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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DO AMAPÁ PRÓ-REITORIA DE ENSINO DE GRADUAÇÃO PROGRAD PLANO NACIONAL DE FORMAÇÃO DE PROFESSORES DA EDUCAÇÃO BÁSICA - PARFOR CURSO DE LICENCIATURA EM MATEMÁTICA CLEOMAR DA SILVA MOURA FRANCINALDO FRANKLIN DA SILVA ROMUALDO AMORIM RIBEIRO UMA PROPOSTA DE ENSINO E APRENDIZAGEM DE PRODUTOS NOTÁVEIS COM AUXÍLIO DA INFORMÁTICA. Macapá, março de 2017.

1 UNIVERSIDADE FEDERAL DO AMAPÁ BÁSICA - PARFOR … · 7 ... produtos Notáveis com auxílio da informática com alunos do 8º ano e também constatou avanços significativos no

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO AMAPÁ

PRÓ-REITORIA DE ENSINO DE GRADUAÇÃO – PROGRAD

PLANO NACIONAL DE FORMAÇÃO DE PROFESSORES DA EDUCAÇÃO

BÁSICA - PARFOR

CURSO DE LICENCIATURA EM MATEMÁTICA

CLEOMAR DA SILVA MOURA

FRANCINALDO FRANKLIN DA SILVA

ROMUALDO AMORIM RIBEIRO

UMA PROPOSTA DE ENSINO E APRENDIZAGEM DE PRODUTOS NOTÁVEIS

COM AUXÍLIO DA INFORMÁTICA.

Macapá, março de 2017.

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CLEOMAR DA SILVA MOURA

FRANCINALDO FRANKLIN DA SILVA

ROMUALDO AMORIM RIBEIRO

UMA PROPOSTA DE ENSINO E APRENDIZAGEM DE PRODUTOS NOTÁVEIS

COM AUXÍLIO DA INFORMÁTICA.

Macapá, 31de março de 2017

Monografia apresentada à disciplina

Trabalho de Conclusão de Curso

como exigência para a obtenção do

grau de Licenciado em Matemática.

Orientador: Professor Me. Edivaldo

Pinto dos Santos

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CLEOMAR DA SILVA MOURA

FRANCINALDO FRANKLIN DA SILVA

ROMUALDO AMORIM RIBEIRO

UMA PROPOSTA DE ENSINO E APRENDIZAGEM DE PRODUTOS NOTÁVEIS

COM O AUXÍLIO DA INFORMÁTICA.

A Banca examinadora abaixo aprova a Monografia apresentada à disciplina

Trabalho de Conclusão de Curso – TCC, do curso de Licenciatura em Matemática,

da Universidade Federal do Amapá – UNIFAP, como parte da exigência para a

obtenção do Grau de Licenciatura em Matemática.

Aprovada em:

BANCA EXAMINADORA

___________________________________

Professor Me. Edivaldo Pinto dos Santos

Orientador – UNIFAP

____________________________________

Professor Me. João Socorro Pinheiro Ferreira

1º Membro – UNIFAP

____________________________________

Professor Me. Sérgio Barbosa de Miranda

2º Membro – UNIFAP

Macapá, 31 de março de 2017

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AGRADECIMENTO

Dedicamos este trabalho primeiramente à Deus, aos

nossos pais e nossos professores, juntamente com

cada um dos nossos familiares que sempre foram

nossos conselheiros e nossos amigos em todo o

tempo.

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AGRADECIMENTOS

Agradecemos primeiramente a Deus, pela força e paz de espírito que nos

concedeu ao realizar deste trabalho, bem como nossos familiares e professores, por

terem nos dado apoio e acreditado em nossa capacidade. Queremos também

agradecer em especial nossas esposas que tanto tiveram paciência e dedicação

durante este logo período de estudo e, não poderíamos deixar de agradecer aos

nossos colegas, que sempre se fizeram presentes e colaboraram com seus

conhecimentos e, para finalizar queremos agradecer ao nosso querido orientador e

professor Mestre Edivaldo Pinto dos Santos.

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“Ensinar não é transmitir conhecimento, mas

criar as possibilidades para a sua própria

produção ou sua construção.”

“ Paulo Freire “

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RESUMO

O referido trabalho foi realizado com o objetivo analisar a aplicação de representações semiótica no ensino de produtos notáveis com o auxílio da informática como ferramenta na prática educativa de alunos do 7ª série do ensino fundamental II, numa escola do município de Macapá. A metodologia utilizada foi de natureza descritiva e de método quantitativo e qualitativo, para a concretização do experimento usamos a aplicação de pré-teste, somente com lápis e papel e posteriormente sessões de informática envolvendo produtos notáveis e finalizando com aplicação do pós-teste. Ao final deste trabalho definimos que a aplicação da Teoria dos Registros de Representação Semiótica do filósofo e psicólogo francês Raymond Duval, com o auxílio da informática proporcionou aos educandos uma compreensão mais ampla de três casos de produtos notáveis: Quadrado da soma de dois termos, Quadrado da diferença de dois termos e Produto da soma pela diferença de dois termos. Palavras-chave: Informática, Registro de representação, Produtos notáveis e Ensino-Aprendizagem.

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ABSTRACT

This study was carried out with the objective to analyze the application of semiotic representations in teaching notable products with the aid of information technology as a tool in the educational practice of eighth graders of elementary school II, at a school in the town of Macapa. The methodology used was descriptive in nature and quantitative and qualitative method, for the implementation of the experiment we use the application pre-test, only with pencil and paper and later computer sessions involving notable products and finishing with implementation of the post-test. At the end of this paper we define the application of the theory of Semiotic Representation records of the French philosopher and psychologist Raymond Durval, with the aid of information technology provided the students a broader understanding of three cases of notable products: square of sum of two terms, square of the difference of two terms and product of the sum of the difference of two terms. Key-word: computer, registry, notable Products and teaching and learning.

9

LISTA DE FIGURAS

Figura 1. Exemplo de Conversão da representação figural em..........................33

representação algébrica envolvendo produtos notáveis.

Figura 2. Exemplo de tratamento algébrico em produtos notáveis....................34

Figura 3. Pré-teste individual (Resolução Questão 1)..........................................39

Figura 4. Pré-teste individual (Resolução Questão 2)..........................................39

Figura 5. Pré-teste individual (Resolução Questão 3)..........................................40

Figura 6. Pré-teste individual (Resolução Questão 4)..........................................40

Figura 7. Atividade preliminar: quadrado da soma de dois termos....................41

Figura 8. Tela de atividades preliminar- quadrado da soma de dois termos....42

Figura 9. Atividade preliminar: quadrado da diferença de dois termos.............43

Figura 10. Atividade preliminar: quadrado da diferença de dois termos...........43

Figura 11. Atividade preliminar: Produto da soma pela diferença......................44

de dois termos.

Figura 12.Tela de atividade preliminar : Produto da soma pela diferença.........44

De dois termos.

Figura 13. Resolução de exercício pelos alunos: Produto da soma...................45

pela diferença de dois termos.

Figura 14. Resolução de exercício pelos alunos: Produto da soma...................46

pela diferença de dois termos.

Figura 15. Resolução de exercício pelos alunos: Produto da soma...................47

pela diferença de dois termos.

Figura 16. Atividade: quadrado da soma de dois termos....................................48

Figura 17. Tela do software (Teste 1).....................................................................49

Figura 18. Tela do software para a 1º questão da atividade do quadrado.........49

soma de dois termos.

Figura 19. Tela do software para a 7º questão da atividade................................50

do quadrado da soma de dois termos.

Figura 20.Tela do software para a mudança da representação..........................50

10

Geométrica para representação algébrica do quadrado da soma de dois

termos.

Figura 21. Tela do software para o tratamento do registro..................................47

algébrico do quadrado da soma dois termos.

Figura 22. Tela do software com o 1º exemplo passo a passo do quadrado....51

da soma de dois termos.

Figura 23. Atividade: Quadrado da diferença de dois termos.............................52

Figura 24. Tela do software para a 9º questão da atividade do...........................52

quadrado da diferença de dois termos.

Figura 25. Tela do software para mudança da representação.............................53

geométrica para algébrica do quadrado da diferença de dois termos.

Figura 26. Tela do software para o tratamento do registro algébrico do...........53

quadrado da diferença de dois termos.

Figura 27. Tela do software com o 1º exemplo passo a passo do......................54

quadrado da diferença de dois termos.

Figura 28. Atividade: produto da soma pela diferença de dois termos.............54

Figura 29. Tela do software para a 6º questão da atividade................................55

do produto da soma pela diferenças de dois termos.

Figura 30. Tela do software para a mudança da representação geométrica.....55

para a algébrica.

Figura 31. Tela do software para o tratamento do registro algébrico.................56

do produto da soma pela diferença de dois termos.

Figura 32. Tela do software com o 1º exemplo passo a passo do produto.......56

pela diferença de dois termos.

Figura 33. 1º caso: quadrado da soma de dois termos........................................57

Figura 34. 1º caso: quadrado da soma de dois termos, atividade realizada.....58

Figura 35. 2º caso: quadrado da diferença de dois termos.................................58

Figura 36. 2º caso: quadrado da diferença de dois termos, atividade...............59

realizada

Figura 37. 3º caso: produto da soma pela diferença de dois termos.................59

11

Figura 38. 3º caso: produto da soma pela diferença de dois termos.................60

atividade realizada.

Figura 39. Mudança da representação da linguagem natural para a..................61

linguagem algébrica.

Figura 40. Mudança da representação geométrica para a linguagem................61

algébrica.

Figura 41. Tratamento algébrico com expressões simples.................................62

Figura 42. Tratamento algébrico com expressões complexas............................62

Figura 43. Atividade Pós-teste (Questão 1)...........................................................64

Figura 44. Atividade Pós-teste (Questão 2)...........................................................65

Figura 45. Atividade Pós-teste (Questão 3)...........................................................65

Figura 46. Atividade Pós-teste (Questão 4)...........................................................66

12

LISTA DE GRÁFICOS

Gráfico 1. Acertos e erros das questões do pré-teste...............................................38

Gráfico 2. Acertos e erros das questões do pré-teste e pós-teste............................64

13

LISTA DE TABELAS

Tabela 1. Taxa de acertos e erros dos alunos frente às questões do pré-teste........37

Tabela 2. Taxa de acertos e erros nas questões do pré-teste e pós-teste................63

14

SUMÁRIO

INTRODUÇÃO.........................................................................................................15

1 - PCN E O LIVRO DIDÁTICO NO ENSINO DE PRODUTOS NOTÁVEIS...........18

1.1- O PCN no ensino de produtos Notáveis............................................................18

1.2 - Os livros Didáticos no Ensino de Produtos Notáveis........................................21

2 - FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA...........................................................................28

2.1- Informática na Educação....................................................................................28

2.2 - Teoria de Registros de Representações de Semiótica de Raymond Duval....30

3 - METODOLOGIA DA PESQUISA.........................................................................35

3.1 – Tipo de Pesquisa..............................................................................................35

3.2 – Local da pesquisa e público alvo......................................................................35

3.3 Procedimentos metodológicos adotados na pesquisa.........................................35

4- ANÁLISE DOS DADOS........................................................................................37

4.1- Resultado do pré-teste.......................................................................................37

4.2- Primeira sessão informática (Registro geométrico para o registro numérico)..40

4.3-Segunda sessão informática (Registro geométrico para o registro algébrico)..47

4.4-Terceira sessão informática (Excel registro numérico).......................................57

4.5- Atividade complementar.....................................................................................60

4.6 Pós-teste .............................................................................................................63

5 - CONSIDERAÇÕES FINAIS.................................................................................67

REFERÊNCIAS.........................................................................................................68

APÊNDICES..............................................................................................................71

15

INTRODUÇÃO

A motivação inicial para a realização desta pesquisa surgiu a partir da

experiência do grupo de acadêmicos autores deste TCC, que exercendo atividades

como professores do 6º ao 9º ano do Ensino Fundamental tanto na zona Rural e

Urbana do Estado do Amapá perceberam que os alunos sentem dificuldades em

aprender sobre o conteúdo de produtos notáveis e mediante esta situação,

começamos a pensar a cerca de estratégias e práticas de ensino que poderiam

melhorar o processo ensino-aprendizagem de Produtos Notáveis, pois o que temos

observado hoje é que o educando do ensino fundamental, quando aprovado para o

ano seguinte sempre se tem a necessidade de realizar enumeras revisões.

O mesmo tem ocorrido no ensino de produto notáveis, pois este ensino na sua

maioria está pautado na utilização apenas da linguagem algébrica. E, segundo o

Ministério da Educação (MEC) que utiliza o IDEB (Índice de Desenvolvimento da

Educação Básica) que tem como objetivo avaliar a educação do país para alunos do

6º ao 9º ano e 3º Ano do Ensino médio, nos mostra que no último IDEB que ocorreu

em 2015 o Brasil não alcançou a média estipulada no cronograma do MEC, então é

necessárias que se criem alternativas que proporcionem mudanças.

Pesquisas nesta área comprovam que existem dificuldades dos alunos na

compreensão de produtos notáveis e propõem atividades com mudanças de

registros de representações semióticas e auxílio da informática como no trabalho de

Salete Rodrigues que é uma Dissertação de Mestrado no Ensino de Matemática da

Pontifícia Universidade Católica de São Paulo (PUC), onde a mesma em uma

pesquisa com três alunos do ensino fundamental 8º e 9º ano, constatou que houve

evolução conceitual e avanços significativos em relação ao processo Ensino-

Aprendizagem. Édson Passos da Silva realizou também uma monografia

apresentada para obtenção de título de Especialista em Matemática, do ensino de

produtos Notáveis com auxílio da informática com alunos do 8º ano e também

constatou avanços significativos no processo ensino-aprendizado.

E, após alguns estudos chegamos a conclusão que a Teoria das

Representações Semióticas de Raymond Duval e o auxílio da informática, a priori

16

seria uma metodologia viável para se obter um melhor aprendizado de produtos

notáveis, pois é uma teoria que trabalha o objeto matemático em várias

representações e, que tem demonstrado benefícios para o processo ensino-

aprendizagem e que estuda o funcionamento e o desenvolvimento cognitivo do

pensamento humano, principalmente em atividades relacionadas à Matemática.

Em 1997, o MEC lançou o Programa Nacional de informática na Educação

(PROINFO), E, desde então a informática tem sido uma ferramenta de apoio à

prática educativa. Portanto a Informática Educativa se caracteriza pelo uso da

informática como suporte ao professor, como um instrumento a mais em sua sala de

aula, no qual o professor possa utilizar esses recursos colocados a sua disposição.

Nesse nível, o computador é explorado pelo professor especialista em sua

potencialidade e capacidade, tornando possível simular, praticar ou vivenciar

situações, podendo até sugerir conjecturas abstratas, fundamentais a compreensão

de um conhecimento ou modelo de conhecimento que se está construindo.

(BORGES, 1999, p. 136).

Segundo Valente (1993, p. 16) esclarece que “na educação de forma geral, a

informática tem sido utilizada tanto para ensinar sobre computação, o

chamado computer literacy, como para ensinar praticamente qualquer assunto por

intermédio do computador”. Assim, diversas escolas têm introduzido em seu

currículo escolar o ensino da informática com o pretexto da modernidade. Cada vez

mais escolas, principalmente as particulares, têm investido em salas de informática,

onde geralmente os alunos frequentam uma vez por semana.

Como já fora explicado por Duval (2003) a utilização da Teoria das

Representações Semióticas consiste em construir procedimentos pedagógicos e

didáticos que adotem a abordagem cognitiva no ensino da Matemática. Nela, o

professor precisa buscar desenvolver nos alunos habilidades e competências que

possam vir contribuir para o desenvolvimento das capacidades de raciocínio e de

análise.

Portanto, entendemos que o referido estudo é de grande relevância para o

curso de Matemática e para a formação de professores de Matemática, pois

17

mostrará que o uso de representação semiótica no ensino-aprendizagem de

Produtos Notáveis, permite compreender a importância de ensinar de diversas

maneiras um mesmo conteúdo em sala de aula. A utilização dessa teoria pode

ajudar os alunos a extraírem a informação desejada, visto que nem todas as mentes

pensam iguais e que cada pessoa tem condições próprias no que tange o

aprendizado.

Por isso, buscou-se nesse trabalho respostas à seguinte problemática

Elaborando atividades que trabalhem, com o auxílio da informática e as relações

entre as representações geométrica, numérica, algébrica e linguagem natural de

produtos notáveis, é possível proporcionar ao aluno uma melhor compreensão

do quadrado da soma de dois termos, quadrado da diferença de dois termos e

do produto da soma pela diferença de dois termos?

A hipótese do estudo e que acreditamos que o ensino-aprendizagem de

Produtos Notáveis é dificultoso, visto que os alunos geralmente não conseguem

compreender de maneira eficaz o seu significado. Portanto, supõe-se que ao utilizar

diferentes formas de representação de um mesmo objeto matemático, será possível

identificar melhoras no processo ensino-aprendizagem.

Dessa forma, o objetivo geral do estudo foi analisar a aplicação de

representação semiótica no ensino-aprendizagem de produtos notáveis, com auxílio

da informática com alunos da 7ª série do ensino fundamental. (lembramos que essa

denominação por série foi o último ano).

Em relação aos objetivos específicos, buscou-se descrever a teoria dos

registros de representação semiótica, de autoria do filósofo e psicólogo francês

Raymond Duval, que analisa os principais conceitos e características teóricas sobre

uso de diferentes tipos de representações semióticas no estudo sobre produtos

notáveis; buscando identificar se os registros de representação algébrica,

geométrica e numérica, favorece a aprendizagem relativa aos produtos notáveis

sempre com o auxílio da informática.

18

1 PCN E O LIVRO DIDÁTICO NO ENSINO DE PRODUTOS NOTÁVEIS

1.1 O PCN no ensino de produtos notáveis

Primeiramente queremos destacar que os Parâmetros Curriculares Nacionais

servem de apoio às discussões e ao desenvolvimento do projeto educativo da

escola e nos leva a refletir sobre a nossa prática de ensino, planejamentos, análises

e seleção de materiais didáticos e de recursos tecnológicos e também contribuir

para a formação e atualização profissional.

Nos PCN de Matemática (BRASIL, 1998) destaca-se que a aprendizagem

precisa estar centrada na construção de significados e, para que isso aconteça às

atividades não devem apenas estar voltadas para a memorização, desprovidas de

compreensão, mas sim, devem fazer com que o estudante desenvolva processos

importantes como intuição, analogia, indução e dedução.

Portanto o estudo da Álgebra constitui um espaço bastante significativo para

que o aluno desenvolva e exercite sua capacidade de abstração e generalização,

além de lhe possibilitar a aquisição de uma poderosa ferramenta para resolver

problemas. Entretanto, a ênfase que os professores dão a esse ensino não garante

o sucesso dos alunos, a julgar tanto pelas pesquisas em Educação Matemática

como pelo desempenho dos alunos nas avaliações que têm ocorrido em muitas

escolas.

Segundo os resultados do SAEB, por exemplo, os itens referentes à Álgebra

raramente atingem o índice de 40% de acerto em muitas regiões do país. Portanto é

fato conhecido que os professores não desenvolvem esses aspectos da álgebra no

ensino fundamental, pois privilegiam fundamentalmente o cálculo algébrico e das

equações, muitas vezes descolados dos problemas. Então para um melhor

aprendizado é necessário um trabalho articulado com essas dimensões nos anos

finais do ensino fundamental.

Segundo as orientações do (BRASIL, 1998, p. 84) o ensino de Álgebra precisa

continuar garantindo que os alunos trabalhem com problemas, que lhes permitam

19

dar significado à linguagem e às ideias matemáticas. Ao se proporem situações-

problema bastante diversificadas, o aluno poderá reconhecer diferentes funções de

Álgebra (ao resolver problemas difíceis do ponto de vista aritmético, ao modelizar,

generalizar e demonstrar propriedades e fórmulas, estabelecer relações entre

grandezas).

Para desempenhar seu papel de mediador entre o conhecimento matemático e

o aluno, o professor precisa ter um sólido conhecimento dos conceitos e

procedimentos dessa área e uma concepção de Matemática como ciência que não

trata de verdades infalíveis e imutáveis, mas como ciência dinâmica, sempre aberta

à incorporação de novos conhecimentos. (BRASIL, 1998).

Isso faz com que os professores procurem aumentar ainda mais o tempo

dedicado a este assunto, propondo em suas aulas não apenas a repetição mecânica

de mais exercícios. Pois essa solução, além de ser ineficiente, provoca graves

prejuízos no trabalho com outros temas da Matemática, também fundamentais,

como os conteúdos referentes à Geometria que também abrange os Produtos

Notáveis.

Existem alguns softwares interessantes que podem ser integrados às

atividades algébricas, como os que utilizam planilhas e gráficos. Hoje em dia, com o

uso cada vez mais comum das planilhas eletrônicas que calculam automaticamente

a partir de fórmulas, a necessidade de escrever algebricamente uma sequência de

cálculos, é maior que tempos atrás (BRASIL, p. 115)

Segundo o (BRASIL, p. 43) as tecnologias, em suas diferentes formas e usos,

constituem um dos principais agentes de transformação da sociedade, pelas

modificações que exercem nos meios de produção e por suas consequências no

cotidiano das pessoas.

No desenvolvimento de conteúdos referentes à geometria e medidas, os alunos

terão também oportunidades de identificar regularidades, fazer generalizações,

aperfeiçoar a linguagem algébrica e obter fórmulas, como para os cálculos das

áreas.

20

Para uma tomada de decisões a respeito do ensino da Álgebra, deve-se ter,

evidentemente, clareza de seu papel no currículo, além da reflexão de como a

criança e o adolescente constroem o conhecimento matemático, principalmente

quanto à variedade de representações. Assim, é mais proveitoso propor situações

que levem os alunos a construir noções algébricas pela observação de

regularidades em tabelas e gráficos, estabelecendo relações, do que desenvolver o

estudo da Álgebra apenas enfatizando as manipulações com expressões e

equações de uma forma meramente mecânica.

Os adolescentes desenvolvem de forma bastante significativa à habilidade de

pensar abstratamente, se lhes forem proporcionadas experiências variadas

envolvendo noções algébricas, a partir dos ciclos iniciais, de modo informal, em um

trabalho articulado com a aritmética. Assim, os alunos adquirem base para uma

aprendizagem de Álgebra mais sólida e rica em significados.

Acredita-se que os materiais manipuláveis podem auxiliar no desenvolvimento

desses raciocínios matemáticos. No que se refere ao ensino-aprendizagem de

produtos notáveis, pode-se fazer o uso de recursos tecnológicos com o intuito de

propiciar uma construção significativa dos produtos notáveis, estabelecendo relação

com o computador e com o conhecimento matemático algébrico. As mídias digitais

são importantes por relacionar a Álgebra a diferentes formas geométricas

(quadrados e retângulos), permitindo o trabalho com os registros geométrico e

algébrico na realização de operações.

Estudiosos do tema mostram que escrita, leitura, visão, audição, criação e

aprendizagem são influenciados, cada vez mais, pelos recursos da informática.

Nesse cenário, insere-se mais um desafio para a escola, ou seja, o de como

incorporar ao seu trabalho, tradicionalmente apoiado na oralidade e na escrita,

novas formas de comunicar e conhecer.

Acredita-se que além das dimensões da Álgebra é imprescindível, para o

processo de ensino e aprendizagem, refletir sobre como o estudante aprende os

conceitos matemáticos. Pois para Duval (2003) a abordagem cognitiva permite aos

estudantes compreender as diversidades dos processos matemáticos. Este

21

pesquisador desenvolveu a teoria denominada Registros de Representação

Semiótica, a qual tem por objetivo estudar as várias representações dos objetos

matemáticos e suas influências no processo de ensino e aprendizagem, como

veremos posteriormente.

1.2 O Livro didático no ensino dos produtos notáveis

Na década de 1960 ocorreu um acordo entre o Ministério da Educação (MEC)

e a Agência Norte-Americana para o Desenvolvimento Internacional (USAID) e

juntas, organizaram através da publicação do Decreto n° 59.355/1966 a organização

da Comissão do Livro Técnico e Livro Didático (COLTED). E dessa forma surge o

processo de organização das políticas para o livro didático, que ao passar dos anos

sofreu várias alterações em suas nomenclaturas, ideologias e formas de gestão das

ações referentes à produção, edição e distribuição do livro didático.

Em 1985, com a publicação do Decreto nº 91.542 foi criado a atual política,

chamada Programa Nacional do Livro Didático (PNLD), que veio para alterar de

modo significativo, a sistemática de funcionamento das antigas gestões,

enfatizando-se sua atuação nos seguintes pontos:

• Garantia do critério de escolha do livro pelos professores; • Reutilização do livro por outros alunos em anos posteriores, tendo como consequência a eliminação do livro descartável; • Aperfeiçoamento das especificações técnicas para sua produção, visando maior durabilidade e possibilitando a implantação de bancos de livros didáticos; • Extensão da oferta aos alunos de todas as séries do ensino fundamental das escolas públicas e comunitárias; • Aquisição com recursos do governo federal, com o fim da participação financeira dos estados, com distribuição gratuita às escolas públicas (FREITAS; RODRIGUES, 2014, p. 3).

Sendo assim, segundo Freitas; Rodrigues (2014), o PNLD mudou toda a

concepção de funcionamento da escolha do livro didático escolar, adotou como foco

o ensino fundamental público, incluiu as turmas de alfabetização, garantindo-lhes o

benefício da gratuidade na aquisição de livros. E assim, propôs uma nova ideologia,

incumbindo a cada aluno o direito de ter um livro didático das disciplinas de língua

22

portuguesa, matemática, ciências, história e geografia, que serão estudadas durante

o ano letivo. Para o público do primeiro ano, há o direito de terem a cartilha de

alfabetização. Ainda conforme explicado por Freitas; Rodrigues (2014), o governo

federal brasileiro realiza a ação de mais programas ao livro didático para prover as

escolas das redes federal, estadual e municipal e as entidades parceiras do

programa Brasil Alfabetizado:

De acordo com o PNLD de Matemática (BRASIL, 2016), a Matemática pode ser

concebida como uma fonte de modelos para os fenômenos nas mais diversas áreas

do saber. Tais modelos são construções abstratas que se constituem em

instrumentos para ajudar na compreensão desses fenômenos. Nessa tarefa

complexa, a grande maioria dos educadores atribui ao livro um papel de destaque

entre os recursos didáticos que podem ser utilizados.

O livro didático traz para o processo de ensino e aprendizagem mais um

elemento, o seu autor, que passa a dialogar com o professor e com o estudante.

Nesse diálogo, o livro é portador de escolhas sobre: o saber a ser estudado (a

Matemática); os métodos adotados para que os estudantes consigam aprendê-lo

mais eficazmente; a organização curricular ao longo dos anos de escolaridade.

Estabelece-se, assim, uma teia de relações que interligam quatro polos. Um deles é

formado pelo autor e o livro didático; os outros três são compostos, respectivamente,

pelo professor, pelo estudante e pela Matemática.

Uma reflexão de outra natureza, agora voltada para a Educação Matemática,

revela que, nas últimas décadas, acumulou-se um acervo considerável de

conhecimentos sobre os processos de construção e de comunicação dos conceitos

e procedimentos matemáticos e sobre as questões correspondentes de ensino-

aprendizagem. Em tais estudos tem sido consensualmente defendido que ensinar

Matemática não se reduz à transmissão de informações sobre o saber acumulado

nesse campo. Muito mais amplo e complexo, o processo de ensino- aprendizagem

da Matemática envolve um leque variado de competências cognitivas e requer, além

disso, que se favoreça a participação ativa dos estudantes. Nesse contexto convém

lembramos que as competências não se realizam no vazio e sim por meio de

saberes de diversos tipos, dos mais informais aos mais sistematizados, esses

23

últimos que devem ser construídos nas instituições de ensino. (BRASIL, 2016, p.10

e 11)

De um modo geral, a álgebra permeia todos os volumes das coleções

aprovadas, embora, em algumas delas, seja iniciada apenas no volume do 7º ano.

Em particular, o estudo é adequadamente articulado com outros campos como

geometria e grandezas e medidas. Essas conexões são estabelecidas por meio das

fórmulas de área, perímetro e volume, aplicadas a figuras geométricas nas quais

comprimentos relevantes são representados por variáveis algébricas. Um caso de

particular interesse ocorre no trabalho com os denominados produtos notáveis.

Entretanto, predomina nas obras um ensino sobrecarregado de nomenclatura dos

elementos da álgebra: variável, termos, expressão algébrica, monômios, polinômios,

grau, entre outros. Prevalece, também, a abordagem das operações algébricas de

modo excessivamente técnico.

Na formação escolar, tem sido aceito que a álgebra cumpra os papéis de

generalização da aritmética, de resolução de equações e inequações e de estudo do

conceito de função, entre outros. (BRASIL, 2016, p. 31)

Portanto, Nos anos finais do ensino fundamental, o ensino de geometria tem

dois objetivos essenciais. O primeiro é consolidar, ampliar e aprofundar a

compreensão dos estudantes sobre os modelos geométricos do espaço em que

vivemos. O segundo é iniciar o desenvolvimento do raciocínio lógico-dedutivo,

acessível à faixa etária, para validação de propriedades dos modelos geométricos

estudados.

As grandezas e medidas estão presentes nas atividades humanas, desde as

mais simples, no dia a dia, até às mais elaboradas, na tecnologia e na ciência. Na

Matemática, o conceito de grandeza tem papel importante na atribuição de

significado aos conceitos de número natural, inteiro, racional e irracional. Além disso,

é um campo que se articula bem com a álgebra e a geometria e contribui de muitas

maneiras, para estabelecer ligações entre a Matemática e outras áreas do

conhecimento.

O reconhecimento desses fatos contribuiu para que os currículos, os livros

didáticos e o ensino em nosso país passassem a dedicar, há mais de uma década,

24

maior atenção ao estudo desse campo. Em quase todas as coleções aprovadas,

dedica-se uma atenção apropriada aos conteúdos do campo, o que é coerente com

essa tendência. (BRASIL, p. 41).

Portanto o manual do professor compõe-se da cópia do Livro do Estudante,

com as respostas das atividades propostas na obra. Ele também inclui textos

voltados à formação continuada dos docentes e outros que buscam contribuir para a

sua prática em sala de aula. Tais textos são encontrados tanto na parte comum a

todos os volumes quanto naquela que é específica a cada um dos livros. Nos textos

da parte comum, apresentam-se a estrutura geral da obra; os principais temas

abordados; as concepções teórico-metodológicas que orientam a obra. Há reflexões

interessantes sobre interdisciplinaridade e sobre o uso de paradidáticos e da

tecnologia para ampliar o interesse dos estudantes.

Veremos agora algumas das análises de obras segundo o Plano Nacional do

livro Didático (PNLD) em relação aos livros didáticos 2017 no que tange o ensino da

álgebra, geometria, grandezas e medidas e consequentemente o estudo dos

produtos notáveis.

COVERGÊNCIAS – MATEMÁTICA – EDUARDO CHAVANTE

Na obra de Eduardo Chavante os conteúdos são abordados

por meio de explanação teórica em sequências longas, segui-

das de exercícios propostos, dando pouca oportunidade para

que o estudante elabore de modo autônomo os conhecimentos

a serem adquiridos. Portanto esta obra tem diminuído a

liberdade de raciocínio, análise e reflexão do educando. Porém,

a álgebra é um dos campos que se destaca pela articulação

com os demais, em particular com grandezas e medidas e com geometria. Quanto a

esse último campo, é excessiva a atenção dada à nomenclatura, a classificações e à

identificação de elementos de figuras geométricas. No entanto Deixando a desejar

as longas sequências de definições, apoiadas apenas em alguns poucos exemplos,

adotadas como abordagem para diversas noções da geometria plana.

25

O estudo da álgebra começa com a exploração intuitiva de situações que

envolvem observação de regularidades em sequências numéricas ou de figuras

geométricas. Em geral, há equilíbrio entre o cálculo algébrico e o emprego da

álgebra para modelar problemas. As equações de 2º grau e os produtos notáveis

são abordadas, adequadamente em conexão com noções geométricas. (PCN p.

127)

Recorre-se ao uso da calculadora em vários momentos da obra,

prioritariamente para efetuar cálculos, o que representa um emprego limitado desse

recurso didático. No trabalho com geometria, grandezas e medidas e estatística,

várias atividades são propostas para serem desenvolvidas com auxílio de

instrumentos de desenho.

PROJETO TELÁRIS – MATEMÁTICA – LUÍS ROBERTO DANTE

A obra apresenta uma série de atividades nas quais se

destacam a contextualização da Matemática em práticas

sociais e a articulação interna entre os seus diversos

campos. Há diferentes estratégias propostas no

desenvolvimento das atividades, da validação empírica dos

resultados às comprovações dedutivas formais.

Na metodologia adotada, os conteúdos matemáticos trabalhados contribuem

para o desenvolvimento de competências cognitivas, como observar regularidades,

explorar e justificar. Porém, são frequentes as atividades em que se privilegia a

aplicação direta de procedimentos ensinados, em detrimento da capacidade de

argumentação.

O estudo da álgebra é bem articulado com o dos outros campos. O

pensamento algébrico é desenvolvido nas atividades de generalização que envolve

a aritmética ou a geometria. E linguagem algébrica é usada de forma apropriada,

bem como as diversas formas de representações. (PNLD p. 86).

26

Embora a utilização da calculadora seja bastante requerida, recomenda-se ao

docente selecionar as atividades em que o uso desse instrumento não se restrinja

ao simples cálculo de operações numéricas.

Recomenda-se que o professor complemente algumas orientações para o

desenvolvimento de atividades, pois as que são oferecidas tanto no Livro do

Estudante, quanto no Suplemento com orientações para o professor, nem sempre

dão o suporte necessário para a sua realização, especialmente no que diz respeito

ao uso de jogos, materiais concretos e softwares. (PNLD, p. 85).

MATEMÁTICA DO COTIDIANO – ANTÔNIO JOSÉ LOPES BIGODE

Na coleção, os conceitos são desenvolvidos, em geral, com

base em situações-problema. Estas, quase sempre, são

contextualizadas em práticas sociais contemporâneas ou de

caráter histórico.

Diversas seções especiais incluem sugestões de atividades

interessantes e que podem contribuir para o incentivo do

debate entre os estudantes. Porém no que tange a geometria,

o desenvolvimento das habilidades de argumentação concentra-se apenas no livro

do 9º ano. Nos volumes anteriores, a abordagem é exclusivamente intuitiva e empí-

rica, o que limita o desenvolvimento de alguns conceitos no campo.

Recomenda-se, ainda, que o professor fique atento ao fato de que em diversas

atividades não são preservadas as proporções entre as medidas indicadas e as

figuras trabalhadas. Vale a pena alertar os estudantes sobre essa questão, sempre

que necessário para que isso não gere dificuldades de aprendizagem. É possível

aproveitar a oportunidade para refletir com os estudantes sobre os objetos

matemáticos e suas representações.

Nos livros, são propostas muitas construções geométricas com a utilização de

instrumentos de desenho, que devem ser providenciados, tanto para uso do

estudante quanto do docente.

27

Vale ressaltar que foram analisadas várias obras pelo Plano Nacional do Livro

didático, porém buscamos analisar em nossa pesquisa apenas os livros didáticos de

Eduardo Chavantes, Luís Roberto Dantes e Antônio Lopes bigode e verificamos que

nas obras analisadas pelo (PNLD), essas obras já possuem adequações que

abrangem as representações de objetos matemáticos bem como a utilização de

softwares.

28

2 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA

2.1 Informática na educação

Ao longo do tempo vem se comentando sobre a contribuição de tecnologias no

processo de ensino-aprendizagem. Portanto com o avanço das tecnologias nas

últimas décadas principalmente dos computadores, verificou-se uma demanda na

utilização de recursos da informática na educação. Pesquisas evidenciam a precisão

de inserir o computador nas escolas e consideram de fundamental importância à

necessidade do professor ter conhecimento sobre os potenciais educacionais do

computador e ser capaz de alternar adequadamente atividades tradicionais de

ensino e de aprendizagem, e atividades com o uso dos computadores.

Para Borba (2001) a relação entre informática e a educação não deve ser

pensada de forma dicotômica, mas sim como uma transformação da própria prática

educativa, pois sempre há uma dada mídia envolvida na produção do conhecimento.

Segundo Behrens (2000), a tecnologia da informação, entendida como os

recursos de software e redes de computadores, pode ser utilizada como ferramenta

complementar na aprendizagem. Para fazer uso dessas tecnologias como

ferramenta educacional, é preciso que o professor tenha noção do seu potencial,

assim como dos possíveis usos dos programas de computador.

Segundo (GPIMEM) – Grupo de Pesquisa em Informática Outras Mídias e

Educação Matemática - Apontam para a possibilidade de que trabalhar com os

computadores abre novas perspectivas para a profissão docente. O computador,

portanto, pode ser um problema a mais para a vida já atribulada do professor, mas

pode também desencadear o surgimento de novas possibilidades para o seu

desenvolvimento como um profissional da educação.

Portanto para Borba (2001), o acesso à informática na educação deve ser visto

não apenas como um direito, mas como parte integrante de um projeto coletivo que

prevê a democratização de acessos a tecnologias desenvolvidas por essa mesma

sociedade.

29

Com a realização do I Seminário Nacional de Informática Educativa em 1981,

surgem as primeiras ações no sentido de estimular e promover a implantação do uso

da tecnologia informática nas escolas brasileiras, dando origem aos programas

governamentais de implementação da informática na escola e, surgem os primeiros

projetos como:

O EDUCOM (Computadores na Educação) foi lançado pelo MEC e pela

Secretaria Especial de Informática em 1983 e, seu objetivo era criar centros piloto

em universidades brasileiras para desenvolver pesquisas sobre as diversas

aplicações do computador na educação.

O PRONINFE – Programa Nacional de Informática na Educação, foi lançado

pelo MEC – 1989, dando continuidade às pesquisas anteriores e, contribuindo

especialmente para a criação de laboratórios e centros de capacitação de

professores.

Após estas experiências surgem o atual programa do Governo o PROINFO –

Programa Nacional de Informática na Educação, lançado em 1997 pela Secretaria

de Educação à Distância (SEED / MEC), cujo objetivo é estimular e da suporte para

a introdução de tecnologias de informáticas nas escolas do nível fundamental e

médio de todo o país . E, portanto se cria o (NTE) – Núcleo de Tecnologia

Educacional espalhados nos estados do Brasil para a formação de Professores.

Atualmente, o acesso ao computador e, por consequência à internet, está

muito comum entre todas as classes sociais e em diferentes esferas sociais. Nesses

termos, é relevante considerar que a utilização de recursos computacionais na

educação exige um novo fazer pedagógico.

Sob esse enfoque, salienta-se que as Tecnologias de Comunicação e da

Informação (TICs) foram inseridas no contexto das salas de aula visando o

desenvolvimento dos aspectos educacionais e de aprendizagem dos alunos. Com

base nisso, o produto final desse processo é a formação de indivíduos autônomos,

que aprendem por si mesmo, porque aprenderam a aprender, através da busca, da

investigação, descoberta, e da invenção. Por isso, o uso da informática na escola é

fundamental.

30

A Informática na Educação tem evoluído bastante nos últimos anos,

principalmente pelo desenvolvimento de ambientes cada vez mais interativos. Além

dessa interação, a possibilidade de utilizar tecnologias distribuídas, permitindo

assim, alunos adquirirem conhecimentos mesmo situados longe dos grandes centros

(PADILHA; JÁCOME, 2017).

Os programas de computadores utilizados na educação estão classificados em

dois tipos básicos de abordagens: a instrucionista e a construcionista.

De acordo com Valente (1993, p.32), “um software educacional pode ser

considerado instrucionista quando alguém implementa no computador uma série de

informações e essas informações são passadas ao aluno na forma de um tutorial,

exercício-e-prática ou jogo”.

Papert (apud Valente, 1993, p.33) denominou de construcionista a abordagem

pela qual o aprendiz constrói através do computador o seu próprio conhecimento.

Baseando-se nas pesquisas realizadas os autores argumentam que a

informática na educação, e o seu uso, tende a uma eficácia na construção do

conhecimento, se utilizada como ferramenta auxiliar, o aprendizado terá impacto

direto, e acreditamos que em quase toda sua totalidade o resultado é positivo, ou

seja, faz-se necessário que a utilização dos recursos de informática na sala de aula

não seja a figura educacional, o professor e o aluno devem ser os protagonistas e

precisam se utilizar da criatividade, do raciocínio e atitudes ativas para a produção

do conhecimento.

Portanto, é necessário o professor aprender dentro da conjuntura educacional

a utilizar as ferramentas básicas de Informática como mecanismo atualmente

imprescindível dentro do processo ensino-aprendizagem, possibilitando assim o

enriquecimento da Prática Pedagógica.

2.2 Teoria dos Registros de Representação Semiótica de Raymond Duval

A Teoria de Representação Semiótica é fruto das pesquisas elencadas pelo

francês Raymond Duval que a partir de 2003 identificou as contribuições da teoria

31

que tinha seu embrião conceitual nas ideias proferidas nas publicações de Charles

Sanders Peirce e Ferdinand de Saussure.

A matemática em particular, trabalha constantemente com objetos abstratos e,

segundo Duval (2007) para apropriar-se de um determinado objeto matemático, o

sujeito deve recorrer a sua representação. Dessa forma, para o autor a originalidade

da atividade matemática está na mobilização simultânea de ao menos dois registros

de representação ao mesmo tempo, ou na possibilidade de trocar a todo o momento

de registro de representação.

Em sua teoria, Duval chama de Semiose, a apreensão ou produção de uma

representação semiótica e de Noesi, a apreensão conceitual de um objeto (DAMM,

2010, p. 177).

Peirce (2005) definiu Semiótica como a tarefa de determinar o que deve ser

verdadeiro quanto ao representar utilizado por toda inteligência científica, a fim de

que possa incorporar um significado qualquer. A diferenciação entre um objeto

matemático e sua representação é fator essencial para o desenvolvimento cognitivo.

Torna-se, portanto, uma condição importante para que haja, de fato, compreensão

dos objetos matemáticos.

O termo Registro de Representação Semiótica é usado para indicar diferentes

tipos de representação como, por exemplo, escrito em língua natural, escrita

algébrica, tabelas, gráficos cartesianos e figuras. Um registro de representação pode

ser considerado semiótico quando permitir formação de uma representação

identificável, tratamento e conversão.

1 – Tratamentos: são transformações de representações dentro de um mesmo

registro, por exemplo: “Efetuar um cálculo ficando estritamente no mesmo sistema

de escrita ou representação” (DUVAL, 2003, p. 16).

2 – Conversões: são transformações de representação que consistem em

mudança de registro conservando os mesmos objetos denotados: por exemplo,

reconhecer a escrita algébrica de uma equação em sua representação gráfica.

Segundo Silva (2008), a introdução da reta graduada como um registro

semiótico para os números racionais amplia a possibilidade de enfrentamento das

dificuldades consagradas na aprendizagem desses números. Para ele, o registro da

32

reta graduada é mais apto a criar um elo entre números e grandezas relativas, pois a

reta se encontra envolvida em meio a números que a atribuem uma ordem

crescente, sendo assim, as frações equivalentes são criadas em condições mais

favoráveis.

Representação Identificável: é, portanto uma representação de um registro

dado por meio da composição de um texto, desenho de uma figura geométrica,

expressão de uma formula entre outros.

No contexto da Psicologia Cognitiva, Para Duval existem diferentes registros

nos quais é possível fazer suas representações, que contribui no funcionamento

cognitivo do pensamento:

• O registro da língua natural – utilização de línguas maternas;

• O registro geométrico ou figural – utilização de figuras geométricas planas ou

espaciais; construção com instrumentos;

• O registro dos sistemas de escrita e cálculo – numéricos, algébricos,

simbólicos;

• O registro gráfico – utilização de sistemas de coordenadas (DUVAL, 2003).

Quando os significados estão claros é possível construir o conhecimento, ou

seja, chegar à Noesi, que é a apreensão conceitual do objeto. Em sua teoria, Durval

esclarece que o trabalho com as representações semióticas é fundamental, mais

ainda que não existe Noesi sem Semiose. A união das ações – representar, fazer

tratamentos, fazer conversões – sobre os conceitos é a construção do conhecimento

matemático.

A matemática como ciência, não possui objetos de estudos que são palpáveis,

ou que podemos facilmente enxergar, portanto representá-los é a forma de acessá-

los e compreendê-los. Duval (2003) argumenta:

[...] diferentemente dos outros domínios do conhecimento científico, os objetos matemáticos não são jamais acessíveis perceptivelmente ou microscopicamente (microscópio, telescópio, aparelhos de medida, etc.). O acesso aos objetos passa necessariamente por representação semiótica. Além do que, isso explica por que a evolução dos conhecimentos

33

matemáticos conduziu ao desenvolvimento e à diversificação de registros de representação. (DUVAL, 2003, p.21)

De acordo com a teoria de Duval, quando conseguimos diversificar os registros

de representação para representar um mesmo objeto de estudo, estaremos

realmente construindo o conhecimento.

O autor ressalta que a representação de um objeto nunca pode ser confundida

com o objeto de estudo em si, entretanto, o uso de apenas um tipo de registro de

representação, por exemplo, no presente caso, do registro algébrico para produtos

notáveis, pode dificultar essa tarefa de diferenciação.

Ainda, segundo a teoria de Duval, as atividades cognitivas de conversão e

tratamento entre os diferentes tipos de representação são fundamentais para

compreender os conceitos matemáticos. Realizar a conversão da representação

consiste em transformar o tipo de representação utilizado em outro, mantendo o

objeto de estudo o mesmo. No contexto desta pesquisa, isso acontece quando

convertemos uma representação geométrica para uma fórmula, como mostrado na

Figura 1.

Figura 1. Exemplo de Conversão da representação figural em representação algébrica, envolvendo produtos notáveis.

Já o tratamento se baseia na transformação de representação mantendo o

mesmo registro de representação, por exemplo, realizar os cálculos e alterações

possíveis, como mostrado na Figura 2.

34

Figura 2. Exemplo de tratamento algébrico em produtos notáveis.

Os tipos de registro de representação semiótica apresentados pelo autor são: a linguagem natural, representação algébrica, representação gráfica ou figural. A linguagem natural implica no uso da linguagem falada ou escrita na língua vernácula do aluno para representar os objetos de estudos, como uma explicação sobre eles. A representação algébrica se dá na maior parte das vezes no uso de números e letras. A representação gráfica ou figural é uma forma de expressar, visualmente, dados, valores numéricos ou expressões algébricas do que precisa ser trabalhado (CORREA et al., 2016, p. 5).

35

3 METODOLOGIA DA PESQUISA

3.1 Tipo de pesquisa

A priori desenvolveu-se uma pesquisa de campo que se enquadra no tipo de

estudo de natureza descritiva de método quantitativo e qualitativo.

Pretende-se utilizar principalmente o método de pesquisa de campo para o

levantamento de informações onde fatos e fenômenos ocorrem e, em consequência,

utilizar o método de pesquisa exploratória, para familiarizar-se com o tema

abordado, bem como o recurso de outros tipos de pesquisas como: pesquisa ex-

post-facto, pesquisa ação e pesquisa participante.

Segundo Fonseca, (2002), a pesquisa de campo caracteriza-se pelas

investigações em que, além da pesquisa bibliográfica e/ou documental, se realiza

coleta de dados junto a pessoas, com o recurso de diferentes tipos de pesquisa

(pesquisa ex-post-facto, pesquisa-ação, pesquisa participante, etc.)

3.2 Local da pesquisa e público alvo

Esta pesquisa foi realizada na escola Estadual Helenize Walmira Dias dos

Santos, situada na Rodovia AP-20, KM 09 linha B, na turma 724 do ensino

fundamental, no turno vespertino. Onde fomos recebidos com muita atenção pela

coordenação da referida instituição.

3.3 Procedimentos metodológicos adotados na pesquisa

Como temos por objetivo analisar se a aplicação de representações semiótica

com auxílio da informática contribuiria no entendimento do conceito matemático a

respeito de produtos Notáveis, primeiramente fizemos um levantamento por

intermédio do material dos alunos de que forma este conhecimento foi trabalhado e,

36

constatamos que o ensino de produtos notáveis se deu como na maioria das vezes,

somente com a utilização da representação algébrica, então trabalhamos com os

alunos aplicando um pré-teste e um pós-teste, somente com papel e lápis, no

intervalo entre eles foram realizadas sessões de ensino com a utilização da

informática, no intuito de proporcionar ao aluno uma melhor compreensão dos

produtos notáveis.

Por motivo da Escola Estadual Helenize Walmira Dias dos Santos está

passando por dificuldades no laboratório de informática da escola, tivemos que

conduzir 04 alunos que foram selecionados de forma aleatória até o laboratório de

informática da Unifap nos seguintes períodos:

O primeiro encontro ocorreu no dia 15 de dezembro de 2016 e foi realizado o

Pré-teste e a primeira sessão informática (Mudança do registro geométrico para o

registro número).

O segundo encontro ocorreu dia 20 de dezembro de 2016 e foi realizada a

segunda sessão informática (Transformação do registro geométrico para o

algébrico).

O terceiro encontro ocorreu dia 23 de dezembro e foi realizada a terceira

sessão informática (Excel registro numérico) e atividade complementar.

O quarto encontro realizou-se dia 17 de Janeiro de 2017 e foi aplicado o Pós-

teste.

37

4 ANÁLISES DOS DADOS

As análises dos dados ocorreram em três fases: na primeira aplicamos o pré-

teste, na segunda sessões informática e na terceira aplicamos o pós-teste.

4.1 Resultados do Pré-teste

Conforme pesquisas já citada, a ênfase no tratamento do registro algébrico no

ensino tradicional e a ausência de atividades de conversões de outros registros

influenciaram no resultado desses pré-teste (Tabela 1 e Gráfico 1).

Tabela 1. Taxa de acertos e erros dos alunos frente às questões do pré-teste.

Tabela de Acertos e Erros do Pré-teste

Questões Acertos % Erros %

1-a 0 0 4 100

1-b 0 0 4 100

1-c 0 0 4 100

1-d 0 0 4 100

1-e 0 0 4 100

2-a 3 75 1 25

2-b 3 75 1 25

2-c 3 75 1 25

3-a 0 0 4 100

3-b 1 25 3 75

3-c 1 25 3 75

4-a 1 25 3 75

4-b 0 0 4 100

4-c 1 25 3 75

4-d 0 0 4 100

38

Gráfico 1- Acertos e erros das questões do pré-teste

Conforme levantado na problemática e mostrado no gráfico 1, os alunos, em

geral, têm grandes dificuldades na compreensão de produtos notáveis. Dessa forma,

iremos com o auxílio da informática propor atividades para levar o aluno a uma

melhor compreensão de 3 casos de produtos notáveis.

Para cada questão apresentaremos e comentaremos alguns resultados do pré-

teste.

Na primeira questão, houve 100% de erros, devido ao conhecimento

equivocado do conceito de área dos quadriláteros, confundiram com o conceito de

perímetro. Conforme a resolução do aluno A (Figura 4):

39

Figura 3. Pré-teste individual (Resolução Questão 1)

.

Na segunda questão o percentual de acertos foi bom 75%, só um aluno não

conseguiu acertar e outro aluno resolveu a questão conforme figura 4.

Figura 4. Pré-teste individual (Resolução Questão 2)

Na terceira questão, somente um aluno conseguiu resolver dois dos três itens

propostos, acreditamos que a falta de atividades de mudança da representação da

linguagem natural para a representação algébrica, acarretam tal dificuldades, com

representação exemplificada na Figura 5.

40

Figura 5. Pré-teste individual (Resolução Questão 3)

Na questão quatro (Figura 6), o percentual de erros foi alto, conforme

pesquisas os produtos notáveis não são bem compreendidos pelos alunos do ensino

fundamental II, verificamos que o único aluno que acertou dois itens, conforme

imagem abaixo utilizou multiplicação de polinômios.

Figura 6. Pré-teste individual (Resolução Questão 4)

4.2 Primeira sessão informática (Mudança do registro geométrico para o

registro numérico).

A primeira sessão informática se desenvolveu em 15 de Dezembro de 2017,

com 4 alunos da 7ª série do ensino fundamental , no laboratório da Unifap Macapá

no Amapá. E colocou-se em destaque a articulação dos registros geométricos para

os registros numéricos.

Com o uso do software educativo, criado exclusivamente para esta pesquisa,

elaboramos no Word atividades (questões abertas) para os três casos de produtos

notáveis (quadrado da soma dois termos, quadrado da diferença de dois termos e

41

produto da soma pela diferença de dois termos) que procurassem, inicialmente,

favorecer a formulação de conjecturas, de questionamentos e de validação ou não

dos resultados no software, por parte do aluno.

O objetivo principal desta sessão foi proporcionar aos alunos a aquisição de

conhecimentos necessários para um bom desempenho na próxima sessão

informática, articulação dos registros geométricos para os registros algébricos. Os

conhecimentos matemáticos envolvidos nesta sessão: cálculo de áreas de

quadrados e retângulos, operações de adição, subtração, multiplicação e

potenciação de números reais, decomposição de figuras, expressões numéricas.

As questões foram respondidas no papel. O professor pesquisador assumiu o

papel de orientador do processo, gerenciando as atividades dos alunos, fazendo

intervenções individuais quando necessárias e, ao final de sessão,

institucionalizando os conceitos estudados, após uma discussão das conjecturas

feitas pelos alunos, validando-as ou não.

Figura 7. Atividade preliminar: quadrado da soma de dois termos.

42

As questões tinham por objetivo levar o aluno a perceber a validade da

expressão: (7+3)² =7² + 2.7.3 + 3², a partir da representação geométrica, conforme

tela do software (figura 8).

Figura 8. Tela de atividades preliminar-quadrado da soma de dois termos.

43

Figura 9. Atividade preliminar: quadrado da diferença de dois termos.

As questões tinham por objetivo levar o aluno a perceber a validade da

expressão: (9-3)²=9² - 2.9.3 + 3², a partir da representação geométrica, conforme

tela do software (Figura 10).

Figura 10. Atividade preliminar: quadrado da diferença de dois termos.

44

Figura 11 - Atividade preliminar: Produto da soma pela diferença de dois termos.

As questões tinham por objetivo levar o aluno a perceber a validade da

expressão: 152-52=(15+5).(15-5), a partir da representação geométrica, conforme

tela do software (Figura 12).

Figura 12. Tela de atividade preliminar: produto da soma pela diferença de dois termos.

45

FIGURA 13. Resolução de exercícios pelos alunos: Produto da Soma Pela Diferença de dois termos.

Apresentaremos e comentaremos alguns resultados da atividade preliminar.

Para o primeiro caso (quadrado da soma de dois termos), observamos na

resolução abaixo, no item “a”, o momento em que o aluno passa a utilizar o conceito

correto de área. E percebe, no item “e”, a relação de igualdade na decomposição da

figura.

Para o segundo caso (quadrado da diferença de dois termos), observamos na

resolução abaixo, no item “e”, uma dificuldade no cálculo da área do quadrado azul,

a partir das áreas do quadrado amarelo e dos retângulos. Mas, depois da mediação

feita por nós o objetivo foi alcançado, conforme item “f”.

46

Figura 14. Resolução de exercício pelos alunos: produto da soma pela diferença de dois termos

No terceiro caso (produto da soma pela diferença de dois termos),

observamos na resolução abaixo, que em geral não houve dificuldades, mas ao

finalizar o processo, deixamos claro que nos interessa neste caso é a reciproca da

relação “152-52=(15+5).(15-5)”, ou seja, “(15+5).(15-5)= 152-52”.

47

Figura 15. Resolução de exercício pelos alunos: produto da soma pela diferença de dois termos

4.3 Segunda sessão informática (Registro geométrico para o registro

algébrico).

A segunda sessão informática se desenvolveu também em 20 de dezembro de

2016, com 4 alunos da 7ª série do ensino fundamental II, no laboratório da Unifap

Macapá no Amapá. Colocou em destaque a articulação dos registros geométricos e

algébricos.

Com o uso do software educativo, criado exclusivamente para esta pesquisa,

elaboramos atividades (questões fechadas) para os três casos de produtos notáveis

(quadrado da soma de dois termos, quadrado da diferença de dois termos, produto

da soma pela diferença) que procurassem, inicialmente, favorecer a formulação de

48

conjecturas, de questionamentos e de validação ou não dos resultados no software,

por parte do aluno.

O objetivo principal desta sessão foi proporcionar aos alunos a aquisição de

conhecimentos relativos a mudança de representação geométrica para algébrica. Os

conhecimentos matemáticos envolvidos nesta sessão: cálculo de áreas de

quadrados e retângulos, operações algébricas de adição, subtração, multiplicação e

potenciação, decomposição de figuras, expressões algébricas.

As questões foram respondidas no software educativo. O professor

pesquisador assumiu o papel de orientador do processo, gerenciando as atividades

dos alunos, fazendo intervenções individuais quando necessárias e, ao final de

sessão, institucionalizando os conceitos estudados, após uma discussão das

conjecturas feitas pelos alunos, validando-as ou não.

Atividade: Mudança do registro geométrico para o algébrico

1º Caso : Quadrado da soma de dois termos

Figura 16. Atividade: quadrado da soma de dois termos

49

Figura 17. Tela do software

Na figura 18 abaixo, aparece a 1ª questão a ser respondida pelo aluno na

atividade do quadrado da soma de dois termos.

Figura 18. Tela do software para a 1ª questão da atividade do quadrado da soma de dois termos

50

Na figura 19 abaixo, aparece a mensagem de erro na resposta, obrigando o aluno a

repensar na busca da resposta correta.

Figura 19 – Tela do software para a 7ª questão da atividade do quadrado da soma.

Na figura 20 abaixo, após o aluno responder as 10 questões da atividade

proposta aparece a mudança do registro geométrico para o algébrico do quadrado

da soma de dois termos.

Figura 20. Tela do software para a mudança da representação geométrica para a algébrica do

quadrado da soma de dois termos.

51

Na figura 21 abaixo, aparece o tratamento do registro algébrico do quadrado da

soma de dois termos, que prevalece no ensino tradicional. Aqui definimos os

produtos notáveis como uma multiplicação especial de polinômios.

Figura 21. Tela do software para o tratamento do registro algébrico do quadrado da soma de dois

termos.

Na figura 22 abaixo, aparece o primeiro exemplo do quadrado da soma de dois

termos, com as representações algébricas e geométricas e o tratamento algébrico.

Figura 22. Tela do software com o 1º exemplo passo a passo do quadrado da soma de dois termos.

52

2º Caso: Quadrado da Diferença de Dois Termos

Figura 23. Atividade: quadrado da diferença de dois termos

Na figura 24 abaixo, aparece a 9ª questão a ser respondida pelo aluno na

atividade do quadrado da diferença de dois termos.

Figura 24. Tela do software para a 9ª questão da atividade do quadrado da diferença de dois termos.

Na figura 25 abaixo, após o aluno responder as 10 questões da atividade

proposta, aparece a mudança do registro geométrico para o algébrico do quadrado

da diferença de dois termos.

53

Figura 25. Tela do software para a mudança da representação geométrica para a algébrica do

quadrado da diferença de dois termos.

Na figura 26 abaixo, aparece o tratamento do registro algébrico do quadrado da

diferença de dois termos, que prevalece no ensino tradicional.

Figura 26. Tela do software para o tratamento do registro algébrico do quadrado da diferença de dois

termos.

Na figura 27 abaixo, aparece o primeiro exemplo do quadrado da diferença de

dois termos, com as representações algébricas e geométricas e o tratamento

algébrico.

54

Figura 27-Tela do software com o 1º exemplo passo a passo do quadrado da diferença de dois

termos.

3º Caso: Produto da Soma Pela Diferença de Dois Termos

Figura 28. Atividade: produto da soma pela diferença de dois termos

Na figura 29 abaixo, aparece a 6ª questão a ser respondida pelo aluno na

atividade do produto da soma pela diferença de dois termos.

55

Figura 29. Tela do software para a 6ª questão da atividade do produto da soma pela diferença de

dois termos.

Na figura 30 abaixo, após o aluno responder as 6 questões da atividade

proposta, aparece a mudança do registro geométrico para o algébrico do produto da

soma pela diferença de dois termos.

Figura 30. Tela do software para a mudança da representação geométrica para a algébrica do

produto da soma pela diferença de dois termos

Na figura 31 abaixo, aparece o tratamento do registro algébrico do produto da

soma pela diferença de dois termos, que prevalece no ensino tradicional.

56

Figura 31. Tela do software para o tratamento do registro algébrico do produto da soma pela

diferença de dois termos

Na figura 32 abaixo, aparece o primeiro exemplo do produto da soma pela

diferença de dois termos, com as representações algébricas e geométricas e o

tratamento algébrico.

Figura 32-Tela do software com o 1º exemplo passo a passo do produto da soma pela diferença de

dois termos.

57

4.4 Terceira sessão informática (Excel registro numérico).

De acordo com o PCN (2006), as planilhas eletrônicas são programas de

computador que servem para manipular tabelas cujas células podem ser

relacionadas por expressões matemáticas. As planilhas eletrônicas, mesmo sendo

ferramentas que não foram pensadas para propósitos educativos, também podem

ser utilizadas como recursos tecnológicos úteis à aprendizagem matemática.

Planilhas oferecem um ambiente adequado para experimentar sequências

numéricas e explorar algumas de suas propriedades.

Assim, aplicamos as atividades no Excel, conforme figuras abaixo, com objetivo

de validar as identidades das expressões algébricas do quadrado da soma de dois

termos, quadrado da diferença de dois termos e produto da soma pela diferença de

dois termos.

1º CASO: QUADRADO DA SOMA DE DOIS TERMOS

Figura 33- 1º caso: quadrado da soma de dois termos

58

FIGURA 34- 1º caso: quadrado da soma de dois termos, atividade realizada.

Figura 35- 2º caso: quadrado da diferença de dois termos

59

Figura 36- 2º caso: quadrado da diferença de dois termos, atividade realizada.

Figura 37- 3º caso: produto da soma pela diferença de dois termos.

60

Figura 38. 3º caso: produto da soma pela diferença de dois termos, atividade realizada.

Verificamos que o ambiente de trabalho assistido por computador, através das

planilhas eletrônicas (Excel), proporcionou um contexto propicio para a

generalização a partir da aritmética, ampliando as estratégias informais dos alunos

em relação aos três casos de produtos notáveis. Dessa forma, acreditamos que as

atividades com a planilha eletrônica podem promover as bases para o

desenvolvimento de métodos algébricos.

4.5 Atividade Complementar

Nesta atividade, procuramos proporcionar um reforço na compreensão de

produtos notáveis.

Na figura 39 abaixo, a questão tinha como objetivo partir da representação da

linguagem natural para a representação algébrica.

61

Figura 39. Mudança da representação da linguagem natural para a linguagem algébrica.

Na figura 40 abaixo, a questão tinha como objetivo partir da representação

geométrica para a representação algébrica.

Figura 40. Mudança da representação geométrica para a linguagem algébrica .

62

Na figura 41 abaixo, a questão tinha como objetivo aplicar as regras dos três casos

de produtos notáveis, ou seja, um tratamento algébrico com expressões simples.

Figura 41. Tratamento algébrico com expressões simples.

Na figura 42 abaixo, a questão tinha como objetivo aplicar as regras dos três

casos de produtos notáveis, ou seja, um tratamento algébrico com expressões mais

complexas, onde seria necessário outros conhecimentos: propriedade potência da

potência, multiplicação e simplificação de fração, potência de fração, potência de um

produto.

Figura 42. Tratamento algébrico com expressões complexas.

63

4.6 PÓS-TESTE

O pós-teste foi aplicado 33 dias após o pré-teste, e tinha como principal

objetivo verificar, através de papel e lápis, os conhecimentos dos alunos na

compreensão de 3 casos de produtos notáveis, depois do uso do computador.

O pós-teste foi feito com as mesmas questões do pré-teste, mas com outras

representações. Os resultados globais e a comparação entre pré e pós-teste

encontram-se a seguir:

Tabela 2. Taxa de acertos e erros nas questões do pré-teste e pós-teste.

Tabela de Acertos e Erros do Pré-teste e do Pós-teste

Questões Acertos % Erros %

Pré Pós Pré Pós Pré Pós Pré Pós

1-a 0 4 0 100 4 0 100 0

1-b 0 4 0 100 4 0 100 0

1-c 0 4 0 100 4 0 100 0

1-d 0 4 0 100 4 0 100 0

1-e 0 4 0 100 4 0 100 0

2-a 3 3 75 75 1 1 25 25

2-b 3 3 75 75 1 1 25 25

2-c 3 3 75 75 1 1 25 25

3-a 0 3 0 75 4 1 100 25

3-b 1 2 25 50 3 2 75 50

3-c 1 3 25 75 3 1 75 25

4-a 1 3 25 75 3 1 75 25

4-b 0 3 0 75 4 1 100 25

4-c 1 3 25 75 3 1 75 25

4-d 0 0 0 0 4 4 100 100

64

Gráfico 2. Acertos e erros das questões do pré-teste e pós-teste

Percebemos que a sequência (sessões informáticas) possibilitou uma evolução na

compreensão no tratamento das representações algébricas dos 3 casos de produtos

notáveis.

Para cada questão apresentaremos e comentaremos alguns resultados do pós-

teste.

Na primeira questão, houve 100% de evolução, pois as atividades propostas de

mudança de representação geométrica para a algébrica possibilitaram a

compreensão do conceito de área de quadriláteros. Conforme a resolução do aluno

A:

Figura 43. Atividade Pós-teste (Questão 1)

65

Na segunda questão o percentual de acertos no pós-teste foi igual ao pré-teste,

só um aluno não conseguiu acertar, e em todas as outras resoluções houve

utilização dos produtos notáveis, conforme figura 44 abaixo. Acreditamos que a

atividade informática no Excel, serviu para validar/fortalecer a compreensão da

representação algébrica.

Figura 44. Atividade Pós-teste (Questão 2).

A terceira questão, apesar de observamos uma evolução entre pré-teste e

pós-teste, após aplicação da atividade complementar, temos a consciência que mais

atividades de mudança de representação da linguagem natural para representação

algébrica deverão ser feitas pelo professor. Assim, não teremos erros como o

apresentado na resolução do aluno C.

Figura 45. Atividade Pós-teste (Questão 3)

66

Na quarta questão, o avanço foi significativo, no entanto algumas observações

precisam ser feitas, analisando a resolução abaixo.

Figura 46. Atividade Pós-teste (Questão 4).

A resolução da questão 4-a, foi feita conforme desejávamos, utilizando o

produto notável quadrado da soma de dois termos de forma rápida e precisa. A 4-b,

começou errando a resolução, depois sem utilizar o produto notável, acertou a

questão. Na 4-c, também não utilizou produtos notáveis, acertou a questão

utilizando a multiplicação de polinômios. Já na 4-d, diversos erros, na multiplicação

de potencia de mesma base, na multiplicação de fração, no jogo de sinal da

multiplicação. Acreditamos que um trabalho complementar com as operações com

fração e propriedades da potenciação deverá ser feito para possibilitar uma ampla

compreensão de produtos notáveis.

.

67

CONSIDERAÇÕES FINAIS

Como o objetivo de nossa pesquisa foi à aplicação de diferentes

representações em relação a um objeto matemático - produtos notáveis, com o

auxílio da informática buscou-se analisar se ocorreram melhorias ou não no

processo ensino-aprendizagem.

Para realizarmos esse experimento nos referenciamos na teoria de Raymond

Duval para melhor compreensão do objeto matemático, pois trabalhamos com

registros de semióticas e nos permitiu trabalhar com variedades de representações

que são fundamentais para compreensão do conceito matemático, tais como: O

registro da língua natural, Registro geométrico ou figural, Registro numérico e

Registro Algébrico, bem como o auxílio da informática através de software educativo

e o excel. Por intermédio do experimento percebemos que ocorreu um melhor

envolvimento dos alunos, motivação e maior compreensão de produtos notáveis.

Portanto ao analisarmos o resultado dessa pesquisa, buscando resposta a

nossa problemática que é Elaboração de atividades que trabalhem, com o auxílio da

informática e as relações entre as representações geométrica, numérica, algébrica e

da linguagem natural de produtos notáveis, se era possível proporcionar ao aluno

uma melhor compreensão do quadrado da soma de dois termos, quadrado da

diferença de dois termos e do produto da soma pela diferença de dois termos?”,

então detectamos que ocorreu sim uma melhor compreensão do objeto matemático

Produtos Notáveis. Mas vale ressaltar que verificou-se através do pós- teste que se

faz necessário alguns entendimentos matemáticos que servem de pré-requisito para

facilitar a compreensão de produtos notáveis como operações com frações e

propriedades de potência.

68

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jan. 2017.

71

APÊNDICES

Pré-teste 15 de Dezembro 2016 (UNIFAP)

Pré-teste 15 de Dezembro 2016 (UNIFAP)

Primeira sessão informática 15 de Dezembro de 2016 (UNIFAP).

72

Segunda sessão informática dia 20 de dezembro (UNIFAP).

Segunda sessão informática dia 20 de Dezembro 2016 (UNIFAP).

Atividade complementar dia 23 de Dezembro 2016 (UNIFAP)

73

Pós-teste, dia 17 de Janeiro 2017 (UNIFAP).

Pós-teste, dia 17 de Janeiro 2017 (UNIFAP).

Pós-teste, dia 17 de Janeiro 2017 (UNIFAP)

74