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1 Sistemas No-lineares 2006 Prof. Daniel J. Pagano daniel@das.ufsc.br Universidade Federal de Santa Catarina UFSC Departamento de Automao e Sistemas- DAS

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2 Objetivos do curso Introduzir os conceitos bsicos dos sistemas no lineares. Apresentar as principais tcnicas de anlise e projeto de controladores para sistemas no lineares. Colocar ao aluno frente problemtica de controle considerando as no linearidades presentes nas aplicaes prticas. Introduzir os princpios bsicos relacionados com o controle No Linear de processos assim como as principais ferramentas de anlise e projeto.

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3 Programao do curso Anlise de Sistemas No-lineares 1.Sistemas dinmicos no-lineares. Modelagem matemtica e principais no linearidades em sistemas de controle (saturao, zona morta, histerese, etc). Representao por variveis de estado. Espao de estados (plano de fase). 2.Anlise qualitativa de sistemas dinmicos. Atratores: equilbrios, ciclos limites e comportamento aperidico. Teorema da linearizao. Noo de Bifurcaes. 3.Sistemas lineares com restries na ao de controle. Anti- windup. Mtodos aproximados de anlise: mtodo da funo descritiva.

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4 Programao do curso (cont.) Controle de Sistemas No-lineares 4.Mtodos de sntese de controladores de sistemas no lineares: linearizao por realimentao, estrutura varivel (modos deslizantes). Aplicaes em eletrnica de potncia. Exemplos.

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5 Avaliao lista de exerccios trabalho Prova

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6 Bibliografia [1] L.H.A Monteiro. Sistemas Dinmicos No lineares. Ed. Livraria da Fsica. 2da Edio. 2006. * [2] Nonlinear Systems, Khalil, Prentice-Hall, 3rd edition. 2002.** [3] Castrucci, P. e R. Curti. Sistemas No Lineares. Vol. 2. Editora Edgard Blucher, 1981. [4] Slotine, J.J. and W. Li. Applied Nonlinear Control. Prentice Hall, 1991. [5] Ogata, K. Engenharia de Controle Moderno, Captulo 8, 2 nd Edition, Prentice-Hall, 1995. *, ** livros recomendados.

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7 Reviso Sistemas Lineares Definio: um sistema linear se Principio de superposio S u(t) y(t)=S(u) Representao por equaes diferenciais ordinrias (EDO) Ex. equao de 2 da ordem

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8 Representao por Funo de Transferncia(FT) Representao por Variveis de estado Trans. de Laplace Definindo Reviso Sistemas Lineares

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9 Representao por Variveis de estado onde Forma geral: Reviso Sistemas Lineares

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10 Diagrama de Espao de Estados Reviso Sistemas Lineares

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11 Conceito de Plos / Autovalores Plano complexo S Plos = razes da equao caracterstica Polinmio Denominador de G(s) zeros = razes do Polinmio numerador de G(s) ESTABILIDADEPlos de G(s) jj Estabilidade Reviso Sistemas Lineares

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12 Conceito de autovalores (a-valores) da matriz A a-valores de A definem a estabilidade do sistema Determinao dos a-valores de A Exemplo: onde Reviso Sistemas Lineares

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13 a-valores de A jj Implica que Estabilidade Sistema instvel Sistema estvel Caso especial a ser estudado Reviso Sistemas Lineares

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14 Noo de Equilbrio Sistemas Lineares Derivadas iguais a zero 1 nico equilbrio global estvel ou instvel No Existe outro comportamento dinmico Reviso Sistemas Lineares

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15 Seja o sistema Reviso Sistemas Lineares 1 nico equilbrio Estabilidade do equilbrio Soluo da equao Exemplo: caso unidimensional onde A matriz de dimenso n x n

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16 Reviso Sistemas Lineares Soluo da equao Exemplo: caso bidimensional (plano) A de dimenso 2x2 1 nico equilbrioEstabilidade do equilbrioSe ento Estvel

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17 Reviso Sistemas Lineares a-valores complexos conjugados a-valores reais - mesmo sinal N estvelN instvel Foco estvel Foco instvel

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18 Reviso Sistemas Lineares a-valores reais - sinais opostos a-valores imaginrios puros Centro Ponto de sela (instvel) Observao: Sistemas lineares no podem apresentar oscilaes isoladas, comportamentos peridicos assinto- ticamente estveis

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19 Sistema no linear Sistema Autnomo f(x) no depende de t explicitamente 1. Sistemas No-Lineares Exemplo: Soluo: x(t) que satisfaz Equao diferencial e condio inicial x 0 Condio inicial Ideal: obter expresses analticas da soluo - informao quantitativa Realidade: na maioria dos casos no possvel conformarmos com obter uma informao qualitativa

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20 1 nico Equilbrio (estvel ou instvel) 1. Sistemas No-Lineares Sistemas Lineares Sistemas No Lineares - Mltiplos Equilbrios - Oscilaes peridicas (ciclos limites) - Atratores estranhos (caticos)

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21 Pendulo simples 1. Sistemas No-Lineares L Diagrama de Espao de Estados equilbrios

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22 Oscilador de Van der Pol 1. Sistemas No-Lineares Equilbrio (foco instvel) Ciclo limite Estvel

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23 Atrator de Rossler 1. Sistemas No-Lineares

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24 2. Anlise qualitativa de sistemas dinmicos Exemplo: Equao logstica 1) Equilbrios 2) Estabilidade dos equilbrios (classificao) Para X(t) 1 0 t

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25 Linearizao: se df(x)/dx 0 ento as solues do sistema no linear nas proximidades (LOCALMENTE) do equilbrio, comportam-se como as do sistema Linear Desprezar termos de ordem superior Desenvolvimento serie de Taylor Aproximao linear Aproximao linear vlida 2. Anlise qualitativa de sistemas dinmicos

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26 Exemplo Para Soluo x 0 t Equilbrio t 0 =1/x 0 No podemos estudar o equilbrio a partir do sistema linearizado Como 2. Anlise qualitativa de sistemas dinmicos

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27 Exemplo Matriz da linearizao (Jacobiano) Equilbrios No posso concluir nada N assintoticamente estvel Ponto de sela (instvel) 2. Anlise qualitativa de sistemas dinmicos

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28 Caso Geral Jacobiano Sistema linearizado 2. Anlise qualitativa de sistemas dinmicos

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29 1. Sistema Pendulo simples 2. Sistema Oscilador 2. Anlise qualitativa de sistemas dinmicos Tarefa 1: determinar os equilbrios dos seguintes sistemas e classific-los segundo a sua estabilidade 3. Sistema (pag. 267 do livro do Monteiro) com

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30 Principais funes (estticas) no lineares na engenharia Saturao Rel Quantizador Histerese Zona morta 3. Mtodo da Funo Descritiva Necessidade de ter um mtodo prtico embora aproximado para a deteco de ciclos limites

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31 u(t) y(t)= (u) Coeficientes de Fourier Serie de Fourier 3. Mtodo da Funo Descritiva

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32 Se consideramos somente a aproximao de 1 ra ordem (componente fundamental) da serie de Fourier Se (u) uma funo impar (-u) = -(u)A k =0 k=1 Ou na aprox. de 1 ra ordem Em geral C 0 =0

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33 Qual a relao entre os sinais u(t) e y(t) ? A relao de amplitudes dos sinais de entrada e de sada denominada de funo descritiva de (u) Ganho No Linear equivalente

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34 Exemplo 1: Determinar a funo descritiva da no linearidade liga- desliga (rel) M - M u y 0 a N(a) 0

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35 Exemplo 2: Determinar a funo descritiva da Saturao M - M u y 0 M/h a N(a) 0 h

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36 Deteco de ciclos limites y(t) r(t) e(t) u a (t) + P(s) N(a) u(t) C(s)

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37 Deteco de ciclos limites A interseo entre permite obter de um possvel ciclo limite G(j) -1/N(a) G(0) =0 oo Condio

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38 Exemplos Exemplo 1: Sistema com saturao Umax=1 Umin= -1

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39 Exemplo 2: Sistema com saturao Umax=0.4 Umin= -0.4

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40 Exemplo 3: Sistema com saturaoUmax=1 Umin= -1

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41 Exemplo 2: Sistema com saturao Exemplo 3: Sistema com saturao

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42 Exemplo 4: Sistema com saturao Umax=0.1 Umin= -0.1

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43 Exemplo 4: Sistema com saturao

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44 Exemplo 4: Sistema com Filtro

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45 Exemplo 5: Sistema com servo vlvula y(t) r(t) e(t) (X 3 ) 2 + G(s) u(t) C(s) 1/s Servo vlvula X3X3 X3X3 (X 3 ) 2 Caracterstica vlvula

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46 Equilbrios

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47 Ramo equilbrios estveis Colapso do Ciclo limite estvel com o equilbrio instvel Espao de estados Ciclo limite estvel Ramo equilbrios instveis

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48 4. Mtodo de Lyapunov

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49 5. Controle de Sistemas No Lineares Mtodos de sntese de controladores de sistemas no lineares: - linearizao por realimentao - estrutura varivel (modos deslizantes)

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50 8. Aplicaes em eletrnica de potncia Circuitos de Eletrnica de potencia so sistemas no lineares - Interruptores (Mosfet, IGBT, tiristores, etc.) - Diodos -Topologia do circuito - Cargas Devem ser modelados por equaes de estado Controle no linear + apropriado

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51 Fluxograma de modelagem e projeto

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52 Modelagem do conversor Boost

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53 Definindo Modelo Instantneo Boost Modelo por variveis de estado Boost com

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54 Equilbrios 15 0 10 0 50 2 4 68 10 X2X2 X1X1 0 0 E = cte B A para R=200 para R=40 X 2A =X 2B X 1B X 1A

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55 A curva de equilbrios do sistema (Boost) depende de R, E Todos os possveis pontos de equilbrio esto sobre essa curva Dinmica para q=0 e q=1

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56 MODELO PELA MDIA (AVERAGED) DO BOOST Razo cclica mdia Valor mdio da tenso de sada Valor mdio da corrente no indutor onde q(t) peridica de perodo T

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57 Modelo por valores mdios Sob certas condies: V 0 (t) e i L (t) (valores instantneos) no se desviem significativamente dos valores mdio no intervalo [ t - T, T ]

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58 Modelo por valores mdios

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59 Equilbrios para o Modelo por valores mdios Observao 0 < d(t) < 1 Limitao (restrio) sobre a ao de controle Razo cclica mdia

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60 Controle do Boost a) Diretrizes para o projeto de controladores em Eletrnica de Potncia Funcionamento do dispositivo Consideraes sobre o modo de conduo Consideraes sobre rudo audvel Condies de operao Flutuaes nas fontes de alimentao Perturbaes de carga Especificaes de desempenho Regime permanente / Regime transitrio / Robustez Limitaes sobre as variveis de controle Saturao / Limitao de taxa / Natureza das variveis

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61 Controle do Boost b) Caractersticas intrnsecas que influenciam o controle q 1 0 Natureza discreta das variveis de controle Saturao do controle

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62 Controle do Boost c) O problema da rejeio de perturbao Variao de R Variao de E Objetivos de controle: Manter tenso regulada ao integral Reduzir comportamento transitrio

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63 Controle do boost

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64 Controle do Boost

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65 Controle do Boost

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66 Controle do Boost