Embed Size (px)
Citation preview
Hipérbole 09 Dez
1
1. Introdução ao estudo da hipérbole 2. Título – Que curva é essa chamada hipérbole.
3. Objetivos:
• Identificar e representar uma hipérbole a partir uma secção em um cone;
• Identificar elementos da hipérbole: focos, vértices e eixos;
• Definir hipérbole;
• Obter a equação reduzida de uma hipérbole
• Associar as medidas dos semi-eixos real e imaginário da hipérbole à
equação reduzida.
Hipérbole 09 Dez
2
1. Tema – INTRODUÇÃO AO ESTUDO DA HIPÉRBOLE.
2. Título - Que curva é esta chamada hipérbole?
Fotografia ou ilustração do cone de som de um avião supersônico
3. Objetivos: • Identificar e representar uma hipérbole a partir de uma seção de um cone.
• Identificar os elementos da hipérbole – centro, vértices, focos, eixo real e eixo
imaginário.
• Definir hipérbole.
• Obter a equação reduzida de uma hipérbole.
Que curva é essa chamada hipérbole?
A forma hiperbólica aparece nas fotos abaixo.
Fotos de outros objetos ou situações
com forma hiperbólica
Fonte: http://mat.absolutamente.net/recursos/alunos/0102/conicas/catia.pdf
Hipérbole 09 Dez
3
figura 02
A título de introdução ao Estudo da Hipérbole, este experimento pretende resgatar as
proposições de Apolônio a respeito das cônicas, proporcionando ao aluno a oportunidade
de seccionar um cone de massa por um plano, observar a curva obtida, buscar simetrias,
identificar elementos notáveis e identificar nessa curva a propriedade que define a
hipérbole.
A atividade também proporciona uma oportunidade de se aplicar as construções com
régua e compasso de maneira significativa, integrada aos procedimentos de manipulação
e à álgebra.
Pretende-se que a atividade motive os alunos e agregue significado a um posterior estudo
formal da Hipérbole e das demais seções cônicas.
Etapa 1 - Cortando um cone e obtendo uma hipérbole, identificando seu eixo e vértice.
Material necessário – papel cartão (ou um funil), massa para modelar, barbante, papel
manteiga ou vegetal, caneta de ponta porosa, cola, régua e tesoura (figura 01).
A hipérbole será obtida por uma seção em uma
superfície cônica como as da figura ao lado. As
etapas a seguir permitirão que se faça essa
operação com uso de massa para modelar.
figura 01
Ver no texto de apoio ao
professor uma receita caseira
de massa de modelar.
Hipérbole 09 Dez
4
1a. Modelar um cone com o molde (de papel cartão ou funil) utilizando a massa de
modelar(Fig. 03). Retirar da forma (Fig. 04) e colocar sobre uma superfície.
1b. Com o barbante ou uma placa, cortar o cone segundo um plano perpendicular à sua
base, que contenha seu eixo, dividindo-o em duas partes iguais (fig. 05 e 06).
1c.Posicionar as duas partes obtidas, com as seções planas apoiadas numa superfície, de
modo que os vértices e o eixo coincidam (Fig 07).
Observação importante: os cones com abertura maior produzirão resultados mais precisos e mais facilidade na obtenção dos elementos da hipébole e observação das propriedades.
figura 04 figura 03
figura 05 figura 06
figura 07
Hipérbole 09 Dez
5
1d. Com uma linha (ou barbante) bem esticada, fazer um corte na massa, de modo a
atingir as duas seções do cone. Retirar cuidadosamente a linha, mantendo as partes do
cone na mesma posição (Fig 08).
1e. Inserir cuidadosamente um cartão no corte feito pela linha e marcar com uma
caneta de ponta porosa o contorno da interseção da superfície cônica com o cartão
(Fig 09, 10 e 11).
figura 08
figura 10
figura 11
figura 09
As curvas obtidas nesse procedimento são partes
dos ramos de uma hipérbole
Hipérbole 09 Dez
6
1f. Transferir as curvas obtidas para uma folha de papel transparente. Dobrando essa
folha, inserir o cartão com os ramos da hipérbole desenhados (Fig 12) e transferir esses
arcos para o papel transparente (Fig 13).
1g. Retirar o cartão do interior do papel e transferir as linhas obtidas para a outra
metade da dobra, obtendo assim, ao abrir o papel, uma hipérbole cujo eixo é a dobra
do papel (Fig 14 e 15).
figura 14
figura 13
figura 12
figura 15
Hipérbole 09 Dez
7
1h. Para obter a direção do outro eixo da hipérbole, sobreponha os dois ramos
obtidos e faça um vinco na dobra do papel (Fig 16). Destacar os eixos, traçando
retas sobre os vincos (Fig 17 e 18).
Etapa 2 - Obtendo os focos da hipérbole. Para obter os focos da hipérbole, os alunos deverão seguir o roteiro abaixo, utilizando os ramos de hipérbole obtidos ao cortar o cone:
2a. Identifique na hipérbole os pontos V1 e V2, denominados Vértices e o ponto O,
denominado centro da hipérbole.
figura 19
figura 18 figura 17 figura 16
O eixo que contém os pontos
V1 e V2 é denominado eixo real da hipérbole.
A hipérbole tem ainda um
outro eixo, cuja direção é
perpendicular à do eixo real e
que passa pelo ponto O,
denominado eixo imaginário.
Hipérbole 09 Dez
8
2b. Trace por V1 uma perpendicular ao eixo real e marque o ponto A tal que AVOV 11 = ,
obtendo o segmento OA , de medida 21 ×OV . 2c. Marque no eixo real um ponto B, tal que OAOB = . Por B trace uma perpendicular ao
eixo real, que interceptará a hipérbole em P.
2d. Marcar em AV1 o ponto C, tal que PBCV1 = . Com centro em O e raio OC traçar
uma circunferência que interceptará o eixo real nos pontos F1 e F2 que são os focos da
hipérbole.
A justificativa dessa construção encontra-se no texto de apoio ao
professor.
figura 20
figura 21
figura 22
Hipérbole 09 Dez
9
Etapa 3 - Definindo a hipérbole.
Para compreender a condição que define a hipérbole, siga os seguintes passos:
3a. Escolher um ponto P qualquer da hipérbole e medir a distância do ponto P a cada um
dos focos. Utilizar para isto um barbante (fig 23 e 24) ou o compasso (fig 25) ;
Anotar os valores obtidos pelos alunos em uma tabela :
Pedir aos alunos que comparem os valores obtidos nas colunas 21 PFPF − e 21VV
3b. Sobrepor as medidas obtidas, verificando que a diferença entre elas corresponde à
distância entre os vértices.(fig 26 a 29)
figura 24 figura 23
figura 25
figura 26 - Verificação com o barbante
Hipérbole 09 Dez
10
Verificação com o compasso
Repita essa operação para vários pontos da hipérbole e constate que a diferença é constante.
3c. Para confirmar numericamente a constatação do item anterior, preencher a tabela
abaixo, substituindo o barbante e o compasso por uma régua graduada (tomar pelo menos
4 pontos):
Pontos 1PF 2PF
21 PFPF − 21VV
P1
P2
P3
P4
...
Pedir aos alunos que comparem os valores obtidos nas colunas 21 PFPF − e 21VV ,
verificando que seus valores são bastante aproximados.
Ou seja, descontadas as imprecisões de construção e medida, para todos os pontos
escolhidos, a diferença entre as distâncias 1PF e 2PF é constante e tem o mesmo valor
que a distância entre os vértices.
Esta é a condição que define uma hipérbole :
“Hipérbole é o conjunto de todos os pontos de um plano cuja diferença entre as
distâncias a dois pontos fixos, denominados focos, é constante.”
figura 27 figura 28 figura 29
Hipérbole 09 Dez
11
Etapa 4 – Obtendo a equação reduzida da hipérbole.
Material necessário – Papel quadriculado, lápis, borracha, régua e compasso.
A atividade deve ser conduzida de modo que os alunos cheguem à equação que representa a hipérbole que obtiveram pelo corte do cone.
4a. Inserir na hipérbole obtida um sistema de eixos cartesianos com origem no centro da
hipérbole e os focos no eixo x. Identificar as coordenadas dos focos e dos vértices,
conforme o exemplo abaixo. Escolher na hipérbole um ponto P qualquer, de coordenadas
(x, y)
4b. Obter a equação, partindo da definição da hipérbole:
distância (P, F2) – distância (P, F1) = 4
Aplicando a formula da distância entre dois pontos
figura 30
Importante: Os alunos deverão trabalhar com os valores correspondentes às hipérboles que construíram. Os valores das coordenadas devem ser expressos em centímetros, com precisão
de uma casa decimal
Hipérbole 09 Dez
12
2 2 2 2(x 3) y (x 3) y 4+ + − − + =
Desenvolvendo a expressão:¨
2 2 2 2(x 3) y (x 3) y 4+ + − − + = ±
( ) ( )2 2
2 2 2 2(x 3) y 4 (x 3) y+ + = ± + − +
( )2 2 2 2 2 2
x 3 y 16 8 (x 3) y (x 3) y+ + = ± − + + − +
2 2 2 2x 6x 9 16 x 6x 9 8 (x 3) y+ + − − + − = ± − +
2 212x 16 8 (x 3) y− = ± − +
( )2
2 2 2(3x 4) 2 (x 3) y− = ± − +
2 2 29x 24x 16 4[(x 3) y ]− + = − +
2 2 29x 24x 16 4x 24x 36 4y− + = − + +
2 25x 4y 20− =
2 25x 4y 20
20 20 20− =
2 2x y
14 5
− =
Etapa 5 - Uma constatação importante.
O uso do módulo é necessário, pois
só estamos interessados no valor
positivos da diferença
Na construção gráfica dos focos da hipérbole,
partimos do segmento 1OV e obtivemos os
segmentos OCeCV1 , que formam um triângulo
retângulo. Denominaremos a, b e c esses
segmentos, conforme a figura ao lado.
Assim, a distância entre o centro e os focos da
hipérbole é a medida da hipotenusa desse
triângulo, indicada por c.
Hipérbole 09 Dez
13
Os alunos devem voltar à figura 22 e medir, para as suas hipérboles os valores de
1OV , que denominamos a:___________
1V C , que denominamos b:___________
OC , que denominamos c:___________
Com uso de uma calculadora, obter os valores de
a2:____________ e b2:____________
Relacionar a equação da hipérbole obtida na etapa 4 com os valores de a2 e b
2 obtidos
acima, verificando que, descontadas as imprecisões de construção, esses valores
correspondem aos denominadores dos termos em x e y da equação da hipérbole,
respectivamente.
Assim, a equação reduzida de uma hipérbole, com centro na origem do sistema
cartesiano, será dada por
2 2
2 2
x y1
a b− =
Os parâmetros a, b e c são, portanto, muito importantes no estudo da hipérbole e têm as
seguintes denominações:
a – medida do semi-eixo real da hipérbole
b – medida do semi-eixo imaginário da hipérbole
c – medida da semi-distância focal da hipérbole.
Uma conseqüência imediata dessa observação é a relação entre esses parâmetros, dada
pelo teorema de Pitágoras:
a2+b2=c2
O texto de apoio ao professor apresenta o estudo analítico da hipérbole. Para desenvolvê-
lo é necessário que o aluno tenha conhecimentos da representação de pontos no plano
cartesiano e do cálculo da distância entre dois pontos. Poderão assim ser deduzidas as
equações reduzidas da hipérbole, para o caso geral, generalizando-se assim as
constatações observadas experimentalmente neste trabalho.
Hipérbole 09 Dez
14
FICHA TÉCNICA
Autores - Maria Zoraide M C [email protected]
Miriam Sampieri Santinho [email protected]
Rosa Maria Machado [email protected]
Wilson Roberto Rodrigues [email protected]
Colaboradores: Eduardo Sebastiani Ferreira Maria Lucia B Queiroz, Otilia T . W .
Paques, Eliane Quelho F Rezende, Claudina I. Rodrigues, Maria Ines S. Muniz
Ilustrador
Fotógrafo - Augusto
Revisores:
Matemática
Língua portuguesa
Pedagogia
Avaliadores:
Externos
Professores
alunos
