1 - Probabilidade e Estatística

UNIVERSIDADE DE CAXIAS DO SUL

PROFESSORA: CÍNTIA PAESE GIACOMELLO

Probabilidade e Estatística

Prof. Cíntia Paese Giacomello 2

Índice

1 Introdução _____________________________________________________1

1.1 Amostragem ________________________________________________________ 2

1.2 Tipos de variáveis ____________________________________________________ 4

2 Séries estatísticas _______________________________________________5

3 Gráficos _______________________________________________________6

4 Distribuições de freqüências______________________________________12

4.1 Construção de distribuição de freqüência para dados contínuos ______________ 12

4.2 Gráficos das distribuições de freqüência _________________________________ 13

4.3 Construção de distribuição de freqüência para dados discretos ______________ 15

4.4 Construção de uma distribuição de freqüência acumulada___________________ 17

4.5 Distribuições de freqüência para dados nominais e por postos _______________ 18

4.6 Gráficos para distribuições de freqüência ________________________________ 19

5 Medidas de tendência central _____________________________________20

5.1 Média_____________________________________________________________ 20

5.2 Mediana ___________________________________________________________ 23

5.3 Moda _____________________________________________________________ 25

5.4 Relação entre as medidas de tendência central ___________________________ 26

6 Medidas de variabilidade ________________________________________28

6.1 Amplitude _________________________________________________________ 28

6.2 Variância __________________________________________________________ 29

6.3 Desvio padrão ______________________________________________________ 29

6.4 Coeficiente de variação ______________________________________________ 30

7 Medidas de assimetria e curtose __________________________________31

8 Introdução à probabilidade_______________________________________33

8.1 Experimento aleatório _______________________________________________ 33

8.2 Espaço amostral ____________________________________________________ 34

8.3 Eventos ___________________________________________________________ 34

8.4 A probabilidade de um evento _________________________________________ 34

8.5 Cálculo das probabilidades ____________________________________________ 37

9 Distribuições de probabilidade ____________________________________43

10 Teoria elementar da amostragem ________________________________56

10.1 Amostragem com e sem reposição ____________________________________ 56

10.2 Distribuições amostrais _____________________________________________ 56


11 Estimação ___________________________________________________62

12 Testes de hipóteses ___________________________________________68

12.1 Teste de hipóteses para médias ______________________________________ 70

12.2 Testes de duas amostras para médias _________________________________ 72

12.3 Teste para proporções _____________________________________________ 72

12.4 Teste do qui-quadrado (k amostras para proporções) ____________________ 73

13 Análise de variância (ANOVA - Analysis of Variance) _________________79

13.1 Formulário para solução ____________________________________________ 83

13.2 Exemplo de solução no Excel ________________________________________ 85

14 Regressão e correlação ________________________________________90

Regressão ______________________________________________________________ 91

14.1 Aplicações da regressão ____________________________________________ 91

14.2 Classificação das regressões_________________________________________ 91

14.3 Modelo linear _____________________________________________________ 91

Correlação ______________________________________________________________ 94

14.4 Objetivo da correlação _____________________________________________ 94

14.5 O coeficiente r de Pearson (correlação)________________________________ 94

14.6 Coeficiente de determinação ________________________________________ 94

14.7 Exemplo de solução no Excel ________________________________________ 96

14.8 Outros modelos __________________________________________________ 100

15 Tabelas ____________________________________________________106


11 IInnttrroodduuççããoo

Estuda-se estatística para aplicar seus conceitos como auxílio nas tomadas de decisão diante de incertezas, justificando cientificamente as decisões.

Os princípios estatísticos são utilizados em uma grande variedade de situações – no governo, nos negócios e na indústria, bem como no âmbito das ciências sociais, biológicas e físicas.

Estatística é a ciência ou método científico que estuda os fenômenos multicausais, coletivos ou de massa e procura inferir as leis que os mesmos obedecem.

Método estatístico é um processo para se obter, apresentar e analisar características ou valores numéricos para uma melhor tomada de decisão em situações de incerteza. Os passos da metodologia estatística são os seguintes:

• Definição cuidadosa do problema

• Formulação de um plano para coleta das unidades de observação

• Coleta, resumo e apresentação das unidades de observação ou de seus valores numéricos

• Análise dos resultados

• Divulgação de relatório com as conclusões, de tal modo que estas sejam facilmente entendidas por quem as for usar na tomada de decisões.

Em geral, é aceita a divisão da estatística em dois grandes grupos: estatística descritiva e indutiva.

Descritiva: corresponde aos procedimentos relacionados com a coleta, elaboração, tabulação, análise, interpretação e apresentação dos dados. Isto é, inclui as técnicas que dizem respeito à sintetização e à descrição de dados numéricos. Tais métodos podem ser gráficos e envolvem a utilização de recursos computacionais. O objetivo da estatística descritiva é tornar as coisas mais fáceis de entender, relatar e discutir.

Indutiva (ou inferencial): parte de uma ou mais amostras (subconjuntos da população) e conclui sobre a população. Utiliza técnicas como a teoria das probabilidades, inferência estatística, amostragem.

Com maior freqüência utilizamos o estudo da amostra do que da população, não só por serem menos dispendiosas e consumirem menos tempo no processamento dos dados, mas também porque muitas vezes não dispomos de todos os elementos da população.


Definições:

População: coleção completa de todos os elementos (valores, pessoas, medidas,...) a serem estudados.

Amostra: subcoleção de elementos extraídos da população.

Censo: coleção de dados relativos a todos os elementos de uma população.

Amostragem: coleção de dados relativos a elementos de uma amostra.

Exemplo:

População Amostra

Parâmetro: medida numérica que descreve uma característica de uma população

Estatística: medida numérica que descreve uma característica de uma amostra

1.1 Amostragem

O objetivo da amostragem é permitir fazer inferências sobre uma população após inspeção de apenas parte dela. Fatores como custo, tempo, ensaios destrutivos e populações infinitas tornam a amostragem preferível a um estudo completo (censo).

Os principais tipos de amostragem utilizados são os probabilísticos, onde todos os indivíduos da população têm a mesma chance de serem selecionados. Os planos de amostragem probabilística são delineados de tal modo que se conhece todas as combinações amostrais possíveis e suas probabilidades, podendo-se então determinar o erro amostral.

Os métodos mais comuns de amostragem probabilística são:

• Amostragem aleatória simples: os elementos de uma população são escolhidos de tal forma que todos tenham a mesma chance de serem escolhidos. Pode-se utilizar uma tabela de números aleatórios ou um programa de geração de números aleatórios.

• Amostragem estratificada: subdivide-se a população em, no mínimo, dois estratos (subpopulações) que compartilham a mesma característica e em seguida escolhe-se uma amostra de cada. Exemplo: homens e mulheres.

• Amostragem sistemática: escolhe-se um ponto de partida e então, sistematicamente, selecionam-se os outros. Por exemplo: o 3°, 403°, 803°, 1203°,... indivíduos


• Amostragem por conglomerados: divide-se a população em conglomerados (áreas), em seguida sorteiam-se algumas áreas e analisam-se todos os elementos dos conglomerados escolhidos. Por exemplo: bairros.

Fonte: Triola, Mário. 1999, 11.

Amostragens não probabilísticas são utilizadas quando a população em estudo é muito pequena ou de difícil obtenção. Neste caso a análise de uma amostra poderia causar distorções. Uma pessoa familiarizada com a população pode indicar melhor as unidades amostrais. Este tipo de amostragem não permite avaliar o erro amostral. EX: doença rara.


1.2 Tipos de variáveis

Alguns conjuntos de dados consistem em números, enquanto outros são não numéricos. Utiliza-se a nomenclatura de dados (ou variáveis) qualitativos e quantitativos.

Exercícios:

Identifique cada número como discreto ou contínuo

1. Cada cigarro Camel tem 16,13 mg de alcatrão

2. O altímetro de um avião da American Airlines indica uma altitude de 21.359 pés

3. Uma pesquisa efetuada com 1015 pessoas indica que 40 delas são assinante de um serviço de informação on-line.

4. O tempo total gasto anualmente por um motorista de táxi de Nova York ao dar passagem a pedestres é de 2367 segundos.

Apresente dois exemplos de dados discretos ou contínuos de sua empresa / pesquisa.

Quantitativas Qualitativas

Discretas Contínuas

Variáveis


22 SSéérriieess eessttaattííssttiiccaass

Consiste no agrupamento dos dados estatísticos em tabelas.

Em qualquer série estatística são observados três elementos fundamentais:

• O fato, isto é, o que está sendo observado

• O espaço geográfico

• A época

Estes elementos criam classificações para as séries: específicas, temporais ou geográficas.

Séries temporais (ou históricas)

Os dados estão reunidos de acordo com o tempo, que varia. Os outros dois fatores - local e fato - permanecem inalterados.

Séries geográficas

Os dados estão reunidos de acordo com o local, que varia. Os outros dois fatores - fato e data - permanecem inalterados.


Séries específicas

Os dados estão reunidos de acordo com o evento, que varia. Os outros dois fatores - local e data - permanecem inalterados.

As séries podem ainda apresentar-se sob a forma mista, resultante da combinação dos fatores.

33 GGrrááffiiccooss

Os gráficos consistem em uma forma de apresentação dos dados, usualmente utilizada pois facilita a interpretação dos resultados.

São elementos complementares de um gráfico:

• Título geral, época e local

• Escalas e respectivas unidades de medida

• Indicação das convenções adotadas (legenda)

• Fonte de informação dos dados


Principais tipos de gráficos: (Fonte: Site da Microsoft – www.microsoft.com.br)

Colunas

Um gráfico de colunas mostra as alterações de dados em um período de tempo ou ilustra comparações entre itens. As categorias são organizadas na horizontal e os valores são distribuídos na vertical, para enfatizar as variações ao longo do tempo.

Gráficos de colunas empilhadas mostram o relacionamento de itens individuais com o todo

. O gráfico de colunas em perspectiva 3D compara pontos de dados ao longo dos dois eixos.

Nesse gráfico 3D, você pode comparar o desempenho das vendas de quatro trimestres na Europa com o desempenho de outras duas divisões.

Vendas por local

Barras

Um gráfico de barras ilustra comparações entre itens individuais. As categorias são organizadas na vertical e os valores na horizontal para enfocar valores de comparação.

Gráficos de barras empilhadas mostram o relacionamento de itens individuais com o todo.

Vendas por produto


Linha

Um gráfico de linhas mostra tendências nos dados em intervalos iguais.

A união dos pontos faz sentido pois a variável é contínua. Meses usualmente são tratados como variáveis contínuas

Valor de venda do produto X

Pizza

Um gráfico de pizza mostra o tamanho proporcional de itens que constituem uma série de dados para a soma dos itens. Ele sempre mostra somente uma única série de dados, sendo útil quando você deseja dar ênfase a um elemento importante.

Totaliza a informação (100%). Cada faixa do gráfico é proporcional à informação.

Para facilitar a visualização de fatias pequenas, você pode agrupá-las em um único item do gráfico de pizza e subdividir esse item em um gráfico de pizza ou de barras menor, ao lado do gráfico principal.

Diagrama de Dispersão (Dispersão XY)

Um gráfico xy (dispersão) mostra a relação existente entre os valores numéricos em várias séries de dados ou plota dois grupos de números como uma série de coordenadas xy. Esse gráfico mostra intervalos irregulares ou clusters de dados e é usado geralmente para dados científicos.

Relação entre tempo e temperatura


Histograma

É um gráfico de colunas, porém utilizado para apresentar distribuições de freqüências.

Apresenta as classes ao longo do eixo horizontal e as freqüências (absolutas ou relativas) ao longo do eixo vertical. As fronteiras das “barras” coincidem com os pontos extremos dos intervalos de classe.

Distribuição da quantidade produzida

0.000.050.10

0.15

0.20

0.250.30

3 a 8 8 a 13 13 a 18 18 a 23 23 a 28 28 a 33

Safras (alq.)

% d

as

árv

ore

s

Área

Um gráfico de área enfatiza a dimensão das mudanças ao longo do tempo. Exibindo a soma dos valores plotados, o gráfico de área mostra também o relacionamento das partes com um todo.

Nesse exemplo, o gráfico de área enfatiza o aumento das vendas em Washington e ilustra a contribuição de cada estado para o total das vendas.

Superfície

Um gráfico de superfície é útil quando você deseja localizar combinações vantajosas entre dois conjuntos de dados. Como em um mapa topográfico, as cores e os padrões indicam áreas que estão no mesmo intervalo de valores.

Esse gráfico mostra as várias combinações de temperatura e tempo que resultam na mesma medida de resistência à tração.


Radar

Um gráfico de radar compara os valores agregados de várias séries de dados.

Nesse gráfico, a série de dados que cobre a maior parte da área, Marca A, representa a marca com o maior conteúdo de vitamina.

Ações

O gráfico de alta-baixa-fechamento é usado muitas vezes para ilustrar preços de ações. Esse gráfico também pode ser usado com dados científicos para, por exemplo, indicar mudanças de temperatura. Você deve organizar seus dados na ordem correta para criar esse e outros gráficos de ações.

Um gráfico de ações que mede o volume tem dois eixos de valores: um para as colunas, que medem o volume, e outro para os preços das ações. Você pode incluir volume em um gráfico de alta-baixa-fechamento ou de abertura-alta-baixa-fechamento.


Bolhas

Um gráfico de bolhas é um tipo de gráfico xy (dispersão). O tamanho do marcador de dados indica o valor de uma terceira variável.

Para organizar seus dados, coloque os valores de x em uma linha ou coluna e insira os valores de y e os tamanhos das bolhas correspondentes nas linhas ou colunas adjacentes.

O gráfico nesse exemplo mostra que a Empresa A tem a maioria dos produtos e a maior fatia do mercado, mas não necessariamente as melhores vendas.

Cone, cilindro e pirâmide

Os marcadores de dados em forma de cone, cilindro e pirâmide podem dar um efeito especial aos gráficos de colunas e de barras 3D.

Rosca

Como um gráfico de pizza, o gráfico de rosca mostra o relacionamento das partes com o todo, mas pode conter mais de uma série de dados. Cada anel do gráfico de rosca representa uma série de dados.


44 DDiissttrriibbuuiiççõõeess ddee ffrreeqqüüêênncciiaass

Distribuição de freqüência é uma tabela resumida na qual os dados são organizados em grupos de classe ou categorias convenientemente estabelecidas e numericamente ordenadas.

As distribuições de freqüências são series heterógrafas, isto é, séries na qual o fenômeno ou fato apresenta graduações ou subdivisões. Embora fixo, o fenômeno varia de intensidade.

Nas distribuições de freqüência, os dados são agrupados segundo um critério de magnitude, em classe ou pontos, permanecendo constante o fato, local e tempo, de tal forma que se possa determinar a percentagem ou número, de cada classe. É um tipo de apresentação que condensa uma coleção de dados conforme as freqüências ou repetições de seus valores.

A construção da distribuição de freqüência depende do tipo de dado com os quais se está lidando: contínuos ou discretos.

4.1 Construção de distribuição de freqüência para dados contínuos

Os principais estágios são:

1. Estabelecer a quantidade de classes ou intervalos de grupamento dos dados. O

número de classes deve variar entre 5 e 15. Aconselha-se utilizar n onde n é o número de observações.

2. Determinar a amplitude das classes. Aconselha-se fazer amplitude / no de classes. (OBS: amplitude = maior valor – menor valor)

3. Enquadrar os dados nas classes, mediante contagem e apresentar os resultados em uma tabela ou gráfico

Exemplo:

Os dados a seguir representam o tempo (em minutos) que 45 operadores de máquina demoraram para fazer o setup de uma máquina.

6,5 4,0 7,1 8,3 5,4 7,6 9,0 15,7 16,7 6,4 5,0 8,5 5,7 7,7 7,2 12,4 7,1 5,5 9,7 4,4 7,0 6,3 8,3 6,9 5,7 7,6 7,9 7,9 6,0 8,2 10,4 9,9 3,9 9,8 8,2 5,6 7,9 6,4 7,4 7,0 13,0 8,7 6,4 6,7 7,4

1 – Número de classes � 45 valores � 45 =6,7 ≅ 7 classes

2 – Amplitude das classes � 16,7 – 3,9 = 12,8 (Maior valor = 16,7; Menor valor = 3,9). Logo, tem-se a amplitude das classes 12,8 / 7 = 1,83 ≅ 2


3 – Escrever as classes e contar os valores

Tempo (minutos)

Número de operadores

% de operadores

3 –| 5 4 8,9%

5 –| 7 15 33,3%

7 –| 9 18 40,0%

9 –| 11 4 8,9%

11 –| 13 2 4,4%

13 –| 15 0 0,0%

15 –| 17 2 4,4%

Total 45 100%

3 –| 5 equivale a 3 < x ≤ 5

Ou seja, são contados no

intervalo todos os valores

superiores a 3 e inferiores ou

iguais a 5.

A freqüência absoluta (fi) corresponde ao número de operadores

A freqüência relativa (fri) corresponde ao percentual de operadores

4.2 Gráficos das distribuições de freqüência

Histograma de freqüências

Análise dos tempos para fazer o setup da máquina

4

15

18

4

20

2

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

3 –| 5 5 –| 7 7 –| 9 9 –| 11 11 –| 13 13 –| 15 15 –| 17

Tempo (minutos)

Núm

ero

de o

pera

dore

s

Uma alternativa ao histograma de freqüências é o polígono de freqüências, construído mediante a conexão dos pontos médios dos intervalos do histograma, com linhas retas.


Análise dos tempos para fazer o setup da máquina

4

15

18

4

2

0

2

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

3 –| 5 5 –| 7 7 –| 9 9 –| 11 11 –| 13 13 –| 15 15 –| 17

Tempo (minutos)

Núm

ero

de o

pera

dore

s

OBS: uma vez que a área do polígono deve ser 100%, deve-se ligar o primeiro e o último pontos médios com o eixo horizontal, de modo a cercar a área da distribuição observada.

Exercícios:

1. A tabela de dados representa o peso de 30 sacos de arroz da marca A selecionados aleatoriamente em um supermercado. Construa a distribuição de freqüências e apresente em um gráfico. (para facilitar os dados já estão ordenados)

922 930 936 950 954 954 958 965 968 974

977 979 987 989 1001 1006 1008 1010 1013 1017

1018 1034 1034 1035 1042 1044 1044 1048 1070 1116

2. Construa a distribuição de freqüência e o polígono de freqüências.

6,2 9,0 12,2 14,7 7,9 9,8 8,0 13,3 13,3 8,9

8,8 8,3 11,8 11,8 14,7 8,5 7,7 11,4 11,2 10,6


4.3 Construção de distribuição de freqüência para dados discretos

Na construção de uma distribuição de freqüência utilizando dados contínuos, perde-se certa quantidade de informação porque os valores individuais perdem sua identidade quando são agrupados em classes. Isso pode ou não ocorrer com dados discretos, dependendo da natureza dos dados e os objetivos do analista.

Consideremos os seguintes dados relativos ao número de acidentes diários em um grande estacionamento, durante o período de 50 dias.

1 6 3 6 2 4 5 3 7 9

5 4 5 3 4 5 6 0 8 4

4 1 9 5 7 5 5 4 5 8

4 5 3 2 6 7 4 3 1 4

0 0 5 4 2 6 6 2 8 7

Note que os dados estão entre 0 e 9.

Podemos construir uma distribuição de freqüência sem perda dos valores originais, utilizando os próprios valores.

Classe Freqüência dias

% dos dias

0 3 0,06 1 3 0,06 2 4 0,08 3 5 0,10 4 10 0,20 5 10 0,20 6 6 0,12 7 4 0,08 8 3 0,06 9 2 0,04

50 1,00

0

2

4

6

8

10

12

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Núm

ero

de d

ias

Não houve perda de informação, ou seja, poderíamos construir a tabela original a partir da distribuição de freqüências.


Por outro lado, poderíamos usar como classes 0-1, 2-3, 4-5, 6-7 e 8-9.

Classe Freqüência

dias % dos dias

0-1 6 0,12

2-3 9 0,18

4-5 20 0,40

6-7 10 0,20

8-9 5 0,10

50 1,00

0

5

10

15

20

25

0-1 2-3 4-5 6-7 8-9

Núm

ero

de d

ias

De modo geral prefere-se uma distribuição de freqüência sem perda de informação quando:

• Os dados são constituídos de valores inteiros.

• Há menos de, digamos, 16 classes.

• Há suficientes observações para originar uma distribuição significativa

Por outro lado, prefere-se uma distribuição de freqüência com perda da informação quando:

• Estão em jogo inteiros e não inteiros

• Só existem inteiros, porém em número muito alto para permitir uma distribuição útil.

• A perda da informação é de importância secundária (por exemplo, o arredondamento do peso de um caminhão ou da renda anual para a unidade mais próxima)


4.4 Construção de uma distribuição de freqüência acumulada

Uma distribuição de freqüência acumulada tem por objetivo indicar o número ou percentual de itens menores do que, ou iguais a, determinado valor.

No caso dos acidentes podemos construir distribuições acumuladas para a distribuição com e sem perda da informação.

Sem perda da informação

Classe N° dias % dias Freqüências

acumuladas

0 3 0,06 0,06

1 3 0,06 0,12

2 4 0,08 0,20

3 5 0,10 0,30

4 10 0,20 0,50

5 10 0,20 0,70

6 6 0,12 0,82

7 4 0,08 0,90

8 3 0,06 0,96

9 2 0,04 1,00

50 1,00

Com perda da informação

Classe N° dias % dias Freqüências

acumuladas

0-1 6 0,12 0,12

2-3 9 0,18 0,30

4-5 20 0,40 0,70

6-7 10 0,20 0,90

8-9 5 0,10 1,00

50 1,00

Podemos, pela primeira tabela, concluir que 90% dos dados correspondem a valores menores ou iguais a 7. ou seja, Em 90% dos dias o número de acidentes não excede 7.


0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

0-1 2-3 4-5 6-7 8-9

Os polígonos de freqüências acumuladas são também chamados de ogivas.

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

N. acidentes

% dos dias

4.5 Distribuições de freqüência para dados nominais e por postos

As distribuições de freqüências para dados nominais se assemelham às distribuições de freqüência normais, porém apresentam as categorias em lugar das classes.

Por exemplo:

Vendas absolutas

Vendas relativas

Limão 600 0,375

Laranja 400 0,250

Melão 300 0,188

Melancia 200 0,125

Abacaxi 100 0,063

Total 1600 1,000

Usa-se o gráfico de barras ou colunas para representar dados nominais.


4.6 Gráficos para distribuições de freqüência

A distribuição de freqüência é muitas vezes utilizada para determinar o formato da distribuição. A distribuição dos dados pode ser simétrica ou não.

Exercício:

Construa a distribuição de freqüência e desenhe o histograma dos dados a seguir. Qual é o formato da distribuição?

20,7 18,7 26,2 21,7 18,8 20,6 20,7 20,2 18,5 21,3 19,3 18,3 25,1 18,8 24,3 28,4 23,3 25,3 20,4 18,3 24,0 21,2 19,4 20,6 18,9 26,6 22,4 18,9 22,6 21,4 27,0 23,6 28,3 20,3 21,7 18,2 20,3 19,2 24,7 18,4

Distribuições discretas

Simétrica Assimétrica à esquerda Assimétrica à direita


55 MMeeddiiddaass ddee tteennddêênncciiaa cceennttrraall

As medidas de tendência central são usadas para indicar um valor que tende a representar melhor um conjunto de números. As três medidas mais usadas são a média, a mediana e a moda.

5.1 Média

5.1.1 Média aritmética

A média aritmética é o resultado da divisão da soma de todos os valores da amostra pela quantidade total de valores.

OBS: x lê-se X barra e significa média. ∑=

n

iix

1

lê-se somatório de x i, i variando de 1 a n.

∑=

+++=n

ini x...xxx

1

21

Se um estudante faz quatro provas, obtendo as notas 70, 60, 80 e 75, sua média é: 71,25.

Algumas propriedades da média

• A média de um conjunto de dados pode ser sempre calculada.

• Para um dado conjunto de números, a média é única.

• A média é sensível a (ou afetada por) todos os valores do conjunto, assim, se um número se modifica, a média também se modifica.

• Somando-se uma constante a cada valor do conjunto, a média ficará aumentada do valor constante. Analogamente, extraindo-se um valor constante de cada valor do conjunto, a média também ficará diminuída desse valor.

• A soma dos desvios dos números de um conjunto a contar da média é zero.

n

xx

n

ii∑

== 1 ou simplesmente n

xx ∑

=


5.1.2 Média ponderada

A fórmula anterior para calcular a média aritmética supõe que cada observação tenha a mesma importância. A média ponderada considera que as informações não tem a mesma importância, ou seja, devem ser levados em conta o peso das informações.

Onde wi é o peso da observação de ordem i.

Consideremos que um professor informe a classe de que haverá dois exames parciais, valendo cada um 30% da nota e um exame final valendo 40%. Um aluno obtém desempenho 70 na primeira avaliação, 65 na segunda e 80 no exame final.

Média ponderada = 5072001

400803006530070

1

1 ,,

,x,x,x

w

xw

n

ii

n

iii

=++

=

∑

∑

=

=

5.1.3 Média geométrica

A média geométrica é utilizada quando se deseja fazer a média de taxas de juro, por exemplo. Neste caso, multiplicam-se os n termos e em seguida extraí-se a raiz de ordem n.

A média geométrica é o resultado da raiz de ordem n do produto de todos os valores da amostra.

OBS: n

n

ii x...xxxx 321

1

=∏=

lê-se produtório de x i, i variando de 1 a n.

5.1.4 Média harmônica

A média harmônica de um conjunto de n números é a recíproca da média aritmética dos recíprocos dos números.

Média geométrica = n

n

iix∏

=1

Média ponderada =

∑

∑

=

=

n

ii

n

iii

w

xw

1

1


5.1.5 Relação entre as médias aritmética, geométrica e harmônica

A média geométrica de um conjunto de números positivos é menor ou igual à sua média aritmética, mas é maior ou igual à sua média harmônica.

Em símbolos: xGH ≤≤

O sinal de igualdade vale somente quando todos os números forem iguais.

Exemplo: o conjunto 2,4 e 8 tem média aritmética 4,67, média geométrica 4 e média harmônica 3,43.

5.1.6 Cálculo da média para uma distribuição de freqüência

A média de uma distribuição de freqüência é calculada com base valor e na freqüência de cada classe.

n

xfx ii∑

=

Onde fi é a freqüência da classe i.

Para dados com perda da informação, utiliza-se em lugar de x i o ponto médio do intervalo.

Exemplo:

Classe Ponto médio

(x i) N° dias (f i) f i xi

0-1 0,5 6 3,0

2-3 2,5 9 22,5

4-5 4,5 20 90,0

6-7 6,5 10 65,0

8-9 8,5 5 42,5

n = 50 223

46450

223,

n

xfx ii

===∑

Média harmônica =

∑∑=

− x

n

xn

n

i i

111

1

1


Classe (x i) N° dias (f i) f i xi

0 3 0

1 3 3

2 4 8

3 5 15

4 10 40

5 10 50

6 6 36

7 4 28

8 3 24

9 2 18

50 222

44450

222,

n

xfx ii

===∑

Se fizéssemos a média a partir da tabela original obteríamos o valor de 4,44.

5.2 Mediana

A principal característica da mediana é dividir o conjunto de números em dois grupos iguais: a metade terá valores inferiores ou iguais à mediana e a metade terá valores superiores ou iguais à mediana.

Para calcular a mediana inicia-se ordenando os valores em ordem crescente. Em seguida conta-se até a metade deles. Em geral a mediana ocupa a posição (n+1)/2.

Para número ímpar de valores a mediana é o valor do meio. Para amostras com número par de unidades, a mediana é a média dos dois valores centrais.

Exemplos:

Amostra Número de elementos Dados ordenados Mediana

2 3 3 4 2 5 1 4 5 9 elementos � ímpar 1 2 2 3 3 4 4 5 5 3

2 4 3 1 7 3 8 9 2 4 10 elementos � par 1 2 2 3 3 4 4 7 8 9 3,5

3 4 2 3 1 5 3 2

6 7 3 2 5 2 3 6 2 1


Uma medida semelhante à mediana é o quartil. Os quartis dividem o conjunto ordenado de dados em quatro grupos iguais. 25% dos valores são inferiores ao primeiro quarti (Q1), 25% estão entre Q1 e a mediana, 25% estão entre a mediana e o terceiro quartil (Q3). OBS: o segundo quartil corresponde à mediana (Q2=mediana).

LI Q1 Q2=mediana Q3 LS

LI = Limite inferior LS=Limite superior

5.2.1 Cálculo da mediana para uma distribuição de freqüência

Da mesma forma que para dados apresentados em série, a mediana é o ponto que divide as informações ao meio.

A mediana pode ser obtida por interpolação, e é dada pela fórmula.

cf

fn

LMedianamediana

)(2

1

1

−

+=∑

onde: L1= limite inferior da classe mediana, isso é, da classe que contém a mediana

n = número de itens dos dados (freqüência total)

(Σf)1=soma de todas as freqüências das classes anteriores à mediana

fmediana= freqüência da classe mediana

c = amplitude do intervalo da classe mediana

Exemplo:

No caso dos acidentes, temos 50 observações, logo a mediana deve estar localizada na posição (50+1)/2 = 25,5, ou seja, a classe que contém a mediana é a classe 4-5.

O limite inferior da classe mediana é 4. Antes da classe mediana ((Σf)1) haviam “passado” 15 dados. A classe mediana contém 20 observações e a amplitude da classe mediana é 1.

Então

54504120

152

50

4 ,,xMediana =+=

−

+=


5.3 Moda

A moda é o valor que aparece com maior freqüência na amostra. Um conjunto de dados pode não apresentar moda, apresentar uma moda, duas modas (bimodal), três modas (trimodal) ou mais modas (polimodal).

Exemplo:

A moda do conjunto 2 3 4 3 2 3 5 1 2 é 3, pois o três é o valor que mais vezes aparece.

5.3.1 Cálculo da moda para uma distribuição de freqüência

Quando não há perda da informação, a moda é idêntica ao valor da classe modal, que é a classe com maior freqüência.

Quando há perda da informação, a moda representa o(s) valor(es) de X correspondente(m) ao(s) ponto(s) de ordenada(s) máxima(s) da curva e pode ser calculada pela fórmula:

cLModa

∆+∆

∆+=

21

11

onde: L1=limite inferior da classe modal (isto é, a classe que contém a moda)

∆1=excesso da freqüência modal sobre a da classe imediatamente anterior

∆2= excesso da freqüência modal sobre a da classe imediatamente posterior

c = amplitude da classe modal

Exemplo:

No caso dos acidentes....

Classe N° dias (f i)

0-1 6

2-3 9

4-5 20

6-7 10

8-9 5

n = 50

524520411011

114 ,,Moda =+=

++=

Classe modal


A distribuição pode ter mais de uma moda, sendo bimodal ou de modas múltiplas. OBS: as duas modas não precisam, necessariamente, ter a mesma freqüência. Isso acontece quando há um deslocamento da distribuição.

5.4 Relação entre as medidas de tendência central

Para as curvas de freqüência unimodal moderadamente inclinadas (assimétricas) vigora a relação empírica

Média – Moda = 3 (Média – Mediana)

Exercícios:

1. Para os seguintes conjuntos de dados, determine os valores da média aritmética, média geométrica, média harmônica, mediana e moda.

a) 12 15 16 15 12 15 15 5 7 14

b) 2 6 3 6 3 3 4

c) 2 8 3 10 2 1 6 9 4 3

d) 38 38 70 92 22 17

Moda Classe modal Classes modais Classes modais

Mediana

Média

Moda

Mediana

Média

Moda Mediana

Média

Moda


2. Determine Q1, Q2 e Q3 nos conjuntos de dados que seguem:

a) 15 15 4 7 16 16 4 11 7

8 19 7 6 12 17 16 9 20

16 14 3 12 4 9 8 3 16

b) 4 12 4 7 4 9 11 12 5 8 9 4

3. Qual seria o efeito sobre a média de um conjunto de dados se se adicionasse 10:

a) a um dos números? b) a cada um dos números?

4. João possui 5 imóveis localizados nesta cidade. Ele deseja saber qual o valor médio, por metro quadrado, das suas propriedades. Sabendo que imóveis no centro valem R$ 450,00/m2 e imóveis em bairros valem R$ 300,00/m2, calcule o valor médio por m2 do seu capital.

Apartamento de 80 m2 no centro Pavilhão de 450 m2 no bairro Casa de 280 m2 no centro Apartamento de 120 m2 no bairro Casa de 320 m2 no bairro


66 MMeeddiiddaass ddee vvaarriiaabbiilliiddaaddee

As medidas de variabilidade ou dispersão indicam se os valores estão relativamente próximos ou não uns dos outros.

Na análise de um conjunto de dados é necessário que sejam observados tanto as informações relativas à localização (medidas de tendência central) quanto as informações de dispersão (medidas de variabilidade).

Exemplo:

Exemplo:

Duas máquinas estão sendo comparadas. A seguir está descrita a produção de cada uma durante 5 dias.

Produção Média

Máq 1 10 10 10 10 10 10

Máq 2 5 18 8 3 16 10

Você acha que a programação da produção para as duas máquinas pode ser a mesma durante 1 semana? Por quê?

Consideraremos quatro medidas de dispersão: amplitude, variância, desvio padrão e coeficiente de variação. Todas elas, exceto a amplitude, têm na média o ponto de referência. Em cada caso, o valor zero indica ausência de variação; a dispersão aumenta à proporção que aumenta o valor da medida (intervalo, variância, etc.).

6.1 Amplitude

Também conhecida como intervalo.

A amplitude de um grupo de dados é, de modo geral, mais simples de calcular e de entender. Consiste na diferença entre o maior e o menor valor, ou seja, entre os valores extremos.

Amplitude = Xmax - X mín

Pequena variabilidade

Grande variabilidade


A maior limitação da amplitude é o fato de só levar em conta os valores extremos de um conjunto, nada informado sobre os outros valores.

Exemplo:

1. Calcule a amplitude dos seguintes conjuntos de dados. Você acha que a dispersão dos conjuntos é igual?

a) 15 15 12 14 16 16 4 15

b) 5 4 5 4 6 5 16 4

6.2 Variância

Calcula-se a variância de uma amostra elevando-se as diferenças de cada um dos valores em relação à média, somando-se estas diferenças e dividindo-se por n-1.

1

2

2

−

−=∑

n

)xx(s i

x

Quando se deseja a variância populacional, deve-se substituir n-1 por n na fórmula. Usualmente iremos utilizar a variância amostral.

Exemplo:

Cálculo da variância do conjunto de dados 2,4,6,8, e 10.

x i x xx i − ( xx i − )2

2 6 -4 16

4 6 -2 4

6 6 0 0

8 6 2 4

10 6 4 16

Somas 0 40

1015

40

1

2

2 =−

=−

−=∑

n

)xx(s i

x

6.3 Desvio padrão

O desvio padrão é simplesmente a raiz quadrada da variância. Assim se a variância é 81, o desvio padrão será 9.


( )

11

2

2

2

−

−

=−

−=

∑ ∑∑

n

nx

x

n

)xx(s

ii

ix

Como anteriormente, a substituição de n-1 por n produz as fórmulas para a população.

A unidade na qual o desvio padrão é expresso é a mesma dos dados originais, ou seja, se os dados são em Reais, o desvio padrão também vai ser em reais (e a variância em reais2).

Exemplo:

Cálculo do desvio padrão do conjunto de dados 20, 5, 10, 15 e 25.

Usando a fórmula normal:

x i x xx i − ( xx i − )2

20 15 5 25

5 15 -10 100

10 15 -5 25

15 15 0 0

25 15 10 100

Somas 0 250

91756215

250

1

2

,,n

)xx(s i

x ==−

=−

−=∑

Usando a fórmula simplificada:

∑ =++++= 75251510520ix

∑ =++++= 1375251510520 222222

ix

( )

91715

250

15

5751375

1

2

2

2

,n

nx

x

s

ii

x =−

=−

−=

−

−

=

∑ ∑

6.4 Coeficiente de variação

O coeficiente de variação é uma medida de variação útil para comparar conjuntos de dados diferentes. Ele é usualmente expresso em percentual.

O coeficiente de variação é dado pelo quociente entre o desvio padrão e a média dos dados.


XS

Médiapadrão Desvio

CV x==

Exemplo:

Entre os conjuntos de dados a seguir apresentados, qual apresenta maior variabilidade? Conjunto A Conjunto B

12 3 25 4 16 5 23 2

Solução: 3187019

066,

,MédiaA

APadrão DesvioCVA ===

3688053

291,

,,

MédiaBB Padrão Desvio

CVB ===

Então o conjunto que possui maior variabilidade é o conjunto B.

Exercícios:

1. O desvio padrão pode ser zero? Explique. Pode ser negativo? Explique.

2. Calcule a média e o desvio padrão para as vendas diárias.

R$ 8100 R$ 9000 R$ 4580 R$ 5600 R$ 7680 R$ 4800 R$ 10640

3. Consideremos os seguintes dados correspondentes a preços de propostas.

26,5 27,5 25,5 26,0 27,0 23,4 25,1 26,2 26,8

Calcule a amplitude, a variância, o desvio padrão, a média, moda, mediana e os quartis

77 MMeeddiiddaass ddee aassssiimmeettrriiaa ee ccuurrttoossee

As medidas de assimetria e curtose indicam qual o formato da distribuição dos dados em relação à distribuição normal (descrita adiante).

Assimetria é o grau de desvio, ou afastamento da simetria, de uma distribuição. Ela retorna a distorção de uma distribuição. O valor enviesado caracteriza o grau de assimetria de uma distribuição em torno de sua média. Um valor positivo indica uma distribuição com uma ponta assimétrica que se estende em direção a valores mais positivos. Um valor


negativo indica uma distribuição com uma ponta assimétrica que se estende em direção a valores mais negativos. No excel a função correspondente é distorção.

Assimetria = ∑

−

−−

3

21 sxx

)n)(n(n i

A curtose é o grau de achatamento de uma distribuição e caracteriza uma distribuição em cume ou plana se comparada à distribuição normal (chamada mesocúrtica). A curtose positiva indica uma distribuição relativamente em cume (chamada leptocúrtica). A curtose negativa indica uma distribuição relativamente plana (chamada platicúrtica). A função correspondente no excel chama-se CURT, e calcula a curtose de um conjunto de dados de, no máximo, 30 valores.

Curtose = )n)(n(

)n(s

xx)n)(n)(n(

)n(n i

32

13

321

1 24

−−

−−

−

−−−

+∑

Simétrica

a=0

Assimétrica negativa

a<0

Assimétrica positiva

a>0

Mesocúrtica

c=0

Platicúrtica

c<0

Leptocúrtica

c>0


88 IInnttrroodduuççããoo àà pprroobbaabbiilliiddaaddee

As origens da probabilidade remontam ao século XVI. As aplicações iniciais referiam-se quase todas a jogos de azar. Os jogadores aplicavam o conhecimento da teoria das probabilidades para planejar estratégias de apostas.

Atualmente a utilização das probabilidades ultrapassou de muito o âmbito desses jogos. Hoje os governos, as empresas, as organizações profissionais incorporam a teoria das probabilidades em seus processos diários de deliberações.

Independentemente de qual seja a aplicação em particular, a utilização das probabilidades indica que existe um elemento de acaso, ou de incerteza, quanto à ocorrência ou não de um evento futuro. Assim é que, em muitos casos, pode ser virtualmente impossível afirmar por antecipação o que ocorrerá, mas é possível dizer o que pode ocorrer.

Há numerosos exemplos de tais situações no campo dos negócios e do governo. A previsão da procura de um novo produto, o cálculo dos custos da produção, a previsão das safras, a compra de apólices de seguros, a avaliação da redução de impostos sobre a inflação. As probabilidades são úteis pois ajudam a desenvolver estratégias.

O ponto central em todas as situações é a possibilidade de quantificar quão provável é determinado evento.

As probabilidades são utilizadas para exprimir a chance de ocorrência de determinado evento. O estudo das probabilidades é importante pois elas são a base para o estudo estatístico.

8.1 Experimento aleatório

Experimentos aleatórios são aqueles que, mesmo repetidos várias vezes sob condições semelhantes, apresentam resultados imprevisíveis.

Características dos experimentos aleatórios:

1. Podem ser repetidos indefinidamente sob as mesmas condições.

2. Não se pode adiantar um resultado particular, mas pode-se descrever todos os resultados possíveis

3. Se repetidos muitas vezes apresentarão uma regularidade em termos de freqüência de resultados.

Exemplos: lançamento de uma moeda, lançamento de um dado, aposta na loteria, ....

Ao descrever um experimento aleatório deve-se especificar não somente que operação ou procedimento deva ser realizado, mas também o que deverá ser observado. (Note a diferença

entre o 2o e o 3o)

• Joga-se um dado e observa-se o número obtido na face superior.

• Joga-se uma moeda 4 vezes e o observa-se o número de caras obtido.


• Joga-se uma moeda 4 vezes e observa-se a seqüência de caras e coroas.

• Um lote de 10 peças contém 3 defeituosas. As peças são retiradas uma a uma (sem reposição) até que a última defeituosa seja encontrada. Conta-se o número de peças retiradas.

• Uma lâmpada nova é ligada e observa-se o tempo gasto até queimar.

• Lança-se uma moeda até que ocorra uma cara e conta-se então o número de lançamentos necessários.

• Lançam-se dois dados e anota-se o total de pontos obtidos.

• Lançam-se dois dados e anota-se o par obtido.

8.2 Espaço amostral

O espaço amostral (S) de um experimento aleatório é o conjunto de todos os possíveis resultados do experimento.

n(S) é o número de elementos do conjunto S, ou o número de resultados possíveis.

Exemplo: um experimento é o lançamento de uma moeda. Os possíveis resultados são

cara ou coroa, então, S={cara, coroa}.

Em dois lançamentos de uma moeda, sendo interessante observar a ordem dos resultados, os possíveis resultados são: 1) cara e cara, 2) cara e coroa, 3) coroa e cara e 4) coroa e coroa. O espaço amostral é S={(Ca,Ca), (Ca,Co), (Co,Ca) e (Co,Co)}. n(S)=4

8.3 Eventos

Chama-se de evento qualquer subconjunto do espaço amostral S de um experimento aleatório, ou seja, qualquer resultado do espaço amostral.

n(A) é o número de resultados associados ao evento A.

Exemplo: no lançamento de uma moeda S={cara, coroa}. Um evento de interesse A pode

ser “obter cara no lançamento de uma moeda” e n(A)=1.

No lançamento de um dado, o evento de interesse (A) pode ser obter face par e n(A)=3.

8.4 A probabilidade de um evento

Seja A um evento. A probabilidade deste evento ocorrer é dada por P(A), que é um número entre 0 e 1. Quanto mais próxima a probabilidade estiver de 1, maior será sua chance de ocorrência. A um evento impossível atribui-se probabilidade 0, enquanto que um evento certo tem probabilidade 1.

Há três maneiras diferentes de calcular ou estimar probabilidades: o método clássico, quanto o espaço amostral tem resultados igualmente prováveis. O método empírico, que


se baseia na freqüência relativa de ocorrência de um evento num grande número de provas repetidas e o método subjetivo, que utiliza estimativas pessoais de probabilidade, baseadas num certo grau de crença. Em geral vamos utilizar o método clássico de cálculo de probabilidades.

Quando os resultados são equiprováveis, a probabilidade de cada resultado é função do número de resultados possíveis:

possíveis resultados de total úmeron Aevento ao associados resultados de número

)A(P =

Exemplo:

Experimento: lançar um dado e observar a face superior

Espaço amostral: S={1,2,3,4,5,6} n(S)=6

Evento A: face par n(A)=3

P(A)= 3/6 = ½ = 0,5 ou 50%

OBS: existe uma pequena diferença entre probabilidade e chance de um evento. A probabilidade

relaciona o número de resultados de A com o número de resultados total, enquanto que chance

compara o número de resultados de A com o número de resultados de outro evento (B ou C).

Em uma urna com 5 bolas brancas, 3 vermelhas e 2 azuis,

A probabilidade de selecionar uma bola branca é P(branca)=5/10=0,5 ou 50%

E a chance de selecionar uma bola branca é 5:5, que é semelhante a 1:1, o que significa que existe a

mesma chance de retirar uma bola branca ou uma bola de outra cor.

Exercícios:

1. Escreva o espaço amostral no lançamento de um dado. Ache a probabilidade associada a cada evento.

2. Extrai-se uma carta de um baralho de 52 cartas. Determine a probabilidade de:

a) um valete

b) uma carta vermelha

c) um dez de paus

d) uma figura

e) uma carta de ouros

f) um nove vermelho


3. Complete a tabela com os valores calculados da probabilidade dos eventos ocorrerem

Experimento Evento P(Evento)

Lançar uma moeda uma vez Cara

Lançar um dado uma vez Face 3

Extrair uma carta de um baralho com 52 cartas 6 vermelho

Extrair uma carta de um baralho de 52 cartas

Valete de ouros

4. Encontre n(S), n(A) e P(A) no lançamento de dois dados

Experimento: Lançar dois dados e observar a seqüência dos resultados

S={(1,1), (1,2), (1,3),.....,(6,4),(6,5),(6,6)}

N(S)=36

a. A: apareçam faces iguais

b. A: a segunda face é o dobro da primeira

c. A: apareçam somente números ímpares

d. A: apareçam faces iguais ou a segunda face é o quadrado da primeira

e. A: a soma das faces é igual a 7

5. Há 50 bolas numa urna: 20 azuis, 15 vermelhas, 10 pretas e 5 verdes. Misturam-se as bolas. Determine a probabilidade da bola escolhida ser:

a) Verde

b) Azul

c) Verde ou azul

d) Não-vermelha

e) Vermelha ou verde

f) Amarela

g) Não-amarela


6. Um motorista tem uma marca num de seus pneus, e 20% do pneu é visível. Ao parar, qual a probabilidade da marca ficar na parte visível?

7. Um motor tem 6 velas, e uma está defeituosa, devendo ser substituída. Duas estão em posição de difícil acesso, o que torna difícil a substituição.

a) Qual a probabilidade de a vela defeituosa estar em posição difícil?

b) Qual a de não estar em posição difícil?

8. Os dados compilados pela gerência de um supermercado indicam que 915 dentre 1500 clientes compradores de domingo gastam mais de R$ 40,00 em suas compras. Estime a probabilidade de um comprador em qualquer domingo gastar mais de R$ 40,00.

9. Uma pesquisa de tráfego levada a efeito das 5 às 6 horas da manhã num trecho de uma rodovia federal revelou que, de 200 carros que pararam para uma verificação rotineira de segurança, 25 tinham pneus em más condições. Estime a probabilidade de um carro que pare naquele trecho ter seus pneus em boas condições

8.5 Cálculo das probabilidades

Muitas aplicações da estatística exigem a determinação da probabilidade de combinações dos eventos. Há duas características de combinações. Pode ser necessário determinar a probabilidade de ambos os eventos acontecerem P(A e B) ou a probabilidade de um deles, A ou B, ou seja, P(A ou B).

Em um prédio com 2 elevadores, poderíamos perguntar: Qual a probabilidade de ambos elevadores estarem em serviço? Ou então, Qual a probabilidade de um ou outro elevador estar em serviço?

Ambos implica P(A e B)

Um ou outro implica P(A ou B)


Regra da adição:

A regra da adição leva em conta a ocorrência do evento A ou do evento B ou de ambos os eventos e é denotada por P(A∪B).

P(A ou B) = P(A) + P(B) – P(A e B)

Quando os eventos são mutuamente excludentes (não tem elementos em comum), então a probabilidade de ambos é nula e o termo P(A e B) será zero.

Se A e B são mutuamente excludentes � P(A ou B) = P(A) + P(B)

OBS: Para apresentar os eventos utilizam-se os Diagramas de Venn [apresentados por John Venn

(1834-1923)], que representam os espaços amostrais e os eventos como círculos, quadrados, ou outra

figura geométrica conveniente.

Exercícios:

1. Numa urna existem 10 bolas numeradas de 1 a 10. Retira-se uma bola ao acaso. Qual a probabilidade do número ser par ou maior que 4?

2. Numa urna existem 10 bolas numeradas de 1 a 10. Retira-se uma bola ao acaso. Qual a probabilidade do número ser um número primo ou maior que 8?

A B


Regra da multiplicação

Considerando-se dois eventos A e B de um mesmo espaço amostral, a probabilidade de A e B ocorrerem P(A∩B) é dada por:

A probabilidade de A e B é igual à probabilidade de A, dado B, vezes a probabilidade de B.

P(A e B) = P(A|B) P(B)

Onde P(A|B) é a probabilidade de A ocorrer dado que B tenha ocorrido.

Quando a probabilidade de B ocorrer não depender de A ter ocorrido, dizemos que A e B são independentes, e P(B| A)=P(B)

Se A e B são independentes � P(A e B)=P(A)P(B)

Exemplo 1: Deve-se inspecionar uma grande caixa de peças. Os registros indicam que 2% das caixas acusam conteúdo inferior ao estipulado. Escolhidas duas caixas aleatoriamente, qual a probabilidade de ambas acusarem conteúdo inferior, admitindo-se que a remessa inspecionada é semelhante as anteriores (isto é, 2% de deficientes)?

P(ambas deficientes)=P(deficiente)P(deficiente)

=0,02 x 0,02

=0,0004 ou seja, 0,04% de probabilidade das caixas serem defeituosas.

Exemplo 2: Suponha que 20 canetas estão expostas numa papelaria. Seis são vermelhas e 14 azuis. Do conjunto de 20, iremos escolher 2 canetas aleatoriamente. Qual a probabilidade de que as duas canetas selecionadas sejam vermelhas?

Neste caso os eventos não são independentes, pois a cor da primeira caneta selecionada vai determinar a probabilidade da segunda caneta ser vermelha.

Seja A=a segunda caneta selecionada é vermelha

B=a primeira caneta selecionada é vermelha

Desejamos P(A e B) = P(A|B) P(B) = 07890380

30

20

6

19

5,=

=

A B


Regras de probabilidade

P(A ou B), Para eventos não mutuamente excludentes:

P(A ou B ou ambos) = P(A) + P(B) – P(A e B)

para eventos mutuamente excludentes:

P(A ou B) = P(A) + P(B)

P(A e B), para eventos independentes:

P(A e B) = P(A) . P(B)

Para eventos dependentes

P(A e B) = P(B).P(A/B) ou P(A).P(B/A)

Outra forma de apresentar os eventos é através de tabelas de contingência (tabelas com cruzamento de classificações).

Por exemplo:

Vermelha Preta Totais

Ás 2 2 4

Não ás 24 24 48

Totais 26 26 52

Exercícios

1. Uma urna contém 6 bolas vermelhas e 4 azuis. Em duas bolas consecutivas, sem reposição, determine a probabilidade de retirar a primeira azul e a segunda vermelha.

2. Uma urna contém 6 bolas vermelhas e 4 azuis. Em duas bolas consecutivas, com reposição, determine a probabilidade de retirar a primeira azul e a segunda vermelha.

3. Em um lote de 12 peças, quatro são defeituosas. Retira-se uma peça e inspeciona-se. Qual a probabilidade:

a. Da peça ser defeituosa

b. Dela não ser defeituosa


4. Uma loja dispõe de pneus novos e recapados. Entre 100 pneus, sabe-se que 30 são recapados.

a. Se um cliente levar um pneu, qual a probabilidade de que ele seja recapado?

b. Se um cliente levar dois pneus, qual a probabilidade de que ambos sejam recapados?

c. Se um cliente levar 4 pneus, qual a probabilidade de que todos sejam recapados?

5. Um dado é lançado 3 vezes. Calcule a probabilidade de que se obtenha face 6 nos 3 lançamentos.

6. Uma urna contém 50 bolas numeradas de 1 a 50. Serão selecionadas 5 bolas, sem reposição. Qual a probabilidade de que uma pessoa que tenha feito um jogo anotando os 5 número acerte todos?


7. Nos últimos anos, as empresas de cartões de crédito intensificaram esforços no sentido de abrir mais contas para alunos de faculdade. Suponha que uma amostra de 200 alunos em sua faculdade apresentou as seguintes informações em termos de o aluno possuir cartão de crédito bancário e/ou cartão de crédito de viagem e entretenimento:

CC de viagem e entretenimento

Sim Não Totais

Sim 60 60 120 CC bancário

Não 15 65 80

Totais 75 125 200

a. Se um aluno é selecionado aleatoriamente, qual a probabilidade de que o aluno possua um cartão de crédito bancário?

b. Se um aluno é selecionado aleatoriamente, qual a probabilidade de que o aluno não possua um cartão de crédito bancário?

c. Se um aluno é selecionado aleatoriamente, qual a probabilidade de que o aluno possua um cartão de crédito bancário e um cartão de viagem e entretenimento?

d. Se um aluno é selecionado aleatoriamente, qual a probabilidade de que o aluno não possua um cartão de crédito bancário nem cartão de viagem e entretenimento?

e. Se um aluno é selecionado aleatoriamente, qual a probabilidade de que o aluno possua um cartão de crédito bancário ou possua um cartão de viagem e entretenimento?

f. Suponha que um aluno possui um cartão de crédito bancário. Qual a probabilidade de que ele possua um cartão de viagem e entretenimento?

g. Suponha que o aluno não possui um cartão de viagem e entretenimento. Qual a probabilidade de que ele ou ela possua um cartão de crédito bancário?

h. Os dois eventos, possuir um cartão de crédito bancário e possuir um cartão de viagem e entretenimento, são estatisticamente independentes? Explique.


99 DDiissttrriibbuuiiççõõeess ddee pprroobbaabbiilliiddaaddee

O histograma é usado para apresentar dados amostrais (Amostra=conjunto de observações extraídas de uma população)

Por exemplo, 50 valores de satisfação dos clientes são interpretados como uma amostra da satisfação de todos os clientes.

O uso de métodos estatísticos permite que se analise essa amostra e se tire alguma conclusão sobre a satisfação dos clientes.

Uma distribuição de probabilidade é um modelo matemático que relaciona um certo valor da variável em estudo com a sua probabilidade de ocorrência.

Há dois tipos de distribuição de probabilidade

1. Distribuições Contínuas: Quando a variável que está sendo medida é expressa em uma escala contínua, como por exemplo, o peso de peças produzidas, diâmetro, etc.

2. Distribuições Discretas: Quando a variável que está sendo medida só pode assumir certos valores, como por exemplo os valores inteiros 0, 1, 2, etc.

No caso de distribuições discretas, a probabilidade que a variável X assuma um valor específico xo é dada por: P {X = xo} = P(xo)

No caso de variáveis contínuas, as probabilidades são especificadas em termos de intervalos:

Relembrando: uma variável aleatória é uma função com valores numéricos, cujos valores são determinados por fatores de chance.

Uma variável aleatória é considerada discreta se toma valores que podem ser contados.

Uma variável aleatória é considerada contínua quando pode tomar qualquer valor em determinado intervalo.

{ }P a x b f x dxab≤ ≤ = ∫ ( )


Os gráficos a seguir apresentam exemplos de distribuições de probabilidades discreta e contínua.

Exemplo:

Distribuição de probabilidade para a variável aleatória “número de caras em duas jogadas de uma moeda”.

Resultado Número de

caras Valor da V.A.

Prob. do resultado

Número de caras

Valor da V.A

Prob. do resultado

Cara Cara 2 ½ x ½ = ¼ 0 ¼

Cara Coroa 1 ½ x ½ = ¼

Coroa Cara 1 ½ x ½ = ¼ 1 ¼ + ¼ = ½

Coroa Coroa 0 ½ x ½ = ¼ 2 ¼

Soma = 1 Soma = 1

O valor esperado, ou esperança matemática, de uma variável aleatória é E(x), que consiste no valor esperado para ela, ou seja, o valor médio da variável.

∑=

=n

iiixp)x(E

1

se X é v.a. discreta

ou

∫∞

∞−

= dx f(x) .x)X(E se X é v.a. contínua

E a variância de X é dada por 22 )]X(E[)X(E)X(Var −= .

O desvio padrão é )X(Var


Neste exemplo, o valor esperado é 0 . ¼ + 1 . ½ + 2 . ¼ = 1.

E a variância é Var(X)=E(X2)-[E(X)]2= E(X2) - 1= (02.¼ + 12 .½ + 22 .¼) –1 =1,5-1=0,5 E o desvio padrão = 0,71

Exemplo: um investidor julga que tem 0,4 de probabilidade de ganhar $ 25.000 e 0,6 de perder $ 15.000. Seu ganho esperado é de:

E(X) = 0,4 (25.000) + 0,6 (-15.000) = $ 1.000.

E a variância é Var(X)=E(X2)-[E(X)]2

= E(X2) – 1.0002

=(0,4.25.0002 + 0,6.(-15.000)2)-1.0002

=(0,4 x 625.000.000 + 0,6 x 225.000.000)-1.0002

= 250.000.000+ 135.000.000 –1.0002

= 385.000.000 –1.000.000

= 384.000.000

Desvio padrão = $ 19.595,92

Exercícios:

1. O número de chamadas telefônicas recebidas por uma mesa e suas respectivas probabilidades para um intervalo de 3 minutos são:

Número de chamadas 0 1 2 3 4 5 Total

Freqüência relativa 0,60 0,20 0,10 0,04 0,03 0,03 1,00

Em média, quantas chamadas podem ser esperadas num intervalo de três minutos?

2. Um bilhete de loteria tem 0,00001 de chance de dar um prêmio de $ 100.000, 0,00002 de chance de dar um prêmio de $ 50.000 e 0,004 de chance de um prêmio de $ 25. Qual seria o preço justo de venda do bilhete?

3. Uma confeitaria estabeleceu um registro de vendas para certo tipo de bolo. Determine o número esperado de bolos encomendados.

N° bolos/dia 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Total

Freqüência relativa 0,02 0,07 0,09 0,12 0,20 0,20 0,18 0,10 0,01 0,01 1,00


9.1.1 Distribuições discretas mais importantes

As principais distribuições discretas são a Distribuição de Bernoulli, Distribuição Binomial e Distribuição Poisson.

Distribuição de Bernoulli

A distribuição de Bernoulli consiste em uma distribuição adequada à variável aleatória de Bernoulli, que por sua vez é uma v.a. que assume apenas os valores 0 e 1, com função de probabilidade tal que:

P(0) = P(X=0) = 1-p

P(1) = P(X=1) = p

Então, E(X)=p e Var(X)=p(1-p)

Distribuição Binomial

Seja um processo composto de uma seqüência de observações independentes, onde o resultado de cada observação pode ser um sucesso ou uma falha.

Se a probabilidade de sucesso é constante e igual a p, a distribuição do número de sucessos seguirá o modelo Binomial.

A distribuição Binomial é usada com freqüência no controle de qualidade. É o modelo apropriado quando a amostragem é feita sobre uma população infinita ou muito grande.

A distribuição binomial possui quatro propriedades essenciais:

1. As observações possíveis podem ser obtidas através de dois diferentes métodos de amostragem. Cada observação pode ser considerada como se tivesse sido selecionada a partir de uma população infinita sem reposição ou a partir de uma população finita com reposição.

2. Cada observação pode ser classificada em uma de duas categorias mutuamente excludentes e coletivamente exaustivas, usualmente chamadas sucesso ou falha.

3. A probabilidade de uma observação ser classificada como sucesso (p) é constante de observação para observação. Assim sendo, a probabilidade de fracasso 1-p também é constante.

4. O resultado (isto é, sucesso ou fracasso) de qualquer observação independe do resultado de qualquer outra observação.

Em aplicações de controle da qualidade, x em geral representa o número de defeituosos observados em uma amostra de n itens.


xnx )p(pxn

)x(P −−

= 1 e

)!xn(!x!n

xn

−=

onde

xn

representa o número de combinações de n objetos tomados x de cada vez

P(X) = probabilidade de X sucessos uma vez que n e p são conhecidos

n = tamanho da amostra

p = probabilidade de sucesso � 1-p = probabilidade de falha

X = número de sucessos na amostra (X=0, 1, 2, ..., n)

A média de uma variável aleatória com distribuição binomial é µ = np e a variância é

dada por σ2= np(1-p) onde p é proporção de sucessos na amostra

nx

p =

Exemplo:

Um processo industrial opera com média de 1% de defeituosos. Baseado em amostras de 100 unidades, calcule as probabilidades de uma amostra apresentar 0 , 1 , 2 , 3 e 4 defeituosos. Plote a distribuição de probabilidade correspondente.

Como a variável aleatória pode apresentar apenas duas possibilidades, ser boa ou defeituosa, a distribuição que melhor se ajusta é a distribuição binomial, com parâmetros p=0,01 e n=100.

Então, a probabilidade de uma amostra de tamanho n = 100 apresentar 0 defeituosos é

xnx )p(pxn

)x(P −−

= 1 � P(x=0) = P(0) = =−

− 01000 01010100

100),(, 0,366

P(x=1) = P(1) = =−

−11001 01010101

100),(, 0,370

P(x=2) = P(2) = =−

−21002 01010102

100),(, 0,185

P(x=3) = P(3) = =−

−31003 01010103

100),(, 0,061

P(x=4) = P(4) = =−

−41004 01010104

100),(, 0,015


0

0,1

0,2

0,3

0,4

x=0 x=1 x=2 x=3 x=4

P(x

)

Exercícios:

1. Um processo opera segundo uma chance de falha de 2%. Coletando amostras de 25 unidades, qual a probabilidade de uma amostra selecionada apresentar 2 defeituosos ou menos.

2. Imagine que para o processo anterior, fossem coletadas amostras de 50 unidades e o critério para parar o processo e procurar causas especiais fosse X=1 ou mais. Calcule a percentagem de vezes que o processo seria interrompido logo após a amostragem.

Distribuição de Poisson

A aplicação típica da distribuição de Poisson no controle da qualidade é como um modelo para o número de defeitos (não-conformidades) que ocorre por unidade de produto (por m2, por volume ou por tempo)

Diz-se que existe um processo de Poisson se pudermos observar eventos discretos numa área de oportunidade – um intervalo contínuo (de tempo, de comprimento, de área, ...) de maneira tal que, se encurtarmos a área de oportunidade ou intervalo suficientemente:

1. A probabilidade de se observar exatamente um sucesso no intervalo é estável


2. A probabilidade de se observar mais de um sucesso no intervalo é zero

3. A ocorrência de um sucesso em qualquer intervalo é estatisticamente independente da ocorrência em qualquer outro intervalo

A distribuição de Poisson tem um parâmetro λ (lambda) que é a média ou o número esperado de sucessos por unidade. A variância desta distribuição é σ

2=λ. O número de sucessos X da variável aleatória de Poisson varia de 0 a ∞.

A expressão matemática para a distribuição de Poisson para se obterem X sucessos, dado que λ sucessos são esperados é:

!xe

)x(Pxλλ−

= onde x=0,1,2,....

onde P(X) = probabilidade de X sucessos, dado o conhecimento de λ

λ = número esperado de sucessos

e = constante matemática (aproximadamente 2,71828)

X = número de sucessos por unidade

Exemplo:

Suponha que o número de defeitos no cordão de solda de uma carroceria siga uma distribuição de Poisson com λ = 2.

Então a probabilidade de uma carroceria apresentar mais de 3 defeitos será:

P(X> 3) = 1 – P(x≤3) = 1-[ P(x=0) + P(x=1) + P(x=2) + P(x=3)]

Onde !x

e)x(P

xλλ−

= � !

e)(P

0

20

02−

= = 0,135

P(x=1) = !

e)(P

1

21

12−

= = 0,271

P(x=2) = P(2) = 0,271 P(x=3) = P(3) = 0,180

Logo,

P(X> 3) = 1 – P(x≤3) = 1-[ P(x=0) + P(x=1) + P(x=2) + P(x=3)]

= 1 – [0,135+0,271+0,271+0,180]

= 1 – [0,857]

=0,143 � 14%

A probabilidade de uma carroceria apresentar mais de três defeitos é 14%.

Exemplo 2:


Se chegam em média 2 carros por minuto em um posto de gasolina, qual a probabilidade de que cheguem exatamente 5 carros em dois minutos?

Neste caso o tempo é diferente do tempo correspondente ao λ. Então deve-se transformar o λ para que ele corresponda ao tempo de 2 minutos. Chegam em média 2 carros por minuto � chegam em média 4 carros em 2 minutos

λ = 4

!xe

)x(Pxλλ−

= � !5

4)5(

54−

=e

P = 0,1563 = 15,63%

Exercícios:

1. O setor financeiro de uma loja de departamentos está tentando controlar o número de erros cometidos na emissão das notas fiscais. Suponha que esses erros sigam o modelo de Poisson com média λ = 0,03. Qual a probabilidade de uma nota selecionada ao acaso conter 1 ou mais erros?

2. Em uma indústria automotiva, defeitos superficiais de pintura ocorrem a uma taxa de 0,15 defeitos/unidade. Encontre a probabilidade que uma unidade escolhida ao acaso apresente 1 ou mais defeitos superficiais.

3. Em uma empresa industrial ocorrem, em média, 3 acidentes por mês. Qual a probabilidade de que em um determinado mês, ocorra apenas um acidente?

4. Dez por cento das ferramentas produzidas por um certo processo de fabricação revelaram-se defeituosas. Determinar a probabilidade de, em uma amostra de 10 ferramentas escolhidas ao acaso, exatamente duas serem defeituosas mediante o emprego da distribuição de Poisson.

5. Se a probabilidade de um indivíduo sofrer uma reação nociva, resultante da injeção de um determinado soro é 0,001, qual a probabilidade de, entre 2000 indivíduos, a) exatamente 3 sofrerem aquela reação? b) Mais de 2 sofrerem a reação?


9.1.2 Distribuições contínuas

A distribuição mais importante e mais utilizada na prática é a Distribuição Normal. Outros modelos importantes de distribuições contínuas são: Uniforme, Exponencial, Gama, Qui-Quadrado, t de Student e F de Snedecor.

Distribuição Normal

A Distribuição Normal é essencialmente importante na estatística por três razões principais:

1. Inúmeros fenômenos contínuos parecem seguí-la ou podem ser aproximados por meio dela

2. Podemos utilizá-la para aproximar várias distribuições de probabilidade discretas

3. Ela oferece a base para a inferência estatística clássica, devido à sua afinidade com o teorema do limite central

Os parâmetros da distribuição Normal são a média e o desvio padrão. Trata-se de uma distribuição simétrica, unimodal, em forma de sino.

A função de probabilidade da distribuição normal é dada por:

2

2

1

2

1

−−

= σ

µ

πσ

x

exp)x(f

onde: e = constante matemática (aproximada por 2,71828)

π = constante matemática (aproximada por 3,14159)

µ = média aritmética da população

σ = desvio padrão da população

X = qualquer valor da variável aleatória contínua onde -∞ < X < ∞


Para simplificar a notação de uma v.a.c. com distribuição normal, com média µ e variância σ

2 utiliza-se:

X~ N(µ,σ2)

A distribuição Normal acumulada é obtida calculando a probabilidade de X ser menor que um dado valor a:

∫∞−

==≤a

dx)x(f)a(F)ax(P � Função densidade acumulada

Essa integral não pode ser resolvida em forma fechada, mas a solução está apresentada em tabelas onde se entra com a variável reduzida ou variável padronizada Z e encontra-se F(Z) ou vice-versa.

)Z(Fa

ZP)ax(P =

−

≤=≤σ

µ

Valor tabelado (Procurar na tabela da distribuição Normal padronizada)

µµµµ

99,73%

95,44%

68,26%

-1σ +1σ

-2σ +2σ

-3σ +3σ


Exemplo:

O peso de um produto é uma característica muito importante. Sabe-se que o peso segue um modelo normal com média 1000 gramas e desvio padrão 40 gramas. Se a especificação técnica estabelece que o peso deve ser maior que 950 gramas, qual a probabilidade de que um pacote selecionado aleatoriamente satisfaça a especificação?

OBS: este esquema equivale

P(x>950) = 89440500003944025140

1000950,,,),Z(PZP =+=−>=

−

>

A probabilidade de que um pacote selecionado aleatoriamente satisfaça a especificação é de 89%.

Exemplo 2: Sabe-se que X representa medições feitas em um processo que segue o modelo Normal com média 100 e desvio padrão 10. Se forem feitas 4000 medições, quantas estarão entre 95 e 112?

P(95<x<112)=

−

<<−

10

100112

10

10095ZP

= P(-0,5<Z<1,2)

=0,1915+0,3849

=0,5764 � Aproximadamente 58% estarão entre 95 e 112.

Se forem feitas 4000 medições, aproximadamente 2305 estarão entre 95 e 112. (4000 x 57,64%)

µ=1000 σ=40

X=950 µ=0 σ=1

Z=-1,25

µ=100 σ=10

Valores tabelados

Tabelado


Exercícios:

1. A resistência à tração do papel usado em sacolas de supermercado é uma característica de qualidade importante. Sabe-se que essa resistência segue um modelo Normal com média 40 psi e desvio padrão 2 psi. Se a especificação estabelece que a resistência deve ser maior que 35 psi, qual a probabilidade que uma sacola produzida com este material satisfaça a especificação?

2. O diâmetro do eixo principal de um disco rígido segue a distribuição Normal com média 25,08mm e desvio padrão 0,05mm. Se as especificações para esse eixo são 25,00 ± 0,15mm (isto é, varia de 24,85 a 25,15mm), determine o percentual de unidades produzidas em conformidades com as especificações.

3. A resistência à tração de isoladores cerâmicos apresenta distribuição Normal com média 95 Kg e desvio padrão 4 Kg. Se são produzidas 10.000 unidades desses isoladores, quantos apresentarão resistência inferior a 85 Kg? E quantos apresentarão resistência superior a 90 Kg?

4. A saída de uma bateria segue o modelo Normal com média 12,15 V e desvio padrão 0,2 V. Encontre o percentual que irá falhar em atender às especificações 12 V ± 0,5 V.


5. A vida útil de lavadora de pratos automáticas é de 1,5 anos, com desvio padrão 0,3 anos. Se os defeitos se distribuem normalmente, qual é a probabilidade de uma lavadora necessitar conserto antes de expirar o período de 1 ano de garantia?

6. O tempo necessário, em uma oficina, para o conserto de transmissão para certo carro é normalmente distribuído com média 45 min e desvio padrão 8 min. O mecânico planeja começar o conserto do carro 10 min após o cliente deixá-lo na oficina, comunicando que o carro estará pronto em 1 h. Qual a probabilidade de que o cliente tenha que esperar caso o mecânico esteja enganado e o cliente fique esperando?

7. Sabe-se que o conteúdo de uma lata de cerveja é 350 ml e que tem distribuição aproximadamente normal com média 350 ml e desvio padrão 10 ml.

a. Que % de latas tem menos que 345 ml de conteúdo?

b. Que % de latas tem mais que 360 ml de conteúdo?

8. Uma fábrica de pneus fez um teste para medir o desgaste de pneus e verificou que ele seguia o comportamento de uma curva normal com média 48.000 km e desvio padrão de 2.000 km. Calcule a probabilidade de um pneu escolhido ao acaso:

a. Dure mais que 47.000 km?

b. Dure entre 45.000 e 51.000 km?

c. Até que quilometragem duram 90% dos pneus?

9. Descreva um exemplo de aplicação da distribuição normal na sua profissão. Qual seria a média dos dados e o desvio padrão?


1100 TTeeoorriiaa eelleemmeennttaarr ddaa aammoossttrraaggeemm

A teoria da amostragem é o estudo das relações existentes entre uma população e as amostras dela extraídas. É muito utilizada para a estimação das grandezas desconhecidas da população (parâmetros) através de conhecimento das grandezas correspondentes nas amostras (estatísticas amostrais).

A teoria da amostragem é também útil para determinar se as diferenças observadas entre duas amostras são devidas a uma variação casual ou são verdadeiramente significativas. Por exemplo: queremos testar se os tempos de processamento da matéria prima de dois sistemas de produção são diferentes ou não. A resposta a esta questão implica o uso de testes de hipótese, que será visto mais adiante.

Denomina-se inferência estatística a inferência de parâmetros (da população) com base nos resultados obtidos na amostra.

Para que as conclusões sejam válidas, é necessário que a amostra selecionada seja representativa da população. Para isso podem ser utilizados os métodos de amostragem probabilísticos apresentados no capítulo 1: aleatória, sistemática, estratificada ou por conglomerados. O método mais utilizado é o por amostragem aleatória.

10.1 Amostragem com e sem reposição

Quando selecionamos uma amostra devemos analisar se esta amostragem é com ou sem reposição. Na amostragem com reposição o mesmo elemento pode ser escolhido mais de uma vez. Na amostragem sem reposição cada elemento só pode ser selecionado uma única vez.

Exemplo: uma urna contém dez bolas, numeradas de 0 a 9. Retira-se a primeira bola, anota-se o número, 3 por exemplo, e não se recoloca a bola na urna. Os outros números que podem ser sorteados são 0, 1, 2, 4, 5, 6, 7, 8 e 9. Este sistema é o sistema sem reposição. Entretanto, se tivéssemos recolocado a bola 3 na urna, então todos os números poderiam ser selecionados na segunda extração, inclusive o 3. Este sistema é chamado sistema com reposição.

Em geral, quando uma amostragem é sem reposição, dizemos que a população é finita. Quando uma amostragem é com reposição, então dizemos que a população é infinita, pois a população nunca será exaurida. Para fins práticos a amostragem de uma população finita muito grande pode ser considerada infinita.

10.2 Distribuições amostrais

Consideremos todas as amostras possíveis de tamanho n que podem ser retiradas de uma população dada (com ou sem reposição). Para cada amostra podemos calcular uma grandeza estatística, por exemplo, a média. Deste modo obtemos a distribuição amostral da média. Da mesma forma podemos calcular a distribuição amostral do desvio padrão, da variância, das proporções, ...


Distribuição amostral das médias

Uma distribuição amostral de médias é uma distribuição de probabilidade que indica quão prováveis são diversas médias amostrais. A distribuição é função da média, do desvio padrão da população e do tamanho da amostra. Para cada combinação da média, desvio padrão e tamanho da amostra haverá uma única distribuição amostral de médias.

Sejam:

xµ = média da população = µ

xµ = média da distribuição amostral

xσ = desvio padrão da população = σ

xσ = desvio padrão da distribuição amostral

N = tamanho da população n = tamanho da amostra

Admita-se que todas as amostras possíveis de tamanho n sejam retiradas de uma população finita de tamanho N>n. Então:

População Finita: µµ =x e 1−

−=

NnN

nx

σσ

Se a população for infinita, ou se amostragem for tomada com reposição, os resultados serão:

População Infinita: µµ =x e n

x

σσ =

A fórmula do desvio padrão nos diz que a quantidade de dispersão na distribuição amostral depende de dois fatores:

- a dispersão da população

- o tamanho da amostra (utilizando raiz quadrada)

Por exemplo, em qualquer população, o aumento do tamanho das amostras extraídas resultará em menor variabilidade entre as possíveis médias amostrais. E se o mesmo tamanho de amostra é usado com diferentes populações, as populações com maior quantidade de dispersão σx tenderão a gerar maior quantidade de variabilidade entre as médias de amostras extraídas delas.

Para amostras grandes n>30 a distribuição amostral das médias é aproximadamente

normal, com média xµ e desvio padrão xσ , independente da população, desde que a

variância e a média da população sejam finitas e o tamanho da população seja, no mínimo, o dobro da amostra. Este resultado para população infinita é um caso especial do


teorema do limite central da teoria avançada de probabilidade, que mostra que a precisão da aproximação melhora quando n cresce. Isto é indicado, algumas vezes, dizendo-se que a população é assintoticamente normal. No caso da população ser normalmente distribuída, a distribuição amostral das médias também o será, mesmo para pequenos valores de n (n<30).

Teorema do limite central

1. Se a população sob amostragem tem distribuição normal, a distribuição das médias amostrais também será normal para todos os tamanhos de amostra.

2. Se a população básica é não normal, a distribuição de médias amostrais será aproximadamente normal para grandes amostras.

Exemplos:

Calcule o desvio padrão da distribuição amostral de médias onde o desvio padrão da distribuição populacional é 2 e o tamanho da amostra é 40.

3162040

2,

nx

x ===σ

σ

Determine a média das distribuições de médias amostrais, sendo que a média populacional é 678.

678== xx µµ

A média de uma distribuição amostral de médias é 50 e seu desvio padrão é 10 (desvio

padrão da distribuição amostral das médias). Suponha normal a distribuição amostral.

Que percentagem das médias amostrais estará entre 45 e 55?

O procedimento é análogo ao visto no capítulo referente à distribuição normal, entretanto deve-se utilizar o valor de xµ = 50 e xσ =10.

Então P(45< xµ <55)=0,3830

Um fabricante de baterias alega que seu artigo de primeira categoria tem uma vida esperada (média) de 50 meses. Sabe-se que o desvio padrão correspondente é de 4 meses. Que percentagem de amostras de 36 observações acusará vida média no intervalo de 1 mês em torno de 50 meses, admitindo ser de 50 meses a verdadeira vida média das baterias?

Sabemos que, como n>30, a distribuição das médias amostrais será aproximadamente normal com média igual à média populacional e desvio padrão igual ao desvio padrão populacional dividido pela raiz quadrada do tamanho da


amostra. Além disso vamos pressupor população infinita, pois a produção de baterias não termina (teoricamente!)

A solução envolve a determinação do número de desvios padrões que 49 e 51 distam da média (amostral).

Determinemos primeiro o desvio padrão da distribuição amostral:

67036

4,

nx

x ===σ

σ para n=36

Então devemos trabalhar com x ∼N(50;0,67)

P(49< x <51)� x

xxz

σ

−= � 51

670

5049,

,−=

−

� 51670

5051,

,+=

−

P(49< x <51)=P(-1,5<z<1,5) = 0,4332+0,4332=0,8664

Então o percentual de amostras que apresentará problemas entre 49 e 51 meses é de 87%.

49 50 51 Meses

xµ

???


Distribuição amostral das proporções

Sendo a probabilidade de ocorrência de um evento p (sucesso) e a probabilidade de não ocorrência 1-p (fracasso).

Consideram-se todas as amostras possíveis de tamanho n de uma população infinita e, para cada amostra, determina-se a proporção de sucessos. Assim obtém-se a distribuição amostral das proporções.

A média da distribuição amostral é sempre igual à proporção pp = onde

p = proporção populacional

p = média da distribuição amostral das proporções

Quando a população é muito grande ou infinita, o desvio padrão da distribuição amostral se calcula

n)p(p

p

−=

1σ

e pode-se fazer uma aproximação para a distribuição normal quando n>30.

Exemplos:

Determine a média da distribuição de proporções amostrais, quando a proporção na população é 72,3%

p =p=72,3%

Determine o desvio padrão da distribuição amostral de proporções para n=100 e uma proporção populacional de 60%

0490100

601601,

),(,n

)p(pp =

−=

−=σ

Verificou-se que 2% das ferramentas produzidas por uma certa máquina são defeituosas. Qual a probabilidade de que, em uma remessa de 400 dessas ferramentas, 3% ou mais revelarem-se defeituosas?

p =p=0,02 en

)p(pp

−=

1σ = 0070

400

980020,

,*,=

Como n>30 pode-se utilizar a distribuição normal, então

P(p>0,03)=P( %,,),z(P),

,,z 6367076360431

0070

020030==>=

−>


Exercícios:

1. Determine a média da distribuição das proporções amostrais quando a proporção na população é ....

a. 30%

b. 99%

c. 54%

2. Calcule o desvio padrão da distribuição amostral de médias para cada um dos seguintes casos:

a. σx=6, n=6

b. σx=6, n=20

c. σx=6, n=40

d. σx=6, n=100

3. Certas válvulas fabricadas por uma companhia têm vida média de 800 horas e desvio padrão de 60 horas. Determinar a probabilidade de uma amostra aleatória de 16 válvulas, retiradas do grupo, ter vida média a) entre 700 e 810 horas; b)inferior a 785 horas; c) superior a 820 horas; d) entre 770 e 830 horas.

4. Um fabricante faz a remessa de 1000 lotes de 100 lâmpadas elétricas cada um. Se 5% das lâmpadas são normalmente defeituosas, em quantos lotes pode-se esperar que existam; a) menos de 90 lâmpadas boas; b) 98 ou mais lâmpadas boas


1111 EEssttiimmaaççããoo

A estimação é o processo que consiste em utilizar dados amostrais para estimar parâmetros populacionais.

As estatísticas amostrais são utilizadas como estimadores de parâmetros populacionais. Assim, uma média amostral é usada como estimativa da média populacional, a proporção de defeituosos de uma caixa é utilizada para estimar a proporção de defeituosos na produção toda, etc.

Tais estimativas chamam-se estimativas pontuais, porque originam apenas uma única estimativa do parâmetro. Em virtude da variabilidade amostral, é usual incluir uma “estimativa intervalar” para acompanhar a estimativa pontual. Esta nova estimativa proporciona um intervalo, ou âmbito, de possíveis valores do parâmetro populacional.

Estimativa pontual: estimativa única de um parâmetro populacional

Estimativa intervalar: intervalo de valores possíveis, o qual se admite que esteja contendo o parâmetro.

Um intervalo de confiança dá um intervalo de valores, centrado na estatística amostral, no qual julgamos, com um risco conhecido de erro, estar o parâmetro da população.

Exemplos:

Tipo de estimativa Parâmetro populacional Pontual Intervalar

Média Um carro de motor 1.0 anda, em média, 14 km com um litro de combustível

Um carro de motor 1.0 anda, em média, entre 12 e 16 km com 1 litro de combustível

Proporção A proporção de peças defeituosas é de 2%

A proporção de peças defeituosas está entre 1,5 % e 2,5 %

Desvio padrão O desvio padrão da temperatura numa piscina não aquecida é da ordem de 2oC

O desvio padrão da temperatura numa piscina não aquecida está entre 1oC e 3 oC

Os intervalos de confiança podem ser unilaterais (por exemplo, a proporção de defeitos é maior de 3%) ou bilaterais (a proporção de defeitos está entre 2% e 4%).


A capacidade de estimar parâmetros populacionais por meio de dados amostrais está ligada diretamente ao conhecimento da distribuição amostral da estatística que está sendo usada como estimador.

Os intervalos de confiança para os parâmetros são construídos de forma que se considera uma variação em torno do valor amostral e, assim, pode-se escrever que o parâmetro situa-se entre dois limites:

Valor do parâmetro = estimativa pontual ± erro de amostragem

O erro de amostragem depende da distribuição amostral do parâmetro, do nível de confiança adotado e do tamanho da amostra.

A tabela a seguir apresentada resume as informações necessárias para intervalos de confiança.

População

Infinita Finita

Estimativa de médias

Pontual x x

Intervalar σx conhecido

nzx xσ

± 1−

−±

NnN

nzx xσ

σx desconhecido

n

stx x±

1−

−±

NnN

n

stx x

Estimativa das proporções

Pontual p =

nx

p = nx

Intervalar

n)p(p

zp−

±1

1

1

−

−−±

NnN

n)p(p

zp

Onde:

z representa o valor tabelado da distribuição Normal, com nível de confiança α.

t representa o valor tabelado da distribuição t de Student, com nível de confiança α e GL graus de liberdade1

N é o tamanho da população

n é o tamanho da amostra

1 O valor da distribuição t de Student depende do número de graus de liberdade


Exemplo:

Intervalo de confiança para a média µ quando se conhece a variância de população σx

Seja uma amostra de tamanho 36 de uma população infinita, sabe-se que σx=3 e x =24,2

Confiança desejada

Z (tabelado)

Fórmula Cálculo E Intervalo

90% 1,65 n

zx xσ±

36

3651224 ,, ± 24,2±0,825 23,375 a 25,025

95% 1,96 n

zx xσ±

36

3961224 ,, ± 24,2±0,980 23,220 a 25,180

99% 2,58 n

zx xσ±

36

3582224 ,, ± 24,2±1,290 23,110 a 25,690

Tamanho da amostra

Uma das perguntas mais freqüentes em estatística é: “Qual o tamanho da amostra que devemos tomar?”

O tamanho da amostra dependerá do grau de confiança desejado (z), da quantidade de dispersão entre os valores individuais (σx), e de certa quantidade específica de erro tolerável (e).

“O tamanho da amostra que você afinal selecionará dependerá de

seu orçamento, da importância econômica das decisões e da

variabilidade na população. Desses três problemas, dois são de

ordem gerencial, cabendo a você a decisão; apenas o terceiro

(variabilidade) está fora do seu controle.”(Brenda Landy, citada no

livro Pesquisa de Marketing – Naresh Malhotra. - 2001)

A fórmula do erro pode ser resolvida em relação a n. Assim, para o caso de estimação de

médias, tem-se:

nze xσ

= � e

zn xσ= �

2

=

ezn xσ

E, para estimação de proporções

np)p(1

z e−

= �

2

−=

np)p(1

z e2 � 2

2

ep)-p(1z

n =


Que tamanho de amostra será necessário para produzir um intervalo de 90% de confiança para a verdadeira média da população, com erro de 1,0 em qualquer dos sentidos, se o desvio padrão da população é 10?

Sabemos que σx=10 e e=1 e queremos um intervalo 90% de confiança para a média, o que implica utilizar um valor de z=1,65.

2

=

ezn xσ

� 252721

10651

2

,,n =

= � tamanho da amostra 273.

As companhias de seguro estão ficando preocupadas com o fato de que o número crescente de telefones celulares resulte em maior número de colisões de carros. Estão, por isso, pensando em cobrar prêmios mais elevados para os motoristas que utilizam celulares. Desejamos estimar, com uma margem de erro de três pontos percentuais, a percentagem de motoristas que falam ao celular enquanto dirigem. Supondo que se pretende um nível de confiança de 95% nos resultados, quantos motoristas devem ser investigados? Suponha que não tenhamos nenhuma informação sobre p.

2

2

ep)-p(1z

n = � 11,106703,

96,==

2

2

00,5)-0,5(11

n � tamanho da amostra 1068.

Exercícios:

1. Os dados a seguir representam a temperatura coletada aleatoriamente em 15 cidades do estado. Determine o intervalo de confiança 90% para a temperatura média. Não dispomos da variância populacional, mas sabemos que a população é infinita. Dispomos apenas das seguintes informações.

23 40 30 21 34

20 38 26 23 38

33 32 24 21 24

2. Uma amostra aleatória de 40 contas não comerciais na filial de um banco acusou saldo médio diário de R$ 140 com desvio padrão de R$ 30.

a. Construa um intervalo de 90% de confiança para a verdadeira média

b. Construa um intervalo de 95% de confiança para a verdadeira média

c. Construa um intervalo de 99% de confiança para a verdadeira média


3. Uma firma emprega diversos vendedores. Numa amostra aleatória de 15 notas de despesa numa semana de dezembro, um auditor constatou uma despesa média de R$ 220, com desvio padrão de R$ 20.

a. Qual a estimativa pontual da despesa média?

b. Construa um intervalo de 99% de confiança para a quantia de despesa média por vendedor.

c. Admitindo-se 200 vendedores, qual seria a estimativa pontual média para o total de despesas?

d. Construa um intervalo de 99% de confiança para a quantia de despesa total.

4. Uma amostra aleatória de 40 homens trabalhando num grande projeto de construção revelou que 6 não usavam capacetes protetores.

a. Construa um intervalo de 95% de confiança para a verdadeira proporção dos que não estão utilizando capacetes neste projeto.

b. Se há 1000 operários no projeto, converta o percentual em número de capacetes necessários para que todos estejam seguros.

5. Uma amostra aleatória de 1000 fregueses da parte da manhã de um supermercado revelou que apenas 10 não incluem leite em suas compras.

a. Qual seria a estimativa pontual da percentagem dos que compram leite?

b. Construa um intervalo de 90% de confiança para a verdadeira proporção dos que compram leite.

6. Qual o tamanho de amostra necessário para estimar o tempo médio de que um vendedor de uma loja de móveis gasta com cada cliente, admitindo erro de 1 minuto, para mais ou para menos, para obter um nível de confiança de 99%. Suponha σx=12 minutos.


7. Determine o número de observações necessário para estimar o tempo médio de serviço de atendimento a chamadas de um bombeiro hidráulico, se o erro máximo deve ser de 0,6 hora para um nível de confiança de 95%, sabendo que o tempo de atendimento tem um desvio padrão de 1 hora. Suponha normalidade na população.

8. Um engenheiro deseja estimar a quantidade de açúcar existente nos alimentos produzidos pela empresa. Ele coletou uma amostra de 18 unidades do alimento e verificou média 24 gr de açúcar, com desvio padrão de 5 gr. Construa o intervalo de confiança de 90% para a quantidade de açúcar presente nos alimentos.

9. Numa pesquisa com funcionários de uma empresa questionou-se a satisfação com a política desenvolvida pela diretoria. De 300 funcionários, 36 estavam insatisfeitos. Construa uma estimativa para a proporção de funcionários insatisfeitos, com 95% de confiança.

10. O IBOPE está interessado em estimar a proporção de residências que assistem ao programa do Faustão. Qual o número mínimo de residências que se deve analisar para ter 95% de confiança e margem de erro máxima de 0,03 para a estimativa?


1122 TTeesstteess ddee hhiippóótteesseess

Os testes de hipóteses são também conhecidos como testes de significância.

A finalidade dos testes de hipóteses é avaliar afirmações sobre os valores de parâmetros populacionais.

Os testes de hipóteses e a estimação são dois ramos principais da inferência estatística. Enquanto o objetivo da estimação é estimar algum parâmetro populacional, o objetivo dos testes de hipóteses é decidir se determinada afirmação sobre um parâmetro populacional é verdadeira. Por exemplo, podemos querer determinar se são verdadeiras as afirmações:

- o tempo médio de realização do teste é 80 minutos

- três por cento da população (de determinado item) é defeituosa

- os percentuais de não conformes dos dois processos são iguais

Utilizam-se duas hipóteses, sendo chamadas de hipótese nula (H0) e hipótese alternativa (H1)

A hipótese nula H0 é uma afirmação que diz que o parâmetro populacional é tal como especificado (isto é, a afirmação é

verdadeira)

A hipótese alternativa H1 é uma afirmação que oferece uma alternativa à alegação (isto é, o parâmetro é maior (ou menor)

que o valor alegado)

Exemplo: O estudo de uma amostra de tamanho 55 peças indicou que o diâmetro médio é de 27,5 mm. Então:

H0: o diâmetro médio da população (de peças) é 27,5 mm

H1: o diâmetro médio da população (de peças) é diferente de 27,5 mm

Os testes de hipótese utilizam a significância adotada pelo pesquisador. A significância é a probabilidade de uma hipótese nula ser rejeitada, quando verdadeira. Que coincide com o erro tipo I.

Ao testar uma hipótese, há dois tipos de erros que podemos cometer:

α = P {rejeitar H0/ H0 é verdadeira} = erro do tipo I

β = P {aceitar H0/ H0 é falsa} = erro do tipo II

O procedimento usual é fixar o valor de α e verificar o valor de β. O risco β é uma função do tamanho da amostra, e é controlado indiretamente. Quanto maior o tamanho da amostra, menor será o risco β.


Se H0 é

Verdadeira Falsa

Aceitar H0 Decisão correta Erro tipo II (β) Ação

Rejeitar H0 Erro tipo I (α) Decisão correta

Basicamente os testes de hipótese envolvem as seguintes etapas:

1. Estabelecer as hipóteses nula e alternativa;

2. Identificar a distribuição amostral adequada;

3. Escolher um nível de significância (e assim os valores críticos);

4. Calcular a estatística do teste e compará-la com os valores críticos;

5. Rejeitar a hipótese de nulidade se a estatística do teste excede o(s) valor (es) crítico(s); caso contrário, aceitá-la.

Os testes de hipótese podem ser unilaterais ou bilaterais. Nos testes unilaterais a hipótese alternativa H1 é do tipo µ>33 ou µ<33, por exemplo. Nos testes bilaterais a hipótese alternativa é do tipo µ≠33. A hipótese nula permanece igual nos dois casos. A área de rejeição é dividida quando o teste é bilateral.

Exercícios

1. Para cada um dos seguintes casos, trace uma curva normal, indicando a área de rejeição na figura.

a) H0: µ=10, H1: µ≠10, α=0,02

b) H0: µ=120, H1: µ≠120, α=0,05

c) H0: µ=2000, H1: µ≠2000, α=0,01

d) H0: µ=2000, H1: µ>2000, α=0,01

e) H0: µ=2000, H1: µ<2000, α=0,01

α/2 α/2 α α

Rejeitar H0 Rejeitar H0

Rejeitar H0

Rejeitar H0

H1: µ<33 H1: µ>33 H1: µ≠33


2. Um fornecedor de mancais comprometeu-se a enviar para uma firma lotes que não contenham mais de 2% de defeituosos. O comprador extrai amostras ao receber a remessa, para verificar a qualidade. Indique H0 e H1.

3. Um engenheiro acredita que o tempo para produção de um motor é de 5 horas. Ele analisa uma amostra para verificar se está certo ou não. Escreva H0 e H1

12.1 Teste de hipóteses para médias

σσσσx conhecido

Quando se conhece o desvio padrão da população, a distribuição amostral adequada é a distribuição normal. Se a população é normal, a distribuição amostral será normal para todos os tamanhos de amostra. Se a população é não normal, ou se sua forma é desconhecida, pode-se usar um teste de uma amostra só para tamanhos de amostras superiores a 30 observações. Assim, pequenas amostras de população não normais não podem ser tratadas por este processo.

Suponha que X é uma variável aleatória com média µ desconhecida e variância σ2

x conhecida. E queremos testar a hipótese de que a média é igual a um certo valor especificado µ0. O teste de hipótese pode ser formulado como segue:

H0 : µ = µ0

H1 : µ ≠ µ0

Para testar a hipótese, toma-se uma amostra aleatória de n observações e calcula-se a estatística

n

xz

x

oteste σ

µ−=

E H0 é rejeitada se |Zteste| > Zα/2 (obtido em uma tabela da

distribuição normal).


Exemplo:

Uma máquina de usinagem deveria produzir entalhes com 0,85 mm de profundidade. O engenheiro desconfia que os entalhes que estão sendo produzidos são diferentes que o especificado.

Uma amostra de 8 valores foi coletada e indicou 8470,X = . Sabendo que o desvio padrão

é σ=0,010, teste a hipótese do engenheiro usando um nível de significância α=0,05.

85080100

85008470

8500

8500

1

,/,

,,Z

, :H

, :H

teste

o

−=−

=

≠

=

µ

µ

Como 961850 0250 ,Z,Z ,teste −=−>−= H0 não pode ser rejeitada.

Conclusão: não podemos afirmar que os entalhes sejam diferentes que o especificado, ao nível de significância de 0,05.

σσσσx desconhecido

Quando não se conhece o desvio padrão da população, deve-se estimá-lo a partir dos dados amostrais usando o desvio padrão amostral. Quando isso ocorre (na maioria das situações reais σx é desconhecido), a distribuição t é a distribuição amostral adequada.

Suponha que X é uma variável aleatória Normal com média µ e variância σ2

desconhecidas. Para testar a hipótese de que a média é igual a um valor especificado µo , formulamos:

o

o

:H

:H

µµ

µµ

≠

=

1

0

Esse problema é idêntico àquele da seção anterior, exceto que agora a variância é desconhecida.

Como σX não é conhecido, usa-se a distribuição de Student para construir a estatística do teste:

nsx

tx

oteste

µ−=

E a hipótese nula H0 é rejeitada se |tteste|>tα/2 , onde t α/2, n-1 é um valor limite da distribuição de Student tal que a probabilidade de se obter valores externos a tα/2 é α.


12.2 Testes de duas amostras para médias

Os testes de duas amostras são usados para decidir se as médias de duas populações são iguais. Exigem-se amostras independentes, ou seja, uma de cada população. Eles são freqüentemente utilizados para comparar dois métodos de ensino, duas cidades, duas marcas, duas fábricas, ....

OBS: dados provenientes de antes-depois são dependentes, não podendo, portanto, serem tratados por este método.

σσσσx conhecido

Quando há duas populações com médias desconhecidas, digamos µa e µb e desvios padrões conhecidos, σa e σb , o teste para verificar a hipótese que as médias sejam iguais é o seguinte:

211

21

µµ

µµ

≠

=

:H

:Ho

2

2

2

1

2

1

21

nn

XXZ teste

σσ+

−=

E rejeita-se H0 se |Zteste| > Zα/2

σσσσx desconhecido

Similarmente, quando , σa e σb , não são conhecidos, o teste para verificar a hipótese que as médias sejam iguais é:

2

2

2

1

2

1

21

nS

nS

XXt

xx

teste

+

−=

E rejeita-se H0 se |tteste| > tα/2, n1+n2-2

12.3 Teste para proporções

Este tipo de teste é apropriado quando os dados sob análise consistem de contagem ou freqüências de itens em duas ou mais classes. A finalidade de tal teste é avaliar afirmações sobre a proporção (ou percentagem) de uma população. O teste se baseia na premissa de que uma proporção amostral será igual à verdadeira proporção populacional, a menos da variabilidade amostral. O teste foca na diferença entre o número esperado de ocorrências (supondo-se verdadeira uma afirmação) e o número efetivamente observado. A diferença é então comparada com a variabilidade prescrita por uma distribuição amostral baseada na hipótese de que H0 é realmente verdadeira.


Quando a finalidade da amostragem é julgar a validade de uma alegação acerca de uma proporção populacional, é apropriado o teste para proporções.Onde:

H0: p = p0

H1: p ≠p0

O valor da estatística de teste é dado por

n/)p(p

pnx

zteste

00

0

1 −

−=

e deve ser comparada com o valor crítico de Z (retirado de uma tabela da distribuição normal)

Exemplo:

Um fabricante afirma que uma remessa de pregos contém menos de 1% de defeituosos. Uma amostra aleatória de 200 pregos acusa 4 defeituosos. Teste a afirmação ao nível 0,01.

H0 : p = 1%

H1 : p > 1% � pois desejamos evitar a aceitação de uma remessa com mais de 1% de defeituosos, mas nada há contra aceitar o fato da remessa apresentar qualidade superior à acordada.

n/)p(p

pnx

zteste

00

0

1 −

−= = 421

2000101010

010200

4

,/),(,

,zteste =

−

−=

Na tabela da distribuição normal, z0,01=2,33

Aceita-se H0, e pode-se dizer que a quantidade de pregos defeituosos é 1% ou menos, ao nível de significância 0,01.

12.4 Teste do qui-quadrado (k amostras para proporções)

A finalidade de um teste de k amostras é avaliar se as proporções de k amostras independentes provenham de populações que contenham a mesma proporção de determinado item. Conseqüentemente, tem-se:

H0: As proporções populacionais são todas iguais

H1: As proporções populacionais não são iguais

Ou seja, estamos testando se as duas variáveis são ou não associadas, por exemplo, se queremos testar se a proporção de mulheres e de homens que trabalham no horário


noturno em uma fábrica são iguais, automaticamente estaremos testando se sexo e turno de trabalho são variáveis associadas.

Este teste baseia-se na distribuição qui-quadrado, onde o valor calculado deve ser comparado com o valor tabelado. A decisão de aceitar ou rejeitar H0 dependerá da comparação deste valor com o valor tabelado da distribuição qui-quadrado.

Por exemplo, tem-se a distribuição de peças produzidas por turno e se essas peças são boas ou apresentam algum tipo de defeito. No turno da manhã foram produzidas 967 peças, onde 183 apresentaram algum tipo de defeito.

Turno de produção

Manhã Tarde Noite Total

Peças com algum defeito 183 30 11 224

Peças boas 784 264 308 1356

Total 967 294 319 1580

O teste baseia-se na pressuposição que, se as duas variáveis fossem independentes, então o valor esperado de cada célula poderia ser encontrado fazendo-se:

geral_total)coluna_total(x)linha_total(

Esperada_Frequência =

Neste caso, a tabela com as freqüências esperadas seria:

Tabela de freqüências esperadas

Turno de produção

Manhã Tarde Noite Total

Peças com algum defeito 137,1 41,7 45,2 224

Peças boas 829,9 252,3 273,8 1356

Total 967 294 319 1580

11371580

967224,

xesperada_Freq ==


O teste de independência qui-quadrado é obtido utilizando-se a estatística

∑−

=E

)EO( 22χ

Se o valor obtido for maior que o valor crítico obtido na tabela χ2 então diz-se que as

variáveis NÃO são independentes. Se o valor encontrado for menor, então diz-se que as variáveis são independentes.

O valor dos GRAUS DE LIBERDADE é obtido através do cálculo:

graus de liberdade = (colunas-1)(linhas-1)

No exemplo apresentado:

88518273

8273308

741

74130

1137

1137183 2222 ,

,),(

...,

),(,

),(=

−++

−+

−=χ

e o valor crítico encontrado na tabela para (2-1)x(3-1)=2 graus de liberdade e nível de significância 0,05 é 5,991.

Tem-se valor calculado > valor tabelado então diz-se que as variáveis NÃO são independentes. OU SEJA, a proporção de peças boas produzidas depende do turno de trabalho. A proporção de peças boas no turno da manhã é 81%, na tarde 90% e na noite 97%.

Exercícios:

1. Um fornecedor apresenta uma caixa, e afirma que o peso médio desta caixa é de 368 gramas. De experiências anteriores sabe-se que o desvio padrão da população vale 15 g e que os valores se comportam segundo a distribuição Normal. Para verificar se a afirmação é verdadeira, verifica-se uma amostra de 25 caixas, pesa-se e calcula-se o peso médio da amostra, achando 372,5 g. Qual a conclusão a respeito da afirmação do fornecedor, ao nível de significância 0,01?

2. Uma agência de empregos alega que os candidatos à diretoria por ela colocados nos últimos seis meses têm salários de R$ 9000, em média. Uma agência governamental extraiu uma amostra aleatória daquele grupo, encontrando salários médios de R$ 8000, com desvio padrão de R$ 1000, com base em 50 empregados. Teste a afirmação da agência, contra a alternativa, de que o salário médio é inferior a R$ 9000, ao nível de significância 0,05.


3. O gerente de marketing de uma fábrica de automóveis está interessado em determinar a proporção de novos proprietários de carros compactos que teriam adquirido um air-bag inflável para o lado do passageiro se o mesmo estivesse disponível a um custo adicional de $ 300,00. Por informações anteriores, o gerente acredita que a proporção é 30%. Suponha que é feito um levantamento com 200 novos proprietários de carros compactos e 79 indiquem que teriam comprado os air-bags infláveis. No nível de significância de 0,05, há evidencias de que a proporção da população é diferente de 0,3?

4. Suponha que o diretor de produção de uma fábrica de tecidos precise determinar se uma nova máquina está produzindo um tipo de tecido de acordo com as especificações do fabricante. As especificações indicam que o tecido devia ter uma resistência de rompimento superior a 70 libras (1 libra = 433,59 gramas) e um desvio padrão de 3,5 libras. Uma amostra de 36 peças revela uma média aritmética da amostra igual a 69,7 libras. Há evidências de que a máquina não está atendendo às especificações, em termos da média da resistência de rompimento? (utilize um nível de significância de 0,05)

5. Uma rede de postos de gasolina afirma que, em seus estabelecimentos não se vende gasolina adulterada. Sabe-se que, de acordo com os padrões de qualidade, a gasolina não pode conter mais de 240 ml de álcool por litro. O órgão de fiscalização colheu 25 medições do produto nos postos dessa rede, obtendo a partir delas uma média de 240,75 ml de álcool/litro. Admitindo-se que a quantidade de álcool presente na gasolina tem uma distribuição normal com desvio-padrão de 2,5 ml/litro. Ao nível de significância 5%, pode-se afirmar que a gasolina é adulterada?


6. Um psicólogo de indústrias deseja estudar os efeitos da motivação nas vendas, em determinada empresa. Foi selecionada uma amostra aleatória de 24 indivíduos, 12 de cada grupo. Os dados a seguir representam o volume de vendas (em milhares de reais) alcançado durante o primeiro mês de emprego. Há evidências de que o volume médio de vendas seja diferente entre os grupos? (utilize nível de significância 0,05)

Por hora Comissão 256 207 224 285 212 219 261 225 239 228 254 237 216 225 228 232 222 241 273 277 236 230 234 245

7. No caso judicial EUA versus Cidade de Chicago, foram postas em dúvida as práticas honestas de emprego. Um grupo minoritário (A) e um grupo majoritário (B) fizeram o exame para capitão do corpo de bombeiros, com os seguintes resultados:

Aprovados Reprovados Grupo A 10 14 Grupo B 417 145

Com os resultados acima, e com nível de significância de 5%, teste a afirmação de que o sucesso no teste é independente do grupo.

8. Solicitou-se a quatro amostras de 30 funcionários de uma grande empresa que opinassem sobre a nova direção da empresa. Ao nível de significância 0,01, o que se pode concluir?

Estagiários Treinees Técnicos Gerentes Aprovam 5 4 20 27 Desaprovam 25 26 10 3


9. Um estudo de usuários e não usuários do cinto de segurança resultou nos dados amostrais aleatórios resumidos na tabela a seguir. Teste a afirmação de que a quantidade de fumo é independente do uso do cinto de segurança. Uma teoria plausível é que as pessoas que fumam mais estão menos preocupadas com a sua saúde e segurança, sendo assim, menos propensas a usar cintos. Com nível de significância 0,01, os dados amostrais apóiam esta teoria?

Número de cigarros fumados por dia 0 1-14 15-34 35 ou +

Usam cinto de segurança 175 20 42 6 Não usam cinto de segurança 149 17 41 9

10. A tabela abaixo apresenta dados relativos ao time vencedor em diferentes esportes. Com o nível de 0,05 de significância, teste a afirmação de que as vitórias casa/visitante são independentes do esporte.

Basquete Beisebol Hockey Futebol O time da casa ganha 127 53 50 57 O time visitante ganha 71 47 43 42


1133 AAnnáálliissee ddee vvaarriiâânncciiaa ((AANNOOVVAA -- AAnnaallyyssiiss ooff VVaarriiaannccee))

Há situações onde se deseja comparar várias médias, cada uma oriunda de um grupo diferente. Esses grupos, também chamados tratamentos, poderiam ser 5 máquinas de corte, ou 4 pressões de operação, ou 4 layouts, 5 planos econômicos do governo, taxas de câmbio em 3 diferentes países, resultados da implantação de um novo sistema em duas filiais, etc.

Exemplo:

Para verificar se existe diferença significativa entre os salários médios dos economistas da Região Sul, o sindicato da classe resolveu analisar os dados de algumas amostras. Assim foram selecionados aleatoriamente 5 economistas de cada estado.

Econ.1 Econ.2 Econ.3 Econ.4 Econ.5

Rio Grande do Sul 370 420 280 340 410

Santa Catarina 280 350 430 290 405

Paraná 325 400 295 350 380

Exemplo:

Uma classe com 24 crianças foi dividida em três grupos. Cada grupo de crianças aprendeu a ler de acordo com um método (três métodos diferentes). Após 3 meses as crianças foram testadas, utilizando uma escala de 1 a 10. Os resultados foram

Método A 5 0 3 5 4 5 8 2

Método B 4 5 4 7 5 10 3 10

Método C 3 5 0 3 3 9 4 9


Nesses casos, os dados foram tabelados conforme aparecem a seguir:

Tratamento Observações

1 Y11 , Y12 ... Y1n1

2 Y21 , Y22 ... Y2n2

: :: :: :k Yk1 , Yk2 ... Yknk

Os resultados poderiam ser representados por um modelo aditivo:

i

ijiij

n ..., ,1=j

k,.....,1i ; Y =ε+τ+µ=

Onde Yij é a observação j medida no tratamento i;

µ é a média geral de todas as observações;

τi é o efeito do tratamento i;

εij é o erro aleatório. (OBS: Para fins de testes de hipótese, supomos que o erro aleatório εij segue um modelo normal com média 0 e variância σ2 aproximadamente igual para todos os tratamentos)

Nosso objetivo será testar a hipótese referente ao efeito dos tratamentos e estimar esses efeitos, ou seja, verificar se existe diferença significativa entre os resultados apresentados por cada grupo.

Existem dois tipos de problemas a serem abordados:

Modelo a níveis fixos: quando o efeito de cada tratamento é fixo, como no caso em que os tratamentos são 4 pressões de operações, ou 4 layouts fixados pelo engenheiro;

Modelo a níveis aleatórios: quando o efeito de cada tratamento é aleatório, como no caso em que os tratamentos são k lotes de produção, ou k operadores escolhidos aleatoriamente.


No modelo a níveis fixos, os efeitos dos tratamentos são definidos como desvios da média geral, tais que:

ji, alguns para :H

..... :H

ji1

k210

µ≠µ

µ==µ=µ

Na Ho (hipótese nula) supõe-se que todas as médias sejam iguais, ou seja, os

economistas têm o mesmo salário nos três estados (e as diferenças entre os seus salários são devidas ao acaso) ou os três métodos de ensino são equivalentes.

A H1 (hipótese alternativa) indica que pelo menos uma das médias difere, ou seja,

existem pelo menos dois estados com salários diferentes entre si ou pelo menos dois métodos de ensino diferem.

O procedimento utilizado para comparar simultaneamente todos os grupos é chamado de Análise de Variância, que será visto a seguir.

A análise de variância é uma técnica que pode ser usada para determinar se as médias de duas ou mais populações são iguais. O teste se baseia numa

amostra extraída de cada população.

A Análise de Variância é uma técnica para investigar quanto de variabilidade em um conjunto de observações (dados) pode ser descrito por diferentes causas.

Os cálculos associados à Análise de Variância são apresentados em uma tabela, chamada de Tabela de Análise de Variância ou Tabela ANOVA

Fonte de variação SQ GDL MQ Teste F

Entre grupos SQG k-1 MQG MQG/MQR

Dentro de grupos SQR N-k MQR

Total SQT N-1

onde k é o número de níveis do fator.

N é a quantidade total de observações


A Análise de Variância se baseia na decomposição da variabilidade total. Mais especificamente, os desvios das observações individuais em relação à média global podem ser escritos como:

( ) ( ) ( )Y Y Y Y Y Yij i ij i− = − + −.. . .. .

(1)

onde:

( )Y Yi. ..− é o desvio da média do tratamento i em relação à média global;

( )Y Yij i− . é o desvio da observação individual em relação à média do tratamento

correspondente;

Elevando ao quadrado ambos os termos da equação (1) e efetuando o somatório, resulta:

( ) ( ) ( )Y Y n Y Y Y Yij iii j

i ij iij

− = − + −∑∑ ∑..

,

. .. .

2 2 2

(2)

Na equação (2), identificamos as seguintes somas quadradas:

SQT = SQG + SQR

onde:

SQT � é a soma dos quadrados totais, decomposta em:

SQG � soma dos quadrados dos grupos (tratamentos), associada exclusivamente a um efeito dos grupos;

SQR � soma dos quadrados dos resíduos, devida exclusivamente ao erro aleatório, medida dentro dos grupos.

As divisões das somas de quadrados (SQ) pelos graus de liberdade fornecem as médias quadradas (MQ), que são as estimativas de variabilidade de cada parcela.

Os graus de liberdade são obtidos através do número de níveis do fator e da quantidade de repetições para cada nível, ou seja, se o fator tem 5 níveis, terá 4 graus de liberdade (k-1). Os graus de liberdade totais são obtidos através do total de observações menos 1 (N-1) e os graus de liberdade dentro dos grupos será a diferença entre eles (N-1)-(k-1) = (N-k).

Para testar a hipótese referente ao efeito dos grupos, usamos a distribuição F :

MQR

MQGF =


O valor resultante do teste F deve ser comparado com uma tabela de valores F, que indica o valor máximo da estatística no caso de Ho ser verdadeira, a um determinado nível de confiança.

Como o valor tabelado de F é contínuo e depende da combinação dos graus de liberdade do numerador e do denominador, é usual apresentar seus valores apenas para os níveis de confiança 0,05 e 0,01. Os graus de liberdade para a determinação do valor F são os mesmos apresentados na tabela da ANOVA.

Os valores constantes na tabela F são valores críticos: apresentam a linha divisória entre a variação aleatória e a não aleatória. Ao fazer a análise de variância, utilizam-se as duas estimativas amostrais da variância para calcular uma razão F. Compara-se então o número resultante com o número tabelado. Se o valor calculado é maior que o valor tabelado, rejeita-se a hipótese nula. Se o valor calculado é menor que o valor tabelado, a hipótese nula não pode ser rejeitada.

13.1 Formulário para solução

Para o cálculo das Somas Quadradas é recomendado o uso do seguinte formulário:

TC T N= ( .. )2

( )SQT Y TCij

= −∑ 2

( )SQG T n TCi i= −∑ .2

( ) ( )SQR Y T n SQT SQGij i i

= − = −∑∑ 2 2

.

onde

TC é o termo de correção

T.. é a soma de todas as observações

Ti. é a soma das observações no grupo i

Valor tabelado

Concluir pelo não-acaso

Rejeitar Ho

Concluir pelo acaso

Aceitar Ho

Nível de significância = área da cauda

0

Distribuição F


Resolvendo o exemplo dos métodos de ensino através deste formulário obtém-se:


Método A 5 0 3 5 4 5 8 2

Método B 4 5 4 7 5 10 3 10

Método C 3 5 0 3 3 9 4 9

k = 3 (três níveis do fator, método A, B e C)

N = 24 (oito alunos por método)

T.. = 5 + 0 + 3 + ... + 4 + 9 = 116 (somar todas as observações)

TA. = 5 + 0 + 3 + 5 + 4 + 5 + 8 + 2 = 32 (somar as observações do método A)

TB. = 48 (somar as observações do método B)

TC. = 36 (somar as observações do método C)

TC = 1162 / 24 = 560,67

SQT = (52 + 02 + 32 + ... + 42 + 92 ) – 560,67 = 738 – 560,67 = 177,33

17,33 560,67-578,00 560,678

368

488

32SQG

222

==−

++=

SQR = SQT – SQG = 177,33 – 17,33 = 160,00

Então a tabela da ANOVA ficaria:


Entre grupos 17,33 2 8,67 1,14

Dentro de grupos 160,00 21 7,62

Total 177,33 23

O valor de F tabelado com 2 e 21 graus de liberdade no numerador e denominador, respectivamente, e nível de significância de 0,05 é F0,05≈ 3,49. Como F calculado < F tabelado, concluímos que não há evidências de que os métodos de ensino alterem a aprendizagem das crianças, ou seja, os métodos de ensino devem ser equivalentes.


Utilizando o Excel

Clique em Ferramentas e depois em Análise de Dados. (OBS: Se no seu

computador não aparecer Análise de Dados é porque este suplemento não está

ativado. Vá em Ferramentas, depois Suplementos. Disponibilize Análise de

Dados e Análise de Dados VBA.)

Selecione ANOVA – Fator único.

Preencha com as informações que forem necessárias.

13.2 Exemplo de solução no Excel


Método A 5 0 3 5 4 5 8 2

Método B 4 5 4 7 5 10 3 10

Método C 3 5 0 3 3 9 4 9

Os dados devem agrupados em linhas ou colunas.

ou

No menu Ferramentas e Análise de Dados, após selecionar ANOVA fator único.


Na janela da ANOVA informar as questões que forem solicitadas.

Os resultados estarão localizados na planilha chamada resultados.

Anova: fator único

RESUMO Grupo Contagem Soma Média Variância

Método A 8 32 4,0 5,714 Método B 8 48 6,0 7,429 Método C 8 36 4,5 9,714

ANOVA Fonte da variação SQ gl MQ F valor-P F crítico

Entre grupos 17,33 2 8,67 1,14 0,340 3,47 Dentro dos grupos 160,00 21 7,62

Total 177,33 23

Tabelado

Calculado


Exercícios:

1. Suponha que o valor crítico de F na análise de variância seja 1,99 ao nível de 0,05. Com base na figura: a) Como você interpretaria uma estatística de teste maior que 1,99? b) Como você interpretaria uma estatística de teste menor que 1,99?

2. Duas turmas de pilotos de corrida de automóveis estão sendo treinadas para uma grande corrida no domingo. Cada turma faz cinco provas de troca dos quatro pneus num carro. As turmas são equivalentes ou uma delas é superior, ao nível de significância 0,05? Complete a tabela da ANOVA e conclua a respeito.


Entre grupos

Dentro de grupos 0,12

Total 0,22

3. Realiza-se um experimento para determinar-se as produções de cinco variedades de trigo: A, B, C, D e E. São atribuídos quatro lotes de terra para cada variedade e as produções, em toneladas, estão apresentadas na tabela. Supondo-se que os lotes possuem fertilidades semelhantes e que as variedades são atribuídas aos lotes aleatoriamente, determinar se existe diferença entre as produções ao nível de significância 0,01.

A 20 12 15 19 B 17 14 12 15 C 23 16 18 14 D 15 17 20 12 E 21 14 17 18

1,99

0

Distribuição F

0,05


4. Uma empresa deseja testar quatro tipos diferentes de pneus: K, L, M e N. Suas durações, determinadas pelas bandas de rodagem, estão na tabela (em milhares de quilômetros), onde cada tipo foi testado, aleatoriamente, em seis automóveis semelhantes. Determinar de existe diferença significante entre os pneus ao nível de significância 0,05.

K 33 38 36 40 31 35 L 32 40 42 38 30 34 M 31 31 37 35 33 30 N 29 34 32 30 33 31

5. Um professor deseja testar três métodos diferentes de ensino I, II e III. Para isso são escolhidos aleatoriamente três grupos de cinco estudantes, e cada grupo é instruído por um método diferente. É dada a mesma prova a todos os estudantes e os graus obtidos constam na tabela. Determinar se existe diferença entre os métodos de ensino ao nível de significância 0,01.

I 75 62 71 58 73 II 81 85 68 92 90 III 73 79 60 75 81

6. A tabela apresenta os dados sobre a ferrugem acumulada sobre o ferro, que foi tratado quimicamente com os produtos A, B ou C. Determinar se existe diferença significativa nos tratamentos ao nível de 0,05.

A 3 5 4 4 B 4 2 3 3 C 6 4 5 5

7. Um experimento mede os quocientes de inteligência (QI) de estudantes do sexo masculino de estaturas alta, média e baixa, cujos resultados aparecem na tabela. Determinar se existe qualquer diferença nas contagens do QI em relação às diferentes alturas ao nível de significância de 0,01.

Alta 110 105 118 90 Média 95 103 119 104 Baixa 108 112 104 93


8. A fim de produzir um tipo superior de ração para galinhas, adicionou-se à ração tradicional quatro quantidades diferentes de um mesmo produto químico. Cada quantidade de ração é dada a 8 pintos e o peso das aves após 3 meses é anotado. Concluir se houve diferença entre as quantidades do produto químico ao nível de significância 0,05.

20 mg 46 46 46 45 45 45 46 46 30 mg 48 48 47 47 47 47 47 48 40 mg 49 49 50 50 49 50 50 49 50 mg 52 53 52 52 52 52 53 53

9. Uma empresa deseja estudar três tipos de enxerto para ver se todos apresentam o mesmo crescimento anual. O que se pode concluir a respeito? (use nível de significância 0,05)

Enxerto 1 Enxerto 2 Enxerto 3 14,4 10,8 11,1 14,8 12,2 9,5 12,7 11,2 10,8 12,2 12,8 12,7 10,9 13,0 10,9

10. Os dados abaixo dão a vida observada dos pneus de quatro caminhões distribuidores de sorvete, conforme a posição. Supondo comparáveis os caminhões e os motoristas, poderemos afirmar que a duração média é independente da posição do pneu no veículo? (use nível de significância 0,01). Disponha os cálculos numa tabela ANOVA. Qual a importância da comparabilidade dos motoristas e veículos?

Dianteiro direito 17 19 20 24 Dianteiro esquerdo 25 27 18 22

Traseiro direito 22 21 19 26 Traseiro esquerdo 26 24 30 28


1144 RReeggrreessssããoo ee ccoorrrreellaaççããoo

A análise de regressão e de correlação compreende a análise de dados amostrais para saber se e como duas ou mais variáveis estão relacionadas uma com a outra em uma população.

A análise de correlação fornece o número

(coeficiente) que resume o grau de

relacionamento entre duas variáveis.

A análise de regressão apresenta como

resultado uma equação matemática que

descreve um determinado relacionamento.

Os valores para a análise de regressão e correlação provêm de observações e, para um problema com duas variáveis, cada observação dá origem a dois valores, uma para cada variável. Uma das variáveis será a dependente e a outra independente.

Exemplos:

Família Renda Gastos Peso Altura Aluno Notas 2o grau

Notas faculdade

1 R$ 1550 R$ 1350 56 179 A 80 85

2 R$ 2000 R$ 1970 67 176 B 75 70

3 R$ 1000 R$ 550 89 180 C 95 95

... 58 170 D 60 65

n R$ 770 R$ 690 45 130 E 70 80

Uma maneira de apresentar os resultados é através do diagrama de dispersão.

Relação linear

positiva perfeita Relação linear

negativa perfeita X e y positivamente

correlacionados X e y negativamente

correlacionados X e y não

correlacionados


Regressão

14.1 Aplicações da regressão

1. Estimar valores de uma variável com base em valores conhecidos de outra variável. (Situações em que as duas variáveis medem aproximadamente a mesma situação, mas uma delas é relativamente dispendiosa ou difícil de lidar, enquanto a outra não.)

2. Explicar valores de uma variável em termos da outra, isto é, pode-se suspeitar de uma relação de causa e efeito.

3. Predizer valores de uma variável.

OBS:OBS:OBS:OBS: A análise da regressão apenas indica qual relacionamento matemático pode existir, se

existir algum. Ou seja, nem a regressão, nem a correlação podem mostrar que uma variável tenda a causar certos valores de outra variável, não garantido que exista relação de causa e efeito.

“... a correlação entre beber um copo de vinho por dia e a menor chance de infarto do

miocárdio é um bom exemplo. Estudos recentes mostram que ela não se deve ao vinho e

ao álcool, mas sim ao betacaroteno, corante contido na uva. Para infelicidade de

muitos, tomar suco de uva dá o mesmo resultado que beber vinho tinto.” Jornal do

Brasil, 08/01/1999

14.2 Classificação das regressões

Quanto ao número de variáveis: Simples (uma variável independente explica bem o fenômeno) ou Múltipla (mais de uma variável independente são necessárias para explicar bem o fenômeno)

Quanto à qualidade da relação: Linear (os fenômenos podem ser bem explicados por equações de primeiro grau) ou Não lineares (os fenômenos não podem ser bem explicados por equações de primeiro grau, exigindo funções de ordem superior).

14.3 Modelo linear

14.3.1 A equação da linha reta

Forma da equação linear: bxay +=

Duas características importantes são:

• A ordenada da reta (valor de em y) determinado ponto (quando x=0) � a

• A inclinação da reta (coeficiente angular) � b

O método mais usado para ajustar uma linha reta a um conjunto de pontos é conhecido como método dos mínimos quadrados.


n

xbya

)x()x(n

)y)(x()xy(nb

22

∑∑∑∑

∑ ∑∑ −=

−

−=

14.3.2 Erro padrão da estimativa linear

Uma vez que as estimativas a e b são funções de variáveis aleatórias (x e y são variáveis

aleatórias) é necessário verificar a precisão das estimativas, conhecendo o erro padrão das estimativas.

2n

)xybya(yS

2

E−

+−=∑ ∑ ∑

14.3.3 Intervalo de confiança para a estimativa

Para criar intervalos de confiança com base nos estimadores utiliza-se a equação:

Eervaloint S tyy ±=

Onde: y é obtido da equação.

t é o valor da distribuição t de Student para n-2 graus de liberdade e nível de

confiança determinado (tabelado)

e SE é o erro padrão da estimativa

Exemplo:

Seja y o consumo pessoal médio e x o PIB do Brasil em anos consecutivos. Encontre o Intervalo de confiança 90% para a estimativa quando o PIB for 10,0.

x y x2 xy

7,0 10,1 49,00 70,70 7,3 10,6 53,29 77,38 7,8 11,3 60,84 88,14 8,6 12,4 73,96 106,64 8,1 11,9 65,61 96,39 8,3 11,9 68,89 98,77 8,2 11,5 67,24 94,30 8,6 12,1 73,96 104,06 9,0 13,1 81,00 117,90 9,6 14,1 92,16 135,36 9,1 14,6 82,81 132,86

Σx = 91,6 Σy = 133,6 Σ x2 = 768,76 Σ xy = 1122,50


É ideal que sempre se inicie o estudo de regressão com o gráfico de dispersão dos valores.

Consumo pessoal em função do PIB

8,0

10,0

12,0

14,0

6,5 7,5 8,5 9,5 10,5PIB

Co

ns

um

o p

es

so

al

E o cálculo de a e b fica:

668,1b 2(91,6) - (768,76) 11

(133,6) (91,6) - (1122,5) 11 == e 744,111

91,6 (1,668) - 133,6a −==

x668,1744,1y +−= , ou PIB668,1744,1Consumo +−= ou seja, para cada unidade

acrescida do PIB, o consumo pessoal aumentará 1,668 unidades.

E o intervalo de confiança para y quando x=10 será:

4653,0211

))50,1122(668,1)6,133)(744,1((28,1641S E =

−

+−−=

936,14)10(668,1744,1y =+−=

)4653,0( 833,1936,14int ±=ervaloy

853,0936,14int ±=ervaloy

Ou seja, quando o PIB estiver em 10,0 o Consumo Pessoal poderá variar na faixa entre

14,083 e 15,789, com 90% de confiança.

Valor de t tabelado


Correlação

14.4 Objetivo da correlação

O objetivo da correlação é determinar a força do relacionamento entre duas observações emparelhadas, porque indica até que ponto os valores de uma variável estão relacionados com os valores da outra variável.

O resultado da análise de correlação é chamado de coeficiente de correlação – um valor que quantifica o grau de correlação.

O método mais comum de análise de correlação envolve observações em valores numéricos. Neste caso utiliza-se o coeficiente r de Pearson.

14.5 O coeficiente r de Pearson (correlação)

O coeficiente r de Pearson mede o grau de associação linear em duas variáveis. Ele possui duas propriedades importantes:

• Seu sinal. Positivo indica correlação linear positiva, ou seja, à medida que uma variável cresce, a outra cresce também. Sinal negativo indica correlação linear negativa, ou seja, à medida que uma variável cresce, a outra decresce.

• Sua grandeza indica quão próximos da reta estão os pontos individuais caso fosse ajustada uma reta de regressão. O valor do coeficiente pode variar de –1 a 1.

-1

0

1 Correlação

negativa forte

Inexistência de

correlação

Correlação positiva

forte

O cálculo do valor do coeficiente r de Pearson pode ser obtido através da equação:

−

−

−=

∑∑∑∑

∑∑∑

n

)y(y

n

)x(x

n

)y)(x(xy

r2

22

2

14.6 Coeficiente de determinação

O coeficiente de determinação ou de explicação (r2) indica quantos por cento a variação explicada pela regressão representa da variação total.

r2 = r.r e 0 ≤ r2 ≤ 1


Exemplo:

Prosseguindo o exemplo anterior, sendo y o consumo pessoal médio e x o PIB do Brasil em anos consecutivos.

x y x2 y2 xy 7,0 10,1 49,00 102,01 70,70 7,3 10,6 53,29 112,36 77,38 7,8 11,3 60,84 127,69 88,14 8,6 12,4 73,96 153,76 106,64 8,1 11,9 65,61 141,61 96,39 8,3 11,9 68,89 141,61 98,77 8,2 11,5 67,24 132,25 94,30 8,6 12,1 73,96 146,41 104,06 9,0 13,1 81,00 171,61 117,90 9,6 14,1 92,16 198,81 135,36 9,1 14,6 82,81 213,16 132,86

Σx = 91,6 Σy = 133,6 Σ x2 = 768,76 Σ y2 = 1641,28 Σ xy = 1122,50

O cálculo do coeficiente de correlação é dado por:

=

−

−

−=

11

)6,133(28,1641

11

)6,91(76,768

11

)6,133)(6,91(5,1122

r22

0,9446

Ou seja, existe uma correlação forte positiva entre os valores do PIB e do consumo pessoal.

O valor do coeficiente de determinação é: r2 = 0,9446 x 0,9446 = 0,8923, o que significa que 89% da variação total é explicada por este modelo.

Utilizando o Excel

Maneira 1: A equação é da forma y = a + bx para os valores dos pares (x,y) e

os coeficientes da reta são calculados utilizando o método dos mínimos

quadrados.Após colocar os valores em duas colunas (valores de x e valores de

y) vá ao “Assistente de Função” e escolha as funções “INCLINAÇÃO” para determinar o valor de b e “INTERCEPÇÃO” para calcular o valor de a. Os

passos seguintes devem ser feitos seguindo as indicações do programa. Para o

cálculo da correlação utiliza-se no “Assistente de Função” o CORREL. Em

Matriz1 devem ser colocadas as células referentes à variável x em Matriz2 as

células referentes à variável y.

Maneira 2: Selecionar “Ferramentas” e “Análise de dados” e então

“Regressão”. Informar o que for solicitado.


14.7 Exemplo de solução no Excel

A velocidade máxima de automóveis de fórmula 1 com motores de mesma potência é função, entre outras variáveis, do peso do veículo, no intervalo entre 700 e 800 Kg. Assim, verificou-se qual a velocidade máxima atingida em uma reta de 1.200 m. Os resultados foram:

Peso(Kg) 750 755 777 782 793

Veloc.Máx.(Km/h) 380 354 348 330 320

a) Construa o gráfico dos dados

b) Qual a velocidade esperada para um veículo de 760 Kg?

GRÁFICO DOS DADOS (Diagrama de dispersão)

Relação entre velocidade e peso dos veículos de F1

y = -1,181x + 1257,173

R2 = 0,865

310

330

350

370

390

740 750 760 770 780 790 800Peso

Vel

ocid

ade

RESUMO DOS RESULTADOS

Estatística de regressão R múltiplo 0,930 R-Quadrado 0,865 R-quadrado ajustado 0,820 Erro padrão 9,851 Observações 5

Se

R


ANOVA (teste de significância para o modelo linear ajustado)

gl SQ MQ F F de significação

Regressão 1 1864,051 1864,051 19,207 0,022

Resíduo 3 291,149 97,050

Total 4 2155,200

Coefici-entes

Erro padrão Stat t valor-P 95%

inferiores 95%

superiores Inferior 95,0%

Superior 95,0%

Interseção 1257,173 207,862 6,048 0,009 595,662 1918,685 595,662 1918,685

Peso(Kg) -1,181 0,269 -4,383 0,022 -2,038 -0,323 -2,038 -0,323

A equação linear de relacionamento dos dados é Velocidade =1257,173 – 1,181 Peso

Então, a velocidade estimada para um veículo com 760 kg é Velocidade=1257,173–1,181(760) = 359,61 km /hora

Se F de significação < 0,05, então o modelo linear ajustado aos dados é válido. Se F > 0,05 o modelo não se

ajusta adequadamente aos dados.

Valores de a e b Testes para a e b

Se valor-P < 0,05, então a estimativa é válida, caso contrário é significativamente

nula


Exercícios

1. Determinar o coeficiente de correlação dos dados a seguir:

X 1 2 3 6 9 Y 4 7 7 9 15

Se os dados forem correlacionados, estimar a reta de regressão:

2. A tabela a seguir apresenta os valores dos investimentos administrados on-line a partir de 1998. Verifique se existe correlação entre os anos (x) e os investimentos (y), caso exista correlação, apresente o intervalo de confiança de 95% para o valor dos investimentos no ano de 2002 e 2003.

Ano Investimento 1998 374 1999 555 2000 908 2001 1010

3. Os gráficos e a tabela indicam o número de anos de escolaridade das chefes de família (x) e a participação feminina na renda familiar (y) em alguns anos

Número de anos de

estudo

Participação na renda (%)

1976 4,7 8,4 1990 5,7 16 1993 6,3 19 1996 6,6 21

a) Caso exista associação, quantos anos de estudo serão necessários para que a participação da mulher na renda familiar chegue a 50% ?

b) E qual será a participação da mulher na renda familiar quando ela tiver 12 anos de estudo?

c) Você poderia estimar o ano em que a mulher irá participar com 50% da renda?


4. Após uma regulagem eletrônica um veículo apresenta um rendimento ideal no que tange o consumo de combustível. Contudo, com o passar do tempo esse rendimento vai se degradando. Os dados a seguir representam o rendimento medido mês a mês após a regulagem. Ajuste um modelo linear a estes dados. Calcule o coeficiente de correlação. Interprete os resultados.

x: Meses após a regulagem 1 2 3 4 5 6 y: Rendimento 10,7 10,9 10,8 9,3 9,5 10,4 x: Meses após a regulagem 7 8 9 10 11 12 y: Rendimento 9,0 9,3 7,6 7,6 7,9 7,7

5. O gerente de uma indústria localizada em um país tropical suspeita que há uma correlação entre a temperatura do dia e a produtividade. Dados coletados aleatoriamente ao longo de um período de seis meses revelaram o seguinte.

Temperatura 21,2 20,3 22,7 22,0 22,3 23,5 24,8 24,2 25,5 25,2 25,5 25,8 Produtividade 142 148 131 132 145 138 144 136 141 124 133 128

Temperatura 27,5 26,3 28,2 28,6 29,0 29,7 30,7 30,3 30,2 31,4 32,5 32,7 Produtividade 132 137 124 117 122 131 124 111 119 129 123 116

Plote um gráfico de dispersão e visualize a natureza da correlação entre temperatura e produtividade. Depois estime a equação da reta de regressão e calcule o valor do coeficiente de correlação. Interprete os resultados.

Estime a produtividade quando a temperatura estiver em 35 graus. Construa um Intervalo de Confiança de 90% para esta produtividade.

6. Suponha que os valores obtidos para o desempenho de alunos em uma determinada disciplina e as rendas familiares sejam os que seguem.

Aluno X (renda)

Y (desempenho)

1 750 5 2 690 8 3 400 4 4 900 9 5 200 2 6 1000 10 7 300 3 8 600 6 9 1200 10

Os dados são correlacionados? Justifique sua resposta. Se forem, estime a reta de regressão.


7. A revista Exame Melhores e Maiores apresentou as maiores empresas do comércio, por vendas no ano anterior. Entre as que pertencem ao setor de comércio varejista estão destacadas as 11 maiores. Através da análise da tabela e do gráfico, o que você pode concluir?

Empresa Número de

funcionários Vendas

(Milhões US$) Carrefour 37.004 4.582,4 Pão de Açúcar 39.642 3.976,4 Casas Bahia 11.508 1642,2 Sendas 16.990 1391,7 Ponto Frio 5.395 1223,6 Sonae 22.638 1083,9 Bompreço 13.225 1062,7 L. Americanas 12.485 900,6 McDonalds Não informou 726,7 AgipLiquigás 3.804 693,1 Pernambucanas 10.787 619,1 Fonte: Revista Exame

Ve ndas no ano de 1999 das 11 m aiore s e m pre s as do

Bras il do s e tor de com é rcio vare jis ta

y = -42,462 + 0,1015 x

R2 = 0,801

-

500

1.000

1.500

2.000

2.500

3.000

3.500

4.000

4.500

5.000

- 5.000 10.000 15.000 20.000 25.000 30.000 35.000 40.000

Núm e ro de funcionár ios

Mil

hõ

es

US

$

14.8 Outros modelos

Muitas vezes a forma funcional entre as variáveis x e y não é linear. Alguns modelos, mesmo não sendo lineares, são facilmente linearizáveis. Este procedimento busca facilitar o cálculo dos coeficientes da equação.

No entanto, o uso de softwares estatísticos, calculadoras e planilhas eletrônicas auxilia na obtenção dos coeficientes.

O valor de r2 serve como uma forma de comparação entre os modelos. O modelo que apresentar maior valor de r2 é o que apresenta melhor ajuste dos dados.


14.8.1 Função exponencial - xaby =

a>0 0<b<1 a>0 b>1 a<0 0<b<1 a<0 b>1

Utilizando as propriedades dos logaritmos pode-se chegar a BxAY += onde

b log B e a logA ,ylogY ===

Pelo método dos mínimos quadrados obtém-se A e B e depois convertem-se os valores para a e b.

BA 10b e 10a ==

Exemplo

Uma empresa fabricante de brinquedos registrou suas vendas nos últimos 10 anos, obtendo os valores apresentados a seguir.

Ano (x) Vendas (y) 1 450 2 500 3 600 4 800 5 1.200 6 1.700 7 2.100 8 4.000 9 5.000

10 7.000

Vendas do brinquedo, por ano

0

2.000

4.000

6.000

8.000

10.000

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11Ano

Ve

nd

as

O diagrama de dispersão dos dados indica que a relação não é linear.


Para ajustar uma função exponencial, inicia-se com o cálculo dos somatórios de Y, x, Y2, x2 e xY, onde Y = ln (y)

x y Y=ln(y) x2 xY Y2 1 450 6,11 1 6,11 37,32 2 500 6,21 4 12,43 38,62 3 600 6,40 9 19,19 40,92 4 800 6,68 16 26,74 44,68 5 1.200 7,09 25 35,45 50,27 6 1.700 7,44 36 44,63 55,33 7 2.100 7,65 49 53,55 58,52 8 4.000 8,29 64 66,35 68,79 9 5.000 8,52 81 76,65 72,54

10 7.000 8,85 100 88,54 78,39 Total: 55 23.350 73,25 385,00 429,64 545,39

Então,

0,3245 )55()385(10

)25,73)(55()64,429(10B

2=

−

−=

5399,510

)55(325,025,73A =

−=

3903,1)3245,0exp()Bexp(b === e 42,254)5399,5exp()Aexp(a ===

Logo, a equação final será

Vendas =(254,42)(1,3903)ano

Observe como os valores estimados pela equação estão próximos dos valores reais, observados na série de dados.

0

1.000

2.000

3.000

4.000

5.000

6.000

7.000

8.000

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Vendasobservadas

Vendasestimadas pelaequação


14.8.2 Função geométrica ou de potência - baxy =

a>0 b ímpar a>0 b par a<0 b ímpar a<0 b par

Utilizando as propriedades dos logaritmos pode-se chegar a bXAY += onde

x log X e a logA ,ylogY ===

Pelo método dos mínimos quadrados obtém-se A e b e depois convertem-se os valores para a.

A10a =

Exemplo

Os dados a seguir apresentam a produção de veículos automotivos (y) ao longo do tempo (x). Para estes dados ajuste um modelo de potência

ano 59 60 61 62 63 64 65

produção 96,1 133,0 145,6 191,2 174,2 183,7 185,2

ano 66 67 68 69 70 71 72 produção 224,6 225,4 278,5 349,5 416,0 516,0 609,0

O diagrama de dispersão dos dados sugere que um modelo potencial é indicado.

Produção automobilística anual

0,0

100,0

200,0

300,0

400,0

500,0

600,0

700,0

55 60 65 70 75Ano

Milh

are

s d

e u

nid

ad

e


Cálculo dos parâmetros:

Ano Produção Y=ln(y) X=ln(x) Y2 X2 XY 59 96,1 4,565 4,078 20,843 16,626 18,616 60 133,0 4,890 4,094 23,916 16,764 20,023 61 145,6 4,981 4,111 24,809 16,899 20,476 62 191,2 5,253 4,127 27,597 17,033 21,681 63 174,2 5,160 4,143 26,628 17,166 21,379 64 183,7 5,213 4,159 27,179 17,296 21,682 65 185,2 5,221 4,174 27,263 17,426 21,796 66 224,6 5,414 4,190 29,315 17,553 22,684 67 225,4 5,418 4,205 29,353 17,679 22,781 68 278,5 5,629 4,220 31,690 17,804 23,753 69 349,5 5,857 4,234 34,299 17,928 24,797 70 416,0 6,031 4,248 36,369 18,050 25,621 71 516,0 6,246 4,263 39,014 18,170 26,625 72 609,0 6,412 4,277 41,111 18,290 27,421

Totais: 76,292 58,522 419,386 244,684 319,335

Assim,

7,970 )522,58()684,244(14

)292,76)(522,58()335,319(14b

2=

−

−=

868,2714

)522,58(970,7292,76A −=

−=

13E889,7)868,27exp()Aexp(a −=−==

Y=A+bX � Y=-27,868+7,970X onde Y e X são, respectivamente, ln(x) e ln(y)

Ou então, y=7,889E-13 x 7,970

Logo, a equação final será

Produção de automóveis =7,889E-13 (ano) 7,970

O gráfico comparativo entre os valores observados para a produção e os estimados através da curva Produção de automóveis =7,889E-13 (ano) 7,970 é:


0,0

100,0

200,0

300,0

400,0

500,0

600,0

700,0

59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72

Produção real

Produção estimadapela equação

Exercícios

1. Aos dados a seguir ajuste um modelo exponencial e um polinomial. Estime a quantidade de vendas para o ano de 2003, supondo que o comportamento dos dados seja mantido. DICA: utilize os números de 1 a 11 para os anos e calcule o valor de y quando x

for 14.

Ano 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000

Vendas 15 16 17 18 25 28 32 42 55 76 93

2. Se você tivesse uma série de dados como expressa no diagrama de dispersão a seguir, que modelo de regressão você utilizaria? O que você poderia dizer a respeito dos valores dos parâmetros?

3. Uma companhia de energia elétrica estimou o consumo médio de energia das famílias (kwh) de acordo com a renda (R$). Ajuste os seguintes modelos: y=axb, y=abx e y=a+bx.

Renda 197 286 243 218 241 200 215 198 129 157 296 302

Consumo 1234 1432 1678 1300 1467 1245 1214 1200 770 890 2020 2100


1155 TTaabbeellaass

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1 - Probabilidade e Estatística