x 4

5

g t

y

8

Escola Secundária de Fontes Pereira de Melo - 401780"Escola em processo de mudança"

Ano Lectivo

2011/2012FICHA DE TRABALHO

NOME: ____________________________________ ; Nº_____ Matemática

12º

C:\Users\Professor\Desktop\Bau\2 email 1. A equação da recta tangente ao gráfico de f, no ponto de abcissa 2, é . Quais os valores de e de ?(A) e (B) e

(C) e (D) e

2. Considera a função real de variável real definida por:

O valor de tal que é:

(A) (B) (C) (D)

3. Na figura estão representadas:

parte do gráfico da função de domínio ; uma recta tangente ao gráfico de no ponto de abcissa .

Sabemos ainda que

Uma equação da recta é:

(A) (B) (C) (D)

4. Na figura está a representação gráfica de parte de uma função , de domínio e de uma recta tangente ao gráfico de no ponto

. O valor de é:

(A) (B) (C) (D)

5. Seja . Qual é o valor de ?

(A) (B) (C) (D) não existe

6. De uma função sabe-se que- não existe; - para - não existe;

- ; - .Qual das seguintes representações gráficas pode ser a da função ?(A) (B (C) (D)

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x -3

y

7. Considera a função real de variável real, representada graficamente.

O conjunto solução da condição é:(A) (B) (C) (D)

8. Seja a função real de variável real definida por . Quantas rectas

tangentes ao gráfico de são paralelas à recta ?(A) nenhuma (B) uma (C) duas (D) mais que duas.

9. De uma função , real de variável real, sabemos que . Qual das afirmações seguintes é necessariamente verdadeira?

(A) (B)

(C) é uma recta tangente ao gráfico de no ponto de abcissa 5(D) A bissectriz dos quadrantes pares é uma recta tangente ao gráfico de no ponto de abcissa 5.

10. Seja , uma função real de variável real, então a derivada de é:

(A) (B) (C) (D)

11. Seja f uma função derivável tal que em . A equação tem uma única solução no intervalo se:(A) (B) (C) (D)

12.Na figura estão representadas, num referencial o.n. , parte do gráfico de uma função , de domínio

e a recta , assintota do gráfico de e tangente ao seu gráfico no ponto de abcissa . Qual é a proposição verdadeira?

(A) (B)

(C) (D)

13. A tabela representa o sinal da derivada de uma função de domínio e ímpar.

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Sabe-se que .

O contradomínio da função é:

(A) (B) (C) (D)

14.O quadro que se segue estuda os zeros e o sinal da derivada de uma função real de variável real de domínio .

-1 0 1+ 0 - N.D. - 0 +

Considera as seguintes afirmações:I. é contínua. II. e são extremos relativos da

função.Podemos concluir que:(A) I e II são verdadeiras (B) I e II são falsas(C) I é verdadeira e II é falsa (D) I é falsa e II é verdadeira.

15. Na figura ao lado está desenhada parte do gráfico de uma função , ímpar, de domínio

Em qual das figuras seguintes pode estar o gráfico de , segunda derivada de (A) (B) (C) (D)

16.Considera a função de domínio . A recta de equação é assimptota do gráfico de . Seja a função derivada de . O valor de é: (A) 0 (B) – 3 (C) (D)

17. Se a representação gráfica de (função derivada de ) é:

então a representação gráfica da função pode ser:

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18. Na figura, está representada o gráfico da função , derivada de , no intervalo .Qual das seguintes afirmações é verdadeira?(A) é crescente para todo

(B) admite um ponto de inflexão para (C) tem concavidade voltada para baixo para todo

(D) admite dois máximos para

19. Considera a função , cuja expressão analítica é e a família de funções definida por , .O valor de tal que é:

(A) (B) (C) (D) 0

20. A função derivada de uma função de domínio é definida por

.

Então é igual:

(A) (B) (C) (D)

21. Considera as funções e deriváveis em e representadas graficamente.

Então, é igual a:

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y

1

2

2

f

gx

(A) (B) (C) (D)

22. Na figura está parte da representação gráfica de uma função , de domínio.Os pontos de abcissas e são os únicos pontos de inflexão do gráfico de . Qual das funções seguintes poderá representar a função , segunda derivada de

?

(A) (B)

(C) (D)

23. Na figura ao lado está parte da representação gráfica de uma função , de domínio . Sejam e

a primeira e a segunda derivadas de , respectivamente. Admite que estas duas funções também têm domínio .Qual das expressões seguintes designa um número positivo?(A) (B) (C) (D)

24. Na figura estão representadas: parte do gráfico da função , de domínio , definida por

uma reta tangente ao gráfico de , no ponto de abcissa A inclinação da reta é 60º.O valor de é:

(A) (B) (C)

(D)

25. Na figura ao lado estão representadas graficamente duas funções: a função , definida em por a função , definida em por A reta é tangente ao gráfico de no ponto de abcissa e é tangente ao gráfico de no ponto de abcissa .Qual das igualdades seguintes é verdadeira?

(A) (B)

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x

y

20

(C) (D)

26. Seja uma função cujo gráfico tem um ponto de inflexão de abcissa1. Qual dos seguintes gráficos poderá ser o da segunda derivada de ?(A) (B) (C)

(D)

27. Seja uma função tal que a sua derivada, no ponto 3, é igual a 4. Indica o valor de

(A) (B) (C) (D)

28. Na figura estão representadas, num referencial o. n. : parte do gráfico de uma função , de domínio , definida por a reta , tangente ao gráfico de no ponto de abcissa 1.Qual o declive da reta ?(A) (B) (C) (D)

29. Seja uma função de domínio . Na figura está representada parte do gráfico de , segunda derivada da função . Relativamente ao gráfico da função , qual das seguintes afirmações é verdadeira?(A) o ponto de abcissa é um ponto de inflexão. (B) o ponto de abcissa é um ponto de inflexão

(C) a concavidade está sempre voltada para cima (D) a concavidade está voltada para baixo no intervalo30. Seja uma função de domínio , tal que a sua segunda derivada é definida por . Em qual das figuras seguintes poderá estar parte da representação gráfica da função ?

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31. Na figura junta está representada parte do gráfico de uma função de domínio .Numa das alternativas seguintes estão quadros de sinais de , respetivamente primeira e segunda derivadas de . Em qual deles?

32. Considera a função representada graficamente na figura e a função definida por . Indica o conjunto solução da inequação

(A) (B) (C) (D)

33.Considera a família de funções de funções de domínio , definida por:

Para um certo valor de e um certo valor de , a função tem o seu gráfico parcialmente representado na figura junto. Conforme a figura sugere, tem-se que:

a equação da recta tangente ao gráfico de no ponto de abcissa 1 é 33.1. Mostra que e 33.2. Estuda quanto à existência de assintotas não verticais do seu gráfico.33.3. Mostra que a equação tem pelo menos uma solução no intervalo .

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1 e x

y

34. .Considera a função de domínio definida por:

.Nota: Recorrendo a processos analíticos resolve as três primeiras questões.34.1. Resolve a equação 34.2.Estuda quanto à monotonia e quanto à existência de extremos relativos.34.3.Recorrendo ao Teorema Bolzano-Cauchy, mostra que a equação , admite pelo menos uma solução no intervalo . Nota: sempre que nos cálculos intermédios procederes a arredondamentos conserva no mínimo duas casas decimais.34.4.Na figura ao lado está representado: Parte do gráfico de ; A recta cuja inclinação é 60º e intersecta o eixo dos no ponto de ordenada .Recorrendo à calculadora, determina, aproximando às décimas, as coordenadas do ponto de intersecção da função com a recta . Deves apresentar os procedimentos efectuados para a execução da questão.

35. Considera representadas no referencial o.n. parte do gráfico de duas funções e . Sejam:

;

é a recta tangente ao gráfico de no ponto de abcissa ; de domínio tem como assimptota oblíqua a recta .

Resolve as primeiras quatro questões por processos exclusivamente analíticos.

35.1.Verifica que . Estuda quanto à monotonia e indica as

coordenadas do ponto extremo.

35.2.Mostra que o declive da recta é .

35.3.Determina o valor de .

35.4. Prova que . Estuda quanto ao sentido das

concavidades e existência de pontos de inflexão.

35.5. Recorrendo à tua calculadora, determina, aproximando às décimas, as coordenadas dos pontos do gráfico de cuja ordenada é igual à do ponto de tangência da recta com .Explica como procedes-te. Apresenta o/os gráficos que considerres para resolver a questão.Nota: nos cálculos intermédios considera os arredondamentos com duas casas decimais.

36. Sejam f e g duas funções reais de variável real definidas por:

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y

x

r

-4

O

h

60

y

x

t

f

g

1

e

36.1. Escreve a equação reduzida da recta tangente ao gráfico de f no ponto onde este intersecta o eixo dos 36.2. Estuda a função g quanto à monotonia e existência de extremos36.3. Resolve em a equação 36.4. Comenta a afirmação “ o gráfico de f tem a concavidade voltada para baixo

”

37. Seja a função definida em por .37.1. Mostra que o eixo é assintota do gráfico de .37.2. Determina usando a definição de derivada num ponto.37.3. Sejam e , respectivamente, o mínimo absoluto de e o máximo de em

.

37.3.1. Mostra analiticamente que e .

37.3.2. Determina, recorrendo à calculadora, o conjunto das soluções inteiras da condição . Indica como procedes-te, apresentando gráfico ou gráficos e coordenadas de pontos relevantes para a solução.38.Considera as funções (primeira derivada de ), e , de domínios e , respectivamente, definidas por:

38.1. Verifica que o ponto pertence ao gráfico de .

38.2. Estuda a função quanto ao sentido das concavidades do seu gráfico e existência de pontos de inflexão.38.3. Estuda a função quanto à monotonia do seu gráfico.38.4. Resolve a equação .

39. Para sulfatar as árvores de um pomar, um agricultor colocou num recipiente uma certa quantidade de sulfato. Para dissolver o sulfato, misturou 50 litros de água. Admite que a massa, em gramas, de sulfato ainda não dissolvido, minutos após o início do processo de dissolução, é dada por:

39.1. Determina a massa, em gramas, de sulfato utilizado neste processo.39.2. Calcula a percentagem de sulfato dissolvido ao fim de meia hora. Apresenta o resultado arredondado às unidade.39.3. Determina, caso existam, as assintotas do gráfico de . Interpreta as conclusões a que chegaste no contexto do problema.

39.4. Mostra que . Interpreta a resultado no contexto do problema.

39.5. Calcula e e, em termos comparativos, interpreta os resultados no contexto do problema.

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