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10.5 – Momento angular
Unidades S.I.: kg.m2/s
vmrprL
v
O
rL
Direção e sentido: regra da mão direitaMódulo: mvlmrvLL sen
l
m
(momento angular de uma partícula)
Relação entre momento angular e torque:
vmrdt
d
dt
Ld
dt
vdmrvm
dt
rd
amrvmv
0
Fr
dt
Ld
(análogo a
) dt
Momento angular de corpo rígido girando em torno de um eixo: Dividimos o CR em fatias: Fatia do CR girando em torno do eixo z
Momento angular da i-ésima partícula
90seniiiii vrmLL
iii rrm 2iirm
Somando por todas as partículas da fatia:
2
ii
irmL I
(análogo a )
mvp
Outra fatia do CR girando em torno de z
Partícula movendo-se para fora do plano
Partícula movendo-se para dentro do plano
Somando por todas as fatias:
Se o eixo de rotação for um eixo de simetria, o momento
angular terá a mesma direção do eixoAssim:
IL
dt
Ld
De maneira semelhante, partindo da equação para uma partícula:
E somando por todas as partículas do CR, obtemos:
dt
Ld
(aqui contribuem apenas os torques
externos)
10.6 – Conservação do momento angular
dt
Ld
Se a resultante dos torques externos for
nula:
0dt
Ld
constante L
Exemplo: patinadora no gelo
zffziiz IIL ,,
Ao fechar os braços, a patinadora reduz o momento de inércia ( ), de modo que a velocidade angular aumenta ( ).
if II
if
http://www.youtube.com/watch?NR=1&v=htVsVA2m1_w
Vídeo: “Physics Demonstrations in Mechanics II-9”
Demonstração: cadeira giratória
Um gato em queda livre conserva o momento angular?
http://www.youtube.com/watch?v=Ua4Gh_4XdwQ
Exemplo: Y&F 10.11
Análise do movimento:
http://www.youtube.com/watch?v=yGusK69XVlk
Exemplo: Y&F 10.14
Problema: Y&F 10.98 (centro de percussão)
Vídeo: “Physics Demonstrations in Mechanics II-11”
10.7 – Giroscópios e precessão Demonstração: roda de bicicleta
Caso 1: roda parada
Vista de cima
Caso 2: roda girando
Vista de cima
Precessão do momento angular
Momento angular
inicial da roda
Outros exemplos: precessão do eixo de rotação da Terra, precessão do pião (demonstração)
Vídeo: “Physics Demonstrations in Mechanics VI-5”
Cálculo da velocidade angular de precessão:
Em um intervalo dt, o momento angular e o eixo de rotação da roda precessionam por um ângulo dφ
Velocidade angular de precessão (no caso do eixo de rotação ortogonal ao eixo de precessão):
dt
d
dt
LLd
L
Imgr
Exemplo: torque na precessão do eixo de rotação da Terra
rad/s1066,7s108,2
rad 2 anos rev/26.000 1 12-
11
N.m1042,2)sen(26,5)sen(26,5
22 L
L
s
kg.m1007,7
24h
rad 2
5
2 2332
MRIL
Cinemática de uma partícula Rotação de um CR
Posição Ângulo
Velocidade Velocidade angular
Aceleração Aceleração angular
Massa Momento de inércia
Energia cinéticaEnergia cinética
Força Torque
2a. Lei 2a. Lei
Trabalho Trabalho
Potência Potência
Momento linear Momento angular
2a. Lei 2a. Lei
dt
vmp
vFP
dxFdW
maF
F
mv
m
a
v
x
xx
x
xextx
x
x
x
x
,
2
2
1
Completando a analogia cinemática linear e rotação de CR:
dt
Ld
IL
P
ddW
I
I
I
zz
z
zextz
z
z
z
z
,
2
2
1
Próximas aulas:
6a. Feira 18/11: Aula de Exercícios (sala A-327)
4a. Feira 23/11: Aula de Exercícios (sala A-327)
6a. Feira 25/11: Aula de Revisão e Testes dos Caps. 9 e 10 (sala A-327)
2a. Feira 28/11: P2
