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SECRETARIA DE ESTADO DA EDUCAÇÃO DO PARANÁ
SECRETARIA DE ESTADO DA CIÊNCIA, TECNOLOGIA E ENSINO SUPERIOR
PROGRAMA DE DESENVOLVIMENTO EDUCACIONAL – PDE
UNIVERSIDADE ESTADUAL DE PONTA GROSSA
LUDOVICO MAIOR
UNIDADE DIDÁTICA
ANÁLISE COMBINATÓRIA, ESPORTES E CONHECIMENTOS EM AÇÃO
PONTA GROSSA
2008
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LUDOVICO MAIOR
UNIDADE DIDÁTICA
ANÁLISE COMBINATÓRIA, ESPORTES E CONHECIMENTOS EM AÇÃO
Unidade Didática apresentada como requisito de avaliação parcial referente ao Programa de Desenvolvimento Educacional – PDE. Universidade Estadual de Ponta Grossa Orientador: Prof. Ms. José Trobia
PONTA GROSSA
2008
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SUMÁRIO
UNIDADE DIDÁTICA ...........................................................................................4
ANÁLISE COMBINATÓRIA, ESPORTES E CONHECIMENTOS EM AÇÃO. .....4
FALANDO SOBRE FUTEBOL .............................................................................4
ANÁLISE COMBINATÓRIA .................................................................................8
PRINCÍPIO MULTIPLICATIVO ............................................................................8
ATIVIDADES EM GRUPOS...............................................................................11
PRINCÍPIO ADITIVO..........................................................................................13
RESOLVA OS SEGUINTES PROBLEMAS .......................................................14
PERMUTAÇÕES SIMPLES...............................................................................15
PERMUTAÇÃO COM REPETIÇÃO...................................................................16
ATIVIDADES......................................................................................................17
ARRANJOS SIMPLES .......................................................................................18
RESOLVA OS PROBLEMAS COMO ACHAR MELHOR...................................20
COMBINAÇÕES SIMPLES................................................................................21
ATIVIDADES......................................................................................................23
ATIVIDADES COMPLEMENTARES..................................................................24
REFERENCIAS..................................................................................................27
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UNIDADE DIDÁTICA
ANÁLISE COMBINATÓRIA, ESPORTES E CONHECIMENTOS EM A ÇÃO.
FALANDO SOBRE FUTEBOL
Não se tem muita certeza com relação a local e data da origem do futebol.
Historiadores descobriram vestígios de jogos de bola em várias culturas antigas. A
mais remota que se tem registro é da China Antiga, por volta do ano 3000 a.C, onde
os militares chineses, praticavam um jogo, onde na verdade era um treino militar.
Após as guerras formavam equipes para chutar a cabeça dos soldados inimigos.
Mais tarde as cabeças dos soldados inimigos foram sendo substituídas por bolas de
couro revestidas com cabelo. Cada equipe era composta por oito jogadores e tinham
que passar a bola de pé em pé sem deixar cair no chão para passar por entre duas
estacas ligadas por um fio de cera.
No Japão Antigo foi criado o kemari, um esporte parecido com o futebol, que
era jogado num campo retangular de 200 m2 aproximadamente. A bola era feita de
fibra se bambu (oito jogadores para cada equipe).
Na Grécia por volta do I século a.C surgiu o Episkiros, que era jogado por
militares com equipes de nove jogadores cada. Em Esparta as equipes eram
compostas por 15 jogadores e o campo onde eram realizadas as partidas eram de
dimensões maiores. As bolas eram feitas de bexiga de boi, cheias de terra ou areia.
Na idade média surge o Soule ou Harpastum, esporte praticado com muita
violência, onde eram permitidos socos, pontapés, rasteiras e outros golpes violentos.
As equipes eram formadas por 27 jogadores divididos nas funções de: corredores,
dianteiros, sacadores e guarda-redes. Na Itália esse jogo foi denominado gioco del
cálcio e era praticado nas praças, também com 27 jogadores em cada equipe e
consistia em conduzir a bola até os cantos extremos da praça fazendo passar por
entre dois postes. Por ser muito violento e ter até levado a morte alguns jogadores,
foi proibido por Eduardo II, mas não terminou, apenas foi criada uma nova versão,
onde não era permitida a violência.
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Por volta do século XVII o gioco del cálcio, chegou a Inglaterra, sendo
totalmente reorganizado. O jogo passou a ter regras diferentes, sendo
sistematizado. Deveria ser jogado em campos de forma retangular, medindo 120
metros de largura por 180 metros de comprimento e nas duas pontas seriam
instalados dois arcos retangulares chamados de gol. A bola era de couro e enchida
de ar. Com regras claras e objetivas aos poucos foi se popularizando. Em 1848 em
Cambridge estabeleceu-se um único código de regras para o futebol. No ano de
1871 foi criada a figura do guarda-redes, o goleiro. Em 1875 estabeleceu-se o tempo
de noventa minutos de duração de cada partida, em 1891 o pênalti e o impedimento
em 1907.
Bola de futebol: final do século XIX Fonte: http://www.suapesquisa.com/futebol/
O futebol profissional foi iniciado em 1885, sendo difundido para fora da
Europa a partir de 1897 por numa equipe inglesa de futebol, chamada Corinthians,
que fez uma excursão por diversas partes do mundo. No ano de 1904, foi criada a
FIFA (Fédération Internationale de Footbaal Association), que hoje organiza o
futebol no mundo: Copa do mundo, Libertadores da América, Copa da UEFA, Liga
dos campeões da Europa, entre outros.
O precursor do futebol no Brasil foi o paulistano Charles Miller, que aos nove
anos de idade, viajou para a Inglaterra para estudar, e quando regressou ao Brasil
em 1894, trouxe na sua bagagem uma bola de futebol e um conjunto de regras. Em
1902 foi realizado o primeiro campeonato de futebol no Brasil, que foi na verdade um
campeonato paulista por ser disputado apenas por equipes do Estado de São Paulo.
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O inglês Charles Miller: pai do futebol no Brasil
Fonte: http://www.suapesquisa.com/futebol/
As regras para o jogo de futebol no mundo inteiro são as mesmas, e não
poderia ser diferente, por existirem competições internacionais. Nos campeonatos
de futebol, a entidade que representa os clubes, juntamente com os clubes filiados é
que elaboram o regulamento das competições que diferem na forma de disputa,
podendo ser divididos em grupos, em que os melhores de cada grupo se classificam
para outra fase, pontos corridos, mata-mata, entre outras formas de disputa.
A Copa do Brasil é o único campeonato de futebol em que participam equipes
de todos os Estados e mais o Distrito Federal. No regulamento atual, um total de 64
equipes, sendo 54 vagas destinadas às equipes melhores classificadas nos
campeonatos Estaduais/DF, excluindo-se as 10 equipes que tem sua vaga garantida
pelo Ranking da CBF (Confederação Brasileira de Futebol). O campeonato se
desenvolve em seis fases em jogos eliminatórios, com partidas de ida e volta. Na
primeira e segunda fases, caso o clube visitante vença por dois ou mais gols de
diferença, estará automaticamente classificado, sem a necessidade da partida de
volta. Será campeã, a equipe que vencer todas as seis fases, garantindo o direito de
participar da Copa Libertadores no ano seguinte.
No campeonato brasileiro de futebol da primeira divisão a CBF utiliza a forma
de pontos corridos, na qual se sagra campeão ao final da competição, quando todas
as equipes tiverem jogado duas vezes contra todos os participantes, em jogos de ida
e volta, a equipe que somar maior número de pontos. Em caso de empate em
número de pontos, adotam-se critérios de desempate. Além de definir o campeão o
regulamento prevê que os quatro primeiros classificados, conquistam o direito de
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participar da copa libertadora da América no ano seguinte. Se entre os quatro
primeiros colocados estiver o campeão da copa do Brasil, abre uma quinta vaga,
visto que este já tem sua vaga assegurada, independente da posição que termine no
campeonato brasileiro. O regulamento também prevê que os quatro últimos
colocados serão rebaixados para a 2a divisão no ano seguinte.
Numa competição em que os quatro primeiros colocados se classificam, você
seria capaz de descobrir de quantas maneiras diferentes pode se dar a classificação
até o 4o lugar, com as quatro equipes classificadas?
Foi a necessidade de se fazer cálculos semelhantes a este, que levou os
matemáticos a desenvolverem estudos sobre Análise Combinatória, que é um ramo
da matemática que estuda os métodos de contagem.
O registro mais antigo sobre a Análise Combinatória data de 2200 anos atráz,
do século III a. C quando o matemático Arquimedes, escreveu um tratado chamado
“Stomachion”. Esse tratado ao longo do tempo foi se perdendo, por não ter sido
dado muita importância, somente um pequeno pedaço da introdução sobreviveu,
onde se encontra uma espécie de quebra-cabeça que consiste em descobrir de
quantas maneiras diferentes pode se formar um quadrado com 14 tiras de papel
irregulares.
Esse ramo da matemática voltou a despertar interesse, somente bem mais
tarde, durante o Renascimento, principalmente pelo interesse em calcular o número
de resultados possíveis em certos jogos de azar, como o baralho, dados e moedas.
Entre os matemáticos que mais se destacaram, está o matemático italiano Nicolo
Fontana (1499-1557), mais conhecido como Tartaglia (gago) que elaborou estudos
sobre resultados possíveis, na ocorrência de um fenômeno. Construiu uma tabela
com os resultados possíveis no lançamento de dois dados distintos, observadas as
faces voltadas para cima. No século seguinte o matemático francês Pierre de Fermat
(1601-1665) escreve a teoria das probabilidades, com base na análise combinatória,
ainda com interesses voltado a jogos e loterias, iniciando assim a sistematização
desse ramo da matemática. No mesmo período, também na França, surge outro
matemático, Blaise Pascal (1623-1662), o inventor da calculadora e do triângulo
aritmético ou triângulo de Pascal. A partir do século XVIII a análise combinatória
passou a ter interesse em outros ramos da matemática, como a álgebra, geometria e
a estatística. Atualmente a análise combinatória, é aplicada em muitas áreas do
conhecimento: nas competições esportivas, para se calcular o número de partidas,
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diferentes maneiras de poder montar uma equipe, possíveis ordens de classificação;
nos jogos de loterias é possível calcular o número de resultados possíveis em
sorteios como a mega sena, a tele mania e outros; no sistema de emplacamento de
veículos, onde se utiliza letras e números para identificar um veículo. Com o avanço
da tecnologia cada vez mais está sendo implantado o uso de senhas de acesso,
principalmente na internet e nos caixas eletrônicos.
ANÁLISE COMBINATÓRIA
A análise combinatória é fundamentada em dois princípios, o principio
multiplicativo e o principio aditivo, através dos quais, podemos determinar quantas
vezes, de modos diferentes, um acontecimento pode ocorrer.
PRINCÍPIO MULTIPLICATIVO
Observe a seguinte situação e tente responder você: A equipe de futebol do
Flamengo vai disputar três partidas numa semifinal do campeonato carioca. A
primeira contra o Botafogo, a segunda contra o Vasco e a terceira contra o
Fluminense. Considerando os jogos para o Flamengo, na ordem como as partidas
acontecem, de quantos modos diferentes poderá ser essa seqüência de resultados.
Considere apenas os resultados de vitória, empate ou derrota, sem considerar o
placar.
Para cada partida existem três resultados possíveis: vitória (V), empate (E) e
derrota (D). Então os resultados possíveis são:
V,V,V E,V,V D,V,V
V,V,E E,V,E D,V,E
V,V,D E,V,D D,V,D
V,E,V E,E,V D,E,V
V,E,E E,E,E D,E,E
V,E,D E,E,D D,E,D
V,D,V E,D,V D,D,V
V,D,E E,D,E D,D,E
V,D,D E,D,D D,D,D
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Vimos que são possíveis 27 resultados diferentes, porém nota-se que para
enumerar um a um todos os resultados possíveis foi necessária certa organização e
um período considerável de tempo para enumerá-los sem deixar de lado nenhum
resultado possível. Temos aí uma aplicação do princípio multiplicativo , onde
podemos calcular o número de diferentes resultados possíveis multiplicando-se o
número de possibilidades em cada situação, no caso acima, o número de resultados
possíveis em cada partida. Como o resultado de uma partida pode se repetir na
outra, para cada partida temos três resultados possíveis, vitória, empate ou derrota,
portanto:
• no de resultados possíveis na primeira partida é 3.
• no de resultados possíveis na segunda partida é 3.
• no de resultados possíveis na terceira partida é 3.
3 X 3 X 3 = 27 ou 33 = 27
Nos jogos Olímpicos, para cada modalidade esportiva, os melhores colocados
de cada competição são premiados com medalhas, até o terceiro lugar. O primeiro
colocado, recebe a medalha de ouro, o segundo a medalha de prata e o terceiro a
medalha de bronze. Agora responda você: De quantos modos diferentes poderá ser
a premiação de quatro seleções que disputam uma semifinal Olímpica.
Podemos organizar uma relação com todos os resultados possíveis, ou
analisarmos o que pode acontecer, observando a diferença com relação ao
problema anterior. No problema anterior o resultado das partidas poderia se repetir,
o que não acontece aqui nesta outra situação, pois quem ganha uma medalha não
pode nesta mesma competição ganhar outra.
Podemos atribuir nomes às equipes, ou usar letras para representar as
seleções: seleção A, seleção B, Seleção C e seleção D.
Se considerarmos um possível resultado, a equipe A como vencedora, ela
não pode aparecer novamente, como vice-campeã, ou em outra colocação. Nesta
situação temos quatro equipes que podem conquistar a medalha de ouro, para cada
equipe considerada como possível vencedora, existem três possibilidades para a
segunda colocação e para o terceiro lugar duas possibilidades. Sem haver
necessidade de enumerar todas as situações possíveis, vamos apenas verificar
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todos os resultados que podem ocorrer, utilizando o diagrama da árvore de
possibilidades, imaginando a equipe A como vencedora.
C A, com ouro; B, com prata e C, com bronze.
B
D A, com ouro; B, com prata e D, com bronze.
B A, com ouro; C, com prata e B, com bronze.
A C
D A, com ouro; C, com prata e D, com bronze.
C A, com ouro; D, com prata e C, com bronze.
D
B A, com ouro; D, com prata e B, com bronze.
Podemos observar, que para cada equipe considerada campeã pode
acontecer 6 classificações diferentes; como são quatro as equipes que disputam o
ouro, então são possíveis 24 resultados diferentes.
É possível também, usando o princípio multiplicativo, raciocinar da seguinte
maneira: Para cada equipe que eu considerar como vencedora tenho três
possibilidades para o segundo lugar, e para cada situação em que eu considere o
primeiro e o segundo lugar, tenho duas possibilidades para o terceiro lugar, ou seja:
4 X 3 X 2 = 24.
Se um acontecimento pode ocorrer de k 1 modos diferentes, um segundo
acontecimento pode ocorrer de k 2 modos diferentes, então o número de
resultados possíveis distintos é dado por: k 1. k2.
Podemos generalizar, para um número qualquer de acontecimentos.
Se acontecerem etapas sucessivas, o número de resu ltados possíveis
pode ser calculado por: k 1 . k2. k3 .....kn.
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ATIVIDADES EM GRUPOS 1) Quatro times disputam a semifinal do campeonato Paulista: Santos, Corinthians,
Palmeiras e São Paulo. De quantos modos diferentes podemos ter o campeão e
o vice?
2) Na etapa final de natação das Olimpíadas oito atletas disputam medalhas nas
raias da piscina Olímpica. De quantos modos diferentes poderá ser a premiação,
até o terceiro lugar, considerando, ouro, prata e bronze, conforme a ordem de
chegada?
3) Um hacker sabe que a senha de acesso a um arquivo secreto é uma seqüência
de quatro letras minúsculas, sendo duas do alfabeto grego: α e ω e duas do
alfabeto latino: a e z, seguido de um algarismo arábico que ele não sabe qual é.
Ele não sabe a seqüência das letras, sabe apenas que elas são distintas e que o
algarismo vem depois das letras. Com o objetivo de acessar esse arquivo, o
hacker programou o computador, para testar como senha, todas as seqüências
possíveis, obedecendo a condição acima. O computador vai testar essas
seqüências, demorando 6 segundos em cada tentativa. Qual o tempo máximo
que pode levar para que esse arquivo seja aberto?
4) Dispõem-se de 6 cores de tinta, sendo uma delas vermelha. De quantos modos
diferentes, podemos pintar o quadriculado abaixo, de modo que cada
quadradinho tenha uma só cor, que não haja dois quadradinhos na seqüência
com a mesma cor e que o último da direita seja vermelho, podendo-se repetir
uma ou mais cores tantas vezes quantas forem possíveis?
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5) Para identificar um carro e o seu proprietário, além do número do renavan e
outros dados do veículo o meio mais usado e prático é através das placas. As
placas nos últimos anos sofreram alteração, devido ao aumento no número de
veículos e porque os sistemas anteriores não mais podiam dar conta do total da
frota de veículos. Atualmente em nosso país cada estado da federação tem uma
seqüência de letras e números que podem ser usados para o emplacamento de
seus veículos novos. É uma seqüência de três letras maiúsculas, seguidos de
quatro dígitos, não podendo haver a seqüência 0000. Para cada estado existem
seqüências de letras que podem ser utilizadas e a numeração é comum em
todos os estados podendo variar de 0001 até 9999. O Estado do Paraná foi
quem iniciou o atual sistema de emplacamento, por isso as placas aqui no estado
vão a partir de AAA-0001 até BEZ-9999.
Fonte:http://images.google.com.br/images?hl=pt-q=placas+de+carros&btnG=Pesquisar+Imagens&gbv=2
a) Como podemos diferenciar uma placa de outra?
b) Porque foi necessária a mudança nos sistemas de emplacamento em nosso país?
c) Com o sistema atual de emplacamento, quantos carros podem ser emplacados no
Estado do Paraná?
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d) Se nos próximos anos a frota de veículos aumentar muito e o atual sistema não
mais for suficiente para atender a demanda, o que é mais viável, acrescentar um
dígito, ou uma letra? Por quê?
e) No Estado de São Paulo, onde temos a maior frota do país, a série inicial para o
emplacamento é BFA-0001 e pode ir até GKI-9999. Até quantos veículos podem
emplacados nesse estado com o atual sistema?
f) Qual a relação que tem a série final do Estado do Paraná com a série inicial do
Estado de São Paulo?
g) A série final para o Estado de São Paulo é GKI-9999 e a próxima série nessa
seqüência é do Estado de Minas Gerais. Qual é a série inicial do Estado de Minas?
PRINCÍPIO ADITIVO
Para viajar de São Paulo ao Rio de janeiro, um atleta tem três opções de
linhas de ônibus e duas linhas aéreas. De quantos modos diferentes esse atleta
pode ir de São Paulo ao Rio utilizando uma dessas opções?
Temos aqui uma situação um pouco diferente das outras anteriores. O atleta
pode fazer uma escolha entre as três linhas de ônibus ou optar por uma das duas
possibilidades de viagem aérea. Não é uma continuação em que tenha diferentes
possibilidades na seqüência, é uma única decisão que pode ser tomada de cinco
maneiras diferentes:
Uma das três linhas de ônibus
Escolher: ou 3 + 2 = 5
Uma das duas linhas aéreas
Ninguém pode fazer o mesmo trajeto simultaneamente de maneiras
diferentes, portanto, basta somarmos as possibilidades que o atleta tem de ir de
ônibus com as possibilidades que tem de ir de avião, aplicando assim o princípio
aditivo de contagem. Esta situação ocorre em uma única etapa e o total de
possibilidades é calculado através de uma soma, como o próprio nome sugere.
Analise você a seguinte situação:
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O professor de educação física vai escolher um monitor dentre os atletas que
vão participar de duas competições: basquete e futsal.
A equipe de basquete conta com dez atletas entre os titulares e reservas,
destes dez atletas três também fazem parte da equipe de futsal que perfazem um
total de nove atletas. Quantas opções têm esse professor para escolha do monitor?
Quando temos uma situação em que um mesmo elemento pertença a grupos
diferentes, temos que tomar o cuidado para não contarmos duas vezes o mesmo.
Neste caso somamos as possibilidades que ele tem de escolha entre os
atletas que jogam basquete com as possibilidades que tem entre os jogadores de
futsal, não esquecendo de subtrair o número de atletas que fazem parte das duas
equipes, pois foram contados duas vezes e são as mesmas pessoas.
Portanto temos: 10 + 9 – 3 = 16
Podemos também representar a situação através de diagramas: Sendo B, o
número total de atletas que jogam basquete, F o número total de atletas que jogam
futsal
B F
Portanto, o número de possibilidades de escolha é 16.
RESOLVA OS SEGUINTES PROBLEMAS
1) No início do ano letivo o professor de educação física passou duas listas aos
alunos de uma turma. Uma para inscrição no curso de futsal e outra para o curso
de futebol, podendo cada aluno fazer a opção por um ou pelos dois cursos, pois
as aulas seriam em dias diferentes. No final da aula o professor constatou que
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todos os alunos fizeram a inscrição em pelo menos um curso. O total de alunos
inscritos para o futsal foi 17 e o total para o futebol foi 30 e que 12 haviam feito a
inscrição nos dois cursos. Qual é o número de alunos desta turma?
2) Numa pesquisa realizada num colégio entre os alunos sobre dois programas de
TV, Malhação e Jornal Nacional , para saber qual era assistido por eles,
obtivemos os seguintes resultados, conforme tabela abaixo:
Malhação
458 alunos
Jornal Nacional
112 alunos
Ambos
62 alunos
Nenhum
36 alunos
Com base nesses dados calcule o número de alunos consultados.
PERMUTAÇÕES SIMPLES
Voltemos ao problema, quando falávamos sobre as diferentes maneiras que
pode ocorrer a classificação para quatro equipes que disputam uma semifinal de um
campeonato de futebol.
Podemos aqui aplicar o princípio multiplicativo, como das vezes anteriores,
pois temos quatro possibilidades para o primeiro lugar, para cada primeira colocação
considerada, temos três possibilidades para o segundo lugar, e para cada situação
que eu considere o primeiro e o segundo lugar, temos duas possibilidades para o
terceiro lugar, e se eu considerar os três primeiros , só resta uma possibilidade para
o quarto lugar.
4 X 3 X 2 X 1 = 24
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Aqui temos uma situação em que todas as classificações possíveis vão ter os
mesmos quatro times, simplesmente mudando a ordem. Agrupamentos como este
que são formados por seqüências em que cada uma delas vai ter os mesmos
elementos distintos, mudando somente a ordem são clamadas de Permutações
Simples . Permutar significa trocar, neste caso trocar a ordem da seqüência.
Para o cálculo de permutações simples podemos utilizar o fatorial de um
número. Observando o exemplo acima, o que é 4X3X2X1, senão o fatorial de 4?
Se chamarmos permutação de P, e o número de elementos que queremos
permutar de n, então;
Pn= n!
Portanto: P4 = 4!
PERMUTAÇÃO COM REPETIÇÃO
A professora de Química pretende fazer uma senha para usar em seu
computador usando as letras de seu nome numa ordem qualquer. A senha deve ter
cinco caracteres em letras minúsculas (a,l,a,n,a),pois são as letras que formam o
nome da professora : Alana . Quantas possibilidades diferentes terá a professora
para fazer sua senha nestas condições?
http://images.google.com.br/images?hl=pt-BR&q=Senhas&btnG=Pesquisar+imagens&gbv=2
Neste caso temos três caracteres iguais (três letras a). Com essas três letras
eu não posso fazer permutação, pois quando troco de posição entre si duas ou mais
letras iguais, a seqüência continua a mesma.
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Se eu calcular através do fatorial de cinco o número de permutações
possíveis, estarei considerando indevidamente as permutações com as letras a. Se
eu considero indevidamente, posso corrigir o meu ‘‘erro” desfazendo através da
operação inversa, ou seja dividindo pelo fatorial de três.
!3
!5= 20
Podemos generalizar esse raciocínio, para n elementos, supondo:
α elementos iguais a A
β elementos iguais a B
. . .
. . .
. . .
χ elementos iguais a M
Num total de α + β + ... + χ = n elementos.
O número de permutações distintas que podemos obter com esses elementos é:
Pnχβα ,...,, =
!!...!.
!
χβαn
ATIVIDADES Resolva os seguintes problemas
1) Para cadastrar os clientes uma empresa utiliza, 6 dígitos que são: 1, 2,3,4,5 e 6.
Não pode repetir dígito no mesmo código. Quantos códigos diferentes são
possíveis fazer nessas condições?
2) A diretoria de um clube é formada por três membros: presidente, secretário e
tesoureiro. Três candidatos disputam os cargos, tendo ficado decidido entre eles
que o mais votado será o presidente, o 2o lugar o secretário e o 3o lugar será o
tesoureiro. De quantos modos pode ser composta a diretoria não admitindo
empate na votação?
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3) Quantas senhas diferentes você poderá fazer utilizando todas as letras do seu
nome? (usando apenas letras minúsculas e se tiver letras repetidas, repetir
também na senha).
4) Com relação aos anagramas (seqüência de letras) da palavra FUTEBOL :
São anagramas da palavra FUTEBOL, por exemplo:
FTBLOEU, LEBOTUF, EUOLBTF, etc.
a) Qual é o total deles?
b) Quantos terminam por BOL?
c) Quantos começam por F e terminam por L?
d) Quantos têm as letras TE, juntas e nesta ordem?
e) Quantos têm as letras FU, juntas e em qualquer ordem?
5) Com os algarismos: 1, 2, 3, 4 e 5:
a) Quantos números de cinco algarismos distintos podemos escrever?
b) Quantos números de cinco algarismos distintos e divisíveis por três, podemos
escrever?
c) Quantos números pares de cinco algarismos distintos podemos escrever?
d) Quantos números maiores que 40000 podemos escrever, sem repetir
algarismo?
e) Quantos números maiores que 20000 e menores que 40000 podemos
escrever, sem repetir algarismo?
ARRANJOS SIMPLES
Com relação ao Campeonato Brasileiro de Futebol da primeira divisão em que
o regulamento atual (2009) estabelece a forma de disputa por pontos corridos, em
que cada time joga contra todos os demais participantes em dois turnos, com jogos
de ida e volta, ou seja, uma partida como mandante, na própria “casa” e outra como
visitante, na “casa” do adversário, qual será o número total de partidas desse
campeonato se vinte equipes participam dessa competição?
Podemos analisar da seguinte maneira: Cada equipe vai jogar contra as
outras 19, duas vezes, portanto cada equipe fará 38 jogos.
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Como são 20 equipes que participam do campeonato, e cada equipe joga 38
vezes, eu posso multiplicar o 20 por 38 e dividir o resultado por 2 (porque cada jogo
envolve duas equipes) e obter o número total de jogos.
(20 X 38): 2 = 380.
Uma outra maneira de descobrir o número total de partidas é calculando
inicialmente o número de jogos de cada rodada completa (todas as equipes jogam
uma vez cada). Como são 20 equipes, cada rodada terá 10 partidas e como são 38
rodadas, o número de partidas será 10 X 38 = 380.
Podemos aplicar aqui também o principio multiplicativo, pois cada time joga
19 partidas em “casa”, portanto:
20 X 19 = 380 (Se eu contar todos os jogos em “casa” de cada time eu conto
todos, uma vez cada).
Agrupamentos como esses em que a mudança de ordem dos elementos
forma um novo agrupamento, nós chamamos de Arranjos Simples . Nos jogos a
ordem dos nomes das equipes tem significado, conforme a colocação: Por exemplo:
Flamengo X Cruzeiro é diferente de Cruzeiro X Flamengo, o nome que fica à
esquerda de quem lê é o mandante da partida e joga a partida em “casa”, exceto
quando o clube sofre alguma punição e perde o mando de campo.
Arranjos são todos os agrupamentos de p elementos que podemos formar
com n elementos distintos, sendo p ≤ n, em que cada grupo formado vai diferenciar
dos outros, pela ordem ou pela natureza de seus elementos.
No problema acima nós temos: n = 20 e p = 2, ou seja, Arranjo de vinte
elementos tomados dois a dois (A20, 2)
Podemos também, com auxílio dos fatoriais apresentar uma fórmula para o
cálculo de arranjos simples.
An,1 = n
An,2 = n.( n -1 )
An,3 = n.( n -1 ) . (n – 2)
An,4 = n.( n -1) . (n – 2). (n – 3)
. .
. .
. .
An,p = n .( n – 1 ) . (n – 2). (n – 3)..... (n – p + 1)
20
Multiplicando o segundo membro da igualdade por )!(
)!(
pn
pn
−−
, encontramos a fórmula
do arranjo:
An,p = n . (n – 1). (n – 2). (n – 3).....( n – p + 1 ) . )!(
)!(
pn
pn
−−
An,p = )!(
!
pn
n
−
Retornando ao problema do número total de jogos do campeonato Brasileiro
de Futebol:
An,p = )!(
!
pn
n
− n = 20 e p = 2
A20,2 = )!220(
!20
− =
!18
!18.19.20= 20.19 = 380
RESOLVA OS PROBLEMAS COMO ACHAR MELHOR
1) Quatro times de futebol disputam um torneio, onde são atribuídos prêmios ao
campeão e ao vice-campeão. De quantos modos os prêmios podem ser
atribuídos?
2) Uma sala de aulas tem 50 lugares. De quantos modos 48 alunos podem sentar-
se? (Basta indicar os cálculos).
3) Uma família com quatro pessoas possui um automóvel de cinco lugares. De
quantos modos poderão se acomodar para uma viagem, se apenas uma pessoa
dirige? (Um lugar fica sempre vago)
4) Em um campeonato de automobilismo, os seis primeiros colocados em cada
corrida, recebem pontuações diferentes entre si. Se 20 carros participam de uma
21
corrida, qual é o número possível de maneiras diferentes de se distribuírem os
pontos?
5) Quantas senhas de quatro letras diferentes podem ser formadas com as cinco
vogais do nosso alfabeto?
6) Quatro homens e uma mulher estão numa sala de espera, onde há apenas
quatro lugares para sentar. De quantas maneiras diferentes os homens podem
se sentar, sem deixar a mulher em pé?
7) Uma linha ferroviária tem dezesseis estações. Quantos tipos de bilhetes devem
ser impressos, se cada bilhete deve registrar a estação de origem e a de
destino? (ida e volta)
COMBINAÇÕES SIMPLES
Com exceção de alguns indícios anteriores o estudo da análise combinatória
começou a se desenvolver com a intenção de se saber o número de resultados
possíveis nos chamados jogos de azar. Ainda hoje muitas pessoas fazem suas
apostas pensando em ficar rico, ou ao menos melhorar um pouco sua situação
econômica. O jogo mais procurado é a Mega Sena, que consiste em acertar seis
dezenas que são sorteadas entre sessenta dezenas de 01 até 60.
Para entendermos melhor este raciocínio combinatório, que ocorre com esse
jogo vamos imaginar um jogo semelhante ao da Mega Sena, mas apenas com cinco
dezenas, onde serão sorteadas apenas duas.
Tente você descobrir quantos resultados diferentes são possíveis.
Vamos considerar: 01, 02, 03, 04 e 05 como sendo as dezenas que podem
ser sorteadas.
• Se a primeira dezena sorteada for 01, a segunda poderá ser: 02, 03, 04 ou
05, então teríamos quatro resultados possíveis: 01 e 02; 01 e 03; 01 e 04 ou
01 e 05.
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• Se a primeira dezena sorteada for 02, a segunda poderá ser: 01, 03, 04 ou
05, então novamente temos quatro resultados possíveis: 02 e 01; 02 e 03; 02
e 04 ou 02 e 05.
• Se a primeira dezena sorteada for 03, a segunda poderá ser: 01, 02, 04 ou
05, então também teremos quatro resultados possíveis: 03 e 01; 03 e 02; 03 e
04 ou 03 e 05.
• Se a primeira dezena sorteada for 04, a segunda poderá ser: 01, 02, 03 ou
05, então também teremos quatro resultados possíveis: 04 e 01; 04 e 02; 04 e
03 ou 04 e 05.
• Finalmente se a primeira dezena sorteada for 05, a segunda poderá ser: 01,
02, 03 ou 04, tendo novamente quatro resultados possíveis: 05 e 01; 05 e 02;
05 e 03 ou 05 e 04.
Se você for analisar os resultados acima, vai constatar que para cada
resultado existe um outro na ordem inversa.
Por exemplo: para o 01 e 02 existe o 02 e 01 que é a permutação do primeiro;
para o 03 e 05 existe o 05 e 03 que também é permutação do anterior, assim
acontecendo com todos os resultados possíveis.
Para o resultado do sorteio não importa a ordem que as dezenas foram
sorteadas.
Como para este tipo de jogo não importa a ordem, as permutações não são
consideradas um possível resultado diferente. Seqüências como estas em que a
ordem não importa são chamadas de Combinação .
Para o cálculo do número de combinações possíveis podemos determinar o
número possível de arranjos, desconsiderando as permutações.
C5, 2 =2
2,5
P
A=
2
20 =10
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Generalizando, teremos o número de combinações simples de n elementos,
em grupos de p elemento cada, é igual ao número de arranjos de n elementos
tomados p a p, dividido por p! isto é:
Cn,p = !,
p
A pn = !
)!(
!
p
pn
n
−=
)!(!
!
pnp
n
−. Portanto teremos:
Cn,p= )!(!
!
pnp
n
−
Agora vamos voltar ao problema da Mega Sena. Se um apostador quiser ter a
certeza absoluta de ganhar na Mega Sena, quantas apostas diferentes com 6
dezenas em cada cartão deverá fazer?
Para determinarmos o número de apostas diferentes escolhendo 6 dezenas
dentre as 60 possíveis precisamos calcular, as combinações de 60 elementos
tomados 6 a 6.
Cn,p= )!(!
!
pnp
n
−
C60,6 = )!660(!6
!60
− =
!54!.6
!54.55.56.57.58.59.60 = 50063860
ATIVIDADES Resolva os problemas
1) Pesquise o modo de jogar na timemania e calcule quantas apostas diferentes um
apostador teria de fazer para ter a certeza de acertar os sete números que serão
sorteados, mais o time do coração?
2) Na Mega Sena, a aposta mínima é 6 dezenas, mas ao mesmo tempo que o
apostador concorre na sena, está também concorrendo na quina ( 5 dezenas ) e
na quadra (4 dezenas). Um apostador que faz uma aposta simples, com 6
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dezenas, de quantas maneira diferentes está concorrendo na quina? e na
quadra?
3) UFPe-RS - Para realizar um bingo beneficente, uma associação solicitou a
confecção de uma série completa de cartelas com 10 números cada uma, sem
repetição, sendo utilizados números de 1 a 15. Calcule quantas cartelas foram
confeccionadas.
B
I
N
G
O
2 x 6 x 7
8 3 x 1 x
x 4 14 9 13
4) Um professor pretende fazer a escolha de dois monitores em uma turma de 35
alunos. De quantos modos diferentes poderá fazer esta escolha?
5) Quantas diagonais tem um octógono? (Polígono de oito lados)
ATIVIDADES COMPLEMENTARES
1) O sudoku é um passatempo, que envolve raciocínio combinatório. Existem vários
formatos, mas o mais comum é o jogado numa grelha 9 X 9, onde cada linha,
coluna ou região deve conter todos os números de 1 até 9, não sendo permitida
a repetição de números. Os números que já estão na grelha, são pistas para
você descobrir os que estão faltando. Vê se consegue completar a grelha.
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2) Sobre uma circunferência marcam-se 7 pontos distintos. Calcule o número de
triângulos que podemos formar com vértices nos pontos marcados.
3) Dispondo de 8 jogadores, todos jogando em qualquer posição, de quantos
modos diferentes um técnico poderá escalar uma equipe com 6 jogadores?
4) Um código para leitura ótica é constituído por 16 barras, brancas e pretas.
Nenhum código tem barra só de uma cor. Quantos códigos distintos podem ser
formados?
5) (Fuvest-S. P) Participam de um torneio de futebol, 20 times distribuídos em 4
chaves de 5 times cada. Na primeira fase do torneio, os times jogam entre si uma
única vez (um único turno) todos contra todos em cada chave, sendo que os dois
melhores de cada chave passam para segunda fase. Na segunda fase, os jogos
são eliminatórios; depois de cada partida, apenas o vencedor permanece no
torneio. Quantas partidas serão necessárias para se apurar o campeão do
torneio?
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6) Imagine um saque num caixa eletrônico no valor de R$100,00. De quantas
formas diferentes a máquina pode efetuar o pagamento, admitindo que só
existam notas de R$5,00 e R$10,00?
7) Dois prêmios vão ser sorteados entre 10 pessoas. O primeiro prêmio, um carro e
em seguida uma bicicleta. De quantas maneiras diferentes poderá ser formada a
dupla de ganhadores, sabendo-se que o ganhador do carro não participa do
sorteio da bicicleta?
8) O setor de emergência de um hospital, conta para plantões noturnos, com três
pediatras, quatro clínicos gerais e cinco enfermeiros. As equipes de plantão
deverão ser constituídas por um pediatra, um clínico geral e dois enfermeiros.
a) Quantos pares distintos de enfermeiros podem ser formados?
b) Quantas equipes de plantão podem ser formadas?
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REFERENCIAS DANTE L. R. Didática da resolução de problemas de matemática . São Paulo: Ática, 2005. PARANÁ, SEED. Diretrizes curriculares de matemática para a educaç ão básica , Curitiba, 2006. GIOVANI J.R. e BONJORNO J.R. Matemática completa . São Paulo: FTD. 2005. OSBORNE A. e KASTEN M.B. Opiniões sobre a resolução de problemas no currículo para os anos 80: um relatório. In: A resolução de problemas na matemática escolar . São Paulo: Atual, 1996. POLYA, G. A arte de resolver problemas . Rio de Janeiro: Interciência, 2006. SMOLE K.S. E DINIZ M.i. Aprender matemática resolvendo problemas / Coordenado por Vânia Marincek-Porto Alegre: Artmed Editora 2001. Coordenação da série Zélia Cavalcanti. Centro de Estudos Escola da Vila
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