1 Restrições Lineares sobre os Reais/Racionais Muitos problemas podem ser modelados através de restrições sobre variáveis que, para todos os efeitos práticos,

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Restrições Lineares sobre os Reais/Racionais

• Muitos problemas podem ser modelados através de restrições sobre variáveis que, para todos os efeitos práticos, podem tomar valores no domínio dos números reais (ou racionais).

• Essas variáveis são geralmente denominadas variáveis de decisão.

• Um caso particularmente importante ocorre quando todas as restrições sobre essas variáveis são lineares.

• Em muitos casos, pretendem-se soluções que não só satisfaãm todas as restrições, mas também que optimizem uma função (linear) objectivo - optimização condicionada

• Exemplos:

– gestão da produção

– redes de distribuição

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Gestão da Produção

Dados:

a) Um conjunto de itens P1, ..., Pn que se pretende produzir

b) Um conjunto de recursos R1, ..., Rm disponíveis para os produzir

c) Uma matriz A, cujos elementos aij representam a quantidade do recurso i necessário para produzir uma unidade do item j

d) Um vector C, cujos elementos cj representam o lucro obtido por cada unidade do item j produzido

e) Um vector B, cujos elementos bi representam a quantidade máxima do recurso i que pode ser utilizado

Objectivo:

Determinar a quantidade a produzir de cada item j

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Gestão 0: Restrições Base

Designando por Xi a quantidade do item Pi produzido, o problema de

não sobre-utilização dos recursos existentes é modelado por

a11 X1 + a12 X2 + ... + a1n Xn =< b1

...

am1 X1 + am2 X2 + ... + amn Xn =< bm

Por exemplo, sendo necessárias 3 minutos de uma máquina para fabricar 1 sapato e 4 minutos para 1 bota, representando por S e B o número de sapatos e botas e estando a máquina disponível 4 horas temos

3 S + 4 B =< 240

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Gestão 1: Satisfação (de um dado lucro)

Para modelar que um dado lucro L é atingido, adiciona-se ao modelo anterior a restrição

c1 X1 + c2 X2 + ... + cn Xn >= L

Por exemplo, se se obtem um lucro de 4(5) € por cada sapato (bota) vendido, pretender que o lucro seja pelo menos de 3000€ é modelada pela restrição

4 S + 5 B >= 3000

Gestão 2: Optimização (do lucro obtido)

Para modelar a maximização do lucro obtido, adiciona-se ao modelo inicial a função objectivo L (a maximizar)

Max L = c1 X1 + c2 X2 + ... + cn Xn

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Gestão da Produção (Dual)

Dados:

a) Um conjunto de itens P1, ..., Pn que se pretende produzir

b) Um conjunto de recursos R1, ..., Rm disponíveis para os produzir

c) Uma matriz A, cujos elementos aij representam a quantidade do recurso i necessário para produzir uma unidade do produto j

d) Um vector C, cujos elementos cj representam o custo mínimo por cada unidade do item j produzido

e) Um vector B, cujos elementos bj representam a quantidade do recurso j a utilizar

Objectivo:

Determinar os custos por recurso adequados

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Gestão 0d:

Restrições Base

Designando por Yj o custo incorrido por cada unidade do recurso j

gasto, as restrições que impõe um custo mínimo por unidade de item i produzido são modeladas por

a11 Y1 + a21 Y2 + ... + am1 Ym >= c1

a12 Y1 + a22 Y2 + ... + am2 Ym >= c2

...

a1m Y1 + a2m Y2 + ... + amn Ym >= cn

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Gestão 1d: Satisfação (de um dado custo total)

A garantia de que o custo total do plano de produção não excede um valor V é modelada, por adição ao modelo da restrição

b1 Y1 + b2 Y2 + ... + bm Ym =< V

Gestão 2d: Optimização (do custo total)

Para modelar a minimização dos custo total do plano de produção, adiciona-se a função objectivo V (a minimizar)

Min V = b1 Y1 + b2 Y2 + ... + bm Ym

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Redes de Distribuição

Dados:

a) Um conjunto de nós P1, ..., Pn , dos quais P1 é emissor e Pn o

receptor

b) Uma matriz M, cujos elementos mi,j representam a capacidade da

ligação (em bits/seg) entre os nós i e j

c) Uma matriz C, cujos elementos ci,j representam o custo (em €/bit)

da transmissão entre os nós i e j;

Objectivo:

Avaliar o fluxo de informação que a rede é capaz de transmitir entre os nós emissor (P1) e receptor (Pn).

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Restrições Base:

Designando por Xi,j a quantidade de informação debitada entre os nós i

e j, as restrições de capacidade são

X1,1 =< m1,1 % Em geral mi,i = 0...Xm,n =< mm,n

As restrições de igualdade de fluxo de entrada e saída em todos os k nós (excepto nos nós P1 e Pn) são modeladas por

X1,2+X2,2+X3,2+...+Xn,2 = X2,1+X2,2+ ...+X2,n

X1,3+X2,3+X3,3+...+Xn,3 = X3,1+X3,2+ ...+X3,n

...

X1,k+X2,k+X3,k+...+Xn,k = Xk,1+Xk,2+ ...+Xk,n

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Redes 1: Satisfação (de um fluxo F entre P1 e Pn)

A verificação de que é possível transmitir um determinado fluxo de informação F entre os nós emissor (P1) e receptor (Pn) é modelada pela

adição da restrição

X1,2+X1,3+X1,4+...+X1,n >= F

ou

X1,n+X2,n+X3,n+...+Xn-1,,n >= F )

Redes 2: Optimização (do fluxo total)

Para modelar o máximo fluxo de informação que a rede é capaz de transmitir entre os nós P1 e Pn, adiciona-se uma função objectivo F (a

maximizar)

Max F = X1,2+X1,3+X1,4+...+X1,n

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Formalização

Os problemas de satisfação de restrições lineares sobre variáveis (de decisão) Xi reais (ou racionais, se todos os parâmetros aij são números racionais) têm a forma

a11 X1 + a12 X2 + ... + a1n Xn ρ1 b1

a21 X1 + a22 X2 + ... + a2n Xn ρ2 b2

...

am1 X1 + am2 X2 + ... + amn Xn ρm bm

em que ρ1..ρm são relações do conjunto {≤, =, ≥, <, >, ≠ }

Se se pretender a optimização das variáveis de decisão, inclui-se a optimização de uma função (linear) objectivo F

Opt F = c1 X1 + c2 X2 + ... + cn Xn

em que Opt pode ser um de {Max, Min, Sup, Inf}.

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Interpretação Geométrica

Dado um espaço com n dimensões, a restrição

ai1 X1 + ai2 X2 + ... + ain Xn = bi

define uma região admissível, correspondente aos pontos de um hiper-plano desse espaço.

Como casos particulares temos

• um espaço tridimensional (n=3), em que o hiper-plano corresponde ao plano usual, e

• um espaço bidimensional (ou vulgar plano, n=2) em que o hiper-plano se reduz a uma recta.

A restrição ≠ define uma região admissível que corresponde a todos os pontos do espaço n-dimensional, excepto os pontos do hiper-plano

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As restrições ≤ e ≥ definem regiões admissíveis do tipo semi-hiper-espaço limitado pelo correspondente hiper-plano, incluído na região admissível.

Com n=3 temos um semi-espaço e com n=2 um semi-plano.

As restrições < e > definem regiões admissíveis semelhantes, mas excluindo a fronteira.

O conjunto de restrições define, num espaço a n dimensões, um hiper-poliedro (poliedro com n=3 e polígono com n=2) correspondente à intersecção das m regiões admissíveis (m+n com não negatividade).

Algumas faces do hiper-poliedro pertencem (≤, ≥) à região admissível e outras não (<, >). Devem ainda ser considerados hiper-planos de exclusão (≠).

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• Com exclusão das restrições ≠, a região admissível é convexa.

• Em problemas de optimização a função

C = c1 X1 + c2 X2 + ... + cn Xn

define uma família de hiper-planos paralelos (1 para cada valor de C).

• O supremo e o ínfimo dessa função na região admissível corresponde a um (hiper-)vértice do hiper-poliedro, o “último” ponto em que um hiper-plano da função objectivo “toca” a região admissível quando se desloca para valores crescentes (Sup) ou decrescentes (Inf) de C.

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• Se esse vértice pertencer à região admissível ele corresponde igualmente ao seu Max ou Min

• Caso contrário (i.e. se foi excluído por alguma restrição >, < ou ≠) não existem Max/Min mas apenas Sup/Inf.

• No caso em que o vértice de óptimo pertence a uma aresta ou um lado do hiper-poliedro paralelos à família de hiper-planos de optimização, haverá em geral mais do que um ponto óptimo, já que a função objectivo tem o mesmo valor em todos os pontos dessas arestas e lados.

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Exemplo (2 dimensões)

max X1 + X2Suj. 2 X1 + X2 ≤ 8

X1 + X2 ≥ 3 X1 - X2 ≥ -5

X2 ≥ 0

X2

x1

2 X1 + X2 ≤ 8

X1 - X2 ≥ -5

X1 ≥ 0

X1 + X2 ≥ 3

X1 + X2 =

k

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Complexidade Potencial

• Apesar de o espaço de pesquisa ser infinito, o problema de satisfação reduz-se à verificação de que as restrições definem um hiper-poliedro não vazio.

• Assim, pelo menos um dos vértice definidos pelos hiper-planos de fronteira das restrições (excepto restrições ≠) deve pertencer à região admissível.

• Como n restrições de igualdade (independentes) num espaço n-dimensional definem univocamente um ponto (solução de um sistema de n equações a n incógnitas), no pior caso, ter-se-á de verificar a pertença à região admissível de Cm

n pontos.

• Na prática, o número de vértices a testar é muito inferior.

• No pior caso, a complexidade do problema de satisfação é idêntica a um problema de optimização.

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Formas Resolvidas

• Há pois que determinar uma forma expedita de representar os vértices, e pesquisem eficientemente se pertencem à região admissível.

• Em particular, estaremos interessados em algoritmos que

• Associem vértices a uma Forma Resolvida,

• Implementem a pesquisa através de um conjunto de manipulações algébricas.

• A associação deverá ser possível se e apenas se o conjunto de restrições inicial fôr satisfazível.

• Vamos abordar estas formas resolvidas para sistemas de restrições com riqueza de expressão crescente.

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Restrições Não-Estritas / Variáveis Não-negativas

• As restrições de desigualdade podem ser substituidas por restrições de igualdade através da adição de variáveis de desvio (slacks), igualmente não negativas

ai1 X1 +...+ ain Xn ≤ bi ai1 X1 +...+ ain Xn + Si = bi

ai1 X1 +...+ ain Xn ≥ bi ai1 X1 +...+ ain Xn - Si = bi

• A existência de uma forma resolvida para estes sistemas de restrições é justificada pelo seguinte

Lema 1: Todo o sistema de m equações a m+n incógnitas não negativas, é satisfazível sse admitir uma solução em que n variáveis são nulas.

Demonstração:

Se existe uma solução então o sistema é satisfazível.

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Lema 1 (exemplo)

• Considere-se o sistema de 2 equações a 4 incógnitas (isto é, m = 2 e n = 2). Este exemplo permite perceber melhor os passos da demonstração (por indução em n) apresentada adiante.

(S1) 3X1–2X2+ X3- X4 = 4

X1+ X2-2X3+ X4 = 2

que admite a solução não negativa <X1,X2,X3,X4> = <2,1,1,1>.

• Escolhendo arbitrariamente uma das variáveis, por exemplo X4, e fazendo-se X4 = 1- δ (notar o sinal “-”) obtem-se o sistema S2

(S2) 3X1–2X2+ X3 = 5 - δ

X1+ X2-2X3 = 1 + δ

• Assuma-se δ = 0. Pela hipótese de indução todo o sistema de m equações a m+n incógnitas (neste caso, 2 equações a 3 incógnitas)

tem uma solução <s1,s2,s3> com n-1 (1) variáveis nulas.

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Lema 1 (exemplo)

• Este é o caso de S2 que admite de facto a solução < 11/7, 0, 2/7>, podendo colocar-se na forma equivalente S3

(S3) X1 = 11/7 + 3/7 X2 – 1/7 δ

X3 = 2/7 + 5/7 X2 – 4/7 δ

• Anulando a variável X2 obtem-se o sistema S4

(S4) X1 = 11/7 – 1/7 δ

X3 = 2/7 – 4/7 δ

• Para toda a solução <s1, s3> não negativa deste sistema existe uma

solução <s1, 0, s3, 1-δ > do sistema S1 inicial.

• Com δ =0, temos obviamente a solução <11/7, 0, 2/7, 1 >.

• Mas incrementando-se o valor de δ ir-se-á necessariamente obter uma nova solução de S1 em que uma das variáveis X1, X3 ou X4 terá o valor 0.

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Lema 1 (exemplo)

(S4) X1 = 11/7 – 1/7 δ

X3 = 2/7 – 4/7 δ

Em geral duas situações podem acontecer.

• Os termos em δ são todos positivos (não é o caso do exemplo):

Relembrando que tinhamos X4 = 1- δ, poderia fazer-se δ=1, obtendo-se uma solução do sistema S1 com X3 e X4 nulos (sendo X1 e X3 mais positivos que 11/7 e 2/7, respectivamente).

• Alguns termos em δ são negativos (caso do exemplo):

Neste caso, incrementando-se δ vão-se decrementando os valores das variáveis X1 e X3, bem com da variável X4, nas soluções correspondentes de S1.

Haverá então algum valor mínimo de δ que anulará uma destas variáveis, e garantirá as n (=2) variáveis nulas numa solução de S1.

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Lema 1 (exemplo)

(S4) X1 = 11/7 – 1/7 δ

X3 = 2/7 – 4/7 δ

Neste exemplo temos

• δ = 1/2 → X3 = 0 ( e X1 = 3/2 ; X4 = 1/2)

• δ = 1 → X4 = 0 ( e X1 = 10/7 ; X3 = 2/7)

• δ = 11 → X1= 0 ( e X3 = - 6 ; X4 = -10)

• Para o menor destes valores de δ garante.-se pois que uma das variáveis se anula e nenhuma das outras se torna negartiva resolvendo-se o sistema inicial. Neste caso, a solução

<21/14, 0, 0, ½>

é de facto uma solução do sistema inicial S1

(S1) 3X1 – 2X2+ X3 - X4 = 4 X1 + X2- 2X3 + X4 = 2

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Lema 1 (1)

A demonstração é feita por indução em n. Sendo o caso n=0 trivial, falta demonstrar o passo de indução, ou seja,

se qualquer sistema de m equações a n variáveis não negativas tem uma solução com n variáveis nulas, então qualquer sistema de m equações a n+1 variáveis não negativas tem uma solução com n+1 variáveis nulas.

Consideremos um sistema satisfazível com m+n+1 variáveis

(S1) ai,1X1+..+ai,m+nXm+n+ai,m+n+1Xm+n+1 = bi i: 1..m

Se o sistema é satisfazível, existe uma solução Xi = wi (≥ 0 para i:

1..m+n+1). Substituindo Xm+n+1 por Xm+n+1= wm+n+1-δ

(S2) ai,1X1+...+ai,m+nXm+n = ci+ai,m+n+1δ (ci=bi-ai,m+n+1wm+n+1)

Uma solução deste sistema com δ=0 é uma solução do sistema S1 com Xm+n+1 = wm+n+1.

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Lema 1 (2)

Assim, o sistema S3 é satisfazível (admite a solução inicial Xi = wi )

(S3) ai,1X1+...+ai,m+nXm+n = ci

Ora tendo este sistema, satisfazível, m equações e m+n variáveis, pela hipótese de indução, deve ter uma solução com n variáveis nulas. Sem perda de generalidade, considere-se que são as últimas n variáveis que se anulam, nessa solução, isto é, que existe uma solução

Xi = di ≥ 0 para i: 1..m e Xm+j = 0 para j : 1, n

Desta forma, o sistema S3 pode reescrever-se na forma

(S4) Xi = di + ci,m+1 Xm+1+ ... + ci,m+n Xm+n

Algebricamente, S4 é obtido de S3 por combinação linear das suas linhas. Aplicando a mesma combinação linear, não a S3 mas a S2, obtemos o sistema

(S5) Xi = di + ci,m+1Xm+1+...+ ci,m+nXm+n + ci,m+n+1δ

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Lema 1 (3)

Sendo obtido por uma combinação linear de S2, S5 é equivalente a S2. Assim, qualquer solução de S5 com δ=0 é uma solução do sistema

inicial (S1), com Xm+n+1 = wm+n+1.

Se considerarmos apenas as soluções com as n variáveis Xm+j (j: 1..n)

nulas o sistema S5 pode ser reescrito como

(S6) Xi = di + ci,m+n+1 δ

Assim, qualquer solução deste sistema S5, corresponde a uma solução do sistema S1 em que

Xi = di + ci,m+n+1 δ i : 1..m;

Xm+j = 0 j : 1..n; e

Xm+n+1 = wi-δ

Desta forma o sistema S1 inicial de m equações a m+n+1 variáveis tem uma solução com n variáveis nulas (todas as variáveis Xm+j com j: 1..n).

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Lema 1 (4)

Se algum dos dis ou se wi fôr nulo, então basta fazer δ=0 para obter uma solução de S1 com n+1 variáveis nulas: as anteriores mais Xi (i: 1..m) ou Xm+n+1.

Xi = di + ci,m+n+1 δ i : 1..m;

Xm+n+1 = wi-δ

No caso mais geral, em que os dis e wi são estritamente positivos, pode

obter-se uma nova solução para um valor de δ > 0 e que garanta

di + ci,m+n+1 δi = 0 para algum i : 1..m; ou δm+n+1 = wi

No menor destes valores δi, S6 tem uma solução com uma variável

nula.

Mas então o sistema S1 tem uma solução com n+1 variáveis nulas: para além da variável correspondente de S6, todas as variáveis Xm+j (j:

1..n) são nulas, o que prova o teorema .

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Forma Resolvida SF0

Definição: Dado um sistema de equações de m equações a m+n incógnitas

(S1) ai,1 X1+...+ai,m+n Xm+n = bi (i: 1..m)

a sua forma resolvida SF0 tem a forma

(SF0) Xi = di + ci,m+1 Xm+1+...+ ci,m+n Xm+n

sendo di ≥ 0 i: 1..m

As variáveis no lado esquerdo são as variáveis básicas, sendo as outras as não básicas (as variáveis básicas podem ser quaisquer e não as primeiras m variáveis como são apresentadas para simplificar a notação).

O lema anterior permite justificar o seguinte teorema.

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Forma Resolvida SF0

Teorema: Um sistema de equações de m equações a m+n variáveis não-negativas é satisfazível sse se puder reescrever na forma SF0.

Demonstração

Se se pode reescrever na forma resolvida SF0, então o sistema admite a solução não negativa, <d1, d2, ..., dm,0,..,0>.

Dado o sistema satisfazível

(S1) ai,1 X1+...+ai,m+n Xm+n = bi (i: 1..m)

o lema anterior garante uma solução <d1,d2, ...,dm,0,..,0>, que permite a

forma SF0

(SF0) Xi = di + ci,m+1 Xm+1+ ... + ci,m+n Xm+n

com di ≥ 0 para i: 1..m

através de uma combinação linear das suas equações.

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Exemplo:

Dadas R3: 2X1 + X2 ≤ 8 ; R4: X1 + X2 ≥ 3 ; R5: X1 - X2 ≥ -5, a região admissível é constituída pela intersecção das sub-regiões definidas por cada uma das restrições.

X2

X1

2 X1 + X2 + X3 = 8

X1 - X2 - X5 = -5

X1 + X2 - X4 = 3

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Na realidade, pretendendo-se a não-negatividade de X1 e X2, deverão ser consideradas mais 2 restrições

R1: X1 ≥ 0 e R2: X2 ≥ 0

A região admissível é constituída pela intersecção das sub-regiões definidas pelas 5 restrições {R1, R2, R3, R4, R5}.


X2 = 0

X2

2 X1 + X2 = 8

X1 - X2 = -5

X1 = 0

X1 + X2 = 3 X1

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Cada uma das rectas correspondentes a uma restrição pode ser identificada pelo anulamento da correspondente variável de desvio.


2X1 + X2 ≤ 82 X1 + X2 + X3 = 8

X2 = 0

X2

X1

X3 = 0

X5 = 0

X1 = 0

X4 = 0

2 X1 + X2 = 8

X1 - X2 = -5

X1 + X2 = 3

X1 - X2 ≥ -5X1 - X2 - X5 = -5

X1 + X2 ≥ 3X1 + X2 - X4 = 3

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A intersecção de quaisquer duas rectas, define um potencial vértice da região admissível, e é obtida pelo anulamento de 2 (das 5 variáveis).


X2

X1

X3 = 0X5 = 0

X5 = 0

X1 = 0

X4 = 0

X3 = 0X2 = 0 X3 = 0

X3 = 0X4 = 0X2 = 0

X4 = 0

X2 = 0 X5 = 0

X1 = 0 X5 = 0

X1 = 0 X4 = 0

X4 = 0 X5 = 0

X1 = 0 X2 = 0

X1 = 0 X3 = 0

X2 = 0

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Neste caso temos um sistema de 3 igualdades a 5 variáveis (2 variáveis de decisão, X1 e X2, e 3 variáveis de desvio (X3 , X4 e X5 e ).


2 X1 + X2 ≤ 8 X1 + X2 ≥ 3 X1 - X2 ≥ -5 X1 , X2 ≥ 0

2 X1 + X2 + X3 = 8 X1 + X2 - X4 = 3 X1 - X2 - X5 = -5

Existem naturalmente 10 combinações de variáveis 2 a 2. O anulamento de quaisquer 2 variáveis, corresponde a um vértice potencial da região admissível.

Esse anulamento corresponde igualmente a uma escolha de variáveis não básicas, e a uma potencial forma SF0 do sistema inicial.

Apenas as formas SF0 potenciais em que os coeficientes livres são não negativos correspondem a formas SF0 reais (e reais vértices da região admissível).

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2 X1 + X2 ≤ 8 X1 + X2 ≥ 3 X1 - X2 ≥ -5 X1 , X2 ≥ 0

2 X1 + X2 + X3 = 8 X1 + X2 - X4 = 3 X1 - X2 - X5 = -5

X2 = 0

X2

X1

X3 = 0

X5 = 0

X1 = 0

X4 = 0

X3 = 8 - 2 X1 - X2X4 = -3 + X1 + X2X5 = 5 + X1 - X2

x1 = 1 - x3/3 + x5/3x2 = 6 - x3/3 - 2 x5/3x4 = 4 - 2 x3/3 - X5/3

X1 = 5 - X3 - X4X2 = -2 + X3 + 2 X4X5 = 12 - 2 X3 - 3 X4

X2 = 8 - 2 X1 - X3X4 = 5 - X1 - X3X5 = -3 + 3 X1 + X3

X1 =-1 + X4/2 + X5/2X2 = 4 + X4/2 - X5/2X3 = 6 - 3 X4/2 - X5/2

X2 = 5 + X1 - X5X3 = 3 - 3 X1 + X5X4 = 2 + 2 X1 - X5

X1 = 3 - X2 + X4X3 = 2 + X2 - 2 X4X5 = 2 - 2 X2 + X4

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A existência de soluções para o conjunto de restrições equivale a que a região admissível seja não vazia. Um problema em que nenhum vértice seja admissível é um problema sem solução.

Por exemplo, se nas restrições anteriores se trocarem o sinal das restrições R3 e R4, o novo sistema

R3’: 2X1 + X2 ≥ 8 R3’: 2X1 + X2 -X3 = 8

R4’: X1 + X2 ≤ 3 ou R4’: X1 + X2 +X4 = 3

R5: X1 - X2 ≥ -5 R5: X1 - X2 -X5 = -5

corresponde a um problema que é impossível e não tem qualquer solução.


37


2 X1 + X2 ≥ 8 X1 + X2 ≤ 3 X1 - X2 ≥ -5 X1 , X2 ≥ 0

2 X1 + X2 - X3 = 8 X1 + X2 + X4 = 3 X1 - X2 - X5 = -5

X2 = 0

X2

X1

X3 = 0

X5 = 0

X1 = 0

X4 = 0

X3 = - 8 + 2 X1 + X2X4 = 3 - X1 - X2X5 = 5 + X1 - X2

x1 = 1 + x3/3 + x5/3x2 = 6 + x3/3 - 2 x5/3x4 = -4 - 2 x3/3 + x5/3

X1 = 5 + X3 + X4X2 = -2 - X3 - 2 X4X5 = 12 + 2 X3 + 3 X4

X2 = 8 - 2 X1 + X3X4 = -5 + X1 - X3X5 = -3 + 3 X1 - X3

X1 = -1 - X4/2 + X5/2X2 = 4 - X4/2 - X5/2X3 = -6 - 3 X4/2 + X5/2

X2 = 5 + X1 - X5X3 = -3 + 3 X1 - X5X4 = -2 - 2 X1 + X5

X1 = 3 - X2 - X4X3 = -2 - X2 - 2 X4X5 = 2 - 2 X2 - X4

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Para avaliar a satisfazibilidade de um problema basta pois verificar que pelo menos um dos potenciais vértices corresponde a uma solução.

Mas isso corresponde a colocar o sistema de restrições na forma SF0. Por exemplo, o vértice admissível

X1 = 1 - X3/3 + X5/3

X2 = 6 - X3/3 - 2 X5/3

X4 = 4 - 2 X3/3 - X5/3

Corresponde à reescrita na forma SF0 do sistema inicial

2 X1 + X2 ≥ 8 2 X1 + X2 - X3 = 8

X1 + X2 ≤ 3 ou X1 + X2 + X4 = 3

X1 - X2 ≥ -5 X1 - X2 - X5 = -5

Passagem para a Forma Resolvida SF0

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Para colocar um sistema de m restrições de igualdade a m+n variáveis (possivelmente proveniente de um sistema de m restrições de desigualdade ≤ ou ≥ ) na forma SF0, basta pois

1. Escolher m variáveis como variáveis básicas

2. Reescrever o sistema nessa base

3. Verificar se os coeficentes livres (valor das variáveis básicas quando as não básicas se anulam) são não negativos

O problema desta abordagem é a existência de um número muito elevado (combinações de m+n, n a n, ) de possibilidades de escolha da base.

A escolha é trivial no caso em que todas as restrições são do tipo

ai1 X1 +...+ ain Xn ≤ bi com bi >= 0

em que as variáveis não básicas são as de decisão (X1 a Xn) já que a solução Xi = 0 ( 1 i n) é admissível (pois 0 bi).


m+n

mC

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Conversão em SF0 - Simplex

No caso mais geral em que as restrições são do tipo ou coloca-se aquestão de garantir a passagem eficiente de um conjunto de restrições lineares sobre variáveis não negativas para uma forma resolvida SF0, se existir, sem escolha arbitrária dos vértices (variáveis básicas).

Por outro lado, se se pretender a integração dum resolvedor de restrições simbólicos num sistema de programação em lógica (CLP) esse resolvedor deve ser incremental.

Há pois que definir um procedimento eficiente e incremental para efectuar essa transformação.

Na prática, há que definir uma estratégia para escolher eficientemente as variáveis básicas e as não básicas.

Uma solução possível, geralmente utilizada, é esencialmente baseada no algoritmo SIMPLEX.

41

Há pois que definir uma estratégia para determinar quais as variáveis que devem entrar na base.

Essa estratégia é fácil de entender se se pretender não apenas verificar a satisfação de um conjunto de restrições, mas ainda a optimização de uma função objectivo, que tal como as restrições seja linear.

Assim, assumamos que, dado um conjunto de m restrições de igualdade nas variáveis X1 a Xm+n,, já colocado na forma SF0, se pretende adicionalmente maximizar (o caso da minimização é semelhante) uma função

max F = c1 X1 + c2 X2 + ... + Cm+n Xm+n

Optimização em SF0

42

max F = c1 X1 + c2 X2 + ... + Cm+n Xm+n

Sem perda de generalidade, consideremos que as primeiras m variáveis X1 a Xm são as variáveis básicas, isto é, que as restrições foram reescritas na forma SF0

X1 = d1+ c11 Xm+1 +...+ c1n Xm+n

...

Xm = dm+ cm1 Xm+1 +...+ cmn Xm+n

Substituindo na função F as variáveis básicas pelas suas expressões nas não básicas obtemos

max F = k + k1 Xm+1 + k2 Xm+2 + ... + kn Xm+n


43


Esta expressão mostra que no vértice definido pelas variáveis básicas (com as não-básicas nulas) a função a maximizar tem o valor k.

Mostra ainda que, se todos os coeficientes ki forem negativos, não se pode obter maiores valores de F.

No caso de haver coeficientes ki positivos, um aumento da variável correspondente aumenta o valor da função F.

Quanto maior o coeficiente, maior o aumento da função objectivo por aumento unitário da variável.


44


Numa perspectiva de optimização, dada uma certa base admissível, para a qual existam valores ki positivos, o valor da função objectivo pode ser melhorado (ser maior que k) tornando positiva as correspondentes variáveis não básicas.

Mas para mantermos o sistema na forma SF0, se se “desanula” uma variável não-básica, essa situação deverá ser compensada anulando uma das variáveis básicas.

Assim, a estratégia de optimização a seguir é a de, partindo de uma base admissível, proceder a um conjunto de mudanças de base até se poder reescrever a função objectivo com coeficientes exclusivamente não negativos.


45

Obviamente, uma mudança de base, envolve a escolha de

a) uma variável não básica para entrar na base, e

b) uma variável básica para sair da base,

A escolha da variável de entrada pode seguir a heurística delineada atrás:

A variável de entrada é aquela a que corresponde na função objectivo o coeficiente mais positivo (maximização) ou mais negativo (minimização).

Uma vez escolhida a variável de entrada, ela deverá aumentar tanto quanto possível. No entanto, na forma SF0 corrente, um aumento dessa variável poderá conduzir à diminuição das variáveis básicas.


46

Com efeito, tome-se a forma SF0 abaixo e, sem perda de generalidade, considere-se Xm+1 como variável de entrada.


suj. Xi = di + ci1 Xm+1 +...+ cin Xm+n i:1..m

Mantendo as outras variáveis não básicas nulas, as equações reescrevem-se como

Xi = di + ci1 Xm+1 i:1..m

Assim, sendo di ≥ 0, um aumento de Xm+1 anula as variáveis básicas (em que ci1< 0), quando tomar o valor di/|ci1|.

Como se pretende anular uma variável básica, mantendo as outras não negativas, a escolha da variável de saída recai na variável básica Xi para a qual seja menor o valor di/|ci1|.


47

Resumindo, a maximização da função objectivo de um sistema de m igualdades a m+n variáveis envolve a escrita do sistema e da função objectivo na forma SF0


suj. Xi = di+ ci1 Xm+1 +...+ cin Xm+n i:1..m

e a execução do seguinte algoritmo:

Enquanto a função objectivo tiver coeficientes positivos mudar a base escolhendo

• como variável de entrada a variável não básica Xj com coeficiente kj mais positivo na função objectivo

• como variável de saída a variável básica i com cij < 0 e menor valor di/|cij| na respectiva restrição


48

Do ponto de vista geométrico, e como visto atrás, cada forma SF0 corresponde a um vértice da região admissível.

Assim, ao trocar uma variável básica por outra não básica este algoritmo vai percorrendo vários vértices da região admissível, com valores crescentes da função objectivo.

Por apenas trocarem uma variável, dois vértices consecutivos estão unidos por uma aresta do hiper-poliedro que representa a região admissível.


49

Exemplo:


Max X1 + 2X2

R1: -X1 + 3X2 ≤ 9

R2: X1 + X2 ≤ 11

R3: 2X1 + X2 ≤ 18

X1 ,X2 ≥ 0

50

Exemplo:


Max X1 + 2X2

-X1 + 3X2 + X3 = 9

X1 + X2 + X4 = 11

2X1 + X2 + X5 = 18

X1 ,X2 ≥ 0

Max X1 + 2X2

X3 = 9 + X1 - 3X2 → 9/3

X4 = 11 - X1 - X2 → 11/1

X5 = 18 - 2X1 - X2 → 18/1

entra X2, sai X3

51

Max 6 + 5X1/3 - 2X3/3

X2 = 3 + X1/3 - X3/3 → 9

X4 = 8 - 4X1/3 + X3/3 → 6

X5 = 15 - 7X1/3 + X3/3 → 45/7

entra X1, sai X4

Exemplo.


Max X1 + 2X2

X3 = 9 + X1 - 3X2 → 9/3

X4 = 11 - X1 - X2 → 11/1

X5 = 18 - 2X1 - X2 → 18/1

entra X2, sai X3

52

Max 6 + 5X1/3 - 2X3/3

X2 = 3 + X1/3 - X3/3

X4 = 8 - 4X1/3 + X3/3

X5 = 15 - 7X1/3 + X3/3

entra X1, sai X4

Exemplo.


Max 16 - X3/4 - 5X4/4

X1 = 6 + X3/4 - 3X4/4

X2 = 5 + X3/12- X4/4

X5 = 1 -7X3/12+ 7X4/4

óptimo encontrado

53

Este algoritmo de optimização pressupõe que, no início, o conjunto de restrições foi reescrito na forma SFO, que era exactamente o objectivo que nos levou a abordar o problema da optimização!

Na realidade, como vimos, a colocação na forma SF0 não levanta qualquer problema quando as m restrições de igualdade a m+n variáveis provêm de um conjunto de m restrições de desigualdade

ai1 X1 + ai2 X2 + ... + ain Xn =< bi , bi ≥ 0 para i: 1..m

em que todos os bi são não negativos (basta escolher as variáveis X1 a Xn para variáveis não básicas, pois o seu anulamento satisfaz as restrições!).

A questão coloca-se pois numa situação em que, para algum i, existe uma restrição do tipo

ai1 X1 + ai2 X2 + ... + ain Xn >= bi , bi ≥ 0


54

Nestas condições, a restrição Ri pode colocar-se na forma

ai1 X1 + ai2 X2 + ... + ain Xn - Si = bi , bi ≥ 0

ou, equivalentemente

Si = -bi + ai1 X1 +...+ ain Xn

Pode agora introduzir-se uma variável artificial não negativa, Zi, na restrição, obtendo-se

Si - Zi = -bi + ai1 X1 +...+ ain Xn

O que permite escrever a equação na forma

Zi = bi + Si - ai1 X1 -...- ain Xn


55

Zi = bi + Si - ai1 X1 -...- ain Xn

Esta equação tem duas propriedades importantes

1. É equivalente à restrição inicial se fôr Zi = 0.

2. É satisfeita quando as variáveis de decisão, e a variável de desvio, são nulas.

Desta forma, se uma solução admissível do sistema modificado é uma solução do sistema inicial se Zi = 0, tudo o que é necessário fazer é, converter o sistema modificado, num outro equivalente, mas com Zi = 0.

Na prática, sendo Zi não negativo, este objectivo corresponde a minimizar Zi, ou, equivalentemente, maximizar – Zi.

Este procedimento pode naturalmente ser generalizado.


56

Dado um conjunto m de restrições de igualdade a m+n variáveis, a passagem à forma SF0 pode fazer-se nos seguintes passos

1. Escolhem-se m variáveis para variáveis básicas, e reescreve-se o sistema isolando as variáveis básicas

Xi = bi+ ci1 Xm+1 +...+ cin Xm+n

2. Se todos os bi forem não negativos, o sistema está na forma SFO. Caso contrário, introduzem-se variáveis artificiais nas restrições adequadas, reescrevendo-as em

Zi = - di+ ci1 Xm+1 +...+ cin Xm+n - Xi

3. Finalmente minimiza-se a soma das variáveis artificiais.

Naturalmente, se o mínimo fôr 0, no ponto de mínimo todas as variáveis artificiais são nulas. Neste caso, e em princípio, estas variáveis serão não básicas no sistema obtido e poderão ser simplesmente eliminadas do sistema.


57

Ao introduzir-se uma variável artificial introduz-se uma nova dimensão no problema.

– Por exemplo, se o problema inicial tinha duas dimensões, X e Y, pode considerar-se a nova variável como a 3ª dimensão, Z.

O problema inicial, pode considerar-se a intersecção do problema estendido com o espaço inicial.

– Por exemplo, em 2D, o problema inicial é a intersecção do problema estendido (3D) com o plano X-Y.

Embora para o problema inicial Xi=0 não seja solução, no problema estendido, o ponto Xi=0 , Z > 0 é uma solução.

A minimização de Z vai induzir um percurso no hiper-poliedro até atingir o espaço inicial (em 2D, o plano X-Y).


58

Exemplo.


-X1 + 3X2 + X3 = 9

X1 + X2 + X4 = 11

2X1 + X2 + X5 = 18

X1 + 2X2 - X6 = 12

-X1 + 3X2 ≤ 9

X1 + X2 ≤ 11

2X1 + X2 ≤ 18

X1 + 2X2 ≥ 12

Xi ≥ 0

X3 = 9 + X1 - 3X2

X4 = 11 - X1 - X2

X5 = 18 -2X1 - X2

X6 = -12 + X1 + 2X2

59

Exemplo


min Z1 = 12 - X1 - 2X2 + X6

X3 = 9 + X1 - 3X2

X4 = 11 - X1 - X2

X5 = 18 -2X1 - X2

Z1 = 12 - X1 - 2X2 + X6

X3 = 9 + X1 - 3X2

X4 = 11 - X1 - X2

X5 = 18 -2X1 - X2

X6 = -12 + X1 + 2X2 + Z1

Projecção no plano X1-X2 do ponto <X1, X2, Z1> = <0, 0, 12>

60

Exemplo


min 6 - 7X1/3 - 2X3 /3 + X6

X2 = 3 + X1/3 - X3/3

X4 = 8 - 4X1/3 + X3

X5 = 15 - 7X1/3 + X3/3

Z1 = 6 - 8X1/3 + 2X3/3 + X6

min Z1 = 12 - X1 - 2X2 + X6

X3 = 9 + X1 - 3X2

X4 = 11 - X1 - X2

X5 = 18 -2X1 - X2

Z1 = 12 - X1 - 2X2 + X6

Projecção no plano X1-X2 do ponto <X1, X2, Z1> = <0, 3, 6>

61

Exemplo


min Z1

X1 = 18/5 + 2X3/5 + 3X6/6 -3Z1/5

X2 = 21/5 - X3/5 + X6/5 - Z1/5

X4 = 16/5 - X3/5 - 4X6/5 +4Z1/5

X5 = 33/5 - 3X3/5 - 7X6/5 +7Z1/5

min 6 - 7X1/3 - 2X3 /3 + X6

X2 = 3 + X1/3 - X3/3

X4 = 8 - 4X1/3 + X3

X5 = 15 - 7X1/3 + X3/3

Z1 = 6 - 8X1/3 + 2X3/3 + X6

18/5

21/5

O ponto <18/5, 21/5, 0> já está no plano X1-X2

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1 Restrições Lineares sobre os Reais/Racionais Muitos problemas podem ser modelados através de restrições sobre variáveis que, para todos os efeitos práticos,