10 GUZMAN DEL RIO Act. 3 Modelacion y Simulacion de Un Tanque Agitado Completo

5/26/2018 10 GUZMAN DEL RIO Act. 3 Modelacion y Simulacion de Un Tanque Agitado Completo

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RESUMEN: El presente trabajo muestra losresultados obtenidos por los autores en lainvestigacin y anlisis del modelomatemtico del tanque de contacto y losenfriadores de licor en el proceso delixiviacin carbonato-amoniacal conminerales laterticos cubanos, para suregulacin automtica. Se realiza un anlisisde las principales variables que intervienenen el proceso ( en el tanque para el procesode mezclado y en los enfriadores para ellicor). Se propone un modelo matemticodinmico para el tanque de contacto y losenfriadores de licor con balances de masa y

energa, expresando todas las dependenciasdinmicas en ecuaciones diferenciales nolineales a parmetros concentrados. Seincluye adems la simulacin con datosreales de la planta.

Palabras claves:Modelacin matemtica,Tanque de contacto, Enfriadores de licor,Lixiviacin.

ABSTRACT: This paper shows the resultsobtained by the authors on the research andanalysis of the mathematical model of contactank and licour coolers in the carbonate-ammoniac leaching process with cuban

Mster en Ciencias Tcnicas, Instituto Superior Minero Metalrgico,Moa, Holgun.

Dr., Profesor Titular, Departamento Electrnica, Universidad de SaoPaulo, Brasil.

Dr. C., Dpto. Automtica y Computacin, Instituto Superior PolitcnicoJos Antonio Echeverra, La Habana.

Ing.,Dpto. Elctrica. Instituto Superior Minero Metalrgico, Moa, Hol-gun.

lateritic minerals, for their automaticregulation. An analysis of the mean variablesthat characterize the mixer (the tank for themixing process and the coolers for the licourcoolings) is done. It is proposed a dinamicalmathematical model for the tank and coolers,through the mass and energy balances,expressing all dynamic dependencies in non-linear differential equations with concentratedparameters. This work includes simulationwith real plant parameters.

Keys Words:Mathematical modelling,Contac tank, Licour coolers, Leaching.

INTRODUCCIN

Para conformar las ecuaciones de un sistema de la in-dustria metalrgica, las cuales representan complejossistemas dinmicos, segn (Tijonov, 1975), es necesariopor simplicidad no tener en cuenta una serie de factoressecundarios y s los principales de entrada y de pertur-bacin que influyen en la dinmica del proceso.

El objetivo de este trabajo es modelar y simular el com-portamiento dinmico del Tanque de Contacto y losEnfriadores de Licor en el proceso de lixiviacin carbo-nato-amoniacal con minerales laterticos cubanos a par-tir de ecuaciones, que interrelacionan las variables de en-trada (manipuladas o de control) y de salida (controla-das) del mismo.

Para la presentacin del problema de la modelacin


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matemtica dinmica, se propone inicialmente realizar un estudio de los subsistemas antes men-cionados (Guzmn 1999), a partir de sus principales parmetros, como objeto de regulacin auto-mtica.

Existen tres variables de entrada y tres de salida, ms seis variables de perturbacin: tres en losenfriadores de licor y tres en el tanque de contacto. Las variables de entrada son el flujo de licor fresco

, el flujo de pulpa en la salida del tanque de contacto

y el flujo de agua de enfriamiento en losenfriadores de licor . Las variables de salida son la densidad de la pulpa , la temperatura de lapulpa

y el nivel del tanque de contacto

. Las variables de perturbacin en los enfriadores de licor

son la temperatura del agua de enfriamiento

, la temperatura del licor de entrada

y la densidad dellicor

en el tanque son el flujo de mineral

, su temperatura

, y la densidad de mineral

(ver

figura 1).

La temperatura de la pulpa

depende del flujo de licor , de la temperatura del licor de entrada al

tanque (esta temperatura del licor depende de la temperatura del agua de enfriamiento y de la tempe-

ratura del licor que llega de los tanques colectores) as como del flujo de mineral

y de la temperaturadel mineral

. El nivel

depende de los flujos de licor

y de mineral

y del flujo de salida

, as

como de las masas especficas del mineral y del licor y la densidad de la pulpa de salida depende del flujo de licor , del flujo de mineral

y de las masas especficas de mineral

y de licor

.

DESARROLLO

Modelacin matemtica dinmica del Tanque de Contacto

Teniendo en cuenta el diagrama de flujo de seales para el sistema del Tanque de Contacto mostra-do en la Figura 1, el cual representa un sistema termohidrulico, se pueden escribir las ecuaciones parael balance de masa y energa teniendo en cuenta las variaciones de los parmetros que se debencontrolar a la salida de ste. Como fue descrito por Garcia (1997), Smith y Corripio (1997) y Seborg(1989), para efectuar la modelacin matemtica de este tipo de sistema, es necesario considerar las

ecuaciones que describen el balance global de masa y energa a partir de los componentes que confor-man la mezcla.Ecuacin para el balance de masa de la parte slida de la mezcla:Utilizando como subndice para el slido 1 y para el lquido 2, se puede emplear segn Tijonov

(1975), la siguiente relacin para la densidad de una mezcla:

(1)

siendo

resulta entonces para el mineral reducido (slido) y licor carbonato-amoniacal (lquido) que:

(2)

donde:

- Densidad de la mezcla o pulpa, kg/m3.

- Densidad del mineral de entrada, kg/m3.

- Densidad del licor de entrada, kg/m3.

Figura 1. Variables de entrada, salida y perturbaciones en el Tanque de Contacto ms Enfriadores de Licor


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x1(t)- Fraccin msica de slidos en la mezcla, p.p.u.x

2(t)- Fraccin msica de lquidos en la mezcla, p.p.u.

Entonces para los slidos queda:

(3)

donde:

m1(t)- Masa de los slidos en la mezcla, kg.A- rea de la seccin transversal del tanque, m2.H

1(t)- Nivel del tanque, m.

Efectuando el balance de masa de la parte slida de la mezcla a travs de los flujos volumtricos,resulta:

(4)

- Flujo volumtrico del mineral de entrada, m3/min.

- Flujo volumtrico del licor de entrada, m3/min.

- Flujo volumtrico de la pulpa de salida, m3/min.x

11(t) - Fraccin msica de slido en el licor, p.p.u.

xs=1 - Fraccin msica de slido en el slido (mineral reducido), p.p.u.

La derivada de la fraccin msica de los slidos queda definida por la siguiente expresin:

(5)

donde:

Derivando la expresin (2) y sustituyendo en la resultante el valor de por su valor expresadoen (5), se obtiene:

(6)

donde:

Ecuacin para el balance global de masa

(7)

donde:

(8)

Entonces asumiendo Acomo constante y sustituyendo (8) en (7) se obtiene:

(9)


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Sustituyendo la expresin (7) en (9) resulta:

(10)

Aislando el termino de la derivada del nivel en (10) y sustituyendo se tiene que:

(11)donde:

Ecuacin para el balance de energa

Asumiendo segn Tijonov (1975), que la entalpa de la pulpa hp(t) puede ser aproximada por h

p(t)=c

pp

Tps

(t) resulta:

(12)

donde :T

me- Temperatura del mineral de entrada, K.

Tle-Temperatura del licor de entrada, K.Cpm

- Calor especfico del mineral de entrada, J/kg K.C

p1- Calor especfico del licor de entrada, J/kg K.

Vp(t)-Volumen de la pulpa en el tanque, m3

Tps

(t)-Temperatura de la pulpa de salida, K.Asumiendo el calor especfico de la mezcla cpp como constante, su expresin estara dada por:

(13)

De (12) resulta:

(14)

donde:

Aislando la derivada de Tps

(t) y substituyendo en (14) resulta:

(15)

Sustituyendo las ecuaciones (6) y (11) en la ecuacin (15), simplificando y agrupando obtenemos:

(16)


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donde:

Las ecuaciones de movimiento obtenidas para el tanque de contacto son (6), (11) y (16).

MODELACIN MATEMTICA DINMICA DE LOS ENFRIADORES DE LICOR

Los enfriadores de licor corresponden a intercambiadores de calor del tipo casco-tubo que operaronen contracorriente, como se muestra en la figura 2; se encuentran unidos al funcionamiento del tanquede contacto, debido a que en ellos se efecta el enfriamiento del licor que ser usado como entrada a losmismos para ser mezclado con mineral proveniente de los hornos de reduccin (ver figura 3).

El enfriamiento del licor es realizado en seis enfriadores dispuestos en cascada. Suponiendo paralos intercambiadores de calor en los enfriadores de licor las mismas consideraciones tenidas en cuentapor Garca (1997), se pueden escribir para el balance de masa las expresiones siguientes:

Ecuacin para el balance de masa del licor a travs de los tubos

(17)

donde:m

l(t)- Masa del licor en los intercambiadores, kg.

Vl- Volumen de licor en los intercambiadores, m3.

Qlet

(t)- Flujo volumtrico del licor de entrada a los intercambiadores, m3/min.

Figura 2. Tipo de intercambiador de calor en los Enfriadores de Licor.

Figura 3. Tanque de Contacto y Enfriadores de Licor.


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Qlst

(t)- Flujo volumtrico del licor de salida de los intercambiadores (es igual al flujo de licor de entra-da al tanque de contacto), m3/min.

let

(t)- Densidad del licor de entrada a los intercambiadores, kg/m3

lst

(t)- Densidad del licor de salida de los intercambiadores, kg/m3

Suponiendo que el volumen de licor en los intercambiadores en (17) sea constante, entonces:

(18)

Ecuacin para el balance de masa de agua por el casco del intercambiador

(19)

donde:V

ag- Volumen de agua en el casco del intercambiador, m3

age

- Densidad del agua que llega al casco del intercambiador, kg/m3.

ags- Densidad del agua que sale del casco del intercambiador, kg/m3.

Qags

(t)- Flujo volumtrico de agua que sale del intercambiador, m3/min.

Qage(t)- Flujo volumtrico de agua que entra al intercambiador, m3/min.Asumiendo tambin que el volumen de agua sea constante:

(20)

Ecuacin para el balance de energa del lado de los tubos (licor)

(21)

donde:h

l- Entalpa del licor, J/kg.

ml(t)- Masa del licor, kg.

hle- Entalpa del licor de entrada, J/kg.

qlag- Flujo de calor de los tubos para el casco (licor-agua), W.

Ecuacin para el balance de energa del lado del casco (agua)

Suponiendo que el intercambiador de calor sea adiabtico (no existen prdidas de calor para elmedio ambiente) se puede escribir que:

(22)donde:

hag- Entalpa del agua de enfriamiento, J/kg.m

ag(t)- Masa del agua de enfriamiento, kg.

Relaciones constitutivas:Entalpas:h

l=c

plT

l- Entalpa del licor, J/kg. (23)

hag

=Cpag

Tag

- Entalpa del agua de enfriamiento, J/kg. (24)

Flujos de calor (licor-agua):

(25)

donde:Ulag- Coeficiente global de transferencia trmica de los tubos (licor) para el casco (agua), W/m

2K.Alag- Seccin de transferencia trmica entre el casco y los tubos, m2.Tag- Temperatura del agua en el casco, K.Tl- Temperatura del licor en los tubos, K.


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Tlag- Diferencia de temperatura entre los tubos (licor) y el casco (agua), K.siendo:

Alagi

=2 riL rea interna de intercambio trmico, m2.

Alage

=2 reL rea externa de intercambio trmico, m2.

donde:r

i

- Radio interno de los tubos, m.re- Radio externo de los tubos, m.L- Longitud del intercambiador, m.

Las ecuaciones de movimento del intercambiador entonces quedan

Para el fluido de licor carbonato-amoniacal fresco, substituyendo (17), (23) y (25) en (21) queda:

(26)

donde el flujo msico de licor a la entrada de acuerdo con la expresin (18) es:

de entrada al tanque y

Para el agua de enfriamiento a travs del casco, substituyendo (20) y (24) en (22) queda:

(27)

donde el flujo msico de agua a la entrada de acuerdo con la expresin (20) es:

Considerando que el intercambiador de calor analizado anteriormente opera como un intercambiadorde calor a contracorriente sin cambio de fase de los fluidos y despreciando el intercambio con el medio,el trmino T(t) se puede denominar segn Franks (1972, Kreith (1977) y Garca (1997) diferenciamedia logartmica de temperatura o Mean Logarithmic Temperature Difference-MLTD, que se determi-na como:

(28)

donde:

Tomando las ecuaciones (26) y (27) para cada uno de los menfriadores de licor, segn la figura (4),podrian ser representadas de la siguiente forma se obtiene:

Figura 4. Variables de entrada, salida y perturbacin en los Enfriadores de Licor.


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(29)

siendo:

donde:n =1,2,..., m: nmero de enfriadores de licor.Q

ls(t)-Flujo de licor de entrada y salida del enfriador 1 que va para el tanque de contacto, m3/min.

Tl2(t)-Temperatura del licor a la entrada del enfriador 1, K.T

ls(t)-Temperatura del licor de salida del enfriador 1 que va para el tanque de contacto, K.

Vlt1-Volumen de licor en el enfriador 1, m

3

T1

-Diferencia media logartmica de temperatura en el enfriador 1, K.Tag1(t)-Temperatura del agua que sale del enfriador 1, K.T

age(t)-Temperatura del agua de entrada al enfriador 1, K.

Vagt1-Volumen de agua en el enfriador 1, m3.

Qage

(t)-Flujo de agua que entra y sale del enfriador 1, m3/min.Tlm(t)-Temperatura del licor a la salida del enfriador m, K.T

let(t)-Temperatura del licor a la entrada del enfriador m, K.

Qag(m-1)(t)-Flujo de agua que entra al enfriador m, m3/min.

Relaciones constitutivas

donde:N

t- Nmero de tubos.

Dt- Dimetro del intercambiador, m.

RESULTADOS Y DISCUSIN

A continuacin se muestra el resultado de la simulacin realizada para un tanque de contacto y unsistema con seis enfriadores de licor con valores reales tomados de la industria, donde se puede evaluarel comportamiento de cada uno de los parmetros de salida del proceso ante excitaciones en sus

variables manipuladas, tal y como lo muestran las figuras 5, 6, 7, y con excitaciones en las perturbacio-nes en las figuras 8,9,10 y 11. Aqu las entradas fueron excitadas con funciones escaln de 20%,entorno del valor nominal de operacin.


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Para excitacin en las variables manipuladas:Como se observa de las figuras 5, 6 y 7, las varia-

bles de salida ante excitaciones de las variables ma-nipuladas alcanzan los valores esperados, mostran-do para las variaciones del flujo de licor un compor-tamiento de sistemas de primer orden para el casode la temperatura y la densidad y de integrador parael nivel, en torno de su valor nominal de operacin,ante variaciones en el flujo de agua de enfriamientoslo vara la temperatura de la pulpa a la salida deltanque, la densidad y el nivel se mantienen constan-tes y ante variaciones en el flujo de salida slo varael nivel del tanque. Estos comportamientos permitenevaluar las dependencias de cada una de las varia-bles manipuladas o de control, por separadas, concada una de las variables controladas o de salida.

En las figuras 8, 9, 10 y 11 se observa, en las variables de salida ante excitaciones en las pertubacionesun comportamiento dinmico esperado, tpico de un sistema de primer orden con no-linealidades. Parael caso de variaciones en el flujo de mineral se observan respuestas como sistemas de primer ordenpara la densidad y la temperatura, stas alcanzan valores un poco ms elevados al aumentar el mismo.El aumento de la temperatura del mineral provoca que ascienda la temperatura de la pulpa; el aumentode la densidad del mineral aumenta la temperatura ligeramente y la densidad de salida, el aumento de

Figura 5.Respuesta del nivel, la temperaturay la densidad ante variaciones en el flujo de licor.

Figura 8. Respuesta del nivel, la temperatura y ladensidad ante variaciones en el flujo de mineral.

Figura 9. Respuesta del nivel, la temperatura y la densidadante variaciones en la temperatura del mineral

Figura 7.Respuesta del nivel, la temperatura yla densidad ante variaciones en el flujo de salida

Figura 6. Respuesta del nivel, la temperaturay la densidad ante variaciones en el flujo de agua.


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la densidad del licor tambin provoca variaciones as como las fluctuaciones en la temperatura del licor

de entrada y del agua a los Enfriadores. Las funciones de transferencia para cada uno de estos canalesson mostrada en Guzmn (1999).

CONCLUSIONES

1. Entre las variables que caracterizan al Tanque de Contacto y los Enfriadores de Licor se presentanuna serie de dependencias que hacen compleja su presentacin como un sistema nico dinmico apartir de los procesos que ocurren en los mismos.2. En la modelacin matemtica dinmica del Tanque de Contacto result necesario partir del balancede masa para los slidos que componen la mezcla y as obtener una expresin para la densidad y luegorealizar un balance global de masa con el fin de obtener una expresin para el nivel.3. La modelacin matemtica de los Enfriadores de Licor parte de considerar al sistema como unintercambiador de calor del tipo casco-tubo que opera en contracorriente donde es necesario modelarcada uno de los enfriadores por separado para, al simularlo, obtener la respuesta dinmica esperada.

4. La simulacin del modelo de estos dos agregados como sistema demuestra en cada una de lasvariables de salida un comportamiento acorde a los lmites que alcanzan stas en estado nominal deoperacin, lo que satisface los datos reales de la planta suministrados a sus entradas.

Figura 11.Respuesta del nivel, la temperatura y ladensidad ante variaciones en la densidad del licor

Figura 10. Respuesta del nivel, la temperatura y ladensidad ante variaciones en la densidad del mineral

Figura 13. Respuesta de la temperatura de la pul-pa ante variaciones en la temperatura del agua

Figura 12.Respuesta de la temperatura de la pulpaante variaciones en la temperatura del licor


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