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SISTEMAS DE EQUAÇÕES
2
Sistemas de Equações Lineares
2.1 Definições Gerais
Forma Algébrica de um Sistema de Equações Lineares
com m equações e n incógnitas:
mnmnmm
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
2211
22222121
11212111
3
Sistemas de Equações Lineares
Forma Matricial:
Axb
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
21
22221
11211
nx
x
x
2
1
mb
b
b
2
1
.
Onde:
A matriz dos coeficientes;
x vetor das incógnitas (ou vetor solução); b vetor dos termos independentes.
4
Sistemas de Equações Lineares
Matriz Aumentada ou Matriz Completa do Sistema
B[ Ab]
mmnmm
n
n
baaa
baaa
baaa
21
222221
111211
.
5
Definições
Diz-se que um sistema de equações lineares é incompatível (ou sistema impossível – S.I.), se não admite nenhuma solução. Um sistema de equações lineares que admite uma única solução é chamado de compatível determinado (ou sistema possível determinado – S.P.D.). Se um sistema de equações lineares tem mais de uma solução (infinitas soluções) ele recebe o nome de compatível indeterminado (ou sistema possível indeterminado – S.P.I.)
6
7
Definições
Discutir um sistema de equações lineares S significa efetuar um estudo visando classificá-lo de acordo com as definições anteriores. Resolver um sistema de equações lineares significa determinar todas as suas soluções. O conjunto dessas soluções recebe o nome de conjunto solução do sistema.
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2.2 Interpretação Geométrica de Sistemas
de Equações 2x2 Nesta seção são apresentados três exemplos que ilustram a interpretação geométrica para a solução de sistemas de equações lineares de duas equações com duas incógnitas:
Exemplos
1. Resolver e interpretar geometricamente a solução do sistema:
63
52
yx
yx Solução: x = 3 e y = -2.
Como o sistema tem solução única, esta é representada pela intersecção das retas cujas equações gerais são: 52 yx e
63 yx .
9
Exemplo 1 (continuação)
10
Exemplo 2
Resolver e interpretar geometricamente a solução do sistema:
1536
52
yx
yx Solução: S.P.I.
y
yx2
5
2
1
Como o sistema tem infinitas soluções, estas são representadas pela intersecção das retas cujas equações gerais são: 52 yx e 1536 yx (retas coincidentes).
11
Exemplo 2 (continuação)
12
Exemplo 3
Resolver e interpretar geometricamente a solução do sistema:
1036
52
yx
yx Solução: S.I. (Sistema Impossível)
O sistema não tem solução. De fato, as retas cujas equações gerais são: 52 yx e 1036 yx são paralelas (não coincidentes).
13
Exemplo 3 (continuação)
14
Interpretação Geométrica de Sistemas de
Equações 3x3 Dado um sistema de equações com três equações com três incógnitas:
3233232131
2223222121
1313212111
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
cada equação representa um plano no espaço tridimensional. Desta forma os planos 1 , 2 e 3 são os planos definidos pelas equações do sistema. Assim, as soluções do referido sistema pertencem à interseção
321 desses planos.
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Interpretação Geométrica de Sistemas de
Equações 3x3 Se pelo menos dois desses planos são paralelos, ou se dois deles intersectam o terceiro segundo retas paralelas, a interseção
321 é vazia e o sistema é impossível. Se os três planos se intersectam em uma reta r, isto é, se
r 321 , o sistema é indeterminado e qualquer ponto da reta r é uma solução do sistema. O sistema é determinado (solução única), quando os três planos se encontram em um único ponto. Existem ao todo, oito posições relativas possíveis para os planos
1 , 2 e 3 . Quatro dessas posições correspondem aos sistemas impossíveis e nas outras quatro, o sistema tem solução.
16
Um sistema de equações não se altera, quando permutamos as posições de duas equações quaisquer
do sistema.
Exemplo: os sistemas de equações lineares
2x + 3y = 10 5x - 2y = 6
5x - 2y = 6 2x + 3y = 10
são obviamente equivalentes, ou seja, possuem o mesmo conjunto solução.
Observe que apenas mudamos a ordem de apresentação das equações.
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Um sistema de equações não se altera, quando multiplicamos ambos os membros de qualquer uma das
equações do sistema, por um número real não nulo.
Exemplo: os sistemas de equações lineares
3x + 2y - z = 5 3x + 2y - z = 5
2x + y + z = 7 2x + y + z = 7 x - 2y + 3z = 1 3x - 6y + 9z = 3
são obviamente equivalentes, pois a terceira equação foi
multiplicada membro a membro por 3.
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Um sistema de equações lineares não se altera, quando substituímos uma equação do sistema por sua soma com outra linha multiplicada por uma constante
diferente de zero.
Exemplo: os sistemas
15x - 3y = 22 15x - 3y = 22
5x + 2y = 32 -9y = -74
são obviamente equivalentes (ou seja, possuem o mesmo conjunto solução), pois a segunda equação foi substituída pela adição da primeira equação, com a segunda multiplicada por ( -3 ).
19
Método de Gauss
Método de Gauss consiste em fazer operações entre linhas deste sistema até chegarmos a um novo sistema (que terá a mesma solução que o inicial) com a forma triangular.
20
O Método de Gauss
Partindo do sistema S pode-se chegar a este sistema escalonado equivalente por meio de uma seqüência de operações elementares, que são as seguintes:
1) Trocar a ordem das equações do sistema;
2) Multiplicar uma equação por uma constante diferente de zero; 3) Substituir uma equação do sistema por sua soma com outra equação multiplicada por uma constante diferente de zero.
21
Vamos resolver, a título de exemplo, um sistema de equações lineares, pelo
método de Gauss
22
Discutir e resolver o sistema:
13
022
1
zyx
zyx
zyx
1113
0212
1111
133
122
3
2
LLL
LLL
2220
2030
1111
22 3
1LL
23
22203
2010
1111
233 2LLL
3
2200
3
2010
1111
cujo sistema equivalente é
3
22
3
21
z
y
zyx
24
Como o número de equações restantes é igual ao número de incógnitas, o sistema é possível e determinado (S.P.D.). Resolvendo este sistema de baixo para cima, obtemos:
3
1z ,
3
2y e finalmente 0x . Desta forma, a solução pode ser
dada pela única tripla ordenada:
3
1,
3
2,0,, zyx .
Método de Eliminação de Gauss-Jordan
Este método é uma complementação ao método de Gauss. Ele transforma o sistema dado em um outro diagonal, isto é, onde todos os elementos fora da diagonal são nulos. O método de Gauss exigia apenas que se chegasse à forma triangular.
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Veremos com o exemplo anterior como funciona o método de Gauss-Jordan.
3
22
3
2
1
z
y
zyx
32
321
200
010
111
27
32
321
200
010
111
31100
320103
1101
23
3
211
LL
LLL
31
32
0
:
31100
32010
0001
z
y
x
Logo
311 LLL