(1. Mecânica) (1)

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MINISTRIO DA EDUCAO UNIVERSIDADE FEDERAL DE PELOTAS INSTITUTO DE FSICA E MATEMTICA DEPARTAMENTO DE FSICA Elementos de Fsica para Biologia cd. 090089 Notas de aula Prof Lisete Dias 1. Fundamentos da Mecnica 1.1. Medidas e unidades importante ressaltar que toda medida em Fsica est associada idia de comparao, isto , adotamos certa quantidade como padro e o resultado da medida a comparao com esse padro. Por exemplo, para medir distncias usamos como padro o metro (m). s vezes usamos tambm o quilmetro (km) ou outras unidades. Ex Medidas/unidades no Sistema internacional Comprimento metro (m) Massa- quilograma ( kg) Tempo- segundo ( s) Fora- Newton ( N) Velocidade- (m/s) Acelerao- (m/s) Energia- Joule ( J) Potncia- Watt( W)= Joule/segundo Notaes cientficas e prefixos mais usadas: mili m = 10 3 micro = 10 6 nano n = 10 9 quilo k = 10 3 mega M = 10 6 Exerccios: 1-Converta as seguintes grandezas, de acordo com o indicado: a) 6.10-4m (em mm); b) 8.10--5s (em s); c) 97.102g (em kg). 2- Notao cientfica: transforme e coloque o prefixo correspondente. 1200000= 0,00000125= 0,00134= 1000= 3- A massa especfica do ouro de 19,3g/cm3. Converta este valor para kg/m3. 4-O jato Concorde, atualmente fora de operao, ainda o avio comercial mais rpido at hoje fabricado, podendo viajar a 1400mi/h. Sabendo que 1 milha = 1609,34m, converta este valor de velocidade para (a) m/s e (b) km/h

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1.2. Vetores 1.2.1. Coordenadas cartesianas Ex: Tomando-se um ponto O arbitrrio como origem, a coordenada x caracterizando a posio P do objeto ser dada por: x = +d se estiver no sentido da flecha a partir da origem

Figura 1

x = -d se estiver no sentido oposto da flecha a partir da origem

Figura 2

onde d a distncia do ponto P at a origem O.

1.2.2. Grandezas escalares e vetoriais Escalares: soma simples dos mdulos (valor numrico) Ex: Massas: 2kg + 2kg= 4 kg Vetoriais: Como possvel adicionar grandezas que, alm do mdulo, tm direes e sentidos diferentes? Ou ainda efetuar subtraes e multiplicaes de grandezas vetoriais? Um vetor representado graficamente atravs de um segmento orientado (uma flecha). A vantagem dessa representao que ela permite especificar a direo (e esta dada pela reta que contm a flecha) e o sentido (especificado pela flecha). Alm disso, o seu mdulo (v) ser especificado pelo "tamanho" da flecha, a partir de alguma conveno para a escala.

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Ex. de soma de vetores de mesma direo e sentido e mesma direo e sentidos opostos

r r | v |= mdulo de v Figura 3

1.2.3. Soma de vetores em duas direesr v:

r r Sejam v1 e v 2 dois vetores. A soma desses vetores um terceiro vetor, o vetor resultante r r r v = v1 + v 2

Para determinarmos o mdulo, a direo e o sentido desse vetor resultante, utilizamos a regra do paralelogramo. r r Primeiramente, desenhamos o paralelogramo definido a partir dos vetores v1 e v 2 .

a. Mdulo do vetor resultante dado pela diagonal do paralelogramo, como indicado ao lado.

Figura 4 Assim,

r r r r r | v | 2 = ( v 1 ) 2 + ( v 2 ) 2 2 v1 v 2 cos onde o ngulo entre os dois vetores. Como a velocidade resultante a diagonal maior do paralelogramo ( figura 4) usamos o ngulo maior do que 90 entre eles. Assim o valor do cosseno ter sinal negativo. Resultar ento um sinal positivo na frmula acima.

b. DireoAquela da reta que contm a diagonal que passa pela origem comum.

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c. Sentido

r r A partir das origens dos dois vetores, v1 e v 2 . Podemos ainda definir por quadrantes de um sistema de coordenadas, ou seja, a figuraExerccios: 1-Um determinado vetor possui uma componente x igual a -12 unidades e uma componente y com 37 unidades. Determine o mdulo e a direo deste vetor. 2-Determine o mdulo, a direo e o sentido dos seguintes vetores representados pelas suas componentes: (a) Cx = 4,32cm e Cy = -3,45cm (b) Dx = -5,25cm e Dy = 2,27cm

2. Foras ( Dinmica de partculas) 2.1. Fora e interao Foras resultam da interao da matria. 2.2. Identificando as foras As foras so divididas em duas categorias: as inerentes s interaes fundamentais e s interaes que destas derivam. 2.3. Foras fundamentais e noo de campo Para que haja interao entre os objetos, no h necessidade de eles estarem prximos. Podem surgir foras entre objetos mesmo que eles estejam muito longe uns dos outros. Nesta categoria esto as foras fundamentais da natureza. como se existisse algo que faz a ligao entre os objetos: um campo de foras. 2.4. Outras foras Fora interatmica e fora sobre objeto imerso num fluido viscoso. 2.5. Foras na mecnica Foras na mecnica: fora peso, fora contato e fora tenso. 2.6. Foras no cotidiano Foras no cotidiano: fora gravitacional, movimento dos planetas, movimento dos satlites e as mars. 2.7. Unidades Na Dinmica usaremos exclusivamente o Sistema Internacional de Unidade (SI), que tem, para unidade de intensidade de fora, o Newton, cujo smbolo N.

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3. As Leis de Newton Explicao do movimento preocupando-se com as foras que o origina. 3.1. Lei da Inrcia "Qualquer corpo em movimento retilneo e uniforme (ou em repouso) tende a manter-se em movimento retilneo e uniforme (ou em repouso)." Representao matemtica: r F =0

Figura 5 Ex. colises no trnsito

O princpio da inrcia explica por que as pessoas se ferem em acidentes automobilsticosfigura 5. Enquanto os carros tm suas velocidades reduzidas pela coliso, a tendncia das pessoas manterem-se em movimento. Da resulta os corpos serem jogados contra o parabrisas ou outras partes do carro. O uso do cinto de segurana tenta minimizar o efeito, fixando as pessoas ao veculo. Exerccios: 1-Uma bola lanada verticalmente de baixo para cima possui velocidade nula no ponto mais elevado de sua trajetria. Desprezando o atrito com o ar, responda: a bola est em equilbrio nesse ponto? Justifique. 2- Uma esttua suspensa pela extremidade de uma corda vertical. A tenso na corda maior quando a esttua est em repouso ou quando ela se movimenta com velocidade constante? Justifique

3.2. 2 Lei A segunda lei de Newton a lei fundamental da Mecnica. A partir dela e de mtodos matemticos podemos fazer previses (velocidade e posio, por exemplo) sobre o movimento dos corpos. Representao matemtica:

F = m.a

r

r

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Figura 6 Exemplo: Fora maior para carrinho mais pesado Para produzir uma acelerao (mudana na velocidade) no carrinho da figura 6, a fora ser diretamente proporcional massa. Se o carrinho do supermercado estiver vazio, muito fcil faz-lo correr. Mas se o carrinho estiver cheio, voc tem que se esforar muito para faz-lo andar.

Exerccios: 1- Se uma fora resultante horizontal de 150 N aplicada a uma pessoa com massa de 70 kg em repouso na beira de uma banheira, qual a acelerao produzida pela aplicao desta?2- Um saco de cimento de 50 kg est suspenso por trs fios, conforme ilustra a figura 7. Dois dos fios fazem ngulos de 55 e 20, com a horizontal. Se o sistema est em equilbrio, encontre o valor das trs tenses nos fios. Considere g=10m/s.

Figura 7 3- Observa-se um corpo de 2 kg acelerar 5 m/s2 em um direo de 35 conforme ilustra a figura 8. A fora Fy que age sobre o corpo tem mdulo de 7 N. Determine o mdulo da fora Fx.

Figura 8

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3.3. 3 Lei "Para toda fora que surgir num corpo como resultado da interao com um segundo corpo, deve surgir nesse segundo, outra fora, chamada de reao, cuja intensidade e direo so as mesmas da primeira, mas cujo sentido o oposto da primeira."

Figura 9. Exemplo: Empurrando um carro Ao empurrarmos um carro (figura 9) colocando-o em movimento, aplicamos uma fora sobre ele. A fora de reao do carro est no sentido oposto fora aplicada.

Exerccios: 1- Se voc perguntar s diversas pessoas que fora faz um carro acelerar para frente, elas respondero: a fora do motor. Porm, qual a fora que est diretamente responsvel pela acelerao do carro?2- Um caminho e uma motocicleta colidem frontalmente. Durante a coliso, o caminho exerce uma fora FCM sobre a motocicleta, e a motocicleta exerce uma fora FMC sobre o caminho. As duas foras, no final da coliso (ambos parados), possuem o mesmo mdulo, ou uma delas maior que a outra? O valor da velocidade de cada veculo antes da coliso influencia a sua resposta no item anterior? 3-Um copo escorrega e cai da superfcie da mesa em direo ao piso de uma cozinha. No despreze a resistncia do ar ao responder as seguintes questes: a) Quais foras atuam sobre o copo durante a sua queda? b) Quais so as reaes a estas foras? Demonstre em uma figura

4. Foras na Mecnica 4.1. Fora peso A fora peso o resultado da atrao gravitacional exercida pela Terra no somente sobre os objetos localizados prximo sua superfcie, mas atuando tambm a distncias relativamente longas. Trata-se do exemplo mais simples de foras de ao distncia. O fato de os objetos carem sobre a superfcie terrestre a conseqncia mais perceptvel da fora peso. Em geral, escreve-se a fora peso sob a forma:

onde g a acelerao da gravidade. 7

Pode-se determinar que, experimentalmente em So Paulo o valor aproximado de g :

O estudante deve sempre levar em conta a presena da fora peso. Geralmente, representamos a superfcie da Terra como sendo plana (o raio da Terra to grande que assim que a percebemos). A fora peso tem sempre o sentido apontado para a superfcie terrestre. Exerccio: 1- Na superfcie de IO, uma das luas de Jpiter, a acelerao da gravidade vale 1,81 m/s2. Um objeto pesa 44 N na superfcie da Terra. Quanto vai pesar este objeto na superfcie de IO? Considere g=10m/s 4.2. Fora Normal Um livro repousa sobre uma mesa. Isso ocorre porque a mesa exerce uma fora sobre o livro. Essa fora perpendicular mesa (tem a direo da reta perpendicular superfcie) e equilibra a fora da gravidade (impedindo que o livro caia no cho). Esse tipo de fora, que impede o movimento na direo perpendicular s superfcies, tem sempre essa direo. Como perpendicular, neste caso, sinnimo de normal, essa fora tem o nome de Fora Normal. Por isso, ela ser indicada com a letra N. A fora normal a forma de a mesa (ou qualquer outra superfcie) reagir (fora de reao) a deformaes ditas elsticas, provocadas por objetos colocados sobre ela. Sua origem so as foras interatmicas. Obs: Peso e Normal no so um par de ao e reao. A reao ao Peso est no centro da Terra. Exerccio:1.Trs blocos esto em contato entre si sobre uma superfcie horizontal plana, conforme ilustra a figura 10. Uma fora horizontal F aplicada a m1. Se m1 = 3 kg, m2 = 4 kg , m3= 5kg e F = 20 N. Determine: a) A acelerao dos blocos b) A fora resultante em cada bloco. c) O mdulo das foras de contato entre os blocos.

Figura 10

4.3. A Fora de Atrito A fora de atrito se origina, em ltima anlise, de foras interatmicas, ou seja, da fora de interao entre os tomos. Quando as superfcies esto em contato, criam-se pontos de aderncia ou colagem (ou ainda solda) entre as superfcies. o resultado da fora atrativa entre os tomos prximos uns dos outros. 8

Se as superfcies forem muito rugosas, a fora de atrito grande porque a rugosidade pode favorecer o aparecimento de vrios pontos de aderncia, como mostra a figura 11.

Figura 11. Atrito entre as superfcies de contato Isso dificulta o deslizamento de uma superfcie sobre a outra. Assim, a eliminao das imperfeies (polindo as superfcies) diminui o atrito. Mas isto funciona at certo ponto. medida que a superfcie for ficando mais e mais lisa o atrito aumenta. Aumenta-se, no polimento, o nmero de pontos de "solda". Aumentamos o nmero de tomos que interagem entre si. Pneus "carecas" reduzem o atrito e, por isso, devem ser substitudos. No entanto, pneus muito lisos (mas bem constitudos) so utilizados nos carros de corrida. a) Direo As foras de atrito resultantes do contato entre os dois corpos slidos so foras tangenciais superfcie de contato. No exemplo acima, a direo da fora de atrito dada pela direo horizontal. Por exemplo, ela no aparecer se voc levantar a caixa. b) Sentido A fora de atrito tende sempre a se opor ao movimento relativo das superfcies em contato. Assim, o sentido da fora de atrito sempre o sentido contrrio ao movimento relativo das superfcies.

Figura 12

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c)Mdulo Sobre o mdulo da fora de atrito cabem aqui alguns esclarecimentos: enquanto a fora que empurra a caixa for pequena, o valor do mdulo da fora de atrito igual fora que empurra a caixa. Ela anula o efeito da fora aplicada. Uma vez iniciado o movimento, o mdulo da fora de atrito proporcional fora (de reao) do plano-N. Escrevemos: Fat = N O coeficiente conhecido como coeficiente de atrito. Como a fora de atrito ser tanto maior quanto maior for , v-se que ele expressa propriedades das superfcies em contato (da sua rugosidade, por exemplo). Em geral, devemos considerar dois coeficientes de atrito: um

chamado cinemtico c e outro, esttico, e . Em geral, e > c , refletindo o fato de que a fora de atrito ligeiramente maior quando o corpo est a ponto de se deslocar (atrito esttico) do que quando ela est em movimento (atrito cinemtico). O fato de a fora de atrito ser proporcional fora de reao normal representa a observao de que mais fcil empurrar uma caixa medida que a vamos esvaziando. Representa tambm por que fica mais difcil empurr-la depois que algum se senta sobre ela (ao aumentar o peso N tambm aumenta).Fat c = c N

Exerccios: 1-(FUND. CARLOS CHAGAS) Um bloco de madeira pesa 2,0 . 103N. Para desloc-lo sobre uma mesa horizontal, com velocidade constante, necessrio aplicar uma fora horizontal de intensidade 1,0 . 102N. O coeficiente de atrito dinmico entre o bloco e a mesa vale: 2-Nos dois esquemas da figura 13 tm-se dois blocos idnticos A e B sobre um plano horizontal com atrito. O coeficiente de atrito entre os blocos e o plano de apoio vale 0,50. Aos dois blocos so aplicadas foras constantes, de mesma intensidade F, com as inclinaes indicadas, onde cos q = 0,60 e sen q = 0,80. No se considera efeito do ar.

Figura 13 Os dois blocos vo ser acelerados ao longo do plano e os mdulos de suas aceleraes so aA e aB. Assinale a opo correta: a) aA = aB; b) aA > aB; c) aA < aB; d) no podemos comparar aA e aB porque no conhecemos o valor de F; e) no podemos comparar aA e aB porque no conhecemos os pesos dos blocos. Fat e = e N

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4.4. Fora de Tenso Fios que interligam ou acoplam os objetos impem restries ao seu movimento. Disso resulta uma fora chamada de tensora, ao longo do fio. Designaremos essa fora tensora abreviadamente por tenso e utilizaremos a letra T para represent-la. A tenso T (a fora tensora) tem a direo do fio. Exerccio:1- Dois corpos, A e B de massas 20Kg e 5kg respectivamente, so ligados por um fio inextensvel. Aplica-se uma fora de mdulo 50N no corpo B. Desprezando o atrito e a resistncia do ar, calcule a fora de trao do fio que liga os corpos. 5. Torque ou Momento de uma Fora O que caracteriza o movimento em geral a variao do vetor de posio. Dizemos assim que houve movimento se o vetor de posio r passou para outro vetor de posio r', conforme figura 14,

Figura 14 Ns dizemos que o movimento de rotao pura se a direo e o sentido do vetor posio mudam, ou seja, se apenas o mdulo do vetor permanece constante. Portanto, numa rotao pura,r r | r |=| r ' | necessrio que dessa fora (ou foras) resulte um torque ou momento aplicado num ponto do mesmo. O torque de uma fora uma grandeza vetorial. Sua unidade no SI [N.m]. r Sendo O o ponto em torno do qual se d a rotao, chamemos de r vetor de posio, com origem v em O e que indica o ponto de aplicao da fora F . O mdulo do torque dado pelo produto do mdulo da fora pelo mdulo do vetor v posio e pelo seno do ngulo formado entre o de r prolongamento do vetor posio r e fora F , conforme figuras 15 e 16.

v r r | |=| F || r | sen

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Figura 15 Na figura 15 o vetor Torque est entrando na folha de papel, perpendicularmente. Direo: perpendicular folha Sentido: entrando no papel, no eixo de rotao Mdulo = Frsen Rotao ser no sentido horrio

Figura 16 Na figura 16 o vetor Torque saindo da folha de papel, perpendicularmente. Direo: perpendicular folha Sentido: saindo do papel Mdulo = Frsen Rotao ser no sentido anti-horrio. Use a regra da mo direita para definir a direo e o sentido do vetor torque.v Posicione os dedos da mo direitavna direo indicada pela fora F . O polegar esticado r indicar a direo procurada. (tapa de F contra r ). Quanto maior for o torque maior ser a facilidade para abrir uma porta. Por isso, to difcil abrir uma porta empurrando-a nos pontos prximos s suas dobradias (como a distncia pequena, o torque pequeno). A rotao provocada por um torque pode ter dois sentidos: o sentido do ponteiro dos relgios e o sentido oposto (isto , podemos abrir ou fechar uma porta aplicando torques em sentidos opostos). Quando aplicamos dois torques iguais num corpo, mas com sentidos opostos, existe equilbrio. O corpo no entra em rotao. Assim sendo, rotaes decorrem de torques aplicados ao corpo. Uma vez colocado em rotao, um corpo permanecer sempre em rotao, a menos que lhe apliquemos torques. 12

Aplicaes nas alavancas

Figura: fontehttp://www.slideshare.net/quanticmove/aula-05-1740157

Exerccio: 1- Determine o torque resultante ao redor de um ponto O para uma fora F que atua sobre uma barra, conforme ilustra a figura 17 a, b,c e d. Em todos os casos ilustrados na figura, tanto a fora F quanto a barra esto no plano da pgina, sendo que a barra possui um comprimento de 2,7 m e a fora F possui um mdulo de 5 N.

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Figura 17 6. Equilbrio Num sistema de referncia, um corpo permanece em repouso ou em movimento retilneo e uniforme, se nenhuma fora resultante for aplicada ao corpo. O corpo permanecer em repouso se a sua velocidade inicial nula no sistema de referncia escolhido. Isso representa o equilbrio na translao , o corpo permanecer em repouso se . Por outro lado, se nenhum torque aplicado ao corpo, ele permanecer estvel tambm quanto s rotaes. , o corpo no sofre rotaes, se j estava parado. Assim, dizemos que um corpo est em equilbrio com relao a um sistema de referncia se e .

No haver translao nem rotao se j se encontrava parado. So vistos, em geral, foras e torques em prateleiras, em pontes e em utenslios diversos.

Exerccio: 1- Uma barra de 10 m de comprimento e 270 N de peso est presa a uma parede atravs de um pino, como ilustra a figura 18 a e b. A sustentao desta barra se d atravs de um cabo que forma um ngulo de 48 com a horizontal. Uma caixa de 750 N de peso colocada sobre esta 14

barra numa distncia de 2,5 m da parede vertical, como tambm ilustra a figura (a). Calcule, de acordo com a figura (b), o mdulo da tenso T no cabo de sustentao e o mdulo da fora F que est sendo exercida pela parede sobre a referida barra.

Figura 18 7. Mquina Simples Na Fsica, o termo mquinas simples reservado a pequenos objetos ou instrumentos que facilitam a execuo de diferentes afazeres do dia-a-dia. Um martelo, uma tesoura, uma alavanca, um sistema de roldanas conforme figura 19 , um plano inclinado so exemplos de mquinas simples. Mquinas simples so aquelas que modificam e transmitem a ao de uma fora para realizar algum movimento.

Figura 19 Exerccios 1. Polias A)Um bloco de 11 kg est preso a uma balana de mola e que est presa ao teto por uma corda. Qual a leitura na balana? B) O bloco est suspenso por uma corda que passa por uma roldana, que se prende a uma balana de mola, que por sua vez est presa a parede por outra corda. Qual a 15

leitura na balana? C)A parede foi substituda por outro bloco de 11kg, esquerda e o conjunto ficou em equilbrio. Qual a leitura na balana? a) b) c)

2.Plano Inclinado e polias Um bloco de massa m1=3,7kg est sobre um plano com 30 de inclinao, sem atrito, preso por uma corda que passa por uma polia, de massa e atrito desprezveis e na extremidade um segundo bloco de massa m2=2,3 kg, pendurado verticalmente conforme figura. Quais so: a) Os mdulos das aceleraes de cada bloco? b) o sentido da acelerao de m2?e c) a tenso na corda?

Referncias: Halliday, Resnick, Walker. Fundamento de Fsica 1 e 2. 7 Edio. LTC Mecnica Disponvel em :http://efisica.if.usp.br/mecanica/basico/ . Acesso em 10/7/11 Luis Fbio S. Pucci. Polias e engrenagens. Disponvel em:http://educacao.uol.com.br/fisica/polias-e-engrenagens.jhtm. Acesso em 12/7/ 11 Simples. Disponvel em http://www.feiradeciencias.com.br/sala06/06_RE05.asp. Acesso em 12/7/11 Vieira, V; Dias, F.T. Fsica Bsica I. Lemad. Ufpel, 2007 Potncia. Disponvel em: http://www.brasilescola.com/fisica/potencia.htm. Acesso em 13/7/11 Fora de Atrito Disponvel em: http://www.coladaweb.com/exerciciosresolvidos/exercicios-resolvidos-de-fisica/atrito Acesso em 13/7/11 Leis de Newton: Disponvel em/http://www.coladaweb.com/exerciciosresolvidos/exercicios-resolvidos-de-fisica/leis-de-newton. Acesso em 13/7/11Luiz Ferraz Netto. Mquinas

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