(1) MTM A

Incluso para a vida Matemtica A

Pr Universidade 1

UNIDADE 1

ARITMTICA BSICA

MLTIPLO DE UM NMERO

Sendo a, b e c nmeros naturais e a . b = c, diz-se que c

mltiplo de a e b.

Exemplo: Mltiplos de 3

M(3) = {0, 3, 6, 9, ....}

Observaes:

O zero mltiplo de todos os nmeros.

Todo nmero mltiplo de si mesmo.

Os nmeros da forma 2k, k N, so nmeros mltiplos de 2 e esses so chamados nmeros pares.

Os nmeros da forma 2k + 1, k N, so nmeros mpares.

DIVISOR DE UM NMERO

Sendo a, b e c nmeros naturais e a . b = c, diz-se que a e

b so divisores c.

Exemplo: Divisores de 12

D(12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12}

Observaes:

O menor divisor de um nmero 1.

O maior divisor de um nmero ele prprio.

Quantidade de divisores de um nmero

Para determinar a quantidade de divisores de um nmero

procede-se da seguinte forma:

a) Decompem-se em fatores primos o nmero dado;

b) Tomam-se os expoentes de cada um dos fatores e a cada um desses expoentes adiciona-se uma

unidade;

c) Multiplicam-se os resultados assim obtidos.

Exemplo: Determinar o nmero de divisores de 90

90 = 21 . 32 . 51

(1 + 1).(2+1).(1 +1) = 2.3.2 = 12

Logo, 90 possui 12 divisores

CRITRIOS DE DIVISIBILIDADE

Divisibilidade por 2

Um nmero divisvel por 2 se for par.

Exemplos: 28, 402, 5128.

Divisibilidade por 3 Um nmero divisvel por 3 se a soma dos valores

absolutos dos seus algarismos for divisvel por 3.

Exemplos: 18, 243, 3126.

Divisibilidade por 4 Um nmero divisvel por 4 se os dois ltimos algarismos

forem divisveis por 4 ou quando o nmero terminar em

00.

Exemplos: 5716, 8700, 198200.


Um nmero divisvel por 5 se o ltimo algarismo for 0

ou 5.

Exemplos: 235, 4670, 87210.

Divisibilidade por 6 Um nmero divisvel por 6 se for simultaneamente

divisvel por 2 e 3.

Exemplos: 24, 288, 8460.


Processo prtico: Veja o nmero 4137

1 Passo: separa-se o ltimo algarismo e dobra-se o seu

valor.

4137 7 2 x 7 = 14

2 Passo: subtrai-se o nmero assim obtido do nmero que

restou aps a separao do ltimo algarismo.

413 14 = 399

3 Passo: procede-se assim at se obter um nmero

mltiplo de 7.

399 9 2 x 9 = 18 39 18 = 21

21 1 2 x 1 = 2 2 2 = 0

Logo 4137 mltiplo de 7


Um nmero divisvel por 8 se os trs ltimos algarismos

forem divisveis por 8 ou forem trs zeros.

Exemplos: 15320, 67000.


Um nmero divisvel por 9 quando a soma dos seus

algarismos for um nmero divisvel por 9.

Exemplos: 8316, 35289.


Um nmero divisvel por 10 se o ltimo algarismo for

zero.

Exemplos: 5480, 1200, 345160.

NMEROS PRIMOS

Um nmero p, p 0 e p 1 denominado nmero primo

se apresentar apenas dois divisores, 1 e p.

Exemplos: 2, 3, 5, 7, 11, 13,.....

Observao: Um nmero denominado composto se no

for primo.

MNIMO MLTIPLO COMUM

Denomina-se menor ou mnimo mltiplo comum (M.M.C)

de dois ou mais nmeros o nmero p diferente de zero, tal

que p seja o menor nmero divisvel pelos nmeros em

questo.

Exemplo: Determinar o M.M.C entre 6 e 8.

Processo 1: M(6) = {6, 12, 18, 24, 30, 36, ....}

M(8) = {8, 16, 24, 32, 40, 48, ...}

Logo o M.M.C. entre 6 e 8 24

Matemtica A Incluso para a Vida

Pr Universidade 2

Processo 2:

6 8

3 4

3 2

3 1

1 1

2

2

2

3

Logo o M.M.C. entre 6 e 8 23.3 = 24

MXIMO DIVISOR COMUM

Denomina-se mximo divisor comum (M.D.C) de dois ou

mais nmeros o maior dos seus divisores comuns.

Exemplo: Determinar o M.D.C. entre 36 e 42

Processo 1: D(36) = {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36}

D(42) = {1, 2, 3, 6, 7, 21, 42}

Logo, o M.D.C. entre 36 e 42 6.

Processo 2: 36 = 22.32 e 42 = 2.3.7

Os fatores comuns entre 36 e 42 so 2.3

Logo, o M.D.C. entre 36 e 42 6.

Exerccios de Sala

1. (UFSC) Um pas lanou em 02/05/2000 os satlites artificiais A, B e C com as tarefas de fiscalizar o

desmatamento em reas de preservao, as nascentes dos

rios e a pesca predatria no Oceano Atlntico. No dia

03/05/2000 podia-se observ-los alinhados, cada um em

uma rbita circular diferente, tendo a Terra como centro.

Se os satlites A, B e C levam, respectivamente, 6, 10 e 9

dias para darem uma volta completa em torno da Terra,

ento o nmero de dias para o prximo alinhamento :

2. Sejam x e y o m.d.c e o m.m.c de 12 e 20, respectivamente. O valor de x. y :

a) 240 c) 100 e) 230

b) 120 d) 340

3. O nmero de divisores naturais de 72 : a) 10 c) 12 e) 14

b) 11 d) 13

Tarefa Mnima

1. Considere os nmeros A = 24, B = 60; C = 48. Determine:

a) M.M.C entre A e B b) M.D.C entre B e C c) M.M.C entre A, B e C d) M.D.C entre A, B e C

2. Sejam x e y o m.d.c e o m.m.c de 20 e 36, respectivamente. O valor de x. y :

a) 240 c) 120 e) 230

b) 720 d) 340

3. Determine o nmero de divisores naturais dos nmeros a) 80 b) 120

4. Um ciclista d uma volta em uma pista de corrida em 16 segundos e outro ciclista em 20 segundos. Se os dois

ciclistas partirem juntos, aps quanto tempo iro se

encontrar de novo no ponto de partida, levando em

considerao ambas as velocidades constantes?

5. Trs vizinhos tm por medidas de frente: 180m, 252m e 324m, respectivamente, e mesmas medidas para os fundos.

Queremos dividi-los em faixas que tenham me didas iguais

de frente e cujo tamanho seja o maior possvel. Ento cada

faixa medir na frente:

a) 12 m c) 24 m e) 36 m

b) 18 m d) 30 m

Tarefa Complementar

6. Um alarme soa a cada 10 horas, um segundo alarme a cada 8 horas, um terceiro a cada 9 horas e um quarto a

cada 5 horas. Soando em determinado instante os quatro

alarmes, depois de quanto tempo voltaro a soar juntos?

a) 240 horas c) 32 horas e) 320 horas

b) 120 horas d) 360 horas

7. Trs tbuas medindo respectivamente 24cm, 84cm e 90 cm sero cortadas em pedaos iguais, obtendo assim

tbuas do maior tamanho possvel. Ento cada tbua

medir:

a) 10 cm c) 8 cm e) 4 cm

b) 6 cm d) 12 cm

8. Sejam os nmeros A = 23.32. 5 B = 22 . 3 . 52

Ento o M.M.C e o M.D.C entre A e B valem

respectivamente:

a) 180 e 60 d) 1800 e 60

b) 180 e 600 e) n.d.a.

c) 1800 e 600

9. (Santa Casa-SP) Seja o nmero 717171x, onde x indica o algarismo das unidades. Sabendo que esse nmero

divisvel por 4, ento o valor mximo que x pode assumir

:

a) 0 c) 4 e) 8

b) 2 d) 6

10. (PUC-SP) Qual dos nmeros abaixo primo? a) 121 c) 362 e) n.d.a.

b) 401 d) 201

11. (PUC-SP) Um lojista dispe de trs peas de um mesmo tecido, cujos comprimentos so 48m, 60m e 80m.

Nas trs peas o tecido tem a mesma largura. Deseja

vender o tecido em retalhos iguais, cada um tendo a

largura das peas e o maior comprimento possvel, de

modo a utilizar todo o tecido das peas. Quantos retalhos

ele dever obter?

12. (UEL-PR) Seja p um nmero primo maior que 2. verdade que o nmero p2 1 divisvel por:

a) 3 c) 5 e) 7

b) 4 d) 6

13. Sejam A e B o mximo divisor comum (M.D.C) e o mnimo mltiplo comum de 360 e 300, respectivamente.

O produto A.B dado por: 2x.3y.5z, ento x + y + z vale:


Pr Universidade 3

14. (Fuvest-SP) O menor nmero natural n, diferente de zero, que torna o produto de 3 888 por n um cubo perfeito

:

a) 6 c) 15 e) 24

b) 12 d) 18

15. (ACAFE) Um carpinteiro quer dividir em partes iguais trs vigas, cujos comprimentos so, respectivamente, 3m,

42dm, 0,0054 km, devendo a medida de cada um dos

pedaos ser a maior possvel. O total de pedaos obtidos

com as trs vigas :

a) 18 c) 210 e) 20

b) 21 d) 180

UNIDADE 2

CONJUNTOS NUMRICOS

CONJUNTOS NUMRICOS

Conjunto dos Nmeros Naturais

N = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, ... }

Um subconjunto importante dos naturais (N) o conjunto

N* ( naturais sem o zero )

N* = { 1, 2, 3, 4, 5, ... }

a, b N, (a + b) N e (a . b) N

Conjunto dos Nmeros Inteiros

Os nmeros inteiros surgiram com a necessidade de

calcular a diferena entre dois nmeros naturais, em que o

primeiro fosse menor que o segundo.

Z = { ... -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... } Podemos citar alguns subconjuntos dos inteiros

Z* = inteiros no nulos... { ... -3, -2, -1, 1, 2, 3, ... }

Z+ = inteiros no negativos... { 0, 1, 2, 3, ... }

Z*+ = inteiros positivos... { 1, 2, 3, 4, ... }

Z _ = inteiros no positivos... { ..., -3, -2, -1, 0}

Z*_ = inteiros negativos... { ... -3, -2, -1 }

a, b Z, (a + b) Z, (a . b) Z e (a b) Z

Conjunto dos Nmeros Racionais

Os nmeros Racionais surgiram com a necessidade de

dividir dois nmeros inteiros, onde o resultado era um

nmero no inteiro.

Q = { x | x a

b, com a Z, b Z* }

Ou seja, todo nmero que pode ser colocado em forma de

frao um nmero racional.

So exemplos de nmeros racionais:

a) Naturais

b) Inteiros

c) decimais exatos ( 0,2 = 2

10 )

d) dzimas peridicas ( 0,333... = 1

3 )

As quatro operaes so definidas nos racionais.

Com a ressalva que a diviso por zero impossvel (exceto

quando o numerador for zero tambm).

Geratrizes de uma dzima peridica

Toda frao que d origem a uma dzima peridica se

chama GERATRIZ. Para determinarmos a GERATRIZ de

uma dzima peridica, procedemos assim:

a) Dzima Peridica Simples: um nmero fracionrio

cujo numerador o algarismo que representa a parte

peridica e o denominador um nmero formado por

tantos noves quantos forem os algarismos do perodo.

Exemplos:

a) 0777...= 9

7

b) 0,333....= 3

1

9

3

c) 0,434343... = 99

43

b) Dzima Peridica Composta: um nmero fracionrio

cujo numerador a diferena entre a parte no peridica

seguida de um perodo e a parte no peridica, e cujo o

denominador um nmero formado de tantos noves

quantos so os algarismos do perodo, seguido de tantos

zeros quantos so os algarismos da parte no peridica.

Exemplos:

a) 0,3777... = 45

17

90

34

90

337

b) 0,32515151... = 3300

1073

9900

3219

9900

323251

Conjunto dos Nmeros Irracionais

Apesar de que entre dois nmeros racionais existir sempre

um outro racional, isso no significa que os racionais

preencham toda reta. Veja o seguinte exemplo.

Dado o tringulo retngulo abaixo de catetos 1 e 1.

Calcular o valor da hipotenusa.

x

1

1

Aplicando o teorema de Pitgoras temos:

x2 = 12 + 12

x = 2

Extraindo a raiz de 2, teremos um nmero que no

natural, inteiro, nem racional, surge ento os nmeros

irracionais.


Pr Universidade 4

Os nmeros irracionais so aqueles que no podem ser

colocados em forma de frao, como por exemplo:

a) = 3,14... b) e = 2, 71... c) toda raiz no exata

Conjunto dos Nmeros Reais Os nmeros reais surgem da unio dos nmeros racionais

com os irracionais.

QUADRO DE RESUMO

Q I

Z

N

Por enquanto, nosso conjunto universo ser o campo dos

reais. Porm, necessrio saber que existem nmeros que

no so reais, estes so chamados de complexos e sero

estudados mais detalhadamente adiante.

PROPRIEDADES EM

Comutativa: a + b = b + a e a . b = b . a

Associativa: (a + b) + c = a + (b + c) e (a.b).c = a.(b.c)

Elemento neutro: a + 0 = a e a . 1 = a

Simtrico: a + ( a) = 0

Inverso: a . a

1 = 1, a 0

INTERVALOS NUMRICOS E MDULO DE

UM NMERO REAL

INTERVALOS NUMRICOS

Chamamos intervalo qualquer subconjunto contnuo de .

Sero caracterizados por desigualdades, conforme veremos

a seguir:

{x R| p x q} = [p, q]

{x R| p < x < q} = ]p, q[

{x R| p x < q} = [p, q[

{x R| p < x q} = ]p, q]

{x R| x q} = [q, [

{x R| x > q} = ]q, [

{x R| x q} = ] -, q]

{x R| x < q} = ] -, q[

Os nmeros reais p e q so denominados, respectivamente,

extremo inferior e extremo superior do intervalo.

Observaes

O intervalo [x, x] representa um conjunto unitrio {x}

O intervalo ]x, x[ representa um conjunto vazio { }

O intervalo ( , + ) representa o conjunto dos nmeros reais (R)

(x, y) = ]x, y[ Pode-se representar um intervalo real de 3 maneiras:

Notao de conjunto. Exemplo: {x R| 2 < x 3}

Notao de intervalo. Exemplo: ]2, 3]

Representao Grfica.

Exemplo:

Veja outros exemplos:

1) {x R| x > 2} = ]2, [

2) {x R| x 1} = ] -, 1]

3) {x R| 3 x < 4} = [3, 4[

MDULO DE UM NMERO REAL

Mdulo ou valor absoluto de um nmero real x a

distncia da origem ao ponto que representa o nmero x.

Indicamos o mdulo de x por | x |.

Definio

0 x se x,-

0 x se ,xx

Exemplos:

a) como 3 > 0, ento | 3 | = 3

b) como 3 < 0, ento |3| = (3) = 3

Propriedades

| x | 0

| x |2 = x2

||2 xx

|x y| = |y x|

|x . y| = | x |. | y |

y

x

y

x

Equao Modular

Equao Modular a equao que possui a incgnita x

em mdulo.

Tipos de equaes modulares:

Exemplo 1: | x | = 3

x = 3 ou x = -3

S = {-3, 3}

Exemplo 2: Resolva a equao |x + 2|= 6

x + 2 = 6 ou x + 2= - 6

x = 4 ou x = - 8

S = {-8, 4}

| x | = k, com k > 0, ento: x = k ou x = k


Pr Universidade 5

Exemplo 1: | x | = - 3

S =

Exemplo 2: |x + 2| = -10

S =

Inequao Modular

Sendo k > 0, as expresses do tipo | x | < k, | x | k,

| x | > k, | x | k denominam-se inequaes modulares.

Tipos de inequaes modulares:

Exemplos: | x | < 3 3 < x < 3

| x | < 10 10 < x < 10

Exemplos: | x | > 3 x < 3 ou x > 3

| x | > 10 x < 10 ou x > 10

Exerccios de Sala

1. Calcule o valor das expresses abaixo:

a)

3

1

5

2

8

1

4

3

b)

3

41:

5

32

2. (PUC-SP) Considere as seguintes equaes: I - x2 + 4 = 0

II - x2 4 = 0

III - 0,3x = 0,1

Sobre as solues dessas equaes verdade afirmar que:

a) II so nmeros irracionais.

b) III um nmero irracional.

c) I e II so nmeros reais.

d) I e III so nmeros no reais.

e) II e III so nmeros racionais.

3. Resolva em as seguintes equaes:

a) | x | = 3 d) |x + 2| = 3

b) |2x 1| = 7 e) |x|2 5|x| + 4 = 0

c) |x2 5x | = 6

Tarefa Mnima

1. Enumere os elementos dos conjuntos a seguir: a) {x N| x divisor de 12}

b) {x N| x mltiplo de 3}

c) {x N| 2 < x 7}

d) {x Z| - 1 x < 3}

e) {x| x = 2k, k N}

f) {x| x = 2k + 1, k N}

2. As geratrizes das dzimas: 0,232323... e 0,2171717... so respectivamente:

23 23 20 43 23 43a) e b) e c) e

100 99 99 99 99 198

1 1 2 1d) e e) e

3 10 10 5

3. (ACAFE) O valor da expresso ,1

2.

c

cba quando

a = 0,333...; b = 0,5 e c = - 2 igual a:

4. Resolva em as seguintes equaes:

a) |x| = 10 c) |x 2| = -3

b) |x + 1| = 7 d) x 2 + 3 x - 4 = 0 :

5. A soluo da inequao 5)12( 2 x

a) {x | 2 x 3}

b) {x | 1 x 6}

c) {x | x 3}

d) {x | x 7}

e) {x | 3 x 2}

Tarefa Complementar

6. (FATEC-SP) Se a = 0,666..., b = 1,333... e c = 0,1414..., ento a.b-1 + c igual a:

7. (FGV-SP) Quaisquer que sejam o racional x e o irracional y, pode-se dizer que:

a) x.y racional.

b) y.y irracional.

c) x + y racional.

d) x - y + 2 irracional. e) x + 2y irracional.

8. (FUVEST) Na figura esto representados geometricamente os nmeros reais 0, x, y e 1. Qual a

posio do nmero xy?

a) esquerda de 0 d) entre y e 1

b) entre zero e x e) direita de 1

c) entre x e y

9. Determine a soma dos nmeros associados s proposies corretas:

01. possvel encontrar dois nmeros naturais, ambos

divisveis por 7 e tais que a diviso de um pelo outro

deixe resto 39.

02. Sejam a e b nmeros naturais. Sendo a = 1 + b2 com b

sendo um nmero mpar, ento a par.

04. O nmero 257 real.

| x | = k, com k = 0, ento: x = 0

| x | = k, com k < 0, ento: no h soluo

| x | < k, com k > 0, ento: k < x < k

| x | > k, com k > 0, ento: x k


Pr Universidade 6

08. Existem 4 nmeros inteiros positivos e consecutivos

tais que o produto de 2 deles seja igual ao produto dos

outros dois.

16. o nmero 247 um nmero primo.

10. A expresso|2x 1| para x < 2

1 equivalente a:

a) 2x 1 d) 1 + 2x

b) 1 2x e) 1

c) 2x + 1

11. Assinale a alternativa correta:

a) Se x um nmero real, ento 2x |x |

b) Se x um nmero real, ento existe x, tal que |x| < 0

c) Sejam a e b dois nmeros reais com sinais iguais,

ento |a + b| = |a| + |b|

d) Sejam a e b dois nmeros reais com sinais opostos,

ento |a + b| > |a| + |b|

e) | x | = x, para todo x real.

12. (UFGO) Os zeros da funo f(x) = 2 1

53

x so:

a) 7 e 8 c) 7 e 8 e) n.d.a.

b) 7 e 8 d) 7 e 8

13. (FGV-SP) Qual dos seguintes conjuntos est contida no conjunto soluo da inequao 1)1( 2 x ?

a) {x R - 5 x - 1}

b) {x R - 4 x 0}

c) {x R - 3 x 0}

d) {x R - 2 x 0} e) Todos os conjuntos anteriores

UNIDADE 3

EQUAES DO 1 GRAU INEQUAES

DEFINIO

Uma sentena numrica aberta dita equao do 1 grau

quando pode ser reduzida ao tipo ax + b = 0, com a

diferente de zero.

RESOLUO

Considere, como exemplo, a equao 2x + 1 = 9.

Nela o nmero 4 soluo, pois 2.4 + 1 = 9. O

nmero 4 nesse caso denominado RAIZ da equao

Duas equaes que tm o mesmo conjunto soluo

so chamadas equivalentes.

PRINCPIO ADITIVO E MULTIPLICATIVO DA

IGUALDADE

Se: a = b ento para m a + m = b + m

Se: a = b ento para m 0 a . m = b . m

INEQUAES DO 1 GRAU

Inequaes so expresses abertas que exprimem uma

desigualdade entre as quantidades dadas.

Uma inequao dita do 1 grau quando pode ser escrita

na forma:

ax + b > 0 ax + b < 0

ax + b 0 ax + b 0

Nas inequaes do 1 grau valem tambm, os princpio

aditivo e multiplicativo com uma ressalva. Veja:

Se: a > b ento para m a + m > b + m

Se: a > b ento para m > 0 a . m > b . m

Se: a > b ento para m < 0 a . m < b . m

Exerccios de Sala

1. Resolva em R as seguintes equaes e inequaes:

a) ax + b = 0, com a 0

b) 4(x + 3) + 5 = 2(x + 7)

c) 104

32

3

1

xx

d) 502x = 500x

e) 0.x = 0

f) 0.x = 5

g) 8

3x

2

1x

2. Obtenha m de modo que o nmero 6 seja raiz da equao 5x + 2m = 20

3. Resolva em R, o seguinte sistema:

232

13

yx

yx

Tarefa Mnima

1. Resolver em R as equaes: a) 6x 6 = 2(2x + 1) b) 2(x + 1) = 5x + 3 c) (x + 1)(x + 2) = (x + 3)(x + 4) 3 d) 2(x 2) = 2x 4 e) 3(x 2) = 3x

f) 4

1

32

1

xx

2. A soluo da equao x2

1x

3

x

:

a) x = 2 c) x = 3 e) x = 1

b) x = 3 d) x = 2

3. (FGVSP) A raiz da equao 14

12x

3

1x

:

a) Um nmero maior que 5. b) Um nmero menor que 11. c) Um nmero natural. d) Um nmero irracional. e) Um nmero real.


Pr Universidade 7

4. Determine a soluo de cada sistema abaixo:

a)

3

32

yx

yx b)

1

5

yx

yx c)

122

13

yx

yx

5. Resolva em R as inequaes:

a) 3(x + 1) > 2(x 2) c) 4

1

2

x

3

1

b) 2

3x

4

10x

Tarefa Complementar

6. O valor de x + y em

14y7x

213y2x :

7. Obtenha o maior de trs nmeros inteiros e consecutivos, cuja soma o dobro do menor.

8. (UFSC) A soma dos quadrados dos extremos do intervalo que satisfaz simultaneamente, as inequaes: x +

3 2 e 2x - 1 17; :

9. As tarifas cobradas por duas agncias de locadora de automveis, para veculos idnticos, so:

Agncia AGENOR: R$ 90,00 por dia, mais R$ 0,60 por quilmetro rodado.

Agncia TEFILO: R$ 80,00 por dia, mais R$ 0,70 por quilmetro rodado.

Seja x o nmero de quilmetros percorridos durante um

dia. Determine o intervalo de variao de x de modo que

seja mais vantajosa a locao de um automvel na agncia

AGENOR do que na agncia TEFILO.

10. (UFSC) A soma dos dgitos do nmero inteiro m tal

que 5 m + 24 > 5500 e 5

8 m + 700 > 42 m, :

11. (UFSC) Para produzir um objeto, um arteso gasta R$ 1,20 por unidade. Alm disso, ele tem uma despesa fixa de

123,50, independente da quantidade de objetos produzidos.

O preo de venda de R$ 2,50 por unidade. O nmero

mnimo de objetos que o arteso deve vender, para que

recupere o capital empregado na produo dos mesmos, :

12. (UFSC) A soma das idades de um pai e seu filho 38 anos. Daqui a 7 anos o pai ter o triplo da idade do

filho. A idade do pai ser:

13. (UFSC) Na partida final de um campeonato de basquete, a equipe campe venceu o jogo com uma

diferena de 8 pontos. Quantos pontos assinalou a equipe

vencedora, sabendo que os pontos assinalados pelas duas

equipes esto na razo de 23 para 21?

14. (UNICAMP) Uma senhora comprou uma caixa de bombons para seus dois filhos. Um deles tirou para si

metade dos bombons da caixa. Mais tarde, o outro

menino tambm tirou para si metade dos bombons que

encontrou na caixa. Restaram 10 bombons. Calcule

quantos bombons havia inicialmente na caixa.

15. (UEL-PR) Um trem, ao iniciar uma viagem, tinha em um de seus vages um certo nmero de passageiros. Na

primeira parada no subiu ningum e desceram desse

vago 12 homens e 5 mulheres restando nele um nmero

de mulheres igual ao dobro do de homens. Na segunda

parada no desceu ningum, entretanto subiram, nesse

vago, 18 homens e 2 mulheres, ficando o nmero de

homens igual ao de mulheres. Qual o total de passageiros

no vago no incio da viagem?

UNIDADE 4

EQUAES DO 2 GRAU

Denomina-se equao do 2 grau a toda equao que pode

ser reduzida a forma:

ax2 + bx + c = 0 onde a, b e c so nmeros reais e a 0.

RESOLUO

1 CASO: Se na equao ax2 + bx + c = 0, o coeficiente b

for igual a zero procede-se assim:

ax2 + c = 0

ax2 = c

x2 = a

c

x = a

c

S =

a

c

a

c,

2 CASO: Se na equao ax2 + bx + c = 0, o coeficiente c

for igual a zero procede-se assim:

ax2 + bx = 0

x(ax + b) = 0

x = 0 ou ax + b = 0

S = {0, a

b }

3 CASO: Se na equao ax2 + bx + c = 0, a, b, c 0

aplica-se a frmula de Bhskara

x = 2a

b onde: = b2 4ac

Nessa frmula, = b2 4ac o discriminante da equao, o que determina o nmero de solues

reais da equao. Pode-se ter as seguintes situaes:

> 0. Existem duas razes reais e distintas = 0. Existem duas razes reais e iguais < 0. No h raiz real


Pr Universidade 8

RELAES DE GIRARD

Sendo x1 e x2 as razes da equao ax2 + bx + c, tem-se:

x1 + x2 = a

b x1 . x2 =

a

c

Exerccios de Sala

1. Resolva, em reais, as equaes:

a) 2x2 32 = 0 c) 2x2 5x 3 = 0

b) x2 12x = 0

2. Considere a equao x2 mx + m = 0 na incgnita x. Para quais valores reais de m ela admite razes reais e

iguais?

a) 0 e 4 d) 1 e 3

b) 0 e 2 e) 1 e 4

c) 0 e 1

3. Sendo x1 e x2 as razes da equao 2x2 6x + 1 = 0, determine:

a) x1 + x2 b) x1 . x2

c)

2x

1

1x

1

Tarefa Mnima

1. Resolva em R, as equaes: a) x2 5x + 6 = 0 b) x2 + 6x 8 = 0 c) 3x2 7x + 2 = 0 d) x2 4x + 4 = 0 e) 2x2 x + 1 = 0 f) 4x2 100 = 0 g) x2 5x = 0

2. Os nmeros 2 e 4 so razes da equao: a) x2 6x + 8 = 0 d) x2 5x + 6 = 0

b) x2 + x 6 = 0 e) x2 + 6x 1 = 0

c) x2 6x 6 = 0

3 (PUC-SP) Quantas razes reais tem a equao 2x2

2x + 1 = 0?

a) 0 c) 2 e) 4

b) 1 d) 3

4. A soma e o produto das razes da equao 2x2 6x + 9 = 0 so respectivamente:

a) 3 e 4,5 d) 4,5 e 5

b) 2 e 4 e) n.d.a.

c) 3 e 2

5. Sendo x1 e x2 as razes da equao 2x2 5x 1 = 0.

Obtenha

2x

1

1x

1

Tarefa Complementar

6. Resolver em R a equao 11x

1

12

x

2

7. A maior soluo da equao 2x4 5x2 3 = 0 :

a) 3 b) 2 c) 3 d) 1 e) 2

8. Sendo x1 e x2 as razes da equao 2x2 6x 3 = 0, determine a soma dos nmeros associados s proposies

verdadeiras:

01. x1 e x2 so iguais

02. x1 + x2 = 3

04. x1 . x2 = 2

3

08.

2x

1

1x

1 = 2

16. x12 + x22 = 12

32. x12.x2 + x1.x22 = 2

9

9. A soluo da equao x 3 = 3x :

10. (MACK-SP) Se x e y so nmeros reais positivos, tais que x2 + y2 + 2xy + x + y 6 =0, ento x + y vale:

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 c) 6

11. Determine a soma dos nmeros associados s proposies corretas:

01. Se a soma de um nmero qualquer com o seu

inverso 5, ento a soma dos quadrados desse

nmero com o seu inverso 23.

02. Se x1 e x2 so as razes da equao 2x2 6x 3 = 0,

ento o valor de x12.x2 + x1.x22 = 2

9

04. Se x e y so nmeros reais positivos, tais que

x2 + y2 + 2xy + x + y 6 =0, ento, x + y vale 2

08. Se x soluo da equao

x2 3 + 32 x = 2, ento, o valor de x4 = 16

16. O valor de 21

3

1

168 5

12. Considere a equao 2x2 6x + 1 = 0. Sendo x1 e x2, razes dessa equao, pode-se afirmar:

01. x1 x2

02. o produto das razes dessa equao 0,5

04. a soma das razes dessa equao 3

08. a soma dos inversos das razes 6

16. a equao no possui razes reais

13. A maior raiz da equao x4 10x2 + 9 = 0 : a) 3 b) 4 c) 8 d) 9 e) 1

14. Assinale a soma dos nmeros associados s proposies corretas:

01. A maior raiz da equao x6 x3 2 = 0 3

2

02. A maior raiz da equao 3x2 7x + 2 = 0 2

04. As razes da equao x2 4x + 5 = 0 esto

compreendidas entre 1 e 3

08. A soma das razes da equao x6 x3 2 = 0 3


Pr Universidade 9

16. A equao x2 4x + 2 = 0 no possui razes reais

15. Determine o valor de x que satisfaz as equaes:

a) xx 31

b) 2123 xx

UNIDADE 5

ESTUDO DAS FUNES

Sejam A e B dois conjuntos no vazios e uma relao R de

A em B, essa relao ser chamada de funo quando todo

e qualquer elemento de A estiver associado a um nico

elemento em B.

Formalmente:

f funo de A em B (x A, y B | (x, y) f)

Numa funo podemos definir alguns elementos.

Conjunto de Partida: A

Domnio: Valores de x para os quais existe y.

Contra Domnio: B

Conjunto Imagem: Valores de y para os quais existe x.

Observaes:

A imagem est sempre contida no Contra

Domnio (Im C.D)

Podemos reconhecer atravs do grfico de uma relao, se essa relao ou no funo. Para

isso, deve-se traar paralelas ao eixo y. Se cada

paralela interceptar o grfico em apenas um

ponto, teremos uma funo.

O domnio de uma funo o intervalo representado pela projeo do grfico no eixo das

abscissas. E a imagem o intervalo representado

pela projeo do grfico no eixo y.

Domnio = [a, b] Imagem = [c, d]

Valor de uma Funo

Denomina-se valor numrico de uma funo f(x) o valor

que a varivel y assume quando a varivel x substituda

por um valor que lhe atribudo.

Por exemplo: considere a relao y = x2 , onde cada valor

de x corresponde um nico valor de y.

Assim se x = 3, ento y = 9.

Podemos descrever essa situao como: f(3) = 9

Exemplo 1: Dada a funo f(x) = x + 2. Calcule o valor de

f(3)

Resoluo: f(x) = x + 2, devemos fazer x = 3

f(3) = 3 + 2

f(3) = 5

Exemplo 2: Dada a funo f(x) = x2 - 5x + 6. Determine o

valor de f(-1).

Resoluo: f(x) = x2 - 5x + 6, devemos

fazer x = -1

f(-1) = (-1)2 - 5(-1) + 6

f(-1) = 1 + 5 + 6

f(-1) = 12

Exemplo 3: Dada a funo f(x 1) = x2. Determine f(5).

Resoluo: f(x 1) = x2, devemos fazer x = 6

f(6 1) = 62

f(5) = 36

Observe que se fizssemos x = 5, teramos f(4) e no f(5).

Exerccios de Sala

1. Seja o grfico abaixo da funo f, determinar a soma dos nmeros associados s proposies corretas:

01. O domnio da funo f {x R | - 3 x 3}

02. A imagem da funo f {y R | - 2 y 3}

04. para x = 3, tem-se y = 3

08. para x = 0, tem-se y = 2

16. para x = - 3, tem-se y = 0

32. A funo decrescente em todo seu domnio

2. Em cada caso abaixo, determine o domnio de cada funo:

a) y = 2x + 1 b) y =

72

7

x

c) y = 23 x d) y = 22

3

x

x


Pr Universidade 10

3. ( )2x -1, se x 0

5, se 0 x 5

2x 5x 6, se x 5

Seja f x

.

Calcule o valor de:

)6(

)()3(

f

ff

Tarefa Mnima

1. (UNAERP-SP) Qual dos seguintes grficos no representa uma funo f: R R ?

a)

b)

c)

d)

e)


01. O domnio da funo f {x R | - 2 x 2}

02. A imagem da funo f {y R | - 1 y 2}

04. para x = -2 , tem-se y = -1

08. para x = 2, tem-se y = 2

16. A funo crescente em todo seu domnio

3. Determine o domnio das seguintes funes:

a) y = 93

2

x b) y = 3x

c) y = 2

6

x

x d) y =

3 5x

4. (UFSC) Considere as funes f: R R e g: R R

dadas por f(x) = x2 x + 2 e g(x) = 6x + 5

3. Calcule

f(2

1) +

4

5g(1).

5. (UFPE) Dados os conjuntos A = {a, b, c, d} e B = {1, 2, 3, 4, 5}, assinale a nica alternativa que define

uma funo de A em B.

a) {(a, 1), (b, 3), (c, 2)}

b) {(a, 3), (b, 1), (c, 5), (a, 1)}

c) {(a, 1), (b, 1), (c, 1), (d, 1)}

d) {(a, 1), (a, 2), (a, 3), (a, 4), (a, 5)}

e) {(1, a), (2, b), (3, c), (4, d), (5, a)}

Tarefa Complementar

6. (UFC) O domnio da funo real y = 7

2

x

x :

a) {x R| x > 7}

b) {x R| x 2}

c) {x R| 2 x < 7}

d) {x R| x 2 ou x > 7}

7. Considere a funo f(x) = x2 6x + 8. Determine: a) f(3) b) f(5) c) os valores de x, tal que f(x) = 0

8. (USF-SP) O nmero S do sapato de uma pessoa est relacionado com o comprimento p, em centmetros,do seu

p pela frmula S = 4

285 p. Qual o comprimento do

p de uma pessoa que cala sapatos de nmero 41?

a) 41 cm d) 29,5 cm

b) 35,2 cm e) 27,2 cm

c) 30,8 cm

9. (FUVEST) A funo que representa o valor a ser pago aps um desconto de 3% sobre o valor x de uma

mercadoria :

a) f(x) = x 3 d) f(x) = - 3x

b) f(x) = 0,97x e) f(x) = 1,03x

c) f(x) = 1,3x

10. ( FCMSCSP ) Se f uma funo tal f(a + b) = (a).f(b), quaisquer que sejam os nmeros reais a e b, ento f(3x)

igual a:

a) 3.f(x) d) [f(x)]3

b) 3 + f(x) e) f(3) + f(x) c) f(x3)


Pr Universidade 11

11. (FGV-SP) Numa determinada localidade, o preo da energia eltrica consumida a soma das seguintes parcelas:

1 . Parcela fixa de R$ 10,00;

2 . Parcela varivel que depende do nmero de

quilowatt-hora (kWh) consumidos; cada kWh custa

R$ 0,30. Se num determinado ms, um consumidor

pagou R$ 31,00, ento ele consumiu:

a) 100,33 kWh d) entre 65 e 80 kWh

b) mais de 110 kWh e) entre 80 e 110 kWh

c) menos de 65 kWh

12. (PUC-Campinas) Em uma certa cidade, os taxmetros marcam, nos percursos sem parada, uma quantia de 4UT

(unidade taximtrica) e mais 0,2 UT por quilmetro

rodado. Se, ao final de um percurso sem paradas, o

taxmetro registrava 8,2 UT, o total de quilmetros

corridos foi:

13. (UFSC) Dadas as funes f(x) = 3x + 5, g(x) = x2 + 2x 1 e h(x) = 7 x, o valor em mdulo da

expresso:

14 4

2

1

h g

f ( )

14. (UFSC) Considere a funo f(x) real, definida por f(1) = 43 e f(x + 1) = 2 f(x) 15. Determine o valor de f(0).

15. (UDESC) A funo f tal que f(2x + 3) = 3x + 2. Nessas condies, f(3x + 2) igual a:

UNIDADE 6

FUNO POLINOMIAL DO 1 GRAU


Uma funo f de R em R do 1 grau se a cada x R,

associa o elemento ax + b.

Forma: f(x) = ax + b com a 0.

a o coeficiente angular e b o coeficiente linear.

Grfico

O grfico ser uma reta crescente se a for positivo e

decrescente se a for negativo.

Como o grfico de uma funo do 1 Grau uma reta, logo

necessrio definir apenas dois pontos para obter o grfico.

Interceptos:

Ponto que o Grfico corta o eixo y: deve-se fazer x = 0. Logo, o ponto que o grfico corta o eixo y tem

coordenadas (0,b).

Ponto que o Grfico corta o eixo x: deve-se fazer y = 0. Logo, o ponto que o grfico corta o eixo x tem

coordenadas ( b

a,0). O ponto que o grfico corta o

eixo x chamado raiz ou zero da funo.

RESUMO GRFICO

f(x) = ax + b, a > 0 f(x) = ax + b, a < 0

Funo crescente Funo decrescente

Exemplo: Esboar o grfico da funo da funo

f(x) = 3x + 1.

Resoluo: o grfico intercepta o eixo y em (0,b). Logo o

grfico da funo f(x) = 3x + 1 intercepta o

eixo y em (0,1).

Para determinar o ponto que o grfico corta o

eixo x deve-se fazer y = f(x) = 0. 3x + 1 = 0

x = 3

1

Logo, o ponto que o grfico corta o eixo x tem

coordenadas (3

1, 0)

D = C.D. = Im =

FUNO CONSTANTE

Uma funo f de R em R constante se, a cada x R,

associa sempre o mesmo elemento k R.

D(f) = R e Im (f) = k

Forma: f(x) = k

Grfico:

Exemplo: y = f(x) = 2


Pr Universidade 12

D = C.D. = Im = {2}

Exerccios de Sala

1. Considere as funes f(x) = 2x 6 definida em reais. Determine a soma dos nmeros associados s

proposies corretas :

01. a reta que representa a funo f intercepta o eixo

das ordenadas em (0,- 6)

02. f(x) uma funo decrescente

04. a raiz da funo f(x) 3

08. f(-1) + f(4) = 0

16. a imagem da funo so os reais

32. A rea do tringulo formado pela reta que

representa f(x) e pelos eixos coordenados 18

unidades de rea.

2. (PUC-SP) Para que a funo do 1 grau dada por f(x) = (2 - 3k)x + 2 seja crescente devemos ter:

) ) ) ) ) 2 2 2 2 2

a k b k c k d k e k3 3 3 3 3

3. (UFSC) Seja f(x) = ax + b uma funo linear. Sabe-se que f(-1) = 4 e f(2) = 7. D o valor de f(8).

Tarefa Mnima

1. Esboar o grfico das seguintes funes: a) f(x) = x + 3 b) f(x) = 2x + 1

2. (FGV-SP) O grfico da funo f(x) = mx + n passa pelos pontos A(1, 2) e B(4, 2). Podemos afirmar que m +

n vale em mdulo:

3. (UFMG) Sendo a < 0 e b > 0, a nica representao grfica correta para a funo f(x) = ax + b :

4. (UFMA) O grfico da funo f(x) = ax + b intercepta o eixo dos x no ponto de abscissa 4 e passa pelo ponto (1,

3), ento f(x) :

a) f(x) = x 3 d) f(x) = 2x 1

b) f(x) = x 4 e) f(x) = 3x 6

c) f(x) = 2x 5

5. Sendo f(x) = 2x + 5, obtenha o valor de

t

ftf )()(

com t .

Tarefa Complementar

6. (UCS-RS) Para que 3 seja raiz da funo f(x) = 2x + k, deve-se ter

a) k = 0 b) k = - 2 c) k = 6 d) k = -6 e) k = 2

7. (UFPA) A funo y = ax + b passa pelo ponto (1,2) e intercepta o eixo y no ponto de ordenada 3. Ento, a 2b

igual a:

a) 12 b) 10 c) 9 d) 7 e) n.d.a.

8. (Fuvest-SP) A reta de equao 2x + 12y 3 = 0, em relao a um sistema cartesiano ortogonal, forma com os

eixos do sistema um tringulo cuja rea :

a) 1/2 b) 1/4 c) 1/15 d) 3/8 e) 3/16

9. O grfico da funo f(x) est representado pela figura abaixo:

Pode-se afirmar que f(4) igual a:

10. (Santo Andr-SP) O grfico mostra como o dinheiro gasto ( y) por uma empresa de cosmticos, na produo de

perfume, varia com a quantidade de perfume produzida

(x). Assim, podemos afirmar:

a) Quando a empresa no produz, no gasta.

b) Para produzir 3 litros de perfume, a empresa gasta

R$ 76,00.

c) Para produzir 2 litros de perfume, a empresa gasta

R$ 54,00.

d) Se a empresa gastar R$ 170,00, ento ela produzir

5 litros de perfume.

e) Para fabricar o terceiro litro de perfume, a empresa

gasta menos do que para fabricar o quinto litro.

11. (UFSC) Sabendo que a funo: f(x) = mx + n admite 5 como raiz e f(-2) = -63, o valor de f(16) :


Pr Universidade 13

12. O valor de uma mquina decresce linearmente com o tempo, devido ao desgaste. Sabendo-se que hoje ela vale

R$800,00, e que daqui a 5 anos valer R$160,00, o seu

valor, em reais, daqui a trs anos ser:

a) 480 b) 360 c) 380 d) 400 e) 416

13. (UFRGS) Considere o retngulo OPQR da figura baixo. A rea do retngulo em funo da abscissa x do

ponto R

a) A = x2 3x d) A = - 2x2 + 6x b) A = - 3x2 + 9x e) A = 2x2 6x

c) A = 3x2 9x

14. (UFRGS) Dois carros partem de uma mesma cidade, deslocando-se pela mesma estrada. O grfico abaixo

apresenta as distncias percorridas pelos carros em funo

do tempo. Distncia (em km)

Temp o (em horas)

Analisando o grfico, verifica-se que o carro que partiu

primeiro foi alcanado pelo outro ao ter percorrido

exatamente:

a) 60km b) 85km c) 88km d) 90km e) 91km

Estudo do vrtice da parbola

A Parbola que representa a funo do 2 Grau dividida

em duas partes simtricas. Essa diviso feita por um eixo

chamado de eixo de simetria. A interseco desse eixo

com a parbola recebe o nome de vrtice da parbola.

O vrtice o ponto de mximo da funo se a < 0.

O vrtice o ponto de mnimo da funo se a > 0.

Coordenadas do vrtice

O vrtice um ponto de coordenadas V(xv, yv) onde

e4a

=yv2a

b

vx

Imagem da funo quadrtica

Se a > 0, ento Im = {y R| y

4a}

Se a < 0, ento Im = {y R| y

4a}

Resumo grfico

> 0

= 0


Pr Universidade 14

< 0

15. (UERJ) Considere a funo f, definida para todo x real positivo, e seu respectivo grfico. Se a e b so dois meros

positivos (a < b), a rea do retngulo de vrtices (a, 0),

(b, 0) e (b, f(b) ) igual a 0,2. f(x) =

x

1

Calcule a rea do retngulo de vrtices (3a, 0), (3b, 0)

e (3b, f(3b))

UNIDADE 7


Uma funo f de R em R polinomial do 2 grau se a cada

x R associa o elemento ax2 + bx + c, com a 0

Forma: f(x) = ax2 + bx + c, com a 0

Grfico

O grfico de uma funo polinomial do 2 Grau de R em R

uma parbola. A concavidade da parbola determinada

pelo sinal do coeficiente a (coeficiente de x2). Assim,

quando:

a > 0 tem-se a parbola com concavidade para cima

a < 0 tem-se parbola com concavidade para baixo

Interceptos

O ponto que o grfico corta o eixo y possui coordenadas (0,c)

Para achar o(s) ponto(s) que o grfico corta o eixo x, deve-se fazer y = 0. Tem-se ento uma equao do 2

grau ax2 + bx + c = 0, onde:

ac4b onde ,2a

b 2

x

Se > 0 Duas Razes Reais

Se = 0 Uma Raiz Real

Se < 0 No possui Razes Reais

Estudo do vrtice da parbola

A Parbola que representa a funo do 2 Grau dividida

em duas partes simtricas. Essa diviso feita por um eixo

chamado de eixo de simetria. A interseco desse eixo

com a parbola recebe o nome de vrtice da parbola

O vrtice o ponto de mximo da funo se a < 0.

O vrtice o ponto de mnimo da funo se a > 0.

Coordenadas do vrtice

O vrtice um ponto de coordenadas V(xv, yv) onde

e4a

=yv2a

b

vx

Imagem da funo quadrtica

Se a > 0, ento Im = {y R| y

4a}

Se a < 0, ento Im = {y R| y

4a}

Resumo grfico

> 0

= 0


Pr Universidade 15

< 0

Exerccios de Sala

1. Em relao a funo f(x) = x2 6x + 8 definida de correto afirmar:

01. 2 e 4 so os zeros da funo f

02. o vrtice da parbola possui coordenadas (3, -1)

04. O domnio da funo f(x) o conjunto dos

nmeros reais.

08. A imagem da funo : { y R| y 1}

16. A rea do tringulo cujos vrtices so o vrtice da

parbola e seus zeros, 4 unidades de rea.

2. Em cada caso abaixo, esboce o grfico de f e d seu conjunto imagem.

a) f: , f(x) = x2 2x

b) f: , f(x) = x2 + 4

b) f: [0, 3[ , f(x) = f(x) = x2 2x c)

3. Considere f(x) = x2 6x + m definida de . Determine o valor de m para que o grfico de f(x):

a) tenha duas interseces com o eixo

b) tenha uma interseco com o eixo x

c) no intercepte o eixo x

Tarefa Mnima

1. Determine as razes, o grfico, as coordenadas do vrtice e a imagem de cada funo.

a) f: , f(x) = x2 2x 3

b) f: , f(x) = (x + 2)(x 4)

c) f: , f(x) = x2 + 2x 1

d) f: , f(x) = x2 3x

2. Dada a funo f(x) = x2 - 8x + 12 de R em R. Assinale as verdadeiras:

01. O grfico intercepta o eixo y no ponto de

coordenadas (0,12).

02. As razes de f so 2 e 6.

04. O domnio de f o conjunto dos nmeros reais.

08. O grfico no intercepta o eixo x.

16. A imagem da funo { y R| y 4 }

32. O vrtice da parbola possui coordenadas (4, 4)

64. A funo crescente em todo seu domnio.

3. (UFSC) Considere a parbola y = -x2 + 6x definida em R x R. A rea do tringulo cujos vrtices so o vrtice da

parbola e seus zeros, :

4. (ACAFE-SC) Seja a funo f(x) = - x2 2x + 3 de domnio [-2, 2]. O conjunto imagem :

a) [0, 3] c) ]-, 4] e) [-5, 3]

b) [-5, 4] d) [-3, 1]

5. ( PUC-SP) Seja a funo f de R em R, definida por f( x) = x2 3x + 4. Num sistema de coordenadas cartesianas

ortogonais, o vrtice da parbola que representa f localiza-

se:

a) no primeiro quadrante.

b) no segundo quadrante.

c) no terceiro quadrante.

d) sobre o eixo das coordenadas.

e) sobre o eixo das abscissas.

Tarefa Complementar

6. (UFSC) Seja f: R R, definida por: f(x) = - x2

,

termine a soma dos nmeros associados s afirmativas

verdadeiras:

01. O grfico de f(x) tem vrtice na origem.

02. f(x) crescente em R.

04. As razes de f(x) so reais e iguais.

08. f(x) decrescente em [0, + )

16. Im(f) = { y R y 0}

32. O grfico de f(x) simtrico em relao ao eixo x.

7. (ESAL-MG) A parabola abaixo o grfico da funo f(x) = ax2 + bx + c. Assinale a alternativa correta:

a) a < 0, b = 0, c = 0 d) a < 0, b < 0, c > 0

b) a > 0, b = 0, c < 0 e) a > 0, b > 0, c > 0

c) a > 0, b < 0, c = 0

8. Considere a funo definida em x dada por f(x) = x2 mx + m. Para que valores de m o grfico de

f(x) ir interceptar o eixo x num s ponto?

9. (UFPA) As coordenadas do vrtice da funo y = x2 2x + 1 so:

a) (-1, 4) c) (-1, 1) e) (1, 0)

b) (1, 2) d) (0, 1)

10. (UFPA) O conjunto de valores de m para que o grfico de y = x2 mx + 7 tenha uma s interseco com o

eixo x :

a) { 7} c) { 2 }

b) { 0 } d) { 2 7 }


Pr Universidade 16

11. (Mack-SP) O vrtice da parbola y = x2 + kx + m o ponto V(1, 4). O valor de k + m em mdulo :

12. (UFSC) Dada a funo f: R R definida por f(x) = ax2 + bx + c, sabe-se que f(1) = 4, f(2) = 7 e f(-1) = 10.

Determine o valor de a - 2b + 3c.

13. A equao do eixo de simetria da parbola de equao y = 2x2 - 10 + 7, :

a) 2x - 10 + 7 = 0 d) y = 3,5

b) y = 5x + 7 e) x = 1,8

c) x = 2,5

14. O grfico da funo f(x) = mx2 (m2 3)x + m3 intercepta o eixo x em apenas um ponto e tem

concavidade voltada para baixo. O valor de m :

a) 3 c) 2 e) 1

b) 4 d) 2

15. (UFSC) Marque no carto a nica proposio correta. A figura abaixo representa o grfico de uma

parbola cujo vrtice o ponto V. A equao da reta r :

01. y = -2x + 2

02. y = x + 2

04. y = 2x + 1

08. y = 2x + 2

16. y = -2x 2

UNIDADE 8

INEQUAES DO 2 GRAU

INEQUAES TIPO PRODUTO

INEQUAES TIPO QUOCIENTE

INEQUAES DO 2O GRAU

Inequao do 2 grau toda inequao da forma:

0

0

0

0

2

2

2

2

cbxax

cbxax

cbxax

cbxax com a 0

Para resolver a inequao do 2 grau se associa a expresso

a uma funo do 2 grau; assim, pode-se estudar a variao

de sinais em funo da varivel. Posteriormente,

selecionam-se os valores da varivel que tornam a

sentena verdadeira. Estes valores iro compor o conjunto-

soluo.

Exemplos:

a) resolver a inequao x2 2x 3 0

S = {x R | x -1 ou x 3} ou

S = ]-, -1] [3, +[

b) resolver a inequao x2 7x + 10 0

S = { x R | 2 x 5}

S = [2, 5]

c) resolver a inequao x2 + 5x 4 > 0

S = { x R | 1 < x < 4}

S = [1, 4]

Inequaes Tipo Produto

Inequao Produto qualquer inequao da forma:

a) f(x).g(x) 0 b) f(x).g(x) > 0

c) f(x).g(x) 0 d) f(x).g(x) < 0

Para resolvermos inequaes deste tipo, faz-se necessrio

o estudo dos sinais de cada funo e em seguida aplicar a

regra da multiplicao.

Exemplo: Resolver a inequao (x2 4x + 3) (x 2) < 0

S = { x R | x < 1 ou 2 < x < 3}

Inequaes Tipo Quociente

Inequao quociente qualquer inequao da forma:

a) f(x)

g(x)0 b)

f(x)

g(x)> 0 c)

f(x)

g(x)0 d)

f(x)

g(x)< 0

Para resolvermos inequaes deste tipo necessrio que se

faa o estudo dos sinais de cada funo separadamente e,

em seguida, se aplique a regra de sinais da diviso.

necessrio lembrar que o denominador de uma frao no

pode ser nulo, ou seja, nos casos acima vamos considerar

g(x) 0.


Pr Universidade 17

Exemplo: Resolver a inequao 0

2

342

x

xx

S = { x R | 1 x < 2 ou x 3}

Exerccios de Sala

1. Resolver em as seguintes inequaes: a) x2 8x + 12 > 0

b) x2 8x + 12 0

c) x2 9x + 8 0

2. O domnio da funo definida por

f(x) = x x

x

2 3 10

6

:

a) D = {x R| x 2 ou x 5} {6}.

b) D = {x R| x - 2 ou x 5} {6}.

c) D = {x R| x - 2 ou x 5}

d) D = {x R| x - 2 ou x 7} {6}.

e) n.d.a.

3. Determine o conjunto soluo das seguintes inequaes:

a) (x 3)(2x 1)(x2 4) < 0

b)

4

1072

x

xx 0

Tarefa Mnima

1. Resolver em as seguintes inequaes: a) x2 6x + 8 > 0

b) x2 6x + 8 0 c) x2 + 9 > 0

d) x2 4 e) x2 > 6x

f) x2 1

2. (Osec-SP) O domnio da funo

f(x) = x x2 2 3 , com valores reais, um dos conjuntos

seguintes. Assinale-o.

a) {x R -1 x 3 } d) { x R x 3}

b) { x R -1 < x < 3 } e) n.d.a.

c) { }

3. Resolva, em R, as seguintes inequaes: a) (x2 2x 3).( x2 3x + 4) > 0

b) (x2 2x 3).( x2 3x + 4) 0

c) (x 3) (x2 16) < 0

d) x3 x

e) x3 3x2 + 4x 12 0

4. Resolva, em R, as seguintes inequaes:

a) 0

16

652

2

x

xx

b) 0

16

652

2

x

xx

c) xx

x

x

1 10

d) 2

1x < 1

5. (ESAG) O domnio da funo y = 1 212

x

x nos reais :

a) (-, -1 ) d) (-, -1) [1/2, 1)

b) (-1, ] e) { }

c) (-, ]

Tarefa Complementar

6. Resolver em as seguintes inequaes: a) x2 6x + 9 > 0 c) x2 6x + 9 < 0

b) x2 6x + 9 0 d) x2 6x + 9 0

7. Resolver em as seguintes inequaes: a) x2 4x + 5 > 0 c) x2 4x + 5 < 0

b) x2 4x + 5 0 d) x2 4x + 5 0

8. (CESGRANRIO) Se x2 6x + 4 x2 + bx + c tem como soluo o conjunto {x | 0 x 3}, ento b e c

valem respectivamente:

a) 1 e 1 d) 0 e 1

b) 1 e 0 e) 0 e 4

c) 0 e 1

9. (UNIP) O conjunto verdade do sistema

042

0892

x

xx :

a) ]1, 2] c) [2, 4[ e) [4, 8[

b) ]1, 4] d) [1, 8[

10. (PUC-RS) A soluo, em R, da inequao x2 < 8 :

a) { 2 2 ; 2 2 } d) ( ; 2 2 )

b) [ 2 2 ; 2 2 ] e) ( ; 2 2 ]

c) ( 2 2 ; 2 2 )

11. (ACAFE) O lucro de uma empresa dado por L(x) = 100(8 x)(x 3), em que x a quantidade vendida. Neste

caso podemos afirmar que o lucro :

a) positivo para x entre 3 e 8 b) positivo para qualquer que seja x c) positivo para x maior do que 8 d) mximo para x igual a 8 e) mximo para x igual a 3

12. (FATEC) A soluo real da inequao produto (x2 4).(x2 4x) 0 :

a) S = { x R| - 2 x 0 ou 2 x 4}

b) S = { x R| 0 x 4}


Pr Universidade 18

c) S = { x R| x - 2 ou x 4}

d) S = { x R| x - 2 ou 0 x 2 ou x 4} e) S = { }

13. (MACK-SP) O conjunto soluo de 5

3

6

x

x :

a) { x R x > 15 e x < - 3}

b) { x R x < 15 e x - 3}

c) { x R x > 0}

d) {x R - 3 < x < 15}

e) { x R - 15 < x < 15}

14. (Cescem-SP) Os valores de x que satisfazem a inequao (x2 2x + 8)(x2 5x + 6)(x2 16) < 0 so:

a) x < 2 ou x > 4 d) 4 < x < 2 ou 3 < x < 4

b) x < 2 ou 4 < x < 5 e) x < 4 ou 2 < x < 3 ou x > 4

c) 4 < x < 2 ou x > 4

15. (FUVEST) De x4 x3 < 0 pode-se concluir que: a) 0 < x < 1 d) 2< x < 1

b) 1 < x < 2 e) x < 1 ou x > 1

c) 1< x < 0

UNIDADE 9

PARIDADE DE FUNES

FUNO COMPOSTA e FUNO INVERSA

Funo Par Uma funo par quando para valores simtricos de x

temos imagens iguais, ou seja:

f(x) = f(x), x D(f)

Uma consequncia da definio : Uma funo f

par se e somente se, o seu grfico simtrico em relao

ao eixo y.

FUNO MPAR

Uma funo mpar quando para valores simtricos de x

as imagens forem simtricas, ou seja:

f(x) = f(x), x D(f) Como consequncia da definio os grficos das funes

mpares so simtricos em relao origem do sistema

cartesiano.

FUNO COMPOSTA

Dadas as funes f: A B e g: B C, denomina-se

funo composta de g com f a funo gof: definida de

A C tal que gof(x) = g(f(x))

f: A B g: B C gof: A C

Condio de Existncia: Im(f) = D(g) Alguns tipos de funes compostas so:

a) f(g(x)) b) g(f(x)) c) f(f(x)) d) g(g(x))

Exerccio resolvido:

Dadas as funes f(x) = x2 - 5x + 6 e g(x) = x + 1, achar x

de modo que f(g(x)) = 0

Resoluo: Primeiramente vamos determinar

f(g(x)) e, em seguida, igualaremos a zero. f(x) = x2 - 5x + 6

f(g(x)) = (x + 1)2 - 5(x + 1) + 6

Da vem que f(g(x)) = x2 - 3x + 2.

Igualando a zero temos:

x2 - 3x + 2 = 0

Onde x1 = 1 e x2 = 2

FUNO INJETORA, SOBREJETORA E

BIJETORA

Funo injetora: Uma funo f: A B injetora se e

somente se elementos distintos de A tm imagens distintas

em B. Em Smbolos:

f injetora x1, x2 A, x1 x2 f(x1) f(x2)

Funo sobrejetora: Uma funo f de A em B

sobrejetora, se todos os elementos de B forem imagem dos

elementos de A, ou seja: CD = Im

Funo bijetora: Uma funo bijetora se for ao mesmo

tempo injetora e sobrejetora.

DICA: De R R, a funo do 1 Grau bijetora, e a

funo do 2 Grau simples.

FUNO INVERSA

Seja f uma funo f de A em B. A funo f 1 de B em A

a inversa de f, se e somente se:

fof -1(x) = x, x A e f -1o f (x) = x, x B.

Observe que A = D(f) = CD(f -1) e B = D(f -1) = CD(f)

IMPORTANTE: f inversvel f bijetora


Pr Universidade 19

Para encontrar a inversa de uma funo, o processo

prtico trocar x por y e, em seguida, isolar y.

Os grficos de duas funes inversas f(x) e f 1(x) so

simtricos em relao bissetriz dos quadrantes mpares.

(f(x) = x)

Exerccio Resolvido:

Dada a funo f(x) = 2x + 4 de R em R. determine a

sua inversa.

Resoluo: Como a funo f(x) bijetora, ento ela

admite inversa. Basta trocarmos x por y e

teremos:

f(x) = 2x + 4

x = 2y + 4

x - 4 = 2y

f -1(x) = x 4

2

Exerccios de Sala

1. Dadas as funes f(x) = 2x 1, g(x) = x2 + 2. Determine:

a) f(g(x)) c) f(g(3))

b) g(f(x)) d) g(f(-2))

2. (UFSC) Considere as funes f, g: R R tais que g(x) = 2x + 1 e g(f(x)) = 2x2 + 2x + 1. Calcule f(7).

3. Se x 3, determine a inversa da funo

3

12)(

x

xxf

Tarefa Mnima

1. Dadas as funes f(x) = x + 2 e g(x) = 2x2. Obter:

a) f(g(x)) e) f(g(3))

b) g(f(x)) f) g(f(1))

c) f(f(x)) g) f(f(f(2)))

d) g(g(x))

2. (UFU-MG) Dadas as funes reais definidas por f(x) = 2x - 6 e g(x) = x2 + 5x + 3, pode-se dizer que o domnio da

funo h(x) = fog x :

a) {x R x -5 ou x 0} b) {x R x 0}

c) {x R x -5} d) { }

e) n.d.a.

3. (UFSC) Sendo f(x) = 4x + 1 e f(g(x)) = x2 + 1, com f e g definidas para todo x real, determine o valor numrico da

funo g no ponto x = 18, ou seja, g(18).

4. Determine a funo inversa de cada funo a seguir:

a) y = 2x 3 c) y =

4

12

x

x , x 4

b) y =

4

2x

5. (UFSC) Seja a funo f(x) =

2

2

x

x, com x 2,

determine f -1(2).

Tarefa Complementar

6. (UFSC) Sejam f e g funes de R em R definidas por: f(x) = -x + 3 e g(x) = x2 - 1.Determine a soma dos nmeros

associados (s) proposies verdadeiras.

01. A reta que representa a funo f intercepta o eixo

das ordenadas em (0,3).

02. f uma funo crescente.

04. -1 e +1 so os zeros da funo g.

08. Im(g) = { y R y -1 }.

16. A funo inversa da f definida por

f -1(x) = -x + 3.

32. O valor de g(f(1)) 3.

64. O vrtice do grfico de g o ponto (0, 0).

7. Dadas as funes: f(x) = 5 x e g(x) = x2 - 1, o valor de gof(4) :

8. (UEL-PR) Sejam f e g funes reais definidas por f(x) = 2x2 + 1, g(x) = 2 - x. O valor de f(g(-5)) :

9. (Mack-SP) Sejam as funes reais definidas por f(x) = x 2 e f(g(x)) = 2x 3. Ento g(f(x)) definida por:

a) 2x 1 c) 2x 3 e) 2x 5

b) 2x 2 d) 2x 4

10. (F.C.Chagas-BA) A funo inversa da funo f(x) = 2 1

3

x

x

:

anteriores das nenhuma e)

x-2

1+3x=(x)

1-f d)

x-3

2x-1=(x)

1-f c)

3-x

1+2x=(x)

1-f b)

1-2x

3+x=)(

1-f a) x

11. Obtenha as sentenas que definem as funes inversas de:

a) f: [ 3; 5] [1, 17] tal que f(x) = 2x + 7

b) g: [2, 5] [0,9] tal que g(x) = x2 4x + 4

c) h: [3, 6] [1, 8] tal que h(x) = x2 6x + 8

12. (MACK-SP) Se f(g(x)) = 2x2 4x + 4 e f(x 2) = x + 2, ento o valor de g(2) :

a) - 2 c) 0 e) 14

b) 2 d) 6


Pr Universidade 20

13. (UFSC) Seja f uma funo polinomial do primeiro grau, decrescente, tal que f(3) = 2 e f(f(1)) = 1. Determine

a abscissa do ponto onde o grfico de f corta o eixo x.

14. (UDESC) Se f(x) = ax2 + bx + 3, f(1) = 0 e f(2) = - 1. Calcule f(f(a))

15. (IME-RJ) Sejam as funes g(x) e h(x) assim definidas: g(x) = 3x 4; h(x) = f(g(x)) = 9x2 6x + 1.

Determine a funo f(x).

UNIDADE 10

EXPONENCIAL

EQUAO EXPONENCIAL

Chama-se equao exponencial toda equao que pode ser

reduzida a forma ax = b, com 0 < a 1.

Para resolver tais equaes necessrio transformar a

equao dada em:

Igualdade de potncia de mesma base. af(x) = ag(x) f(x) =g(x)

Potncias de expoentes iguais. af(x) = bf(x) a = b sendo a e b 1 e a e b R*+.

Funo Exponencial f(x) = ax

(a > 1) funo crescente

(0 < a < 1) funo decrescente

INEQUAO EXPONENCIAL

Para resolvermos uma inequao exponencial devemos

respeitar as seguintes propriedades:

Quando as bases so maiores que 1 (a > 1), a relao de desigualdade se mantm.

af(x) > ag(x) f(x) > g(x)

Quando as bases esto compreendidas entre 0 e 1 (0 < < 1), a relao de desigualdade se inverte.

af(x) > ag(x) f(x) < g(x)

Exerccios de Sala

1. (UFSC) Dado o sistema 7 1

5 25

2

2

x y

xy

, o valor de y

x

4

:

2. (UFSC) O valor de x, que satisfaz a equao 22x + 1 - 3.2x + 2 = 32, :

Tarefa Mnima

1. Resolva, em R, as equaes a seguir:

a) 2 x = 128 b) 2x = 1

16

c) 3x 1 + 3x + 1 = 90 d) 25.3x = 15x :

e) 22x 2x + 1 + 1 = 0

2. (PUC-SP) O conjunto verdade da equao 3.9x 26.3x 9 = 0, :

3. Dadas f(x) = 1

2

x

e as proposies:

I - f(x) crescente

II - f(x) decrescente

III - f(3) = 8

IV- ( 0,1 ) f(x) podemos afirmar que:

a) todas as proposies so verdadeiras.

b) somente II falsa.

c) todas so falsas.

d) II e III so falsas.

e) somente III e IV so verdadeiras.

4. Resolva, em R, as inequaes a seguir: a) 22x 1 > 2x + 1

b) (0,1)5x 1 < (0,1)2x + 8

c) 31

4

7

4

72

x

d) 0,5|x 2| < 0,57

5. (OSEC-SP) O domnio da funo de definida por y =

1

1

3243

x

, :

a) ( , 5 [ b) ] 5, + )

c) ( , 5 [ d) ] 5, + ) e) n.d.a.

Tarefa Complementar

6. Resolvendo a equao 4x + 4 = 5.2x, obtemos:

a) x1 = 0 e x2 = 1 c) x1 = 0 e x2 = 2

b) x1 = 1 e x2 = 4 d) x1 = x2 = 3

7. (Unesp-SP) Se x um nmero real positivo tal que

2 22 2x x , ento

xx

x x2

igual a:

8. A maior raiz da equao 4|3x 1| = 16


Pr Universidade 21

9. (ITA-SP) A soma das razes da equao

94

31

1

21

x

x

:

10. A soma das razes da equao

2

31

13 2

3

2 1

1

x x

x

:

11. (UFMG) Com relao funo f(x) = ax, sendo a e x nmeros reais e 0 < a 1, assinale as verdadeiras:

01. A curva representativa do grfico de f est toda

acima do eixo x.

02. Seu grfico intercepta o eixo y no ponto (0, 1).

04. A funo crescente se 0 < a < 1

08. Sendo a = 1/2, ento f(x) > 2 se x > 1.

12. Determine o domnio da funo abaixo:

7

5)4,1()( 5

2

xxf

13. (UEPG-PR) Assinale o que for correto. 01. A funo f(x) = ax, 1 < a < 0 e x R, intercepta o

eixo das abscissas no ponto (1,0)

02. A soluo da equao 2x.3x = 3

36 pertence ao

intervalo [0, 1]

04. Dada a funo f(x) = 4x, ento D = R e Im = *

R

08. A funo f(x) = x2 crescente 16. ba

ba

2

1

2

1

14. Determine o valor de x no sistema abaixo:

1) y e 1(x

35 yx

yx xy

15. Resolver, em reais, as equaes abaixo: a) 5x + 0,2x = 5,2 b) 5.4x + 2.52x = 7.10x

UNIDADE 11

LOGARITMOS

DEFINIO

Dado um nmero a, positivo e diferente de um, e um

nmero b positivo, chama-se logaritmo de b na base a ao

real x tal que ax = b.

(a > 0 e a 1 e b > 0)

loga b = x ax = b Em loga b = x temos que:

a = base do logaritmo

b = logaritmando ou antilogaritmo

x = logaritmo

Observe que a base muda de membro e carrega x como

expoente.

Exemplos:

1) log6 36 = x 36 = 6x 62 = 6x x = 2

2) log5 625 = x 625 = 5x 54 = 5x x = 4

Existe uma infinidade de sistemas de logaritmos. Porm,

dois deles se destacam:

Sistemas de Logaritmos Decimais:

o sistema de base 10, tambm chamado sistema de

logaritmos comuns ou vulgares, ou de Briggs (Henry

Briggs, matemtico ingls (1561-1630)).

Quando a base 10 costuma-se omitir a base na sua

representao.

Sistemas de Logaritmos Neperianos

o sistema de base e (e = 2, 718...), tambm chamado de

sistema de logaritmos naturais. O nome neperiano deve-se

a J. Neper (1550-1617).

Condio de Existncia

Para que os logaritmos existam necessrio que em: logab

= x se tenha :

logaritmando positivo

base positiva

base diferente de 1

Resumindo b > 0

a > 0 e a 1

Consequncias da Definio

Observe os exemplos:

1) log2 1 = x 1 = 2x 20 = 2x x = 0

2) log3 1 = x 1 = 3x 30 = 3x x = 0

3) log6 1 = x 1 = 6x 60 = 6x x = 0

loga 1 = 0

4) log2 2 = x 2 = 2x 21 = 2x x = 1

5) log5 5 = x 5 = 5x 51 = 5x x = 1

loga a = 1

6) log2 23 = x 23 = 2x x = 3

7) log5 52 = x 52 = 5x x = 2

loga am = m

8) 2 2 44 2log2 x x x

9) 3 3 99 2log3 x x x

bbaloga

PROPRIEDADES OPERATRIAS

Logaritmo do Produto

O logaritmo do produto igual a soma dos logaritmos dos

fatores.

loga (b . c) = loga b + loga c Exemplos:

a) log3 7.2 = log3 7 + log3 2

b) log2 5.3 = log2 5 + log2 3

Logaritmo do Quociente

O logaritmo do quociente o logaritmo do dividendo

menos o logaritmo do divisor.


Pr Universidade 22

loga c

bloga b loga c

Exemplos:

a) log3 7/2 = log3 7 - log3 2

b) log5 8/3 = log5 8 - log5 3

Logaritmo da Potncia

O logaritmo da potncia igual ao produto do expoente

pelo logaritmo da base da potncia.

loga xm = m . loga x

Exemplos: a) log2 53 = 3. log2 5

b) log3 4-5 = -5 log3 4

Caso Particular an

aa bn

bn

b log.1

loglog

1

Exemplo: log10 23

= log10 21

3 1

3log10 2

Exerccio Resolvido:

Sabendo-se que log 2 = 0,30 e log 3 = 0,47. Calcule o

valor de log 18.

Resoluo: log 18 = log(2.32)

log 18 = log 2 + log 32

log 18 = log 2 + 2log 3

log 18 = 0,30 + 2.0,47

log 18 = 1,24

Exerccios de Sala

1. Com base na definio, calcule o valor dos seguintes logaritmos:

a) log21024

b) log 0,000001

c) log2 0,25

d) log4 13 128

2. Sabendo-se que log 2 = 0,30 e log 3 = 0,47, calcule o valor de:

a) log 6 b) log 8

c) log 5 d)log 18

Tarefa Mnima

1. Determine o valor dos logaritmos abaixo:

a) log2 512 b)log0,250,25

c) log7 1 d)log0,25 13 128

2. Determine o valor das expresses abaixo

a) 3 loga a5 + loga 1 4 l g aa , onde 0 < a 1, :

b) 5625.163

1

982 glglgl :

3. Sabendo-se que log 2 = 0,30 e log 3 = 0,47, calcule o valor dos logaritmos abaixo:

a) log 12 b)log 54

c) log 1,5 d) log 5125

4. (UFPR) Sendo log 2 = 0,301 e log 7 = 0,845, qual ser o valor de log 28?

a) 1,146 b) 1,447

c) 1,690 d) 2,107 e) 1,107

5. (FEI-SP) A funo f(x) = log (50 5x x2) definida para:

a) x > 10 b) 10 < x < 5

c) 5 < x < 10 d) x < 5 e) n.d.a.

Tarefa Complementar

6. (PUC-SP) Se l g x2 2

512 , ento x vale:

7. (PUC-SP) Sendo log10 2 = 0,30 e log10 3 = 0,47,

ento log6 2

5 igual a:

a) 0,12 c) 0,32 e) 0,52

b) 0,22 d) 0,42

8. (ACAFE-SC) Os valores de m, com R, para os quais a equao x2 2x + log2(m 1) = 0 admite razes (zeros)

reais e distintas so:

a) 2 < m < 4 b) m< 3

c) m 3

d) 1 m 3 e) 1 < m < 3

9. Se log a = r, log b = s, log c = t e E = 3

3

cb

a , ento log E

igual a:

10. (ANGLO) Se log E = 2log a + 3log b log c log d, Ento E igual a:

11. (UFSC) Se 3 125

14

l g x y l g

l gx l gy l g

, ento o valor de x

+ y

12. Se x = 3603 , log10 2 = 0,301 e log10 3 = 0,477, determine a parte inteira do valor de 20 log10 x.

13. (UMC-SP) Sejam log x = a e log y = b. Ento o log

yx. igual a: a) a + b/2 b) 2a + b c )a + b d)a+2b e) a-b/2

14. Determine o domnio das seguintes funes: a) y = logx 1 (3 x) b) y = log(5 x) (x2 4)

15. Se x a soluo da equao 7...

xxxx , calcule o valor

da expresso 2x7 + log7x

7

1

UNIDADE 12


Pr Universidade 23

LOGARITMOS

MUDANA DE BASE

Ao aplicar as propriedades operatrias dos logaritmos

ficamos sujeitos a uma restrio: os logaritmos devem ser

de mesma base. Dado esse problema, apresentamos ento

um processo o qual nos permite reduzir logaritmos de

bases diferentes para bases iguais. Este processo

denominado mudana de base.

loga b =agl

bgl

c

c

Como consequncia, e com as condies de existncia

obedecidas, temos:

1) loglog

log logBA

A AkA

BB

kB

12

1

EQUAO LOGARTMICA

So equaes que envolvem logaritmos, onde a incgnita

aparece no logaritmo, na base ou no logaritmando

(antilogaritmo).

Existem dois mtodos bsicos para resolver

equaes logartmicas. Em ambos os casos, faz-se

necessrio discutir as razes. Lembrando que no existem

logaritmos com base negativa e um, e no existem

logaritmos com logaritmando negativo.

1 Mtodo: loga X = loga Y X = Y

2 Mtodo: loga X = M X = aM

Funo Logartmica f(x) = loga x

(a > 1) funo crescente

(0 < a < 1) funo decrescente

INEQUAO LOGARTMICA

a > 1

loga x2 > loga x1 x2 > x1

0 < a < 1

loga x2 > loga x1 x2 < x1

Exerccios de Sala

1. Resolver as equaes abaixo:

a) logx (3x2 - x) = 2

b) log4 (x2 + 3x - 1) = log4 (5x 1)

c) log2 (x + 2) + log2 (x 2) = 5

2. (UFSC) Determine a soma dos nmeros associados (s) proposio(es) verdadeira(s).

01. O valor do 32log 25,0 igual a 2

5 .

02. Se a, b e c so nmeros reais positivos e x = cb

a

2

3,

ento log x = 3log a 2log b 2

1 log c.

04. Se a, b e c so nmeros reais positivos com a e c

diferentes de um, ento tem-se alog

blogblog

c

c

a .

08. O valor de x que satisfaz equao 4x 2x = 56 x =

3.

Tarefa Mnima

1. (SUPRA) Se log5 2 = a e log5 3 = b ento log2 6 : a+b a b a+b

a) b) a+b c) d) e) a b a 2

2. (ACAFE) O valor da expresso log3 2. log4 3 : a) c) 4 e) 2

b) 3 d) 2/3

3. Resolver, em R as equaes: a) log5 (1 4x) = 2

b) log[x(x 1)] = log 2

c) 09log6log3

2

3 xx

d) log(log(x + 1)) = 0

e) log2 (x - 8) log2 (x + 6) = 3

f) log5 (x 3) + log5 (x 3) = 2

4. (UFSC) A soluo da equao: log2(x + 4) + log2(x 3) = log218, :

5. Resolver, em reais, as seguintes inequaes: a) log2 (x + 2) > log2 8

3

2,3 2

1,7

3 2

> 16.


Pr Universidade 24

b) log1/2 (x 3) log1/2 4

Tarefa Complementar

6. (UFSC) Dada a funo y = f(x) = loga x, com a > 0, a 1, determine a soma dos nmeros associados s

afirmativas verdadeiras.

01. O domnio da funo f R.

02. A funo f crescente em seu domnio quando

a (1, + )

04. Se a = 1/2 ento f(2) = 1

08. Se a = 3 e f(x) = 6 ento x = 27 16. O grfico de f passa pelo ponto P(1,0).

7. (ACAFE) Se log3 K = M, ento log9 K2 : a) 2M2 c) M + 2 e) M

b) M2 d) 2M

8. (UFSC) Se loga x = 2 e logx y = 3, ento, loga xy35

igual a:

9. (UFSC) Determine a soma dos nmeros associados s proposies verdadeiras:

01. O valor do log0,25 32 igual a 5

2.

02. Se a, b e c so nmeros reais positivos e

x = a

b c

3

2 ento log x = 3 log a 2log b 1/2 log c.

04. Se a, b e c so nmeros reais positivos com a e c

diferentes de um, ento tem-se loga b =log

c

logc

b

a

08. O valor de x que satisfaz equao 4x 2x = 56

x = 3

16. 23

2

3

2 3 1 7

10. (UFSC) O valor de x compatvel para a equao log(x2 1) - log(x 1) = 2 :

11. (UFSC) Assinale no carto-resposta a soma dos nmeros associados (s) proposio(es) correta(s).

01. O conjunto soluo da inequao

log (x2 9) log (3 x) S = (, 4] [3, +).

02. Para todo x real diferente de zero vale ln |x| < ex.

04. A equao 2xx ee no possui soluo inteira.

08. Considere as funes f(x) = ax e g(x) = logax. Para

a > 1, temos f crescente e g decrescente e para

0 < a < 1, temos f decrescentes e g crescentes.

16. log 360 = 3 log 2 + 2 log 3 + log 5.

32. Se log N = 3,412 ento log N = 6,824.

12. Resolva a equao l g x l g x 10 100 2 . (divida o

resultado obtido por 4).


01. A raiz da equao log(log(x + 1)) = 0 x = 9.

02. A soma das razes da equao.

1 + 2logx 2 . log4 (10 x) = 2log

4x

10.

04. A maior raiz da equao 9 . xxlog3 = x3 9.

08. O valor da expresso log3 2. log4 3 /2.

16. Se logax = n e logay = 6n, ento l g x ya23

igual a 7n.

32. A soluo da equao 2x.3x = 3 36 pertence ao

intervalo [0, 1].

14. (UFPR) Com base na teoria dos logaritmos e Exponenciais, correto afirmar que:

01. Se log3(5 y) = 2, ento y = - 4

02. Se x = loge 3, ento ex + e-x = 3

10

04. Se a e b so nmeros reais e 0 < a < b < 1, ento

|log10a| < |log10b|

08. Se z = 10t 1, ento z > 0 para qualquer valor real

de t

15. (ITA - SP) O conjunto dos nmeros reais que verificam a inequao 3log x + log (2x + 3)3 3 log2

dado por:

a) { x R| x > 3 }

b) { x R| 1 x 3 }

c) { x R| 0 < x 1/2 }

d) { x R| 1/2 < x < 1 }

e) n.d.a.

Documents

(1) MTM A