APOSTILA

DE

MATEMÁTICA

MATEMÁTICA

Temos seis conjuntos numéricos existentes, os naturais, inteiros, racionais, irracionais, reais e complexos. Estudaremos, nesta primeira parte, somente os cinco primeiros. O conjunto dos números naturais são os primeiros a serem estudados. São os inteiros e positivos. O conjunto dos números inteiros são aqueles que envolvem os naturais e os negativos. O conjunto dos racionais são todos aqueles que podem ser escritos na forma de frações, já os irracionais não podem ser escritos na forma de fração. Os reais vão englobar todos os anteriores.

NÚMEROS NATURAISComeçando pelo zero e acrescentando uma unidade, vamos escrevendo o conjunto dos números naturais, representados pela letra IN:IN = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...}A reticências significa que o conjunto não tem fim, pois um número natural sempre possui um sucessor e a partir do zero um sucessor.

Exemplos:o sucessor de 10 é 11 e o antecessor de 10 é 9.o ano que sucede 2003 é 2004 e 2002 antecede

2003.Generalizando: o sucessor de n é n + 1 e o

antecessor de n é n - 1.

Exercícios Resolvidos 1) Um número natural e seu sucessor chamam-se consecutivos. Escreva todos os pares de números consecutivos entre esses números:2 - 10 - 9 - 101 - 0 - 1 - 256 - 702 - 500 - 255Resolução:0 e 1; 1 e 2; 9 e 10; 255 e 256

2) Hudson disse: "Reinivaldo tem 45 anos. Thaís é mais velha que Reinivaldo. As idades de Reinivaldo e Thaís são números consecutivos. A minha idade é um número que é o sucessor do sucessor da idade de Thaís ". Quantos anos Hudson tem?

Resolução:Como Thaís é mais velha que Reinivaldo e as suas idades são números consecutivos, então se Reinivaldo tem 45 anos, Thaís tem 46 anos. Como a idade de Hudson é o sucessor do sucessor de 46, então esta idade será 48 anos.

3) Escreva todos os números naturais que são maiores que 3 e menores que 7.

Resolução:Seja o conjunto: A = {x IN / 3 < x < 7}, por uma propriedade específica o enunciado do exercício ficará escrito desta forma, ilustrando todos os elementos fica assim:A = {4, 5, 6}

ADIÇÃO

1

Um automóvel segue de João Pessoa com destino a Maceió. Seu condutor deseja passar por Recife, sabendo-se que a distância de João Pessoa até Recife é de 120 km e que Recife está a 285 km de Maceió, quantos quilômetros o automóvel irá percorrer até chegar em Maceió? Esta é uma pergunta relativamente fácil de responder, basta somar as distâncias: 285 + 120 = 405 km.Adição é uma operação que tem por fim reunir em um só número, todas as unidades de dois, ou mais, números dados.

O resultado da operação chama-se soma ou total, e os números que se somam, parcelas ou termos.

Propriedades

Fechamento - A soma de dois números naturais é sempre um número natural. Ex: 8 + 6 = 14

Elemento Neutro - Adicionando-se o número 0 (zero) a um número natural, o resultado é o próprio número natural, isto é, o 0 (zero) não influi na adição. Ex: 3 + 0 = 3

Comutativa - A ordem das parcelas não altera a soma.

Ex: 3 + 5 + 8 = 16 ou 5 + 8 + 3 = 16

Associativa - A soma de vários números não se altera se substituirmos algumas de suas parcelas pela soma efetuada. Os sinais empregados para associações são denominados:

( ) parênteses [ ] colchetes { } chaves

Exemplos:8 + 3 + 5 = (8 + 3) + 5 = 11 + 5 = 1613 + 5 + 2 + 7 = (13 + 5) + (2 + 7) = 18 + 9 = 27 De um modo geral a + (b + c) = (a + b) + c

Nota:Estudando-se as línguas, verificamos a importância da colocação das vírgulas para entendermos o significado das sentenças.

Exemplo: 1) "Tio Sérgio, André vai ao teatro." 2)"Tio, Sérgio André vai ao teatro."

Podemos verificar que essas duas sentenças apresentam significados diferentes, pelo fato da vírgula ter sido deslocada.

Nas expressões e sentenças matemáticas, os sinais de associação (parênteses, colchetes e chaves) podem funcionar como verdadeiras vírgulas. Resolvem-se os sinais na seqüência:

( ) parênteses [ ] colchetes{ } chaves

Exemplo:

A expressão (10 - 5) + 2 = 5 + 2 = 7 e 10 - (5 + 2) = 10 - 7 = 3, são diferentes, daí a importância da associação.

Dissociativa - Em toda soma pode-se substituir uma parcela por outra cuja soma seja igual a ela. Esta propriedade é de sentido contrário da anterior.

Exemplo:

9 + 3 + 8 = (5 + 4) + 3 + 8 (Neste caso o número 9 foi dissociado em dois outros 5 e 4).De uma maneira geral (a + b) + c = a + b + c.Observe que o zero como parcela não altera a soma e pode ser retirado.

Exemplo: 20 + 7 + 0 + 3 = 20 + 7 + 3

SUBTRAÇÃO

Fabiano fez um depósito de R$ 1 200,00 na sua conta bancária. Quando retirou um extrato, observou que seu novo saldo era de R$ 2 137,00. Quanto Fabiano tinha em sua conta antes do depósito?Para saber, efetuamos uma subtração: 2 137

1 200 R$ 937,00

minuendo subtraendo resto ou

diferença

Denomina-se subtração a diferença entre dois números, dados numa certa ordem, um terceiro número que, somado ao segundo, reproduz o primeiro. A subtração é uma operação inversa da adição.

O primeiro número recebe o nome de minuendo e o segundo de subtraendo, e são chamados termos da subtração. A diferença é chamada de resto.

Propriedades Fechamento:- Não é válida para a subtração, pois no campo dos números naturais, não existe a diferença entre dois números quando o primeiro é menor que o segundo. Ex: 3 - 5Comutativa: Não é válida para a subtração, pois 9 - 0 0 - 9

Associativa: Não é válida para a subtração, pois (15 - 8) - 3 = 7 - 3 = 4 e 15 - (8 - 3) = 15 - 5 = 10

Somando-se ou subtraindo-se um mesmo número aos termos de uma subtração, a diferença não se altera.

Exemplo: seja a diferença 15 - 8 = 7, somando-se 4 aos seus dois termos, teremos (15 + 4) - (8 + 4) = 19 - 12 = 7

MULTIPLICAÇÃO

Multiplicar é somar parcelas iguais.

Exemplo: 5 + 5 + 5 = 15

2

Nesta adição a parcela que se repete (5) é denominada multiplicando e o número de vezes que o multiplicamos (3) é chamado multiplicador e o resultado é chamado de produto.

Então: 5

3 15

multiplicando

multiplicador produto

Multiplicação é a operação que tem por fim dados dois números, um denominado multiplicando e outro multiplicador, formar um terceiro somando o primeiro tantas vezes quando forem as unidades do segundo. O multiplicando e o multiplicador são chamados de fatores.

Propriedades

1) Fechamento - O produto de dois números naturais é sempre um número natural. Ex: 5 x 2 = 10

2) Elemento Neutro - O número 1 (um) é denominado de elemento neutro da multiplicação porque não afeta o produto. Ex: 10 x 1 = 10

3) Comutativa - A ordem dos fatores não altera o produto. Ex: 5 x 4 = 20 ou 4 x 5 = 20

4) Distributiva em relação à soma e a diferença - Para se multiplicar uma soma ou uma diferença indicada por um número, multiplica-se cada uma das suas parcelas ou termos por esse número, e em seguida somam-se ou subtraem-se os resultados.

Exemplo: 1º) (4 + 5) x 3 = 4 x 3 + 5 x 3 = 27 2º) (7 - 4) x 5 = 7 x 5 - 5 x 4 = 15

Essa propriedade é chamada distributiva porque o multiplicador se distribui por todos os termos.

Para multiplicar uma soma por outra, pode-se multiplicar cada parcela da primeira pelas parcelas da segunda e somar os produtos obtidos.

Exemplo:(6+ 3) x (2 + 5) = 6 x 2 + 6 x 5 + 3 x 2 + 3 x 5 = 63

DIVISÃO

Divisão ExataDivisão exata é a operação que tem por fim,

dados dois números, numa certa ordem, determinar um terceiro que, multiplicado pelo segundo, reproduza o primeiro. A indicação dessa operação é feita com os sinais ou que se lê: dividido por. O primeiro número

chama-se dividendo, o segundo divisor e o resultado da operação, quociente.

Exemplo:15 : 3 = 5, pois 5 x 3 = 15 Onde 15 é o dividendo, 3 é o divisor e 5 é o quociente.

Divisão AproximadaNo caso de se querer dividir, por exemplo, 53

por 6, observa-se que não se encontra um número inteiro que, multiplicado por 6, reproduza 53, pois 8 ´ 6 = 48 é menor que 53 e 9 ´ 6 = 54 é maior que 53.

O número 8, que é o maior número que multiplicado por 6 não ultrapassa o dividendo 53, é denominado quociente aproximado a menos de uma unidade por falta, porque o erro que se comete, quando se toma o número 8 para o quociente, é menor que uma unidade. Temos, assim, a seguinte definição: chama-se resto de uma divisão aproximada a diferença entre o dividendo e o produto do quociente aproximado pelo divisor. A indicação dessa divisão é feita assim:

DIVIDENDO = DIVISOR QUOCIENTE + RESTO

Exemplo:

53 = 6 8 + 5

EXPRESSÕES ARITMÉTICAS

É um conjunto de números reunidos entre si por sinais de operações.

A partir do estudo da adição e subtração, já podemos começar a resolver expressões aritméticas, envolvendo adições e subtrações.

O cálculo dessas expressões é feito na ordem em que é indicada, devendo observar-se que são feitas inicialmente as operações indicadas entre parênteses, em seguida as indicadas entre colchetes e finalmente as indicadas entre chaves.

Exemplos:

1) Calcular o valor da expressão aritmética35 - [4 + (5 - 3)]efetuando-se as operações indicadas dentro dos parênteses obtemos35 - [4 + 2]efetuando-se as operações indicadas dentro dos colchetes temos35 - 6 = 29

2) Calcular o valor da expressão aritmética86 - {26 - [8 - (2 + 5)]}efetuando-se as operações indicadas nos parênteses obtemos

3

86 - {26 - [8 - 7]}efetuando-se as operações indicadas nos colchetes temos86 - {26 - 1}efetuando as operações indicadas entre as chaves vem que86 - 25 = 61

3) Calcular o valor da expressão aritmética53 - {[48 + (7 - 3)] - [(27 - 2) - (7 + 8 + 10)]}53 - {[ 48 + 4 ] - [ 25 - 25]}53 - {52 - 0}53 - 52 = 1

O cálculo das expressões aritméticas que contém as 4 operações (adição, subtração, multiplicação e divisão) deve obedecer a seguinte ordem:

Inicialmente as multiplicações e divisões e em seguida, as adições e subtrações, respeitando-se a ordem de se iniciar com os parênteses mais internos, a seguir os colchetes e finalmente as chaves.

Exemplo:54 - 3 x [ (7 + 6 : 2) - (4 x 3 - 5) ]efetuando-se inicialmente as multiplicações e divisões que estão indicadas nos parênteses temos:54 - 3 x [ 10 - 7 ]efetuando-se os colchetes vem que54 - 3 ´ [ 3 ] 54 - 9 = 45

Exercício Resolvido

1) Resolva a seguinte expressão aritmética{[( 8 x 4 + 3) : 7 + ( 3 + 15 : 5) x 3] x 2 - (19 - 7) : 6} x 2 + 12

Resolução:{ [ ( 32 + 3) : 7 + (3 + 3) x 3 ] x 2 - 12 : 6} x 2 + 12 { [ 35 : 7 + 6 x 3 ] x 2 - 2 } x 2 + 12 { [ 5 + 18 ] x 2 - 2 } x 2 + 12 { 23 x 2 - 2} x 2 + 12 { 46 - 2 } x 2 + 12 44 x 2 + 12 88 + 12 100

DIVISIBILIDADE

Existem algumas regras que podem nos auxiliar a identificar se um número é ou não divisível por outro. Por exemplo, sabemos que 16 é divisível por 2, ou que 27 é divisível por 3, e no entanto será que 762 é divisível por 2? E por 3?

Todo número que é par é divisível por 2.Exemplos: 762, 1 572, 3 366 etc.

Somam-se os algarismos do número em questão, se o resultado for um número divisível por 3, então o número inicial o será também.

Exemplos: 762, pois 7 + 6 + 2 = 153 573, pois 3 + 5 + 7 + 3 = 18 53 628, pois 5 + 3 + 6 + 2 + 8 = 24

Observe os dois últimos algarismos se for dois zeros ou se terminar numa dezena divisível por 4 o número será divisível por 4.

Exemplos: 764, pois 64 é divisível por 4.1 572, pois 72 é divisível por 4.3 300, pois o número termina em dois zeros.

Observe o último algarismo se for zero ou cinco o número será divisível por 5.

Exemplos: 760, 1 575, 3 320.

Todo número que é divisível por 2 e por 3 ao mesmo tempo, será também, divisível por 6.Exemplos: 762, 1 572, 33 291.

Seguindo um algoritmo apresentado por um professor, vamos seguir 3 passos:1O. Separe a casa das unidades do número;2O. Multiplique esse algarismo separado (da direita) por 2;3O. Subtraia esse resultado do número à esquerda se esse resultado for divisível por 7, então o número original também o será.

Exemplos:

378 é divisível por 7, pois

Passo1: 37 ........ 8Passo 2: 8 2 = 16Passo 3: 3716 = 21

Como 21 é divisível por 7, então 378 também o é.

4 809 é divisível por 7, pois

Passo1: 480 ........ 9Passo 2: 9 2 = 18

4

Passo 3: 480 18 = 462

Repetindo os passos para o número encontrado:

Passo1: 46 ........ 2Passo 2: 2 2 = 4Passo 3: 46 4 = 42

Como 42 é divisível por 7, então 4 809 também o é.

Observe os três últimos algarismos, se for três zeros ou uma centena divisível por 8 então o número original também será.

Exemplos: 1 416, 33 296, 57 800, 43 000.

Somam-se os algarismos do número em questão, se o resultado for um número divisível por 9, então o número inicial o será também.

Exemplos: 3 573, pois 3 + 5 + 7 + 3 = 18 53 928, pois 5 + 3 + 9 + 2 + 8 = 27945 675, pois 9 + 4 + 5 + 6 + 7 + 5 = 36

Observe o último algarismo se for zero o número será divisível por 10.

Exemplos: 760, 3 320, 13 240.

Um número será divisível por 11, quando a diferença entre a soma dos algarismos de ordem par e a soma dos algarismos de ordem ímpar tiver como resultado um número divisível por 11.

Exemplos: 2 937, pois:soma dos algarismos de ordem par: 9 + 7 = 16soma dos algarismos de ordem ímpar: 2 + 3 = 5fazendo a diferença: 16 - 5 = 11

28 017, pois:soma dos algarismos de ordem par: 8 + 1 = 9soma dos algarismos de ordem ímpar: 2 + 0 + 7 = 9fazendo a diferença: 9 - 9 = 0

MÚLTIPLOS E DIVISORES Múltiplo: é o resultado da multiplicação de um número natural por outro natural.

Exemplos: 24 é múltiplo de 3, pois 3 x 8 = 24.

20 é múltiplo de 5, pois 5 x 4 = 20 e é múltiplo de 2, pois 2 x 0 = 0

Divisor: se um número x é divisível por y, então y será um divisor de x.

Exemplos: 8 é divisor de 864, pois 864 é divisível por 8.21 é divisor de 105, pois 105 é divisível por 21.

NÚMEROS PRIMOS

Todo número que apresenta dois divisores naturais, sendo eles: o próprio número e a unidade; ele será considerado um número primo, são eles:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, ...

RECONHECENDO UM NÚMERO PRIMODividimos o número, de maneira sucessiva, pelos

números que formam a série dos números primos, até encontramos um coeficiente igual ou menor ao divisor. Caso nenhuma dessas divisões seja exata, então o número é primo.

Nota: utilizando-se os critérios de divisibilidade, poderemos evitar algumas dessas divisões.

Exemplo: Vamos verificar se o número 193 é primo.

Utilizando os critérios da divisibilidade, podemos verificar que 193 não é divisível por 2, 3, 5, 7.Então, dividindo:

193 11 193 13 193 17

83 17 63 14 23 11 6 11 6

Quociente menor que o divisor 11 < 17, e não houve divisão exata, então o número 193 é primo.

DECOMPOSIÇÃO EM FATORES PRIMOSQuando um número não é primo, pode ser

decomposto num produto de fatores primos.A fatoração consiste, portanto, em encontrar todos

os fatores primos divisores de um número natural.

Regra: dividimos o número pelo seu menor divisor primo, excetuando-se a unidade, a seguir, dividimos o quociente pelo menor divisor comum e assim sucessivamente até encontrarmos o quociente 1. O número dado será igual ao produto de todos os divisores encontrados que serão números primos.

Exemplo:

5

QUANTIDADE DE DIVISORES DE UM NÚMERO NATURAL

Podemos determinar o total de divisores de um número, mesmo não se conhecendo todos os divisores.

Regra: O número total de divisores de um número é igual ao produto dos expoentes dos seus fatores primos aumentados (cada expoente) de uma unidade.

Exemplo: Vamos determinar o total de divisores de 80. Fatorando-se o número 80 encontraremos: 80 = 24 51

Aumentando-se os expoentes em 1 unidade: 4 + 1 = 51 + 1 = 2 Efetuando-se o produto dos expoentes aumentados 5 2 = 10Portanto, o número de divisores de 80 é 10.

Nota: Ao determinarmos a quantidade de divisores estamos encontrando apenas os divisores positivos desse número.

MÁXIMO DIVISOR COMUM (M.D.C.)

Denomina-se máximo divisor comum entre dois ou mais números naturais não nulos, ao maior número natural que divide a todos simultaneamente.

Exemplo: O máximo divisor comum entre 6, 18 e 30 é o número 6, pois este divide ao mesmo tempo o 6, o 18 e o 30 e, além disso, é o maior dos divisores simultâneos dos números dados.

MÉTODO DA COMPOSIÇÃO EM FATORES PRIMOSDecompõe-se os números em fatores primo e em

seguida escolhe-se os fatores primos comuns com os menores expoentes e em seguida efetua-se o produto destes expoentes.

Exemplo: 1-) Encontrar o MDC entre os números 60 e 280

Escolhemos agora os fatores primos comuns aos dois números que decompomos, com os menores expoentes. Os fatores comuns aos dois números são 2 e 5, e estes fatores com seus menores expoentes são :

22 5 = 4 5 = 20

Logo o M.D.C. entre 60 e 280 é 20 e se escreve da seguinte forma:

MDC (60, 280) = 20

2-) Determinar o M.D.C. entre 480 e 188

O único fator primo comum entre 480 e 188 é 2, e como deve ser escolhido aquele que tiver o menor expoente, então temos 22 = 4mdc (480, 188) = 4

MÉTODO DAS DIVISÕES SUCESSIVAS

(MÉTODO DE EUCLIDES)

Vamos encontrar o máximo divisor comum entre 60 e 280.

1O. Passo: Utilize o dispositivo abaixo colocando o maior número na primeira lacuna (do meio) e o menor na segunda lacuna (do meio):

2O. Passo: Divida 280 por 60 colocando o quociente na lacuna de cima do 60 e o resto na lacuna abaixo do 280:

3O. Passo: O resto da divisão vai para a lacuna do meio do lado direito de 60 e repete-se os passos 1, 2 e 3 até encontrarmos resto zero.

4O. Passo: O último divisor encontrado será o mdc.

mdc (60, 280) = 20

Nota: "Números Primos entre Si"Dois ou mais números são considerados primos entre si se e somente o Máximo Divisor Comum entre esses números for igual a 1.

Exemplo: 21 e 16, pois mdc (21, 16) = 1

6

Exercícios Resolvidos

1) Determinar os dois menores números pelos quais devemos dividir 144 e 160, a fim de obtermos quocientes iguais.

Resolução:Determinamos o M.D.C. entre 144 e 160

mdc (144, 160) = 24 = 16

Então:144 16 = 9O maior divisor de 144 é 16 e o menor quociente 9,Vem que 160 16 = 10 onde 16 é também o maior divisor de 160 e 10 o menor quociente. Logo os números procurados são 9 e 10 pois 144 9 = 16 e 160 10 = 16.

2) Um terreno de forma retangular tem as seguintes dimensões, 24 metros de frente e 56 metros de fundo. Qual deve ser o comprimento de um cordel que sirva para medir exatamente as duas dimensões?

Resolução:

Então: mdc ( 56, 24) = 8

Resposta: O comprimento do maior cordel que pode ser utilizado para medir as dimensões do terreno deve ser de 8 metros de comprimento, pois, 8 é o maior dos divisores comuns entre 56 e 24.

MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM (M.M.C)

"Mínimo múltiplo comum de dois ou mais números naturais não nulos é o menor dos múltiplos, não nulo, comum a esses números."

Sejam dois conjuntos, um constituído pelos múltiplos de 6 e outro constituído pelos múltiplos de 9.

M(6) = {0, 6, 12, 18, 24, 30, 36, ...}M(9) = {0, 9, 18, 27, 36, 45, 54, ...}

Observando-se os dois conjuntos de múltiplos de 6 e 9, verificamos que existem números que aparecem em ambos, isto é, são comuns aos dois conjuntos, como os números 18 e 36, isto é:

M(6) M(9) = {0, 18, 36, ...}

Isto significa que 18 e 36 são múltiplos comuns de 6 e 9, isto é, estes números são divisíveis ao mesmo tempo por 6 e por 9.Logo teremos como Mínimo Múltiplo Comum entre 6 e 9 o número 18, isto é:

mmc (6, 9) = 18

MÉTODO DA COMPOSIÇÃO EM FATORES PRIMOS

O mínimo múltiplo comum de dois ou mais números, obtém-se decompondo simultaneamente este números e efetuando-se o produto dos fatores primos comuns e não comuns escolhidos com seus maiores expoentes.

Exemplo:Determinar o M.M.C. dos números 70, 140, 180.Fatorando os números:

70 2 140 2 180 2 35 5 70 2 90 2 7 7 35 5 45 3 1 7 7 15 3 1 5 5 1

Então temos: 70 = 2 x 5 x 7140 = 22 x 5 x 7 180 = 22 x 32 x 5

Os fatores primos comuns, isto é, que aparecem nas três fatorações são 2e 5.O número 7 não é fator primo comum porque só aparece na fatoração dos números 70 e 140. O número 3 também não é fator primo comum porque só aparece na fatoração do número 180. Logo:

fatores primos comuns escolhidos com os maiores expoentes: 22 e 5.

Fatores primos não comuns escolhidos com os maiores expoentes: 32 e 7.

mmc (70, 140,180) = 22 x 5 x 32 x 7 = 1260

7

MÉTODO DA DECOMPOSIÇÃO SIMULTÂNEA

Então:

mmc (70, 140, 180) = 22 x 32 x 5 x 7 = 1260

RELAÇÃO ENTRE O MMC E O MDC

O produto de dois números dados é igual ao produto do M.D.C. desses números.

mmc (a, b) mdc (ab) = a x b

Exemplo:

Sejam os números 18 e 80Temos pela regra que: 18 x 80 = mmc (18, 80) mdc (18, 80)O produto é 18 80 = 1440.

Vamos agora determinar o M.M.C. desses dois números.

80, 18 2 40, 9 2 20, 9 2 10, 9 2 5, 9 3 5, 3 3 5, 1 5 1, 1

mmc (80, 18) = 24 x 32 x 5 = 720

Logo: mdc(80, 18) = 1440 mmc(18, 80) = 1440 720 = 2

EXERCÍCIO RESOLVIDO

Para identificarmos se um problema deve ser resolvido através do M.M.C. temos algumas indicações importantes.I - Diante de um problema, verificar se trata de fatos repetitivos, significa que estes fatos são múltiplos;II - Os acontecimentos deverão ser simultâneos, isto é, comuns;III - Ao buscarmos a primeira coincidência, estamos buscando o M.M.C.

Exemplo:

Três viajantes passam por determinado local respectivamente a cada 15, 20 e 25 dias. Sabendo-se que hoje os três se encontram, quando acontecerá o novo encontro?

Resolução:Existe a idéia de repetição: "Sabendo-se que hoje os três se

encontraram, quando ocorrerá o novo encontro?" Múltiplo

"Encontrar-se-ão num determinado dia" Comum

"Quando acontecerá o novo encontro" Mínimo

Portanto

15, 20, 25 2 15, 10, 25 2 15, 5, 25 3 5, 5, 25 5 1, 1, 5 5 1, 1 1 300

Resposta: O primeiro encontro ocorrerá dentro de 300 dias.

NÚMEROS INTEIROS (Z)

Em tempos remotos, com o desenvolvimento do comércio, um comerciante desejando ilustrar a venda de 3 kg de um total de 10 kg de trigo existente num saco, escreve no saco: "- 3", a partir daí um novo conjunto numérico passa a existir, o Conjunto dos Números Inteiros, hoje, representamos pela letra Z.

Z = {..., -3, - 2, - 1, 0, 1, 2, 3, ...}

A reticências, no início ou no fim, significa que o conjunto não tem começo nem fim. Concluímos, então, que todos os números inteiros possuem um antecessor e um sucessor. Com a relação às operações que serão possíveis de se efetuar, ilustraremos exemplos da adição e multiplicação.

ADIÇÃO

Sinais Iguais: Somam-se os números prevalecendo o sinal.

Exemplos:(+2) + (+3) = +5(-2) + (-3) = - 5

Sinais Diferentes: Subtraem-se os números prevalecendo o sinal do maior número em módulo.

Exemplos:(-2) + (+3) = +1(+2) + (-3) = -1

8

Exercícios Resolvidos

1) Calcule a soma algébrica:

Resolução:

-150 - 200 + 100 + 300-150 - 200 + 100 + 300-350 + 100 + 300-250 + 30050

2) Alexandre tinha 20 figurinhas para jogar bafo. Jogou com Marcelo e perdeu 7 figurinhas, jogou com Jorge e ganhou 2, ao jogar com Gregório ganhou 3 e perdeu 8 e com Hudson ganhou 1 e perdeu 11. Com quantas figurinhas ficou Alexandre no final do jogo?

Resolução:

Representando em soma algébrica:20 - 7 + 2 + 3 - 8 + 1 - 11 = 0

Resposta: Nenhuma.

MULTIPLICAÇÃO

Na multiplicação de números inteiros vamos, sempre, considerar a seguinte regra:(+) . (+) = (+)(+) . (-) = (-)(-) . (+) = (-)(-) . (-) = (+)Exemplos:(+2) (+3) = (+6)(+2) (- 3) = (- 6)(-2) (+ 3) = (- 6)(-2) (- 3) = (+ 6)

Exercício Resolvido

1) Calcule o valor da expressão abaixo:{(16 - 4) + [3.(-2) - 7.1]}.[-12 - (-4).2.2] + (-7).2 - 3 . (-1)

Resolução:

{(16 - 4) + [3.(-2) - 7.1]}.[-12 - (-4).2.2] + (-7).2 - 3 . (-1){12 + [-6 - 7]} [-12 -(-16)] + (-14) - (-3){12 + [-13]} . [-12 + 16] - 14 + 3{12 - 13} . 4 - 14 + 3{-1}.4 - 14 + 3-4 - 14 + 3-18 + 3-15

NÚMEROS RACIONAIS (Q) - FRAÇÕES

São aqueles constituído pelos números inteiros e pelas frações positivas e negativas. Número racional é todo

número indicado pela expressão b

a

, com b 0 e é

representado pela letra Q.

Atenção:

I) Todo número natural é um racional.

II) Todo número inteiro relativo é racional.

FRAÇÕES

Número fracionário ou fração é o número que representa uma ou mais partes da unidade que foi dividida em partes iguais.

Exemplos:

1 hora = 60 minutos¼ hora = 15 minutos

4

2

hora = 30 minutos

4

3

hora = 45 minutos

Representação

Uma fração é representada por meio de dois números inteiros, obedecendo uma certa ordem, sendo o segundo diferente de zero, chamados respectivamente de numerador e denominador, e que constituem os termos da fração.

O denominador indica em quantas partes foi dividida a unidade, e o numerador, quantas partes foram tomadas.

As frações podem ser decimais e ordinárias.

FRAÇÕES DECIMAIS

9

Quando o denominador é representado por uma potência de 10, ou seja, 10, 100, 1000, etc.

Exemplo:

FRAÇÕES ORDINÁRIAS

São todas as outras frações:

TIPOS DE FRAÇÕES

a) Frações Próprias: O numerador é menor que o denominador. Nesse caso a fração é menor que a unidade.

Exemplo:

b) Frações Impróprias: O numerador se apresenta maior que o denominador. Nesse caso a fração é maior que a unidade.

Exemplo:

c) Frações Aparentes: São frações impróprias que tem o numerador divisível pelo denominador e que são chamadas de frações aparentes. Porque são iguais aos números internos que se obtém dividindo o numerador pelo denominador.

Exemplo:

d) Frações Irredutíveis: São frações reduzidas à sua forma mais simples, isto é, não podem mais ser simplificadas, pois seus dois termos são números

primos entre si, e por esta razão não têm mais nenhum divisor comum.

Exemplo:

Simplificando-se 36

24, temos 3

2 (fração irredutível)

REDUÇÕES DE FRAÇÕES AO MESMO DENOMINADOR

1) Reduzem-se as frações à forma irredutível2) Determina-se o M.M.C. dos denominadores dessas frações3) Divide-se o mmc pelo denominador e multiplica-se pelo numerador o resultado da divisão.

Exemplo:

1-)

6

3 = 2

1

2-) mmc (2, 5, 7) = 70

3-)

5

2,2

1 , 7

4 70, 70, 70 70

28, 70

35, 70

40

PROPRIEDADE DAS FRAÇÕES

1) Se multiplicarmos ou dividirmos o numerador de uma fração por um certo número diferente de zero, o valor de fração fica multiplicado ou dividido por esse número.

Exemplo:

Seja a fração 10

3

. Se multiplicarmos o numerador por

2, obteremos a fração 10

6

, que é duas vezes maior que

10

3

, pois se em 10

6

tomamos 6 das 10 divisões da

unidade, em 10

3

tomamos apenas três.

Ilustração:

10

Observando a ilustração, verificamos que 10

3

é duas

vezes menor que 10

6

.

2) Se multiplicarmos ou dividirmos o denominador de uma fração por um número diferente de zero, o valor da fração fica dividido ou multiplicado por esse número.

Exemplo:

Seja a fração 5

2

. Multiplicando o denominador por 2,

obtemos a fração 10

2

, que é duas vezes menor que 5

2

,

pois em 5

2

dividimos a unidade em 5 partes iguais e

das cinco tomamos duas, enquanto que em 10

2

, a mesma unidade foi dividida em 10 partes iguais e tomadas apenas duas em dez.

Ilustrações:

Comparando-se as ilustrações, podemos verificar que

5

2

é duas vezes maior que 10

2

.

3) Multiplicando-se ambos os termos de uma fração por um número diferente de zero, o valor da fração não se altera.

Exemplo:

5

2 2

2

5

2 10

4

Logo:

5

2 = 10

4

Ilustrações:

NÚMEROS MISTOS

Número misto é aquele formado por um número inteiro e uma fração.

Para transformarmos um número misto em uma fração, basta multiplicar o denominador da fração imprópria pelo número inteiro e somamos o resultado obtido com o numerador.

Exemplo:

7

46 =

7

442 = 7

46

COMPARAÇÃO DE FRAÇÕES

Podemos comparar duas ou mais frações para sabermos qual é a maior e qual a menor. Para isto, devemos conhecer os critérios de comparação:1) Quando várias frações têm o mesmo denominador, a

maior é a que tem maior numerador.

Exemplo:

10

4> 10

3 > 10

1

2) Quando várias frações têm o mesmo numerador, a maior é a que tem menor denominador.

Exemplo:

5

4> 7

4 > 10

4

11

3) Quando as frações têm numeradores e denominadores diferentes a comparação é feita reduzindo-as ao mesmo denominador ou ao mesmo numerador.

Exemplo:

5

2<2

1< 7

4 70

28< 70

35< 70

40

Exercício Resolvido

1) Coloque as seguintes frações em ordem crescente, empregando o sinal <.

5

4, 10

7, 5

2, 2

1, 3

6

Resolução:

Vamos reduzir as frações ao mesmo denominador, e paratanto o mmc (2, 3, 5, 10) = 30:

5

4, 10

7, 5

2, 2

1, 3

6 30, 30, 30, 30, 30

30

24, 30

21, 30

12, 30

15, 30

60

Logo:

30

12<30

15<30

21<30

24<30

60 5

2<2

1<10

7<5

4<3

6

FRAÇÕES EQUIVALENTES

São frações que representam a mesma parte do inteiro, ou seja, são frações de mesmo valor.

Na figura acima temos:2

1=6

3=4

2

logo são frações equivalentes.

SIMPLIFICAÇÃO DE FRAÇÕES

Significa obter uma outra fração equivalente na qual o numerador e o denominador são números primos entre si. Para simplificar uma fração basta dividir o numerador e o denominador pelo mesmo número.

1O. Modo:48

36 4

4

48

36

12

93

3

12

9

4

3

4

3

está na sua forma irredutível.

2O. Modo:Um outro processo para simplificar frações é achar o M.D.C. (máximo divisor comum) entre o mdc (48,36) = 12

12

12

48

36

4

3

Exercício Resolvido

1) Obter 3 frações equivalentes a 5

3

.

Resolução:

Basta tomar os termos da fração 5

3

multiplicá-lo por um mesmo número diferente de zero:

3

3

5

3

=15

9 7

7

5

3

=35

21 12

12

5

3

=60

36

ADIÇÃO DE FRAÇÕES

Temos dois casos à considerar:

Caso 1: Denominadores Iguais

"Somam-se os numeradores e conserva-se o denominador comum".

Exemplo:

5

11 + 5

9 + 5

2 = 5

2911= 5

22

Caso 2: Denominadores Diferentes

"Reduzem-se as frações ao mesmo denominador comum e aplica-se a regra anterior ".

Exemplo:

5

4+ 10

7+ 5

2 + 2

1+ 3

6 30

24+30

21+ 30

12+ 30

15+30

60

30

6015122124 =30

132

Podemos simplificar a resposta, deixando a fração na sua forma irredutível:

12

6

6

30

132

=

5

22

Nota: Em caso da adição de frações envolver números mistos, transformamos os números mistos em frações impróprias.

SUBTRAÇÃO DE FRAÇÕES

Para a subtração, irão valer as mesmas regras da adição (Caso 1 e Caso 2).

MULTIPLICAÇÃO DE FRAÇÕES

Ao efetuar o produto entre duas ou mais frações, não importando se os numeradores e denominadores são iguais ou diferentes, vamos sempre:

Multiplicar os numeradores entre si, assim como os denominadores.

Exemplos: 5

3 7

6 =

75

63

= 35

18

5

410

75

2 = 5105

274

=

250

56= 2

2

250

56

=125

28

Nota:

Neste último exemplo as simplificações poderiam ter sido feitas durante o produto, observe:

5

410

75

2= 5

25

75

2= 125

28

, simplificamos o 4 com o 10 no primeiro membro.

DIVISÃO DE FRAÇÕES

Na divisão de duas frações, vamos sempre:

Conservar a primeira fração e multiplicar pelo inverso da segunda.

Exemplo:

5

3 7

6 = 5

3 6

7 = 5

1 2

7 =25

71

= 10

7

EXPRESSÕES ARITMÉTICAS FRACIONÁRIAS

O cálculo de expressões aritméticas fracionárias, que são conjuntos de frações ligadas por

sinais de operações é feito na segunda ordem:

1º) As multiplicações e divisões

2º) As adições e subtrações, respeitadas as ordens dos parênteses, colchetes e chaves.

Exemplo: Vamos resolver a seguinte expressão:

6

5

2

1

3

4

7

11

3

11

5

22

4

1

2

9 =

=

6

5

6

4

11

7

3

11

5

210

4

1

2

9 =

=

5

6

6

4

3

7

5

12

4

1

2

9 =

5

4

3

7

5

3

2

9 =

=

15

1235

10

645 = 15

47

10

39 =

47

15

10

39 =

=47

3

2

39 =

47

3

2

39 =

94

117

NÚMEROS REAIS (IR)

A união de todos os conjuntos vistos até agora dará origem ao conjunto dos números reais, representado pela letra IR.

Observe o diagrama:

Observação "Números Irracionais"

A parte que está em forma de "telhado", ou seja, IR - Q representa o conjunto dos números irracionais, e estes por sua vez são aqueles que não podem ser escritos na forma de fração:

Exemplos:

2 , 3 , etc.

NÚMEROS DECIMAIS

Os números decimais fazem parte do conjunto dos números racionais, e no entanto, estes números merecem uma atenção especial, que aparecem muito em nosso cotidiano, além de se relacionar com muitas questões de provas de concursos públicos.

13

ADIÇÃO

Escrevem-se os números decimais uns sobre os outros de modo que as vírgulas se correspondam; somam-se os números como se fossem inteiros, e, coloca-se a vírgula na soma, em correspondência com as parcelas.

Exemplo:

13,8 + 0,052 + 2,9 = 13,8 13,800 0,052 ou 0,052 2,9 2,900 16,752 16,752

SUBTRAÇÃO

Escreve-se o subtraendo sob o número de modo que as vírgulas se correspondam. Subtraem-se os números como se fossem inteiros, e coloca-se a vírgula no resultado em correspondência com os dois termos.

Exemplo:5,08 - 3,4852 =

5,0800 3,4852 1,5948

MULTIPLICAÇÃO

Para se efetuar o produto entre números na forma decimal, deve-se multiplicar normalmente, como se fossem números inteiros e após conta-se a quantidade de casas decimais que cada um dos fatores apresenta somando em seguida e transferindo para o resultado do produto.

Exemplo:

1,23 0,4 = 0,492; 12,345 5,75 = 70,98375

DIVISÃO

Reduzem-se o dividendo e o divisor ao mesmo número de casas decimais, desprezam-se as vírgulas de ambos, e efetua-se a divisão como se fossem inteiros. Obtido o quociente, coloca-se ao mesmo tempo, uma vírgula a sua direita e um zero a sua esquerda do resto, a fim de continuar a divisão.

Os demais algarismos do quociente serão sempre obtidos colocando-se um zero a direita de cada resto.

Exemplo:

72,2379 5,873

Igualando-se as casas decimais do dividendo e do divisor temos:

EXERCÍCIOS - CONJUNTOS NUMÉRICOS

P1) Que restos pode dar na divisão por 5, um número que não seja divisível por 5 ?

P2) Qual o menor número que se deve somar a 4831 para que resulte um número divisível por 3 ?

P3) Qual o menor número que se deve somar a 12318 para que resulte um número divisível por 5 ?

P4) Numa caixa existem menos de 60 bolinhas. Se elas forem contadas de 9 em 9 não sobra nenhuma e se forem contadas de 11 em 11 sobra uma. Quantas são as bolinhas?

P5) O conjunto A é formado por todos os divisores de 10 ou 15 ; então podemos afirmar que o conjunto A tem :a) 5 elementos b) 6 elementos c) 7 elementos d) 8 elementos

P6) Qual o menor número pelo qual se deve multiplicar 1080 para se obter um número divisível por 252?

P7) Qual o menor número pelo qual se deve multiplicar 2205 para se obter um número divisível por 1050?

P8) Assinalar a alternativa correta.a) O número 1 é múltiplo de todos os números primosb) Todo número primo é divisível por 1c) Às vezes um número primo não tem divisord) Dois números primos entre si não tem nenhum divisor

P9) Assinalar a alternativa falsa:a) O zero tem infinitos divisoresb) Há números que tem somente dois divisores: são os primos;c) O número 1 tem apenas um divisor: ele mesmo;d) O maior divisor de um número é ele próprio e o menor é zero.

P10) Para se saber se um número natural é primo não:a) Multiplica-se esse número pelos sucessivos números primos;b) Divide-se esse número pelos sucessivos números primos;c) Soma-se esse número aos sucessivos números

14

primos;d) Diminuí-se esse número dos sucessivos números primos.

P11) Determinar o número de divisores de 270.

P12) Calcule o valor das expressões abaixo:a) (12 - 6) + (14 - 10) x 2 - (3 + 7)b) 103 - [ 23 + (29 - 3 x 5) ] + 14 x 2c) 22 - { 14 + [ 2 x 10 - (2 x 7 - 3) - (2 + 4) ] } + 7d) [ 60 - (31 - 6) x 2 + 15] ¸ [ 3 + (12 - 5 x 2) ]e) [150 ¸ (20 - 3 x 5) + 15 x (9 + 4 x 5 x 5) ] ¸ 5 + 12 x 2f) ( 4 + 3 x 15) x ( 16 - 22 ¸ 11) - 4 x [16 - (8 + 4 x 1) ¸ 4] ¸ 13

P13) Calcular os dois menores números pelos quais devemos dividir 180 e 204, a fim de que os quocientes sejam iguais.a) 15 e 17 b) 16 e 18c) 14 e 18 d) 12 e16

P14) Deseja-se dividir três peças de fazenda que medem, respectivamente, 90, 108 e 144 metros, em partes iguais e do máximo tamanho possível.

Determinar então, o número das partes de cada peça e os comprimentos de cada uma.9, 8, 6 partes de 18 metros8, 6, 5 partes de 18 metros9, 7, 6 partes de 18 metros10, 8, 4 partes de 18 metrose) e) e)

P15) Quer-se circundar de árvores, plantadas à máxima distância comum, um terreno de forma quadrilátera. Quantas árvores são necessárias, se os lados do terreno tem 3150,1980, 1512 e 1890 metros?a) 562 árvores b) 528 árvoresc) 474 árvores d) 436 árvores

P16) Numa república, o Presidente deve permanecer 4 anos em seu cargo, os senadores 6 anos e os deputados 3 anos. Em 1929 houve eleições para os três cargos, em que ano deverão ser realizadas novamente eleições para esses cargos?

P17) Duas rodas de engrenagens tem 14 e 21 dentes respectivamente. Cada roda tem um dente esmagador. Se em um instante estão em contato os dois dentes esmagadores, depois de quantas voltas repete-se novamente o encontro?

P18) Dois ciclistas percorrem uma pista circular no mesmo sentido. O primeiro percorre em 36 segundos, e o segundo em 30 segundos. Tendo os ciclistas partido juntos, pergunta-se; depois de quanto tempo se encontrarão novamente no ponto de partida e quantas voltas darão cada um?

P19) Uma engrenagem com dois discos dentados tem respectivamente 60 e 75 dentes, sendo que os dentes são todos numerados. Se num determinado momento o dento nº 10 de cada roda estão juntos, após quantas voltas da maior, estes dentes estarão juntos novamente?

P20) Sabendo-se que o M.M.C. entre dois números é o produto deles, podemos afirmar que: a) os números são primosb) eles são divisíveis entre sic) os números são primos entre sid) os números são ímpares

P21) Da estação rodoviária de São Paulo partem para Santos, ônibus a cada 8 minutos; para Campinas a cada 20 minutos e para Taubaté a cada 30 minutos. Às 7 horas da manhã partiram três ônibus para essas cidades. Pergunta-se: a que horas do dia, até às 18 horas haverá partidas simultâneas?

P22) No aeroporto de Santos Dumont partem aviões para São Paulo a cada 20 minutos, para o Sul do país a cada 40 minutos e para Brasília a cada 100 minutos; às 8 horas da manhã á um embarque simultâneo para partida. Quais são as outras horas, quando os embarques coincidem até as 18 horas.

P23) Para ladrilhar 5/7 de um pátio empregando-se 46.360 ladrilhos. Quantos ladrilhos iguais serão necessários para ladrilhar 3/8 do mesmo pátio?

P24) A soma de dois números é 120. O menor é 2/3 do maior. Quais são os números?

P25) Sueli trabalha após as aulas numa loja de fazendas. Uma tarde recebeu uma peça de linho de 45 metros para vender. Nesta mesma tarde vendeu 3/5 da peça, depois 1/3 do que sobrou. Quantos metros restaram por vender?

P26) Uma senhora repartiu R$273,00 entre seus três filhos. O primeiro recebeu 3/4 do que tocou ao segundo e este, 2/3 do que tocou ao terceiro. Quanto recebeu cada um ?

P27) Um negociante vendeu uma peça de fazenda a três fregueses. O primeiro comprou 1/3 da peça e mais 10 metros. O segundo comprou 1/5 da peça e mais 12 metros e o terceiro comprou os 20 metros restantes. Quantos metros tinha a peça ?

P28) Dois amigos desejam comprar um terreno. Um deles tem 1/5 do valor e outro, 1/7. Juntando ao que possuem R$276.000,00, poderiam comprar o terreno. Qual o preço do terreno ?

P29) Paulo gastou 1/3 da quantia que possuía e, em seguida, 3/5 do resto. Ficou com R$80,00. Quanto possuía?

P30) Qual é o número que multiplicado por 1/5 dá 7 3/4?

P31) Um alpinista percorre 2/7 de uma montanha e em seguida mais 3/5 do restante. Quanto falta para atingir o cume?

P32) Qual é o número que aumenta 1/8 de seu valor quando se acrescentam 3 unidades?

P33) Um trem percorre 1/6 do caminho entre duas cidades em 1 hora e 30 minutos. Quanto tempo leva de

15

uma cidade a outra uma viagem de trem?

P34) Lia comeu 21/42 de uma maçã e Léa comeu 37/74 dessa mesma maçã. Qual das duas comeu mais e quanto sobrou?

P35) Dividindo os 2/5 de certo número por 2/7 dá para quociente 49. Qual é esse número?

P36) Um pacote com 27 balas é dividido igualmente entre três meninos. Quantas balas couberam a cada um, se o primeiro deu 1/3 do que recebeu ao segundo e o segundo deu ½ do que possuía ao terceiro?

P37) Uma herança de R$70.000,00 é distribuída entre três herdeiros. O primeiro recebe ½, o segundo 1/5 e o terceiro o restante. Qual recebeu a maior quantia?

P38) Uma torneira leva sete horas para encher um tanque. Em quanto tempo enche 3/7 desse tanque?

P39) R$120,00 são distribuídos entre cinco pobres. O primeiro recebe ½, o segundo 1/5 do que recebeu o primeiro e os restantes recebem partes iguais. Quanto recebeu cada pobre?

P40) Em um combate morrem 2/9 de um exército, em novo combate morrem mais 1/7 do que restou e ainda sobram 30.000 homens. Quantos soldados estavam lutando?

P41) 2/5 dos 3/7 de um pomar são laranjeiras; 4/5 dos ¾ são pereiras; há ainda mais 24 árvores diversas. Quantas árvores há no pomar?

P42) Um corredor depois de ter decorrido os 3/7 de uma estrada faz mais cinco quilômetros e assim corre 2/3 do percurso que deve fazer. Quanto percorreu o corredor e qual o total do percurso, em quilômetros?

P43) Efetuar as adições: 1º) 12,1 + 0,0039 + 1,98 2º) 432,391 + 0,01 + 8 + 22,39

P44) Efetuar as subtrações: 1º) 6,03 - 2,9456 2º) 1 - 0,34781

P45) Efetuar as multiplicações 1º) 4,31 x 0,012 2º) 1,2 x 0,021 x 4

P46) Calcular os seguintes quocientes aproximados por falta. 1º) 56 por 17 a menos de 0,01 2º) 3,9 por 2,5 a menos de 0,1 3º) 5 por 7 a menos de 0,001

P47) Em uma prova de 40 questões, Luciana acertou 34. Nestas condições:

Escreva a representação decimal do número de acertos;

Transformar numa fração decimal;Escreva em % o número de acertos de Luciana.

d) d) d)

P48) Calcular o valor da seguinte expressão numérica lembrando a ordem das operações: 0,5 + ( 0,05 ¸ 0,005).

P49) Quando o professor pediu a Toninho que escrevesse a fração decimal que representa o número 0,081 na forma de fração decimal, Toninho escreveu

10

81

; Ele acertou ou errou a resposta.

P50) Dentre os números 2,3; 2,03; 2,030; 2,003 e 2,0300, quais tem o mesmo valor ?

P51) É correto afirmar que dividir 804 por 4 e multiplicar o resultado por 3 dá o mesmo resultado que multiplicar 804 por 0,75?

P52) Um número x é dado por x = 7,344 ¸ 2,4. Calcule o valor de 4 - x .

P53) Uma indústria A, vende suco de laranja em embalagem de 1,5 litro que custa R$ 7,50. Uma indústria B vende o mesmo suco em embalagem de 0,8 litro que custa R$ 5,40. Qual das duas vende o suco mais barato?

P54) Em certo dia, no final do expediente para o público, a fila única de clientes de um banco, tem um comprimento de 9 metros em média, e a distância entre duas pessoas na fila é 0,45m. Responder:a) Quantas pessoas estão na fila?b) Se cada pessoa, leva em média 4 minutos para ser atendida, em quanto tempo serão atendidas todas as pessoas que estão na fila?

GABARITO - CONJUNTOS NUMÉRICOSP1) 1,2,3,4 P2) 2 P3) 2 P4) 45P5) B P6) 7 P7) 10P8) BP9) D P10) B P11) 16P12) a) 4 b) 94 c) 12 d) 5 e) 357 f) 682P13) A P14) B P15) CP16) 1941P17) Duas voltas da menor ou três voltas da menorP18) Os ciclistas se encontraram depois de 180 segundosP19) Após 4 voltas P20) CP21) 9h; 11h; 13h; 15h; 17hP22) 11h e 20min; 11h e 40min; 18hP23) 24.339 P24) 72 e 48

16

P25) 12 metros P26) R$63,00 ; R$84,00 ; R$126,00 P27) 90 metros P28) R$420.000,00P29) R$300,00 P30) 155/4P31) 2/7 P32) 24 P33) 9 hP34) Cada comeu ½ e não sobrou nadaP35) 35 P36) 6,6,15 P37) R$35.000,00

P38) 3horasP39) 1º- R$60,00 , 2º- R$12,00 , 3º 4º e 5º R$16,00P40) 45.000 P41) 105 P42) 14 quilômetros e 21 quilômetrosP43) 1º) 14,0839; 2º) 462,791P44) 1º) 3,0844; 2º) 0,65219;P45) 1º) 0,05172; 2º) 0,1008;P46) 1º) 3,29; 2º) 1,5; 3º) 0,714;

P47) a) 0,85 b) 100

85

c) 85%P48) 0,05 P49) Errou, a resposta é 81/1000P50) 2,03; 2,030 e 2,0300P51) Nos dois casos é correto afirmar, pois o resultado é 603P52) 13,6256 P53) a indústria AP54) a) 20 pessoas b) 80 minutos.

MEDIDAS DE COMPRIMENTO

A medida básica de comprimento é o metro cujo símbolo é m.

O metro é um padrão adequado para medir a largura de uma rua, o comprimento de um terreno, a altura de uma sala.

Para medir grandes distâncias, há unidades derivadas de metro e que são maiores que ele, como por exemplo medir a extensão de uma estrada.

Há também unidades derivadas do metro e que servem para medir pequenos comprimentos, como por exemplo o comprimento de um prego.

Observe a tabela que representa os múltiplos e submúltiplos do metro.

Nome Símbolo RelaçãoMúltiplos do Metro decâmetro dam 10 m

hectômetro hm 100 mquilômetro km 1000 m

Submúltiplos do Metro

decímetro dm 0,1 m

centímetro cm 0,01 m

milímetro mm 0,001 m

Nota: Os múltiplos e os submúltiplos do metro são obtidos a partir do metro, realizando sucessivas multiplicações ou divisões por 10.

MUDANÇA DE UNIDADE

Para transformar a unidade de uma medida, em geral, utilizaremos a escada de unidades abaixo representada:

Por exemplo, se quisermos passar uma unidade de metros para centímetros, vamos multiplicar o número por 100, pois estaremos descendo dois degraus.

Por outro lado, se fôssemos subir dois degraus esta escada (metros pra hectômetro por exemplo), iríamos dividir o número por 100. Analogamente, de acordo com a quantidade de degraus é que vamos escolher o fator múltiplo de dez.

Exemplo1:

Vamos reduzir 424,286 hectômetros pra metros.hm m 100 (Desce 2 degrau)424,286 100 = 42428,6 m

Exemplo2:

Reduzindo 5645,8 decímetros para quilômetros. dm km 10.000 (Sobe 4 degraus) 5645,8 ¸10.000 = 0,56458 km

OUTRAS UNIDADES DE MEDIDAS RELACIONADAS AO METRO

Polegada = 2,54 cm Pé = 30,48 cm Milha = 1609 metros

EXERCÍCIOS - MEDIDAS DE COMPRIMENTO

17

P1) Reduzir 28,569 hm a metros.

P2) Exprimir 456,835 cm em quilômetros.

P3) Quantos metros existem em 8 dm?

P4) Quanto dista, em quilômetros, a terra da lua; sabendo-se que essa distância equivale, em média, a 60 raios terrestres? (Nota: o raio da terra mede 6.370.000 m).

P5) Um viajante percorreu em 7 horas, 33.600 metros. Quantos quilômetros ele fez, em média, por hora?

P6) O passo de um homem mede cerca de 0,80m. Quanto tempo empregará esse homem para percorrer 4.240 km de uma estrada, sabendo-se que anda à razão de 100 passos por minuto?

P7) Uma senhora comprou 20 metros de fazenda à razão de R$ 84,00 o metro. Se esta fazenda foi medida com uma régua que era 1 cm mais curta que o metro verdadeiro; pergunta-se: 1º) Quanto de fazenda a senhora recebeu?2º) Quanto pagou a mais?

P8) Numa construção, chama-se pé direito a distância do chão ao teto. Nos prédios de apartamentos, o pé direito mínimo é de 2,70 m. Qual a altura aproximada de um prédio de 15 andares?

P9) As telas dos aparelhos de televisão costumam ser medidas, em diagonal por polegadas. Considerando-se a polegada igual a 2,5 cm. Quantos cm tem a diagonal de um aparelho de 16 polegadas?

P10) De acordo com a Bíblia, a arca de Noé tinha 300 cúbitos de comprimento, 50 cúbitos de largura e 30 cúbitos de altura. Considerando-se 1 cúbito = 0,5 m. Calcule as dimensões da arca de Noé.

P11) Em um mapa cada cm corresponde a 25 km no real. Sabendo-se que a distância real de São Paulo a Curitiba é de aproximadamente 400 km, essa distância corresponde a quantos cm no mapa?

P12) A figura a seguir mostra parte de um mapa onde estão localizadas as cidades A, B, C< D e as distâncias (em km) entre elas. Um automóvel percorria uma menor distância saindo de A, passando por B e chegando a D ou saindo de A, passando por C e chegando a D?

P13) Com 32,40 m de arame, Roberto quer formar 20 pedaços de mesmo comprimento. Qual deverá ser o comprimento de cada pedaço?

P14) Uma cidade A está ligada a uma cidade B por uma estrada que tem 52,5 km de comprimento. Por sua vez a cidade B está ligada a cidade C por uma estrada cujo

comprimento é igual a 2/3 da distância de A até B. Quantos quilômetros percorrerá um veículo que sai de A, passa por B e atinge C?

P15) Um carpinteiro está colocando rodapé no contorno de uma sala que tem 7,40m de comprimento por 4,15m de largura. Esta sala tem três portas, duas delas com 90 cm de vão cada uma e a outra com 130 cm de vão. Considerando-se que ele não vai colocar rodapé no vão da porta, podemos dizer que ele vai usar de rodapé:a) 16m b) 17m c) 18 m d) 19 m e) 20 m

GABARITO - MEDIDAS DE COMPRIMENTO

P1) 2856,9

P2) 0,00456835

P3) 0,80

P4) 382.200 km

P5) 4,8 km/h

P6) 53.000 minutos

P7) Recebeu 19,80 m e pagou a mais 16,80

P8) 40,50 m

P9) 40 cm

P10) 150 m de comprimento, 25 m de largura e 15 m de altura

P11) 16 cm

P12) Passando por C

P13) 1,62 m

P14) 87,5 km

P15) E

GEOMETRIA PLANA

INTRODUÇÃO

Antes de iniciarmos o estudo de perímetros de figuras planas, vamos revisar alguns conceitos básicos da Geometria Plana.

ÂNGULOS

"Ângulo é a união de duas semi-retas de mesma origem".

18

Ângulo: BOA

BISSETRIZ

"É uma semi-reta de origem no vértice do ângulo, que o divide em 2 ângulos congruentes".

ÂNGULOS OPOSTOS PELO VÉRTICE

"São ângulos cujos lados de um, são semi-retas opostas aos lados do outro, como ilustra a figura".

TEOREMA: ba ˆˆ

CLASSIFICAÇÕES

ÂNGULOS ADJACENTES

TRIÂNGULOS

"Os Triângulos são Polígonos de três lados".

19

CLASSIFICAÇÕES - QUANTO AOS LADOS

CLASSIFICAÇÕES - QUANTO AOS ÂNGULOS

QUADRILÁTEROS

"Os Quadriláteros são Polígonos de quatro lados".

TRAPÉZIO

"Quadrilátero com dois lados paralelos e ângulos consecutivos (agudo e obtuso) suplementares".

Trapézio ABCD:

AD // BC

A + B = 180O

C + D = 180º

PARALELOGRAMO

"Quadrilátero com lados dois a dois paralelos, ângulos opostos iguais e consecutivos suplementares".

Paralelogramo ABCD:

AB // CD e AC // BD

A + B = 180O

C + D = 180º

A = D e C = B

LOSANGO

"Quadrilátero com lados dois a dois paralelos e iguais, ângulos opostos iguais e ângulos consecutivos suplementares".

Losango ABCD:

AB // CD e AC // BDAB =BC = CD = AD

A + B = 180O

C + D = 180º

A = C e D = B

RETÂNGULO

"Quadrilátero com lados dois a dois paralelos ângulos internos de medida igual a 90O".

Retângulo ABCD:

20

AB // CD eAD // BC

A = B = C = D =90O

QUADRADO

"Quadrilátero com lados dois a dois paralelos e iguais, ângulos internos de medida igual a 90O".

Quadrado ABCD:

AB // CD e AD // BCAB = BC = CD = AD

A = B = C = D = 90O

POLÍGONOS DIVERSOS

Além dos triângulos e quadriláteros, temos polígonos de lados maiores que 4, que é o caso do Pentágono (5 lados), Hexágono (6 lados), e assim sucessivamente. Observe a tabela abaixo, referente aos nomes dos polígonos:

Nomenclatura

Número de lados 3 Triângulo 4 Quadrilátero 5 Pentágono 6 Hexágono 7 Heptágono 8 Octógono 9 Eneágono 10 Decágono 11 Undecágono 12 Dodecágono 20 Icoságono

Exemplos:

Pentágono

Hexágono

Notas:

"Polígonos Regulares"

Os polígonos são ditos regulares quando seus lados e ângulos são iguais entre si. Por exemplo, um polígono regular de três lados é triângulo eqüilátero, ou de quatro lados, o quadrado.

Perímetro dos Polígonos

Para a obtenção do perímetro de qualquer figura plana é necessário apenas, soma os lados da figura em questão.

EXERCÍCIOS / FIGURAS PLANAS

P1) Um terreno é retangular. As medidas dos seus lados são 58 m e 22,5 m. Se esse terreno precisa ser murado em todo o seu contorno, determine:a) Quantos metros de muro devem ser construídos?b) Quantos tijolos serão usados na construção do muro, se para cada m de muro são usados 45 tijolos?

P2) Um jardim é quadrado e cada um de seus lados mede 62,5m nestas condições:a) Se Manoel der 3 voltas completas em torno do jardim, quantos m ele andará?b) Se Helena andar a metade da medida do contorno desse jardim, quantos m ela andará?

P3) Um jardim é retangular. O maior lado desse jardim mede 150 m e o lado menor mede 3/5 do maior. Nestas condições.a) Quanto mede o menor lado do jardim?b) Qual a medida do contorno desse jardim?

P4) Raul tem 100 m de tela de arame para fazer uma cerca. Nessas condições:a) Ele poderia fazer uma cerca de 23 m de lado?b) Ele poderia fazer uma cerca retangular de 32 m de comprimento por 12 m de largura?

21

P5) Usando um pedaço de barbante, Helena mediu o contorno de uma mesa quadrada e encontrou ao todo 8 pedaços. Se esse pedaço de barbante mede 24 polegadas, calcule:a) Quantas polegadas mede o contorno da mesa?b) Quantos cm mede o contorno dessa mesa, se uma polegada mede 2,5 cm.

P6) Um hexágono regular tem 6 lados, todos com a mesma medida. Se o perímetro desse hexágono é 51 cm, quanto mede cada lado desse hexágono?

GABARITO - PERÍMETROS

P1) a) 161 m b) 7245 tijolos

P2) a) 750 m b) 125 m

P3) a) 90 m b) 480 m

P4) a) sim b) sim

P5) a) 192 polegadas b) 480 cm

P6) 8,5 cm

MEDIDAS DE SUPERFÍCIE

"Superfície é a região do plano determinada por segmentos de reta ou por linhas curvas. Medir uma superfície é compará-la com outra tomada como unidade".

Para medirmos as superfícies, utilizamos as unidades da área do sistema métrico internacional, cuja unidade básica é o metro quadrado (m2) e que corresponde a um quadrado de 1 metro de lado.

Neste sistema, cada unidade de área é cem vezes maior que a unidade imediatamente inferior.

O metro quadrado foi criado para medir grandes superfícies, como por exemplo, a superfície de uma fazenda.

Para medir grandes superfícies foram criadas unidades maiores que o metro quadrado, bem como, foram criadas unidades menores que o metro quadrado para medir pequenas superfícies.

Múltiplos do Metro Quadrado

Decâmetro Quadrado (dam2) - que corresponde a uma área quadrada de 1 dam de lado, eqüivalendo a 100 m2.

Hectômetro Quadrado (hm2) - que corresponde a uma área quadrada de 1 hm de lado, eqüivalendo a 10.000 m2.

Quilômetro Quadrado (km2) - que corresponde a uma região quadrada de 1 km de lado, eqüivalendo a 1.000.000 m2.

Submúltiplos do Metro Quadrado

Decímetro Quadrado (dm2) - que corresponde a uma região quadrada de 1 dm de lado, equivalendo a 0,01 m2.

Centímetro Quadrado (cm2) - que corresponde a uma área quadrada de 1 cm de lado, equivalendo a 0,0001 m2.

Milímetro Quadrado (mm2) - que corresponde a uma área quadrada de 1 mm de lado, equivalendo a 0,000001 m2

QUADRO DAS UNIDADES DAS MEDIDAS DE SUPERFÍCIE

As unidades de superfície variam de 100 em 100, assim, qualquer unidade é sempre 100 vezes maior que a unidade imediatamente inferior e 100 vezes menor que a unidade imediatamente superior.

MUDANÇA DE UNIDADE

Para transformar a unidade de uma medida, em geral, utilizaremos a escada de unidades abaixo representada:

Por exemplo, se quisermos passar uma unidade de metros quadrados para centímetros quadrados, vamos multiplicar o número por 10.000, pois estaremos descendo dois degraus. Por outro lado, se fôssemos subir dois degraus desta escada (metros quadrados pra decâmetros quadrados por exemplo), iríamos dividir o número por 10.000. Analogamente, de acordo com a quantidade de degraus é que vamos escolher o fator múltiplo de cem.

22

MEDIDAS AGRÁRIAS

São medidas utilizadas na agricultura para medir campos, fazendas, etc.

As unidades são o hm2, o dam2 e o m2 que recebem designações especiais.

A unidade fundamental de medida é o ARE, cujo símbolo é a, eqüivale a 1 dam2 ou seja 100 m2.

O are possui apenas um múltiplo e um submúltiplo:O múltiplo do are é o hectare que vale 100 ares ou 1

hectômetro quadrado. Seu símbolo é ha. O submúltiplo do are é o centiare, cujo símbolo é ca e cujo

valor corresponde a 0,01 are e equivale a 1m2.

Múltiplo hectare ha Hectômetro quadrado

10.000 m2

are a Decâmetro quadrado

100 m2

Sub-múltiplo centiare ca Metro quadrado

1 m2

Observação:

Existem unidades não legais que pertencem ao sistema métrico decimal.

Alqueire Paulista = 24.200 m2

Alqueire Mineiro = 48.400 m2

EXERCÍCIOS SOBRE MEDIDAS AGRÁRIAS

P1) Uma fazenda tem 6 há de área. Qual sua área em m2?

P2) Uma reserva florestal tem 122.800m2 de área. Qual a área dessa reserva em ha?

P3) Uma plantação de café tem uma área de 406 ha. Qual a área dessa plantação em km2?

P4) Uma gleba de terra tem uma área de 5/8 ha. 60% da área dessa gleba foi reservada para pasto. Quantos m2 de pasto foram formados nessa gleba?

P5) Roberto comprou 6 alqueires paulistas de terra, Quantos m2 ele comprou?

P6) Numa fazenda de criação de gados para engorda, foram formados 50 alqueires (mineiros) de pasto de excelente qualidade. Quantos m2 de pasto foram formados nessa fazenda?

P7) Uma plantação de cana de açúcar cobre uma extensão de 42 ha. Qual é, em m2, a superfície ocupada pela plantação?

GABARITO - MEDIDAS AGRÁRIAS

P1) 60.000 m2

P2) 12,28 ha

P3) 4,06 km2

P4) 3750 m2

P5) 145.20 m2

P6) 2.420.000 m2

P7) 420.000 m2

ÁREAS DE POLÍGONOS

Quando medimos superfícies tais como um terreno, ou piso de uma sala, ou ainda uma parede, obtemos um número, que é a sua área.

"Área é um número real, maior ou igual a zero, que representa a medida de uma superfície."

Obteremos, portanto, as relações que vão nos auxiliar a encontrar as áreas dos polígonos mais comuns.

RETÂNGULO (SR)

A área de uma região retangular de altura h e base b é dada por b h unidades de área, ou seja:

SR = b h

QUADRADO (SQ) A área de uma região

quadrada de lado a é dada por (a a = a2) unidades de área, ou seja:

23

SQ = a a = a2

PARALELOGRAMO (SP

Vamos recortar o triângulo ADH e coloca-lo no espaço existente no lado BC:

Como as duas áreas são iguais, podemos dizer que a área da região limitada por um paralelogramo é dada multiplicando-se o comprimento (ou base) b pela largura (ou altura) h, ou seja:

SP = b h

TRIÂNGULO (S)

Para chegarmos na fórmula para cálculo da área limitada por um triângulo vamos primeiramente dividir um retângulo por uma das diagonais, encontrando assim dois triângulos retângulos congruentes:

Observando a figura acima, concluímos que a área de um triângulo pode ser obtida pela metade da área de um retângulo:

S = 2

SR = 2

hb

SD =2

hb

LOSANGO (SL)

Seja o Losango MNPQ abaixo de diagonal maior D e diagonal menor d.

Para deduzirmos qual a fórmula para cálculo da sua área vamos separa-lo em dois outros triângulos (MNP e MQP) de base D e altura d/2 congruentes entre si:

Logo: SL = 2 S1 = 2 x2

.D2

d

= 2 4

d.D = 2

d.D

2d.DS

L

TRAPÉZIO (ST)

Seja o Trapézio abaixo de base menor b, base maior B e altura h.

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Para deduzirmos a fórmula para o cálculo da área limitada por um trapézio, vamos inverter sua posição e "encaixar" num segundo trapézio idêntico ao primeiro, observe:

Desta forma, encontramos um paralelogramo, e para calcular a área de um paralelogramo basta multiplicar a sua base pela sua altura, logo:

SP = 2 ST ST =

2

SP ST =2

alturabase

ST = 2

b).h(B

CÍRCULO

A área de um círculo de raio r é dada por:

S = . r2

SETOR CIRCULAR

Se é dado em graus, a área do setor circular pode ser calculada por:

SSC =

2r360

α

COROA CIRCULAR

A área da Coroa Circular pode ser calculada pela diferença da área do círculo maior pela área do círculo menor.

SCC = (R2 r2)

Observação:

"Comprimento da Circunferência"

O comprimento de uma circunferência é calculado a partir da fórmula:

C = 2..R

Não confunda circunferência com o círculo: para você enxergar a diferença basta você imaginar uma pizza, a sua borda será a circunferência e o todo o seu recheio será o círculo.

EXERCÍCIOS SOBRE MEDIDAS DE SUPERFÍCIE (ÁREAS)

P1) Uma parede tem 27m2 de área. Sabendo-se que já foram pintados 15m2 dessa parede, quantos m2 de parede ainda resta pintar?

P2) Em um terreno de 5.000m2, 42% da área foi reservada ara construções, ficando o restante como área livre. Quantos metros quadrados restaram de área livre?

P3) Uma parede dever ser revestida com azulejos. A parede tem 20m2 de área e cada azulejo tem 0,04m2 de área. Quantos azulejos devem ser comprados para revestir totalmente essa parede?

P4) Uma região retangular tem 6 m de comprimento por 4 de largura, uma região quadrada tem 5m de lado. Qual das duas regiões tem a maior área?

P5) Consideremos uma região retangular que tem 27m de comprimento e 8 de largura. Essa região foi dividia em duas outras regiões A e B, de forma que a área da região A corresponde a 1/3 da área da região que foi dividida. Calcule a área de cada região.

P6) Uma região circular tem 5m de raio. Essa região foi dividida em duas outras, A e B, de modo que a área da região B corresponde a 40% da área da região original. Calcule a área de cada uma dessas regiões.

P7) Foram confeccionadas 1.500 flâmulas triangulares. Cada flâmula tem 0,40m de base de 0,15m de altura. Quantos metros quadrados foram usados na confecção dessas

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flâmulas?

P8) Uma peça de madeira tem a fórmula de losango. A diagonal maior mede 50cm e a diagonal menor 20cm. Qual a área desse losango?

P9) Calcular a base de um paralelogramo cuja a área é de 8,8336dm2 e a altura 1,52dm.

P10) A área de um losango mede 2,565 dm2 e uma das suas diagonais tem 2,7dm. Quanto mede a outra diagonal?

P11) A base maior de um trapézio mede 2,4m e a menor é igual a 1/3 da maior. Qual é a sua área em m2. Sabendo-se que a altura mede 8,5dm?

P12) O comprimento de uma circunferência é 25,12cm. Qual é a área da circunferência?

P13) A medida do raio de uma circunferência é igual a metade da medida do diâmetro dessa circunferência. Esta afirmação é falsa ou verdadeira?

P14) A roda de um automóvel tem 0,6 m de diâmetro. Quando a roda desse automóvel der 5.000 voltas completas, de quantos metros será a distância percorrida pelo automóvel?

P15) Uma circunferência tem 80 cm de raio. Se eu dividi-la por pontos em 4 partes de mesmo comprimento, qual será o comprimento de cada uma dessas 4 partes?

P16) Determinar o valor do raio de uma circunferência cujo comprimento é 12,56 dm.

P17) Cada uma das rodas, de 0,30 m de raio, de um automóvel, deu 4.500 voltas percorrendo um certo trajeto. Quantos quilômetros percorreu este automóvel?

GABARITO - MEDIDAS DE SUPERFÍCIE (ÁREAS)

P1) 12m2

P2) 2900 m2

P3) 500 azulejos

P4) A quadrada pois 25 m2 > 24 m2

P5) 144 m2 para B e 72 m2 para A

P6) A região A = 47,10m2 e a região B = 31,40m2.

P7) 45 m2

P8) 500 cm2

P9) 5,8116 dm

P10) 1,9 dm

P11) 1,36 m2

P12) 50,21 cm2

P13) Verdadeiro

P14) 9425 m

P15) 125,66 cm

P16) 2 dm de raio

P17) 8,478 km

MEDIDAS DE CAPACIDADE

" Capacidade é o volume de líquido que um sólido pode conter em seu interior".

Assim, quando dizemos que no interior de uma garrafa de água mineral cabe meio litro, estamos medindo a quantidade de líquido que a garrafa pode conter.

Como a capacidade é um volume, podemos utilizar as unidades de volume para medir os líquidos. Mas para este fim, utilizamos uma outra unidade de medida chamada litros, que se abrevia por l.O litro corresponde à capacidade de um cubo com 1 dm de aresta, ou seja, corresponde ao volume de um decímetro cúbico.

Exemplo:

O hidrômetro de uma casa registrou no mês que passou, um consumo de 25m3 de água. Quantos litros de água foram consumidos nessa casa?

← 25m3 = (25 x 1000)dm3 = 25.000dm3 = 25.000l

MUDANÇA DE UNIDADE

Como os múltiplos e submúltiplos do litro variam de 10 em 10, pode-se concluir que as mudanças de unidades são feitas como nas medidas de comprimento, ou seja, deslocando-se a vírgula de uma em uma casa decimal para a esquerda ou para a direita ou ainda, como foi dito, utilizando a escada de transformações representada abaixo:

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EXERCÍCIOS SOBRE MEDIDAS DE CAPACIDADE

P1) Expressar 2l em ml.

P2) Sabendo-se que 1dm3 = 1l, expressar 250 l em cm3.

P3) Na leitura de um hidrômetro de uma casa, verificou-se que o consumo do último mês foi de 36m3, quantos litros de água foram consumidos?

P4) Uma indústria farmacêutica fabrica 1400 litros de uma vacina que deve ser colocada em ampolas de 35cm3 cada uma. Quantas ampolas serão obtidas com esta quantidade de vacina?

P5) O volume interno de uma carreta de caminhão-tanque é de 85m3. Quantos litros de combustível essa carreta pode transportar quando totalmente cheia?

P6) Um reservatório, cujo volume é de 10m3, estava totalmente cheio quando deles foram retirados 2.200 l. Numa segunda vez foi retirado 1/3 da quantidade de água que restou. Nessas condições, quantos litros ainda restam no reservatório?

P7) O volume máximo interno de uma ampola de injeção é de 12cm3. Qual é a capacidade máxima em ml desta ampola?

P8) Qual é a capacidade, em litros, de uma caixa d´água cujo volume interno é de 0,24m3?

GABARITO - MEDIDAS DE CAPACIDADE

P1) 2000ml

P2) 250000 cm3

P3) 36.000 litros

P4) 40.000 ampolas

P5) 85.000l de combustível

P6) 5200 litros

VOLUME DOS SÓLIDOS

"As abelhas em virtude de uma certa intuição geométrica sabem, que o hexágono é maior que o quadrado e o triângulo e conterá mais mel com o mesmo gasto de material..."

Papus de Alexandria

As abelhas, na realidade, não fazem hexágonos em suas colméias como disse o Matemático Papus de Alexandria, elas constroem Prismas Hexagonais. Os prismas são figuras geométricas consideradas sólidos geométricos, assim como as Pirâmides, Cilindros, Cones, Esferas.

Nesta parte de nossos estudos daremos uma atenção

especial para os sólidos geométricos. Até agora, quando estudamos quadrados, triângulos; falávamos apenas das áreas ou perímetros dessas figuras, e agora poderemos calcular o volume desses sólidos.

PIRÂMIDES

Para estudarmos as Pirâmides, vamos partir de um prisma:

Observe que a pirâmide se encaixa perfeitamente dentro de um prisma (desde que suas dimensões, como a base, altura e propriedades sejam as mesmas, no nosso caso um prisma quadrangular e uma pirâmide quadrangular).Se pudéssemos completar um prisma com areia, e após completar uma pirâmide concluiríamos que com o volume de areia contido no prisma poderíamos encher três vezes a pirâmide, daí o volume desse prisma seria o triplo do volume da mesma pirâmide.Na realidade é isso que acontece, o volume do prisma quadrangular da figura acima é numericamente igual ao triplo do volume da pirâmide, portanto o volume de uma pirâmide pode ser pegando o volume de um prisma e dividindo por três. Podemos ainda identificar outros elementos da pirâmide, observe a figura abaixo:

VOLUME: V = 3

HAb

ÁREA TOTAL: AT = AL + Ab

RELAÇÃO: ap2 = ab

2 + H2

Onde: ap apótema da pirâmide;ab apótema da base;

27

H altura da pirâmide.

Exercício Resolvido

R2) Calcule o volume e a área lateral de uma pirâmide regular, sabendo que seu apótema mede 5 cm e a sua base é um quadrado sujo lado mede 8 cm.

Resolução:

Para encontrarmos o volume dessa pirâmide precisamos saber a sua altura:

ap2 = ab

2 + H2 52 = ( 2

8

)2 + H2 H2 = 25 16H2 = 9 H = 3 cm

Logo:

3

HAVb V =

3

382 V = 64 cm3

Para se chegar na área lateral devemos saber quantas são as faces laterais e qual a área de uma face. Como a base é um quadrado de lado 8cm e cada face de uma pirâmide é um triângulo, fica ilustrada uma face lateral da seguinte forma:

ap = 5cm

b = 8cm

.

apótema da pirâmide

AF =

2

58 = 20 cm2

AL = 4 20 = 80 cm2

PRISMAS

Observe os Prismas abaixo:

Observe agora apenas o Prisma Hexagonal:

Você deve ter observado que de acordo com a base de um prisma é o como ele será chamado, se a base for um hexágono, um Prisma Hexagonal; se for um quadrado, um Prisma Quadrangular etc. O mesmo ocorrerá com as Pirâmides.

Em todo sólido nós teremos as arestas, faces e vértices. A aresta nada mais é do que uma intersecção entre as faces. Os vértices, a intersecção entre as arestas, e assim por diante.

Para o cálculo do volume de um prisma basta multiplicarmos a área da base pela altura.

Estudaremos a princípio, os prismas mais comuns, o Paralelepípedo e o Cubo que são particularidades de Prismas Quadrangulares.

CUBO

VOLUME: V = a3

ÁREA TOTAL: AT = 6a2

DIAGONAL: D = a 3

PARALELEPÍPEDO

28

VOLUME: V = a.b.c

ÁREA TOTAL: AT = 2(a.b + b.c + a.c)

DIAGONAL: D = 2c2b2a

Exercício Resolvido

1) Calcule a área total e a medida da diagonal de um cubo cujo volume é 125 m3.

Resolução:

V = 125 a3 = 125 a = 3 125 a = 5 m

AT = 6a2 AT = 6´52 AT = 6 25 AT = 150 m2

D = a 3 D = 5 3 m

CILINDROS

Encontramos vários tipos de cilindros no nosso dia a dia:

Para se calcular o volume de um cilindro, faremos analogamente ao prisma (Ab H), somente com a ressalva de que a base de um cilindro será um círculo. Na figuras representadas abaixo temos a planificação de um cilindro (Figura 4) onde podemos perceber que para o cálculo de sua área lateral vamos considerar o retângulo formado com a base sendo numericamente igual ao comprimento da circunferência.

VOLUME: VC = Ab H

ÁREA LATERAL: AL = 2r H

ÁREA TOTAL: AT = AL + 2Ab

Exercícios Resolvidos

1) Calcule o volume de um cilindro reto de altura 10 cm, sabendo que sua área lateral é 60p cm2.

Resolução:AL = 2r H 60 = 2r 10 r = 3cmV = Ab H = r2 H = 9 10 = 90 cm3

V = 90p cm3

2) Calcule o volume de um cilindro eqüilátero, sabendo que a área de sua secção meridiana é 64 m2.

Resolução:Um cilindro eqüilátero é aquele que possui a altura igual ao diâmetro da base:

Cilindro Eqüilátero: H = d Secção Meridiana

ASM = 64 H d = 64 d2 = 64 H = d = 8 mV = Ab H = r2 H = 42 8 = 128 m3

V = 128 m3

OUTROS SISTEMAS DE MEDIDAS

MEDIDAS DE MASSA

"Massa de um corpo qualquer é a quantidade de matéria que esse corpo contém".

29

O sistema métrico decimal é utilizado, para estabelecer as unidades que servem para medir a massa de um corpo.

A unidade padrão para medir a massa de um corpo é a massa de um decímetro cúbico de água, a uma temperatura de 4ºC. Entretanto, por ser mais prático, foi utilizado como unidade principal o grama (abrevia-se g) e que se constitui numa massa igual a milésima parte do quilograma ou seja,

1g = 0,001kg ou 1kg = 1000g.

RELAÇÃO IMPORTANTE

Volume Capacidade Massa1 dm3 = 1 litro = 1 kg

Exemplo: Um recipiente, totalmente cheio contém um volume

de 5m3 de água pura. Qual é o peso (massa) da água contida neste recipiente?5m3 = 5.000 dm3 = 5000 kgLogo, o peso dessa água contida nesse recipiente é de 5.000 kg

OUTRAS UNIDADES DE MEDIDAS RELACIONADAS AO GRAMA

Tonelada (T) = 1.000 kgMegaton = 1.000 toneladasQuilate = 0,2 g (unidade para medida de pedras e metais

preciosos)

EXERCÍCIOS SOBRE MEDIDAS DE MASSA

P1) Com uma certa quantidade de papel, foram feitos 25.000 blocos, todos com o mesmo número de páginas. Se cada bloco tem 0,75 kg, quantos quilogramas de papel foram usados para fazer esses blocos?

P2) Uma laje é formada por 40 blocos de concreto. Cada bloco de concreto tem 1 1/4 T. de massa. Qual a massa da laje toda?

P3) Um litro de uma certa substância corresponde a uma massa de 2.5 kg. Quantos kg há em 6 m3 dessa substância?

P4) Um comprimido contém 3,5 mg de vitamina x. Uma pessoa toma três desses comprimidos por dia. Quantos miligramas de vitamina x essa pessoa vai ingerir após 1 mês de 30 dias?

P5) Um recipiente contém água pura. A massa dessa água é de 18.000 kg. Qual é em m3 o volume interno desse recipiente?

P6) Um volume de 0,01 m3 corresponde a quantos decímetros cúbicos?

P7) Um reservatório tem um volume de 81 m3 e está totalmente cheio d´água. Uma válvula colocada nesse reservatório deixa passar 1500l de água a cada 15 minutos. Esta válvula ficou aberta durante um certo tempo e depois foi fechada. Verificou-se que havia, ainda 27m3 de água no reservatório. Durante quanto tempo esta válvula permaneceu aberta?a) 8 horasb) 9 horasc) 12 horasd) 18 horase) 36 horas

GABARITO - MEDIDAS DE MASSA

P1) 18.750 kg P2) 50 T P3) 15.000 kgP4) 315 mg P5) 18 m3

P6) 10 dm3

P7) B

MEDIDAS DE TEMPO

A unidade fundamental do tempo é o segundo. As unidades secundárias, que se apresentam somente como múltiplos, constam no quadro:

NOMES Símbolos Valores em segundosSegundo s ou seg 1Minuto min 60Hora h 3.600Dia d 86.400

Outras unidades, usadas na prática, são: Semana (se) 7 diasMês (me) 30, 31 ou 29 ou 28 diasAno (a) 360, 365 ou 366 dias

O ano compõe-se de 12 meses. O ano comercial tem 360 dias, o ano civil tem 365 dias e ano bissexto 366 dias.

Os meses de janeiro, março, maio, julho, agosto, outubro e dezembro têm 31 dias; os meses de abril, junho, setembro e novembro têm 30 dias. O mês de fevereiro tem 28 dias nos anos comuns (civil) e 29 dias nos anos bissextos.

Todo ano que for divisível por 4, são bissextos. Assim, por exemplo:

1940, 1952, 1964 são bissextos1910, 1953, 1965 não são bissextos

Nomenclaturas:

02 anos chama-se biênio

30

03 anos chama-se triênio04 anos chama-se quadriênio05 anos chama-se quinquênio ou lustro10 anos chama-se decênio ou década100 anos chama-se século1000 anos chama-se milênio02 meses chama-se bimestre03 meses chama-se trimestre06 meses chama-se semestre

A representação do número complexo que indica unidade de tempo, é feita escrevendo-se em ordem decrescente o valor, s números correspondentes às diversas unidades acompanhados dos respectivos símbolos.

Exemplo:

9 a 4 me 18 d 15 h 23 min 17 seg

MUDANÇA DE UNIDADES

Podem ocorrer dois casos:

Caso 1: Transformação de número complexo em unidades inferiores também chamadas de medidas simples ou número incomplexo.

Exemplo: Verificar quantos minutos há em 3d 8h 13min?

Como 1 dia tem 24 horas 24 h x 3 = 72 hTemos + 8 h. Estas 72 h + 8 h dá 80 h.Como a hora vale 60 min. 80 h x 60 min = 4800 min.Somando-se ainda mais 13 min. 4813 min.

Caso2: Transformação de um número expresso em medidas simples ou unidades inferiores ou em números incomplexos.

Exemplo: Transformar 4813 min. em número não decimal, é o

mesmo que determinar quantos dias, horas e minutos há em 4813 min. Neste caso efetuamos as operações inversas do problema anterior.

4813 ¸ 60 = 80 h e 13 min80h ¸ 24 = 3 d e 8 h

Logo, 4813 minutos é o mesmo que 3 dias 8horas e 13 minutos.

EXERCÍCIOS - MEDIDAS DE TEMPO

P1) Dizer: a) Quantos minutos há numa semana? b) Quantas horas há em duas semanas?

P2) Converter: a) 2d 12 h 15 min em minutos. b) 4 a 8 me 12 d em dias.

P3) Efetuar a operação: 13 d 55 h 42 min + 8 d 34 h 39 min.

P4) Exprimir quantos meses e dias contém a fração 5/8 do ano.

P5) Numa certa fábrica um operário trabalhou 2 a 10 me 15 d e outro durante 11 me 29 d. Qual é a diferença entre os tempos de trabalho dos dois operários?

P6) As 9 h da manhã acertou-se um relógio que atrasa 6 min em 24 h. Que horas serão, na verdade, quando o relógio marcar 5 h da tarde?

GABARITO - MEDIDAS DE TEMPO

P1) a) 10.080 min b) 336 h

P2) a) 3.615 min b) 1.712 dias

P3) 242 d 18 h 21 min

P4) 7 me e 20 d

P5) 1 a 10me 14d

P6) 4 h 58 min

ESFERA

Considere um semicírculo, fixo num eixo, rotacionando o mesmo em torno do eixo, este semicírculo gera uma esfera:

VOLUME: V =

3R3

4 π

ÁREA ESFERA: A = 4R2

31

Exercício Resolvido

1 ) Uma esfera tem raio 15 cm.

Calcule:a) seu volume;b) sua área;c) a área da secção feita a 9cm do centro.

Resolução:

a) Volume:

V = 3

4 R3 = 3

4 153 V = 4 500 cm3

b) Área:

A = 4 R2 = 4 152 A = 900 cm2

c) Secção:

Cálculo do raio da secção:

152 = 92 + r2 r2 = 144 r = 12cm

Logo a área da secção:

As = r2 = 144 cm2

s cm2

CONES

Um cone pode ser obtido através da rotação de um triângulo retângulo em torno de um eixo (e). Na figura temos que a hipotenusa (g) do triângulo será a geratriz do cone.

A relação que existe entre um cone e um cilindro é a mesma existente entre uma pirâmide e um prisma, observe:

Podemos concluir então que volume de um cone será obtido dividindo o volume de um cilindro, de mesma base e mesma altura, por três.

VOLUME: V = 3

HAb

ÁREA LATERAL: AL = r g

ÁREA TOTAL: AT = AL + Ab

RELAÇÃO: g2 = H2 + r2

Onde: g geratriz do cone;r raio da baseH altura do cone.

Exercício Resolvido

1) Os catetos de um triângulo retângulo medem 8 cm e 15 cm. Calcule o volume e a área total do cone de revolução gerado pela rotação completa desse triângulo em torno de um eixo que contém seu cateto maior.

Resolução:

32

O triângulo retângulo considerado, ao dar uma volta completa, gera no espaço um cone de raio r = 8cm e altura H = 15cm . Sendo g a medida da geratriz desse cone, por Pitágoras:g2 = 82 + 152g2 = 64 + 225 g = 17 cm

Volume:

V =

3

HAb = 3

2Hr =

3

1564 = 320 cm3

Área Total:

AT = AL + Ab = r g + r2 = .8 .17 + . 82 = 200 cm2

EXERCÍCIOS SOBRE VOLUMES

P1) Sendo 5cm a medida de uma aresta de um cubo, obtenha:a) a medida de uma diagonal de uma face de um cubo.b) a medida de uma diagonal desse cubo.c) sua área total.d) seu volume.

P2) Se a diagonal de uma face de um cubo mede 5 2 , então o volume desse cubo é:

a) 600 3

b) 625 c) 225 d) 125

e) 100 3

P3) Um paralelepípedo reto retângulo tem arestas

medindo 5, 4 e k. Se a sua diagonal mede 3 10 , o valor de k é:a) 3

b) 7 c) 9 d) 10 e) 20

P4) Se a soma das medidas de todas as arestas de um cubo é 60cm, então o volume desse cubo, em centímetros cúbicos, é:a) 125 b) 100 c) 75 d) 60 e) 25

P5) Dois blocos de alumínio, em forma de cubo, com arestas medindo 10cm e 6cm, são levados juntos à fusão e em seguida o alumínio líquido é moldado como um paralelepípedo reto de arestas 8cm, 8cm e x cm. O valor de x é:a) 16 b) 17 c) 18 d) 19 e) 20

P6) A água de um reservatório na forma de um paralelepípedo reto retângulo de comprimento 30m e largura 20m atingia a altura de 10m. Com a falta de chuvas e o calor, 1800 metros cúbicos da água do reservatório evaporaram. A água restante no reservatório atingiu a altura de:a) 2 m b) 3 m c) 7 m d) 8 m e) 9 m

P7) Dado um prisma regular triangular (base é um polígono regular) de aresta da base medindo 4cm e altura 6cm, calcule:

a) a área de uma base.

b) a área de uma face lateral.

c) a área lateral.

d) a área total.

33

e) o volume.

P8) Uma pirâmide regular de base hexagonal é tal que

a altura mede 8cm e a aresta da base 2 3 cm . O volume dessa pirâmide em cm3, é:

a) 24 3

b) 36 3

c) 48 3

d) 72 3

e) 144 3

P9) Um imperador de uma antiga civilização mandou construir uma pirâmide que seria usada como seu túmulo. As características dessa pirâmide são:1O. Sua base é um quadrado com 100m de lado.2O. Sua altura é de 100m.Para construir cada parte da pirâmide equivalente a 1000 m3, os escravos, utilizados como mão-de-obra, gastavam, em média, 54 dias. Mantida essa média, o tempo necessário para a construção da pirâmide, medido em anos de 360 dias, foi de:a) 40 anos b) 50 anos c) 60 anosd) 90 anos e) 150 anos

P10) Qual é a altura de uma pirâmide quadrangular que

tem as oito arestas iguais a 2 ?

P11) Na figura seguinte, o ponto V é o centro de uma face do cubo. Sabendo que o volume da pirâmide VABCD é 6m3, o volume do cubo, em m3, é:

a) 9b) 12c) 15d) 18e) 21

P12) Num cilindro de revolução, o raio da base mede 8cm e a altura mede 10cm. Calcule desse cilindro:a) a área da base.b) a área lateral.c) a área total.

d) a área de uma secção meridiana.e) o volume.

P13) Um tanque de petróleo tem a forma de um cilindro circular reto, cujo volume é dado por: V = p R2 h. Sabendo-se que o raio da base e a altura medem 10 m, podemos afirmar que: o volume exato desse cilindro (em m3) é:a) 1 000p b) 100p c) (1 000p)/3d) (100p)/3 e) 200p

P14) O volume de um cilindro circular reto é 36 6 p

cm3. Se a altura desse cilindro mede 6 6 cm, então a área total desse cilindro, em cm2, é:a) 72p b) 84p c) 92p d) 94p e) 96p

P15) Na figura, a base do cone reto está inscrita na face do cubo. Supondo p = 3, se a área total do cubo é 54, então o volume do cone é:

a) 2

81

b) 2

27

c) 4

9

d) 4

27

e) 4

81

P16) Uma esfera tem raio medindo 15cm. Calcule:a) a área de sua superfície esférica.b) o volume dessa esfera.c) a área de uma secção feita nessa esfera por um plano que dista 9 cm do seu centro.

P17) Bolas de tênis, normalmente são vendidas em embalagens cilíndricas contendo três unidades que tangenciam as paredes internas da embalagem. Numa dessas embalagens, se o volume não ocupado pelas bolas é 2p, o volume da embalagem é:

34

a) 6b) 8c) 10d) 12e) 4

P18) Considere uma laranja como sendo uma esfera de 3cm de raio. Se a dividirmos em doze gomos congruentes, então o volume de cada em gomo, em cm3, será:

a) b) 2c) 3

8

d) 3e) 6

49

P19) Um tijolo tem a forma de um paralelepípedo retângulo. Esse tijolo tem 22cm de comprimento, 10 cm de largura e 7cm de altura. Qual é o volume de argila usado na fabricação desse tijolo?

P20) Um cubo tem 3cm de aresta. Um segundo cubo tem uma aresta que é igual ao triplo da aresta do primeiro. Calcule o volume de cada cubo e verifique quantas vezes o volume do segundo cubo é maior que o volume do primeiro.

P21) Uma piscina, em forma de paralelepípedo retângulo, tem 10m de comprimento, 5m de largura e 1,75m de profundidade internamente. Quantos m3 de água são necessários para encher totalmente essa piscina?

P22) Uma parede é feita de blocos. Cada bloco tem 0,4m de comprimento, 0,15m de largura e 0,25m de altura. Sabendo-se que foram usados 200 desses blocos para a construção dessa parede, qual é o volume da parede em m3?

P23) Um bloco de pedra cúbico tem 2m de aresta. Qual é o peso desse bloco, se cada m3 pesa 1/2 tonelada?

P24) Deseja-se cimentar um quintal retangular que tem 12m de comprimento por 7 de largura. Com uma mistura de areia e cimento que tem 3cm de espessura. Qual é em m3, o volume da mistura usada nesse revestimento?

P25) Um paralelepípedo retângulo tem 4 m de comprimento, 3m de largura e 2m de altura. Um cubo tem 3m de aresta. Qual deles tem o volume maior?

P26) A carroceria de um caminhão tem as seguintes

medidas internas: 4m de comprimento, 2,5m de largura e 0,5m de altura. Essa carroceria está transportando uma quantidade de areia que corresponde a 3/5 do seu volume. Quantos m3 de areia estão sendo transportados pelo caminhão:?

P27) Expresse em dm3:

a) 0,08m3 b) 13600 cm3 c) 2

1

m3

P28) Um volume de 2.500.000 cm3 corresponde a quantos metros cúbicos?

P29) O volume de 0,7m3 de uma solução líquida deve ser distribuído em ampolas cujo volume máximo é de 250 cm3. Quantas ampolas serão usadas?

P30) Uma caixa d´água está totalmente cheia e contém 2m3 de água. Um registro colocado nessa caixa, deixa escolar 0,25m3 de água a cada 20 minutos, quando está aberto. Se o registro ficar aberto durante uma hora, quantos metros cúbicos de água restarão na caixa após seu fechamento?

P31) Um sólido tem 1,2m3 de volume. Um segundo sólido tem um volume que corresponde a 5/8 do sólido dado. Qual o volume do segundo sólido?

P32) A leitura de um hidrômetro feita em 01/4/98 assinalou 1936m3. Um mês após, a leitura do mesmo hidrômetro assinalou 2014m3. Qual foi, em m3, o consumo nesse período?

P33) O volume inicial de um tanque é 1m3 de ar. Cada golpe de uma bomba de vácuo extrai 100dm3 de ar desse tanque. Após o 7º golpe da bomba, quantos m3

de gás permanecem no tanque?

GABARITO - VOLUMES

P1)

a) 5 2 cm b) 5 3 cm c) 150 cm2 d) 125 cm3

P2) D

P3) B

P4) A

P5) D

P6) C

P7)

a) 4 3 cm2 b) 24 cm2

c) 72 cm2 d) 8( 3 + 9) cm2

e) 24 3 cm3

P8) C

P9) B 35

P10) 1 = 1

P11) D

P12) a) 64p cm2 b) 160p cm2 c) 288p cm2 d) 80p cm2 e) 640p cm3

P13) A

P14) B

P15) D

P16) a) 900p cm2 b) 4500p cm3 c) 144p cm2

P17) A

P18) D

P19) 1540 cm3

P20) 27cm3, 729cm3, 27vezes

P21) 87,50 m3

P22) 3 m3

P23) 4 toneladas

P24) 2,52 m3

P25) o cubo pois 27m3 > 24 m3

P26) 3 m3

P27) a) 80 dm3 b) 13,6 dm3 c) 500 dm3

P28) 2,5 m3

P29) 2800 ampolas

P30) 1,25 m3

P31) 0,75 m3

P32) 78 m3

P33) 0,3 m3

PORCENTAGEM (%)

"Porcentagem é uma fração decimal, cujo denominador é cem, a expressão x %, é chamada de taxa percentual e representa a razão

100

x".

Exemplos:

OPERAÇÕES COM PORCENTAGEM

Podemos, por exemplo, operar números na forma de porcentagem, observe:

Exemplo:

Efetue:

%64=

5

4

10

8

100

64 = 0,8 = 80%

(10%)2 = 22

10

1

100

10

=

100

1= 1%

5% 15% =100

5100

15=20

120

3= 400

3= 0,75%

TRANSFORMAÇÕES

Muitas vezes teremos que transformar números decimais, ou frações, para a forma de porcentagem, ou mesmo teremos que fazer o contrário, transformar porcentagens em números decimais ou frações.

DECIMAIS PORCENTAGEM

"Para converter números decimais em porcentagem, basta multiplicar o número por 100".

Exemplos:Vamos converter os números abaixo para a forma de porcentagem:0,57100 = 57%0,007100 = 0,7%1,405 100 = 140,5%

FRAÇÕES PORCENTAGEM

"Para converter frações para porcentagens, em geral, vamos transformar as frações em números decimais, em seguida multiplicá-los por 100".

Exemplos:

15

7=0,466...=46,666% aproximadamente 46,7%

4

3= 0,75 = 75%

CÁLCULOS EM PORCENTAGEM36

Existem problemas onde precisamos encontrar a porcentagem de um valor específico, ou mesmo a porcentagem de um determinado número de elementos em um conjunto, ou população:

Exemplo1:Em uma empresa trabalham 60 pessoas,

sendo 15 mulheres. Vamos determinar qual a porcentagem de homens, existente nesta empresa.

Observe que de 60 pessoas, 15 são mulheres

e 45 são homens, logo, em sabemos que 60

45

dos funcionários da empresa são homens.

Simplificando a fração encontrada obtemos 4

3

, então teremos 75% dos funcionários como sendo homens e o restante (25%) sendo mulheres.

Exemplo2:Vamos determinar quanto é 23% de R$ 500,00.

Paratanto, vamos calcular de duas formas distintas, a primeira utilizando uma regra de três, e a outra, utilizando a relação "fração todo", utilizada na resolução de problemas que envolvem frações.

1O.Modo: "Regra de Três"

% R$ 23 x 100 500

Como as grandezas são diretamente proporcionais a equação fica assim:

100

23= 500

x 100x = 23 . 500 x = 23 . 5 x = 115

Logo, 23% de R$ 500,00 é igual a R$ 115,00.

2O.Modo: "Fração Todo" 23% de 500 =

100

23. 500 = 23 . 5 = 115

Logo, 23% de R$ 500,00 é igual a R$ 115,00.

Exercícios Resolvidos

R1) Ao receber uma dívida de R$ 1.500,00, uma pessoa favorece o devedor com um abatimento de 7% sobre o total. Quanto recebeu?

Resolução:Uma pessoa deve receber R$ 1.500,00, e no entanto, essa pessoa, concede um abatimento de 7% sobre esse valor, portanto, ela recebeu 93% do valor total (R$ 1.500,00). 93% de 1.500 =

100

93 1.500 = 93 . 15 = 1.395

Logo a pessoa recebeu R$ 1.395,00.

R2) Uma pessoa ao comprar uma geladeira, conseguiu um abatimento de 5% sobre o valor de venda estipulado, e assim foi beneficiado com um desconto de R$ 36,00. Qual era o preço da geladeira?

Resolução:

1O.Modo: "Regra de Três"

% R$ 5 36 100 x

Como as grandezas são diretamente proporcionais a equação fica assim:

100

5= x

36 5x = 36 . 100 x = 36 . 20 = 720

Portanto, o preço da geladeira era de R$ 720,00.

2O.Modo: "Fração Todo"

Sabemos, do enunciado, que 5% de um valor qualquer (aquele que temos que descobrir) é igual a R$ 36,00, logo: 5% de x = 36

100

5. x = 36 5x = 36 . 100 x = 720

Portanto, o preço da geladeira era de R$ 720,00.

R3) Uma coleção de livros foi vendida por R$ 150,00. Com um lucro de R$ 12,00. Qual foi a porcentagem do lucro?

Resolução:

"Fração Todo": x% de 150 = 12

100

x. 150 = 12 x = 8%

"Regra de Três"

% R$ X 12 100 150

100

x= 150

12 150x = 1200 x = 8%

AUMENTOS E DESCONTOS

Uma determinada loja de roupas dá as seguintes opções de compra de uma calça jeans, cujo preço é de R$ 40,00:1a.Opção de Pagamento pagamento à vista com

um desconto de 5%.2a.Opção de Pagamento Þ pagamento a prazo com

um aumento de 5%.

Qual será o novo preço da calça, nos dois casos

37

considerados?

Uma forma de encontrarmos estes dois valores é determinando quanto é 5% de R$ 40,00. Na opção de pagamento à vista, subtrairíamos do valor da calça, e na segunda opção, somaríamos os 5% no valor da calça, obtendo assim, nos dois casos, os seus respectivos valores.

Entretanto, em geral, utilizaremos um Fator de Multiplicação, para o caso de haver um desconto ou um aumento.

DESCONTOS

"Um desconto de x % em cima de um valor V é dado por: (0,a) V, onde a = (100 - x)".

Exemplos (Tabela):

Descontos (%) Fator de Multiplicação 25 0,75 30 0,70 70 0,30 5 0,95

Observe que:

75 = (100 25)70 = (100 30)30 = (100 70)95 = (100 5)

Voltando ao nosso exemplo inicial, o preço pago pela calça, no pagamento à vista será:

0,95 40 = R$ 38,00

AUMENTOS

"Um aumento de x % em cima de um valor V é dado por: (1,x) V".

Exemplos (Tabela):

Aumentos (%) Fator de Multiplicação 25 1,25 30 1,30 70 1,70 5 1,05

Voltando ao nosso exemplo inicial, o preço pago pela calça, no pagamento a prazo será:

1,05 40 = R$ 42,00

Exercícios Resolvidos

1) Uma adega vende certa quantidade de garrafas de vinho a R$ 580,00, obtendo um lucro de 25% sobre o

preço da compra. Determinar o preço da compra e o lucro obtido.

Resolução: Como se trata de um lucro, nos deparamos com um problema de aumento. Pelo enunciado R$ 580,00 é o preço de venda e o lucro de 25 % (ou o aumento) é dado em cima de um valor de compra desconhecido, vamos escrever uma equação que nos relacione esses valores em linguagem matemática:

Preço de Compra: C

Logo:1,25 C = 580 C = 464

Portanto o preço de compra é R$ 464,00 e o lucro obtido é igual a 580 - 464 = R$ 116,00.

2) Um número diminuído de seus 18% vale 656. Qual o número?

Resolução:Houve uma diminuição, portanto é o mesmo que dizer que houve um desconto, e este foi de 18%, logo o fator de multiplicação é 0,82. Escrevendo a equação matemática vem:

Número: x0,82 x = 656 x = 800

Portanto o número é 800.

EXERCÍCIOS - PORCENTAGEM

P1) Qual o número cujos 18% valem 108?

P2) Qual o número cujos 43% valem 374,1?

P3) Uma pessoa compra um terreno por R$ 17,500,00 e vende-o com um lucro de R$ 3.500,00. Qual a porcentagem do lucro?

P4) Qual o número que aumentado de seus 20% da a soma de 432?

P5) Escrever a razão 3/8 na forma de porcentagem.

P6) Um desconto de R$ 7.000,00 sobre um preço de R$ 25.000,00, representa quantos por cento de desconto?

P7) Um lucro de R$ 12.000,00 sobre um preço de R$ 150.000,00, representa quantos por cento desse preço?

P8) Exprimir 51% na forma decimal.

P9) Em um jogo de basquete, um jogador cobrou 20 lances livres, dos quais acertou 65%. Quantos lances livres acertou?

P10) Durante o ano de 1992, uma equipe de basquete disputou 75 jogos, dos quais venceu 63. Qual a

38

porcentagem correspondente aos jogos vencidos?

P11) Comprei 60 figurinhas e aproveitei apenas 45 em meu álbum. As restantes eram repetidas. Qual foi a porcentagem de figurinhas repetidas?

P12) Em um colégio, 1400 alunos estudam no período da manhã. Esse número representa 56% do número de alunos que estudam no colégio. Quantos alunos estudam ao todo nesse colégio?

P13) Na compra de um objeto, obtive um desconto de 15%. Paguei, então, R$ 7.650,00 pelo objeto. Nessas condições qual era o preço original desse objeto?

P14) Um representante comercial recebe de comissão 4% pelas vendas que realiza. Em um mês recebeu de comissão R$ 580,00. Quanto vendeu nesse mês?

P15) Em uma fábrica 28% dos operários são mulheres, e os homens são 216. Quantos são no total os operários dessa fábrica?

P16) Um comerciante compra 310 toneladas de minério à R$ 450,00 a tonelada. Vende 1/5 com lucro de 25%; 2/5 com lucro de 15% e o resto com um lucro de 10%. Quanto recebe ao todo e qual é o seu lucro?

P17) Um agente de motores adquire os mesmos por R$ 18.000,00 e paga uma taxa alfandegária de 15%. Devendo dar ao vendedor uma comissão de 10%. Por quanto deve vender para pagar 30% sobre o mesmo preço?

P18) Uma pessoa compra uma propriedade por R$ 300.000,00. Paga de taxas, comissões e escritura R$ 72.000,00. Por quanto deve revendê-la para obter um lucro de 12%?

P19) Um número diminuído de seus 27% vale 365. Qual é o número?

P20) Uma pessoa ganha em uma transação 3/5 da quantia empregada. De quantos por cento foi o lucro?

P21) A porcentagem de 36% sobre um valor, que fração é desse mesmo valor?

P22) Uma betoneira depois de trabalhar na construção de um edifício, sofre uma depreciação de 27% sobre seu valor e, é então avaliada em R$ 36.500,00. Qual o valor primitivo?

P23) Com uma lata de tinta é possível pintar 50m2 de parede. Para pintar uma parede de 72m2 gastam-se uma lata e mais uma parte de uma Segunda. Qual a porcentagem que corresponde a parte que se gasta da segunda lata?

P24) Sabendo-se que uma substância chamada óxido de magnésio contém 24g de magnésio. Sendo assim, qual a porcentagem de magnésio existente em 40g de óxido de magnésio?

P25) A área de um terreno A é 930m2, enquanto a área

do terreno B é 1500 m2. Nessas condições a área do terreno A representa quantos por cento da área do terreno B?

GABARITO - PORCENTAGEM

P1) 600

P2) 870

P3) 20%

P) 360

P5) 37,5

P6) 28%

P7) 8%

P8) 0,51

P9) 13

P10) 84%

P11) 25%

P12) 2.500

P13) 9.000

P14) 14.500

P15) 300

P16) Recebe R$ 160.580,00 e lucra R$ 21.080,00

P17) R$ 29.250,00

P18) R$ 416.640,00

P19) 500

P20) 60%

P21)

25

9

P22) R$ 50.000,00

P23) 44%

P24) 60%

P25) 62%

JUROS

"Juro é a remuneração do capital empregado. É a compensação em dinheiro que se recebe quando se emprega uma determinada quantia por um determinado tempo".

39

Quando aplicamos um capital durante um certo período de tempo, esperamos obter um rendimento. Após esse período, o capital se transformará em um valor capitalizado, chamado montante.

"Montante é o capital aplicado acrescido do rendimento obtido durante o período da aplicação. É também chamado valor futuro, valor de resgate ou valor capitalizado".Sejam: C = Capital aplicado ou principalt = Tempo de aplicaçãoi = Taxa porcentualJ = Juro produzido ou rendimentoM = Montante

Observação:

O tempo de aplicação deve estar coerente com a taxa, isto é, se um estiver expresso em anos o outro deve estar também, e assim sucessivamente.

JUROS SIMPLES

"No juro simples a taxa será incidente apenas no valor inicial".

Exemplo:

Empregando R$ 5.000,00 a uma taxa de 10% a.m. a juros simples, qual será o valor resgatado após 3 meses?

Repare que:

C = 5.000t = 3 mesesi = 10%J = ?M = ?

O que se pede no problema é o montante (M), vamos então, estabelecer uma seqüência de rendimentos durante os meses, sabendo que se a aplicação está relacionada com o juros simples devemos empregar a taxa apenas ao valor inicial

(Capital = 5.000): 10% de 5000 = 500

Logo, a seqüência:(5000; 5000 + 500, 5500 + 500, 6000 + 500, ...)(5000; 5500; 6000; 6500; ...)

Pela seqüência podemos concluir que após os três meses de aplicação termos um montante de R$ 6.500,00, tendo rendido R$ 1.500,00 de juros.

Imagine agora se fôssemos calcular o montante obtido após 30 meses. Seria inviável utilizar uma seqüência para a obtenção do montante, portanto utilizaremos para cálculo do Juros Simples, a seguinte fórmula.

Nota: Para a obtenção do montante basta somar o juros

obtido com o capital empregado.

100tiCJ

e M = J + C

Vamos calcular novamente o montante de uma aplicação de R$ 5.000,00 a uma taxa de 10% a.m. durante 3 meses:

100

3105000J =

100

150000= 1500

M = 1500 + 5000 = 6500

Observações:

Para o nosso estudo, designaremos m (minúsculo) e d (minúsculo) para referirmo-nos ao tempo em meses e a dias, respectivamente.

Vamos considerar o ano com 360 dias (ano comercial).

Exercício Resolvido

R1) Seja um capital de R$ 800.000,00, investido durante 4 meses e a taxa de juros simples de 120% a.a.. Calcule:a) O juro obtido.b) O montante.

Resolução:a) Dados:

C = 800.000t = 4 mesesi = 120 % a.a.

Observe que a taxa está em anos e o tempo em meses, portanto devemos converter um deles, é mais conveniente, em geral, transformar o tempo de acordo com a taxa e paratanto podemos utilizar uma regra de três:

Ano Meses 1 12 x 4

Como são grandezas diretamente proporcionais, o cálculo será imediato.Repare que não haveria necessidade da regra de três, uma vez que quatro meses é uma parte do ano e essa

parte nada mais é que 12

4

que é o mesmo que 3

1

.

Logo:

t =

3

1

Substituindo na fórmula:

40

100

tiCJ

=

1003

1120800000 = 320.000

M = J + C = 320.000 + 800.000 = 1.120.000

JUROS COMPOSTOS

"No Juro Composto, os juros gerados são calculados em cima do valor inicial de cada período, sendo incorporado ao montante de cada período".

Exemplo:

Empregando R$ 5.000,00 a uma taxa de 10% a.m. a juros compostos, qual será o valor resgatado após 3 meses?

Repare que:

C = 5.000t = 3 mesesi = 10%J = ?M = ?

Analogamente aos juros simples vamos estabelecer uma seqüência de rendimentos durante os meses, como o juros será calculado em cima do valor inicial de cada período, vamos utilizar um fator de multiplicação para o rendimento de 10% 1,10

A seqüência:(5000; 1,10 . 5000, 1,10 . 5500, 1,10 . 6050, ...)(5000; 5500; 6050; 6655; ...)

Pela seqüência podemos concluir que após os três meses de aplicação termos um montante de R$ 6.655,00, tendo rendido R$ 1.655,00 de juros.

Em geral, utilizaremos a fórmula:

Mt = C (1 + i)t

Vamos calcular novamente o montante de uma aplicação de R$ 5.000,00 a uma taxa de 10% a.m. durante 3 meses:

M3 = 5000 . (1 + 0,10)3 = 5000 . (1,10)3 = 6.655

EXERCÍCIOS - JUROS

P1) Qual o juro produzido por R$ 14.000,00 em três anos, a 5% ao ano?

P2) Calcular o juro de R$ 2.700,00 a 8% ao ano, em 3 anos e 4 meses.

P3) Calcular o juro produzido por R$ 900,00 em 1 ano, 5 meses e 20 dias a 0,8% ao mês.

P4) Calcular o juro de R$ 264,00 em 9 meses a 7% ao ano.

P5) Qual o capital que produz R$ 400,00 de juro ao ano em 1 ano e 8 meses á uma taxa de 1% ao mês?

P6) A que taxa ao ano deve ser empregado o capital de R$ 16.000,00 para produzir R$ 2.520,00 em 2 anos e 3 meses?

P7) O capital de R$ 6.000,00 empregado à 9% ao ano, produziu R$ 810,00 de juro. Durante quanto tempo esteve empregado?

P8) Uma pessoa adquire um automóvel por R$ 18.000,00. O vendedor oferece um abatimento de 5% pelo pagamento à vista. A pessoa, no entan-to, prefere pagar em duas prestações iguais. A primeira 6 meses depois da compra e a outra um ano depois submetendo-se ao pagamento de 7% de juro ao ano. Quanto gastou a mais, adotando o pagamento em prestações?

P9) Certo capital colocado a juro durante 3 anos e 4 meses a 8% ao ano, produziu R$ 720,00 de juro. Qual o capital?

P10) O capital de R$ 900,00 empregado a 0,8% de juro ao mês, produziu R$ 127,00 de juro. Durante quanto tempo esteve empregado?

P11) Um aparelho eletrônico custa R$ 620,00 à vista. Em 5 prestações mensais o preço passa a ser de R$ 868,00. Sabendo-se que a diferença entre os preços é devida ao juros, qual a taxa de juros cobrada ao mês por essa loja?

P12) Quem aplicou R$ 20.000,00 por 2 meses a uma taxa de 10% ao mês vai receber a mesma quantia que quem aplicou R$ 25.000,00 a uma taxa de 8% ao mês pelo mesmo período de tempo. Esta afirmação é VERDADEIRA ou FALSA?

P13) Qual o tempo necessário para que um capital, colocado a 5% ao ano, dobre de valor?

P14) Qual o capital que colocado a 6% ao ano, produz um montante de R$ 100.000,00 no fim de 15 anos?

P15) Qual o montante de R$ 100.000,00 no fim de 10 anos à taxa de 5,5%?

P16) Qual a taxa que esteve empregado o capital de R$ 24.750,00, se ao fim de 60 dias produziu o montante de R$ 24.997,50?

P17) Uma pessoa deposita suas economias no valor de R$ 13.000,00 num banco que paga 5% ao ano. Qual o capital acumulado em 5 anos?

P18) Uma pessoa emprega seu capital a 8% e, no fim de 3 anos e 8 meses recebe capital e juros reunidos no valor de R$ 15.520,00. Qual o capital empregado?

P19) No fim de quanto tempo um capital qualquer aplicado a 5% triplica de valor?

41

P20) Uma pessoa coloca um capital a 4%. No fim de 3 anos retira o capital e juros e coloca o montante a 5%. Ao cabo de 2 anos o novo montante é de R$ 6.160,00. Qual o capital?

GABARITO - JUROS

P1) R$ 2.100,00

P2) R$ 720,00

P3) R$ 127,20

P4) R$ 13,86

P5) R$ 2.000,00

P6) 7% ao ano

P7) 1 ano e 6 meses

P8) R$ 1.845,00

P9) R$ 2.700,00

P10) 1 ano, 5 meses e 20 dias

P11) 8%

P12) sim

P13) 20 anos

P14) R$ 52.631,58

P15) R$ 155.000,00

P16) 1,67% a.d.

P17) R$ 16.250,00

P18) 12.000

P19) 40 unidades de tempo

P20) R$ 5.000,00

EQUAÇÃO DO 1º. GRAU

Observe as sentenças abaixo:

1º) 2 3 + 5 = 112º) 2 4 + 5 = 113º) 2x + 5 = 11

A sentença 1 é verdadeira pois verificamos a igualdade, a 2 é uma sentença falsa pois 2 4 + 5 = 13. Com relação a sentença 3 ela será uma sentença aberta pois não sabemos que valor que o x poderá assumir; que inclusive essa sentença é um caso particular de equação do 1O. grau.

RESOLUÇÃO DA EQUAÇÃO DO 1O. GRAU

Exemplo1:

Resolva, em IR, a equação 2(x - 3) = x - 3.

Resolução:

Aplicando a propriedade distributiva no primeiro membro da igualdade temos:2x - 6 = x - 3 2x - x = 6 - 3 x = 3S = {3}

Observe que para a resolução de uma equação do 1O. grau devemos ter a incógnita isolada no primeiro membro da igualdade.

Exemplo 2:

Resolva, em IR, a equação 14

3

2

.3

xx

.

Resolução:

Pelo método do m.m.c. obtemos:

14

3

2

.3xx 2. 3x - (x + 3) = 4 6x - x - 3 = 4 5x = 7 x =

5

7

5

7V

Exercício Resolvido

1) Determine o número real tal que sua metade menos a sua quinta parte é -6.

Resolução:

número: x

sua metade: 2

x

sua quinta parte: 5

x

Logo, chegamos na equação:

2

x 5

x = 6

Resolvendo

2

x 5

x = 6

10

60

10

25

xx 5x 2x = 60 3x = 60 x = 20

Resposta: O número real é o -20.

EXERCÍCIOS - EQUAÇÃO DO 1O.GRAU

42

P1) Se, num pomar, 12

5

das árvores frutíferas são

mangueiras, 4

1

são laranjeiras, 8

1

são goiabeiras e as 100 restantes são macieiras, qual o total de árvores existentes neste pomar?

P2) Resolva as seguintes equações de 1O. grau: a) 2(x - 1) + 3(x + 1) = 4(x + 2) b) x - 3(4 - x) = 7x - (1 - x) c) 13(2x - 3) - 5(2 - x) = 5(-3 + 6x) d) 3(x + 2) + 2 = 5 + 2(x - 1) + x e) 3(x + 2) = 2(x - 7) + x + 20

P3) Resolva as seguintes equações de 1O. grau:

a ) 5

1

2

3

x

b ) x + 3

x = 2

c ) 2

x +

3

1 =

3

3 x

5

2

d ) 3

1

2

1

xx

P4) Resolva as seguintes equações do 1O. grau:

a) 2

3x +

3

2x = 12

b) 5

32 x 3

11 x=

30

29

c) 2

1(x 2) +

3

1(x + 4) = 0

d) 1 + 4

365 x+

2

2 x = 2 +

2

12x

e) 13

13 x 2

2 x =

5

14 x 3

52 x

P5) O perímetro de um triângulo mede 12 cm. Se as medidas dos lados são números consecutivos, calcule a medida do lado maior.

P6) A diferença entre o triplo de um número e seus três quartos é 81. Qual é o número?

P7) Um número acrescido de sua quarta parte é igual a sua metade somada a 54. Qual é o número?

P8) Um número somado à terça parte de seu sucessor é igual a 31. Qual é o número?

P9) Iza tem hoje 14 anos e Márcia 4 anos. Daqui a quantos anos a idade de Iza será o dobro da idade de Márcia?

P10) Três irmãos têm juntos 72 anos. O mais velho tinha 2 anos quando o segundo irmão nasceu, e este tinha 5 anos quando o mais novo nasceu. Qual a idade de cada um?

P11) Durante os feriados, 40% dos alunos de uma classe foram à praia, 25% para o interior e 14 não saíram da cidade. Quantos alunos tem essa classe?

P12) Um aluno acertou 10

7

do número de questões de uma prova e errou as 30 questões restantes. Quantas questões tinha a prova?

P13) Um comerciante, no final do ano, distribuiu parte de seu lucro entre seus três sócios. O primeiro recebeu

5

2

da parte do lucro mais R$5 000,00; o segundo

recebeu 7

3

da parte mais R$7 000,00; o terceiro recebeu R$9 000,00. Qual foi a parte do lucro distribuída?

P14) Na compra de um objeto gastei 3

2

do dinheiro que tinha e ainda, me sobraram R$40,00. Quanto dinheiro eu tinha?

P15) Pensei em um número multipliquei-o por 4 e adicionei 18 ao resultado. A seguir, dividi a soma encontrada por 2 e encontrei como resultado 18. Em que número pensei?

GABARITO - EQUAÇÃO DO 1O.GRAU

P1) 480 árvores

P2) a) S = {7}

b) S = {4

11}

c) S = {34} d) S = e) S = IR

P3)

a) S = {15

2}

b) S = {2

3}

c) S = {3

22}

d) S = {5}

43

P4)

a) S = {5

59}

b) S = {22

157}

c) S = {5

2}

d) S = {12} e) S = {4}

P5) 5 cm

P6) 36

P7) 72

P8) 90

P9) 6 anos

P10) 20 anos; 25 anos e 27 anos

P11) 40 alunos

P12) 100 questões P13) R$ 122 500,00

P14) R$ 120,00 P15) 4,5 ou

2

9

SISTEMAS DE DUAS EQUAÇÕES DO 1O. GRAU COM DUAS INCÓGNITAS

INTRODUÇÃO

"Uma herança de R$30 000,00 será dividida entre dois irmãos, ficou estabelecido no testamento, que o menino mais novo receberia R$5 000,00 a mais que o outro irmão. Qual a parte que cabe a cada um?" Um problema desse estilo possui duas incógnitas: a parte de cada um. Podemos escreve-lo em linguagem matemática:

Parte do irmão mais novo: xParte do irmão mais velho: y

Sabemos que se somarmos as duas partes, teremos a quantidade total da herança:

x + y = 30 000

Como o irmão mais novo irá receber cinco mil reais a mais, teremos uma diferença nas partes de cinco mil reais, ou seja:

x - y = 5 000

Logo, teremos duas equações, uma relacionando a soma das partes e a outra relacionando a diferença das partes que cabem a cada um dos irmãos.

Podemos transformar o problema num sistema, observe:

5000yx

30000yx

RESOLUÇÃO DE SISTEMAS

Para chegarmos na solução de um sistema de duas equações e duas incógnitas, em geral, temos dois métodos utilizados, o Método da Substituição e o Método da Adição.

MÉTODO DA SUBSTITUIÇÃO

Considerando, ainda, o exemplo ilustrado anteriormente:

25000

130000

yx

yx, chamando a 1a. equação de 1 e a 2a. equação de 2.

1O. Passo:

Isolar uma das incógnitas em qualquer uma das duas equações.

Vamos isolar "x" na equação 2:x - y = 5000 x = 5000 + y

2O.Passo:

Substituir a incógnita isolada na outra equação (aquela que você não usou no 1O. passo).

Substituindo "x" da equação 2, na equação 1:x + y = 30000 5000 + y + y = 30000 5000 + 2y = 30000 2y = 30000 - 5000 2y = 25000 y = 12500

3O.Passo:

Substituir o valor encontrado em quaisquer das duas equações, encontrando o valor da outra incógnita.

Substituindo "y = 12500" na equação 2:x - y = 5000 x - 12500 = 5000 x = 17500

Portanto:

o irmão mais novo irá receber R$ 17 500,00.e o irmão mais velho R$ 12 500,00

MÉTODO DA ADIÇÃO

Outro método utilizado para a resolução de sistemas deste estilo, é o método da adição, e como o próprio nome diz vamos somar uma equação com a outra de

44

tal forma, que ao efetuarmos essa operação, sumiremos com uma das incógnitas encontrando assim uma nova equação do 1O. grau com uma incógnita.

1O.Passo:

Observar os coeficientes das incógnitas, aqueles que apresentarem números opostos numa mesma incógnita, é que será mais conveniente eliminarmos.

No sistema em questão temos para o coeficiente de "y" na primeira equação e o coeficiente de "y" da segunda equação, números opostos (1 e -1).

5000yx

30000yx

2O.Passo:

Caso os coeficientes não sejam números opostos, devemos multiplicar uma das equações por um número que nos auxilie no aparecimento dos opostos.

Em nosso caso não será necessário utilizar esse 2O.Passo.

3O.Passo:

Somar as duas equações, encontrando e resolvendo a equação com uma incógnita.

5000yx

30000yx

somando as duas equações obtemos: x + x + y - y = 30000 + 5000 2x = 35000 x = 17500

4O.Passo:

Substituir o valor encontrado em uma das duas equações, encontrando assim, o valor da outra incógnita.

Vamos substituir "x" em x + y = 30000:

x + y = 30000 17500 + y = 30000 y = 30000 - 17500 y = 12500

Portanto:o irmão mais novo irá receber R$ 17 500,00.e o irmão mais velho R$ 12 500,00

Observação:

No exemplo ilustrado, poderíamos ter ocultado uma das incógnitas, pois quando o enunciado diz que o irmão mais novo irá receber 5000 a mais, podemos dizer que se o irmão mais velho recebe y, então o irmão mais novo irá receber y + 5000, daí encontraríamos apenas uma equação com uma incógnita: y + y + 5000 = 30000 (aquela que relaciona a soma das partes da herança).

ORIENTAÇÃO GERAL PARA A RESOLUÇÃO DE SISTEMAS DO 1O. GRAU

O primeiro passo é observar com atenção o enunciado do problema

Exemplos:

" Paulo tem 38 anos..." trinta e oito anos é um dado do problema. Porém se o problema nos disser "a idade de Paulo, quando eu tinha 18 anos...", 18 anos é um dado, mas a idade de Paulo, talvez não conheceremos, logo, é uma incógnita e, como tal, deve ser representada por uma letra qualquer. Em geral utilizamos as letras "x", "y", "z", etc.

Pode ocorrer que o enunciado faça referência a dois elementos desconhecidos, por exemplo: "a soma de dois números é...", neste caso devemos representar um dos números por "x" e o outro por "y", e escrevemos o enunciado assim: "x + y ="

Transformamos o enunciado em linguagem matemática

Exemplos:

I) Um número qualquer : x II) A terça parte de um número:

3

x

III) O triplo de um número: 3x IV) Um número somado ao seu dobro: x + 2x V) A diferença entre dois números: x - y VI) Um número é igual a terça parte do outro: y =

3

x

VII) Somando um certo número à sua metade: x +2

x

EXERCÍCIOS - SISTEMAS DO 1O. GRAU

P1) A diferença de dois números é 9.Um terço da soma dos números é 17. Encontre os números.

P2) Um número é formado de dois algarismos, cuja soma é 10. Somando-se 54 ao número ele fica escrito em ordem inversa. Qual é o número?

P3) Uma escola tem 565 alunos. O número de meninos diminuído de 25 é igual ao número de meninas aumentado de 60. Quantos são os alunos de cada sexo?

P4) Sobre uma pista circular de 1.200 metros correm 2 ciclistas. Correndo os dois no mesmo sentido, o primeiro encontra o segundo em cada 200 segundos e correndo em sentido contrário, o encontro passa a ser de 100 segundos. Qual a velocidade de cada um?

P5) Um fazendeiro dispõe de uma certa quantia para comprar um certo número de carneiros. Pagando

45

R$ 20,00 por carneiro, faltam-lhe R$ 40,00 e pagando R$ 16,00, sobram-lhe R$ 20,00. Quanto possui e quantos carneiros poderá comprar?

P6) Em uma cesta há laranjas e limões, sendo o número de limões os 3/4 do número de laranjas, tirando-se 5 laranjas, ficam na cesta tantas laranjas quanto limões. Quantas laranjas e quantos limões há na cesta?

P7) O perímetro de um retângulo mede 234 metros. Calcular sua área, sabendo-se que as medidas (em metros) das duas dimensões (comprimento e largura) são dois números consecutivos.

P8) Um automóvel parte de Brasília e corre com a velocidade média de 48 km/h. Depois de 3 horas par um outro que alcança o primeiro 8 horas após. Qual a velocidade média do segundo automóvel?

P9) Dois automóveis distantes 600 quilômetros partem, ao mesmo tempo, um em direção ao outro, com as velocidades de 56 km/h e 64 km/h. Depois de quanto tempo e a que distâncias dos pontos de partida dar-se-á o encontro?

P10) Um homem e uma mulher bebem um barril de vinho em 12 dias. Quando o homem está ausente, a mulher tem vinho para 30 dias. Quantos dias gastará o homem para beber o barril de vinho sozinho?

P11) Dois jogadores A e B, jogam a R$ 2,50 a partida. Antes de iniciarem o jogo, A possuía R$ 66,00 e B R$ 29,00, depois do jogo, A possuía o quádruplo do que possuía B. Quantas partidas A ganhou a mais que B?

P12) Em um concurso público, foi realizada uma prova com 41 questões. Esta prova foi dividida em duas partes. Na primeira parte da prova havia x questões, valendo 2 pontos cada uma. Na Segunda parte havia y questões, valendo 3 pontos cada. A prova valia 100 pontos. Quantas questões havia em cada prova?

P13) Paulo participou de um concurso público que tinha 20 questões em cada questão que acertava ganhava 5 pontos e em cada questão que errava perdia 2 pontos. Ao terminar a prova havia conseguido 65 pontos. Quantas questões acertou?

P14) Uma classe tem meninos e meninas. Se um menino faltar, os meninos serão o dobro das meninas. Se em vez disso, faltarem 6 meninos, haverá um mesmo número de meninos e meninas na classe. Determinar quantos são os alunos (meninos e meninas) da classe.

P15) Um comerciante pesou três sacos de arroz. O primeiro e o segundo sacos, juntos, têm 110 quilogramas. O primeiro e o terceiro, juntos, têm 120 quilogramas e o segundo e o terceiro, juntos, têm 112 quilogramas. Quantos quilogramas havia em cada saco?

P16) Em certa escola há 70 professores, contando-se aí homens e mulheres. Se a metade do número de

mulheres é igual ao triplo do de homens, quantos são os homens?

P17) Determine dois números cuja soma é 110 e cuja diferença é 30.

P18) No estacionamento de um supermercado há 27 veículos com 84 rodas, contando-se os automóveis e bicicletas. Quantos veículos há de cada espécie?

P19) José Carlos e Luís Augusto ganham juntos R$ 1265,00 por mês. Se o primeiro recebe R$ 325,00 mais que o segundo, qual é o salário de cada um?

P20) Em certo jogo de futebol uma entrada para arquibancada custava R$ 1,00 e para cadeira numerada custava R$ 3,00. O jogo foi visto por 1575 pessoas e deu renda de R$ 2695,00. Quantas pessoas usaram a arquibancada?

P21) Numa fazenda existem patos e porcos, num total de 22 cabeças e 58 pés. Determine o números de patos que existem nesta fazenda.

P22) Eu tenho um total de 25 moedas, entre moedas de R$ 0,25 e R$ 0,50 totalizando R$ 9,50. Qual o número de moedas de R$ 0,50?

GABARITO - SISTEMAS DO 1O. GRAU

P1) 21 e 30

P2) 28

P3) 240 meninas e 325 meninos

P4) 9 e 3m/s

P5) R$ 260,00

P6) 20 e 15

P7) 3422m2

P8) 66 km/h

P9) 5h, 280km e 320 km

P10) 20 dias

P11) 4 partidas

P12) 23 na 1ª parte e 18 na 2ª parte

P13) 15

P14) 11 meninos e 5 meninas

P15) O 1º saco tem 59 kg, o segundo saco tem 51 kg, o 3º saco tem 61 kg.

P16) 10 homens e 60 mulheres

P17) 70 e 40

P18) 12 bicicletas e 15 automóveis

46

P19) José Carlos: R$ 795,00Luíz Augusto: R$ 470,00

P20) 1 015 pessoas

P21) 15 patos

P22) 13 moedas de R$ 0,25

EQUAÇÃO DO 2O. GRAU

"É toda sentença aberta, em x, redutível ao tipo ax2 + bx + c = 0, com a IR*, b IR e c IR."

RESOLUÇÃO - EQUAÇÃO DO 2º. GRAU

1O. CASO b = 0 e c 0

Exemplo1:

2x2 - 8 = 0Resolução análoga à resolução de uma equação do 1O. grau, observe:

2x2 - 8 = 0 2x2 = 8 x2 = 4 x = ± 4 x = ± 2S = {2; -2}

2O. CASO b 0 e c = 0

Exemplo2:

x2 - 4x = 0Utilizando a fatoração:

x2 4x = 0 x(x 4) = 0

04

0

x

ou

x x = 0 ou x = 4

S = {0; 4}

CASO GERAL "FÓRMULA DE BHASKARA"

Exemplo3:

x2 - 5x + 6 = 0Para a resolução desta equação utilizaremos a fórmula de Bhaskara e paratanto vamos retirar os coeficientes da equação:

x2 5x + 6 = 0

6

5

1

c

b

a

substituindo...= b2 - 4ac = (5)2 4.1.6 = 25 24 = 1 x =

a

b

2 x =

12

15

x = 2

15

22

4

2

15

32

6

2

15

x

x S = {2; 3}

Observação:

Sendo S o conjunto-solução de uma equação do 2O. grau do tipo ax2 + bx + c = 0, conclui-se que: > 0 S =

a

b

a

b

2;

2

Duas raízes reais e distintas

= 0 S =

a

b

2

Uma raiz real ou duas raízes idênticas

< 0 S =

Não há solução real

Exercícios Resolvidos

1) Do quadrado de um número real vamos subtrair o quádruplo do mesmo número. O resultado encontrado é 60. Qual é esse número?

Resolução:

quadrado do número: x2

quádruplo do número: 4xEquação: x2 - 4x = 60Normalizada: x2 - 4x - 60 = 0Resolvendo com o auxílio da fórmula de Bhaskara, obteremos como solução 10 e -6, logo o número real descrito poderá ser o 10 ou o -6.

2) Determine os valores de m para que a função quadrática [f(x) = x2 + (3m + 2)x + (m2 + m + 2) tenha um zero real duplo.

Resolução:

Ter um zero real duplo significa que a equação tenha duas raízes reais e idênticas, ou seja, = 0, logo:

b2 - 4ac = 0 (3m + 2)2 - 4.1.(m2 + m +2) = 0

47

Desenvolvendo o quadrado perfeito e aplicando a propriedade distributiva9m2 + 12m + 4 - 4m2 - 4m - 8 = 05m2 + 8m - 4 = 0com o auxílio da fórmula de Bhaskara

PROBLEMAS DO 2º GRAU

É todo problema que pode ser resolvido por meio de uma equação ou por meio de um sistema de equações do 2º grau.Procedimentos: 1º) Determinamos a equação ou o sistema de equações correspondentes.2º) Resolvemos a equação ou o sistema.3º) Interpretamos a solução encontrada.

Exemplo1:

O quadrado de um certo número, mais uma unidade, é igual a 10.

Determinar esse número.

Seja x o número procurado. O quadrado desse número é x2. A equação resultante é x2 + 1 = 10

Resolvendo a equação, temos: x2 = 9 x = ± 3

Analisando a solução encontrada, verificamos que as duas raízes satisfazem ao problema. Logo os números procurados são 3 e -3.

Exemplo2:

O quadrado da idade de Roberto, menos o seu quíntuplo é igual a 84. Qual a idade de Roberto?

Seja x a idade de Roberto. O quadrado da idade é x2. O quíntuplo da idade é 5x. A equação resultante é:x2 - 5x = 84 ou x2 - 5x - 84 = 0

Resolvendo a equação, obtemos: x1 = 12 e x2 = -7

Ao interpretarmos a solução encontrada verificamos que somente a raiz positiva satisfaz ao problema. Portanto a idade de Roberto é 12 anos.

EXERCÍCIOS - EQUAÇÕES DO 2O. GRAU

P1) A soma de dois números é 207. O maior deles supera o menor em 33 unidades. Quais são os dois números?

P2) A soma de um número real com o seu quadrado dá 30. Qual é esse número?

P3) Do quadrado de um número real vamos subtrair o quádruplo do mesmo número. O resultado encontrado é 60. Qual é esse número?

P4) Sabe-se que Junior tem 5 anos a mais que Hudson e que o quadrado da idade de Junior está para o quadrado da idade da idade de Hudson assim como 9 está para 4. Qual é a idade de Junior e qual a idade de Hudson?

P5) A diferença entre o quadrado e o triplo de um número real é igual a 4. Qual é esse número?

P6) O produto de um número inteiro positivo pelo seu consecutivo é 20. Qual é esse número?

P7) A medida da base de um triângulo é de x cm. A altura mede (x + 2) cm. Ache essas medidas, sabendo que a área desse triângulo é igual a 12 cm2.

P8) A classe de Flávio Betiol vai fazer uma excursão ao Rio de Janeiro, para comemorar a formatura da 8ª série. A despesa total seria de R$3.600,00. Como 6 alunos não poderão ir ao passeio, a parte de cada um aumentou em R$ 20,00. Quantos alunos estudam na classe de Flávio Betiol?

P9) O quadrado de um número estritamente positivo adicionado com o seu dobro é igual ao quadrado do seu triplo. Qual é esse número?

P10) A metade de um número positivo somado com o dobro do seu quadrado é igual ao quádruplo do número. Qual é o número?

P11) O quadrado da idade de Reinivaldo menos o quíntuplo de sua idade é igual a 104. Qual é a idade de Reinivaldo?

P12) Subtraímos 3 do quadrado de um número. Em seguida, calculamos a soma de 7 com o triplo desse mesmo número. Nos dois casos, obtemos o mesmo resultado. Qual é esse número, se ele é um número natural?

GABARITO - EQUAÇÃO DO 2O. GRAU

P1) O número menor é 87, o maior é 120.

P2) O número procurado é 5 ou - 6

P3) O número procurado é 10 ou - 6

P4) -2 não convém pois pede-se idades Hudson = 10 anos e Junior = 15 anos

P5) 4 ou -1

P6) 4

P7) base = 4cm e altura = 6cm

P8) 36 alunos

P9) 1

48

P10)

4

7

P11) 13 anos

P12) 5

FUNÇÕES

INTRODUÇÃO

Uma determinada gráfica imprime apostilas para concursos públicos. O custo de cada apostila varia em função da quantidade de páginas a serem impressas. Vamos supor que cada página tenha o custo de R$ 0,07 e para cada apostila confeccionada ainda há um custo fixo de R$ 5,00 relacionado com a capa, plastificação etc. Observe a tabela abaixo que relaciona o preço de cada apostila montada em função da quantidade de páginas impressas:

Páginas Preço 50 R$ 8,50 70 R$ 9,90 100 R$ 12,00 200 R$ 19,00

É impossível até estabelecermos uma fórmula que relacione a quantidade de páginas impressas (x) e o preço (y) de cada apostila:

y = 0,07x + 5

Este é um exemplo de função, observe que para cada valor de x encontramos um único valor de y, podemos dizer então que y é função de x, isto é, y está em função de x, e outra forma de escrevermos a mesma fórmula é:

f(x) = 0,07x + 5

Se uma pessoa interessada em editar suas apostilas nesta gráfica quisesse saber o quanto deveria desembolsar para confeccionar uma apostila com 300 páginas, ela poderia simplesmente substituir x = 300, na expressão acima:

f(300) = 0,07300 + 5 = 21 + 5 = 26

Logo, o valor que iria desembolsar seria de R$ 26,00 por apostila impressa.

DEFINIÇÃO

Seja f uma relação entre dois conjuntos A e B, diz-se que f é uma função de A em B e indica-se por f: A B, se e somente se para cada elemento de x A exista um único elemento y B.

O conjunto A é chamado de domínio da função e o conjunto B é chamado de contra-domínio e os elementos de B que estão relacionados com os de A fazem parte do conjunto imagem da função.

RECONHECENDO UMA FUNÇÃO

PELOS DIAGRAMAS

Exemplo1:

Observe as relações abaixo entre os conjuntos A e B dizendo em cada item se são ou não função, em caso afirmativo, encontre o seu domínio (Df), contra-domínio (CDf) e conjunto imagem (Imf) das funções identificadas.

a)

Esta relação é uma função, pois cada elemento de A está relacionado com apenas um de B.

Df = {0, 1}CDf = {0, 5, 10, 20}Imf = {0, 5}

b)

Esta relação não é uma função, pois existe um elemento de A que não se relaciona com nenhum de B.

c)

49

Esta relação é uma função, pois cada elemento de A está relacionado com apenas um de B, e não existe nenhuma elemento de A sobrando.

Df = {-1, -2, 2, 1}CDf = {1, 2, 3, 6, 7}Imf = {1, 7}

d)

Esta relação não é uma função, pois existe um elemento de A que se relaciona com dois de B.

Observação: Repare que podemos ter um elemento do contra-domínio relacionado com dois do domínio, e ainda, pode haver sobras de elementos no contra-domínio.

PELOS GRÁFICOS

Exemplo2:Identifique quais dos gráficos abaixo

representam funções, em caso afirmativo determine o Domínio e a Imagem de cada uma das funções identificadas.

a)

Este gráfico representa uma função, as retas verticais pontilhadas "cortam" o gráfico em apenas um ponto.Logo, cada elemento x estará relacionado com apenas um y.

Df = {x IR / 3 x 3} Eixo xImf = {y IR / 5 y 6} Eixo y

b)

Este gráfico não representa uma função, pois observe que as retas pontilhadas "cortam" em mais de um ponto o gráfico.

c)

Este gráfico representa uma função, as retas verticais pontilhadas "cortam" o gráfico em apenas um ponto.Logo, cada elemento x estará relacionado com apenas um y.Df = {xIR / -2 < x 8} Eixo xImf = {y IR / 7 y 1} Eixo y

Exercícios Resolvidos 1 ) Se f(x) = 2x + 3x2 - 7x, encontre o valor de:

f() - f(1) + f(2)Resolução:

f(0) = 20 + 3(0)2 - 7(0) = 1f(1) = 21 + 3. (1)2 - 7.(1) = 2 + 3 - 7 = -2f(2) = 22 + 3.22 - 7.2 = 4 + 12 - 14 = 2

Logo: f(0) - f(1) + f(2) = 1 - (-2) + 2 = 5

2 ) Um pedreiro vai ladrilhar uma sala de 3m ´ 3m com ladrilhos quadrados, todos iguais entre si. Se ele pode escolher ladrilhos com lados iguais a 10cm, 12cm, 15cm, 20cm, 25cm e 30cm, qual é o número de ladrilhos que usará em cada caso?

Resolução:Para sabermos a quantidade de ladrilhos que serão utilizados, basta dividir a área total da sala pela área de um ladrilho, portanto podemos chegar na seguinte função que relaciona a quantidade de ladrilhos (y) em função da dimensão (x) de cada ladrilho:

y = L

T

S

S =

2x

33= 2x

9 y =

2x

9

50

É importante ressaltar que a área de cada ladrilho deve estar em m2, isto é, a dimensão x deve ser dada em metros.Observe a tabela que relaciona cada ladrilho com a quantidade necessária para cobrir a sala:

x (m) 0,10 0,12 0,15 0,20 0,25 0,30 Y 900 625 400 225 144 100

EXERCÍCIOS - FUNÇÕES

P1) A tabela abaixo indica o custo de produção de certo número de peças de automóvel:

Peças custos 1 1 2 4 3 9 4 16 5 25 6 36

Observando a tabela responda:

a) Qual é o custo da produção de 3 peças?b) Qual é o número de peças produzidas com R$ 25,00?c) Qual a lei que representa o custo c da produção em função do número de peças n?d) Com relação ao item anterior, qual o número máximo de peças produzidas com R$ 1 000,00?

P2) O número y de pessoas (em milhares) que tomam conhecimento do resultado de um jogo de futebol, após

x horas em sua realização, é dado por x10y . Responda:a) Quantas pessoas já sabem o resultado do jogo após 4 horas?b) Quantas pessoas já sabem o resultado do jogo em 1 dia?c) Após quantas horas de sua realização, 30 mil pessoas tomam conhecimento do resultado do jogo?

P3) A velocidade média de um automóvel em uma estrada é de 90km/h. Responda:a) Qual é a distância percorrida pelo automóvel em 1hora? E em 2 horas?b) Em quanto tempo o automóvel percorre a distância de 360 km?c) Qual é a expressão matemática que relaciona a distância percorrida (d) em função do tempo (t)? (d em quilômetros e t em horas)

P4) Um professor propõe à sua turma de 40 alunos um exercício-desafio, comprometendo-se a dividir um prêmio de R$ 120,00 entre os acertadores. Sejam x o número de acertadores (x = 1, 2, 3, .., 40) e y a quantia recebida por cada acertador (em reais). Responda:a) y é função de x? Por quê?b) Quais os valores de y para x = 2, x = 8, x = 20 e x = 25?c) Qual é o valor máximo que y assume?d) Qual é a lei de correspondência entre x e y?

P5) Qual é a notação de cada uma das seguintes funções de IR em IR?a) f associa cada número real ao seu dobro.b) g associa cada número real ao seu quadrado.c) h associa cada número real ao seu triplo menos 1.

P6) Qual é a notação de cada uma das seguintes funções?a) f é a função de IR* em IR* que associa cada número real ao seu inverso.b) g é a função de IN em IN que associa cada número natural ao quadrado de seu sucessor.

P7) Sendo f uma função de Z em Z definida por f(x) = 2x + 3. Calcule:a) f(0) b) f(1) c) f(-2)

P8) Seja f: IR IR definida por f(x) = x2 - 5x + 4. Calcule:a) f(1) b) f(2) c) f(-1)

P9) Seja f: IR IR definida por f(x) = x2 - 3x + 4. Calcule:

a) f2

1 b) f(3) c) f(1 2) d) f(2p)

P10) Os diagramas de flechas dados representam relações binárias. Pede-se, para cada uma:a) dizer se é ou não uma função;b) em caso afirmativo, determinar o domínio, o contradomínio e o conjunto-imagem da mesma.

I-)

II-)

III-)

IV-)

51

V-)

VI-)

P11) Observe os gráficos abaixo:

Podemos afirmar que:a) todos os gráficos representam funções;b) os gráficos I, III e IV representam funções;c) apenas o gráfico V não representa uma função;d) os gráficos I, II, III e IV representam funções;e) apenas o gráfico II não representa função.

P12) As funções f e g são dadas por:

f(x) = 5

3x 1 e g(x) =

3

4x + a

Sabe-se que f(0) g(0) = 3

1.O valor de f(3) 3.g5

1 é:

a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4

P13) A função y = f(x) é representada graficamente por:

Através da análise do gráfico, encontre:a) Domínio da função (Df);b) Imagem da função (Imf);c) f(3);d) o valor de x tal que a função seja nula.

P14) Uma função f de variável real satisfaz a condição f(x + 1) = f(x) + f(1) qualquer que seja o valor da variável x. Sabendo-se que f(2) = 1, pode-se concluir que f(3) é igual a:

a) 4

1 b) 2

1 c) 2

3 d) 2 e) 2

5

GABARITO - FUNÇÕES

P1) a) R$ 9,00 b) 5 c) c = n2d) 31

P2) a) 20 mil b) 48 989 c) 9 horas

P3) a) 90 km; 180 km b) 4 horas c) d = 90t

P4) a) Sim, pois a cada valor de x corresponde um único valor de y.

b) x = 2 y = 60, x = 8 y = 15, x = 20 y = 6 x = 20 y = 6 e x = 25 y = 4,8

c) 120 d) y = x

120

P5) a) f: IR IR f(x) = 2x

b) g: IR IR g(x) = x2

a) h: IR IR h(x) = 3x 1

P6) a) f: IR* IR

f(x) = x

1

b) g: IN IN

52

g(x) = (x + 1)2

P7) a) 3 b) 5 c) 1

P8) a) 0 b) 2 c) 10

P9)

a) 4

11 b) 7 33 c) 2+ 4

d) 4p2 6p + 4

P10) I-) Não é função II-) Não é funçãoIII-) é função: Df = {1, 2, 3}

CDf = {1, 2, 3, 4, 5}Imf = {1, 2, 3}

IV-) é função: Df = {1, 2, 3}, CDf = {1, 2}, Imf = {1, 2}

V-) é função: Df = {1, 2, 3}, CDf = {0}Imf = {0}

VI) Não é função.

P11) B

P12) E

P13) a) Df = {x IR / 2 < x 4} b) Imf = {y IR / 0 < x < 4} c) f(3) = 4 d) x = 0

P14) CFUNÇÃO DO 1o. GRAU

INTRODUÇÃO

Larissa toma um táxi comum que cobra R$ 2,60 pela bandeirada e R$ 0,65 por quilômetro rodado. Ela quer ir à casa do namorado que fica a 10 km de onde ela está. Quanto Larissa vai gastar de táxi? Ela terá que pagar 10 R$ 0,65 pela distância percorrida e mais R$ 2,60 pela bandeirada, ou seja 6,50 + 2,60 = R$ 9,10.Se a casa de seu namorado ficasse a 17 km dali, o preço da corrida (em reais) seria:0,65 17 + 2,60 = 13,65

Enfim, para cada distância x percorrida pelo táxi há um certo preço p(x) em função de x:

p(x) = 0,65x + 2,60

que é um caso particular de função polinomial do 1º. grau, ou função afim.

DEFINIÇÃO

"Toda função polinomial representada pela fórmula matemática

f(x) = a.x + b ou y = a.x + b, com a IR, b IR e a0, definida para todo real, é denominada função do 1º grau."

Na sentença matemática y = a.x + b, as letras x e y representam as variáveis, enquanto a e b são

denominadas coeficientes.

Assim são funções do 1º grau: f(x) = 2.x +3 (a = 2 e b = 3) y = -3.x (a = -3 e b = 0)

Observações:

1º.) No caso de a 0 e b 0, a função polinomial do 1º grau recebe o nome de função afim. 2º.) No caso de a 0 e b = 0, a função polinomial do 1º grau recebe o nome de função linear.

Exercício Resolvido

1) Dada a função f(x) = ax + b sendo f(1) = 3 e f(2) = 9, qual o valor de f(0)?

Resolução:

f(1) = 3 a.(1) + b = 3f(2) = 9 a.(2) + b = 9

Chegamos no sistema de duas equações e duas incógnitas:

92

3

ba

ba, resolvendo o sistema obtemos

a = 6 e b = - 3, logo:f(x) = 6x - 3 f(0) = 6.(0) - 3 f(0) = - 3

GRÁFICO DA FUNÇÃO DO 1O. GRAU

Seja a função do 1O. grau f(x) = ax + b, o gráfico desta função é uma reta:

Nota:

"Denomina-se zero ou raiz da função f(x) = ax + b o valor de x que anula a função, isto é, torna f(x) = 0."

O ponto onde o gráfico "corta" o eixo y será sempre (0, b), onde b é o coeficiente da função.

ANÁLISE DOS GRÁFICOS:

Gráfico 1: Gráfico de uma função crescente onde teremos o coeficiente a > 0.

Gráfico 2: Gráfico de uma função decrescente onde

53

teremos o coeficiente a < 0.

Exemplo1:

Vamos construir o gráfico da função y = 3x - 9: Como o gráfico é uma reta, basta obter dois de seus pontos e liga-los com o auxílio de uma régua. (Ou ainda, podemos observar que precisamos obter a raiz da função e o coeficiente b

Raiz:

3x 9 = 0 3x = 9 x = 3

9 x = 3

Logo, já sabemos que o ponto (3, 0) é o ponto de intersecção do gráfico com o eixo x.

Coeficiente b:

Da lei de formação da função b = -9Logo, sabemos que o ponto (0, -9), nos dará a intersecção do gráfico com o eixo y.

Gráfico:

Exemplo2:

Vamos construir o gráfico da função y = -2x + 4:Analogamente ao exemplo 1, obteremos a raiz da função e seu coeficiente b.

Raiz:

-2x + 4 = 0 -2x = - 4 x = 2

Coeficiente b:

Da lei de formação b = 4

SINAL DA FUNÇÃO DO 1O. GRAU

Estudar o sinal de uma função qualquer é determinar

para quais valores de x a função é positiva, ou seja, y > 0; para quais valores de x a função é zero, ou seja, y = 0; e, para quais valores de x a função é negativa, ou seja, y < 0.Considere a função f(x) = ax + b, ou seja, y = ax + b; vamos estudar o sinal da função.

1O. Caso) a > 0 Função Crescente

y > 0 x > a

b

y < 0 x < a

b

2O. Caso) a < 0 Função Decrescente

y > 0 x < a

b

y < 0 x > a

b

INEQUAÇÃO DO 1º. GRAU

A resolução de inequações do 1º. grau é análoga a resoluções de equações do 1º. grau, observe:

Inequação:

4(x + 1) 5 2x + 6 4(x + 1) 5 2x + 6 4x + 4 5 2x + 6 4x 2x 6 4 + 5 2x 7

x 2

7

54

S = {x IR / x 2

7}

Exercício Resolvido

1) Obtenha o conjunto domínio da função representada por:

f(x) = x

x

21

1

.

Resolução:

Para obter o domínio de uma função basta verificar quando ela vai existir, ou seja, neste caso, temos uma raiz quadrada, então devemos impor que o radicando seja não negativo, isto é:

x

x

21

1

0

Obtemos uma inequação do tipo quociente, para a resolução da mesma devemos estudar o sinal do numerador e denominador:v Estudo do sinal do numerador

x + 1 = 0 x = -1

Estudo do sinal do denominador

1 2x = 0 2x = 1 x = 2

1

O próximo passo é estudar o sinal do quociente entre as duas funções e paratanto faremos uso do "quadro de sinais":

Quadro de Sinais

Assim o domínio da função é:

D = { x IR / 1 x < 2

1}

EXERCÍCIOS - FUNÇÃO DO 1O. GRAU

P1) Uma empresa aérea vai vender passagem para um grupo de 100 pessoas. A empresa cobrará do grupo 2 000 dólares por cada passageiro embarcado, mais 400 dólares por cada passageiro que não embarcar. Pergunta-se:a) Qual a relação entre a quantidade de dinheiro arrecadado pela empresa e número de passageiros embarcados?b) Quanto arrecadará a empresa se só viajarem 50 passageiros?c) Quantos passageiros viajarão se a empresa só conseguir arrecadar 96 000 dólares?

P2) Um padeiro fabrica 300 pães por hora. Considerando esse dado, pede-se:a) a função que representa o número de pães fabricados (p) em função do tempo (t);b) quantos pães são fabricados em 3 horas e 30 minutos?

P3) Um motorista de táxi, em uma determinada localidade, cobra uma quantia mínima fixa de cada passageiro, independentemente da distância a ser percorrida, mais uma certa quantia, também fixa, por quilômetro rodado. Um passageiro foi transportado por 30km e pagou R$32,00. Um outro passageiro foi transportado por 25km e pagou R$27,00. Calcule o valor de reais cobrado por quilômetro rodado.

P4) Uma função f afim é tal que f(-1) = 3 e f(1) = 1. Determine o valor de f(3).

P5) Resolva, em IR, as seguintes inequações:a) 3x - 4 x + 5b) 19 - 17x - 4 + xc) 5 - 3x > 7 - 11xd) 3 - x -1 + x

P6) Resolva, em IR, as inequações:

a) 2

12

x

x> 0 b)

x

x

23

23

< 0 c)

15

43

x

x 0

55

P7) O gráfico abaixo representa a de IR em IR dada por f(x) = ax + b (a, b Î IR). De acordo com o gráfico, conclui-se que:

a) a < 0 e b > 0b) a < 0 e b < 0c) a > 0 e b > 0d) a > 0 e b < 0e) a > 0 e b = 0

P8) O gráfico da função f(x) = mx + n passa pelos pontos (-1, 3) e (2, 7). O valor de m é:

a) 3

4 b) 3

5 c) 1 d) 2 e) 3

P9) Numa escola é adotado o seguinte critério: a nota da primeira prova é multiplicada por 1, a nota da segunda prova é multiplicada por 2 e a nota da terceira prova é multiplicada por 3. Os resultados, após somados, são divididos por 6. Se a média obtida por este critério for maior ou igual a 6,5 o aluno é dispensado das atividades de recuperação.Suponha que um aluno tenha tirado 6,3 na primeira prova e 4,5 na segunda prova. Quanto precisará tirar na terceira prova para ser dispensado da recuperação?

GABARITO - FUNÇÃO DO 1O.GRAU

P1) a) Sendo x a quantidade de passageiros embarcados e Q a quantidade de dinheiro arrecadado, temos Q = 1600x + 40 000 b) 120 000 dólares c) 35 passageiros

P2) a) p = 300 t b) 1050 pães

P3) R$ 1,00

P4) 1

P5) a) S = {x IR x 2

9 }

b) S = {x IR x > 18

23 }

c) S = {x IR x > 4

1 }

d) S = {x IR x 2}

P6) a) S = {x IR x < 2 ou x > 2

1}

b) S = {x IR x < 3

2 ou x >

2

3}

c) S = {x IR 5

1 < x

4

3}

P7) A

P8) A

P9) No mínimo 7,9

FUNÇÃO DO 2O. GRAU

INTRODUÇÃO

Uma empresa de táxis fez uma análise de custos operacionais e chegou à seguinte conclusão:Para cada automóvel, ela tem:

a) um ganho fixo de R$ 8,00 na bandeirada.b) um ganho calculado como o quadrado da

distância percorrida (em km).c) uma despesa de R$ 6,00 por quilômetro rodado,

relativa a combustível, manutenção, taxas e impostos, salários, etc.

1) Vamos escrever a função que relaciona o lucro dessa empresa com a distância percorrida, para cada automóvel. Chamemos de x a distância percorrida e de y o lucro total da empresa para cada automóvel:

y = 8 + x2 - 6x y = x2 -6x + 8

2) Analisando essa função, descobriu-se que, dependendo da distância percorrida, o táxi poderia dar lucro ou prejuízo, observe a tabela abaixo:

Tabela

x y 0 8 1 3 2 0 3 -1 4 0 5 3 6 8

Notas:Observe que quando o táxi percorre 2km e 4km, não há prejuízo e nem lucro.Se o táxi percorre 3km, há um prejuízo de R$1,00.Os maiores lucros, de acordo com os dados da tabela, são obtidos se o táxi não andar (em caso do passageiro só pagar a bandeirada), ou se o táxi percorrer 6km.

3) Para uma melhor visualização do lucro da empresa

56

variando de acordo com a distância percorrida foi feito o gráfico abaixo representando a distância percorrida no eixo x (em km) e no eixo y o lucro obtido (em reais).

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 X

Notas: De acordo com o gráfico podemos observar que:

Para distâncias percorridas menores que 2km ou maiores que 4km o táxi dá realmente lucro:

x < 2 ou x > 4Para distâncias percorridas entre 2km e 4km o táxi

dá prejuízo:2 < x < 4Se o táxi percorrer 2km ou 4km o táxi não dará nem

lucro nem prejuízo:x = 2km ou x = 4kmA função representada pelo gráfico é uma função do

2O. grau e o gráfico ilustrado é uma parábola.

DEFINIÇÃO

denomina-se função do 2º grau ou função quadrática".

GRÁFICO DA FUNÇÃO DO 2O. GRAU

Para toda função do 2O. grau temos o gráfico sendo uma parábola, assim como na função do 1O. grau. Entretanto aqui, os pontos mais importantes serão: intersecção com o eixo y: (0; c) o coeficiente c nos "diz" onde o gráfico "corta" o eixo y. zeros (ou raízes) da função: (x1; 0) e (x2; 0) onde o gráfico se intercepta o eixo x; para a obtenção das raízes da função devemos resolver uma equação do 2O. grau obtida através da própria função. vértice da parábola: (xv, yv) são os pontos de máximo ou de mínimo da função.

VÉRTICE DA PARÁBOLA

Para o cálculo das coordenadas do vértice da parábola utilizaremos as fórmulas a seguir:V(xv , yv)

2a

bvx

4a

Δvy

Em geral, a parábola poderá estar em posições distintas no que se refere aos eixos coordenados, observe a tabela a seguir:

Observações:

De acordo com o coeficiente a e o discriminante numa função do 2O. grau, podemos tirar algumas conclusões a respeito da posição da parábola:

A parábola poderá ter a concavidade voltada para cima (a > 0) ou para baixo (a < 0).

O gráfico poderá interceptar o eixo x em dois pontos ( > 0 - duas raízes distintas), ou em um único ponto ( = 0 - uma única raiz) ou ainda não interceptar o eixo x ( > 0 - a função não possui raízes reais).

Exemplo1:

Façamos o esboço do gráfico da função y = 2x2 - 5x + 2:

Características:

57

concavidade voltada para cima: a = 2 > 0 zeros (ou raízes): 2x2 - 5x + 2 = 0

Resolvendo a equação, obtemos:

x1 = 2

1

ou x2 = 2

89

,45

4aΔ

,2ab

Vparábola da vértice

intersecção com o eixo y: (0, c) = (0, 2)

Gráfico:

Exemplo 2:

Façamos agora, o esboço do gráfico da função y = x2 - 2x + 1:

Características:

concavidade voltada para cima: a = 1 > 0 zeros (ou raízes): x2 - 2x + 1 = 0

Resolvendo a equação, obtemos:x1 = x2 = 1 (raiz dupla)

(0,1)c)(0, : yeixo como ointersecçã

(1,0)4a

Δ,

2a

b V:parábola da vértice

Gráfico:

Exemplo3:

Façamos por fim, o esboço do gráfico da função y = -x2

- x - 3:

Características:

concavidade voltada para baixo: a = 1 < 0

zeros (ou raízes): x2 2x + 1 = 0 não existe x IR, pois < 0

3) (0,-c)(0, : yeixo como ointersecçã

4

11 - ,

2

1-

4a

Δ - ,

2a

b- V:parábola da vértice

Gráfico:

SINAL DA FUNÇÃO QUADRÁTICA

Considere a função quadrática y = f(x) = ax2 + bx + c, vamos determinar para quais valores de x temos a função positiva (y > 0), função negativa (y < 0) ou a função nula (y = 0).

Na tabela a seguir temos as posições relativas e os sinais de acordo com os eixos coordenados, o discriminante (D) e o coeficiente a.

Exercícios Resolvidos

R1) Estude o sinal das funções abaixo:a) y = x2 - 3x - 10.b) y = -x2 + 6x - 9

58

c) y = x2 + 7x + 13

Resolução:

a)1O.) Raízes: x2 - 3x - 10 = 0 x1 = -2 ou x2 = 5

2O.) Esboço:

3O.) Estudo do Sinal:y > 0 x < -2 ou x > 5y = 0 x = - 2 ou x = 5y < 0 -2 < x < 5

b)1O.) Raízes: -x2 + 6x - 9 = 0 x1 = x2 = 3

2O.) Esboço:

3O.) Estudo do Sinal:y > 0 não existe xIR y = 0 x = 3y < 0 x < 3 ou x > 3

c)1O.) Raízes: x2 + 7x + 13 = 0 < 0 (não existe x real)

2O.) Esboço:

3O.) Estudo do Sinal:y > 0 x IRy = 0 não existe x realy < 0 não existe x IR

INEQUAÇÕES DO 2O. GRAU

Vamos aplicar o estudo do sinal de uma função quadrática na resolução de inequações.Utilizaremos como exemplo o item a do exercício R1:y = x2 - 3x - 10Uma inequação que podemos formar:x2 - 3x - 10 > 0Para a resolução desta inequação basta considerarmos o estudo do sinal para a y > 0, ou seja:

Geometricamente:

Observações: Se tivéssemos uma inequação do tipo x2 3x 10

0, a solução seria S = {x IR / x 2 ou x 5} e o esboço ficaria da seguinte forma:

Agora os valores -2 e 5 pertencem à solução da inequação e por isso representamos no eixo com uma "bolinha" fechada diferentemente da inequação anterior.

Não há necessidade do eixo y na representação do esboço.

EXERCÍCIOS - FUNÇÃO DO 2O. GRAU

59

P1) Considere a função y = -x2 + 2x + 3.a) Determine o ponto onde a parábola que representa a função corta o eixo dos y.b) Verifique se a parábola que representa a função corta o eixo dos x; em caso afirmativo, determine as coordenadas dos pontos onde isso acontece.c) Determine as coordenadas do vértice da parábola que representa a função.d) Desenhe o gráfico da função.

P2) Resolva, em IR, as inequações:a) x2 - 3x + 2 > 0b) -x2 + x + 6 > 0c) x2 - 4 = 0d) -3x2 - 8x + 3 £ 0e) -2x2 + 3x > 0f) x2 + 10x > 0

GABARITO - FUNÇÃO DO 2º. GRAU

P1) a) y = 3b) x1 = 1 ou x2 = 3c) xv = 1 e yv = 4a) Gráfico: a < 0 e > 0

P2) a) S = {x IR / x < 1 ou x > 2} b) S = {x IR / 2 < x < 3} c) S = {x IR / x < 2 ou x > 2}

d) S = {x IR / x 3 ou x 3

1

}

e) S = {x IR / 0 < x < 2

3

} f) S = {x IR / x < 10 ou x > 0}

PROBABILIDADE

INTRODUÇÃO

Em um jogo, dois dados são lançados simultaneamente, somando-se, em seguida, os pontos obtidos na face superior de cada um deles. Ganha quem acertar a soma desses pontos. Antes de apostar, vamos analisar todos os possíveis resultados que podem ocorrer em cada soma. Indicando os números da face superior dos dados pelo par ordenado (a, b), onde a é o número do primeiro dado e b o número do segundo, temos as seguintes situações possíveis:

a + b = 2, no caso (1, 1);a + b = 3, nos casos (1, 2) e (2, 1);a + b = 4, nos casos (1, 3), (2, 2) e (3,1);a + b = 5, nos casos (1,4), (2,3), (3, 2) e (4, 1)a + b = 6, nos casos (1, 5), (2, 4), (3, 3), (4,2) e (5, 1);a + b = 7, nos casos (1, 6), (2, 5), (3, 4), (4,3), (5, 2) e

(6, 1);a + b = 8, nos casos (2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3) e (6, 2);a + b = 9, nos casos (3, 6), (4, 5), (5, 4) e (6,3);a + b = 10, nos casos (4, 6), (5, 5) e (6, 4);a + b = 11, nos casos (5, 6) e (6,5);a + b = 12, no caso (6, 6).

É evidente que, antes de lançar os dois dados, não podemos prever o resultado "soma dos pontos obtidos"; porém, nossa chance de vencer será maior se apostarmos em a + b = 7, pois essa soma pode ocorre de seis maneiras diferentes.

Situações como essa, onde podemos estimar as chances de ocorrer um determinado evento, são estudas pela teoria das probabilidades. Essa teoria, criada a partir dos "jogos de azar", é hoje um instrumento muito valioso e utilizado por profissionais de diversas áreas, tais como economistas, administradores e biólogos.

ESPAÇO AMOSTRAL

Um experimento que pode apresentar resultados diferentes, quando repetido nas mesmas condições, é chamado experimento aleatório. Chamamos Espaço Amostral ao conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório. Dizemos que um espaço amostral é equiprovável quando seus elementos têm a mesma chance de ocorrer. No exemplo acima temos, como espaço amostral 36 possibilidades, para a ocorrência de quaisquer eventos.

No exemplo de uma moeda lançando-se para cima, a leitura da face superior pode apresentar o resultado "cara" (K) ou "coroa" (C). Trata-se de um experimento aleatório, tendo cada resultado a mesma chance de ocorrer. Neste caso, indicando o espaço amostral por S1 e por n(S1) o número de seus elementos, temos:

S1 = {K, C} e n(S1) = 2

Se a moeda fosse lançada duas vezes, teríamos os seguintes resultados: (K, K), (K, C), (C, K), (C, C).

Neste caso, indicando o espaço amostral por S2 e por n(S2) o número de seus elementos, temos:

S2 = {(K, K), (K, C), (C, K), (C, C)} e n(S2) = 4

EVENTOS

Chama-se evento a qualquer subconjunto de um espaço amostral. Considerando o lançamento de um dado e a leitura dos pontos da face superior, temos o espaço amostral:

S= {1, 2, 3, 4, 5, 6} e n(S) = 6

Um exemplo que podemos elucidar de evento é "ocorrência de número par". Indicando esse evento por A, temos:

A = {2, 4, 6} e n(A) = 3

60

PROBABILIDADE DE OCORRER UM EVENTO

Ainda levando-se em consideração o exemplo acima, "ocorrência de número par", no lançamento de um dado, teremos:

2

1

6

3

)S(n

)A(n)A(P

Concluí-se que a probabilidade de o evento "ocorrência de número par" ocorrer é 50% ou ½. Isto quer dizer que ao lançarmos um dado ao acaso teremos 50% de chance de obter um número par, na face do dado.

Voltando ao nosso primeiro exemplo, onde num jogo, ganha quem conseguir a soma das faces. Vimos que a probabilidade de ocorrer o número 7 era maior, pois tínhamos diversas maneiras de ocorrer. Chamaremos o evento "ocorrência da soma 7" entre os dois dados, de E:

n(E) = 6;n(S) = 36.

Exercícios Resolvidos

R1) Qual a probabilidade do número da placa de um carro ser um número par?

Resolução:Para o número da placa de uma carro ser um número par, devemos ter um número par no algarismo das unidades, logo o espaço amostral (S) e o evento (E) serão:

S = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} n(S) = 10E = {2, 4, 6, 8, 0} n(E) = 5

Portanto a Probabilidade de ocorrer o referido evento será:

2

1

10

5

)S(n

)E(n)E(P

Resposta: 50% ou ½

R2) O número da chapa de um carro é par. A probabilidade de o algarismo das unidades ser zero é:

a) 10

1 b) 2

1 c) 9

4 d) 9

5 e) 5

1

Resolução:Se a placa de um carro é um número par, então, independente do numero de algarismos que tenha a placa o algarismo das unidades será, necessariamente, um número par.O espaço amostral, neste caso:

S = {2, 4, 6, 8, 0} n(S) = 5

O evento é "ocorrência do zero", logo só podemos ter ocupando o último algarismo o número zero:

E = {0} n(E) = 1

5

1

)S(n

)E(n)E(P

Resposta: 20% ou 5

1

PROBABILIDADE DA UNIÃO DE DOIS EVENTOS

Consideremos dois eventos A e B de um mesmo espaço amostral S.

Da teoria dos conjuntos temos:

n(A B) = n(A) + n(B) - n(A B)

Dividindo os dois membros dessa igualdade por n(S), temos:

P(A B) = P(A) + P(B) - P(A B)

A probabilidade da união de dois eventos A e B é igual à soma das probabilidades desses eventos, menos a probabilidade da intersecção de A com B."

Observação: se A e B forem disjuntos, isto é:

se A B = Æ, então P(A B) = P(A) + P(B).

Neste caso, ainda, os eventos são ditos Eventos Independentes.

Exercício Resolvido

R3) No lançamento de um dado, qual é a probabilidade de se obter o número 3 ou um número ímpar?

Resolução:

Espaço amostral é S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} e n(S) = 6

evento "número 3" é: A = {3}e n(A) = 1

evento "número ímpar" é: B = {1,3,5} e n(B) = 3

A B = {3} {1,3,5} = {3}, então n(AB) = 1

Logo:

P(A B) = 1/6 + 3/6 - 1/6 = ½

Resposta: 50% ou ½

Observação:

61

A soma da probabilidade de ocorrer um evento A com a probabilidade de não ocorrer o evento A é igual a 1:

p(A) + p( A ) = 1

EXERCÍCIOS - PROBABILIDADEP3) Qual a probabilidade de uma bola branca aparecer ao retirar-se uma única bola de uma urna contendo 4 bolas brancas, 3 vermelhas e 5 azuis?

P4) Considere todos os anagramas da palavra LONDRINA que começam e terminam pela letra N. Qual a probabilidade de se escolher ao acaso um desses anagramas e ele ter as vogais juntas?

P5) A probabilidade de ocorrerem duas caras ou duas coroas no lançamento de duas moedas é:

a) 4

1 b)4

3 c) 1 d) 2 e)

2

1

P6) Em uma indústria com 4.000 operários, 2.100 têm mais de 20 anos, 1.200 são especializados e 800 têm mais de 20 anos e são especializados. Se um dos operários é escolhido aleatoriamente, a probabilidade de ele ter no máximo 20 anos e ser especializado é:

a) 10

1 b) 5

2 c) 8

3 d) 85

27 e)18

7

P7) Um prêmio vai ser sorteado entre as 50 pessoas presentes em uma sala. Se 40% delas usam óculos, 12 mulheres não usam óculos e 12 homens os usam, a probabilidade de ser premiado um homem que não usa óculos é:

a) 25

4 b)25

6 c) 25

8 d) 25

9 e) 5

2

P8) Dois jogadores A e B vão lançar um par de dados. Eles combinam que, se a soma dos números dos dados for 5, A ganha, e se essa soma for 8, B é quem ganha. Os dados são lançados. Sabe-se que A não ganhou. Qual a probabilidade de B ter ganho?

a) 36

10 b) 32

4 c) 36

5 d )35

5

e) não se pode calcular sem saber os números sorteados.

P9) Se dois prêmios iguais forem sorteados entre 5 pessoas, sendo duas brasileiras e três argentinas, qual será a probabilidade de:

a) serem premiadas as duas brasileiras?

b) ser premiada pelo menos uma argentina?c) serem premiadas duas argentinas?

P10) Numa caixa existem 5 balas de hortelã e 3 balas de mel. Retirando-se sucessivamente e sem reposição duas dessas balas, qual a probabilidade de que as duas sejam de hortelã?

GABARITO

P1) a) 6

1 b)

6

1 c)

2

1 d)

2

1 e)

2

1

P2) 5

2 P3)

3

1 P4)

5

1

P5) E P6) A P7) D P8) B

P9) a) 10

1 b) 10

9 c) 10

3 P10) 16

9

RAZÕES

Grandeza: é tudo aquilo que pode ser medido.Razão: é a relação entre duas grandezas.

DEFINIÇÃO

"Chama-se razão de duas grandezas da mesma espécie, ao quociente da divisão dos números que medem essas grandezas numa mesma unidade. Este quociente é obtido, dividindo-se o primeiro número pelo segundo".

Conforme a definição, para determinarmos a razão entre duas grandezas é necessário que sejam da mesma espécie, e medidas com a mesma unidade.

A razão é representada sob a forma b

a

ou a : b (que se lê "a está para b"), sendo a e b dois números racionais, com b 0.

Exemplo 1: Num exame há 1200 candidatos disputando 400 vagas. Se compararmos esses dois números através de uma divisão, obtemos:

400

1200= 3

Dizemos que há 3 candidatos para cada vaga ou que a razão entre o número de candidatos e o número de vagas é de 3 para 1. 1200

400= 3

1

Dizemos que para cada vaga há 3 candidatos ou que a razão entre o número de vagas e o número de

62

candidatos é de 1 para 3.

Quando comparamos dois números através de uma divisão, o resultado obtido chama-se razão entre esses números.

Exemplo 2: Admite-se como ideal, numa cidade, a existência de 1 médico para cada 5000 habitantes. Nessas condições, quantos médicos deverá ter uma cidade com 50.000 habitantes?De acordo com o problema, a razão entre o número de

médicos e o número de habitantes é 5000

1

.

Número de habitantes Número de médicos 5.000 1 10.000 2 15.000 3 ...... ...... 50.000 10

A cidade deverá ter 10 médicos.

Verificamos que as razões destacadas, 5000

1

e

50000

10

são iguais.

Exercícios Resolvidos

1) Achar a razão entre dois segmentos de 1dm e 25cm respectivamente.

Resolução:Como é necessário medir as duas grandezas

com a mesma unidade, vamos reduzir as duas medidas a cm, para obter a razão. Logo, cm

cm

25

10 simplificando-se

5

2 ou 2 : 5

Assim: 1 dm = 10cm

2) Em uma competição esportiva participam 500 atletas, sendo 100 moças e 400 rapazes.a) Qual a razão do número de moças para o número de rapazes?b) Qual a razão do número de rapazes para o número de moças?

Resolução:a) Dividindo-se o número de moças pelo número de

rapazes, encontramos a razão:

400

100= 4

1

b) 100

400 = 1

4 = 4

3) Determinar a razão entre 2

1

e 6

5

Resolução:

6

52

1

= 2

15

6 = 10

6= 5

3

PROPRIEDADE FUNDAMENTAL DAS RAZÕES

"Multiplicando-se ou dividindo-se os termos de uma razão por um mesmo número, diferente de zero, obtém-se um razão equivalente a uma razão dada".

Exemplo:

3

3

5

3

= 15

9

RAZÕES ESPECIAIS

VELOCIDADE MÉDIA

"Denomina-se velocidade média a razão entre a distância percorrida e o tempo gasto para percorrê-la".

Velocidade Média =

GastoTempo

PercorridaDistância

Exemplo:Vamos determinar a velocidade média de um trem que percorreu a distância de 453km em 6 horas: Vm = t

d = 6

453= 75,5 km/h

Resposta: A velocidade média do trem foi de 75,5 km/h

ESCALA

"Denomina-se escala de um desenho a razão entre o comprimento considerado no desenho e o correspondente comprimento real, medido com a mesma unidade".

Escala =

RealoCompriment

DesenhooCompriment

As escalas têm grande aplicação nos esboços de objetos (móveis, automóveis, etc), nas plantas de casas e terrenos, nos mapas e cartas cartográficas.

Exemplo1:

63

Em um mapa a distância entre duas cidades é de 3 cm. Sabendo-se que a distância real entre as cidades é de 300 km, qual a escala utilizada no mapa?

Resolução: Comprimento do desenho: 3 cmComprimento real: 300 km = (300 x 100.000) cm =

30.000.000 cm

Escala =

al

oDe

Re

senh = 30000000

3= 10000000

1

Resposta: A escala utilizada foi de 1:10.000.000

Exemplo2: Ao desenhar a sua sala de aula, Paula traçou um segmento de 12 cm, que corresponde ao comprimento total da sala. Sabendo-se que a escala utilizada foi de 1:60, qual o comprimento real da sala?

Escala =

al

oDe

Re

senh 60

1 =x

12 x = 720 cm

Logo, o comprimento de 12 cm no desenho corresponde a um comprimento de 720 cm ou 7,2 m do real.

Resposta: O comprimento real desta sala é 7,2m.

EXERCÍCIOS - RAZÕES

P1) A soma de dois números é 54 e a razão 7/11. Calcular os dois números.

P2) A diferença entre dois números é 15 e a razão 8/5. Calcular os dois números.

P3) Num ginásio há ao todo 540 alunos distribuídos em classes. A cada classe de 45 meninos corresponde uma classe de 30 meninas. Calcular o número de meninas do ginásio.

P4) A razão entre a base e a altura de um triângulo é de 5 para 2, e a área do triângulo é de 45m2. Calcular a base e a altura.

P5) Uma barra feita com uma liga de ouro/cobre tem a massa de 513g. Achar a massa de cada metal sabendo que estão na razão de 11 para 8.

P6) Um trapézio é isósceles. A base menor está para a base maior na razão 2:5. Determine a área, sabendo que:1º) A altura do trapézio vale 12cm.2º) A altura está para a base maior na razão 4:5.

P7) Qual a razão entre as áreas de dois círculos se o raio de um deles é o quádruplo do raio do outro.

P8) Numa prova de matemática, um aluno acertou 12 questões sobre 20 que foram dadas. Qual a razão entre o número de questões que ele acertou para o número de questões da prova?

P9) Uma mercadoria acondicionada numa embalagem de papelão, possui 200g de peso líquido e 250g de peso bruto. Qual a razão entre o peso líquido e o peso bruto?

P10) Um retângulo A tem 10cm e 15cm de dimensões, enquanto as dimensões de um retângulo B são 10cm e 20cm. Qual a razão entre a área do retângulo A e a área do retângulo B?

P11) A razão entre a altura de Tarcísio e sua sombra, em determinada hora do dia é de 3 para 2. Se a sombra mede 1,2m, qual a altura de Tarcísio?

P12) A razão entre a velocidade de 2 móveis, A e B é de 3/8. Encontre a velocidade do móvel A, quando a velocidade do móvel B for igual a 20m/s

P13) A razão entre as massas de enxofre e de ferro que se combinam para formar o sulfeto de ferro é de 4,7. Calcular:a) A massa de ferro que deve combinar com 32 gramas de enxofre para formar o sulfeto de ferro.b) A massa de enxofre que se deve combinar com 1,12g de ferro para formar o sulfeto de ferro.

P14) Para pintar uma parede, um pintor deve misturar tinta branca com tinta cinza na razão de 5 para 3. Se ele precisar de 25 litros dessa misturam, quantos litros de cada cor irá utilizar?

P15) Qual é a escala de um desenho em que um comprimento de 3m está representado por um comprimento de 5cm?

P16) A largura de um automóvel é 2 metros, uma miniatura desse automóvel foi construída de modo que essa largura fosse representada por 5cm. Qual foi a escala usada para construir a miniatura?

P17) Em um mapa, a distância entre duas cidades é de 3cm. Sabendo-se que a distância real entre as cidades é de 300km. Qual a escala utilizada no mapa?

P18) A distância entre São Paulo e Rio de Janeiro é de aproximadamente 408km. Qual é a escala de um mapa onde esta distância está representada por 20,4cm?

P19) Numa escala de 1:50, qual o comprimento real em metros, correspondente a 8cm.

P20) Uma fotografia aérea mostra parte de uma região cuja área é 480m2 (área da parte fotografada). Sabendo que a foto tem 8cm por 15cm, qual foi a escala da foto.

GABARITO - RAZÕES

P1) 21 e 33 P2) 40 e 25 P3) 216 P4) 15m e 6 m P5) 297g e 216gP6) 126 cm2

P7) 16

1

64

P8) 5

3

P9) 5

4

P10) 4

3

P11) 1,80 P12) 7,5 m/sP13)a) 56,00g b) 0,64g P14) 15 litros de tinta branca e 9 litros de tinta cinzaP15) 1:60 P16) 1:40 P17) 1:10.000.000 P18) 1:2.000.000 P19) 1:3000P20) 1:200

PROPORÇÕESINTRODUÇÃO

Um posto de gasolina oferece um desconto de 1 real para cada 10 litros completos de gasolina. Se uma pessoa colocar 50 litros de gasolina no carro, que desconto irá obter?

Com os dados do problema, podemos montar uma tabela:

Litros Descontos (em R$) 10 1 20 2 30 3 40 4 50 5

O desconto será de R$ 5,00Nesta tabela podemos destacar:

vRazão entre desconto e litros: 10

1

vRazão entre desconto e litros: 50

5

.

DEFINIÇÃO DE PROPORÇÃO

"Proporção é a igualdade entre duas razões, ou seja, quando duas razões apresentam o mesmo quociente, sendo, portanto iguais".

Quatro números racionais a, b, c, d, diferentes de zero, nessa ordem, formam uma proporção quando a razão do primeiro número para o segundo é igual a razão do terceiro para o quarto.

b

a =d

c

Ou, ainda, podemos escrever:a : b = c : d

que se lê:

"a está para b assim como c está para d"

Os quatro termos que formam a proporção são denominados termos da proporção. O primeiro e o quarto termo são chamados extremos da proporção. O segundo e o terceiro são chamados meios.

PROPRIEDADE FUNDAMENTAL DAS PROPORÇÕES

"Em toda proporção o produto dos meios é igual ao produto dos extremos".

d

c

b

a a.d = b.c

Exemplo:

15

5

18

6 6 x 15 = 5 x 18 90 = 90

RECÍPROCA DA PROPRIEDADE FUNDAMENTAL

"Quando o produto de dois números é igual ao produto de dois outros, os quatro números formam uma proporção".

Observação:

Para verificar se quatro números formam uma proporção, efetuamos o produto do número maior pelo menor e verificamos se esse produto é igual aos outro dois. Assim, os quatro números 4,10,16 e 40 formam uma proporção, pois os produtos 4 ´ 40 e 10 ´ 16, tem como resultado 160.

QUARTA PROPORCIONAL

"Chama-se Quarta Proporcional a três números dados, um quarto número que forma com os mesmos uma proporção".

Exemplo:

Vamos encontrar a quarta proporcional aos números 16, 12 e 48.

Representando por x o termo procurado, veremos que o problema admite três soluções, correspondentes às proporções, pois a posição do número x é arbitrária.

I-)

1

16

48

12

x x1 = 64

65

II-)

4816

12 2x x2 = 36

III-)

16

4812

3

x

x3 = 4

Só há três soluções porque em cada solução o produto de um dos números dados por x é igual ao produto dos outros dois. Em geral, considera-se a solução obtida, conservando na proporção a ordem dos números dados, e considerando como incógnita o último termo.

PROPORÇÃO CONTÍNUA

"Proporção contínua é aquela em que os meios e os extremos são iguais".

Exemplo:

9

46

6(os meios são iguais)

Na proporção contínua, o termo igual é denominado média proporcional ou geométrica, e qualquer um dos outros termos (4 ou 9) é denominado terceira proporcional. No exemplo acima, 4 é a terceira proporcional entre 9 e 6, sendo 9 a terceira proporcional entre 4 e 6.

Exercícios Resolvidos

1) Achar a terceira proporcional a 5,6 e 0,84.

Resolução:Observando que, se a média não for

previamente fixada, haverá duas soluções:

1O. Modo:

x

84,0

84,0

6,5 5,6x = (0,84)2 x = 0,126

2O.Modo:

x

6,5

6,5

84,0 0,84x = (5,6)2 x = 37,33

Se, contudo, a média for previamente fixada, só haverá uma das resoluções.

2) Achar a terceira proporcional a 3 e 9, sendo 9 a média.

Resolução:

x

9

9

3 3x = 81 x = 27

PROPRIEDADES GERAIS DAS PROPORÇÕES

PROPRIEDADE 1

"Em uma proporção, a soma dos dois primeiros termos

está para o primeiro termo, assim como a soma dos dois últimos termos está para o terceiro termo".

d

c

b

a

c

dc

a

ba

PROPRIEDADE 2

"Em uma proporção, a soma dos dois primeiros termos está para o segundo termo, assim como a soma dos dois últimos está para o quarto termo".

d

c

b

a

d

dc

b

ba

PROPRIEDADE 3

"Numa proporção, a diferença dos dois primeiros termos está para o primeiro termo, assim como a diferença dos dois últimos termos está para o terceiro termo".

d

c

b

a

c

dc

a

ba

PROPRIEDADE 4"Numa proporção, a diferença dos dois primeiros termos está para o segundo termo, assim como a diferença dos dois últimos termos está para o quarto termo".

d

c

b

a

d

dc

b

ba

PROPRIEDADE 5

"Numa proporção, a somados antecedentes está para a soma dos conseqüentes, assim como cada antecedente está para seu conseqüente".

d

c

b

a

d

c

db

cae

b

a

db

ca

PROPRIEDADE 6

"Numa proporção, a diferença dos antecedentes está para a diferença dos conseqüentes, assim como cada antecedente está para seu conseqüente".

d

c

b

a

d

c

db

cae

b

a

db

ca

PROPRIEDADE 7

"Em toda proporção, o produto dos antecedentes está para o produto dos conseqüentes assim como o quadrado de qualquer antecedente está para o quadrado do respectivo conseqüente".

66

d

c

b

a

2

2

2

2

d

c

db

cae

b

a

db

ca

Exercícios Resolvidos

1o Exercício A diferença entre os antecedentes de uma proporção é 10 e os conseqüentes 9 e 7. Achar os antecedentes.

Resolução:Representando por a e b os antecedentes, formamos a

proporção: 7

b

9

a

aplicando-se a propriedade relativa à diferença, vem que:

979

aba

92

10a 2a = 90 a = 45

logo, b = 35

Resposta: Os antecedentes são, respectivamente 45 e 35.

2o Exercício

7

y

3

x

20yx sistema o Resolver

Resolução: Aplicando-se a propriedade relativa à soma, vem:

373

xyx

310

20x x = 6

logo, y = 14

Resposta: Os antecedentes procurados são respectivamente 6 e 14.

PROPORÇÃO PROLONGADA

Proporção prolongada é a sucessão de três ou mais razões iguais.

Exemplo:

16

8

12

6

4

2

PROPRIEDADE DAS PROPORÇÕES PROLONGADAS

"Numa proporção prolongada, a soma dos antecedentes está para a soma dos conseqüentes, assim como qualquer antecedente está para seu conseqüente".

Exemplo:

16124

862

16

8

12

6

4

2

Exercício Resolvido

1) Achar a, b, c na seguinte proporção 6

c

4

b

3

a

sabendo-se que a soma é a + b + c = 26.

Resolução:Aplicando-se a propriedade das proporções prolongadas temos:

213

26

643

cba

6

c

4

b

3

a

Logo,

3

a = 2 a = 6

4

b = 2 b = 8

6

c = 2 c = 12

NÚMEROS PROPORCIONAIS

NÚMEROS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS

"Duas seqüências A e B de números reais, não nulos, são diretamente proporcionais se, e somente se, a razão dos termos correspondentes são todas iguais entre si".

Exemplo:

Sejam as seqüências: (2, 5, 6, 9) e (8, 20, 24, 36). Essas seqüências são diretamente proporcionais porque:

36

9

24

6

20

5

8

2 = k

O valor comum das razões é k =

4

1, uma constante não nula.

"K é denominado fator constante ou coeficiente de proporcionalidade".

Exercício Resolvido

1) Dada as seqüências proporcionais (3, 5, 7, y) e (6, 10, x, 8). Determine o coeficiente de proporcionalidade e os valores de x e y.

67

Resolução:

Como: 8

7

10

5

6

3y

x=2

1, logo o coeficiente de proporcionalidade é

2

1.

Então: x

7 = 2

1 x = 14

8

y=2

1 2y = 8 y = 4

Resposta: O valor de x é 14 e o valor de y é 4. O coeficiente de

proporcionalidade é 2

1

.

NÚMEROS INVERSAMENTE PROPORCIONAIS

"Duas seqüências A e B de números reais são inversamente proporcionais, quando o produto entre qualquer termo da primeira seqüência e seu correspondente na segunda, é sempre uma constante k não nula".

Exemplo:

Sejam as seqüências: (20, 25, 40, 50) e (10, 8, 5, 4). Essas seqüências apresentam números inversamente proporcionais porque o produto dos termos correspondentes é sempre 200. Observe: 20 ´ 10 = 200; 25 ´ 8 = 200; 40 ´ 5 = 200; 50 ´ 4 = 200.

O produto k = 200 denomina-se coeficiente de proporcionalidade.

Podemos escrever esses produtos, também, da seguinte forma:

4

150

5

140

8

125

10

120

= k

Logo 20, 25, 40, 50 são diretamente proporcionais aos

números:

10

1, 8

1, 5

1, 4

1

DIVISÃO PROPORCIONAL

DIVISÃO ENTRE AS PARTES DIRETAMENTE PROPORCIONAIS

Exemplo:

Vamos dividir o número 32 em parcelas que sejam diretamente proporcionais aos números 3, 5, 8.

Resolução: O problema consiste em encontrar três

parcelas cuja soma seja 32, e que sejam proporcionais

aos números 3, 5, 8. Chamamos essas parcelas de x, y e z temos: x + y + z = 32 e

853

zyx

Pela propriedade da proporção:

853853

zyxzyx=16

32= 2

substituindo os valores:

3

x = 2 x = 6

5

y = 2 y = 10

8

z = 2 z = 16

Exercício Resolvido

1) Dividir 153 em partes diretamente proporcionais aos

números 3

2

e 4

3

.

Resolução:Neste caso, o número 153 deve ser dividido em duas parcelas, x e y:

17

12153

12

17153

12

98153

4

3

3

2

4

3

3

2

yxyx = 9 12 k = 108

Uma vez que encontramos o coeficiente de proporcionalidade:

108

3

2x x =

3

2.108 x = 72

108

4

3y y =

4

3108 y = 81

Resposta: Os números procurados são 72 e 81.

DIVISÃO ENTRE AS PARTES INVERSAMENTE PROPORCIONAIS

Exemplo:Vamos dividir o número 273 em partes inversamente

proporcionais a

3

1, 4

1 e 7

2.

O problema consiste em encontrar três parcelas cuja soma seja 273, e que sejam inversamente proporcionais aos números

3

1, 4

1, 7

2.

68

Chamamos essas parcelas de x, y e z temos: x + y + z = 273 e

2

743

zyx

note que invertemos os número, no denominador das razões. Pela propriedade da proporção:

26K

21

2273

2

21273

2

714273

2

743

2

743

zyxzyx

Substituindo os valores:

3

x = 26 x = 78

4

y = 26 y = 104

2

7z = 26 z =

2

7. 26 z =

91 EXERCÍCIOS - PROPORÇÕES

P1) Calcular x e y, na proporção 5

y

4

x

, sabendo que x + y = 45.

P2) Calcular x e y, na proporção 3

y

5

x

, sabendo que x - y = 14.

P3) Calcular x, y e z na proporção 4

z

3

y

2

x

sabendo que 2x + 3y + 4z = 58.

P4) Calcular x, y e z sabendo que 2xy = 3xz = 4yz e que x + y + z = 18.

P5) Determinar o coeficiente de proporcionalidade entre os seguintes grupos de números proporcionais:

7

1,

56

8,

35

5,

14

2

P6) Verificar se as seguintes seqüências (45, 60, 75) e (3, 4, 5) são proporcionais.

P7) Achar x nas sucessões proporcionais (2, 8, 3) e (4, 16, x).

P8) A grandeza x é diretamente proporcional a y. Quando a grandeza y tem o valor 8, x tem o valor 40. Determinar o valor da grandeza x, quando y vale 10.

P9) Em 18 gramas de água, há 2 de hidrogênio e 16 de oxigênio; em 45 gramas de água há 5 de hidrogênio e 40 de oxigênio. Verificar se há proporcionalidade entre

as massas de água e hidrogênio, água e oxigênio, hidrogênio e oxigênio. Em caso afirmativo determinar os coeficientes de proporcionalidade.

P10) Dividir 180 em três partes, diretamente proporcionais a 3, 4 e 5.

P11) Três sócios querem dividir um lucro de R$ 13.500,00. Sabendo que participaram da sociedade durante 3, 5 e 7 meses. Qual a parcela de lucro de cada um?

P12) Um prêmio de R$ 152.000,00 será distribuído aos cinco participantes de um jogo de futebol de salão, de forma inversamente proporcional às faltas cometidas por cada jogador. Quanto caberá a cada um, se as faltas foram 1, 2, 2, 3 e 5?

P13) Distribuir o lucro de R$ 28.200,00 entre dois sócios de uma firma, sabendo que o primeiro aplicou R$ 80.000,00 na sociedade durante 9 meses e que o segundo aplicou R$ 20.000,00 durante 11 meses.

P14) Um comerciante deseja premiar, no primeiro dia útil de cada mês, os três primeiros fregueses que chegarem ao seu estabelecimento com a quantia de R$ 507.000,00 divididas em partes inversamente

proporcionais a

4

12,

3

21

e 1,2. Nessas condições, qual o prêmio de menor valor a ser pago?

P15) Uma pessoa deseja repartir 135 balas para duas crianças, em partes que sejam ao mesmo tempo diretamente proporcionais a 2/3 e 4/7 e inversamente proporcionais a 4/3 e 2/21. Quantas balas cada criança receberá?

P16) Um pai distribuiu 284 bombons entre os filhos Hudson, Larissa e Carol, em partes diretamente proporcionais à nota de Matemática e inversamente proporcional a idade dos filhos. Calcule o número de bombons recebidos de acordo com os dados:Hudson: 10 anos e nota 7;Larissa: 12 anos e nota 5;Carol: 8 anos e nota 10.

GABARITO - PROPORÇÕES

P1) x = 20; y = 25

P2) x = 35; y = 21

P3) x = 4; y = 6; z = 8

P4) x = 8; y = 6; z = 4 P5) k =

7

1

P6) Sim, k = 15

P7) x = 6

P8) x = 50 69

P9) Sim, k =

5

2

P10) 45, 60, 75

P11) Sócio1: R$ 2.700,00; Sócio2: R$ 4.500,00; Sócio 3: R$6.300,00

P12) R$ 60.000,00; R$ 30.000,00; R$ 30.000,00; R$ 20.000,00; R$12.000,00

P13) R$ 21.600,00; R$6.600,00

P14) R$ 120.000,00

P15) 27 e 108

P16) Hudson: 84; Larissa: 50; Carol: 150.

REGRA DE TRÊS

É uma técnica de cálculo por meio da qual são solucionados problemas sobre grandezas proporcionais.

Estes problemas são de dois tipos:

1) Regra de Três Simples: quando se referem a duas grandezas diretamente ou inversamente proporcionais.

2) Regra de Três Composta: quando se referem a mais de duas grandezas diretamente ou inversamente proporcionais.

GRANDEZAS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS

Consideremos a seguinte situação:

Sobre uma mola são colocados corpos de massa diferentes. A seguir, medindo o comprimento da mola, que se modifica com a massa do corpo colocado sobre ela, pode-se organizar a seguinte tabela:

Massa do corpo (em kg)

Comprimento da mola (em cm)

10 50 20 100 30 150

Pela tabela pode-se notar que:Se a massa do corpo duplica, o comprimento da

mola também duplica.Se a massa do corpo triplica, o comprimento da

mola também triplica.

Note que a massa do corpo e o comprimento da mola variam sempre na mesma razão; dizemos,

então, que a massa do corpo é uma grandeza DIRETAMENTE PROPORCIONAL ao comprimento da mola.

"Quando duas grandezas variam sempre na mesma razão, dizemos que essas grandezas são diretamente proporcionais, ou seja, quando a razão entre os valores da primeira é igual a razão da segunda".

Veja outros exemplos de grandezas diretamente proporcionais:

Quando vamos pintar uma parede, a quantidade de tinta que usamos é diretamente proporcional à área a ser pintada duplicando-se a área, gasta-se o dobro de tinta; triplicando-se a área, gasta-se o triplo de tinta.

Quando compramos laranjas na feira, o preço que pagamos é diretamente proporcional à quantidade de laranjas que compramos; duplicando-se a quantidade de laranjas, o preço também duplica; triplicando-se a quantidade de laranjas, o preço também triplica.

GRANDEZAS INVERSAMENTE PROPORCIONAIS

Consideremos a seguinte situação:

A professora de Português da 6ª série tem 48 livros para distribuir entre seus melhores alunos. Vamos observar que:Se ela escolher apenas os dois melhores alunos,

cada um receberá 24 livros.Se ela escolher os quatro melhores alunos, cada

um receberá 12 livros.Se ela escolher os seis melhores alunos, cada um

receberá 8 livros.

Vamos colocar esses dados no quadro seguinte:

Número de alunos Número de livros escolhidos distribuído a cada aluna

2 24 4 12 6 8

Pela tabela podemos notar que:

Se o número de alunos duplica, o número de livros cai pela metade.

Se o número de alunos triplica, o número de livros cai para a terça parte.

Usando os números que expressam as grandezas, temos:

1-) Quando o número de alunos passa de 2 para 4,

dizemos que o número de alunos varia na razão: 4

2

. Enquanto isso, o número de livros passa de 24 para 12,

variando na razão: 12

24

.

70

Note que essas razões não são iguais, elas são

inversas, ou seja: 4

2 = 2

1 e 12

24 = 1

2

Nessas condições, o número de alunos escolhidos e o número de livros distribuídos variam sempre na razão inversa; dizemos então que o número de alunos escolhidos é INVERSAMENTE PROPORCIONAL ao número de livros distribuídos.

"Quando duas grandezas variam sempre uma na razão inversa da outra, dizemos que essas grandezas são inversamente proporcionais, ou seja, quando a razão entre os valores da primeira é igual ao inverso da razão entre os valores da segunda".

Veja outros exemplos de grandezas inversamente proporcionais:

Quando vamos fazer uma construção, o tempo que se gasta nessa construção é inversamente proporcional ao número de operários que se contrata; duplicando-se o número de operários o tempo cai pela metade.

Quando fazemos uma viagem, o tempo que se leva é inversamente proporcional à velocidade do veículo usado: dobrando-se a velocidade do veículo, o tempo gasto na viagem cai pela metade.

REGRA DE TRÊS SIMPLES

Consideremos as seguintes situações:

1º) Um carro faz 180km com 15 litros de álcool. Quantos litros de álcool este carro gastaria para percorrer 210km?

O problema envolve duas grandezas: distância e litros de álcool.Indiquemos por x o número de litros de álcool a ser consumido.

Coloquemos as grandezas de mesma espécie em uma mesma coluna e as grandezas de espécies diferentes que se correspondem em uma mesma linha.

Distância Litros de álcool 180 15 210 x

Na coluna "litros de álcool" vamos colocar uma flecha apontada para o x.

Distância Litros de álcool 180 15 210 x

Observe que aumentando a distância, aumenta também o consumo de álcool. Então, as grandezas distância e litros de álcool, são diretamente proporcionais. No esquema que estamos montando, indicamos isso colocando uma flecha no mesmo sentido da anterior.

Distância Litros de álcool 180 15 210 x

x

15

210

180

x

15

7

6 6x = 105 x = 17,5 l

Resposta: O carro gastaria 17,5 litros de álcool.

2º) Um avião voando à velocidade de 800km por hora vai de São Paulo a Belo Horizonte em 42 minutos. Se voar a 600km, por hora em quanto tempo fará a mesma viagem?

As duas grandezas são: velocidade do avião e tempo de vôo.

Observemos que, se a velocidade do avião aumenta, o tempo de vôo diminui, logo a velocidade e o tempo são grandezas inversamente proporcionais.

Chamando de x o tempo necessário para voar de São Paulo à Belo Horizonte a 600km por hora, temos:

Tempo de vôo Velocidade 42 800 X 600

800

60042x

4

342x 3x = 168 x = 56 minutos

Resposta:

O avião vai de São Paulo a Belo Horizonte em 56 minutos, voando a 600km/h.

REGRA DE TRÊS COMPOSTA

A regra de três composta se refere a problemas que envolvem mais de duas grandezas. A grandeza cujo valor procuramos pode ser diretamente ou inversamente proporcional a todas as outras, ou até mesmo diretamente proporcional a umas e inversamente proporcional a outras.

1O) Em quatro dias oito máquinas produziram 160 peças. Em quanto tempo 6 máquinas iguais às primeiras produzirão 360 dessas peças?

Resolução:

Indiquemos o número de dias por x. Coloquemos as

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grandezas de mesma espécie em uma só coluna, e as grandezas de espécies diferentes que se correspondem em uma mesma linha.Na coluna "dias" coloquemos uma flecha apontada para x.

Máquinas Peças Dias 8 160 4 6 360 x

Comparemos cada grandeza com aquela onde está o x.

As grandezas, peças e dias são diretamente proporcionais. No nosso esquema isso será indicado colocando-se na coluna "peças" uma flecha no mesmo sentido da flecha da coluna "dias".

Máquinas Peças Dias 8 160 4 6 360 x

As grandezas máquinas e dias são inversamente proporcionais (quanto maior o número de máquinas, menos dias para se efetuar o trabalho). No nosso esquema isso será indicado colocando-se na coluna "máquinas" uma flecha no sentido contrario na coluna "dias"

Máquinas Peças Dias 8 160 4 6 360 x

Agora vamos montar a proporção, igualando a razão

que contém o x, que é x

4

, como o produto das outras razões, obtidas segundo orientação das flechas:

x

4= 6

8

360

160 x

4 = 4

3

9

4x

4= 1

1

3

1 x

4 = 3

1

x = 12

Resposta: 12 dias.

2º) Trabalhando durante 6 dias, 5 operários produzem 400 peças. Quantas peças desse mesmo tipo serão produzidas por 7 operários trabalhando durante 9 dias?

Resolução: Inicialmente vamos organizar os dados no

seguinte quadro, indicando o número de peças pedido pela letra x.

Operários Dias Peças 5 6 400 7 9 x A B C

Fixando a grandeza A, vamos relacionar as grandezas B e C, se aumentarmos o número de dias, o número de peças também aumentará; logo, as grandezas B e C são diretamente proporcionais.

Fixando a grandeza B, vamos relacionar as grandezas A e C, se aumentarmos o número de operários, o número de peças também aumentará, logo, as grandezas A e C são diretamente proporcionais.

Então, a grandeza C é diretamente proporcional às grandezas A e B; logo seus valores são diretamente proporcionais aos produtos dos valores das grandezas A e B, ou seja:

x

400 = 9

6

7

5 x

400 = 3

2

7

5 x

400 = 21

10

x

40 = 21

1 x = 40 . 21 x = 840

Resposta: Produzirão 840 peças.

EXERCÍCIOS

P1) Um automóvel gasta 10 litros de gasolina para percorrer 65km. Quantos litros gastará num percurso de 910km?

P2) Qual o tempo gasto por 12 homens para executar um trabalho que 8 homens nas mesmas condições executam em 9 dias?

P3) Um fonte dá 38 litros de água em 5 minutos; quantos litros dará em uma hora e meia?

P4) Para tecer 19m de um tecido com 50cm de largura são gastos 38kg de lã. Quantos metros serão tecidos com 93kg da mesma lã, sendo a largura de 60cm?

P5) Numa transmissão de correia, a polia maior tem 30cm de diâmetro e a menor 18cm. Qual o número de rotações por minuto da menor polia, se a maior dá 45 no mesmo tempo?

P6) Com 9 há de gasto podem ser mantidas 20 cabeças de gado. Quantos há serão necessários para manter 360 cabeças?

P7) Uma máquina, que funciona 4 horas por dia durante 6 dias produz 2000 unidades. Quantas horas deverá funcionar por dia para produzir 20.000 unidades em 30 dias?

P8) Um automóvel, com a velocidade de 80km por hora, percorreu certa distância em 6 horas. Que tempo gastará para percorrer a mesma distância se reduzir a velocidade para 50km por hora?

P9) Um automóvel percorreu certa distância em 4h, com a velocidade de 60km por hora. Qual o tempo que gastará para percorrer a mesma distância com a velocidade de 90km por hora?

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P10) Se três homens podem arar um campo de 8 há em 5 dias, trabalhando 8 horas diárias, em quantos dias 8 homens poderão arar 192 há trabalhando 12 horas diárias?

P11) Com 16 máquinas de costura aprontaram-se 720 uniformes em 8 dias de trabalho. Quantas máquinas serão necessárias para confeccionarem 2160 uniformes em 24 dias?

P12) Se 54 operários trabalhando 5 horas por dia levaram 45 dias para construir uma praça de forma retangular de 225m de comprimento por 150m de largura, quantos operários serão necessários para construir em 18 dias, trabalhando 12 horas por dia, outra praça retangular de 195m de comprimento por 120m de largura?

P13) Para construir um canal de 104m de comprimento por 5m de profundidade e 7m de largura, 100 operários, trabalhando 7 horas por dia, levaram 2 meses e meio. Aumentando de 40 o número de operários e fazendo-os trabalhar 10 horas por dia, pergunta-se: em quanto tempo os operários construíram um segundo canal, com o mesmo comprimento do primeiro, porém de profundidade e largura duplas da do primeiro?

P14) Se com 1000 litros de água se rega um campo de 450 há durante 20 dias, qual é a quantidade de água necessária para se regar outro campo de 200 há durante 30 dias?

P15) Para o piso de uma sala empregam-se 750 tacos de madeira de 5cm de comprimento por 3cm de largura. Quantos tacos de 40cm de comprimento por 7,5cm de largura são necessários para um piso cuja superfície é dupla da anterior?

P16) Se 10 operários, trabalhando 8 horas diárias, levantam em 5 1/2 dias uma parede de 22m de comprimento por 0,45 de espessura em quanto tempo 16 operários, trabalhando também 8 horas por dia, levantam outra parede de 18m de comprimento, 0,30 de espessura e de altura duas vezes maior que a primeira?

P17) Um bloco de mármore de 3m de comprimento, 1,50m de largura e 0,60 de altura pesa 4350kg. Quanto pesará um bloco do mesmo mármore cujas dimensões são: comprimento 2,20 largura 0,75m e altura 1,20?

P18) Um navio tem viveres para 20 dias de viagem. Porém um imprevisto deixou-o ancorado em alto mar durante 10 dias, onde o comandante do navio foi avisado da previsão do atraso. Em quanto se deve reduzir a ração diária da tripulação, para que não faltasse comida até o fim da viagem?

P19) Uma pessoa calculou que o dinheiro que dispunha seria suficiente para passar 20 dias na Europa. Ao chegar, resolveu prolongar sua viagem por mais 4 dias. A quanto teve de reduzir o sue gasto diário médio?

P20) Alguns operários devem terminar certo serviço em

36 dias, trabalhando 8 horas por dia. O encarregado, após 20 dias, verifica que só 0,4 da obra estava pronta. Para entregar o serviço na data fixada; quantas horas por dia devem os operários trabalhar nos dias restantes?

GABARITO - REGRA DE TRÊS

P1) 140 litros

P2) 6 dias

P3) 684 litros

P4) 38,75 metros

P5) 75 rotações

P6) 162 há

P7) 8 horas por dia

P8) 9 horas e 36min

P9) 2 h e 45min

P10) 30 dias

P11) 12 máquinas

P12) 39 operários

P13) 5 meses

P14) 666,666 litros

P15) 75 tacos

P16) 3,15 dias

P17) 3190 kg

P18) 3

1

P19) 6

1

P20) 15 horas

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