1

Wanderley Moura Rezende(IM-UFF)

Aquele algo, por vezes claro...Aquele algo, por vezes claro... e por vezes vago... e por vezes vago... que é a Matemática.que é a Matemática.

((Lakatos, 1922-74)Lakatos, 1922-74)

2

Matemática: o que é?Matemática: o que é?

Tanto para eruditos quanto para leigos não é a Filosofia, mas a experiência ativa na própria Matemática que unicamente pode responder à questão: o que é a Matemática?

R. Courant & H. Robbins (1941)

Matemática - objeto de pesquisa da FilosofiaMatemática - objeto de pesquisa da Filosofia

Lógica Teoria do conhecimento Metafísica Filosofia da Matemática

3

Algumas definições de dicionáriosAlgumas definições de dicionários

– Ciência que investiga relações entre entidades definidas abstrata e logicamente (Aurélio)

– Ciência que lida com relações e simbolismos de número e grandezas e que inclui operações quantitativas e soluções de problemas quantitativos (Enc. Britânica)

– Ciência que estuda objetos abstratos (números, figuras e funções) e as relações entre eles, procedendo por método dedutivo (Houaiss)

4

EtimologiaEtimologia

– Mathema (greg. tudo o que é objeto de aprendizagem a coisa apreendida, quem a aprende e o modo de

aprender - Sexto Empírico (150-220)

– Escola Pitagórica mathematikoi – círculo interno de seguidores escutar – fazer perguntas – expor idéias

– Matematica (séc. XVI) - greg. Mathematike – a ciência matemática

5

(...) a investigação matemática, por si própria, devido a seu caráter especial, sua certeza e severidade, leva a mente humana a uma proximidade maior com o divino do que pode ser atingido por meio de qualquer outro recurso. A matemática é a ciência do infinito, seu objetivo a compreensão simbólica do infinito com meios humanos, portanto finitos. (Hermann Weyl, 1885-1955)

A Matemática é a Rainha das Ciências e a Aritmética a Rainha da Matemática (Gauss, 1777-1855)

A Matemática é a honra do espírito humano (Leibniz, 1646-1716)

Algumas definições especiaisAlgumas definições especiais

6

Problema interessanteProblema interessante

1

1

2

2, 2, 2, 2, ... 2

7

Matemática e FilosofiaMatemática e Filosofia

Quatro grupos de definições

M. como ciência da quantidadeM. como ciência das relaçõesM. como ciência do possívelM. como ciência das construções possíveis

8

M. como ciência da quantidadeM. como ciência da quantidade

A primeira definição– Aristóteles(384-322a.C.) & Platão (427-347a.C.) (implícita)– Pitagóricos – a Matemática é A ciência

(ciência dos números e das figuras geométricas)

Mundo antigo e Renascimento– Séc. XIX - torna-se insuficiente– Comte (1798-1857)

9

Definição de AristótelesDefinição de Aristóteles

O matemático constrói sua teoria por meio da abstração; prescinde de todas as qualidades sensíveis, como peso e leveza, dureza e seu contrário, calor e frio, e das outras qualidades opostas, limitando-se a considerar apenas a quantidade e a continuidade, ora em uma só dimensão, ora em duas, ora em três, bem como os caracteres dessas entidades, na medida em que são quantitativas e continuativas, deixando de lado qualquer outro aspecto delas. Consequentemente, estuda as posições relativas e o que é inerente a elas: comensurabilidade ou incomensurabilidade e proporções.

10

Definição de Comte (1798-1857)Definição de Comte (1798-1857)

Matemática é a ciência que tem por objeto a medida das grandezas (...) A arte elementar do raciocínio decisivo (...) só a Matemática pode convenientemente desenvolver.

11

M. como ciência das relaçõesM. como ciência das relações

Estreitamente ligada à Lógica ou parte desta

Logicismo

Leibniz (1646-1716)– Mathesis Universalis - sistema geral; uma

linguagem para fundamentação do raciocínio em todas as ciências

12

Frege (1848-1925) x Psicologismo– O conceito de razão pertence (...) ao campo da

lógica pura. Aqui não interessa o conteúdo especial da relação, mas exclusivamente a sua forma lógica. Se algo pode ser afirmado sobre ela, a verdade desse algo é analítica e reconhecida a priori.

B. Russel (1872-1970) - Matemática coincide com a Lógica

13

Wittgenstein (1889-1951)

– A Matemática é um método lógico. As proposições da Matemática são equações, portanto pseudoproposições. A proposição matemática não exprime pensamento algum. De fato, nunca precisamos de proposições matemáticas na vida, mas as empregamos apenas com o fim de, a partir de proposições que não pertencem à Matemática, tirar conclusões que se expressam em proposições que tampouco lhe pertencem.

– (...) As equações da Matemática correspondem às tautologias da Lógica e, como estas, nada dizem.

14

Carnap (1891-1970)– Os cálculos constituem um gênero particular de cálculos lógicos,

distinguindo-se deles pela maior complexidade. Os cálculos geométricos são um gênero particular de cálculos físicos.

Tese Logicista– Construir uma Lógica exata– Definir todos os conceitos da M. em termos dos conceitos da

Lógica– Deduzir todos teoremas da M. a partir dessas definições e por

meio dos princípios da Lógica

C. S. Peirce (1839-1914)– Matemática ~ Lógica . Mas ...– (...) enquanto a Matemática é a ciência que infere conclusões

necessárias, a lógica é a ciência do modo de inferir conclusões necessárias.

15

M. como ciência do possívelM. como ciência do possível

Hilbert (1862-1943)– A Matemática pode ser construída como simples cálculo sem

exigir interpretação alguma.– Sistema axiomático

Enumerar conceitos básicos e relações básicas; Enumerar os axiomas e destes deduzir todos os outros

enunciados a partir das relações básicas.

Formalismo

Possível ~ aquilo que não implica contradição

16

Bourbaki (1939 /1816-97)– Matemática é simplesmente o estudo de estruturas

abstratas ou padrões formais de associação

T. de Gödel (1906-78)– exclui a possibilidade da Matemática como sistema

único e total

De fato, pode-se construir uma máquina que seja capaz de resolver determinado problema, mas não uma máquina que seja capaz de resolver todos os problemas (E. Nagel – G.R. Newmann)

17

M. como ciência das construções M. como ciência das construções possíveispossíveis

Kant (1724-1804) – Matemática como construção de conceitos

Poincaré (1854-1912) – polêmicas antiformalistas

Intuicionismo– A construção de que o intuicionismo fala é conceitual e não se

refere a fatos empíricos

18

Brouwer (1839-1914)– A Matemática identifica-se com a parte exata do pensamento

humano e por isso não pressupõe ciência alguma, nem a lógica, mas exige uma intuição que permita apreender a evidência dos conceitos e das conclusões.

Ponto de vista de Brouwer– A Matemática Pura é uma criação livre do espírito e não tem

relação alguma com os fatos de experiência.– A simples constatação de um fato de experiência sempre

contém a identificação de um sistema matemático.– O método das ciências da natureza consiste em reunir os

sistemas matemáticos contidos nas experiências isoladas em um sistema puramente matemático construído com este fim.

19

...e agora José...e agora José??J. Ferrater Mora (1912-91)

– Para o Logicismo, (...), a M. se reduz à Lógica. Para o formalismo, (...), a M. pode ser formalizada por completo; (...). Para o intuicionismo, (...), pode-se falar de entes matemáticos tão somente se podemos construí-los mentalmente. Cada uma destas posições enfrenta dificuldades peculiares (...). Cada uma destas posições, por outro lado, alcançou grandes triunfos e impulsionou sobremaneira o progresso na matemática. Não se pode prever que teoria triunfará definitivamente; o mais provável é que seja preciso manter as partes mais fecundas de cada uma delas.

20

Nicola Abbagnano (1971)– E já que é difícil ignorar a importância do

aspecto linguístico da Matemática, que serviu de base para o logicismo, o pensamento matemático conteponrâneo é dominado por certo ecletismo.

21

Relação entre a Matemática e Relação entre a Matemática e outras Ciênciasoutras Ciências

Matemática: Ciência ou Linguagem?

Para alguns... Linguagem Universal

Leibniz (1646-1716) - Mathesis Universalis– sistema geral; uma linguagem para

fundamentação do raciocínio em todas as ciências

22

AA matemática é matemática é a a linguagemlinguagem com a qual Deus com a qual Deus

escreveu o Universoescreveu o Universo Galileu (1564-1643Galileu (1564-1643))

23

O PositivismoO Positivismo – Comte (1798-1857) – Comte (1798-1857)

Sistema comteano (1844): Matemática – Astronomia – Física – Química –

Biologia – Sociologia

“[...] a primeira necessariamente o ponto de partida exclusivo e a última o fim único e essencial [...] o conjunto desta fórmula enciclopédica, exatamente conforme as verdadeiras afinidades dos estudos correspondentes [...] permite enfim a cada inteligência renovar à sua vontade a história geral do espírito positivo, ao passar, de modo quase insensível, das mais insignificantes idéias matemáticas aos mais altos pensamentos sociais.”

24

O ConstrutivismoO Construtivismo

Piaget (1896-1980) - O Círculo Piagetiano – Pretende fundar uma teoria do conhecimento científico

que conduza “das mais elementares atividades psicofisiológicas do sujeito aos mais altos pensamentos científicos”.

– Ponto de partida: a Matemática e a Lógica. Seguem-se: a Física, a Biologia e por, último, a Psicologia Experimental e a Sociologia (unificadas com o nome de Psico-Sociologia)

Vygotsky (1896-1934) “A correção absoluta só se consegue para lá da linguagem

natural, na Matemática”

25

Enciclopédia FrancesaEnciclopédia Francesa

D’Alembert (1717-83) e Diderot (1713-84)

“Discurso Preliminar”

O conhecimento é constituído por três raízes

Memória, Razão e Imaginação

(História) (Filosofia) (Poesia)

A Lógica - lugar de destaque – engloba as funções da Língua.

A Matemática - terreno das ciências naturais.

26

Ciência ou Linguagem?Ciência ou Linguagem?

Dicionário de Filosofia (Nicola Abbagnano, 1971)

Ciência– Conhecimento que inclua, em qualquer forma ou

medida, uma garantia da própria validade.

Linguagem– Em geral, o uso de signos intersubjetivos, que são os

que possibilitam a comunicação.

27

A árvore cartesianaA árvore cartesiana

a condição de possibilidade do conhecimento (a seiva)

Descartes (1596-1650, Discurso sobre o método)

Astronomia, Medicina, etc.

Metafísica (incluindo a religião)

Física (Filosofia Natural)

28

N.J.Machado (1995)N.J.Machado (1995)

(...) a Língua e a Matemática constituem os dois sistemas básicos de representação da realidade. (...) São instrumentos de expressão e de comunicação e, conjuntamente, são uma uma condição de possibilidade do conhecimento em qualquer área. O par Língua/Matemática compõem uma linguagem mista, imprescindível para o ensino e com as características de um degrau necessário para alcançar-se as linguagens específicas das disciplinas particulares.

29

Algumas referências curiosas...Algumas referências curiosas...

Ah, prometo àqueles meus professores desiludidos que na próxima vida eu vou ser um grande matemático. Porque a Matemática é o único pensamento sem dor (M. Quintana, 1906-94)

Tenho capacidades e talentos muito restritos. Nenhum para as Ciências Naturais, nenhum para a Matemática, nada para as coisas quantitativas (S. Freud, 1856-1939)

Está praticamente fora de questão que eu escreva artigos. A única ocupação que me permite conservar a necessária paz de espírito é a Matemática (K. Marx, 1818-83)

O princípio criador reside na Matemática; sua certeza é absoluta, enquanto se trata da Matemática abstrata, mas diminui na razão direta de sua concretização (Einstein, 1879-1955)

30

Na Matemática, para saborear com Na Matemática, para saborear com prazer o fruto é preciso conhecer prazer o fruto é preciso conhecer

bem as suas raízesbem as suas raízes..

Malba Tahan (1895 a 1974 )Júlio César de Mello e Souza

31

EcletismoEcletismo

Reunião de elementos doutrinários de origens diversas que não chegam a se articular em

uma unidade sistemática consistente.