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Betão Armado e Pré-Esforçado I
MÓDULO 2 – Verificação da segurança aos estados limites últimos
de elementos com esforço axial desprezável (vigas) 1. Idealização das propriedades dos materiais
1.1. RELAÇÕES TENSÃO-EXTENSÃO PARA VERIFICAÇÃO DA SEGURANÇA AOS E.L. ÚLTIMOS
1.1.1. Betão
Diagrama parábola rectângulo
εc
σc
0.85 fcd
−3.5‰−2‰
σc = 1000εc (250εc - 1) 0.85 fcd
fck
fcd = fck γc
, γc = 1.5
Nota: σc está limitado a 0.85 fcd por forma a ter em conta a possível diminuição da
tensão de rotura do betão quando este está sujeito a tensões elevadas de longa
duração.
1.1.2. Aço
fyd
σs
fyd
εs
Es = 200 GPa
10‰-3.5‰
εyd
fyk
fyd = fyk γs
, γs = 1.15
Classe fyk [MPa]
fyd [MPa]
εyd [×10-3]
A235
A400
A500
235
400
500
205
348
435
1.025
1.74
2.175
MÓDULO 2 – Verificação da segurança aos estados limite últimos de elementos com esforço axial desprezável (vigas)
21
Betão Armado e Pré-Esforçado I
2. Flexão Simples
2.1. ANÁLISE DA SECÇÃO
Hipóteses adoptadas:
- Hipótese de Bernoulli
- ε-c = 3.5‰ (Deformação máxima de encurtamento no betão)
- εs = 10‰ (Deformação máxima de alongamento nas armaduras)
- σc = 0 se εc > 0 ⇔ o betão não resiste à tracção
LN
Fs
z MRd
Fc
x
(+)
(-)
εc ≤ 3.5‰
εs ≤ 10‰
Equações de Equilíbrio
• Equilíbrio axial: Fs = Fc
• Equilíbrio de momentos: MRd = Fs × z
2.2. MÉTODO DO DIAGRAMA RECTANGULAR
Este método permite simular, de forma simples, a resultante das tensões de
compressão no betão.
εc
x(-)
0.85 fcd 0.85 fcd
≅ 0.8x 0.85 fcd
σc
−3.5‰ εc−0.7‰
MÓDULO 2 – Verificação da segurança aos estados limite últimos de elementos com esforço axial desprezável (vigas)
22
Betão Armado e Pré-Esforçado I
Deste modo,
εs
εc
Fs
z = d - 0.4x
x (-)
(+)
Fc
LNd
0.85 fcd
0.8x0.4x
2.2.1. Cálculo de MRd
Dados: geometria da secção, quantidade de armadura, fcd, fyd
i) Admitir que σs = fyd (εs ≥ εyd), ou seja, que as armaduras estão em cedência
ii) Determinar posição da linha neutra
Por equilíbrio axial, Fc = Fs ⇔ 0.85 fcd Ac (x) = As fyd ⇒ x = ?
iii) Calcular o momento resistente
Por equilíbrio de momentos, MRd = As fyd (d – 0.4x)
iv) Verificar hipótese inicialmente admitida: εs ≥ εyd
Rotura convencional: εc = 3.5‰ ou εs = 10‰
A partir da posição da linha neutra anteriormente
calculada, e admitindo que a rotura se dá pelo betão,
obtém-se a extensão ao nível da armadura.
εc = 3.5‰
(+)
(-)
εs
x
• Se εs ≥ εyd ⇒ a hipótese considerada inicialmente está correcta
• Se εs < εyd ⇒ Fs < As fyd (ao contrário do que foi admitido), pelo que a posição da LN não
está correcta. Esta situação não é desejável e, caso se verifique, deverão adoptar-se
procedimentos que conduzam a que as armaduras estejam em cedência (εs ≥ εyd). Este
assunto será retomado posteriormente.
Caso se aceitasse esta situação, como, por condição de equilíbrio Fc = Fs, há que diminuir a
força de compressão e aumentar a força de tracção
∴ É necessário subir a posição da LN (o problema resolve-se por iterações até Fc = Fs).
MÓDULO 2 – Verificação da segurança aos estados limite últimos de elementos com esforço axial desprezável (vigas)
23
Betão Armado e Pré-Esforçado I
Através da posição da linha neutra é possível saber se a rotura convencional se dá
pelo betão ou pela armadura:
Posição da LN para εc = 3.5‰ e εs = 10‰
x
εc = 3.5‰
(-)
(+)
εs=10‰
d
x 3.5 =
d 13.5
⇒ x = 0.26 d
(esta situação corresponde ao máximo aproveitamento
da capacidade dos materiais)
Deste modo,
se x < 0.26 d ⇒ εc < 3.5‰
εs = 10‰ (rotura pela armadura)
se x > 0.26 d ⇒ εc = 3.5‰
εs < 10‰ (rotura pelo betão)
Posição da LN para εc = 3.5 ‰ e εs = εyd (início da cedência do aço)
dx
εs=εyd
(+)
(-)
c = 3.5‰
A400 : εyd = 1.74 ‰
x 3.5 =
d 3.5 + 1.74 ⇒ x = 0.67 d
A500 : εyd = 2.175 ‰
x 3.5 =
d 3.5 + 2.175 ⇒ x = 0.62 d
Deste modo, se x ≤ 0.67 d no caso de se utilizar aço A400, ou se x ≤ 0.62 d no
caso de se utilizar aço A500 ⇒ o aço está em cedência
Deverá garantir-se que as armaduras se encontram em cedência na situação de
rotura, por duas razões fundamentais.
A primeira pode considerar-se como sendo essencialmente de ordem económica: a
armadura utilizada deve ser integralmente aproveitada e, portanto, mobilizada
integralmente a sua capacidade resistente.
Por outro lado, a peça deve apresentar ductilidade disponível em situação de rotura:
deve poder evidenciar deformações apreciáveis por cedência das armaduras, sem
perda de capacidade resistente.
MÓDULO 2 – Verificação da segurança aos estados limite últimos de elementos com esforço axial desprezável (vigas)
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Betão Armado e Pré-Esforçado I
MRd
y( )R/1
(1) As1 (x1;εs1;maior ductilidade)As2 (x2;εs2)
u1/R( ) R/1
As3 (x3;εs3)As4 (x4;εs4;menor ductilidade)
εs=εyd
(2)
(1)(2) Rotura da secção por esmagamento do betão comprimido
(εc ≈ 3.5‰) ou deformação da armadura (εs ≈ 10‰)
(+)
(-) x
εcx = -3.5‰
εsAs
1R
1 R = -
εcx x
Para garantir um nível mínimo de ductilidade disponível deve procurar garantir-se que
x ≤ 0.5 d.
2.2.2. Dimensionamento das armaduras Dados: geometria da secção, fcd, fyd, Msd
0.8x
0.85 fcd
dLN
Fcx
z
Fs
Msd
As
b
i) Admitir que σs = fyd (εs ≥ εyd), ou seja, que as armaduras estão em cedência
ii) Determinar posição da linha neutra
Por equilíbrio de momentos, Msd = Fc × z = 0.85 fcd b 0.8x (d – 0.4x) ⇔ x = ... ⇒ Fc = ...
iii) Calcular a área de armadura necessária
Por equilíbrio axial, Fc = Fs ⇔ 0.85 fcd b 0.8x = As fyd ⇒ As = ?
iv) Verificar hipótese inicialmente admitida: εs ≥ εyd
MÓDULO 2 – Verificação da segurança aos estados limite últimos de elementos com esforço axial desprezável (vigas)
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Betão Armado e Pré-Esforçado I
EXERCÍCIO 2
Considere a viga representada na figura seguinte e adopte γG = γQ = 1.5
q
5.00
0.55
0.303φ20
Materiais: C25/30 (fcd = 16.7MPa)
A400 (fyd = 348MPa)
Calcule a máxima sobrecarga q que pode actuar com segurança sobre a viga.
RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO 2
Método do diagrama rectangular simplificado
0.4x0.8x
0.85 fcd
dLN
Fcx
z
Fs
MRd
1. Cálculo do MRd
Equações de equilíbrio (flexão simples)
ΣF = 0 ⇔ Fc = Fs (1)
ΣM = 0 ⇔ MRd = Fs × z = Fs × (d - 0.4x) (2)
MÓDULO 2 – Verificação da segurança aos estados limite últimos de elementos com esforço axial desprezável (vigas)
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Betão Armado e Pré-Esforçado I
Fc = 0.8x × b × 0.85 fcd = 0.8x × 0.30 × 0.85 × 16.7×103 = 3406.8x
Fs = As × fyd = 9.42×10-4 × 348×103 = 327.8kN (As (3φ20) = 9.42cm2)
(1) Fc = Fs ⇔ x = 327.8 3406.8 = 0.096m ⇒ z = d – 0.4x = 0.55 – 0.4 × 0.096 = 0.51m
(2) MRd = Fs × z = 327.8 × 0.51 = 167.2kNm
Verificação da hipótese de cedência do aço (εs ≥ εyd)
0.454
εs(+)
(-)
c = 3.5‰
0.096
0.55
εs 0.454 = 3.5‰
0.096 ⇒ εs = 16.6‰
Como εmáxs = 10‰ ⇒ εs = 10‰ e εc < 3.5‰
10‰ 0.454 = εc
0.096 ⇒ εc = 2.11‰
Comportamento dúctil: εs > εyd (critério mínimo; é desejável que εs > 4‰ a 5‰ )
εyd = fyd εs
= 348 200×103 = 1.74‰
x d = 0.096
0.55 = 0.175 < 0.26 ⇒ εc < 3.5‰
εs = 10‰ ⇒ rotura pela armadura
3. Cálculo da sobrecarga máxima (Msd ≤ MRd)
Msd = psd × L2 8 ≤ 167.7kNm ⇒ psd ≤ 8 × 167.7
52 = 53.7kN/m
psd = 1.5 (g + q) ⇒ q = 53.7 1.5 - 0.30 × 0.60 × 25 = 31.3kN/m
MÓDULO 2 – Verificação da segurança aos estados limite últimos de elementos com esforço axial desprezável (vigas)
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Betão Armado e Pré-Esforçado I
EXERCÍCIO 3 (CONT.)
Considere a estrutura da figura seguinte:
4.00 4.00 4.004.00
10.00
3.00
S2
S1
Materiais: C25/30, A400
Acções:
Peso próprio
Revestimento=2.0 kN/m2
Sobrecarga = 3.0 kN/m2
Coeficientes de majoração:
γG = γQ = 1.5
Coeficientes de combinação:
ψ1 = 0.4 ; ψ2 = 0.2
Secção da viga: 0.30×0.85 m2
Espessura da laje: 0.15m
c) Determine as armaduras necessárias para garantir o Estado Limite Último de flexão
da viga (Secções S1 e S2)
c.1) utilizando o método do diagrama rectangular simplificado
c.2) Fs × z
c.3) com recurso a tabelas
c.4) pormenorize as armaduras de flexão
MÓDULO 2 – Verificação da segurança aos estados limite últimos de elementos com esforço axial desprezável (vigas)
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Betão Armado e Pré-Esforçado I
RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO 3 (CONT.)
ALÍNEA C)
1. Modelo de cálculo:
10.00 3.00
S2 S1
g, q0.85
0.30
2. Envolvente do diagrama de esforços
660.2
(+)
DMF[kNm]
(-)
272.0
S2S1
ALÍNEA C.1)
Secção S2 (M +sd = 660.2 kNm)
0.30
As
Msd
Fs
z
Fc
0.85 fcd
0.8xLN
x
0.80
Fc = 0.85 fcd × 0.8x × b = 0.85 × 16.7×103 × 0.8x × 0.3 = 3406.8x
Fs = As × fyd = As × 348×103
Equilíbrio de momentos:
ΣMAS = Msd ⇔ 3406.8x × (0.8 – 0.4x) = 660.2 ⇔ x = 0.282 m
⇒ Fc = 3406.8 × 0.282 = 960.7 kN
MÓDULO 2 – Verificação da segurança aos estados limite últimos de elementos com esforço axial desprezável (vigas)
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Betão Armado e Pré-Esforçado I
Equilíbrio de forças
Fs = Fc ⇔ As × 348×103 = 960.7 ⇔ As = 960.7 348×103 × 104 = 27.6cm2
Verificação da hipótese de cedência do aço
0.282
0.518
εs
εc = 3.5‰
(-)
(+)
Admitindo que εc = 3.5‰
εc = 3.5‰ εs
= 0.282 0.518
⇒ εs = 6.43‰ > εyd = 1.74‰
∴ A armadura está em cedência (a secção tem comportamento dúctil)
Secção S1 (M -sd = 272.0 kNm)
Msd
0.8x Fc
FsAs
0.30
0.80
x
LN
0.85 fcd
z
Equilíbrio de momentos:
ΣMAS = Msd ⇔ 3406.8x × (0.8 – 0.4x) = 272.0 ⇔ x = 0.105m ⇒ Fc = 357.7kN
Equilíbrio de forças
Fs = Fc ⇔ As × 348 × 103 = 357.7 ⇔ As = 357.7 348×103 ×104 = 10.28cm2
Verificação da hipótese de cedência do aço
Admitindo que εc = 3.5‰ , εs 3.5‰ = 0.695
0.105 ⇒ εs = 23.2‰ > 10‰
⇒ εs = 10‰ ⇒ εc = 1.51‰
MÓDULO 2 – Verificação da segurança aos estados limite últimos de elementos com esforço axial desprezável (vigas)
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Betão Armado e Pré-Esforçado I
2.3. DIAGRAMAS DE ROTURA POSSÍVEIS DE UMA SECÇÃO SUJEITA À FLEXÃO SIMPLES
Na figura seguinte apresentam-se os diagramas de deformação de uma secção de
betão armado, para quatro áreas de armadura distintas (área de armadura crescente).
x1
MRd
As εs
(+)
(-)
εc
MRd,1
(As muito pequeno) (As maior)
x2
MRd,2
εc
(-)
(+)εs
< <
(...)
x3
MRd,3
εs
(+)
(-)
εc
(...)
MRd,4
x4
εc
(-)
(+)εs
<
1 2 3 4
Apresentam-se em seguida as relações constitutivas do aço e do betão, com indicação
qualitativa das tensões e extensões dos dois materiais para os casos acima indicados.
0.85 fcd
σc
εyd 10‰ εs
σs
fyd
−2‰ −3.5‰ εc
43 e2
1
e1 23
4
Conforme se pode observar na figura seguinte, para baixos níveis de armadura, existe
proporcionalidade entre a área de armadura e o momento resistente da secção. À
medida que a quantidade de armadura aumenta, esta relação passa a ser não linear,
ou seja, o aumento da armadura traduz-se em acréscimos cada vez menores de
momento resistente. Este comportamento deve-se à sucessiva diminuição do braço do
binário (z) com o aumento da área de armadura.
321
MRd
As4
M1
M2
M3
M4
MÓDULO 2 – Verificação da segurança aos estados limite últimos de elementos com esforço axial desprezável (vigas)
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Betão Armado e Pré-Esforçado I
2.4. DIMENSIONAMENTO À FLEXÃO SIMPLES – GRANDEZAS ADIMENSIONAIS
2.4.1. Método Geral
εs1
εc
(-)
(+)
xFc
M
Fs1
LN
εs2
As1
As2d2
d
Fs2 λx
b
σc
Fc = ψ fcd b x
Fs2 = σs2 As2
Fs1 = σs1 As1
ψ fcd = ⌡⌠Ac
σc y dAbx ; λx =
⌡⌠ σc y dA
⌡⌠ σc dA
ψ – coeficiente que define o valor da resultante das tensões de compressão no betão
λ – coeficiente que define a posição da resultante das tensões de compressão no
betão
Equações de Equilíbrio
• Equilíbrio axial: Fs = Fc ⇔ ψfcd bx + σs2 As2 = σs1 As1 (1)
• Equilíbrio de momentos: ΣMAs = M ⇔ M = ψ fcd b x (d - λx) + σs2 As2 (d - d2) (2)
(Equações não lineares)
Cálculo por iterações
i) Fixar εs = 10‰ e εc = 3.5‰
ii) Calcular as forças axiais F
• Se |Fc + Fs2| > Fs1 ⇒
(a LN tem de subir
para diminuir FC)
x < 0.26d
εc < 3.5‰
(-)
(+)
εs=10‰
É necessário arbitrar valores de εc até que ΣF = 0
MÓDULO 2 – Verificação da segurança aos estados limite últimos de elementos com esforço axial desprezável (vigas)
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Betão Armado e Pré-Esforçado I
• Se |Fc + Fs2| < Fs1 ⇒
(a LN tem de baixar
para aumentar Fc)
x > 0.26d
εs<10‰
c = 3.5‰
(+)
(-)
É necessário arbitrar valores de εc até que ΣF = 0
ii) Calcular MRd
Definida a posição da LN e o diagrama de extensão, calcular MRd
Nota: Este é um processo de cálculo moroso. Na prática recorre-se a programas de cálculo
automático ou a tabelas de cálculo.
Para elaborar tabelas é necessário trabalhar com grandezas adimensionais, por forma a
que sejam válidas para secções com qualquer geometria.
2.4.1.1. Grandezas adimensionais
Equações de Equilíbrio
• ψfcd bx = σs1 As1 - σs2 As2 (1)
• M = ψ fcd b x (d - λx) + σs2 As2 (d - d2) (2)
Substituindo (1) em (2),
M = σs1 As1 (d – λx) – σs2 As2 (d – λx) + σs2 As2 (d – d2) =
= σs1 As1 (d – λx) + σs2 As2 (λx – d2) (3)
Considerando As2 = β As1 e σs = fyd, a equação (3) toma a forma
M = As1 fyd d
1 - λ x
d + β As1 fyd d
λ x
d - d2 d
Transformando esta equação numa forma adimensional (dividindo todos os termos por
b d2 fcd), resulta
M b d2 fcd = As1 fyd
b d fcd
1 - λ x
d + β As1 fyd b d fcd
λ x
d - d2 d ⇔
⇔ µ = ω (1 – λk) + βω
λ k - d2
d
MÓDULO 2 – Verificação da segurança aos estados limite últimos de elementos com esforço axial desprezável (vigas)
33
Betão Armado e Pré-Esforçado I
µ = M b d2 fcd (Momento flector reduzido); k = x
d
ω = As1 fyd b d fcd (Percentagem mecânica de armadura)
2.4.2. Método do Diagrama Rectangular Simplificado
2.4.2.1. Grandezas adimensionais
b
Fc
MRd
Fs
x
(+)
(-)
εc
εs
d
As
LN
0.4x
z
0.8x
MRd = Fs × z = Fs (d – 0.4x)
Admitindo que o aço está na cedência, MRd = As × fyd (d – 0.4x)
Transformando a equação anterior numa forma adimensional, resulta
MRd b d2 fcd = As fyd
b d fcd
1 - 0.4 x
d = As b d
fyd fcd
1 - 0.4 x
d ⇔ µRd = ω (1 – 0.4k)
µRd = MRd b d2 fcd (momento flector reduzido); k = x
d
ω = AS b d
fyd fcd (percentagem mecânica de armadura)
Fc = Fs ⇔ 0.8 ⋅ (kd) ⋅ b ⋅ 0.85 fcd = As fyd ⇔ k = 1.47 AS b d
fyd fcd = 1.47 ω
Visto que, µRd = ω (1 – 0.4k) e substituindo o resultado anterior, obtém-se a seguinte
expressão para cálculo do momento flector reduzido em função da percentagem
mecânica de armadura:
µRd = ω (1 – 0.588 ω )
MÓDULO 2 – Verificação da segurança aos estados limite últimos de elementos com esforço axial desprezável (vigas)
34
Betão Armado e Pré-Esforçado I
2.4.3. Utilização de Tabelas
As tabelas podem ser utilizadas para:
i) Determinar o momento resistente de uma secção, dadas as armaduras;
ii) Determinar as armaduras, dado o momento solicitante
2.4.3.1. Dimensionamento de armaduras
Dado MSd determina-se µ = Msd b d2 fcd
Tabelas →
(µ , β)
ω1 → As1 = ω1 b d fcd fyd → As2 = β As1
2.4.3.2. Determinação da capacidade resistente
Dado As1 e As2 determina-se ω e β Tabelas
→(β ,
ω)
µ → MRd = µ b d2 fcd
Notas:
(i) No dimensionamento de uma secção, a posição da L.N. deve ser controlada por
forma a que a armadura traccionada atinja a tensão de cálculo (rotura dúctil)
Caso isso não aconteça, será necessário adoptar armaduras de compressão ou aumentar a
secção da viga.
(ii) Numa viga, existe sempre armadura de compressão, por razões construtivas, com
um nível não inferior a β = 0.1.
Através do µ (adimensional) e da posição da LN (k) é possível ter uma noção da
dimensão do momento actuante numa dada secção:
Momento elevado ⇒ k próximo de 0.668 (A400) ⇒ εs próximo de εyd
µ 0.25
Momento médio ⇒ k < 0.5 (secção dúctil, dimensionamento adequado)
µ ≅ 0.10 a 0.25
Momento pequeno ⇒ µ ≤ 0.10
MÓDULO 2 – Verificação da segurança aos estados limite últimos de elementos com esforço axial desprezável (vigas)
35
Betão Armado e Pré-Esforçado I
2.5 . ESTIMATIVA DO MOMENTO RESISTENTE
d
Fc
Mz
FsAs
Para momentos de ordem de grandeza pequena a média verifica-se que, para
secções rectangulares, z ≅ 0.9 d, pelo que,
M = Fs × z ≅ As fyd 0.9 d ⇒ As = M 0.9 d fyd
Pela observação das tabelas de flexão simples (pág. 9) verifica-se que:
• para µ < 0.15, z > 0.9 d (lado da segurança)
• para µ > 0.15, z < 0.9 d (contra a segurança)
MÓDULO 2 – Verificação da segurança aos estados limite últimos de elementos com esforço axial desprezável (vigas)
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Betão Armado e Pré-Esforçado I
RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO 3 (CONT.)
ALÍNEA C.3)
Secção S2 (M +sd = 660.2 kNm)
µ = Msd b d2 fcd = 660.2
0.3 × 0.82 × 16.7×103 = 0.206 ⇒ ω = 0.241; k = 0.351
As = ω bd fcd fyd = 0.241 × 0.30 × 0.80 × 16.7
348 × 104 = 27.76 cm2
Secção S1 (M -sd = 272.0 kNm)
µ = 272.0 0.3 × 0.82 × 16.7×103 = 0.085 ⇒ ω = 0.091; k = 0.163
As = ω bd fcd fyd = 0.091 × 0.30 × 0.80 × 16.7
348 × 104 = 10.48 cm2
ALÍNEA C.2)
Fs = As × fyd
z ≅ 0.9d ⇒ M ≅ 0.9 d fyd As ⇒ As = M
0.9 d fyd
M +sd = 660.2kNm ⇒ As = 660.2
0.9 × 0.8 × 348×103 × 104 = 26.34cm2
M -sd = 272.0kNm ⇒ As = 272.0
0.9 × 0.8 × 348×103 × 104 = 10.86cm2
MÓDULO 2 – Verificação da segurança aos estados limite últimos de elementos com esforço axial desprezável (vigas)
37
Betão Armado e Pré-Esforçado I
2.6 . PARÂMETROS QUE INFLUENCIAM O VALOR DO MOMENTO RESISTENTE
Armadura de tracção
z
As Fs
MRd
Fc
2Fs
< z
2Fc
2As
O momento resistente é quase proporcional à área de armadura, para momentos não
muito elevados. Para momentos elevados, a variação é menos significativa.
Armadura de compressão
As1
Fc
z
Fs1
Fc
MRd
Fs1
>z
As1
As2Fs2
A influência da armadura de compressão no valor do momento resistente, apenas é
importante para esforços elevados. Para o nível de esforços usuais, a variação é
pouco significativa.
Largura da secção
FcFc
>z
Fs
z
As Fs
MRd
As
A influência da largura da secção no valor do momento resistente, apenas é
importante para esforços elevados. Para o nível de esforços usuais, em que
geralmente a área comprimida é pequena, a variação é pouco significativa.
MÓDULO 2 – Verificação da segurança aos estados limite últimos de elementos com esforço axial desprezável (vigas)
38
Betão Armado e Pré-Esforçado I
Classe do betão
Fc
MRd
FsFsAs
z >z
Fc
As
A influência do aumento da classe do betão no valor do momento resistente, apenas é
importante para esforços elevados. Para o nível de esforços usuais, em que
geralmente a área comprimida é pequena, a variação é pouco significativa.
MÓDULO 2 – Verificação da segurança aos estados limite últimos de elementos com esforço axial desprezável (vigas)
39
Betão Armado e Pré-Esforçado I
2.7. DISPOSIÇÕES CONSTRUTIVAS EM VIGAS Armaduras principais: Asseguram a resistência do elemento estrutural relativamente
aos esforços de dimensionamento.
Armaduras secundárias: Têm como função:
- Garantir o bom funcionamento das armaduras principais;
- Ajudam a rigidificar as malhas de armaduras;
- Controlam a fendilhação localizada;
- Asseguram a ligação entre partes de elementos que têm tendência a
destacar-se.
d
b
h
s c
φest = 6 ou 8 mm (para vigas pequenas)
10 a 12 mm (para vigas maiores)
φlong = 12 a 16 mm (para vigas pequenas)
= 20 a 25 mm (para vigas maiores)
c – recobrimento
Altura útil: d = h - c - φest - φlong
2
2.7.1. Recobrimento das armaduras
O recobrimento das armaduras desempenha as seguintes funções:
(i) mecânica: Destina-se a garantir que há betão suficiente a envolver a armadura, e
assim garantir a sua aderência por forma a que se verifique uma eficiente transmissão
de forças entre o betão e o aço (c ≥ φ ou φeq)
(ii) protecção contra a entrada dos agentes agressivos e consequentemente contra a
corrosão das armaduras (recobrimento definido em função da agressividade do
ambiente de exposição)
(consultar Volume 4 – Apontamentos Complementares)
MÓDULO 2 – Verificação da segurança aos estados limite últimos de elementos com esforço axial desprezável (vigas)
40
Betão Armado e Pré-Esforçado I
2.7.2. Distância livre mínima entre armaduras (s)
A distância livre entre armaduras deve ser suficiente para permitir realizar a
betonagem em boas condições, assegurando-lhes um bom envolvimento pelo betão e
as necessárias condições de aderência e protecção.
No caso de armaduras para betão armado,
smin = ( )φmaior, φeq maior, 2 cm
A distância livre entre armaduras pode ser calculada pela expressão,
s = b - 2c - 2φest - n × φlong n - 1 , n – número de varões
É necessário compatibilizar a distância entre varões com a dimensão máxima do inerte
(s ≥ 1.2 a 1.5 Dmáx) e ter em atenção o espaço necessário para introdução do vibrador
(aconselhável: 4 – 5 cm junto à face inferior e 7 – 10 cm junto à face superior)
2.7.3. Agrupamentos de armaduras
Os agrupamentos de armaduras devem ser evitados sempre que possível, dado que
prejudicam a aderência aço/betão.
Relativamente ao número máximo de varões que é possível agrupar,
- para o caso de armaduras traccionadas, n ≤ 3
- para o caso de armaduras comprimidas, n ≤ 4
(Em qualquer direcção não pode haver mais que 2 varões em contacto)
O diâmetro equivalente de um agrupamento pode ser calculado pela expressão
φeq = Σφ2i ≤ 55mm
MÓDULO 2 – Verificação da segurança aos estados limite últimos de elementos com esforço axial desprezável (vigas)
41
Betão Armado e Pré-Esforçado I
Exemplos:
(mais indicado)
(aceitável)
(desaconselhável)
2.7.4. Princípios a ter em atenção na pormenorização das armaduras
A escolha do tipo de pormenorização no que respeita ao número de varões e
diâmetros a adoptar deve ter em atenção os seguintes factores:
- custo da mão de obra ⇒ menor número de varões
- facilidade de betonagem ⇒ menor número de varões
- liberdade de dispensa ⇒ maior número de varões
- menos problemas de fendilhação ⇒ maior número de varões
2.7.5. Dobragem de armaduras
Condições a satisfazer:
- Não afectar a resistência do aço
- Não provocar o esmagamento ou fendilhação do betão quando a armadura
for traccionada
O diâmetro mínimo de dobragem depende:
- Tipo de aço
- Diâmetro do varão
- Tipo de armadura (armaduras em geral, estribos, cintas, ganchos, etc.)
MÓDULO 2 – Verificação da segurança aos estados limite últimos de elementos com esforço axial desprezável (vigas)
42
Betão Armado e Pré-Esforçado I
2.7.6. Posicionamento das armaduras
O posicionamento das armaduras, antes da betonagem, é assegurado pelos seguintes
elementos:
Espaçadores – garantem o recobrimento das armaduras
c
Cavaletes – garantem o correcto posicionamento das armaduras superiores nas
lajes
h
Varões construtivos (armaduras secundárias) – garantem o espaçamento vertical
entre varões longitudinais
MÓDULO 2 – Verificação da segurança aos estados limite últimos de elementos com esforço axial desprezável (vigas)
43
Betão Armado e Pré-Esforçado I
2.8. DIMENSIONAMENTO DE SECÇÕES EM “T”
2.8.1. Largura efectiva
2.8.1.1. Definição
No dimensionamento de vigas com banzos ou com ligação a lajes, pode tirar-se
partido da existência destes elementos, principalmente se se situarem na zona
comprimida da secção.
b1 b2bw
hf
d0
Neste caso, a distribuição de tensões no banzo não é uniforme: as zonas laterais
deformam-se menos que a zona central da alma (devido à deformação por corte) –
efeito de “shear lag”, tal como se pode observar na planta ilustrada em seguida.
Fc
ε
Simplificadamente, considera-se uma largura efectiva (bef) onde se admite que a
distribuição de tensões é uniforme
MÓDULO 2 – Verificação da segurança aos estados limite últimos de elementos com esforço axial desprezável (vigas)
44
M
σx,max
bef
Betão Armado e Pré-Esforçado I
2.8.1.1. Cálculo da largura efectiva
(i) Banzo comprimido
bwda
h f
bef
dL
Para o caso genérico apresentado na figura anterior, a largura efectiva pode ser obtida
através da expressão:
bef = min bw + 1
5 × L0
bw + da
, onde L0 representa a distância entre pontos de momento
flector nulo
(dL ≤ da / 2)
bef ≈ (2 a 4) hf
Determinação de L0
Lc L
1.5Lc 0.6L 0.4L 0.8L
L L
L0 ≈
(ii) Banzo traccionado
No caso de se tratar de um banzo traccionado, dL ≤ 4hf (hf – espessura do banzo)
MÓDULO 2 – Verificação da segurança aos estados limite últimos de elementos com esforço axial desprezável (vigas)
45
Betão Armado e Pré-Esforçado I
2.8.2. Dimensionamento de secções em “T” por tabelas
Exemplo:
b bw = 5 ; hf
d = 0.125
hf/d = 0.10 → ω1 b bw = 4
hf/d = 0.15 → ω2
ωa
hf/d = 0.10 → ω3
b bw = 6
hf/d = 0.15 → ω4
ωb
ω
Casos particulares:
Dado que se considera que o betão não resiste à tracção, o dimensionamento de uma
secção em “T” pode ser efectuado como se esta se tratasse de uma secção
rectangular nos seguintes casos:
(i) se a linha neutra estiver no banzo, caso este esteja comprimido (acontece na
generalidade dos casos) – secção rectangular de largura bef;
bef
bw
LN
As
M
Fs
Fc
As
LN
bef
M
Fc
Fs
(ii) se a linha neutra estiver na alma e o banzo estiver traccionado – secção
rectangular de largura bw
MÓDULO 2 – Verificação da segurança aos estados limite últimos de elementos com esforço axial desprezável (vigas)
46
M
As
LN
bw
bef
Fc
Fs
Fc
bw
Fs
LN
As
M
Betão Armado e Pré-Esforçado I
RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO 3 (CONT.)
ALÍNEA D)
Dimensionamento das armaduras considerando a contribuição da laje – Viga em “T”
bw
bef
h f
h
hf = 0.15 m
h = 0.85m
bw = 0.30m
bef = min bw + 1
5 × L0
bw + da= min
0.30 + 1
5 × 0.8 × 10 = 1.9m
0.30 + 3.7 = 4.0m = 1.9 m
Hipóteses para o dimensionamento da secção:
(i) Se a L.N. estiver no banzo da secção, o dimensionamento pode ser efectuado como
se a secção fosse rectangular, de largura bef.
(ii) Se a L.N. estiver na alma da secção, o dimensionamento terá de ser efectuado com
base em tabelas de secção em “T” (ou recorrendo ao método do diagrama rectangular
simplificado).
Para verificar se a L.N. está no banzo,
MSd = 660.2kNm ⇒ µ = 660.2 1.9 × 0.82 × 16.7×103 = 0.033 ⇒ k = 0.093
x = k × d = 0.093 × 0.8 = 0.074m < 0.15 m ⇒ a LN está no banzo
µ = 0.033 ⇒ ω = 0.034 ⇒ As = ω b d fcd fyd = 0.034 × 1.9 × 0.8 × 16.7
348 × 104 = 24.8 cm2
MÓDULO 2 – Verificação da segurança aos estados limite últimos de elementos com esforço axial desprezável (vigas)
47
Betão Armado e Pré-Esforçado I
2.8.3. Simplificação de secções para efeitos de dimensionamento à flexão simples
1) Secção real
b
b'
bw
⇔
b
b'
2bw
2) Secção real
bw
b
⇔
b
2bw
3) Secção real
bw
b
⇔
bw
b
MÓDULO 2 – Verificação da segurança aos estados limite últimos de elementos com esforço axial desprezável (vigas)
48
Betão Armado e Pré-Esforçado I
Secções a considerar no dimensionamento à flexão
1)
b'
b
2bw
⇔ M M
bb'
(se a LN estiver no banzo) (se a LN estiver no banzo)
Nota: Se a LN estiver na alma da secção, o dimensionamento poderá ser efectuado
com base numa secção em T (considerando a existência do banzo que estiver
comprimido, e desprezando o banzo traccionado)
2) e 3)
bw
b
⇔
bw
M
b
M
(se a LN estiver na alma) (se a LN estiver no banzo)
MÓDULO 2 – Verificação da segurança aos estados limite últimos de elementos com esforço axial desprezável (vigas)
49
Betão Armado e Pré-Esforçado I
EXERCÍCIO 4
Considere a estrutura da figura seguinte:
1.00
1.00
0.20 0.20
0.15
Materiais: C20/25, A400
Acções: pp + revest. = 20.0 kN/m
sobrecarga = 40.0 kN/m
Coeficientes de majoração: γG = γQ = 1.5
S1S2
10.00 3.50
cp
3.50
sc
a) Determine as armaduras necessárias para garantir o Estado Limite Último de flexão
da viga (secções S1 e S2)
b) Pormenorize as armaduras de flexão.
MÓDULO 2 – Verificação da segurança aos estados limite últimos de elementos com esforço axial desprezável (vigas)
50
Betão Armado e Pré-Esforçado I
RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO 4
ALÍNEA A)
1. Esforços de dimensionamento
10.003.50 3.50
psd
DMF[kNm]
(+)
(-) (-)
551.3
573.8
551.3
psd = 1.5 × (20 + 40) = 90 kN/m
MsdS! = - psd × L1
2 2 = - 90 × 3.52
2 = -551.3 kNm
MsdS2 = psd × L2
2 8 - Msd
S! = 90 × 102 8 - 551.3 = 573.8 kNm
2. Determinação das armaduras (E.L.U. flexão)
Secção S2 (M +sd = 573.8 kNm)
MÓDULO 2 – Verificação da segurança aos estados limite últimos de elementos com esforço axial desprezável (vigas)
51
0.200.20
1.00 Msd
LN LN
1.00
0.40
⇔
Betão Armado e Pré-Esforçado I
µ = Msd bd2 fcd = 573.8
0.40 × 0.952 × 13.3×103 = 0.120 ⇒ ω = 0.131
As = ω bd fcd fyd = 0.131 × 0.40 × 0.95 × 13.3
348.0 × 104 = 19.03 cm2
Secção S1 (M -sd = 551.3 kNm)
Hipótese: a LN encontra-se no banzo da secção
⇔Msd
1.00
1.00
LNLN
1.00
µ = Msd bd2 fcd = 551.3
1.0 × 0.952 × 13.3×103 = 0.046 ⇒ k = 0.112
k = x d ⇔ x = k × d = 0.112 × 0.95 = 0.106 ⇒ LN está no banzo
µ = 0.046 ⇒ w = 0.048
As = ω bd fcd fyd = 0.048 × 1. 0 × 0.95 × 13.3
348.0 × 104 = 17.42cm2
MÓDULO 2 – Verificação da segurança aos estados limite últimos de elementos com esforço axial desprezável (vigas)
52
Betão Armado e Pré-Esforçado I
EXERCÍCIO 3 (CONT.)
Considere a estrutura da figura seguinte:
4.00
10.00
3.00
4.004.00 4.00Materiais: C25/30, A400
Acções:
Peso próprio
Revestimento=2.0 kN/m2
Sobrecarga = 3.0 kN/m2
Coeficientes de majoração:
γG = γQ = 1.5
Coeficientes de combinação:
ψ1 = 0.4 ; ψ2 = 0.2
Secção da viga: 0.30×0.85 m2
Espessura da laje: 0.15m
e) Dimensione e pormenorize a laje da zona sombreada.
MÓDULO 2 – Verificação da segurança aos estados limite últimos de elementos com esforço axial desprezável (vigas)
53
Betão Armado e Pré-Esforçado I
RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO 3 (CONT.)
ALÍNEA E)
1. Cálculo das acções
• Peso próprio pp = γbetão × h = 25 × 0.15 = 3.8 kN/m2
• Revestimentos rev = 2.0 kN/m2
• Sobrecarga sc = 3.0 kN/m2
psd = 1.5 cp + 1.5 sc = 1.5 × ( )3.8 + 2.0 + 3.0 = 13.2 kN/m2
2. Modelo de cálculo
4.00 4.00 4.00 4.00
psd
Comentários ao modelo de cálculo:
(i) Numa laje, as armaduras de flexão são calculadas por metro de largura, ou seja,
considerando uma secção com 1 m de base, e altura igual à altura da laje.
(ii) Face à relação de vãos que se verifica, a laje tem um comportamento em flexão
cilíndrica (armada numa só direcção).
3. Cálculo dos esforços
13.2 kN/m2
DMF[kNm/m]
7.616.4
22.415.3
7.6
22.4
16.4
(+)
(-) (-)(-)(+) (+) (+)
MÓDULO 2 – Verificação da segurança aos estados limite últimos de elementos com esforço axial desprezável (vigas)
54
Betão Armado e Pré-Esforçado I
4. Cálculo das armaduras
• Altura útil
Disposição das armaduras principais e de distribuição numa laje armada numa direcção:
As+ As,dist
+
As,distAs- -
Determinação da altura útil: d = h - c - φlong2 ≈ h – (0.025 a 0.03) m
• Armaduras principais (adoptou-se d = 0.12 m)
Msd [kNm/m] µ ω As
[cm2/m] Armadura adoptada
-22.4 0.093 0.099 5.73
-15.3 0.064 0.067 3.86
16.4 0.068 0.072 4.15
7.6 0.032 0.033 1.89
• Armadura mínima
Esta armadura deve ser colocada em todas as zonas (e direcções) onde a laje possa
estar traccionada. Além disso, a armadura principal adoptada não deverá ser inferior à
armadura mínima.
As quantidades mínimas de armadura em lajes, podem ser quantificadas através da
imposição de percentagens mínimas de armadura, que variam consoante o tipo de
aço utilizado:
ρmin = 0.25% para A235
ρmin = 0.15% para A400
ρmin = 0.12% para A500
A percentagem de armadura define-se através da expressão ρ = As b ⋅ d × 100 .
MÓDULO 2 – Verificação da segurança aos estados limite últimos de elementos com esforço axial desprezável (vigas)
55
Betão Armado e Pré-Esforçado I
No caso do exercício,
A400 ⇒ ρmin = 0.15%
ρ = As b⋅ d × 100 ⇒ As,min = ρmin ⋅ b ⋅ d
100 = 0.15 × 0.12 100 × 104 = 1.80 cm2/m
• Armaduras de distribuição (em flexão cilíndrica mtransv = ν mprinc.)
As [cm2/m]
As, dist. [cm2/m] Armadura adoptada
5.73 0.20 × 5.73 = 1.15
3.86 0.20 × 3.86 = 0.77
4.15 0.20 × 4.15 = 0.83
1.89 0.20 × 1.89 = 0.38
• Armadura de bordo simplesmente apoiado
Junto às vigas de bordo, é necessário dispor de armadura na direcção perpendicular
às mesmas, na face superior, por forma a controlar a fendilhação.
Esta fendilhação deve-se ao facto da viga, por possuir alguma rigidez de torção (que
foi desprezada no cálculo dos esforços), impedir a livre rotação da laje quando esta se
deforma, conforme está ilustrado na figura seguinte.
A armadura a adoptar deverá ser, pelo menos, a quantidade de armadura mínima
(neste caso, As,min = 1.80 cm2/m ), com a seguinte disposição: L/4
As,min 0.2As,min
MÓDULO 2 – Verificação da segurança aos estados limite últimos de elementos com esforço axial desprezável (vigas)
56
Betão Armado e Pré-Esforçado I
3. Esforço Transverso
3.1. COMPORTAMENTO ELÁSTICO
Numa viga de betão não fendilhada (comportamento elástico) definem-se as seguintes
trajectórias principais de tensão:
σ σ
+
τ
trajectórias das compressões principais
trajectórias das tracções principais
A
Elemento A
σct
Quando σf = fct, inicia-se a fendilhação por esforço transverso
3.2. COMPORTAMENTO APÓS FENDILHAÇÃO
FlexãoFlexão +
Esforço transverso
Flexão +
Esforço transverso
A fendilhação tende a ser perpendicular à direcção das tensões principais de tracção.
MÓDULO 2 – Verificação da segurança aos estados limite últimos de elementos com esforço axial desprezável (vigas)
57
Betão Armado e Pré-Esforçado I
3.3. MODELO DE TRANSMISSÃO DE CARGAS PARA O APOIO
θ
Este modelo poderá assemelhar-se a uma treliça, onde as armaduras transversais e
longitudinais funcionam como tirantes, e o betão comprimido entre fendas com uma
resultante assimilável a uma escora ou biela comprimida.
θz
z cotg θ z cotg θ
bielas comprimidas (resultante da zona de compressões correspondente)
tirantes (resultante das forças de tracção nos estribos no comprimentoz cotgθ)
Assim, neste modelo de treliça, cada barra representa (ou é a resultante de) um
campo de tensões:
(1) Campo de tracções verticais
z cotg θ
estribos verticais (ou inclinados)
(2) Campo de compressões inclinadas
z cotg θ
bielas inclinadas
MÓDULO 2 – Verificação da segurança aos estados limite últimos de elementos com esforço axial desprezável (vigas)
58
Betão Armado e Pré-Esforçado I
(3) Campo de tracções e compressões paralelas ao eixo
compressão
tracção
banzo comprimido; armadura longitudinal
É assim possível relacionar os esforços (M e V) com as tensões nos diferentes
elementos: armaduras transversais, armaduras longitudinais e bielas comprimidas.
3.3. POSSÍVEIS MODOS DE ROTURA
(i) Rotura dos estribos
(ii) Rotura por esmagamento do betão (nas
bielas comprimidas)
(iii) Rotura por arrancamento da armadura inferior do apoio (amarração insuficiente) ou
rotura da armadura (armadura insuficiente)
MÓDULO 2 – Verificação da segurança aos estados limite últimos de elementos com esforço axial desprezável (vigas)
59
Betão Armado e Pré-Esforçado I
3.4. AVALIAÇÃO DAS TENSÕES / FORÇAS NOS DIFERENTES ELEMENTOS DA TRELIÇA
(admitindo uma inclinação θ para as bielas comprimidas na alma)
3.4.1. Tracções nos estribos
θz
z cotg θb
x
Vsd(x)
Vsd(x)
b
θ
x
z cotg θ
DEVsd
zona do diagrama de esforço transverso que interessa para efeitos de dimensionamento da armadura transversal
cargas que se transmitemdirectamente para o apoio
cargas que se transmitemdirectamente para o apoio
b z cotg θ
Asw
Vsd (x) Fs ≥ Vsd ⇔ Asw × fyd ≥ Vsd (x)⇔
⇔ Asw s fyd ≥ Vsd (x)
z cotg θ ⇒ Asw s ≥ Vsd (x)
z cotg θ fyd
x = b 2 + z cotg θ ; z ≅ 0.9d
Asw s - área de aço por unidade de comprimento (armadura distribuída por m).
Vsd (x) z cotg θ - força vertical por unidade de comprimento.
Os estribos têm que ser prolongados até ao apoio por forma transmitir para a zona
superior da viga as forças devidas às escoras assinaladas na figura.
EUROCÓDIGO 2:
O valor do esforço transverso resistente é dado pelo menor valor entre (1) e (2),
VRd,s = Asw s z fywd cotg θ ⇔
Asw s ≥
Vsd z cotg θ fywd
(1)
onde fywd representa o valor de cálculo da tensão de cedência da armadura de esforço transverso.
MÓDULO 2 – Verificação da segurança aos estados limite últimos de elementos com esforço axial desprezável (vigas)
60
Betão Armado e Pré-Esforçado I
3.4.2. Compressão na alma
b z cotg θ
θ
a
Fc
Fc
Vsd
Fs
θ
sen θ = Vsd Fc ⇒ Fc = Vsd
sen θ
σc = Fc bw a
sen θ = a z cotg θ ⇔ a = (z cotg θ) × sen θ = z cos θ = z cos θ
σc = Vsd sen θ × bw × z cos θ ⇒ σc = Vsd (x)
0.9d bw sen θ cos θ
A máxima compressão surge junto ao apoio - zona onde Vsd é máximo.
z cotg θ
θ
R
Rotura
A rotura ocorre, em geral, na biela a
seguir ao apoio, onde a resistência
do betão à compressão é menor (na
última biela “em leque” surge um
campo biaxial de tensões que conduz
a um aumento da resistência à
compressão do betão).
As tensões de tracção nos estribos originam uma diminuição da resistência à
compressão do betão, pelo que
σc ≤ 0.6 fcd
Na biela em leque considera-se para verificação da segurança
σc ≤ 0.85 fcd
R
Aapoio ≤ 0.85 fcd
EUROCÓDIGO 2 (cont.)
VRd,max = αcw bw z ν1 fcd
cotg θ + tg θ (2)
onde αcw = 1 para estruturas sem pré-esforço e ν1 = 0.6 nos casos em que fck ≤ 60 MPa
Pelo que, esta expressão pode ser escrita na forma
VRd,max = bw z 0.6 fcd
cotg θ + tg θ ⇔ VRd,max (cotg θ + tg θ)
z bw = 0.6fcd ⇔
VRd,max
z bw sen θ cos θ = 0.6fcd
MÓDULO 2 – Verificação da segurança aos estados limite últimos de elementos com esforço axial desprezável (vigas)
61
Betão Armado e Pré-Esforçado I
3.4.3. Influência do esforço transverso nas compressões e tracções paralelas ao eixo Uma vez que os esforço exteriores são M e V, a resultante dos esforços axiais tem
que ser nula. Deste modo, para equilibrar a componente horizontal de Fc tem que se
verificar uma variação nas compressões e tracções devidas a M.
Fc
θ θ
Vsd
V2
cotg θ
cotg θ2V
θFT
Vsd
Fc
FVT = Fc cos θ = V
sen θ cos θ = V cotg θ
É necessário distribuir a força de tracção FVT igualmente pelos banzos comprimido e
traccionado por forma a não alterar o momento aplicado à secção.
VM
FM
MF
VF
FV
+ =
V
VF
F
V M
FM
MF
FM = M z ; FV = V
2 cotg θ
3.4.3.1. Apoio de extremidade
z
θ
z cotg θb
θθ1
b + z2 2 cotg θ
MÓDULO 2 – Verificação da segurança aos estados limite últimos de elementos com esforço axial desprezável (vigas)
62
Betão Armado e Pré-Esforçado I
θFT
R
1
Fc
R = Fc sen θ1 ⇔ Fc = R sen θ1
FT = Fc cos θ1 ⇒ FT = R cos θ1 sen θ1
= R cotg θ1
cotg θ1 = b 2 + z
2 cotg θ
z = 0.5 b z + 0.5 cotg θ
Como FT depende da largura do apoio, pode tomar-se por simplificação:
1) Apoio pontual (b = 0)
cotg θ1 = 0.5 cotg θ ⇒ FT = R 2 cotg θ
2) z ≅ 2b
cotg θ1 = 0.5 b 2b + 0.5 cotg θ = 0.25 + 0.5 cotg θ ⇒ FT = R (0.25 + 0.5 cotg θ) ≅ 1.20 R
(θ1 ≅ 40°)
3.4.3.2. Apoio de continuidade
DFT
M/z
V2 cotg θ
M Vz 2 cotg θ+
- cotg θM V2z
z
FT = const.
θ θ1θ
z cotg θ
θ
z cotg θb
θθ1
Nota: Na zona central, a inclinação das compressões varia entre θ e 90° (cotg 90° = 0)
MÓDULO 2 – Verificação da segurança aos estados limite últimos de elementos com esforço axial desprezável (vigas)
63
Betão Armado e Pré-Esforçado I
3.4.3.3. Armadura longitudinal no vão
Considere-se a viga simplesmente apoiada representada na figura seguinte, bem
como os correspondentes diagramas de força de tracção na armadura longitudinal.
MFT
M/z
V/2 cotg θ
VFT
M/z
FTM+V
+ V/2 cotg θ
+
=
Asflexão
M/z
x necessáriaAs
V/2 cotg θα
α = d dx
M
z = 1 z
dM dx = V
z
por outro lado, α ≅ tg α = V/2 cotg θ x
⇒ V2 cotg θ × 1 x = Vz ⇒ x = z2 cotg θ
Para ter em conta o aumento da tracção na armadura longitudinal é suficiente
considerar uma translação do diagrama de momentos de x.
MÓDULO 2 – Verificação da segurança aos estados limite últimos de elementos com esforço axial desprezável (vigas)
64
Betão Armado e Pré-Esforçado I
3.5. DISPOSIÇÕES CONSTRUTIVAS 3.5.1. Quantidade mínima de armadura:
As áreas mínimas de armadura transversal, podem ser quantificadas através da
imposição de percentagens mínimas de armadura, que variam consoante o tipo de
aço utilizado:
ρw,min = 0.16% para A235
ρ w,min = 0.10% para A400
ρ w,min = 0.08% para A500
A percentagem de armadura transversal define-se através da expressão
ρ w,min = Asw s × bw × 100.
3.5.2. Espaçamento entre estribos
Por forma a evitar que a fenda se forme entre estribos, o espaçamento máximo entre
estribos deverá respeitar a condição:
s ≤ 0.5 d,
onde d representa a altura útil do elemento.
Usualmente utilizam-se espaçamentos entre 0.075 m e 0.30 m (ou, mais aconselhável,
entre 0.10 m e 0.25 m).
MÓDULO 2 – Verificação da segurança aos estados limite últimos de elementos com esforço axial desprezável (vigas)
65
Betão Armado e Pré-Esforçado I
EXERCÍCIO 5
Considere a estrutura da figura seguinte:
0.60
5.00
0.30
g = 25kN/m
q = 12kN/m
Materiais: C25/30, A00
a) Calcule as armaduras transversais admitindo, para inclinação das bielas de
compressão, ângulos de 30° e 45°.
b) Verifique, para ambas as situações, a tensão máxima de compressão nas bielas.
c) Calcule, para ambas as situações, os efeitos na armadura longitudinal.
RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO 5
ALÍNEA A)
1. Determinação dos esforços
psd = γg × g + γq × q = 1.5 (12 + 25) = 55.5 kN/m
MSd = pL2 8 = 55.5 × 52
8 = 173.4kNm
VSd = 55.5 × 5 2 = 138.8kNm
2. Cálculo das armaduras transversais para θ = 30°
z cotg θ = 0.9 d × cotg θ = 0.9 × 0.55 × cotg 30° = 0.87m
Vsd (z cotg θ) = 138.8 – 0.87 × 55.5 = 90.5kN
MÓDULO 2 – Verificação da segurança aos estados limite últimos de elementos com esforço axial desprezável (vigas)
66
Betão Armado e Pré-Esforçado I
Asw s ≥ Vsd
z cotg θ fyd = 90.5
0.87 × 348 × 103 × 104 = 3.0 cm2/m
3. Cálculo das armaduras transversais para θ = 45°
z cotg θ = 0.9 × 0.55 × cotg 45° = 0.5m
Vsd (z cotg θ) = 138.8 – 0.5 × 55.5 = 111.1kN
Asw s = 111.1
348 × 103 × 0.5 = 6.39cm2/m
ALÍNEA B)
i) θ = 30°
σc = Vsd 0.9 d bw sen θ cos θ = 90.5
0.3 × 0.5 × sen 30° × cos 30° = 1393kN/m2
ii) θ = 45°
σc = 111.1 0.3 × 0.5 × sen 45° × cos 45° = 1481kN/m2
σc < 0.6 fcd = 0.6 × 16.7 × 103 = 10020kN/m2
Cálculo do máximo esforço transverso que pode ser aplicado sem esmagar o betão
i) θ = 30°
VmáxRd = 0.6 fcd bw z cosθ senθ = 0.6 × 16.7×103 × 0.3 × 0.5 sen 30º × cos 30º = 650.8kN
ii) θ = 45°
VmáxRd = 0.6 × 16.7 × 103 × 0.3 × 0.5 sen 45º × cos 45° = 751.5kN
MÓDULO 2 – Verificação da segurança aos estados limite últimos de elementos com esforço axial desprezável (vigas)
67
Betão Armado e Pré-Esforçado I
ALÍNEA C) 1. Armadura no apoio de extremidade
i) Considerando um apoio pontual
b = 0 ⇒ Fs = R 2 cotg θ
θ = 30° ⇒ Fs = 138.8
2 × cotg 30° = 120.2kN
θ = 45° ⇒ Fs = 138.8 2 × cotg 45° = 69.4kN
ii) Considerando a largura do apoio
Fs = 1.2 R = 1.2 × 138.8 = 166.6kN
⇒ As ≥ Fs fyd = 166.6
348×103 × 104 = 4.79cm2
Comentário: menor θ ⇒ maior área de armadura nos apoios
2. Cálculo do comprimento de translacção
θ = 30° → x = z 2 cotg θ = 0.5
2 cotg 30° = 0.43m
θ = 45° → x = z 2 cotg θ = 0.5
2 cotg 45° = 0.25m
Comentário: menor θ ⇒ maior comprimento de translacção
MÓDULO 2 – Verificação da segurança aos estados limite últimos de elementos com esforço axial desprezável (vigas)
68
Betão Armado e Pré-Esforçado I
3.6. AMARRAÇÃO DE ARMADURAS
3.6.1. Comprimento de amarração
Considere-se um varão de aço embebido, num determinado comprimento, no interior
de um bloco de betão, conforme ilustrado na figura seguinte.
fbd
lb
Fs = As fyd
fbd – tensão de aderência
É possível definir o valor do comprimento necessário lb para que, quando o varão for
submetido à máxima força de tracção que suporta, não haja escorregamento entre os
dois materiais. Deste modo, FRc ≥ Fs ⇔ Ac × fbd ≥ Fs ,
onde Ac = π φ lb e representa a área de betão em contacto com a armadura.
Ac × fbd ≥ Fs ⇔ π φ lb fbd = As fyd ⇒ π φ lb fbd = π φ2 4 fyd
De onde resulta
lb = φ 4 fyd
fbd (Comprimento de amarração base)
O valor da tensão de aderência (fbd) depende de vários factores:
Características de aderência da armadura (alta – varões nervurados -, ou normal –
varões lisos);
Classe do betão
Condições de betonagem (boas condições ou más condições)
MÓDULO 2 – Verificação da segurança aos estados limite últimos de elementos com esforço axial desprezável (vigas)
69
Betão Armado e Pré-Esforçado I
O comprimento de amarração necessário pode ser calculado através da expressão
lb,net = lb α1 As,cal. As,ef.
onde,
α1 é um coeficiente que tem em conta o tipo de amarração e toma o valor 1.0 para
amarração recta e 0.7 para amarração curva (cotovelo ou gancho);
O quociente As,cal. As,ef.
entra em linha de conta com a proporção da tensão instalada
na armadura relativamente à tensão de cálculo.
Lb.net ≥
10φ100mm0.3Lb varões traccionados0.6Lb varões comprimidos
Condições de betonagem (aderência)
Os varões dizem-se em condições de boa aderência se verificarem uma das seguintes
condições:
formem com a horizontal um ângulo entre 45º e 90º;
estejam integrados em elementos com espessura (na direcção da betonagem)
inferior a 25 cm;
quando a espessura excede 25 cm, os varões estão em boas condições de
aderência se se situarem na metade inferior do elemento ou a mais de 30 cm da
sua face superior.
MÓDULO 2 – Verificação da segurança aos estados limite últimos de elementos com esforço axial desprezável (vigas)
70
Betão Armado e Pré-Esforçado I
EXEMPLO
Calcular o comprimento de amarração necessário de um varão φ16 solicitado por uma
força de 45kN.
lb,net
45 kN
Materiais: C25/30
A400NR
RESOLUÇÃO:
C25/30Amarração rectaAlta aderênciaBoas cond. de betonagem
lb = 30φ = 30 × 1.6 = 48cm
α1 = 1
(Quadro do artigo 81º do REBAP)
As.ef = 2.01cm2
As.cal = 45 34.8 = 1.29cm2
Lb.net = lb α1 As.cal. As.ef. = 48 × 1 × 1.29
2.01 = 30.8 cm
MÓDULO 2 – Verificação da segurança aos estados limite últimos de elementos com esforço axial desprezável (vigas)
71
Betão Armado e Pré-Esforçado I
3.6.2. Comprimento de emenda
As emendas dos varões das armaduras ordinárias devem, se possível, ser evitadas e
caso sejam necessárias, devem ser efectuadas em zonas em que os varões estejam
sujeitos a tensões pouco elevadas.
As emendas de varões podem ser realizadas por sobreposição , por soldadura, ou por
meio de dispositivos mecânicos especiais (acopladores, por exemplo)
No que se refere às emendas por sobreposição, o comprimento de emenda (lb0) deve
satisfazer as expressões:
FF
lb0
(i) Varões comprimidos: lb0 = lb (apenas emendas rectas)
(ii) Varões traccionados: lb0 = α2 lb.net mas lb0 ≥ min (20cm;15φ)
O valor do coeficiente α2 depende dos seguintes factores:
relação entre a secção dos varões emendados e a secção total dos varões
distâncias entre emendas na mesma secção transversal
distância da emenda à face lateral da secção
Limites ao número de varões a emendar numa secção
Varões comprimidos: Sem limitação
Varões traccionados
• Varões de alta aderência: - todos se φL ≤ 16mm
- ½ As se φL ≥ 16mm
• Varões de aderência normal - ½ As se φL ≤ 16mm
- ¼ As se φL ≥ 16mm
Condição para que duas emendas possam ser consideradas em secções diferentes
MÓDULO 2 – Verificação da segurança aos estados limite últimos de elementos com esforço axial desprezável (vigas)
72
≥1.5 lb0
Betão Armado e Pré-Esforçado I
RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO 5 (CONT.) ALÍNEA D) (Pormenorização da armadura longitudinal, considerando-se θ = 30°)
1. Cálculo da armadura necessária a meio vão
Msd = 173.4kNm ⇒ µ = Msd bd2 fcd = 173.4
0.3 × 0.552 × 16.7×103 = 0.114 ⇒ ω = 0.124
As = ω b d fcd fyd = 9.84cm2
Adoptam-se 2φ16 + 2φ20 (10.3cm2)
Visto que Aapoios ≥ 4.79cm2 , é possível dispensar 2φ16
2. Cálculo do MRd correspondente a 2φ20 (6.28cm2)
ω = As b d
fyd fcd = 6.28 × 10-4
0.3 × 0.55 × 348 16.7 = 0.079 ⇒ µ = 0.075
MRd = µ × b d2 fcd = 0.075 × 0.3 × 0.552 × 16.7×103 = 113.7kNm
3. Determinação da secção de dispensa de armadura
M(x)
138.8 kN 138.8 kN
55.5 kN/m
x
DMF
(+)
M(x) = 138.8 × x – 55.5 × x2 2 =
= 138.8 x – 27.75x2
Msd= MRd ⇔ 138x - 27.75x2 = 113.7
⇔ x = 3.97m ∨ x = 1.03m
lb,net = lb α1 As,cal. As,ef.
= 30φ × As,cal. As,ef.
= 30 × 0.016 × 6.28 10.3
= 0.29m
aL = z 2 cotg θ = 0.43m
Secções de dispensa de armadura:
x1 = 1.03 – aL – Lb.net = 1.03 – 0.43 – 0.29 = 0.31m
x2 = 3.97 + aL + Lb.net = 3.97 + 0.43 + 0.29 = 4.69m
MÓDULO 2 – Verificação da segurança aos estados limite últimos de elementos com esforço axial desprezável (vigas)
73
Betão Armado e Pré-Esforçado I
EXERCÍCIO 6
Para a estrutura já analisada no Exercício 3 determine:
a) As armaduras transversais necessárias ao longo da viga
b) A distribuição de armaduras longitudinais ao longo da viga
c) Pormenorize as armaduras na viga
RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO 6 ALÍNEA A)
1. Determinação do esforço transverso solicitante
10.00 3.00
p=1 kN/m
(+)(+)
5.45
(-)
DEV[kN] 4.55 3.0
Considerando alternância de sobrecarga,
5.0DEV[kN]
(+)
(-)
5.0
p=1 kN/m
DEV[kN]
3.0
( )0.45
(+)
p=1 kN/m
V Asd = 1.5 × (28.25 × 4.55) + 1.5 × (12 × 5) = 282.8kN
MÓDULO 2 – Verificação da segurança aos estados limite últimos de elementos com esforço axial desprezável (vigas)
74
Betão Armado e Pré-Esforçado I
VB.esqsd = 1.5 × (28.25 × 5.45) + 1.5 × (12 × 5.45) = 392.0kN
VB.dirsd = 1.5 × (28.25 + 12) × 3 = 181.1kN
i) Envolvente do diagrama de esforço transverso
282.8
(+)
181.1
(-)
329.0
(+)
282.8181.1
329.0
⇒
ii) Determinação de Vsd (z cotg θ)
Considerando θ = 30°,
d = 0.80m ; z ≅ 0.9 d = 0.72 m
z cotg θ = 0.72 × cotg 30° = 1.25 m
Vsd,A (z cotg θ) = 282.8 – 60.4 × 1.25 = 207.3 kN
Vsd,B esq (z cotg θ) = 329 – 60.4 × 1.25 = 253.5 kN
Vsd,B dir (z cotg θ) = 181.1 – 60.4 × 1.25 = 105.6 kN
2. Verificação das compressões
i) Bielas comprimidas
σmáxc = Vsd (z cotg θ)
z bw senθ cosθ = 253.5 0.72 × 0.30 × sen 30° × cos 30° = 2710.3kN/m2 ≅ 2.7MPa
0.6 fcd = 0.6 × 16.7 = 10.02MPa
σmáxc ≤ 0.6 fcd
ii) Apoio
σc = R Aap ≤ 0.85 fcd
R Bsd = 329.0 + 181.1 = 510.1kN
σc = 510.1 0.3 × 0.3 = 5667.8kN/m2 ≅ 5.7MPa
0.85 fcd = 0.85 × 16.7 = 14.2MPa
MÓDULO 2 – Verificação da segurança aos estados limite últimos de elementos com esforço axial desprezável (vigas)
75
Betão Armado e Pré-Esforçado I
3. Cálculo da armadura transversal nos apoios
i) Apoio A
Asw s = Vsd (z cotg θ)
z cotg θ fyd = 207.3
0.72 × cotg 30° × 348×103 × 104 = 4.78cm2/m
ii) Apoio B (esq.)
Asw s = 253.5
0.72 × cotg 30° × 348×103 × 104 = 5.84cm2/m
iii) Apoio B (dir.)
Asw s = 105.6
0.72 × cotg 30° × 348×103 × 104 = 2.43cm2/m
iv) Cálculo da armadura mínima (A400)
ρw,min = 0.10 ⇔
Asw
s min × 1
bw × 100 = 0.10 ⇔
⇔
Asw
s min = 0.10 × 0.30
100 × 104 = 3.0cm2/m (adoptam-se estribos φ8//0.25)
4. Determinação da zona da viga em que se adopta (Asw/s)min
i) Cálculo de VRd, min
Estribos φ8//0.25 ⇒ 4.02 cm2/m
VRd = Asw s × z cotg θ × fyd = 4.02×10-4 × 0.72 × cotg 30° × 348×103 = 174.5 kN
329.0282.8
181.1174.5
x1 x2
1 60.4
x1 = 282.8 - 174.5 60.4 = 1.79m
x2 = 329 - 174.5 60.4 = 2.56m
MÓDULO 2 – Verificação da segurança aos estados limite últimos de elementos com esforço axial desprezável (vigas)
76
Betão Armado e Pré-Esforçado I
ALÍNEA B)
Aapoios → 4φ16 + 2φ12; Avão
s → 6φ25
1. Cálculo do comprimento de translacção
aL = z 2 cotg θ = 0.72
2 cotg 30° = 0.62m
2. Armadura inferior
i) Plano de dispensas: 6φ25 → 4φ25 → 2φ25
ii) Capacidade resistente da viga após as dispensas
Armadura As [cm2] ω µ MRd [kNm]
4φ25 19.63 0.170 0.154 493.8
2φ25 9.82 0.085 0.080 256.5
660.2
272.0
493.8256.5 256.5
493.8
x1x2
x3x4
iii) Cálculo das coordenadas x
Carregamento correspondente ao máximo momento no vão
10.00
cp=28.3 kN/m
3.00
sc=12.0 kN/m
282.8 kN
(-)
(+)
DMF[kNm]
x
MÓDULO 2 – Verificação da segurança aos estados limite últimos de elementos com esforço axial desprezável (vigas)
77
Betão Armado e Pré-Esforçado I
282.8 kN
M(x)
x
60.4 kN/m
M(x) = 282.8 × x – 60.4 × x2
2 = 282.8 × x – 30.2x2
MSd = 493.8kNm ⇔ 282.8 × x – 30.2 × x2 = 493.8 ⇔ x3 = 7.04m ∨ x2 = 2.32m
MSd = 256.5kNm ⇔ 282.8 × x – 30.2 × x2 = 256.5 ⇔ x4 = 8.35m ∨ x1 = 1.02m
iv) Cálculo dos comprimentos para dispensa da armadura
Dispensa de 6φ25 → 4φ25
x2’ = x2 – aL – Lb.net = 2.32 – 0.62 – 0.50 = 1.20 m
x3’ = x3 + aL + Lb.net = 7.04 + 0.62 + 0.50 = 8.16 m
C25/30; A400NR
boas condições de aderência ⇒ Lb = 30φ = 30 × 0.025 = 0.75m
lb,net = lb α1 As,cal. As,ef.
= 30φ × As,cal. As,ef.
= 0.75 × 4 6
= 0.50 m
Dispensa de 4φ25 → 2φ25
x1’ = x1 – aL – Lb.net = 1.02 – 0.62 – 0.38 = 0.02 m
x4’ = x4 + aL + Lb.net = 8.35 + 0.62 + 0.38 = 9.35 m
lb,net = lb α1 As,cal. As,ef.
= 30φ × As,cal. As,ef.
= 0.75 × 2 4
= 0.38 m
v) Verificação da armadura no apoio
1) Considerando pilares 0.30 × 0.30 [m2]:
FT = R cotgθ1 = R ×
0.5 × b
z + 0.5 cotgθ = 282.8 ×
0.5 × 0.30
0.72 + 0.5 cotg 30° =303.8kN
As = 303.8 348 × 103 × 104 = 8.73cm2 < As (4φ25) = 19.63cm2
MÓDULO 2 – Verificação da segurança aos estados limite últimos de elementos com esforço axial desprezável (vigas)
78
Betão Armado e Pré-Esforçado I
2) Considerando indirectamente a dimensão do pilar
FT = 1.2 R = 1.2 × 282.8 = 339.4 kN ⇒ As = 9.75cm2 < 19.63cm2
3) Considerando um apoio pontual
FT = R 2 cotgθ1 = 282.8
2 × cotg 30° = 244.9kN ⇒ As = 7.04cm2 < 19.63cm2
3. Armadura superior
i) Plano de dispensas: 4φ16 + 2φ12 → 4φ16 → 2φ16
ii) Capacidade resistente da viga após as dispensas
Armadura As [cm2] ω µ MRd [kNm]
4φ16 8.04 0.070 0.066 211.6
2φ16 4.02 0.035 0.034 109.0
272.0
x1
211.6211.6109.0 109.0
x2
x4 x3
iii) Cálculo das coordenadas x
Carregamento correspondente ao máximo momento negativo no apoio e no vão à
esquerda do apoio:
sc=12.0 kN/m
cp=28.3 kN/m
pconsolasd = 60.4kN/m
pvãosd = 1.5 × 28.25 = 42.4kN/m
MÓDULO 2 – Verificação da segurança aos estados limite últimos de elementos com esforço axial desprezável (vigas)
79
Betão Armado e Pré-Esforçado I
Vdirsd = 3.0 × (12 + 28.25) × 1.5 = 181.1kN
Vesqsd = (5.45 × 28.25 + 0.45 × 12.0) × 1.5 = 239.0kN
Consola 60.4 kN/m
x
Msd(x)
181.1 kN
272 kNmMsd(x) = 60.4 × x × x
2 – 181.1 × x + 272.0 =
30.2x2 – 181.1x + 272.0
Msd = 211.6kNm ⇔ 30.2 x12 – 181.1x1 + 272.0 = 211.6 ⇔ x1 = 0.35 m
Msd = 109.0kNm ⇔ 30.2 x32 – 181.1x3 + 272.0 = 109.0 ⇔ x3 = 1.10 m
Vão
Msd(x)
239.0 kN
x
272 kNm42.4 kN/m
Msd(x) = 42.4 × x × x 2 – 239.0 × x + 272.0 =
21.2x2 – 239x + 272.0
Msd = 211.6kNm ⇔ 21.2 x22 – 239 x2 + 272.0 = 211.6 ⇔ x2 = 0.26 m
Msd = 109.0kNm ⇔ 21.2 x42 – 239 x4 + 272.0 = 109.0 ⇔ x4 = 0.73 m
Msd = 0 ⇔ 21.2 x52 – 239 x5 + 272.0 = 0 ⇔ x5 = 1.28 m
4) Cálculo dos comprimentos para dispensa da armadura
Dispensa de 4φ16 + 2φ12 → 4φ16
x1’ = x1 + aL + Lb.net = 0.35 + 0.62 + 0.42 = 1.39 m
x2’ = x2 + aL + Lb.net = 0.26 + 0.62 + 0.42 = 1.30 m
Lb.net = 45φ × As,cal. As,ef.
= 45 × 0.012 × 8.04 8.04 + 2.26
= 0.42 m
Dispensa de 4φ16 → 2φ16
x3’ = x3 + aL + Lb.net = 1.10 + 0.62 + 0.36 = 2.08 m
x4’ = x4 + aL + Lb.net = 0.73 + 0.62 + 0.36 = 1.71 m
x5’ = 1.28 + 0.62 + 0.22 = 2.12m
Lb.net = 45φ × As,cal. As,ef.
= 45 × 0.016 × 2/4 = 0.36 m
Lb.min = 0.3 × 45φ = 0.3 × 45 × 0.016 = 0.22 m
MÓDULO 2 – Verificação da segurança aos estados limite últimos de elementos com esforço axial desprezável (vigas)
80
Betão Armado e Pré-Esforçado I
3.7. ARMADURA DE LIGAÇÃO BANZO-ALMA
Na figura seguinte ilustra-se a degradação das tensões de compressão da alma, para
o banzo de uma viga em “T”.
z cotg θ1
z cotg θ1
z θ1
θ2
fc
Fc
fc'
Fc'
onde,
fc representa força distribuída nas bielas comprimidas da alma
fc’ representa a força distribuída nas bielas comprimidas do banzo
Fc e Fc’ representam as resultantes das forças distribuídas nessas bielas
Em planta,
z cotg θ1
Fc cos θ1
θ2
Fc'
FT
F 'c = Fc
2 cos θ1 × 1 cos θ2
FT = F 'c × sen θ2 = Fc
2 cos θ1 × sen θ2 cos θ2
=
= Fc 2 × tg θ2 × cos θ1
Asf = FT fsyd ⇒ Asf
s = FT z cotg θ1 fyd
= Fc sen θ1 2 z cotg θ2 fyd
Como Fc = V sen θ1
⇒ Asf s = V
2 z cotg θ2 fyd
θ1=θ2 ⇒ A armadura de ligação banzo-alma é metade da armadura de esforço
transverso
Asf
s = 1 2
Asw
s
Nota: Numa viga pertencente a uma laje vigada, a armadura da laje é normalmente
suficiente para absorver as forças de tracção na ligação banzo-alma.
MÓDULO 2 – Verificação da segurança aos estados limite últimos de elementos com esforço axial desprezável (vigas)
81
Betão Armado e Pré-Esforçado I
3.8. ARMADURA DE SUSPENSÃO
3.8.1. Apoios indirectos
h2h1
21
V
A viga transmite as cargas à viga
através das bielas comprimidas.
A carga transmitida à viga principal terá
de ser transmitida para a face superior
através de estribos de suspensão
As = Vfyd
P
2
1
Se as faces superiores das duas vigas estiverem ao mesmo nível, a área da secção
dos estribos de suspensão pode ser reduzida de acordo com a seguinte expressão:
FT = h2 h1 V
As = FT
fyd
Nota: A armadura calculada deve ser adicionada à armadura de esforço transverso.
A distribuição dos estribos de suspensão deve ser feita da seguinte forma:
b2
máx(b2;h1)
1
2
MÓDULO 2 – Verificação da segurança aos estados limite últimos de elementos com esforço axial desprezável (vigas)
82
Betão Armado e Pré-Esforçado I
3.8.2. Cargas suspensas
A carga tem que ser transmitida para a face superior da viga através de uma armadura
de suspensão. A armadura é dimensionada para absorver a totalidade da carga
suspensa.
As ≥ Fs fyd , Fs – carga suspensa
MÓDULO 2 – Verificação da segurança aos estados limite últimos de elementos com esforço axial desprezável (vigas)
83
Betão Armado e Pré-Esforçado I
EXERCÍCIO 7
Considere a estrutura da figura seguinte:
1.00
1.00
0.20 0.20
0.15
Materiais: C20/25, A400
Acções: pp + revest. = 20.0 kN/m
sobrecarga = 40.0 kN/m
Coeficientes de majoração: γG = γQ = 1.5
S1S2
10.00 3.50
cp
3.50
sc
a) Para a estrutura já analisada no Exercício 4, verifique a segurança ao Estado Limite
Último de Esforço Transverso e pormenorize as armaduras transversais na secção.
MÓDULO 2 – Verificação da segurança aos estados limite últimos de elementos com esforço axial desprezável (vigas)
84
Betão Armado e Pré-Esforçado I
RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO 7 ALÍNEA A)
1. Verificação da segurança ao E.L.U. de Esforço Transverso
i) Determinação de Vsd
psd = 1.5 × (20 + 40) = 90kN/m
450.0
(-)
DET[kN]
(-)(+)
(+)
315.0
315.0
450.0
θ = 30º ⇒ z cotg θ = 0.9 × 0.95 × cotg 30° = 1.48m
Vsd, dir (z cotg θ) = 450 – 1.48 × 90 = 316.8.5kN
Vsd, esq (z cotg θ) = 315 – 1.48 × 90 = 181.8kN
ii) Verificação das compressões na alma
σc = Vsd (z cotg θ) z × bw × sen θ × cos θ = 316.8
0.9 × 0.95 × 0.40 × sen 30° × cos 30° = 2139.2kN/m2
0.6 fcd = 0.6 × 13.3×103 = 7980kN/m2 > σc
iii) Cálculo da armadura transversal junto aos apoios
Asw s = Vsd (z cotg θ)
z fyd cotg θ
Asw
s dir = 316.8
1.48 × 348×103 × 104 = 6.15cm2/m
Asw
s esq = 181.8
1.48 × 348×103 × 104 = 3.53cm2/m
MÓDULO 2 – Verificação da segurança aos estados limite últimos de elementos com esforço axial desprezável (vigas)
85
Betão Armado e Pré-Esforçado I
2. Cálculo da armadura de suspensão
Nota: Admite-se que a sobrecarga está a actuar no banzo inferior
cp*+sc
cp* = cp – ppalmas = 20 – (0.20 × 1.0 × 2) × 25 = 10kN/m
Força de suspensão: Fs = 1.5 (10 + 40) = 75.0kN/m
As
s suspensão = 75.0
348×103 × 104 = 2.16cm2/m
(a adicionar à armadura de esforço transverso)
As
s dir
TOT =
Asw
s dir +
As
s susp = 6.15 + 2.16 = 8.31cm2/m
As
s esq
TOT =
Asw
s esq +
As
s susp = 3.53 + 2.16 = 5.69m
3. Cálculo da armadura transversal mínima
Asw
s min = 4cm2/m
4. Cálculo da armadura de ligação banzo-alma
Asf s = Vsd
2 z cotg θ2 fsyd
θ1 = θ2 ⇒ Asf s = 1
2
Asw
s
As
s dir
= 6.15 2 = 3.08cm2/m ;
As
s esq
= 3.53 2 = 1.77cm2/m
MÓDULO 2 – Verificação da segurança aos estados limite últimos de elementos com esforço axial desprezável (vigas)
86
Betão Armado e Pré-Esforçado I
5. Armadura transversal de flexão no banzo
0.80
cp*+sc
cp* + sc = 10 + 40 = 50 kN/m
psd = 1.5 × 50 / 0.6 = 125.0 kN/m2
2/12pL
pL /242
0.80
pL2 12 = 125 × 0.802
12 = 6.7kN/m
µ= Msd b d2 fcd = 6.7
1.0 × 0.122 × 13.3×103 = 0.035 ⇒ ω = 0.037
As=ω b d fcd fyd = 0.037×1.0× 0.12 × 13.3
348 ×104 = 1.70cm2/m
(AsTOT/ramo)dir =
3.08
2 + 1.70 = 3.24cm2/m
(AsTOT/ramo)esq =
1.77
2 + 1.70 = 2.59cm2/m
MÓDULO 2 – Verificação da segurança aos estados limite últimos de elementos com esforço axial desprezável (vigas)
87
Betão Armado e Pré-Esforçado I
3.9. SECÇÕES COM LARGURA VARIÁVEL
Nos casos em que as secções apresentam largura variável, bw considera-se como
a menor largura numa zona compreendida entre a armadura traccionada e ¾ da
altura útil
d3/4 d
bw
bw
No caso de secções circulares, poderá considerar-se uma secção rectangular
equivalente, com as seguintes características:
be≈0.9DD
AsL
AsL/2
de⇔
de = 0.45 D + 0.64
d - D
2 (expressão aferida experimentalmente)
3.10. ARMADURA INCLINADA
Nos casos em que a armadura de esforço transverso for constituída por armadura
inclinada (e não vertical), há que ter em conta esse facto no modelo de treliça, já que a
armadura se destina a absorver as tensões de tracção representadas pelos tirantes,
conforme se ilustra na figura abaixo
MÓDULO 2 – Verificação da segurança aos estados limite últimos de elementos com esforço axial desprezável (vigas)
88
tirantesbielas comprimidas
z cotg αz cotg θ
z
θ α
z cotg θ + z cotg α
Fs V
Betão Armado e Pré-Esforçado I
α
F
Fs Vsd
Asw × fyd ≥ Vsd sen α ⇔ Asw ≥ Vsd
sen α 1 fyd ⇔
⇔ Asw s = Vsd
sen α 1
z (cotg θ + cotg α) × 1 fyd ⇔
⇔ Asw s = Vsd
z (cotg θ + cotg α) sen α fyd
Fc = Fs cos α = V cotg α
Barras horizontais:
Fs
α θFc
Ft
FT = Fs cos α + Fc cos θ = Vsd sen α cos α + Vsd
sen θ cos θ
⇔ FT = Vsd (cotg θ + cotg α)
3.11. CARGAS CONCENTRADAS JUNTO AO APOIO
As cargas que actuam junto ao apoio podem ser transmitidas directamente para
este, através de uma biela inclinada (a < z/2)
a
P
As cargas afastadas do apoio são transmitidas pelo mecanismo de treliça (a > 2z)
P
a
Numa zona intermédia, parte da carga é transmitida directamente para o apoio e
a outra parte é transmitida pelo mecanismo de treliça.
MÓDULO 2 – Verificação da segurança aos estados limite últimos de elementos com esforço axial desprezável (vigas)
89
Betão Armado e Pré-Esforçado I
3.11.1. Regras de dimensionamento
a < z/2
A carga é transmitida directamente para o apoio (não é necessário acréscimo de
armadura transversal).
a > 2 z
A carga é totalmente transmitida pelo mecanismo de treliça (considerar a totalidade do
esforço transverso relativo à carga concentrada)
z/2 < a < 2 z
Para o dimensionamento da armadura transversal apenas deve ser considerada uma
parcela da carga: P1 =
2a
z - 1 1 3 P
MÓDULO 2 – Verificação da segurança aos estados limite últimos de elementos com esforço axial desprezável (vigas)
90
Betão Armado e Pré-Esforçado I
EXERCÍCIO Considere a estrutura seguinte.
0.40 0.40 0.405.00
0.65
P
0.40
Calcule as armaduras transversais necessárias, considerando apenas a actuação da
carga Psd = 300kN.
MÓDULO 2 – Verificação da segurança aos estados limite últimos de elementos com esforço axial desprezável (vigas)
91
Betão Armado e Pré-Esforçado I
RESOLUÇÃO
Neste caso,
z = 0.9 × 0.60 = 0.54 m e a = 0.8 m ⇒ z 2 = 0.27 m < a < 2 z = 1.08 m,
pelo que, parte da carga é transmitida directamente para o apoio e a outra parte é
transmitida pelo mecanismo de treliça.
1. Determinação da parcela da carga considerada para o dimensionamento da
armadura transversal
(+)
DEV[kN]
300 kN
RA=252 kN
4.20RB=48 kN
0.80
A B
(-)
252
48
ΣMA=0 ⇔ -300×0.8 + RB×5.0 = 0
⇔ RB = 48kN
RA = 300 – 48 – 252kN
P1.Sd =
2 × 0.8
0.54 - 1 × 1 3 × Psd = 0.65 Psd
2. Cálculo da armadura transversal
As ≥ 0.65 × 252 348×103 × 104 = 4.7cm2 ⇒ As
s = 4.7 0.40 = 11.75cm /m 2
11.75 2 = 5.88cm2/m
3. Cálculo da armadura longitudinal
θ1θ2 Fsd
Rsd,1 Rsd,2
Rsd,1 = 0.65 × 252 = 163.8 kN
Rsd,2 = 0.35 × 252 = 88.2 kN
Fsd = Rsd,1 cotg θ1 + Rsd,2 cotg θ2 =
= 163.8 × 0.4 0.54 + 88.2 × 0.8
0.54 = 252kN
ASL = 252 348×103 × 104 = 7.24cm2
MÓDULO 2 – Verificação da segurança aos estados limite últimos de elementos com esforço axial desprezável (vigas)
92
Betão Armado e Pré-Esforçado I
3.12. FORÇAS DE DESVIO
Quando um varão de uma armadura traccionada possui um ponto anguloso, gera-se
uma força de desvio nesse ponto, tal como ilustrado na figura seguinte.
Fs
Fs
FD
Nestes casos, há que ter em atenção a posição do varão e sentido da força de desvio
em relação à face exterior do betão pois, caso a força tenha o sentido do interior para
o exterior da peça, poderá ocorrer uma rotura local da camada de betão de
recobrimento.
(a) Situação em que não ocorre rotura
(b) Situação em que poderá ocorrer rotura
3.12.1. Disposição da armadura ordinária por forma a evitar o destacamento do betão devido às forças de desvio i) α >15°
αMM
ii) α <15°
MM
A
A
Secção A-A
ou
3.12.2. Forças de desvio de compressão
MÓDULO 2 – Verificação da segurança aos estados limite últimos de elementos com esforço axial desprezável (vigas)
93
MM
FcFD
Fc
Betão Armado e Pré-Esforçado I
4. Torção
4.1. DEFINIÇÕES
4.1.1. Torção de equilíbrio
A distribuição de esforços é apenas condicionada pelo equilíbrio da estrutura, ou seja,
não é possível obter uma distribuição de esforços equilibrada sem a existência de
momento torsor num elemento.
Exemplo:
Fs
DMT[kNm]
(-)
4.1.2. Torção de compatibilidade
A distribuição de esforços depende da relação entre a rigidez de flexão e torção. No
caso limite de se considerar uma rigidez de torção nula é possível obter uma
distribuição de esforços equilibrada sem a existência de momento torsor na estrutura.
(Fendilhação ⇒ redução da rigidez de torção ⇒ redução dos momentos torsores ⇒
momentos torsores podem, em geral, ser desprezados)
Exemplo:
MÓDULO 2 – Verificação da segurança aos estados limite últimos de elementos com esforço axial desprezável (vigas)
94
Betão Armado e Pré-Esforçado I
4.2. TORÇÃO ANALISADA COMO ESFORÇO TRANSVERSO NA LARGURA EFECTIVA DE hef
Para a análise de uma secção de betão armado sujeita a um momento torsor, pode
definir-se uma secção oca (secção oca eficaz), confirme ilustra a figura seguinte:
Thm
bm
hef
secção oca eficaz
de torção
2c’ ≤ hef ≤ A u
onde,
c’ = c + φestribo
A – área da secção de betão
u – perímetro da secção
Representando a secção oca eficaz pela sua linha média, é possível determinar as
tensões tangenciais, equivalentes ao momento torsor actuante, nas paredes da
secção.
Tτ
Em secções de parede fina, τ = T 2 Ω e
Ω – área inferior à linha média da secção
e – espessura da parede
pelo que, neste caso, τ = T 2 hm bm hef
A resultante de cada uma destas tensões tangenciais não é mais que um esforço de
corte em cada parede da secção.
MÓDULO 2 – Verificação da segurança aos estados limite últimos de elementos com esforço axial desprezável (vigas)
95
Betão Armado e Pré-Esforçado I
TVV
VH
VH = τ × hef × bm = T
2 hm
VV = τ × hef × hm = T
2 bm
Esforços de corte na parede ⇔ Esforço transverso
4.3. DIMENSIONAMENTO DAS PAREDES SUJEITAS A UM ESFORÇO TRANSVERSO
(Modelo de treliça com θ variável)
4.3.1. Compressão numa parede vertical,
σc = Vv hef hm cos θ sen θ = T
2 bm hm hef cos θ sen θ
⇒ σc = Tsd Aef hef cos θ sen θ ≤ 0.6 fcd, Aef = bm × hm
(parede horizontal: conclusão semelhante)
4.3.2. Armadura transversal de torção
numa parede vertical,
Ast s = Vv
hm cotg θ fyd = T
2 bm hm hef cotg θ fyd ⇒
Ast s = Tsd
2 Aef cotg θ fyd
(área de cada ramo do estribo)
(parede horizontal: conclusão semelhante)
MÓDULO 2 – Verificação da segurança aos estados limite últimos de elementos com esforço axial desprezável (vigas)
96
Betão Armado e Pré-Esforçado I
4.3.3. Armadura longitudinal de torção
bm
hm
VH
VV
H
VV
Numa parede vertical, A 'SL = Vv × cotg θ
fyd
Numa parede horizontal, A ''SL = VH × cotg θ
fyd
(FT = V cotg θ)
Nas quatro paredes,
ASL = 2 [Vv + VH] cotg θ fyd
= 2
T
2 bm + T
2 hm cotg θ
fyd =
= T 2 (bm + hm) 2 bm hm
cotg θ fyd
= T uef 2 Aef
cotg θ fyd
⇒ ASL = Tsd cotg θ uef 2 Aef fyd
MÓDULO 2 – Verificação da segurança aos estados limite últimos de elementos com esforço axial desprezável (vigas)
97
Betão Armado e Pré-Esforçado I
EXERCÍCIO 8
Determine o momento torsor resistente da secção indicada na figura.
0.40
0.40
4φ20
Est. φ8//0.15
Materiais: C25/30
A400
Recobrimento = 2.5cm
MÓDULO 2 – Verificação da segurança aos estados limite últimos de elementos com esforço axial desprezável (vigas)
98
Betão Armado e Pré-Esforçado I
RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO 8
1. Determinação das características da secção oca eficaz
hef ≤ A u = 0.42
4 × 0.4 = 0.1 m
hef ≥ 2c' = 2 × (2.5 + 0.8) = 6.6 cm
bm = hm = 0.40 – 2 × (0.025 + 0.008 + 0.01) = 0.31 m ⇒ hef = 0.09 m
Aef = bm × hm = 0.31 × 0.31 = 0.096 m2
uef = 0.31 × 4 = 1.24 m
Ast s = 3.35 cm2/m ; ASL = 12.57 cm2
2. Verificação das compressões
(Adopta-se θ = 30°)
σc = Tsd
2 Aef hef cos θ sen θ ≤ 0.6 fcd ⇔ TSd ≤ 0.6 fcd × 2 × Aef × hef × cos θ × sen θ ⇔
⇔ Tsd ≤ 0.6 × 16.7×103 × 2 × 0.096 × 0.09 × cos 30° × sen 30° = 75kNm
3. Armadura transversal
Tsd ≤ Ast s × 2 × Aef × cotg θ fyd = 3.35 × 10-4 × 2 × 0.096 × cotg 30° × 348 × 103 ⇔
⇔ Tsd ≤ 38.7kNm
4. Armadura longitudinal
Tsd ≤ ASL × 2 × Aef × fsyd cotg θ uef
= 12.57×10-4 × 2 × 0.096 × 348×103 cotg 30° × 1.24 = 39.1kNm
⇒ TRd = 38.7kNm
MÓDULO 2 – Verificação da segurança aos estados limite últimos de elementos com esforço axial desprezável (vigas)
99
Betão Armado e Pré-Esforçado I
4.4. EFEITO CONJUNTOTORÇÃO / ESFORÇO TRANSVERSO
Quando a torção aparece associada ao esforço transverso, há que ter em conta o seu
efeito conjunto.
V/2V/2+
T/2bm
T/2hm Q3
=Q1 Q2
Q4
Esforços de corte totais: Q1 = V2 + T2 bm
; Q2 = V2 - T2 bm
; Q3 = Q4 = T2 hm
4.5. DISPOSIÇÕES CONSTRUTIVAS RELATIVAS A ARMADURAS DE TORÇÃO
4.5.1. Armadura transversal
Espaçamento máximo da armadura transversal: smáx = min
1
8 uef, 0.30 m
4.5.2. Armadura longitudinal
(i) Espaçamento máximo da armadura longitudinal: smáx = 35 cm
(ii) Disposição da armadura na secção transversal: Armadura disposta ao longo do
contorno interior das cintas. Em cada vértice da secção deverá existir, pelo menos,
1 varão.
4.6. DIMENSIONAMENTO CONJUNTO DA SECÇÃO
MÓDULO 2 – Verificação da segurança aos estados limite últimos de elementos com esforço axial desprezável (vigas)
100
Msd
AsL σc σcAsw
Vsd
saL
Tsd
AsLs
Ast σc
armaduras longitudinais
compressão nas bielas inclinadas
armaduras transversais
compressão no banzo
Betão Armado e Pré-Esforçado I
EXERCÍCIO 9
Verifique a segurança ao estado limite último da viga indicada na figura, na secção dos
apoios.
30 kN/m
0.305.00
0.50
1.00
psd
0.15
0.15
(os apoios impedem a rotação da viga segundo o seu eixo)
Materiais: C25/30; A400
Recobrimento = 2.5cm
MÓDULO 2 – Verificação da segurança aos estados limite últimos de elementos com esforço axial desprezável (vigas)
101
Betão Armado e Pré-Esforçado I
RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO 9
1. Determinação dos esforços
(+)
DMF[kNm]
30 kN/m
93.8DET[kN]
(+)(-)
75.0
75.0
(+)11.25
(-)
11.25
Msd = pL2
8 = 30 × 52
8 = 93.8kNm
Vsd = pL 2 = 30 × 5
2 = 75kNm
Tsd = 30 × 0.15 × 5 2 = 11.25 kNm
2. Características da secção oca eficaz
bm = 0.20m; hm = 0.40m
Aef = 0.20 × 0.40 = 0.08m2
uef = 2 × (0.2 + 0.4) = 1.2m
hef ≤ A u = 0.3 × 0.5
2 (0.3 + 0.5) = 0.09 m
hef ≥ (2.5 + 0.6) × 2 ≅ 6 cm
3. Verificação da compressão (admite-se θ = 30°)
Torção: σc ≤ Tsd
2 Aef hef cos θ sen θ = 11.252 × 0.08 × 0.06 × cos 30° × sen 30° = 2706 kN/m2
Esf. Transverso: σc = Vsd
z × bw × sen θ cos θ = 750.9 × 0.45 × 0.30 × sen 30° × cos 30° =
= 1425.6 kN/m2
σTOTALc = 2706 + 1425.6 = 4131.6 < 0.6 fcd = 10020 kN/m2
MÓDULO 2 – Verificação da segurança aos estados limite últimos de elementos com esforço axial desprezável (vigas)
102
Betão Armado e Pré-Esforçado I
MÓDULO 2 – Verificação da segurança aos estados limite últimos de elementos com esforço axial desprezável (vigas)
103
4. Cálculo da armadura transversal
Torção: Asts ≤ Tsd
2 Aef cotg θ fyd = 11.25
2 × 0.08 × cotg 30° × 348×103 × 104= 1.17cm/m2
(por ramo)
Esf. Transverso: Asws = Vsd
z cotg θ fyd = 75
0.9 × 0.45 × cotg 30° × 348×103 ×104 = 3.07cm2/m
Ast
s + Asws /ramo
= 1.17 + 3.072 = 2.71cm2/m
5. Cálculo da armadura longitudinal
(i) Torção
ASL = Tsd × cotg θ × uef 2 Aef × fyd
= 11.25 × cotg 30° × 1.2 2 × 0.08 × 348×103 × 104 = 4.20cm2
(Armadura a ser colocada ao longo do perímetro uef)
(ii) Armadura de flexão a ½ vão:
Msd = 93.8kNm ⇒ µ = 0.092 ; ω = 0.099 ⇒ As = 6.39cm2
(iii) Armadura no apoio
Esf. Transverso: As = 1.2 Rsd fyd
= 1.2 × 75 348×103 × 104 = 2.59cm2
Torção: ASL = 4.2cm2 ⇒ ASL/face = 4.24 = 1.05cm2
Face inferior → ATs = 2.59 + 1.05 = 3.64cm2