exercício 7:

Com os valores de e0 , e0,2 e e0,4 determine o valor aproximado de e0,1

Exercício 8:

A Ilustração 6.1 mostra o esboço do leito de um rio. A partir de uma linha reta, próxima a uma das margens, foram medidas distâncias (em m) entre esta linha reta e as duas margens do rio, de 15 em 15 metros, a partir de um ponto tomado como origem. Tais dados foram registrados na Tabela 6.2. Pede-se (a) Determinar o valor aproximado da largura do rio nos pontos que distam 10, 20, 40 e 50 metros da origem (tomados da linha reta). (b) Discutir a solução adotada com base na interpolação e sua justificativa ambiental.

Ilustração 6.1: Medida das margens M1 e M2 do rio

Tabela 6.2: Distâncias entre margem e referência

x yM2 yM1

0 50 112,5

15 86 154,5

30 146 195

45 73,5 171

60 50 95,5

Exercício 9:

A velocidade v (em m/s) de um foguete meteorológico lançado do solo foi medido quatro vezes, t segundos após o lançamento, e os dados foram registrados na Tabela 6.3. Pede-se (a) calcular usando um polinômio de 4 grau, a velocidade aproximada do foguete após 25 segundos do



lançamento.

Tabela 6.3: Tempo de lançamento

x y

0 0

8 52,03

20 160,45

30 275,96

45 370,28

Exercício 10:

Determinar, usando todos os valores conhecidos das funções F(x) e G(x), Tabela 6.4, o valor de F(G(0,25)).

Tabela 6.4: Valores da função G x e F x

x F x x G x

1 0 0 1

1,1 0,21 0,2 1,08

1,3 0,69 0,4 1,65

1,6 1,56 0,6 3,17

2 3 0,8 6,13

Exercício 11:

Com os dados da Tabela 6.4, calcular o valor aproximado de x para que se tenha F G x =0,5 .

Exercício 12:

Determinar o valor aproximado de x para y=0,95, usando todos os valores da função y=sen x , x em radianos, conforme Tabela 6.5. Este é um problema de interpolação inversa e, para

resolvê-lo, basta fazer uma troca de variáveis. O que era variável independente passará a ser dependente e vice-versa.

Tabela 6.5: Valores aleatórios



x y

1,75 0,98

1,8 0,97

1,85 0,96

1,9 0,95


Parte III

Conteudo da 2a Avaliacao

39

Capıtulo 5

Zero de Funcao


5.1 Metodo da Bissecao

Desenvolver o conteudo selecionado da seguinte bibliografia: [?], Capıtulo 3.4, Pag. 106-107,109-110.

5.2 Metodo de Pegaso


5.3 Metodo de Newton


5.4 Comparacao dos metodos



Em construcao...



40


7 Tarefa: ZerosA resolução deve seguir as “OrientacoesSobreTarefas” disponibilizadas no moodle.

Para os polinômios a seguir pede-se, se existir e em caso negativo justifique,:

(a) Esboce a função no gnuplot, para conhecimento do comportamento da mesma.

(b) Calcule as raízes reais utilizando o octave, para nortear seus cálculos.

(c) Os limites das raízes reais positivas e negativas.

(d) O valor do polinômio pelo método de Briot-Ruffini para estes limites.

(e) Calcular pelo menos uma raiz real com 10−2 pelo método da bisseção.

(f) Calcular pelo menos uma raiz real com 10−2 pelo método da Secante ou Pégaso.

(g) Calcular pelo menos uma raiz real com 10−2 pelo método da Newton. As derivadas podem ser obtidas pelo octave.

Cada número representa um exercício separado.

Exercício 1: P x =3x2−5x6

Exercício 2: P x =4x32x2

−x1

Exercício 3: P x =x52x3

5x2−6


−9x3−x2

20x−12

Exercício 5: P x =x3−4x2

−x6


−7x28x12


16x2−8x15


Exercício 9: P x =2x3 x2

−2

Exercício 10: P x =x3 x2

−x1


x3

Exercício 12: P x =x3− x2

−12x

Exercício 13: P x =3x4− x−3


Capıtulo 6

Integracao

Desenvolver o conteudo selecionado da seguinte bibliografia: [?], Capıtulo 5.1, Pag. 205-206. [?],Capıtulo 8, Pag. 163

6.1 Metodo de Newton-Cottes

6.1.1 Trapezio

Desenvolver o conteudo selecionado da seguinte bibliografia: [?], Capıtulo 5.2, Pag. 206-209. [?],Capıtulo 8.1, Pag. 164-168.

6.1.2 Simpson I e II

Desenvolver o conteudo selecionado da seguinte bibliografia: [?], Capıtulo 8.2, Pag. 169-173. [?],Capıtulo 5.3,5.4; Pag. 214-232.

6.1.3 Extrapolacao Richardson


6.1.4 Integral dupla

Desenvolver o conteudo selecionado da seguinte bibliografia: [?], Capıtulo 5.6, Pag. 243.

6.2 Quadratura Gaussiana



Em construcao...

42






8 Tarefa: IntegracaoA resolução deve seguir as “OrientacoesSobreTarefas” disponibilizadas no moodle.

Exercício 1: Integração

Para as funções a seguir calcule a integral no intervalo solicitado por um dos métodos a seguir:

(a) Trapézio, com n=6

(b) 1° regra de Simpson, com n=6

(c) 2° regra de Simpson, com n=9

(d) Quadratura Gaussiana, com n=4

Procure resolver:

Exercício 1: ∫0

1

sen x2 dx

Exercício 2: ∫4

5,2

ln x dx

Exercício 3: ∫0

1

x sen x dx

Exercício 4: ∫3

4

dx∫1

21

x y2 dy

Exercício 5: ∫2

3dx

1 ln x

Exercício 6: ∫0,1

1,6dxx

Exercício 7: ∫0

1dx

1x2

Exercício 8: ∫1

10

dx∫0

1x2

1 y2 dy

Exercício 9: ∫3

6

3x2dx

Exercício 10: ∫1

3

ln x1dx

Exercício 11: ∫−2

−1x2

x−12 dx



Exercício 12: ∫0

2

∫0

0,4

y sen x dy dx


Capıtulo 7

Equacoes Diferenciais Ordinarias

Desenvolver o conteudo selecionado da seguinte bibliografia: [?], Capıtulo 6.1 a 6.1.2, Pag. 275-279.

Desenvolver o conteudo selecionado da seguinte bibliografia: [?], Capıtulo 6.1.3, Pag. 279-283.

7.1 Metodos de Runge-Kutta



Em construcao...



46


9 Tarefa: EDOA resolução deve seguir as “OrientacoesSobreTarefas” disponibilizadas no moodle.

Exercício 1: EDO

Para as EDOs, Equações Diferenciais Ordinárias, de 1ª Ordem a seguir calcule aproximações para a solução do PVI, Problema do Valor Inicial, no intervalo e incremento solicitado por cada um dos métodos a seguir:

(a) Método de Euler

(b) Método de Runge-Kutta de 1ª Ordem (derivadas parciais)

(c) Método de Runge-Kutta de 2ª Ordem

(d) Método de Runge-Kutta de 3ª Ordem

(e) Método de Runge-Kutta de 4ª Ordem

As equações são:

Exercício 1: y´= y−

2xy

y 0=1no intervalo [0,1]e h=0,2

Exercício 2: y ´=

1x

y 1=0no intervalo[1,2]e h=0,1

Exercício 3: y ´=−xy 2

y 1=2nointervalo [1,2] eh=0,1


Parte IV

Administracao da disciplina

48

Capıtulo 8

Procedimentos de avaliacao

Com o intuito de esclarecer e evitar alguns problemas sobre o procedimento de avaliacao, seguemalgumas regras que DEVEM ser seguidas.

8.1 Divisao do conteudo e quantidade de avaliacoes

1. A disciplina de Calculo Numerico, CN, sera divida em 2 etapas. O conteudo sera ministradoem 8 encontros e a prova em 1, totalizando 9 encontros por etapa e 18 encontros no total.O 19o encontro sera para aplicacao de provas de reposicao e o 20o encontro para prova deexame final.

2. A avaliacao do desempenho do aluno dar-se-a por etapa, sendo que em cada etapa teremosum conjunto de trabalhos e uma prova, conforme Equacao 8.1 a 8.4. Todas as atividadesvalem 1 ponto bem como a sua totalizacao. Sendo este valor convertido para a nota nagrandeza que a universidade desejar.

8.2 Preparacao da sala para a avaliacao

3. As avaliacoes serao realizadas em sala de aula comum. Podendo haver modificacao de salapara realizacao da prova, devendo o aluno ficar atendo ao moodle onde sera publicada anova sala para avaliacao.

4. A carteira onde o aluno devera se colocar dentro da sala de aula sera decidida pelo professor.Durante a prova o aluno podera ser modificado de carteira sem previo aviso.

5. Os alunos devem organizar a sala de forma que a fila de carteiras, na horizontal ou vertical dasala, seja distribuıda de forma equidistante entre as carteiras dentro da sala. Cada fila deveter o mesmo numero de carterias. As carteiras posicionadas proximas as paredes poderaopermanecer com o respectivo lado encostado na mesma. Os alunos devem ocupar as carteirasmais a frente e centrais deixando as carteiras do fundo e laterais vazias.

6. Para inıcio da prova os alunos devem portar apenas roupa pessoal, oculos (caso necessariopara auxilio na visao), borracha, grafite, caneta, regua, calculadora. Os demais objetosdevem ser deixados dentro da bolsa na frente da sala.

49


7. Caso o aluno esteja portando blusa, a mesma deve estar sendo usada, senao deve deixar nafrente da sala. A calculadora nao deve permitir leitura de textos longos ou imagens, sendoque o aluno devera consultar o professor sobre se sua calculadora atende a este requisito parao mesmo realizar a prova. A realizacao da prova preve necessariamente o uso de calculadorae portanto o aluno nao deve presumir que tera condicoes de realizar a prova sem portaruma. Qualquer outro objeto eletronico devera ser deixado dentro da bolsa e desligado. Oaluno nao tera acesso a sua bolsa durante a realizacao da prova, caso o alarme ou outrossinais sonoros acontecam durante a prova o aluno nao podera ter acesso a seu objeto paramanuseio. O aluno deve tambem certificar de que nao esta de posse de nenhum outro papel,material ou objeto senao os autorizados. Acarretara o cancelamento da prova de todos osalunos, mesmo que um aluno esteja portanto os objetos especificados neste item, quer sejapor esquecimento ou outro motivo.

8. Como alimento durante a prova somente sera autorizado o uso de agua em recipiente trans-parente. Portanto o aluno devera efetuar um adequado desjejum antes do inıcio da prova.Que tera duracao de 200 minutos.

9. O acesso ao banheiro esta restrito a casos necessarios. Sendo a liberacao feita pelo professore nao pela vontade propria do aluno. Devendo o aluno sempre cientificar o professor de suasaıda e chegada.

8.3 Estrutura da prova:

10. O aluno dispoe de 1 encontro, 200 minutos, para resolucao da prova. Para isto o aluno devecontrolar individualmente o tempo de resolucao de cada questao, bem como o tempo total.

11. O aluno recebera uma folha tipo A4, ou mais, onde constam alguns questoes e o que se pedede cada um. Nesta folha nao deve ser feita nenhuma resolucao.

12. Cada questao devera ser resolvida individualmente em folha tipo A4, fornecida para desen-volvimento. No cabecalho de cada folha de resolucao, devera constar:

(a) Nome da disciplina

(b) Nome do aluno

(c) Numero da questao

(d) Numero da letra correspondente resolvida.

O aluno deve usar uma linha dupla para separacao entre cada questao. O aluno deveevitar uso de duas colunas na folha ou quando fizer, usar uma linha vertical para separar odesenvolvimento. Devendo evitar o uso de linhas diagonais. Veja Item 9 para entendimentodo procedimento de elaboracao de tarefas.

13. A resolucao de uma questao tem duas partes: (1) O aluno devera efetuar o desenvolvimentoa lapis ou caneta. (2) A resposta somente a canete, deve ser um texto claro onde consta ovalor numerico encontrado e a respectiva unidade quando for o caso.



14. A prova consta basicamente de desenvolvimento de qualquer problema matematico praticoutilizando conhecimento teorico constante na bibliografia e ministrado em sala. E nao ape-nas dos exercıcios entregues pelo aluno ou constantes na lista de exercıcios resolvidos oupropostos ou presentes na bibliografia.

15. As operacoes basicas da calculadora compreendem soma, subtracao, multiplicacao, divisao,operacoes trigonometricas, operacoes de potencia, operacoes logarıtmicas e somatorio delista de numeros. As demais operacoes e desenvolvimentos devem ser apresentados, como detalhamento solicitado, como parte da resolucao da questao. A equacoes ou modelosmatematicos devem apresentar todos valores envolvidos nas suas variaveis e parametros, epodem ser resolvidas diretamente na calculadora. O uso de funcoes avancadas, nao constan-tes da lista anterior, podera ser usada apenas para conferencia das resposta e nao constaracomo resposta do exercıcio.

16. A resolucao da questao, e a obtencao da nota da mesma, se da pela elaboracao completae conjunta de todos os calculos em cada passo, apresentando-os de forma clara, coerente,didatica, explicativa, organizada, legıvel e detalhada. E da resposta coerente com o desenvol-vimento. Nao serao consideradas fracoes de calculo ou desenvolvimento como atendimento anota da questao. A nota compoe-se da coerencia de todos os calculos envolvidos no exercıcioe nao somente da resposta final. E o aluno nao deve presumir que a escrita de algarismos sol-tos na folha, ou pedacoes desconectos de desenvolvimento, irao justificar o desenvolvimentoe a resposta ao exercıcio. A divergencia entre desenvolvimento e resposta anula a questao.

17. Deverao ser utilizada 4 casas decimais. Com numeros diferentes de zero, em notacao ci-entıfica, para todos os calculos. O erro relativo maximo permitido entre o valor do gabaritoe o valor fornecido pelo aluno e de 0.01%.

18. O professor recebera a prova pessoalmente de cada aluno, somente se todas as informacoessolicitadas na prova estiverem preenchidos. Podendo o aluno sair de sala somente aposliberacao do professor, o abandono da prova em sala caracteriza desistencia da mesma e seraarrolada testemunha para tais fatos.

8.4 Estrutura do trabalho

19. O trabalho corresponde a resolucao de um conjunto de tarefas, e seus exercıcios, que seraoaplicadas em sala ou via moodle, com prazo de entrega ao finalizar a etapa corrente, eavaliadas de forma individual.

20. O trabalho de cada etapa nao necessariamente e a lista de exercıcios propostos. Podendo serdiferente e nem haver trabalho naquela etapa. O aluno deve ficar atento para a publicacaodo trabalho no moodle.

21. Os exercıcios propostos para aprendizagem devem ser conferidos com outros dois colegaspara assim havendo duvida solicitar discussao do tema em sala de aula.

22. O valor de cada tarefa vale 1 e o valor total do trabalho vale 1. Somente serao pontuadastarefas entregues completas.



8.5 Outras orientacoes:

23. As provas ficarao com o professor, a disposicao do aluno, para revisoes de nota em data aser definida com o professor. Apos este perıodo estas atividades serao arquivadas. Exceto oexame final, que ficara na Secretaria Academica do Curso.

24. O professor a todo momento podera revisar as notas lancadas, ate o fechamento do diariono final do semestre.

25. O aluno devera assinar lista de presenca em sala de aula e no atendimento a alunos noperıodo programado, como comprovacao de sua presenca naquela atividade.

26. As regras previstas no capıtulo Elaboracao de Tarefas,Capıtulo 9 serao adotadas como re-ferencia para todas as tarefas: sejam elas provas, trabalhos, projetos, questoes, exercıciosetc; desenvolvidas durante o curso. Somente sendo considerados para correcao as tarefasque estiverem de acordo com estas regras.

27. A administracao da disciplina sera feita somente via moodle ou link relacionado neste. Serautilizado planilha eletronica, para calculo de notas e medias, sem interferencia subjetiva nasnotas ou casas decimais. No diario a nota 1 corresponde a nota da etapa 1, idem paranota 2. O lancamento da nota sera conforme padrao daquele sistema, uma casa decimal,arredondados conforme planilha. Na correcao das provas e trabalhos as notas valem de zeroa um, com duas casas decimais, conforme as equacoes a seguir:

NotaTrab =

∑ni=1NotaTarefai

n(8.1)

NotaProva =

∑ni=1NotaQuestaoi

n(8.2)

NotaEtapa =NotaTrab ∗ PesoTrab+NotaProva ∗ PesoProva∑

(PesoTrab+ PesoProva)(8.3)

NotaF inal = NotaEtapa ∗ 10 (8.4)

28. O exame final, que envolve toda a materia, tem os mesmos procedimentos de uma etapa,sem a atividade de trabalho.

29. A solicitacao para reposicao de provas seguira os tramites da Secretaria Academica do Curso,SAC, e sera analisadas de acordo com cada caso pelo professor. Sendo marcada uma unicadata para realizacao destas atividades.

30. Todas as atividades da disciplina como aulas, trabalhos e provas, estao previamente agen-dados e sao apresentados aos alunos no primeiro dia de aula. E constam do roteiro dadisciplina.

31. A mudanca de qualquer compromisso requer concordancia unanime dos alunos, disponibi-lidade de sala e disponibilidade do professor. O pedido de alteracao de deve ser feito porescrito e em tempo habil para estas mudancas.

32. As provas podem ser alteradas apenas uma vez da data da inicialmente prevista no inıciodo curso.



33. As notas serao divulgadas via moodle, logo apos a realizacao das correcoes que poderaocorrer mesmo depois da realizacao da prova seguinte. Sendo que as provas que estiveremcom dificuldade de interpretacao serao corrigidas por ultimo. O aluno nao deve presumirque deve ter acesso a nota anterior para realizacao de uma prova seguinte na agenda deavaliacoes.

Quaisquer outros procedimentos nao previstos neste texto serao resolvidos pelo professor eatualizados neste roteiro.


Capıtulo 9

Elaboracao das Tarefas

Uma disciplina e composta basicamente da ministracao/apresentacao de conteudo teorico e de-senvolvimento de atividades para fixacao e ampliacao destes conteudos.

O Moodle referencia qualquer atividade da disciplina (exercıcios, trabalhos, provas) comotarefa, o que sera seguido nestas orientacoes.

Para desenvolvimento das tarefas sera utilizado formulario de equacoes, material de escrita ecalculadora.

Uma tarefa sao situacoes a resolver oriundas de diversas fontes; numeradas assim 1,2,... . Eo que se deseja deste exercıcio no item ”Pede-se”numeradas assim (a),(b),... . Que devem serdesenvolvida no relatorio manual individualmente em cada letra conforme orientacoes a seguir.Seguindo sempre de uma resposta que coaduna com o desenvolvimento.

9.1 Tarefa exemplo

Considere que foi proposto uma tarefa ao aluno de nome Fulano Ferreira da Silva. Para CalculoNumerico deve ser feito desenvolvimento manual com resultados e formatacao similares a umdesenvolvimento digital apresentado.

A referencia a tarefa no item ”Exercıcios Propostos”de cada capıtulo e apresentada da seguinteforma:

9.1.1 Exercıcios Propostos

1. Considere os valores da Tabela 9.1 de um experimento onde y=f(x).

Tabela 9.1: Experimentox y

1.3 23.4 5.25.1 3.86.8 6.18 5.8

Pede-se:

54


(a) Apresente o grafico dos dados originais

(b) Determine um modelo polinomial de 1 grau, para os pontos dados.

(c) Calcule a raiz deste modelo.

(d) Integre o modelo num intervalo qualquer.

2. Veja na Bibliografia [?, Pag. 335, Exemplo 7.5].

Veja que esta tarefa tem 2 exercicios. O primeiro constante na lista de exercıcios propostos.O segundo aponta para determinado livro usado na disciplina.

A estrutura de desenvolvimento deve seguir a orientacao conforme abaixo para que, quando eufor consulta-lo terei um entendimento claro do que voce quis fazer, de quais ferramentas utilizoue das manipulacoes matematicas necessarias ao desenvolvimento do exercıcio. Vendo claramenteo desenvolvimento e a resposta.

Evite usar coluna dupla na folha A4. Mas necessitando faze-lo utilize uma linha vertical paraseparar os conteudos.

Considere o retangulo a seguir como a primeira folha A4 utilizada na resolucao da tarefa.

1 Calc. Num. - Prova 02 - Fulano Ferreira da Silva - folha 1-2

2 ############################################################

3 Exercicio 01 - LETRA A

4 ############################################################

5 DESENVOLVIMENTO:

6 Neste item voc e desenvolve toda a resolu c~ao da referida letra do

exerc ıcio

7 RESPOSTA:

8 Ao final voc e DEVE escrever um texto claro , a caneta , como

resposta da letra em desenvolvimento , citando os valores num e

ricos , vari aveis e unidades necess arias para composi c~ao da

resposta.

9 ############################################################

10 Exercicio 01 - LETRA B

11 ############################################################

12 DESENVOLVIMENTO:

13 .....

Considere o retangulo a seguir como a segunda folha A4 utilizada na resolucao da tarefa.

1 Calc. Num. - Prova 02 - Fulano Ferreira da Silva - folha 2-2

2 ############################################################

3 continua c~ao do Exercicio 1 - Letra B.

4 ############################################################

5 ....

6 RESPOSTA:

7 ...

8 ############################################################

9 Exercicio 02 - LETRA A

10 ############################################################



11 DESENVOLVIMENTO:

12 .....

13 RESPOSTA:

14 ...

9.2 Formulario

O uso do formulario e de extrema importancia em todas as atividades, inclusive nas provas, entaoestude pelo livro mas resolva os exercıcios usando apenas o formulario.

A estrutura do mesmo e apresentada em anexo.


CÁLCULO NUMÉRICO1) Erros

e x=∣x−x∣ , E x=ex

∣x∣

2) Sistemas Lineares:

a11 x1a12 x2...a1n x n=b1

a21 x1a22 x2...a2n xn=b2

...an1 x1an2 x2...ann xn=bn

(1) ou ∑j=1

n

a ij x j=bi ou

Ax=b (2) com i=j=1,2,...,n; i=linha; j=coluna

2.1) Métodos diretos:

Etapa k ; pivô: a ip

jp

k ; multiplicador: i≠i p ; mik=−

aij p

k

a i p j p

k;

linha: Lik1

=Lik

Lip

k∗mi

k

Para Gauss: pivô é a i p j p onde i p= j p transformando a Li onde

ii p e Li p fica inalterada.

Para Pivotação Completa: pivô é a i p j p onde máx∣aij≠0∣

transformando a Li onde i≠i p e Li p fica inalterada.

Para Jordam: pivô é a i p j p onde i p= j p transformando a Li

onde i≠i p

2.2) Métodos iterativos: É condição suficiente para que a iteração de ambos os métodos

convirja se ∣a ii∣> ∑j=1, j≠i

n

∣aij∣ para i=1,2,...,n.

Para ambos os métodos, considere o sistema linear (1). Explicitando

x1 na 1ª equação, x2 na 2ª, …., tem-se:Para Jacobi:

x1(k + 1)

=b1−(a12 x2

(k )+ ...+ a1n xn

(k))

a11

x2(k+ 1)

=b2−(a21 x1

(k )+ ...+ a2n x n

(k ))

a22

...

xn(k+ 1)

=bn−(an1 x1

(k)+ an2 x2

(k )+ ...+ an ,n−1 xn−1

( k))

ann

Para Gauss-Seidel:

x1(k+ 1)

=b1−(a12 x2

(k )+ ...+ a1n xn

(k))

a11

x 2(k+ 1)

=b2−(a21 x1

(k+ 1)+ ...+ a2n xn

(k))

a22

...

xn(k+ 1)

=bn−(an1 x1

(k+ 1)+ an2 x2(k+ 1)+ ...+ an , n−1 xn−1

(k+ 1))

ann

Para ambos os métodos, os valores iniciais são xn

(0)

qualquer. E o

critério de parada é até k> Iterações ou

máx1≤i≤n∣x ik + 1

−x ik∣≤Erro

3) Ajuste de curvas y=c0c1 x1c2 x2...c p x p

[n ∑ x1i ∑ x2i ... ∑ xpi

∑ x1i ∑ x1i x1i ∑ x1i x2i ... ∑ x1i x pi

∑ x2i ∑ x2i x1i ∑ x2i x2i ... ∑ x2i x pi

... ... ... ... ...

∑ x pi ∑ x pi x1i ∑ x pi x2i ... ∑ x pi x pi

]∗[c0

c1

c2

...c p

]=[∑ yi

∑ x1i yi

∑ x2i yi

...

∑ x pi y i

]R2

=1−∑ y i− y i

2

∑ yi2−

∑ y i2

n

4) Interpolação

4.1) Interpolação Lagrangeana

Pn x =∑i=0

n

y i∏j=0j≠i

n x− x j

x i−x j 4.2) Formula de Newton para Diferença Dividida

1 y i=

y i1− y i

x i1−x i

n y i=

n−1 y i1−n−1 y i

x in−x i

Pnx = yo∑i=1

n

i y o∏j=0

i−1

x−x j

5) Zeros de funções

5.1) Briot-Ruffini

P c =an xnan−1 xn−1...a1 xa0

bn=an

bn−1=cbnan−1

bn−2=cbn−1an−2

b0=cb1a0

an an−1 an−2... a1 a0

c cbn cbn−1... cb2 cb1

bn bn−1 bn−2... b1 b0=r

5.2) Limite das raízes

Teorema de lagrange: Sejam an0 , a0≠0 ,

k 0≤k≤n−1 o maior índice dos coeficientes negativos do

polinômio P x . B é máximo dos módulos dos coeficientes negativos do polinômio. Tem-se:

Li=1n−k Ban

P x ⇒ RS≤L

Formulário de Cálculo Numérico. Prof. Dr. Catalunha - Versão atualizada em 23/04/2013 às 08:16 hs Folha 1 de 2

P1x =xn P 1x⇒ RI≥

1L1

P2x =P −x ⇒R−I≥−L2

P3x =xn P −1x⇒R−S≤−

1L3

Resumindo 1L1

≤R+≤L ou −L2≤R-

≤−1L3

5.3) Método da bisseção

f x contínua no intervalo [a ,b] e f (a)∗ f (b)< 0 .

Faz-se x=ab

2. Se f a ∗ f x 0 então intervalo será

[a ,b= x ] . Senão, se f (x )∗ f (b)< 0 intervalo será

[a= x ,b ] . Parada ∣b−a∣≤erro ou

iterações≥ln( b−a

erro )ln 2

−1

5.4) Método Pégaso ou Secante

f x contínua em [a , b] e f (a)∗ f (b)< 0 . Faz-se

x=b−f bb−a

f b− f a . Se f x ∗ f b0 então faz a=b e

f a = f b . Senão, se f x ∗ f b0 então faz a=a e

f a =f a f b

f b f x . Em ambos os casos faz b=x e

f b= f x na próxima iteração.

5.5) Método de Newton contínua no intervalo [a , b] e f (a)∗ f (b)< 0 . É condição

suficiente para a convergência do método de Newton que: f ´ x

e f ´ ´ x sejam não nulas e preservem o sinal em a , b e x0

seja tal que f x0∗ f ´ ´ x00 . Então faz

xn1= xn−f xn

f ´ xn

6) Integração

Considere ∫a

b

f x dx e h=b−a

n e x i=a+ hi e

i=0,1 , ... , n

6.1) Regra do Trapézio

I =h2 y02y1...2yn−1 yn

6.2) 1ª regra de Simpson (n=múltiplo de 2)

I =h3 y04y12y24y32y4...2yn−24yn−1 yn

6.3) 2ª regra de Simpson(n=múltiplo de 3)

I=3h8

y03y13y22y33y 43y52y6...3yn−23yn−1 yn

6.4) Richardson

I =I 2n1

p I 2−I 1

n2p−n1

p; p=2 se trapézio e p=4 se simpson.

6.5) Integral dupla

I =∫a

b

dx∫c

d

f (x , y )dy=kx ky∑i=0

i=nx

∑j=0

j=ny

((cxi cy j)∗ f (x i , y j))

kx=hx2

se trapézio; kx=hx3

se 1 reg. de simpson; kx=3hx

8

se 2 reg. de simpson; idem para ky.

6.6) Gauss

I =∑i=0

n−1

Ai F t i e

F t =12b−a f 1

2b−a t

12ba sendo Ai e t i

coeficientes conforme tabela a seguir:

n i t_i A_i

1 0 0 2

2 1;0 ±0,57735027 1

3 0;12

±0,774596670

5/98/9

4 0;12;3

±0,86113631±0,33998104

0,347854840,65214516

7) EDO

7.1) Runge-Kutta de 4ª Ordem

y j1= y jh6K 12K 22K 3K 4

x j1=x jh

K 1= f x j , y j

K 2= f x jh2

, y jh2

K1

K 3= f x jh2

, y jh2

K2

K 4= f x jh , y jhK3

8) Observações e revisões Propriedades logarítmicas

ln ab=ln a ln b ln ab=ln a – ln b ln ab=b ln a

ln a=log e a ln e=1

Formulário de Cálculo Numérico. Prof. Dr. Catalunha - Versão atualizada em 23/04/2013 às 08:16 hs Folha 2 de 2


Quaisquer outras orientacoes neste item serao atualizadas e informadas aos alunos.


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ROTEIRO.DE 1 CALCULO NUM ERICO - Portal UFT · ROTEIRO.DE 1 CALCULO NUM ERICO Prof. Dr. Catalunha Atualizado em 19 de Junho de 2013 as 11:13 1Este roteiro cont em textos de minha