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1ª Fase - Unicamp · 1ª Fase - Matemática Objetivo da Questão . Abordar conceitos básicos de probabilidade. Alternativa Correta: B . Sejam e as probabilidades de sair, respectivamente,

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1ª Fase - Matemática

Introdução O objetivo da prova de Matemática da primeira fase foi avaliar os candidatos quanto aos conhecimentos da área desenvolvidos na educação básica. Os enunciados das questões foram curtos e diretos, não apresentando dificuldades de interpretação. Diferentes tópicos do programa foram igualmente distribuídos ao longo da prova.

Questão 17 Considere três números inteiros cuja soma é um número ímpar. Entre esses três números, a quantidade de números ímpares é igual a a) 0 ou 1. b) 1 ou 2. c) 2 ou 3. d) 1 ou 3.

Objetivo da Questão Avaliar o conhecimento sobre o conceito de paridade no conjunto dos números inteiros.

Alternativa Correta: D A soma de dois números inteiros ímpares ou dois números inteiros pares é par. Assim, para que a soma de três números inteiros resulte em um número ímpar, um dos números deve ser ímpar ou os três números devem ser ímpares.

Desempenho dos candidatos

Comentários Gerais Tradicionalmente, a questão de abertura da prova de Matemática é de resolução simples e envolve conceitos elementares. A porcentagem de acertos foi muito alta e a questão foi classificada como "Fácil".

Questão 18 Dois anos atrás certo carro valia 𝑅$ 50.000,00 e atualmente vale 𝑅$ 32.000,00. Supondo que o valor do carro decresça a uma taxa anual constante, daqui a um ano o valor do carro será igual a a) 𝑅$ 25.600,00.

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b) 𝑅$ 24.400,00. c) 𝑅$ 23.000,00. d) 𝑅$ 18.000,00.

Objetivo da Questão Explorar o conhecimento sobre porcentagem e taxa de variação.

Alternativa Correta: A Seja 𝑞 a taxa de desvalorização anual, considerada constante. Como o valor do carro, há dois anos, era de

𝑅$ 50.000,00, após um ano esse valor passou a ser de 𝑅$ 50.000,00 × 𝑞 e após dois anos (atualmente)

passou a ser de 𝑅$ 50.000,00 × 𝑞 × 𝑞 = 𝑅$ 50.000,00 × 𝑞2. Logo, 𝑅$ 50.000,00 × 𝑞2 = 𝑅$ 32.000,00, ou

seja, 𝑞2 =32

50=

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25 e, portanto, 𝑞 =

4

5= 0,8. Assim, daqui a um ano o valor do carro será de 𝑅$ 32.000,00 ×

𝑞 = 𝑅$ 32.000 × 0,8 = 25.600,00.

Desempenho dos candidatos

Comentários Gerais Como o gráfico acima indica, a grande maioria dos candidatos optou pela alternativa (c), que corresponde ao valor do carro daqui a um ano se, erroneamente, se considerar que uma "taxa anual constante" significa um "valor anual constante". Apesar de ser uma questão de solução simples, esse erro contribuiu para que ela fosse classificada como "Difícil".

Questão 19 Lançando-se determinada moeda tendenciosa, a probabilidade de sair cara é o dobro da probabilidade de sair coroa. Em dois lançamentos dessa moeda, a probabilidade de sair o mesmo resultado é igual a a) 1/2. b) 5/9. c) 2/3. d) 3/5.

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1ª Fase - Matemática

Objetivo da Questão Abordar conceitos básicos de probabilidade.

Alternativa Correta: B Sejam 𝑝 e 𝑞 as probabilidades de sair, respectivamente, cara ou coroa, em um lançamento dessa moeda

tendenciosa. Assim, 𝑝 + 𝑞 = 1 e, conforme o enunciado, 𝑝 = 2𝑞. Logo, 3𝑞 = 1 e, portanto, 𝑞 =1

3 e 𝑝 =

2

3. Em

dois lançamentos dessa moeda, para que saia o mesmo resultado, devemos ter cara e cara, com

probabilidade 𝑝 × 𝑝 =2

2

3=

4

9, ou coroa e coroa, com probabilidade 𝑞 × 𝑞 =

1

1

3=

1

9. Como os dois

resultados não podem ocorrer simultaneamente, a probabilidade final é dada pela soma 4

9+

1

9=

5

9.

Desempenho dos candidatos

Comentários Gerais Acreditamos que os candidatos tiveram certa dificuldade em obter corretamente o resultado final. Como a moeda é tendenciosa, as probabilidades de sair cara ou coroa são distintas, e tinham que ser determinadas explicitamente. A questão foi classificada como "Difícil".

Questão 20 Seja a função ℎ(𝑥) definida para todo número real 𝑥 por

12 se 1,( )

1 se 1.

x xh x

x x

Então, ℎ(ℎ(ℎ(0))) é igual a

0.

2.

4.

8.

Objetivo da Questão Avaliar o conhecimento sobre composição de funções, particularmente sobre função definida por partes.

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Alternativa Correta: C Pela definição da função ℎ, e considerando que 0 ≤ 1, ℎ(0) = 20+1 = 21 = 2. Assim, como 2 > 1, ℎ(ℎ(0)) =

ℎ(2) = √2 − 1 = √1 = 1. Portanto, como 1 ≤ 1, ℎ(ℎ(ℎ(0)) = ℎ(1) = 21+1 = 22 = 4.

Desempenho dos candidatos

Comentários Gerais Nessa questão, dois tópicos importantes são abordados: função composta e função definida por partes. Parece-nos que esses assuntos têm merecido mais atenção no Ensino Médio: trata-se de temas em que os candidatos costumavam ter mais dificuldade e, como mostra o gráfico de desempenho, o índice de acertos de quase 60%, levando-nos a classificar a questão como "Média".

Questão 21 A figura a seguir exibe o gráfico de uma função 𝑦 = 𝑓(𝑥) para 0 ≤ 𝑥 ≤ 3.

O gráfico de 𝑦 = [𝑓(𝑥)]2 é dado por a)

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b)

c)

d)

Objetivo da Questão A questão exige a construção do gráfico que representa o quadrado de uma função a partir do gráfico da própria função.

Alternativa Correta: C Para 0 ≤ 𝑥 ≤ 1, o gráfico da função 𝑓 é um segmento de reta e, portanto, nesse intervalo, a função 𝑓 é afim

e pode ser escrita como 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏, sendo 𝑎 e 𝑏 números reais. Como 𝑓(0) = 𝑎 × 0 + 𝑏 = 0 e 𝑓(1) =𝑎 × 1 + 𝑏 = 1, temos 𝑎 = 1 e 𝑏 = 0. Analogamente, para 1 ≤ 𝑥 ≤ 3, podemos escrever 𝑓(𝑥) = 𝑐𝑥 + 𝑑, sendo 𝑐 e 𝑑 números reais. Como 𝑓(1) = 𝑐 × 1 + 𝑑 = 1 e 𝑓(2) = 𝑐 × 2 + 𝑑 = 0, temos 𝑐 = −1 e 𝑑 = 2.

Assim, para 0 ≤ 𝑥 ≤ 1, temos [𝑓(𝑥)]2 = [1 × 𝑥 + 0]2 = 𝑥2 e, para 1 ≤ 𝑥 ≤ 3, [𝑓(𝑥)]2 = [−1 × 𝑥 + 2]2 =(𝑥 − 2)2. Portanto, o gráfico de 𝑦 = [𝑓(𝑥)]2 para 0 ≤ 𝑥 ≤ 3 resulta da união dos gráficos de duas funções quadráticas, e consiste em duas parábolas com a concavidade para cima.

Desempenho dos candidatos

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Comentários Gerais Uma vez que o gráfico de 𝑦 = 𝑓(𝑥) é composto pela união de dois segmentos de reta, 𝑓(𝑥) é definida por

duas funções afins. Logo, o gráfico de 𝑦 = [𝑓(𝑥)]2 é composto por dois segmentos de parábolas, ambas com a concavidade para cima. A alta porcentagem de escolhas da alternativa (b) revela uma interpretação gráfica errônea sobre a concavidade. A questão foi classificada como “Difícil”.

Questão 22 A figura abaixo exibe um setor circular dividido em duas regiões de mesma área. A razão 𝑎/𝑏 é igual a

a) √3 + 1.

b) √2 + 1.

c) √3.

d) √2.

Objetivo da Questão Avaliar a habilidade do candidato no cálculo de áreas de figuras planas, considerando a comparação entre áreas de setores circulares em função de seus raios.

Alternativa Correta: B Como as duas regiões têm a mesma área, a área do setor circular com raio de comprimento 𝑎 + 𝑏 é o dobro da área do setor circular com raio de comprimento 𝑎. Seja 𝜃 o ângulo central e seja 𝑟 = 𝑎/𝑏. Temos, então, 𝜃

2(𝑎 + 𝑏)2 = 2 ×

𝜃

2𝑎2, ou seja, (𝑎 + 𝑏)2 = 2𝑎2. Dividindo ambos os lados por 𝑏2, obtemos (𝑟 + 1)2 = 2𝑟2, ou

seja, 𝑟2 − 2𝑟 − 1 = 0. Resolvendo essa equação quadrática, obtemos 𝑟 =−(−2)±√(−2)2−4×1×(−1)

2×1=

2±√8

2= 1 ±

√2. Como 𝑟 deve ser positivo, a única possibilidade é 𝑟 = 1 + √2.

Desempenho dos candidatos

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Comentários Gerais Apesar de a Geometria Plana ser um tema bem trabalhado no Ensino Médio, o cálculo de áreas de setores circulares é menos frequente. Além disso, para a correta resolução da questão, era necessário calcular uma relação entre áreas de setores circulares, o que aumentou a dificuldade. Pelo índice razoavelmente baixo de acertos, a questão foi considerada "Difícil" e as porcentagens exibidas pelas alternativas incorretas foram interpretadas como escolhas ao acaso dos candidatos.

Questão 23 Considere que o quadrado 𝐴𝐵𝐶𝐷, representado na figura abaixo, tem lados de comprimento de 1 𝑐𝑚, e que

𝐶 é o ponto médio do segmento 𝐴𝐸. Consequentemente, a distância entre os pontos 𝐷 e 𝐸 será igual a

a) √3 𝑐𝑚. b) 2 𝑐𝑚.

c) √5 𝑐𝑚.

d) √6 𝑐𝑚.

Objetivo da Questão Avaliar a habilidade do candidato na aplicação do Teorema de Pitágoras e da Lei dos Cossenos.

Alternativa Correta: C Na figura abaixo, 𝑑 é o comprimento da diagonal do quadrado 𝐴𝐵𝐶𝐷, 𝑥 é o comprimento do segmento 𝐷𝐸 e

𝜃 é o ângulo interno do vértice 𝐶 do triângulo 𝐶𝐷𝐸. Como 𝐶 é o ponto médio do segmento 𝐴𝐸, o

comprimento do segmento 𝐶𝐸 é igual a 𝑑.

Como os lados do quadrado 𝐴𝐵𝐶𝐷 têm comprimento de 1 𝑐𝑚, pelo Teorema de Pitágoras, 𝑑2 = 12 + 12, ou

seja, 𝑑 = √2 𝑐𝑚. Além disso, 𝜃 = 1800 − 450 = 135𝑜. Aplicando a Lei dos Cossenos ao lado 𝐷𝐸 do triângulo

𝐶𝐷𝐸, obtemos 𝑥2 = 12 + (√2)2

− 2 × 1 × √2 × cos 𝜃 = 1 + 2 − 2√2 × cos 135𝑜 = 3 − 2√2 × (−√2

2) = 3 + 2 =

5. Portanto, 𝑥 = √5 𝑐𝑚.

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Desempenho dos candidatos

Comentários Gerais A dificuldade da questão foi “Média”, indicando que o Ensino Médio precisa trabalhar mais com construções geométricas e relações trigonométricas.

Questão 24 Seja 𝑥 um número real tal que sen 𝑥 + cos 𝑥 = 0,2. Logo, | sen 𝑥 − cos 𝑥| é igual a

0,5.

0,8.

1,1.

1,4.

Objetivo da Questão Explorar a operação com as funções trigonométricas seno e cosseno.

Alternativa Correta: D Da relação dada, temos (sen 𝑥 + cos 𝑥)2 = (0,2)2, ou seja, (sen 𝑥)2 + 2 × sen 𝑥 × cos 𝑥 + (cos 𝑥)2 = 0,04.

Assim, usando as relações (sen 𝑥)2 + (cos 𝑥)2 = 1 e 2 × sen 𝑥 × cos 𝑥 = sen(2𝑥), obtemos sen(2𝑥) = −0,96.

Por outro lado, | sen 𝑥 − cos 𝑥 |2 = (sen 𝑥 − cos 𝑥)2 = (sen 𝑥)2 − 2 × sen 𝑥 × cos 𝑥 + (cos 𝑥)2 = 1 − sen(2𝑥) =

1 − (−0,96) = 1,96. Portanto, |sen 𝑥 − cos 𝑥| = √1,96 = 1,4.

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Desempenho dos candidatos

Comentários Gerais Embora a única relação trigonométrica exigida na resolução da questão seja a equação fundamental, a necessidade de operar com valor absoluto e a necessidade de relacionar os resultados obtidos ao longo da resolução do exercício parecem ter sido fatores de complicação, levando a uma porcentagem de acertos muito baixa. A alta porcentagem de escolhas da alternativa (b) pode, talvez, ser explicada pela aplicação

equivocada da equação fundamental, raciocinando-se que, se a “soma” dada é igual a 0,2, então a “diferença” é 1 − 0,2 = 0,8. A questão foi classificada como “Difícil”.

Questão 25

Sejam 𝑎 e 𝑏 números reais tais que a matriz 1 2

0 1A

satisfaz a equação 𝐴2 = 𝑎𝐴 + 𝑏𝐼, em que 𝐼 é a

matriz identidade de ordem 2. Logo, o produto 𝑎𝑏 é igual a

a) −2.

b) −1.

c) 1.

d) 2.

Objetivo da Questão Avaliar o conhecimento sobre operações básicas entre matrizes reais.

Alternativa Correta: A

Temos 𝐴2 = 𝑎𝐴 + 𝐵𝐼, ou seja, [1 20 1

]2

= 𝑎 [1 20 1

] + 𝑏 [1 00 1

]. Assim, [1 20 1

] × [1 20 1

] = [𝑎 2𝑎0 𝑎

] + [𝑏 00 𝑏

].

Logo, [1 × 1 + 2 × 0 1 × 2 + 2 × 10 × 1 + 1 × 0 0 × 2 + 1 × 1

] = [𝑎 + 𝑏 2𝑎

0 𝑎 + 𝑏], ou seja, [

1 40 1

] = [𝑎 + 𝑏 2𝑎

0 𝑎 + 𝑏]. Portanto, 𝑎 + 𝑏 = 1

e 2𝑎 = 4, o que implica 𝑎 = 2 e 𝑏 = −1, resultando em 𝑎𝑏 = 2 × (−1) = −2.

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Desempenho dos candidatos

Comentários Gerais A resolução dessa questão envolve apenas operações básicas de soma e produto de matrizes. No entanto, a questão foi considerada "Difícil", apresentando baixa porcentagem de acertos. Acreditamos que isso se explique pela exigência de se obter a equação correta correspondente a cada elemento da matriz, dada pela igualdade matricial. Observamos que a alternativa (c) obteve um razoável índice de escolhas, talvez

porque corresponda ao resultado da soma 𝑎 + 𝑏, e não do produto 𝑎𝑏.

Questão 26 Sabendo que 𝑘 é um número real, considere o sistema linear nas variáveis reais 𝑥 e 𝑦,

1,

.

x ky

x y k

É correto afirmar que esse sistema a) tem solução para todo 𝑘. b) não tem solução única para nenhum 𝑘. c) não tem solução se 𝑘 = 1. d) tem infinitas soluções se 𝑘 ≠ 1.

Objetivo da Questão Avaliar a capacidade do candidato em analisar soluções de um sistema linear que contém um parâmetro.

Alternativa Correta: A Da segunda equação temos 𝑥 = 𝑘 − 𝑦. Substituindo 𝑥 na primeira equação, obtemos 𝑘 − 𝑦 + 𝑘𝑦 = 1, ou seja, (𝑘 − 1)𝑦 = 1 − 𝑘. Se 𝑘 = 1, podemos tomar 𝑦 como qualquer número real e 𝑥 = 1 − 𝑦: o sistema tem

infinitas soluções. Se 𝑘 ≠ 1, 𝑦 = −1 e 𝑥 = 𝑘 + 1: o sistema tem solução única. Portanto, o sistema tem

solução para todo 𝑘.

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Desempenho dos candidatos

Comentários Gerais Em vista da simplicidade do sistema a ser analisado, a porcentagem de acertos dessa questão ficou muito abaixo da esperada. A questão foi considerada “Difícil”, o que atribuímos à dificuldade dos candidatos na leitura e na compreensão adequadas de cada uma das alternativas.

Questão 27 No plano cartesiano, sejam 𝐶 a circunferência de centro na origem e raio 𝑟 > 0 e 𝑠 a reta de equação 𝑥 + 3𝑦 = 10. A reta 𝑠 intercepta a circunferência 𝐶 em dois pontos distintos se e somente se a) 𝑟 > 2.

b) 𝑟 > √5. c) 𝑟 > 3.

d) 𝑟 > √10.

Objetivo da Questão Explorar as equações da reta e da circunferência no plano cartesiano.

Alternativa Correta: D A equação cartesiana da circunferência 𝐶 é dada por (𝑥 − 0)2 + (𝑦 − 0)2 = 𝑟2, ou seja, 𝑥2 + 𝑦2 = 𝑟2. Nos

pontos de intersecção da reta 𝑠 com a circunferência 𝐶, devemos ter 𝑥 + 3𝑦 = 10 e 𝑥2 + 𝑦2 = 𝑟2,

simultaneamente, ou seja, (10 − 3𝑦)2 + 𝑦2 = 𝑟2 e 𝑥 = 10 − 3𝑦. Obtemos assim a equação quadrática

10𝑦2 − 60𝑦 + (100 − 𝑟2) = 0. Essa equação tem duas soluções distintas se e somente se seu discriminante

for positivo, isto é, ∆= 602 − 4 × 10 × (100 − 𝑟2) = 3600 − 4000 + 40𝑟2 = −400 + 40𝑟2 = 40(𝑟2 − 10) > 0.

Portanto, 𝑟2 > 10, ou seja, 𝑟 > √10.

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Desempenho dos candidatos

Comentários Gerais A resolução depende da análise do discriminante da equação quadrática obtida a partir da condição de interseção entre a reta e a circunferência. A porcentagem de escolhas da alternativa correta não foi alta e a questão foi classificada como "Difícil",. Observamos que a alternativa (c) teve uma porcentagem de escolha

muito próxima à da correta. A intersecção da reta 𝑠 com o eixo das ordenadas se dá em 𝑦 = 10/3 ≈ 3,33,

podendo levar à interpretação errônea de que seria suficiente que 𝑟 fosse maior que 3.

Questão 28 Sejam 𝑝(𝑥) e 𝑞(𝑥) polinômios com coeficientes reais. Dividindo-se 𝑝(𝑥) por 𝑞(𝑥), obtêm-se quociente e

resto iguais a 𝑥2 + 1. Nessas condições, é correto afirmar que a) o grau de 𝑝(𝑥) é menor que 5. b) o grau de 𝑞(𝑥) é menor que 3. c) 𝑝(𝑥) tem raízes complexas. d) 𝑞(𝑥) tem raízes reais.

Objetivo da Questão Abordar a divisão de polinômios com coeficientes reais e a classificação de raízes.

Alternativa Correta: C A divisão de 𝑝(𝑥) por 𝑞(𝑥) pode ser escrita na forma 𝑝(𝑥) = 𝑞(𝑥) × 𝑑(𝑥) + 𝑟(𝑥), em que 𝑑(𝑥) é o dividendo,

𝑟(𝑥) o resto e o grau de 𝑟(𝑥) deve ser inferior ao grau de 𝑞(𝑥). Conforme o enunciado, 𝑑(𝑥) = 𝑟(𝑥) = 𝑥2 + 1

e, portanto, 𝑝(𝑥) = 𝑞(𝑥) × (𝑥2 + 1) + (𝑥2 + 1) = (𝑥2 + 1) × 𝑞(𝑥). Sendo 𝑖 a unidade imaginária (𝑖2 = −1), temos 𝑝(𝑖) = 𝑝(−𝑖) = 0 e, portanto, 𝑝(𝑥) tem raízes complexas (na verdade, imaginárias).

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Desempenho dos candidatos

Comentários Gerais A questão envolve divisão de polinômios, cujas expressões não estão explícitas, e o conceito de grau de um polinômio. Foi considerada "Difícil" assim como ocorreu em anos anteriores, com questões sobre polinômios, um assunto pouco assimilado pelos candidatos.

Questão 29 Sejam 𝑎 e 𝑏 números reais não nulos. Se o número complexo 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 é uma raiz da equação quadrática

𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑎 = 0, então

a) |𝑧| = 1/√3.

b) |𝑧| = 1/√5.

c) |𝑧| = √3.

d) |𝑧| = √5.

Objetivo da Questão Explorar o conceito de raiz complexa de uma equação quadrática com coeficientes literais.

Alternativa Correta: B Se 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 é uma raiz da equação quadrática 𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑎 = 0, então devemos ter 𝑧2 + 𝑏𝑧 + 𝑎 =(𝑎 + 𝑏𝑖)2 + 𝑏(𝑎 + 𝑏𝑖) + 𝑎 = 0. Logo, 𝑎2 + 2𝑎𝑏𝑖 − 𝑏2 + 𝑎𝑏 + 𝑏2𝑖 + 𝑎 = 0, ou seja, (𝑎2 − 𝑏2 + 𝑎𝑏 + 𝑎) +(2𝑎𝑏 + 𝑏2)𝑖 = 0. Portanto, 𝑎2 − 𝑏2 + 𝑎𝑏 + 𝑎 = 0 e 2𝑎𝑏 + 𝑏2 = 0. Da segunda equação, temos 𝑏(2𝑎 + 𝑏) = 0

e, como 𝑏 deve ser não nulo, 𝑏 = −2𝑎. Substituindo esse resultado na primeira equação, obtemos 𝑎2 −

(−2𝑎)2 + 𝑎(−2𝑎) + 𝑎 = 0, ou seja, 𝑎(1 − 5𝑎) = 0. Como 𝑎 deve ser não nulo, chegamos a 𝑎 =1

5 e, portanto,

𝑏 = −2

5. Logo, |𝑧| = √𝑎2 + 𝑏2 = √(

1

5)2 + (−

2

5)2 = √

1

25+

4

25= √

5

25= √

1

5=

1

√5.

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1ª Fase - Matemática

Desempenho dos candidatos

Comentários Gerais Essa questão envolve números complexos que são raízes de uma equação quadrática, e as operações simples de soma, produto e igualdade. Esses itens básicos não são bem assimilados pelos candidatos, o que nos leva a interpretar a diversificação das respostas como resultado de escolhas aleatórias. A questão foi considerada "Difícil".

INTERDISCIPLINARES

Questão 15 (MAT + PORT) O poema abaixo é de autoria do poeta Augusto de Campos, integrante do movimento concretista.

(Augusto de Campos, Viva Vaia. Poesia: 1949-1979. São Paulo: Ateliê Editorial, 2000, p. 116-117.) Nesse poema, nota-se uma técnica de composição que consiste a) na disposição arbitrária de anagramas, sem produzir uma relação de sentido com o título do poema. b) na disposição exaustiva de anagramas, sem produzir uma relação de sentido com o título do poema. c) na disposição arbitrária de anagramas, para produzir uma relação de sentido com o título do poema. d) na disposição exaustiva de anagramas, para produzir uma relação de sentido com o título do poema.

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1ª Fase - Matemática

Objetivo da Questão Exigiu-se do candidato a análise de um poema que contém elementos com conteúdo matemático implícito. A questão requereu, ainda, a habilidade de estabelecer relação entre a organização da linguagem no poema e o raciocínio matemático. O projeto estético do Concretismo dialogou intensamente com as artes visuais, a arquitetura e a exploração das possibilidades de combinações e efeitos de sentido das palavras no espaço urbano e nos suportes materiais que ganham relevância no século XX.

Alternativa Correta: D O número de anagramas distintos da palavra ACASO é igual a

5!

2!= 5 × 4 × 3 = 60, pois a letra A ocorre

duas vezes. O poema exibido é composto exatamente por todas essas combinações de letras, sendo que apenas uma delas é a palavra formadora do título. Podemos, então, concluir que o poema é uma disposição exaustiva de anagramas, produzindo uma relação de sentido com o título.

Desempenho dos candidatos

Comentários Gerais O desempenho geral dos candidatos ficou muito abaixo do esperado. Mais da metade deles optou pela alternativa incorreta (c), talvez por interpretar equivocadamente a palavra “arbitrária”, não observando que o poema contém todos os anagramas de “acaso”. Uma outra hipótese sobre o grau de dificuldade dos candidatos, e que explicaria seu desempenho, é que no senso comum a linguagem poética seria um fenômeno restrito à emoção e sem relação com outras linguagens científicas. A questão foi considerada “Difícil”.

Questão 39 (MAT + FIS) A figura abaixo ilustra uma alavanca que gira em torno do ponto O. Dois triângulos, do mesmo material e de mesma espessura, estão presos por fios de massa desprezível nos extremos da alavanca. Um triângulo é equilátero; o outro é retângulo e isósceles, e sua hipotenusa tem o mesmo comprimento que os lados do triângulo equilátero. Note que, neste caso, o peso dos objetos é proporcional à sua área. Conclui-se que, na condição de equilíbrio da alavanca, a razão das distâncias, i/e, é igual a

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1ª Fase - Matemática

a) √3.

b) √3/3. c) 2. d) 3.

Objetivo da Questão Trata-se de uma questão interdisciplinar que envolve conceitos de Física e Matemática. Para resolvê-la, o candidato deveria calcular a área do triângulo equilátero e do triângulo retângulo e isósceles, e aplicar o conceito físico de equilíbrio dos torques presentes na situação.

Alternativa Correta: A Sejam 𝐴𝑒 e 𝐴𝑖 as áreas dos triângulos equilátero e isósceles retângulo, respectivamente. Denotando por 𝑎 o

comprimento dos lados do triângulo equilátero e por 𝑏 o comprimento dos catetos do triângulo retângulo,

temos, conforme o enunciado, 𝑎2 = 𝑏2 + 𝑏2 = 2𝑏2. Portanto, 𝐴𝑒 =√3

4𝑎2 =

√3

2𝑏2 e 𝐴𝑖 =

1

2𝑏2. Como o peso dos

objetos é proporcional a sua área, pelo princípio da alavanca temos 𝑒 × 𝐴𝑒 = 𝑖 × 𝐴𝑖, ou seja, 𝑒 ×√3

2𝑏2 = 𝑖 ×

1

2𝑏2. Logo,

𝑖

𝑒= √3.

Desempenho dos candidatos

Comentários Gerais A questão foi considerada entre “Média” e “Difícil” porque exigiu do candidato: calcular as áreas dos triângulos, compreender, a partir do enunciado, que o peso dos objetos é proporcional às suas áreas e aplicar o conceito de equilíbrio dos torques dos seus pesos. Esperava-se da questão um bom poder de

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1ª Fase - Matemática

discriminação, com um índice de erros um pouco maior do que o de acertos dos candidatos, como se observa no gráfico acima.

Questão 79 (MAT + GEO) A figura a seguir exibe uma representação estilizada do mapa do Estado de São Paulo. As linhas pontilhadas horizontais e verticais indicam intervalos iguais de longitude e latitude, e o ponto preto representa a cidade de Campinas.

Considere que o Estado de São Paulo está, aproximadamente, entre as latitudes 20𝑜 e 25𝑜 Sul e entre as

longitudes 44𝑜 e 54𝑜 Oeste. A partir da representação acima, conclui-se que Campinas se localiza entre a) as latitudes 24𝑜 e 25𝑜 Sul. b) as latitudes 21𝑜 e 22𝑜 Sul. c) as longitudes 46𝑜 e 48𝑜 Oeste. d) as longitudes 50𝑜 e 52𝑜 Oeste.

Objetivo da Questão Avaliar o conhecimento dos conceitos de longitude e latitude e a capacidade de aplicá-los corretamente em uma situação concreta.

Alternativa Correta: C Como o Estado de São Paulo se localiza no hemisfério ocidental e no hemisfério sul, a longitude aumenta da direita (Leste) para a esquerda (Oeste) e a latitude aumenta de cima (Norte) para baixo (Sul). Assim, com base nos dados fornecidos no enunciado, podemos calcular corretamente as longitudes e latitudes indicadas pelas linhas pontilhadas na figura abaixo. Logo, Campinas se situa aproximadamente entre as longitudes 46,5𝑜 e 47,75𝑜 Oeste e entre as latitudes 22,5𝑜 e 23,75𝑜 Sul. Portanto, a alternativa correta é a que afirma que Campinas se localiza entre as longitudes 46𝑜 e 48𝑜 Oeste.

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Desempenho dos candidatos

Comentários Gerais A questão exigia que o candidato identificasse corretamente as longitudes e latitudes na figura, de acordo com as informações do enunciado. Pelo gráfico de desempenho, podemos observar que aproximadamente metade dos candidatos assinalou a alternativa correta; as opções pelas outras alternativas parecem se dever a uma escolha aleatória.

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