1. conjuntos

UNICCURSO: ENGENHARIA CIVIL – 1º Semestre

MATEMÁTICA

1. Noções de Conjuntos Numéricos e Expressões Numéricas

1. Introdução

Em uma pesquisa com 50 pessoas sobre preferência de esportes, o resultado obtido foi: 23 gostam de futebol, 18 de basquete e 14 de vôlei; 10 gostam de futebol e de basquete; 9 de futebol e vôlei; 8 de basquete e de vôlei e 5 gostam das três

Modalidades.

a) Quantas pessoas não gostam de nenhum desses esportes?

b) Quantas gostam somente de futebol?

c) Quantas gostam só de basquete?

d) Quantas gostam apenas de vôlei?

e) Quantas não gostam nem de basquete nem de vôlei?

Para resolver questões deste tipo, devemos utilizar conhecimentos de conjuntos.

2. A noção de conjunto

Um conjunto é uma coleção qualquer de objetos. Por exemplo:

Conjunto de animais:

Conjunto dos números primos: B={2,3,5,7,11,13,...} Conjunto dos números naturais: N={0,1,2,3,4,5,...}

Obs: um conjunto é formado por elementos.

3. Igualdade de conjuntos

Dois conjuntos são iguais quando possuem os mesmos elementos. Por exemplo, se A={números naturais pares} e B={0,2,4,6,8,...}, então A=B.

Obs: Se A não é igual a B então A é diferente de B (A≠B).

Prof. Antônio Página 1

4. Conjunto vazio, unitário e universo

O conjunto vazio possui notação ø. Utiliza-se o conjunto vazio, para representar uma propriedade contraditória. O conjunto vazio não possui elementos.

Ele pode ser representado por { }.

O conjunto unitário é formado por um único elemento. Exemplo: {números naturais pares e primos}={x/x é um número natural par e primo}={2}, pois o único número natural e primo.

Obs: {ø} conjunto unitário que tem como único elemento o conjunto vazio.

O conjunto Universo é o conjunto formado por todos os elementos com os quais estamos trabalhando num determinado assunto. Exemplo: se U é o conjunto dos números naturais, então a equação 𝑥 + 5 = 2 não tem solução; porém, se U é o conjunto dos números inteiros então a equação tem solução 𝑥 = −3.

5. Subconjuntos e a relação de inclusão

Considere dois conjuntos A e B, se todos os elementos de A forem também elementos de B, dizemos que A é um subconjunto de B, dizemos que A é um subconjunto de B, indicamos por 𝐴 ⊂ 𝐵.

Lê-se: A é subconjunto de B; A está contido em B; A é parte de B.

Se A não for subconjunto de B, escrevemos 𝐴 ⊄ 𝐵.

Exemplo: Considerando P o conjunto dos números naturais pares e N o conjunto dos números naturais, temos:

P={0,2,4,6,8,...}, N={0,1,2,3,4,5,6,7,8,...}

Nesse caso, 𝑃 ⊂ 𝑁.

Obs: Caso houvesse um elemento de P que não fosse de N, logo: 𝑃 ⊄ 𝑁.

6. Conjunto das partes

Dado o conjunto A={a, e, i}, é possível escrever todos os subconjuntos (todas as partes) de A. Esse conjunto formado por todos os subconjuntos de A é chamado conjunto das partes de A e é indicado por P(A). Assim, temos:

P(A)={ø,{a},{e},{i},{a,e},{a,i},{e,i},{a,e,i}}


7. Complementar de um conjunto

Dado o universo U={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} e o conjunto A={1,3,5,7}, dizemos que o complementar de A em relação a U é {0,2,4,6,8,9}, ou seja, é o conjunto formado pelos elementos de U que não pertencem a A. Indica-se 𝐶𝑈𝐴 ou 𝐴𝐶 ou

𝐴 . Logo, 𝐴𝐶 = {𝑥! 𝑥 ∈ 𝑈 𝑒 𝑥 ∉ 𝐴}.

8. Operações entre conjuntos

Diferença

Dados os conjuntos A={0,1,3,6,8,9} e B={1,4,9,90}, podemos escrever o conjunto C formado pelos elementos que pertencem a A, mas que não pertencem a B.

Assim, C={0,3,6,8}.

O conjunto C é chamado diferença entre A e B e é indicado por A-B (lê-se: A menos B).

De modo geral, escrevemos: 𝐴− 𝐵 = {𝑥 𝑥 ∈ 𝐴𝑒 𝑥 ∉ 𝐵}

Reunião ou união

Dados os conjuntos A={0,10,20,30,50} e B={0,30,40,50,60}, podemos escrever o conjunto C formado pelos elementos que pertencem a A ou pertencem a B ou ambos. Assim, C={0,10,20,30,40,50,60} é indicado por AUB (lê-se:A reunião de B ou A união B)

De modo geral, escrevemos: 𝐴 ∪ 𝐵 = {𝑥 𝑥 ∈ 𝐴 𝑜𝑢 𝑥 ∈ 𝐵}

Exemplo: Se A={3,6} e B={5,6}, então A U B={3,5,6}


Intersecção

Dados os conjuntos A={a,e,i,o,u} e B={a,e,u,b}, podemos escrever o conjunto C formado pelos elementos que pertencem simultaneamente a A e B, ou elementos comuns a A e B. Assim, C={a,e,u}

O conjunto C é chamado intersecção de A e B e é indicado por 𝐴 ∩ 𝐵 (lê-se: A intersecção B ou, simplesmente, A inter B).

De modo geral, escrevemos: 𝐴 ∩ 𝐵 = {𝑥 𝑥 ∈ 𝐴 𝑒 𝑥 ∈ 𝐵}

Propriedades da reunião e da intersecção

1º Comutativa

𝐴 ∪ 𝐵 = 𝐵 ∪ 𝐴

𝐴 ∩ 𝐵 = 𝐵 ∩ 𝐴

2 º Associativa

𝐴 ∪ 𝐵 ∪ 𝐶 = 𝐴 ∪ (𝐵 ∪ 𝐶)

𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶 = 𝐴 ∩ (𝐵 ∩ 𝐶)

3º Distributiva

𝐴 ∩ 𝐵 ∪ 𝐶 = 𝐴 ∩ 𝐵 ∪ (𝐴 ∩ 𝐶)

𝐴 ∪ 𝐵 ∩ 𝐶 = 𝐴 ∪ 𝐵 ∩ (𝐴 ∪ 𝐶)

Números de elementos da reunião de conjuntos

1º Caso: Sejam A={1,3,5,7,9} e B={0,2,4,6,8}. Observamos que cada conjunto tem cinco elementos.

Representamos simbolicamente o número de elementos por: n(A) = 5 e n(B) = 5

𝐴 ∩ 𝐵 = ∅ ⇒ 𝑛 𝐴 ∩𝐵 = 0

𝐴 ∪ 𝐵 = 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 ⇒ 𝑛 𝐴 ∪𝐵 = 10

Logo: 𝑛 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝑛 𝐴 + 𝑛(𝐵)

2º Caso: Considerem A={1,3,5,7,9}, B={2,3,5,7}. Então:


𝐴 = 1,3,5,7,9 ⇒ 𝑛 𝐴 = 5

𝐵 = 2,3,5,7 ⇒ 𝑛 𝐵 = 4

𝐴 ∩ 𝐵 = 3,5,7 ≠ ∅ ⇒ 𝑛 𝐴 ∩ 𝐵 = 3

𝐴 ∪𝐵 = 1,2,3,5,7,9 ⇒ 𝑛 𝐴 ∪ 𝐵 = 6

Logo: 𝑛 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝑛 𝐴 + 𝑛 𝐵 − 𝑛(𝐴 ∩ 𝐵)

Exemplo: Numa pesquisa com jovens, foram feitas as seguintes perguntas para que respondessem sim ou não: Gosta de música? Gosta de esporte? Responderam sim à primeira pergunta 90 jovens; 70 responderam sim à segunda; 25 responderam sim a ambas; e 40 responderam não a ambas. Quantos jovens foram entrevistados?

Solução: A: conjunto dos que gostam de música. 𝑛 𝐴 = 90 B: conjunto dos que gostam de esporte. 𝑛 𝐵 = 70

𝐴 ∩ 𝐵: conjunto dos que gostam de ambos. 𝑛 𝐴 ∩ 𝐵 = 25

𝐴 − (𝐴 ∩ 𝐵): conjunto dos que só gostam de música. 90 − 25 = 65

𝐵 − (𝐴 ∩ 𝐵): conjunto dos que só gostam de esporte. 70 − 25 = 45

Portanto, o número de entrevistados é: 65 + 25 + 45 + 40 = 175 ou 𝑛 𝐴 ∪𝐵 + 40 = 𝑛 𝐴 + 𝑛 𝐵 − 𝑛 𝐴 ∩𝐵 + 40 = 90 + 70 − 25 + 40 = 175

9. Conjuntos numéricos

Os dois principais objetos com que se ocupa a Matemática são os números e as figuras geométricas. O objetivo deste tópico é recordar e aprofundar o que você estudou sobre números no ensino fundamental.

Diagrama

Conjunto dos números naturais (N)

O conjunto dos números naturais é representado por: N = {0,1,2,3,4,...}


N* ={1,2,3,4,5,...}

Os números naturais são usados: nas contagens, nos códigos, nas ordenações.

Conjunto dos números inteiros (Z)

O conjunto dos números inteiros é representado: Z = {...,-3,-2,-1,0,1,2,...}

Z* ={...,-2,-1,1,2,3,...}

Destacamos os seguintes subconjuntos de Z: 𝑁 ⊂ 𝑍

Conjunto dos números racionais (Q)

Ao acrescentarmos as frações não aparentes positivas e negativas ao conjunto Z obtemos o conjunto dos números racionais (Q).

Assim, escrevemos: 𝑄 = {𝑥 𝑥 = 𝑎 𝑏, 𝑐𝑜𝑚 𝑎 ∈ 𝑍,𝑏 ∈ 𝑍 𝑒 𝑏 ≠ 0}

Destacamos os seguintes subconjuntos: 𝑁 ⊂ 𝑍 ⊂ 𝑄

Representação decimal dos números racionais

Dado um número racional a/b , a representação decimal desse número é obtida dividindo-se a por b, podendo resultar em:

Decimais exatas, finitas:

¼ = 0,25;

−5/8 = −0,625

Decimais ou dízimas periódicas, infinitas:

2/3 = 0,666… = 0, 6

Aos numerais decimais em que há repetição periódica e infinita de um ou mais algarismos, dá-se o nome de numerais decimais periódicos ou dízimas periódicas.

Numa dízima periódica, o algarismo ou algarismos que se repetem infinitamente, constituem o período dessa dízima.

As dízimas classificam-se em dízimas periódicas simples e dízimas periódicas compostas.

Dízimas periódicas simples são aquelas que o período apresenta-se logo após a vírgula.

Exemplos:

a) 0,8888.... período = 8

b) 1,232323... período = 23

c) -4,08508508... período = 085


d)

0 ,444 .. .=49

e)

0 ,54545 .. .=5499

= 611

f)

1 ,43434 . ..=14399

=14299

g)

−2 ,8787 .. .=−28799

=−22933

=−9533

Determinação da fração geratriz do decimal:

Exemplo : 0,222…

𝑥 = 0,222…

10𝑥 = 2,222….

10𝑥 = 2 + 0,222…

10𝑥 = 2 + 𝑥

9𝑥 = 2

𝑥 =2/9 = 0,2222...

Dízimas periódicas compostas são aquelas que entre o período e a vírgula existe uma parte não periódica.

Exemplos:

a) 0,3424242... Não período = 3

período = 42

b) 1,789999... Não período = 78

período = 9

c) – 45,0933... Não período = 09

período = 3

d)

0 ,1252525 .. .=125−1990

=124990

=62495


e)

0 ,0477777 . ..=047−04900

=43900

Conjunto dos números irracionais (I)

São números decimais que não admitem fração geratriz, são os decimais infinitos e não-periódicos.

Alguns exemplos: 2 = 1,4142135…; 3 = 1,7320508….; 𝜋 = 3,141592…

Conjunto dos números reais (R)

É a reunião do conjunto dos números racionais com o conjunto dos números irracionais.

𝑅 = 𝑄 ∪ 𝐼 = 𝑥 𝑥 ∈ 𝑄𝑜𝑢 𝑥 ∈ 𝐼 = {𝑥 𝑥 é 𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙 𝑜𝑢 𝑥 é 𝑖𝑟𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙}

10.Expressões Numéricas

São expressões matemáticas que envolvem operações com números.

Exemplo: 7 + 5 -4; 3.5-2; 10/2 + 5

Prioridade das operações numa expressão matemática.

Para resolver uma expressão numérica, efetuamos as operações obedecendo à seguinte ordem

1°) Potenciação e radiciação.

2°) Multiplicações e divisões.

3°) Adições e Subtrações.

EXEMPLO

1º) 5 + 3² x 2 =

= 5 + 9 x 2 =

= 5 + 18 =

= 23

Há expressões onde aparecem os sinais de associação e que devem ser eliminados nesta ordem:

1°) parênteses ( )

2°) colchetes [ ]


3°) chaves { }

EXEMPLO

1°) 40 – [25 + ( 2³ - 7 )] =

= 40 – [25+ ( 8 - 7 )]

= 40 – [25 + 1 ]=

= 40 – 26 =

= 14

Intervalos Numéricos

São subconjuntos de R. Os números reais são descritos geometricamente por uma reta. Cada número corresponde a um ponto na reta e cada ponto determina um número real. Esse conjunto de pontos, é chamado de intervalo.

TIPOS DE INTERVALOS

a) Intervalo Fechado

Números reais compreendidos entre 2 e 5, incluindo os extremos. Representação:

- na reta numérica: - por compreensão: A={xR / 2 x 5}- por intervalo: [2, 5]

b) Intervalo Aberto

Números reais compreendidos entre 3 e 7, excluindo os extremos. Representação:

- na reta numérica: - por compreensão: A={xR / 3< x < 7}- por intervalo: ]3,7[

c) Intervalo Fechado à esquerda e Aberto à direita

Números reais compreendidos entre 1 e 4, incluindo o 1 e excluindo o 4. Representação:

- na reta numérica: - por compreensão: A={xR / 1 x < 4}- por intervalo: [1,4[

d) Intervalo Aberto à esquerda e Fechado à direita


Números reais compreendidos entre 5 e 7, excluindo o 5 e incluindo o 7. Representação:

- na reta numérica: - por compreensão: A={xR / 5 < x 7}- por intervalo: ]5,7]

e) Intervalo Infinito e Fechado à esquerda

Números reais situados à direita de 9, incluindo o próprio 9. Representação:

- na reta numérica: - por compreensão: A={xR / x ≥ 9}- por intervalo: [9,+∞[

f) Intervalo Infinito e Aberto à esquerda

Números reais situados à direita de 3, excluindo o próprio 3. Representação:

- na reta numérica: - por compreensão: A={xR / x > 3}- por intervalo: ]3,+∞[

g) Intervalo Infinito e Fechado à direita.

Números reais situados à esquerda de 2, incluindo o próprio 2. Representação:

- na reta numérica: - por compreensão: A={xR / x 2}- por intervalo: ]-∞,2]

h) Intervalo Infinito e Aberto à direita.

Números reais situados à esquerda de -3, excluindo o próprio -3. Representação:

- na reta numérica:- por compreensão: A={xR / x < -3}- por intervalo:]-∞,-3[


OPERAÇÕES COM INTERVALOS

Exemplo:

Dados A = ]-2,4], B = [0,6] e C = ]-∞,5[, determine:

a) A U B b) A ∩ C c) B – C d) (A U C) ∩ B

Observações:

a) Os símbolos -∞ e +∞ não são números;b) Qualquer intervalo real é sempre um conjunto infinito;c) As operações com intervalos são as mesmas operações que efetuamos com conjuntos,

pois todo intervalo é um conjunto, assim podemos considerar (união), (intersecção) e – (diferença) entre intervalos, bem como determinar o complementar de um intervalo.


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