1ª Lista de Exercícios 1. Determine a natureza das séries ...EXERCÍCIOS SOBRE SÉRIES NUMÉRICAS Série geométrica, série de Dirichlet, série de Mengolli, propriedades das séries,

EXERCÍCIOS SOBRE SÉRIES NUMÉRICAS

Série geométrica, série de Dirichlet, série de Mengolli,

propriedades das séries, condição necessária de convergência,

1º e 2º critérios de comparação, critérios de DÁlembert e da Raiz

[2011]

1ª Lista de Exercícios

1. Determine a natureza das séries abaixo e caso seja possível, calcule a sua soma.

a)

1 5

1

n

n

b)

1 63

1

n nnn c)

1

5n

n

d)

1 42

1

3

1

n

n

nnn

2. Determine a natureza das séries abaixo

a)

1 4

6

5

2

n

nn

b)

1 125

2

3

1

n

n

nn

c)

125 3

13

n nnn d)

132 22

7

n nnn

e)

136 65

8

n nn f)

1

2

1 2n n n n

g) 1

1

3 3 9n n n

h) 2

1

2 2 4n n n

i) 1

1

4 3 4 1

n n n

j) 2

21

5 3 3

7 2 6n

n n

n n

k) 1

1

2 1

n

n

n l)

2

21 7 4

n

n

n

m) 2

1 3 2n

n

n

n)

4

1

11

n

n n

o) 2

4 21

5 3

2 3n

n n

n n

p)

2

51

2 3

5

n

n n

n

q)3 2

1

4

3n n

r)

2

2

1

n

n

n n


Série geométrica, série de Dirichlet, série de Mengolli,

propriedades das séries, condição necessária de convergência,

1º e 2º critérios de comparação, critérios de DÁlembert e da Raiz

[2011]

s)3

1

1

5n n

t)

5 2

2

1

lnn n n

u) 2

6 21

1

1

n

n n

n n

2. Aplicando o critério de DÁlembert, caso seja possível, determine a natureza das séries

abaixo

a)

1

1.3.5... 2 1

2.4.6... 2n

n

n

b)

1

!

n

nn

n

n c)

3

1

2 !

!n

n

n

3. Aplicando o critério da raiz, determine a natureza das séries abaixo

a) 1

1

3

n

n

n

n b)

2

1

3 1

5 1

n

n

n

n c)

1

4 1

4 3

n

n

n

n

d)

2

1 1

n

n

n

n e)

1

1

1 5

nn

n

f)

1 2

4

n

n

n

n

EXERCÍCIOS SOBRE SÉRIES NUMÉRICAS Série geométrica, série de Dirichlet, série de Mengolli,

propriedades das séries, condição necessária de convergência, 1º e 2º critérios de comparação, critérios de DÁlembert e da Raiz

[2011]

PROPOSTA DE RESOLUÇÃO DA 1ª LISTA DE EXERCÍCIOS

1. a)

1 5

1

n

n

Trata-se de uma série geométrica de razão 15

1 , logo convergente. A sua soma é dada por:

razão

termoSoma

1

º1

Temos então: 4

1

5

11

5

1

Soma

b)

1 63

1

n nnn

Vamos ver se se trata de uma série de Mengolli. Se isto for verdade, então

pnn u

n

u

n nn

B

nn

A

nnn

63363

1

11

Vamos ver se existe A e B que satisfaçam a igualdade acima

nBnA

nn

B

nn

A

nnn

61

63363

1

Fazendo n=-6, obtemos

6

1B

Fazendo n=0, obtemos

6

1A

Encontrámos então A e B tais que

63363

1

nn

B

nn

A

nnn

Trata-se então de uma série de Mengolli.



[2011]

Vamos estudar a sua natureza. Se for convergente,

Cnn

nu

n

3

6

1

lim

, o que é verdade,

pois

03

6

1

limnnn

, logo, a série dada é convergente.A sua soma é dada por

nn

n upuuuuSoma

lim...321

Vamos então calcular o valor de p:

633 nnpnpn

Temos então p=3. A soma é então

3

6

1

lim321

nn

uuuSoman

n

Ou seja

0638888889,0

0108

1

60

1

24

1

3

6

1

lim333

6

1

322

6

1

311

6

1

Soma

Soma

nnSoma

n

c)

1

5n

n

Trata-se de uma série geométrica de razão 5>1, logo divergente. Como é

divergente, a sua soma não existe.

d)

1 42

1

3

1

n

n

nnn

Trata-se da soma de duas séries, uma geométrica e outra de Mengolli. Vejamos:

111 42

1

3

1

42

1

3

1

nn

n

n

n

nnnnnn



[2011]

A primeira é uma série geométrica de razão

15

1

, logo convergente. A sua soma é :

razão

termoSoma

1

º1

Temos então:

2

1

3

11

3

1

Soma

A segunda, é uma série de Mengolli, pois

42242

1

11

nn

B

nn

A

nnn nn

, onde A e B podem ser calculados da

seguinte forma:

BnnA

nn

B

nn

A

nnn

41

42242

1

Fazendo n=-4, obtém-se 4

1B , e fazendo n=0, obtém-se

4

1A . Temos então

pnn u

n

u

n nnnnnnn

42

4

1

2

4

1

42

1

11

.

Esta série é convergente, pois

02

4

1

lim

nu

n nn

Sabemos que a sua soma, é dada por:

nn

n upuuuuSoma

lim...321

Vamos então calcular o valor de p:

422 nnpnpn



[2011]

Temos então p=2. A soma é então

2

4

1

lim21

nn

uuSoman

Ou seja

1145833333,0

032

1

12

1

2

4

1

lim222

4

1

211

4

1

Soma

Soma

nnSoma

n

A série dada inicialmente,

1 42

1

3

1

n

n

nnn é convergente, pois é a soma de

duas séries convergentes e tem por soma, a soma das duas, ou seja

0,0638888889+0,1145833333 =0,1784722222.

2a).

1 4

6

5

2

n

nn

111 4

6

5

2

4

6

5

2

n

n

n

n

n

nn

Trata-se da soma de duas séries, uma geométrica de razão 15

2 , logo convergente, e outra,

também geométrica, de razão 14

6 , logo divergente.

A soma de uma série convergente com uma divergente, dá origem a uma série divergente,

logo a série

1 4

6

5

2

n

nn

, é divergente.

b)

1 125

2

3

1

n

n

nn



[2011]

Trata-se da soma de duas séries

125

2

3

1

1 1 nnn n

n

Trata-se da soma de duas séries, uma geométrica de razão 13

1 , logo convergente, e outra,

125

2

1 nnn

, da qual vamos estudar a sua natureza, usando o 2º critério de

comparação. Vejamos:

Vamos compará-la com a série

2

1

1

nn

, que é uma série convergente, pois é uma série de

Dirichlet com p=2>1, logo convergente. Então temos:

,01

2

2

125

2lim

1

125

2

lim 2

2

nnn

n

nn

nn, logo as séries são da mesma

natureza. Como estamos a comparar a série

125

2

1 nnn

, com uma série

convergente ,

2

1

1

nn

, então

125

2

1 nnn

é também convergente.

A série

125

2

1 nnn

, é uma série convergente pois é a soma de duas séries

convergentes.

c)

125 3

13

n nnn

Trata-se da soma de duas séries,

12

15 3

13

nn nnn. A primeira , pode ser escrita como

1 5

11

5

13

13

nnn

n, que é uma série de Dirichlet divergente(pois 1

5

1 ), multiplicada por uma



[2011]

constante. Como a multiplicação pela constante não altera a natureza da série, então

15

13

n n

é uma série divergente.

A segunda,

12 3

1

n nn, pode ter a sua natureza estudada a partir, por exemplo, do 2º

critério de comparação. Vamos então compará-la com a série

13

1

n n, que já sabemos ser uma

série de Dirichlet convergente.

Vamos então aplicar o 2º Critério de comparação:

,01

3

1lim

1

3

1

lim 3

3

3

2

nnn

n

nn

nn . Concluímos então por este critério, que as

séries são da mesma natureza, portanto Convergentes.

Para finalizar o exercício, temos que

125 3

13

n nnn

É uma série divergente, pois é a soma de uma série divergente com uma convergente.

d)

132 22

7

n nnn A natureza desta série pode ser estudada usando o 2º critério

de comparação. Vamos então compará-la com a série

15

1

n n, que já sabemos ser uma série de

Dirichlet convergente.


,01

22

1lim

1

22

7

lim 5

235

5

32

nnnn

n

nnn

nn . Concluímos então por este

critério, que as séries são da mesma natureza, portanto Convergentes.



[2011]

e)

136 65

8

n nn A natureza desta série pode ser estudada usando, por

exemplo, o 2º critério de comparação. Vamos então compará-la com a série

16

1

n n, que já

sabemos ser uma série de Dirichlet convergente.


,0865

8lim

165

8

lim 6

36

6

36

nnn

n

nnnn

. Concluímos então por este critério,

que as séries são da mesma natureza, portanto Convergentes.

f)

1 21

2

n nnn

A natureza desta série pode ser estudada usando, por exemplo, o 2º critério de comparação.

Vamos então compará-la com a série

13

1

n n, que já sabemos ser uma série de Dirichlet

convergente.


,02

22

2lim

1

21

2

lim 3

23

3

nnnn

n

nnn



g) 1

1

3 3 9n n n

A natureza desta série pode ser estudada usando, por exemplo, o 2º


12

1






[2011]

,0

9

1

279

1lim

1

933

1

lim 2

2

2

nnn

n

nn

nn . Concluímos então por este critério, que

as séries são da mesma natureza, portanto Convergentes.

h) 2

1

2 2 4n n n



12

1




,0

4

1

84

1lim

1

422

1

lim 2

2

2

nnn

n

nn



i) 1

1

4 3 4 1

n n n



12

1




,0

16

1

31616

1lim

1

1434

1

lim 2

2

2

nnn

n

nn



j) 2

21

5 3 3

7 2 6n

n n

n n

Pela condição necessária de convergência, concluímos que esta série é

divergente, pois 07

5

627

335lim

2

2

nn

nn

n, logo a série é divergente.



[2011]

k) 1

1

2 1

n

n

n Pela condição necessária de convergência, concluímos que esta série é

divergente, pois 02

1

12

3lim

n

n


l) 2

21 7 4

n

n

n Pela condição necessária de convergência, concluímos que esta série é

divergente, pois 07

1

47lim

2

2

n

n

n, logo a série é divergente

m) 2

1 3 2n

n

n


divergente, pois 03

1

23lim

2

n

n

n, logo a série é divergente

n)

4

1

11

n

n n


divergente, pois 01

1lim1

1lim 4

44

e

nn

n

n

n


o) 2

4 21

5 3

2 3n

n n

n n



1

21

24

11

nn nn, que já

sabemos ser uma série de Dirichlet convergente.


,0

2

1

32

35lim

132

35

lim 2

24

2

2

24

2

nnn

nn

n

nn

nn





[2011]

p) 2

51

2 3

5

n

n n

n A natureza desta série pode ser estudada usando, por exemplo, o 2º


1 2

11 2

2

5

11

nnnn

, que já

sabemos ser uma série de Dirichlet Divergente.


,02

5

32lim

1

5

32

lim 2

1

5

2

2

1

5

2

nn

nn

n

n

nn

nn . Concluímos então por este critério, que as

séries são da mesma natureza, portanto Divergentes.

q)3 2

1

4

3n n



1 3

2

1

nn

, que já sabemos ser uma

série de Dirichlet Divergente.


,04

3

4lim

1

3

4

lim 3

2

3 2

3

2

3 2

nn

n

nnn

. Concluímos então por este critério, que as

séries são da mesma natureza, portanto Divergentes.

r)

2

2

1

n

n

n n

A natureza desta série pode ser estudada usando, por exemplo, o 2º critério


1 2

31 2

12

11

nnnn

, que já sabemos ser

uma série de Dirichlet Convergente.




[2011]

,01lim

1lim

1

1

lim 2

3

2

22

3

2

3

2

2

3

2

nnn

nnn

nn

n

n

nn

n

nnn . Concluímos então por este

critério, que as séries são da mesma natureza, logo Convergentes.

s)3

1

1

5n n

A natureza desta série pode ser estudada usando, por exemplo, o 1º critério


13

1

n n, que já sabemos ser uma série de

Dirichlet Convergente.


Sabemos que 33

1

5

1

nn

Ora

13

1

n n, é convergente, logo, pelo 1º critério de comparação,

13 5

1

n n também o será.

t)

5 2

2

1

lnn n n



15

1


série de Dirichlet Convergente.


Sabemos que 525

1

ln

1

nnn

. Ora

15

1

n n, é convergente, logo, pelo 1º critério de

comparação,

225 ln

1

n nntambém é convergente.



[2011]

u)

2

6 21

1

1

n

n n

n n

A natureza desta série pode ser estudada usando, por exemplo, o 2º critério de comparação.

Vamos então compará-la com a série

11 2

2

6

11

nn nn

, que já sabemos ser uma série de

Dirichlet Divergente.

Vamos então aplicar o 2º Critério de comparação: 2

6 21

1

1

n

n n

n n

,01

1lim

1

1lim

1

1

1

lim26

23

26

226

2

nn

nnnn

nn

nn

n

nn

nn

nnn . Concluímos

então por este critério, que as séries são da mesma natureza, logo Divergentes.

2. a)

1

1.3.5... 2 1

2.4.6... 2n

n

n

Aplicando o critério de DÁlembert, temos:

122

12lim

12...5.3.1

2...6.4.2

222...6.4.2

1212...5.3.1lim

2...6.4.2

12...5.3.1

122...6.4.2

11212...5.3.1

limlim 1

n

n

n

n

nn

nn

n

n

nn

nn

u

u

n

nnn

n

n

Logo, por este critério, nada se pode concluir.

b) 1

!

n

nn

n

n Aplicando o critério de DÁlembert, temos:

1

11

1lim

1lim

1lim

111

1lim

!1

!1lim

!

1

!1

limlim1

11

1

1

e

n

n

n

n

n

n

nn

n

n

n

n

n

n

n

n

n

u

u

nn

n

nn

n

n

n

nnn

n

n

n

n

n

n

n

n

nn

n

n

Logo, pelo critério de DÁlembert, a série é Divergente.



[2011]

c)

3

1

2 !

!n

n

n

Aplicando o critério de DÁlembert, temos:

10

1

22lim

!2

!

1!

!222lim

!2

!

!1

!22lim

!2

!

!1

!12lim

!

!2

!1

!12

limlim

3

3

33

3

3

3

3

3

3

1

n

n

n

n

nn

nn

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

u

u

nn

nnnn

n

n

Logo, podemos concluir pelo critério de DÁlembert, que a série é Convergente.

3. a) 1

1

3

n

n

n

n Aplicando o critério da raiz, temos:

13

1

3

1lim

3

1limlim

n

n

n

nu

n

n

n

n

nn

n, logo, a série é Convergente.

b) 2

1

3 1

5 1

n

n

n


15

3

15

13lim

15

13limlim

2

1

2

1

n

n

n

nu

nn

n

n

nn

n, logo, a série é Convergente.

c) 1

4 1

4 3

n

n

n

n

Aplicando o critério da raiz, temos:

1

34

14lim

34

14limlim

n

n

n

nu

n

n

n

n

nn

n, logo, pelo critério da raiz, nada se pode

concluir relativamente à natureza desta série. Será necessário recorrer a um outro critério.

d)

2

1 1

n

n

n




[2011]

11

11

1lim

1lim

1limlim

2

e

n

n

n

n

nu

n

n

n

n

n

n

n

nn

n, logo, podemos concluir,

pelo critério da raiz, que a série é convergente.

e)

1

1

1 5

nn

n

Aplicando o critério da raiz, temos:

parénse

ímparénse

unn

n

n

nn

nn

n

6

1

4

1

51

1lim

51

1limlim . Este limite é

sempre menor que um, logo, a série é convergente.

f)

1 2

4

n

n

n


142

4lim

2

4limlim

n

n

n

nu

n

n

n

n

nn

n, logo, a série é Divergente.


Condição necessária de convergência,

1º e 2º critérios de comparação, critérios de DÁlembert e da Raiz, Séries Alternadas.

[2011]

2ª Lista de Exercícios

1. Determine a natureza das séries abaixo

a)

22

3

n nn

narctg

b)

1 !123

!22

nn

n

n

n c)

12

2

53nn

n

n

n

d)

12

!4

!2

nn n

nn

e)

1 !1

3

n

n

n f)

12

!30

!3

nn n

n

g)

12

n nn

n h)

1 12....7.5.3

!

n n

n

i)

1 2!2

!

nnn

n

j)

1 !

31

n n

n

k)

1

22

31

nn

nn

e l)

1

1

n

n

n

m)

12 3

1n

n

n

n n)

12

!1

!251

n

nn

n

n 0)

14

2

3

321

n

n

n

n

p)

13

2

5

51

n

n

n

n q)

1 1

11

n

n

n r)

13

3

31

n

n

n

n

s)

1

2

1n

nne t)

14

2

5

231

n

n

n

nn u)

1 !!1

!!11

n

n

nn

nn

v)

15

5

5

21

n

n

n

nn x)

16

5

21

n

n

n

n z)

1 21

21

n

n

nn

n


Séries de Potências

[2011]

Proposta de Resolução da 2ª Lista de Exercícios

1.a)

22

3

n nn

narctg Vamos aplicar o 1º e o 2º critérios de comparação:

Sabemos que

2

3

2

3

n

narctg

nn

narctg

. Vamos estudar agora a natureza da série

2

3

1 n

narctg

n

, usando o segundo critério de comparação. Vamos compará-la com a série

21

1

nn

, que já sabemos ser uma série Convergente (série de Dirichlet). Temos então:

,021

lim1

lim2

2

3

2

2

3

n

n

narctg

n

n

narctg

nn, logo as séries

2

3

1 n

narctg

n

e 2

1

1

nn

,

são da mesma natureza, portanto convergentes. Agora, aplicando o 1º critério de comparação,

relativamente às séries

22

3

n nn

narctg

e

2

3

1 n

narctg

n

, concluímos que

22

3

n nn

narctg

É uma série convergente, pois

2

3

2

3

n

narctg

nn

narctg

e, segundo o 1º critério de

comparação, se

2

3

1 n

narctg

n

é convergente, também

22

3

n nn

narctg o é.

b)

1 !123

!22

nn

n

n

n Para estudar a natureza desta série, vamos usar o critério de DÁlembert:

13

2

323

122lim

!22

!123

!3233

!2222lim

!123

!22

!3233

!2222

lim

!123

!22

!1123

!122

limlim1

1

1

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

a

a

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

nn

n

n

Podemos então concluir que a série dada é convergente, pois 1lim 1

n

n

n a

a.



[2011]

c)

12

2

53nn

n

n

n Para estudar a natureza desta série, vamos usar o critério da Raiz:

1

3

1

53lim

53limlim

2

2

2

2

n

n

n

na

nn

n

n

n

nn

n

Como 1lim

nn

na , a série dada é convergente.

d) Para estudar a natureza da série

12

!4

!2

nn n

nnpodemos usar o critério de DÁlembert:

114

2212lim

!2

!4

1!44

!221lim

!4

!2

1!44

!221

lim

!4

!2

!14

!121

limlim

2

22

2

22

2

211

nn

nn

nn

n

nn

nn

n

nn

nn

nn

n

nn

n

nn

a

a

n

n

nn

n

n

n

n

n

nn

n

n

Podemos concluir então que a série é divergente, pois

1lim 1

n

n

n a

a.

e)

1 !1

3

n

n

n Para estudar a natureza desta série Vamos aplicar o 1º e o 2º critérios de

comparação:

Sabemos que !

3

!1

3

nn

nn

. Vamos estudar agora a natureza da série !

3

1 n

n

n

, usando o

critério de DÁlembert. Temos então:

101

3lim

3

!

!1

3lim

!

3

!1

3

lim1

1

1

n

n

n

n

n

a

a

nn

n

nn

n

n

n

n, logo as séries

1 !1

3

n

n

n e

!

3

1 n

n

n

,

são da mesma natureza, portanto convergentes. Agora, aplicando o 1º critério de comparação,

relativamente às séries

1 !1

3

n

n

n

e

!

3

1 n

n

n

, concluímos que

1 !1

3

n

n

n

É uma série convergente, pois !

3

!1

3

nn

nn

e, segundo o 1º critério de comparação, se

!

3

1 n

n

n

é convergente, também

1 !1

3

n

n

n o é.



[2011]

f)

12

!30

!3

nn n

n Para estudar a natureza desta série, vamos usar o critério de DÁlembert:

1

130

332313lim

!3

!30

!13030

!33lim

!30

!3

!13030

!33

lim

!30

!3

!130

!13

limlim

2

2

2

2

2

2

211

n

nnn

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

a

a

n

n

nn

n

n

n

n

n

nn

n

n

Podemos então concluir que a série dada é divergente, pois 1lim 1

n

n

n a

a.

g)

12

n nn

n Vamos estudar esta série usando o 2º critério de comparação. Vamos

compará-la com a série

1 2

31 2

12

11

nnnn

, que é uma série convergente (série de

Dirichlet). Temos então:

,011

lim1

lim2

3

2

2

3

2 n

nn

n

n

nn

n

nn, logo as duas séries são

da mesma natureza, logo convergentes.

h)

1 12....7.5.3

!

n n

n Para estudar a natureza desta série, vamos usar o critério de

DÁlembert:

12

1

32

1lim

!

12....7.5.3

3212....7.5.3

!1lim

12....7.5.3

!

3212....7.5.3

!1

lim

12....7.5.3

!

3212....7.5.3

!1

limlim 1

n

n

n

n

nn

nn

n

n

nn

nn

n

n

nn

n

a

a

nn

nnn

n

n

Como 1lim 1

n

n

n a

a, a série é convergente.

i)

1 2!2

!

nnn

n Para estudar a natureza desta série, vamos usar o critério de

DÁlembert:



[2011]

1012222

1lim

!

2!2

22!21222

!1lim

2!2

!

22!22

!1

lim

2!2

!

2!12

!1

limlim1

1

nn

n

n

n

nnn

nn

n

n

n

nn

n

n

n

n

a

a

n

n

nn

n

n

n

n

n

nn

n

n

Como 1lim 1

n

n

n a

a, a série é convergente.

j)

1 !

31

n n

n

Estamos perante uma série alternada.

O primeiro passo é estudar a natureza da série dos módulos, ou seja, da série

1 !

3

n n

Para isso vamos usar o critério de DÁlembert:

101

1lim

3

!

!1

3lim

!

3

!1

3

lim

!

3

!1

3

limlim 1

n

n

nn

n

nn

n

n

a

a

nnnnn

n

n

A série dos módulos é convergente, logo, a série

1 !

31

n n

n

, é absolutamente convergente.

k)

1

22

31

nn

nn

e Trata-se de uma série Alternada. Vamos estudar a natureza da

série dos módulos, ou seja, da série

122

3

nn

n

e. Para tal, vamos aplicar o critério de

DÁlembert:

13

lim3

33lim

3

3

lim3

3

limlim2

22

42

22

212

1

22

212

1

1

e

e

e

e

e

e

e

a

a

nn

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

nn

n

n

A série dos módulos é convergente, logo a série

1

22

31

nn

nn

e é absolutamente

convergente.



[2011]

l)

1

1

n

n

nTrata-se de uma série alternada. Para estudar a sua natureza, comecemos por

estudar a natureza da série dos módulos:

1

1

n n

Ora, esta série é uma série de Dirichlet divergente. Temos então que recorrer ao critério de

Leibniz, uma vez que a série dos módulos é divergente.

Critério de Leibniz:

Como

01

lim nn

, e

01

n

, e

n

1 é decrescente, pois fazendo

xxf

1 , temos que

xxf

2

1 , que é negativo

no intervalo considerado ( ,1 ) , logo

n

1é decrescente, então a série dada é

SIMPLESMENTE convergente.

m)

12 3

1n

n

n

n Estamos perante uma série alternada. Vamos analisar a natureza

da série dos módulos:

12

12 33

1nn

n

n

n

n

n

O estudo desta série dos módulos pode ser feito usando, por exemplo, o segundo

critério de comparação. A série usada para fazer a comparação vai ser a série

nn nn

11

112

1

. Vejamos:

,0113

lim1

3lim2

2 n

n

n

n

n

n

nn

Logo, as séries são da mesma natureza, portanto divergentes. Como a série dos módulos é

divergente, vamos recorrer ao critério de Leibniz:

Como



[2011]

03

lim2

n

n

n e

032

n

n, e

32n

n é decrescente, pois considerando ,

32

x

xxf

temos

,2,0

3

322

2

xx

xxf

Então, podemos concluir que a série é SIMPLESMENTE convergente.

n)

1

2

!25

!11

nn

n

n

n Estamos perante uma série alternada. Vamos analisar a

natureza da série dos módulos:

1 1

22

!25

!1

!25

!11

n nnn

n

n

n

n

n

O estudo desta série dos módulos pode ser feito usando o critério de DÁlembert:

120

1

12225

2lim

!1

!25

!2255

!2lim

!1

!25

!125

!11lim

!25

!1

!125

!11

limlim

2

2

2

21

2

2

1

2

1

nn

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

a

a

n

n

nn

n

nn

n

n

nn

n

n

Concluímos então que a série dos módulos é convergente, logo, a série dada, ou seja a série

1

2

!25

!11

nn

n

n

né absolutamente convergente.

o)

14

2

3

321

n

n

n

n Estamos perante uma série alternada. Vamos fazer o seu estudo

começando por analisar a natureza da série dos módulos:

14

2

14

2

3

32

3

321

nn

n

n

n

n

n



[2011]

A natureza desta série pode ser estudada usando o 2º critério de comparação. Vamos usar

para série de comparação a série

12

124

11

nn nn que, como sabemos, é uma série de

Dirichlet convergente. Temos então:

,02

3

32lim

13

32

lim 2

4

2

2

4

2

nn

n

n

n

n

nn, logo, as duas séries são da mesma natureza, por

isso convergentes.

Como a série dos módulos é convergente, a série dada, ou seja, a série

14

2

3

321

n

n

n

n

é absolutamente convergente.

p) 5

51

3

2

1

n

nn

n

Estamos perante uma série alternada. Vamos fazer o seu estudo

começando por analisar a natureza da série dos módulos:

13

2

3

2

1 5

5

5

51

n

n

n n

n

n

n

A natureza desta série pode ser estudada usando o 2º critério de comparação. Vamos usar

para série de comparação a série nn nn

11

123

1

que, como sabemos é uma série

harmónica, por isso divergente.

,01

5

5lim

15

5

lim3

23

2

nn

n

n

n

n

nn, logo as duas séries são da mesma natureza, por

isso, divergentes. Como a série dos módulos é divergente, temos que recorrer ao critério de

Leibniz para determinar a sua natureza:

Como 05

5lim

3

2

n

n

n e como 0

5

53

2

n

n e como

5

53

2

n

n é decrescente pois fazendo

5

53

2

x

xxf , temos

05

1015

5

355223

24

23

223

x

xxx

x

xxxxxf

Logo, concluímos que a série

13

2

5

51

n

n

n

n é SIMPLESMENTE convergente.



[2011]

q)

1 1

11

n

n

n Trata-se de uma série alternada. Para estudar a sua natureza, vamos

analisar a série dos módulos:

11 1

1

1

11

nn

n

nn

A natureza desta série pode ser estudada usando o 2º critério de comparação. A série usada

para comparação vai ser a série

1

1

n n, que, como sabemos é divergente (série de Dirichlet

com 12

1 ). Vejamos:

,01

1

11lim

1

1

1

limn

n

n

nnn

, logo as séries são da mesma natureza, por isso

divergentes.

Como a série dos módulos é divergente, temos que recorrer ao critério de Leibniz:

Como

01

1lim

nn, e

01

1

n, e

1

1

né decrescente, pois considerando

1

1

xxf , temos

,101

11

2

11

32

3

2

1

xx

xxxf

Então concluímos que a série é SIMPLESMENTE convergente.

r)

13

3

31

n

n

n

n Esta série é divergente pela Condição Necessária de Convergência (o limite

do termo geral é diferente de zero).



[2011]

s)

1

2

1n

nne Trata-se de uma série alternada. Vamos começar por estudar a natureza da

série dos módulos:

11

22

1n

n

n

nnee . Podemos fazê-lo usando o critério DA RAIZ:

10limlimlim2

n

n

nn

n

n

n n

neee

logo a série

1

2

n

ne é convergente, e então a série

1

2

1n

nne é absolutamente

convergente.

t)

14

2

5

231

n

n

n

nn Trata-se de uma série alternada. Para estudar a sua natureza, vamos

começar por estudar a natureza da série dos módulos:

5

23

5

231

4

2

114

2

n

nn

n

nn

nn

n, usando o 2º critério de comparação. Vamos

compará-la com a série 2

124

1

11

nn nn

, que é uma série de Dirichlet convergente.

Temos então:

,01

23

51lim

5

23

1

lim2

4

2

4

2

2

nn

n

n

n

nn

nnn

, logo as séries são da

mesma natureza, portanto, convergentes.

Como a série dos módulos é convergente, a série

14

2

5

231

n

n

n

nn é absolutamente

convergente.

u)

1 !!1

!!11

n

n

nn

nn Trata-se de uma série alternada. Para estudar a sua natureza, vamos

começar por estudar a natureza da série dos módulos:

!1!!1

11!

!!1

!!1

!!1

!!11

1111

n

n

nn

nn

nn

nn

nn

nn

nnnn

n Vamos aplicar o

critério de DÁlembert para fazer o estudo desta série:



[2011]

10

2

1lim

!1

!12

1lim

!1

!2

1lim

!1

!2

1

limlim1

nn

n

n

n

nn

n

n

n

n

n

n

n

n

n

a

a

n

nnnn

n

n

Logo, a série dos módulos é convergente, e por isso, a série

1 !!1

!!11

n

n

nn

nn é

absolutamente convergente.

v)

15

5

5

21

n

n

n

nn Esta série é divergente, pela condição necessária de convergência, pois

o limite do termo geral da série não é zero.

x)

16

5

21

n

n

n

n Trata-se de uma série alternada. Vamos estudar a natureza da série

dos módulos:

16

5

16

5

221

nn

n

n

n

n

n . O estudo da natureza desta série pode ser feito

usando o 2º critério de comparação e a série usada para fazer a comparação, vai ser a série

1156

11

nn nn, que é uma série harmónica, por isso, divergente. Temos então:

,012

lim1

2lim6

56

5

nn

n

n

n

n

nn. As séries são da mesma natureza, por isso

divergentes.


Como

02

lim6

5

n

n

n, e

026

5

n

n, e

26

5

n

n é decresente, pois considerando

26

5

x

xxf , temos

0

2

1026

410

x

xxxf



[2011]

Então, a série

16

5

21

n

n

n

n é SIMPLESMENTE Convergente.

z)

1 21

21

n

n

nn

n Trata-se de uma série alternada. Vamos estudar a natureza da


1 1 21

2

21

21

n n

n

nn

n

nn

n . O estudo da natureza

desta série pode ser feito usando o 2º critério de comparação e a série usada para fazer a

comparação, vai ser a série

1112

11

nn nn, que é uma série harmónica, por isso, divergente.

Temos então:

,02

21

2lim

1

21

2

lim nnn

n

n

nn

n

nn. As séries são da mesma natureza,

por isso divergentes.


Como

0

21

2lim

nn

n

n, e

0

21

2

nn

n, e

21

2

nn

n é decrescente, pois considerando

21

2

xx

xxf , temos

0 xf

Então, a série

1 21

21

n

n

nn

n é SIMPLESMENTE Convergente.



[2011]

Proposta de Resolução da 3ª Lista de Exercícios

a)

0

6n

nn x Estamos perante uma série de potências de x. Vamos calcular o raio de

convergência desta série:

6

1

6

1lim

n nnr . Podemos então dizer que a série converge absolutamente para

6

1x ,

ou seja para 6

1

6

1 x . Vamos ver agora a natureza da série quando

6

1x e quando

6

1x .

Se 6

1x , temos :

00

16

16

n

n

nn

nn . Esta série é divergente pela condição necessária de

convergência ( 01lim n

).

Se 6

1x , temos :

00

16

16

n

n

nn

n

n . Esta série é divergente pela condição

necessária de convergência ( 01lim n

).

Podemos concluir que a série converge para 6

1

6

1 x .

b)

12

5

n

n

n

xn

Estamos perante uma série de potências de x. Vamos calcular o

raio de convergência desta série:

5

1

5

12lim

55

15lim

1

5

5

lim2

22

2

2

1

2

n

nnn

n

n

nrnn

n

nn

n

n . Podemos então dizer que a

série converge absolutamente para 5

1

5


5

1x e quando

5

1x .



[2011]

Se 5

1x , temos :

1

21

2

1

5

15

nnn

n

nn. Esta série é convergente, pois é uma série de

Dirichlet com 12 .

Se 5

1x , temos :

12

12

1

5

15

n

n

nn

nn

nn. Esta série é alternada. Vamos estudar a


12

1

n n. É uma série convergente, como acabámos de ver

atrás. Como a série dos módulos é convergente, a série

12

1

n

n

né absolutamente

convergente.

Concluímos então que a série

12

5

n

n

n

xn

converge absolutamente para 5

1

5

1 x

c)

1

1n

nn

n

x Estamos perante uma série de potências de x. Vamos calcular o raio de


1

1

1

1

lim1

n

nr

n

n

n . Podemos então dizer que a série converge absolutamente para

11 x . Vamos ver agora a natureza da série quando 1x e quando 1x .

Se 1x , temos :

11

211

nn

n

nn. Esta série é divergente, pois é uma série de Mengolli

com 12

1 .

Se 1x , temos :

1

1

n

n

n. Esta série é alternada. Para estudar a sua natureza, vamos

estudar a natureza da série dos módulos:

1

1

n n. Esta série é divergente, como acabámos de

ver anteriormente. Vamos recorrer ao critério de Leibniz:

i) 01

n

ii) 01

lim nn



[2011]

iii)

n

1é decrescente, pois 1

1

1

n

n

Podemos então concluir que a série

1

1

n

n

né simplesmente convergente

A série

1

1n

nn

n

x converge para 11 x .

d)

0 2

!

n

n

nx

n Estamos perante uma série de potências de x. Vamos calcular o raio de


0

!1

2

2

!lim

2

!12

!

lim1

1

n

n

n

n

rn

nn

n

n

n . Podemos então dizer que a série converge apenas

para 0x .

e)

0

1

11

n

nn

n

x Vamos usar aqui o critério de DÁlembert, pois a série não está na

forma

0n

n

n xa

Calculemos então

x

n

nx

x

nx

nx

n

xn

nn

nn

n

nn

n

n

n

n

2

1lim

11

2

1lim

1

1

2

1

lim1

2

1

1

2

1

A série é convergente para 1x , ou seja, para 11 x .

Se 1x , a série fica

0 1

1

n

n

n, que é uma série alternada. Vamos começar por estudar a


0 1

1

n n. Vamos estudar a natureza desta série usando o 2º critério de

comparação e vamos usar como série de comparação a série

0

1


série divergente, pois é uma série harmónica:



[2011]

,011

1lim

1

1

1

lim nn

n

nnn

, logo as séries são da mesma natureza e portanto,

divergentes. Como a série dos módulos é divergente, temos que recorrer ao critério de Leibniz:

i) 01

1

n

ii) 01

1lim

nn

iii)

1

1

né decrescente, pois 1

2

11

1

n

n

Então a série

0 1

1

n

n

n é simplesmente convergente.

Se 1x , temos

00 0

121

1

1

1

1

1

11

nn n

nnn

nnn, que é uma série divergente,

como foi visto acima.

Podemos então concluir que a série

0

1

11

n

nn

n

x é convergente para 11 x .

f)

1 !1

2

n

nn

n



2lim

2

!

!1

2lim

!

2

!1

2

lim11

nn

n

n

nr

nn

n

nn

n

n . Podemos então dizer que a série

converge absolutamente para qualquer valor de x, uma vez que o raio de convergência é .

g) n

n

n 2

nx

n !

Estamos perante uma série de potências de x. Vamos calcular o raio de




[2011]

en

n

nn

nn

n

n

n

n

n

n

r

n

nn

n

nn

n

n

1

1lim

11

!1

!lim

!1

1

!lim1

. Podemos então dizer

que a série converge absolutamente para e

x1

, ou seja, para e

xe

11 .

h)

1 2nn

nx Estamos perante uma série de potências de x. Vamos calcular o raio de


22.22

1lim

2

12

1

lim

1

n

nn

n

n

nr . Podemos então dizer que a série converge

absolutamente para 2x , ou seja, para 22 x . 11 x . Vamos ver agora a

natureza da série quando 2x e quando 2x .

Se 2x , temos :

11

12

2

nnn

n

. Esta série é divergente, pela condição necessária de

convergência.

Se 2x , temos :

11

12

2

n

n

nn

n

. Esta série é alternada e é divergente, pela

condição necessária de convergência.

i)

0nn

n

n



n

n

n

nn

n

n

n n

nnnn

n

n

nr1

1lim111

lim

1

1

1

lim

1

. Podemos então

dizer que a série converge absolutamente para qualquer valor de x.



[2011]

j)

03 2

3

n

nn

n



3

1

23

21lim

3

21

2

3lim

21

3

2

3

lim3

3

1

3

3

3

1

3

n

nn

n

n

nrnn

n

nn

n

n

Podemos então dizer que a série converge absolutamente para 3

1x , ou seja, para

3

1

3


3

1x e quando

3

1x .

Se 3

1x , temos :

03

03 2

1

3

1

2

3

n

n

n

n

nn. Esta série é convergente, por comparação

com a série

03

1

n n.Vejamos:

Usando o 1º critério de comparação, temos :

33

1

2

1

nn

e

03

1

n n, como sabemos é uma série convergente (série de Dirichlet com

1 ). Usando o 1º critério de comparação, concluímos então que a série dada é

convergente.

Se 3

1x , temos :

03

03 2

11

3

1

2

3

n

n

n

n

n

nn. Esta série é alternada. Para estudar

a sua natureza, vamos começar por estudar a natureza da série dos módulos:

03 2

1

n n. Esta

série, como vimos acima, é convergente, então, como a série dos módulos é convergente, a

série

03 2

11

n

n

né absolutamente convergente.

Conclusão: A série

03 2

3

n

nn

n

x, converge para

3

1

3

1 x .



[2011]

k)

0

2

!21

n

nn

n

xVamos aplicar o critério de DÁlembert à série dos módulos, pois a

série não está na forma n

n

n xa

0

.Temos então:

102212

1lim

!21

!121lim

!21

!121

lim

1

2

2

121

2

121

nnx

x

n

n

x

n

x

n

xn

nn

nn

n

nnn

nn

n

Logo, a série é convergente, qualquer que seja o valor de x.

l)

n

n

xn

n

0 !2

!3 Estamos perante uma série de potências de x. Vamos calcular o raio de


0332313

2212lim

!13

!12

!2

!3lim

!12

!13

!2

!3

lim

nnn

nn

n

n

n

n

n

n

n

n

rnnn


n

n

xn

n

0 !2

!3, converge apenas para 0x .

m)

0

1 ! n

n

n x

. Estamos perante uma série de potências de x. Vamos calcular o seu raio de

convergência:

02

1lim

!2

!1lim

nn

nr

nn


n

n

xn

n

0 !2

!3, converge apenas para 0x .

n)

1

1

1

2

n

nn

n

x A série não está na forma n

n

n xa

1

, por isso, temos que usar o critério

de DÁlembert para estudar a sua natureza.

Temos então:



[2011]

xn

nx

x

n

n

x

n

x

n

x

nnn

nn

nnn

nn

n2

2

12lim

2

1

2

2lim

1

2

2

2

lim1

21

1

21

A série é convergente para 12 x , ou seja, para 2

1

2

1

x .

Se 2

1x , temos

111

1

1

1

2

1

1

2

1

1

2

12

nnn

n

n

nnn, que é uma série divergente por

comparação (2º critério de comparação)com

1

1

n n.

Se 2

1x , temos

11

1

1

1

1

1

2

1

1

12

1

1

2

12

n

n

n

n

n

n

n

nnn, que é uma série

alternada simplesmente convergente, pois a série dos módulos é divergente e as três

condições do critério de Leibniz são satisfeitas.


1

1

1

2

n

nn

n

x converge para

2

1

2

1

x .

o)

n

n

nx

n

n

1 12...5.3.1

...3.2.11 Estamos perante uma série de potências de x.

Vamos calcular o raio de convergência desta série:

2)1(

121lim

1...3.2.1

112...5.3.11

12...5.3.1

...3.2.11lim

112...5.3.1

1...3.2.11

12...5.3.1

...3.2.11

lim

12

1

1

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

r

n

n

nn

nn

n

n

A série

n

n

nx

n

n

1 12...5.3.1

...3.2.11 , converge apenas para 22 x .



[2011]

Se 2x , temos

n

n

n

n

n2

12...5.3.1

...3.2.11

1

, que é uma série alternada. Vamos estudar a


n

n n

n2

12...5.3.1

...3.2.1

1

. Podemos aplicar o critério de

DÁlembert:

2

1

12

)1(lim

...3.2.1

12...5.3.1

112...5.3.1

1...3.2.1lim

12...5.3.1

...3.2.1

112...5.3.1

1...3.2.1

lim

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

nn

A série em 2x é absolutamente convergente.

Se 2x , temos

n

n

n

n

n2

12...5.3.1

...3.2.11

1 n

n n

n2

12...5.3.1

...3.2.1

1

, que é a série que

acabámos de estudar acima e que vimos que era absolutamente convergente.


n

n

nx

n

n

1 12...5.3.1

...3.2.11 , converge apenas para 22 x .

p)

1 13...10.7.4

2...6.4.2

n

nxn

n Estamos perante uma série de potências de x. Vamos calcular o


2

3

)22(

43lim

22...6.4.2

43...10.7.4

13...10.7.4

2...6.4.2lim

43...10.7.4

22...6.4.2

13...10.7.4

2...6.4.2

lim

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

r

n

nn

A série

1 13...10.7.4

2...6.4.2

n

nxn

n, converge apenas para

2

3

2

3 x .

2- A série

1 3n

sen nx

n n

é absolutamente convergente para x , pois sabemos que



[2011]

2

1

3 nnn

nxsen

, ora, pelo 1º critério de comparação podemos então concluir que a série

1 3n nn

nxsen é absolutamente convergente, pois

12

1

n n é convergente.

3- O raio de convergência da série

0

k

n

n

n!x

kn !

, é dado por

k

knn

kn

kn

nkn

kn

nkn

kn

n

kkknknknkn

kkn

kn

nk

kn

nk

knr

1

!1

!

!1

!

!1

!

...321lim

!

!lim

!1

!lim

!1

!lim

4- a)

2 1

2!

n

n

n

xn Estamos perante uma série de potências de 2x . Vamos

calcular o raio de convergência desta série:

0

11lim

!11

!lim

!11

!

lim

nn

n

n

n

n

n

n

nn

n

rnnn

Como o raio de convergência é zero, a série converge apenas para x=2.

b)

0 42

4

n

n

n

x Estamos perante uma série de potências de 4x . Vamos calcular o


16242

1lim

62

142

1

lim

nn

n

nrnn

Como o raio de convergência é um, a série converge absolutamente para

141 x , ou seja para 53 x .



[2011]

Se x=5, temos

00 42

1

42

45

nn

n

nn. Podemos estudar a natureza desta série, usando o 2º

critério de comparação e usando a série

1

1

n n, para comparação, que como sabemos é uma

série divergente (série harmónica):

,0242

1lim

42

1

1

lim nn

n

nnn

As séries são da mesma natureza, por isso divergentes.

Se x=3, temos

00 42

1

42

43

n

n

n

n

nn, que é uma série alternada. Para estudar a sua

natureza, vamos começar por estudar a série dos módulos:

0 42

1

n n, que já vimos

anteriormente que é divergente, tendo por isso que recorrer ao critério de Leibniz:

i) 042

1

n

ii) 042

1lim

nn

iii)

42

1

n é decrescente, pois, 1

42

62

62

142

1

n

n

n

n

Podemos então concluir que a série é simplesmente convergente.

O intervalo de convergência da série

0 42

4

n

n

n

xé 5,3

c)

0 2

3

nn

nx

Estamos perante uma série de potências de 3x . Vamos calcular o raio de


2222

1lim

2

12

1

lim

1

n

nn

n

n

nr

Como o raio de convergência da série é 2, a série converge absolutamente para

232 x , ou seja, para 51 x .



[2011]

Se x=5, temos

00

12

35

n

n

nn

n

, que é uma série divergente, pela condição necessária de

convergência.

Se x=1, temos

00

12

31

n

n

nn

n

, que é uma série divergente, pela condição necessária

de convergência.

Concluímos então, que o intervalo de convergência da série é 5,1 .

d)

1

3n

n

x

n

Estamos perante uma série de potências de 3x . Vamos calcular o raio de


111

lim

1

1

1

lim

nn

n

nrnn



Se x=4, temos

11

134

nn

n

nn, que é uma série harmónica, que como sabemos é

divergente.

Se x=2, temos

11

132

n

n

n

n

nn, que é uma série alternada. Para estudar a sua

natureza, vamos começar por estudar a série dos módulos, ou seja, a série

1

1

n n , que

acabámos de ver que é divergente. Assim sendo, temos que recorrer ao critério de Leibniz:

i) 01

n

ii) 01

lim nn

iv)

n

1 é decrescente, pois 1

1

1

1

n

n



[2011]

Então a série

1

1

n

n

n é simplesmente convergente.


e)

1

111

n

nn

n

x Estamos perante uma série de potências de 1x . Vamos


111

11lim

1

11

11

lim21

2

1

n

n

n

nrnn

nn

n

n



Se x=0, temos

11

11101

n

n

n

nn

nn, que é uma série simplesmente convergente

(estudada na alínea anterior)

Se x=-2, temos

11

12

1

111121

nn

n

n

nn

nnn, que é uma série divergente (série

harmónica) .


f)

0

54

3

n

n

n

x Estamos perante uma série de potências de 5x . Vamos


3

4

3

4

4

3lim

4

3

4

3

lim

1

1

nn

nn

n

nr



[2011]

Como o raio de convergência da série é 3

4, a série converge absolutamente para

3

45

3

4 x , ou seja, para

3

11

3

19 x .

Se 3

11x , temos

000

13

4

4

35

3

11

4

3

n

n

n

nn

n

nn

, que é uma série

divergente, pela condição necessária de convergência.

Se 3

19x , temos

00

153

19

4

3

n

n

n

n

n

, que é uma série divergente, pela

condição necessária de convergência.

Concluímos então, que o intervalo de convergência da série é

3

11,

3

19.

g)

0

2n

nxn Estamos perante uma série de potências de 2x . Vamos calcular o raio de

convergência desta série: 11

lim

n

nr

n



Se 3x , temos

00

23nn

nnn , que é uma série divergente, pela condição necessária

de convergência.

Se 1x , temos

00

121n

n

n

nnn , que é uma série divergente, pela condição

necessária de convergência.


h)

0

510

!1

n

n

nx

nEstamos perante uma série de potências de 5x . Vamos calcular o


0

2

10lim

!2

10

10

!1lim

10

!210

!1

lim1

1

nn

n

n

n

rn

n

nn

n

n

n

Como o raio de convergência é zero, a série converge apenas para 5x .

Documents

1ª Lista de Exercícios 1. Determine a natureza das séries ...EXERCÍCIOS SOBRE SÉRIES NUMÉRICAS Série geométrica, série de Dirichlet, série de Mengolli, propriedades das séries,