1 Formulário � Seqüências e SériesDiferença entre Seqüência e Série

Uma seqüência é uma lista ordenada de números. Uma série é uma somain�nita dos termos de uma seqüência. As somas parciais de uma série tambémformam uma seqüência que pode convergir ou divergir.

Exemplo: a sequência {1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, · · ·} é uma PG in�nita deprimeiro termo 1 e razão 1/2. As somas �nitas dessa PG são dadas por

Sn =n∑

i=0

1

2i=

1− (1/2)n+1

1− (1/2)

essa seqüência é da forma {3/2, 7/4, 15/8, 31/16, 63/32, · · ·}. O limite dessaseqüência para n →∞ é a soma da série. Se essa soma for um número �nito,a série converge, se a soma for ±∞ ela é divergente.

Progressão Geométrica

A soma de uma PG in�nita converge se sua razão r for tal que

|r| < 1

nesse caso ela converge para∞∑n

an =a

1− r

onde an = rn e a é o primeiro termo da PG.

Teorema do Confronto

Dadas 3 seqüências tais que para todo n, an ≤ bn ≤ cn, se limn→∞ an =L = limn→∞ cn, então, limn→∞ bn = L.

Teorema: Condição Necessária para Convergência

Se a série ∑∞n=1 an converge, então limn→∞ an = 0.

Cuidado! A condição limn→∞ an = 0 é necessária mas não é su�cientepara que uma série convirja. Por exemplo, a série harmônica

∞∑

n=1

1

n

1

é tal que limn→∞ 1n

= 0, mas a série é, de fato, divergente.

Teste para Divergência

Se limn→∞ an 6= 0 ou se o limite não existir, então a série ∑∞n=1 an

é divergente.

Note que uma série do tipo ∑∞n=1(−1)n não vai a ±∞, mas é divergente

porque o limite limn→∞(−1)n não existe.

Combinação de Séries Convergentes

Teorema: Se ∑∞n=1 an e ∑∞

n=1 bn são séries convergentes, então as seguintescombinações também são:

∞∑

n=1

βan = β∞∑

n=1

an

∞∑

n=1

(an + bn) =∞∑

n=1

an +∞∑

n=1

bn

∞∑

n=1

(an − bn) =∞∑

n=1

an −∞∑

n=1

bn

com β um número real qualquer.

Teste da Integral

Suponha que an = f(n) é uma função decrescente e positiva apartir de n = 1, então a série ∑∞

n=1 an é convergente se a integral∫ ∞

1f(x)dx

for convergente, caso contrário, se o resultado da integral for ±∞,a série é divergente.

Note que no caso de convergência, o resultado da integral não é o resultadoda soma da série, apenas um limite superior!

Séries Harmônicas ou Séries�p

Uma série do tipo∞∑

n=1

1

np

2

com p real é chamada série harmônica ou série�p.

Uma série harmônica converge se p > 1 e diverge se p ≤ 1.

Critério de Convergência para Séries Alternadas

Uma série do tipo ∑∞n=1(−1)nan, com an positivos é chamada alternada,

pois os sinais do termos alternam-se entre negativos e positivos.

Considere uma série alternada. Se a seqüência an for decrescentee se limn→∞ an = 0, então a série é convergente.

Exemplo: ∑∞k=2(−1)k/ ln k é convergente pois é alternada e 1/ ln k de-

cresce e seu limite vai a zero quando k →∞.Note que no caso de uma seqüência alternada limn→∞ an = 0 garante a

convergência.

Teste da Comparação

Considere duas séries ∑∞n=1 an e ∑∞

n=1 bn tais que 0 ≤ an ≤ bn apartir de um dado termo das seqüências. Nestas condições

(i) Se ∑∞n=1 bn converge, então ∑∞

n=1 an também é convergente.

(ii) Se ∑∞n=1 an diverge, então ∑∞

n=1 bn também é divergente.

Se você descon�a que uma série converge, precisa encontrar outra sériecomprovadamente convergente cujos termos que estão sendo somados sejammaiores que o da série que você está considerando.

Se você descon�a que uma série diverge, precisa encontrar outra sériecomprovadamente divergente cujos termos que estão sendo somados sejammenores que o da série que você está considerando.

Teste da Comparação do Limite

Considere duas séries ∑∞n=1 an e ∑∞

n=1 bn tais que an > 0 e bn > 0 apartir de um dado termo das seqüências. Seja o limite

L = limn→∞

an

bn

se:

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(i) L > 0 e real, então ou ambas as séries convergem, ou ambasdivergem.

(ii) L = ∞, se ∑∞n=1 bn diverge, então ∑∞

n=1 an diverge.

(iii) L = 0, se ∑∞n=1 bn converge, então ∑∞

n=1 an converge.

Teste da Razão

Considere a série ∑∞n=1 an com an > 0 a partir de um certo termo

da seqüência. Se o limite

L = limn→∞

an+1

an

existir, �nito ou in�nito, então:

(i) L < 1, a série é convergente.

(ii) L > 1 ou L = ∞, a série é divergente.

(iii) L = 1, o teste nada revela.

Teste da Raiz

Considere a série ∑∞n=1 an com an > 0 sempre. Se o limite

L = limn→∞(an)

1n

existir, �nito ou in�nito, então:

(i) L < 1, a série é convergente.

(ii) L > 1 ou L = ∞, a série é divergente.

(iii) L = 1, o teste nada revela.

Veja que isso é bem parecido com o teste da razão, com a única diferençaque os termos da seqüência nesse caso nunca podem ser negativos.

Dica! Se o teste da razão for inconclusivo (L = 1), o teste da raiz tambémserá, e vice-versa.

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Séries Absolutamente e Condicionalmente Convergentes

Uma série ∑∞n=1 an é chamada absolutamente convergente se a série∑∞

n=1 |an| for convergente.

Uma série pode ser convergente, mas não absolutamente convergente. Porexemplo, a série

∞∑

n=1

(−1)n

n

é uma série alternada convergente, mas a série∞∑

n=1

|(−1)n||n| =

∞∑

n=1

1

n

é uma série�p com p = 1, portanto divergente.

Uma série deste tipo é chamada condicionalmente convergente.

Teorema: Se uma série é absolutamente convergente, ela sempreé convergente.

Séries de Potências

Uma série de potências centrada em torno de um número real x0 é umasérie do tipo

∞∑

n=0

cn(x− x0)n = c0 + c1(x− x0) + c2(x− x0)

2 + · · ·

Para uma série deste tipo existem 3 a tão somente 3 possibilidades:

(i) A série converge apenas para x = x0.

(ii) A série converge para todo x.

(iii) Existe um número R > 0, chamado raio de convergência, tal que asérie converge se |x− x0| < R e diverge se |x− x0| > R.

O raio de convergência pode ser calculado como

R = limn→∞

|an||an+1|

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desde que exista, �nito ou in�nito. Se R é �nito, a série converge no intervalo]x0 − R, x0 + R[. Note que o intervalo é aberto, pois inicialmente nada sepode a�rmar sobre a convergência nos extremos.

Séries de Taylor

A série de Taylor de uma função F (x) em torno de um número real x0 édada por

F (x) =∞∑

n=0

F (n)(x0)

n!(x− x0)

n

onde F (n)(x0) é a derivada de ordem n da função calculada em x = x0. Noteque isso é uma série de potências com coe�cientes dados por cn = F (n)(x0).

A série de Maclaurin é um caso particular da série de Taylor, onde x0 = 0.

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