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1º Unidade

Capítulo I

Conjuntos_______________________________________________________________________3

Capítulo IIFunção_________________________________________________________________________13

Capítulo IIIFunção Afim e Sistema_____________________________________________________________23

Capítulo IVFunção Quadrática________________________________________________________________33

Capítulo VFunção Exponencial_______________________________________________________________38

Questões do ENEM e Vestibulares__________________________________________________43

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Organização: Apoio:

Durante todo o seu estudo de Matemática, ao longo desse curso, você terá a oportunidade de perceber que a Matemática exige uma forma bem específica de se expressar. É a chamada linguagem Matemática, que causa tantos apuros a alguns alunos mais desavisados. Essa linguagem Matemática nada mais é que a tradução da língua portuguesa escrita em “matematiquês”, novo idioma que aprenderemos a partir dessa unidade. Você terá a oportunidade de perceber que esse novo idioma é mais fácil do que se imagina pois apenas utilizaremos letras e símbolos para denotar palavras ou expressões que seriam explicitadas literalmente se não fosse a Matemática. Portanto, bons estudos e não deixe de fazer as questões do ENEM e vestibulares a fim de fixar tudo o que você aprendeu.

Conjuntos

Iniciaremos nosso estudo com algumas noções da Teoria dos Conjuntos aprendendo alguns símbolos que nos ajudarão a nos expressar na linguagem Matemática.

Primeiramente devemos ter a real noção de conjunto. Pode-se dizer que um conjunto pode ser considerado como qualquer coleção de objetos, apresentados ou caracterizados pela enumeração ou por uma propriedade que apresentem. Cada um desses objetos é chamado elemento do conjunto e é bem determinado, distinto dos outros, e satisfaz às condições do conjunto.

Por exemplo, podemos enumerar o conjunto dos países da América do Norte, o conjunto dos móveis em uma sala de estar, ou o conjunto das vogais. Para isso representaremos um conjunto por uma letra maiúscula qualquer, que será o seu nome (da mesma forma como nossos pais fazem quando nascemos: nos dão um nome) sendo seus elementos com letras minúsculas separados por vírgulas e colocados entre chaves.

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Capítulo I

Assim:

P = {Estados Unidos, Canadá}, lê-se: conjunto P cujos elementos são os países da América do Norte;

M = {sofá, mesa, cadeira, televisão, aparelho de som, aparelho de DVD}, lê-se: conjunto M cujos elementos são os objetos em uma sala de estar;

V = {a, e, i, o, u}, lê-se: conjunto das vogais cujos elementos são as vogais do alfabeto português.

Podemos dizer que esses elementos que fazem parte desses conjuntos, pertencem ao conjunto que determinam. Daí podemos dizer que televisão pertence ao conjunto dos objetos em uma sala de estar, cama não pertence a esse conjunto.

Quando queremos indicar que um elemento k pertence a um conjunto P, escrevemos:

k ∈ P (lê-se: k pertence a P)

Se k não for elemento de P, escrevemos:

k ∉ P (lê-se: k não pertence a P)

Podemos também representar um conjunto por uma figura geométrica e os elementos do conjunto por pontos no interior da figura. Essa representação é conhecida como diagrama de Venn.

Por exemplo, o conjunto V das vogais é formado por:

Por exemplo, no conjunto formado pelas letras da palavra Banana:

B = {b, a, n} e não B = {b, a, n, a, n,a}.

O conjunto das letras da palavra amapá:

A = {a, m, p}

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a .u .

e .

i .

o .

V

Na representação do conjunto de letras de uma determinada palavra, não se escreve uma mesma letra duas vezes, ou seja, não se repetem letras. E esse conceito ainda pode ser estendido a qualquer tipo de conjunto em que não repetimos nenhum elemento ao representar esse conjunto.

Capítulo I

Determinação

Um conjunto pode ser determinado de três modos: por enumeração, por extensão ou por compreensão.

Enumeração - É quando mencionamos todos os elementos de um conjunto. Por exemplo:

O conjunto das notas musicais

M = {dó, ré, mi, fá, sol, lá, si}

Extensão - É quando não enumeramos todos os elementos de um conjunto, mas apenas citamos alguns, recorrendo às reticências para representar os outros e citamos, ou não, o último elemento. Por exemplo:

O conjunto das letras do alfabeto português:

P = {a, b, c, d, e, ....., z}

O conjunto dos números ímpares positivos:

I = {1, 3, 5, 7, 9, …}

Compreensão - é quando enunciamos ou citamos uma propriedade característica que todos os elementos possuem, e somente eles. Esse tipo de determinação tem uma notação própria.

Se o conjunto A dos elementos x tem uma propriedade P, vamos indicá-lo pela notação:

A = {x / x é P}, lê-se: conjunto A constituído dos elementos “x” tal que “x” satisfaz à propriedade “P”.

Assim, se quisermos denotar o conjunto dos números pares representamos por P = {x / x é par}.

Vimos que os conjuntos podem ser definidos por três maneiras: enumeração, extensão ou compreensão. Façamos agora, a representação de um mesmo conjunto dessas três formas.

Por exemplo, seja o conjunto das consoantes. Vamos defini-lo por enumeração, extensão e compreensão.

5

O conjunto das letras do alfabeto é um conjunto finito, ou seja, tem um fim, diferentemente do conjunto dos ímpares positivos que é um conjunto infinito.

Capítulo I

C = {b, c, d, f, g, h, j, k, l, m, n, p, q, r, s, t, v, w, x, y, z} por enumeração.

C = {b, c, d, f, ..., z} definido por extensão.

C = {x / x é consoante} por compreensão.

Igualdade

Dois conjuntos são iguais quando tem os mesmo elementos. Assim, se A = {x / x é letra da palavra banana}, ou seja, se A = {b, a, n, a, n, a} e B = {b, a, n}, temos: A = B.

Se A não for igual a B, escrevemos: A ≠ B (lê-se: A é diferente de B).

Relações e Operações

Relações

Para que consigamos entender as relações entre os conjuntos é importante que saibamos reconhecer todos os tipos de conjuntos existentes a fim de que possamos trabalhar perfeitamente com essas relações.

O universo que conhecemos hoje pode ser designado como a totalidade de planetas, estrelas, buracos negros e quaisquer outros corpos cósmicos encontrados no espaço sideral. Essa noção também pode ser aplicada a um conjunto, que recebe o nome de conjunto universo quando é formado pela totalidade dos elementos que estão sendo considerados, comumente representado pela letra U. Da mesma forma, quando um conjunto é constituído por apenas um elemento, ele é chamado conjunto unitário e quando ele não tem elemento algum, é chamado conjunto vazio, que pode ser denotado por duas formas: { } ou ∅ .

Por exemplo:

O conjunto formado pelos insetos providos de nove patas é um conjunto vazio.

O conjunto formado pelos satélites naturais da Terra é um conjunto unitário.

Subconjuntos

Um subconjunto é um conjunto que está contido em outro conjunto. Assim como o conjunto A = {e, i, o} que é um subconjunto do conjunto das vogais. Sendo assim, poderemos

6

Capítulo I

formar muitos outros subconjuntos a partir dele. Se um subconjunto está contido em um conjunto qualquer, podemos então dizer que esse conjunto contém aquele subconjunto. Analogamente, podemos pensar num copo com água, em que a água está contida no copo e o copo contém água. Para denotar essas relações utilizamos os símbolos para representar a expressão “está contido” e para representar a expressão “contém”, assim, se um conjunto A está contido ou é subconjunto de B dizemos que A B ou que B A, agora, se A não está contido em B dizemos que A ⊄ B ou que B ⊅ A (lê-se: B não contém A).

Vejamos um exemplo gráfico em que A é subconjunto de B:

A U

B U

A B

Observemos aqui que qualquer conjunto está contido em si mesmo, ou seja, A A, qualquer que seja A. Na comunidade Matemática é admitido que o conjunto vazio esteja contido em qualquer conjunto, portanto ∅ A, qualquer que seja A.

Operações Entre Conjuntos

Nessa parte do nosso estudo de conjuntos aprenderemos que eles também podem operar entre si. As operações básicas entre os conjuntos são: União, Interseção, Diferença e Complementação.

União - Dados dois conjuntos A e B, chamamos conjunto união, ou reunião de A e B, ao conjunto C dos elementos que pertencem ao conjunto A ou ao conjunto B.

Simbolizamos a união de A com B assim: C = A B. Por exemplo:

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Importante - Inicialmente, em nossos estudos da Teoria dos Conjuntos, vimos a relação entre elemento e conjunto em que usamos os símbolos ∈ e ∉, e essas relações recebem o nome de relação de pertinência. A partir daí, vimos a relação entre os conjuntos, que são as relações de inclusão (⊂, ⊃), exclusão (⊄, ⊅) e igualdade (≠, =).

U

6.7.

1.

15.

6.

8.2. 4

.

10.

Capítulo I

Se A = {1, 5, 6, 7, 8, 15} e B = {2, 4, 6, 7, 10}

Então A B = C = {1, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 15}

Graficamente, a representação desse conjunto união fica assim, em que C é a área em verde:

Interseção - Dados dois conjuntos A e B quaisquer, o conjunto interseção é o conjunto formado pelos elementos comuns de A e B, ou seja, é o conjunto C cujos elementos pertencem tanto ao conjunto A quanto ao conjunto B.

Simbolizamos a interseção de A com B assim:

C = A ∩ B.

Se A = {1, 5, 6, 7, 8, 15} e B = {2, 4, 6, 7, 10}

Então A ∩ B = C = {6, 7}

Graficamente, a representação desse conjunto interseção fica assim, em que C é a área roxa:

Diferença - Dados dois conjuntos A e B, chamamos conjunto diferença A – B ao conjunto C dos elementos de A que não pertencem a B e da mesma forma é chamado conjunto diferença de B – A ao conjunto D dos elementos de B que não pertencem a A.

Analogamente, podemos entender a diferença entre dois conjuntos da mesma forma que a diferença entre dois números. Por exemplo, 5 – 3 = 2 pode ser compreendido da seguinte forma: de cinco unidades retira-se três unidades e restam duas unidades. Em conjuntos, no exemplo A - B, de um conjunto A retira-se os elementos que também são de B e resta os elementos que pertencem apenas a A.

Por exemplo:

Seja A = {1, 2, 3, 4, 5} e B = {2, 4, 6, 8}

A – B = {1, 3, 5} (de A foi retirado os elementos que também pertenciam a B)

B – A = {6, 8} (de B foi retirado os elementos que também pertenciam a A)

Na figura ao lado verificamos essas diferenças graficamente, em que a diferença é representada pela parte em azul:

8

6.7.1.

15.

8.

5.2.

4.

10.

Capítulo I

Complementação - Dados dois conjuntos A e B, com A B, chamamos conjunto complementar de A em relação a B à diferença B – A.

Em outras palavras, podemos definir o conjunto complementar de A em relação a B assim:

Definição 2 - Se um conjunto A está contido em um conjunto B sabemos que todo elemento de A também é elemento de B, mas podem existir elementos em B que não estão em A. O conjunto formado por estes elementos é chamando complementar de A em relação a B e sua representação é C B

A .

Em diagrama temos, em que a área mais escura refere-se a C B

A :

Conjuntos Numéricos

O homem durante sua evolução foi cada vez mais se aprimorando a fim de perpetuar sua existência, ele logo criou utensílios para caça, inventou a roda, descobriu o fogo e com o passar do tempo ainda inventou símbolos para representar os números. Mas e os números, como nasceram? Já se passou pela sua cabeça como se deu isso? Bom, esse nascimento deu-se de forma natural, como não poderia ser diferente. Aquele que tenha um certo conhecimento de história já deve ter percebido que desde o início da civilização a principal ocupação do homem era cuidar de seu rebanho para seu sustento. Mas como esse pastor iria saber se alguma ovelha tinha fugido ou sido raptada se não havia números para que ele contasse quantas ovelhas tinha? Como iria comparar com a quantidade de ovelhas do dia anterior? O homem criou uma forma curiosa de contar suas ovelhas: para cada ovelha em seu rebanho, uma pedra ele adicionava em um saco, tendo certeza de que a quantidade de pedras no saco era a mesma de ovelhas em seu rebanho, podendo ainda conferir essa quantidade no dia seguinte, pois se sobrassem pedras no seu saco após a conferência, ele saberia que teria prejuízo.

Foi dessa forma que se iniciou o processo de contagem, da necessidade de se contar algo, e após essa necessidade, paulatinamente, foram nascendo outros tipos de números que

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Dois conjuntos que tem interseção vazia são chamados de conjuntos

disjuntos.

Capítulo I

não fossem inteiros positivos, como o zero (0) e os números negativos: -1, -2, -3, ...

Conjunto dos Números Naturais ( ℕ )

O conjunto dos números naturais é formado pelos primeiros números que nasceram naturalmente conforme dito no texto anterior, como o próprio nome sugere. Ele é composto por todos os números inteiros e positivos e é representado pelo símbolo ℕ dessa forma:

ℕ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, ...}

Como podemos perceber este conjunto é ordenado, ou seja, tem uma ordem definida e é infinito.

Conjunto dos Números Inteiros ( ℤ )

O conjunto dos números inteiros contém o conjunto ℕ , dos números naturais e ainda o oposto desses números naturais mais o número zero. Eis o conjunto ℤ :

ℤ = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}

Repare que ℕ⊂ℤ . No conjunto ℤ distinguimos dois subconjuntos:

• Conjunto dos números inteiros não negativos ( ℤ+ )

ℤ+ = {0, 1, 2, 3, ...}

• Conjunto dos números inteiros não positivos ( ℤ- )

ℤ- = {..., -3, -2, -1, 0}

Repare que o zero é elemento neutro, ou seja, não tem sinal, portanto não pode ser considerado nem positivo e nem negativo, por isso consta em ambos os subconjuntos do conjunto dos números inteiros. Em geral convencionamos ainda o seguinte: um asterístico (*) acrescido à letra que designa o conjunto, significa que o zero foi excluído do mesmo. Assim:

ℤ* = {..., -3, -2, -1, 1, 2, 3, ...}

ℤ+* = {1, 2, 3, 4, …}

Conjunto dos Números Racionais ( ℚ )

Pense um pouco, o que te lembra a palavra racional? Se você pensou na palavra

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Muitos livros didáticos incluem o zero no conjunto dos números naturais, outros não. Esta apostila opta por incluir o número zero apenas a partir do próximo conjunto que veremos a seguir.

Capítulo I

“razão” acertou, pois um número racional é qualquer número que pode ser escrito como uma razão. Mas o que seria razão? Será que podemos associar essa razão àquela frase filosófica de Shakespeare em Hamlet: Ser ou não ser, eis a questão?

Em Matemática, razão tem um sentido um pouco diferente daquela em filosofia, não tem nada a ver com o racional humano, mas com a razão entre dois números. E para representarmos uma razão entre dois números utilizamos a fração, que, por sua vez, além de representar parte de um todo, também representa uma divisão. Então, podemos dizer que um número racional, que é um número que pode ser escrito como uma razão, é qualquer número que pode ser representado através de uma fração. Portanto, se escolhermos qualquer número natural, esse número também será um racional? A resposta é sim, pois o que nos impediria de

escrever 63 ao invés de 2 senão a facilidade em escrever mais rápida e sucintamente?

Seguindo esse raciocínio, qualquer número inteiro, quer seja positivo ou negativo, pode ser escrito como uma fração, incluindo o zero. Daí se segue que ℤ⊂ℚ . Mas esse conjunto dos racionais tem outros representantes além de ℤ , pois se estamos contando com os números inteiros em forma de fração para compor ℚ , devemos também incluir qualquer número fracionário, positivo ou negativo, incluindo as dízimas periódicas (que também podem ser escritas em forma de fração). Por fim, os números decimais com um número finito de casas decimais também devem constar em ℚ , pois estes também podem ser representados em forma de fração. Assim, o conjunto dos números racionais representa-se dessa forma:

ℚ = {números decimais finitos, frações, ℤ , dízimas periódicas}

Formalmente, devemos dizer que ℚ é todo aquele que pode ser representado na

forma fracionária pq com numerador e denominador inteiros e o denominador diferente de

zero. Em linguagem Matemática:

ℚ = {x / x = pq com p , q∈ℤ , q ≠ 0}.

Conjunto dos números irracionais (Π ou I)

Ao contrário dos números racionais, os irracionais são aqueles números que não podem ser representados como uma razão, ou seja, não tem como colocá-los em forma de fração. E a esse grupo de números chamamos de números irracionais. Você deve estar tentando imaginar algum número que você conheça que seja irracional, mas eles são mais comuns que se imagina. Tente com uma calculadora encontrar os seguintes resultados e procure algo em comum entre esses resultados: 2 ,3 ,5 , 37 , 510 . Você deve ter percebido que o resultado desses números foi um número com vírgula e infinitas casas decimas, apesar de você ter apenas conseguido enxergar algumas casas em sua calculadora. Você deve ter percebido também que não existe nenhum padrão entre os algarismos decimais, ao contrário das dízimas periódicas, que recebem esse sobrenome “periódica” justamente pela existência desse padrão ou período. E é justamente este padrão que possibilita essa dízima a ser escrita como uma fração, portanto se esses números citados acima tem como resultado um número com infinitas ordens decimais sem padrão algum, ou seja, não periódicos, eles não podem ser representados por uma fração, então são irracionais.

11

Capítulo I

Por incrível que pareça, existem infinitos números irracionais, e essa qualidade é atribuída à, por exemplo, raiz quadrada de qualquer número que não seja um quadrado perfeito (1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, ....). Outros números irracionais, como são frequentemente usados na Matemática, recebem representações como π = 3,1415926535..., e = 2,718...(usado em bases logarítmicas) etc.

Conjunto dos Números Reais ( ℝ )

Podemos perceber que um número não pode ser racional e irracional ao mesmo tempo, ou seja, ou é um ou é outro, e se unirmos ℚ e Π em um único conjunto formaremos o conjunto dos números reais. Formalmente dizemos que ℝ=ℚ∪Π

Unindo todos os conjuntos em um só diagrama e ainda lembrando que ℕ⊂ℤ⊂ℚ⊂ℝ temos:

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Capítulo I

Produto Cartesiano, Relação e Função

Antes de entrarmos no estudo de Produto Cartesiano é necessário alguns conhecimentos de par ordenado.

Par Ordenado

Denominamos par ordenado a um par de elementos (a,b) em uma ordem pré-fixada, sendo a o primeiro elemento e b o segundo elemento.

Ex.: Vamos distribuir três bolas idênticas dispostas em duas caixas numeradas (caixa I e caixa II).

Os resultados possíveis dessa distribuição são representadas por (0,3), (1,2), (2,1) e (3,0), em que particularmente (0,3) indica nenhuma bola na caixa I e três bolas na caixa II; (3,0) indica três bolas na caixa I e nenhuma na caixa II.

Repare que não foram usadas as tradicionais chaves, mas sim parênteses.

Denominamos par todo conjunto formado com dois elementos. Eis alguns exemplos: {0,3}, {1,2}, {a,b}.

De acordo com a noção de igualdade de conjuntos, se invertermos a ordem dos elementos, o par continuará o mesmo.

13

Caixa I Caixa II

(0,3)

Caixa I Caixa II

(1,2)

Caixa I Caixa II

(2,1)

Caixa I Caixa II

(3,0)

Capítulo II

{0,3} = {0,3}, {1,2} = {2,1}, {a,b} = {b,a}.

Em muitos problemas, como no exemplo acima, temos a necessidade de distinguir dois pares pela ordem dos elementos. Nesses casos, em que a ordem é importante, usamos pares ordenados. Assim, com o par {0,3} podemos formar dois pares ordenados: (0,3) e (3,0).

Um par ordenado (x,y) é igual ao par (a,b) se, e somente se, x = a e y = b, isto é,

Isso quer dizer que dois pares ordenados são iguais se, e somente se, os elementos correspondentes também o forem.

Ex.: (a,b) = (3,2) a = 3 e b = 2.

Produto Cartesiano

Dados os conjuntos A = {1,2} e B = {1,2,3}, vamos obter os pares ordenados (x,y) tais que x∈A e y∈B :

Observe que, de cada elemento de A, saem 3 setas. Isto porque cada elemento do 1º conjunto se corresponde com todos os três elementos do 2º conjunto.

Quando relacionamos cada um dos elementos de um conjunto com todos os elementos de outro conjunto, encontramos o produto cartesiano entre esses dois conjuntos. Isto é, o conjunto {(1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3)}, formado por todos os pares com primeiro elemento em A e segundo em B, é denominado produto cartesiano de A por B e indicado A x B (lê-se: A cartesiano B).

O nome “Produto Cartesiano” se deve ao fato de que para se descobrir o número de elementos de A x B, ou seja, o número de pares ordenados no conjunto A x B, deve-se

14

1

2

1

2

3

A B

Em geral, temos: A x B = {(x,y)/ x∈A e y∈B }

x , y =a , b ⇔x=a e y=b

Capítulo II

multiplicar o número de elementos de A pelo número de elementos de B. No exemplo acima, A tem 2 elementos e B tem 3, então o produto cartesiano tem 6 elementos, isto é, n(A x B) = 2 x 3 = 6

Obs.: Não, necessariamente, A x B será igual a B x A. Ainda no exemplo inicial, B x A = {(1,1), (1,2), (2,1),(2,2), (3,1), (3,2)} é diferente de A x B.

Exemplo

Dados os conjuntos A = {1, 2, 3, 4} e B = {5, 6, 7}. Determine os produtos cartesianos A x B e B x A, verifique se são iguais e determine o número de elementos desses produtos cartesianos.

A x B = {(1,5), (1,6), (1,7), (2,5), (2,6), (2,7), (3,5), (3,6), (3,7), (4,5), (4,6), (4,7)}

B x A = {(5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (7,1), (7,2), (7,3), (7,4)}

A x B≠B x A

n(A x B) = n(B x A) = 3 x 4 = 4 x 3 = 12 elementos

Representação gráfica do produto cartesiano

O produto cartesiano pode ser representado por meio de flechas (Diagrama de Venn) ou pelo plano cartesiano.

A representação por meio de flechas está representada no exemplo anterior.

Representação no meio cartesiano:

Podemos representar os pares ordenados de um produto cartesiano em um gráfico denominado plano cartesiano, que é assim construído:

15

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

x

y

Capítulo II

• da reta horizontal (x), também chamada eixo das abscissas, saem as linhas perpendiculares referentes aos valores de A;

• da reta vertical (y), ou eixo das ordenadas, saem as linhas perpendiculares referentes aos valores de B.

Os pares ordenados são representados pela interseção das paralelas aos eixos, traçadas a partir dos pontos que representam os elementos de A e de B. Por exemplo: Sejam A = {1,3,5} e B = {2,4,6}

A x B = {(1,2), (1,4), (1,6), (3,2), (3,4), (3,6), (5,2), (5,4), (5,6)}

O gráfico que representa o produto cartesiano de A x B é assim representado:

Os pares ordenados, localizados no plano cartesiano, são chamados de coordenadas cartesianas.

Relação

Consideremos os conjuntos: A = {1,2} e B = {3,4,5} e determinemos o produto cartesiano A x B.

A x B = {(1,3) (1,4) (1,5) (2,3) (2,4) (2,5)}

Vamos escolher alguns subconjuntos de A x B.

• R1 = {(2,5)} Repare que R1⊂AxB , porque R1 é uma relação do par ordenado

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-2 -1 1 2 3 4 5

-1

1

2

3

4

5

6

x

y

(x,y) = (1,2) (x,y) = (3,2) (x,y) = (5,2)

(x,y) = (1,4) (x,y) = (3,4) (x,y) = (5,4)

(x,y) = (1,6) (x,y) = (3,6) (x,y) = (5,6)

Capítulo II

(2,5) que está contido no produto cartesiano A por B.

• R2 = {(1,3), (1,4)} Aqui, também, R2⊂AxB , porque R2 é uma relação dos pares ordenados (1,3), (1,4) que estão contidos no produto cartesiano A por B.

• R3 = {(2,3), (2,5)} R3⊂AxB , porque R3 é uma relação dos pares ordenados (2,3), (2,5) que estão contidos no produto cartesiano A por B.

Qualquer desses subconjuntos é uma relação de A x B. Em outras palavras:

Simbolicamente: R é relação de A em B⇔ R⊂AxB

Para que haja relação, é necessário que x , y ∈AxB , ou seja, que o 1º elemento (x) do par ordenado pertença ao conjunto A e o 2º elemento (y), ao conjunto B. Assim:

x , y ∈AxB⇔ x∈Ae y∈B

Há, ainda, outras condições a que as relações devem obedecer.

Exemplo: A = {1,2,3} e B = {1,2,3,4,5,6}, R = { x , y ∈AxB / y = 2x}.(Lê-se: R é a relação constituída pelos pares ordenados (x,y), pertencentes ao produto cartesiano de A por B, tal que o 2º elemento do par (y) seja o dobro do 1º elemento (x), ou seja, y = 2x)

O produto cartesiano é: {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6)}

Mas os pares ordenados que satisfazem à relação de y = 2x são (1,2), (2,4), (3,6), pois nenhum dos outros pares ordenados tem o segundo elemento como o dobro do primeiro.

Domínio e Imagem de uma relação

Domínio de uma relação é o conjunto formado pelo primeiro elemento de cada par ordenado (x) que satisfaz a essa relação. O domínio está contido no conjunto A. Simbolicamente, escrevemos: D R⊂A .

Imagem de uma relação é o conjunto constituído pelo segundo elemento de cada par ordenado (y) que satisfaz à relação. A imagem está contida em B. Simbolicamente, escrevemos: Im(R) ⊂ B.

Exemplo:A = {0,2,4,6,8,10} e B = {1,3,5,7,9,11}

R = { x , y ∈AxB /x-1 = y}

Apesar do produto cartesiano A x B conter 36 elementos, R = {(2,1), (4,3), (6,5), (8,7),

17

Dados dois conjuntos A e B, dizemos que um conjunto R é a relação de A em B, se R for um subconjunto de A x B.

Capítulo II

(10,9)} pois satisfaz à condição x-1 = y.

Então, D(R) = {2,4,6,8,10} e Im(R) = {1,3,5,7,9}

Em diagrama:

Veja que a imagem da relação é o conjunto {1,3,5,7,9} que está contido no contradomínio.

Função

Podemos dizer que toda função é uma relação. Mais ainda, é um caso particular de relação.

Podemos ainda afirmar que uma relação R de A em B é uma função ou aplicação quando para cada elemento de A corresponder um único elemento de B. Vejamos um exemplo:

Observe que para cada elemento do conjunto A corresponde um único elemento do conjunto B.

18

0

4

86

2D(R)

1

10

Im(R)

97

35

AB

11

A B

∇

∇

∇ ❒

❒

❒

O conjunto D(R) A é chamado domínio ou conjunto de partida; o conjunto B é chamado contradomínio ou conjunto de chegada. No exemplo dado, o domínio tem os seguintes elementos: {2,4,6,8,10}; o contradomínio consta dos seguintes elementos: {1,3,5,7,9,11}

Capítulo II

Levando em consideração este critério, analisaremos as seguintes relações:

• Esta relação não é uma função,pois existe um elemento em A que não tem correspondente em B.

• Esta relação é função, pois a cada elemento de A corresponde um único elemento de B.

• Esta relação também é função, pois a cada elemento de A corresponde um único elemento de B.

• Esta relação também é uma função, pelo mesmo motivo que as anteriores.

• Esta relação não é função, pois existe um elemento em A que tem dois correspondentes em B.

• Esta relação também é função.

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A B

∇

∇

∇ ❒

❒

A B

∇

∇

∇ ❒

❒

A B

∇

∇ ❒

❒

❒

A B

∇

∇

∇

❒

A B

∇

∇

∇ ❒

❒

❒ ❒

A B

∇

∇

∇ ❒

❒

❒

∇ ❒

Capítulo II

Podemos concluir que:

Para representarmos uma função f de A em B utilizamos as seguintes notações:

f : AB ou f

AB f: f : x y ou f(x) = y

Então podemos concluir que:

Dados dois conjuntos A e B e uma relação f de A em B, dizemos que f é uma função de A em B se todo elemento x de A estiver associado a um único elemento y de B, tal que (x,y) ∈ f.

Domínio e conjunto-imagem de uma função

Consideremos os conjuntos A = {1,2,3} e B = {0,2,4,6,8}.

Associemos os elementos de A aos de B de acordo com a seguinte relação R = {x , y ∈AxB /y = 2x}.

Então, Para x = 1, temos y = 1 . 2 = 2

Para x = 2, temos y = 2 . 2 = 4

Para x = 3, temos y = 3 . 2 = 6

Utilizando diagramas com flechas, temos:

D(f) = A = {1,2,3}

20

A B12

3

0

42

68

ou

y é imagem de x pela relação ff de A em B

Para que uma relação seja função é necessário partir uma flecha de todo elemento de A.

Capítulo II

Observamos que esta relação é uma função f de A em B e podemos representá-la assim: f : x y , definida por f(x) = 2x. A função é f(x) = {(1,2), (2,4), (3,6)}.

O conjunto B (de chegada) é o campo de variação da função, assim representado C(f), e lemos contradomínio da função.

No exemplo dado, temos:

C(f) = B = {0,2,4,6,8}

A imagem B é constituída pelo segundo elemento de cada par ordenado que satisfaz a função.

Em diagrama:

Representação gráfica de uma função

Daremos apenas alguns exemplos de representação gráfica de função, porque já fizemos a representação gráfica de relação e, como você já sabem, função é um caso particular de relação. Portanto, as representações são as mesmas.

Exemplos

Dados, A = {1,2,3} e B = {0,1,2,3,4,5,6,7}, vamos construir os gráficos da função f: AB, definida por f(x) = 3x-2.

•Plano cartesiano

x f(x) = 3x-2

y

1 3 . 1 - 2 12 3 . 2 - 2 4

3 3 . 3 - 2 7

Vejam que D(f) = {1,2,3} = A e Im(f) = {1,4,7}

21

123

A

D(f)246

8

Im(f)

0 B = C(f)

No domínio:

● não sobra elemento

● não parte mais de uma flecha de cada elemento

1 2 3

1

2

3

4

5

6

7

8

x

y

Capítulo II

• Representação sagital ou em flechas (Diagrama de Venn)

Se fosse uma função f de ℜ em ℜ , o gráfico cartesiano seria diferente. Veja:

O gráfico de uma função real, que tem por imagem qualquer número real, é formado por todos os pares (x,y), onde x∈ℝ e f(x) = 3x-2. É por isso que traçamos a reta.

22

1

2

3

A B4

51

6

320

7

-2 -1 1 2 3

-9

-8

-7

-6

-5-4

-3

-2

-1

1

2

3

45

6

7

8

x

y

0

Capítulo II

Função Afim

José Roberto toma um táxi comum que cobra R$ 2,60 pela bandeirada e R$ 0,65 por quilômetros rodados. Ele quer ia à casa de um amigo que fica a 10 km dali. Quanto José Roberto vai gastar de táxi?

Ele terá de pagar os 10 x R$ 0,65 pela distância percorrida e mais R$ 2,60 pela bandeirada, ou seja, R$ 6,50 + R$ 2,60 = R$ 9,10.

Se a casa do seu amigo ficasse a 15 km de distância, o preço da corrida (em reais) seria: 0,65.15 + 2,60 = 9,75 + 2,60 = 12,35.

Enfim, para cada distância x percorrida pelo táxi há certo preço c(x) para a corrida. O valor c(x) é uma função de x.

Podemos encontrar facilmente a lei que expressa c(x) em função de x: c(x) = 0,65 . x + 2,60, que é um caso particular de função polinomial do 1º grau, ou função afim.

Chama-se função polinomial do 1º grau, ou função afim, a qualquer função f de ℝ em ℝ dada por uma lei da forma f(x) = ax + b, onde a e b são números reais dados e a≠0.

Na função f(x) = ax + b, o número a é chamado de coeficiente de x ou coeficiente angular e o número b é chamado termo constante ou coeficiente linear.

Exemplo:

Na função f(x) = 2x – 3, o coeficiente angular é o 2 e o linear é o -3.

Na função f(x) = -3x + 4, o coeficiente angular é o -3 e o coeficiente linear é o 4.

Vamos obter o gráfico da função afim f(x) = 2x + 1

23

Capítulo III

x f(x) = 2x + 1 y

-2 2 . (-2) + 1 -3

-1 2 . (-1) + 1 -1

0 2 . 0 + 1 1

1 2 . 1 + 1 3

2 2 . 2 + 1 5

Zero da função afim: y = ax + b

O zero (ou raiz) da função afim, assim como de qualquer outra função, é o valor para o qual a função f(x) = ax + b se anula. Determinar esse valor nada mais é do que resolver a

24

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

x

y

y = 2x+1

Você dever ter observado que o ponto (0,1) é o ponto em que a reta corta o eixo y. O valor da ordenada nesse ponto é 1.

Também deve ter percebido que 1 é o coeficiente linear (valor de b) da equação. Coincidência?

Encontre os gráficos das equações: y = 3x – 2, Y = -2x + 1 e y = x - 1 e tire suas próprias conclusões.

Capítulo III

equação ax + b = 0.

Portanto, o zero da função f(x) = 2x – 8 vale 4, pois fazendo 2x – 8 = 0 obtemos x = 4.

Desafio: Encontre as raízes das funções y = 2x + 4, y = -x + 1 e y = x - 2 e compare, graficamente, esses resultados com o ponto em que a reta intercepta o eixo das abcissas (eixo x).

Sistema de Equações

Vimos no início do capítulo que o valor y, do preço da corrida, depende do valor x, da quantidade de quilômetros rodados.

Analisando essa função (y = 0,65x + 2,60) chegamos a conclusão que só é possível resolvê-la se conhecermos uma das duas incógnitas, ou seja, não temos informações suficientes para saber os valores corretos de x e y caso ambas tenham um valor fixo desconhecido.

Então precisaremos de outra equação envolvendo essas incógnitas afim de que consigamos encontrar esses valores. Daí, com duas equações envolvendo as mesmas incógnitas, teremos um sistema de duas equações.

Exemplo

Os alunos do 2° ano de uma escola do interior organizaram uma festa junina no pátio da escola. Havia várias opções de divertimento: quadrilha, bingo, gincanas, etc. Três barracas, B1, B2 e B3, distribuídas no pátio, ofereciam exatamente as mesmas opções de alimentação: churrasco, quentão e pastel; cada uma dessas três opções tinha o mesmo preço nas três barracas. Ao final da noite, encerrada a festa, fez-se um balanço sobre o consumo nas barracas e verificou-se que:

• na barraca B1, foram consumidos 28 churrascos, 42 quentões e 48 pastéis, arrecadando um total de R$ 102,00;

• na barraca B2, foram consumidos 23 churrascos, 50 quentões e 45 pastéis, arrecadando um total de R$ 95,00;

• na barraca B3, foram consumidos 30 churrascos, 45 quentões e 60 pastéis, arrecadando um total de R$ 117,00

Qual é o preço de um churrasco? E de um quentão? E de um pastel?

Vamos usar a seguinte denominação:

a) x é o preço unitário do churrascos;

b) y é o preço unitário do quentão;

25

Capítulo III

c) z é o preço unitário do pastel;

Com essa notação, vemos que:

a) O total arrecadado em B1 é dado por:

28 . x + 42 . y + 48 . z

Assim, 28x + 42y + 48z = 102,00 (I)

b) O total arrecadado em B2 é dado por:

23 . x + 50 . y + 45 . z

Assim, 23x + 50y + 45z = 95 (II)

c) Analogamente, em B3 segue que:

30x + 45y + 60z = 117 (III)

Considerando, simultaneamente, (I), (II) e (III), obtemos o sistema que é um sistema linear, objeto de nosso estudo nesse capítulo.

Resolvendo um Sistema

Como já pudemos verificar no exemplo anterior, um sistema pode aparecer em qualquer situação do nosso cotidiano. Vejamos mais um exemplo:

Pedro e Paulo conversam despreocupadamente quando chega José, um amigo comum, que está para se aposentar. José fala sobre as idades das pessoas que se aposentam e percebe que os dois amigos ainda estão longe da aposentadoria. Então, ele pergunta:

- Que idade vocês tem?

Pedro, o mais velho, percebendo um pequeno erro na pergunta, responde:

- Nós temos 72 anos.

26

28x + 42y + 48z = 10223x + 50y + 45z = 95 , 30x + 45y + 60z = 117

Observe que o sistema acima tem 3 incógnitas (x, y e z) e 3 equações. Você acha que seríamos capazes de resolver esse sistema se tivéssemos apenas 2 equações e ainda mantendo as 3 incógnitas?

Capítulo III

A conversa, então, segue assim:

José: - Como? Você está brincando comigo. Esse aí não passa de um garoto e você certamente não chegou aos 50.

Pedro: - Da maneira que você perguntou, eu respondi. Nós, eu e Paulo, temos juntos 72 anos.

José: - Está bem, eu errei. Eu devia ter perguntado que idades vocês tem. Mas, pela sua resposta, eu não consigo saber as idades de cada um.

Pedro: - É claro que não. Você tem duas coisas desconhecidas e apenas uma informação sobre elas. É preciso que eu lhe diga mais alguma coisa e, aí sim, você determina nossas idades.

José: - Diga.

Pedro: - Vou lhe dizer o seguinte. A minha idade é o dobro da de Paulo. Agora, José, você tem duas coisas desconhecidas, mas tem também duas informações sobre elas. Com a ajuda da matemática, você poderá saber nossas idades.

Vamos pensar um pouco na situação apresentada. José tem duas coisas a descobrir: a idade de Pedro e a idade de Paulo. Essas são suas incógnitas. Podemos então dar nomes a essas incógnitas:

idade de Pedro = x

idade de Paulo = y

A primeira informação que temos é que os dois juntos possuem 72 anos. Então, nossa primeira equação é:

x + y = 72

A outra informação que temos é que a idade de Pedro é o dobro da idade de Paulo. Com isso, podemos escrever a nossa segunda equação:

x = 2y

Essas equações formam o sistema

Esse sistema, pela sua simplicidade, pode ser resolvido sem necessidade de nenhuma técnica especial. Se a segunda equação nos diz que x é igual a 2y, então substituiremos a letra x da primeira equação por 2y. Veja:

x + y = 72

2y + y = 72

3y = 72

27

x + y = 72x = 2y

Capítulo III

y = 723 ⇒ y = 24

E como x = 2y, então x = 2 . 24 ⇒ y = 48. Dessa forma, concluímos que Pedro tem 48 anos e Paulo 24 anos.

Mas, nem sempre os sistemas são tão simples assim. Nesta parte deste capítulo, vamos aprender dois métodos que você pode usar na solução dos sistemas:

Método da Substituição

O sistema do problema anterior foi resolvido pelo método da substituição. Vamos nos deter um pouco mais no estudo desse método prestando atenção na técnica de resolução.

Agora, vamos apresentar um sistema já pronto, sem a preocupação de saber de onde ele veio. Vamos, então, resolver o sistema:

Para começar, devemos isolar uma das letras em qualquer uma das equações. Observando o sistema, vemos que o mais fácil é isolar a incógnita y na segunda equação; assim:

4x – y = 11 ⇒ 4x – 11 = y ou y = 4x – 11

Isso mostra que o valor de y é igual a 4x – 11. Assim, podemos trocar um pelo outro, pois são iguais. Vamos então substituir y por 4x – 11 na primeira equação.

3x + 2y = 22

3x + 2(4x – 11) = 22

Temos agora uma equação com uma só incógnita, basta resolvê-la. Desenvolvendo a equação temos:

3x + 2(4x – 11) = 22 ⇒ 3x + 8x – 22 = 22 ⇒ 11x = 44 ⇒ x = 4

Já temos o valor de x. Repare que logo no início da solução tínhamos concluído que y = 4x – 11. Então, para obter y, basta substituir x por 4.

y = 4x - 11 ⇒ y = 16 - 11 ⇒ y = 5

A solução do nosso sistema é, portanto, x = 4 e y = 5.

28

3x +2y = 224x – y = 11

Capítulo III

Método da Adição

Para compreender o método da adição, vamos recordar inicialmente o que significa somar duas igualdades membro a membro. Se temos:

A = B e C = D

• podemos somar os dois primeiros termos e os dois segundos termos das duas equações, ou seja, os dois lados esquerdos e os dois lados direitos, para concluir:

A + C = B + D

Consideremos agora o seguinte problema:

“Encontrar 2 números, sabendo que sua soma é 27 e que sua diferença é 3.”

Para resolvê-lo, vamos chamar os números desconhecidos de x e y. De acordo com o enunciado, temos as equações:

Veja o que acontece quando somamos membro a membro as duas equações:

⇒ x = 15

Encontramos o valor de x. Para encontrar o valor de y vamos substituir x por 15 em qualquer uma das equações. Por exemplo, na segunda:

15 – y = 3

29

Ao resolver um sistema, é sempre aconselhável conferir a resposta encontrada para ver se não erramos na solução. Os valores de x e de y encontrados estarão certos se eles transformarem as duas equações em igualdades verdadeiras.

x + y = 27x – y = 3

No método da substituição pode-se isolar qualquer uma das duas incógnitas em qualquer das equações e, depois substituir a expressão encontrada na outra equação.

x + y = 27 + x – y = 3 x + x + y – y = 27 + 3

⇒ 2x = 30

Capítulo III

y = 15 – 3

y = 12

A solução do problema é, portanto, x = 15 e y = 12.

Desafio: Resolva o seguinte sistema pelo método da adição:

Dica: Em qualquer equação, podemos realizar a mesma operação aritmética nos 2 membros. Por exemplo:

a + b = c – d ⇒ k.(a + b) = (c – d).k ⇒ ka + kb = kc – kd

ou

a + b = c – d ⇒abn

=c−d n

⇒ anbn= cn− dn

Interpretação Geométrica de um Sistema

Vejamos uma situação em que podemos aplicar sistemas para resolver problemas:

A Mercearia A, uma concorrente da Mercearia B, estava cobrando por certa mercadoria o dobro do preço que a outra pedia. Percebendo que isso impressionava mal a clientela, o dono da Mercearia A decidiu dar um desconto de R$ 10,00 no seu preço. Seu concorrente rebateu, então, dando o mesmo desconto de R$ 10,00 na mercadoria. Desse modo, o preço na Mercearia A ficou agora o triplo do preço na Mercearia B! Quanto cada mercearia estava pedindo pela mercadoria?

Podemos extrair duas informações desse problema:

I. A Mercearia A cobrava o dobro do preço de uma mercadoria que a Mercearia B cobrava.

II. Após os descontos de R$10,00 das duas mercearias, o preço na Mercearia A

30

8x + 3y = 215x + 2y = 13

O método da adição consiste em somar membro a membro as duas equações, com o objetivo de eliminar uma das incógnitas. No sistema que resolvemos, a incógnita y foi eliminada quando somamos membro a membro as duas equações. Mas isso, frequentemente, não acontece dessa forma tão simples. Em geral, devemos ajeitar o sistema antes de somar.

Capítulo III

ficou o triplo do preço na Mercearia B.

Vamos chamar de x o valor cobrado antes do desconto na Mercearia B e de y o valor cobrado antes do desconto na Mercearia A.

Podemos resumir os valores da mercadoria antes e depois do desconto numa tabela:

Mercadoria Mercearia B Mercearia APreço antes do desconto x y

Preço depois do desconto x - 10 y - 10

Portanto, escrevendo em linguagem matemática, de I temos que y = 2x, e de II temos que y – 10 = 3(x – 10).

Podemos montar um sistema:

Antes de continuarmos, devemos arrumar a equação y - 10 = 3(x – 10). Então:

y – 10 = 3x – 30

y = 3x – 30 + 10

y = 3x - 20

Assim, o sistema fica:

Resolvendo por substituição temos:

2x = 3x – 20 ⇒ 20 = x ou x = 20 .

Daí, y = 2.20 = 40 ⇒ y = 40

Então, a Mercearia B estava cobrando R$ 20,00 pela mercadoria, enquanto que a Mercearia A cobrava R$ 40,00 (o dobro). Os preços caíram após os descontos para R$ 10,00 e R$ 30,00 (o triplo).

Visualizando o Problema

Aprendemos no capítulo 2 que o plano cartesiano é usado em problemas que envolvem no máximo duas grandezas.

Nele, essas grandezas podem ser interpretadas como duas variáveis, x e y, cada qual sendo representada em um dos eixos. O que fazemos, em cada problema, então, é representar graficamente as relações existentes entre x e y, para daí procurar no gráfico a solução que o problema pede.

31

y = 2xy - 10 = 3(x - 10)

y = 2xy = 3x - 20

Capítulo III

No problema que acabamos de resolver, encontramos essas relações entre x e y, expressas num sistema de duas equações:

O gráfico de y = 2x é uma reta. Nela estão contidos pontos (x, y) como os encontrados por esta tabela, e que estão assinalados no gráfico:

x y = 2x

0 05 10

10 2014 28

Repare que no gráfico foram contemplados todos os infinitos pontos (x,y) de y = 2x e não apenas aqueles encontrados na tabela.

Mas, esse mesmo x e esse mesmo y que satisfazem à primeira equação, também devem satisfazer à segunda equação, afinal de contas eles representam a mesma coisa nas duas equações, os valores da mercadoria nas duas mercearias.

Portanto, podemos concluir que o ponto (x, y), que representa o valor das incógnitas x e y, deve também estar sobre y = 3x – 20.

Conclusão: o ponto (x, y) procurado deve estar sobre as duas retas. Logo, deve ser o ponto de interseção delas! Veja no gráfico:

32

y = 2xy = 3x - 20

10 20

-10

10

20

30

40

x

y

(x,y) = (20,40)

y = 3x - 20

y = 2x

Solução: As retas do gráfico, nesse exemplo, na realidade, são semirretas, já que x e y representam preços, que não podem ser negativos. Portanto, temos mais uma restrição para x em y = 3x – 20. Fazendo 3x – 20 ≥ 0 obtemos x ≥ 20/3.

Capítulo III

Um clube dispõe de um capo de futebol de 100 m de comprimento por 70 m de largura e, por medida de segurança, decidiu cercá-lo, deixando entre o campo e a cerca uma pista com 3 m de largura. Qual é a área do terreno limitado pela cerca?

A área da região cercada é: (100 + 2 . 3)(70 + 2 . 3) = 106 . 76 = 8056 m2.

Se a largura da pista fosse de 4 m, a área da região cercada seria: (100 + 2 . 4)(70 + 2 . 4) = 108 . 78 = 8424 m².

Enfim, a cada largura x escolhida para a pista há uma área A(x) da região cercada. O valor de A(x) é uma função de x. Procuremos a lei que expressa A(x) em função de x:

A(x) = (100 + 2x)(70 + 2x) = 7000 + 200x + 140x + 4x² = 4x² + 340x + 7000

33

Campo de futebol

3 m

3 m

Campo de futebol

x

x

Capítulo IV

Este é um caso particular de função polinomial do 2º grau, ou função quadrática.

Chama-se função quadrática a toda função definida por f: ℝ → ou f(x) = ax² + bx + c,ℝ onde a, b e c e a ℝ 0, pois se a = 0, temos uma função do 1º grau. O nome quadrática deve-se ao fato da variável de maior expoente aparecer elevada ao quadrado.

Gráfico da Função do 2º Grau

Do mesmo modo como construímos o gráfico das funções de 1º grau, construiremos também o gráfico da função do 2º grau.

O gráfico da função quadrática é uma curva aberta chamada parábola.

Exemplo

Vamos representar o gráfico da função f(x) = x² – 4x + 3

Atribuímos valores quaisquer a x e achamos y.

x f(x) = x² – 4x + 3 y

-1 (-1)² – 4(-1) + 3 8

0 0² – 4 . 0 + 3 3

1 1² – 4 . 1 + 3 0

2 2² – 4 . 2 + 3 -1

3 3² – 4 . 3 + 3 0

4 4² – 4 . 4 + 3 3

5 5² – 4 . 5 + 3 8

Zeros (Raízes) da Equação do 2º Grau

Assim como na equação do 1º grau, os zeros ou as raízes da função do 2º grau f(x) = ax² + bx + c, com a 0, são os números reais x tais que f(x) = 0. Mas se tentarmos resolver a equação do 2º grau de forma trivial, como estamos acostumados, não conseguiremos. Então, um indiano chamado Bháskara desenvolveu uma fórmula que determina as suas raízes, em que a, b, e c são os coeficientes do polinômio. A fórmula recebe seu nome e é assim representada:

34

x=−b±b2−4ac

2a

Capítulo IV

Exemplo 1

Vamos obter os zeros da função f(x) = x² – 5x + 6. Temos que a = 1, b = -5 e c = 6.

Então,

x=−b±b2−4ac

2a=5±25−24

2=5±1

2, e as

raízes são 2 e 3.

Ex2: Vamos calcular as raízes da função f(x) = 4x² – 4x + 1:

Temos que a = 4, b = -4 e c = 1

Então,

x=−b±b2−4ac

2a= 4±16−16

8=4

8=1

2 e as raízes são

12 e

12 .

Exemplo 2

Vamos calcular os zeros da função f(x) = 2x² + 3x + 4:

Temos que a = 2, b = 3 e c = 4. Então,

x=−b±b2−4ac

2a=−3±9−32

4=−3±−23

4 .∉ ℜ

35

x = 3

x = 2

ou

-1 1 2 3 4 5

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

x

y

Capítulo IV

Portanto, essa função não tem raízes reais.

Coordenadas do Vértice da Parábola

Quando a>0, a parábola tem concavidade voltada para cima e um ponto de mínimo V; quando a<0, a parábola tem concavidade voltada para baixo e um ponto de máximo V. Em

qualquer caso, as coordenadas de V são xv , yv ou − b2a,−

4a .

Exemplo 1

Vamos calcular m em y = x² – 8x + (2m + 1) a fim de que o valor mínimo assumido por y seja -12.

Como a = 1>0, essa parábola tem ponto de mínimo. O valor de mínimo é a ordenada yv do vértice.

Devemos ter:

yv = -12 ⇒−4a = -12 ⇒

64−42m14

= 12 m =⇒32

36

x

y

0-b/2a

-(b²-4ac)/4a

a>0

V

x

y

0 -b/2a

-(b²-4ac)/4a

a<0

V

A quantidade de raízes de uma função quadrática depende do valor obtido para o radicando b²-4ac, chamado discriminante e representado pela letra grega delta ( ), a saber:

Quando >0, há duas raízes reais e distintas;Quando =0, há só uma raiz real; Quando <0, não há raiz real.

Capítulo IV

Exemplo 2

Uma bala é atirada de um canhão de brinquedo (como mostra a figura) e descreve uma parábola de equação y = -3x² + 60x (onde x e y são medidos em metros).

Vamos determinar:

a) a altura máxima atingida pela bala;

b) o alcance do disparo.

a) Como a = -3 <0, a parábola tem um ponto de máximo V cujas coordenadas são (xv; yv). Temos:

xv=−b2a=−60−6

=10 ; yv=−4a=−3600−12

=300 .

Assim, a altura máxima atingida pela bala é 300 m após ter percorrido 10 m.

b) A bala toca o solo quando y = 0, isto é: -3x² + 60x = 0 x = 0 ou x = 20. Mas x = 0⇒ não convém, pois representa o ponto inicial do disparo; então, o alcance do disparo é 20 m.

37

x

y

0

V

V

Capítulo IV

Otávio e Rose formam um casal muito diferente: em suas famílias as pessoas vivem bastante tempo. Vamos calcular quantos bisavôs e bisavós tem conjuntamente Otávio e Rose?

De início, contamos os ascendentes de Otávio e os de Rose e, em seguida, os somamos:

pais 2 + 2 = 4 = 2²

avôs/avós 4 + 4 = 8 = 2³

bisavôs/bisavós 8 + 8 = 16 = 24

Podemos observar que, a cada passo dado para uma geração anterior, o número de ascendentes dobra. Se calculássemos o número de ascendentes de quinta geração (trisavôs/trisavós) de Otávio e Rose, encontraríamos:

6 + 16 = 32 = 25

Enfim, para cada geração x que se escolha há um número f(x) de ascendentes. O valor de f(x), portanto, é uma função de x, e a lei que expressa f(x) em função de x é f(x) = 2x, que é um caso particular de função exponencial.

38

Chamamos função exponencial a qualquer função f de ℝ em dada porℝ uma lei da forma f(x) = ax, onde a é um número real dado, a>0 e a ≠ 1.

Para descobrir o significado da restrição a ≠ 1, faça a verificação na função exponencial para a = 1 e depois construa seu gráfico.

Capítulo V

Representação Gráfica

Vamos construir os gráficos de algumas funções exponenciais e observar algumas propriedades.

Exemplo

Vejamos como construir o gráfico da função y = 2x:

Atribuindo valores para x, obtemos valores para y = f(x) = 2x.

x y = 2x

-318

-214

-112

0 11 22 43 8

x y = 12 x

-3 8-2 4-1 2

39

-3 -2 -1 1 2 3

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

x

y

y = 2 x̂

Capítulo V

0 1

112

214

318

Propriedades

• Na função exponencial y = ax, temos: x = 0 ⇒ y = a0 = 1, ou seja, o par ordenado (0,1) satisfaz a lei y = ax para todo a (a>0 e a ≠ 1).

Isso quer dizer que o gráfico de qualquer função exponencial corta o eixo dos y no ponto de ordenada 1.

• Se a>1, então a função f(x) = ax é crescente. Portanto, dados os reais x1 e x2, temos:

São crescentes, por exemplo, as funções exponenciais f(x) = 2x, f(x) = 3x, f(x) = 32 x

,

f(x) = (1,2)x.

40

-3 -2 -1 1 2 3

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

x

y

y = (1/2)^x

se x1x2então ax1a x2

Capítulo V

• Se 0<a<1, então a função f(x) = ax é decrescente. Portanto, dados os reais x1 e x2, temos:

São decrescentes, por exemplo, as funções exponenciais f(x) = 12 x

, f(x) = 13 x

, f(x)

= 23 x

, f(x) = (0,1)x.

• Para todo a>0 e a ≠ 1, temos:

• Para todo a>0 e todo x real, temos ax>0; portanto, o gráfico da função y = ax está sempre acima do eixo dos x.

Se a>1, então ax aproxima-se de zero quando x assume valores negativos cada vez menores.

Se 0<a<1, então ax aproxima-se de zero quando x assume valores positivos cada vez maiores. Tudo isso pode ser resumido dizendo-se que o conjunto-imagem da função

exponencial y = ax é Im = {y ∈ | y>0ℝ } = ℝ+* .

Equação Exponencial

Uma equação exponencial é aquela que apresenta a incógnita no expoente de pelo menos uma potência.

Exemplo:

a) 2x = 16 b) 127

x

= 81 c) 4x – 2x = 12 d) 53x-2 = 125

e) 12 x

= 132 f) 2 x=64 g) 22x+1 . 43X+1 = 8x-1 h) 9x+1 – 4 . 3x –

69= 0

Um método usado para resolver equações exponenciais consiste em reduzir ambos os membros da equação a potências de mesma base a (0<a ≠ 1), e daí aplicar a propriedade a x1=a x2⇒ x1=x2 .

Quando isso é possível, a equação exponencial é facilmente resolvida.

41

se x1x2então ax1a x2

se a x1=a x2 então x1=x2

Capítulo V

Vamos desenvolver as equações do exemplo anterior:

1. 2x = 16 ⇒ 2x = 24 ⇒ x = 4 ⇒ S = {4}

2. 127

x

= 81 ⇒ 133

x

= 34 ⇒ (3-3)x = 34 ⇒ 3-3x = 34 ⇒ -3x = 4 ⇒ x =−43 ⇒ S = {−4

3 }3. 4x – 2x = 12 ⇒ 22x - 2x = 12 ⇒ 2 x 2 - 2x -12 = 0, fazendo 2x = y temos y² – y – 12 = 0 ⇒

y = 4 ou y = -3.

Daí se segue que 2x = 4 ou 2x = -3.

Para 2x = 4 temos 2x = 2² ⇒ x = 2.

Para 2x = -3 temos que não existe x ∈ ℝ que satisfaça a equação ⇒ S = {2}

4. 53x-2 = 125 ⇒ 53x-2 = 53 ⇒ 3x – 2 = 3 ⇒ x =53 ⇒ S = {5

3}5. 12

x

= 132 ⇒ 1

2 x = 125 x = 5⇒ ⇒ S = {5}

6. 2 x=64 ⇒ 212 x=26⇒

x2=6 x = 12⇒ ⇒ S = {12}

7. 22x+1. 43X+1 = 8x-1 2⇒ 2x+1. 223x1 = 23x−1 2⇒ 2x+1. 26X+2 = 23x-3 2⇒ 8x+3 = 23x-3 8x + 3 =⇒

3x – 3 ⇒ x=−65 ⇒ S = {−6

5 }8. 9x+1 – 4 . 3x – 69 = 0 9 . 9x – 4 . 3x – 69 = 0⇒

Chamando 3x de y, vem:

9y² – 4y – 69 = 0 ⇒ y = 3 ou y=−239

Como y = 3x, vem:

3x = 3 3⇒ x =3¹ ⇒ x = 1

ou

3x =−239 não existe x ⇒ ∈ ℝ que satisfaça a equação ⇒ S = {1}

42

Capítulo V

(ENEM 2007) Uma equipe de paleontólogos descobriu um rastro de dinossauro carnívoro e nadador, no norte da Espanha.

O rastro completo tem comprimento igual a 15 metros e consiste de vários pares simétricos de duas marcas de três arranhões cada uma, conservadas em arenito.

O espaço entre duas marcas consecutivas mostra uma pernada de 2,5 metros. O rastro difere do de um dinossauro não-nadador: “são as unhas que penetram no barro — e não a pisada —, o que demonstra que o animal estava nadando sobre a água: só tocava o solo com as unhas, não pisava”, afirmam os paleontólogos.

Qual dos seguintes fragmentos do texto, considerado isoladamente, é variável relevante para se estimar o tamanho do dinossauro nadador mencionado?

A) “O rastro completo tem 15 metros de comprimento”

B) “O espaço entre duas marcas consecutivas mostra uma pernada de 2,5 metros”

C) “O rastro difere do de um dinossauro não-nadador”

D) “são as unhas que penetram no barro — e não a pisada”

E) “o animal estava nadando sobre a água: só tocava o solo com as unhas”

(ENEM 2007) A diversidade de formas geométricas espaciais criadas pelo homem, ao mesmo tempo em que traz benefícios, causa dificuldades em algumas situações. Suponha, por exemplo, que um cozinheiro precise utilizar exatamente 100 ml de azeite de uma lata que contenha 1.200 ml e queira guardar o restante do azeite em duas garrafas, com capacidade

para 500 ml e 800 ml cada, deixando cheia a garrafa maior. Considere que ele não disponha de instrumento de medida e decida resolver o problema utilizando apenas a lata e as duas garrafas. As etapas do procedimento utilizado por ele estão ilustradas nas figuras a seguir, tendo sido omitida a 5ª etapa:

43

Questões

Qual das situações ilustradas a seguir corresponde à 5.a etapa do procedimento?

_______________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________

(ENEM 2008) A figura abaixo representa o boleto de cobrança da mensalidade de uma escola, referente ao mês de junho de 2008.

Se M(x) é o valor, em reais, da mensalidade a ser paga, em que x é o número de dias em atraso, então:

A) M(x) = 500 + 0,4x

B) M(x) = 500 + 10x

C) M(x) = 510 + 0,4x

D) M(x) = 510 + 40x

E) M(x) = 500 + 10,4x

(ENEM 2009) Um experimento consiste em colocar certa quantidade de bolas de vidro idênticas em um copo com água até certo nível e medir o nível da água, conforme ilustrado na figura a seguir. Como resultado do experimento, concluiu-se que o nível da água é função do número de bolas de vidro que são colocadas dentro do copo.

O quadro a seguir mostra alguns resultados do experimento realizado:

Qual a expressão algébrica que permite calcular o nível da água (y) em função do número de bolas (x)?

44

Questões

A) y = 30x

B) y = 25x + 20,2

C) y = 1,27x

D) y = 0,7x

E) y = 0,07x + 6

(ENEM 2009) Uma pousada oferece pacotes promocionais para atrair casais a se hospedarem por até oito dias. A hospedagem seria em apartamento de luxo e, nos três primeiros dias, a diária custaria R$ 150,00, preço da diária fora da promoção. Nos três dias seguintes, seria aplicada uma redução no valor da diária, cuja taxa média de variação, a cada dia, seria de R$

20,00. Nos dois dias restantes, seria mantido o preço do sexto dia. Nessas condições, um modelo para a promoção idealizada é apresentado no gráfico ao lado, no qual o valor da diária é função do tempo medido em número de dias.

De acordo com os dados e com o modelo, comparando o preço que um casal pagaria pela hospedagem por sete dias fora da promoção, um casal que adquirir o pacote promocional por oito dias fará uma economia de:

A) R$ 90,00

B) R$ 110,00

C) R$ 130,00

D) R$ 150,00

E) R$ 170,00

(ENEM 2009) Um grupo de 50 pessoas fez um orçamento inicial para organizar uma festa, que seria dividido entre elas em cotas iguais. Verificou-se ao final que, para arcar com todas as despesas, faltavam R$ 510,00, e que 5 novas pessoas haviam ingressado no grupo. No acerto foi decidido que a despesa total seria dividida em partes iguais pelas 55 pessoas.

Quem não havia ainda contribuído pagaria a sua parte, e cada uma das 50 pessoas do grupo inicial deveria contribuir com mais R$ 7,00.

De acordo com essas informações, qual foi o valor da cota calculada no acerto final para cada uma das 55 pessoas?

A) R$ 14,00

B) R$ 17,00

C) R$ 22,00

D) R$ 32,00

E) R$ 57,00

(ENEM 2005) O gás natural veicular (GNV) pode substituir a gasolina ou álcool nos veículos automotores. Nas grandes cidades, essa possibilidade tem sido explorada, principalmente, pelos táxis, que recuperam em um tempo relativamente curto o investimento feito com a conversão por meio da economia proporcionada pelo uso do gás natural. Atualmente, a

conversão para gás natural do motor de um automóvel que utiliza a gasolina custa R$ 3.000,00. Um litro de gasolina permite percorrer cerca de 10 km e custa R$ 2,20, enquanto um metro cúbico de GNV permite percorrer cerca de 12 km e custa R$ 1,10. Desse modo, um taxista que percorra 6.000 km por mês recupera o investimento da conversão em aproximadamente:

A) 2 meses

45

Questões

B) 4 meses

C) 6 meses

D) 8 meses

E) 10 meses

(ENEM 2000) Uma companhia de seguros levantou dados sobre os carros de determinada cidade e constatou que são roubados, em média, 150 carros por ano. O número de carros roubados da marca X é o dobro do número de carros roubados da marca Y, e as marcas X e Y juntas respondem por cerca de 60% dos carros roubados.

O número esperado de carros roubados da marca Y é:

A) 20

B) 30

C) 40

D) 50

E) 60

(ENEM 2009) Um posto de combustível vende 10.000 litros de álcool por dia a R$ 1,50 cada litro. Seu proprietário percebeu que, para cada centavo de desconto que concedia por litro, eram vendidos 100 litros a mais por dia. Por exemplo, no dia em que o preço do álcool foi R$ 1,48, foram vendidos 10.200 litros.

Considerando x o valor, em centavos, do desconto dado no preço de cada litro, e V o valor, em R$, arrecadado por dia com a venda do álcool, então a expressão que relaciona V e x é

A) V = 10.000 + 50x – x²

B) V = 10.000 + 50x + x²

C) V = 15.000 – 50x – x²

D) V = 15.000 + 50x – x²

E) V = 15.000 – 50x + x²

(ENEM 2009) A população mundial está ficando mais velha, os índices de natalidade diminuíram e a expectativa de vida aumentou. No gráfico seguinte, são apresentados dados obtidos por pesquisa realizada pela Organização das Nações Unidas (ONU), a respeito da quantidade de pessoas com 60 anos ou mais em todo o mundo. Os números da coluna da

direita representam as faixas percentuais. Por exemplo, em 1950 havia 95 milhões de pessoas com 60 anos ou mais nos países desenvolvidos, número entre 10% e 15% da população total nos países desenvolvidos.

46

Questões

Suponha que o modelo exponencial y = 363e0,03x, em que x = 0 corresponde ao ano 2000, x = 1 corresponde ao ano 2001, e assim sucessivamente, e que y é a população em milhões de habitantes no ano x, seja usado para estimar essa população com 60 anos ou mais de idade nos países em desenvolvimento entre 2010 e 2050. Desse modo, considerando e0,3 = 1,35, estima-se que a população com 60 anos ou mais estará, em 2030, entre:

A) 490 e 510 milhões

B) 550 e 620 milhões

C) 780 e 800 milhões

D) 810 e 860 milhões

E) 870 e 910 milhões

(ENEM 2007) A duração do efeito de alguns fármacos está relacionada à sua meia-vida, tempo necessário para que a quantidade original do fármaco no organismo se reduza à metade. A cada

intervalo de tempo correspondente a uma meia-vida, a quantidade de fármaco existente no organismo no final do intervalo é igual a 50% da quantidade no início desse intervalo.

O gráfico ao lado representa, de forma genérica, o que acontece com a quantidade de fármaco no organismo humano ao longo do tempo.

A meia-vida do antibiótico amoxicilina é de 1 hora. Assim, se uma dose desse antibiótico for injetada às 12 h em um paciente, o percentual dessa dose que restará em seu organismo às 13 h 30 min. será aproximadamente de:

A) 10%

B) 15%

C) 25%

D) 35%

E) 50%

47

Questões