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1 ESTATÍSTICA

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1

ESTATÍSTICA

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2

UDIII - INFERÊNCIA ESTATÍSTICA

Ass 02: INTERVALOS de CONFIANÇA

( 2a Parte )

ESTATÍSTICA

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OBJETIVOS ESPECÍFICOS

• Determinar intervalo de 95% de confiança para a diferença entre 2 médias ( 1 - 2 ) ;

• Determinar intervalo de 95% de confiança para uma proporção;

• Determinar intervalos de 95% de confiança unilaterais ;

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SUMÁRIO

1- Diferença entre duas médias ( 1- 2 )

2- Proporções

3- Intervalos de Confiança Unilaterais

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1 - Diferença entre duas médias ( 1- 2 )

Comumente comparam-se duas médias

populacionais através de sua diferença:

Uma estimativa razoável para tal diferença é

a diferença correspondente entre as médias

amostrais: 21 XX

Nosso interesse é construir uma estimativa intervalar em torno daquele valor.

( 1- 2 )

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a ) Variâncias Populacionais Conhecidas

1 - Diferença entre duas médias ( 1- 2 )

EPz)XX()μ μ ( 025,02121

Pode-se demonstrarque: 21

21nn

)XX( var22

21 σσ

Portanto,21 nn

EP22

21 σσ

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Intervalo de 95% de confiança para a diferença entre médias, em amostras independentes:

2

22

1

21

025,02121 n

σ

n

σz)XX() ( μμ

Quando se sabe que 1 e 2 têm um valor comum, conhecido, , o intervalo de 95% de confiança se reduz a:

21025,02121 nn

σ z)XX() (11

μμ

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1 - Diferença entre duas médias ( 1- 2 )

b ) Variâncias Populacionais Desconhecidas

Intervalo de 95% de confiança para amostras independentes, quando as variâncias populacionais são iguais e desconhecidas:

21p025,02121 nn

s t)XX() (11

μμ

sp é uma estimativa de . É a variância combinada ( “ pooled ” )

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)1n()1n(

)XX()XX(s

21

222

2112

p

X1 ( ou X2 ) representa a observação típica na primeira ( ou segunda ) amostra.

Graus de liberdade para t:

g.l.= ( n1 - 1 ) + ( n2 - 1 )

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Exemplo: De uma grande turma extraiu-se uma amostra de quatro notas: 64,66,89 e 77. Uma amostra independente de três notas de uma segunda turma foi: 56,71 e 53. Se é razoável admitir que as variâncias das duas turmas sejam aproximadamente iguais, calcule um intervalo de 95% de confiança para a diferença entre as médias das duas turmas.

Observação: A menos que haja evidência em contrário, é costume, com pequenas amostras, supor que as variâncias populacionais seja iguais.

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Turma 1

Análise de 2 Amostras Independentes

Turma 2

X1 obs

64

66

89

77

0,74X

4

296X

1

1

)XX( 11

-10

-8

15

3

0

211 )XX(

100

64

225

9

398

X2 obs )XX( 22 222 )XX(

56

71

53

0,60X

3

180X

2

2

-4

11

-7

0 0

16

121

49

186

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Assim temos:

35)μμ(7

2114)μμ(3

1

4

1117571,2)0,600,74()μμ(

,Logo .571,2t5.l.g

1175

584

23

186398s

21

21

21

025,0

2p

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1 - Diferença entre duas médias ( 1- 2 )

c ) Amostras Emparelhadas

Consideremos apenas uma turma de alunos examinada em duas épocas distintas, digamos, os períodos de outono e primavera. Vamos supor que queiramos utilizar os mesmos indivíduos em ambas as amostras.O primeiro passo natural é ver como a situação de cada estudante se modificou calculado a diferença D=X1-X2

X1- notas na primavera;X2- notas no outono

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Trataremos de agora em diante as diferenças D como uma única amostra.

Em primeiro lugar, calcula-se a diferença média amostral . Em seguida, utiliza-se essa diferença amostral para construir um intervalo de confiança para a diferença média populacional .

D

Δ

Intervalo de 95%

de confiança para

amostras

emparelhadasn

stDΔ D

025,0

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Análise de 2 Amostras Emparelhadas

Estu-dante

DiferençaX1

(prima-vera)

ABCD

X2

(outono)

64668977

54547062

Notas Observadas

D=X1-X2

10121915

)DD( 2)DD(

-4-251

164

251

0,14D

4

56D

03,15s

3

46s

2D

2D

- - -

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Assim, temos:

20Δ8

614Δ4

3,15182,314Δ

,Logo .182,3t

31-41-ng.l. ;3,15s ;14D

0,025

D

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1 - Diferença entre duas médias ( 1- 2 )

d ) Por que Amostras Emparelhadas?

- O erro amostral no caso de dados emparelhados é muito menor do que no caso de dados independentes . 21) vs.6( - Razão: o emparelhamento mantém constante muitas das variáveis estranhas. Utilizando os mesmos 4 estudantes, mantemos o sexo, o QI e muitos outros fatores exatamente os mesmos em ambas as amostras. Há, pois, um melhor nivelamento do problema.

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SUMÁRIO

1- Diferença entre duas médias ( 1- 2 )

2- Proporções

3- Intervalos de Confiança Unilaterais

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2 - Proporções

Ao lidar com uma variável categorizada em que cada indivíduo ou item da população pode ser classificado como possuidor ou não-possuidor de determinada característica, aos dois resultados possíveis poderiam ser atribuídas pontuações de 1 ou 0 para representar a presença ou a ausência da característica, respectivamente.

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Exemplo: Nas eleições presidenciais nos EUA, a população de votantes pode ser encarada como uma urna de fichas marcadas 0 ou 1.

Quantos votos você dará ao candidato republicano?Tratando-se de uma eleição honesta, o eleitor só poderá responder 0 ou 1.

Chamaremos de a proporção populacional de republicanos.

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Média e Variância Populacionais de uma Variável 0 -1

X p(X)

0

1

(1- )

X p(X)

0

( )

X-

-

1-

(X-)2

2

(1- )2

(X-)2p(X)

2 (1- )

(1- )2

(1- ) ( 2 )

1 - -

) π1 ( π σ πμ

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2 - Proporções

a) Fórmula para Grandes Amostras

Uma proporção amostral P nada mais é do que uma média disfarçada de uma população 0 -1.

Por exemplo, se observarmos 7 republicanos em uma amostra de 10 eleitores, a proporção amostral de republicanos é:

10

7)1101101101(

10

1XP

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Da mesma forma, a proporção populacional nada mais é que a média disfarçada de uma população 0 - 1.

Estimativa Intervalar de 95% de Confiança para uma Proporção

n

) π1 ( π 96,1Pπ

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Intervalo de 95% de Confiança para a Proporção ( para n grande )

n

)P1(P96,1Pπ

Para se ter uma boa aproximação, o tamanho amostral n deve ser suficientemente grande de tal sorte que n e n(1- ) sejam, cada um deles, pelo menos iguais a 5.

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b) Método Gráfico

(ÁBACO),

Grandes ou

Pequenas Amostras

P=0,8n=20

0,56<<0,96

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c) Diferença entre Duas Proporções, Grandes Amostras

2 - Proporções

Intervalo de 95% de Confiança para a Diferença entre Populações, para n1 e n2, grandes e amostras independentes:

2

22

1

112121 n

)P1 (P

n

)P1 (P96,1)PP()π π (

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Exemplo: Em uma amostra aleatória de pneus fabricados por certa companhia, 20% não satisfazem os padrões da mesma. Construa um IC95 para a proporção ( em toda a população de pneus ) dos que não satisfazem os padrões:

i) se o tamanho da amostra é n=10

ii) se n=25;

iii) se n=2500.

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Ábaco

Solução:

i) n=10; nP=10 x 0,2 = 2; n(1-P)=10 x 0,8=8

P = 0,2; (1-P ) = 0,8

0,01 < < 0,57

ii) n=25; nP=25 x 0,2 = 5; n(1-P)=25 x 0,8=20

n

) P 1( P96 , 1 P π

Ábaco 0,06 < < 0,41

iii) n=2500; nP=2500 x 0,2 = 500; n(1-P)=2500 x 0,8=2000

=0,20 0,0157

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SUMÁRIO

1- Diferença entre duas médias ( 1- 2 )

2- Proporções

3- Intervalos de Confiança Unilaterais

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3 - Intervalos de Confiança Unilaterais

a ) O caso Mais Simples

Há ocasiões em que, para estabelecer uma premissa, devemos fazer uma afirmação de que certo valor populacional é no mínimo tão grande quanto determinado valor. A técnica adequada é então um intervalo de confiança unilateral, com tolerância de erro de 5% toda localizada em uma cauda:

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Intervalo de 95% de Confiança ( Unilateral )

nzX 05,0

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Exemplo: Escolheram-se aleatoriamente 16 notas de uma turma muito grande com desvio padrão de 12. Se a média amostral é 58, construa um intervalo de confiança unilateral adequado para mostrar quão boa é a média de toda a turma.

53

55816

1264,158

)I Tab( 64,1z ;58X 12; ;16n 0,05

Solução

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Pode-se, pois, concluir, com 95% de confiança, que a média da turma é no mínimo 53.

Observação: O intervalo de confiança abrange não só todos os valores acima da média amostral = 58, como também um conjunto de valores abaixo dela suficiente para garantir 95% de confiança na correção do resultado.

X

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Embora o intervalo de confiança unilateral dê melhor cota inferior que o intervalo bilateral, devemos pagar um preço bastante elevado: o intervalo de confiança unilateral não tem absolutamente qualquer cota superior.

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n

stX 05,0

b ) Outros Casos

Qualquer intervalo de confiança bilateral pode ser ajustado analogamente de modo a gerar um intervalo de confiança unilateral. Por exemplo, quando é desconhecido e deve ser substituído por s, temos:

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Analogamente para duas amostras:

21p05,02121 nn

s t)XX() (11

μμ

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Naturalmente, se desejamos testar se um valor populacional é inferior a uma certa cifra, o intervalo de confiança unilateral terá a forma:

n

stX 05,0

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PRATIQUE COM OS

EXERCÍCIOS .

BOA SORTE!