MATEMÁTICA VAULA 16:

POSIÇÕES RELATIVAS DE DUAS RETAS NO PLANO

EXERCÍCIOS PROPOSTOSANUAL

VOLUME 4

OSG.: 102305/16

01. R(1, 5)

M(– 2, 3)

A(3, – 4)

P

r

s

I. P: circuncentro (encontro das mediatrizes)II. Propriedade do ponto P: equidista dos vértices A, R e M.

III. Coefi ciente angular RM my

xS

� ���( ) = −+

= → = − = −

+

5 3

1 2

2

3

3

2

412

IV. Coefi ciente angular AM my

xr

� ���( ) = − −+

= − → = =+

−

4 3

3 2

7

5

5

7

1212V. reta r: 5x – 7y = 6

reta s: 6x + 4y = 13

VI. r ∧ s → resolver o sistema → P =

115

62

29

62,

Resposta: B

02. Reescrevendo a equação da reta y = – 2x + 1 sob a forma x

y1 2

1+ = , tem-se que os pontos de interseção dessa reta com os eixos

cartesianos são N =

1

20, e M = (0, 1).

Como os triângulos POQ e MON são semelhantes por AA, temos

( )

( )

,

POQ

MONk k

k

= ⇒⋅ ⋅

=

⇒ =

2 2912

112

6

com k sendo a razão de semelhança. Desse modo, vem P = (0, 6) e Q = (3, 0).

Portanto, o resultado pedido é

d P Q( , ) .= + =6 3 3 52 2 m

Resposta: B

03. A reta cujos pontos são equidistantes de A e B é exatamente a mediatriz do segmento de extremos A e B. Portanto, devemos encontrar a equação da reta que passa pelo ponto médio de AB e é perpendicular a ele.

Cálculo do ponto médio de AB: 1 7

2

2 14

24 8 0 0

+ +

= ( ) ⇔, , ( , )x y

Coefi ciente angular da reta que passa por A e B: 14 2

7 12

−−

=

Portanto, o coefi ciente angular da mediatriz r é mr =

−1

2 Encontrando, agora, a equação da mediatriz r.

y – 8 = −1

2 (x – 4) ⇒ 2y – 16 = – x + 4 ⇒ x + 2y – 20 = 0

OSG.: 102305/16

Resolução – Matemática V

04. De acordo com as informações acima, temos os pontos A e B localizados abaixo:

y

x

A(– 3, 4)

B(3, – 2)

Determinaremos, agora, a equação da reta que passa pelos pontos A(– 3, 4) e B(3, – 2).

Cálculo do coefi ciente angular m:

m = − −− −

= −2 4

3 31

( )

Utilizando o ponto A(– 3, 4) para determinar a equação da reta, temos:

y – 4 = – 1(x – (– 3)) ⇒ y – 4 = – x + 3 ⇒ x + y – 1 = 0

Resposta: B

05. As retas dadas são paralelas, pois possuem o mesmo coefi ciente angular m = 3/4.

O ponto P(0, – 2) pertence à reta (r) 3x – 4y – 8 = 0, portanto a distância entre as retas, (r) 3x – 4y – 8 = 0 e (s) 4y – 3x – 12 = 0 será dada por:

d dr s P s, ,

( ) ( )

( )= =

⋅ − − ⋅ −

+ −= =

4 2 3 0 12

4 3

20

54

2 2

A medida do diâmetro da circunferência é igual a distância entre as retas r e s.

r

s

Portanto, o raio da circunferência é r = 2 e seu comprimento C será dado por C = 2 · π · 2 = 4π.

Resposta: A

OSG.: 102305/16

Resolução – Matemática V

06. Determinando a equação da reta suporte do lado C do paralelogramo.

Cálculo do coefi ciente angular: m =−

−=

53

43

2 1

1

3

Equação da reta suporte do lado C: y x x y− = − ⇒ − + =4

3

1

31 3 3 0( )

Analisando as proposições, temos que:I. Verdadeira.II. Falsa.III. Verdadeira. O coefi ciente linear da reta suporte de C é 1, portanto não há chance da estante atingir a altura do início do mural.IV. Falsa, pois a distância entre as retas paralelas será dada pela distância de P

1 até a reta suporte do lado C.

d =− ⋅ +

+ −( )=

1 373

3

1 3

3

102 2

Resposta: C

07.

y

r

x

s

10– 2

1

3

2

I. r: x y

−+ =

2 11 (segmentária) → y x mr= + → =1

21

1

2.

II. s r my

xx ys⊥ → = − =

−

−→ + − =2

321

4 2 7 0s: .

Resposta: E

08. I. I é a interseção das retas perpendiculares, r e s.

II. PI (menor distância).

III. s r my

xx ys⊥ → = − = −

−→ + =1

3

5

23 17s: .

IV. Interseção → sistema

y xx y

x e y= ++ ={ → = =3 2

3 1711

10

53

10

Logo, I =

11

10

53

10, .

Resposta: D

r: y = 3x + 2

P(2, 5)

x0

s

I

y

OSG.: 102305/16

Resolução – Matemática V

09. y (cm)

Área = 6 cm2

d S

r

(0, 6)

x (cm)0– 3

Retas: x y

−+

3 4 = 1 (segmentária) → 4x – 3y + 12 = 0

Logo: d cm=− +

+ −=

4 0 3 6 12

4 3

6

52 2

. .

( )

Resposta: C

10. y

A B

D

0x

C (6, 10)

AB yx

AD y xdados

� ���

� ���:

:

= +

= −

214

4 2

I. ABCD é um paralelogramo, então:

BC AD y x n� �� � ��� � ��

// → ( ) = +Reta BC : 4

II. (6, 10) ∈ y = 4x + n → n = – 14

III. B ∈ AB BC� ��� � ��

∩ , então:y x

yx B

= −

= +

→ = ( )

4 14

214

8 18,

Resposta: C

NAILTON – REV.: TP10230516_pro_Aula16-Posições Relativas de Duas Retas no Plano